Изучение Броуновского движения. Определение постоянной

Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Кафедра теоретической и экспериментальной физики
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан ЕНМФ
_________________ И.П. Чернов
« 14 »
мая
2002 г.
ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА
Методические указания к выполнению лабораторной работы
КомпТ – 02 по курсу «Общая физика» для студентов всех
специальностей
Томск – 2002
УДК 53.072:681.3
Изучение Броуновского движения. Определение постоянной Больцмана. Методические указания к выполнению лабораторной работы КомпТ - 02 по курсу
«Общая физика» для студентов всех специальностей. Томск, изд. ТПУ, 2002. –
10 с.
Составители:
доцент, к. ф.-м. н. Н.С. Кравченко
Рецензент:
доцент, к. ф.-м. н. А.В. Макиенко
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим
семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики.
« 14 »
мая
2002 г.
Зав. кафедрой
проф., д. ф.-м. н.
Ю.Л. Пивоваров
2
ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА
Цель работы: изучение броуновского движения и определение постоянной Больцмана по среднему пробегу броуновской частицы.
Под броуновским движением понимают хаотическое движение микроскопических частиц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием ударов молекул окружающей среды. Это явление впервые исследовано
английским ученым Робертом Броуном, который в 1827 г. наблюдал в микроскоп движение цветочной пыльцы, взвешенной в воде. Полная теория броуновского движения была дана в 1905-06 гг. А. Эйнштейном и польским физиком
М. Смолуховским.
Причина броуновского движения – тепловое движение молекул среды и
отсутствие точной компенсации ударов, испытываемых частицей со стороны
окружающих ее молекул. То есть броуновское движение обусловлено флуктуациями давления. Удары молекул среды приводят частицу в беспорядочное
движение: скорость ее быстро меняется по величине и направлению. Броуновское движение – наиболее наглядное экспериментальное подтверждение представлений молекулярно-кинетической теории о хаотическом тепловом движении атомов и молекул.
По законам статистической физики флуктуации давления, которые являются причиной броуновского движения частицы, обратно пропорциональны
корню квадратному из числа молекул, сталкивающихся с частицей. Чем больше
размер частицы, тем большее число молекул окружающей среды могут столкнуться с ней и, следовательно, тем меньше флуктуации давления, испытываемые частицей. Поэтому, если частица большая (макроскопическая), с ней сталкивается одновременно большое число молекул, то флуктуации давления очень
малы и такая частица не придет в движение. Если частица имеет микроскопические размеры ( 1мкм), число столкновений будет невелико, а флуктуации
давления станут значительными, то частица придет в движение. Такую частицу
называют броуновской.
Хотя броуновская частица движется в результате хаотических столкновений с молекулами среды и невозможно точно определить ее траекторию, статистические методы позволяют определить среднее квадратичное отклонение
частицы от начального положения как функцию времени.
Y
Рассмотрим смещение броуновской частицы
r1
относительно точки О, выбранной за начало отсчета.
Совместим точку О в начальный момент времени с
началом координат и рассмотрим движение броуновской частицы в плоскости XY. Положение частицы О
X
будем фиксировать через равные интервалы времени
Рис. 1.
t . Хотя за время t частица движется по сложной
3
ломаной траектории, несколько раз меняя направление скорости, ее смещение

из точки О за время t описывается радиус-вектором r1 (рис. 1).
Пусть за промежуток времени t  nt с интервалом t зафиксировано
n последовательных
смещений броуновской частицы, описываемых радиус 
векторами r1 , r2 , … rn соответственно (рис 2). Результирующее смещение броуновской частицы за Y
r2
промежуток
 времени t описывается радиусвектором r
r1
n 
  

r  r1  r2  ...  rn   ri .
r
(1)
i 1
Так как все направления движения частицы О
равновероятны, то величиной, характеризующей
движение броуновской частицы, является не радиус-вектор, а его квадрат
Рис. 2.
rn
X
n n  
n
n  
 
2
r  (r  r )    (ri  r j )   ri   (ri  r j ) .
2
i 1 j 1
i 1
i, j
i j
Проведя ряд независимых экспериментов, получим различные значения
квадрата смещения броуновской частицы за время t . Найдем среднее значение
квадрата смещения
n
 r   
2
i 1
ri2
n
 
