.

УДК 530.145(075)
О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ЭЛЕКТРОННЫХ
СОСТОЯНИЙ В МАКРО- И НАНОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ
А.М. Минаев, Л.Н. Тялина
Кафедра «Материалы и технология», ГОУ ВПО «ТГТУ»
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: волновой вектор; волновая функция; длина
волны электрона; число разрешенных энергий в нано- и макрокристаллах; энергия
электрона.
Аннотация: Обсуждаются вопросы применимости классической физической теории при описании электронных состояний в наноразмерных кристаллических структурах, а также физическое содержание таких понятий как волновая
функция, электронная волна, волна де Бройля и др.
При исследовании физических свойств кристаллов обычно привлекается
зонная теория твердых тел. Зачастую эта теория автоматически переносится на
наноразмерные структурные образования. Такой перенос не всегда оправдан и
может привести к ошибочным выводам, особенно при анализе электрических
свойств в системах пониженной размерности. Рассмотрим сначала изменение
энергии свободного (не связанного) электрона в зависимости от волнового вектора. Эта зависимость описывается известным уравнением
E=
h 2k 2
,
2m
(1)
где Е – энергия электрона; h – постоянная Планка; k – волновой вектор; m – масса
покоя электрона.
Из рис.1 и (1) видно, что на волновой вектор не накладывается ограничений,
он изменяется непрерывно, так же как и энергия. Можно сказать, что энергия свободного электрона не квантуется. Если же рассматривать движение электрона в периодическом
Е
поле кристаллической решетки, то ситуация меняется коренным образом. Для описания поведения электрона в кристалле используется импульсное пространство, или пространство волновых
векторов (обратное пространство). В качестве
граничных условий чаще всего выбирается условие для круговой (замкнутой) периодической цепочки, состоящей из N-атомов. При расстоянии
между атомами, равном a, длина всей цепочки составляет L = Na . Такие граничные условия (Борk
на–Кармана) для одномерного случая записываРис. 1. Зависимость энергии Е
ются как
ψ ( х ) = ψ ( х + Nа ) = ψ ( х + L ) = ψ ( x + Ln ) .
свободного электрона от
волнового вектора k
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 3. Transactions TSTU.
785
Иногда в качестве граничных условий выбирается так называемый потенциальный «ящик», на стенках которого электронная функция ψ равна нулю. Но в
этом случае для описания движения электрона вынуждены применять стоячие
волны, которые не переносят заряд (а значит и энергию). В приближении Борна–
Кармана принята более выгодная модель – бегущие волны, которые могут переносить заряд и энергию по кристаллу. Зависимость энергии электрона Е в кристалле от волнового вектора k (рис. 2) будет отличаться от зависимости для свободного электрона.
Для удобства совмещения размерностей периодическая структура кристалла
представляется в обратном пространстве, где трансляционный вектор К кристаллической решетки выражается в виде 2π а , то есть имеет размерность обратной
длины (см–1). Не вникая в подробности довольно громоздкого вывода построения
обратной решетки, достаточно здесь показать, что длине L в обычном пространстве соответствует длина 2π L в обратном пространстве.
В связи с этим, например, для ГЦК-решетки в обратном пространстве будет
соответствовать ОЦК-периодическая структура, а ОЦК-кристалл обычного пространства будет изображаться ГЦК-структурой в обратном пространстве. Обратπ
π
ное пространство от К = − до К = (в одномерном представлении) называют
а
а
первой зоной Бриллюэна.
В силу трансляционной симметрии кристалла все построения для электрон2π
ного состояния можно перенести в первую зону, так как К = К ±
. Если для
а
свободного электрона волновой вектор k (и энергия) изменяются непрерывно, то в
кристаллической решетке возникают важные ограничения на волновой вектор.
Его значения могут принимать величины 2πn Na , где N – число атомов (или кристаллических ячеек); n = 0, ±1, ±2 – то есть волновому вектору k и соответственно
энергии «разрешено» изменяться лишь дискретно.
Число разрешенных значений энергии для электрона (в первой зоне) будет
2πn
определяться числом разрешенных значений волнового вектора k =
. В макNa
(
)
рокристалле N ≈ 1022 спектр разрешенных энергий становится настолько плотным, что уровни энергии перекрываются (принцип неопределенности Гейзенберга), и дискретностью энергий (квантованием)
можно пренебречь, считая энергетический спектр
Е
квазинепрерывным как для свободного электрона. Из описанных соотношений видно также, что
(
)
при переходе от макрокристалла N ~ 1022 к наноразмерным структурам
( N ~ 10 ⋅101... 10 ⋅102 )
минимальное значение волнового вектора, отличное от ноля k = 2πn Na для наноструктуры будет
на несколько порядков больше, чем для макрокристалла. Из этого следует, что предельное значение волнового вектора k = 2πn Na = π а при
π/a
2π/a k
Рис. 2. Зависимость энергии Е
электрона в кристалле
от волнового вектора k
786
2n N = 1 в наноразмерных кристаллических
структурах будет достигнуто при меньших значениях квантового числа n. Это в свою очередь дает
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 3. Transactions TSTU.
