ВОЛНЫ В КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ

ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 50 – 56
УДК 532.595
ВОЛНЫ В КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ
ДЕФОРМИРОВАНИЕМ ВНУТРЕННЕЙ СТЕНКИ
Т. С. К Р А С Н О П О Л Ь С К А Я∗,
Н. П. П О Д Ч А С О В∗∗
∗
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Международный научно-учебный центр ЮНЕСКО
информационных технологий и систем НАН Украины, Киев
∗∗
Получено 15.09.05
Рассматривается процесс волнообразования на свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в кольцевом канале конечной глубины, образованном коаксиальными внешним жестким цилиндром и внутренней упругой оболочкой. Возбуждение жидкой среды индуцируется радиальным прогибом оболочки, который,
по предположению, отличен от нуля лишь в малой области, окружающей место контакта оболочки с роликом кулачкового механизма. Ролик равномерно вращается вокруг продольной оси цилиндра. Установлено, что рельеф
свободной поверхности жидкости представляет суперпозицию двух типов бегущих в окружном направлении волн –
вынужденной, локализованной в зоне, прилегающей к области деформирования внутренней стенки канала, и сопровождающих, которые охватывают всю поверхность. Получены выражения, описывающие зависимость амплитуд
этих волн и поля скоростей жидкости от физических и кинематических характеристик системы.
Розглядається процес хвилетворення на вiльнiй поверхнi iдеальної нестисливої рiдини, що знаходиться в кiльцевому каналi скiнченої глибини, утвореним коаксiальними зовнiшнiм жорстким цилiндром та внутрiшньою пружною
оболонкою. Збудження рiдинного середовища iндуцiюється радiальним прогином оболонки, який, за припущенням,
вiдмiнний вiд нуля лише в невеликiй областi, що оточує мiсце контакту оболонки з роликом кулачкового механiзму.
Ролик рiвномiрно обертається навколо повздовжньої вiсi цилiндра. Встановлено, що рель’ф вiльної границi рiдини
являє суперпозицiю двох типiв хвиль, що бiжуть в коловому напрямку – змушеної, локалiзованої в зонi, прилеглої
до областi деформування внутрiшньої стiнки, та супроводжуючих, якi охоплюють всю поверхню каналу. Одержано вирази, що описують залежнiсть амплiтуд цих хвиль i поля швидкостей рiдини вiд фiзичних та кiнематичних
характеристик системи.
Process of wave excitation on the free fluid surface is considered for the case of ideal incompressible fluid in an annular
channel with a rigid outer and an elastic inner cylinders. Excitation is induced by a radial bending of the inner shell and
is essential in a small region near the contact with cam-and level mechanism. The cam is rotating around the axis of the
cylinders. It is shown that relief of the free surface can be presented as superposition of two types of waves running in
circular direction: forced, localized near the contact with the cam, and satellite ones, which penetrate everywhere on the
surface. Analytical expressions for amplitudes of these waves and velocity field are obtained.
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что колеблющиеся и движущиеся тела, погруженные в жидкость, могут генерировать различные типы волновых структур на
свободной поверхности жидкости. Примером может служить формирование волн, впервые обнаруженных Фарадеем в 1831 г. [10]. В своих блестящих экспериментах Фарадей наблюдал возникновение параметрических волн в контейнере при его
вертикальных вибрациях, а также крестовидных
волн на поверхности жидкости перпендикулярно к
направлению горизонтальных колебаний пластины, погруженной в жидкость. Крестовидные волны имеют гребни, перпендикулярные к волнопродуктору (отсюда их название), а их частота равна половине частоты колебаний волнопродуктора.
