Глава 5 Центральное поле 5.1 Задача двух тел в квантовой механике Задача двух тел имеет важное значение как в классической, так и в квантовой механике. Естественно, в квантовой механике задача также сводится к движению двух независимых частиц (подсистем): частице с суммарной массой, описывающей движение центра масс (системы как целой), и частице с приведенной массой, описывающей относительное движение. Все сказанное справедливо с одной оговоркой: взаимодействие между частицами должно быть однородным, т.е. не должно иметь тензорного характера. Итак, пусть две частицы с массами m1 и m2 взаимодействуют по закону U (r1 − r2 ). В таком случае гамильтониан системы можно записать в виде: 2 2 b = p̂1 + p̂2 + U (r1 − r2 ). H 2m1 2m2 (5.1) В координатном представлении гамильтониан имеет вид: 2 2 b = − ~ ∆1 − ~ ∆2 + U (r1 − r2 ). H 2m1 2m2 (5.2) Введем новые переменные R= m1 r1 + m2 r2 , m1 + m2 r = r1 − r2 . Тогда соответствующие первые производные в новых переменных равны ∂ ∂ m1 ∂ = + ; 1 ∂xα ∂xα m1 + m2 ∂Xα ∂ ∂ m1 ∂ =− + . 2 ∂xα ∂xα m1 + m2 ∂Xα Теперь легко получаем ~2 ~2 ~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 − ∆1 − ∆2 = − − , 2m1 2m2 2M ∂Xα2 2µ ∂x2α где M = m1 + m2 , 1 1 1 = + µ m1 m2 1 − приведенная масса. (5.3) Итак, гамильтониан системы двух частиц принимает вид 2 2 b = − ~ ∆R − ~ ∆r + U (r). H 2M 2µ (5.4) В новых переменных волновую функция системы можно представить в виде Ψ(r1 , r2 , t) = Φ(R, t)Ψ(r, t). b Соответственно, в стационарном уравнении Шредингера Hφ(R)ψ(r) = E0 φ(R)ψ(r) переменные разделяются, и уравнение сводится к системе двух уравнений − − ~2 P2 ∆R φ(R) = φ(R), 2M 2M ~2 ∆r ψ(r) + U (r)ψ(r) = Eψ(r), 2µ (5.5) где E0 = P2 /2M + E. Как и следовало ожидать, движение центра масс описывается волной де Бройля частицы с суммарной массой и полным импульсом P, поэтому волновая функция системы двух частиц всегда может быть представлена в виде Ψ(r1 , r2 , t) = 5.2 1 − ~i (Et−PR) e Ψ(r, t). (2π~)3/2 (5.6) Центральное поле Наиболее распространенное взаимодействие в задаче двух тел имеет центральный характер, т.е. U (r) = U (|r|) = U (r). Как известно из классической физики, в такой системе сохраняется момент количества движения и движение происходит в одной плоскости, а саму задачу удобно рассматривать в сферической системе координат. В таком случае классический гамильтониан можно представить в виде p2 M2 H= r + + U (r), 2m 2I а обобщенные координаты есть r, θ, ϕ. В квантовой механике радиальному импульсу и моменту импульса должны соответствовать операторы. Их следует выделить из лапласиана, записанного в сферических координатах. Напомним его выражение. Как известно, сферическая система координат ортогональна, но криволинейна. В таком случае можно воспользоваться формулой Ламэ. Обозначим, как обычно принято, обобщенные координаты q1 , q2 , q3 и запишем элемент длины dl в виде dl2 = h21 dq12 + h22 dq22 + h23 dq32 , (5.7) где h1 , h2 , h3 – так называемые коэффициенты Ламэ. Очевидно, элемент объема в криволинейных координатах равен dV = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq2 . Лапласиан выражается через коэффициенты