ЛЕКЦИЯ 2 . теорема Эйлера. Вывод 32 классов симметрии.

ЛЕКЦИЯ 2
Элементы симметрии. Сложные оси. Осевая
теорема Эйлера. Вывод 32 классов симметрии.
Категории. Сингонии.
В зависимости от характера преобразования
различают элементы симметрии I и II родов.
Элементы симметрии I рода связывают друг с другом
конгруэнтно
равные
фигуры
(греч.
congruens
совмещающийся), т.е. фигуры, совмещающиеся при наложении
(вложении) – правые (П) с правыми, левые (Л) с левыми.
Элементы симметрии II рода связывают друг с другом
энантиоморфные (греч. enantios – противоположный, morphe –
форма), т.е. зеркально равные фигуры или их части – П с Л.
Операция симметрии I рода - Поворот
Элемент симметрии - Поворотная ось Ln=360°/α,
где n – порядок оси, α - элементарный угол поворота
Пример разбиения квадрата, обладающего осью 4-го порядка
на четыре равные части
Операция симметрии I рода - Поворот
Элемент симметрии - Поворотная ось Ln=360°/α,
где n – порядок оси, α - элементарный угол поворота
Обозначение
В предложенной французским кристаллографом О.Браве символике, которой удобно
воспользоваться на начальной стадии учебного
процесса, оси симметрии обозначаются буквами
Ln, где подстрочный индекс n соответствует
порядку оси. Графически поворотные оси
обозначаются прямыми линиями со значками,
соответствующими порядку оси. Ось 1-го
порядка L1 графического значка не имеет.
Операция симметрии I рода - Поворот
При описании операций симметрии к обозначениям осей
симметрии часто добавляют показатель степени, указывающий
на число проведенных операций – в данном случае на число
элементарных поворотов в направлении против часовой стрелки.
Знак «минус» при показателе степени указывает на поворот в
противоположном направлении – по часовой стрелке.
−1
6
1
6
L
1−
6
L =L
L
−4
6
−2
3
L =L =L =L
2
6
1
3
L = L1
6
6
5
6
Поворотных осей в природе полно!
Кристалл граната –
альмандина. Можно
увидеть оси 2, 3 и 4
порядков
В кристаллах нет осей 5-го и выше
6-го порядков.
Основной закон симметрии
кристаллов, установленный
эмпирически, но впоследствии
подтвержденный «решетчатым»
строением кристаллов.
В кристаллических
многогранниках порядок осей
ограничен числами
n =1, 2, 3, 4, 6.
Рене Жюст Гаюи
(1743 – 1822 гг.)
Нельзя правильными пяти- или n-угольниками
(где n > 6) выполнить все двухмерное
пространство без зазоров или перекрытий
(6-угольниками можно
– доказано пчелами)
В кристаллах нет осей выше 6-го
порядков.
Пусть два пересекающихся в точке А узловых ряда
определяются одним и тем же межузловым расстоянием, минимальным
для данной пространственной решетки (а = амин). Тогда в треугольнике
АА1А2 сторона А1А2 должна быть равна а, либо больше а следовательно,
α≥ 60°. Это значит, что порядок оси не может превышать шести
А В живых организмах ЕСТЬ! N>6
В кристаллах нет осей 5-го порядка
Любая
параллелограмматическая
сетка
обладает
расположенной
перпендикулярно к ней осью симметрии 2-го порядка. Если же в кристалле есть
ось нечетного порядка, то результат ее взаимодействия с параллельной ей осью 2го порядка, присущей каждой сетке, обусловит появление четной оси вдвое
большего порядка. Следовательно, если предположить возможность присутствия
в кристалле оси 5-го порядка, то окажется, что перпендикулярно узловой сетке
должна возникнуть ось вдвое большего – 10-го порядка, что противоречит
доказанному выше (n ≥ 6)
А В живых организмах ЕСТЬ! N=5
Живые организмы любят! оси с n=5 и n>6
Почему?
