Решение задачи о дифракции упругих волн на цилиндре в

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 38–43
Механика
УДК 539.3
Решение задачи о дифракции упругих волн
на цилиндре в вязкой среде
В. В. Алексеева, В. И. Желтков
Аннотация. Исследование посвящено изучению процесса дифракции звука, распространяющегося в вязкой сжимаемой жидкости на поверхности упругого однородного деформируемого цилиндра. Получено аналитическое решение, позволяющее определить
давление в вязкой среде в падающей и отраженной волнах.
Ключевые слова: Рассеяние упругих волн, волновое уравнение,
гармоническая волна, уравнение Гельмгольца.
Пусть на бесконечно длинный упругий цилиндр радиусом r = a, который
помещен в неограниченную вязкую среду, воздействует плоская гармоническая волна единичной амплитуды, фронт которой перпендикулярен оси oz
цилиндра
ϕi = eik1 x e−iωt = eik1 r cos θ e−iωt ,
(1)
где r, θ — цилиндрические координаты; ω — круговая частота; t — время.
В дальнейшем экспоненциальный множитель e−iωt будем опускать.
Задача определения дифракционной картины приводит к решению уравнений Гельмгольца
Vr =
∂ϕ
1 ∂Φ
+
,
∂r
r ∂θ
Vθ =
1 ∂ϕ
∂Φ
−
r ∂θ
∂r
и
∂2Ψ
1 ∂2Ψ
1 ∂2ψ
1 ∂Ψ
∂2ψ
1 ∂ψ
2
+
+
+
+
k
Ψ
=
0,
+
+ k32 ψ = 0,
4
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
где k4 = kτ , k3 = kl и ϕ = ϕi + ϕs — скалярный потенциал продольных волн
в жидкости, складывающийся из потенциала ϕi продольных падающих волн
и потенциала ϕs продольных отраженных волн, Φ — скалярный потенциал
поперечных (сдвиговых) волн в жидкости, ψ и Ψ — соответственно скалярные потенциалы продольных и поперечных волн в упругом цилиндре.
На поверхности цилиндра при r = a должны выполняться граничные
условия
prr = −σrr , Vr = −iωUr ,
(2)
prθ = σrθ ,
Vθ = −iωUθ ,
Решение задачи о дифракции упругих волн на цилиндре в вязкой среде
39
где Vr , Vθ — нормальная и касательная скорости частиц жидкости; Ur , Uθ —
нормальное и окружное смещения упругой среды; prr , prθ — нормальная и
касательная компоненты тензора напряжений в жидкости; σrr , σrθ — нормальная и касательная компоненты тензора напряжений в цилиндре.
На бесконечности должны выполняться условия излучения для потенциалов отраженных волн
µ
¶
µ ¶
µ ¶
∂ϕs
1
1
r
=0
(3)
+ ik1 ϕs
, (ϕs )r→∞ = 0
.
∂n
r
r
r→∞
Решение задачи ищем в форме рядов. Для этого разложим функцию ϕi ,
соответствующую падающей плоской волне, в ряд Фурье:
ϕi = eik1 r cos θ =
∞
X
Jn (k1 r)einθ .
(4)
n=−∞
Потенциал скорости отраженной волны представим в виде суперпозиции
цилиндрических волн, исходящих из точек оси цилиндра:
ϕs =
∞
X
An Hn(1) (k1 r) einθ .
(5)
n=−∞
Потенциал общего поля определяется суммой потенциалов падающих и
отраженных волн
∞ ³
´
X
Jn (k1 r) + An Hn(1) (k1 r) einθ .
ϕ = ϕi + ϕs =
(6)
n=−∞
Потенциал поперечных волн в жидкости
Φ=
∞
X
Bn Hn(1) (k2 r)einθ .
(7)
n=−∞
Потенциалы продольных и поперечных (сдвиговых) волн в упругом цилиндре имеют вид
∞
X
ψ=
Cn Hn(1) (k3 r) einθ ,
(8)
n=−∞
Ψ=
∞
X
Dn Hn(1) (k4 r) einθ .
(9)
n=−∞
Радиальные и окружные скорости частиц жидкости связаны с продольным и сдвиговым потенциалами соотношениями
2 ϕ = 0,
∆ϕ + k11
∆Φ + k22 Φ = 0,
40
В. В. Алексеева, В. И. Желтков
где волновые числа
k11
v
u
0
u 1 + ik1 λ0ρ+2µ
0 c0
u
= k1 t
´2 ,
³
0
1 + k12 λ0ρ+2µ
0 c0
r
k2
i
ω
,
ν0
k1 =
ω
.
