ÓÄÊ 519.688 Ã.À. Ëåîíîâ, Í.Â. Êóçíåöîâ, Å.Â. Êóäðÿøîâà, Î.À. Êóçíåöîâà ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÑÈÌÂÎËÜÍÛÕ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ: ËßÏÓÍÎÂÑÊÈÅ ÂÅËÈ×ÈÍÛ È 16-ß ÏÐÎÁËÅÌÀ ÃÈËÜÁÅÐÒÀ Ñîâðåìåííûå ìåòîäû ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé: ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû è 16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà. Àííîòàöèÿ. Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â., Êóäðÿøîâà Å.Â., Êóçíåöîâà Î.À. Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ðàçëè÷íûì ìåòîäàì âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí è ðåàëèçàöèÿì îñíîâàííûõ íà íèõ àëãîðèòìîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé â ïàêåòå Ìàòëàá. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèìâîëüíûå âû÷èñëåíèÿ, ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû, ñëàáûé ôîêóñ, 16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà, ìàëûå ïðåäåëüíûå öèêëû. Modern symbolic computation methods: Lyapunov quantities and 16th Hilbert problem. Abstract. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Kudryashova E.V., Kuznetsova O.A. In this work various methods of Lyapunov quantities computation are discussed and implementations of symbolic computation algorithms, based on them, in Matlab are shown. Keywords: symbolic computations, Lyapunov quantities, weak focus, 16th Hilbert problem, small limit cycles. 1. Ââåäåíèå. Ðàçâèòèå ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ è àíàëèçà ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòèìóëèðîâàëîñü êàê ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè (16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà, çàäà÷à ðàçëè÷åíèÿ öåíòðà è ôîêóñà, îïðåäåëåíèå öèêëè÷íîñòè ôîêóñà, àíàëèç óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì), òàê è ïðèêëàäíûìè èíæåíåðíûìè çàäà÷àìè (èññëåäîâàíèå ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè è âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé). Ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííîé êîìïüþòåðíîé òåõíèêè è ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé ïîçâîëèëî ñóùåñòâåííî ïðîäâèíóòüñÿ â èçó÷åíèè ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí.  òî âðåìÿ êàê ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíû áûëè ïîëó÷åíû â 19401950-å ãã. [1, 2], à ïåðâàÿ ïðîãðàììà èõ âû÷èñëåíèÿ äëÿ ÝÂÌ áûëà ñîçäàíà â 1968 ã. [3], âûðàæåíèå äëÿ òðåòüåé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû â îáùåì âèäå áûëî âïåðâûå âû÷èñëåíî òîëüêî â 2008 ã. [47]. Ýòî ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ðåàëèçàöèè ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ íà èõ îñíîâå è ïðèìåíåíèþ ñîâðåìåííûõ Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 5 ìåòîäîâ êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé.  íàñòîÿùåé ñòàòüå îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ïðèâåäåíû ïðèìåðû èõ êîìïüþòåðíûõ ðåàëèçàöèé. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â ñëó÷àå äâóõ ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (òàê íàçûâàåìûé êðèòè÷åñêèé ñëó÷àé, êîãäà îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå ñèñòåìû äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè èñõîäíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû) â êëàññè÷åñêèõ ðàáîòàõ À. Ïóàíêàðå [8] è À.Ì. Ëÿïóíîâà [9] áûë ïðåäëîæåí ìåòîä âû÷èñëåíèÿ òàê íàçûâàåìîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû (ôîêóñíîé âåëè÷èíû èëè êîíñòàíòû ÏóàíêàðåËÿïóíîâà). Çíàê ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû õàðàêòåðèçóåò çàêðóòêó/ðàñêðóòêó ðåøåíèé ñèñòåìû â ìàëîé îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è óñòîé÷èâîñòü/íåóñòîé÷èâîñòü ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íî ãëàäêóþ äâóìåðíóþ ñèñòåìó 2. Ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû. dx = F (x, y), dt dy = G(x, y), dt (1) ãäå F (0, 0) = G(0, 0) = 0 (ò. å. òî÷êà (0, 0) ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ñèñòåìû). Çàïèøåì ñèñòåìó (1) â âèäå dx = f10 x + f01 y + f (x, y), dt dy = g10 x + g01 y + g(x, y), dt (2) ãäå ðàçëîæåíèå ôóíêöèé f è g íà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíîâ íå íèæå âòîðîãî ïîðÿäêà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â îòêðûòîé îêðåñòíîñòè U ðàäèóñà RU òî÷êè (x, y) = (0, 0) ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå n-ãî ïîðÿäêà f (·, ·), g(·, ·) : R × R → R ∈ C n (U ) 6 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru (3) è âûïîëíåíî ïðåäñòàâëåíèå f (x, y) = g(x, y) = n X k+j=2 n X fkj xk y j + o (|x| + |y|)n = fn (x, y) + o (|x| + |y|)n , gkj xk y j + o (|x| + |y|)n = gn (x, y) + o (|x| + |y|)n . k+j=2 (4) Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñèñòåìû â íóëåâîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå f10 f01 A(0,0) = (5) g10 g01 è, ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ σ = TrA(0,0) = f10 + g01 , ∆ = det A(0,0) = f10 g01 − f01 g10 , çàïèøåì åå ñîáñòâåííûå ÷èñëà: λ1,2 σ = ± 2 r σ2 − ∆. 4 Ïóñòü ìàòðèöà A(0,0) ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñèñòåìû èìååò äâà ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñëà (ò. å. σ = 0 è ∆ > 0).  ýòîì ñëó÷àå, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè (ò. å. âñåãäàñóùåñòâóån òàêàÿ íåîñîáàÿ ëèíåéíàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ), ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî f10 = 0, f01 = −1, g10 = 1, g01 = 0 è ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó dx = −y + f (x, y), dt dy = x + g(x, y). dt (6) Çäåñü â ñèñòåìå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ dx = −y, dt dy =x dt (7) äëÿ ñèñòåìû (6) ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû ðàâíû ±i è âñå òðàåêòîðèè ñèñòåìû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè, à Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 7 Ðèñ. 1: Öåíòð (a) è ôîêóñ (b) ïðè îïðåäåëåíèè ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû. ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà (0, 0) íàçûâàåòñÿ öåíòðîì (ðèñ. 1, (a)). Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ f (x, y) è g(x, y) íà ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé ñèñòåìû (6) â ìàëîé îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè ðàññìîòðèì, ñëåäóÿ ìåòîäó Ïóàíêàðå, ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè (6) ñ ïðÿìîé x = 0. Âûïóñòèì â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 èç òî÷êè (0, h) íà ïðÿìîé x = 0 òðàåêòîðèþ x(t, h), y(t, h) x(0, h), y(0, h) = 0, h è îáîçíà÷èì ÷åðåç T (h) âðåìÿ îáîðîòà òðàåêòîðèè âðåìÿ äî ñëåäóþùåãî ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñ ïðÿìîé x = 0 (äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h òàêîå âðåìÿ ñóùåñòâóåò è êîíå÷íî, òàê êàê ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåì (6) è (7) ðàçòëè÷àþòñÿ íà o(|x| + |y|) â îêðåñòíîñòè íóëÿ). Òîãäà x(T (h)) = 0, à y(T (h)) ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèáëèæàòü îòðåçêîì ðÿäà ïî ñòåïåíÿì h e 2 h2 + L e 3 h3 + ... y(T (h)) = h + L (8) e m íàçûâàåòñÿ ëÿïóíîâÇäåñü ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò L ñêîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿåò óñòîé÷èâîñòü èëè íåóñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîé òî÷êè è õàðàêòåðèçóåò çàêðóòêó/ðàñêðóòêó òðàåêòîðèè 8 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru (ðèñ. 1, b). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò áóäåò îáÿçàòåëüíî èìåòü íå÷åòíûé íîìåð m = (2k + 1). Çíà÷åíèå L2k+1 íàçûâàþò k -é ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíîé: e 2k+1 , Lk = L à ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ñëàáûì ôîêóñîì k -ãî ïîðÿäêà. Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû è äëÿ êîìïëåêñíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (5) â ñëó÷àå σ 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íóëåâîé ëÿïóe1 : íîâñêîé âåëè÷èíû L0 = L e 1 )h + o(h), y(T (h)) = (1 + L êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ýêñïîíåíöèàëüíûé ðîñò ðåøåíèé ñèñòåìû (àíàëîãè÷íî ëÿïóíîâñêèì ýêñïîíåíòàì èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîêàçàòåëÿì, ñì. [10]), îáóñëîâëåííûé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë. Îòìåòèì, ÷òî, ñëåäóÿ ðàáîòå À.Ì. Ëÿïóíîâà [9], àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ìîæíî ïðîâîäèòü è äëÿ ñèñòåì áîëüøåé ðàçìåðíîñòè (â ñëó÷àå, êîãäà ó ëèíåéíîé ñèñòåìû äâà ÷èñòî ìíèìûõ êîðíÿ è îñòàëüíûå îòðèöàòåëüíûå). Íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ïî âû÷èñëåíèþ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåì áîëüøåé ðàçìåðíîñòè ñîäåðæàòñÿ, íàïðèìåð, â [1]. Ðàçâèòèå ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ è àíàëèçà ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòèìóëèðîâàëîñü è ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè (16-é ïðîáëåìîé Ãèëüáåðòà, îïðåäåëåíèåì öèêëè÷íîñòè ôîêóñà, ðàçëè÷åíèåì öåíòðà è ôîêóñà), è ïðèêëàäíûìè çàäà÷àìè (èññëåäîâàíèåì ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè è âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé). Òàê, ìåòîä Í.Í. Áàóòèíà [11], îñíîâàííûé íà íåçàâèñèìîì ðàçíîíàïðàâëåííîì èçìåíåíèè çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíûõ íóëåâûõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ïðè ïîìîùè âîçìóùåíèé êîýôôèöèåíòîâ, ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (òàê íàçûâàåìàÿ ëîêàëüíàÿ 16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà [12]) â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû. Äëÿ äâóìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì ýòà òåõíèêà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü òðè ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëà âîêðóã îäíîãî èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ (ñëàáîãî ôîêóñà) [11], à äëÿ äâóìåðíûõ ñèñòåì ñ ïðàâîé ÷àñòüþ â 3. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 9 âèäå ïîëèíîìîâ n-îé ñòåïåíè ïîëó÷èòü îöåíêó ñíèçó ÷èñëà ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (ñì., íàïðèìåð, îáçîðû [1315]). Çäåñü îñíîâíîé ïðîáëåìîé (ñì., íàïðèìåð, [16,17]) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ íóëåé â âûðàæåíèÿõ äëÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí (îïðåäåëåíèå òàê íàçûâàåìîãî áàçèñà èäåàëà Áàóòèíà, îñíîâàííîãî íà ïîëèíîìèàëüíûõ âûðàæåíèÿõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû).  èíæåíåðíîé ìåõàíèêå ñ âû÷èñëåíèåì ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñâÿçàí âàæíûé âîïðîñ î ïîâåäåíèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà, áëèçêèõ ê ãðàíèöå îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè. Ñëåäóÿ ðàáîòå Í.Í. Áàóòèíà [1], ðàçëè÷àþò ¾îïàñíûå¿ è ¾áåçîïàñíûå¿ ãðàíèöû, ìàëîå íàðóøåíèå êîòîðûõ âëå÷åò ìàëûå (îáðàòèìûå) èëè íåîáðàòèìûå èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Òàêèå èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò, íàïðèìåð, ñöåíàðèÿì ¾ìÿãêîãî¿ è ¾æåñòêîãî¿ âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, ðàññìîòðåííûì À.À. Àíäðîíîâûì [18]. Òàê, â ñëó÷àå äâóõ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ëèíåéíîé ÷àñòè äâóìåðíîé ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè ïðè ïåðåñå÷åíèè ãðàíèöû îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè îò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè êîðíåé ê ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïåðâàÿ ëÿïóíîâñêàÿ âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíà, òî ïîÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûé óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë, êîòîðûé ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó ïðè îáðàòíîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ¾áåçîïàñíîé¿ ãðàíèöå. Íàïðîòèâ, åñëè ïåðâàÿ ëÿïóíîâñêàÿ âåëè÷èíà ïîëîæèòåëüíà, òî ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ òðàåêòîðèÿ ìîæåò îòîéòè áåñêîíå÷íî äàëåêî îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ¾îïàñíîé¿ ãðàíèöå.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí è èõ êîìïüþòåðíûõ ðåàëèçàöèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü äàííûå âåëè÷èíû â âèäå ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé, çàâèñÿùèõ îò êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ñèñòåìû. Ýòè ìåòîäû ðàçëè÷àþòñÿ ïî ñëîæíîñòè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ, ïðîñòðàíñòâó, â êîòîðîì ïðîâîäÿòñÿ âû÷èñëåíèÿ, è êîìïàêòíîñòè ïîëó÷àåìûõ ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé [14, 15, 1923]. Ïåðâûé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí áûë ïðåäëîæåí â ðàáîòàõ [8] è [9]. Îí áàçèðóåòñÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíîì ïîñòðîåíèè ôóíêöèè Ëÿïóíîâà íà îñíîâå èíòåãðàëà ëèíåéíîé ÷àñòè ñèñòåìû.  äàëüíåéøåì áûëè ðàçðàáîòàíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëå10 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru íèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, èñïîëüçóþùèå ïðèâåäåíèå ñèñòåìû ê íîðìàëüíîé ôîðìå [14, 24]. Îäíàêî ïðè ðåàëèçàöèè ýòèõ ìåòîäîâ âîçíèêàþò ñëîæíîñòè, ñâÿçàííûå ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ ïðîöåññà ïîñòðîåíèÿ íîðìàëüíîé ôîðìû ñèñòåìû. Äðóãîé ïîäõîä ê âû÷èñëåíèþ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñâÿçàí ñ íàõîæäåíèåì ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ ñèñòåìû. Òàê, â ðàáîòå [9] èñïîëüçóåòñÿ ïåðåõîä ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì è ïðîöåäóðà ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ.  