Поведение безмассовых частиц в гравитационном поле. Зайко

УДК. 537.8; 539.186.2
Поведение безмассовых частиц в гравитационном поле.
Зайко Ю.Н.
ФГОУ ВПО Поволжская академия государственной службы
им. П.А. Столыпина,
410031, Саратов, Россия.
е-mail: zyrnick@rambler.ru
Аннотация.
В статье рассмотрено поведение безмассовых частиц (например, фотонов) в
сферически симметричном гравитационном поле, создаваемом либо массивным
источником, либо сферической электромагнитной волной. Вычислен угол отклонения
траектории частиц. Вычисление проведено для углов произвольной величины. Проведено
сравнение с известным выражением для малых углов отклонения в случае массивного
источника. Показано, что отклонение на большие углы описывается формулой для т.н.
спирального рассеяния. Исследовано поведение параметров волны под действием
гравитационного поля.
Annotation.
This article presents an investigation of mass-less particles (for example, photons) in
spherically symmetric gravitational field created either by massive source or by spherical
electromagnetic wave. Deviation angle of trajectory of particles is evaluated. Evaluation is made
for angles of arbitrary values. It is presented a comparison with well-known expression for
angles of small values for massive sources. It is shown that deviation for large angles is
described with spiral-scattering formula. Parameters’ behaviour of wave under influence of
gravitational field is investigated.
Отклонение безмассовых частиц в гравитационном поле
К безмассовым частицам до недавнего времени принято было относить
фотон и нейтрино1,2. Отклонение фотона внешним гравитационным полем
массивного источника – хорошо изученное явление [1, 2]. Наблюдение
отклонения луча света, проходящего вблизи звезд, например, Солнца
относится к числу экспериментов, подтверждающих общую теорию
относительности. Возможности экспериментов с фотонами, однако, не
позволяют раскрыть всего, что предсказывается теорией, просто в силу их
свойств. В частности, изучать на эксперименте можно только отклонение на
малые углы, соответствующие большому значению параметра ρ/rg, где ρ 1
Гипотетический гравитон в настоящей статье не рассматривается.
Согласно совремнным представлениям нейтрино может иметь ненулевую массу:
http://pdg.lbl.gov/2010/listings/rpp2010-list-neutrino-prop.pdf
2
2
прицельный параметр, rg – гравитационный радиус звезды. Поскольку для
плотностей, характерных для вещества, распространенного во Вселенной rg
много меньше геометрического размера звезд R, который, в свою очередь,
меньше ρ, то наблюдать можно только отклонение на углы, равные 2rg/ρ<<1
[2]. Для нейтрино, взаимодействующих с веществом значительно слабее
фотонов, это ограничение снимается, поскольку снимается ограничение R <
ρ, и наблюдать в принципе можно отклонение на любые углы. Эксперименты
с нейтрино позволили бы наблюдать явление, носящее в теории рассеяния
название спирального рассеяния или закручивания [3].
И наконец, отметим, что рассеивать частицы может гравитационное
поле, создаваемое не только массивными телами, но и электромагнитными
волнами [4]. Этот вопрос также рассматривается в настоящей статье. Он
представляет принципиальный интерес, поскольку показывает возможность
рассеяния фотона на фотоне уже в классической физике3.
Рассмотрение задачи начнем с выражения для интервала [2, 4] в
центральносимметричном гравитационном поле
ds 2
g 00 c 2 dt 2
g111
g 00
g11
g 001
g11 dr 2
rg
r 2 (d
2
sin 2
d
2 Km
; масса
r
c2
l (l 1)c
exp rc / r ; rc
; волна
(1
2
)
), rg
(1)
Здесь gik – метрический тензор, m – масса источника, K – гравитационная
постоянная, c – скорость света в вакууме, ω – частота сферической
электромагнитной волны, l – целое неотрицательное число, определяющее
орбитальный угловой момент фотона4. Для решения вопроса используем
уравнение эйконала Ψ [2]:
g ik
3
xi xk
0
(2)
Это согласуется с тем, что взаимодействие двух бозе-полей существует в классическом пределе (см.
замечание в [5, с. 386]). Применение квантовой терминологии к классическим задачам – часто
используемый прием. Правильнее было бы сказать: “рассеяние световой волны на световой волне”.
4
Рассматривается гравитационное поле, создаваемое волной Е-типа [4].