1) Из вредности
2) Повыпендриваться
3) Страх перед неживой природой
К элементам симметрии II-го рода
относятся обычные элементы
известные в быту:
зеркальные плоскости
центр инверсии
и волшебные элементы
доступные кристаллографам и
незаметные «маглам»:
зеркально-поворотные оси
инверсионные оси
Операция симметрии - Отражение
Элемент симметрии –
Зеркальная плоскость
Зеркальная
плоскость
симметрии
задает операцию отражения, при
которой правая часть фигуры (или Пфигура), отражаясь в плоскости, как в
двухстороннем зеркале, совмещается с
левой
ее
частью
(Л-фигурой).
Кристалл, обладающий зеркальной
плоскостью,
разбивается
этим
элементом симметрии на две зеркально
равные – энантиоморфные – части
Операция симметрии - Отражение
Обозначение
Операция симметрии - Отражение
Элемент симметрии – Центр симметрии = центр
инверсии
Центр симметрии – это особая как бы «зеркальная» точка внутри
фигуры, совпадающая с ее центром тяжести, «отражаясь»
(инвертируясь) в которой, правая фигура не только переходит в
левую,
но
и,
поворачиваясь
на
180º,
становится
антипараллельной исходной.
Эквивалентные и неэквивалентные
элементы симметрии
Эквивалентные элементы симметрии, связанны какими-либо
операциями симметрии данного кристалла.
Эквивалентные и неэквивалентные элементы симметрии:
а – L33P, б – L44P = L42P′2P′′; в –3L23P = L2′L2′′L2′′′P′P′′P′′′C
Описание элементов симметрии
При описании симметрии кристаллов выявленный комплекс
элементов симметрии, называемый классом (или группой)
симметрии,
записывается
в
строчку
в
следующей
последовательности:
1) поворотные оси высшего порядка (если они присутствуют),
2) поворотные оси 2-го порядка,
3) зеркальные плоскости симметрии,
4) центр инверсии.
L4 2L`2 2L``2 2P`2P``P```C
Волшебные элементы симметрии.
Есть ли они в кристаллах или это выдумка?
Волшебные (сложные) элементы симметрии
позволяют совмещать фигуры путем двойной
мнимой операции – поворота (операции I-го
рода) и отражения в плоскости или инверсии в
точке (операции II-го рода). При этом
промежуточного результата нет! Отдельных
операций нет. Есть только суперпозиция
зеркально-поворотные оси
инверсионные оси
Ln
Ln
Зависимость между зеркальным (угол поворота α) и
инверсионным (угол поворота α′ = 180° −α) поворотами
(Операция каждой зеркальной оси с элементарным углом
поворота α может быть заменена операцией инверсионной
оси с элементарным углом поворота α′ = 180° - α )
Давайте теперь зададим сами себе вопрос: а зачем
это надо?
Нельзя ли эти сложные (на первый взгляд
надуманные) преобразования заменить набором
простых, уже знакомых нам, элементов симметрии?
Действительно ли для описания симметрии
некоторых кристаллов простых элементов симметрии
недостаточно? Для этого давайте проанализируем все
кристаллографические порядки осей и посмотрим
взаимосвязь между зеркально-поворотными,
инверсионными и простыми элементами симметрии.
Проверим все варианты. Есть ли
на свете место чуду?
Что это?
Ln(α)
N
1 n=1 (α =0)
2
3
6
4
Что это?
Ln (α’)
n=2 (α =180) плоскость! ( P )
Оказывается, по утрам мы смотримся в
инверсионную ось второго порядка
z
Проверим все варианты. Есть ли
на свете место чуду?
Что это?
Ln(α)
Ln (α’)
N
1 n=1 (α =0) n=2 (α =180) плоскость! (P )
центр!
