Документ 2536813
реклама
Àýðîäèíàìè÷åñêèé ïàðàäîêñ ñïóòíèêà À.ÌÈÒÐÎÔÀÍΠÍåîæèäàííîå ñëó÷àåòñÿ â æèçíè ÷àùå, ÷åì îæèäàåìîå. Òèò Ìàêöèé Ïëàâò Ïàðàäîêñû âîò åäèíñòâåííàÿ ïðàâäà. Áåðíàðä Øîó Èëëþñòðàöèÿ À.Áàëäèíà Ï ÎÏÐÎÁÓÅÌ îòâåòèòü íà âîï- ðîñ, ìîæåò ëè òåëî, äâèãàÿñü â ñðåäå è èñïûòûâàÿ äåéñòâèå ñèëû ñî ñòîðîíû ñðåäû, óâåëè÷èòü ñâîþ ñêîðîñòü. Íà ïåðâûé âçãëÿä, òàêîå ñîáûòèå êàæåòñÿ íå áîëåå ïðàâäîïîäîáíûì, ÷åì èçâåñòíîå ïðåäëîæåíèå áàðîíà Ìþíõãàóçåíà òàùèòü ñåáÿ çà âîëîñû. Êàçàëîñü áû, ñêîðîñòü òåëà â ñðåäå äîëæíà òîëüêî óìåíüøàòüñÿ, îäíàêî íå òîðîïèòåñü ñ âûâîäàìè. Òàêèå ñëó÷àè âïîëíå âîçìîæíû è â òîé èëè èíîé ñòåïåíè íàáëþäàþòñÿ ïðè äâèæåíèè èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ è ìåòåîðèòîâ âîêðóã ïëàíåò â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå. Ðå÷ü èäåò îá èçâåñòíîì àýðîäèíàìè÷åñêîì ïàðàäîêñå ñïóòíèêà ïîïàäàÿ â âåðõíèå ñëîè àòìîñôåðû, êîñìè÷åñêèé àïïàðàò, èñïûòûâàÿ òîðìîæåíèå â ðàçðåæåííîì ãàçå, óâåëè÷èâàåò ïðè ýòîì ñêîðîñòü ñâîåãî äâèæåíèÿ. Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îïèñàíèþ ïðîèñõîäÿùåãî íà îðáèòå, ðàññìîòðèì áîëåå ïðîñòîé ïðèìåð èç ìåõàíèêè. Ïóñòü íåáîëüøîå òåëî çàêðåïëåíî íà êîíöå ðàñòÿæèìîé óïðóãîé íèòè, ïðóæèíû, ðåçèíîâîãî øíóðà èëè êàêîãî-òî äðóãîãî ïîäâåñà è äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ â ïëîñêîñòè ïî îêðóæíîñòè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ïîäâåñà ñïðàâåäëèâ çàêîí Ãóêà, ò.å. ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà óäëèíåíèþ ïîäâåñà. Îêàçûâàåòñÿ, åñëè òåëî êàêèì-ëèáî îáðàçîì íà÷àòü òîðìîçèòü, åãî äâèæåíèå èçìåíèòñÿ.  ÷àñòíîñòè, åñëè òåëî ìãíîâåííî îñòàíîâèòü, à ïîòîì îòïóñòèòü, òî ðàñòÿíóòûé ïîäâåñ ñîîáùèò òåëó íåêîòîðóþ ñêîðîñòü â íàïðàâëåíèè ïðåæíåãî öåíòðà âðàùåíèÿ. Ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü, êîòîðóþ ïðèîáðåòåò òåëî, ìîæíî íàéòè èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû òåëî óïðóãèé ïîäâåñ.  ñëó÷àå, êîãäà ðàñòÿæå1* íèå ïîäâåñà çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò åãî íà÷àëüíóþ äëèíó, ìàêñèìàëüíàÿ êîíå÷íàÿ ñêîðîñòü òåëà áóäåò ïî÷òè ðàâíà íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ïî îêðóæíîñòè. Íàø ïðèìåð óïðîùåííàÿ àíàëîãèÿ çàäà÷è î òîðìîæåíèè ñïóòíèêà â àòìîñôåðå: òåëî ýòî ñïóòíèê, à óïðóãèé ïîäâåñ ìîäåëü ïðèòÿæåíèÿ Çåìëè. Êîíå÷íî, ýòà àíàëîãèÿ ãðóáàÿ, òàê êàê çàêîí Ãóêà âîâñå íå îïèñûâàåò ãðàâèòàöèîííûå ñèëû, êîòîðûå (êàê è êóëîíîâñêèå ñèëû, äåéñòâóþùèå ìåæäó çàðÿäàìè) îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òåëàìè, à â íàøåì ñëó÷àå êâàäðàòó ðàäèóñà îðáèòû. Äâèæåíèå ñïóòíèêà â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû ïëàíåòû ïðîèñõîäèò ñëîæíåé è èíòåðåñíåé, ÷åì äâèæåíèå øàðèêà íà ðåçèíîâîì ïîäâåñå. Äëÿ èçó÷åíèÿ ýâîëþöèè îðáèòû ñïóòíèêà, äâèãàþùåãîñÿ â ðàçðåæåííîì ãàçå, íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ôîðìóëû. