Коршак. Физика 10 кл. Двuженuе точки по окружности. § 14

§ 14. Двuженuе
точкu по окружностu
2: Какую скорость имеет тело, пролетая отметку 40 м?
Vy
vy 1
Vy2
= v0
= Vo
= Vyo
- g i , vy
= 30 - lOt;
м
- gt1' vy 1
- gt2, Vy2
м
м
= 30 - - 10 2 · 2 с= 10 -;
с
с
с
м
м
с
с
= 30 - - 10 2 · 4 С
=
м
-10 -.
с
На одной и той же высоте значение скорости тела по модулю
одинаково, а по направлению противоположно.
3.
На какую максимальную высоту поднимется тело?
В наивысшей точке скорость тела равна О. Следовательно,
v2
h
= _о_, h = 45 м.
2g
Несложно определить, что все время движения составляет
общее перемещение тела равно О, а пройденный путь
6 с,
l = 90 м.
Упражнение б
1. Какова глубина сухого колодца, если камень падает в него
2,5 с? Какую скорость он будет иметь при достижении дна?
2. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 10 м / с. Ка­
кова его скорость через 1,5 с? Чему равны пройденный путь и
перемещение за это время? На какую максимальную высоту он
поднимется? В какой момент времени он будет на высоте 5 м?
3. Свободно падающее тело проходит последнюю треть свое­
го пути за
4.
1,1 с.
Найти высоту и время падения тела.
Два шарика бросили вертикально вверх с интервалом в
1 с. Начальная скорость первого шарика
На какой высоте они встретятся?
8 м/ с,
второго
- 5 м /с.
5*. Два свободно падающих тела с разной высоты достигают
земли одновременно. Первое тело падало 2 с, второе - 3 с. На
какой высоте было второе тело, когда начало падение первое?
6. На Луне ускорение свободного падения приблизительно в
6
раз меньше, чем на Земле. Во сколько раз отличается время
падения тел с одинаковой высоты на Луне и на Земле?
7. Шарик свободно падает с высоты 4,9 м. За какое время он
проходит последний метр своего пути?
§ 14.
Двuженuе точки по окружности
Ранее мы рассматривали равноускоренное движе­
ние, траекторией которого была прямая. При таком движении
изменяется значение скорости, а ее направление остается неиз­
менным. В жизни чаще встречаются криволинейные движе­
ния (орбитальное движение планет, повороты транспорта на
45
КИНЕМАТИКА
дороге, карусели и т. п.), во время которых происходят изме­
нения направления скорости движения. Здесь проявляется
векторный характер ускорения.
По форме траектории криволиней­
ное движение может быть достаточ­
но разнообразным. Однако его всегда
можно
представить
вательных
в
виде
участков,
последо­
состоящих
из
отрезков прямых и дуг окружностей
1.37).
различного диаметра (рис.
Т. е.
любое криволинейное движение явРuс.
1.37.
Крuволuнеuное
gвuженuе
ляется комбинацией прямолинейного
движения и движения тела по окруж­
ности.
Рассмотрим
равномерное
движе­
ние материальной точки по окружно­
сти. Пусть она равномерно движется
по окружности радиуса
рое время
46
t
R
и за некото­
перемещается из точки А
в точку В (рис.
1.38).
Угол, который
при этом описывает радиус, называет­
ся угловым перемещением.
Рцс . 1.38. Двuженuе
по окружностu
Угловое
перемещение
обозначают
меряют в радианах (рад).
1 рад равен
греческой буквой <р (~фи») и в СИ из-
центральному углу между двум.я радиусами, стягивающих
дугу, длина которой равна радиусу. Следовательно, за один
оборот (360°) материальная точка осуществляет угловое пере­
мещение 2п рад.
·
Движение точки по окружности характеризуют также пе­
риод вращения и частота вращения. Период вращения
врем.я,
в
течение
которого материальна.я
точка
-
это
совершает
полный оборот по окружности, т. е. поворот на угол 2п рад:
Т=
где
t-
время вращения,
N -
t
-,
N
(1)
количество совершенных оборотов.
В СИ период вращения Т измеряется в секундах (с).
Частота вращения п характеризует количество оборо­
тов тела или материальной точки вокруг центра вращения
за
1 секунду:
N
t
(2)
п=-,
где
N -
количество оборотов, совершенных за время
t.
В СИ частота вращения измеряется в оборотах за секунду
(об/с).
§ 14. Двuженuе точкu
по окружностu
Между частотой и периодом вращения существует взаимо-
1
1
обратная зависимость: Т = - и п = -.