2 n=2 (α=180) n=1 (α =360)
3
6
4
z
С
Проверим все варианты. Есть ли
на свете место чуду?
Что это?
Ln(α)
Ln (α’)
N
1 n=1 (α =0) n=2 (α =180) плоскость! (P )
центр!
2 n=2 (α=180) n=1 (α =360)
L3 + P z!
3 n=3 (α=120) n=6 (α =60)
6
4
z
Проверим все варианты. Есть ли
на свете место чуду?
N
1
2
3
6
4
Что это?
Ln(α)
Ln (α’)
n=1 (α =0) n=2 (α =180) плоскость! (P )
центр!
n=2 (α=180) n=1 (α =360)
n=3 (α=120) n=6 (α =60)
L +P !
L3 + C
n=6 (α=60) n=3 (α =120)
z
3
z
Похоже чудес на свете нет…
Владислав Крапивин МАЛЬЧИК СО ШПАГОЙ
Только очень маленькие дети верят в чудеса. Да еще старые, много пожившие люди
утверждают, что чудеса все-таки бывают. Редко-редко, но случаются. Но Сережа-то не был
маленьким ребенком. И старым опытным человеком он тоже не был. Он был просто
мальчик и твердо знал: на свете не бывает чудес. Поэтому он изумился и вздрогнул,
когда…
Появилась инверсионная ось 4-ого
порядка!
N
1
2
3
6
4
Что это?
Ln(α)
Ln (α’)
n=1 (α =0) n=2 (α =180) плоскость! (P )
центр!
n=2 (α=180) n=1 (α =360)
n=3 (α=120) n=6 (α =60)
L +P !
n=6 (α=60) n=3 (α =120)
L +C
n=4 (α=90) n=4 (α =90)
Чудо!
Что это?
z
3
z
3
Зеркально-поворотную ось 4-го порядка невозможно заменить
простыми реальными элементами симметрии! Именно поэтому
эта ось имеет свое графическое обозначение – темный знак
Фюзо в светлом квадратике. Более того, она присутствует в
реальных кристаллах, что «узаконивает» все учение о зеркальноповоротных осях.
Иллюстрация действия
зеркально-поворотной (инверсионной)
оси 4-го порядка
L4
Многогранник с единственным элементом симметрии
а) -зеркально-поворотной осью 4-го порядка
б) иллюстрация мнимых операций симметрии 4-го порядка
– поворота на 90° и отражения в зеркальной плоскости симметрии
Иллюстрация действий простых и сложных элементов
симметрии:
а – трех взаимно перпендикулярных осей 2-го порядка
L2′L2′′L2′′′,
б – поворотной оси 4-го порядка L4,
в – зеркально-поворотной оси 4-го порядка Ł4. Цветом
выделены лицевые и изнаночные стороны треугольников.
Иллюстрация замены некоторых сложных осей
простыми элементами симметрии
Все операции симметрии – оси (настоящие и
волшебные!) Мы живем в мире простых и
волшебных осей!
Проецирование кристаллов и элементов
симметрии
Для получения полной характеристики огранки кристалла
необходимо не только найти и зафиксировать в пространстве
элементы его симметрии, но и, используя основной закон
постоянства углов между соответствующими гранями,
зафиксировать положения граней относительно элементов
симметрии.
Для этого следует прибегнуть
проецирования кристаллов:
к
различным
способам
1) Построить стереографическую проекцию (плоский образ
сферической проекции) элементов симметрии кристалла
2) Нанести гномостереографические проекции граней.
Проецирование кристаллов и элементов
симметрии
иллюстрация взаимосвязи
положения точек А и D на сфере
проекций и их
стереографических образов a и d
на экваториальной плоскости
модель для изучения
основ стереографического
проецирования
Проецирование
а) измерение сферических координат точек A и D в верхней и
нижней полусфере;
б) градуировка сферы проекций системой меридианов и
параллелей.
