примесной цепочки L при L -> 00 и при нулевой те~шературе

ЖЭТФ,
1997,
том
111,
выn.
2,
стр. 57~584
@1997
ЛАНДАУЕРСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО МЕТAJIЛA С
ПЕРИОДИЧЕСКИ РАСПОЛОЖЕННЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ПРИМЕСЯМИ
д. М. Седракян, Д. А. Бадалян, В. М. Гаспарян, А. Ж Хачатрян
EpeBaHCI,UU
государственный университет
375049,
Ереван, Армения
Поступила в редакцию
14
февраля
1996
г.
Получена зависимость среднего по ансамблю сопротивления (Р L) одномерной це­
почки из периодически расположенных случайных б-потенциалов от длины цепочки
энергии падающего электрона и параметра беспорядка цепочки
мость (Р L) от
L
w.
L,
Показано, что зависи­
в общем случае представляет собой сумму трех показательных функций,
две из которых в предельном случае
L
- t 00
стремятся к нулю. Следовательно, асим­
птотическое выражение дЛЯ (PL) всегда является показательной функцией от L. Такое
выражение дЛЯ (PL) означает, что электронные состояния действительно локализованы,
и позволяет, что очень важно, найти зависимость радиуса локализации от энергии па­
дающего электрона и силы взаимодействия электрона с узлами цепочки. Найдено также
рекуррентное представление дЛЯ (Р L), что удобно использовать для численных расчетов.
1.
ВВЕДЕНИЕ
Общеизвестно, что процедура усреднения и вычисления средних физических ха­
рактеристик для неупорядоченных систем в первую очередь сталкивается с математи­
ческими трудностями. Явление локализации электронов для систем со случайными по­
тенциалами взаимодействия позволяет в некоторых случаях, без конкретного решения
задачи, сделать определенные выводы о характере возможных решений. Так, в одномер­
ном случае, как показано в работах
[1-4],
зависимость среднего сопротивления металла
снеподвижными примесями, где все электронные состояния локализованы, от длины
примесной цепочки L при L
(h
-> 00
и при нулевой те~шературе выражается формулой
= е 2 = 1)
где ~
-
радиус локализации электронных состояний, который не зависит от
L.
Здесь
«не идеальная область» предполагается помещенной между двумя полубесконечными
контактами, в которых движение электронов предполагается свободным. Доля элек­
тронов, прошедших из одного контакта в другой, определяет пропускную способность
системы, которая обратно пропорциональна
(PL).
Таким образом, такая однозначная
связь между ландауерским сопротивлением (Р L) при
L
-> 00 и радиусом локализации
~ одноэлектронных состояний, зависящим только от энергии электрона и силы взаи­
модействия электрона с примесями, сводит задачу нахождения ~ к задаче нахождения
(Р L) при
L
-> 00 и обратно.
Так, для целого класса случайных потенциалов со средним потенциалом, равным
нулю, т. е. для потенциалов типа «белый ШУМ», радиусы локализации бьши рассчитаны
как при наличии внешнего поля, так и при его отсутствии
575
[5].
Хорошо известный метод
д. М. Седракян, Д. А. Бадалян, В. М. Гаспарян, А. Ж Хачатрян
ЖЭТФ,
выn.
1997, 111,
трансферматриц, примененный к модели короткодействующих потенциалов
[6],
2
позво­
лил эффективно проводить численные расчеты, но он был неэффективен для получения
аналитических результатов. Метод детерминанта, предложенный в работах
[7,8] для од­
номерных систем из случайных одиночных барьеров, позволил получить аналитические
результаты только в предположении слабого и сильного рассеяния электрона на оди­
ночном барьере и в случае резонансного прохождения. Расчеты радиуса локализации
путем исследования
(PL) при L -+ 00 были выполнены также в работах [9-11].
[12] было показано, что для модели из периодически расположенных Б-по­
амплитуды которых - независимые случайные величины с нулевым сред­
В работе
тенциалов,
ним значением, среднее ландауерское сопротивление
ряда. В работе
[13]
(PL)
можно представить в виде
удалось провести суммирование этого ряда и получить конечно-раз­
ностное уравнение для определения ландауерского сопротивления (Р L). Там же приве­
дены решения этого уравнения для некоторых частных случаев, т. е. для энергий элек­
тронов, соответствующих краю и центру энергетической зоны.