п
т
Для определения быстроты движения точки по окружности
используют понятие угловой скорости. Это физическая вели­
чина, равная отношению углового перемещения <р к интервалу
времени
t, в течение которого данное перемещение происходило:
(J)
=
~.
t
(3)
В СИ угловая скорость измеряется в радианах за секунду
1 рад/ с равен угловой скорости такого равномерного
движения точки по окружности, при котором за 1 с соверша­
(рад / с).
ется угловое перемещение 1 рад.
Поскольку за период Т угловое перемещение <р равно 2п рад,
то угловая скорость может быть определена через период и частоту вращения:
ffi
2п
= -,
т
ffi
= 2пп.
(4)
Равномерное движение материальной точки по окружности
характеризуется специфическими кинематическими величи-
47
----
нами, благодаря которым его описывают при помощи соответ­
ствующих уравнений. Это
-
угловое перемещение и угловая
скорость, период и частота вращения. Наряду с ними применя­
ется и привычное для нас понятие скорости, которое в данном
случае называют линейной скоростью.
Во
сти
время
значение
равномерного
ее
линейной
движения
скорости
точки
остается
по
окружно­
неизменным
(иА= Vв =и= const), однако направление вектора скорости все
время меняется (рис. 1.39). Поэтому линейную скорость можно ха­
рактеризовать
как
некоторой точке.
скорость
тела в
Она направлена
по касательной к дуге в данной точ­
ке (точка А и точка В). В этом мож­
но убедиться, приложив к точиль­
ному камню стальной нож: искры
от него летят по касательной к по ­
верхности камня в том месте, куда
поднесли нож.
Puc. 1.39. Измененuе
направ-
ленuя лuнеuноu скоростu
Линейная скорость тела, которое движется по окружности,
все время изменяется по направлению и в любой точке траек­
тории направлена по касательной к дуге этой окружности.
•1
Поскольку в данном случае линейная скорость по модулю
не изменяется, то из формулы скорости равномерного движе-
КИНЕМАТИКА
l
=-
ния и
v
v
t
щательного движения: и
2nR
= --. Или учитывая, что
Т
чим: и= 2nRn.
Сравнивая формулы линейной скорости
w=
v
можно наити выражение для линеинои скорости вра-
v
=
1
Т
= -, полу-
2nRn
с угловой
п
2пп, благодаря несложным преобразованиям, получаем:
v = wR,
(5)
и
(J)
(6)
= - .
R
Как уже отмечалось (см.§
вектора
скорости
также
изменение направления
8),
вызывает
ускорение,
- = -ли .
векторная величина оно равно а
ведь
п оэтому
как
даже во
t
время
равномерного
движения
точки
по
окружности
вслед­
ствие изменения направления линейной скорости возникает
48
ускорение. Его называют центростремительным, потому что
как вектор оно направлено к центру окружности, по :которой
движется материальная точка. Значение центростремительного ускорения определяют по формуле ац
v2
= -,
R
или принимая во
внимание, что и= wR, получаем ац = w2R.
Задача
24
ч.
1.
Земля делает один оборот вокруг своей оси за
Вычислить угловую и линейную скорости вращения
точек поверхности Земли, которые находятся на экваторе .
Радиус Земли равен
6400
км. Считайте, что ось вращения про­
ходит сквозь полюсы.
Решение
Дано:
т =
24 ч
=
86 400 с,
R = 6400 км.
=
Вращение Земли вокруг своей оси можна считать
равномерным.
Следовательно,
2п
w-?
и-?
(J)
=т'
w = 6 •28 рад =О 000073 рад = 7 3·10- 5 Рад.
86 400 с
'
с
'
с '
и=
wR;
и = 7,3 . 10- 5 рад. 6,4·106 м = 470 м.
с
Отве т: w =
7,3 ·
10- 5 рад/с, и =
с
470 м / с.
§ 14. Двuженuе точкu
Задача
2.
по окружностu
Велосипедист едет по дороге со скоростью
10
м/с.
Сколько оборотов за секунду делают колеса велосипеда, если
они не скользят? Какое центростремительное ускорение точки
обода колеса, если его радиус
35 см?
Дано:
v
=
Решение
10 м/с,
R = 0,35
v
м.
= 2 rcnR; п = 2rcR; п = 6,28 · О,35м = О, 22 об;
lОм
v
п-?а-?
с
с
м2
2
а
Ответ: п =
1.
v
= -;
R
100- 2
а
=
с
0,35 м
м
= 285-.
2
с
0,22 об/с, а= 285 м/с 2 .
В каких случаях движение тела считается неравномерным?
Приведите примеры.
2.
Почему любую криволинейную траекторию можно частично
3.
представить в виде движения точки по окружности?
Что такое угловое перемещение? Чему оно равно у стрелки
часов за
3 ч? За 6 ч? За
.6iiiiijll8•
сутки?
4.
Чему равен период вращения секундной стрелки часов?
Минутной стрелки? Часовой стрелки?
