Лаб.раб.No 16

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И
ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА
Цель работы: познакомиться с методом определения средней длины свободного пробега λ и эффективного диаметра молекул воздуха d по измеренной
вязкости воздуха η .
Оборудование: сосуд, капиллярная трубка, мензурка, секундомер, линейка.
Теоретическое введение
При комнатной температуре и атмосферном давлении воздух близок по
своим свойствам к идеальному газу, и может быть описан уравнением состояния
m
или p = nkT ,
(16-1)
pV = kT
µ
где m - масса газа, µ - молярная масса, n - число молекул газа в единице объема
(концентрация молекул), k - постоянная Больцмана, связанная с универсальной
газовой постоянной соотношением k = R N A ; N A - число Авогадро.
Отличается
реальный
газ
(воздух) от идеального лишь тем, что
его
молекулы
начинают
взаимодействовать,
т.е.
отталкиваться друг от друга при
сближении на некоторое очень малое
расстояние. Минимальное расстояние
d, на которое сближаются молекулы
Рис. 16-1
при столкновении (рис. 16-1),
называется эффективным диаметром молекулы. Эта величина немного
уменьшается с ростом энергии сталкивающихся молекул или с ростом
температуры Т газа, но настолько слабо, что при расчетах ее можно считать
постоянной: d ≈ const .
Можно также считать, что если
расстояние между двумя пролетающими
молекулами больше d, то они практически не
взаимодействуют друг с другом и летят без отклонения. Если же молекула попадает в пределы
круга радиуса d с центром совпадающим с
центром другой молекулы, то она отклонится от
первоначального движения, т.е. молекулы
столкнутся (рис. 16-2). Площадь такого круга
σ = π d 2 называется эффективным сечением
рассеяния молекулы.
Рис. 16-2
Сталкиваясь, каждая молекула движется
по ломаной линии (рис. 16-3). Число
других молекул газа, с которыми она
столкнется за 1 секунду, будет равна
числу N молекул, попадающих в объем
ломаного цилиндра с площадью основания σ и длиной < υ > ⋅1c , где < υ > средняя скорость молекул газа. Разделив пройденный путь на это число
N = nσ < υ > ⋅1c , найдем средний путь,
Рис. 16-3
проходимый молекулой газа между
двумя последовательными столкновениями. Такой путь λ называется средней
длиной свободного пробега молекулы. Но если учесть, что остальные молекулы
не стоят на месте, а тоже движутся со средней скоростью < υ > , то частота столкновений с движущимися молекулами возрастает в 2 раз. Поэтому
< υ > ⋅1c
1
λ=
=
.
(16-2)
2nσ < υ > ⋅1c
2σ n
Столкновения молекул газа друг с другом приводят к установлению термодинамического равновесия - состояния среды, при котором величина любого
термодинамического параметра одинакова в любой точке среды.
Пусть каждая молекула обладает некоторой физической величиной α , которая различна в разных участках среды. Тогда молекулы начинают при столкновениях передавать некоторые порции величины α друг другу, переносить ее из
области с большим значением α в область с малым значением α , т.е. против направления gradα . Подобные явления называются явлением переноса.
Возникает поток величины α , численно равный величине α , переносимой
молекулами за единицу времени через площадку S , перпендикулярную вектору
gradα . В газах, близких к идеальным этот поток имеет величину
1
J α = λ n < υ > gradα ⋅ S .
(16-3)
3
В данной работе исследуется перенос импульса, приводящий к возникновению вязкости газа. Молекулы газа движутся хаотично, со средней скоростью
< υ > , если газ в целом покоится. Но при движении слоя газа со скоростью υ эту
же дополнительную составляющую скорости упорядоченного движения приобретут все молекулы в данной среде.
Пусть газ обтекает некоторое тело
с площадью S. Из-за шероховатости
происходит адгезия
(прилипание)
молекул газа к поверхности тела. Слой
газа, непосредственно соприкасающийся
с телом, неподвижен, а более удаленные
слои движутся со скоростью υ 0 (рис. 164). Вблизи тела существует пограничный
слой толщины ∆ , заштрихованный на
Рис. 16-4
рис. 16-4, в котором слои газа движутся
со скоростями υ , различающимися от 0 до υ 0 , а молекулы обладают разными
импульсами α = P1 = m1υ , где m1 - масса одной молекулы.
Подставляя эту величину в формулу (16-3) , получаем, что поток импульса,
переносимый молекулами газа, в соответствии со вторым законом Ньютона равен
величине силы:
dp
Jp =
= Fтр = η gradυ ⋅ S ,
(16-4)
dt
1
где коэффициент η = λ nm1 < υ > называется коэффициентом динамической вяз3
кости или просто вязкостью газа. Полученная сила Fmp называется силой вязкого
или внутреннего трения. Так как молекулы газа передают свой импульс телу, то
сила FC будет замедлять движение слоев газа, т.е. направлена против их скороG
сти υ . Такая же по величине сила будет действовать на поверхность твердого тела, но направлена она в противоположную сторону - движущийся газ увлекает тело за собой.