Анализу параметрических (они чаще называются
фарадеевскими) волн посвящена обширная литература [1, 3, 7, 8], имеющая вековую историю. Первая же попытка теоретического объяснения кре50
стовидных волн была предпринята около 35 лет
назад. Гаррет [11] первым показал, как энергия
волнопродуктора преобразуется в колебания среднего уровня жидкости в бассейне, а затем такие
колебания параметрически возбуждают крестовидные волны. Им была использована математическая модель малых колебаний свободной поверхности жидкости. При этом он отметил, что колебания среднего уровня жидкости могут оказаться недостаточными для возбуждения крестовидных волн и поэтому эти волны должны подпитываться энергией непосредственно от волнопродуктора, как было показано в работе [13].
В работе Бейкр и Майлса [9] рассмотрено поведение крестовидных волн в кольцевой области
жидкости, находящейся между двумя коаксиальными цилиндрами, вызванных радиальными колебаниями внутреннего цилиндра. Авторы модифицировали известное решение Хавлока [12] задачи
о волнопродукторе. Их решение содержит полную
информацию о поведении осесимметричных форм
c Т. С. Краснопольская, Н. П. Подчасов, 2006
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 50 – 56
и влиянии этих мод на устойчивость резонансной
крестовидной волны. Решение представлено в таком виде, что возбуждение и энергия крестовидной (т.е. неосесимметричной) волны происходит
только через посредство осесимметричных волн.
В наших работах [5, 6] изучалось резонансное
возбуждение как осесимметричных, так и крестовидных волн в бассейне аналогичной геометрии при деформации поверхности внутреннего
цилиндра, вызванной вращением кулачка в среднем вертикальном сечении контейнера. Теоретический подход, применявшийся в этих работах,
основывался на вариационном принципе [15] и
принципе суперпозиции Ляме [14]. Поэтому решение для крестовидных волн представлено в виде,
из которого видно непосредственное возбуждение
и подпитка энергией от колебаний волнопродуктора.
В данной статье рассматривается такой же кольцевой резервуар с жидкостью, но применяется
другой метод для решения задачи, поскольку деформирование кулачковым механизмом внутренней оболочки предполагается независимым от вертикальной координаты.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим упруго-жидкостную систему (рис.
1), состоящую из резервуара (жесткого цилиндра с внутренним радиусом R2 ) и волнопродуктора (внутренней деформируемой оболочки радиуса R1 ). В кольцевом канале, образованном коаксиальными поверхностями и общим днищем цилиндров, находится невязкая несжимаемая жидкость плотности ρ, глубина которой в невозмущенном состоянии равна H. Деформирование оболочки осуществляется роликом кулачкового механизма, вращаемого электродвигателем вокруг ее вертикальной оси Oz1 , с постоянной угловой скоростью ω. Волны на поверхности жидкости, возникающие в такой системе при неравномерном по
вертикальной координате прогибе волнопродуктора w по поверхности оболочки, рассматривались,
как уже отмечалось, в работах [5, 6].
В настоящей статье с учетом экспериментальных данных изучается процесс волнообразования, соответствующий локальному деформированию внутренней стенки канала, когда при малых
угловых скоростях кулачок равномерно по всей
глубине изгибает стенку в окрестности контакта
оболочки с роликом, а вне этой области прогиб
практически отсутствует. При этом исследования
проводятся в рамках теории длинных волн [1, 2, 8],
согласно которой можно пренебречь вертикальТ. С. Краснопольская, Н. П. Подчасов
Рис. 1. Схема упруго-жидкостной системы с
локально деформируемой внутренней стенкой
ными компонентами всех массовых сил, кроме силы тяжести, и ускорений частиц жидкости, а также считать амплитуды волн малыми по сравнению с глубиной жидкости. Эти предположения соответствуют условиям проведения натурных экспериментов. Цель работы заключается в нахождении смещений ξ точек свободной поверхности
жидкости от ее равновесного состояния и поля
скоростей жидкой среды.