Проецирование
Каждая точка на сфере проекций имеет
две координаты (как в географии) –
широта (обозначается греческой буквой
ρ) и долгота (обозначается греческой
буквой φ).
В кристаллографии и географии эти координаты снимаются различными
способами: в кристаллографии широта отсчитывается не от Гринвича, а от
меридиана, совпадающего с положительным выходом оси y. Этот меридиан
выбирается в качестве 0-ого (φ = 0º, он же имеет φ = 360º). Таким образом, каждая
точка на сфере имеет долготу от 0 до 360º. Широта (координата ρ) отсчитывается
по меридиану, проведенному через исследуемую точку «А» в направлении от
северного полюса N к южному полюсу (S). Ρ на северном полюсе =0º, на экваторе
ρ = 90º, а на южном полюсе S ρ = 180º (Скотт и Амундсен были бы слегка
удивлены).
Роберт Фалкон Скотт
англ. Robert Falcon Scott
Достиг точки с ρ = 180º 17
января 1912 года., погиб на
обратном пути
Ру́аль А́мундсен
Достиг точки ρ = 180º
14 декабря 1911 года.
Стереографические проекции элементов
симметрии
Леонард Эйлер (1707-1783 гг.)
Современный вид сферической тригонометрии
придал Эйлер - математик, физик, астроном.
Швейцарец по происхождению он с 1727 г.
работал в России, а с 1741 г. – в Берлине ( а с
1766 г. – опять в России). Автор более 800
работ, оказавших значительное влияние на
развитие науки.
Теория групп
Группой называется множество объектов (G)
любой природы с заданной бинарной операцией
(∗), если для любой пары элементов (a и b) этого
множества G определен третий результирующий
элемент с = a ∗ b того же множества.
При этом группой будет лишь такое множество с
заданной бинарной операцией, для которого
выполняются следующие условия:
1) ассоциативности : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
2) существования единичного члена (е) такого единичного элемента, что для любого
элемента
группы
будет
выполняться
равенство e ∗ a = a ∗ e = a
3) обратимости – для любого элемента а
существует элемент а-1 из того же
множества,
называемый
обратным
элементом к элементу а, такой, что a ∗ a-1 =
a-1 ∗ a = e.
Главной
особенностью
симметрических
операций является то, что полная их
совокупность для любого объекта всегда
образует группу. Это позволяет теорию
симметрии кристаллов рассматривать как
раздел математической теории множеств и
использовать
математический
аппарат
теории абстрактных групп при изучении
законов симметрии кристаллов, придавая им
конкретное геометрическое или физическое
содержание.
Эти правила теории групп приводят к
знаменитой теореме взаимодействия
элементов симметрии – осевой теореме
Эйлера.
Взаимодействие двух осей симметрии n-го
порядка, поворотных или инверсионных,
приводит к возникновению проходящей
через точку их пересечения третьей оси
симметрии. При этом результирующая ось
окажется поворотной, если исходными
будут две одинаковые оси (обе поворотные
или обе инверсионные), и инверсионной,
если исходные оси будут разного типа.
Частные случаи
Случай 1. (A = P, B = P). Две плоскости
пересекаются под определенным углом, например
90 градусов.
Если рассмотреть этот пример в
общем виде, то получится
следующее правило:
Если встречаются под углом α
две инверсионные оси 2 порядка,
то результатом их
взаимодействия будет
поворотная ось порядка 360/2α.
Частные случаи
Случай 2. (A = L2, B = L2). Две оси второго
порядка пересекаются под определенным углом,
например, 45°
Если рассмотреть этот пример в
общем виде, то получится
следующее правило:
Если встречаются под углом α
две поворотные оси второго
порядка, то результатом их
взаимодействия будет
поворотная ось порядка
360/2a.