Ламэ: ½ µ ¶ µ ¶ µ ¶¾ ∂ h2 h3 ∂ ∂ h1 h3 ∂ ∂ h1 h2 ∂ 1 + + ∆= (5.8) h1 h2 h3 ∂q1 h1 ∂q1 ∂q2 h2 ∂q2 ∂q3 h3 ∂q3 2 В сферических координатах переменные есть q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ, 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π. (5.9) Элемент длины в сферических координатах равен dl2 = dr2 + r2 dθ + r2 sin θdϕ, соответственно h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin θ.1 Таким образом, лапласиан в сферических координатах имеет вид: ½ ¾ 1 ∂ 2∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∆= 2 r + sin θ + . (5.10) r ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 Из формулы (5.10) видно, что квадрат оператора радиального импульса равен 1 ∂ 2∂ r , r2 ∂r ∂r и, соответственно, сам оператор радиального импульса есть ¶ µ ∂ 1 1 ∂ r = −i~ + . p̂r = −i~ r ∂r ∂r r p̂2r = −~2 Поскольку момент инерции есть I = mr2 , оператор квадрата момента импульса равен: ½ 2 ¾ 2 ∂ ∂ ∂ 1 2 2 c = −~ M (5.11) + ctgθ + . ∂θ2 ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 Вид лапласиана в сферических координатах можно получить, не прибегая к коэффициентам Ламэ, для этого нужно помнить, что в криволинейных координатах при вариации переменных варьируются не только переменные, но и направления осей локальной системы отсчета (локального репера). Действительно, запишем оператор ∇ в сферической системе координат: ∂ ∂ ∂ ∇ = nr + nθ + nϕ . (5.12) ∂r r∂θ r sin θ∂ϕ Вариации переменных определяют направления осей локального репера, составленного из трех ортогональных единичных векторов, соответствующих трем переменным: nr , nθ и nϕ (см. рис. ??) Поскольку ∆ = div grad = (∇ · ∇, видим, что возникают производные от единичных векторов ∂nα /∂qβ (например,∂nr /∂θ и т.п.). Рассмотрим их все: ∂nr ∂nr ∂nr = 0, = nθ , = sin θnϕ , ∂r ∂θ ∂ϕ ∂nθ ∂nθ ∂nθ = 0, = nr , = cos θnϕ , (5.13) ∂r ∂θ ∂ϕ ∂nϕ ∂nϕ ∂nϕ = 0, = 0, = −nθ . (5.14) ∂r ∂θ ∂ϕ (5.15) 1 Заметим, что h1 h2 h3 = r2 sin θ – якобиан перехода от декартовых координат к переменным сферической системы. 3 Итак, появляются кинематические эффекты, которые следует учесть при определении вида лапласиана в сферических координатах: ∂ ∂ ∂ + (∇ · nθ ) + (∇ · nϕ ) = ∂r r∂θ r sin θ∂ϕ µ ¶ ∂2 ∂ 1 ∂nr 1 ∂nr = 2+ + nϕ nθ + ∂r ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ¶ µ 2 ∂2 1 1 ∂nθ ∂ 1 ∂ + 2 + n + = ϕ r ∂θ2 r sin θ ∂ϕ ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2 ¶ µ 2 1 ∂2 2 ∂ 1 ∂ ∂2 ∂ + = 2+ + 2 + ctg θ . ∂r r ∂r r ∂θ2 ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2 ∆ =(∇ · nr ) (5.16) Итак, видно, что структура лапласиана и гамильтониана в целом такова, что радиальные и угловые переменные в решении уравнения Шредингера могут быть разделены, причем угловые переменные описывают состояние системы, связанное с наличием орбитального момента импульса. Представим волновую функция в как ψ(r) = R(r)Y (θ, ϕ), (5.17) тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид p̂2r 1 c 2 Y (θ, ϕ)+U (r)R(r)Y (θ, ϕ) = ER(r)Y (θ, ϕ). (5.18) R(r)+ R(r)M 2 2m 2mr Полученное уравнение распадается на систему двух уравнений, соответственно для радиальной R(r) и угловой Y (θ, ϕ) частей волновой функции: Y (θ, ϕ) c 2 Y (θ, ϕ) = ~2 ΛY (θ, ϕ), M ¶ p̂2r ~2 Λ R(r) + U (r) + R(r) = ER(r). 