3
Поскольку в центральносимметричном поле движение происходит в одной
плоскости, можно записать
t
M
M
r
(r )
(3)
c
θ – угол, определяющий положение на траектории, Ψr – радиальная часть
эйконала, ω = - ∂Ψ/∂t –частота, M - постоянная [2]. Траектория определяется
из уравнения ∂Ψ/∂М = const [2], что приводит к выражениям5
dr
r2
1
2
; масса
rg
1
1
r2
r
exp(rc / 2r ) dr
r2
r
exp c
r
2
(4)
; волна
r2
Несмотря на различие выражений в (4) они приводят к сходному поведению
траекторий, отличающемуся лишь в деталях. Траектория частиц (фотонов
или нейтрино) состоит из двух частей симметричных относительно точки
максимального сближения - перигелия траектории, которая определяется
точкой ветвления подынтегрального выражения. Последняя совпадает с
одним из нулей подкоренного выражения. Для выполнения расчетов удобно
перейти к переменной t = ρ/r. Тогда область интегрирования простирается от
текущего значения t > 0 до ближайшего положительного нуля подкоренного
выражения. Угол рассеяния определяется как угол между асимптотами, на
которые выходят две ветви траектории при t → 0. В теории рассеяния [3]
различают угол рассеяния θ, который по определению всегда лежит между
нулем и π, и угол отклонения Θ, который может иметь любое значение от - ∞
до π. Эти два угла связаны между собой равенством
q
2 m
где q = ± 1, а m – неотрицательное целое число. Для данного Θ числа q и m
выбирают так, чтобы угол θ лежал между нулем и π.
5
Первая формула в (4) в применение к нейтрино требует малости его энергии покоя по сравнению с его
центробежной энергией.
4
Результаты расчетов представлены на рис. 1 и 2. Рис. 1 демонстрирует
хорошее совпадение результатов расчета отклонения траектории в случае
массивного источника (4) для больших прицельных расстояний и,
соответственно, малых углов отклонения [2]. Большие углы отклонения на
рис. 1 и 2 соответствуют т.н. спиральному рассеянию, когда траектория
закручивается вокруг источника гравитационного поля [3]. Это связано с
наличием минимума подкоренного выражения в обеих формулах (4) в
переменной t, который в предельном случае совпадает с его нулем. Если
обратное значение прицельного параметра (безразмерное), при котором это
происходит обозначить через x0, то угол отклонения вблизи него выражается
как [3]:
x
d
f ln( x
d
2 f ln( x0
x0 ), x
x), x
x0
x0
(5)
rg /
d и f – некоторые постоянные. В случае массивного тела x0 = rg/ρ0 = 2/(27)½ ≈
0.385, а в случае электромагнитной волны x0 = rc/ρ0 = 2/e ≈ 0.739, и как
показано на рис. 2 хорошее совпадение результатов расчета (4) с (5)
достигается при d = 0.7 и f = 1.9.
Следует сказать, что теория рассеяния [3] предсказывает появление
интерференционных эффектов в сечении рассеяния: ореольное рассеяние
(глория) и др., а также эффектов, связанных с барьерным проникновением,
которые подробно описаны в литературе [3] и здесь не рассматриваются. Тем
не менее, характерные особенности сечений, обусловленные упомянутыми
эффектами, позволили бы пролить свет на некоторые вопросы нейтринной
физики. Заметим, что аналогичные вопросы, связанные с отклонением
безмассовых частиц включая гравитоны, массивными телами подробно
рассмотрены в [6], в том числе, рассеяние фотонов гипотетическими телами
крайне малых размеров.
5
6
y
k
4
z
k
2
0
0
0.1
0.2
x
k
0.3
Рис. 1. Отклонение траектории безмассовой частицы в гравитационном поле массивного
тела с гравитационным радиусом rg. По оси ординат отложены: yk – угол отклонения (в
радианах), вычисленный по первой формуле (4) (жирная кривая); zk – угол отклонения,
вычисленный по приближенной формуле θ ≈ 2rg/ρ (тонкая прямая), справедливой для
малых углов [2]. По оси абсцисс отложена величина xk = rg/ρ. Неравномерность точек
связана с проблемами численного счета.