Частные случаи
Случай 3. (A = P, B = L2)
Операция отражения в зеркальной
плоскости с последующим поворотом
вокруг вертикальной оси 2-го порядка,
перпендикулярной этой плоскости,
приводит
к
появлению
нового
элемента
симметрии
–
центра
инверсии С = «С».
Это сочетание (L2-P-C) очень важно и часто встречается в
кристаллах. Обратим внимание, что при наличии центра и
плоскости возникнет ось второго порядка, а при наличии центра и
оси второго порядка – плоскость. А если рассмотреть этот пример
в общем виде?
Если встречаются под углом α поворотная и
инверсионная ось второго порядка, то результатом их
взаимодействия будет инверсионная ось порядка 360/2α.
В результате взаимодействия инверсионной и
поворотной оси
а) под 45 градусов возникнет –
под 30 градусов
–(= L3P)
под 60 градусов
– (= L3С)
Рассмотрев все взаимодействия элементов симметрии
данного кристалла, можно получить полную совокупность
симметрических операций, называемую группой (или
классом) симметрии.
Можно убедиться в том, что сочетания симметрических
операций (а, следовательно и элементов симметрии) не
случайны, а образуют группы симметрии с конечным
числом членов.
Вывод совокупностей элементов симметрии впервые
был осуществлен в 1826 г. Франкенгеймом, затем в
1830 г. Гесселем. Однако их работы были недопоняты
и забыты. И лишь в 1867 г. Аксель Вильгельмович
Гадолин дал строгий математический вывод 32 групп
симметрии. (Петербургская АН в 1868 присудила ему
за это Ломоносовскую премию
Вместо размники. Для выпуклых многогранников
справедливы следующие высказывания:
1. По теореме Эйлера для выпуклых многогранников В+Г=Р+2
2. В любом многограннике (в том числе и правильном) сумма
всех углов между ребрами, сходящимися в одной вершине, всегда
меньше 360°.
Очевидно, что при бесконечно
большом расстоянии от
плоскости углы a вырождаются в
бесконечно малые углы,
следовательно, каждый угол α’
будет меньше соответствующего
угла α.
Таким образом, в вершине могут сходится лишь:
1) 3 равносторонних треугольника с углом 60°. 60°×3 = 180°
тетраэдр
2) 4 равносторонних треугольника с углом 60°. 60°×4 = 240°
октаэдр
3) 5 равносторонних треугольников с углом 60°. 60°×5 = 300°
икосаэдр
6 таких треугольников дают уже 60°×6 = 360° - нельзя!
4) 3 квадрата (90°×3 = 270°)
гексаэдр (слово куб оставим для детского сада)
5) 3 правильных пятиугольника (108°×3 = 324°) додекаэдр
(правильный!)
3 правильных шестиугольника (120°×3 = 360°) –нельзя!
К взаимосвязи углов
поворота осей и
перемещения точки по
поверхности сферы. А, B
и C – путь, пройденный
точкой в результате
последовательного
поворота вокруг осей L4,
L2 и L2, соответственно.
Сферический треугольник с углами 45˚, 90˚ и
90˚ (сумма внутренних углов 225˚) выделен
штриховкой.
Таким образом:
В сферическом треугольнике АВС, углы А,
В и С при вершинах равны половинам
элементарных углов поворота осей,
осуществляющих повороты, т. е. А = α/2, В
= β/2 и С = γ/2.
Эйлер также показал, что для сферических
треугольников
1) Сумма углов (S) не должна превышать
540° и должна быть больше 180° (180° < S < 540°)
+ А так как возможными для кристаллов могут
быть лишь оси симметрии порядков 1, 2, 3, 4, 6
т.е. углы между сторонами сф. треугольника
могут быть равны соответственно половинам
элементарных углов поворотов этих осей:
180°, 90°, 60°, 45° и 30° соответственно.
Допустимые сочетания углов:
Сочетания осей
L2 L2 L2
Сумма углов
90° + 90° + 90° = 270°
L2 L2 L2
для этого треугольника все углы между осями
окажутся
равными
90°.