2m 2mr2 µ (5.19) (5.20) Как видим, вся информация о взаимодействии и, соответственно, энергетический спектр заключены в уравнении для радиальной части волновой функции: · ¸ 2m 1 d 2 dR Λ r + (E − U (r)) − 2 R(r) = 0. (5.21) r2 dr dr ~2 r Уравнение (5.21) называется радиальным уравнением Шредингера. Уравнение для угловой части волновой функции вообще не содержит взаимодействия и поэтому его решение носит универсальный характер. Заметим, что волновая функция должна быть нормирована на 1. В нашем случае условие нормировки может быть записано следующим образом: Z ZZZ Z ∞ ZZ 2 2 2 2 2 2 |ψ(r)| dr = |R(r)| |Y (θ, ϕ)| r drdΩ = |R(r)| r dr |Y (θ, ϕ)|2 dΩ = 1. 0 Удобно нормировать на единицу независимо радиальную и угловую части волновой функции, т.е.: Z ∞ Z Z 2 2 (5.22) |R(r)| r dr = 1, |Y (θ, ϕ)|2 dΩ = 1. 0 4 Легко видеть, что в уравнении для угловой части волновой функции также могут быть разделены переменные θ и ϕ: Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ). (5.23) В этом случае уравнение для угловой части принимает вид: ½ ¾ 1 ∂ ∂Θ(θ) Θ(θ) ∂ 2 Φ(ϕ) 2 −~ Φ(ϕ) sin θ + = ~2 ΛΘ(θ)Φ(ϕ). 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ (5.24) Полученное уравнение вновь распадается на систему двух независимых уравнений: d2 Φ = −αΦ, dϕ2 1 d dΘ α sin θ − Θ = −ΛΘ. sin θ dθ dθ sin2 θ (5.25) (5.26) Функции Θ(θ) и Φ(ϕ) будем также независимо нормировать на единицу: Z 2π Z π 2 |Φ(ϕ)|2 dϕ = 1. |Θ(θ)| sin θdθ = 1, 0 0 Уравнение для функции Φ тривиально решается: √ √ Φ = a1 ei αϕ + a2 e−i αϕ , еслиα 6= 0, Φ = A + Bϕ, еслиα = 0. (5.27) Очевидно, должно выполняться условие однозначности функции Φ(ϕ + 2π) = √ Φ(ϕ), откуда следует для α = 0 Φ = A = 1/ 2π. Если α 6= 0, получаем √ Φ(ϕ + 2π) = a1 ei √ αϕ i2π α e √ √ αϕ −i2π α + a2 e−i e . Поскольку ϕ может принимать любое значение, сразу следует, что √ √ e±i2π α = 1 −→ α = m, где m – любое целое число. Таким образом, получаем общее выражение для функции Φ : 1 Φm (ϕ) = √ eimϕ . (5.28) 2π Легко видеть, что функции (5.28) ортогональны, т.е. Z 2π Φ∗m0 Φm dϕ = δm0 ,m . 0 Осталось теперь найти функцию Θ. Уравнение (5.26) хорошо известно из курса уравнений математической физики: это уравнение Лежандра. Сделаем замену переменной cos θ = x, dx = − sin θdθ, тогда оператор d d d 1 d sin θ = (1 − x2 ) . sin θ dθ dθ dx dx 5 Для функции Θ(θ) ≡ P (x) получается уравнение µ ¶ d m2 2 dP (1 − x ) + Λ− P = 0. dx dx 1 − x2 (5.29) В нашем случае переменная |x| ≤ 1, и регулярное решение уравнения (5.29) существует для Λ = l(l + 1), где l = 0, 1, 2, . . . – целое неотрицательное число, при этом |m| ≤ l. При таких значениях параметров решение уравнения (5.29) есть присоединенные полиномы Лежандра степени l : Plm (x) = l+m 1 2 m/2 d (1 − x ) (x2 − 1)l . 