В настоящей работе находится аналитическое решение конечно-разностного урав­
нения для (Р L) В общем случае. Найденное решение фактически определяет (Р L) как
функцию длины цепочки
L,
энергии падающего электрона и интенсивности рассеяния
на одиночном барьере. Показывается, что полученное решение для (р L) при
всегда можно привести к виду
(PL)
<х
где ~ не зависит от
exp(L/O,
L.
L
-+ 00
Вычисляется
радиус локализации.
В разд.
излагается постановка задачи и приводятся необходимые для дальней­
2
шего исследования результаты, полученные авторами в работе
[13].
В разд.
3
находит­
ся общее решение конечно-разностного уравнения, которому удовлетворяет искомая
функция
(pL).
Здесь же получено рекуррентное уравнение для
(PL).
Далее, в разд.
4
приводится анализ решений характеристического уравнения, через корни которого, как
показано в разд.
для
(PL),
3, выражается зависимость (PL) от L. Находится решение уравнения
L -+ 00, откуда и определяется выражение для радиуса локализации
раз,!!;. 5 проводится анализ полученных результатов.
когда
электрона. В
2.
Рассмотрим цепочку из
VN
N
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Б-образных потенциалов с произвольными амплитудами
И соответствующими координатами х n :
N
V(X)
=L
VnБ(х - х n ),
n = 1,2, ... , N.
n=!
Пусть решение уравнения Шредингера для электрона с энергией Е =
то
-
k 2 (11, = 2то = 1,
масса электрона) вне структуры имеет вид
где TN(k) и tN(k) -
соответственно амплитуды коэффициентов отражения и прохожде­
ния электрона. Ландауерское сопротивление выражается через TN(k) и tN(k) известной
формулой
576
ЖЭТФ,
1997, 111,
выn.
2
Ландауерское сопротивление .
PN
1
- 1
ItN(k)1 2
'
=
IrN(k)1 2
Формула
(1)
..
(1)
= 1 -ltN(k)1 2 •
верна для любого вида рассеивающего потенциала. В работе
[13]
мы
показали, что усредненную по всевозможным реализациям случайного поля величи­
ну
(PN)
Х 1, Х2,
для модели, в которой
... ,
N
б-потенциалов расположены впроизвольных точках
Х N, можно представить в виде
р-l
N
L
2P - 1 а Р
П {1 - cos [2k(xj'+1 - Xj,)]} ,
(2)
где
w/2
а=
J
1
w
W
-w/2
f(Vj)dVj
= 1.
-w/2
Здесь
f(Vj) - функция распределения потенциалов Vз. Она определена в интервале
[w /2, -w /2], предполагается одинаковой для всех vj (j = 1,2, ... ,N) и является про­
извольной четной функцией от Vз. При f(Vj) = 1, в частности, имеем а = w 2 /48k 2•
Непосредсtвенное суммирование ряда (2), даже в предположении, что рассеивате­
ли расположены эквидистантно, наталкивается из непреодолимые трудности. Сумми­
рование ряда
(2)
удается провести только в некоторых частных случаях, когда энергия
электрона соответствует центру или краю
почки) энергетической зоны
[12,13].
(ka == 1г /2 или ka
= 1Г,
где а -
Однако, как показано в работе
ние по внутренним индексам в выражении
(2)
[13],
период це­
суммирова­
можно провести и в результате получить
конечно-разностное уравнение для искомой величины (Р N ). Это уравнение имеет сле­
дующий вид:
N
(PN) = aN + LCN-n(Рn},
(3)
n=l
где
Рl
Заметим, что уравнение
(3)
= 1,
СП
можно рассмотреть как систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных
(Р N) В виде детерминанта.
Рещение уравнения
для всех
n,
(3)
= 2а [1 - cos(2kan)].
(Pl)' (Р2}"", (PN) и получить представление для
для частного случая
ka
=
1г находится сразу, так как СП
=О
и, следовательно,
(4)
Этот результат соответствует резонансному прохождению электрона и впервые бьm по­
лучен в работе
[6].
Далее в работе
[13]
было найдено решение уравнения
577
(3)
для другого
ЖЭТФ,
д. М. Седракян, Д. А. Бадалян, В. М. Гаспарян, А. Ж. Хачаmрян
1997, 111,
вьm.
