годографам отраженных сейсмических волн

УДК 550.834.5
В. М. ГУРЬЯНОв, Е. А. КАРЕВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПО ПОВЕРХНОСТНЫМ
ГОДОГРАФАМ ОТРАЖЕННЫХ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН
I. Пусть имеется сплошная изотропная идеально упругая
слоистая однородная среда в виде полупространства с гладкой
границей — дневной поверхностью. Отнесем эту среду к декар­
товой системе координат Oxyz, ось Oz направим в глубь среды.
Точку среды {х, у, г) будем обозначать вектором R = ix+jy +
+kz с i, j , ft-ортами по координатным осям.
Считаем, что источник и приемник колебаний расположены
на дневной поверхности (г), заданной векторным параметри­
ческим уравнением
Я = Я(Б,л)
в точках Ri=R(h,
(рис. 1).
Tii)
и
R2=R(h,
Лг)
(1)
соответственно
о
Рис. 1. Схема лучей в пространственной задаче
Скалярное поле времен t(x, у, z) волны, бегущей из ис­
точника и падающей на границу отражения (г 0 ), определяе­
мую уравнением
Я = Я.(6,Л),
выражается на этой границе годографом [1, 4]
т„ = t(x0(l, г,), у0(1, т|), z0(l, г,)) = т„(|, Л) =- -Я^о - * | 1
(2)
(3)
а градиент поля времен —
VT„ =
До-Д.
(4)
о I /?о — Л г |
27
Здесь v — постоянная скорость распространения сейсмических
волн в слое между границами наблюдения и отражения.
По годографу (3) можно восстановить поле времен падаю­
щей волны и получить поле времен отраженной волны, рас­
сматривая годограф как данные Коши для уравнения эйконала
|grad/|» = 4 - .
(5)
V*
Обычно решение этой задачи получается в виде уравнения
лучей [2]
# = Яо+ V T [ f - T „ ( g , n)]v\
(6)
в котором V T выражается формулой
V T ( £ , Ц) = [п, т]±пу
-^г- — т 2 >
I [ Л 0|- #0г]] |
I [#0|- #0г)] I
В формулах (7) п — единичная нормаль к поверхности г9
в точке отражения; т — вектор ортогональной плоскости, в
которой лежат нормаль, падающий и отраженный лучи; R'o^y
Ror]> T i > хц —частные производные по параметрам | и т).
Знак плюс соответствует падающей волне, а знак минус — от­
раженной. Ясно, что векторы п, т[п, т] и V т обладают свой­
ствами
(п, т) = (т, [п, т]) = (п, [п, т]) = (т, V T ) -= 0.
(8>
Формулы (7) позволяют получить на г0 соотношение меж­
ду градиентами падающей ( V т„) и отраженной (Vto) ВОЛН:
VT 0 = V T „ — 2 л ( я , V T „ )
(9>
или с учетом (3), (4)
у Т о = *.-*.-»»(«. я.-*х)
v\R0
{Щ
— Ri\
При этом для отраженной волны уравнение лучей (6) для
точек дневной поверхности (^=т, R = R2, V t = Vto) принимает
вид
R.2=Ro-r{R0-R1-2n(n,
Ro-RJ)(lRe™Ri{
-l)-
(H>
Формула (11) дает три скалярных уравнения, связывающих
между собой точки Ri=R(li, щ), R2 = R(h, Л2), Ro = Ro(l, r\)
дневной поверхности и границы отражения, нормаль п к гра­
нице отражения г0, скорость v и время т на дневной поверх­
ности, т. е. годограф отраженной волны.
28
Если известны R\— расположение источника, г0 (а следо­
вательно, и п)—граница
отражения и v — скорость, то из
(11) можно получить решение прямой задачи геометрической
сейсмики, т.е. найти годограф т=т(£ь rii, | 2 , Цг) отраженной
волны. Если известны Ri = R(lu тц) и т = т ( | ь rii, 12, ti 2 ), то
(11) позволяет определить скорость v, что и будет сделано
далее.
II. Удобно несколько преобразовать формулу (11). Для
этого умножим обе части равенства (11) скалярно на вектор
п и тогда получим
(п, R2 - R0) = (п, Rx - R0) (
lRoZRi[
~ l) •
(12>
Представим (11) в виде
R2 — /?! — 2rt (n, RQ — RJ = VT0TO2,
приравняем модули левой и правой частей этого равенства и
разрешим результат относительно т. Будем иметь
т .-= -L V | R2 - R112 + 4 (п, R2 - R0) (n, R, - R0) .
