Темная энергия и квантовый туннельный эффект вакуума через

Темная энергия и квантовый туннельный эффект вакуума
через поле Хиггса.
Куюков Виталий П.
Россия, Сибирский Федеральный Университет
Email: vitalik.kayukov@mail.ru
В данной статье рассматривается плотность темной энергии и космологической
постоянной в виде квантового туннельного эффекта ложного вакуума через скалярное
поле Хиггса.
Вакуум ОТО с ненулевой космологической константой давно и детально изучен и
известен под названием "мир де-Ситтера". Его свойства весьма интересны и во многом
парадоксальны. Уравнения ОТО с положительной космологической константой,
включающие в себя не только гравитацию, но и антигравитацию, могли бы на первый
взгляд пролить свет если не на физический смысл, то хотя бы на определенную
математическую интерпретацию темной энергии. Но тут мы оказываемся перед лицом
почти неразрешимой проблемы.
Дело в том, что величина космологической константы, необходимая для объяснения
наблюдаемых размеров Вселенной с помощью инфляционной модели, настолько велика,
что сейчас темная энергия должна была бы превышать энергию, связанную с обычной
материей, примерно на 120 порядков, то есть быть в 10120 раз больше!. А между тем она,
как уже упоминалось, хотя и больше, но все-таки имеет тот же порядок величины.
Конечно, в результате фазового перехода с перестройкой вакуума, который почти
несомненно случился в ранней Вселенной, космологическая константа могла измениться
(и наверняка изменилась), но все же пока совершенно непонятно, как и почему произошла
столь "тонкая настройка", что она уменьшилась именно на 120 порядков, а не, скажем, в
10 или 100 раз. Правда, возможна и так называемая антропологическая позиция: если бы
случилось иначе, то сейчас было бы некому задаваться подобными вопросами. Однако
если не становиться на позицию фаталистов и не считать, что все сущее обязано воле
случая, - одним словом, если не закапывать голову в песок, - то стоит все-таки поискать
более содержательный ответ.
В данной статье рассматривается альтернативный путь, по которому плотность темной
энергии получается через квантовый туннельный эффект ложного вакуума перед
барьером скалярного поля Хиггса.
Для начала рассмотрим лагражиан скалярного поля Хиггса.
В этом лагранжиане полезно выделить потенциал.
Самопроизвольное нарушение симметрии происходит в тех случаях, когда симметричное
состояние не обладает минимальной энергией и поэтому энергетически невыгодно, а
низшее (с минимальное энергией) состояние неоднозначно (вырождено), т. е. ему
соответствует серия решений, каждое из которых по отдельности не обладает указанной
симметрией (при преобразовании симметрии одно решение этой серии переходит в
другое).
Примером самопроизвольного нарушения симметрии может служить простая
механическая модель: абсолютно симметричная относительно оси бутылка с выпуклым
дном (рис.1), в которую строго по оси падает шарик. Условие задачи и уравнения
движения шарика абсолютно симметричны относительно поворота вокруг оси бутылки.
Однако результат получится несимметричным: шарик окажется у стенки, в стороне от
оси. Исходная симметрия спонтанно нарушилась. Она проявляется лишь в том, что шарик
может скатиться в любую сторону от оси, т. е. низшее состояние вырождено относительно
поворотов вокруг оси.
Рис.1
Очевидно, что имеется множество минимумов потенциала (окружность минимумов в двух
измерениях). Минимумы потенциалов — наиболее выгодное состояние поля, поскольку в
них энергия поля минимальна. Таким образом, поле Хиггса имеет более одного основного
состояния (то есть состояния с минимальной энергией), и речь идет о «вырожденном
основном состоянии».
Поле φ в основном состоянии образует так называемый конденсат:
Его значение получается при вычислении нулевых состояний. Для однокомпонентного
комплексного поля, потенциал которого можно представить как дно бутылки с
шампанским, такая компонента является угловой компонентой, определяющей место на
окружности минимумов. Эти компоненты не меняют энергию поля Хиггса. Их можно
отбросить, поскольку они не имеют значения для рассматриваемого эффекта, так как в
данной работе изучается квантовый вакуум, проникающий через барьер скалярного поля
Хиггса.
В квантовом мире данный эффект называется туннелирование. Так называют перемещение
квантовой частицы, которое было бы невозможно в рамках классической механики.
Например, пусть у нас есть двойная потенциальная яма, в которой два минимума чуть глубже
другого максимума (рис. 2). Классическая механика говорит, что если частицу положить на
дно глубокой ямы, то она так навсегда и останется там лежать. Квантовая же механика
предсказывает, что частица не будет там находиться вечно: спустя некоторое время ее можно
уже будет найти на другой стороне минимума. Она протуннелировала несмотря на то, что ее
энергии недостаточно для спокойного перемещения поверх потенциального барьера,
разделяющего два минимума.
Рис.2
То есть, если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким,
что
, просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории
оказывается невозможным. В квантовой же механике мнимое значение импульса частицы
соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от её координаты. Это
показывает уравнение Шрёдингера с постоянным потенциалом.
Для характеристики величины туннельного эффекта вводится коэффициент прозрачности
барьера, равный модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности
потока упавших.
Тогда для коэффициента прохождения через барьер получаем выражение.
Оказывается, нечто аналогичное может происходить и с вакуумом. В квантовой теории
поля вакуум — это состояние поля с низшей (относительно умеренно больших
отклонений) энергией. Для обычных частиц или полей вакуумное состояние — это просто
отсутствие каких-либо частиц. Хиггсовское поле особенное, у него энергетически
наивыгодное состояние может быть вовсе не пустое. Вселенная в результате этого
оказывается заполнена однородным хиггсовским полем.
Минимальной энергия будет тогда, когда во всём пространстве поле будет равно
константе: v или –v. Высота потенциального барьера, разделяющего два минимума равна .
В таком виде оба значения вакуумного среднего поля равноправны, поскольку потенциал
симметричен. Но оказывается, в неминимальных вариантах хиггсовского механизма
возможна ситуация, напоминающая (рис. 3).
Рис.3
В них потенциал перекошен «в пользу» одного из минимумов (рис. 3). Форма и высота
потенциального барьера при этом практически не меняется, но между двумя минимумами
имеется перепад в плотности энергии ε.
Два «вакуума» разные. Тот, который поглубже, — истинный вакуум — отвечает минимальной
плотности энергии, и он вечен. Тот, который повыше, — ложный вакуум — не совсем
стабилен. Но всегда существует вероятность, что этот вакуум «сломается», что он
протуннелирует в более стабильный истинный вакуум.
Этот квантовый распад вакуума выглядит так.
Рассмотрим энергию ложного квантового вакуума:
Е Х  Т    V( )
V( )  
Кинетическая энергия ложного вакуума в скалярном поле Хиггса будем определять по
аналогии с оператором энергии движения вдоль координаты  :
 2
Т   
 2