Зафиксировав
положения этих осей на сфере, можно
вычертить и стереографическую проекцию
полученного осевого класса симметрии
3L2 , где все оси 2-го порядка будут
неэквивалентны друг другу
Допустимые сочетания углов:
Сочетания осей
L2 L2 L2
L3 L2 L2
Сумма углов
90° + 90° + 90° = 270°
60° + 90° + 90° = 240°
L3 L2 L2
две стороны между осями L3 - L2 будут равны
90°, а угол между осями L2 – L2 = 60°. Нанеся
выходы осей на сферу и построив
стереографическую проекцию, получим (после
размножения элементов симметрии друг
другом) также осевой класс – L33L2, где все три
оси 2-го порядка будут связаны поворотами на
120° вокруг оси L3, а следовательно,
эквивалентны
Допустимые сочетания углов:
Сочетания осей
L2 L2 L2
L3 L2 L2
L4 L2 L2
Сумма углов
90° + 90° + 90° = 270°
60° + 90° + 90° = 240°
45° + 90° + 90° = 225°
L4 L2 L2
две стороны между осями L4-L2 = 90°, сторона
L2-L2 = 45°. Вычертив этот сферический
треугольник и построив стереографическую
проекцию, увидим, что получен класс
симметрии с одной осью L4 и четырьмя
побочными осями L2 , разбивающимися на два
неэквивалентных между собой семейства –
класс L42L22L2
Допустимые сочетания углов:
Сочетания осей
L2 L2 L2
L3 L2 L2
L4 L2 L2
L5 L2 L2
L6 L2 L2
Сумма углов
90° + 90° + 90° = 270°
60° + 90° + 90° = 240°
45° + 90° + 90° = 225°
36 °+ 90° + 90° = 216°
30° + 90° + 90° = 210°
не в кристаллах
L6 L2 L2
две стороны L6 – L2 = 90°, сторона L2 – L2 = 30°.
В итоге вновь получаем осевой класс – L6 6L2 =
также с двумя неэквивалентными семействами
осей 2-го порядка L63L23L2
Допустимые сочетания углов:
Сочетания осей
L2 L2 L2
L3 L2 L2
L4 L2 L2
L5 L2 L2
L6 L2 L2
L7-итд L2 L2
L3 L3 L2
Сумма углов
90° + 90° + 90° = 270°
60° + 90° + 90° = 240°
45° + 90° + 90° = 225°
36 °+ 90° + 90° = 216° не в кристаллах
30° + 90° + 90° = 210°
*° + 90° + 90° => 180° не в кристаллах
60° + 60° + 90° = 210°
Допустимые сочетания углов:
Сочетания осей
L2 L2 L2
L3 L2 L2
L4 L2 L2
L5 L2 L2
L6 L2 L2
L7-итд L2 L2
L3 L3 L2
L4 L3 L2
L6 L3 L2
Кстати! L5 L3 L2
Сумма углов
90° + 90° + 90° = 270°
60° + 90° + 90° = 240°
45° + 90° + 90° = 225°
36 °+ 90° + 90° = 216° не в кристаллах
30° + 90° + 90° = 210°
*° + 90° + 90° => 180° не в кристаллах
60° + 60° + 90° = 210°
45° + 60° + 90° = 195°
30° + 60° + 90° = 180° НЕЛЬЗЯ!
36° + 60° + 90° = 186°> 180° не в кристаллах
L3 L3 L2
Расположив рассчитанный треугольник на
сфере и размножив данные элементы
симметрии,
получим
стереографическую
проекцию еще одной осевой группы – 3L24L3
L4 L3 L2
Расположив рассчитанный треугольник на
сфере и размножив данные элементы
симметрии,
получим
стереографическую
проекцию еще одной осевой группы :
3L44L3 6L2
Работая с кристаллами, исследователи обратили
внимание
на
то, что
элементы
симметрии
располагаются в них не случайно, а закономерным
образом. Напомним, что полный набор элементов
симметрии
строго
определенным
образом
располагающихся по отношению друг к другу
называется классом симметрии.
