ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ðàññòîÿíèè x îò òî÷êè, ëåæàùåé ïîñåðåäèíå ìåæäó íèìè (ðèñ.8), è íàéòè ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ: a R q G L `G `G G′ G′ ` Ðèñ. 7 á q q′ l Ðèñ. 5 q ′ = − qR L è ðàñïîëîæåííîãî íà ðàññòîÿíèè l = R2 L îò öåíòðà øàðà. Òîæäåñòâåííîå ñîâïàäåíèå ýòèõ äâóõ ïîëåé ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ, ÷òî ýêâèïîòåíöèàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ ϕ = 0 äëÿ ïîëÿ çàðÿäîâ q è q ′ ñîâïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ øàðà. Óáåäèìñÿ â ýòîì. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A íà ïîâåðõíîñòè øàðà (ðèñ.6) è îáîçíà÷èì ÷åðåç r1 ðàññòîÿíèå îò A r B q r C G l 41 ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈ R O Ðèñ. 6 íåå äî çàðÿäà q (òî÷êà B), à ÷åðåç r2 ðàññòîÿíèå äî çàðÿäà q′ (òî÷êà C). Ïîñêîëüêó AO : OC = R/l = L/R = = BO : OÀ, òðåóãîëüíèê AOC ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó BOA. Çíà÷èò, äëÿ ëþáîé òî÷êè À îòíîøåíèå r1 r2 ðàâíî L/R è ïîòåíöèàë ϕ A = kq r1 + kq ′ r2 ðàâåí íóëþ (íàïîìíèì, ÷òî q ′ = − qR L ). Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîëå, ñîçäàâàåìîå íàâåäåííûìè çàðÿäàìè âíå øàðà, ñîâïàäàåò ñ ïîëåì îäíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà q ′ . b g Ïðèìåð 3. Òî÷å÷íûé çàðÿä è çàðÿæåííûé øàð. Åñëè â óñëîâèè ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà çàìåíèòü çàçåìëåííûé øàð íà çàðÿæåííûé çàðÿäîì Q, òî ê çàðÿäó-èçîáðàæåíèþ q′ íåîáõîäèìî äîáàâèòü âòîðîé çàðÿä-èçîáðàæåíèå q ′′ = Q q′ , ïîìåùåííûé â öåíòð øàðà. Êàêèì æå îáðàçîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé â ñëó÷àå ïðîâîäÿùåãî øàðà â îäíîðîäíîì ïîëå? Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàò íå äîëæåí çàâèñåòü îò òîãî, êàêàÿ ñèñòåìà çàðÿäîâ ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì → ïîëÿ E0 , áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíî ñîçäà- åòñÿ äâóìÿ çàðÿäàìè q è q (ðèñ.7), ðàñïîëîæåííûìè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî öåíòðà øàðà íà áîëüøîì îò íåãî ðàññòîÿíèè ( L ≅ R ). Âåëè÷èíó çàðÿäîâ íàäî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñîçäàâàåìàÿ èìè â öåíòðå øàðà íàïðÿæåííîñòü áûëà ðàâíà E0 : 2q = E0 . 2 4 πε 0 L Ïîëå íàâåäåííûõ çàðÿäîâ â ïðîñòðàíñòâå âíå øàðà áóäåò ñîâïàäàòü ñ ïîëåì äâóõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ q ′ è − q ′ , ãäå q ′ = qR/L, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàñ2 ñòîÿíèè l = R L îò öåíòðà. Äâà çàðÿäà-èçîáðàæåíèÿ îáðàçóþò äèïîëü ñ äèïîëüíûì ìîìåíòîì, ðàâíûì p = q ′ ⋅ 2l = 2 qR3 2 L Íàïðèìåð, â ñëó÷àå çàðÿäà è ïðîâîäÿùåé ïëîñêîñòè íåòðóäíî âû÷èñëèòü íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ çàðÿäîâ q è q íà a a q x E Ðèñ. 8 e qa 2 2π x + a 2 j 3 2 .  