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñïóòíèêà ìàññîé m ïî êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì R âîêðóã Çåìëè, ìàññà êîòîðîé Ì. Äëÿ âûñîêèõ îðáèò, êîãäà ïðèòÿæåíèå Çåìëè ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé ñèëîé, îêàçûâàþùåé âëèÿíèå íà äâèæåíèå ñïóòíèêà, åãî ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì 2 v = GM R , èëè v = v0 R0 , R (1) ãäå G ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, R0 ðàäèóñ Çåìëè, ðàâíûé ïðèìåðíî 6400 êì, à v0 = g0 R0 ïåðâàÿ êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ñïóòíèêà, ðàâíàÿ 7,9 êì/ñ äëÿ íàøåé ïëàíåòû ( g0 = 9,8 ì ñ2 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè). Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû ðàçðåæåííîãî ãàçà íà ñïóò- íèê â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Fñîïð = Cx ρv2 S . 2 x (2) Çäåñü ρ ïëîòíîñòü àòìîñôåðû íà îðáèòå, êîòîðàÿ ñèëüíî çàâèñèò îò âûñîòû ïîëåòà ñïóòíèêà; Sx ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñïóòíèêà, òî÷íåå ïëîùàäü ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ ñïóòíèêà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåí→ äèêóëÿðíîé âåêòîðó ñêîðîñòè v ïîëåòà ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî ñðåäû (èëè, êàê ãîâîðÿò, ïëîùàäü ìèäåëÿ); Cx òàê íàçûâàåìûé êîýôôèöèåíò ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, çàâèñÿùèé, âîîáùå ãîâîðÿ, îò ñêîðîñòè, íî äëÿ ðåàëüíûõ óñëîâèé ïîëåòà ñïóòíèêà íà áîëüøîé âûñîòå åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïðèìåðíî ðàâíûì 2. Ïîñëåäíåå ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîóäàðåíèÿ ìîëåêóë è àòîìîâ ñ îáøèâêîé ñïóòíèêà íåóïðóãèå, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñïóòíèêó â åäèíèöó âðåìåíè ïåðåäàåòñÿ èìïóëüñ, ðàâíûé ρv2 íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî îðáèòàëüíàÿ ñêîðîñòü ñïóòíèêà âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàåò ñðåäíþþ òåïëîâóþ ñêîðîñòü ìîëåêóë è àòîìîâ àòìîñôåðíîãî ãàçà. (Åñëè áû áûëî èíà÷å, òî, êàê íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ, Çåìëÿ î÷åíü áûñòðî ïîòåðÿëà áû ñâîþ àòìîñôåðó!) Ïîýòîìó ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ÷àñòèö ñðåäû â ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðàõ ïðè ðàñ÷åòàõ ñèë òîðìîæåíèÿ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü. Ê êàêèì æå ñëåäñòâèÿì ïðèâîäèò íàëè÷èå ðàçðåæåííîãî ãàçà (èëè, êàê ãîâîðÿò, àòìîñôåðíîãî «õâîñòà») íà îðáèòå ñïóòíèêà? Äëÿ âûñîêèõ îðáèò ó÷åò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëûå âîçìóùåíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê íåáîëüøèì èçìåíåíèÿì ïàðàìåòðîâ îðáèòû. 4 Ïëàâíî òîðìîçÿñü â ðàçðåæåííîì ãàçå, ñïóòíèê ïåðåõîäèò íà áîëåå íèçêóþ îðáèòó. Íî ïðè ìåíüøèõ R, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (1), ñêîðîñòü îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ñïóòíèêà äîëæíà áûòü áîëüøå, ÷åì íà ïåðâîíà÷àëüíîé áîëåå âûñîêîé îðáèòå. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ äâèæåíèÿ, ìîæåò óñêîðèòü ñïóòíèê â íàïðàâëåíèè ýòîãî æå äâèæåíèÿ! Áîëåå òîãî, îêàçûâàåòñÿ (êàê ìû óâèäèì äàëüøå èç ðàñ÷åòîâ), ÷òî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå, ò.