физика для абитуриента - Самарский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
ФИЗИКА
ДЛЯ АБИТУРИЕНТА
3-е издание, исправленное и дополненное
Допущено Научно-методическим советом по физике
Министерства образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для подготовки к поступлению
в вузы технического и технологического профиля
Под редакцией Н.М. Рогачева
САМАРА
Издательство СГАУ
2010
УДК СГАУ : 53 (075)
ББК 22.3я7
Ф 503
Авторы: Н. М. Р о г а ч е в , С. И. А н д р и я н о в а ,
И.П. З а в е р ш и н с к и й , Г. И. К а р х а н и н а ,
А.И. Ф е д о с о в , Л. И. Ф е д о с о в а .
Рецензенты: канд. физ.-мат. нц/к, доц. СГАСУ А Л . Зубарев;
канд.пец.ндук, звв.каф .физтки СОУН И А .Зав^шинская
Ф 503 Ф изика для абитуриента: учеб. пособие / Н.М. Рогачев, С.И.
Андриянова, И.П. Завершинский [и др.]; под ред. Н.М. Рога­
чева. - 3-е изд., испр. и доп. - Самара: Изд-во Самар, гос. аэро­
косм, ун-та, 2010. - 520 с.
ISBN 978-5-7883-0752-7
У чебное пособие составлено в соответствии с примерной
программой вступительных испытаний по физике в высшие уч еб­
ные заведения, разработанной Минобразования Российской Ф е­
дерации. В нем дается краткое изложение основного содержания
школьного курса физики, приводятся примеры решения типовых
задач, а также тесты для самоконтроля. В приложении даются крат­
кие сведения об измерениях физических величин, о системе еди­
ниц СИ и таблицы физических величин.
Предназначено для слушателей факультета довузовской под­
готовки и абитуриентов вузов, для учащихся общеобразовательных
учреждений. Оно может быть полезно школьным преподавателям
и методистам.
УДК СГАУ : 53 (075)
ББК 22.3я7
Утверждено Редакционно-издательским советом Самарс­
кого государственного аэрокосмического университета в каче­
стве учебного пособия.
ISBN 978-5-7883-0752-7
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2010.
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании данного пособия авторы ставили своей целью помочь
выпускникам общеобразовательных учреждений подготовиться к ито­
говой аттестации и вступительным экзаменам в вузы. Данное пособие
написано в соответствии с «Примерной программой среднего (полного)
общего образования. Базовый уровень. X-XI классы». В нем дается краткое
изложение основного содержания школьного курса физики, приводят­
ся примеры решения типовых задач, а также тесты для самоконтроля,
адресованные сдающим ЕГЭ. В приложении даются краткие сведения
об измерениях физических величин, о системе единиц СИ и таблицы
физических величин.
Решение задач представляет наибольшие трудности для абитуриен­
тов, поэтому в пособии задачам уделяется особое внимание. Пособие
содержит свыше 600 различных физических задач, более 200 из них
даются с подробными решениями. Однако из-за сокращения объема
пособия проверка размерности при решении задач не приводится.
В списке литературы даются учебники [1-7], задачники [8-12] и ме­
тодические работы авторов [13-16], которые использовались при напи­
сании пособия.
Пособие не подменяет школьный учебник. Оно предназначено для
повторения изученного ранее материала при подготовке к ЕГЭ.
Глава 1 (Кинематика, § 1-9), часть 2 (Основы молекулярной физики и
термодинамики), глава 13 (Механические колебания и волны), глава 16
(Волновая оптика), часть 6 (Элементы теории относительности. Кванто­
вая физика. Атом и атомное ядро), тесты для самоконтроля и приложе­
ния написаны Н.М.Рогачевым и И.П. Завершинским.
3
Глава 3 (Основы динамики), глава 4 (Законы сохранения в механи­
ке), глава 10 (Электростатика), глава 12 (Магнитное поле. Электромаг­
нитная индукция) написаны Л.И.Федосовой.
Глава 1 (Кинематика. Примеры решения задач. Задачи для самостоя­
тельного решения), глава 11 (Законы постоянного тока), глава 13 (Меха­
нические колебания и волны. Примеры решения задач. Задачи для само­
стоятельного решения), глава 14 (Электромагнитные колебания и вол­
ны) написаны Г.И.Карханиной.
Глава 2 (Элементы статики твердого тела), глава 5 (Статика жидко­
стей и газов), глава 15 (Геометрическая оптика), глава 16 (Волновая оп­
тика. Примеры решения задач. Задачи для самостоятельного решения)
написаны С.И. Андрияновой.
Глава 5 (Динамика жидкостей и газов) написана А.И.Федосовым.
Общее редактирование пособия выполнено Н.М.Рогачевым.
Авторы выражают свою признательность рецензентам книги канд.
физ.-мат. наук, доценту А.П. Зубареву и канд. пед. наук И.А. Завершинской за ценные советы и замечания.
4
Ч асть
1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Г л а в а 1. К И Н ЕМ А ТИ К А
Кинематика — раздел механики, в котором движение тел описы­
вается без выяснения причин, его вызывающих.
Движением в физике называется любое изменение состояния сис­
темы и ее параметров (координат точки, температуры, напряжен­
ности электрического поля и т.п.). Из всех движений самым простым
является механическое движение.
§ 1. Механическое движение
Механическое движение — это изменение положения тела относи­
тельно других тел или отдельных его частей относительно друг друга с
течением времени.
Поступательным называется движение, при котором отрезок пря­
мой, соединяющий любые две точки тела, остается при его движении
параллельным самому себе. При поступательном движении все точки
тела имеют одинаковые скорости и ускорения и движутся по одинако­
вым траекториям,сдвинутым параллельно относительно друг друга.
Вращательным называется движение, при котором все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, на­
зываемой осью вращения.
Материальной точкой называют тело, размерами которого при ре­
шении данной задачи можно пренебречь. Одно и то же тело в одних
случаях может рассматриваться как материальная точка, а в других как
тело, имеющее размеры и форму.
5
Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Про­
странство однородно, т.е. в нем нет точек, обладающих особыми свой­
ствами; пространство изотропно, т.е. свойства пространства по всем
направлениям одинаковы.
Время также является однородным, т.е. любые явления, происходя­
щие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протека­
ют одинаково.
Так как пространство однородно и изотропно, то нельзя определить
положение какого-либо тела относительно пространства. Однако поло­
жение одного тела можно определить относительно другого тела.
Тело, относительно которого рассматривается изменение положения
движущегося тела, называется телом отсчета. Тело отсчета, связанная
с ним система координат и прибор для измерения времени (часы) обра­
зуют систему отсчета (СО).
Положение материальной точки в пространстве в данный момент
времени t (рис. 1.1) можно определить тремя координатами: х, у, z или
радиусом-вект ором г , проведен­
ным из начала координат в данную
точку.
При движении материальной точ­
ки ее координаты и радиус-вектор из­
меняются с течением времени. Вектор д г , соединяющий начальное по­
ложение 1 движущейся материаль_________ ^
ной точки с последующим ее полоу
жением 2, называется перемещени_[/ У
х
ем точки.
Линия, вдоль которой движется
материальная точка, называется тра­
екторией. По форме траектории дви­
жение делится на прямолинейное и
криволинейное.
Необходимо отличать перемещение от пути. Путь AS — это длина
траектории движения тела. В случае прямолинейного движения в одном
г+ А г
направлении путь AS равен модулю перемещения |Дг| .
6
При движении по замкнутой траектории, когда точка возвращается
в исходное положение, путь равен длине траектории, а перемещение —
нулю. Путь и перемещение в СИ измеряются в метрах (см. приложе­
ние).
§ 2. Скалярные и векторные величины
В физике рассматриваются как скалярные (время, масса, температу­
ра и т.д.), так и векторные величины (скорость, сила, импульс и др.).
Скалярными называются величины, определяемые численным зна­
чением и единицей измерения.
*
Векторными называются величины, характеризуемые численным зна­
чением, единицей измерения и направлени­
ем. Векторные величины изображаются на­
правленными отрезками (векторами) и скла­
дываю тся по правилу параллелограмма
{рис. 1.2).
Численное значение вектора называется
Ъ
его модулем.
Пример обозначения вектора: а , модуля
Рис. 1.2
\а\ или а. Модуль |с| суммы двух векторов
а и Ъ , направленных под произвольным уг­
лом а друг к другу, определяется из теоре­
мы косинусов:
с = л/а 2 + Ь 2 + 2ab cos а •
Векторы складывают также по правилу
треугольника. Для этого нужно начало век­
тора Ъ (рис. 1.3, а) совместить с концом
вектора а , их суммой будет вектор с {рис.
1.3, б), соединяющий начало вектора а с
концом вектора b .
Это правило можно обобщить на сложе­
ние любого числа векторов.
с = а+ Ь
Рис. 1.3
7
Если начало очередного вектора соединить с концом предыдущего,
то получим ломаную линию (рис. 1.4).
Вектор а , проведенный из начала первого вектора в конец последне­
го, является суммой нескольких век­
торов (в данном случае четырех):
а - а, + а2 + а3 + Й4.
Векторы, начало которых можно пе­
реносить в произвольные точки, сохраа
няя их величины и направление, назыр ис j 4
ваются свободными векторами.
Если начало вектора можно пере­
носить только по прямой, по которой
он направлен, то такой вектор называется скользящим. Векторы, которые
нельзя переносить, называются связанными.
Чтобы вычесть из вектора с вектор а (рис. 1.5, а), нужно совмес­
тить начала этих векторов путем параллельного переноса любого из них.
Вектор Ъ (рис. 1.5, б), соединяющий конец вектора вычитаемого а с
концом вектора уменьшаемого с , и есть их разность: b = с - а .
Чтобы умножить или разделить вектор на скаляр, нужно умножить
или разделить на модуль скаляра модуль этого вектора, а направление
а
/
►
с
Рис. 1.5
вектора оставить прежним, если скаляр является положительной вели­
чиной, и сменить на противоположное, если скаляр — величина отрица­
тельная.
В результате умножения или деления векторной величины на скаляр
можно получить другую векторную физическую величину.
Проекцией вектора а на ось х называется скалярная величина ах,
определяемая равенством (рис. 1.6):
ax -
|a |c o s a ,
где a - угол между направлением
вектора а и осью х .
Проекция вектора ах положитель­
на, если угол а острый, и отрица­
тельна, если этот угол тупой.
а> О
Рис. 1.6
§ 3. Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным движением называется такое движе­
ние, при котором материальная точка, двигаясь по прямой, за любые
равные между собой промежутки времени совершает одинаковые пере­
мещения.
Скоростью равномерного прямолинейного движения называется век­
торная физическая величина, равная отношению перемещения к проме­
жутку времени, в течение которого было совершено это перемещение:
\ = Ar / A t.
(1.1)
Поскольку при равномерном прямолинейном движении за любые
равные промежутки времени тело совершает равные перемещения, то
скорость такого движения является величиной постоянной: v = c o n st.
По модулю
|v| = |Д г|/Д / - A S / A t ,
(1.2)
так как AS = |Дг | . Из формулы (1.2) устанавливается единица скорости
в системе СИ — метр на секунду (м/с) и формула пути равномерного
прямолинейного движения:
AS = \ A t .
(1.3)
Используя уравнение (1.3), можно установить кинематический за­
кон равномерного прямолинейного движения, т.е. найти выражение для
координаты материальной точки, движущейся равномерно по оси х
(рис. 1.7):
x = x0 + v xt.
(1.4)
Если материальная точка начинает движение из начала координат, то
х0 = 0
и координата х = \ xt.
9
v* > (L
AS
v, < 0
AS
Puc. 1.7
Так как при равномерном прямолинейном движении м атериаль­
ной точки Скорость является величиной постоянной, не зависящ ей от
времени, следовательно, графиком скорости является прямая, парал­
лельная оси времени (рис. 1.8, а). Площ адь прямоугольника ОАВС,
расположенного под графиком (под прямой АВ), численно равна про­
екции перем ещ ения материальной точки Агх за промежуток времени
At .
Н а рис. 1.8, б представлена зависимость координаты х от времени.
График построен с использованием формулы (1.4).
а
б
A
v- Л ..>
О
——
О
V* < О
Рис. 1.8
Тангенс угла наклона а прямой к оси времени пропорционален
скорости движения.
10
§ 4. Относительность движения.
Сложение перемещений и скоростей
Любое механическое движение тела относительно, так как оно мо­
жет быть задано только относительно других тел. Поэтому его характер
зависит от выбора системы отсчета (СО).
В одно и то же время рассматриваемое тело по отношению к одной
системе отсчета может покоиться, по отношению к другой — двигаться
равномерно и прямолинейно, по отношению к третьей — двигаться с
ускорением.
При решении задач бывает удобно одну из систем отсчета условно
принимать за неподвижную (основная система), а другую, движущую­
ся относительно основной, принимать за подвижную систему отсчета.
Движение тела по отношению к подвижной системе отсчета называется
относительным движением, а скорость его перемещения при этом на­
зывается относительной скоростью. Движение подвижной системы от­
носительно основной называется пере­
носным движением, а ее скорость —
переносной скоростью.
Сложение перемещений и скоростей
рассмотрим на примере катера, пере­
секающего реку и одновременно увле­
каемого течением (рис. 1.9).
О
Имеем две системы отсчета: первая
связана с водой (подвижная СО), а вто­
рая — с б ер его м (о с н о в н а я С О ):
Рис. 1.9
Д/; — перемещение катера относитель­
но воды (в подвижной системе отсчета); ДЯ, — перемещение катера
относительно берега (в основной системе отсчета); А?п — перемеще­
ние подвижной системы отсчета относительно основной. По правилу сло­
жения векторов:
Дг2 = Д/} + Агп ■
(1.5)
Из уравнения (1.5) следует, что перемещение тела в основной систе­
ме отсчета равно векторной сумме перемещения в подвижной системе
отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно ос­
новной. Это закон сложения перемещений.
11
Считая, что скорости v и v 12 постоянны, а время течет одинаково в
обеих системах отсчета, можно записать:
= v, •At, Д^2 = v l2 ■At, v 2At = v,A/ + v 12A f,
откуда
V2 = v , + v 12.
(1.6)
Здесь v, — скорость катера относительно воды (относительная ско­
рость);
V12
— скорость перемещения воды относительно берега (пере­
носная скорость); v 2 — скорость катера относительно берега.
Таким образом, скорость движения тела относительно системы от­
счета, условно принятой за неподвижную, равна векторной сумме ее
переносной и относительной скоростей. Формула (1.6) называется клас­
сическим законом сложения скоростей.
§ 5. Переменное прямолинейное движение.
Мгновенная скорость. Ускорение
Если за равные промежутки времени материальная точка, двигаясь
по прямой, проходит разные пути, то такое движение называется пере­
менным.
Пусть материальная точка, двигаясь неравномерно, за время At пере­
местилась из положения 1 в положение 2 (рис. 1.1). Средней скоростью
движения материальной точки называется векторная физическая вели­
чина, равная отношению перемещения А? ко времени At, за которое оно
произошло:
(v) = A r/A /.
(1.7)
Средней путевой скоростью движения материальной точки называ­
ется скалярная физическая величина, равная отношению пути AS к про­
межутку времени At, за которое этот путь пройден:
(v )s = A S /A t.
(1.8)
Переменное движение характеризуется также мгновенной скоростью
(скоростью в данный момент времени). Мгновенную скорость можно
определить как предел отношения Ar / At при At ->0:
12
v = Н т(Д г/Д ^ ) = г'.
(1.9)
Д /-> 0 4
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки
есть физическая величина, равная производной радиуса-вектора движу­
щейся точки по времени. Скорость v направлена по касательной к тра­
ектории в сторону движения.
Быстрота изменения скорости по времени при переменном движении
характеризуется ускорением
а = lim Av/At = v' = г * .
Д /->0
(1.10)
Ускорение — это векторная физическая величина, равная производ­
ной скорости по времени или второй производной радиуса-вектора дви­
жущейся точки по времени.
В системе СИ ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате
(м /с2).
§ 6. Равнопеременное прямолинейное движение
Равнопеременным прямолинейным движением называется движе­
ние, при котором скорость материальной точки, движущейся по прямой
линии, за любые равные между собой промежутки времени изменяется
на одну и ту же величину. При равнопеременном прямолинейном дви­
жении ускорение
а = (v - v 0) / At
(1.11)
является постоянной величиной.
Здесь v0, v — мгновенные скорости в моменты времени /0 и t соот­
ветственно; At = t - t 0 — промежуток времени, за который произошло
изменение скорости от v0 до v .
Если при t0 = 0 скорость v 0=0, то формула (1.11) примет вид
a = v/t.
(1-12)
Если вместо векторов v , v 0 и а возьмем их проекции на какую-либо
ось, например на ось х, то формулы (1.11) и (1.12) запишутся в виде
« * = ( v x - v 0x) /A f ,
ax = \ J t .
(1.13)
13
Если проекции векторов v и ax по знаку совпадают, то модуль ско­
рости движения с течением времени возрастает— тело разгоняется. Такое
движение называется ускоренным.
Когда знаки vx и ах противоположны, то модуль скорости уменьшает­
ся —- тело тормозится. Такое движение называется замедленным. За­
медленное движение продолжается ограниченное время — пока скорость
не станет равна нулю. После этого движение станет ускоренным.
Из уравнений (1.11) и (1.13) можно получить формулы мгновенной
скорости равнопеременного прямолинейного движения:
\ = v 0 + a t , v x = v 0x+ a xt .
(1.14)
Если в момент времени /0 = 0 скорость v0=0, то формулы (1.14)
примут вид
(1.15)
v = at, v v = a t .
Из уравнения (1.14) следует, что гра­
фиком зависимости проекции скорости
от врем ени явл яется прямая линия
(рис. 1.10).
Если модуль скорости движения тела
во зр аста ет, то граф и ком яв л яется
прямая 1, если уменьшается, — то пря­
мая 2.
Если v0x = 0, то прямые выходят из
начала координат (точки 0).
Используя график скорости, можно
определить среднюю скорость равнопе­
Рис. 1.10
ременного прямолинейного движения.
Как и при равномерном движении, площадь фигуры под графиком
скорости равнопеременного движения, т.е. в данном случае площадь
трапеции ОАВС (рис. 1.10), равна по величине проекции перемещения
Дт^ материальной точки за промежуток времени At.
Как видно из рис. 1.10, площадь трапеции ОАВС равна:
S qabc = о с ( ° А + С в ) 1 2Отсюда
Ар
14
_ Д/( Урх +
VJ
а средняя скорость (Vl) = Агх/ At = V|lx
Из формулы для Агх и формулы (1.13) получим
Агх = \ 0х ■At + ах ■At2 / 2 .
(1-16)
Если начальная скорость v0.x °> то формула (1.16) примет вид
Агх = axAt2 / 2 или Arx = axt2 / 2 .
(1-17)
Из уравнений (1.13), (1.15) и (1.16), исключив времяt, можно по­
лучить другие формулы для определения скорости равноускоренного
движения:
v ' ~ v L = 2 а хАгх;при v 0x = 0 \ х = р а хАгх .
(1.18)
Зная формулу перемещения материальной точки, движущейся вдоль
оси х , можно записать формулу для определения ее координаты х. Для
этого к начальной координате точки х0 необходимо прибавить проекцию
вектора перемещения Агх.
х = х0 + А rx = x0 + v0xt + ax t2 , 2 .
(1.19)
Графиками зависимости пере­
мещения Агх и координаты х от
времени t являются параболы,
изображенные на рис. 1.11. Гра­
фики соответствуют случаю, ког­
х.О
да
Vq*> 0 и ах > 0Рис. 1.11
§ 7. Свободное падение тел
Падение тела в пустоте под действием силы тяжести называется сво­
бодным падением. Галилей установил, что свободное падение является
равноускоренным движением. Ускорение свободного падения для тел
различной массы одинаково в данном месте Земли.
Кинематические уравнения свободного падения получаются при за­
мене в формулах (1.14) -г (1.19) ах на g, Агх на h, где h — расстояние по
вертикали, отсчитываемое от поверхности Земли, g — ускорение сво­
бодного падения.
Ускорение свободного падения, определяемое относительно Земли,
изменяется с широтой местности. На экваторе g = 9,780 м/с2, на полю­
сах g = 9,832 м/с2, на широте 45° в среднем g = 9,810 м/с2. Это объяс­
15
няется как суточным вращением Земли, так и ее сплюснутостью (эква­
ториальный радиус Земли R3 = 6378 км, полярный — Rn = 6357 км).
Если тело находится не на поверхности Земли, а на какой-либо высо­
те h, то ускорение свободного падения с увеличением высоты уменьша­
ется:
а , = * [ * > / ( * . + » )1 ’ '
Здесь 7?з — радиус Земли.
О -20)
§ 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим движение тела, брошенного под углом а к горизонту с
начальной скоростью v0. При отсутствии сопротивления воздуха движе­
ние будет происходить по параболе, изображенной на рис. 1.12. Движение
данного тела можно представить как суперпозицию горизонтального рав­
номерного движения по оси х и свободного падения вдоль оси у.
max
Рис. 1.12
По оси х движение равномерное с постоянной скоростью
v* = V0 T v0c o s a Воспользовавшись формулой (1.4) для равномерного прямолиней­
ного движения, запишем уравнение движения тела вдоль оси х:
х = v0J = v0tcosa,
(1-21)
где t — время движения.
По оси у движение равнопеременное с ускорением ay = -g и началь­
ной скоростью v0>, = v0sina.
Для равнопеременного движения согласно уравнениям (1.14) и (1.19)
запишем:
v^ = vq y -g ' = vos i n a - g ' ’
О -22)
у = V0yt - g t 2 / 2 = \ Qt sin a - g t 2 12 .
(1-23)
Исключив время t из уравнений движения (1.21) и(1.23), найдем
уравнение траектории
16
у = х ■tg a - gx2 / ( 2 v acos2a ) .
