Задачи по квантовой механике - Новгородский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО
Д. А. Филиппов, М. А. Захаров
ЗАДАЧИ
ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2010
2
Печатается по решению
РИС НовГУ
УДК 530.145(075.8)
ББК 22.314я73
Ф53
Р ец енз ен ты:
доктор технических наук, профессор В. М. Петров
доктор физико-математических наук В. А. Абрамовский
Филиппов, Д. А.
Ф53
Задачи по квантовой механике / Д. А. Филиппов, М. А. Захаров;
НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2010. – 43 с.
Кратко изложены основные положения квантовой механики, приведены примеры решения задач и даны задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов направления 210100 «Электроника и
микроэлектроника».
УДК 530.145(075.8)
ББК 22.314я73
© Новгородский государственный
университет, 2010
© Д. А. Филиппов, М. А. Захаров,
2010
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ....................................................................................................................... 4
Принятые обозначения и постоянные величины ..................................................... 5
Тема 1. Волны де-Бойля, соотношения неопределенностей Гейзенберга ............ 7
Тема 2. Волновая функция и ее свойства................................................................ 10
Тема 3. Операторы и их свойства ............................................................................ 14
Тема 4. Стационарные состояния ............................................................................ 19
4.1. Потенциальная яма......................................................................................... 20
4.2. Потенциальный барьер .................................................................................. 22
4.3. Гармонический осциллятор........................................................................... 24
Тема 5. Стационарная теория возмущений ............................................................ 37
Список рекомендуемой литературы ........................................................................ 42
4
ВВЕДЕНИЕ
Квантовая механика – наука о движении микрочастиц с учетом их корпускулярно-волнового дуализма. Квантовая механика зародилась в начале
XX века благодаря пионерским работам Планка, Бора, Эйнштейна, Шредингера,
Дирака, Фока, Ландау и целого ряда других ученых. Если вначале квантовая
механика имела чисто академический интерес и использовалась физиками для
объяснения тех явлений, которые не могли быть объяснены с позиций классической физики, то по мере развития науки она стала занимать все более и более
широкие позиции. Она полностью завоевала спектроскопию, атомную и ядерную физику, составной частью вошла в физику твердого тела, химию и другие
области науки. В настоящее время, пожалуй, ни одно явление в физики твердого тела невозможно объяснить, не используя выводов квантовой механики. Однако если в микроэлектронике, наряду с квантовой механикой, для описания
многих процессов используются законы классической физики, то наноэлектроника, зародившаяся в конце XX – начале XXI века, полностью основана на
квантовомеханических явлениях. Данное учебное пособие предназначено для
студентов, обучающихся по направлению «Электроника и микроэлектроника».
В нем представлены решения типовых задач по основным разделам квантовой
механики и даны задачи для самостоятельного решения.
5
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
r
Ψ ( r ,t ) – волновая функция
r
p – импульс частицы
E – энергия частицы
r
k – волновой вектор
me = 9.1·10-31 кг – масса электрона
m p = 1.67262·10-27 кг – масса протона
mn = 1.67429·10-27 кг – масса нейтрона
e = 1.6·10-19 Кл – заряд электрона
h = 6.62·10-34 Дж·с – постоянная Планка
h = h / 2π =1.05·10-34 Дж·с – постоянная Планка, деленная на 2π
Операторы обозначаются шляпками над буквами, например, оператор Гамильтона (гамильтониан) – Ĥ .
6
Таблица
Операторы основных физических величин
Физическая величина
Координаты x, y, z
r
r
r
r
Импульс p = p x i + p y j + p z k
Момент импульса
r r r
L = [r × p ]
Оператор
xˆ = x , yˆ = y, zˆ = z
r
∂ r ∂ r ∂ r
pˆ = −ih∇ = −ih ( i +
j + k)
∂x
∂y
∂z
[ ]
ˆr r r
L= r̂×p̂
Проекции момента импульса
Lx = yp z − zp z ,
L y = zp x − xp z ,
Lz = xp y − yp z
 ∂
∂
Lx = −ih  y − z  ,
∂y 
 ∂z
∂
 ∂
L y = −ih  z − x  ,
∂z 
 ∂x
 ∂
∂
Lˆ z = −ih  x − y 
∂x 
 ∂y
Кинетическая энергия
K=
p2
,
2m
pˆ 2
Kˆ =
,
2m
потенциальная энергия
U ( x , y , z ),
U ( x , y , z ),
энергия
оператор Гамильтона
p2
E=
+ U ( x, y , z )
2m
pˆ 2
ˆ
H=
+ U ( x, y , z )
2m
− h2 2
ˆ
H=
∇ + U ( x, y , z ) =
2m
− h 2  ∂ 2
∂2
∂ 2 
=
+
+
+ U ( x, y , z )
2m  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
7
ТЕМА 1. ВОЛНЫ ДЕ-БРОЙЛЯ, СООТНОШЕНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА
Французский физик Луи-де-Бройль в 1924 году выдвинул смелую гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, а имеет универсальное значение. Он предположил, что микрочастицы наряду с корпускулярными свойствами обладают
также и волновыми свойствами. По гипотезе де-Бройля с каждой частицей, с
одной стороны, связываются корпускулярные характеристики, такие как энерr
r
гия – E , импульс – p = mv , а с другой стороны, волновые – частота ω и длина
волны – λ , причем связь между корпускулярными и волновыми характеристиками точно такая же, как и для фотонов
E = hω ,
r
r
p = hk ,
(1.1)
r
r 2π
где k – волновой вектор, его величина k =
, а направление совпадает с на-
λ
правлением распространения волны.
r
Таким образом, любой частице массой m , движущейся со скоростью v ,
сопоставляют волну
r
Ψ ( r ,t ) = Cei( ω
vr
t −k r )
,
(1.2)
длина которой определяется по формуле
λ = h / mv ,
(1.3)
и получила название длина волны де-Бройля.
В классической механике состояние частицы определяется заданием ее
динамических переменных, к которым относятся координаты, энергия, импульс