ñëó÷àå øàðà â îäíîðîäíîì ïîëå íàäî âû÷èñëèòü ïîëíîå ïîëå, ðàâíîå ñóììå îäíîðîäíîãî âíåøíåãî ïîëÿ è ïîëÿ òî÷å÷íîãî äèïîëÿ (ñì. Ïðèëîæåíèå) âîçëå ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Êàê óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû (4)? Ïðîùå âñåãî ýòî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà (êòî ñ íåé çíàêîì), íî ìîæíî îáîéòèñü è áåç íåå. Ïðåäñòàâèì ïîëå âáëèçè ïîâåðõíîñòè â âèäå →ñóïåðïîçèöèè äâóõ ïîëåé (ðèñ.9): ïîëÿ E1 , ñîçäàííîãî ìàëûì áëèçëåæàùèì ó÷àñòêîì ïîâåðõíîñ- - - = 3Vε 0 E0 , ÷òî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (3). Åñëè ðàññìîòðåòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, ïðè êîòîðîì çàðÿäû óäàëÿþòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòü, íî îäíîâðåìåííî èõ âåëè÷èíà ìåíÿåòñÿ òàê, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ îñòàåòñÿ ðàâíîé E0 , òî ïîëå áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê îäíîðîäíîìó, à äèïîëü áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê òî÷å÷íîìó (ïðè ñîõðàíåíèè äèïîëüíîãî ìîìåíòà). Îñòàåòñÿ îòâåòèòü íà âîïðîñ: êàê â ðàìêàõ ìåòîäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé íàéòè íå òîëüêî ïîëå íàâåäåííûõ çàðÿäîâ, íî è èõ ðàñïðåäåëåíèå ïî ïîâåðõíîñòè? Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùåãî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ó ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà: σ E= . (4) ε0 q σ = ε0E = Ðèñ. 9 òè, êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûì ïîëþ áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòè E1 = σ 2 ε 0 (â ïðåäåëå, êîãäà ðàññòîÿíèå äî ïîâåðõíîñòè ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì ýòîãî ó÷àñò→ êà), è ïîëÿ îñòàëüíûõ çàðÿäîâ E2 . Âíóòðè ïðîâîäíèêà ýòè äâà ïîëÿ äîëæíû ñîêðàòèòü äðóã äðóãà, ïîýòîìó E2 = E1 = = σ 2 ε 0 . Âíå ïðîâîäíèêà ýòè íàïðÿæåííîñòè ñêëàäûâàþòñÿ, îòêóäà è ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà (4). Êîíå÷íî, ìîæåò âîçíèêíóòü âîïðîñ: à êàê (áåç òåîðåìû Ãàóññà) ïîëó÷èòü ôîðìóëó E = σ 2 ε 0 äëÿ íàïðÿæåííîñòè áåñêîíå÷íîé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ ýòîò âûâîä? Ìîæíî ñäåëàòü ýòî, ðàññìîòðåâ ïîëå ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ñôåðû, êîòîðîå ñîâïàäàåò (âíå ñôåðû) ñ ïîëåì òî÷å÷íîãî çàðÿäà, à âáëèçè ïîâåðõíîñòè ðàâíî σ ε 0 . Åñëè ïðîâåñòè òàêîå æå ðàññóæäåíèå, êàê âûøå, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå, òî ïîëó÷èì èñêîìóþ ôîðìóëó. d i d i d i Ìåòîä íàëîæåíèÿ øàðîâ Ïîñëåäíèé èç ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷è î ïðîâîäÿùåì øàðå â îäíîðîäíîì ïîëå äàåò íàèáîëåå ïîëíîå, è ïðèòîì äîñòàòî÷íî ïðîñòîå, åå ðåøåíèå. Êàê è ðàíüøå, ìû ðàçîáüåì èçëîæåíèå ýòîãî ìåòîäà íà íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýòàïîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñâîþ èíòåðåñíóþ çàäà÷ó. 1. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûé øàð. Ðàññìîòðèì øàð ðàäèóñîì R, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûé ñ îáúåìíîé ïëîò-