с0
Тогда
³ ³
´
´
˙n (k1 r) + An Ḣn(1) (k1 r) + in Bn Hn(1) (k2 r) einθ ,
J
k
1
n=−∞
r
³ ³
´
´
P∞
(1)
(1)
Vθ = n=−∞ in
J
(k
r)
+
A
H
(k
r)
−
k
B
Ḣ
(k
r)
einθ .
n
n
n
1
n
1
2 n
2
r
Vr =
P∞
(10)
Перемещения упругого цилиндра связаны со скалярным потенциалом ψ
и единственной ненулевой компонентой Ψ векторного потенциала соотношением
∂ψ
1 ∂Ψ
1 ∂ψ
∂Ψ
Ur =
+
; Uθ =
−
.
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂r
Тогда
µ
¶
in
(1)
(1)
Ur = n=−∞ k3 Cn Ḣn (k3 r) + Dn Hn (k4 r) einθ ,
r
µ
¶
P∞
in
(1)
(1)
Uθ = n=−∞
Cn Hn (k3 r) − k4 Dn Ḣn (k4 r) einθ .
r
P∞
(11)
Радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений в вязкой
жидкости определяются соотношениями
µ
¶
∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂2ϕ
1 ∂Φ
1 ∂2Φ
prr = ρ0
− 2µ0
+ 2
+
−
,
∂t
r ∂r
r ∂θ2
r2 ∂θ
r ∂r∂θ
µ
¶
1 ∂2ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂Φ
1 ∂2Φ
1 ∂Φ
prθ = 2µ0
− 2
+
+ 2
.
−
r ∂r∂θ
r ∂θ
r ∂r
r ∂θ2
2ν0 ∂t
Тогда
¶
¶
∞ µµ
X
n2
k1 ˙
2
2
prr =
iωρ0 − λ0 k1 − 2µ0 k1 + 2µ0 2 Jn (k1 r) − 2µ0 Jn (k1 r) einθ +
r
r
n=−∞
¶
¶
∞ µµ
X
k1
n2
+
iωρ0 −λ0 k12 −2µ0 k12 +2µ0 2 Hn(1) (k1 r)−2µ0 Ḣn(1) (k1 r) An einθ +
r
r
n=−∞
¶
∞ µ
X
in (1)
in
(1)
k2 Ḣn (k2 r) − 2 Hn (k2 r) Bn einθ ;
+ 2µ0
r
r
n=−∞
Решение задачи о дифракции упругих волн на цилиндре в вязкой среде
¶
∞ µ
X
ni ˙
ni
prθ = 2µ0
k1 Jn (k1 r) − 2 Jn (k1 r) einθ +
r
r
n=−∞
¶
∞ µ
X
ni
ni
+ 2µ0
k1 Ḣn(1) (k1 r) − 2 Hn(1) (k1 r) An einθ +
r
r
n=−∞
¶
∞ µ 2
X
k2 (1)
k2 (1)
n2 (1)
+ 2µ0
Ḣn (k2 r) Bn einθ .
Hn (k1 r) − 2 Hn (k2 r) +
2
r
r
n=−∞
41
(12)
Радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений в упругом цилиндре определяются соотношениями
−
σrr
λ + 2µ 2
1 ∂ψ
1 ∂2ψ
1 ∂2Ψ
1 ∂Ψ
=
k3 ψ +
+ 2
−
+ 2
,
2
2µ
2µ
r ∂θ
r ∂θ
r ∂r∂θ
r ∂θ
σθθ
λ
1 ∂2ψ
1 ∂Ψ
1 ∂2Ψ
1 ∂ψ
= − k32 ψ + 2
+
−
,
+
2µ
2µ
r ∂θ2
r ∂r
r2 ∂θ
r ∂r∂θ
1
1 ∂Ψ
1 ∂2Ψ
1 ∂2ψ
σrθ
1 ∂ψ
= k42 Ψ +
+ 2
+
.
−
2µ
2
r ∂r
r ∂θ2
r2 ∂θ
r ∂r∂θ
Тогда
σrr
+∞ µ
X
λ + 2µ
¶
k3 (1)
n2 (1)
= −2µ
+
Ḣn (k3 r) − 2 Hn (k3 r) Cn einθ −
2µ
r
r
−∞
¶
+∞ µ
X
in
in
k4 Ḣn(1) (k4 r) − 2 Hn(1) (k4 r) Dn einθ ,
− 2µ
r
r
−∞
σrθ = 2µ
+∞ µ 2
X
k
k32 Hn(1) (k3 r)
¶
k4 (1)
n2
Ḣn (k4 r) − 2 Hn(1) (k4 r) Dn einθ −
2
r
r
−∞
¶
+∞ µ
X
in (1)
in
(1)
− 2µ
H (k3 r) − k3 Ḣn (k3 r) Cn einθ .