Число классов симметрии бесконечно (узнаем позже),
но в кристаллах, где могут существовать только оси
определенных целочисленных порядков, число классов
закономерно сокращается до тридцати двух.
Кстати, мы уже вывели 6 классов
симметрии (из 32).
Давайте и мы наведем порядок
Сперва не будем рассматривать
сложные случаи с наклонными
осями 3 порядка (L3 L3 L2 и L4 L3 L2)
В 1826 г. немецкий
кристаллограф
М. Л. Франкенгейм(1801-1869 гг.)
вывел 32 класса симметрии .
Мориц Людвиг
Франкенгейм
(1801-1869)
Иоганн Фридрих
Христиан Гессель
(1796-1872)
И. Ф. Х. Гессель (1796-1872 гг.)
в 1830 г. вывел 32 класса
симметрии
Однако их работы были
недопоняты и забыты.
И лишь в 1867 г. Аксель Вильгельмович
Гадолин дал строгий математический
вывод 32 групп симметрии.
(Петербургская АН в 1868 присудила ему
за это Ломоносовскую премию).
(1828-1892 гг.)
Его награды: (Российской империи):
Орден Святого Георгия 4-й степени (1871) Орден Святой Анны 3-й степени (1859)
Орден Святого Владимира 4-й степени (1862) Орден Святой Анны 2-й степени(1864)
Орден Святого Владимира 3-й степени (1868) Орден Святого Станислава (Российская
империя) 1-й степени (1870) Орден Святой Анны 1-й степени (1872)
Орден Святого Владимира 2-й степени (1875) Орден Белого орла (Российская империя)
(1879) Орден Святого Александра Невского (1884)
+
Французский Орден Почетного Легиона командорский крест (1867)
Шведский Орден Меча Большой крест (1885)
Координатные системы в кристаллографии
Основные характеристики:
масштабные отрезки
a, b, c
угловые величины (углы между координатными осями)
α, β, γ
Координатные системы в
кристаллографии. Категории. Сингонии
Полная
характеристика
координатной
системы
предполагает не только знание угловых характеристик,
но и знание степени эквивалентности тех особых
направлений, вдоль которых выбраны координатные оси.
Условно эквивалентность координатных направлений
можно показать в виде единичных векторов – масштабов
a, b, c – по соответствующим координатным осям X, Y,
Z. В результате на основе степени эквивалентности
координатных направлений все 32 класса симметрии
можно разделить на три группы – три категории
кристаллов:
1) низшая категория a ≠ b ≠ c
полная неэквивалентность координатных
направлений (которая объясняется отсутствием
в них осей высшего порядка (>2)).
2) средняя категория a = b ≠ с
частичная эквивалентность (присутствие в их
группах симметрии одной оси высшего порядка)
3) высшая категория a = b = c
полная эквивалентность (несколько осей
высшего порядка)
Категория – объединение классов симметрии по
принципу соотношения масштабных отрезков
a≠b≠c
a=b≠c
a = b =c
а - кристалл низшей категории: все координатные направления
различны, нет осей порядка больше чем два;
б - кристалл средней категории – есть одна (вертикальная) ось
порядка больше 2-х;
в - кристалл высшей категории – несколько осей порядка больше 2-х
Семейство классов симметрии с единой координатной
системой называется сингонией
Низшая категория a ≠ b ≠ c
1) α = β = γ = 90°, a ≠ b ≠ c
Ромбическая сингония
2) a ≠ b ≠ c, α = β = 90° и углом моноклинности
γ ≠ 90°
Моноклинная сингония
3) a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ.
