Основные способы преобразования графиков. 1. Симметрия относительно осей координат. А. На координатной плоскости точки ( x; y ) и ( x; y ) симметричны относительно оси Ox . Рассмотрим функции y f ( x) и y f ( x) . Они имеют одну и ту же область определения. Графики состоят из всех точек с координатами ( x; f ( x)) и ( x; f ( x)) соответственно. Эти точки симметричны относительно оси Ox . Значит, график функции y f ( x) получается из графика функции y f ( x) симметричным отображением относительно оси Ox . Б. На координатной плоскости точки ( x; y ) и ( x; y ) симметричны относительно оси Oy . Рассмотрим функции y f ( x) и y f ( x) . Они имеют области определения, симметричные относительно начала координат. Графики состоят из всех точек с координатами ( x; f ( x)) и ( x; f ( x)) соответственно. Эти точки симметричны относительно оси Oy . Значит, график функции y f ( x) получается из графика функции y f ( x) симметричным отображением относительно оси Oy . 2. Сдвиг вдоль осей координат. А.Сдвиг вдоль оси абсцисс. Функция y f ( x a) , где a 0 , определена для всех x таких, что ( x a) X , где X область определения функции y f ( x) . График функции y f ( x a) получается сдвигом вдоль оси Ox на величину a графика функции y f ( x) вправо, если a 0 , и влево, если a 0. Действительно, пусть M 0 ( x0 ; y0 ) принадлежит графику функции y f ( x) , т.е. y0 f ( x0 ) . Возьмем точку M 1 ( x0 a; y0 ) . Так как еѐ координаты удовлетворяют условию y0 f (( x0 a ) a ) , то точка M 1 y f ( x a ) . Значит, каждая точка M 1 графика функции y f ( x a) получается из соответствующей точки M 0 графика функции y f ( x) сдвигом вдоль оси Ox на величину a . Б. Сдвиг вдоль оси ординат. Функция y f ( x) B, B 0 и y f ( x) имеют одну и ту же область определения. Точка M 0 ( x0 ; y0 ) графика y f ( x) переходит в точку M 1 ( x0 ; y0 B ) графика функции y f ( x) B . Значит, график y f ( x) B, B 0 получается из графика y f ( x) сдвигом вдоль оси Oy на величину B вверх, если B 0 и вниз, если B 0. 3. Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат. Функция y Bf ( x), B 0, B 1 и y f ( x) имеют одну и ту же область определения. Точка M 0 ( x0 ; y0 ) графика y f ( x) переходит в точку M 1 ( x0 ; By0 ) графика функции y Bf ( x) . А)Если B 1, то график y Bf ( x) получается из графика y f ( x) растяжением вдоль оси Oy в B раз. Б) Если 0 B 1, то график y Bf ( x) получается из графика y f ( x) сжатием вдоль оси 1 раз. Oy в B Функция y f (kx) , где k 0, k 1 , определена для всех x таких, что kx X , где X область определения функции y f ( x) . График функции y f (kx) получается сжатием вдоль оси Ox в k раз графика функции y f ( x) , если k 1 , и растяжением в k раз, если 0 k 1. Действительно, пусть M 0 ( x0 ; y0 ) принадлежит графику функции y f ( x) , т.е. y0 f ( x0 ) . x Возьмем точку M 1 (kx0 ; y0 ) . Так как еѐ координаты удовлетворяют условию y0 f (k 0 ) , то k точка M 1 y f (kx) . Значит, каждая точка M 1 графика функции y f (kx) получается из соответствующей точки M 0 графика функции y f ( x) сжатием или растяжением вдоль оси Ox в k раз. 4.План построения графиков функций вида y Af (k ( x a)) B . График функции y Af (k ( x a)) B строится по графику y f (k ( x a)) последовательным применением рассмотренных выше преобразований. y f ( x) y f (kx) y Af (kx) y Af (k ( x a)) y Af (k ( x a)) B 1 Пример 1. Построить график функции y 2x 6 . 2 1 Преобразуем функцию y 2( x 3) . 2 x 1) y 2) y 3) y 4) y 5) y 2x 1 2x 2 1 2( x 3) 2 1 2( x 3) 2 Пример 2. Построить график функции y 3sin(2 x 3 ) 1. 5. Преобразования графиков, связанные с модулем. Пусть дан график y f ( x) . Построим график функции y f ( x) . Если на некотором подмножестве M X , где X - область определения функции y f ( x) 0 , то график функции y f ( x) совпадает с графиком y Если на некотором подмножестве P x P график y X f ( x) 0 , то y f ( x) получается отражением графика y Следовательно, график y f ( x) , f ( x) . f ( x) f ( x) , значит, для всех f ( x) относительно оси Ox . f ( x) не имеет точек ниже оси Ox . Пусть дан график y функции y f ( x) ,где X - область определения функции. Построим график f ( x ) . Если x X 1 , X 1 - область определения функции y f ( x ) , то x так как x x Для всех x x X1 f ( x ) 0 график функции y Для всех x 0 x x относительно оси Oy . f ( x) f ( x) y X1 , f ( x ) -четная функция. f ( x ) совпадает с графиком y f ( x) . f ( x) , то есть левая часть графика симметрична правой Пример 3. Построить графики функции а) y б) y 2 1 x 2 2 x 1 2 в) y x 2 г) y log 2 2 x x 4 3 Упражнения. Построить графики функций: 1) y 2 ( x 2) 1 1 2) y ( x 1)3 2 2 3) y 1 x 4) y log 3 (2 x) 3 5) y 2 cos( x 4 ) 1 6) y 7) y 1 ( )1 x 2 1 9) y 1 1 2x 2 x 2 10) y x 1 8) y 13) y 2x 1 x 2 x2 1 2x2 x 2 14) y sin(2 x 15) y cos 2 x 11) y 1 sin( x ) 2 2 3 12) y log 2 (2 x 1) 16) y 2 log 2 x 17) y x 1 18) y 3 4 x 1 x x 1 ) 19) y x2 5x 6 20) y x2 2x 1 x 2