Наряду с неподвижной декартовой системой координат Ox1 y1 z1 введем подвижную, вращающуюся вокруг вертикальной оси Oz1 с угловой скоростью ω, систему координат Oxyz. Пространственное положение частиц жидкости будем определять
связанными с неподвижными осями цилиндрическими координатами r, θ1 , z. Если обозначить через N число полных оборотов, совершенных за
время t системой Oxyz, то полярные углы θ1 и
θ, отсчитываемые в неподвижных и подвижных
осях, соответственно будут удовлетворять соотношениям:
0 ≤ θ < 2π,
θ1 = θ + ωt − 2πN.
(1)
Будем предполагать, что локальный прогиб оболочки допускает экспоненциальную аппроксимацию и с учетом зависимостей (1) может быть описан выражением
w(θ) = εf(θ) = ε R1 exp(−a |θ − π|).
(2)
Здесь ε = w0 /R1 – малый положительный пара51
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 50 – 56
метр; w0 – максимальное значение прогиба. Постоянный положительный коэффициент a, зависящий от конструктивных и физических параметров
волнопродуктора, по существу, определяет ширину зоны, за пределами которой деформирование
оболочки пренебрежимо мало.
Используя подходы, изложенные в [2], можно
показать, что в случае, когда массовой силой,
действующей на жидкость, является сила тяжести, уравнения относительного движения жидкости могут быть записаны следующим образом:
∂ vr
∂ vr
vθ ∂ vr
v2
∂ vr
+ vr
+
− θ + vz
−
∂t
∂r
r ∂θ
r
∂z
1∂ρ
−2ωvθ = ω2 r −
,
(3)
ρ ∂r
∂ vθ
∂ vθ
vθ ∂ vθ
vr vθ
∂ vθ
+ vr
+
+
+ vz
+
∂t
∂r
r ∂θ
r
∂z
1 ∂ρ
,
(4)
+2ωvr = −
rρ ∂θ
∂ vz
∂ vz
∂ vz
vθ ∂ vz
+ vr
+
+ vz
=
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
1∂ρ
,
(5)
= −g −
ρ ∂z
где vr , vθ , vz – соответственно радиальная, окружная и вертикальная компоненты относительной
скорости частиц жидкой среды; p – давление в
жидкости; g – ускорение свободного падения. При
этом, поскольку течение происходит в кольцевом
канале (где окружная координата может рассматриваться иногда как бесконечной протяженности), по аналогии с поведением жидкости в длинных неискривленных руслах уравнение несжимаемости имеет вид [2]
∂ξ
H ∂ (r vr ) ∂ vθ
.
(6)
=−
+
∂t
r
∂r
∂θ
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ НА ОСНОВЕ
ДЛИННОВОЛНОВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
При действии на свободную поверхность жидкости внешнего давления p0 = const на ней должно
выполняться граничное условие p|z=H+ξ = p0 , которому удовлетворяет используемый в теории
длинных волн гидростатический закон распределения давления [2]
p = p0 + ρg [H + ξ (r, θ, t) − z] .
(10)
Он следует из уравнения (5), поскольку мы пренебрегаем вертикальным ускорением частиц жидкости.
Отметим, что абсолютному покою невозмущенной среды (ε = 0) в подвижных осях соответствует
решение vr = vz = ξ = 0, vθ = −ωr. В экспериментах наблюдалось специфическое изменение рельефа свободной поверхности в подвижной области,
лишь окружающей место контакта кулачка с оболочкой. Поэтому при наличии малых возмущений
(ε 6= 0) искомые функции представим так:
vr = ε [Vr1 (r, θ) + Vr2 (r, θ, t)] ,
vθ = ε [Vθ1 (r, θ) + Vθ2 (r, θ, t)] − ωr,
(11)
Vz = ε [Vz1 (r, θ) + Vz2 (r, θ, t)] ,
ξ = ε [ξ1 (r, θ) + ξ2 (r, θ, t)] .
Здесь слагаемые, помеченные индексом “1”, соответствуют квазистационарным, то есть не изменяющимся со временем относительно подвижных
осей, составляющим решения, а слагаемые с индексом “2” – гармоническим колебаниям поверхности
жидкости.