2l l! dxl+m (5.30) Соответственно, угловая полная часть волновой функции имеет вид m Y (θ, ϕ) ≡ Yl,m (θ, ϕ) = A(l, m) sin 2 θ dl+m (cos2 θ − 1)l eimϕ , (d cos θ)l+m (5.31) где нормировочная константа A(l, m) будет нами определена несколько позже, а функции удовлетворяют условиям нормировки: ZZ Yl∗0 ,m0 (θ, ϕ)Yl,m (θ, ϕ)dΩ = δl0 ,l δm0 ,m . (5.32) Таким образом формально решается задача о движении частицы в центральном поле. Определим теперь связь полученных значений параметров (квантовых чисел) с теми физическими величинами, о которых говорили в начале параграфа, а именно: с моментом количества движения. 5.3 Орбитальный момент количества движения Как известно, в классической механике момент количества движения частицы определяется как векторное произведение радиуса-вектора частицы и ее импульса. В квантовой механике введем оператор соответствующей физической величины согласно принципу соответствия: c = [r̂ × p̂]. M (5.33) c Оператор (5.33) определяет величину орбитального момента, т.е. M = hψ|M|ψi. В координатном представлении оператор момента количества движения имеет вид: c = −i~[r × ∇], или M cα = −i~eαβγ x̂β ∂ . M (5.34) ∂xγ Как видно, величина орбитального момента измеряется в единицах ~, поэтому удобнее ввести безразмерный оператор c = ~L b M 6 и определять величину момента количества движения в квантовой механике в безразмерных единицах. Легко видеть из определения (5.33), что компоненты оператора момента количества движения определения через некоммутирующие между собой операторы координаты и импульса. Если каждая проекция определена через коммутирующие между собой проекции операторов координаты и импульса, то в различных проекциях обязательно встретятся некоммутирующие операторы. Поэтому необходимо прежде всего вычислить коммутаторы операторов различных проекций момента импульса. Воспользуемся определением операторов проекций момента в тензорных обозначениях и вычислим коммутатор: [L̂α , L̂β ] = ~−2 eαµν eβκλ [x̂µ p̂ν , x̂κ p̂λ ]. Далее займемся преобразованием собственно коммутатора произведений проекций операторов координаты и импульса: [x̂µ p̂ν , x̂κ p̂λ ] = x̂µ [p̂ν , x̂κ p̂λ ] + [x̂µ , x̂κ p̂λ ]p̂ν = −i~δνκ x̂µ p̂λ + i~δµλ x̂κ p̂ν . Далее замечаем, что возникают свертки типа eαµν eβκλ δνκ = eαµν eβνλ = eαµν eβλν = δαβ δµλ − δαλ δµβ . Подставляя полученные свертки в коммутатор, получаем [L̂α , L̂β ] = i~−1 (−δαβ x̂µ p̂µ + x̂α p̂β + δαβ x̂ν p̂ν − x̂β p̂α ) = i~−1 (x̂α p̂β − x̂β p̂α ). Можно заметить, что в полученном выражении при α 6= β получается компонента векторного произведения, т.е. третья проекция оператора момента: [L̂α , L̂β ] = ieαβγ L̂γ . (5.35) Итак, никакие две проекции оператора момента между собой не коммутируют, а это означает, что они не могут быть одновременно измерены и, соответственно, включены в полный набор величин, определяющих состояние квантовой системы. Таким образом, получается значительно более "скудная"по сравнению с классической системой информация. Однако ситуация не так "безнадежна", как это может показаться. Вспоминая, что момент количества движения связан с вращением, а при вращении остаются инвариантными все скалярные величины, можно видеть, что операторы скалярных величин должны коммутировать с проекциями оператора момента. С самим оператором момента можно связать единственный скаляр – его квадрат. Убедимся, что оператор квадрата момента коммутирует с любой