    (ri  r j ) 
(2)
i, j
i j
Все смещения броуновской частицы за одинаковые интервалы времени
t равновероятны. Поэтому все средние смещения частицы  ri2  за время
t одинаковы
 r12  r22  r32  ...  rn2  const
т.е.
 ri2  k 2 ,
2
где k зависит от условий эксперимента.
А среднее значение скалярного произведения неодинаковых векторов
 
смещения  (ri  r j )  обращается в ноль из-за равноправия всех направлений
смещения
 
 (ri  r j )  ri r j cos ij  ri  r j  cos ij  ri  r j  0  0
i j
Таким образом, средний квадрат смещения частицы за время t
 r 2  k 2 n ,
4
(3)
где n 
t
– число измерений за время движения частицы t , а t – промежуt
ток времени между измерениями. Тогда
 r 2  k 2
k2
где  
.
t
t
 t ,
t
(4)
2
Или
(5)
 r  t
Таким образом, величина среднего квадрата смещения броуновской частицы пропорциональна времени наблюдения t .
Для того, чтобы определить коэффициент пропорциональности  , рассмотрим силы, действующие на частицу.
Движение происходит в горизонтальной плоскости XY, поэтому влиянием
силы тяжести можно пренебречь. Со стороны среды на частицу
 действуют сила

вязкого трения (сила Стокса) пропорциональная скорости Fсопр  bv (коэф-
фициент пропорциональности b зависит от размеров и формы частиц и свойств
вязкой среды). Кроме того, действует результирующая сила F ударов молекул
о частицу с разных сторон. Эта сила (сила Ланжевена) носит случайный характер. Уравнение движения частицы можно записать
в виде:



ma  F  bv ,
или в проекции на ось X
mx  Fx  bx
mx   Fx  bx 
Умножим обе части этого уравнения на x
mx  x  Fx  x  bx  x 
Принимая во внимание, что

 x2 
x  x       x 2 ;
 2 
 

 x2 
x  x    ,
 2 
 
(6)
(7)
(8)
уравнение (7) примет вид

2 
 x2 

x
m   m x 2  Fx x  b  .
 2 
 2 
 
 
(9)
Чтобы получить уравнение не для случайных величин, а для их средних
значений, усредним уравнение (9), учитывая, что среднее значение производной равно производной среднего значения. Тогда
5
x2
m
2

 m x
2
x2
 Fx x  b
2

.
(10)
Координата x частицы и соответствующая проекция силы Ланжевене Fx
являются случайными и не зависящими друг от друга величинами. Поэтому
 Fx x  0 .
Зная, что x   v x , получим
mv x2
где
2
m x
2
mv x2
,
2
2
– средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы. Из за-
кона о равномерном распределении энергии по степеням свободы
mv x2
1
 kT .
2
2
Тогда уравнение (10) примет вид
x2
m
2
которое имеет решение в виде
x2
2

x2
 kT  b
2

,

bt
kT
 Const  e m .
(11)
b
Для больших интервалов времени наблюдения t второе слагаемое обра-

щается в ноль. Отбрасывая в (11) второе слагаемое, получим
 x 2 
2kT
t.
b
(12)
Полученное уравнение называют формулой Эйнштейна-Смолуховского.
Она позволила Ж. Перрену экспериментально определить постоянную Больцмана и число Авогадро.
При движении в горизонтальной плоскости XY квадрат отклонения частицы от начала координат r
2
 x 2  y 2 , то
 r 2  x 2    y 2  2  x 2  ,
2
2
так как все направления движения частицы равноправны и  x  y  .
Тогда величина среднего значение квадрата смещения броуновской частицы пропорциональна времени
 r 2 
6
4kT
t
b
(13)
с коэффициентом пропорциональности