Рис. 2. Отклонение безмассовой частицы в гравитационном поле, создаваемом
сферической электромагнитной волной с rc =l(l+1)c/ω. По оси ординат отложены: yk –
угол отклонения (в радианах) вычисленный по второй формуле (4) (жирная кривая); v(zj) –
угол отклонения, вычисленный по интерполяционной формуле v(x) = -0.7 – 1.9ln(x0 – x), x0
= 0.739, описывающей спиральное рассеяние (тонкая кривая) [3]. По оси абсцисс
отложена величина xk = zj = rc/ρ.
Приближение геометрической оптики
Результаты
предыдущего
раздела
получены
в
приближении
геометрической оптики. В настоящем разделе это приближение исследуется
более подробно. Для этого рассмотрим уравнение для четырехмерного
волнового вектора ki = - ∂Ψ/∂xi, где Ψ – эйконал [2].
6
ki
i
kl
g ik k i k k
kkkl
0
(6)
0
Последнее уравнение в (6) – уравнение эйконала в гравитационном поле [2].
Параметр σ – это некоторый аффинный параметр, меняющийся вдоль луча,
определяемый с точностью до линейного преобразования [7]. Чтобы
определить его, используем условие касательности четырехвектора ki к
изотропной геодезиической, т.е. ki = dxi/dσ, что позволит записать d/dσ =
dxi/dσ·d/dxi. Используя это, а также отличные от нуля символы Кристоффеля
Гikl и необходимые компоненты метрического тензора gik (для рассеяния на
гравитационном поле электромагнитной волны (ЭМВ))
2
12
1
,
r
2
21
1
00
0
10
0
01
1
22
exp( ),
2
exp( ), g 11
g 00
2
1
11
,
2
,
r exp
exp(
(7)
)
rc
r
приведем уравнения для ki (6) к виду
dk 0
dr
1
1 dk
k
dr
rc o
k
r2
rc
k1
2
2r
dk 2
dr
2 2
k
r
2
k0
2
exp
2rc
r
2
k 2 r exp
rc
r
(8)
Последнее уравнение в (8) интегрируется и приводит к выражению для
k2 = g22k2 = -M/r2, M – момент импульса фотона, что означает сохранение k2 =
М. Интегрируя первое уравнение, получим k0 = g00k0 = const = ω/c, т.е.
условие постоянства ω. И наконец, интегрируя второе уравнение, получим
выражение для волнового числа k1 = k
2
ck
exp
Mc
rc
r
exp
rc
r
2
r2
const
(9)
7
ρ – прицельное расстояние. Постоянную интегрирования const найдем из
интеграла gilkikl = 0 (6), что дает const = 0.
Поведение волнового числа k
можно представить из графика рис. 3.
Рис. 3. Поведение exp(t/a) – t2, t = ρ/r, a = ρ/rc. По оси абсцисс отложено t, a = 1.5.
Вещественным значениям k соответствуют области положительных
значений графика. В точках пересечения графика с осью абсцисс (осью t ) t1,2
k = 0. Это точки отражения волны. Искомому волновому решению
соответствуют 0 < t < t1 (t1 < t2, большие прицельные расстояния). Область t1
< t < t2 соответствует подбарьерному распространению волны. Область t > t2
соответствует распространению волны в окрестности r = 0. При a = ρ/rc = e/2
≈ 1.359 t 1 = t2 обе области смыкаются.
Если в уравнениях (6) перейти от дифференцирования по аффинному
параметру σ к дифференцированию по координате x0 = ct в соответствии с
формулами d/dσ = k0d/dx0, ki= k0 dxi /dx0, то последние примут вид [8]:
d 2x
(dx 0 ) 2
nm
0
nm
dx dx n dx m
dx 0 dx 0 dx 0
0
(10)
Подставляя сюда выражения для Γαnm (7) приведем уравнения (6) к виду
1 rc
2
r
2
2r
 2 r  0
r
r
rc
r r exp( rc / r ) ( ) 2
2
r
1 rc
exp( 2rc / r )
2 r2
0
(11)
Точка означает дифференцирование по x0 = ct. Из второго уравнения находим
первый интеграл, соответствующий сохранению величины
8
M
r2 
const
Подставляя его в первое уравнение (11), приведем его к виду, удобному для
численного исследования
dt
dr
1 exp( rc / 2r )
c W (r ) V (r )
dW 2rc
exp( rc / 2r ) W ( r ) V (r )
dr
r2
V (r ) exp( rc / r ) M 2 / r 2
(12)
На рис. 4, 5 представлены результаты численного исследования (12) для
случая малых и больших величин M для граничных значений t(r = ∞) = 0,
W(r = ∞) = 2 – плоское пространство-время на бесконечности
а)
б)
Рис 4. Результаты численного анализа (12) для значения параметра М/rc = 5. Ось ординат:
а) V(z) (линия) и W(z) (точки), б) u(z) = ct/rc; ось абсцисс z = rc/r.