Подставляя выражения (10), (11) в зависимости
Если обозначить через nr , nθ , nz компоненты ор(3)–(6), (8), (9) и сохраняя в полученных соотнота нормали к деформированной поверхности волшениях члены, пропорциональные ε, приходим в
нопродуктора ~n, то из свойства непроницаемости
первом приближении к следующим линеаризиростенок канала следуют граничные условия
ванным постановкам задач для функций Vri , Vθi ,
Vzi , ξi (i = 1, 2):
(vr nr + vθ nθ + vz nz )|r=R1 +w = 0,
(7)
уравнения движения жидкости имеют вид
vr |r=R2 = 0, vz |z=0 = 0.
(8)
∂ ξ1
∂ Vθ1
g ∂ ξ1 ∂ Vz1
∂ Vr1
=g
, ω
=
,
= 0,
Согласно выражения (2), уравнение поверхности
ω
∂θ
∂r
∂θ
r ∂θ
∂θ
оболочки в подвижных осях определяется выра(12)
жением f (r, θ) = r − R1 − ε f (θ) = 0, которое по∂ Vr2
∂ ξ2
∂ Vr2
−ω
= −g
,
зволяет найти gradf и, используя колинеарность
∂t
∂θ
∂r
векторов ~n и gradf , представить условие (7) в фор∂ Vθ2
∂ Vθ2
g ∂ ξ2
(13)
−ω
=−
,
ме
∂t
∂θ
r ∂θ
ε ∂f
vθ .
(9)
vr |r=R1 +εf =
∂ Vz2
∂ Vz2
r ∂θ
r=R1 +εf
−ω
= 0,
∂t
∂θ
52
Т. С. Краснопольская, Н. П. Подчасов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 50 – 56
требование несжимаемости среды обеспечивается выполнением равенств
∂ (r Vr1 )
∂ Vθ1
=−
,
∂r
∂θ
H ∂ (r Vr2 ) ∂ Vθ2
∂ ξ2
=−
+
,
∂t
r
∂r
∂θ
(14)
где C11 , C21 – произвольные постоянные.
Аналогично, подставляя выражение
Vr1 = V̄r1 (r) exp (−a |θ − π|) sign (θ − π)
в (19) и решая уравнение
(15)
00
0
+ 3r V̄r1
+ 1 + a2 V̄r1 = 0,
r 2 V̄r1
непроницаемость боковых стенок и дна канала
находим функцию Vr1 :
имеет место при удовлетворении граничных условий вида
Vr1 = exp (−a |θ − π|) sign (θ − π) r −1 ×
∂f
Vr1 |r=R1 = −ω
,
× [D11 sin (a ln r) + D21 cos (a ln r)] .
(25)
∂θ
(16)
Из (24), (25) и первого уравнения системы (12)
Vr1 |r=R2 = 0, Vz1 |z=0 = 0,
следует справедливость таких соотношений между константами
Vr2 |r=R1 = 0, Vr2 |r=R2 = 0, Vz2 |z=0 = 0. (17)
gC11 = −ωD21 , gC21 = ωD11 .
(26)
Из полученных уравнений (12), (13), (16), (17)
устанавливаются тривиальные решения для верИспользуя граничные условия (16) и явный
тикальных составляющих поля скоростей
вид функций Vr1 (25) и f (2) в случае, когда
sin[a ln(R2 /R1 )] 6= 0, имеем
Vz1 = Vz2 ≡ 0.
(18)
aωR21 cos (a ln R2 )
На основании соотношений (12), (14) получаем
,
D11 = −
sin [a ln (R2 /R1 )]
уравнения
(27)
aωR21 sin (a ln R2 )
D21 =
.