ðàáîòàõ [46] áûë ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ (â âèäå êîíå÷íîé ñóììû ïî ñòåïåíÿì íà÷àëüíûõ äàííûõ) â èñõîäíîé åâêëèäîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è âî âðåìåííîé îáëàñòè. Ïðåèìóùåñòâîì äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ èäåîëîãè÷åñêàÿ ïðîñòîòà è íàãëÿäíîñòü. Ýòîò ïîäõîä òàêæå ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ èçîõðîííîãî öåíòðà [25], òàê êàê ïîçâîëÿåò íàéòè ïðèáëèæåíèå âðåìåíè ¾îáîðîòà¿ òðàåêòîðèè â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ. ×àñòî äëÿ óïðîùåíèÿ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ è êîíå÷íûõ âûðàæåíèé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè ðàññìîòðåííûõ âûøå ìåòîäîâ, ñâÿçàííûå ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñèñòåìû ê êîìïëåêñíûì ïåðåìåííûì [3, 14, 23, 26]. Òàê, íà îñíîâå ìîäèôèêàöèè äëÿ êîìïëåêñíîé îáëàñòè ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà â 1968 ã. áûëà ðàçðàáîòàíà, ïî-âèäèìîìó, ñàìàÿ ïåðâàÿ êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí [3]. Îòìåòèì, ÷òî àíàëèç è âû÷èñëåíèå ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ìîãóò áûòü òàêæå ñâåäåíû ê ïðèìåíåíèþ ðåêóððåíòíûõ ôîðìóë [15], èñïîëüçîâàíèþ àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ñïåöèàëüíûõ ïîëèíîìîâ [12, 17]. Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî â òî âðåìÿ êàê ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåì îáùåãî âèäà áûëè âû÷èñëåíû åùå â 19401950-å ãã. ñîîòâåñòâåííî Í.Í. Áàóòèíûì [1] è Í.Í. Ñåðåáðÿêîâîé [2], âû÷èñëåíèå âûðàæåíèé äëÿ ïîñëåäóþùèõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòàëî âîçìîæíûì ëèøü ìíîãî ïîçæå áëàãîäàðÿ ïîÿâëåíèþ ìîùíîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Òàê, âûðàæåíèå äëÿ òðåòüåé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû â îáùåì âèäå â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ñèñòåìû ïîëó÷åíî â 2008 ã. ïðè ïîìîùè ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé [46] è çàíèìàåò íåñêîëüêî ñòðàíèö. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 11 Ìåòîä ÏóàíêàðåËÿïóíîâà: ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. Ñëåäóÿ êëàññè÷åñêèì ðàáîòàì [8,9], ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà äëÿ ñèñòåìû (6). Çàìåòèì, ÷òî V2 (x, y) = (x2 + y 2 ) 2 ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ñèñòåìû (7) (ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ñèñòåìû (6)), è áóäåì äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû (6) èñêàòü â îêðåñòíîñòè íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà â âèäå x2 + y 2 V (x, y) = + V3 (x, y) + ... + Vn+1 (x, y), (9) 2 ãäå Vk (x, y) îäíîðîäíûå ïîëèíîìû X Vk (x, y) = Vij xi y j , k = 3, ..., n + 1 i+j=k ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè {Vij }i+j=k . Äëÿ ïðîèçâîäíîé V (x, y) â ñèëó ñèñòåìû (6) ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ (4) èìååì V̇ (x, y) = ∂V (x, y) ∂V (x, y) (−y + fn (x, y)) + (x + gn (x, y))+ ∂x ∂y (10) +o (|x| + |y|)n+1 . Îáîçíà÷àÿ â ïîëó÷èâøåìñÿ âûðàæåíèè îäíîðîäíûå ÷ëåíû ïîðÿäêà k ÷åðåç Wk (x, y) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ðàâåíñòâà V̇2 (x, y) = xf (x, y) + yg(x, y) = o (|x| + |y|)2 , âûïîëíåíî V̇ (x, y) = o (|x| + |y|)2 , ïîëó÷èì V̇ (x, y) = W3 (x, y) + ... + Wn+1 (x, y) + o (|x| + |y|)n+1 . (11) Çäåñü Wk (x, y) = ∂Vk (x, y) ∂Vk (x, y) x −y ∂y ∂x + uk (x, y), ãäå êîýôôèöèåíòû ôîðìû uk (x, y) çàâèñÿò îò {Vij }i+j<k è {fij , gij }i+j<k . 12 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru Êîýôôèöèåíòû {Vij }i+j=k ìîãóò áûòü ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëåíû äëÿ k = 3, 4, ... òàê, ÷òîáû ïðîèçâîäíàÿ V (x, y) â ñèëó ñèñòåìû (11) ïðèíÿëà âèä V̇ (x, y) = w1 (x2 + y 2 )2 + w2 (x2 + y 2 )3 + ..., ãäå wi íåêîòîðûå âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå òîëüêî êîýôôèöèåíòû {fij , gij } ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ñèñòåìû. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ {Vij }i+j=k ïðè íå÷åòíûõ k íåîáõîäèìî ðåøèòü âîîáùå ãîâîðÿ íåîäíîðîäíóþ ëèíåéíóþ ñèñòåìó (ïîëó÷åííóþ èç óðàâíåíèÿ W2m+1 (x, y) = 0) èç (k+1) óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî (k + 1) íåèçâåñòíîãî êîýôôèöèåíòà, êîòîðàÿ âñåãäà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ïðè ÷åòíûõ k = (2m+2) ðåøàåòñÿ âîîáùå ãîâîðÿ íåîäíîðîäíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà (ïîëó÷åííàÿ èç ðàâåíñòâà W2m+2 (x, y)−wm (x2 + y 2 )m+1 = 0) èç (k + 1) óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî (k + 2) íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ (k + 1) êîýôôèöèåíòà {Vij }i+j=k è wm . ×òîáû íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿëèñü åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ê ñèñòåìå äîáàâëÿþò [15] îäíî èç óðàâíåíèé: V(m+1) (m+1) = 0, åñëè m íå÷åòíîå, V(m) (m+2) + V(m+2) (m) = 0, åñëè m ÷åòíîå. Îòìåòèì çäåñü, ÷òî ðàâåíñòâî W2m+2 (x, y) = 0 ïðèâîäèò ê ëèíåéíîé ñèñòåìå, ó êîòîðîé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí 2m + 1 (â îòëè÷èå îò íå÷åòíûõ íîìåðîâ). Ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò wm íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé Ëÿïóíîâà èëè ÏóàíêàðåËÿïóíîâà [19, 25] (2πwm ðàâíÿåòñÿ m-é ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíå [27]). Åñëè òàêàÿ êîíñòàíòà wm 6= 0 íàéäåíà, òî â íåêîòîðîé ìàëîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ïðîèçâîäíàÿ V (x, y) â ñèëó ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé (çíàê ñîâïàäàåò ñî çíàêîì wm ), à ñàìà V (x, y) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé (ò. å. ïîñòðîåíà ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè): V (x, y) = x2 + y 2 + o (|x| + |y|)2 , 2 V̇ (x, y) = wm (x2 + y 2 )m+1 + o (|x| + |y|)2m+2 . Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 13 Åñëè äëÿ ñèñòåìû ñ àíàëèòè÷åñêèìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè âñå wk = 0, òî â ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòè âñå òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè, ñ ïåðèîäîì, çàâèñÿùåì îò íà÷àëüíûõ äàííûõ. Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab. 14 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru Ìåòîä Ëÿïóíîâà: ïðèâåäåíèå ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì. Ðàññìîòðèì, ñëåäóÿ ðàáîòå [9], ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñäåëàåì â ñèñòåìå (6) çàìåíó ïåðåìåííûõ x = r cos φ, y = r sin φ è, âûðàæàÿ ïðîèçâîäíûå r è φ, ïåðåéäåì ê ñèñòåìå ṙ = f (r cos φ, r sin φ) cos φ + g(r cos φ, r sin φ) sin φ, φ̇ = 1 − f (r cos φ, r sin φ) sin φ g(r cos φ, r sin φ) cos φ + . r r Çäåñü, ñîãëàñíî (4), ïîêà r äîñòàòî÷íî ìàëî, φ áóäåò íåïðåðûâíî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé è ìîæåò èãðàòü ðîëü ¾âðåìåíè¿. Ïîäåëèâ ïåðâîå óðàâíåíèå íà âòîðîå, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ r ïîëó÷èì óðàâíåíèå dr = dφ f (r cos φ, r sin φ) cos φ + g(r cos φ, r sin φ) sin φ = R(r, φ), f (r cos φ, r sin φ) sin φ g(r cos φ, r sin φ) cos φ 1− + r r (12) ãäå R(0, 0) = 0. Çäåñü ôóíêöèÿ R(r, φ) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ïî φ ñ ïåðèîäîì 2π , à òàêæå, ñîãëàñíî (4), èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n è âûïîëíåíà îöåíêà R(r, φ) = o(r). Òîãäà ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå dr er (φ)r2 + ... + R er (φ)rn + o(rn ). =R dφ Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru (13) 15 Çäåñü φ ∈ [0, 2π] è íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå çàâèñèìîñòü îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà o(rn ) îò φ (ýòî ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, êîãäà n P ke R(r, φ) − r Rr (φ) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé è, ñîîòâåòk=1 ñòâåííî, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé ïî φ íà ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå). Ó÷èòûâàÿ ïðåäñòàâëåíèå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (13), áóäåì èñêàòü ðåøåíèå r(φ, h), ãäå r(0, h) = h, â âèäå r(φ, h) = h + reh (φ)h2 + reh (φ)h3 + ... + reh (φ)hn + o(hn ). (14) Ïîäñòàâëÿÿ ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ (14) â óðàâíåíèå (13) è ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ h, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ de rh (φ) er (φ), =R dφ de rh (φ) er (φ) + 2R er (φ)e =R rh (φ), dφ ··· de rh (φ) er (φ) + 2R er (φ)e =R rh dφ (15) (φ) + ... äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ reh (φ) òàêèõ, ÷òî reh (0) = 0. Ðàññìàòðèâàÿ r(φ, h) ïðè φ = 2π ïîëó÷èì ôóíêöèþ ïîñëåäîâàíèÿ r(2π, h) = h + re2 h2 + re3 h3 + ..., rek = reh (2π), ãäå rek íàçûâàþòñÿ ôîêóñíûìè âåëè÷èíàìè. Åñëè re2 = ... = re2m = 0, òî re2m+1 ðàâíÿåòñÿ m-îé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíå. Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab. 16 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru Ìåòîä àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèé è âðåìåíè îáîðîòà â Åâêëèäîâûõ êîîðäèíàòàõ è âî âðåìåííîé îáëàñòè.  ðàáîòàõ [46] áûë ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ â èñõîäíîé åâêëèäîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è âî âðåìåííîé îáëàñòè, ïðåèìóùåñòâîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ èäåîëîãè÷åñêàÿ ïðîñòîòà è íàãëÿäíîñòü. Ïóñòü x(t, x(0), y(0)), y(t, x(0), y(0)) ðåøåíèå ñèñòåìû (6) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè x(0) = 0, y(0) = h. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru (16) 17 Îáîçíà÷èì x(t, h) = x(t, 0, h), y(t, h) = y(t, 0, h). Ðàññìîòðèì âðåìÿ T (h) ïåðâîãî ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿ x(t, h), y(t, h) ñ ïîëóîñüþ {x = 0, y > 0} è äîîïðåäåëèì (ïî íåïðåðûâíîñòè) åãî â íóëå: T (0) = 2π . Èç óñëîâèÿ ãëàäêîñòè (3) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h ñëåäóåò, ÷òî âðåìÿ îáîðîòà T (h) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå T (h) = 2π + ∆T (h) = 2π + n X k=1 1 dk T (h) Tek hk + o(hn ), Tek = , (17) k! dhk à ðåøåíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâèìî â âèäå x(t, h) = xh (t, h) + o(hn ) = n X x eh (t)hk + o(hn ), k=1 k x eh (t) = 1 ∂ x(t, h) , k! ∂hk n y(t, h) = yh (t, h) + o(h ) = n X (18) k n yeh (t)h + o(h ), k=1 yeh (t) = 1 ∂ k y(t, h) . k! ∂hk Çäåñü t ∈ [0, T (h)] è íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå çàâèñèìîñòü îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà o(hn ) îò t (ýòî ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, êîãäà x(t, h) − xh (t, h) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé è ñîîòâåòñòâåííî ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé ïî t íà ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå). Äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè (16) èìååì xh (t, h) = x eh (t)h = −h sin(t), yh (t, h) = yeh (t)h = h cos(t), (19) à ïîñëåäóþùèå ïðèáëèæåíèÿ (xh (t, h), yh (t, h)) îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåêóððåíòíîé ïðîöåäóðû. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ k ãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ ïðè ïîäñòàíîâêå x(t, h) = xh (t, h) + o(hk ) è y(t, h) = xh (t, h) + o(hk ) â f (x, y) è g(x, y) ïîëó÷èâøèåñÿ âûðàæåíèÿ ïðè hk (îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç ufh è ugh ñîîòâåòñòâåííî) áóäóò çàâèñåòü òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé 18 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru {xh (t, h), yh (t, h)}m<k (ò. å. â ðàìêàõ ðåêóððåíòíîé ïðîöåäóðû áóäóò èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè) è íå áóäóò çàâèñåòü îò íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé x eh (t) è yeh (t): f xh (t, h) + o(hk ), yh (t, h) + o(hk ) = ufh (t)hk + o(hk ), g xh (t, h) + o(hk ), yh (t, h) + o(hk ) = ugh (t)hk + o(hk ). (20) Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè (18) â (6) äëÿ îïðåäåëåíèÿ x eh (t) è yeh (t) ïîëó÷èì ñèñòåìó de xh (t) = −e yh (t) + ufh (t), dt de yh (t) =x eh (t) + ugh (t). dt (21) Ëåììà 1 Äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (21) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè x eh (0) = 0, (22) yeh (0) = 0 èìååì Z t x eh (t) = ugh (0) cos(t) + cos(t) cos(τ ) (ugh (τ )) + ufh (τ ) dτ + 0 Z t + sin(t) sin(τ ) (ugh (τ )) + ufh (τ ) dτ − ugh (t), 0 Z t yeh (t) = ugh (0) sin(t) + sin(t) cos(τ ) (ugh (τ )) + ufh (τ ) dτ − 0 Z t g − cos(t) sin(τ ) (uh (τ )) + ufh (τ ) dτ. 0 (23) Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ (20) è (23), ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (18). Ðàññìîòðèì âðåìÿ t = 2π+∆T (h) è ïðåäñòàâèì, ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ãëàäêîñòè (3), íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû â âèäå x eh (2π + ∆T (h)) = x eh (2π) + n X m=1 (m) x eh (2π) (∆T (h))m + m! +o((∆T (h))n ), k = 1, ..., n. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 19 Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ñ ó÷åòîì (17), â ïåðâîå óðàâíåíèå (18) è îáîçíà÷àÿ êîýôôèöèåíòû ïðè hk ÷åðåç x ek , ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå x(T (h), h) ïî ñòåïåíÿì h: x(T (h), h) = n X x ek hk + o(hn ). (24) k=1 Èç ðàâåíñòâà x(T (h), h) = 0 äëÿ êîýôôèöèåíòîâ {e xk } ïîëó÷èì h: 0=x e1 = x eh (2π), h2 : 0=x e2 = x eh (2π) + x eh (2π)Te1 , h3 : 1 1 eh (2π)Te1 + x e (2π)Te12 , 0=x e3 = x eh (2π) + x eh (2π)Te2 + x 2 2 h ··· hn : 0=x en = x eh (2π) + x eh (2π)Ten 1 + ... Îòñþäà ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû Tek=1,...,n 1 ÷åðåç êîýôôèöèåíòû fij è gij , òàê êàê â âûðàæåíèå äëÿ x ek âõîäÿò êîýôôèöèåíòû Te1 m<k 1 è ñëàãàåìîå x eh (2π)Tek 1 = e −Tk 1 (çäåñü îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t). Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó äëÿ y(T (h), h), ïîëó÷èì èç ðàâåíñòâà n X y(T (h), h) = yek hk + o(hn ) k=1 ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: h: 2 ye1 = yeh (2π), h : ye2 = yeh (2π) + yeh (2π)Te1 , h3 : 1 1 ye3 = yeh (2π) + yeh (2π)Te2 , + yeh (2π)Te1 + yeh (2π)Te12 , 2 2 ··· hn : yen = yeh (2π) + yeh (2π)Ten 1 + ... äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ yek=1,...,n . Çäåñü yeh (2π) = 1, çíà÷åíèÿ Tek=1,..,n 1 è ôóíêöèè yeh (t) îïðåäåëåíû âûøå. Åñëè ïðè ýòîì ye2 = ... = ye2m = 0, òî ye2m+1 ÿâëÿåòñÿ m-é ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíîé Lm . 20 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru Îòìåòèì çäåñü, ÷òî èç ðàâåíñòâ x eh (2π) = 0 è yh (2π, h) = 0 ñëåäóåò, ÷òî L1 íå çàâèñèò îò ∆T (h), òàê êàê T1 = 0 è yeh (2π)Te2 = 0, à Lm 2 çàâèñèò îò {Tek }2 k 2m 1 . Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 21 Ïðèìåíåíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà íà ïîñëåäíåì øàãå âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû. Ïóñòü èçâåñòíû ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ (x(t, h) = xh (t, h) + o(h2m ), y(t, h) = yh (t, h) + o(h2m )) è âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ T (h) = 2π + ∆T2m (h) + o(h2m ) ñ òî÷íîñòüþ äî o(h2m ). Òîãäà â ñëó÷àå ye2 = ... = ye2m = 0 (25) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êà÷åñòâåííîãî ïîâåäåíèÿ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè íóëÿ ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà è åå ïðîèçâîäíóþ â ñèëó ñèñòåìû (6) V (x, y) = (x2 + y 2 ) , 2 V̇ (x, y) = xf (x, y) + yg(x, y). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå T Z(h) L(h) V̇ x(t, h), y(t, h) dt. = 0 Òîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå: 22 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru Ëåììà 2 2π+∆T Z L(h) (h) xh = (t, h)f xh (t, h), yh (t, h) + (26) 0 +yh (t, h)g xh (t, h), yh (t, h) dt + o(h2m+2 ). Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå (26) äëÿ L(h) íàéäåííûå â âèäå ðÿäà (18) è (17) ïî ñòåïåíÿì h ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ (xh (t, h), yh (t, h)) è âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ T2m (h) ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðèðóÿ è ñîáèðàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ h, ïîëó÷èì 2m+2 X e k hk + o(h2m+2 ). L(h) = L k=3 e 3,...,2m+1 = 0 è L e 2m+2 = Lm . Çäåñü, ñîãëàñíî (25), ïîëó÷èì L 4. Ìàëûå ïðåäåëüíûå öèêëû. Åñëè L1,...,n 1 = 0 è Ln 6= 0, òîãäà, ñëåäóÿ ìåòîäó Áàóòèíà [1,11], ìîæíî â îáùåì ñëó÷àå ïîñòðîèòü n ¾ìàëûõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ ñ ïîìîùüþ ìàëûõ âîçìóùåíèé êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (ñì., íàïðèìåð [15]). Òàê, åñëè L1 = 0 è L2 > 0, ìîæíî, ñëàáî âîçìóùàÿ êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû, äîáèòüñÿ, ÷òîáû â âîçìóùåííîé ñèñòåìå âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà L1 < 0, L2 > 0. Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ h = r0 I òðàåêòîðèè âîçìóùåííîé ñèñòåìû áóäóò çàêðó÷èâàòüñÿ âîêðóã ñòàöèîíàðíîé òî÷êè, à äëÿ íåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ h = r0 II (r0 II >> r0 I ) òðàåêòîðèè ñèñòåìû áóäóò ðàñêðó÷èâàòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïèñàííîãî âîçìóùåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ¾ìàëûé¿ íåóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë (Ðèñ. 2) âîêðóã íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, âîçìóùàÿ íåñêîëüêî ïåðâûõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, â âîçìóùåííîé ñèñòåìå ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêî ¾ìàëûõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ. Òàê, äëÿ êâàäðàòè÷íîé ñèñòåìû ýòà òåõíèêà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü 3 ¾ìàëûõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëà, åñëè êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 23 Ðèñ. 2: . Ïîñòðîåíèå ¾ìàëîãî¿ ïðåäåëüíîãî öèêëà. ïîäîáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî L1,2 = 0 è L3 6= 0 (çàìåòèì, ÷òî åñëè â êâàäðàòè÷íîé ñèñòåìå L1,2,3 = 0, òî L4,5,... = 0). Äàëüíåéøåå ïðèìåíåíèå ãëîáàëüíîãî àíàëèçà ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü àíàëèç îáëàñòåé ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñî-ñóùåñòâîâàíèþ ¾ìàëûõ¿ è ¾áîëüøèõ¿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (ñì., íàïðèìåð, [2838]).  îáùåì ñëó÷àå ìåòîä îïðåäåëåíèÿ è âîçìóùåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì îöåíêè ñíèçó âîçìîæíîãî ÷èñëà ïðåäåëüíûõ öèêëîâ â 16-é ïðîáëåìå Ãèëüáåðòà (ñì., íàïðèìåð, [15]). 5. Ïðèìåðû. Óðàâíåíèå Äóôôèíãà. Çàïèøåì óðàâíåíèå Äóôôèíãà ẍ + x + x3 = 0 â âèäå ñèñòåìû ẋ = −y, ẏ = x + x3 . (27) Òîãäà äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (x(t), y(t)) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè x0 = 0, y0 = h èìååì 1 y(t)2 + x(t)2 + x(t)4 = h2 , (28) 2 è, ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèè ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè è ïåðèîäè÷åñêèìè. Îòñþäà â êâàäðàíòå (x < 0 < y) ïîëó÷èì q p x(t) = − −1 + 1 + 2h2 − 2y(t)2 , 24 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru è èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (27) ñëåäóåò 1 dt = = dy x(1 + x2 ) 1 q . p p − −1 + 1 + 2h2 − 2y 2 1 + 2h2 − 2y 2 Òîãäà, ðàññìàòðèâàÿ ÷åòâåðòü îáîðîòà òðàåêòîðèè äî ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿ ñ ïîëóîñüþ x < 0, y = 0, äëÿ ïîëíîãî âðåìåíè îáîðîòà (ïåðèîäà) òðàåêòîðèè T (h) ïîëó÷èì 0 Z T (h) = 4 h dy q . p p − −1 + 1 + 2h2 − 2y 2 1 + 2h2 − 2y 2 ×òîáû èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ íå çàâèñåë îò h, ñäåëàåì çàìåíó y y = h cos(z) ⇒ z = arccos , dy = −h sin(z)dz h π y = h ⇒ z = 0, y = 0 ⇒ z = 2 è ïîëó÷èì Z T (h) = 4 0 π/2 q −1 + h sin(z)dz . p 1 + 2h2 sin2 z 1 + 2h2 sin2 z p Çäåñü, ðàñêëàäûâàÿ ôóíêöèþ T (h) â ñóììó ïî ñòåïåíÿì h T (h) = 2π + Te1 h + Te2 h2 + Te3 h3 + Te4 h4 + Te5 h5 + Te6 h6 + ... ìîæíî àíàëèòè÷åñêè ïîëó÷èòü çíà÷åíèÿ âðåìåííûõ êîíñòàíò 3π 105π e 1155π Te1 = 0, Te2 = − , Te3 = 0, Te4 = , T5 = 0, Te6 = , ... 