частицы. При этом считается, что указанные переменные можно измерить
сколь угодно точно (ограничиваясь погрешностью измерительного прибора),
например, скорость тела в данной точке. Для микрочастицы же нельзя одновременно указать точных значений координаты и соответствующей проекции
импульса. Если через ∆x обозначить неопределенность x -проекции координа-
8
ты, а через ∆p x − неопределенность x -проекции импульса, то эти неопределенности не являются независимыми, а, как впервые показал Гейзенберг, связаны
между собой соотношением
∆x ⋅ ∆p x ≥ h ,
(1.4)
т.е. чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.
Аналогичные соотношения имеют место и для y и z -проекций, т.е.
∆y ⋅ ∆p y ≥ h ,
(1.5)
∆z ⋅ ∆p z ≥ h ,
(1.6)
а также для энергии и времени
∆E ⋅ ∆t ≥ h .
(1.7)
Следует отметить, что соотношения неопределенностей Гейзенберга не
связаны с несовершенством измерительных приборов, а являются следствием
корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц.
Примеры решения задач
Задача 1.1
Определите длину волны электрона, прошедшего ускоряющую разность
потенциалов U = 300 В.
Решение задачи
Для определения длины волны де-Бройля воспользуемся формулой (1.3),
согласно которой λ = h / me v . Скорость движения частицы определим из соотme v 2
ношения
= eU . Отсюда v = 2eU / me . Подставляя числовые значения,
2
получим
v≈
107
м/c.
Отсюда
λ = 6.62 ⋅ 10 −34 /( 9.1 ⋅ 10 −31 ⋅ 107 ) = 0.7 ⋅ 10 −10 м .
o
Ответ: λ = 0.7 A .
длина
волны
де-Бройля
9
Задача 1.2
Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оцените минимальную кинетическую энергию электрона в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной: а) l=1 нм, в) l=1 мкм.
Решение задачи
По условию задачи частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме, следовательно неопределенность ее x-проекции координаты меньше ширины ямы, т.е. ∆x < l , тогда из соотношения неопределенностей Гейзенберга (1.4) следует, что неопределенность ее x-проекции импульса ∆p x ≥ h / l .
Полагая x-проекцию импульса по порядку величины равной неопределенности
его проекции, получим p x ≥ h / l , что для энергии частицы E = p 2 / 2m дает минимальное значение Emin =
h2
2 ml
2
, что с точностью до постоянного множителя
совпадает со значением, полученным из решения уравнения Шредингера.
Подставляя числовые значения, получим:
а) l = 1 нм, Emin = 3,4·10-2 эВ;
в) l = 1 мкм, Emin = 3,4·10-8 эВ.
Ответ: а) Emin = 3,4·10-2 эВ; в) Emin = 3,4·10-8 эВ.
Задачи для самостоятельного решения
1.3. Определите длину волны де-Бройля тепловых нейтронов.
1.4. Определите длину волны де-Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.
1.5. Определите длину волны де-Бройля электрона, движущегося со скоростью, равной скорости движения электрона на первой боровской орбите.
1.6. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оцените
минимальную кинетическую энергию электрона в атоме водорода.
10
1.7. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оцените
минимальную энергию гармонического осциллятора массы m, совершающего
колебания с частотой ω.
ТЕМА 2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
В основу математического аппарата квантовой механики положено утверждение, что состояние частицы полностью описывается определенной
функцией координат и времени, получившей название волновой функции
Ψ( x , y , z , t ) . Волновая функция в общем случае комплексная величина и сама
по себе физического смысла не имеет. Физический смысл имеет квадрат модуля
r 2
r
r
волновой функции Ψ(r , t ) = Ψ (r , t ) Ψ ∗ (r , t ) , равный плотности вероятности
обнаружить частицу в данной точке пространства, т.е. вероятность dw обнаружить частицу в элементе объема d 3 r = dxdydz равна:
r 2
dW = Ψ ( r ,t ) ⋅ d 3 r .
(2.1)
Вероятность обнаружить частицу в конечном элементе объема V1 определятся выражением
w(V1 , t ) =
r 2 3
Ψ
(
r
∫ ,t) d r .
(2.2)
V1
Поскольку волновая функция описывает реальные объекты, то она
должна удовлетворять определенным, так называемым стандартным, условиям.
Волновая функция должна быть непрерывной, конечной, иметь непрерывную
производную и удовлетворять условию нормировки, а именно:
r
∫ Ψ (r , t )
2
d 3r = 1.
V
Выражение (2.3) получило название условие нормировки.
(2.3)
11
Примеры решения задач
Задача 2.1
Какие из следующих функций отвечают требованиям, предъявляемым к
волновым функциям, и в какой области изменения аргумента:
а) Ψ ( x ) = C ⋅ exp( αr ) , где 0 < r < ∞ ;
b) Ψ ( x ) = C ⋅ sin αx ;
c) Ψ ( x ) = C ⋅ Arc sin x ?
Решение задачи
Волновая функция должна быть непрерывной, конечной и однозначной
во всей области определения.
a) Функция Ψ ( x ) = C ⋅ exp( αr ) , где 0 < r < ∞ , является однозначной и не-
прерывной на всем указанном промежутке. Однако при α > 0 данная функция
неограниченно возрастает при r → ∞ . Заметим, что при α < 0 данная функция
удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к волновым функциям.
b) Функция Ψ ( x ) = C ⋅ sin αx отвечает всем требованиям, предъявляе-
мым к волновым функциям.
c) Функция Ψ ( x ) = C ⋅ Arc sin x является неоднозначной, поэтому в об-
щем случае она не отвечает указанным выше требованиям. Тем не менее, можно заметить, что на промежутке − π / 2 ≤ x ≤ π / 2 данная функция становится
однозначной.
Ответ: a) удовлетворяет требованиям при значениях параметра α < 0 ;
b) удовлетворяет всем требованиям;
c) удовлетворяет требованиям на промежутке − π / 2 ≤ x ≤ π / 2 .
12
Задача 2.2
Частица находится в состоянии, описываемом функцией
Ψ (x)=
πx
2
sin , 0 < x < l .
l
l
Найдите вероятность нахождения частицы в области
1
2
l < x< l.
3
3
Решение задачи
Вероятность нахождения частицы в элементе длины dx согласно (2.1)
2
определяется выражением dW = Ψ ( x ) ⋅ dx . Поэтому определение вероятности
нахождения частицы в области
1
2
l < x < l сводится к вычислению интеграла
3
3
вида
2l / 3 
2 2l / 3 2 πx
2 1 2l / 3 
2πx 
1  1
l
2πx
=
W=
∫ sin l dx = l 2 ∫  1 − cos l dx = l  3 l − 2π sin l