2 n
r
r
−∞
4
Hn(1) (k4 r) +
(13)
Удовлетворяя граничным условиям на поверхности цилиндра (2), получим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных An , Bn ,
Cn , Dn :
ak1 An + ak2 Bn + ak3 Cn + ak4 Dn = bk , k = 1, 2, 3, 4,
(14)
где
a11 = k1 aḢn(1) (k1 a) ,
a14 = −ωnHn(1) (k4 a) ,
a12 = inHn(1) (k2 a) ,
a21 = inHn(1) (k1 a) ,
a13 = iωak3 Ḣn(1) (k3 a) ,
a22 = −k2 aḢn(1) (k2 a) ,
a23 = −ωnHn(1) (k3 a) , a24 = −iωak4 Ḣn(1) (k4 a) ,
¡
¢
a31 = iωρ0 a2 + 2µ0 n2 Hn(1) (k1 a) − 2µ0 k1 aḢn(1) (k1 a) ,
42
В. В. Алексеева, В. И. Желтков
³
´
³
´
a32 = 2µ0 ink2 aḢn(1) (k2 a)−inHn(1) (k2 a) = 2µ0 in k2 aḢn(1) (k2 a)−Hn(1) (k2 a) ,
µ
¶
λ + 2µ 2 2 (1)
(1)
2 (1)
a33 = 2µ
k3 a Hn (k3 a) + k3 aḢn (k3 a) − n Hn (k3 a) ,
(15)
2µ
³
´
a34 = −2µin k4 aḢn(1) (k4 a) − Hn(1) (k4 a) ,
³
´
³
´
a41 = 2µ0 nik1 aḢn(1) (k1 a)−niHn(1) (k1 a) = 2µ0 ni k1 aḢn(1) (k1 a)−Hn(1) (k1 a) ,
µ 2 2
¶
k2 a
(1)
2 (1)
(1)
a42 = 2µ0
Hn (k2 a) − n Hn (k2 a) + k2 aḢn (k2 a) ,
2
³
´
a43 = 2µin Hn(1) (k3 a) − k3 aḢn(1) (k3 a) ,
µ 2 2
¶
k4 a
(1)
(1)
2 (1)
a44 = −µ
Hn (k4 a) + k4 aḢn (k4 a) − n Hn (k4 a) ,
2
b1 = −k1 aJ˙n (k1 a) , b2 = −inJn (k1 a) ,
¡
¢
b3 = iωρ0 a2 − 2µ0 n2 Jn (k1 a) + 2µ0 k1 aJ˙n (k1 a) ,
¡
¢
b4 = 2µ0 ni Jn (k1 a) − k1 aJ˙n (k1 a) .
Решение системы (14) позволяет определить давление в вязкой среде как
суперпозицию давлений в падающей волне pi и в отраженной волне ps :
p = pi + ps ,
(16)
где в соответствии с формулой
¡
¢
p = iωρ0 − (λ0 + 2µ0 ) k12 ϕ
и решениями (4) и (5)
∞
¡
¢ X
pi = iωρ0 − (λ0 + 2µ0 ) k12
Jn (k1 r) einθ ,
(17)
n=−∞
∞
¢ X
2
¡
ps = iωρ0 − (λ0 + 2µ0 ) k1
An Hn(1) (k1 r) einθ .
(18)
n=−∞
Список литературы
1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова
думка, 1978. 308 с.
2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2. Закономерности распространения. Киев: Наукова думка, 1986. 536 с.
3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука,
1977. 228 с.
4. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
Решение задачи о дифракции упругих волн на цилиндре в вязкой среде
43
5. Ландау Л.Д., Лившиц Е.Н. Теоретическая физика. Т. IV. Гидродинамика. М.:
Физматлит, 2001. 736 с.
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.
7. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. Общий курс. М.: Наука, 1964. 816 с.
Желтков Владимир Иванович (glob@tula.net), д. ф.-м. н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Алексеева Виктория Валериевна (vickochcka@gmail.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Solving the diffraction of elastic waves on the cylinder
in a viscous medium
V. V. Alekseeva, V. I. Zheltkov
Abstract. The investigation is devoted to study the diffraction of sound
propagating in a compressible viscous fluid on the surface of a homogeneous
elastic deformable cylinder. Analytic solution which permits to find the pressure
in a viscous medium in the incident and reflected waves is obtained.
Keywords: scattering of elastic waves, wave equation, harmonic wave,
Helmholtz equation.
Zheltkov Vladimir (glob@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Alekseeva Victoria (vickochcka@gmail.com), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 25.03.2010