Триклинная сингония
Средняя категория a = b ≠ c
1) Тетрагональная
сингония
a = b ≠ c, α = β = γ = 90°
2) Гексагональная
сингония
a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°
Средняя категория a = b ≠ c
2) Гексагональная
сингония
a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°
Подчеркнем, что эта система координат
“обслуживает” кристаллы, имеющие главную ось,
как третьего, так и шестого порядка. Поэтому
внутри гексагональной сингонии выделяют две
подсингонии:
2а) собственно гексагональную подсингонию
(если порядок главной оси равен 6)
2б) тригональную подсингонию
(если порядок главной оси равен 3).
Высшая категория a = b ≠ c
1) Кубическая
сингония:
a = b = c, α = β = γ = 90°
Равенство координатных осей приводит к
тому, что равнонаклонно к координатным
направлениям возникает наклонная ось
третьего порядка, Если размножить ее
элементами симметрии, находящимися в
координатных осях, то получится 4
наклонные
оси
третьего
порядка,
равноудаленных от различных выходов
координатных направлений. На трафарете,
эти позиции осей третьего порядка отмечены
красными треугольниками. Рассчитайте ее
сферические координаты!
Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве
1) За основу вывода можно взять все возможные в кристаллах поворотные
оси симметрии. В результате получим 5 исходных классов Ln
L1, L2, L3, L4, L6
ИТОГО - 5
Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве
2) Добавляем вертикальную зеркальную плоскость симметрии, проходящую
вдоль каждой из осей (Рv)
L1→P, L2→L22P, L3→L33P, L4→L44P, L6→L66P
ИТОГО - +5 = 10
Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве
3) Добавляем горизонтальную зеркальную плоскость симметрии,
перпендикулярную оси (Рh)
L1→P, L2→L2PC, L3→Ł6, L4→L4PC, L6→L6PC
ИТОГО - +4 = 14
Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве
4) Добавляем горизонтальную ось симметрии 2-го порядка,
перпендикулярную оси (L2⊥)
L1→L2, L2→3L2, L3→L33L2, L4→L44L2, L6→L66L2
ИТОГО - +4 = 18
Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве
5) Добавляем операцию инверсии в точке (i), т.е. центр симметрии
L1→С, L2→L2PC, L3→Ł3, L4→L4PC, L6→L6PC
ИТОГО - +2 = 20
Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве
6) Любую комбинацию перечисленных выше элементов симметрии (не забыв
про существование инверсионных осей 4-ого порядка)
Ł4→ Ł42L22P, L2→3L23PC, L3→L33L24P, L33L23PC,
L4→L44L25PC, L6→L66L27PC
ИТОГО : +7 = 27
Вывод кубических групп (классов) симметрии в
символике Браве
Симметрия куба и октаэдра одинакова – число и расположение
вершин и граней куба соответствуют расположению граней и
вершин октаэдра. Причем, симметрия куба и октаэдра
заведомо выше, чем у тетраэдра.
Поэтому в кубических группах будут существовать
октаэдрический и тетраэдрический набор элементов
симметрии
Общей для всех трех многогранников является четверка осей
L3, каждая из которых для куба проходит через две
противоположные вершины (по телесной диагонали куба), для
октаэдра – через середины противоположных граней, для
тетраэдра – перпендикулярно каждой грани.
Вывод кубических групп (классов) симметрии
. Расположение координатных направлений X, Y, Z и четырех осей
3-го порядка в кубе (а), октаэдре (б), тетраэдре (в) и стереограмма
этих направлений (г)
Вывод кубических групп (классов) симметрии
Три класса с
тетраэдрическим
осевым набором
Вывод кубических групп (классов) симметрии
Два класса с октаэдрическим осевым
набором
ИТОГО
27
+
5
=
32 УРА!
Распределение
классов по
сингониям
Триклинная –
2
Моноклинная –
3
Ромбическая –
3
Тетрагональная - 7
Гексагональная - 12
(7+5)
Кубическая
- 5