(1-24)
Это уравнение параболы.
В момент падения тела на Землю координата у = 0. Приравняв у нулю,
из уравнения (1.23) найдем время полета:
t (v0sin a - gt / 2) = 0,
fj = 0, t2 = (2v 0 / g) sina.
Значение времени /j = 0 соответствует моменту бросания тела.
Таким образом, время полета тела
/n = 2v0 sina/g.
(1.25)
При подъеме тела значение скорости уменьшается и п риутах пре­
вращается в ноль. Из уравнения (1.22), приняв v = 0, находится время
подъема тела на максимальную высоту:
0 = v0 sin a - g t n0Ay
откуда
W = vo sin a 'S (1-26)
Сопоставляя выражения (1.26) и (1.25), видим, что время подъема
тела на высоту у тах равно времени спуска его с этой высоты.
Подставив время подъема ?под в формулу (1.23), найдем максималь­
ную высоту подъема тела:
> W = vo sin2a 1 (2g) ■
Дальность полета л:тах определяется, если в уравнение (1.21) вместо
t подставить время полета:
Хшах= V n c o s a = VgSin2a / g .
Дальность полета максимальна, когда значение sin2a максимально:
sin 2 a0 = 1, 2 a 0 = 90°, a 0 = 45°.
§ 9. Равномерное движение по окружности
Движение материальной точки по окружности, при котором эта точка
за любые равные между собой промежутки времени проходит равные
дуги, называется равномерным движением по окружности. Равномерно
двигаться по окружности могут, например, точки колеса, наждачного
камня и т.п.
При перемещении материальной точки по окружности из положения
А в положение В (рис. 1.13) радиус R, соединяющий движущуюся точ­
17
ку с центром окружности, поворачи­
вается на угол Дер. Угол поворота Дер
измеряется в радианах (рад).
Угловой скоростью со равномер­
ного движения по окружности назы­
вается физическая величина, равная
отношению угла поворота Дер радиу­
са-вектора R к промежутку времени
перемещения At:
со = Дср/Аt .
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).
Промежуток времени Г, в течение которого точка, двигаясь по ок­
ружности, совершает один полный оборот, называется периодом обра­
щения. Период измеряется в секундах. Величина и, обратная периоду,
называется частотой обращения и = 1/Г. Частота обращения показы­
вает, сколько оборотов совершает точка в единицу времени, и измеряет­
ся в секундах в минус первой степени (1/с) или (с"1). Скорость, с кото­
рой точка движется по окружности, называется линейной скоростью.
За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности 2nR, а
время одного оборота равно периоду обращения Г. Отсюда линейная
скорость
v = 2nR / Т = 2nRv.
(1.27)
Так как за один оборот угол поворота Дер = 2п рад, то угловая ско­
рость
со = 2 л /Г = 2 п и .
(1.28)
Сравнивая формулы (1.27) и (1.28), получим связь между линейной
и угловой скоростями: v = соR.
Линейная скорость — величина векторная, вектор v направлен по
касательной к окружности.
При равномерном движении по окружности модуль вектора линей­
ной скорости остается постоянным, а меняется только направление век­
тора скорости v . Найдем ускорение точки, движущейся равномерно по
окружности.
Пусть за промежуток времени At точка проходит путь AS = vAt, рав­
ный длине дуги окружности и А В . Найдем изменение векторов скорос­
тей v ^ h v , :
18
Av = v B - \ A.
По определению ускорение
а = lim(Av/At).
(1-29)
А1-*0У
'
Из подобия равнобедренных треугольников АОВ и BCD следует, что
[АО|/|АВ| = |BC|/|CD| .
(1-30)
Если промежуток времени At мал, то мал и угол поворота Лф. При
малых значениях Лф длина хорды АВ примерно равна длине дуги АВ, т.е.
|АВ| * vAt.
Так как |CD| = Av, то из соотношения (1.30) получим
R / ( уAt) » v / Av,
(1.31)
Av = v 2At / R .
(1-32)
Используя выражения (1.29) и (1.32), найдем модуль ускорения
an = \ 2 I R .
(1.33)
Из рис. 1.13 видно, что чем меньше угол поворота Лф, тем ближе
направление вектора Av к направлению на центр окружности.
В пределе при At -» 0 получим, что вектор ускорения аи направлен к
ц ентру о кр уж ности. П оэтом у это ускорен ие н азы ваю т цент ро­
стремительным.
Контрольные вопросы
1. Что называется механическим движением?
2. Как понимать относительность механического движения? Относи­
тельность покоя?
3. Какое движение называется поступательным? Вращательным?
4. Назовите основные характеристики движения и дайте их определения.
5. Какое движение является равномерным и прямолинейным?
6. Что называется кинематическим уравнением движения?
7. Какой вид имеет кинематическое уравнение для равномерного и
прямолинейного движения?
8. Нарисуйте графики зависимости от времени координаты, пути и
скорости при равномерном прямолинейном движении.
19
9. Как по графику скорости равномерного прямолинейного движе­
ния определить перемещение, совершенное телом?
10. От чего зависит угол наклона графика х = x(t) к оси времени?
11. Как по графику х = x(t) определить скорость движения тела?
12. Какое движение называется переменным? Равнопеременным?
13. Что называется средней скоростью? Средней путевой скоростью?
14. Дайте определение мгновенной скорости.
15. Что называется ускорением?
16. Как выглядит закон изменения скорости при равнопеременном
движении?
17. Запишите кинематическое уравнение для равнопеременного дви­
жения.
18. Какими уравнениями описывается свободное падение тел? Дви­
жение тела, брошенного вертикально вверх?
19. Какое движение по окружности называется равномерным?
20. Что называется угловой скоростью вращения? В каких единицах
она измеряется?
21. Что называется линейной скоростью? Как связаны линейная и
угловая скорости?
22. Почему равномерное движение по окружности является движе­
нием с ускорением?
23. Как определить центростремительное ускорение? Куда оно направ­
лено?
Примеры решения задач
1.1.
На рис. 1.14 изображен вектор Аг перемещения тела, движуще­
гося равномерно в течение 4 с. Запишите кинематическое уравнение дви­
жения тела. Постройте графики зависимости от времени: 1) координаты
х; 2) перемещения Аг ; 3) пути S; 4) скорости v этого тела.
Р е ш е н и е. Из рис. 1.14 оп­
ределяем, что в начальный момент
Лг
движения при t0 = 0 х0 = 6м. Че|
ч
1
1
1 1 ------ 1—► рез 4 с движ ения при t = 4 с
~4
~2
0
2
4
6
х' м
х = -2 м. Проекция Агх = Ах =
= х - хп= (-2 - 6) м = -8 м, а
Рис 114
At = t - tQ= 4 с. По определению
v = А г / At или \ х= Ах/At,следовательно v^. = -2 м/с. В общем виде
Ax = vx - At или Ах = -2t.
20
X,
м
I, с
t, с
в
Запишем кинематическое урав­
нение движения, т.е. уравнение
x=x(t). Так как тело движется рав­
номерно, то уравнение движения
будет им еть вид х = х 0 + \ xt,
т.е. х = 6 - 2t.
П ри п о стр о ен и и г р а ф и ­
ков ск о р о сти и п ер ем ещ е н и я
(рис. 1.15, а, в) на оси координат
откладываются их проекции на ось
х, т.е. \ х и Агх.
График зависимости координа­
Рис. 1.15
ты х от времени изображен на рис.
1.15,6, из которого видно, что в начальный момент времени при tQ= О
координата точки х равна 6 м, а через 4 с стала равной — 2 м.
Пройденный телом путь равен модулю перемещения S = |Дг| = \ArxJ,
следовательно S = 21. График этой зависимости показан на рис. 1.15, в.
1.2.
Два автомобиля одновременно выезжают из городов А и В, рас­
стояние между которыми 315 км, и движутся равномерно и прямоли­
нейно по трассе со скоростями 54 и 72 км/ч навстречу друг другу. Через
какое время и на каком расстоянии от города А они встретятся? Решите
задачу графически.
21
Дано:
Р е ш е н и е . Задачу решим в системе отсчета,
связанной с Землей.
Направим ось абсцисс по линии, соединяю­
щей города А и В, в сторону города В, а начало
координат поместим в т. А (рис. 1.16).
? X— ?
Условимся отсчитывать время от общего для
обоих автомобилей момента начаv2
ла движения. Тогда начальные координаты для автомобилей, кото------------- 1D »• рые мы примем за материальные
А
DX
точки, будут х01 = 0, х02 = 315 км.
Кинематические уравнения движе­
Рис. 1.16
ния автомобилей будут иметь вид
Xj = X q j+ V j/
или Xj = 54/,
Х2 = Х 0 2 + \ 2t или х 2 = 3 1 5 - 7 2 t,
где Xj и х2 — координаты автомобилей в произвольный момент времени.
Отложим на оси абсцисс в выбранном масштабе время движения
автомобилей t, по оси ординат — их
х, км
координаты Xj и х 2. Графики движения
автомобилей изобразятся прямыми.
Время и место встречи автомобилей оп­
200
ределим по положению точки С (рис.
1.17). Координаты точки С: t = 2,5 ч,
100
х = 135 км.
jCq = 3 1 5
км
Vj= 54 км/ч
v2 = 72 км/ч
0
2
3
Рис. 1.17
и Xj = х 2. Тогда п олуч и м
Xj = 54/ = 135 км.
Значит, автомобили встретятся через
2,5 ч на расстоянии 135 км от города
А. Решение можно проверить аналити­
чески, так как в момент встречи коор­
динаты автомобилей будут одинаковы
5 4 / = 315 - 72/, откуда / = 2,5 ч,
1.3.
П р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е то ч ки зад ан о у р ав н ен и е м
х = -2 + 6/ - /2. Напишите уравнение зависимости скорости от времени и
постройте график этой зависимости. Найдите координаты и скорости
точки через 3 и 8 с после начала движения.
22
Р е ш е н и е . Скорость в произвольный мо­
мент времени найдем, взяв производную коорди­
наты по времени:
v = d x /d t = 6 - 2 t .
(1)
График этой зависимости представлен на рис.
1.18. Из графика видно, что при t = О начальная
v = f(t)
скорость точки Vq = 6 м/с. Точка двигалась в по­
ложительном направлении оси х с уменьшающей­
ся скоростью. При t = 3 с скорость точки v = 0.
Затем точка двигалась в противоположном направлении с тем же уско­
рением (т.к. график скорости не име­
V, м/с
ет изломов).
Последовательно подставив в за­
данное уравнение значения t x и t2, оп­
ределим координаты точки г , = 7 м и
х2 = -18 м.
Если значения /] и t2 подставить в
уравнение (1), то найдем величины мгно­
Рис. 1.18
венной скорости V| = 0 и v2 = -10 м/с.
Дано:
/,= 3 с
t2= 8 с
х = -2 + 6/ - /2
1.4.
Найдите среднюю скорость тела в двух случаях: а) первую чет­
верть времени оно двигалось со скоростью 7 м/с, оставшееся время —
со скоростью 4 м/с; б) первую четверть пути оно двигалось со скорос­
тью 7 м/с, оставшуюся часть пути — со скоростью 4 м/с.
Р е ш е н и е . Для нахождения средней путевой
скорости следует весь пройденный путь разделить
h = (1/4)/
на все время движения:
Vj = 7 м/с
<v>s = S /t.
(1)
t2 = (3/4)/
В первой задаче задано все время движения.
v2 = 4 м/с
Необходимо найти весь пройденный путь, состоя­
щий из двух участков:
<V>C
S —Sj + S2,
где Sx = Vj/j = v ,( l/4 > и S2 = v2/2 = v2(3/4)/. Следовательно, S = (l/4 )v ,/ +
+ (3/4) v2? = (l/4)(V j+ 3v2)/. Подставляя это выражение в (1), получим
а) Д а н о:
V, + 3 v 2
а
-
•
(v )s =4,8 м/с.
"7s
23
б)
5j
Vj
52
v2
Д
=
=
=
=
Р е ш е н и е . В задаче (б) задан весь прой­
денный путь. Необходимо найти время движения,
которое состоит из времени t x прохождения од­
ной четверти пути и времени / 2 прохождения ос­
тавшейся части пути:
а н о:
(1/4)5
7 м/с
(3/4)5
4м/с
<V>c
t —/j + / 2 5 А
1 -5
3 -5
•4v, ’
4v, ’
r _ l - 5 [ 3 - 5 _ 5(3 v,4 - v 2)
значит,
4V[
4V,
4v, • v ,
'
Подставив это выражение в (1), получим
ЗУ[+у2
8
= 4 3 м/с.
Обратите внимание на различие скоростей в обоих случаях.
1.5. Два корабля движутся со скоростями v, и у 2 п о д углом а друг к
другу. Найдите относительную скорость кораблей.
Р е ш е н и е . Рассмотрим движение пер­
вого корабля в двух системах отсчета, одну
из которых, связанную с берегом, будем счи­
тать неподвижной, а другую, связанную со
вторым кораблем — движущейся относитель­
но берега равномерно и прямолинейно. Тог­
да, в соответствии с классическим законом
Дано:
v,
а
V12 — ?
сложения скоростей, Vj = v 12 + v 2, где v , h v 2— скорости первого и
второго кораблей соответственно в системе отсчета, связанной с бере­
гом; v 12— скорость первого корабля в системе отсчета, связанной со
вторым кораблем.
Отсюда v]2—Vj - v 2.
Из векторного треугольника (рис. 1.19)
Рис. 1.19
24
V!
по теореме косинусов находим модуль v 12:
,2
,
,,2
V12 = AP
VV1 ^ v2 “ ^ vl v2'
Направление v 12 определим углом p и по теореме синусов запишем:
sinp/vj = sin a / v 12,
откуда находим
. _ V, .
v .s in a
sin p = —Ls i n a = ----Vi2
^ v f + v 2 - 2 v , v 2c o s a ‘
1.6.
Дождевые капли, падающие отвесно, попадают на окно вагона,
движущегося по горизонтальной дороге со скоростью 20 м/с, и остав­
ляют на нем след под углом 70° к вертикали. Какова скорость падения
капель: а) относительно вагона, б) относительно Земли?
Дано:
vB= 20 м/с
a = 70°
_____________
v — ?
vR3 — ?
Р е ш е н и е . Рассмотрим движение капли в
двух системах отсчета, одну из которых будем считать неподвижной, а другую — движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно.
а) Пусть система отсчета, связанная с Землей,
будет неподвижной, а система отсчета, связанная
с вагоном— движущейся относительно первой со
скоростью v . В соответствии с законом сложения скоростей запишем:
^кз ~ ^кв
»
где v K3 — скорость капли относительно Земли, v KB — скорость капли
относительно вагона.
В системе координат хоу (рис. 1.20), связанной с Землей, изобразим
векторы скоростей и найдем их проекции на оси координат:
для х : 0 = vB — vKB • sina,
для у : v K3 = vKB • cosa,
отсюда: vKB= vB/ sina, vKB = 21,2 м/с,
V K3 =
v b ‘ c o s a
/
s in a
=
Vb 1
V K3 =
7 >3
m /c -
б) Пусть неподвижной будет система отсчета, связанная с вагоном,
тогда Земля будет двигаться относительно вагона со скоростью ( - v B),
т.е. v 3 = - v B, а v K3— скорость капли относительно Земли (подвижная
система отсчета) будет направлена вертикально вниз (рис. 1.21).
25
KB
КЗ
V,
Рис. 1.20
KB
Рис. 1.21
Вектор скорости капли относительно вагона v KB будет составлять с
вертикалью угол а и равен геометрической сумме скоростей v K3 и v 3,
т.е. v KB = v K3 + v 3.
Численные значения скоростей vKBи vK3находятся из решения прямо­
угольного треугольника.
Мы рассмотрели решение одной и той же задачи в различных систе­
мах отсчета. Любопытно сравнить треугольники скоростей (рис. 1.20 и
рис. 1.21), полученные для этих двух способов решения.
1.7.
Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 36 км/ч и
54 км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит
мимо него в течение 6 с. Какова длина второго поезда?
Дано:
Vj = 36 км/ч = 10 м/с
v2 = 54 км/ч = 15 м/с
t=6 с
Р е ш е н и е . Искомая дли н а второго
п оезда п ред ставляет собой расстоян и е I,
пройденное пассажиром в его относитель­
ном движении в течение времени t, тогда
1 =
v o t h '-
Р асс м о тр и м
п ассаж и р а
движение
в двух системах отсчета (рис. 1.22, а): в не­
подвижной системе отсчета, связанной с Землей, относительно которой
1— 2
пассажир вместе с первым поездом движется со скоростью v ,, и в под­
вижной системе отсчета, связанной со вторым поездом, относительно
которого пассажир движется со скоростью v oTH. В соответствии с зако­
ном сложения скоростей
26
V i = v 0TH+ v 2,
где v 2 — скорость подвижной
системы отсчета относительно
неподвижной, т.е. относительно
Земли, vOTH= v, - v 2. По прави­
лу вычитания векторов (рис.
1.22, б) запишем:
v o t„
=
V1 -
(~ v l )
=
v l
+
V2 ’
тогда I = (vj + v2)f, / = 150 м.
Puc. 1.22
1.8.
По движущемуся эскалатору бегут вниз два человека: один со
скоростью 4 м/с, другой - 6 м/с. Первый насчитал при этом 38 ступенек,
второй - 40. Найдите скорость эскалатора.
Дано:
Uj = 4 м/с
и2 = 6 м/с
а = 38
6 = 40
Р е ш е н и е . Обозначим за / длину спуска и
найдём время tj и t2 пребывания на эскалаторе пер­
вого и второго человека:
/
(v + w j
/
1г
( 1)
(v + m2)
v- ?
где v - скорость движения эскалатора. В уравнении
(1) v и и складываются, так как направления движе­
ния совпадают. Найдем далее расстояния, пробегаемые по эскалатору
каждым из участников движения:
h = UA I
/2 = u2t2 \
С учетом выражения (1):
м,/
(v + и,)’
и21
(2)
(v + M2)
Если число ступенек, приходящихся на единицу длины эскалатора
27
N/l, умножить на расстояние, которое пробегает человек, то получим
число ступенек, которое он насчитал:
а
N
I
N
•А»
*'
■и
/
или, учитывая выражение (2), запишем:
а = N Uj /(V + Uj),
b = N и2 /( у + и2),
где N - число ступенек эскалатора на длине /.
Решая систему уравнений (3) и (4), получим
v = U] u2(b - а)/(аи2 - Ъ Uj), v = 0,7 м/с.
(3)
(4)
1.9.
Тело, двигаясь равноускоренно, проходит за вторую секунду
от начала движения 5 м. О пределите перемещ ение тела за пятую се­
кунду.
Р е ш е н и е . Пусть тело движется в направле­
нии оси х (рис. 1.23) и в начальный момент време­
ни (при t = 0) имеет координату х0 = 0. При данных
условиях уравнение движения имеет вид
х = at2 / 2.
(1)
Найдем координаты тела х, и х2 при
= 1с и
t2 = 2 с :
X] = at 2 / 2 и х2 = at2 /2.
Тогда перемещение тела за вторую секунду
Дr2 - х2 - Xj = a(t22 - t 2) / 2.
(2)
Дано:
v0 = °
Аг 2 ~ 5 м
а = const
Аналогично определим перемещение тела за пятую секунду:
где х4 и х5
a ( t 2 - t 2) / 2,
Дг5 = х5
( 3)
координаты тела при г4 = 4 с и д = 5 с соответственно.
Из уравнений (2) и (3) на­
ходим:
2
2
а
--------- ►
X,
0
Дг5 = Nrj
X
М----------- ------- ^
Рис. 1.23
28
^
2
t\ - t l
Л
Nrс =15 м.
1.10.
По заданному графику зависимости скорости тела от времени
(рис. 1.24, а) начертите графики зависимости ускорения, перемещения и
пути от времени.
Р е ш е н и е . График
= /( ? ) разобьем на участки: 0—1, 1—2, 2—3
и 3—4. На участке 0—1, соответствующем промежутку времени от 0 до
?!, тело двигалось равноускоренно, так как его скорость увеличивалась
по линейному закону. Ускорение а 01 постоянно и больше нуля.
На участке 7—2 скорость не менялась, тело двигалось равномерно,
<3]_2 = 0- Скорость тела на участках 2—3 и 3—4 изменялась по линейно­
му закону. Тело двигалось равнозамедленно с постоянным ускорением
а2-4 < °-
N
Проведенный анализ позволяет построить качественный график за­
висимости ускорения от времени (рис. 1.24, б). Отметим, что модули
ускорений, определяемые тангенсами углов наклона графика скорости к
оси абсцисс, на участках 0—1 и 2—3 разные. Как видно на рис. 1.24, а,
jtg a,| < |tg a 2|, поэтому |a0_,| < |a2_4| .
Аг,
М
МО
Рис. 1.24
29
На участке 0—1 перемещение Аг0_, = <з0_,/д_, / 2 . Данная квадратич­
ная зависимость на графике изобразится параболой, обращенной вет­
вью вверх (рис. 1.24,в), так как aQ_j > 0. В точке 1 парабола плавно
переходит в прямую линию, изображающую зависимость Ar(t) на уча­
стке 1—2, что соответствует равномерному движению тела.
В точке 2 прямая плавно переходит в параболу 2—3, обращенную
ветвями вниз, т.к. а2_3 < 0 . Плавные переходы кривой обусловлены не­
прерывностью графика скорости. Скорости в момент времени г, (точка
1) и t2 (точка 2), а также на участке 1—2 одинаковы. Значит, углы накло­
на касательной к параболам 0—1 и 2—3 в данных точках, как и угол
наклона прямой 1—2 к оси абсцисс, должны быть одними и теми же,
равными а .