(13)
v
На основании (12) равенство (11) можно записать так:
Rt=R0 + {R0-Rl-2n(n, R0-RJ}<£-§i=M
(14)
Ш
( Я , /?!-/?,)
Уравнения (13), (14) представляют собой неявные пара­
метрические уравнения годографа т отраженных волн в функ­
ции параметров | , ц, определяющих точки границы отраже­
ния г0. Уравнение (14) дает только две независимые связи
между | , т] и | 2 , Ц2 при фиксированном источнике колебаний,
т.е. точки R{.
Формулы (13) и (14) имеют
простой геометрический смысл. Из
геометрической сейсмики известно,
что луч падающий, луч отра­
женный и нормаль к границе
в точке отражения лежат в одной
плоскости, поэтому пространствен­
ной картине (см. рис. 1) соответст­
вует плоская
картина
(рис. 2)
в упомянутой плоскости падения —
отражения лучей. На рис. 2, кроме
элементов рис. 1, показаны мнимые
зеркальные
изображения
Ri и
R 2 точек Rt и R2 относительно
касательной К к границе отраже­
ния го в плоскости падения - о т р а - Р и с ' 2- Г е о м е т р ™ Г
,
. i\
интерпретация
пространЖения (к кривой /) в точке отра- „венного решения
задаЖения Ro.
чи в плоскости лучей
29
В соответствии с рис. 2
Rl R
~°
+
\Ri-Ro\
R
*~R'
= 2л cosa,
| Л . —/?ol
и так как
(п, /?! — i?0) = I Ri~Ro I cosa,
(п, R2—R0) = I # 2 —#0 ! c o s a .
то получаем
^ i ~~-^о
(п, /?!-*„)
г
Rz — RQ*
(я, Я 2 -Я 0 )
2л,
(15)
т.е. формулу (14), несколько иначе записанную.
На рис. 2 четырехугольник Ru R2, R2, R 1 представляет со­
бой равнобочную трапецию, диагональ которой, определенная
по ее сторонам, равна
от = 1 / " | я 1 _ / ? 1 | » + | я 8 _ / й | | я 1 _ я Л ,
(16)
но
\R2-R*2\
= 2(n, R2~R0)
и | /?, — /?; | = 2 (я, /? г — /?о),
поэтому (16) совпадает с (13).
Выведем одну полезную в дальнейшем формулу и решим
задачу трансформации поверхности /0(£, ц) в поверхность
отражения.
Годограф отраженной волны т зависит как от места рас­
положения приемника, так и источника, поэтому является
функцией четырех переменных gi, |г, Ль чг. т.е.
* = T(6l, % . Ё2. % ) •
На основании кинематического принципа взаимности источни­
ка и приемника колебаний имеем
чь £2. 42) = т &. Ч2. £ъ *li)-
T(II,
07)
•Совместив источник и приемник, получаем поверхность
(18>
*o№,4) = * ( g , t , , ! , T i ) = * o -
Докажем, что при li = |2 = i, ч1 = т 12 = ч
дующие формулы:
дт
Ш0
дх _ Ш0
справедливы
сле­
(19)
Действительно, при расположении источника в точке R =
~-R(l, 4) н а основании принципа взаимности (17) имеем
jk_
<^2
30
=
dr(g, r\, £ 2 , %)
^2
=
дх(12,
х\г, g, т[)
^2
поэтому при |i = |2 = I, •Ц1 = г\2 = Ц справедливо равенстводх _ дх
А так как
t0 (5, Л) = т (Si, Ль U, Лг) |
то при
Si = It = I, Л1 = Л2 = Л
получаем
dt0 _
дх
?"i
.
дх
¥
_
*
п дх
Ж'
откуда и следует справедливость первого равенства (19). Ана­
логично доказывается справедливость и второго равенст­
ва (19).
Ясно, что формулы (19) применимы во всех случаях, когда
имеет место кинематический принцип взаимности источника и
приемника колебаний, т. е. для любой неоднородной изотроп­
ной среды. В плоской задаче формулы (19) использованы в
работе [3].
Решение задачи трансформации поверхности /0(S> л) в г Р а ~
ницу отражения имеет вид
Во = *<Б. Л ) ~ ^ Л 1 .
(20>
Здесь Я — точка пересечения поверхности наблюдения с еди­
ничной нормалью п к границе отражения. Эта нормаль лежит
на центральном луче, направление которого определяется век­
тором V ^о- Формулы (7), определяющие направление лучей,
в соответствии с (1), (18) и (19) для данного случая (см.