Рис. 5. Результаты численного анализа (12) для значения параметра М/rc =0. 5. То же, что
на рис. 1 а)
Анализ
результатов
показывает,
безразмерного прицельного параметра
что
для
больших
значений
M/rc луч достигает конечного
значения r0 при котором W(r0) = V(r0) за бесконечное время (на графике это
9
не заметно, но следует из первой формулы (12)). Это согласуется с
результатами [4]. Напротив, при малых значениях M/rc луч достигает сколь
угодно малых расстояний за конечное время.
Заключение.
В работе в приближении геометрической оптики исследовано
поведение безмассовых частиц в гравитационном поле, создаваемом либо
массивным телом, либо электромагнитной волной. Для случая массивного
тела этот вопрос уже исследовался (см. напр., [6]). Для электромагнитной
волны результаты являются новыми и помогут пролить свет на некоторые
вопросы
нейтринной
физики.
Принципиально
новым
является
доказательство того, что фотоны могут рассеиваться друг на друге в
классическом пределе6.
Результаты
позволяют решить вопрос о
том, каким образом
взаимодействие ЭМВ с гравитационным полем влияет на ее параметры:
длину волны и др. Кроме того, если учесть, что гравитационное поле геона –
сгустка электромагнитной энергии, локализованного за счет собственного
гравитационного притяжения [9], такое же как и распространяющейся
электромагнитной волны [10], то все результаты, приведенные в статье
применимы и к рассеянию волны на геоне. Учитывая также, что никаким
другим способом, кроме рассеяния геон себя не обнаруживает7, а также его
огромную массу (~ 1042 г [9]), естественно предположить, что геон имеет все
шансы выступить претендентом на роль носителя т.н. “скрытой массы”, при
условии, конечно, распространенности геонов во Вселенной.
Автор признателен А.В. Прозоркевичу за полезные замечания.
Литература.
1. С. Вейнберг. Гравитация и космология. Принципы и приложения
общей
теории
относительности/пер.
с
англ.
под
ред.
Я.А.
Смородинского. М.Мир: 1975.-696 с.
6
См. сноску на стр. 2 настоящей статьи.
Как показано в работе [10], геон не излучает. В отличие от результатов [10] согласно модели Уилера [9] у
геона есть “остаточное” излучение.
7
10
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука, 1967.-460 с
3. Р. Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц/пер. с англ. под ред. А.М
Бродского и В.В. Толмачева.-М.: Мир, 1969. -668 с.
4. Зайко Ю.Н. Точные решения уравнений Максвелла-Эйнштейна.
Известия Саратовского Университета, сер. Физика, 2010, Т. 1.- с.
5. Дж. Вебер. Гравитация и свет. В сб. Гравитация и относительность/ пер
с. англ. под ред. А.З. Петрова. М.: Мир, 1965, 544 с
6. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. В 3-х т. Т. 2/пер. с англ.
под ред. В.Б. Брагинского и И.Д. Новикова. М.: Мир, 1977.-525 с.
7. К. Мѐллер. Теория относительности/пер. с англ. под ред. Д.Д.
Иваненко.М.: Атомиздат, 1975 – 400 с.
8. М.М. Денисов, Н.В. Кравцов, И.В. Кривченков. Оптические эффекты
во вращающейся системе отсчета.-Письма в ЖЭТФ, Т. 85, № 8, с. 498500.-2007.
9. Дж. Уилер. Гравитация, нейтрино и Вселенная/пер. с англ. Н.В.
Мицкевича под ред. Д. Иваненко.- М.: ИЛ, 1962.- 403 с.
10. Зайко Ю.Н. Точные решения уравнений Максвелла-Эйнштейна II.
Известия Саратовского Университета, сер. Физика, 2011, Т. 1.- с.