В дальнейшем (участок 3—4 ) тело двигалось в противоположном
направлении, поэтому перемещение будет уменьшаться, а пройденный
путь — увеличиваться. На графике (в точке 3) кривая перемещения и
пути разделяется на две кривые, которые являются «зеркальным отраже­
нием» одна другой относительно касательной MN.
Скорости тела в моменты времени 0 и /3 равнялись нулю. Тангенсы
углов наклона касательных к кривой Ar(t) в этих точках также должны
быть равны нулю, т.е. касательные к вершинам парабол должны быть
горизонтальными.
1.11.
С аэростата, находящегося на высоте 300 м, упал груз. Через
сколько времени груз достигнет Земли, если: 1) аэростат неподвижен, 2)
аэростат опускается со скоростью 5 м/с, 3) аэростат поднимается со
скоростью 5 м/с.
Дано:
h = 300 м
v0 = 5 м/с
Р е ш е н и е . Свяжем систему отсчета с Землей, ось ординат направим вверх, начало отсчета
совместим с точкой, куда упадет груз (рис. 1.25).
Тогда высота h, на которой находился аэростат,
будет для груза начальной координатой у 0 = h.
/— ?
Уравнение движения груза будет иметь вид
У = h + \ 0yt — gt2/2.
В момент падения на Землю у = 0:
gt2 — 2 \ Q t — 2h = 0
и
30
Так как время не может быть отрицатель­
ным, то
? =
(v 0 у
+
y f <
^ +
2
g
h
) l g
.
По условию задачи:
1) v0y= 0, тогда
tx = -J 2 h /g ;
Г, = 7,8 с;
2) voy = - v0, тогда
= 7,3 с;
3)
Рис. /.25
v0y= v 0, тогда
'з = (v o + д/у о + 2 ^
)/g ;
/3 - 8,3 с.
1.12.
Свободно падающее тело в последнюю секунду падения про­
шло 75 м. Найдите время и высоту падения.
Дано:
h = 75 м
At = 1 с
_____________
t — ? hQ— ?
Р е ш е н и е . Свяжем систему отсчета с Землей, ось ординат направим вниз. Начало отсчета
поместим в точку, откуда тело падает (рис. 1.26).
При свободном падении в любой момент времени координата тела будет равна пройденному пути:
y = h0 = gt2 / 2,
где t — время падения. В момент (t — А/)
тело окажется в т. А с координатой
О
i
g(t - At)2
У\ =
j
8
’У - У \ =,г
A.
или
g t 2 g(t - At У
---------- 1
— = п, отсюда
2
I1
1
i1
2
2 h + g A t2
h
t = 8c.
2g A t
I
1'
Далее определим:
h0 = g t 2 / 2 ; h0= 313,6m.
Puc. 1.26
31
1.13.
Тело падает вертикально вниз с высоты 120 м без начальной
скорости. Определите путь, пройденный телом за последнюю секунду
падения, и среднюю скорость на второй половине пути.
Дано:
h0 = 120 м
v0 = 0
At = 1 с
Р е ш е н и е . В системе отсчета, связанной с
Землей, ось ординат направим вертикально вниз, а
начало координат совместим с начальным положением тела (рис. 1.26). Запишем уравнение движе­
ния: у = gt2 / 2.
h — ? <v> — ?
Приняв у = /z0, найдем время падения тела:
t = p h /g -
/
Путь, пройденный телом за время (t — At), равен /г, = —
«
\2
— — Тогда
за последнюю секунду тело пройдет путь
h = h0 - h i = h0 - g { ^ 2 h j g - A t ) 2/ 2 ;
h = 43,6 м .
По определению средней скорости запишем:
где
(v ) = hQ/ 212,
(2)
t2 = t — tv
w
u
Время Zj, затраченное на прохождение первой половины пути, найдем
из выражения: А,, / 2 = gz,2/2 , откуда
= yfK JgИз уравнений (1) — (3) получим
(3)
<V>=^ T ) ; (у)=41’4м/с1.14.
Стрела пущена из лука вертикально вверх с начальной скорос­
тью 40 м/с. Определите: 1) через сколько времени и с какой скоростью
стрела упадет на Землю? Какой путь будет пройден ею за это время?
2) Через какое время она окажется на высоте 35 м?
Дано:
v 0 = 40 м/с
h. T_j 5 м________
^пол
2
32
w
^
^ Vy
9
Р е ш е н и е . В системе отсчета, связанной с
Землей, ось ординат направим вертикально вверх,
начало отсчета совместим с точкой бросания
? (рис. 1.27). Уравнения для движения стрелы в
проекциях на ось OY будут иметь вид
У = v 0t - g t 2/2,
(1)
v , = v0 - g f .
(2)
1)
В момент падения на Землю
t = /пол, у = 0. Из уравнения (1) найдем время полета:
'п о л = 2 у 0 /g;
v
'пол= 8 с -
Подставив /пол в уравнение (2),
определим скорость падения стрелы:
= vo - Si2vо ! g ) = ~ voСкорость падения равна по моду­
лю начальной скорости и противопо^ 7 7 /^ ^ /7 7 7 7 /7 7 7 7 7 7
ложна ей по направлению. В верхней
точке траектории \ у = 0, из уравне7
ния (2 ) н ай дем врем я п о д ъ ем а:
/под = vQ/ g. Путь, пройденный стрелой за время движения, S = 2утах.
Значение у тах определим из уравнения (1), подставив в него ?под:
Д'тах = vo/(2g)> T°ra a
s = y 02 / g ;
S = 160м-
2)
Время подъема на высоту h определим, подставив в уравнение (1)
значение у = h, тогда 35 = 40? — 512. Решая это уравнение, получим:
?j = 1 с, ?2 = 7 с. Два значения для t указывают на то, что стрела на этой
высоте побывает дважды: через 1 с (на подъеме) и через 7 с от начала
движения (на спуске).
1.15.
Мяч брошен вертикально вверх. На высоте 6 м он побывал дваж­
ды с интервалом 3 с. Определите начальную скорость мяча.
Дано:
h- 6 м
Д? = 3 с
Р е ш е н и е . В системе отсчета, связанной с
Землей, ось ординат направим вверх, а начало отсчета совместим с поверхностью Земли в точке бро­
сания {рис. 1.27). Запишем уравнения движения мяча
для моментов t и t + At:
( 1)
y 2 - h = \ 0(t + At) -
^ A-
(2)
Решая уравнения (1) и (2), получим
2 v 0 -g A ?
2g
33
Подставив значение t в уравнение (2), найдем:
v 0 = (1/2Х /8gA + g 2A t 2 -,
v 0 = 18 м /с .
1.16.
С высоты 10 м на Землю начинает свободно падать тело.
Одновременно с высоты 5 м вертикально вверх брошено второе тело.
На высоте 1 м над Землей произош ла их встреча. Найдите, с какой
начальной скоростью было брошено второе тело и через какой про­
межуток времени после начала их движения тела встретятся?
Дано:
/гj = 10
10 м
0
У01
/?2 = 5 м
h= 1м
02
? t
Р е ш е н и е . Рассмотрим движение тел
в системе отсчета, связанной с Землей. На­
правим ось ординат вертикально вверх, а
начало отсчета поместим в точку, куда упа­
дут оба тела (рис. 1.28). По условию в на­
чале движения при 1 = 0 у 01 = /г,, vQI = 0,
начальная скорость
У02 = /г2’ ПУСТЬ v02
второго тела.
Запишем уравнения движения тел:
( 1)
У! =/г1
у 2 = h2 + v 02t - g t 2/ 2 .
(2)
В момент встречи yj = у 2 = h, поэтому
уравнения (1) и (2) примут вид
ё
h = \ - g t 2l 2 ,
(3)
h = h2 + v 02t - g t 2 / 2 .
(4)
Решая уравнения (3) и (4), получим
, = J
O
h\-h2
Рис. 1.28
34
;
/ = ] ,35
С,
v 02 = 3,69 м /с .
1.17.
Определите орбитальную скорость спутника, если высота его
орбиты над Землей 1200 км, а период обращения равен 105 мин.
Дано:
h = 1,2 ■ 106 м
R3 = 6,4 • 106 м
Т = 6300 с
Р е ш е н и е . В системе отсчета, связанной с
центром Земли, радиус круговой орбиты спутника R = R3 + h. Его орбитальная скорость есть
линейная скорость движения по круговой орбите
радиуса R. По определению линейная скорость
v = 2лК
Т
_ 2 тг(/?з + h)
~
Т
’
v = 7,6 103 м /с .
1.18.
Определите угловую и линейную скорости и центростремитель­
ное ускорение точек земной поверхности, расположенных на полюсе,
экваторе и на широте <р = 45°.
Р е ш е н и е . Как видно из рис. 1.29, рассто­
яние отточки В земной поверхности до оси вра­
Дано:
Т = 8,64 • 104 с
R, = 6,4 • 106 м
щения
Г = R3
ю -? v - ? а - ?
-1 0
(1)
Все точки земной поверхности совершают
полный оборот за время Т, равное суткам. По­
этом у
со = 7,26
СОБф.
угловая
ск о р о сть
оз-2 л 1 Т \
5с -1 одинакова для всех точек. Линейная скорость по
определению равна
v = 2 л г/Т .
Учитывая уравнение (1), получим
v«p =(2Tt/?3/r)c o s q ).
(2)
Центростремительное ускорение
Ф~~-
аа = v ^ / r = (d1R3 -coscp.
С3)
Из уравнений (2), (3) имеем:
на полюсе: (р = 90°, v = 0, ац - 0;
на широте ф = 45°: v = 326 м/с,
а ц = 2,38-10-2 м/с2;
на экваторе: ф = 0°; v = 465 м/с,
а ц = 3,4-10‘2 м/с2.
Рис. 1.29
35
1.19.
Волчок, имея постоянную угловую скорость 40 рад/с, свободно
падает с высоты 17,4 м. Сколько оборотов сделает волчок за время па­
дения?
Дано:
ю = 40 рад/с
h = 17,4 м
________________
N—?
Р е ш е н и е . Угловая скорость со связана с
частотой вращ енияи соотношением
ю = 2пп = 2 n (N /t),
(1)
где t — время вращения волчка, по условию задачи равное времени его свободного падения с
высоты h ,N — число оборотов за это время. Так
как
h = g t 2 / 2,
(2)
то из уравнений (1) и (2) получим
N = -J h /(2 g );
N = 12.
1.20.
С башни высотой 55 м брошено тело в горизонтальном направ­
лении со скоростью 40 м/с. Через сколько времени и на каком расстоя­
нии от башни тело упадет на Землю? Какова скорость тела через 3 с
после начала движения? Какой угол образует с плоскостью горизонта
скорость тела в этот момент?
Р е ш е н и е . Для описания движения выберем
систему координат хоу {рис. 1.30).
Движение тела представляет собой суперпозицию горизонтального равномерного движения
и свободного падения. Пользуясь принципом независимости движений, заменим движение тела
в плоскости хоу независимыми движениями вдоль
координатных осей. В начальный момент времени
при t0 = 0 х0 = 0, у 0 = Н уравнения движений запи­
шутся в виде: х = xQ+ vx • t, т.к. vx = v0, xQ= 0, то
Дано:
Н = 55 м
Vq = 40 м/с
t = 3с
_______________
1) S — ? tn — ?
2) v — ?
3) а — ?
*=V,
(1)
y = H - g t 2/2.
(2)
В момент падения тела на Землю у = 0. Тогда из уравнения (2) найдем
время полета:
H = g e j 2, tn = J l H j g , tn = 3,35 с.
36
Дальность полета 5тела по
горизонтали определится из
уравнения (1):
S = х = \ 0tn, S = 134 м.
Через промежуток време­
ни t < tn тело окажется, на­
пример, в точке А, его ско­
рость
V = Vv + V
У •
vY
l
_ 5 L
М одуль
этой скорости
ч V' + V ' :
a
vv
= gt (скогае ^ = v0,
Рис. 1.30
рость свободно падающего тела). Тогда v = - / v f + g2t 2, v ~ 50 м/с. На­
правление скорости определяется углом а . Из рис. 1.30 видно, что
tg a = vy / v x = g t / v0, tg a = 0,75, a = 37°.
1.21.
Тело брошено под углом а = 60° к горизонту со скоростью
v0 = 20 м/с. Найдите: 1) время подъема ?пд и время полета гпл тела;
2) максимальную высоту подъема Н и скорость тела v в самой верхней
точке траектории; 3) дальность полета 5; 4) время полета th до высоты
И = 10 м; 5) угол бросания а 0, при котором дальность полета макси­
мальная. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Д а н о:
a = 60°
v0 = 20 м/с
И = 10 м
О 'пд
2) Н -
-? tпл — ?
? vX— ?
Р е ш е н и е . Как и в предыдущей задаче,
движение тела будет рассматриваться как су­
перпозиция двух независимых движений: рав­
номерного — вдоль оси х и равнопеременного
—■вдоль оси у (рис. 1.12). Если принять при
t0 = 0 х0 = 0 , у 0 = 0 , то \ 0х = v 0c o s a = Vjc,
vn..
Запишем уравнения для движеv0y = v0sina.
v03
ния тела:
3 )5 — ?
x = wxt - v0c o s a - / ,
(1)
« И - ?
5) о , — ?
У= V
(2)
_ f e 2 / 2 ) = v 0 sin a t - (gt2 /2 ),
v = v 0, - g f = v0s i n a - g f .
(3)
37
Уравнения (1)-(3) дают возможность определить все искомые величины.
1) В высшей точке подъема вертикальная скорость vy=0, тогда из
уравнения (3) имеем:
О = v 0s
i
n
a
=
v 0s i n a / g , tna = 1,72с.
В месте падения тела на Землю у = 0, из уравнения (2) находим время
полета
О = v0 sin a ■tm - g t \ „ / 2,
= 2 v0 sin a / g = 2tm, tm = 3,44 c.
2) Максимальную высоту подъемаутах можно определить, если под­
ставить время подъема / в уравнение (2):
= н = vo sin 2 a /(2 g ) , Н = 14,8 м
Скорость тела в этой точке направлена по горизонтали и по модулю
равна vQ;c, т.е. \ х = v0cos a , vx = 10 м/с.
3) Дальность полета S определяется из уравнения (1) при подстанов­
ке в него времени полета ?пл , тогда
S = х = v0 cos a •
= Vq sin 2 a / g, S = 34,4 м .
4) Если в уравнении (2) у принять равным h, а t = th, то получим
квадратное уравнение
~ 3,44^ + 2 = 0 ,
решая которое, найдем два значения для th. Это означает, что на заданной
высоте h тело побывает дважды: при thl = 0,74 с и th2 - 2,7 с.
5) Дальность полета 5 = v 2s i n 2 a / g максимальна, когда значение
sin 2 a максимально:
sin 2 a 0 = 1, 2 a 0 = 90°, a 0 = 45°.
38
З адач и д л я са м о с т о я т ел ь н о г о р еш ен и я
1.22. Два автомобиля движутся прямолинейно и равномерно в одном
направлении со скоростями Vj = 54 км/ч и v2 = 36 км/ч. В начальном
положении расстояние между ними было равно 18 км. Через какое вре­
мя первый автомобиль догонит идущий впереди второй автомобиль?
Решите задачу графически.
О т в е т: 1 ч.
1.23. Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со
скоростями 20 м/с и 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент
времени 250 м. На каком расстоянии друг от друга окажутся автомо­
биль и велосипедист через 5с и 15 с от начала наблюдения за ними?
Задачу решите графически. .
О т в е т : 125 м; 125 м.
1.24. Со станции вышел товарный поезд со скоростью 12 м/с, за ним
через 1 ч вышел экспресс со скоростью 22 м/с. Через сколько времени
после выхода товарного поезда экспресс его нагонит? На каком рассто­
янии от станции это произойдет? Задачу решите графически.
О т в е т: 2,2 ч; « 95 км.
1.25. Мотоциклист проехал 2/5 части пути между двумя городами со
скоростью 72 км/ч, а оставшуюся часть пути — со скоростью 54 км/ч.
Определите среднюю скорость движения мотоциклиста.
О т в е т : 16,7 м/с.
1.26. Найдите среднюю скорость автомобиля в двух случаях:
а) первую треть времени он двигался со скоростью 14 м/с, вторую
треть времени — со скоростью 16 м/с, последнюю треть времени — со
скоростью 9 м/с;
б) первую треть пути автомобиль двигался со скоростью 10 м/с, вто­
рую треть пути — со скоростью 12 м/с, последнюю треть пути — со
скоростью 15 м/с.
О т в е т : 13 м/с; 12 м/с.
1.27. Средняя скорость поезда на всем пути равна 12 м/с, причем
40% пути он шел со скоростью Vj, а оставшуюся часть — со скоростью
v2 = 2vj. Найдите скорости поезда Vj и v2.
О т в е т: 8,4 м/с; 16,8 м/с.
39
1.28. Два пассажирских поезда длиной 1Х= 150 м и 12 = 100 м дви­
жутся соответственно со скоростями Vj = 16 м/с и v2 = 20 м/с. В течение
какого времени проходит первый поезд перед окном вагона второго по­
езда и второй поезд — перед окном вагона первого поезда, если: а)
поезда движутся навстречу друг другу; б) поезда движутся в одном
направлении.
О т в е т : а) 4,2 с, 2,8 с; б) 37,5 с, 25 с.
1.29. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет,
чтобы за 2 ч пролететь точно на север 500 км, если во время полета дует
северо-западны й ветер под углом 30° к м еридиану со скоростью
30 км/ч?
О т в е т : 276 км/ч, а » 3°.
1.30. Тело, двигаясь равномерно вдоль оси х, переместилось за
4 с из положения с координатой х0 = — 2 м в положение с координатой
.г = 6 м. Постройте графики зависимости от времени: 1) скорости v,
2) координаты х, 3) перемещения Лг этого тела. Запишите кинематичес­
кое уравнение движения.
О т в е т: х = - 2 + 2/.
1.31. Материальная точка, двигаясь равномерно и прямолинейно, пе­
реместилась за 5 с из положения с координатами Xj = 1 м,
~ 4м в
положение с координатами х2 = 5 м , у 2 =1 м.
1. Постройте на координатной плоскости вектор перемещения Аг точки.
2. Найдите проекции
и v скорости движения точки на оси коор­
динат.
3. Найдите модуль скорости v движения точки.
4. Запишите кинематическое уравнение движения.
5. Запишите уравнение траектории движения точки.
Указание: для получения уравнения траектории нужно из уравнений
движения исключить время.
О т в е т:
= 0,8 м/с; vy = -0 ,6 м/с; v = 1 м/с;
х = 1 + 0,8/; у = 4 - 0 , 6 / ;
Зх + 4у=19.
1.32. В агон ш и ри н ой b = 3,6 м, д ви ж у щ и й ся со скоростью
Vj = 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно направлению
движения вагона. Смещение отверстий в стенах вагона относительно друг
друга равно S = 9 см. Определите скорость v2 движения пули.
О т в е т: v2 = 600 м/с.
40
х,
м/с
В
2
1
V, м / с
О
А
1
Рис. 1.31
2
Рис. 1.32
1.33. Лодка, двигаясь перпендикулярно к берегу, оказалась на дру­
гом берегу на расстоянии 5 = 25 м ниже по течению через / = 1 мин 40 с.
Ш ирина реки / = 100 м. Определите скорость лодки и скорость течения
реки.
О т в е т : ул= 1 м/с; vp= 0,25 м/с.
1.34. По заданному графику зависимости скорости тела от времени
(рис. 1.31) постройте графики зависимости координаты, пути и ускоре­
ния тела от времени.
1.35. По заданному графику зависимости координаты тела от време- ’
ни (рис. 1.32) постройте графики зависимости скорости и ускорения тела
от времени. ОА иАВ — ветви параболы.
1.36. Тело движется по закону х = 12/ — 212. П остройте графики
зависимости координаты, пути, скорости и ускорения тела от време­
ни. Найдите координату, путь и скорость тела через 2 и 5 с от начала
движения.
О т в е т: 16 м; 10 м; 16 м; 26 м; 4 м/с; 8 м/с.
1.37. Тело, движущ ееся равноускоренно с начальной скоростью
1 м/с, пройдя некоторое расстояние, приобретает скорость 7 м/с. Какова
была скорость тела на половине этого расстояния?
О т в е т: 5 м/с.
1.38. Двигаясь равноускоренно, тело проходит за 5 с путь 30 см, а за
следующие 5 с — путь 80 см. Определите начальную скорость и ускоре­
ние тела.
О т в е т: 0,01 м/с; 0,02 м/с2.
41
1.39. При равноускоренном движении тело проходит за четвертую
секунду 2,1 м. Определите перемещение тела за седьмую секунду. На­
чальная скорость равна 2 м/с.
О т в е т : «2,2 м.
1.40. Шарик, скатываясь с наклонного желоба без начальной скоро­
сти, прошел за четвертую секунду путь 0,14 м. Какой путь пройдет ша­
рик за десятую секунду?
О т в е т : 0,38 м.
1.41. По наклонной доске движется снизу вверх шарик. На расстоя­
нии 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через 1 секунду и
через 2 секунды после начала движения. Определите начальную ско­
рость и ускорение: шарика.
О т в е т: 45 см/с; 30 см/с2.
1.42. Во сколько раз путь, пройденный телом за пятую секунду, боль­
ше пути, пройденного телом за вторую секунду, если начальная ско­
рость движения 10 м/с, а ускорение 10 м/с2?
О т в е т: 2,2 раза.
1.43. Тело падает с высоты 2000 м. За какое время оно пройдет пос­
ледние 100 м своего пути?
О т в е т: 0,4 с.
1.44. За первую секунду от начала наблюдения свободного падения
тело прошло 44,1 м. Сколько времени тело падало до начала наблюдения?
О т в е т: 4 с.
1.45. За сколько времени проходит свободно падающее тело десятый
метр своего пути?
О т в е т : 0,073 с.
