Лекция 63

346
Глава 13
Элементы теории поля и векторного анализа
§1 Понятие о задачах векторного анализа
Раздел математики в котором изучают функции вида
r r
U = U ( P, t ), a = a( P, t ), P ∈(V ) , t ∈[ t 0 ; t1 ]
называется векторным анализом. В физике, электротехнике, теориях тепло- и
массопереноса, упругости и пластичности методы векторного анализа используются
для изучения скалярных и векторных полей., которые рассматриваются в качестве
математических моделей конкретных процессов и явлений. Если процесс не зависит
от времени, (стационарный) то характеризующая его функция не зависит от t. В
данной главе будут рассматриваться только стационарные процессы.
§2 Скалярные поля и их основные характеристики.
Поверхности и линии уровня скалярного поля
Определение 1 Стационарным скалярным полем называется пространство
R (или его часть - область (V)), в каждой точке Р которого определена скалярная
функция
r
U = U ( P) = U ( x1 , x 2 ,..., x n ) = U (r ) ,
(1)
n
r
где r - радиус вектор точки P( x1 , x 2 ,..., x n ) Эту функцию, независимо от ее
физического смысла, называют потенциалом скалярного поля.
Основными характеристиками скалярного поля являются поверхности (линии)
уровня, производная по направлению и градиент.
Поверхностью уровня (эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля
(1) называется множество точек, в каждой из которых его потенциал U(P) сохраняет
постоянное значение.
Уравнение поверхности уровня в R 3 записывается в виде
U ( x1 , x 2 ,..., x n ) = C.
(3)
Если скалярное поле плоское, то рассматривают линии уровня, уравнения
которых имеют вид
U ( x1 , x 2 ) = C .
(4)
Исследования скалярного поля с помощью этих геометрических характеристик в ряде
случаев бывает очень наглядно.
Пример Найти линии уровня и поверхности уровня следующих полей:
sin ϕ
1) U ( x , y ) = x 2 − 2 y; 2) U ( r , ϕ ) =
; 3) U ( x , y , z ) = x 2 + y 2 ;
r
1) Уравнения x 2 − 2 y = C определяют семейство парабол y =
1 2
( x − C)
2
347
2) Уравнения линий уровня
sin ϕ
= C ⇒ r = C1 sin ϕ в полярной системе координат
r
определяют множество окружностей
3) Уравнения вида x 2 + y 2 = C в пространстве определяют семейство прямых
круговых цилиндров.
§3 Производная по направлению скалярного поля
348
Пусть в области (V) задано скалярное поле U = U ( p) . Рассмотрим точку
P0 ∈(V ) и какое либо фиксированное направление, определяемое единичным
r
r
вектором τ 0 . Через точку P0 проведем прямую, ( l ) ⊂ (V ) ,параллельную вектору τ 0 и
выберем на ней точку Р. Средняя скорость изменения потенциала U ( P) в направлении
r
τ 0 может быть представлена как отношение приращения потенциала к величине
перемещения:
ΔU
P0 P
=
U ( P) − U ( P0 )
P0 P
Если существует предел этого отношения в случае, когда точка Р, двигаясь по прямой
l , стремится к точке P0 , то он выражает скорость изменения потенциала U ( P) в точке
r
P0 в направлении вектора τ 0 .
r
Определение Производной функции U ( P) в точке P0 в направлении вектора τ 0
называется предел (если он существует) отношения приращения функции ΔU к
величине перемещения P0 P , когда последнее стремится к нулю. Если перемещение в
r
направлении вектора τ 0 происходит по прямой l , то производная по направлению
обозначается
∂ U ( P0 ) def
ΔU
= lim
.
(5)
PP → 0 PP
∂l
0
0
Заметим, что значение производной
относительно системы координат.
