Доклады Национальной Академии Наук Беларуси. 45 (2001), N2, 21–23. Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi, 45 (2001), no. 2, 21-23 В.В.БЕРЕСНЕВИЧ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ВБЛИЗИ ПАРАБОЛЫ (Представлено академиком Н. А. Изобовым) Интерес к распределению рациональных точек вблизи различных кривых восходит еще к Гауссу, который при изучении количества представлений данного натурального числа суммами квадратов двух натуральных чисел рассматривал проблему подсчета числа целых точек вблизи окружности. Эффективные теоремы о числе и распределении рациональных точек вблизи кривых играют важную роль в получении оценок размерности Хаусдорфа множеств, определяемых диофантовыми неравенствами при совместных приближениях [1, 2]. К настоящему времени получены точные оценки сверху числа рациональных точек вблизи плоских кривых из достаточно общего класса [3, с. 80]. Однако, известные нижние оценки для кривых из этого же класса значительно отличаются от верхних [4]. В настоящей работе мы впервые даем точные нижние оценки числа рациональных точек, рассматривая параболу. Пусть кривая Γ {( x, f ( x)) : x ( a, b)} заданна дважды непрерывно дифференцируемой функцией f : (a, b) R такой, что c 1 f ( x) c для всех x (a, b) , где (a, b) — интервал, c 0 — постоянная. Пусть v 0 , Q N и N Γ (Q) обозначает число рациональных точек p / q Q 2 , где p1 , p 2 , q Z , 0 q Q , таких, что p1 / q (a, b) и выполнено неравенство | f ( p1 / q) p2 / q | Q v1 . (1) Число N Γ (Q) является нижней оценкой (а будучи домноженным на некоторую постоянную и верхней оценкой) числа рациональных точек с ограниченными знаменателями, находящимися на расстоянии не больше Q v1 от Γ . Центральной рассматриваемой проблемой является оценка величины N Γ (Q) при постоянных Γ , v и растущем Q . Довольно интересным является тот факт, что в рассматриваемой проблеме величина N Γ (Q) может зависеть от арифметических свойств кривой Γ и величины показателя v . При сравнительно малых v 0 подсчет величины N Γ (Q) производится через вычисления площадей соответствующих окрестностей кривой. Однако при больших v такие аргументы неприменимы в силу малости этих площадей. В приложениях к совместным диофантовым приближениям представляет интерес, в частности, случай, когда v 1 / 2 [2]. Выбор кривой оказывает влияние на распределение точек вблизи кривых как правило при сравнительно больших v . В некоторых частных случаях распределение рациональных точек в малых окрестностях кривых опирается на весьма глубокие факты такие, как большая теорема Ферма [2, с. 94]. М. Хаксли [3, с. 80] доказал, что, если 0 v 1 , то при любом ε 0 для всех достаточно больших Q верно неравенство N Γ (Q ) Q 2v ε . (2) Используя эффективные оценки для меры множества точек на Γ , линейно аппроксимируемых с заданной погрешностью и принцип переноса Хинчина, В. Берник [4] показал, что при всех достаточно больших Q верно неравенство Q 2v , 0 v 1 / 3, N Γ (Q ) C1 Q 3 / 2 , 1 / 3 v 1 / 2, Q 33v , 1 / 2 v 1, 1 (3) где C1 0 — постоянная. Эта оценка является наилучшей возможной по показателю только при 0 v 1 / 3 , но справедлива для всех кривых Γ . Теорема. Пусть 0 v 1 и (a, b) — интервал. Пусть Pa ,b {( x, x 2 ) : a x b} — отрезок параболы. Тогда существует постоянная C 2 0 такая, что N Pa ,b (Q ) C 2 Q 2v для всех достаточно больших Q . Заметим, что показатель 2 v в оценке в теореме 1 является наилучшим возможным. Совместно с (2) теорема 1 дает Следствие. Пусть 0 v 1 , (a, b) — интервал. Тогда для любого ε 0 при всех достаточно больших Q верна двусторонняя оценка C 2 N Pa ,b (Q ) / Q 2v Q ε . Заметим, что при v 1 все рациональные точки с условием (1) лежат непосредственно на параболе, что позволяет дать следующую оценку: C3Q N Γ (Q) C 4 Q , где C 3, C 4 — положительные постоянные. При доказательстве теоремы 1 используется вытекающая из теоремы 1.4 в [5] оценка меры | B (v, δ, Q ) | C5 δ1/ 9 , (4) справедливая для всех 0 v 1 , δ δ1 и Q 1 , где δ1 , C 5 — положительные постоянные, B (v, δ, Q ) обозначает множество чисел x (a, b) таких, что существуют целые числа r1 , r2 , s , удовлетворяющие неравенствам | sx 2 2r1 x r2 | δQ v / 4 , | 2 sx 2r1 | 8Q 1v / δ , 0 s δQ , В частности, из (4) вытекает, что найдется δ 0 0 такое, что при всех Q 1 верна следующая оценка меры: | B (v, δ 0 , Q ) | (b a ) / 2 . Пусть x (a, b) \ B(v, δ 0 , Q ) . Тогда, по теореме Минковского о линейных формах система неравенств | qx 2 2 p1 x p 2 | δ 0 Q v / 4 , | 2qx 2 p1 | 8Q 1v / δ 0 , 0 q Q , (5) имеет решение в целых числах p1 , p 2 , q , зависящее от x . Поскольку x B (v, δ 0 , Q ) , то q δ 0Q . (6) Далее показывается, что выполнено неравенство (1). Это очевидно, если p12 qp 2 0 , поскольку в этом случае точка ( p1 / q, p 2 / q) лежит на параболе. Поэтому в дальнейшем предполагается, что p12 qp 2 0 . В этом случае многочлен P ( x) qx 2 2 p1 x p 2 имеет два различных корня α ( p1 u | p12 qp 2 | ) / q , где u 1 если p12 qp 2 0 и u i если p12 qp 2 0 . Из второго неравенства (5) вытекает, что | x p1 / q | 1 /(2q) при достаточно больших Q . Тогда | x α || x p1 / q u | p12 qp2 | / q || u | p12 qp 2 | / q | | x p1 / q | | p12 qp 2 | / q 1 /( 2q) | p12 qp 2 | /( 2q) . Используя первое неравенство (5), получаем 2 2 δ 0 Q v / 4 | P ( x) | q | x α | | x α | q | p12 qp 2 | /( 2q) | p12 qp 2 | /( 4q) . Отсюда вытекает неравенство | ( p1 / q) 2 p 2 / q | δ 0 Q v q 1 δ 0 Q v (δ 0 Q ) 1 Q 1v , означающее (1). Кроме того, из второго неравенства (5) следует, что оценка | x p1 / q | 4Q 1v (δ 0 q ) 1 4Q 1v (δ 02 Q ) 1 4δ 02 Q 2v . (7) Выберем максимальный набор точек ( p1,1 , p 2,1 ) / q1 ,…, ( p1,t , p 2,t ) / qt , удовлетворяющих неравенствам (1), (7) и q Q и таких, что | p1,i / qi p1, j / q j | 4δ 02 Q 2v при 1 i j t . По построению, (a, b) \ B(v, δ 0 , Q) ti 1{x R :| x p1,i / qi | 8δ 02Q 2v } . Переходя к соответствующим неравенствам для мер, находим (b a ) / 2 | (a, b) \ B (v, δ 0 , Q ) | 16δ 02 Q 2v t , откуда получаем t Q 2v (b a)δ 02 / 32 . Отбросив при необходимости крайние точки из выбранного набора, которые возможно не принадлежат (a, b) , получим ту же, что и для t , оценку числа N Pa ,b (Q ) с незначительно меньшей постоянной, что завершает доказательство теоремы. Заметим, что при доказательстве теоремы мы получили не только нижнюю оценку для числа рациональных точек вблизи параболы, но и показали, что эти точки распределены равномерно, как этого требует определение регулярной системы [6]. В нашем случае в качестве точек регулярной системы можно взять рациональные числа p1 / q , удовлетворяющие (1) при некотором p 2 Z , и нормировочную функцию определить как N ( p1 / q ) q 2v . Полезным следствием данного результата является то, что, используя лемму Бейкера—Шмидта [6], можно получить точную нижнюю оценку размерности Хаусдорфа совместно аппроксимируемых точек параболы. Кроме того, применяя оценку Хаксли (3), несложно найти и точную верхнюю оценку для размерности Хаусдорфа этого множества. В результате можно получить, что размерность Хаусдорфа множества S v (P ) равна (2 v) /(1 v) , где множество S v (P ) состоит из точек параболы ( x, x 2 ) , для которых неравенство max{| qx p1 |, | qx 2 p 2 |} q v имеет бесконечное число целочисленных решений p1 , p 2 , q . Работа выполнена в Институте математики НАН Беларуси в рамках Государственной программы фундаментальных исследований «Математические структуры». Let Pa ,b Summary {( x, x ) : a x b} be an arc of the parabola, 0 v 1 and N Pa ,b (Q ) denotes the num2 ber of rational points p / q , where p Z 2 , q Z , 0 q Q , such that dist( Pa,b , p / q ) Q v 1 . The best possible lower bound for N Pa ,b (Q ) is obtained, i.e. there is a constant C 0 such that N Pa ,b (Q ) CQ 2v for all sufficiently large Q . Литература Сприндж ук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М., 1977. Berni k V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine approximation on manifolds. CUP, 1999. Huxley M. Area, lattice points and exponential sums. Oxford, 1996. Berni k V. // The conference on Diophantine approximation. Oberwolfach. 2000. Abstracts. P. 3. Berni k V., Kleinbock D., Margulis G. // Khintchine-Type Theorems on Manifolds: Convergence Case for Standard and Multiplicative Versions. Preprint 99—092. Universitat Bielefeld. 6. Baker A., Schmidt W.M.// Proc. Lond. Math. Soc. 1970. Vol. 21. P. 1—11. 1. 2. 3. 4. 5. 3