1.46. Расстояние между двумя свободно падающими каплями через
2 с после начала падения второй капли было 24,5 м. На сколько позднее
первой начала падать вторая капля?
О т в е т: 1 с.
1.47. В последние 2 с свободно падающее тело прошло 78,4 м. Сколь­
ко времени и с какой высоты падало тело?
О т в е т: 5 с; 122,5 м.
1.48. Сколько времени свободно падало тело, если за последнюю
секунду оно прошло такое же расстояние, как за все предыдущее время
движения?
О т в е т: 3,4 с.
42
1.49. Мяч брошен вертикально вверх с балкона, находящегося на
высоте 25 м над Землей, с начальной скоростью 20 м/с. Определите:
1) Координату (относительно балкона), путь и скорость мяча через
1 и 3 с. 2) Через сколько времени мяч достигнет земной поверхности и
какова скорость его в момент приземления? 3) Через сколько времени
мяч будет на высоте 10 м над балконом? Принять g = 10 м/с2.
Ответ:
1) 15 м, 15 м, 15 м, 25 м, 10 м/с, -1 0 м/с;
2) 5 с, -3 0 м/с;
3) 0,6 с, 3,4 с.
1.50. В момент, когда первое тело начало свободно падать с высоты
80 м над поверхностью Земли, второе тело бросили вертикально вверх с
поверхности Земли со скоростью 20 м/с. Найдите максимальную высо­
ту подъема второго тела, место и время встречи тел.
О т в е т: 20 м; 4 с.
1.51.Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40 м/с. На какой
высоте его скорость уменьшится вчетверо? Сопротивление воздуха не
учитывать, принять g = 10 м/с2.
О т в е т: 75 м.
1.52. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с
одной и той же начальной скоростью v0 = 29,4 м/с с промежутком вре­
мени At = 0,5 с. Через какой промежуток времени от момента бросания
первого тела и на какой высоте они встретятся? Сопротивлением возду­
ха пренебречь.
О т в е т : 3,15 с; 43,8 м.
1.53. Точка окружности вращающегося диска имеет линейную ско­
рость, равную по модулю 3 м/с, а точка, лежащая ближе к оси вращения
на 0,1 м, имеет линейную скорость, модуль которой 2 м/с. Найдите час­
тоту и угловую скорость вращения диска.
О т в е т : 1,6 с"1; 10 рад/с.
1.54. Тело совершает 40 оборотов за 10 с. На каком расстоянии от
оси вращения находится точка, движущаяся со скоростью 10 м/с?
О т в е т: 0,4 м.
1.55. Каковы линейная скорость и центростремительное ускорение
Луны при ее вращении вокруг Земли, если период обращения Луны
вокруг Земли 27,3 суток, а радиус лунной орбиты 384-103 км?
О т в е т : 1,02 • 103 м/с, 2,71 м/с2.
43
1.56. Во сколько раз линейная скорость точек земной поверхности на
экваторе при суточном вращении Земли больше, чем в Санкт-Петербур­
ге (широта 60°).
О т в е т: 2 раза.
1.57. Груз поднимается с помощью лебедки, диаметр барабана кото­
рой 0,16 м, со скоростью 0,628 м/с. Найдите угловую скорость и часто­
ту вращения барабана лебедки.
О т в е т: 7,85 рад/Ь; 1,25 с 1.
1.58. Вертолет начал снижаться вертикально с ускорением 0,2 м/с2.
Лопасть винта вертолета длиной 5 м вращается с частотой 5 с '1. Опреде­
лите число оборотов лопасти за время снижения вертолета на 40 м, ли­
нейную скорость и центростремительное ускорение конца лопасти.
О т в е т : 100, 157 м/с; 5 • 103 м/с2.
1.59. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м с начальной скоро­
стью 10 м/с. Найдите: 1) дальность полета тела и время его движения;
2) уравнение траектории; 3) скорость тела через 0,5 с после начала дви­
жения и на высоте 5 м над Землей.
О т в е т: 20 м , 2 с; у - 20 —- 0,05х2; 11,2 м/с, 20 м/с.
1.60. Камень брошен горизонтально. Через 3 с его скорость оказа­
лась направленной под углом 45° к горизонту. Определите начальную
скорость камня и его перемещение за это время.
О т в е т: 30 м/с; 100,5 м.
1.61. На берегу, на высоте 18 м над уровнем моря под углом 45° к
горизонту, установлено орудие. Определите высоту подъема и дальность
полета снаряда, если скорость вылета снаряда из ствола орудия 600 м/с.
О т в е т: 9 • 103 м; 36,6 • 103 м.
1.62. Камень брошен под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с.
Через сколько времени он будет на высоте 1,05 м?
О т в е т: 0,3 с и 0,7 с.
1.63.Камень, брошенный со скоростью 10 м/с, спустя 1 с имел ско­
рость 8 м/с. Под каким углом был брошен камень и на какую высоту
над начальным уровнем он поднимался?
О т в е т : 42°; 2,36 м.
1.64. Камень брошен на склоне горы под углом а = 30° к поверхно­
сти горы. Определите дальность полета камня, если его начальная ско­
рость v = 30 м/с, угол наклона горы к горизонту р = 15°.
О т в е т: 68 м.
44
Г л а в a 2. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Статика твердого тела — раздел механики, в котором изучаются
условия равновесия твердых тел.
§ 10. С л о ж е н и е си л . Р а в н о д ей ст в у ю щ а я си л а
Равнодействующей R называется такая сила, которая оказывает на
тело такое же действие, как все силы, приложенные к этому телу. Равно­
действующая, если она существует, равна векторной сумме сил, дей­
ствующих на тело (см. § 2):
0
В
R = Fx+ F 1 + ... + Fn = Y j Fi .
/~1
(2.1)
Равнодействую щ ая двух парал­
лельных сил, действующих на тело,
направленных в одну сторону равна
их сумме и направлена в ту же сто­
рону (рис. 2.1). Линия действия рав­
нодействую щ ей делит расстояние
между точками приложения состав­
урх
R
}'
Рис. 2.1
ляющих сил Fx и F2 в отношении, обратно пропорциональном модулям
приложенных сил:
F2 1 Fx = АО / ВО.
(2.2)
Не всякая система сил имеет равнодействующую. Например, две антипараллельные силы Fl и F2, если Fx= - F2, не имеют равнодействую­
щей.
При решении задач по ста­
тике приходится часто пользо­
ваться не сложением, а разло­
жением сил на составляющие.
Если известны направления
\F
составляющих, например АА,
и BBj (рис. 2.2), то для разло­
АА\
жения силы F надо провести
Рис 2 2
\
45
через начало и конец этой силы по две прямые, каждая из которых па­
раллельна соответствующему направлению разложения. В результате
получится параллелограмм, стороны которого будут искомыми состав­
ляющими данной силы.
§11. Момент силы. Условия равновесия тела
Сила вызывает вращение твердого тела вокруг оси, если она создает
вращающий момент (момент силы) относительно этой оси. Будем рас­
сматривать только силы, перпендикулярные оси вращения.
Моментом силы Мотносительно оси
называется физическая величина, рав­
ная произведению модуля силы F m пле­
чо /. Плечом силы называется кратчай­
шее расстояние от оси вращения (точ­
ка О) до линии действия силы (рис. 2.3):
М = FI,
где /=AO=OOj sin а .
(2.3)
Единица момента силы ньютон-метр
(Нм).
Рис. 2.3
Если к телу приложено несколько
сил: F\,F2,...,Fn, то каждая из них со­
здает свой вращающий момент M j, М2,..., Мп. Условно-положительны­
ми считаются моменты сил, вращающие тело против часовой стрелки, и
отрицательными — моменты, вращающие его по часовой стрелке.
Под действием приложенных сил твердое тело может одновременно
соверщать поступательное и вращательное движение. Для того чтобы
тело находилось в состоянии равновесия, необходимо одновременное
выполнение двух условий равновесия:
I. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:
Fx+ F2 + ... + F„ = 0 .
(2.4)
Если выполняется условие (2.4), то суммы проекций составляющих
сил на оси координат также равны нулю. Поэтому векторную сумму
можно заменить системой уравнений для проекций всех сил на оси ко­
ординат:
£ Fxi = о ^ Fyi = 0 , £ FZI = о
(2.5)
/= 1
46
/= 1
/= 0
2.
Алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой
оси равна нулю:
П
(2.6)
§12. Центр тяжести
Любое тело можно рассматривать как совокупность материальных
точек, на каждую из которых действует сила тяжести.
Центром тяжести тела называется точка приложения равнодейству­
ющей этих элементарных сил тяжести. Координаты центра тяжести для
небольших тел можно определить по следующим формулам:
П
(2.7)
т х + т 2 +...
П
т \У\ + т 2у 2 + ... _ ,=1
Ус
(2 .8)
т 1+ т 2 + ...
<=1
П
m xz x + m 2z 2 + ... _ ,=1
С
(2.9)
т ] + т 2 + ...
где X,, y t , z i — координаты соответствующей элементарной силы тяжес­
ти, a mi — элементарная масса.
Центр тяжести небольших тел совпадает с их центром масс.
§ 13.
Виды равновесия
Тела, имеющие ось вращения или точку опоры, находятся в устойчи­
вом равновесии в том случае, когда при любых малых отклонениях тела
от этого положения возникают силы или моменты сил, стремящиеся воз­
вратить тело в исходное положение (рис. 2.4, а).
Равновесие тела называется неустойчивым, если даже при малых
отклонениях тела от этого положения возникают силы или моменты
сил, стремящ иеся еще больше отклонить тело от начального положе­
ния (рис. 2.4, б).
Безразличным называется равновесие, если при любых смещениях
тела от этого положения не возникает сил или моментов сил, стремя­
щихся возвратить тело в начальное положение или еще более удалить
-»
его от начального положения (рис. 2.4, в). На рис. 2.4 R - равнодей­
ствующая сил тяжести m g и реакции опоры N ■
Общ им условием устойчивости является следую щ ее: если центр
тяж ести тела занимает наинизш ее полож ение по сравнению со все­
ми возмож ны ми соседними полож ениями, то равновесие устой чи ­
во.
Тело, имею щ ее площ адь опоры , находится в устойчивом равн о­
весии, если вертикальная прямая, проведенная из центра тяж ести,
проходит через площ адь основания тела (рис. 2.5, а), и в неустой-
Рис. 2.4
48
УУУУУУУУ/уУуууу/У
~гУУУУУУ/у/УУУУУУУ
УУУУУУУУУУУ/УУУУУ
mg
mg
a
б
в
Рис. 2.5
чивом равновесии - когда вертикальная прямая, проведенная из цен­
тр а тяж ести, проходит через точку опоры или вне площ ади основа­
ния рис. 2.5, б и в).
Мерой устойчивости конкретного равновесного состояния является
энергия, которую надо затратить, чтобы вывести тело из данного состо­
яния.
Контрольные вопросы
1. Что называется равнодействующей двух или нескольких сил?
2. Чему равна равнодействующая трех сил, действующих на одну
точку тела под разными углами друг к другу?
3. Как определяются величина, направление и точка приложения рав­
нодействующей параллельных сил, действующих на тело и направлен­
ных в одну сторону?
4. Какие силы действуют на тело, находящееся в состоянии покоя на
наклонной плоскости?
5. Как разложить силу на две составляющие?
6. Что называется плечом силы?
7. Что такое момент силы?
8. Сформулируйте условия равновесия тела.
9. Что называется центром тяжести тела?
10. Где находится центр тяжести у обруча?
11. Какие виды равновесия вы знаете?
12. Как определить меру устойчивости тела?
49
Примеры решения задач
2.1.
Фонарь весом 40 Н подвешен на горизонтальном шнуре AD дли­
ной 1 м и шнуре DC длиной 2 м (рис. 2.6). Определите силы, действую­
щие на шнуры AD и DC, если известно, что DC = ВС.
Дано:
Р = 40Н
AD = 1 м
DC= ВС = 2 м
\F —9• г\Fdc
Fad
Р е ш е н и е . Разложим силу Р на две со­
ставляющие (рис. 2.6). Для этого проведем через
начало вектора Р две прямые, которые являются
продолжением шнуров AD и DC, а из конца век­
тора Р проведем две прямые, параллельные на­
правлениям AD и DC. Получим искомые силы
Fm и FIX. Из рисунка видно, что
треугольники CDE и MND подобны.
Из подобия имеем: MD / ND = DC /
DE, MN / DN = СЕ / DE. Учитывая,
что СЕ = ВС - BE, получим
de
= ^/d c 2 - ( b
c
-
b e )2
c
-
a d )2
т.к. BE=AD, то
Рис. 2.6
= Vd c 2 - ( b
de
тогда
В С -A D
DC
DC
д/ d c 2 - ( b c - a d ) 2 ’
VD C 2 - ( В С - A D ) 2 ’
откуда
DC
DC = \p\
J
d
=4 Fdc = 46,2 H ,
C 2 -(В С -A D )2
B C -A D
AD = \p
Jd
50
c
2-(b
c
-
; F ad =23,1 H .
ad
)2
2.2.
Две силы по 5 Н приложены к одной точке тела под углом 90°.
Как нужно приложить к этому телу другие две силы по 4 Н, чтобы они
уравновесили первые?
Дано:
Р е ш е н и е . Построим равнодействующую
щ =5Н
1=
|= 4 Н
двух сил F и F2 (рис. 2 .7). Она равна вектор­
ной сумме этих сил: Др = Fl + F2, т.к. силы Р3 и
F4 должны уравновесить силы Fl и F2, то рав­
Hl2 - К^34
нодействующая ??34 должна быть равна по моду­
лю и противоположна по направлению равнодей­
a — ?
ствующей Ru , то есть: |Д 2| = |/?34|, следовательно Д,2 = Д24.
F{ + F l - F{ + F l + 2F3F4 cos a , по условию |д | = |£ ,|,
а |дз| = |Д4|, то гд а F l = jP32(l + c o s a ), откуда c o s a = (?^2/Д 32) - 1 и
а = arc c o s^ 2/ ) - 1 ; or = 56°.
mg
Я
Puc. 2.7
Puc. 2.8
2.3.
Деревянный брусок массой 2 кг лежит на наклонной доске с
углом наклона к горизонту, равным 60°. Коэфициент трения бруска о
плоскость равен 0,4. Какую минимальную по модулю силу нужно при­
ложить к бруску, чтобы он не соскользнул с плоскости? Чему равен
угол между направлениями искомой силы и доской?
51
Дано:
Р е ш е н и е . На брусок будет действовать:
тт! — 9 кг
_*
—
►
сила тяжести m g ; сила реакции N со стороны
а = 60°
р. = 0,4
доски; сила трения покоя FTp, направленная в сто­
рону, противоположную предполагаемому движе­
Fmm — ? Н
В— ?
нию тела, и сила F , действующая под некоторым
углом р к наклонной плоскости. При этом следует учесть, что сила F
прижимает брусок к доске, увеличивая силу трения (рис. 2.8). Сила F
минимальна, когда F^ максимальна.
Запишем условие равновесия бруска:
F + m g + N + Frp= 0.
(1)
Выбирая направление координатных осей х и у и проецируя на них
уравнение (1), получим
mg sin a — FcosB — FTp=0,
(2)
N - mg co sa — F sin P = 0.
Поскольку максимальное значение силы трения покоя F
пользуя уравнение (3), найдем силу трения:
FmP =
cos a + F sin p ) .
(3)
= р Д ис­
(4)
Решая уравнения (2) и (4), получим
F=
sinar -//c o sa r
я
■
cosp + //s in p
F = 12,5 H.
(5)
v '
Сила F минимальна тогда, когда будет максимально значение знаме­
нателя дроби (5). Чтобы найти максимальное значение знаменателя, т.е.
функции / ( р ) = cos В -t-jisinp, следует найти производную / ' ( Р) и при­
равнять ее к нулю. Получим
/ '( р ) = —sin р -ь jacos Р = О,
откуда ц = tg P , т.е. Р = arctg/v;
р = 22°.
2.4.
Определите равнодействующую трех сил, не лежащих в одной
плоскости и направленны х под прямым углом друг к другу, если
F j = 300 Н, F2 = 400 Н и F3 = 866 Н.
52
Дано:
Fl = 3102 Н
F-,2 = 4-102 Н
/ г3 = 8 66-102 Н
чим Р езультирую щ ую силу p 2| = V^I + ^2 •
^
Затем сложим Fn и F3 и найдем равнодействую­
г.
Р е ш е н и е. По правилу параллелограмма
сложим сначала силы F 1 и Р2 (рис. 2.9). ПолуI -*
I
I
2
2
щую всех трех сил:
\r \ = J f * + /Г,2 = ^
+ F l + / f ; R = 1 кН.
щй
т0ё
Рис. 2.10
Рис. 2.9
2.5.
На концах однородного стержня массой 1 кг и длиной 60 см
подвешены грузы массой 1 кг и 2 кг. Где нужно подпереть этот стер­
жень, чтобы он остался в равновесии?
Дано:
/я0 = 1 кг
ffZj = 1 кг
т2 = 2 кг
/ = 60 см
Р е ш е н и е. На стержень действуют четыре
силы (рис. 2.10): m0g — сила тяжести самого
стержня, приложенная к его середине, т.к. по ус­
ловию задачи стержень однороден; силы тяжести
грузов mxg и
m2g , приложенные к концам, и
сила реакции N со стороны опоры. Воспользу­
емся вторым условием равновесия, а именно: алгебраическая сумма мо­
ментов всех сил относительно точки, в которой нужно подпереть стер­
жень, чтобы он остался в равновесии, равна нулю. Допустим, что это
точка С. Тогда моменты сил m0g и m2g относительно точки С, враща­
ющие стержень по часовой стрелке, должны уравновеситься моментом
53
силы mxg , вращающим стержень против часовой стрелки. Момент силы
реакции опоры N в этом случае равен нулю:
К # / 2) - х] + \m2g\(l - х) = \m,g\x.
Решая полученное уравнение, найдем:
х ^ (Р Ь й )1 Л Ь .,;
т 1 + т 2 + т0
х = 37,5 см.
2.6.
Балка опирается одним концом на две опоры ^ и й в стене так,
что м а сса св и саю щ ей ч асти р ав н а 100 кг, а ее д л и н а 1,5 м
(рис. 2.11). На конце балки находится груз массой 50 кг. Сила давления
балки на стенку в т. А не должна превышать 6-103Н. Найдите наимень­
шее допустимое расстояние между опорами А и В и нагрузку на опору
В. Массой заделанной части балки принебречь.
д ано:
mQ = 1•102 кг
L = 1,5 м
. _,
w = 0 , 5 - 1 0 z Kr
р А ~ б-Ю3 Н
/ — ? F R— ?
Р е ш е н и е . На балку действуют следующие
силы: сила тяжести груза m g ; сила тяжести сви„
_
_
сающеи части балки mng , приложенная к середин е свисаю щ ей части; силы реакции опор
F и F B. Так как балка находится в положении
равновесия, то должно выполняться условие:
m g + m0g + FA + F B = 0.
(1)
Выбрав систему отсчета хоу, как показано на рис. 2.11, найдем про­
екции уравнения (1) на оси х и у . На ось ох :проекции всех сил равны
нулю; на ось оу: - m g - m0g + FA ~ F B - 0, отсюда
FB = Fa - (m + m0)g, FB = 4,5 • 103 H.
Для нахождения расстояния между опорами А и В воспользуемся
уравнением моментов относительно любой оси. В данном случае удобно
пользоваться горизонтальной осью, перпендикулярной плоскости рисунка
и проходящей через точку А. Тогда, с учетом знаков, получим
m g l + (m0gL / 2) - FBl = 0, откуда
/ = g l ( l m + m0/ 2 F B\
54
/ = 0,3 м.
X
Рис. 2.11
Рис. 2.12
2.7.
К вертикальной стене на веревке подвесили шар, причем точка Л
(рис. 2.12) находится на одной вертикали с центром тяжести. При каких
значениях коэффициента трения возможен такой подвес?
Дано:
АО | | стенке
Р е ш е н и е. На шар действуют четыре силы
(рис. 2.12): сила тяжести m g, сила натяжения
веревки Т , сила реакции стены N и сила тре­
ния FT . Условие моментов запишем относи-
тельно оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости ри­
сунка, т.к. относительно этой оси моменты силы тяжести и силы натяже­
ния веревки равны нулю. Следовательно:
FmpR - N R = О,
т.к. сила трения покоя Fmp < jjN , то ц > 1.
2.8.
Ш есть шаров, массы которых равны соответственно да, 2 да, 3 да,
4 да, 5 да, 6 да, размещены вдоль стержня на одинаковых расстояниях а
друг от друга. Силой тяжести самого стержня пренебречь. Найдите центр
тяжести системы.
Дано:
да, 2 да, 3 да,
4 да, 5 да, 6 да
Р е ш е н и е . Выберем ось х с началом, со­
впадающим с шаром массой да (точка 0 на
рис. 2.13). По формуле (2.7) запишем:
х.'С
55
n
mixi = (2ma + 3 m -2 a + Am-3a + 5m-Aa + 6 m - 5 a ) - 1 0 ma\
1=1
J w , = 21w; xc = (70/2 l)a = (l0/3>j.
2m
m
3m
Am
=•=
5m
Puc. 2.13
2.9.
Определите положение центра тяжести однородной квадратной
пластинки со стороной а - 8 см, в которой вырезано круглое отверстие
радиусом г = 2 см так, как показано на рис. 2.14.