∂ Vr1
∂ 2 Vr1
∂ 2 Vr1
sin [a ln (R2 /R1 )]
+ 3r
+ Vr1 +
= 0,
(19)
r2
2
2
∂r
∂r
∂θ
На основании равенств (24)–(27) квазистацио∂
нарные
составляющие решения εVr1 и εξ1 опреде(ωrVθ1 − gξ1 ) = 0,
(20)
∂θ
ляются следующим образом:
∂ 2 ξ1
∂ ξ1
∂ 2 ξ1
r2
+
r
+
= 0,
(21)
w0 aωR1 sin [a ln (R2 /r)]
∂r 2
∂r
∂θ2
×
εVr1 =
r sin [a ln (R2 /R1)]
для решения которых воспользуемся методом разделения переменных. При этом, принимая во вни× exp (−a |θ − π|) sign (θ − π) ,
(28)
мание первое из граничных условий (16), характер
2
функциональной зависимости ξ1 и Vr1 от θ будем
w0 aω R1 cos [a ln (R2 /r)]
εξ1 = −
×
задавать аналогичным зависимости (2).
g sin [a ln (R2 /R1 )]
Так, полагая
w0
h1 .
(29)
× exp (−a |θ − π|) +
R
1
ξ1 = ξ̄1 (r) exp (−a |θ − π|) + h1 ,
(22)
Интегрируя уравнение (20) с учетом (29), полугде h1 = const, после подстановки (22) в (21) при- чаем
ходим к известному [4] уравнению Эйлера
w0 aωR1 cos [a ln (R2 /r)]
εVθ1 = −
×
r 2 ξ̄100 + r ξ̄10 + a2 ξ̄1 = 0
r sin [a ln (R2 /R1 )]
и получаем
× exp (−a |θ − π|) + Q1 (r),
(30)
(23) где Q1 (r) – произвольная функция полярного радиуса.
Выражения (22), (23) позволяют записать фунТак как характеристики возбуждающего дефоркцию ξ1 в виде
мирования волнопродуктора играют определяющую роль в формировании выражения (29), то
ξ1 = [C11 sin (a ln r) + C12 cos (a ln r)] ×
(24) слагаемое εξ1 в представлении свободной границы
ξ будем именовать вынужденной волной.
× exp (−a |θ − π|) + h1 ,
ξ̄1 (r) = [C11 sin (a ln r) + C12 cos (a ln r)] .
Т. С. Краснопольская, Н. П. Подчасов
53
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 50 – 56
При визуальном наблюдении за движением мелких твердых частиц, плавающих на поверхности
жидкости, было замечено, что вне области, окружающей локальную деформацию волнопродуктора, скорости таких частиц практически не зависят от угловой координаты, а окружная составляющая скорости не зависит еще и от времени. В
этой связи, при определении нестационарных характеристик процесса волнообразования положим
относительно C1 , C2 , получающейся в результате подстановки (36) в (17), должен равняться нулю. Это позволяет записать уравнение, из которого следует определять значения параметра λ:
J1 (λR1 ) N1 (λR2 ) − J1 (λR2 ) N1 (λR1 ) = 0.
(37)
При линейной постановке задач выполняется
принцип суперпозиции и, следовательно, возможно наложение слагаемых вида (35), (36), соответVr2 = Vr2 (r, t), Vθ2 = Vθ2 (r), ξ2 = ξ2 (r, t). (31) ствующих различным значениям λi корня уравнения (37). Поэтому в общем случае будем иметь
Предположения (31), уравнения движения (13)
(∞
и несжимаемости (15) позволяют записать волноJ1 (λi R1 )
w0 X
Ci J0 (λi r) −
N0 (λi r) ×
εξ2 =
вое уравнение
R1 i=1
N1 (λi R1 )
1 ∂ ξ2
1 ∂ 2 ξ2
∂ 2 ξ2
+
−
= 0,
∂r 2
r ∂r
gH ∂t2
(32)
периодическое решение которого будем искать в
виде
ξ2 (r, t) = ξ̄2 (r) sin (kt + α) + h2 .