a l/3
l/3 
l/3

=
1 1  4π
2π  1 1 
2π
 2π
−
− sin
− 1  sin
 sin
= −
 2 cos
3 2π 
3
3  3 2π 
3
3

=
1 1   1  
3 1
3
= +
−
= 0.61
 2 −  − 1  −
3 2π   2   2  3 2π
Ответ: 0.61.
Задача 2.3
Какие из перечисленных функций удовлетворяют требования к функции
плотности вероятности:
a) Ψ ( x ) = eix ;
2
b) Ψ ( x ) = xe − x ;
2
c) Ψ ( x ) = e − x ?
13
Решение задачи
Функция плотности вероятности должна быть непрерывной, вещественной и неотрицательной функцией. Кроме того, она должна быть нормирована
на единицу. Пользуясь этими свойствами, обратимся к условию задачи.
a) Нетрудно видеть, что функция Ψ ( x ) = eix – комплексозначная, что
противоречит свойствам функции плотности вероятности.
b) Заметим, что при отрицательных значениях аргумента функция
2
Ψ ( x ) = xe − x оказывается отрицательной, что также противоречит свойствам
функции плотности вероятности.
2
c) Функция Ψ ( x ) = e − x , будучи непрерывной, вещественной и неотрицательной, тем не менее также не удовлетворяет указанным выше свойствам,
поскольку данная функция не нормирована на единицу.
Ответ: ни одна из функций не удовлетворяет.
Задачи для самостоятельного решения
2.4. Определите нормировочную C постоянную для волновой функции
вида Ψ ( x ) = C ⋅ exp( −αx 2 ) .
2.5. Определите наиболее вероятное положение и среднее и значение
координаты частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме в
основном и первом возбужденном состоянии. Волновые функции частицы
имеют вид Ψ n ( x ) = 2 / l sin( πnx / l ), где l – ширина ямы.
2.6. Определите наиболее вероятное положение и среднеквадратичное
значение координаты частицы, совершающей малые колебания у положения
равновесия, в основном и первом возбужденном состоянии. Волновые функции
частицы имеют вид:
14
Ψn( ξ ) =
1
n
2 n! a0 π
H n ( ξ ) exp( − ξ
2
2
) , где ξ = x a0 , а полиномы Эрмита
H 0 = 1, H 1 = 2ξ .
2.7. Определите вероятность нахождения частицы, совершающей малые
колебания у положения равновесия в области x = a0 ± 0.01a0 в основном и первом возбужденном состоянии.
2.8. Определите наиболее вероятное положение электрона в атоме водорода в основном и первом возбужденном состоянии. Радиальные части волновых функций электрона в атоме водорода имеют вид
r
R10 =
2
a03
e
− r / a0
,
R20
r

r  − 2 a0
1
r − 2 a0
1 −
e
=
, R21 =
e
,
3 
3
2
a
a
0
2 a0
2 6 a0 0
1
Сравните полученные результаты с результатами, вытекающими из теории Бора.
ТЕМА 3. ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА
В квантовой механике каждой физической величине A сопоставляют
оператор
таким образом, чтобы среднее значение было равно
A = ∫Ψ ∗ ÂΨd 3 r ,
(3.1)
где интегрирование проводится по всему пространству.
Поскольку в квантовой механике операторы соответствуют реальным
физическим величинам, то на них накладываются определенные условия. Операторы, соответствующие физическим величинам, должны быть линейными и
эрмитовыми.
Оператор называется линейным, если выполняются условия
Aˆ (cΨ ) = cAˆ Ψ ,
(3.2)
15
Aˆ (Ψ1 + Ψ2 ) = Aˆ Ψ1 + Aˆ Ψ2 .
(3.3)
Эрмитовость оператора вытекает из условия вещественности физических
величин, т.е. для всех измеряемых на опыте (средних) значений физических ве∗
личин выполняется соотношение A = A . Это накладывает следующие условия для операторов:
~
ˆ = Â∗ ,
A
(3.4)
~
ˆ – оператор, транспонированный оператору Â .
где A
Если некоторая физическая величина D может быть представлена в виде произведения двух величин A и B , то ей можно сопоставить оператор
D̂ = ÂB̂ , причем действие оператора D̂ на функцию сводится в последователь-
ном действии сначала правого ( B̂ ), а затем левого ( Â ) операторов, т.е.
D̂Ψ = ÂB̂Ψ = Â( B̂Ψ ) .
(3.5)
Следует помнить, что в общем случае ÂB̂Ψ ≠ B̂ÂΨ , т.е., как говорят,
операторы в общем случае не коммутируют. По определению, коммутатором
Ĉ двух операторов Â и B̂ называется оператор
[ ]
Ĉ = Â, B̂ = ÂB̂ − B̂Â .
(3.6)
Если коммутатор двух операторов равен нулю, то говорят, что операторы коммутируют друг с другом, т.е. их действие на функцию не зависит от порядка сомножителей.
Если A и B две физические величины, которые одновременно имеют
определенные значения, то можно показать, что соответствующие им операторы коммутативны. Справедливо и обратное утверждение, а именно, если коммутатор двух операторов равен нулю, то соответствующие величины могут одновременно иметь определенные значения.
16
Примеры решения задач
Задача 3.1
Определите результаты действия операторов на указанные функции:
a) Â = d / dx , f ( x ) = sin x ;
2
b) Â = d 2 / dx 2 , f ( x ) = e ax ;
c) Â = d / dx , B̂ = 3 , f ( x ) = x 5 + 3e x , ( Â + B̂ ) f ( x ) = ?
Решение задачи
Действуя операторами на функции, получаем:
a)
b)
Âf ( x ) =
Âf ( x ) =
d
sin x = cos x ;
dx
d2
dx
c)
2
ax
e
=
2
d  ax 2
 = 2 a e ax 2 2 a 2 x 2 + e ax 2  ;
e
2
ax




dx 



(
)
(
) (
)
d 5
d

( Â + B̂ ) f ( x ) =  + 3  x 5 + 3e x =
x + 3e x + 3 x 5 + 3e x =
dx
 dx

(
5 x 4 + 3e x + 3 x 5 + 3e x
)
2
2
Ответ: a) cos x ; b) 2 a e ax 2 a 2 x 2 + e ax  ; c) 5 x 4 + 3e x + 3(x 5 + 3e x ) .