å. óñêîðåíèå âäîëü òðàåêòîðèè, òî÷íî ðàâíî ñèëå ñîïðîòèâëåíèÿ, äåëåííîé íà ìàññó ñïóòíèêà. Ýòîò èíòåðåñíûé ôàêò è íàçûâàåòñÿ àýðîäèíàìè÷åñêèì ïàðàäîêñîì ñïóòíèêà, ê îáúÿñíåíèþ êîòîðîãî ìû ñåé÷àñ ïåðåéäåì. Çàìåòèì, ÷òî ñ ýòîé, êàçàëîñü áû, íåïðîñòîé çàäà÷åé ìîæíî ñïðàâèòüñÿ, èñïîëüçóÿ òîëüêî çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ïðîâîäÿ ýëåìåíòàðíûå âû÷èñëåíèÿ. Óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè ñïóòíèêà ïðè åãî òîðìîæåíèè â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû èìååò ïðîñòóþ ïðè÷èíó. Ñïóòíèê, òåðÿÿ ïåðâîíà÷àëüíóþ êðóãîâóþ ñêîðîñòü, ïîïðîñòó ãîâîðÿ, ïàäàåò â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå Çåìëè, ïðèáëèæàÿñü ê íåé, òàê êàê ñèëà ïðèòÿæåíèÿ F = GMm R2 ñòàíîâèòñÿ áîëüøå ñèëû mv 2 R , íåîáõîäèìîé äëÿ òîãî, ÷òîáû óäåðæàòü ñïóòíèê íà ïðåæíåé îðáèòå. Íî ïàäàåò êîñìè÷åñêèé àïïàðàò íå îòâåñíî (êàê êèðïè÷ ñ êðûøè âûñîêîãî äîìà), à ïî ïëàâíîé êðèâîé ñïèðàëè, âèòîê çà âèòêîì ìåäëåííî ïðèáëèæàÿñü ê çåìíîé ïîâåðõíîñòè, ïðè÷åì êàæäûé âèòîê ñïèðàëè ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò îêðóæíîñòè. À â ïîëå òÿæåñòè, êàê ìû çíàåì, ïðè ïàäåíèè òåë èõ ñêîðîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ. Äëÿ òàêîãî äâèæåíèÿ êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà óìåíüøåíèå åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè íå òîëüêî êîìïåíñèðóåò ðàáîòó ñèë òðåíèÿ íà îðáèòå, ò.å. ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû, íî è ñëóæèò ïðè÷èíîé óâåëè÷åíèÿ åãî ñêîðîñòè v è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè mv2 2 . Òàê ÷òî óñêîðÿåò ïàäàþùèé ñïóòíèê çåìíîå ïðèòÿæåíèå, à âîâñå íå ñèëû òðåíèÿ ñïóòíèêà íà îðáèòå. Ïîñëåäíèå ëèøü ïîìîãàþò «ñáðîñèòü» êîñìè÷åñêèé àïïàðàò ñ áîëåå âûñîêîé îðáèòû íà áîëåå íèçêóþ. (Âñïîìíèòå ïðîñòåíüêèé ïðèìåð ñ øàðèêîì íà óïðóãîì ïîäâåñå, î êîòîðîì øëà ðå÷ü â íà÷àëå ñòàòüè.) Îáðàòèìñÿ ê ðèñóíêó 1, ãäå ïîêàçàíû òðàåêòîðèÿ èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå è ñèëû, äåéñòâóþùèå íà íåãî. Äâèæåíèå ïðî- ÊÂÀÍÒ $ 1998/¹3 Îòêóäà, ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ∆v?v , ñëåäóåò Fñîïð m Fò ∆v = v Fí Fïîë 2πFñîïð R = mv 2πFñîïð R m g , èëè ∆v 2πFñîïð = . v mg Fãðàâ O Ðèñ. 1 èñõîäèò â ïëîñêîñòè ïðè ìåäëåííîì óìåíüøåíèè ðàäèóñà îðáèòû, ò.å. ïî ïëàâíî çàêðó÷èâàþùåéñÿ ê Çåìëå ñïèðàëè ñ ìàëûì øàãîì ïî ñðàâíåíèþ ñ âûñîòîé ïîëåòà ñïóòíèêà h = → = R R0 . Çäåñü Fãðàâ ñèëà ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ ñïóòíèêà ê Çåì→ ëå, Fñîïð ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñî → ñòîðîíû àòìîñôåðû è Fïîë âåêòîð→ → íàÿ ñóììà ñèë Fãðàâ è Fñîïð . Ïîñêîëüêó òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñïèðàëü, êàæäûé âèòîê êîòîðîé õîòÿ è ìàëî, íî âñå æå îòëè÷àåòñÿ îò → îêðóæíîñòè, ñèëó Fïîë ìîæíî ðàçëî→ → æèòü íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: Fí è Fò , ò.