(33)
Здесь k и α – частота и фаза колебаний, h2 = const.
В результате разделения переменных после подстановки (33) в (32) и введения обозначения
λ2 = k 2 /(gH), приходим к уравнению Бесселя нулевого порядка
ξ̄200 + r −1 ξ̄20 + λ2 ξ̄2 = 0.
Решение этого уравнения выражается через произвольные постоянные C1 , C2 и функции Бесселя
первого J0 и второго N0 рода следующим образом:
ξ̄2 = C1 J0 (λr) + C2 N0 (λr).
(34)
o
× sin(ki t + αi ) + h2 ,
(38)
r
g w0
εVr2 =
×
H R1
∞
X
J1 (λi R1 )
Ci
×
N1 (λi r) − J1 (λi r) ×
N1 (λi R1 )
i=1
× cos(ki t + αi ),
(39)
εVθ2 = Q2 (r),
(40)
где Q2 (r) – произвольная функция r; Ci , αi – произвольные константы. Отметим, что согласно представлениям (11), (29) и (38) выражение для ξ будет содержать постоянное слагаемое h = h1 + h2 .
Величина h может быть определена из условия постоянства объема жидкости при отсутствии и при
наличии волнения на её свободной поверхности.
В соответствии с зависимостями (33), (34) гар- 3. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ
монические колебания свободной границы жидко- РЕЗУЛЬТАТОВ
сти описываются выражением
εξ2 =
w0
×
R1
× {[C1 J0 (λr) + C2 N0 (λr)] sin(kt + α) + h2 } . (35)
Используя представление (35) и соотношение
Z00 (λr) = −λZ1 (λr), которому удовлетворяют бесселевы функции нулевого Z0 и первого Z1 порядков, из первого уравнения (13) находим
r
g
w0
εVr2 = −
×
R1 H
× [C1 J1 (λr) + C2 N1 (λr)] cos(kt + α).
(36)
Поскольку граничные условия для функции Vr2
однородны, то определитель системы уравнений
54
Ниже приведен иллюстративный материал, позволяющий дать визуальное представление о рельефе вынужденной уединенной волны, бегущей
со скоростью перемещения прогиба стенки канала.
На рис. 2 изображена поверхность ξ, рассчитанная
по формуле (29) при h1 = 0, поскольку величина
h1 не влияет на ее форму. Вычисления проделаны
при следующих значениях параметров генератора
волны: R1 = 0.047 м, R2 = 0.069 м, w0 = 0.001 м,
a = 7, ω = 3π/2 рад/с. На рис. 3 представлена фотография свободной поверхности кольцевого
канала в эксперименте с волнопродуктором, имеющем те же параметры. Маркерами отмечена граница свободной поверхности, примыкающей к внутренней и внешней стенкам канала в окрестности
Т. С. Краснопольская, Н. П. Подчасов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 50 – 56
Рис. 2. Расчетная волновая картина
при S = 0.02 м; H = −0.05 м
Рис. 3. Экспериментальная волновая картина
при R1 = 0.047 м; R2 = 0.069 м
прогиба внутренней оболочки кулачковым механизмом. При этом, как видно из формы практически невозмущенной поверхности жидкости, удаленной от места концентрации вынужденной волны, вклад сопровождающих волн в формирование
конфигурации рельефа незначителен. Сравнение
численных и экспериментальных данных, на наш
взгляд, позволяет говорить о вполне удовлетворительном описании предлагаемой математической
моделью исследуемых физических процессов.
Согласно уравнениям (11), (30), (40), окружная составляющая поля скоростей vθ определяется с точностью до произвольной функции Q(r) = Q1 (r) + Q2 (r). В проведенных опытах
это подтверждалось характером движения мелких плавающих частиц. На невозмущенных вынужденной волной участках свободной поверхности
частицы совершали однонаправленные перемещения в окружном направлении. Для нахождения
Q(r), очевидно, необходимо использовать более
сложные математические модели – учитывать вяз-
Т. С. Краснопольская, Н. П. Подчасов
кость жидкости, рассматривать второе приближение.