Задача 3.2
Коммутируют ли между собой приведенные ниже операторы:
a) Â = x , B̂ = y ;
b) Â = ∂ / ∂x , B̂ = x ;
c) Â = ∂ 2 / ∂x 2 , B̂ = U ( x , y , z ) ?
Решение задачи
Для нахождения коммутаторов соответствующих операторов обычно
используется некоторая вспомогательная (так называемая «пробная») функция,
17
взятая из области определения оператора. Находят действие коммутатора двух
операторов на функцию, а затем результату действия коммутатора сопоставляют соответствующий оператор. Следует помнить, что коммутатор двух операторов есть оператор, а не функция, получившаяся в результате действия. В качестве «пробной» функции возьмем функцию f ( x , y , z ) . Действие коммутатора
на функцию будет равно:
a)
[Â, B̂] f = (ÂB̂ − B̂Â) f = ( xy − yx ) f = 0 ⋅ f
. Таким образом, действие
коммутатора на функцию [x , y ] ⋅ f = 0 ⋅ f и, следовательно, коммутатор [x , y ] = 0 .
∂
∂f
∂f
∂f
∂
∂
b) Â, B̂ f =  x − x  f = ( xf ) − x = f + x − x = 1 ⋅ f .
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x 
 ∂x
[ ]
∂ 
Отсюда коммутатор  , x  = 1 , т.е. данные операторы не коммутируют.
 ∂x 
[ ]
с) Â, B̂ f =
=
=
∂ 2U ( x , y , z )
∂x 2
∂ 2U ( x , y , z )
∂x 2
∂2
∂x 2
( U ( x, y , z ) f ) − U ( x, y ,z )
∂2 f
∂x 2
=
∂U ( x , y , z ) ∂f
∂2 f
∂2 f
f +2
+ U ( x, y , z ) 2 − U ( x, y , z ) 2
∂x
∂x
∂x
∂x
f +2
∂U ( x , y , z ) ∂f
∂x
∂x
 ∂2
 ∂ 2U ( x , y , z )
∂U ( x , y , z ) ∂
+
2
. Поскольку в обОтсюда  2 ,U ( x , y , z ) =
∂x
∂x
∂x 2
 ∂x

∂U ( x , y , z ) ∂ 2U ( x , y , z )
щем случае производные функции
и
не равны нулю, то
∂x
∂x 2
данные операторы не коммутируют.
Ответ: a) коммутируют; b) не коммутируют; c) не коммутируют.
Задача 3.3
Какие из указанных ниже операторов являются линейными?
a) Âf = af ;
b) Âf = f 2 .
18
Решение задачи
По определению оператор L̂ называется линейным, если для любых
функций f 1 и f 2 и любых чисел C1 и C2 выполняется соотношение
L̂( C1 f 1 + C2 f 2 ) = C1 L̂f1 + C2 L̂f 2 .
(3.7)
Пользуясь данным определением, проверим линейность операторов,
указанных выше. С этой целью введем функцию f = C1 f 1 + C 2 f 2 . Тогда имеем:
a) Âf ≡ Â( C1 f 1 + C2 f 2 ) = af = a( C1 f 1 + C2 f 2 ) = C1af 1 + C2 af 2 = C1 Âf 1 + C2 Âf 2 .
Или
Â( C1 f 1 + C2 f 2 ) = C1 Âf 1 + C2 Âf 2 , т.е. соотношение (3.7) выполняется и данный
оператор является линейным.
b)
Âf ≡ Â( C1 f 1 + C2 f 2 ) = f 2 = ( C1 f 1 + C2 f 2 )2 =
C12 f12 + 2C1C2 f 1 f 2 + C22 f 22 ≠ C1 f 12 + C2 f 22
т.е. данный оператор не является линейный.
Ответ: a) оператор линейный; b) оператор нелинейный.
Задачи для самостоятельного решения
3.4. Определите результаты действия операторов на указанные функции:
a) Â = d / dx , f ( x ) = x 5 + 3e x ;
b) Â = d / dx , B̂ = x , f ( x ) = e x , ÂB̂f ( x ) = ? , ( Â + B̂ ) f ( x ) = ?
3.5. Коммутируют ли между собой приведенные ниже операторы:
a) Â = ∂ / ∂x , B̂ = y ;
b) Â = −ih∂ / ∂x , B̂ = −ih∂ / ∂y ;
c) Â = x∂ / ∂x , B̂ = x 2 ∂ 2 / ∂x 2 ?
3.6. Какие из указанных ниже операторов являются линейными?
a) Âf = df / dx ;
19
b) Âf = 1 / f ;
c) Âf = 3 x 2 d 2 f / dx 2 ;
d) Âf =
f ;
+∞
e) Âf =
∫ fdx ?
−∞
3.7. Можно ли одновременно точно определить:
a) x -проекцию координаты и y -проекцию импульса частицы;
b) x - и y -проекции импульса частицы;
c) x -проекцию координаты и y -проекцию момента импульса частицы;
d) x - и y -проекции момента импульса частицы;
e) x -проекцию момента импульса частицы и его величину, т.е. Lx и L ?
ТЕМА 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
В квантовой механике очень часто приходится иметь дело с ситуацией,
когда частица находится во внешнем стационарном поле. В этом случае состояние системы не будет изменяться с течением времени, т.е. система будет
находиться в состояниях с определенной энергией. Волновая функция, описывающая стационарное состояние системы, будет являться собственной волновой функцией оператора Гамильтона Ĥ , т.е. будет удовлетворять уравнению
ĤΨ = EΨ ,
(4.1)
где E – энергия системы.
Уравнение (4.1) получило название стационарного уравнения Шредингера. Можно показать, что волновая функция, описывающая стационарные состояния, имеет вид
r
r
−i 
Et  ,
 h

Ψ ( r ,t ) =Ψ ( r ) ⋅ exp
(4.2)
20
r
где функция Ψ ( r ) определяется из решения стационарного уравнения Шре-
дингера (4.1). Таким образом, если Гамильтониан системы явно от времени не
зависит, то полную волновую функцию, описывающую состояние системы,
r
Ψ (r , t ) можно представить в виде произведения координатной части волновой
r
−i 
функции Ψ (r ) на экспоненциальный множитель exp Et  , где координатная
 h 
часть волновой функции находится из решения стационарного уравнения Шредингера, т.е. ĤΨ = EΨ .
Величина
E
имеет размерность частоты, поэтому очень часто вводят
h
обозначение ω = E / h и волновую функцию, описывающую стационарные состояния, записывают в виде
r
r
Ψ (r , t ) = exp(iωt ) ⋅ Ψ (r ) .
(4.3)
В общем случае уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, и решить его
точно удается лишь в очень ограниченных случаях. Тем не менее, эти довольно
простые модели позволяют получить информацию о характере движения частиц. Для более сложных случаев используют приближенные методы решения
уравнения Шредингера.
4.1. Потенциальная яма
Если частица находится в области пространства, где U ( x, y, z ) имеет
минимум, то говорят, что частица находится в потенциальной яме.
Если движение происходит вдоль одного направления, то говорят что
яма одномерная. Если стенки ямы прямые, то говорят что яма прямоугольная. В
случае, когда потенциальная энергия в пространстве изменяется по закону
21
U 0 ; x < 0;

