Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса

Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса.
Решения некоторых задач
1. Величина импульса материальной точки равна p1 = 100 кг·м/с. Под действием постоянной силы за время Δt = 1,4 секунды вектор импульса повернулся на 900. Вычислите величину силы.
Решение
Из уравнения
r
dp r
=F
dt
r
при постоянной силе F следует
Δt r
r Δt
r
r
r
p 2 − p1 = ∫ Fdt = F ∫ dt = FΔt .
0
0
r
r r
Из рисунка, на котором изображены векторы p1 , p2 и FΔt , видно, что
p12 + p22 = ( FΔt ) 2 .
Следовательно, F =
p1 2
≈ 100 Н
Δt
r
p1
r
r r
p2 = p1 + FΔt
r
FΔt
r
p2
2.
Система состоитr из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел
r
r
r r
r
r
p1 = (2t + 3)i + 3t 2 j + 7 k и p 2 = −2ti + tj . Найдите сумму внешних сил, приложенных к телам,
и вычислите ее величину для t = 1/6 с.
Решение
Найдем импульс системы тел:
r
r
r
r r r
p = p1 + p2 = 3i + (3t 2 + t ) j + 7k ,
а затем сумму внешних сил:
r dpr
r
F=
= (6t + 1) j , F = 2 Н.
dt
3.
Пустая тележка движется по горизонтальным прямолинейным рельсам со скоростью υ =
10 м/с. По ходу движения тележки, над рельсами на достаточной высоте закреплен бункер с песком. В момент прохождения тележки под бункером из него в тележку высыпался песок, масса которого равна массе пустой тележки. Вычислите конечную скорость υ к тележки. Трением о рельсы
и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение
Направим горизонтальную ось X вдоль начальной скорости тележки. В отсутствии трения и сопротивления воздуха проекция на ось X внешних сил, действующих на систему «тележка-песок»,
равна нулю. Поэтому проекция импульса системы на эту ось остается неизменной:
mυ = (m + m)υ к .
2
Отсюда υ к = υ / 2 = 5 м/с.
4. Три шарика массами m , 2m и 3m скреплены тремя легкими стержнями
длины l каждый. Определите y − координату центра масс этой системы (см. Y
рис.)
Решение
yc =
3m
l
m
m1 y1 + m2 y 2 + m3 y3 3ml ( 3 / 2)
3
=
=l
6m
4
m1 + m2 + m3
0
l
l
2m
X
5.
По гладкому горизонтальному столу движутся два одинаковых бруска, соединенные легкой
растяжимой нитью. В некоторый момент времени величина скорости центра масс этой системы
r
r
равна Vc , а величина скорости первого бруска – V1 , причем векторы Vc и V1 взаимно перпендикулярны. Определите для этого момента времени модуль вектора скорости V2 второго бруска.
Решение
Импульс системы можно выразить через скорость центра масс
r
r
p = (m + m)Vc
или через скорости тел, входящих в систему
r
r
r
p = mV1 + mV2 .
Из этих формул следует (при одинаковых массах)
r r r
2Vc = V1 + V2 .
Изобразим это уравнение графически (см. рис.) и найдем
V2 = (2Vc ) 2 + V12 .
r
2Vc
r
V2
r
V1
6.
Допустим, что скорость, с которой вылетает из ракеты топливо (в системе отсчета «ракета»), равна 500 м/с. Ракета стартует с нулевой начальной скоростью в отсутствие внешних сил.
Вычислите величину скорости ракеты в момент, когда масса ракеты уменьшится приблизительно
в 2,7 раза по сравнению со стартовой.
Решение
Воспользуемся уравнением Мещерского:
r
r
dυ r
= F − μu ,
m
dt
r
r
где m - масса ракеты, υ - ее скорость, F - внешняя сила, μ = −(dm / dt ) - скорость изменения
r
r
массы ракеты за счет выброса топлива со скоростью u относительно ракеты. По условию F = 0 .
Если ось X направлена вдоль движения ракеты, то υ x = υ , u x = −u и уравнение Мещерского принимает вид
m
dυ
dm
,
= −u
dt
dt
3
или
dυ
dm
=−
.
u
m
После интегрирования получим уравнение Циолковского
m
υ
= − ln
,
u
m0
где m0 - начальная масса ракеты. По условию m0 / m = 2,7 ≈ e . Поэтому υ = u ln 2,7 ≈ u =500 м/с.
7.
Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l
и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб
перпендикулярны нити, сонаправлены и равны соответственно υ и 3υ . Найдите величину F силы
натяжения нити.
Решение.
1) Найдем скорость центра масс системы двух шайб относительно стола
(относительно «лабораторной» системы отсчета):
r
r
r
r
r
mυ + m ⋅ 3υ = (m + m)υc
⇒
υ c = 2υ .
2) Перейдем в С-систему отсчета, которая движется поступательно со
r
скоростью υ c относительно лабораторной системы отсчета. В этой системе
отсчета первая шайба движется со скоростью
r
r r
r
υ1 = υ − υc = − υ ,
вторая шайба со скоростью
лабораторная система отсчета
r
υc
r
υ
C
С − система отсчета
r
υ1
r
r r
r
υ 2 = 3υ − υ c = 2υ ,
r
3υ
r
υ2
C
а центр масс системы шайб, как и следовало ожидать, покоится (см. рис.). Причем, так как система шайб
замкнутая, то центр масс будет оставаться в покое все время. Ясно, что каждая шайба в С-системе отсчета
будет двигаться по окружности радиуса R = l / 2 . Силу натяжения нити найдем, воспользовавшись вторым
законом Ньютона:
F =m
υ12 2mυ 2
=
.
R
l
Если массы шайб не одинаковые, то центр масс смещен от центра нити к более массивной шайбе и шайбы в
С-системе движутся по окружностям разных радиусов.
4