по
направлению
инвариантно
∂ U ( P0 )
в декартовой системе координат. Пусть функция
∂l
U = U ( x , y , z ) дифференцируема в точке P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Приращение функции в
r
направлении вектора τ 0 ( cos α , cos β , cos γ ) прямой ( l ) можно представить в виде
Вычислим
ΔU = U ( x 0 + Δx , y 0 + Δy , z 0 + Δz ) − U ( x 0 , y 0 , z 0 ) =
349
=
∂ U ( P0 )
∂ U ( P0 )
∂ U ( P0 )
Δx +
Δy +
Δz + o( Δρ ) ,
∂x
∂y
∂z
(6)
где Δρ = ( Δx ) 2 + ( Δy ) + ( Δz ) 2 . Разделим обе части равенства (6) на Δρ и перейдем к
пределу, когда Δρ → 0 :
2
⎛ ∂ U ( P0 ) Δx ⎞
⎛ ∂ U ( P0 ) Δy ⎞
⎛ ∂ U ( P0 ) Δz ⎞
o( Δρ )
ΔU
⎟⎟ + lim ⎜⎜
⎟⎟ + lim ⎜⎜
⎟⎟ + lim
= lim ⎜⎜
Δρ → 0 Δρ
Δρ → 0
⎝ ∂ x Δρ ⎠ Δρ → 0⎝ ∂ y Δρ ⎠ Δρ → 0⎝ ∂ z Δρ ⎠ Δρ → 0 Δρ
lim
Так как
Δx
= cos α ,
Δρ
Δy
= cos β ,
Δρ
Δz
= cos γ ,
Δρ
o( Δρ )
= 0 получаем
Δρ → 0 Δρ
то с учетом lim
∂ U ( P0 ) ∂ U ( P0 )
∂ U ( P0 )
∂ U ( P0 )
=
cos α +
cos β +
cos γ
∂l
∂x
∂y
∂z
(7)
В случае плоского поля получаем
∂ U ( P0 ) ∂ U ( P0 )
∂ U ( P0 )
=
cos α +
cos β
∂l
∂x
∂y
; ) по
Пример Найти производную скалярного поля u = xyz в точке P0 (1;−11
направлению вектора P0 P1 , если точка P1 имеет координаты (2;3;1).
Найдем направляющие косинусы вектора P0 P1 (1;4;0) . Его длина P0 P1 = 17 .
Следовательно cos α =
1
4
; cos β =
; cos γ = 0 .
17
17
; ):
Вычисляем частные производные функции U ( x , y , z ) в точке P0 (1;−11
∂ U ( P0 )
= yz P = −1,
∂x
По формуле (7) получаем
0
∂ U ( P0 )
= xz P = 1,
∂y
0
∂ U ( P0 )
= yx P = −1 .
∂z
0
∂ U (P0 )
1
4
3
3 17
=−
+
=
=
;
∂l
17
17
17
17
; ),
Пример Найти производную скалярного поля U ( x , y ) = arctg( xy ) в точке P0 (11
принадлежащей параболе y = x 2 по направлению этой кривой ( в направлении
возрастания абсциссы).
r
Вектор τ 0 в этом случае определяется с помощью касательной к параболе в
точке P0 (11
;)
350
1
y ′ = 2x , tgα = y ′(1) = 2 ⇒ cos α =
1 + tg α
2
=
1
tgα
2
, cos β = sin α =
=
.
2
5
5
1 + tg α
Вычисляем значения частных производных
∂ U ( P0 )
y
x
1 ∂ U ( P0 )
=
= ,
=
2 2
∂x
∂y
1+ x y P 2
1+ x 2 y 2
0
=
P0
1
.