Д а н о:
a = 8 cm
r = 2 cm
Р е ш е н и е . Если вставить вырезанную
часть фигуры на прежнее место, то силу тяж е­
сти всей фигуры mg можно представить в виде
~
суммы двух параллельны х
сил: силы тяж ести
круглого вы реза mBg и силы тяж ести остав­
ш ейся части фигуры m0g , причем сила m0g прилож ена в неизвес­
тном пока центре тяж ести этой оставш ейся части фигуры. Запиш ем
правило моментов относительно точки 0, обозначив расстояние ОВ
через х:
m0gx = mBg l или (т ~ т в )х = тв1,
т.к. модуль силы тяжести оставшейся части
фигуры равен
m0g = mg - mBg ,
из предыдущего равенства находим:
х = тв1/(т - тв ), где т = pSh, р — плотность
56
mg
материала, S — площадь, h — толщина плас­
Рис. 2.14
ти н к и , то гд а х - SB/(S - SB) - 1 . П л ощ адь
вырезанного отверстия SB = па2 /1 6 , площадь всей пластинки S - а2
Расстояние между точками О н О' равно:
1= А О -А О '
ал/2
а
а
2
2л/2
2 л[2 '
Подставим в полученную формулу вместо Sg, / и S их значения:
х=
г; х = 0,69 см.
-г-™-
2 v 2 (l6 -;r )
2.10 . В кузове автомобиля стоит бочка, высота которой 1 м, а ра­
диус 0,3 м. При каком максимальном угле наклона кузова бочка опро­
кинется?
Д а н о:
h = 1м
г = 0,3 м
а — ?
ния бочки
tg a =
Р е ш е н и е . Максимальный угол наклона
соответствует положению
бочки, когда вертикальная
прямая, направленная из
центра тяжести т. С, про­
ходит через грань основаmg
(рис. 2.15):
г
_2г
h/2~h
' Рис. 2.15
; tga = 0,6; а = 31°.
2.11 Какую работу надо совершить, чтобы перевернуть тяжелый куб
массой М вокруг ребра а на другую грань? Плотность материала куба р.
Р е ш е н и е . Минимальная работа при медленном переворачивании
куба равна разности потенциальных энергий куба в начальном положе­
нии (рис. 2.16, а) и в полож ении неустойчивого равновесия (рис.
2.16, б):
А = А Е п = M g ( h 2 - /г,).
Объем куба
4Г /
откуда а = з — .
Ж
N
Я
Ш
Рис. 2.16
57
Поэтому /г, = ■
[м
-
,
N
[м
М fV2-1
A = M g3■3
Vр
9
Задачи для самостоятельного решения
2.12. На лодку, привязанную к берегу веревкой длиной 5 м, действу­
ют сила течения реки 160Н и сила давления ветра, дующего с берега
перпендикулярно к нему, в 120 Н. Определите силу натяжения веревки и
расстояние от берега, на котором находится лодка.
О т в е т : 200 Н; 3,0 м.
2.13. К центру правильного шестиугольника приложены силы 2,0;
4,0; 6,0; 8,0; 10 и 12Н, направленные к соответствующим вершинам.
Определите величину и направление равнодействующей.
О т в е т : 12 Н. Равнодействующая направлена в ту же сторону, что и
сила в 10 Н.
2.14. К концу балки, горизонтально закрепленной в стене, приложена
сила F = 2,0 кН, направленная под уг­
лом а = 60° к горизонту (рис. 2.17).
Определите силы, изгибающие и сжи­
мающие балку. Весом балки пренеб­
речь.
О т в е т. 1,73 кН; 1,0 кН.
2.15. Электрическая лампа массой 1,0 кг подвешена на шнуре АВ и
оттянута горизонтальной оттяжкой ВС (рис. 2.18). Найдите силы натяже­
ний шнура и оттяжки, если угол а = 60°.
О т в е т : 11,6 Н; 5,8 Н.
2.16. Найдите модули сил, действующих на подкос ВС и тягу АС (рис.
2.19), если длина подкоса 4,0 м, длина тяги 3,0 м, масса груза 200 кг.
Расстояние между точками крепления подкоса и тяги АВ принять рав­
ным 1,5 м.
О т в е т: 4,0 кН; 5,3 кН.
58
////////////////////////
Рис. 2.18
Рис. 2.19
2.17. Вагонетка массой 2,0-103 кг равномерно спускается вдоль на­
клонного участка подвесной дороги. Коэффициент трения колес ваго­
нетки о несущий канат, составляющий с горизонтом угол 30°, равен
3,0-10'3. Найдите модуль силы натяжения тягового каната и силу давле­
ния вагонетки на несущий канат.
О т в е т : 1,0-104 Н; 1,7-104 Н.
2.18. На тело, имеющее точку опоры 0, действуют параллельные силы
F x = 40 Н и F~> = 10 Н, плечи которых соответственно равны
/, = 0,2 м и /2 = 0,8 м (рис. 2.20). Чему равен момент равнодействующей
М относительно оси вращения? Чему равна равнодействующая этих сил R2
О т в е т: 0; 50Н.
2.19. К плоскому телу, имею щ ему форму квадрата со стороной
а = 2 м, приложено четыре силы по 2 Н (рис. 2.21). Определить равно­
действующую R всех сил и момент сил М относительно точки А.
Рис. 2.20
Рис. 2.21
59
2.20. Ведущие колеса трактора радиусом 0,7 м, на которые приходит­
ся нагрузка Р = 10 кН, уперлись в твердый выступ дороги высотой
h = 10 см. Какова должна быть горизонтальная сила F, чтобы трактор
преодолел выступ?
О т в е т: 6 кН.
2.21. Чему равны модули сил реакции подшипников А и В (рис. 2.22),
если масса вала 7 кг, масса шкива С 28 кг, а расстояние шкива от под­
шипников Л и В равны соответственно 0,8 м и 0,1 м?
О т в е т : ЮН; 360 Н.
2.22. С какой по модулю силой F, приложенной к одному из концов
доски перпендикулярно ей, рабочий должен удерживать доску, если масса
ее 40 кг, а угол а = 30° (рис. 2.23).
О т в е т : 170 Н.
Ш
Рис. 2.22
Рис. 2.23
2.23. Под каким наименьшим углом к горизонту можно прислонить
лестницу к гладкой вертикальной стене, если коэффициент трения лест­
ницы о пол равен 0,4? Центр тяжести лестницы находится в ее середине.
О т в е т : 51,3°.
2.24. Стержень одинакового поперечного сечения состоит из двух
равных частей — свинцовой и железной. Определите положение центра
тяжести стержня, если его длина 0,4 м.
О т в е т: на расстоянии 0,18 м от свинцового конца.
2.25. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены ша­
рики массой т каждый. В третьей вершине помещен шарик массой 2 т.
Определите положение центра тяжести этой системы шаров.
О т в е т : центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вер­
шине которого находится шарик массой 2 т.
60
2.26.
Определите положение центра тяжести
однородной пластинки, показанной на рис. 2.24.
О т в е т: хс = 9/4 см; ус = 5/8 см.
3 см^
2.27.
Два шара одинакового объема, алюми­
ниевый и цинковый, скреплены в точке касания.
Найдите положение центра тяжести системы.
5 см
О т в е т : 0,53 R от центра цинкового шара
(R — радиус шаров).
Рис 224
2.28. Определите центр тяжести тонкого однородного диска радиу­
сом R = 0,1 2 м, из которого в ы резан круг ради усом г = R/2
(рис. 2.25).
О т в е т: на 0,02 м от центра большого круга.
2.29. Однородная пластинка имеет форму равностороннего треуголь­
ника со стороной, равной 0,16 м. В пластинке вырезано круглое отвер­
стие радиусом 0,02 м (рис. 2.26). Определите центр тяжести полученной
фигуры.
О т в е т : центр тяжести сместится к основанию треугольника на
6,7 мм.
2.30. Однородный цилиндр поставлен на плоскость, угол наклона ко­
торой к горизонту постепенно увеличивается. Определите отношение
высоты цилиндра к его радиусу, если критическое значение коэффици­
ента трения, при котором возможно скольжение цилиндра или его опро­
кидывание, р. = 1.
О т в е т: 2.
Рис. 2.25
Рис. 2.26
61
2.31. Ящик в форме куба перемещают на некоторое расстояние: один
раз волоком, а другой - опрокидыванием через ребро. Коэффициент тре­
ния ящика о пол при скольжении равен к; трением при опрокидывании
можно пренебречь. При каком значении к работы перемещением воло­
ком и опрокидыванием равны?
О т в е т : 0,207.
2.32. Высота ящ ика, стоящ его на горизонтальной поверхности,
h = 2 м, площадь дна 1x1 м, вес 1ООО Н. Опрокинется ли ящик под
действием ветра, производящего давление 300 Па?
О т в е т : опрокинется.
Глав а
3. О С Н О В Ы Д И Н А М И К И
§14. Первый закон Ньютона
Существуют такие системы отсчета, относительно которых по­
ступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоян­
ной, если на него не действуют другие тела или действия тел ском­
пенсированы. Такие системы отсчета называются инерциальными. Глав­
ным в этом законе является утверждение о том, что такие системы суще­
ствуют. Явление сохранения скорости тел постоянной называется инер­
цией.
Действие одних тел на другие характеризуется силой.
Сила — это мера взаимодействия двух тел, в результате которого тела
приобретают ускорение или деформируются. Сила — векторная величи­
на.
Если данное тело взаимодействует с п телами, то возникает п сил.
Результирующая сила, действующая на тело, будет равна векторной сумме
п сил:
П
(3.1)
Свойство тел сохранять при отсутствии внешнего воздействия состо­
яние покоя или равномерного и прямолинейного движения называют
инертностью.
Инертность тел характеризуется скалярной величиной, постоянной для
данного тела (в классической механике Ньютона), называемой массой тела.
62
Массу тела /ят можно определить по взаимодействию с эталонной
массой тэ:
тг = тэаэ / аТ,
где аэ и а т— ускорение эталонной и измеряемой массы при взаимодей­
ствии.
В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг):
1 кг — масса платиноиридиевого эталона, хранящегося в Междуна­
родной палате мер и весов в Севре недалеко от Парижа.
Плотностью однородного тела называется физическая величина р,
равная отношению массы тела т к его объему V:
р = m/V.
(3.2)
В системе СИ плотность измеряется в кг/м3.
§15. Второй закон Ньютона
В инерциальной системе отсчета ускорение, с которым движется
тело, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно
пропорционально массе тела:
a = F/m .
(3.3)
Отсюда следует, что направление ускорения совпадает с направлением
силы.
Если на тело действует несколько сил, то ускорение тела прямо про­
порционально равнодействующей всех сил, действующих на данное тело:
П
a = T jF 'l m i=i
(3.4)
Если равнодействующая всех сил не меняется со временем, то дви­
жение будет равнопеременным, т.к.
п
) = const, то а = const.
/=1
п
В том случае, когда
_
^ Ft = 0, а = 0, тело находится в состоянии
/=1
покоя или равномерного прямолинейного движения.
Второй закон Ньютона можно записать в виде
^ F ,= r n a .
(3.5)
В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н). 1 ньютон (Н )— это сила,
которая, действуя на тело массой 1 кг, сообщает ему ускорение 1 м/с2.
§16. Третий закон Ньютона
При взаимодействии двух тел возникают две силы, которые равны
по модулю, направлены в противоположном направлении вдоль пря­
мой, соединяющей тела, и приложены к разным телам. Эти силы не
уравновешивают друг друга:
<з.б)
где Fn — сила, с которой первое тело действует на второе; р
— сила,
с которой второе тело действует на первое.
Пример: Тело массой т лежит на столе. Нужно изобразить силы вза­
имодействия стола и тела.
Как правило, при ответе на этот вопрос рисуют две силы:
mg и N , где N — сила реакции стола, a mg — сила тяжести тела.
Но это неправильно, так как mg - это сила взаимодействия тела не
со столом, а с Землей.
Силами взаимодействия тела со столом являются: сила реакции опо­
ры N , приложенная к телу, и вес тела Р , приложенный к столу.
Обратимся еще к одному примеру: Почему лошадь тянет телегу, а не
телега лошадь, хотя по третьему закону Ньютона силы взаимодействия
лошади и телеги равны?
Дело в том, что обе эти силы являются внутренними силами системы
и не участвуют в создании силы тяги. Силой тяги системы лошадь-телега является третья сила — сила взаимодействия лошади с Землей.
§17. Принцип относительности Галилея
Любая система отсчета, которая движется равномерно и прямоли­
нейно относительно некоторой инерциальной системы, тоже является
инерциальной.
64
С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета со­
вершенно эквивалентны: ни одной из них нельзя отдать предпочтение.
Никакими механическими опытами нельзя установить, находится ли си­
стема отсчета в состоянии покоя или в состоянии равномерного и пря­
молинейного движения.
Механический принцип относительности был сформулирован Гали­
леем: все механические явления в различных инерциальных системах
отсчета протекают одинаково.
§18. Силы упругости. Закон Гука. Соединения пружин
Деформация — это изменение формы или объема тела под действи­
ем деформирующей силы. Различают два вида деформаций: упругие и
пластические.
Упругими называются деформации, которые полностью исчезают пос­
ле прекращения действия деформирующих сил.
Пластическими называются деформации, которые сохраняются в теле
после прекращения действия деформирующих сил.
Механическим напряжением называется физическая величина, рав­
ная отношению силы F к площади сечения образца S:
cr^ F /S ; [ст] = н /м 2.
(3.7)
Для каждого тела существует предел упругости, после которого де­
формация из упругой переходит в пластическую.
Предел упругости — это максимальное напряжение, после снятия
которого тело еще восстанавливает свою форму и объем.
Закон Гука справедлив только для упругих деформаций.
При упругих деформациях возникают силы упругости, которые при
равновесии равны деформирующим силам и направлены в сторону, про­
тивоположную смещению частиц:
F „~ -kx,
(3.8)
где к — коэффициент упругости или жесткость, зависящие от материала
тела и геометрических размеров, х — абсолютная деформация.
Рассмотрим однородный, невесомый стержень постоянного сечения
S и длиной /0.
Один конец стержня закреплен, а к другому приложена сила F. Под
действием этой силы стержень удлинился до /, тогда А/ = / - /0 — абсо­
лютное удлинение (рис. 3.1).
65
1
, _
'о
Величина г - A l/l0 называется отно­
сительной деформацией (относительным
удлинением).
Закон Гука:
>
а = - Е е = -ЕА1/1о,
(3.9)
Рис. 3.1
где константа Е, [Е\=\л1иг, называет­
ся модулем упругости (модулем Юнга) вещества, отсюда:
Fynp -
-E S A l/l0
и
k =
E S / l 0.
(3.10)
При решении задач часто рассматриваются случаи, когда тело подве­
шено на нескольких пружинах.
При последовательном соединении п пружин с соответствующими
коэффициентами упругости к ; , к 2 , к 3 , . . . , к п величина, обратная общему
коэффициенту упругости к 0 такого соединения, равна сумме обратных
величин коэффициентов упругостей:
1 _ 1
т;
=
т
1
1
1
+ т2 +т; + - + тп -
(з -п )
Если последовательно соединяют п пружин с одинаковыми коэффи­
циентами упругости к , то
К = -■
п
(3.12)
При параллельном соединении п пружин с соответствующими коэф­
фициентами упругости k j , к 2 , к 3 , . . . , к п общий коэффициент упругости
к 0 равен сумме коэффициентов упругости:
k g — к ] + к 2 + к 3 + ...+ к п .
(3.13)
Если параллельно соединены п пружин с одинаковыми коэффициен­
тами упругости к , то общий коэффициент упругости равен произведе­
нию коэффициента упругости одной пружины на число пружин:
к 0 = пк.
(3.14)
§19. Силы трения. Коэффициент трения
Силы трения возникают при относительном перемещении двух со­
прикасающихся поверхностей. Трение между поверхностями двух твер­
дых тел при отсутствии смазки между ними называется сухим.
66
Различают три вида сухого трения: трение скольжения, трение покоя,
трение качения.
Сила трения скольжения не зависит от величины поверхности со­
прикосновения трущихся тел и пропорциональна силе нормального дав­
ления N, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:
/ гтр = Щ
(3.15)
где к — коэффициент трения скольжения, зависящий от состояния со­
прикасающихся поверхностей.
Сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности
по другой, но и при попытках вызвать такое скольжение. В этом случае
она называется силой трения покоя.
Сила трения покоя
п равна по модулю внешней силе, которую
прикладывают к телу, пытаясь сдвинуть его с места, и противоположна
ей по направлению. Она может принимать любые значения от нуля до
силы трения скольжения Fjp:
О < F т р и < Fтр
*
Трение качения возникает, когда одно тело катится по поверхности
другого тела.
§20. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения
Взаимное притяжение тел называют гравитационным взаимодействи­
ем или гравитацией.
Ньютон установил характер взаимодействия материальных точек:
F^Gm^m^r2-
(3.16)
Сила взаимного притяжения материальных точек прямо пропор­
циональна произведению их масс, обратно пропорциональна квадра­
ту расстояния между ними и направлена вдоль прямой линии, соеди­
няющей эти материальные точки.
Под гравитационным полем понимают материальный объект приро­
ды, который осуществляет взаимодействие тел по закону всемирного
тяготения.
Гравитационное поле является потенциальным, так как работа сил
этого поля по замкнутому контуру равна нулю.
В уравнении (3.16) G = 6,67-10"11 Нм2 /к г 2 - гравитационная посто­
янная.
67
§21. С и л а т я ж ес т и . В ес т ел а . Н е в е со м о с т ь
Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тя­
жести. Однако сила тяжести равна силе тяготения лишь на полюсах.
Рассмотрим тело массой т , находящееся на произвольной широте ср
местности Земли, масса которой М (рис. 3.2).
На тело действует сила тяготения F , направленная по радиусу к цен­
тру Земли. Составляющая этой силы F2 сообщает телу массой т цент­
ростремительное ускорение.
m
mg
Рис. 3.2
Каждое тело, находящееся
на Земле, обладает линейной
скоростью v = юг, которая за­
висит от широты местности ср,
т.к. г = R3cos ср.
Угловая скорость ю = 2п/Т.
Здесь Т — период суточного
вращения Земли вокруг своей
оси, равный 24 ч.
Центростремительное
ускорение ац = 4n2R^cos ср/72.
С о став л яю щ ая
силы
F2 = 4n2mR3cos ср/Г2 невелика
по сравнению с силой притяжения к Земле F . Вторая состав­
ляющая силы тяготения является силой тяжести m g .
Разность сил ( F - m g ) равна нулю на полюсах и достигает максиму­
ма, равного 0,003 mg, на экваторе.
Ускорение g меняется с широтой в пределах от 9,78 м/с2 на экваторе
до 9,83 м/с2 на полюсах. Поэтому при решении многих задач можно
считать, что \mg\ =
mg ^ GmM / 7?32
g = GM/Rl.
68
(3.17)
Из уравнения (3.17) видно, что ускорение g, вызываемое силой тяже­
сти, не зависит от массы тела т, а зависит только от расстояния R3 от
центра Земли до точки, в которой находится тело. Это фундаментальное
свойство гравитационного поля впервые было установлено Галилеем.
Весом тела Р называется сила, с которой тело, вследствие его при­
тяжения к Земле, действует на опору или подвес. Вес тела приложен к
опоре или подвесу.
Невесомость — это состояние системы, движущейся в гравитацион­
ном поле, при котором поле не вызывает давления частей системы друг
на друга. Например, при свободном падении тело находится в состоянии
невесомости. Состояние невесомости тела может наступить при движе­
нии в лифте, если кабина лифта опускается с ускорением, равным g.
Космонавты при свободном полете в космосе также испытывают состо­
яние невесомости.
§22. П ер в ая к о см и ч ес к а я ск о р о ст ь
Для того чтобы двигаться вокруг Земли по круговой орбите с радиу­
сом, мало отличающимся от радиуса Земли, т.е. стать спутником Земли,
тело должно иметь вполне определенную скорость, называемую первой
космической скоростью.
При движении спутника на него действует сила притяжения к Земле:
F = G m M /R 2,
где т — масса спутника, М — масса Земли.
Эта сила сообщ ает спутнику ц ен трострем ительн ое ускорение
а = v2/R. Применяя второй закон Ньютона, запишем:
GmM / R2 = тац и GM / R2 = v2 / R,
откуда
v = 4G M /R .
(3.18)
Подставив в уравнение (3.18) выражение (3.17), получим значение
первой космической скорости:
\ = JgR,
v « 8 - 1 0 3 м/с.
Аналогично можно найти первую космическую скорость и для дру­
гих небесных тел.
69
К о н т р о л ь н ы е в о п р о сы
1. Что называется массой тела?
2. Дайте определение силы.
3. Сформулируйте первый закон Ньютона.
4. Что называется инерцией?
5. Дайте определение единицы силы.
6. Запишите и сформулируйте второй закон Ньютона.
7. Сформулируйте третий закон Ньютона.
8. Как читается принцип относительности Галилея?
9. Как найти плотность однородного тела?
10. Какими единицами измеряется плотность?
11. Какие деформации называются упругими? Пластичными?
12. Запишите закон Гука для деформации растяжения, сжатия.
13. Что называется силой упругости? Как соединяются пружины?
14. Какие существуют виды сухого трения?
15. Какой физический смысл имеет гравитационная постоянная?
16. В какой точке на Земле самая большая сила тяжести?
17. Что называется весом тела?
18. Является ли постоянной величиной ускорение свободного паде ния?
19. Выведите формулу для определения первой космической скорос­
ти.
20. Какое состояние тел называют невесомостью?
21. Как будет двигаться тело, если на него действует постоянная по
величине и по направлению сила?
22. Всегда ли тело движется туда, куда его тянет сила?
23. Как будет двигаться тело, если на него действовала сила, а потом
прекратила действовать?
24. По второму закону Ньютона ускорение тел обратно пропорцио­
нально его массе. Почему при свободном падении ускорение
всех тел одинаково?
70
П р и м ер ы р еш ен и я задач
Задачи, в которых требуется определить ускорение тел или силы, как
правило, лучше решать, используя второй закон Ньютона. При этом сле­
дует:
1. Решить, движение каких тел вас интересует. Представить прибли­
зительно, как тела будут двигаться (если при этом вы ошибетесь, ничего
страшного, решение вас поправит).