рис. 1) можно записать так:
v
I/
v2
(21>
\[RVR',]\ '
2\[R'V / ? ; j | '
Умножив векторно на п обе части равенства (15), получим
[п, Rt— R0] . [n, R2— R0] _ Q
^22y
(л, Я,-Я 0 )
(n, R2-R0)
Рассмотрим сначала случай, когда дневная поверхность
представляет собой горизонтальную плоскость:
R<&,i\) = *(x,y) = ix + jy.
(23>
31
В этом случае на основании (20), (21) и (23) будут справед­
ливы формулы
(V*0, #1 - Я„) = — (П, R1~RI))
=
— Uox
{Xi — x)
+ t00 (x,
Vox 1*1
*J +
-t- t'o
toyy (y
(Уi
— y)
У)-Ы
(X,y)],
у) l,
1—
(24)
(Vt0, # 2 - Ro) = — (n, R2 - R0) =
V
= — Uox (X2 — X) + toy (yt ~y)Jrt0
(X, y)] .
Подставим выражение для Ro из (20) в числители дробей
векторного равенства (15)., Заметив, что по оси Oz компонен­
ты векторов #2 — R и Ri—R равны нулю, можно по (15) по­
лучить равенство
Х
1
= —.
(25)
(я, R1-R0)
(n,R2-R0)
vt0
Разрешив (22) и (25) относительно R2 с учетом (20) и
(24), получим формулу
Я, = R
^o(Ri-R)
У26)
2
4(v*0, R,-R0)-tB
'
которая определяет х2 и у2 при заданных х, у, хи У\ и
х(х, у, х, y)=to(x, y)=t0 с использованием первой форму­
лы (24).
По R2 и перечисленным выше заданным величинам на­
ходим квадрат скорости v из (13) с учетом (24), (25) и (20):
ц2 =
\R2-R1 I2
(27)
2
i -t0(4t0,
R2 + Rl-2R)-t20
Наблюденный годограф т в функции четырех переменных
Х\> Уп Х2, г/г, т.е. векторов Rt и R2, получается в результате
многократного профилирования, например методом широкого
профиля. Имея этот годограф, можно выделить поверхность
io(x, y)=x(x, у, х, у) и произвести вычисление скорости по
формуле (27).
Вычисление удобно производить в следующем порядке.
Задаем векторы R = ix+jy и R{ = ixi+jy].
По этим векторам
и известной поверхности t0{x, у) вычисляем вектор R2 = ix2 +
+jy2 по формуле (26) с использованием первого равенства
(24). Имея эти данные, определяем по (27) квадрат искомой
•скорости, используя равенства (24). Так как наблюденный
годограф обычно задается таблицей своих значений, то при
вычислениях приходится использовать формулы численного
дифференцирования и локальное сглаживание наблюдений.
32
Меняя значения компонент х, у, хи у\ векторов R и R\,
получим, вообще говоря, различные значения скорости v за
счет несоответствия принятой модели среды реальной и за
счет ошибок в наблюденном годографе и аппроксимации про­
изводных. Осреднив вычисленный набор значений скорости v,
будем иметь некоторое ее среднее значение.
Для получения скорости можно применить метод наименьi
ших квадратов. С этой целью минимизируем сумму Б (т ;? —
rf) 2 , в которой тн, s и is— значения наблюденного и теорети­
ческого годографов для s-ro набора значений Rs, Rhs, R2,e
( s = l , 2,..,I) вектор-функций R, Ru R2, определяющих связан­
ные соотношением (26) координаты выхода на дневную по­
верхность центрального луча, источника колебаний и сейсмоприемника. Теоретический годограф т определяется формулой
(13).
Формула для второй степени скорости, полученной методом
наименьших квадратов, такова:
S
s=l
rfl —
l*2..-*l..|*
s=l
(28)
Вычисления по этой формуле производятся в таком же по­
рядке, как и по формуле (27).
Если дневная поверхность не является горизонтальной
плоскостью, то для получения скорости можно пользоваться
формулами (13) и (22). Подставим выражения для RQ и п
из формул (20) и (21), их определяющих, в (13) и разрешим
результат подстановки относительно 1 / —^ — М2.
Для определения скорости получим формулу
I/
у
'
i
v
м2
"+Vй*+ 4j?2 •' [т * ~ TlT*+ {KiKl ~*2л)
2R2 ,
Ш]
(29)
в которой приняты обозначения
TS = 2([N,M), Rs-R) + t0,
KS = 2(N,RS-R),
(s=l,2),
H = 7VCi + TtK2,
R2.1 = I Rz-Rtf
+ KiKv
2
Зак. 2016
33
Знак плюс перед радикалом в правой части равенства (29)
выбран из условия неотрицательности левой части.