2
Окончательно получаем:
∂ U ( P0 ) 1 1 1 2 3 5
=
+
=
;
∂l
2 5 2 5
10
§ 4 Градиент скалярного поля
Определение Градиентом скалярного поля U(P) в случае P ∈ R 3 в точке P0
называется вектор, обозначаемый grad U ( P0 ) , проекциями которого на оси
декартовой системы координат являются частные производные функции U(P) по
соответствующим переменным, т.е.
def
gradU ( P0 ) =
∂ U ( P0 ) r ∂ U ( P0 ) r ∂ U ( P0 ) r
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(8)
Установим зависимость между скалярной характеристикой скалярного поля
(производной по направлению) и векторной характеристикой grad U ( P0 )
∂U ∂U
∂U
∂U
cos α +
cos β +
cos γ =
=
∂l
∂x
∂y
∂z
r⎞
r
r
⎛ ⎛ ∂ U r ∂ U r ∂ U r⎞
⎜⎜
i+
j+
k ⎟ , cos αi + cos βj + cos γk ⎟ =
∂y
∂z ⎠
⎝⎝ ∂ x
⎠
∧r
r
r
= ( gradU , τ 0 ) = gradU τ 0 cos⎛⎜ gradU , t 0 ⎞⎟ =
⎝
⎠
(
)
351
∧r
= gradU cos⎛⎜ gradU , t 0 ⎞⎟ = npτr gradU = np( l ) gradU
⎝
⎠
(9)
Соотношение (9) позволяет определить направление быстрейшего возрастания поля в
∂U
достигает наибольшего значения, если правая часть
данной точке: если
∂l
r
равенства (9) принимает наибольшее положительное значение, т.е. когда вектор τ 0
направлен так же, как и grad U ( P0 ) .
Следовательно,
направление
градиента
является
направлением
наибыстрейшего возрастания скалярного поля в данной точке.
Модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания потенциала
скалярного поля U(P) в данной точке (т.к. наибольшее значение проекции вектора
равно его модулю):
2
2
⎛∂ U⎞
∂U
⎛∂ U⎞
⎛∂ U⎞
= gradU ( P) = ⎜
⎟ +⎜
⎟
⎟ +⎜
⎝ ∂z⎠
⎝∂x⎠
∂ l max
⎝∂y⎠
2
(10)
Отметим еще одну характеристику градиента скалярного поля: градиент
направлен по нормали к поверхности уровня в данной точке.
Действительно, поверхность уровня в случае декартовой системы координат
имеет вид U ( x , y , z ) = C . Запишем уравнение нормали в точке P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) :
x − x0
U x′ ( P0 )
=
y − y0
U y′ ( P0 )
=
z − z0
U z′ ( P0 )
Можно сформулировать инвариантное по отношению к системе координат
определение градиента
Определение Градиентом скалярного поля называется вектор, имеющий
направление наибольшего возрастания потенциала поля в данной точке и модуль,
равный значению производной от потенциала поля по этому направлению
Пример Найти градиент поля U = x 2 + xyz в точке P0 (1;−1;2) и наибольшую
скорость изменения потенциала поля в этой точке.
∂ U( P0 )
∂ U( P0 )
∂ U( P0 )
= ( 2x + yz ) P = 0,
= xz P = 2,
= xy P = −1.
∂x
∂y
∂z
Тогда
0
0
0
352
r r
gradU ( P0 ) = 2 j − k ,
∂U
= 5.
∂ lmax
Перечислим основные свойства градиента
1. gradC = 0, c = const ;
2. grad ( C1U1 ± C2U 2 ) = C1 gradU1 ± C2 gradU 2 ;
3. grad (U1U 2 ) = U1 gradU 2 ± U 2 gradU1 ;
⎛ U 1 ⎞ U 2 gradU 1 − U 1 gradU 2
; U2 ≠ 0 ;
⎟=
U 22
⎝ U2 ⎠
4. grad ⎜
5. gradf (U ) = f ′(U ) gradU ;
Эти свойства следуют из определения градиента и правил дифференцирования.