å. íîðìàëüíóþ è òàíãåíöèàëüíóþ (êàñàòåëüíóþ) ê òðàåêòîðèè êîñìè→ ÷åñêîãî àïïàðàòà. Ñèëà Fò , äåéñòâóþùàÿ âäîëü òðàåêòîðèè ñïóòíèêà, óâåëè÷èâàåò åãî ñêîðîñòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè ìãíîâåííîå óñêîðåíèå â íàïðàâëåíèè → âåêòîðà v ðàâíî ïî ìîäóëþ Fò m . Ïîêàæåì, ÷òî Fò = Fñîïð . Ïóñòü íà íåêîòîðîé îðáèòå ðàäèóñîì R íà ñïóòíèê äåéñòâóåò ñèëà òîðìîæåíèÿ Fñîïð , îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (2), â êîòîðîé ïëîòíîñòü ρ R íà âñåì âèòêå ñ÷èòàåòñÿ ìàëîé è ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Îïðåäåëèì óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè ñïóòíèêà ∆v è óìåíüøåíèå ðàäèóñà åãî îðáèòû ∆R íà îäíîì âèòêå ïîëåòà. Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñ ó÷åòîì ðàáîòû ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñïóòíèêà íà îðáèòå ðàâíà W1 = = −GMm R = −mv2 , êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà W2 = mv2 2 = −W1 2 , à ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñîñòàâëÿåò W1 + + W2 = − mv 2 2 . Çàïèøåì áàëàíñ ïîëíîé ýíåðãèè ñïóòíèêà â íà÷àëå è â êîíöå âèòêà: >C > m v + ∆v mv2 − − 2πRFñîïð = − 2 2 C Ïîñêîëüêó ïðîäîëæèòåëüíîñòü âèòêà ñîñòàâëÿåò ∆t = 2πR v , òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ïðîëåòàþùåãî â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå ñïóòíèêà ðàâíî Fñîïð ∆v 2 πFñîïð R v aò = = = . (5) ∆t mv m 2 πR Îòñþäà Fò = maò = m Fñîïð m = Fñîïð , ÷òî è òðåáîâàëîñü óñòàíîâèòü. Èòàê, ÷åì áîëüøå ñîïðîòèâëåíèå, êîòîðîå îêàçûâàåò ðàçðåæåííûé ãàç íà ñïóòíèê ïðè åãî äâèæåíèè, òåì áûñòðåå óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü ñïóòíèêà! (Êîãäà êàòàåøüñÿ íà ñàíêàõ ñ ãîðêè, òàêîå è íå ïðèñíèòñÿ. Êñòàòè, ïîäóìàéòå, ïî÷åìó. Âåäü ñàíêè è ñïóòíèê äâèãàþòñÿ â îäíîì è òîì æå ïîëå ãðàâèòàöèè Çåìëè.) Íàéäåì òåïåðü óìåíüøåíèå ðàäèóñà îðáèòû ∆R íà îäíîì âèòêå. Ñâÿçü ìåæäó ∆R è ∆v ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû (1): ∆v = − v ∆R , 2R à âåëè÷èíó ∆v ìû óæå îïðåäåëèëè. Ïîýòîìó ïîëó÷àåì 4πFñîïð ∆R . =− R mg (6) Çàìåòèì, ÷òî îòíîñèòåëüíîå óìåíüøåíèå âûñîòû ïîëåòà òî÷íî â äâà ðàçà ïðåâûøàåò ñîîòâåòñòâóþùåå óâåëè÷åíèå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ñïóòíèêà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà ôîðìóëó (6). Åñëè ìûñëåííî ðàçâåðíóòü îêðóæíîñòü ðàäèóñîì R è òðàåêòîðèþ ñïóòíèêà íà îäíîì âèòêå ïîëåòà â ïðÿìûå îòðåçêè À è ÀÑ (ðèñ.2), ðàñïîëîæèâ èõ òàê, ÷òîáû îòðåçîê ÂÑ áûë ðàâåí ïî âåëè÷èíå ∆R = = 4πFñîïð R mg , òî ñòàíåò ÿñíî, ÷òî > C A α B ∆R 2 . (3) (4) Ðèñ. 2 C ÀÝÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÉ â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå â êàæäîé òî÷êå îðáèòû êàñàòåëüíàÿ ê òðàåêòîðèè ïîëåòà ñïóòíèêà îáðàçóåò ñ ìåñòíîé ãîðèçîíòàëüþ ìàëûé, íî îòëè÷íûé îò íóëÿ óãîë α ≈ arctg 2Fñîïð 4 πFñîïð R = . mg ⋅ 2 πR mg Óãîë ýòîò íå ïîñòîÿííûé, à çàâèñèò îò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû è, ñëåäîâàòåëüíî, îò âûñîòû ïîëåòà ñïóòíèêà. ×åì ñèëüíåå òîðìîçèòñÿ òåëî, òåì áîëüøå ýòîò óãîë. Ôîðìàëüíî ñïóòíèê äâèãàåòñÿ êàê òåëî, ñîñêàëüçûâàþùåå ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè ðàâíà mg sin α J 2Fñîïð , ò.