2. Определить, какие тела действуют на каждое выделенное вами тело.
Только после этого определить, какие силы действуют на выделенные
тела и нанести их на рисунок. Если тела движутся поступательно, то
принято точку приложения всех сил переносить в центр тяжести.
3. Выбрать систему отсчета и координатные оси.
4. Записать второй закон Ньютона для каждого тела в отдельности.
Закон Ньютона можно записать сначала в векторной форме, затем в ко­
ординатной, но можно и сразу в координатной.
5. Использовать дополнительные соотношения: закон трения, невесо­
мость и нерастяжимость нитей и т.д.
6. Решить полученную систему уравнений.
Обычно в задачах встречаются следующие силы:
1. Сила тяжести m g . Она приложена к центру тяжести тела и направ­
лена к центру Земли (рис. 3.3).
2. Сила реакции опоры R (рис. 3.4), которую принято сразу раскла­
дывать на нормальную составляющую N и касательную
Ртр (силу тре­
ния).
mg
’
Рис. 3.4
71
3.
Сила натяжения нитей Т (упру­
гая сила). Она направлена по нити и
приложена в точке закрепления нити.
Обычно рассматриваются невесо­
Рис. 3.5
мые и нерастяжимые нити, т.е. нити,
массой и растяжением которых можно пренебречь.
Модуль натяжения невесомой нити во всех точках одинаковый (рис.
3.5, 3.6):
T1
тх= т2.
(1)
///////Ж
Рис. 3.6
Рис. 3.7
Это вытекает из второго закона Ньютона. При этом надо помнить:
а) между точками А и В (рис. 3.7) на нить не должны действовать
другие силы (например, силы трения);
б) при неравномерном движении условие (1) выполняется только
приблизительно: тем точнее, чем меньше масса нити в сравнении с мас­
сой связанных нитью тел.
Из условия нерастяжимости нити вытекает следствие: проекции пе­
ремещений, скоростей, ускорений концов нити на направление нити оди­
наковы по модулю:
ASa
=
AS.
v т1 = Vя
т
k1= а.
Обычно в задачах ускорения направлены по нити. Тогда
|«л| = |«в|-
(2)
Условия (1) и (2) являются важными дополнительными условиями
при решении задач по динамике.
72
3 .1 .
С какой си л ой F нуж но д ей ств о в а ть на тел о м ассой
т —5 кг, чтобы оно падало вертикально вниз с ускорением а = 15 м/с2.
Дано:
от = 5 кг
а = 15 м/с2
F— ?
Р е ш е н и е. На тело действуют две силы:
сила тяжести m g и сила F {рис. 3.8). Направим
ось х вертикально вниз. Запишем второй закон
Н ь ю то н а в п р о ек ц и ях на вы б ран н ую ось:
mg + F = та, откуда F = от {a—g), F = 26 Н.
3.2.
Груз массой от = 140 кг, лежащий на полу кабины опускающего­
ся лифта, давит на пол с силой ТУ, = 1440 Н. Определите величину и
направление ускорения лифта.
Дано:
от = 140 кг
ТУ, = 1440 Н
п
?
Р е ш е н и е . Некоторые учащиеся ошибочно
считают, что раз лифт опускается, то ускорение
направлено вниз. На самом деле вниз направлена
скорость, а ускорение направлено вверх. Это вы­
яснится из решения задачи. На груз действует
Земля с силой mg и пол лифта с силой ТУ
(рис. 3.9). По третьему
закону Ньютона N = -ТУ,, где N , - вес тела, приложенный к лифту.
Направим ось х вертикально вниз и запишем второй закон Ньютона в
проекциях на эту ось:
m g - N = max.
(1)
А
F
mg
A'l
mg
Рис. 3.8
Рис. 3.9
Поскольку мы не знаем, куда направлено ускорение, то пишем ах. Из
уравнения (1) получим: ах = g —N / от, ах = - 0,49 м/с2. Так как ах< 0, то
это означает, что ускорение направлено вверх, а величина его равна
а - \ а J = 0,49 м/с2.
73
3.3.
В лифте установлены пружинные весы, на которых подвешено
тело массой m = 1 кг. Что будут показывать весы, если: 1) лифт движет­
ся вверх с ускорением а х = 4,9 м/с2; 2) лифт движется вверх замедлен­
но с ускорением а2 = 4,9 м/с2; 3) лифт движется вниз с ускорением
а2 = 2,45 м /с2; 4) лиф т движ ется вниз зам едленно с ускорением
а4 = 2,45 м/с2?
Дано:
т = 1 кг
1) а х = 4,9 м/с2
2) а2 = 4,9 м/с2
3) <з3 = 2,45 м/с2
4) а4 = 2,45 м/с2
-
Р е ш е н и е. На тело действуют две силы:
сила тяжести m g , направленная вниз, и сила уп­
ругости пружины F , определяемая по показани­
ям пружинных весов, направленная вверх (рис.
3.10).
Направим ось х вертикально вверх. Запишем
второй закон Ньютона в проекциях на ось х:
F - m g = тах, F = т (g + ах):
1) если ускорение н ап равлен о вверх, то
ах = а 1>
с
с)
'
mg
Рис. 3.10
F = m ( g + a{), F = 14,7 Н;
2) если у ск орен и е н ап равл ен о вниз, то
ях = а2 ,
F = m ( g - а2), F = 4,9 Н;
3) если у ск орен и е н ап р ав л ен о вни з, то
а\ ~ аъ >
F = m ( g - a 3), F = 7,4 Н;
4) если ускорение направлено вверх, то ах = а4 ,
F = т (g + а4), F = 12,3 Н.
3.4.
Тело массой т движется по горизонтальной поверхности под
действием силы F, направленной под углом а к горизонту. Коэффициент
трения тела о поверхность равен р. Найти ускорение тела.
Дано:
F
т
сила тяжести m g, N — сила нормальной реакции
И
опоры, F — сила тяги, Fф — сила трения (рис. 3.11).
а______
а— ?
74
Р е ш е н и е. На тело действуют следующие силы:
Вектор а направлен горизонтально. Запишем второй
закон Ньютона в векторной форме:
(1 )
F + m g+ N + Fw ~m ® ■
Выбрав направление осей х пу, запишем уравнение (1) в проекциях на оси:
ось х : F cos а - F^ = та,
ось у: N + F sin a - m g = 0.
Из уравнения (3) находим: N = mg - F sin а , тогда
Fmp =
=
(2)
(3)
- F s in “ )•
Подставив это выражение в уравнение (2), получим
_ F cos а - \i{mg - F sin а )
а=
т
у Щё
У
Г,
С]
m2g
I
Рис. 3.12
Рис. 3.11
3.5.
Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной плоскости под
действием груза массой 0,5 кг, прикрепленного к концу нерастяжимой
нити, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения брус­
ка о поверхность р = 0,1. Найдите ускорение движения бруска и силу
натяжения нити.
Дано:
т х = 2 кг
т2 = 0,5 кг
р = 0,1
а— ? Т—
Р е ш е н и е . Рассмотрим движение каждого
груза отдельно. На брусок действуют четыре силы
рис. 3.12): mxg — сила тяжести, N — сила ре­
акции опоры, Т j — сила натяжения нити, Fф —
си ла трен и я. Н а груз д ей ствую т две силы:
m2g — сила тяжести и Т 2 — сила натяжения нити. Запишем для двух
тел второй закон Ньютона в векторной форме:
75
Щ ё + N + T^ + Fmp = m xax,
( 1)
m2g + T2 = m2a2 ■
(2)
Спроектируем уравнение (1) на выбранные направления осей х и у,
получим
ось х: Т{ - FTf) = т ]а 1,
(3)
ось у: m xg - N = 0.
(4)
Из уравнения (4) N = m xg, поэтому Fmp = |0 jV = \xmxg , тогда уравне­
ние (3) примет вид
Тх- рmxg = mxax.
(5)
Спроектируем уравнение (2) на ось у, получим
(6)
m2g - Т 2 = т2а2.
Так как нить невесомая и нерастяжимая, а масса блока пренебрежи­
мо мала, то Тх= Т2 =Т и |д,| = |а 2| = а , из (5) и (6) получаем систему
уравнений:
Т - \ m xg = mxa,
( /)
m2g - Т = m2a .
(8)
Решая систему уравнений (7) и (8), получим
a = s ( mД .) , а = 1д м/с2;
тг + тх
T = m2( g - a ) ,
Т = 4,3 Н.
3.6.
Два тела массой тх = т и т2 = 2т связаны невесомой, нерастяжи­
мой нитью, перекинутой через неподвижный невесомый блок. Вся система
подвешена на пружинных весах (динамометре). Показание динамометра
F = 56 Н. Найдите массы тел, силы натяжения нитей и ускорение системы.
Дано:
^ ^ ^
т2 = 2 т
тб = 0
тбл= 0
тх= т
р
? 7 2__ 9
сиj — ?т2 — ?
а
76
2
Р е ш е н и е . На тело массой т j действует сила
тяжести mxg и сила натяжения нити Тх (рис. 3.13),
на тел0 массой т2 — силы m2g и Т2, на блок
силы Тх и Т2 и сила упругости пружины динамометра F . Направим ось х вертикально вниз и запи­
шем уравнение движения в проекции на ось х для
каждого тела:
Щg - T \ = - щ а х,
m2g - Т 2 = m2a2,
t; + t ; - f
= о.
Так как /ябл = 0, а нить невесомая и нерастяжимая, то
Irj~i I
Iгут I
m
| — I—
Iгт"т I
\rrii_
I rri I
—^2 —® I—р]’ |^21 —р21
» p i
•
Уравнения примут вид
m xg - T = - m xa,
( 1)
m2g - Т = m2a,
(2)
2Т - F = 0.
(3)
Из уравнений (1) и (3) находим:
Т = F / 2 , Г = 28 Н;
a = g ! 3, а = 3,3 м/с2;
m x = m = 3F / (8g), Wj = 21 кг;
т2 = 2 т , т2 - 42 кг.
/ / // / / / / / / /
///////////
'Т
Щё [ ]
Рис. 3.13
-Е ]
Рис. 3./4
3.7.
Через неподвижный, невесомый блок перекинута веревка, к од­
ному из концов которой привязан груз массой т х = 60кг. На другом
конце повис человек массой т2 = 65кг, который, перебирая руками ве­
ревку, поднимает груз, оставаясь при этом на одной и той же высоте от
пола. Через сколько времени груз будет поднят на высоту И = 12 м?
77
Дано:
т х = 60 кг
т2 = 65 кг
h = 12 м
Р е ш е н и е. На рис. 3.14 показаны силы,
действующие на человека: m2g и Г , и груз m{g
и f , а также направление оси х. Так как человек
неподвижен относительно Земли, то силы, при­
ложенные к нему, уравновешены: m2g - Т = 0.
Уравнение движения груза в проекции на ось х:
m xg - Т = - т ха
t— 2
a _ g(m2- ml)
или
w,
Если в начальный момент груз был неподвижен относительно Земли,
то время подъема на высоту h находим из формулы h = at1 / 2:
t = ■Jlh/a = ^2hmx/(m2 - m x)g\ t = 54 с .
3.8. На наклонную плоскость, образующую угол а =30° с горизон­
том, положено тело. Коэффициент трения тела о плоскость равен
ц = 0,5. С каким ускорением тело будет соскальзывать с плоскости? При
каких значениях коэффициента трения ptj тело останется в покое?
Дано:
а = 30°
Ц =0,5
а __ ? ц
Р е ш е н и е . Запишем уравнение Ньютона для
тела в проекциях на оси х и у {рис. 3.15):
mg sin а = та,
(1)
?
N - m g cos a?=0.
(2)
Из уравнения (2) получим У = mg cos а . При
скольжении / ?тр= \iN. Подставляя FTp и У в уравнение (1), получим
mg sin a - р mg cos a = та,
a - (sin a - ц cos a )g; a = 0,66 м/с2.
Тело не будет скользить, если максимальная сила трения покоя
Fw тах больше (или равна) проекции силы тяжести на ось х:
F TP
или
m ax =
-
m s
s in a
p jmg cos a ^ mg sin a ; pj < tg a ,
pj = 0,58.
3.9. Два бруска массой т х= т 2 = т = 0, 2кг положены на наклонную
плоскость с углом наклона a = 45°, как показано на рис. 3.16. Коэффи­
циент трения нижнего бруска о плоскость Pj = 1, верхнего — р2 = 0,1.
Определите силу взаимодействия брусков при их совместном соскаль­
зывании с наклонной плоскости.
78
mg.
mg
mg
X
Puc. 3.16
Puc. 3.15
Дано:
m \ = m 2 = 0,2 кг
a = 45°
Hi = 1
P2 = 0,1
F —-?
Р е ш е н и е . Изобразим силы, действующие
на каждый брусок. По третьему закону Ньютона
силы взаимодействия между брусками равны, т.е.
| % | % F .
Н апиш ем уравнения движения
брусков нижнего (1) и верхнего (2) в проекции
на ось х (см. задачу 3.8):
F + m g sin a - \i-png cos a = та,
( 1)
—F + mg sin a - p2wg cos a = ma■
Из уравнений (1), (2) находим:
F = (1/2) (|i[ - p2) mS cos a l F = 0,62 H.
(2)
3.10.
Диск вращается вокруг вертикальной оси, делая 30 об/мин. На
расстоянии 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Какой должен
быть коэффициент трения между телом и диском, чтобы тело не скати­
лось с диска?
Дано:
п = 0,5 с"1
R = 0,2 м
Р е ш е н и е . Силы, действующие на тело, показа­
ны на рис. 3.17. Запишем уравнение Ньютона в про­
екции на ось у:
р— ?
N - mg = 0
(1)
и уравнение Ньютона для вращательного движения
F = т 4п2п2Я.
(2)
С учетом уравнения (1) максимальное значение силы трения покоя
определяется выражением
/Гт р т а х = Р Л Г = Р ' и ? -
79
Из уравнений (2) и (3) найдем ми­
нимальное значение коэффициента тре­
ния:
Pmin = 4 jA i2* / g ; Pmin = 0,22.
Итак, р ^ 0,22.
3.11.
р о в а (« м ер тв ая п етл я» ) р ад и усом
R = 225 м. Какую наименьшую ско­
Рис. 3.17
рость должен иметь самолет в верх­
ней точке петли, чтобы летчик не повис на ремнях, которыми он при­
стегнут к креслу?
Дано:
R = 225 м
действует сила тяжести mg и сила реакции опо-
о
ры м . Обе силы направлены вниз (рис. 3.18).
Р е ш е н и е . В верхней точке петли на летчика
Запишем уравнение движения: N + mg= = та, где
а — центростремительное ускорение. В момент отрыва летчика от сиде­
ния N = 0, тогда mg = та, где а = v2 /R, скорость v = ~JgR . Итак, чтобы
летчик не оторвался от сидения и не повис на ремнях, скорость самолета
___
должна быть:
v>
v = 50 м /с .
mg
mg
mg
Рис. 3.18
Рис. 3.19
3.12.
С каким максимальным периодом Т можно равномерно вра­
щать в вертикальной плоскости шарик, привязанный к нити длиной
1 = 2,45 м.
80
С
Дано:
Р е ш е н и е . В верхней точке траектории (точка А
I = 2,45 м
на p UC s i д) на шарик действуют силы тяжести mg и
?
натяжения нити FH, направленные по радиусу к центру
j
окружности. По второму закону Ньютона запишем:
mg + FH= ml4n2 / Г 2.
(1)
Период Т будет максимальным при /^ = 0 , тогда из уравнения (1) по­
лучим:
Т = 2 n ^ lfg\ Т = 3,14 с.
3.13. Шарик, подвешенный к потолку на нити, описывает окружность
в горизонтальной плоскости, отстоящей от потолка на расстоянии
h = 1,25 м (конический маятник). Найдите период обращения шарика.
Дано:
Р е ш е н и е . Изобразим силы, действующие на
h - 1,25 м
--------------^
'
шарик (рис. 3.20): mg — сила тяжести, F — сила
натяжения нити. Равнодействующая этих двух сил
FT изображается диагональю параллелограмма.
Запишем второй закон Ньютона:
FT = m ( 4 n 2 / T 2)R.
(1)
Из треугольника ABC
FT = mg tg a .
(2)
Из треугольника АДО
tg а = R / h, где h = ОД.
(3)
Подставив уравнения (2) и (3) в (1), получим
m g ( R / h ) =m ( 4 n 2 / T 2)R,
отсюда
г—
Т = 2n ^ h /g\ Т = 2,25 с.
3.14. Космический корабль массой /я, = 106 кг начинает подниматься
вертикально вверх. Сила тяги его двигателей F T= 2,94-107 Н. Определи­
те ускорение корабля и вес тела, находящегося в нем, если сила тяжести
тела равна F' = 588 Н.
Дано:
m, = 106 кг
F = 2 94 107 Н
F' = 588 Н
а — ? />2' — ?
Р е ш е н и е . На корабль действуют две силы:
~
.
СИЛа ТЯГИ Т И СИЛа тяжести m \ g ~ F
(Рис■
3.21). В проекции на о сьу запишем второй закон
Ньютона:
FT - F' = m xa или FT - m xg = m xa, откуда
a = F T/ m x - g; a = 19,6 м/с2 = 2g.
81
а У
/\
A
> *Тт
mg
N
1ч
if"
Рис. 3.21
Рис. 3.20
Запишем далее уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось
у для тела, находящегося в корабле:
N - F ’ - т2а или N = т2а + F' = 2m2g + F' = 3F';
Р2 = N = 3F'; Р2 = 1,76 кН.
3.15.
Круглая железобетонная опора диаметром d = 30 см и высотой
h = 10 м сжимается силой F = 106 Н. Найдите деформацию опоры, если
ее сечение наполовину состоит из стальной арматуры.
Р е ш е н и е. По закону Гука:
Дано:
ДА = F xh / ( В Д ) = F2h / (E2S2),
(1)
h = 10 м
где
F
j
и
F2
—
усилия,
воспринимаемые
сталь­
d = 0,3 м
F = 106 Н
5 , = S2 = 0,5 S
Ех - 2,2-1011 Па
Е2 = 0,3-Ю 11 Па
Дh
ной арматурой и бетоном соответственно; Е х и
Е2 — модули Ю нга стали и бетона;
и S2 —
площади поперечного сечения опоры, занимае­
мые стальной арматурой и бетоном соответствен­
но; S — площадь поперечного сечения опоры.
По условию задачи:
f
= f x+ f 2
(2)
Решая уравнения (1) — (2), находим:
Fh
Ah = ■
К. 5'| -f S 2
82
(3)
Так как Sl = S2 = nd1 / 8, из уравнения (3) получим
Ah=
8F/г
I
1
°
ДА» 1,2-10 м.
nd (Ex + Е2) I
'}
Задачи для самостоятельного решения
3.16. Мальчик везет равномерно санки по горизонтальной дороге,
прилагая к веревке силу 20 Н. Веревка образует с горизонтом угол 60°.
Найдите силу трения.
О т в е т : ЮН.
3.17. Две гири массами 7 кг и 11 кг висят на концах нерастяжимой
нити, которая перекинута через блок. Гири сначала находятся на одной
высоте. Через какое время после начала движения более легкая гиря
окажется на 10 см выше тяжелой? Массой блока, нити и сопротивлени­
ем движению пренебречь.
О т в е т : 0,21 с.
3.18. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом на­
клона 40°. Определите коэффициент трения тела о плоскость.
О т в е т : 0,84.
3.19. С какой силой на дно шахтной клетки будет давить груз массой
100 кг, если клеть будет подниматься вертикально вверх с ускорением
24,5 см/с2?
О т в е т : 1000 Н.
3.20. Для подготовки летчиков-космонавтов к перегрузкам применя­
ются специальные центрифуги. Какой должна быть угловая скорость цен­
трифуги радиусом 6 м, чтобы космонавт испытывал десятикратную пе­
регрузку?
О т в е т : 3,84 рад/с.
3.21. Какой наименьший радиус поворота может быть у автомобиля,
движущегося со скоростью 36 км/ч, при коэффициенте трения скольже­
ния колес о почву 0,27?
О т в е т : 37,8 м.
3.22. Груз массой 20 кг перемещают равномерно по горизонтальной
дороге, прилагая силу, направленную под углом 30° к горизонту. Опре­
делите величину этой силы, если коэффициент трения 0,05.
О т в е т : 11 Н.
83
3.23. Ведро с водой вращается в вертикальной плоскости на веревке
длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно вращать ведро,
чтобы при прохождении его через высшую точку дном вверх вода из
него не вылилась?
О т в е т : 2,2 м/с.
3.24. Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по окружности ра­
диусом 50 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться,
чтобы сохранить равновесие?
О т в е т : 74,5°.
3.25. Определите массу Солнца, зная, что средний радиус орбиты
Земли равен 1,49 108 км.
О т в е т : 2 1030 кг.
3.26. Период обращения спутника, движущегося вблизи планеты, ра­
вен Т. Считая планету однородным шаром, найдите ее плотность.
О т в е т : р = 371 / (GT2).
3.27. Вокруг Земли на высоте 200 км над поверхностью по круговой
орбите движется космический корабль. Какова должна быть скорость
корабля, чтобы находящийся в нем космонавт оказался в состоянии не­
весомости?
О т в е т : 7,9 км/с.
3.28. На сколько должен быть поднят наружный рельс над внутрен­
ним на закруглении железнодорожного пути радиусом 300 м, если ши­
рина колеи 1524 мм? Нормальную скорость, при которой сила давления
на рельсы перепендикулярна им, примите равной 54 км/ч.
О т в е т : 0,12 м.
3.29. Чему равно удлинение латунного стержня длиной 4 м, имеюще­
го площадь сечения 0,4 см2, под действием силы 1 кН?