Докажем для примера свойства 3 и 5:
∂ (U 1U 2 ) r ∂ (U 1U 2 ) r
grad (U 1U 2 ) =
i+
j=
∂x
∂y
∂ (U 2 ) r
∂ (U1 ) r
∂ (U 2 ) r
∂ (U1 ) r
= U1
i + U2
i + U1
j +U2
j=
∂x
∂x
∂y
∂y
⎛ ∂ (U 2 ) r ∂ (U 2 )
= U 1 ⎜⎜
i+
∂y
⎝ ∂x
⎛ ∂ (U 1 ) r ∂ (U 1 )
r⎞
j ⎟⎟ + U 2 ⎜⎜
i+
∂y
⎠
⎝ ∂x
r⎞
j ⎟⎟ = U 1 gradU 2 + U 2 gradU 1
⎠
т.е. 3 свойство доказано.
Докажем 5 свойство
∂ f ( U ) r ∂ f (U ) r ∂ f ∂ U r ∂ f ∂ U r
j=
i+
j=
i+
∂x
∂y
∂U ∂x
∂U ∂y
∂ f ⎛ ∂ U r ∂ U r⎞ ∂ f
i+
j⎟ =
gradU = f ′(U ) gradU .
=
⎜
∂U⎝∂x
∂y ⎠ ∂U
gradf (U ) =
§ 5 Векторные поля и их основные характеристики
Определение Стационарным векторным полем называется пространство R n
или часть его, в каждой точке Р которого определена векторная функция
r r
r r
a = a( P) = a( r ) ,
r
где r − радиус вектор.
В трехмерном пространстве в случае декартовой системы координат задание
векторного поля определяется тремя векторными функциями:
r
r
r
r r
a = a ( P) = X ( x , y , z ) i + Y ( x , y , z ) j + Z ( x , y , z ) k .
(11)
Основными характеристиками векторного поля являются векторные линии,
поток и дивергенция, циркуляция и вихрь.
Векторной (силовой) линией векторного поля называется линия, для которой в
r
каждой ее точке Р вектор a( P) направлен по касательной к данной линии.
353
r
r
r
r
Если r ( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k - уравнение векторной линии (L) векторного поля
(11), то, как известно вектор
r
r
r
r
dr = dxi + dyj + dzk
r
в каждой точке направлен по касательной к (L) и потому коллинеарен вектору a( P) ,
тогда
dx
dy
dz
.
=
=
X ( x , y , z ) Y ( x , y , z ) Z( x , y , z )
(12)
Мы получили систему дифференциальных уравнений, определяющую векторные
линии. Эту систему запишем иначе:
dy Y ( x , y , z )
=
,
dx X ( x , y , z )
Решение системы (12) имеет вид
dz Z ( x , y , z )
=
dx X ( x , y , z )
⎧⎪ϕ1 ( x , y , z ) = c1 ,
⎨
⎪⎩ϕ 2 ( x , y , z ) = c 2 .
Пример. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника,
по которому проходит ток силой I.
Выберем направление оси Oz, совпадающее с направлением тока I. В этом
случае вектор напряженности магнитного поля
r
2 r r
H = 2 I ,r ,
r
r
ρ
r
[ ]
где I = Ik - вектор тока; вектор r − радиус вектор точки Р(x,y,z); ρ-расстояние от оси
проводника до точки Р.
r
r
i
r
j
r
k
r
r
0 I = − yIi + xIj ,
x y z
2I r 2I r
H = − 2 yi + 2 xj
[ I , rr] = 0
ρ
ρ
354
Система дифференциальных уравнений для определения векторных линий запишется
в виде
⎧xdx + ydy = 0, ⎧x 2 + y 2 = C ,
dx dy dz
=
=
⇒⎨
⇒⎨
x
−y
0
⎩dz = 0,
⎩z = C1 .
т.е. векторными линиями являются окружности.
r
r
Пусть a = a( P) - векторное поле, определенное в (V ) ⊂ R 3
Определение Векторной трубкой называется поверхность, образованная
векторными линиями, проходящими через точки некоторой замкнутой линии
( L) ⊂ (V )
Любая векторная линия, не проходящая через точки кривой (L) либо целиком
лежит в векторной трубке, либо не принадлежит ей. В каждой точке Р векторной
r
трубки вектор a( P) , принадлежит плоскости, касательной к ее поверхности.