2
частного случая, когда энергия падающего электрона соответствует центру энергетиче­
ской зоны (ka
= 1г /2).
(
PN
)
Это решение имеет вид
=~[(а+Ь)N+(а-Ь)N +(a+b)N_(a-Ь)N]
2
(5)
2Ь'
2
где
а
Как видно из решения
Ь
= 2Q,
= \1'1
(5), для любых а при N -+
+4а 2 •
00 величину
(PN)
можно представить в
виде (Р N) сх: ехр{ N а / О, где ~ не зависит от N и представляет собой радиус локализации
электрона.
Однако, как увидим ниже, уравнение
(3)
удается решить и в общем случае, т. е. для
любого значения энергии падающего электрона и параметра а.
З. РЕШЕНИЕ КОНЕЧНО-РАзноcrНОГQ УРАВНЕНИЯ ДJIЯ (РН)
Перейдем к решению уравнения
в общем случае. Ищем его решение в следу­
(3)
ющем виде:
р
(PN) = LAjxf +А о ,
j=1
где
Xj, A j
и А о предполагаются не зависящими от
ство слагаемых в
нение
(3)
(6),
N.
(6)
Число р, определяющее количе­
остается пока неопределенным. Подставляя решение
и требуя, чтобы последнее выполнялось для любых
соотношения, определяющие
Xj, A j
N,
(6)
в урав­
получим необходимые
и А о . Эти условия имеют вид
1
р
LAjxj
j=1
=
2 +а,
(7)
~
А-J _ 1-а
~
j=1 1 +Xj - -4-'
(8)
1
р
LAj
j=1
(9)
= 2'
Здесь Х j являются корнями характеристического уравнения
хЗ
-
x 2(l
+ т) + x(l -
т) - 1 = О,
(10)
где
1 = 1 + 2 cos(2ka),
Заметим, что из
(10),
(7)-(9)
(11)
[1 - cos(2ka)] .
в частности, следует, что в уравнениях
ное решение уравнений
(j
т = 2а
с использованием
(10)
(7)-(9)
р
=
3.
Совмест­
определяет коэффициенты
Aj
= 1,2,3) в следующем виде:
А1
=
~ (1 - а)(1
2
+ l) - (1 + X1)(l + т (Х2 - Х1)(ХЗ - Х1)
578
Х! - 2а).
(12)
ЖЭТФ,
выn.
1997, 111,
2
Ландауерс"ое сопротивление. ..
Что касается А 2 и Аз, то они получаются из
(12)
циклической перестановкой XJ,X2 и Хз.
Величины Xj, которые являются корнями кубического уравнения
(10),
определяются
стандартными формулами:
XJ
l+m
=C+D+-3 '
Х2З
,
С+Dг.;С-D
l+m
= - - -2 ± i v 3 -2- - + -3-'
(13)
Здесь
С=
{j-q/2 + y'Q,
{j-q/2 -
D=
Y'Q,
l2 - т 2
1
6
4'
- ----:-- + 1 + т) з
= -2 ( -3-
q
Из общего решения
(6), (12)
и
(13)
+
l2 _
3
т2
(14)
- 1.
легко найти частное решение для электронов с
энергией, соответствующей центру энергетической зоны. Действительно, для
из
(11)
имеем
1 = -1
= 4а.
и т
= -1,
XJ
Подставляя
XJ
= -1,
в
(15)
(6)
и
(12)
Тогда решения уравнения
Х2,З
= 2а ±
(6),
(5),
= 1г /2
+ 4а 2 •
и замечая, что коэффициент
равняется нулю, получим решение
Из решения
Jl
ka
будут:
(10)
A J,
(15)
соответствующий корню
приведенное в работе
используя характеристическое уравнение
(10),
[13].
можно получить
следующее рекуррентное уравнение для (Р N ):
(16)
где начальные значения
(PJ)
(Рз) = 3а
(Р2) и (Рз) для (16) находятся из
(PJ),
= а,
(Р2)
= 2а + 2а 2 [1 -
(3):
cos(2ka)] ,
+ 2а 2 [3 - 2cos(2ka) - cos(4ka)] + 4а З [1 - соs(2kа)]З .
Рекуррентное уравнение
(16)
можно использовать для численных расчетов и для иссле­
дования (Р N) при небольших
N.