U ( x) = 0; 0 < x < l;
U ; x < l ,
 0
(4.4)
говорят, что частица находится в однородной прямоугольной потенциальной
яме, схематичное изображение которой представлено на рис. 1.
U(x)
U0
I
II
III
l
0
X
Рис. 1. Схематичное изображение одномерной
прямоугольной потенциальной ямы
Из решения стационарного уравнения Шредингера (4.1) для бесконечно
глубокой потенциальной ямы следует, что энергия частицы принимает не любые, а дискретные значения, получившие название уровни энергии, значения
которых определяются выражением
En =
h 2π 2 n 2
2 ml 2
,
(4.5)
где n = 1, 2, 3 … – номер уровня;
m – масса частицы;
l – ширина ямы.
Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, имеет вид
Ψn( x ) =
2  πnx 
sin
.
l
 l 
(4.6)
22
4.2. Потенциальный барьер
Если частица движется в области пространства и потенциальная энергия
имеет вид , изображенный на рис. 2, то говорят, что частица на своем пути
встречает потенциальный барьер высотой U 0 .
U(x)
U0
X
Рис. 2. Схематичное изображение потенциального барьера
В классической механике если энергия частицы больше высоты барьера
U 0 , то частица всегда окажется в области за барьером, а если меньше U 0 , то
частица никогда не может преодолеть этот потенциальный барьер.
В квантовой механике имеет место несколько иная ситуация. В случае
если энергия частицы больше высоты барьера, то наряду с вероятностью того,
что частица окажется в области за барьером, имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера, т.е. имеет место так называемое
надбарьерное отражение.
Если энергия частицы меньше высоты барьера, то наряду с вероятностью того, что частица отразится от барьера, имеется отличная вероятность того, что частица окажется в области за барьером, так называемое подбарьерное
прохождение или туннельный эффект.
23
U(x)
U0
E
●
I
II
III
X
l
0
Рис. 3. Схематичное изображение прямоугольного потенциального барьера
Можно показать, что для прямоугольного потенциального барьера высотой U 0 и шириной l , изображенного на рис. 3, вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер определяется выражением
−2

D ≈ exp
⋅ 2m ⋅ ( U 0 − E ) ⋅ l  .
(4.7)
h


Для барьера произвольной формы эта вероятность определяется выражением
−2 b

D ≈ exp
⋅ ∫ 2 m ⋅ ( U ( x ) − E )dx  ,
(4.8)
 h


a

где a и b точки, в которых U ( x) = E (рис. 4).
U(x)
E
●
a
b
X
Рис. 4. Схематичное изображение прохождения частицы через потенциальный
барьер произвольной формы; a и b точки, в которых U ( x ) = E
24
4.3. Гармонический осциллятор
Если потенциальная энергия системы имеет минимум в точке x = x0 , то
при малом отклонении системы от положения равновесия на нее будет действовать «квазиупругая» (почти как упругая) сила, стремящаяся вернуть систему
в положение равновесия. Квазиупругой силой называется сила, направление
которой противоположно направлению смещения системы из положения равновесия, а ее величина пропорциональна величине отклонения системы из положения равновесия. Действительно, разложим потенциальную энергию системы в ряд по величине отклонения с учетом первых двух членов разложения. В
результате разложения имеем
kx2
U( x ) ≈ U( x0 ) + a( x − x0 ) +
+ ...,
2
∂U
где введены обозначения a =
∂x
x = x0
∂ 2U
,k= 2
∂x
(4.9)
.
x = x0
Потенциальная энергия системы, по условию, имеет минимум в точке
x = x0 . Из этого условия следует, что a = 0 , а k > 0 . Кроме того, значение по-
тенциальной энергии в положении равновесия удобно положить равным нулю.
С учетом этого, выражение для потенциальной энергии при отклонении системы от положения запишется в виде
k ( x − x0 )2
U ( x) =
.
2
(4.10)
Сила, возникающая при смещении системы из положения, определяется
выражением
Fx = −
∂U ( x )
= −k ( x − x0 ) .
∂x
(4.11)
Как видно из выражения (4.11), данная сила направлена в сторону, противоположную смещению системы из положения равновесия, а ее величина
пропорциональна смещению, т.е. данная сила является квазиупругой. В качест-
25
ве примера можно указать, что при смещении атомов кристаллической решетки
из положения равновесия возникающая сила является квазиупругой.
Для системы координат, начало которой совмещено с положением равновесия, выражение для потенциальной энергии примет вид
U ( x ) = kx 2 / 2 .
(4.12)
В классическом случае, при наличии квазиупругой силы (4.11), система
совершает колебания около положении равновесия с круговой частотой
ω02 = k / m .
(4.13)
Зависимость величины смещения и скорости смещения от времени дается уравнениями
x( t ) = A cos( ω0 t + φ ) ,
(4.14)
V ( t ) = − Aω0 sin( ω0 t + ϕ ) ,
(4.15)
где A – амплитуда;
ϕ – начальная фаза колебаний.
Полная энергия системы определяется выражением
E = Eкин + Епот
mV 2 kx 2 kA2
=
+
=
.
2
2
2
(4.16)
Как следует из (4.16), в классическом случае энергия системы имеет непрерывный спектр и квадратично зависит от амплитуды колебаний. В квантовом случае энергия имеет дискретный спектр собственных значений.
Выражение для потенциальной энергии системы (4.12) с учетом того,
что круговая частота связана с коэффициентом «квазиупругой» силы соотношением (4.13), запишем в виде
U ( x) = mω 02 x 2 / 2 .
(4.17)
Стационарное уравнение Шредингера в данном случае имеет вид
h 2 ∂ 2 Ψ mω 02 x 2
−
+
Ψ = EΨ .
2m ∂x 2
2
(4.18)
26
Из решения стационарного уравнения Шредингера (4.18) вытекает, что
энергия системы принимает дискретные значения, равные
En = hω0 (n + 1 / 2 ) .
(4.19)
А волновые функции гармонического осциллятора определяются выражением
Ψn( x ) =
1
n
2 n! a0
 1

H n ( x / a0 ) ⋅ exp − ( x / a0 )2  ,
 2

π
(4.20)
где H n (x / a0 ) – полиномы Чебышева–Эрмита, определяемые выражением
n
dn
( )dξ n exp( −ξ 2 ) .
H n ( ξ ) = ( −1 ) ⋅ exp ξ
2
(4.21)
С учетом этого волновые функции, соответствующие основному, первому и второму возбужденному состоянию, имеют вид
Ψ0 ( x) =
Ψ1 ( x) =
Ψ2 ( x) =
1
a0
1
2 a0
1
8a0
 1