основание для заключения о том, что число разрешенных энергетических уровней
n в наноструктурах значительно меньше, чем в макрокристаллах, перекрытие же
уровней в отличие от макрокристалла станет менее вероятным. Пренебрегать дискретностью (квантованием) энергий в таких условиях нельзя.
В квантовой теории часто применяется термин «электронные волны». В это
понятие, к сожалению, нередко вкладывается смысл классической волны. Однако,
по современным представлениям эти волны не являются силовыми в отличие от
гравитационных, электромагнитных, звуковых и др. Иногда электрон представляется даже как волна в некоем резонаторе – потенциальной (квантовой) яме. Следует особо подчеркнуть, что электрон ни при каких обстоятельствах не может
быть волной в классическом понимании. Об этом уже говорит одно из фундаментальных положений квантовой теории. Электрон относится к фермионам, которые
подчиняются статистике Ферми–Дирака, и в соответствии с принципом Паули
они могут заполнять разрешенные энергетические уровни только поодиночке.
Классическая же волна – продукт образования коллектива частиц, имеющих одинаковую энергию и другие характеристики. К таким частицам относятся, например фотоны, подчиняющиеся статистике Бозе–Эйнштейна. Но если электроны не
могут сформировать классическую волну, то тогда возникает вопрос как же понимать содержание волнового уравнения Шредингера, описывающего поведение
электрона в кристалле, решением которого является плоская волна типа
ψ(x) ~ expikx.
Как утверждают основоположники квантовой теории (например, Борн), волновая функция ψ(x) есть вероятность обнаружения электрона в данной точке объема в заданный момент времени (временное уравнение Шредингера). Эта вероятность хорошо описывается в терминах, используемых для характеристик классических волновых процессов. Корректнее назвать функцию ψ(x) не волновой
функцией (устаревший термин), а амплитудой вероятности.
Требует пояснений также понятие «длина волны электрона». Оно возникло
из экспериментов по пропусканию электронного пучка через тонкий кристалл.
Прошедший через такую дифракционную решетку электронный луч на фотоприемнике (детекторе) образовывал интерференционную картину, что являлось несомненным признаком суперпозиционных явлений классических волн. Зная расстояния между интерференционными линиями, по аналогии с дифракционной
картиной рентгеновских лучей была определена длина «волны» электрона. Эта
длина оказалась равной длине волны, вычисленной по известной формуле
де Бройля, связывающей корпускулярные Р и волновые λ свойства частиц:
h
Р = , где P = mv – импульс; m – масса частицы; v – скорость; h – постоянная
λ
Планка; λ – длина волны.
Здесь полезно напомнить, что де
Бройль, создавая свою знаменитую фор- ψ (х)
мулу, под длиной волны λ имел в виду совсем другое. Он пришел к выводу, что реальный (не математический) центр масс
любой частицы «размыт», а так как в
функции положения ψ(x) центра масс закодирован импульс Р, то эта функция
должна выглядеть так, как показано на
рис. 3.
х
Де Бройль считал, что импульс Р обРис.
3.
Размытость
(неопределенность)
ратно пропорционален длине волны λ. Ко∆х центра масс. Средняя длина
эффициентом пропорциональности оказаволны λ функции ψ(x), схема
лась фундаментальная физическая постоISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 3. Transactions TSTU.
787
янная Планка h. Из этой схемы понятно, что ψ(x) описывает вероятность положения ∆х центра масс какой-то частицы. За пределами ∆х функция ψ(x) стремится к
нулю. Для частиц, находящихся в связанном состоянии (электрон в атоме), ψ(x)
можно представить в более простой форме – в виде гармонической волны, что и
сделал Шредингер, выразив функцию ψ(x) в виде плоской волны типа
~ expikx.
Таким образом, при описании электронных состояний в наноразмерных
структурах необходимо аккуратно обращаться с такими привычными классическими понятиями как электронные волны, волновые функции, электронный резонанс, интерференция, которые не отражают физическое содержание этих терминов в представлениях современной квантовой теории.
To Some Peculiarities of Electronic States
in Macro and Nano-Sized Structures
A.M. Minaev, L.N. Tyalina
Department “Materials and Technology”, TSTU
Key words and phrases: electron energy; electron wavelength; wave function;
the number of allowed energies in nano-and macro-crystals; wave vector.
Abstract: Matters of application of classical physical theory for description of
electron states in nano-sized crystal structures as well as physical content of such
notions as wave function, electron wave, de Broglie wave are discussed.
Über einige Besonderheiten den elektronischen Zustand
in den makro- und nanodimensionalen Strukturen
Zusammenfassung: Es werden die Fragen der Anwendbarkeit der klassischen
physikalischen Theorie bei der Beschreibung der elektronischen Zustände in den nanodimensionalen kristalinischen Strukturen, und auch den physikalischen Inhalt solcher
Begriffe wie die Wellenfunktion, die elektronische Welle, die De-Broglie-Welle
besprochen.
Sur quelques particularités des états électroniques dans les structures
des macro- et nanodimensions
Résumé: Sont discutés les problèmes de l’aplication de la théorie physique
classique lors de la description des états électroniques dans les structures cristalliques de
nanodimensions, ainsi que le contenu physique de telles notions comme fonction
ondulaire, onde électronique, onde de Broglie etc.
788
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 3. Transactions TSTU.