Вязкость газа приводит к выравниванию скоростей движения различных слоев газа. Так как nm1 = ρ (суммарная масса всех молекул в единице объема), а плотность газа определяется из уравнения состояния (16-1):
m µp
ρ= =
,
(16-5)
V RT
то, подставляя среднюю скорость теплового хаотического движения молекул газа
8 RT
<υ >=
, получим следующее выражение для его вязкости:
πµ
1
1
λ p 8µ
.
η = λ nm1 < υ > = λ ρ < υ > =
3
3
3 π RT
Заметим, что в соответствии с определением (16-2) λ n =
(16-6)
(
2σ
)
−1
и
m1
km1T
8 RT
2
,
(16-7)
=
π
3 2σ π µ 3π d 2
т.е., в действительности, вязкость газа не зависит от давления р, а зависит только
от температуры Т, возрастая с ростом Т.
Из найденной формулы (15-6) можно вычислить среднюю длину свободного пробега:
3η π RT
λ=
(16-8)
p
8µ
а также, используя уравнение состояния (16-1) в форме n = p kT , можно из формулы (16-2) получить эффективный диаметр молекулы:
1
kT
d=
=
.
(16-9)
2π nλ
2π pλ
Для определения вязкости воздуха η и величин λ и d в данной работе используется установка, изображенная на рис. 16-5. Воздух через узкий капилляр
η=
радиуса R и длины A , походящий через плотно
закрытую пробку, попадает в сосуд, частично
заполненный водой. Когда кран К закрыт, то
давление воздуха в сосуде устанавливается равным
атмосферному: p1 = p0 . Так как высота столба воздуха в сосуде и отводящей трубке с краном К
равна h (рис. 5), то к давлению p1 добавляется
гидростатическое давление жидкости
p2 = p1 + ρ в gh
(16-10)
будет превышать давление p0 атмосферы вне
трубки. Если кран К открыть, то из-за разности
давлений вода потечет из трубки непрерывной
струёй.
Объем воды в сосуде при этом начнет
уменьшаться, но воздух не успевает втекать через
узкий капилляр, заполняя освобождающийся
Рис. 16-5
объем. Давление p1 начинает уменьшаться, а
вместе с ним уменьшается давление p2 до тех пор,
пока вода не начнет вытекать из трубки отдельными каплями. При этом
p2 > p0 , и объем вытекшей в виде капель воды равен объему V воздуха, втекающего в сосуд через капилляр.
Стационарное вытекание воды из трубки в
виде отдельных капель связано со свойством поверхностного натяжения воды. Капля медленно образуется на конце трубки и будем считать, что она
заведомо оторвется от трубки после того, как
примет форму полушара (рис. 20-6).
В этот момент результирующая сил давлений
и поверхностного натяжения, действующих на каплю, а также силы тяжести равна нулю:
(16-11)
( p2 − p0 ) ST − FH + mg = 0 ,
где ST = π rT2 - площадь поперечного сечения капли,
2
rT - радиус трубки, m = π rT3 ρ в - масса капли,
3
FH = 2π rT ⋅ σ - сила поверхностного натяжения, которая приложена к контуру, ограничивающему поверхность капли (это край трубки) и направлена она
Рис. 16-6
по касательной к поверхности капли, стремясь ее
сжать, т.е. направлена вертикально вверх (рис. 6), σ - коэффициент поверхностного натяжения воды.
Подставляя в уравнение (16-11) величину p2 из соотношения (16-10), найдем установившееся давление воздуха в сосуде:
2σ 2
− ρ в grT .
(16-12)
rT
3
Подставив в формулу (16-12) величины
σ = 0,073н / м (для воды),
p1 = p0 − ρ в gh +
p0 = 1атм, h ≈ 20 ÷ 30см, ρ в = 103 кг / м 3 определяем, что последние два слагаемых в формуле (16-12) пренебрежимо малы и их можно отбросить. К тому же капли будут ещё медленнее, т.к. скорость их падения определяется не радиусом
трубки rT и высотой столба жидкости h, а скоростью втекания воздуха через
капилляр.
Определить эту скорость или объем воздуха, протекающего через капилляр,
принимая установившееся давление p1 , равным
p1 = p0 − ρ в gh .
(16-13)
Выделим в капилляре
цилиндрический объем воздуха длины A с радиусом r
и поперечным сечением
S = π r 2 (рис. 16-7). На его
боковую
поверхность
S бок = 2π rA действует тормозящая сила вязкого трения, вычисляемая по формуле
(16-4):
dυ
Fтр = −η
⋅ S бок . (16-14)
dr
При установившемся
Рис. 16-7
течении центр масс выделенного цилиндра движется
с постоянной скоростью и сила Fтр уравновешивается разностью сил давления на
основания цилиндра:
(16-15)
Fтр = ( p0 − p1 ) S .
отсюда, с учетом формулы (16-14), получаем дифференциальное уравнение
dυ
= ( p1 − p0 )rdr .
2 ηA
dr
( p1 − p0 )r 2
Разделяя переменные и интегрируя, найдем, что υ =
+ const . Постоян4ηA
ную интегрирования находим из условия равенства нулю скорости газа вблизи
= 0 , откуда const = ( p0 − p1 ) R 2 4ηA .
стенок капилляра, υ
r =R
Зависимость скоростей слоёв воздуха, текущего по капилляру, от расстояния r имеет параболический характер (рис. 16-7):
p − p1 2
(16-15)
(R − r 2 ) .
υ (r ) = 0
4ηA
Чтобы определить объем воздуха, протекающего по капилляру, разобьём
его поперечное сечение на бесконечно узкие кольца радиуса r толщиной dr (рис.
16-7). Площадь такого кольца dS = 2π rdr . За время τ через него со скоростью
υ протечет объем газа dV = dS ⋅ υτ , а через все сечение капилляра протечет воздух
объемом
R
R
π ( p0 − p1 )τ
π ( p0 − p1 ) R 4
2
2
τ . (16-15)
V = υτ 2π rdr =
( R − r )rdr =
2η A
8η A
∫
0
∫
0
Полученная формула называется формулой Пуазейля.
За время τ уровень воды в сосуде с площадью сечения S C (рис. 16-5)
понизится незначительно, от уровня h1 до h2 , где h1 − h2 << h . Тогда в формулу
(16-13) можно подставить среднее значение h = (h1 + h2 ) 2 . Приравнивая объем
вытекшей воды Vв = (h1 − h2 ) S C объему воздуха, попавшего в сосуд в соответствии с формулой Пуазейля (16-16), и подставляя разность давлений из формулы
(16-13), найдем
πρ в g (h1 + h2 ) R 4
τ = (h1 − h2 ) S C , откуда вязкость воздуха
16η A
πρ в (h1 + h2 ) R 4 g
.
(16-17)
η=
16A(h1 − h2 ) S C
Наконец, обсудим условия применимости полученных результатов. Сила
вязкого трения (16-4) или (16-14), а также формула Пуазейля (16-16) применимы
только в том случае, когда течение газа ламинарно. При медленном ламинарном
течении слои газа скользят друг по другу, и каждый маленький объем газа движется по плавной нигде не прерывающейся линии со скоростью υ , как показано
на рис. (16-4) и (16-7).
При увеличении скорости течения происходит срыв пограничного слоя и газ или жидкость начинают двигаться в виде беспорядочных вихрей. Такое движение называется турбулентным. Частицы (малые
объемы) газа движутся по беспорядочным пересекающимся траекториям (рис. 16-8). Вязкость уже нельзя
Рис. 16-8
определить по формуле (16-16).
Условия срыва пограничного слоя и превращения ламинарного течения в
турбулентное можно определить с помощью критерия Рейнольдса, который заключается в следующем:
V
V
=
и
найдем среднюю скорость течения газа по капилляру (трубе) < υ > =
τ S τπ R 2
вычислим безразмерное число Рейнольдса
ρ <υ > D
,
(16-18)
η
где ρ - плотность газа, определяемая по формуле (16-5), η - его вязкость, D=2R поперечный размер капилляра. Подставляя сюда формулы (16-12) и (16-16), получим
ρ в g (h1 + h2 ) R 2
ρρ в g (h1 + h2 ) R 3
и
Re =
.
(16-19)
υ=
16η A
8η 2 A
Если
это
число
меньше
некоторого
критического
значения
Re кр = 2000 ÷ 20000 , то течение - ламинарно. Если же Re > Re кр , то течение турбулентно.
Заметим также, что характерное для ламинарного течения параболическое
распределение скоростей устанавливается на расстоянии a ≈ 0,2 R ⋅ Re от входа в
капилляр радиуса R (рис. 16-7). Поэтому при выводе формулы Пуазейля (16-16) и
вязкости (16-17) радиус R и длина A капилляра должны быть такими, чтобы выполнялось условие
a ≈ 0,2 R ⋅ Re << A .
(16-20)
Re =
Контрольные вопросы
1. Что называется эффективным диаметром d, эффективным сечением рассеяния
σ и средней длиной свободного пробега λ молекулы газа? Как эти величины
зависят от температуры Т?
2. Какие уравнения состояния воздуха используются в данной работе? Как плотность воздуха зависит от температуры?