exp − ( x / a0 ) 2  ,
 2

π
(4.22)
 1

2( x / a0 ) ⋅ exp − ( x / a0 ) 2  ,
 2

π
(4.23)
 1

(4( x / a0 )2 − 2) ⋅ exp − ( x / a0 ) 2  .
 2

π
(4.24)
Графики этих функций представлены на рис. 7. Как видно из рисунка, в основном состоянии наиболее вероятным положением частицы, совершающей колебания, является точка x = 0 , в то время как в первом возбужденном состоянии
наиболее вероятными положениями являются точки x = ± a0 .
27
n=0
Ψ(x/a0)
n=1
x/a0
n=2
Рис. 5. Волновые функции основного (n = 0) и первых двух возбужденных
(n = 1, 2) состояний гармонического осциллятора
Примером систем, являющимися гармоническими осцилляторами, являются атомы, совершающие малые колебания около положения равновесия в
молекулах или твердых телах.
Примеры решения задач
Задача 4.1
Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме,
найти среднее значение и флуктуацию координаты частицы. При решении задачи воспользоваться волновой функцией (4.6).
Решение задачи
Для нахождения среднего значения координаты частицы воспользуемся
общим квантовомеханическим правилом вычисления средних значений физических величин
28
x = ∫Ψ * ( x )xΨ ( x )dx .
(4.25)
Учитывая, что волновые функции отличны от нуля лишь на промежутке
0 < x < a , найдем
a
2
πnx
a
x = ∫ x sin 2
dx = .
a
a
2
0
(4.26)
Для нахождения флуктуации координаты введем вначале отклонение
координаты от своего среднего значения, т.е.
∆x = x − x .
(4.27)
Очевидно, что среднее значение
< ∆x >=< x − x >= 0 ,
поэтому
для
характеристики
(4.28)
флуктуаций
используют
величину
δxср .кв . = ∆x 2 = ( x − x )2 , получившую название среднее квадратическое
отклонение.
Используя это определение, имеем
(∆x )2
δxср.кв . =
=
x2 − 2 x x − x
2
=
2
x2 − x .
(4.29)
Таким образом, для вычисления флуктуации координаты частицы необходимо найти величину
x 2 = ∫Ψ * ( x )x 2Ψ ( x )dx .
(4.30)
Подставляя в последнее соотношение волновые функции стационарных
состояний, получим
1 
1
x2 = a2  − 2 2  .
 3 2π n 
(4.31)
Тогда
δxср.кв . =
(∆x )2
=
a 1
2 
− 2 2 .

2 3 π n 
(4.32)
29
Легко видеть, что с увеличением номера состояния флуктуация координаты
увеличивается,
max( δxср .кв . ) =
приближаясь
к
максимальному
значению
a
≈ 0.28 a .
2 12
Ответ: x =
a 1
2 
a
, δxср.кв . =
− 2 2.

2
2 3 π n 
Задача 4.2
Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний
дискретного спектра частицы в поле U ( x ) = −αδ ( x ), для значений параметра
α > 0. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергий в этих
состояниях.
Решение задачи
Запишем стационарное уравнение Шредингера с учетом явного вида
оператора потенциальной энергии
h2
− Ψ ' ' ( x ) − αδ ( x )Ψ ( x ) = EΨ ( x ).
2m
(4.33)
Заметим, что связанные состояния частицы в указанном внешнем поле
могут быть лишь при условии E < 0.
Введем обозначение
β2 =−
2 mE
h2
.
(4.34)
Тогда уравнение Шредингера примет вид
Ψ '' ( x ) +
2m
h
2
αδ ( x )Ψ ( x ) − β 2Ψ ( x ) = 0.
(4.35)
Общее решение уравнения Шредингера в области − ∞ < x < 0 имеет вид
Ψ1( x ) = Ae βx + Be− βx .
(4.36)
30
С другой стороны, волновая функция должна стремиться к нулю при
x → −∞. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы B = 0. Отсюда в об-
ласти − ∞ < x < 0 волновая функция имеет вид
Ψ 1 ( x ) = Ae βx .
(4.37)
Рассуждая аналогичным образом, нетрудно получить общее решение
уравнения Шредингера для области 0 < x < +∞ :
Ψ 2 ( x ) = Ce βx + De− βx .
(4.38)
Найденное решение должно стремиться к нулю при x → +∞. Для выполнения
этого условия необходимо, чтобы C = 0. Отсюда в области 0 < x < +∞ волновая
функция имеет вид
Ψ 2 ( x ) = De− βx .
(4.39)
Из условия непрерывности волновой функции на всей области определения имеем
Ψ 1 (0 ) = Ψ 2 ( 0 ),
(4.40)
откуда следует, что A = D .
Теперь исследуем поведение первой производной найденной волновой
функции в окрестности x = 0. С этой целью проинтегрируем исходное уравнение
Шредингера по области 0 − ε < x < 0 + ε , ε > 0 , и, устремляя ε → 0 , находим
Ψ ' ( 0 + ε ) −Ψ ' ( 0 − ε ) +
2m
h2
αΨ ( 0 ) = 0.
(4.41)
Таким образом, производная волновой функции терпит разрыв в точке
x = 0. Отсюда следует, что параметр β принимает только одно значение
β=
mα
h2
. Поскольку параметр β связан с энергией соотношением β 2 = −
2 mE
h2
,
то отсюда следует, что существует только одно состояние дискретного спектра,
которое характеризуется энергией
E0 = −
mα 2
2h 2
.
(4.42)
31
При этом сама волновая функция (с учетом нормировки на единицу)
принимает вид
Ψ0 ( x ) = β e
−β x
(4.43)
.
Наконец, используя общие квантовомеханические формулы вычисления
средних, нетрудно получить средние значения потенциальной и кинетической
энергий частицы в рассматриваемом состоянии:
+∞
U = −α
∫
−∞
T =
mα
δ ( x )Ψ02 ( x )dx = − 2
h
2
= 2 E0 = −2
mα 2
2h 2
(4.44)
;
1 +∞ )
mα 2
mα 2
2
Ψ
p
(
x
)
dx
=
=
−
E
=
.
0
0
∫
2
2
2 m −∞
2h
2h
(4.45)
Ответ: существует только одно состояние дискретного спектра, его
энергия E0 = −
mα 2
2h
2
; волновая функция Ψ0 ( x ) = β e
−β x
, где β =
mα
h2
; сред-
mα 2
нее значение кинетической энергии T = − E0 =
, среднее значение потен2h 2
циальной энергии U = 2 E0 = −2
mα 2
2h 2
.
Задача 4.3
Определите коэффициент отражения частицы от прямоугольной потенциальной ступеньки высотой U 0 для случая, когда энергия частицы E = 2U 0 .
Решение задачи
Будем считать, что ступенька расположена в точке x = 0 и зависимость
потенциальной энергии от координат имеет вид
0 , − ∞ < x < 0 ,