4 128 1024 Äëÿ ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (27) ïî ñòåïåíÿì h x(t, h) = x eh (t)h + x eh (t)h2 + x eh (t)h3 + x eh (t)h4 + ... y(t, h) = yeh (t)h + yeh (t)h2 + yeh (t)h3 + yeh (t)h4 + ... ïîëó÷èì x eh (t) = − sin(t), yeh (t) = cos(t); x eh (t) = yeh (t) = 0; Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 25 3 1 1 cos(t)2 sin(t) − t cos(t) + sin(t), 8 8 4 3 3 3 yeh (t) = − t sin(t) + cos(t) − cos(t)3 , 8 8 8 x eh (t) = yeh (t) = 0. x eh (t) = Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå çäåñü ïðèáëèæàåòñÿ îòðåçêîì ðÿäà ïî ñòåïåíÿì íà÷àëüíîãî äàííîãî ñ íåïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðè ýòîì, âñå ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû ñèñòåìû ðàâíû íóëþ L1 = L2 = ... = 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ (28) çàìêíóòîñòè òðàåêòîðèé. Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí è âðåìåííûõ êîíñòàíò äëÿ óðàâíåíèÿ Äóôôèíãà. Âûðàæåíèÿ äëÿ Ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí â îáùåì âèäå. Ðàññìîòðèì ïîëíóþ äâóìåðíóþ ñèñòåìó ñ ðàçëîæåíèåì ïðàâûõ ÷àñòåé äî ïÿòîãî ïîðÿäêà: ẋ = − y + f20 x2 + f11 xy + f02 y 2 + f30 x3 + f21 x2 y + f12 xy 2 + f03 y 3 + + f40 x4 + f31 x3 y + f22 x2 y 2 + f13 xy 3 + f04 y 4 + f50 x5 + f41 x4 y+ + f32 x3 y 2 + f23 x2 y 3 + f14 xy 4 + f05 y 5 + o (|x| + |y|)5 , ẏ =x + g20 x2 + g11 xy + g02 y 2 + g30 x3 + g21 x2 y + g12 xy 2 + g03 y 3 + + g40 x4 + g31 x3 y + g22 x2 y 2 + g13 xy 3 + g04 y 4 + g50 x5 + g41 x4 y+ + g32 x3 y 2 + g23 x2 y 3 + g14 xy 4 + g05 y 5 + o (|x| + |y|)5 . (29) Äëÿ ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû èìååì [1] π L1 = (g21 + f12 + 3f30 + 3g03 + f20 f11 + f02 f11 − 4 −g11 g20 + 2g02 f02 − 2f20 g20 − g02 g11 ). 26 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âòîðîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû íàéäåì êîýôôèöèåíòû Te2 è Te3 ðàçëîæåíèÿ íåâÿçêè âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ: π 2 2 2 2 (−9g30 + 4f20 + 9f03 − 3g12 + 10g20 + 10f02 + 4g02 + Te2 = 12 2 2 + g11 + f11 + 3f21 − 5f20 g11 − f11 g20 − 5f11 g02 + 10g02 g20 − − f02 g11 + 10f20 f02 ), π 2 2 Te3 = − (2f20 + f02 + g11 )(−9g30 + 4f20 + 9f03 − 3g12 + 10g20 + 18 2 2 2 2 + 10f02 + 4g02 + g11 + f11 + 3f21 − 5f20 g11 − f11 g20 − 5f11 g02 + + 10g02 g20 − f02 g11 + 10f20 f02 ). Âûáåðåì êîýôôèöèåíò g03 òàê, ÷òîáû L1 = 0, 1 g03 = − (g21 +f12 +3f30 +f20 f11 +f02 f11 −g11 g20 +2g02 f02 −2f20 g20 − 3 g02 g11 ) è ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû [2]: π L2 = − (−66f20 g04 − 3f11 g30 f20 − 24g20 g02 g21 + 12f30 g11 f02 + 72 2 3 4f11 f20 g11 − 12f11 f21 f20 + 2g20 g11 − 9g11 g02 g12 − 12f20 f11 f03 − 2 12g11 g02 f03 + 3g20 f12 f11 + 9g21 g30 − 6f02 f11 g12 + 9g20 g11 g02 + 2 3 30f20 g02 g12 + 30g02 f21 f20 − 60g04 f02 + g11 f11 f20 − 5f11 f20 − 21f20 f13 − 2 2 3 +5f02 f11 f20 −3g11 g20 f21 + f20 −9g02 g21 f11 +7g11 g21 f02 −5f11 g11 f02 3f11 2 2 6g02 f20 f11 + 9g21 f03 − 3f30 f11 + 15f11 f40 − 21g11 g30 g02 − 6g11 f03 f11 + 2 2 f11 f02 g11 − 18g20 f03 f20 − 42g20 g02 f30 − 6g11 g12 g20 − 30f02 g20 f20 + 2 2 g02 + 3f11 g02 f02 +60f40 g20 +9g11 g40 +24f20 g20 f21 −9g11 g20 f03 −10g11 f20 18g02 g12 f02 − 6g11 f11 g30 − 24f20 f03 g02 − 30f03 f02 g02 − 24g11 g20 g30 − 2 2 + 12f11 f30 g02 − 3g12 f11 f20 + f12 g11 − 9f21 f30 + 27f30 g30 + 3f30 g11 2 2 2 2 − 15f30 g02 − 9f02 f31 − 28g20 f02 f20 − 2g11 g21 − 3f22 f11 − 14f12 f20 3 2 2 6f12 g12 + 27g13 g02 − 3f02 f11 + 7f20 g21 g11 + 3g20 f11 f20 − 10g02 g11 f20 − 2 10f02 f12 f20 − 12g20 f30 f11 + 6f02 f21 g20 + 18f02 f11 g02 + 3f12 g02 f11 + 2 2 2 f30 − 15f13 f02 + 6g20 g02 f12 + 18g02 f12 + 9g13 g20 − 3f12 f11 − 45g20 2 3 2 3 + + 3f02 g20 f11 30f20 g20 − 18g02 f04 + 18f20 g40 − 21g20 f20 g11 + 2g02 g11 2 2 2 20f02 f20 g02 − 9g02 g21 − 9g21 g20 f11 − 9f04 f11 + 6f22 g20 + 45f30 f02 + 3 15g11 g20 − 15g11 g04 + 12f02 g02 f21 − 5f12 g11 f20 + 18g12 g20 f20 − 2 5f12 g11 f02 + 20f02 g21 f20 + 21g02 g31 − 30g20 g02 f20 + 6g20 g12 f02 + 3 2 2 12f22 g02 + 3f21 g21 + 18f20 g02 + 24g11 g20 g02 + 18f20 g02 g20 + 6f11 g31 − 3 6g22 f02 + 15g31 g20 + 3g22 g11 − 12g22 f20 − 9f30 g12 − 18f20 g02 − Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 27 2 2 24f20 g02 g30 + 15f20 f11 g02 − 7g20 f02 g11 + 6g20 f02 f11 g02 − 6g11 f13 − 28f02 g11 g20 f20 − 12g11 f20 g02 f02 + 9g02 g11 f11 g20 − 9f02 f21 f11 − 2 2 2 f11 g11 f02 f20 − 15f30 f20 + 10f02 f20 g02 − 8g11 f02 g02 + 42f20 f30 f02 − 2 2 15g11 g20 f02 + 6f20 g20 f11 g02 − 6f21 f12 + 6g20 f11 f20 + 66f40 g02 + 2 27f30 f03 − 45g05 − 9g23 + 15g21 f02 − 27f20 f31 − 9g41 + 3g21 g12 + 2 3 9g11 g20 f11 −15f11 f02 f03 −45f50 +12f30 g11 f20 +10g20 f20 −48f20 g20 g30 − 2 2 2 2 10g02 f02 g11 − 9g11 g20 f20 + 13g21 f20 − 9f14 − 9f32 − 15g21 g20 ). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ L3 è L4 â îáùåì âèäå íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé ñèñòåìû äî 7-ãî è 9-ãî ïîðÿäêîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Âûðàæåíèå äëÿ L3 çàíèìàåò áîëåå 4 ñòðàíèö (21617 ñèìâîëîâ) è ïðèâåäåíî â [4, 6, 7]. Óðàâíåíèå Ëüåíàðà. Ðàññìîòðèì ïðàâóþ ÷àñòü â ñèñòåìå (2) ñïåöèàëüíîãî âèäà f10 = 0, f01 = −1, f (x, y) ≡ 0, g01 = 0, g(x, y) = gx1 (x)y + gx0 (x), ãäå gx1 (x) = g11 x + g21 x2 + ... , gx0 (x) = g20 x2 + g30 x3 + ... Òîãäà ìû ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ ñèñòåìó Ëüåíàðà (êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò øèðîêî èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Ëüåíàðà) â îáùåì âèäå ẋ = −y, ẏ = g10 x + gx1 (x)y + gx0 (x). (30) Çäåñü, äëÿ òîãî ÷òîáû ìàòðèöà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ â íóëå èìåëà äâà ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñëà, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ g10 > 0. Òàê êàê ðàññìîòðåííûå âûøå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ïðèâåäåíû äëÿ ñëó÷àÿ g10 = 1, òî äëÿ èõ èñïîëüçîâàíèÿ â ñèñòåìå íåîáõîäèìî ñäåëàòü çàìåíó r r 1 1 t→ t, x → x, g10 g10 òîãäà ïîñëå çàìåíû êîýôôèöèåíò g10 → 1. Îòìåòèì, ÷òî ýòà çàìåíà íå ìåíÿåò y , òàê êàê q 1 g dx dx y=− →−q = y. 1 dt dt g 28 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru Ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå (8), à çíà÷èò, âûðàæåíèÿ äëÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñîâïàäàþò â ñòàðûõ è íîâûõ ïåðåìåííûõ. Íèæå, â ñîîòñòâåñòâèè ñ [29, 39, 40], ïðèâåäåíû ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí Li=1,...,4 äëÿ îáùåãî âèäà ñèñòåìû Ëüåíàðà. Äëÿ ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû èìååì π (g21 g10 − g11 g20 ) . L1 = 5/2 4 (g10 ) g11 g20 Åñëè g21 = , òî L1 = 0 è g10 L2 = −π 24 (g10 ) 9/2 Åñëè g41 = L2 = 0 è L3 3 g11 g10 g40 − 3 g41 g10 2 + 5 g20 g10 g31 − 5 g30 g11 g20 . 3 g11 g10 g40 + 5 g20 g10 g31 − 5 g30 g11 g20 , òî ïîëó÷èì 3g10 2 −π (63 g40 g10 3 g31 − 70 g20 3 g10 g31 − 15/2 576 (g10 ) 105 g50 g10 2 g11 g20 + 105 g20 g10 3 g51 − 45 g61 g10 4 − 105 g30 g10 2 g20 g31 − 63 g30 g10 2 g11 g40 + 105 g30 2 g10 g11 g20 + 70 g20 3 g30 g11 + 45 g11 g10 3 g60 ). = Ïðèìåð ðåàëèçàöèè â MatLab âû÷èñëåíèÿ äâóõ ïåðâûõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåìû Ëüåíàðà. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 29 Ïîëó÷åííûå çäåñü ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü îôîðìëåíû â âèäå îòäåëüíûõ ôóíêöèé äëÿ äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ Ôóíêöèÿ ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû äëÿ ñèñòåìû Ëüåíàðà. Ëèòåðàòóðà 1. Áàóòèí Í.Í. Ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âáëèçè ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòèþ Ë.: ÎÃÈÇ: Ãîñòåõèçäàò, 1949. 2. Ñåðåáðÿêîâà Í.Í. Î ïîâåäåíèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòå- 3. Ùóêî Ñ.Ä. Âû÷èñëåíèå ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí àí ÝÂÖÌ. // Òðóäû Ãîðüêîâñêîãî èíñò. èíæ. âîäíîãî òðàíñïîðòà, 94, 1968, ñòð. 97109. 4. Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Computation of Lyapunov quantities. 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference ïåíüþ ñâîáîäû âáëèçè òåõ òî÷åê ãðàíèöû îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè, ãäå áåçîïàñíàÿ ãðàíèöà ïåðåõîäèò â îïàñíóþ. // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ. ÎÒÍ Ìåõàíèêà è ìàøèíîñòðîåíèå, 2, 1959, pp. 178182. (http://lib.physcon.ru/?item=1802), 2008. 30 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 5. Kuznetsov N.V. and Leonov G.A. Limit cycles and strange behavior of trajectories in two dimension quadratic systems. // Journal of Vibroengineering, Vol. 10, Iss. 4, 2008, pp. 460467. 6. Leonov G.A., Kuznetsov, N.V. and Kudryashova E.V. Limit cycles of two dimensional systems. Calculations, proofs, experiments. // Vestnik St.Petersburg University. Mathematics, 41(3), 2008, pp. 216250. 7. Kuznetsov N.V. Stability and Oscillations of Dynamical Systems: Theory 8. Poincare H. Memoire sur les courbes denies par lesequations dieentielles. // J. de. Mathematiques Pures et Appliquees, 4, Vol. 1, 1885, pp. 167244. 9. 10. 11. 12. and Applications. Jyv askyl a University Printing House, Jyvaskyl a, 2008. Ëÿïóíîâ À.Ì. Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Õàðüêîâ, 1892. Leonov G.A. and Kuznetsov N.V. Time-Varying Linearization and journal of bifurcation and chaos Vol. 17, Perron eects. // International issue 4, 2007, pp. 129. Áàóòèí Í.Í. Î ÷èñëå ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, ðîæäàþùèõñÿ ïðè èçìåíåíèè êîýôôèöèåíòîâ èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ òèïà ôîêóñ èëè öåíòð. // Ìàò. Ñáîðíèê (Í.Ñ.), 30(72), âûï. 1, 1952, ñòð. 181196. [Transl. into English: AMS Transl., (1)5, 1962, pp. 396413.] Hauser H., Risler J.-J. and Teissier B. The reduced Bautin index of Duke Math. J. 100, 1999, pp. 425445. planar vector elds. // 13. Lloyd N.G. Limit cycles of polynomial systems - some recent developments. In New Direction in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1988, pp. 182234. 14. Li J. Hilbert's 16th problem and bifurcation of planar polynomial vector elds. // Int. J. Bifurcation Chaos, 13, 2003, pp. 47106. 15. Lynch S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert's sixteenth problem. Chapter in the book Dierential Equations with Symbolic Computations, 2005, pp. 1-26. 16. Âàðèí Â.Ï. Îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâàíèÿ íåêîòîðûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. // Ìàòåì. Ñáîðíèê, 195(7), 2004, ñòð. 320. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 31 17. 18. 19. Romanovski V.G., Jarrah A.S. , Laubenbacher R. The cyclicity problem Dierential Equations and for two-dimensional polynomial systems. // Control Processes, 2, 2008. Àíäðîíîâ À.À., Âèòò À.À., Õàéêèí, Ñ.Ý. Òåîðèÿ êîëåáàíèé, Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959. Chavarriga J., Grau M. Some open problems related to 16th Hilbert Sci. Ser. A Math. Sci. N.S., 9, 2003, pp. 126. problem. // 20. Dumortier F., Llibre J. and Artes J. Qualitative Theory of Planar Dierential Systems. Berlin: Springer, 2006. 21. Christopher C. and Li Ch. Limit cycles of dierential equations. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Basel: Birkhauser Verlag, 2007. 22. Gine J. On some problems in planar dierential systems and Hilbert's 16th problem. // Chaos, Solutions and Fractals, Vol. 31, 2007, pp. 1118 1134. 23. Yu P., Chen G. Computation of focus values with applications. // Nonlinear Dynamics, 51(3), 2008, pp. 409427. 24. Yu P. Computation of normal forms via a perturbation technique. // J. Sound Vibr., 211, 1998, pp. 1938. 25. Sabatini M. & Chavarriga J. A survey of isochronous centers. // Qualitative Theory of Dynamical Systems, 1, 1999, pp. 170. 26. Gasull A., Guillamon A. and Manosa V. An explicit expression of the rst Liapunov and period constants with applications, J. Math. Anal. Appl., 211, 1997, pp. 190212. 27. Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener und spiraligerIntegralkurven) in der Umgebung Rationalre Unbestimmtkeitssellen. // Math. Annalen 109, 1934, pp. 395424. 28. Ëåîíîâ Ã.À. Ïðåäåëüíûå öèêëû óðàâíåíèÿ Ëüåíàðà ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè, // Äîêëàäû Àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìåõàíèêà, 2009, òîì 426, 1, ñ. 47-50 29. Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Lyapunov quantities and limit cycles of two-dimensional dynamical systems. Analytical methods and symbolic computation. // Regualr and chaotic dynamics, 2010. [in print] 32 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 30. Ëåîíîâ Ã.À. Ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ïîèñêà ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà, Òîì 74, Âûï. 1, 2010, ñòð. 37-73 31. Leonov G.À. Attractors, limit cycles and homoclinic orbits of low dimensional quadratic systems. analytical methods, // Canadian Applied Math Quarterly, Volume 17, 1, 2010, 121-159 32. Ëåîíîâ Ã.À. ×åòûðå ïðåäåëüíûõ öèêëà â êâàäðàòè÷íûõ äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ñ âîçìóùåííûì ñëàáûì ôîêóñîì ïåðâîãî ïîðÿäêà, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, 2010, òîì 431, 4, ñ. 447-449 33. Ëåîíîâ Ã.À. Ïðåäåëüíûå öèêëû â êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåìàõ ñî ñëàáûì ôîêóñîì ïåðâîãî ïîðÿäêà, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, 2010, òîì 435, 4, ñ. 1-4 34. Ëåîíîâ Ã.À. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèé äâóìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì â ïîëîæèòåëüíî èíâàðèàíòíîé ïîëóïëîñêîñòè, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, 2010, òîì 430, 2, ñòð. 157-159 35. Ëåîíîâ Ã.À. Ñèíòåç äâóìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì ñ ïðåäåëüíûì öèêëîì, èìåþùèì çàäàííûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, 2010, òîì 431, 3, ñòð. 316-318 36. Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â., Êóäðÿøîâà Å.Â. Ïðÿìîé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äâóìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, // Òðóäû Èíñòèòóòà Ìàòåìàòèêè è Ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ, Òîì 16, 1, 2010, ñòð. 119-126 37. Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â. Ïðåäåëüíûå öèêëû êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì ñ âîçìóùåííûì ñëàáûì ôîêóñîì 3-ãî ïîðÿäêà è ñåäëîâûì ñîñòîÿíèåì ðàâíîâåñèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê, ñåð. Ìàòåìàòèêà, òîì 434, 1, 2010, ñòð. 21-24 38. Ëåîíîâ Ã.À. Êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åòûðåõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ â êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåìàõ, // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà, Ò. 74, N2, 2010, ñòð. 191-201 39. Leonov G.A. and Kuznetsova O.A. Evaluation of the First Five Lyapunov Exponents for the Lienard System. Doklady Physics, 54(3), 2009, pp. 131133. 40. Êóçíåöîâà Î.À. Øåñòàÿ è ñåäüìàÿ ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû äëÿ ñèñòåìû Ëüåíàðà, // Âåñòíèê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà, Ñåðèÿ 10, 4, 2010, 25-29 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 33 Ëåîíîâ Ãåííàäèé Àëåêñååâè÷ äåêàí ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ), çàâ. êàô. ïðèêëàäíîé êèáåðíåòèêè, ÷ëåí-êîðð. ÐÀÍ. leonov@math.spbu.ru; ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò. +7(812)4286944, ôàêñ +7(812)428-6944. Gennady A. Leonov Dean of Mathematics and Mechanics Faculty of St. Petersburg State University. leonov@math.spbu.ru; Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce phone +7(812)428-6944, fax +7(812)428-6944. Êóçíåöîâ Íèêîëàé Âëàäèìèðîâè÷ ê.ô.-ì.í., äîöåíò; äîöåíò êàôåäðû ïðèêëàäíîé êèáåðíåòèêè ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ). kuznetsov@math.spb.ru, http://www.math.spbu.ru/user/nk/; ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò. +7(812)428-6944, ôàêñ +7(812)428-6944. Nikolay V. Kuznetsov PhD, Associate Professor of Applied Cybernetics Department, St.Petersburg State University. kuznetsov@math.spb.ru, http://www.math.spbu.ru/user/nk/; SPbGU, Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce phone +7(812)4286944, fax +7(812)428-6944. Êóäðÿøîâà Åëåíà Âëàäèìèðîâíà ê.ô.-ì.í., ì.í.ñ ìàòåìàòèêîìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ). ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò. +7(812)428-6944, ôàêñ +7(812)428-6944. Elena V. Kudryashova PhD, researcher, St.Petersburg State University. SPbGU, Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce phone +7(812)428-6944, fax +7(812)428-6944. Êóçíåöîâà Îëüãà Àëåêñàíäðîâíà ì.í.ñ ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÓ). ÑÏáÃÓ, Óíèâåðñèòåòñêèé ïð., ä. 28, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 198504, ÐÔ; ð.ò. +7(812)428-6944, ôàêñ +7(812)428-6944. Olga A. Kuznetsova researcher, St.Petersburg State University. SPbGU, Universitetsky pr., 28., St. Petersburg, 198504, Russia; oce phone +7(812)428-6944, fax +7(812)428-6944. Ïîääåðæêà èññëåäîâàíèé. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ÐÔ è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ðåêîìåíäîâàíî ËÏÈ ÑÏÈÈÐÀÍ, çàâ. ëàá. Þñóïîâ Ð.Ì., ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 15.02.2011. 34 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru ÐÅÔÅÐÀÒ Ëåîíîâ Ã.À., Êóçíåöîâ Í.Â., Êóäðÿøîâà Å.Â., Êóçíåöîâà Î.À. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé: ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû è 16-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà. Ðàçâèòèå ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ è àíàëèçà ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòèìóëèðîâàëîñü êàê ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè (16-é ïðîáëåìîé Ãèëüáåðòà, çàäà÷åé ðàçëè÷åíèÿ öåíòðà è ôîêóñà, îïðåäåëåíèåì öèêëè÷íîñòè ôîêóñà, àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì), òàê è ïðèêëàäíûìè èíæåíåðíûìè çàäà÷àìè (èññëåäîâàíèåì ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè è âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé). Ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííîé êîìïüþòåðíîé òåõíèêè è ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé ïîçâîëèëî ñóùåñòâåííî ïðîäâèíóòüñÿ â èçó÷åíèè ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí.  òî âðåìÿ êàê ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíû áûëè ïîëó÷åíû â 1940-1950-å ãã., à ïåðâàÿ ïðîãðàììà èõ âû÷èñëåíèÿ äëÿ ÝÂÌ áûëà ñîçäàíà â 1968 ãîäó, âûðàæåíèå äëÿ òðåòüåé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû (â îáùåì âèäå è â èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå) áûëî âïåðâûå âû÷èñëåíî òîëüêî â 2008 ã. Ýòî ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ðåàëèçàöèè ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ íà èõ îñíîâå è ïðèìåíåíèþ ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé.  íàñòîÿùåé ñòàòüå îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, èõ êîìïüþòåðíàÿ ðåàëèçàöèÿ. Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru 35 SUMMARY Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Kudryashova E.V., Kuznetsova O.A. Modern symbolic computation methods: Lyapunov quantities and 16th Hilbert problem. Development of methods for computation and analysis of Lyapunov quantities was stimulated by as purely mathematical problems (the centerand-focus problem, Hilbert's sixteenth problem, and isochronous centers problem) as many applied problems (the oscillations of electronic generators and electrical machines, the dynamics of populations). Application of modern computer technologies and the symbolic computation packages allows to achieve signicant progress in studying of Lyapunov quantities. While the general expressions for the rst and second Lyapunov quantities were obtained in the 4050s of last century and the rst computer program for Lyapunov quantities computation was created in 1968, the third Lyapunov quantity (general form in initial space) was computed only in 2008. This begins possible by the development of analytical methods for computation Lyapunov quantities, realization of ecient algorithms based on them and the application of modern methods of computing. This article describes various methods for computing Lyapunov quantities, and their computer implementation. 36 Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 1(16). ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) SPIIRAS Proceedings. 2011. Issue 1(16). ISSN 2078-9181 (print), ISSN 2078-9599 (online) www.proceedings.spiiras.nw.ru