Где  - вектор состояния ложного вакуума.
Тогда применительно уравнение Шредингера для данной задачи будет.


ЕХ   Н Х 
Или
 2
ЕХ   
   V( ) 
 2
Пусть имеется условие для туннелирования ложного вакуума через барьер скалярного поля
Хиггса:
Е Х    V( )  
   0
Тогда вероятность того, что ложный вакуум проникнет через потенциальный барьер поля
Хиггса :
0
2
В В 0 е

0
(V( ) - Е Х   )


Если считать, что ложный вакуум находится на дне левой ямы поля Хиггса:
ЕХ  
Тогда вероятность туннелирования ложного вакуума в истинный вакуум будет:
0
2

0
В В 0 е
V( )


При проникновении ложного вакуума через барьер скалярного поля Хиггса уменьшается
плотность состояния
раз:

2
, тогда плотность энергии тоже уменьшается во столько же

В

 0 В0
Поэтому плотность энергии вакуума в истинном состоянии будет:
0
2
   0е

0
V( )


В какой-то момент во Вселенной, находящейся в состоянии ложного вакуума, появляется
«пузырь» истинного вакуума в виде космологической постоянной с определенной настройкой:
0
 ()
е
0
2

0
V( )


 10 123
Как видно, за счет квантового туннелирования через поле Хиггса плотность энергии
ложного вакуума уменьшается настолько, что должно отвечать стабильному состоянию с
наименьшей энергией.