В конце отметим, что, как видно из решения
(6),
зависимость среднего ландауер­
ского сопротивления цепочки из периодически расположенных случайных б-потенциа­
лов от длины цепочки
L
= Nа
в общем случае имеет вид суммы трех показательных
функций.
4. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ОДНОЭЛЕIcrPОННЫХ СОСГОЯНИЙ
Перейдем к рассмотрению полученного для
кажем, что (Р L) при
L
(PL)
решения
(6)
при
L
-+ 00 для любых разумных значений параметров
579
-+ 00.
1и
По­
т растет
7"
ЖЭТФ,
д. М. Седрак.ян, Д. А. Бадалян, В. М. Гаспарян, А. Ж. Хачатрян
с увеличением
L
1997, 111,
выn.
2
по экспоненциальному закону. Это означает, что все одноэлектрон­
ные состояния для рассмотренной нами модели локализованы. Исключения составля­
ют только края энергетических зон
от
(PL)
L
линейна
(ka
= 1Т'т,
= 1,2, ... ),
т
для которых зависимость
[5].
для доказательства сделанного нами утверждения сначала выясним некоторые
свойства действительных корней характеристического уравнения
репишем уравнение
(10)
[=
х2
+Х + 1
Х
Х
+1
(17)
= 1, j = 1,2,3, которое соответствует
краям энергетической зоны (см. выше). Если подставить в
тами
1и
для этого пе­
---т.
Х - 1
Здесь мы учли, что Xj т о и исключили решение Xj
решение Xj уравнения
(10).
в следующем виде:
(10),
то уравнение
(17)
любое действительное
на плоскости, определяемой координа­
(17)
т, представляет собой прямую линию, на которой находятся все пары
для которых Xj является решением уравнения
(10).
l
и т,
Это утверждение дает нам ключ для
выяснения, является ли наперед заданное действительное Xj решением уравнения
или нет. для этого достаточно подставить Xj в уравнение
ли прямая
(17)
(17)
через область возможных значений параметров
есть решение уравнения
(10)
и посмотреть, проходит
1и
т. Если да, то Xj
(10).
Как видно из определения параметров
1и
т
(11),
областями принимаемых ими
значений являются
-1 ::; 1 ::; 3,
(18)
т ~ О.
Рассматривая всевозможные прямые на плоскости
l, т
при заданном Х j, легко убедить­
ся, что эти прямые пересекают область, определяемую условиями
(18),
только тогда,
когда
-1::;Xj<0,
Следовательно, условия
уравнения
(10)
(19)
(19)
Xj~1.
определяют области значений действительных корней
для произвольных значений энергии электрона (или
ka) и параметра а.
> о уравнение (10) имеет только один действительный корень.
Тогда два других корня комплексны, причем Х2 = ХЗ, и, следовательно, их всегда можно
Как известно, при
Q
представить в виде
(20)
где Р и 'Р
нения
- действительные
(10) имеем
числа. По теореме Виета для произведения корней урав­
(21)
Подставляя
(20)
в
(21),
получаем
(22)
Так как р 2 по определению положительная величина, то из
ственный действительный корень Хl
> О,
(22)
получаем, что един­
следовательно, согласно
~1 ~ 1.
580
(19),
(23)
ЖЭТФ,
1997, 111,
выn.
Ландауерское сопротивление. ..
2
<
Тогда из (22) следует, что О
(Q
> О) определяется из (13).
р2 ~ 1. Действительный корень х\ в данном случае
Используя
(20)
и
(22),
запишем решение
(6)
в следующем
виде
(24)
Здесь коэффициенты А 2 и Аз решения
так как Аз
= А2'.
N
Если устремить
(6)
представлены в виде
-+ 00 и учесть условие
(23),
то из
(24)
получим для
(р N) следующее асимптотическое выражение:
(PN)
Приведя выражение (25) к виду
(PL)
ос
N
= А\х\
1
2'
-
exp{L/O,
(25)
для радиуса локализации ~ получаем
простую формулу
а
~ = lnx\'
(26)
ПереЙдем к рассмотрению другого случая, когда
три действительных корня. Как видно из
(21),
Q~
О. Тогда уравнение
(10) имеет
все три корня одновременно не могут
принимать значения большие единицы, так как в этом случае произведение корней бы­
ло бы больше единицы, что противоречит
единице, х\
= Х2 = ХЗ = 1 (Q = О),
(21).