5.
Что такое частота вращения? Чему равна частота вращениЯ'
Земли вокруг Солнца?
Что такое угловая скорость? В каких единицах она измеряется?.
6.
7.
8.
Чему равна угловая скорость секундной стрелки часов?
Почему точки, равномерно движущиеся по окружности, имеют
центростремительное ускорение?
Упражнение
1.
7
Чтобы шлифовальный круг диаметром
30
см не рассы­
пался, линейная скорость точек на его поверхности не должна
превышать
95
м/с. Определить максимально допустимую ча­
стоту вращения шлифовального круга.
2.
Диаметр колеса велосипеда
0,5
м. Какова должна быть
частота вращения колеса, чтобы велосипедист ехал со скоро­
стью
5
м/с? Какую скорость относительно земли при этом бу­
дут иметь нижняя и верхняя точки велосипедного колеса, его
ось?
30
см, она
связана цепной передачей с малой шестерней (диаметр
10 см),
3.
Диаметр большой шестерни велосипеда равен
которая, в свою очередь, жестко связана с колесом велосипеда.
4
Е. В . Коршак
КИНЕМАТИКА
Диаметр колеса равен
80 см.
С какой частотой должен вращать
педали велосипедист , чтобы ехать со скоростью 36 км /ч?
4. Период вращения космического корабля вокруг Земли
равен 90 мин. Средняя его высота над поверхностью Земли со­
ставляет 320 км, радиус Земли - 6400 км. Какова линейная
скорость космического корабля?
Главное в разgеле 1
Кинематика изучает механическое движение тел, не рас­
сматривая причин, вызывающих именно такое движение. Опи­
сание механического движения в кинематике основывается на
выяснении
характера
изменений
координат,
перемещений,
скорости с течением времени. Для того чтобы описать движе­
ние тела, необходимо установить закон (уравнение) изменения
во времени координат или скоростей тела относительно дру­
гих тел. Изменение положения тела в пространстве с течением
50
времени характеризуется перемещением. Это векторная вели­
чина, которая определяет не только пройденный путь, но и на­
правление, в котором происходило движение.
Механическое движение по форме траектории может быть
прямолинейным или криволинейным, по характеру движе­
ния
-
равномерным или равноускоренным. В зависимости от
этого уравнения движения имеют вид:
для равномерного прямолинейного движения
S = Ut
ИЛИ Х
= Х 0 + Vxt;
для равноускоренного прямолинейного движения
axt
2
-
-
-
x=x0 +v0 xt+-- ,v=v0 +at
2
или
vx=v 0 x+axt;
для равномерного движения по окружности
<р
= шt, v = шR.
Механическое движение относительно. Это означает, что
траектория, перемещение, пройденный путь, скорость, зави­
сят от выбора системы отсчета. Механическое движение отно­
сительно различных систем отсчета может быть представлено
двумя независимыми движениями
-
относительным движени­
ем тела в подвижной системе отсчета и переносным движением
подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Дан­
ное утверждение подтверждает закон сложения скоростей
-
скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной
сумме относительной и переносной скоростей:
й = йотн + йпер·
Главное в разgеле
1
Равноускоренное движение характеризует векторная физи­
и
-и
0
• Одним из
ческая величина, называемая ускорением: ii = - - случаев
равноускоренного
падение
под
тел,
при
действием
котором
силы
t
движения
движение
тяжести
является
тела
Земли,
свободное
происходит
исключая
лишь
посторон­
нее влияние на тела иных факторов (сопротивление воздуха,
электромагнитное взаимодействие и др.). Ускорение свобод­
ного падения не зависит от массы тела и является постоянной
величиной для данной местности. На Земле оно равно прибли­
зительно
9,81 м / с 2 • Уравнения движения тел при их свобод ­
ном падении зависят от выбора системы отсчета:
Тело падает с высоты
h:
Тело брошено вертикально вверх :
V = v0 - gt
V= v0 + gt
gt2
h = v0 t + 2
Время падения
если
t
=
v0 =0
!!
h
=
gt2
v0 t - 2
Время подъема t
,
Скорость при падении
v
=
= Vo
Высота подъема h =
-)2gh
g
v2
_Q_
2g
Криволинейное движение можно представить как после­
довательность участков , состоящих из отрезков прямых и дуг
окружностей разного диаметра. Равномерное движение тела
или материальной точки по окружности характеризуется угло­
вым перемещением q> и угловой скоростью
ro
=
ro:
~; ro = 21tn.
t
Линейная и угловая скорости согласуются между собой в
виде соотношения:
v = wR.
При равномерном движении точки по окружности вслед­
ствие изменения направления линейной скорости возникает
центростремительное ускорение:
ац
4*
v2
= -
R
=
w 2 R.
51