å. óäâîåííîé ñèëå ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû. Åñëè âåêòîðíî ñëîæèòü ýòó ñèëó ñ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû, íàïðàâëåííîé ïðîòèâ äâèæåíèÿ ñïóòíèêà, òî ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà îêàæåòñÿ ðàâíîé ïî âåëè÷èíå Fñîïð è óñêîðÿþùåé ñïóòíèê â íàïðàâëåíèè âïåðåä. Âîò âàì è îáúÿñíåíèå àýðîäèíàìè÷åñêîãî ïàðàäîêñà. Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü, íàâåðíîå, óæå çàìåòèë, ÷òî àýðîäèíàìè÷åñêèé ïàðàäîêñ, â òîì âèäå, êàê îí áûë ñôîðìóëèðîâàí, îáÿçàí çàìå÷àòåëüíîé îñîáåííîñòè, êîòîðàÿ åñòü ó ãðàâèòàöèîííîãî (è êóëîíîâñêîãî) ïîëÿ, ãäå ïîëíàÿ ýíåðãèÿ òåëà ðàâíà êèíåòè÷åñêîé, âçÿòîé ñî çíàêîì «ìèíóñ». Ê ïðèìåðó, åñëè áû ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ñïóòíèêà ê Çåìëå çàâèñåëà îò R êàê 1 R3 , òî â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ñïóòíèêà ðàâíÿëîñü áû Fñîïð 3m . (Äâèæåíèå ñïóòíèêà â îáùåì ñëó÷àå ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè ñèëû ïðèòÿæåíèÿ îò ðàäèóñà â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå ðàññìàòðèâàåòñÿ â óïðàæíåíèè 4.) Ðàñ÷åòû óñêîðåíèÿ ñïóòíèêà áûëè âûïîëíåíû íà îñíîâå áàëàíñà ýíåðãèè ñïóòíèêà â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ñ ó÷åòîì ðàáîòû âíåøíåé ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèì ïóòåì, íå ïðèáåãàÿ ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, à èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå äëÿ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà L = mvR ñïóòíèêà íà êðóãîâîé îðáèòå: > C ∆L = M, ∆t (7) ãäå Ì = −Fñîïð R ìîìåíò âíåøíåé ñèëû (ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû), óìåíüøàþùèé ìîìåíò èìïóëüñà ñïóòíèêà ïðè åãî òîðìîæåíèè â àòìîñôå2 Êâàíò ¹ 3 ÏÀÐÀÄÎÊÑ ðå è ñïóñêå ñ âûñîêîé îðáèòû íà íèçêóþ. Ïóñòü ∆L èçìåíåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà ñïóòíèêà çà îäèí âèòîê îðáèòû. Êàê è ðàíüøå, ñ÷èòàåì, ÷òî ïëîòíîñòü ãàçà íà îðáèòå ñòîëü ìàëà, ÷òî ñèëà Fñîïð ïðèâîäèò ê ìàëîìó âîçìóùåíèþ îðáèòû íà îäíîì âèòêå. Èìååì: ∆L = mv∆R + + mR∆v , îòêóäà èç óðàâíåíèÿ (7) è âûðàæåíèÿ ∆v = −v∆R 2R , ñïðàâåäëèâîãî â ñëó÷àå íüþòîíîâñêîãî ïîëÿ òÿãîòåíèÿ, ñðàçó æå ïîëó÷àþòñÿ òå æå ñàìûå ðåçóëüòàòû äëÿ ∆v , ∆R è aò . Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (7) ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü ðåøåíèå ìíîãèõ çàäà÷ î äâèæåíèè ñïóòíèêà â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ñ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé, ïîòîìó ÷òî â ýòîì ñëó÷àå íå íàäî ó÷èòûâàòü ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè âåêòîð ýòîé ñèëû ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòðû ìàññ ñïóòíèêà è Çåìëè è åå ìîìåíò ðàâåí íóëþ. Àýðîäèíàìè÷åñêèé ïàðàäîêñ ñïóòíèêà è ñâÿçàííûå ñ ýòèì ÿâëåíèåì âîïðîñû èìåþò âàæíîå ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Ïðèìåð 1. Ïëîòíîñòü àòìîñôåðû íà áîëüøèõ âûñîòàõ. Íàáëþäåíèÿ çà òîðìîæåíèåì ñïóòíèêîâ ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ïðîôèëü ïëîòíîñòè àòìîñôåðû íà òàêèõ âûñîòàõ, êóäà íå ìîãóò ïîäíÿòüñÿ ñàìîëåòû è âîçäóøíûå øàðû-çîíäû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè åäèíñòâåííàÿ ñèëà, èçìåíÿþùàÿ ìîìåíò