U( x ) = 
U 0 , 0 < x < +∞
(4.46)
32
Эта зависимость схематично представлена на рис. 6.
U(x)
E
●
U0
I
II
X
0
Рис. 6. Схематичное изображение частицы, налетающей
на потенциальную стенку высотой U0
В классической физике если частица налетает с энергией, большей чем
высота ступеньки, то она всегда окажется во второй области, т.е. вероятность
отражения от ступеньки равна нулю. В квантовой механике если частица налетает на ступеньку с энергией больше высоты ступеньки, то наряду с тем, что
частица окажется в области за границей ступеньки, имеется отличная от нуля
вероятность того, что частица отразится от ступеньки. Для того чтобы определить эту вероятность, решим стационарное уравнение Шредингера для данной
зависимости потенциальной энергии от координат.
Уравнение Шредингера для I и II области примет следующую форму
− h2

 2m
 2
− h
 2m
∂ 2Ψ
= EΨ , − ∞ < x < 0,
∂x 2
.
2
∂ Ψ
+ U 0 Ψ = EΨ, 0 < x < +∞
∂x 2
(4.47)
Перенося все члены уравнений в правую часть и, разделив на коэффициент при старшей производной, получим
∂ 2Ψ
+ k12 Ψ = 0
2
∂x
− ∞ < x < 0,
(4.48)
33
∂ 2Ψ
+ k 22 Ψ = 0,
2
∂x
0 < x < +∞ ,
где введены обозначения k12 = 2 mE / h 2 ,
(4.49)
k 22 = 2 m( E − U 0 ) / h 2 .
Решения уравнений (4.48) и (4.49) с учетом того, что во второй области
волновая функция описывает только частицу, движущуюся слева направо, запишем в виде
Ψ 1( x ) = A1eik1x + B1e −ik1x ,
(4.50)
Ψ 2 ( x ) = A2 eik2 x .
(4.51)
Уравнение (4.50) описывает движение частицы в первой области, причем первый член описывает движение слева направо (падающая волна), а второй – справа налево (отраженная волна). Аналогично член в правой части уравнения (4.51) описывает прошедшую волну, т.е. соответствует частице, движущейся за ступенькой.
По определению, коэффициентом отражения R называется величина,
равная отношению плотности потока отразившихся от барьера частиц к плотности потока падающих частиц, т.е.
R=
j1( − )
j1( + )
(4.52)
.
Коэффициентом прохождения D , или прозрачностью потенциального
барьера, называется величина, равная отношению плотности потока прошедших через барьер частиц к плотности потока падающих частиц, т.е.
D=
j3( + )
j1( + )
.
(4.53)
Очевидно, что между этими коэффициентами имеет место соотношение
R + D = 1.
Плотность потока вероятности частиц определяется выражением
r
ih
jw =
Ψ∇Ψ * −Ψ * ∇Ψ .
2m
(
)
(4.54)
34
Используя это определение и выражения для волновых функций в первой (4.50) и третьей (4.51) областях для падающего, отраженного и прошедшего
потоков, получим выражения
j1( + ) =
hk
2
A1 ,
m
(4.55)
j1( − ) =
hk
2
B1 ,
m
(4.56)
j3( + ) =
hk
2
A2 .
m
(4.57)
В соответствие с выражениями (4.55)–(4.57) и определениями (4.52) и
(4.53) для коэффициента отражения R и прохождения D получим следующие
выражения:
2
B
R= 1 ,
A1
(4.58)
2
A
D= 2 .
A1
Для того чтобы вычислить постоянные интегрирования A1 ,
(4.59)
B1 ,
A2 ,
воспользуемся условиями непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе, т.е. Ψ1( 0 ) =Ψ 2 ( 0 ) и Ψ 1′ ( 0 ) =Ψ 2′ ( 0 ) , что дает
 A1 + B1 = A2 ,

ik1 A1 − ik1 B1 = ik 2 A2 .
(4.60)
Поделим все члены уравнений (4.60) на коэффициент A1 и введем обозначения b1 =
B1
и
A1
a2 =
A2
.
A1
С учетом введенных обозначений система уравне-
ний (4.60) запишется в виде:
1 + b1 = a2 ,