В составляющих решений (36), (39) значения частот ki зависят только от физических параметров
невозмущенной механической системы. Постоянные Ci , αi определяются формируемыми внешним
возмущением конфигурациями свободной поверхности и поля скоростей жидкости при установившемся колебательном процессе. В этой связи, по
аналогии с традиционно принятой в теории колебаний терминологией, составляющую εξ2 можно
интерпретировать как суперпозицию сопровождающих волн.
Заметим, что при проведении экспериментов величина угловой скорости ω варьировалась в пределах 2π ÷ 4π рад/с и глубина заполнения H не
превосходила половины радиуса резервуара R2 , в
результате чего профиль вынужденной волны был
достаточно пологим, как того требует использованная теория длинноволнового приближения.
55
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 50 – 56
ВЫВОДЫ
Таким образом, на базе использования простой гидродинамической модели – теории длинных волн, дано математическое описание наблюдаемой в экспериментах эволюции свободной поверхности жидкости, индуцируемой бегущей в
окружном направлении локальной деформацией
внутренней стенки кольцевого канала. Показано,
что в общем случае рельеф поверхности формируется наложением сопровождающих и вынужденных волн. При этом последней соответствуют возмущения жидкой среды, которые имеют место
практически только в области, непосредственно
примыкающей к зоне деформаций волнопродуктора, то есть установлено синхронное с роликом кулачкового механизма перемещение вынужденной
волны в окружном направлении. Получены выражения, характеризующие зависимость распределения амплитуд локализованной волны от размеров канала, величины максимального прогиба его
внутренней границы и угловой скорости кулачкового механизма.
1. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.– М.: Мир,
1981.– 596 с.
2. Ламб Г. Гидродинамика.– М.-Л.: Гостехиздат,
1947.– 928 с.
3. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими
жидкость.– К.: Наук. думка, 1990.– 296 с.
56
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.– М.: Наука, 1971.–
576 с.
5. Краснопольская Т. С., Подчасов Н. П. Волны
в жидкости между двумя коаксиальными цилиндрическими оболочками, индуцированные вибрациями внутреннего цилиндра // Прикладная
механика.– 1992.– 28, N 3.– С. 61–70.
6. Краснопольская Т. С., Подчасов Н. П. Вынужденные колебания жидкости между двумя цилиндрами, возбуждаемые вибрациями внутреней оболочки // Прикладная механика.– 1992.– 28, N 4.–
С. 42–48.
7. Селезов И. Т. Моделирование волновых и диффракционных процессов в сплошных средах.– К.: Наук. думка, 1989.– 204 с.
8. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.– М.:
Мир, 1977.– 622 с.
9. Becker J. M., Miles J. W. Standing radial crosswaves // J. Fluid Mech.– 1991.– 222.– P. 471–499.
10. Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures
and on certain forms assumed by groups of particles
upon vibrating elastic surfaces // Phil. Trans. R. Soc.
Lond.– 1831.– A.– P. 121.299–340
11. Garrett C. J. R. Cross waves // J. Fluid Mech.–
1970.– 41.– P. 837–849.
12. Havelock T. H. Forced surface waves on water // Phil.
Mag. (Ser.7).– 1929.– 8.– P. 569–576.
13. Krasnopolskaya T. S., G. J. van Heijst Wave pattern
formation in a fluid annulas with a vibrating inner
shell // J. Fluid Mech.– 1996.– 328.– P. 229–252.
14. Lamé G. Leçons sur la Théorie Mathématique de
l’Élasticité des Corps Solids.– Paris: Bachelier, 1852.–
335 p.
15. Luke J. C. A variational principle for a fluid with a
free surface // J. Fluid Mech.– 1967.– 27.– P. 395–
397.
Т. С. Краснопольская, Н. П. Подчасов