Случай, когда все три корня равняются
соответствует краю энергетической зоны и является
особенностью данной модели; он неоднократно обсуждался в литературе
[8,9].
Невоз­
можен также случай, когда один из корней отрицателен, а два других положительны,
так как в этом случае Х\Х2ХЗ
< О,
что снова противоречит условию
но, единственный вариант, который не противоречит условиям
х\ ~
1
и
-1
~ Х2,З
<
О. В этом случае один из отрицательных корней, скажем хз,
определяется из решения
(13)
формулой
l+т
хз=С+D+--
3
где С
= п*.
(21). Следователь­
(19)-(21) - это когда
(27)
'
Два других корня определяются также из решения
(13)
и могут быть пред­
ставлены в виде
Х\,2
= а ± Ь,
(28)
где а и Ь выражаются через хз следующим образом:
а=l+п;-х з ь=J~с~т+хз)(I+т-хз)+т-l.
(29)
Введем вместо а и Ь другие переменные, Р и х, следующим образом:
а
= pshx,
Ь
581
= pchx.
(30)
ЖЭТФ,
д. М. Седракян, Д. А. Бадалян, В. М. Гаспарян, А. Ж Хачаmрян
Тогда ь2 - а 2
= р 2 = -х з 1 •
выn.
1997, 111,
2
Подставляя (30) и (29) в решение (6) для (PN), получаем
следующие выражения:
21 {( _1)N А з р- 2N + p N
1
2 {( _1)N Азр
_
[К 1 sh(xN)
+ К2 ch(xN)] - 1} , N = 2n+ 1,
(31)
2N + p N [К 1 ch(xN) + К2 sh(xN)] -
1} , N=2n,
где
-
к
1,2 -
А 1 ±А 2
2
'
n
= 1,2, ...
Как мы уже отметили, для энергии электрона, соответствующей центру энергетической
ka =
= 1/ chx
=
= Р = 1и
(53), (54) работы [13]. Решения (31)
при N --+ 00, как и в случае Q > О, переходят в решения (25), в которых Х1 = а + Ь > 1.
Следовательно, радиус локализации и в этом случае определяется формулой (26).
Таким образом, мы доказали, что решение (6) при L --+ 00 всегда npиводит к экспо­
ненциальной зависимости среднего сопротивления (PL) от L. В частности, это означает,
зоны,
1г /2, Аз
К2
и решения
О.
в этом частном случае легко увидеть, что К 1
(31)
переходят в решения
что все одноэлектронные состояния локализованы и радиус локализации определяется
формулой
(26).
5. РАДИУС ЛОКАЛИЗАЦИИ одноэлЕктронныx соcrОЯНИЙ
Прежде чем перейти к конкретному расчету радиуса локализации одноэлектронных
состояний, отметим некоторые общие свойства полученного нами решения для
(pN).
Как уже было сказано, среднее ландауеровское сопротивление (Р N ), которое вы­
paжaeTcя формулами
зависимость, (PN) сх:
(24), (31),
в асимптотическом случае
где Х1
xf',
> 1,
N
--+ 00 имеет степенную
и не зависит от N. Характер перехода к та­
кой зависимости определяется значениями корней Х2 и хз характеристического урав­
нения''(10). Чем дa.iJ:ьше энергия электрона от краев энергетических зон, тем соответ­
ствующие значения Х2 и ХЗ по модулю ближе к нулю и, следовательно, решения
(24)
и
при
(31)
при увелич~нии
N
быстрее стремятся к виду
(25).
Зависимость
(PL)
от
L
любой энергии электрона имеет осциллирующий характер, который при увеличении
исчезает. Такую:же зависимость
фиксированных значениях
L
и
(PL)
L
имеет и от энергии падающего электрона при
w.
Нами был проведен численный расчет зависимости ~ от
ka и w,
результаты которого
представлены на рисунке. Как видно из графика, при фиксированном значении
w
зна­
чение радиуса локализации при увеличении энергии в пределах первой энергетической
зоны (О
:::; ka :::;
1Г) увеличивается и стремится к бесконечности при
ka
--+ 1Г. Orметим,
что радиус локализации имеет минимум, когда энергия электрона меняется в пределах
второй зоны (1Г
:::; ka :::;
21Г), и значение этого минимума при увеличении
w
стремит­
ся к центру энергетической зоны. Из графика также виден естественный физический
результат: для всех фиксированных значений энергии электрона радиус локализации
монотонно уменьшается с увеличением параметра беспорядка цепочки
w.