О т в е т : 1,1-10'3 м.
3.30. Стальная проволока длиной 1 м закреплена одним концом так,
что может совершать колебания в вертикальной плоскости. К свободно­
му концу проволоки прикреплен груз массой 50 кг. Проволоку с грузом
отклоняют на высоту подвеса и отпускают. Определите абсолютное уд­
линение проволоки в нижней точке траектории при движении груза. Пло­
щадь сечения проволоки 0,8 мм2, массой проволоки пренебречь.
О т в е т : 8,4-10-3 м.
84
3.31. Скорость автомобиля изменяется по закону vx = 10 + 0,5/. Най­
дите результирующую силу, действующую на него, если масса автомо­
биля равна 1,5 т.
О т в е т : 0,75 кН.
3.32. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60
земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой
точке прямой, соединяющей центры этих планет, тело будет притягивать­
ся ими с одинаковой силой?
О т в е т : на расстоянии 6R3 от центра Луны.
3.33. Одинаковая ли сила тяжести действует на два одинаковых шара,
один из которых плавает в воде, а другой лежит на столе?
О т в е т : Да.
3.34. Пользуясь законом всемирного тяготения, найдите ускорение
свободного падения на высоте, равной радиусу Земли; на высоте, рав­
ной двум радиусам Земли.
О т в е т : 2,5 м/с2; 1,1 м/с2.
3.35. Ускорение свободного падения на Венере составляет 0,9 земно­
го, а радиус Венеры равен 0,95R3. Найдите первую космическую ско­
рость у поверхности Венеры.
О т в е т : 7,4 км/с.
3.36. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы
обращаться по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Зем­
ли? Каков период его обращения?
О т в е т : 7,57 км/с; 96,5 мин.
3.37. На какой высоте должен находиться искусственный спутник
Земли, чтобы его период обращения был равен 24 ч?
О т в е т : 35000 км.
3.38. Стальную отливку массой М поднимают из воды при помощи
троса, жесткость которого равна к, с ускорением а. Плотность стали р 1?
плотность воды р2. Найдите удлинение х троса. Силой сопротивления
воды пренебречь.
Ответ:
x
= 4 M ± ^ Z M ).
кр\
85
3.39. Муравей ползет по соломинке, которая свободно падает, нахо­
дясь в вертикальном положении. Сравните время падения соломинки с
муравьем, если: а) он ползет вверх; б) он ползет вниз; в) он неподвижен
относительно соломинки.
О т в е т : /Я < /В </ ^.
б
3.40. Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревян­
ной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жест­
костью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пру­
жины.
О т в е т : 6 см.
3.41. Тело массой 10 кг тянут по горизонтальной поверхности, при­
кладывая силу 50 Н, направленную под углом 30° к горизонту. Ускоре­
ние тела равно 3,5 м/с2. Найдите коэффициент трения между телом и
поверхностью.
О т в е т : 0,1.
3.42. Определите, какого радиуса круг может описать велосипедист,
если он едет со скоростью 25 км/ч, а предельный угол наклона велоси­
педиста к земле равен 60°.
О т в е т : 8,2 м.
3.43. Описывая окружность радиусом 30 м, конькобежец наклонил­
ся в сторону поворота на угол 17° к горизонту. С какой скоростью дви­
гался конькобежец? Каков коэффициент трения коньков о лед?
Ответ: 10 м/с; 0,3.
3.44. Вес тела в лифте, движущемся с ускорением , направленным:
а) вверх и равным 5 м/с2; б) вниз и равным 5 м/с 2, оказался равным
100 Н. Какова масса этого тела?
О т в е т : а) 6,7кг; б) 20кг.
3.45. Автомобиль проходит середину выпуклого моста радиусом 50м
со скоростью 20 м/с. Найдите вес автомобиля в этой точке, если его
масса 5т.
О т в е т : 10 кН.
3.46. Троллейбус массой 10 т, трогаясь с места, приобрел на пути
50м скорость 10м/с. Найдите коэффициент трения, если сила тяги равна
14 кН.
О т в е т : 0,04.
86
3.47. Какой массы состав может везти тепловоз, если уравнение его
движения должно иметь вид х = 0,05^ и он развивает силу тяги 300 кН
при коэффициенте трения 0,005?
О т в е т : 2000 т.
3.48. Какую силу надо приложить для подъема вагонетки массой
600 кг по эстакаде с углом наклона 20°, если коэффициент трения равен
0,05?
О т в е т : 2,3 кН.
3.49. С каким ускорением скользит брусок по наклонной плоскости
с углом наклона 30° при коэффициенте трения, равном 0,2?
О т в е т : 3,3 м/с2.
3.50. На наклонную плоскость с углом 30° положили кирпич массой
2 кг. Коэффициент трения скольжения между поверхностями равен 0,8.
Чему равна сила трения, действующая на кирпич?
О т в е т : 10 Н.
3.51. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится
груз массой 50 кг. Какую силу надо приложить, чтобы:
а) удерживать тело на наклонной плоскости (р =0,2);
б) равномерно поднимать его вверх;
в) равномерно опускать его вниз;
г) поднимать его вверх с ускорением 1 м/с2;
д) опускать его вниз с ускорением 1 м/с2?
О т в е т : 220 Н < F < 380 Н; 380 Н; 220 Н; 430 Н; 170 Н.
3.52. Поезд массой 3000 т движется вниз под уклон, равный 0,003.
Коэффициент сопротивления движению равен 0,008. С каким ускорени­
ем движ ется поезд, если сила тяги локомотива равна: а) 300 кН;
б) 150 кН; в) 90 кН?
О т в е т : а) 0,05 м/с2; б) 0; в) 0,02 м/с2.
,3.53. С какой горизонтальной силой надо
действовать на брусок массой 2 кг, находя­
щийся на наклонной плоскости с углом на­
клона 30° (рис.3. 22), чтобы он двигался
равномерно вверх по наклонной плоскости?
Коэффициент трения бруска о наклонную
плоскость равен 0,3.
О т в е т : » 21 Н.
/>мс. 3 22
87
3.54. Под каким углом к горизонту должен наклоняться кузов само­
свала, чтобы находящийся на нем груз полностью высыпался? Коэффи­
циент трения принять равным 0,6.
О т в е т : 31°.
3.55. С наклонной плоскости, угол наклона которой равен а , соскаль­
зывает без трения клин. Верхняя грань клина горизонтальна. На клине
находится тело массой т. Найдите силу трения, действующую на тело.
О т в е т : F^ = 0,5 mg sin 2а.
3.56. Вертолет, масса которого 27,2 т, поднимает на тросах верти­
кально вверх груз массой 15,3 т с ускорением 0,6 м/с2. Найдите силу
тяги вертолета и силу, действующую со стороны груза на прицепной
механизм вертолета.
О т в е т : 442 кН; 160 кН.
3.57. Три тела массами 2 кг, 3 кг и 10 кг последовательно связаны
нитями по вертикали. Какую силу надо приложить к верхнему телу, что­
бы равномерно поднимать все тела вертикально вверх? Какой будет сила
натяжения всех нитей?
О т в е т : 150Н; 130 Н; 100 Н.
3.58. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы
массами 0,3 кг и 0,34 кг. За 2 с после начала движения каждый груз
прошел путь 1,2 м. Найдите ускорение свободного падения, исходя из
данных опыта.
Ответ:
9,6 м/с2.
3.59. На рис. 3.23 т х = 5 кг и т2 = 5 кг. Трение в блоке отсутствует.
Массой блока можно пренебречь. Какова сила натяжения нити, если: а) тре­
ние между бруском Wj и поверхностью стола отсутствует; б) ц = 0,2?
ш
^\ЧЧ\Ч\ЧЧ\\\ЧЧЧЧЧЧЧЧ\ЧЧЧЧ;
Рис. 3.23
88
Г л ав а
4. ЗА К О Н Ы СО ХРАНЕНИЯ В М ЕХАН И К Е
§23. Импульс тела. Закон сохранения импульса
Рассмотрим движение тела массой т под действием постоянных по
величине и направлению внешних сил. По второму закону Ньютона
'Y_Fi = m a , где ^ ~'Fi —- ге о м е тр и ч е с к а я сум м а в н еш н и х сил,
а — ускорение, сообщаемое телу.
Заменим ускорение а = Av/At = (v2 - v ,)/A f, получим
YjF t = »*(v2 —v ,)/A f,
(4.1)
где v , - v, = Av — изменение скорости тела за время At.
Умножим правую и левую части уравнения (4.1) на At, получим
^ F ^ t = т \ 2 - /rav,.
(4.2)
В уравнении (4.2) произведение суммарной силы на время ее дей­
ствия
называется импульсом силы, а произведение массы тела
на его скорость {т у ) называется импульсом тела.
Обозначим импульс тела буквой р :
(4.3)
р —т у .
Импульс тела — величина векторная. Направление вектора импульса
совпадает с вектором скорости.
В системе СИ импульс измеряется в килограмм-метрах в секунду
[кг м/с].
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п поступательно
движущихся тел (материальных точек). Используя второй закон Ньюто­
на, запишем:
[Д Ц
V , )]/А*
= Fn +
+ ... + F]n + Fx,
[a(w 2v 2)]/a ^ = F2l + F23 + ... + F2n + F2,
А/ = Fnl + Fn2 + ... + F„(n. 0 + Fk.
89
Силы F\2,Fn ,Fu ,Fly,...,Fn(n_X), возникающие в результате взаимодей­
ствия между телами данной системы, называют внутренними. Силы
Fx, F2, ..., Fk, с которыми на тела данной системы действуют тела других
систем, называются внешними.
Сложив левые и правые части записанных уравнений, получим
Z
Д
[A ( " W
р / Д
)]/Д ? =
Х
^внутр + Z
^ 1 ^ „ утр + 1
^
ш
^внеш .
,
где Ар — изменение импульса системы за промежуток времени At ;
Z
^„утр
—
сумма внутренних сил, ^ Рвиеш — сумма внешних сил.
На основании третьего закона Ньютона ^ FmyTp = 0 , поэтому данное
уравнение запишем в виде: А р /At =
Z
^
BHeui
•
Изменение импульса системы тел определяется суммой внешних сил,
действующих на систему. Это закон изменения импульса системы тел.
Если система замкнута, то ^ FBHem = 0 и уравнение примет вид
А р / A t = О или Ар = 0.
А это значит, что р = c o n st.
Получен закон сохранения импульса системы тел: полный (суммар­
ный) импульс замкнутой системы остается постоянным.
Пример: Два шарика, массы и скорости которых соответственно рав­
ны m,, v, и
движутся вдоль горизонтальной оси х (рис. 4.1, а).
Пусть v, > v 2. Первый шарик догоняет второй и они взаимодейству­
ют. При этом возникают две силы: Fx и F2 (рис. 4.1, б), которые равны
по величине и противоположны по направлению:
- F x= F r
(4.4)
В результате взаимодействия шарики изменят скорости на V, и v'2.
По второму закону Ньютона запишем:
90
ее
Fг
---
Рис. 4.1
F] - гП\(у{ - v ')/A t,
F2 = m 2(v 2 - v ' 2)/A t.
(4.5)
Из уравнений (4.4) и (4.5) получим
- w , ( v , - v ; ) = m2(v2 - v '2).
Преобразуем полученное равенство:
; ot 2 v 2
- т 2\'2,
пх\ \ - т 2\'2,
р ] + р 2 = р[ + р'2.
Сумма импульсов шариков до взаимодействия равна сумме импуль­
сов их после взаимодействия. При выводе этой формулы не учитыва­
лись внешние силы, т.е. система тел считалась замкнутой.
Закон сохранения импульса справедлив лишь в замкнутой системе,
когда на тела не действуют никакие силы. Однако его можно применять:
1) если сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю,
т.е. ^ Fi.= 0 ; 2) если ^ Ft Ф 0 , но равна нулю сумма проекций всех
внешних сил на какую-либо ось (например ось х), тогда проекция им­
пульса системы на эту ось р х = const; 3) если ^ j Fi ф О , а взаимодей­
ствие тел кратковременно и импульс внешних сил существенно не изме­
няет импульса тела.
§24. Р е а к т и в н о е д в и ж ен и е . Р а к ет ы
Реактивным называется движение системы, происходящее за счет
выбрасывания части своей массы с некоторой скоростью в определен­
ном направлении. Примером реактивного движения является движение
ракеты. Ракета выбрасывает с большой скоростью газообразные про­
дукты сгорания топлива, получая при этом импульс в противоположном
направлении.
Если предположить, что весь газ выбрасывается из ракеты мгновен­
но, то согласно закону сохранения импульса можно записать:
w,v, + т2\ 2 = 0 ,
так как импульс ракеты перед стартом был равен нулю.
Здесь m,v, — масса и скорость ракеты; т2\ 2 — масса и скорость
реактивной струи. Из данного уравнения находим скорость ракеты:
V, - - т 2\ 2 1т х.
(4.6)
Из выражения (4.6) видно, что скорость ракеты увеличивается с уве­
личением скорости истечения газов.
Формула (4.6) приближенная, так как на самом деле продукты сго­
рания истекают, хотя и быстро, но не мгновенно.
Отличительной особенностью ракеты является ее способность дви­
гаться в безвоздушном пространстве, так как для сгорания топлива не
требуется кислород атмосферного воздуха: для этого на ракете имеются
специальные вещества — окислители.
Идея космических полетов с помощью ракет была впервые высказа­
на и научно обоснована К.Э.Циолковским. Он оценил КПД ракеты, по­
лучил расчетные формулы для полета ракеты и решил задачу о необхо­
димом запасе топлива.
Советские ученые и инженеры, руководимые академиком С.П. Коро­
левым, впервые в истории человечества в 1957 году осуществили за­
пуск искусственного спутника Земли, а в 1961 году был осуществлен
полет Ю.А. Гагарина в космос.
92
§ 25. М е х а н и ч ес к а я р а б о т а . М о щ н о ст ь
М еханическая работа постоянной силы — это физическая величи­
на, равная скалярному произведению двух векторов, силы и переме­
щения:
A = FS.
(4.7)
При раскрытии скалярного произведения получаем
А = F S cos а ,
где а — угол между вектором силы и вектором перемещения.
Если а = 0, то А = F S — максимальная величина;
если а = 90°, то А = 0;
если а = 180°, то А = - F S — работа отрицательная (работа сил тре­
ния, сил сопротивления).
Если сила переменная, то для вы­
числения работы надо взять интеграл:
s2
s2
A = \ F J s = \ F x dS'
Si
(4.8)
1
s,
Работа на отрезке пути от точки 1
до точки 2 (рис. 4.2) численно равна ^
площади фигуры 012С.
В системе СИ работа измеряется в
джоулях (Дж).
1 Дж — это работа постоянной силы 1 ньютон при перемещении тела
на 1 метр вдоль направления действия силы.
Мощность — это физическая величина, равная отношению работы,
совершенной за время At, к величине этого промежутка времени:
N = А / At,
или с учетом (4.7) получим
N = F ■S / At = F
.
Мощность равна скалярному произведению силы на скорость v .
В системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт).
1Вт — это мощность такого механизма, который за одну секунду со­
вершает работу в 1 Дж.
93
§2 6 . К и н е т и ч ес к а я эн ер ги я . Т ео р е м а о к и н е т и ч ес к о й эн ер ги и
Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся
мерой различных форм движения материи. Механическая энергия равна
сумме кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия
Ек — это физическая скалярная величина, являющаяся мерой механи­
ческого движения.
Рассмотрим движение материальной точки под действием постоян­
ной силы, которая совпадает по направлению с начальной скоростью
V ,.
Такое движение будет равноускоренным. Запишем формулы пути и ско­
рости для равноускоренного движения:
S = x lAt + aAt1 /2 ,
(4.9)
х2 = Vj + aAt,
(4.1 0 )
где S — путь, пройденный точкой за промежуток времени At, а — уско­
рение, v2 — конечная скорость.
Из уравнений (4.9) и (4.10) найдем ускорение:
a = {v 2 - v i ) i ( 2 S )-
(4 Л 1 )
Подставив выражение (4.11) во второй закон Ньютона, получим
F = та - т (у22 - v f)/(2 S ).
(4.12)
Воспользовавшись уравнением (4.12), найдем работу, совершаемую
данной силой:
A = F S = m x \ l 2 - m x 2x l 2 .
(4.13)
Из выражения (4.13) видно, что работа равна приращению физичес­
кой величины тх2 / 2. Эта физическая величина получила название ки­
нетической энергии:
Ек = тх2 / 2.
Уравнение (4.13) показывает, что изменение кинетической энергии
тела равно работе сил, действующих на тело. Формула (4.13) называет­
ся теоремой о кинетической энергии.
§2 7 . П о т ен ц и а л ь н а я эн е р г и я м а т е р и а л ь н о й т о ч к и
в п ол е си л ы т я ж ести
Механическая энергия, зависящая от взаимного расположения тел
или отдельных его частей и их положения во внешнем силовом поле,
называется потенциальной энергией.
94
Мерой потенциальной энергии является
работа потенциальных сил, осуществляю­
щих взаимодействие между телами или ча­
стями тел.
Рассмотрим перемещение материальной
точки в поле силы тяжести из точки 1 в точ­
ку 2 (рис. 4.3). Работа А и , согласно (4.7),
равна:
Поверхность Земли
А 2 = Ft S 12 = m gS u ■
Рис. 4.3
Проекция вектора перемещения
на на­
правление силы тяжести равна разности высот (hx - h2):
А п = mg (A j- h2) = mghx - mgh2 = -m g (h2- h{)=-mgh = - A
(4.14)
Величина mgh = En называется потенциальной энергией силы тяжести.
Высота И отсчитывается от нулевого уровня, который выбирается
произвольно, исходя из условий задачи.
Из соотношения (4.14) видно, что работа при перемещении в поле
силы тяжести равна убыли потенциальной энергии. Если тело нельзя
считать материальной точкой, то вы­
сота отсчитывается от нулевого уров­
ня до центра тяжести тела.
Например: какую работу нужно
/
совершить, чтобы перевести каран­
даш массой т и длиной / из гори­
'
зонтального положения в вертикаль­
Рис. 4.4
ное (рис. 4.4)1
Если карандаш однородный и постоянного сечения, то центр тяжести
у него находится на h = / / 2, следовательно, работа
А = mgl / 2.
§28. П о т ен ц и а л ь н а я э н е р г и я у п р у г о д еф о р м и р о в а н н о г о т ел а
Потенциальной энергией обладают также упругодеформированные тела
(растянутый или сжатый стержень, сжатая или растянутая пружина).
В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного располо­
жения частей одного тела.
95
Чтобы растянуть пружину на величину A x = x 2- x v нужно совершить
работу А = к{Д х ) 2 / 2 , где к — коэффициент упругости пружины.
Так как работа равна изменению потенциальной энергии, взятой с
обратным знаком, то можно записать:
АЕр = ~ ( Ь 2 /2 - кх2 /2 ).
Отсюда находим потенциальную энергию упругодеформированного
тела: Ер = кх2 / 2, где х - абсолютная деформация (удлинение, сжатие).
§29. Закон сохранения энергии в механике
Силы, действующие на материальную точку, работа которых не зави­
сит от формы траектории, а определяется начальным и конечным поло­
жением точки, называются консервативными (или потенциальными).
Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю. Консерва­
тивными являются силы тяжести, силы упругости.
Кроме консервативных сил во всех реальных механических систе­
мах действуют силы сопротивления и трения. Эти силы рассеивают ме­
ханическую энергию, превращая ее в другие виды энергии (например, в
тепловую). Такие силы называются диссипативными.
При перемещении тела (материальной точки) в поле консервативных
сил (например, гравитационном) работа, с одной стороны, будет равна
приращению кинетической энергии А = АЕК, а с другой стороны, убыли
потенциальной энергии: А = -А Ер.
Таким образом, АЕК= -АЕр или АЕК+ АЕр = 0, откуда запишем:
т \22 1 2 - т \ 2/2 = ~{mgh2 - m g \ ),
m\2l/2 + mghl =m\22/2 + mgh2,
^ ^
Ek + Ep = E, E = const.
Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной
механической энергией. Получен закон сохранения механической энер­
гии. Полная механическая энергия в замкнутой консервативной сис­
теме остается величиной постоянной.
Закон сохранения механической энергии можно применять и для незам­
кнутых систем, когда суммарная работа внешних сил, действующих на тела
системы, равна нулю.
96
Следует отметить, что при свободном падении тело нельзя считать замк­
нутой системой, так как на него действует внешняя сила - сила тяжести. В
этом случае удобно рассматривать движение в системе отсчета “падающее
тело - Земля”, которую можно считать замкнутой. Практически это не при­
водит к ошибкам, так как потенциальная энергия тела в гравитационном поле
Земли является энергией взаимодействия тела и Земли, т.е. характеризует
энергию всей системы. Изменением же кинетической энергии Земли при её
взаимодействии с падающим телом можно пренебречь.
При наличии в системе диссипативных сил полная механическая энер­
гия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел систе­
мы.
§30. Абсолютно упругий и неупругий удары
Удар - это явление изменения скорости тел за очень малый промежу­
ток времени при их столкновении.
При соударении тел друг с другом они претерпевают деформацию.
Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной
энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью
или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара стол­
кнувшиеся тела движутся с одинаковой скоростью. При абсолютно не­
упругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется,
выполняется лишь закон сохранения импульса.
Пусть две частицы массами т^ и m 2 имеют до удара скорости v, и
v 2. Эти частицы составляют замкнутую систему. Запишем закон сохра­
нения импульса:
+ m2v 2 = (m, + w2) v ,
где v — скорость частиц после удара. Отсюда
v = (w,v, + m 2v 2)/(m l + т 2).
(4.16)
Для практических расчетов необходимо спроектировать уравнение
(4.16) на выбранную ось.