èìïóëüñà ñïóòíèêà, ýòî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ Fñîïð = Cxρv2 Sx 2 , ãäå ρ = ρ R íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàäèóñà îðáèòû R èëè âûñîòû ïîëåòà h = R R0 , òî èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ (ïóòåì íåñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ñ êîòîðûìè âû ñìîæåòå ñïðàâèòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî) ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ρ R ïî íàáëþäåíèÿì çà ñêîðîñòüþ óìåíüøåíèÿ ðàäèóñà îðáèòû dR/dt èëè ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà dT/dt íà ðàçíûõ âûñîòàõ: > C >C >C > C 1 dR , 2CvR dt (8) > C 1 dT , 6πCR dt (9) ρR =− ρR =− > C 5 ÑÏÓÒÍÈÊÀ ãäå Ñ = Cx Sx 2m ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü, êîòîðûé íàçûâàþò áàëëèñòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì ñïóòíèêà (îí èìååò ðàçìåðíîñòü ì2 ⋅ êã−1 ). Ôîðìóëû (8) è (9) ñïðàâåäëèâû äëÿ êðóãîâûõ îðáèò íà áîëüøèõ âûñîòàõ, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå ñïóòíèêà ñ ìîëåêóëàìè ãàçà ëèøü ñëåãêà âîçìóùàåò îðáèòó. Äî çàïóñêà èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè ñâåäåíèÿ îá àòìîñôåðå íà áîëüøèõ âûñîòàõ äîáûâàëèñü òîëüêî íà îñíîâå àñòðîíîìè÷åñêèõ è (êàêîåòî âðåìÿ) ñ ïîìîùüþ ðàäèîëîêàöèîííûõ íàáëþäåíèé çà äâèæåíèåì ìåòåîðèòîâ è ìåòåîðàêåò. Íàâèãàöèîííûå âîçìîæíîñòè ñïóòíèêîâ, è ïðåæäå âñåãî íàëè÷èå íà ñïóòíèêå ðàäèîïåðåäàò÷èêà è àâòîíîìíûõ íàâèãàöèîííûõ ïðèáîðîâ, à òàêæå èñïîëüçîâàíèå íàçåìíûõ ÝÂÌ êà÷åñòâåííî èçìåíèëè çàäà÷ó ñëåæåíèÿ çà ïàðàìåòðàìè îðáèòû òåëà â îêðåñòíîñòÿõ Çåìëè. Áëàãîäàðÿ ìíîãî÷èñëåííûì íàáëþäåíèÿì çà ïîëåòàìè èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ íà ðàçíûõ âûñîòàõ, âõîæäåíèåì àïïàðàòîâ â ïëîòíûå ñëîè àòìîñôåðû, ñåé÷àñ èìååòñÿ îáøèðíàÿ èíôîðìàöèÿ î ïëîòíîñòè ãàçà âåðõíåé àòìîñôåðû, åå çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ãîäà, ñóòîê, øèðîòû, ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè è ò.ä. Î÷åâèäíî, ÷òî ýêñïåðèìåíòû ïî îïðåäåëåíèþ ïëîòíîñòè ãàçà àòìîñôåðíîãî «õâîñòà» ïëàíåòû óäîáíåå ïðîâîäèòü íà ñïóòíèêàõ øàðîîáðàçíîé ôîðìû, êîãäà ïëîùàäü ñå÷åíèÿ Sx , è ñëåäîâàòåëüíî, áàëëèñòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò Ñ, íå çàâèñèò îò îðèåíòàöèè ñïóòíèêà. Èìåííî òàêóþ ôîðìó èìåëè àìåðèêàíñêèå ñïóòíèêèçîíäû ñåðèè «Ýêñïëîðåð». Ê òîìó æå, îíè áûëè ñäåëàíû ñïåöèàëüíî ïóñòîòåëûìè, ÷òî óâåëè÷èâàëî ýôôåêòèâíîñòü èõ òîðìîæåíèÿ â ðàçðåæåííîì ãàçå ïðè çîíäèðîâàíèè çåìíîé àòìîñôåðû, êîòîðîå ïðîâîäèëîñü â øèðîêîì äèàïàçîíå âûñîò âïëîòü äî 1000 êì, ãäå ïëîòíîñòü ãàçà ìåíüøå 10−13 10 −15 êã ì 3 . Ïðèìåð 2. Ïîñëåäíèé âèòîê. Îöåíèì, íà êàêóþ âûñîòó ∆h = ∆R ñíèæàåòñÿ ñïóòíèê â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå çà îäèí âèòîê ïîëåòà. Ïóñòü ñïóòíèê èìååò ìàññó 103 êã è ïëîùàäü ìèäåëåâîãî ñå÷åíèÿ 1 ì2 , à íà âûñîòå 200 êì ïëîòíîñòü âîçäóõà â ñðåäíåì ñîñòàâëÿåò 4 ⋅ 10 −10 êã ì 3 . Èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì ∆R = 4 πρ v2 Sx R J 2 êì . mg Íà ïåðâûé âçãëÿä, ∆R âðîäå áû ìàëàÿ âåëè÷èíà, è âåêòîð ñêîðîñòè