На рисунке
также указаны линии одинаковых значений радиуса локализации электронных состоя­
ний. Получен естественный результат, требующий увеличения энергии электрона при
582
ЖЭТФ,
1997, 111,
8ьm.
Ландауерское сопротивление . ..
2
w
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
О
Зависимость радиуса локализации электрона ~ / а
увеличении параметра беспорядка цепочки
w
= 1/ ln х I
от
ka
и
w
для получения одинаковых значений ра­
диуса локализации.
В конце заметим, что для зависимости радиуса локализации от энергии электрона
и параметра беспорядка цепочки
w
можно получить простые аналитические выражения
в случаях слабого и сильного рассеяния электронов.
Рассмотрим случай слабого рассеяния электрона, т. е. а
случае корень уравнения
(11),
ХI
где О
<
.6.Х
«
1.
Подставляя
«
1.
в этом предельном
определяющий радиус локализации, можно искать в виде
(32)
в
(11)
= 1 + .6.Х,
(32)
и оставляя только члены, линейные по а, для
.6.Х получаем
3т
.6.Х = 3 -l = 2а.
Подставляя
(32)
и
(33)
в
(26)
и заменяя
In(1 + 2а)
(33)
~ 2а, окончательно имеем
(34)
Здесь значение ~ в два раза больше значения, полученного в работе
тем, что в работе
а
«:
1 равняется
[9]
радиус локализации определяется из значения
удвоенному значению
ln(p}.
583
[9]. Это связано с
(lnp), которое при
ЖЭТФ,
д М. CeдpaКJIH, Д А. Бадалян, В. М. Гаспарян, А. Ж. Хачаmрян
в пределе сильного рассеяния электрона, Т.е. при о:
»
1,
1997, 111,
выn.
2
и при добавочном усло-
вии
(35)
для радиуса локализации электрона получается следующее простое выражение:
~=
а
.
10 [40:si02(ka)]
Этот же результат был получен в работе
[13]
при условии о:
(36)
»
1.
Как видно из нашего
рассмотрения, последнее условие недостаточно для получения выражения
ходимо более сильное требование
(36).
Необ­
(35).
Один из авторов (д. М. С.) благодарит Отделение теоретической физики Физи­
ческого института им. П. Н. Лебедева РАН за гостеприимство на завершающем этапе
этой статьи.
Научные результаты, приведенные в этой статье, были получены, в частности, бла­
годаря гранту
N1 МVLOOO
Международного научного фонда.
Литература
1. R. Landauer, Phil. Mag. 21, 863 (1970).
2. Р. W. Anderson, D. 1. Тhоиlезз, Е. Abraham, and D. S. Fisher, РЬуз. Rev. В 22, 3519 (1980).
3. А. А. Abrikosov, Sol. St. Comm. 37, 997 (1981).
4. N. Kumer, РЬуз. Rev. В 31, 5513 (1985).
5. 1. М. Lifshits, S. А. Gredeskul, and L. А. Pastur, Introduction (о the Тheoгy о/ Disordered Systems,
Wiley, New York (1985).
6. М. Уа. Azbel, РЬуз. Rev. В 27, 3901 (1983).
7. У. М. Gasparian, В. L. Altshuler, А. G. Aronov, and Z. А. Кasзmanian, РЬуз. Lett. А 132, 201
(1988).
8. А. G. Aronov, У. М. Gasparian, Ute Commuch, J. РЬуз.: Condens. Matter 3, 3023 (1991).
9. В. и. Перелъ, Д. и. Поляков, ЖЭТФ 86, 352 (1984).
10. G. М. Soukoulis, 1. У. Jose, Е. N. Есопотои, and Ping Shing, РЬуз. Lett. 50, 764 (1983).
11. Е. Cota, 1. У. Jose, and М. Уа. Azbel, Phys. Rev. В 32, 6157 (1985).
12. У. М. Gasparian and АзЬ. G. Кhachatrian, Sol. St. Comm. 12, 1061 (1993).
13. д. М. Седракян, д. А. Бадалян, В. М. Гаспарян, А. Ж. Хачатрян, ЖЭТФ 109, 243 (1996).
584