Заметим, что формула (29) легко сводится к формуле (28)
при горизонтальной дневной поверхности z = 0. В этом случае
По равенству (29) скорость v определяется в функции па­
раметров |, т), | ь Tii, %2, г|2. Эти параметры связаны между
собой векторным соотношением (22), дающим с учетом (29)
только два независимых скалярных нелинейных в общем слу­
чае равенства, связывающих перечисленные выше параметры.
Эти равенства получим умножением скалярно обеих частей
соотношения (22) последовательно на векторы Яг— Ro и
[N, М] и запишем в виде
( Я , - / ? , [л, / ? ! - / ? ] ) = О,
(30)
(Af, Яг-Яр) , (М, R2-R0) = 0
(п, /?,-/? 0 )
(п. Я 2 -Я„)
Здесь нормаль п определяется формулами (21), в которых
следует заменить радикал 1 / —j—М2 его выражением по фор­
муле (29), вектор R0 дается формулой (20), R2 = R(h, Лг)»
Ri — R(lu Ц\), R*=R(i, т])—точки дневной поверхности, лежа­
щие на кривой L (см. рис. 1), принадлежащей плоскости па­
дающего, отраженного и центрального лучей. Легко видеть,
что эта плоскость определяется первым уравнением (30). Если
зафиксировать параметры £, т), gi, TII, т.е. точки R и Ri на
дневной поверхности, то равенства (30) можно рассматривать
как уравнения относительно параметров %% и т]2. Решая эти
уравнения, получаем значения указанных параметров, а сле­
довательно, и вектор Яг- После этого имеем все данные для
вычисления скорости по (29).
Для получения первого приближения при решении уравне­
ний (30) методом последовательных приближений можно в
окрестности точки R заменить поверхность наблюдения каса­
тельной к ней плоскостью. Для горизонтальной плоскости
решение задачи дается формулой (26). Этой формулой можно
воспользоваться, если перейти к локальной декартовой систе­
ме координат o'x'y'z' с началом в точке R и направлением
оси о'г' вдоль нормали JV В глубь среды.
Определение скорости в слоях многослойной среды по по­
верхностным годографам отраженных волн сводится к рас­
смотренному случаю. Действительно, пусть между границами
Ro и Ro, 1 расположен слой, характеризующийся новой неиз­
вестной скоростью V\, и имеются два годографа т„ и т„. i в
функции точек расположения источника колебаний и сейсмоприемника; годографы т„ и тн, i соответствуют отраженным от
34
границ Ro и Ro, 1 волнам. Вычислим по изложенной методике
скорость v в слое выше границы # 0 , построим по формуле
(20) границу Ro, пересчитаем годограф тн, i с дневной поверх­
ности на поверхность Ro, после чего будем иметь уже рас­
смотренную ситуацию с одним слоем. Пересчет годографа
ти, 1 осуществляется сначала по переменным %\, г\\, а затем
по переменным £г, f]2СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берзон И. С. Интерпретация поверхностных годографов отраженных
волн,—Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1946, № 1, с. 25-^36.
2. Гурьянов В. М., Карева О. В. Введение глобальной лучевой системы
координат в методе бегущих волн.—Изв. вузов. Сер. Математика, 1976, № 2,
с. 97—100.
3. Гурьянов В. М. Обратная задача геометрической сейсмики для отра­
женных волн в случае зависимости скорости от двух переменных.— Изв. АН
СССР. Сер. Физика Земли, 1968, № 5, с. 37—48.
4. Тимошин Ю. В. Решение прямой и обратной задач сейсморазведки в
случае криволинейных отражающих границ.— Научные записки Львовского
политехнического ин-та, вып. 35, 1955, с. 56—71.
УДК 550.834
А. А. МАЛОВИЧКО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОЙ
СКОРОСТИ И СТЕПЕНИ СКОРОСТНОЙ
НЕОДНОРОДНОСТИ ПО ОДИНОЧНОМУ
ГОДОГРАФУ ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН
В СЛУЧАЕ ВЕРТИКАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
Используемые в сейсморазведке способы интерпретации годо­
графов отраженных волн в случае вертикально-неоднородных
сред с горизонтальными отражающими границами обычно
предполагают аппроксимацию наблюденного годографа ^(л:)
гиперболой
t = _J_ УиЦъ + *» ,
(1)
"эф
где у3ф и Я;)ф — соответственно эффективная скорость и эф­
фективная глубина залегания отражающей границы.
Получаемые в результате аппроксимации
(1) значения
эффективной скорости, как показано в [7, 10], зависят не толь­
ко от параметров среды, но и от протяженности годографа,
а также от способа вычисления.
2*
35