своей проекцией: ³ ´ b 2, L b α ] = [L bβ L bβ , L bα ] = ieβαγ L̂γ L bβ + L bβ L̂γ = 0. [L Таким образом одновременно могут быть измерены квадрат момента и одна из его проекций. Обычно выбирают в качестве оси, на которую определена проекция момента – оси квантования – ось z. Часто вместо операторов проекций 7 bx,y вводят неэрмитовы линейные комбинации их L b± = L bx ± iL by . Удобмомента L ство введения этих операторов будет понятно в следующих параграфах, а пока получим коммутационные соотношения так введенных операторов с оператоb 2, L bz и между собой. рами L b 2, L b± ] = 0, [L bz , L b± ] = ±L b± , [L b+ , L b − ] = 2L bz . [L (5.36) Используя полученные коммутационные соотношения (5.36), запишем полезные выражения для квадрата оператора момента с помощью новых операторов: ³ ´ b 2 =L b2z + L b2x + L b2y = L b2z + 1 L b+ L b− + L b− L b+ = L 2 2 2 bz + L b+ L b− . b b b b b (5.37) =Lz + Lz + L− L+ = Lz − L Мы видели, что момент количества движения удобнее описывать в сферических координатах, иными словами, выразим операторы L̂z и L̂± в переменных r, θ, ϕ. Вид оператора bl2 нам уже известен. Для этого заметим, что в определении (безразмерного) оператора момента следует выразить в переменных r, θ, ϕ как проекции самого радиус-вектора, так и оператора ∇. Вернемся к записи оператора ∇ в сферических переменных (5.12), из которой легко записать соответствующие проекции оператора ∇ в декартовой системе координат через сферические переменные: ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇x = (nx ∇) = (nx nr ) + (nx nθ ) + (nx nϕ ) = ∂x ∂r r∂θ r sin θ∂ϕ ∂ 1 ∂ 1 sin ϕ ∂ = sin θ cos ϕ + cos θ cos ϕ − , (5.38) ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂ ∂ 1 ∂ 1 cos ϕ ∂ = sin θ sin ϕ + cos θ sin ϕ + , ∂y ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂ ∂ 1 ∂ = cos θ − sin θ . ∂z ∂r r ∂θ Теперь элементарно находим bz = −i ∂ . L (5.39) ∂ϕ Оставшиеся два оператора сперва запишем в декартовых координатах: µ ¶ ∂ ∂ ∂ b L± = ±z ±i ∓ (x ± iy) . ∂x ∂y ∂z Подставляя теперь выражения операторов в сферических координатах, получаем µ ¶ ∂ ∂ ±iϕ b L± = e ± + ictgθ (5.40) . ∂θ ∂ϕ Как видим, часть угловой функции Φm (ϕ) есть собственная функция оператора bz : L bz Φm (ϕ) = mΦm (ϕ). L (5.41) 8 Таким образом видим, что состояние квантовой системы, обладающей определенным моментом импульса, задается собственными функциями операторов квадрата момента и проекции на ось z. Мы видели также, что квадрат оператора момента импульса коммутирует с любой проекцией, однако все проекции между собой не коммутируют, а потому не могут быть одновременно измерены и, соответственно, входить в полный набор физических величин, определяющих состояние квантовой системы. Таким образом, состояние с определенным значением квадрата момента импульса вырождено по состояниям с различными проекциями на какую-либо ось. Обычно принято выбирать определенную проекцию на ось z, задавая таким образом стандартный базис, или стандартное представление квантовой системы, как решение системы уравнений: b 2 Ylm (θ, ϕ) = L(L + 1)Ylm (θ, ϕ), L bz Ylm (θ, ϕ) = mYlm (θ, ϕ). L 9 (5.42)