3. Какие явления называются переноса в газах? Как эти явления связаны с установлением термодинамического равновесия? Какое состояние называется равновесным?
4. Дайте определение потока некоторой величины. Как он запишется для газов?
Чему равен поток импульса и почему он связан с силой вязкого трения? Какова
формула этой силы?
5. Что называется коэффициентом динамической вязкости η газа? Как вязкость
η газа зависит от температуры? У какого газа вязкость больше при одинаковой
температуре - у газа с большими или маленькими молекулами? Почему?
6. Вывести с помощью формулы (16-3) выражения (16-6), (16-7), (16-8) и (16-9)
для η , λ и d.
7. Воздух находится в герметически закрытом или же в сообщающемся с атмосферой сосуде, который нагревается. Что при этом происходит с давлением газа р, частотой соударения его молекул со стенкой ν , эффективным диаметром
d и средней длиной свободного пробега λ его молекул, вязкостью газа η (с помощью уравнения состояния вывести зависимости этих величин от Т и нарисовать приблизительные графики этой зависимости)? Почему зависимость р и ν
от Т имеет разный вид, хотя давление газа на стенку создается ударами его молекул?
8. Почему при открывании крана К установки (рис.16-5) вода вытекает сначала
непрерывной струйкой, а потом - в виде равномерных капель? От чего зависит
давление воздуха в сосуде и каким оно устанавливается? Вывести формулу
(16-12) и расчетом доказать, что из нее получается формула (16-13).
9. Записать условие отрыва капли от трубки. Чем определяется скорость падения
капель в данной установке? Зависит ли она от вязкости воды или от вязкости
воздуха? Почему?
10. Вывести формулу (16-15) распределения скоростей и формулу Пуазейля (1616). К течению какой среды применяется эта формула в данной работе?
11. Какую величину V описывает формула Пуазейля? Каков ее смысл? Как величина V связана с числом вытекших капель?
12. Нарисовать график распределения скоростей слоев воды, текущей по трубе
или газа, текущего по капилляру как функцию расстояния r от оси. Что общего
у этих графиков?
13. Какое течение называется ламинарным и турбулентным? Какой смысл имеет
пограничный слой у стенок трубы и при каком течении он образуется?
14. Сформулируйте критерий Рейнольдса. Как с его помощью определить характер течения? Как определить среднюю скорость течения по трубе? Выведите
формулу (16-19). Что такое критическое число Рейнольдса?
15. Покажите подстановкой данных измерений, что критерий Рейнольдса в вашей
работе выполнен и проверьте выполнение условия (16-20). Что такое величина
а в этом условии?
Порядок выполнения работы
1. Откройте кран К, добейтесь, чтобы вода вытекала каплями. Измерьте время,
за которое уровень воды меняется на 1 см. Замерьте h1 , h2 . Помните, что
должно соблюдаться условие ∆ h < l.
2. Для определения вязкости проделайте опыт не менее 5 раз для разных значений
∆Р (т.е. для разных h1 , h2 ) каждый раз изменяя уровень на одно и то же значение и замеряя время вытекания воды τ . Результаты занесите в таблицу.
3. Постройте график зависимости расхода воздуха от разности давлений
V
V ( p1 − p2 )π R 4
=
, то эта зависимость должна иметь ли = f (∆ P ) . Так как
τ
τ
8η A
нейный характер для ламинарного течения.
4. Определите по графику при каких условиях течение переходит в турбулентное.
По угловому коэффициенту прямолинейного участка графика определите динамическую вязкость воздуха η . Определите погрешность результата.
Если зависимость расхода воздуха от разности давлений не наблюдается, то
рассчитайте динамическую вязкость η по формуле (16-17).
5. По формуле a ≈ 0,2 R ⋅ Re << A оцените расстояние, на котором происходит
формирование ламинарного потока.
< υ > Dρ
, где < υ > средняя скорость течения воздуха.
Число Рейнольдса Re =
η
Сравните Re с Reкр. = 2000÷20000, убедитесь, что а << l.
6. Определите длину свободного пробега λ и эффективный диаметр d молекул
воздуха по формулам (16-8) и (16-9). Определите погрешность вычисления
этих величин.
Таблица
№
опыта
h1 , см
1
2
….
< η > ± ∆η =
h2 , см τ , с
Па ⋅ с
Н
∆p, 2
м
< λ > ± ∆λ =
м
V
τ
,
м 3 Re
с
< d > ±∆d =
а, м
м
Список литературы
1. Савельев И.В. Курс общей физики, 1989, т.1, гл.12 § 79, 80; гл.9, § 62.
2. Матвеев А.Н. Молекулярная физика, 1987, гл.5 § 49, 50.
3. Колмаков Ю.Н., Пекар Ю.А., Лежнева Л.С. Термодинамика и молекулярная физика, 1999, гл.5, § 1, 2, 3, 5.