ñïóòíèêà â êàæäîé òî÷êå òðàåêòîðèè ïîëåòà íà ýòîé âûñîòå îòêëîíÿåòñÿ îò ìåñòíîé ãîðèçîíòàëè íà íè÷òîæíî 6 ÊÂÀÍÒ $ ìàëûé óãîë > C αJ 2ρv2 Sx mg J 5 ⋅ 10 −6 ðàä J 1′′ . Îäíàêî çà ñóòêè ñïóòíèê ñîâåðøàåò áîëåå 16 îáîðîòîâ, è, ñïóñêàÿñü âñå íèæå è íèæå, ãäå ïëîòíîñòü àòìîñôåðû î÷åíü ðåçêî âîçðàñòàåò, îí âñå êðó÷å è êðó÷å «çàðûâàåòñÿ» â àòìîñôåðó Çåìëè. Íà âûñîòå 150 êì, ãäå ρJ 4 ⋅ 10 −9 êã ì 3 , çà îäèí âèòîê ýòîò æå ñïóòíèê ñíèçèòñÿ íà 20 êì! Åùå îäèí-äâà âèòêà, è ñïóòíèê ïîïàäàåò â ñòîëü ïëîòíóþ âîçäóøíóþ ñðåäó, ÷òî íå ìîæåò çàâåðøèòü î÷åðåäíîé âèòîê è, âìåñòî òîãî ÷òîáû äâèãàòüñÿ ïî ñïèðàëè, íà÷èíàåò ïàäàòü ïî÷òè îòâåñíî, èñïûòûâàÿ ïðè ýòîì áîëüøèå ìåõàíè÷åñêèå íàãðóçêè è òåïëîâîé óäàð. Íàñòóïàåò íåìèíóåìûé êîíåö åãî îðáèòàëüíîãî Têð,ìèí hê ð T êð hêð,êì Ðèñ. 3 ïóòåøåñòâèÿ. Ëåãêèå, ïóñòîòåëûå ñïóòíèêè ïàäàþò ðàíüøå, ñõîäÿò ñ îðáèòû íà áóëüøèõ âûñîòàõ, òÿæåëûì óäàåòñÿ âðàùàòüñÿ âîêðóã Çåìëè áëèæå ê åå ïîâåðõíîñòè. Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíî, êàê êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà è, ñîîòâåòñòâåííî, êðèòè÷åñêîå âðåìÿ îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà âîêðóã Çåìëè çàâèñÿò îò åãî áàëëèñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà Ñ. Íàïðèìåð, êîðàáëü «Âîñòîê», íà êîòîðîì ëåòàë Þðèé Ãàãàðèí, èìåë ìàññó 2,4 ò è äèàìåòð 2,3 ì, ò.å. áàëëèñòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò êîðàáëÿ áûë ðàâåí 1 Ñ = 1,7 ⋅ 10 −3 ì2 ⋅ êã −1 . Êàê âèäíî èç ãðàôèêà, êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà ïîëåòà ñîñòàâëÿåò hêðJ 130 êì, à êðèòè÷åñêîå âðåìÿ îáðàùåíèÿ TêðJ ¾ 86 ìèí 54 ñ. Ñïóòíèê, î êîòîðîì øëà ðå÷ü âûøå, èìååò ïðèìåðíî òàêîå æå îòíîøåíèå Sx m , êàê êîðàáëü «Âîñòîê», è áëèçêèå êðèòè÷åñêèå ïàðàìåòðû îðáèòû, â ÷àñòíîñòè êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà ïîëåòà ñïóòíèêà 1998/¹3 ñîñòàâëÿåò îêîëî 125 êì. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëåäÿíîãî øàðèêà äèàìåòðîì 1 ñì êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà ïðåâûøàåò 200 êì, à äëÿ ìåíüøèõ ÷àñòèö îíà åùå áîëüøå! Àòìîñôåðà è Çåìëÿ ðàáîòàþò êàê ïûëåñîñ, èñïðàâíî óäàëÿÿ ìåëêèé êîñìè÷åñêèé ìóñîð ñ îêîëîçåìíûõ îðáèò. È åùå îäíî. Êîãäà ñïóòíèê, ñïóñêàÿñü, ïðèáëèæàåòñÿ ê êðèòè÷åñêîé âûñîòå, ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû âñå åùå íå òàê âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèëîé òÿæåñòè ñïóòíèêà. Îíà ïðèìåðíî âî ñòîëüêî æå ðàç ìåíüøå íåå, âî ñêîëüêî ýôôåêòèâíàÿ òîëùèíà àòìîñôåðû ìåíüøå ðàäèóñà Çåìëè, óìíîæåííîãî íà 4π (ñì. ôîðìóëó (6)), ò.å. ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî äåñÿòèòûñÿ÷íóþ ÷àñòü îò ñèëû òÿæåñòè. Ìàëî? Íî ýòîãî óæå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñïóòíèê î÷åíü ñêîðî èñ÷åç. Ïðèìåð 3. Âðåìÿ æèçíè ñïóòíèêà â îðáèòàëüíîì ïîëåòå. Ïðîòÿæåííûé àòìîñôåðíûé «õâîñò» óêîðà÷èâàåò æèçíü ñïóòíèêà. Ôîðìóëû, êîòîðûå åñòü â íàøåé ñòàòüå, ïîçâîëÿþò ñäåëàòü îöåíêó âðåìåíè æèçíè ñïóòíèêà, åñëè èçâåñòíû íà÷àëüíàÿ âûñîòà ïîëåòà è âûñîòíûé ïðîôèëü ïëîòíîñòè àòìîñôåðû. Õîòÿ ïðîâåäåíèå òî÷íûõ ðàñ÷åòîâ äîñòàòî÷íî òðóäîåìêàÿ îïåðàöèÿ, â ïðèáëèæåííûõ îöåíêàõ ìîæíî ó÷èòûâàòü, ÷òî îñíîâíîå âðåìÿ æèçíè ñïóòíèêà ñâÿçàíî ñ íàõîæäåíèåì åãî íà ñàìûõ âåðõíèõ îðáèòàõ, ãäå ïëîòíîñòü âîçäóõà íàèìåíüøàÿ. Ðåçóëüòàòû îöåíîê çàâèñÿò îò òèïà ñïóòíèêà, òî÷íåå îò åãî áàëëèñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà Ñ. Íå áóäåì çäåñü ðàññìàòðèâàòü ñàìî ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è (òåì áîëåå ÷òî îäèí èç åå âàðèàíòîâ îïóáëèêîâàí â æóðíàëå «Êâàíò» ¹2 çà 1996 ãîä â ñòàòüå «V Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» ñì. çàäà÷ó 3 ïî ôèçèêå), à òîëüêî ïðèâåäåì â ôîðìå òàáëèöû ðåçóëüòàòû îöåíî÷íûõ âåëè÷èí âðåìåíè æèçíè îáû÷íûõ èññëåäîâàòåëüñêèõ ñïóòíèêîâ íà îðáèòàõ ñ ðàçíûìè íà÷àëüíûìè âûñîòàìè Âûñîòà ïîëåòà (êì) Âðåìÿ æèçíè 150 190 210 230 400 500 650 850 1300 2000 1 ñóòêè 2 ñóòîê 1 íåäåëÿ 1 ìåñÿö 1 ãîä 10 ëåò 100 ëåò 1000 ëåò 10 òûñ.ëåò 100 òûñ.ëåò ïîëåòà: Ýòà òàáëèöà èëëþñòðèðóåò, ïðåæäå âñåãî, ñêîëü ðåçêî óáûâàåò ïëîòíîñòü âîçäóõà íà áîëüøèõ âûñîòàõ ïðè óäàëåíèè îò çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Òàáëèöà ïîìîãàåò òàêæå îòâåòèòü íà âîïðîñ, ïî÷åìó ñïóòíèê, íà áîðòó êîòîðîãî óñòàíàâëèâàåòñÿ àïïàðàòóðà, ðàññ÷èòàííàÿ íà ìíîãîëåòíþþ ïðîãðàììó èññëåäîâàíèé, âûâîäèòñÿ íà îðáèòó âûñîòîé íå ìåíåå 500 êì.  çàêëþ÷åíèå ïðåäëàãàåì íåñêîëüêî çàäà÷ è âîïðîñîâ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Óïðàæíåíèÿ 1. Ïåðâûå çàïóñêè ñïóòíèêîâ ïðîäåìîíñòðèðîâàëè íå÷òî ëþáîïûòíîå. Ïðè âûâîäå íà îðáèòó è îòäåëåíèè ñïóòíèêà îò ïîñëåäíåé ñòóïåíè ðàêåòû-íîñèòåëÿ ðàêåòà ñ óæå âûêëþ÷åííûìè äâèãàòåëÿìè îáãîíÿëà ñïóòíèê è âûðûâàëàñü âïåðåä. Êàê îáúÿñíèòü ýòî ÿâëåíèå? Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ìîìåíò îòäåëåíèÿ ñêîðîñòè ðàêåòû è ñïóòíèêà îäèíàêîâûå. 2. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó èç-çà òîðìîæåíèÿ ñïóòíèêà â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû åãî ïåðâîíà÷àëüíî ýëëèïòè÷åñêàÿ îðáèòà ñòðåìèòñÿ ñòàòü êðóãîâîé. 3. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè áû ïëîòíîñòü âîçäóõà óáûâàëà ñ âûñîòîé ïî çàêîíó ρ; R −1 2 , ãäå R ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ïëàíåòû, òî ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ ðàäèóñà îðáèòû ñïóòíèêà áûëà áû ïîñòîÿííîé. 4. Ñïóòíèê âðàùàåòñÿ ïî îêðóæíîñòè â ïîëå ïëàíåòû ñ ðàçðåæåííîé àòìîñôåðîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ê ïëàíåòå ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó F ; R− n , ãäå n ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ñëó÷àé n = 2, êàê èçâåñòíî, ñîîòâåòñòâóåò íüþòîíîâñêîìó òÿãîòåíèþ). Ïðè êàêèõ n âîçìîæåí àýðîäèíàìè÷åñêèé ïàðàäîêñ ñïóòíèêà? 5. Çàâèñèò ëè òîðìîæåíèå ñïóòíèêà íà áîëüøèõ âûñîòàõ îò òåìïåðàòóðû âîçäóõà? 6. Äîïóñòèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñèëüíîãî íàãðåâà Çåìëè âñÿ âîäà â îêåàíàõ èñïàðèëàñü, à ïëàíåòà ïîêðûëàñü ïëîòíîé è ãîðÿ÷åé àòìîñôåðîé èç âîäÿíîãî ïàðà. Êàê ýòî ñêàæåòñÿ íà äâèæåíèè ñóùåñòâóþùèõ íûíå èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè è åå åñòåñòâåííîãî ñïóòíèêà Ëóíû?