4kT
,
b
(14)
где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, b – коэффициент
вязкого трения.
Коэффициент вязкого трения по закону Стокса для частицы шарообраз-
d
, где  – коэффициент вязкости жидкости или
2
газа, в котором движется частица, d – диаметр частицы. Тогда среднее значение квадрата отклонения частицы от начального положения через время t
ной формы имеет вид b  6
 r 2 
Использовав зависимости  r
Больцмана.
2
4kT 2
4kT
t
t.
6d
3d
(15)
 f (t ) , можно определить постоянную
Порядок выполнения работы
В этой работе моделируется движение броуновской частицы на экране
компьютера. При нажатии кнопки «Сброс» частица устанавливается в начало
координат, а при нажатии кнопки «Пуск» она начинает хаотически двигаться.
Время движения частицы можно установить в окне «Выдержка». Можно остановить частицу вручную, нажимая кнопку «Стоп». Для контроля времени на
экране имеется секундомер. Температура и коэффициент сопротивления должны быть предварительно введены в соответствующие окна. Коэффициент сопротивления нужно предварительно рассчитать, зная вязкость жидкости. Диаметр частицы постоянен и равен половине микрона (0,5 мкм).
1.
2.
3.
4.
5.
Выбрать жидкость и ввести температуру.
Проделать опыт 20 раз при выдержке 20 секунд. Убедитесь, что установлена выдержка 20 секунд, и нажмите кнопку «Пуск». При этом расположенная в начале координат броуновская частица начнет хаотически двигаться в течение указанного времени, а затем остановится. В соответствующем окне появятся ее конечные координаты и квадрат отклонения частицы от начального положения. Запишите полученный квадрат отклонения. Для следующего опыта нажмите кнопку «Пуск». Опыт следует повторить 20 раз.
Проделать опыт при других значениях выдержки. Рекомендуется провести
опыт при значениях выдержки 5, 10 и 15 секунд. При каждой выдержке
проделайте 20 измерений.
Вычислить средний квадрат отклонения частицы для каждой серии.
Построить график зависимости квадрата отклонения частицы от времени
выдержки. Эта зависимость должна быть линейной. график следует про7
6.
7.
вести так, чтобы точки в среднем были на наименьшем расстоянии от проведенной линии.
Определить постоянную Больцмана. Определить тангенс угла наклона
графика зависимости квадрата отклонения от времени и вычислите постоянную
Больцмана,
воспользовавшись
формулой
ЭйнштейнаСмолуховского.
Выполнить описанную выше последовательность действий при других начальных условиях. Для этого нажмите кнопку «Изменить начальные условия» и по указанию преподавателя выберите новую жидкость и введите
нужную температуру. После этого нажмите кнопку «Условия заданы».
РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕНЕНИЙ
Таблица 1
Жидкость:
Вязкость

Квадрат отклонения частицы
от начального положения
№
Коэффициент
вязкого трения
b
Температура
T
Диаметр частицы d  0,5 мкм
Выдержка: 5 с
Выдержка: 10 с Выдержка: 15 с
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
 r2 
Постоянная Больцмана k 
8
Выдержка: 20 с
Таблица 2
Жидкость:
Вязкость

Квадрат отклонения частицы
от начального положения
№
Коэффициент
вязкого трения
b
Температура
T
Диаметр частицы d  0,5 мкм
Выдержка: 5 с
Выдержка: 10 с Выдержка: 15 с
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
 r2 
Постоянная Больцмана k 
9
Выдержка: 20 с
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Участвует ли макроскопическое тело, помещенное в сосуд с газом, в тепловом движении?
В воздухе находятся шарообразные броуновские частицы. Что больше:
средняя энергия молекулы воздуха или средняя энергия броуновской частицы?
Как зависит от времени среднее значение квадрата пробега броуновской
частицы от времени?
Каков смысл силы Ланжевена?
Какие еще силы действуют на броуновскую частицу?
Получить формулу Эйнштейна-Смолуховского.
Опишите ход работы.
ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА
Методические указания
Составители: Надежда Степановна Кравченко
Подписано к печати ___ . ___ . 2001.
Формат 6084/16. Бумага писчая
Плоская печать. Усл. печ. л.
Уч.-изд. л.
Тираж
экз. Заказ
. Цена
ИПФ ТПУ. Лицензия ЛТ № 1 от 18.07.94.
Ротапринт ТПУ. 634034, Томск, пр. Ленина, 30.
10