ik1 − ik1b1 = ik 2 a2 .
(4.61)
35
Решая систему, для коэффициентов получим следующие выражения:
a2 = 2 k1 /( k1 + k 2 ),
(4.62)
b1 = ( k1 − k 2 ) /( k1 + k 2 ).
С учетом этого для коэффициента отражения R после несложных преобразований получим уравнение
R = b1
2
=
( γ − γ − 1 )2
( γ + γ − 1 )2
,
(4.63)
где γ = E / U 0 – параметр, показывающий во сколько раз энергия частицы
больше высоты потенциальной ступеньки.
Подставляя числовое значение γ = 2 (по условию задачи), для коэффициента
отражения получим R ≈ 0.03 . Таким образом, при энергии частицы в два раза
превышающей высоту ступеньки 3% частиц испытывают отражение.
Ответ: R ≈ 0.03 .
Задачи для самостоятельного решения
4.4. Найдите волновые функции стационарных состояний для свободной
частицы, движение которой ограничено непроницаемой стенкой, т.е. потенциальная энергия имеет вид
∞, x < 0,
U ( x) = 
 0, x > 0.
4.5. Определите коэффициент отражения частицы от прямоугольного
потенциального барьера высотой U 0 = 1.5 эВ и шириной l = 5 нм , если энергия
налетающей частицы равна E = 0.7 эВ.
4.6. Выведите формулу для коэффициента отражения частицы от двух
прямоугольных потенциальных барьеров высотой U 1 и U 2 соответственно и
шириной l1 и l2 , если энергия налетающей частицы меньше высоты каждого
из барьеров, т.е. E < U 1 и E < U 1 (см. рис. 7).
36
U(x)
U1
U2
•
Е
l1
0
l2
X
Рис. 7. Схематичное изображение частицы,
налетающей на два потенциальных барьера высотой
U1 и U2 соответственно
4.7. Выведите формулу для коэффициента прохождения частицы через
треугольный потенциальный барьер высотой U 0 и U 2 и шириной l и l2 , если
энергия налетающей частицы меньше высоты барьера, т.е. E < U 0 и E < U 1 (см.
рис. 8). Указание: при решении задачи воспользуйтесь формулой (4.8).
U(x)
Е
•
0
l
Рис. 8. Схематичное изображение частицы, налетающей
на треугольный потенциальный барьер высотой U0 и шириной l
4.8. Выведите формулу для среднего значения координаты и ее среднего
квадратического отклонения гармонического осциллятора в основном и первом
возбужденном состояниях.
37
Тема 5. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Решить уравнение Шредингера точно удается в очень ограниченном
числе простейших случаев. Однако в целом ряде случаев удается найти приближенное решение уравнения Шредингера. Теория возмущений или метод последовательных приближений является одним из наиболее распространенных
методов приближенного решения уравнения Шредингера. Этот метод применим тогда, когда гамильтониан можно представить в виде
Ĥ = Ĥ 0 + V̂ ,
(5.1)
где Ĥ 0 – так называемый невозмущенный гамильтониан, для которого известно
решения уравнения Шредингера, а V̂ – «малая» добавка к нему, получившая
название оператор возмущения.
В случае стационарной теории возмущений необходимо найти приближенное решение уравнения
( Ĥ 0 + V̂ )Ψ = EΨ ,
(5.2)
причем предполагается, что решение уравнения Шредингера для невозмущенного гамильтониан Ĥ 0 известно, т.е. известно решение уравнения
Ĥ 0Ψ m(o ) = Em(0 )Ψ m( 0 ) ,
(5.3)
где Em(0 ) и Ψm( 0) – известные собственные значения и собственные волновые
функции невозмущенного гамильтониана Ĥ 0 .
При решении уравнения (5.3) волновую функцию представляют в виде ряда
Ψ = ∑ cm Ψm(0)
(5.4)
m
с неизвестными коэффициентами cm . Решение уравнения (5.2) ищут методом
последовательных приближений. Для этого коэффициенты разложения и значения энергии записывают в виде
(0 )
(1)
cm = cm
+ cm
+ c(m2 ) + ... ,
(5.5)
38
E = E ( 0) + E (1) + E ( 2) + ... ,
(5.6)
(1)
(2)
где cm
, cm
, … E ( 1 ) , E ( 2 ) , … – поправки первого, второго и т.д. порядков
малости к коэффициентам разложения и уровням энергии.
Можно показать, что при отсутствии вырождения поправки к уровням
энергии и волновым функциям имеют вид
En( 1 ) = Vnn ,
ck( 1 ) =
(5.7)
Vkn
( En( 0 ) − Ek( 0 ) )
(5.8)
,
где введено обозначение Vkm = ∫Ψ k( 0 )*V̂Ψ m( 0 )d 3 r – матричные элементы оператора возмущения.
Во втором порядке теории возмущений поправки к энергии и коэффициентам разложения имеют вид
En( 2 )
=∑
/
VnnVkn
( E n( 0 )
− E k( 0 ) )2
2
(0 )
E n( 0 ) − Em
m
ck( 2 ) =
Vmn
+
∑
(0 )
m≠ k ( En
,
(5.9)
VmnVkn
− E k( 0 )
)( E n( 0 )
(0 )
− Em
, (5.10)
)
где штрих у суммы означает, что суммирование ведется по m ≠ n .
Примеры решения задач
Задача 5.1
Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме
ширины l ( 0 < x < l ) , найти в первом порядке теории возмущений смещение
энергетических уровней под действием возмущения вида
U( x ) =
U0
(l − 2 x − l ), V0 > 0 (см. рис. 9).
l
39
U( x )
V0
0
l/2
l
X
Рис. 9. Схематичное изображение
возмущающего потенциала
Решение задачи
Согласно стационарной теории возмущений при отсутствии вырождения
поправка первого порядка к энергии определяется соотношением
En( 1 ) = ∫Ψ n*( 0 ) ( r )V̂Ψ n( 0 ) ( r )d 3 r ,
где Ψ n( 0 ) ( r ) – волновая функция стационарных состояний невозмущенной системы;
V̂ – оператор возмущения.
При отсутствии возмущения рассматриваемая квантовомеханическая
система представляет собой свободную частицу, находящуюся в бесконечно
глубокой потенциальной яме ширины a ( 0 < x < a ) . Соответствующие волновые функции стационарных состояний невозмущенной системы хорошо известны и имеют вид
Ψ n( 0 )( x ) =
2
πnx
sin
, n = 1,2 ,K
l
l
Тогда смещение энергетических уровней в первом порядке теории возмущений определяется соотношением
En( 1 )
l
=∫
0
2  πnx  V 0
(l − 2 x − l ) 2 sin πnx dx .
sin

l
l
 l  l
 l 
40
Разбивая промежуток интегрирования на две части, получим
En( 1 )
l

2V 0  l / 2
2  πnx 
2  πnx  
2
x
sin
dx
(
2
l
2
x
)
sin
dx
.
= 2
+
−




∫
∫

l
 l 


l  0
l/2

Пользуясь формулой sin2 α = ( 1 − cos 2α ) / 2 и интегрируя, окончательно
найдем
En( 1 )
 1 1 + ( −1 )2 
 , n = 1,2 ,K
= V0  +
2 2 
2
π n 

 1 1 + ( −1 )2 
 , n = 1,2 ,K
Ответ: En( 1 ) = V0  +
2 2 
2
π n 

Задачи для самостоятельного решения
5.2. Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной
яме ширины l ( 0 < x < l ) , найти в первом порядке теории возмущений смещение энергетических уровней под действием возмущения вида (см. рис. 10).
b < x < l − b,
V ,
U( x ) =  0
 0, 0 < x < b, l − b < x < l .
U( x )
V0
0
b
l-b
l
X
Рис. 10. Схематичное изображение возмущающего потенциала
41
5.3. На частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины
a ( 0 < x < a ) наложено возмущение вида
V ( x ) = V0 cos 2
πx
a
.
Рассчитать изменение энергетических уровней частицы с точностью до
второго порядка теории возмущений.
42
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау,
Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1974. 752 с.
2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики / Д.И. Блохинцев. М.: Наука,
1976. 664 с.
3. Губанов А.И. Квантовая механика (лекции) / А.И. Губанов. Л: ЛЭТИ, 1968.
168 с.
4. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики / П.А.М. Дирак. М.: Мир,
1979. 481 с.
5. Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. М.: Наука, 1973. 648 с.
6. Шифф Л. Квантовая механика / Л.М. Шифф. М.: Мир, 1959. 473 с.
7. Галицкий В.М, Задачи по квантовой механике / В.М. Галицкий. М.: Наука,
1981. 648 с.
8. Филиппов Д.А. Основы квантовой механики: учеб. пособие / Д.А. Филиппов; НовГУ им. Ярослава Мудрого. Великий Новгород, 2007. 145 с.
43
44
Учебное издание
Филиппов Дмитрий Александрович
Захаров Максим Анатольевич
ЗАДАЧИ
ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор Н. В. Васильева
Компьютерная верстка Е. В. Кирякова
________________________________________________________________
Изд. лиц. ЛР № 020815 от 21.09.98.
Подписано в печать 28.12.2010. Бумага офсетная. Формат 60×84 1/16.
Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,4. Уч.-изд. л. 2,7. Тираж 100 экз. Заказ №
Издательско-полиграфический центр
Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого.
173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.
Отпечатано в ИПЦ НовГУ.
173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.