Рассмотрим абсолютно упругий центральный удар двух однородных
шаров.
Центральным называется удар, при котором шары движутся до уда­
ра вдоль прямой, проходящей через их центры. Предположим, что шары
образуют замкнутую систему.
97
Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая
энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При та­
ком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потен­
циальную энергию упругой деформации. Затем тела восстанавливают пер­
воначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия
упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела раз­
летаются со скоростями, величина и направление которых определяются
законом сохранения энергии и законом сохранения импульса:
Wjvf /2 + т2\ \ / 2 = m,vj2 /2 + т2\'2 / 2 ,
m,v, + m2v 2 - w,vj + т2\'2 ,
(4.17)
(4-18)
где Wj и т2 — массы шаров; v, и v 2 — скорости шаров до удара;
vj и v'2 — скорости шаров после удара.
Решая уравнения (4.17) и (4.18), получим
vj =
—w 2)vj ]/(/»?i + m 2),
(4.19)
v 2 = [2/т?, v, + (m 2 - m, )v2]/(wjj + m 2) .
(4-20)
[ 2 w 2v 2
+
(w ,
Здесь отброшено не имеющее физического смысла решение:
v ; = v , ; v '2 = v 2.
Рассмотрим частные случаи:
1. Массы соударяющихся шаров равны: т 1 = т2, из уравнений (4.19)
и (4.20) следует, что vj = v 2 и v 2 = v ,, т.е. шары при соударении обме­
ниваются скоростями и если один (например, второй) до соударения
покоился, то после удара он будет двигаться с той же скоростью, с
которой двигался первый шар, а первый шар после удара останавли­
вается.
2. Ш ар массой /я, налетает на неподвижную стенку. Массу стенки
можно считать бесконечно большой, тогда шар меняет свою скорость на
противоположную.
§31. Простые механизмы. КПД механизма
К простым механизмам относятся: рычаг, подвижный и неподвиж­
ный блоки, наклонная плоскость, винт, домкрат и др.
98
Все простые механизмы дают вы­
игрыш в силе (за счет проигрыша в
расстоянии), но не дают выигрыша в
работе.
Известно, что применение наклон­
ной плоскости облегчает подъем тяже­
сти. Давая огромный выигрыш в силе,
винт, например, применяется в прес­
сах для сдавливания материалов, в
домкратах, позволяющих поднимать
Рис. 4.5
автомобили, вагоны, многоэтажные
\
дома.
Наклонная плоскость
На тело, находящееся на наклонной плоскости, действует сила тяже­
сти
m g. Разложим силу mg на две составляю щ ие силы: Fx и Fy
(рис. 4.5). Сила Fx = mg- sin а - скатывает тело с наклонной плоскости,
сила Fy = mg- cos а - производит давление на наклонную плоскость.
Будем считать, что поверхность ВС идеально гладкая.
Исходя из подобия треугольника сил и треугольника ABC, можно за­
писать соотношения:
L .
mg
Ъ_
7/ и mg
I’
(4.21)
Чтобы поднять тело массой т на высоту h, нужно совершить работу
(4.22)
mg- h.
Чтобы втащить это же тело на ту же высоту h по наклонной плоско­
сти, нужно совершить работу
А2 = Fx ■ I = mg-1- sin a.
(4.23)
Так как h = I - sin а, то работы, определяемые выражениями (4.22) и
(4.23), будут одинаковы:
A j = А 2.
Для движ ения по наклонной плоскости нужна меньш ая сила:
mg-sin а < mg, но зато тело перемещается на большее расстояние: / > h.
Итак, то что мы выигрываем в силе, мы проигрываем в пути. Это
положение, сформулированное еще в древности, получило название «зо­
лотого правила механики».
99
Мы рассмотрели идеальный случай движения по наклонной плоско­
сти. М еханический двигатель, втаскивающий тело на наклонную плос­
кость, всегда производит как полезную работу, так и работу по преодо­
лению сил сопротивления.
Отношение полезной работы к полной (совершенной) работе называ­
ется коэффициентом полезного действия механизма:
П= ^ ~ т % ,
Аз
(4 2 4 )
где Ап - полезная работа механизма, А3 - затраченная работа механизма.
Контрольные вопросы
1. Что называется импульсом тела?
2. Как направлен вектор импульса?
3. Сформулируйте закон сохранения импульса системы тел.
4. При каких условиях выполняется закон сохранения импульса?
5. Какие виды механической энергии вы знаете?
6. Что такое кинетическая энергия? Потенциальная энергия?
7. Как определяется потенциальная энергия упругодеформированного тела?
8. Что такое удар? Какой удар называется центральным?
9. Какой удар называется абсолютно упругим? Абсолютно неупру­
гим?
10. Какие простые механизмы вы знаете?
11. Сформулируйте «золотое правило механики».
12. Как определить КПД механизма?
Примеры решения задач
Если в задачах по динамике нужно найти скорость тела, перемеще­
ние, работу и т.п., то такие задачи, как правило, лучше решать, исполь­
зуя законы изменения и сохранения импульса и энергии. Только нужно
внимательно следить, выполняются ли они в условиях данной задачи.
4.1. Движение материальной точки массой т = 2 кг описывается урав­
нением х - A - B t + C t 2 , где А = 5 м; В = 8 м/с; С = 4 м/с2. Найдите
импульс точки через 2 с.
100
Д а н о :
х = A —Bt + Ct2
т = 2 кг
А= 5м
В = 8 м/с
С = 4 м/с2
t=2с
Р е ш е н и е . Импульс материальной точки
р = ту, где v — мгновенная скорость. По оп­
ределению: v = х' = (5 - 8/ + At2) = - 8 + 8?. Под­
ставим в полученное выражение t = 2 с, полу­
чим
v = ( - 8+16) м/с; v = 8 м/с,
тогда р = ту; р = 16 кг м/с.
Р- ?
4.2. Ш арик массой 100 г свободно упал на горизонтальную площад­
ку, имея в момент удара скорость 10 м/с. Найдите изменение импульса:
1) удар абсолютно упругий; 2) удар абсолютно неупругий.
Дано:
т = 0,1 кг
v = 10 м/с
Р е ш е н и е . Ш арик после абсолютно упругого удара отскочит с той же по величине скоростью, но противоположной по направлению
Apj — ? Ар2 — ?
( v ,). Ось х направим вниз. Найдем проекции
импульсов на ось х (рис. 4.6). До взаимодей­
ствия с площадкой шарик имел импульср х, направленный по оси х (как
вектор v). После удара— р 2, направленный по Vj. Изменение импульса:
Ар1=р1- ( - р 2); т.к. р^= р 2 = р , то Арл = 2р - 2ту,
Арх= 2 кг • м/с.
При абсолютно неупругом ударе шарик не отскочит от площадки, в
результате изменение импульса: Ap2= P i-0 -m y ; Ар2= ту, Ар2 = 1 кг м/с.
4.3. Пушка, стоящая на горизонтальной плоскости, стреляет под уг­
лом а = 30° к горизонту (рис. 4.7). Масса снаряда т = 20 кг, начальная
скорость v = 200 м/с. Какую скорость приобретает пушка при выстреле,
если ее масса М = 500 кг?
Дано:
a = 30°
т = 20 кг
v = 200 м/с
М = 500 кг
Р е ш е н и е. До выстрела суммарный им­
пульс системы снаряд-пушка равен нулю. Выст­
рел произведен под углом а к горизонту. Найдем
проекцию вектора импульса снаряда на ось х:
р х = w v c o s a , считая, что в этом направлении
внешние силы не действуют. После выстрела по
закону сохранения импульса в проекции на ось х
для системы снаряд-пушка можно записать:
101
т\
0
т \ cos а
V
Рис. 4.7
Рис. 4.6
Мих + m v c o s a - 0 , отсюда их = —( т \ c o s а ) / М ;
их = —7 м /с .
Знак минус показывает, что пушка откатится назад. Вторую состав­
ляющую импульса снаряда ту since получит Земля.
4.4. Граната, летящая со скоростью v = 15 м/с, разорвалась на два
осколка массами т^= 6 кг и т2 - 14 кг. Скорость большего осколка
v2 = 24 м/с, он движется по направлению движения гранаты. Найдите
скорость и направление движения меньшего осколка.
Дано:
v = 15 м/с
v2 = 24 м/с
т х = 6 кг
т 2 - 14 кг
vix-?
Р е ш е н и е . Проведем ось х в направлении
движения гранаты и запишем закон сохранения
импульса в проекции на эту ось:
( т х+ т 2) у = т хУ1х+ т2У2х,
(1)
где ( т х+ т 2) — масса всей гранаты.
Из формулы (1) находим
(т. +
V„ = —
—
,
,
v u = - 6 м /с .
тх
Знак минус означает, что меньший осколок полетит в направлении,
противоположном направлению движения гранаты.
4.5. Снаряд массой т { = 100 кг, летящий горизонтально со скорос­
тью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10000 кг и застревает в
нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36
км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?
102
Дано:
Wj = 1 0 0 кг
Р е ш е н и е . Запишем для снаряда и вагона с
песком закон сохранения импульса при неупру-
Vj = 500 м/с
лг2 = 1 0 4 кг
гом УдаРе:
/w,Vj + т2У2 = (/и, + т 2)й.
v2 = 10 м/с
-----------
Выберем направление оси х, совпадающее с
направлением движения снаряда, и проектируя на
нее обе части уравнения (1), получим
m,V, - т2v2 = {т] + т2)их ,
и1
(1)
откуда
_ т х\ , - т 2\ г
тх+т2
_
,
и —-------------------, и —-О м/с.
Следовательно, вагон со снарядом будет двигаться против направления оси х.
4.6.
Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На
какое расстояние S переместится лодка в стоячей воде, если ее длина
/ = 3 м, а масса М = 120 кг, масса человека т = 60 кг. Сопротивление
воды не учитывать.
Дано:
т = 60 кг
. М = 120 кг
Р е ш е н и е . Считаем, что человек движется
по лодке с постоянной скоростью, тогда и лодка
будет перемещаться равномерно. Пусть v — ско-
9
рость человека относительно лодки, и — скорость
лодки относительно воды. Тогда скорость чело­
века относительно воды будет (v + и). Воспользу­
S
емся законом сохранения импульса:
т(у + и) + Ми = 0.
(1)
Из уравнения(1 )найдем:
и/у = - т!(М + т).
(2)
Так как время перемещения человека и лодки одинаково, то отноше­
ние их скоростей равно отношению перемещений:
S/1 = и/у.
(3)
Из уравнений (2) и (3) получим: S/1 = - т /(М + т);
S = -lm /(M + т), S = -1 м.
Знак минус показывает, что перемещения человека и лодки противо­
положны по направлениям.
103
4.7. Три лодки одинаковой массы М движутся друг за другом с
одинаковыми скоростями Vj = v 2 = v3= v. Из средней лодки в крайние
одновременно перебрасывают грузы т со скоростью и относительно ло­
док. Какие скорости будут иметь лодки после перебрасывания грузов?
Сопротивлением воды пренебречь.
Р е ш е н и е . Груз, брошенный в первую лодку из второй, будет
иметь относительно воды скорость (v + и), а груз, брошенный в третью
лодку, приобретет скорость (v - и). Импульс системы «первая лодка —
груз» до попадания груза в лодку Mv + т (\ + и), после попадания груза
в лодку (М + т) Vj, где Vj — искомая скорость первой лодки. Применив
закон сохранения импульса, получим
V j = [ M v + m ( v + и ) ] / (М + т).
Импульс системы «третья лодка — груз» до попадания груза в лодку
Mv + т(у - и), после попадания (М + т) v3, где v 3 — искомая скорость
третьей лодки. Отсюда v 3
М \ + т {у - и)
----- 7 7 ----------- . До перебрасывания грузов
М +т
импульс второй лодки с грузами (М + lm )v. По закону сохранения им­
п у льса д л я второй л одки и двух грузов: (М + 2 т ) \ = M v 2 +
+m(v + и) + т(у - и ), отсюда v 2 = v. Скорость средней лодки не изменит­
ся.
4.8. Санки массой т = 10 кг скатываются с горы высотой h = 5 м и
останавливаются на горизонтальном участке. Какую работу совершит
мальчик, втаскивая санки на гору по линии их скатывания?
Дано:
Р е ш е н и е . Санки обладали потенциальной
энергией meh, когда они остановились, потенци­
ей = 1 0 кг
г о
^ ^
альная энергия израсходовалась на работу против сил трения санок о лед:
Л— ?
m g h = A \.
(1)
Чтобы втащить санки на гору, мальчик дол­
жен соверш ить такую же работу против сил трения, да ещ е работу
против силы тяж ести, т.е. сообщ ить санкам потенциальную эн ер­
гию:
А = А , + mgh.
(2)
И з у р ав н ен и й (1 ) и (2 ) п олуч и м : А = mgh + mgh = 2 mgh,
А = 1000 Дж.
104
4.9.
Гладкий резиновый шнур, длина которого / = 1 м и коэффициент
упругости к — 100 Н/м, подвешен одним концом к точке О (рис. 4.8). На
другом конце имеется упор В. Из точки О начинает падать муфта И мас­
сой т = 100 г. Пренебрегая массами шнура и упора, найдите максималь­
ное растяжение шнура.
Дано:
Р е ш е н и е . При падении муфты на упор В
резиновый шнур растягивается на Ах. Выберем за
начало отсчета высоты точку С. Ось х направим
вверх. Потенциальная энергия муфты в начальный
/= 1 м
т 0 , 1 кг
к= 100 Н/м
_ момент падения ЕпХ = mg(l + Ах), эта энергия пе­
Ах — ?
решла в потенциальную энергию
упругой деформации шнура: Еп1 = k (A x f / 2 . По закону
О
сохранения энергии:
Е„\ = Ет ; тё { 1 + Ах) = k{/8xf / 2 ;
mgl + mgAx = k (A x f / 2;
В
Ax,
m g ± -Jm2g 2 + Ikm gl
Ax
к
Л хх=
mg
1+ J1 +
2kl
mg
A x , = 0,15m
Puc. 4.8
4.10.
Небольшая шайба массой m l без начальной скорости соскаль­
зывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массой т2, лежа­
щую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 4.9).
Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная
с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Най­
дите работу сил трения.
Дано:
т.
А— ?
Р е ш е н и е . В начальный момент шайба обла­
дает потенциальной энергией Еп = m{gh. За нулевой уровень потенциальной энергии примем гори­
зонтальную плоскость. Перед падением на доску
ш ай б а о б л ад ает к и н ети ч еск о й эн ер ги ей
WjV2 /2. По закону сохранения энергии:
105
r r \ g h - n \ \ 2/ 2 .
( 1)
Запишем закон сохранения им­
пульса для системы шайба-доска,
т.к. они будут двигаться вместе, зна­
чит, имеют общую скорость:
h
m
щ \ = (п\ +гП))и.
Рис. 4.9
(2 )
Шайба с доской будут иметь ки­
нетическую энергию: (т1 + т 2)и2/2 .
Работа сил трения равна изменению механической энергии:
(ш, + т2)и2
А=-
(3)
2
Из уравнения (2) найдем скорость и и подставим в уравнение (3):
(m, + m 2)m?v2
2)
(4)
(/??, + т2У
Из уравнения (1) находим v и подставим в уравнение (4):
mflgh _
mxm2gh
А = ~mxgh + - -------,
\ •
rri\+m 2
\тх+ т 2)
Работа сил трения имеет знак минус, так как силы трения и переме­
щения тела противоположны по направлению.
4.11.
Найдите работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину
на 20 см. Коэффициент упругости к = 8,9 Н/см.
Дано:
0
х2 = 0 , 2 м
к = 8,9 102 Н/ м
Р е ш е н и е . 1-й способ решения. По закону
Гука сила упругости пропорциональна абсолютной
деформации:
РЪГ-Ь 2•
0)
При сжатии пружины сила упругости изменя­
ется линейно от F j = 0 до F2- Тогда средняя сила
I f
\
\ упр/
=
F \ + F 2
_
2
F 2
2
(2)
Работа сжатия пружины
A = - { F ynP ) * 2 -
106
(3)
Из уравнений ( 1 ) -(3 ) получим: А = (\12)кх2х2= кх2
2/2,
Л = 17,8 Дж.
2-й способ решения. Работа по сжатию пружины равна изменению ее
потенциальной энергии: А=А Е п =кх%12; А =17,8 Дж.
3-й способ решения. По определению работа переменной силы
*2
А = jF d x =
X,
х 2
- j ( - k c X d x ) = tc 2/ 2 [ 2=kc2/2;
А = 17,8 Дж.
Х|
4.12. Поезд массой 600 т, отойдя от станции на 2,5 км, приобретает
скорость 60 км/ч. Какую среднюю мощность развивает локомотив, если
коэффициент сопротивления 0,005?
Дано:
Р е ш е н и е . По определению средняя мощность
>я = 6 1 0 5 кг
/дЛ - A l t ,
( 1)
S = 2,5 ■103 м
= 16 7 м/с
где ^ — работа, совершаемая локомотивом за
= 0 005
время t. По закону сохранения энергии
^---------------А + А = ту2/2.
(2)
W - ?
Здесь
*
А тр = ~ IхтпФ
(3)
работа по преодолению сил сопротивления (отрицательная величина).
Представим пройденный путь как произведение средней скорости на время:
S = (v )t = (y/2)t,
откуда t = 2 S/y.
Подставив уравнения (2) - (4) в (1), получим
(4)
(N) = ту у2(25 + ц g)/2; (N) = 5,2 •105Вт.
4.13. Санки съезжают с горы высотой Н и углом наклона а и дви­
жутся по горизонтальному участку до полной остановки. Коэффициент
трения на всем пути одинаковый и равен р. Определите путь на горизон­
тальном участке.
Дано:
Р е ш е н и е . Полная механическая энергия
Н
санок в начале движения равна потенциальной энера
гии Еп = mg ■Н (рис. 4.10). Съехав с горы, санки
S- ?
останавливаются, следовательно, вся энергия расходуется на работу по преодолению сил трения:
107
тр1
- m g H = Ax+ A 2,
(1)
Д = -p /w g H c tg a ,
(2)
где A j — работа силы трения
на наклонной плоскости;
mg
тр2‘
.1.
mg
Рис. 4.10
А2 = -\x m g S ,
(3)
А2 — работа силы трения на
горизонтальном участке. Под­
ставив уравнения ( 2 ) и (3) в ( 1 ),
получим
m g Н = -\xm g Н c tg a + \xmgS,
откуда
S = Н ( 1 - |ac tg a )/p ..
4.14.
Какую работу нужно совершить, чтобы поднять грунт при ры­
тье колодца, если его глубина Н = 10 м, а поперечное сечение 5 = 2 м2?
Плотность Земли р = 2000 кг/м3. Считать, что вынимаемый грунт рас­
сыпают тонким слоем по поверхности.
Дано:
Н = 10 м
S = 2 м2
Р е ш е н и е . Поверхность земли выберем за
нулевой уровень, от которого будем вести отсчех высоты. Так как центр тяжести грунта, за-
р = 2 ■1 0 3 кг/м 3
—,— --------------А
?
полняющего колодец, находится на половине глубины колодца, то потенциальная энергия грунта
Еп - -m g H /2 . Совершаемая работа равна изме­
нению потенциальной энергии:
А = 0 - Е п = mgH/2.
(1)
М асса грунта
(2)
m-pSW.
Из уравнений (1) и (2) получим
A = S p g N 2/ 2;
108
А = 19,6 105Дж .
4.15.
Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, пе­
реходящей в мертвую петлю, с высоты Н = 2R, где R —- радиус петли.
На какой высоте h тело оторвется от поверхности петли? С какой высо­
ты Hj должно скользить тело, чтобы отрыва не произошло?
Дано:
Р е ш е н и е . На тело, двигающееся по петле,
Н = 2R
действуют сила тяжести mg и сила реакции опо-
h — ? Hj — ?
ры N (рис. 4:11). В точке отрыва В тело не да­
вит на опору ( N = 0 ) и центростремительное ус­
корение телу сообщает проекция силы тяжести на направление радиу­
са: mg cosa. По второму закону Ньютона:
w gcosa = таис = m v 2/ R ;
g x o s a = v 2 / R-
(1)
Из рис. 4.11 видно, что
c o s a = ( h - R ) / R = ( h / R) ~ 1.
(2)
Подставив уравнение (2) в (1), получим
(3)
g [ { h / R ) - \ ] = v 2/ R .
mg
Н
Рис. 4.11
Запишем закон сохранения энергии, приняв горизонталь 0— 0 за уро­
вень отсчета высоты:
wgH = m v2/ 2 -I- mgh,
откуда
gH = \ 2/ 2 + gh.
(4)
109
Из уравнений (3) и (4): h = (5/3)R.
Чтобы тело не оторвалось от петли, оно должно пройти точку И, где
h = 2R. Уравнения (3) и (4) тогда примут вид
g = v 2/ R ,
(5)
(6)
Отсюда: Hj=(5/2)/?.
Задачи для самостоятельного решения
4.16. Два шара массами 6 и 4 кг движутся вдоль одной прямой со
скоростями Vj= 8 и v 2 = 3 м/с. С какой скоростью они будут двигаться
после абсолютно неупругого удара, если: 1 ) первый шар догоняет вто­
рой; 2 ) шары движутся навстречу друг другу?
О т в е т: v 3 = 6 м/с; 2) v4 =3,6 м/с.
4.17. Лодка массой 150 кг и длиной 2 м покоится на поверхности
пруда на расстоянии 0,7 м от берега и обращена к нему носом. Человек
массой 70 кг, сидевший в лодке, переходит с ее носа на корму. Причалит
ли лодка к берегу?
О т в е т: не причалит.
4.18. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на
невысоком жестком стержне, и застревает в нем. М асса пули m i=5 г,
масса шара /и2 = 50 г. Скорость пули v = 50 м/с. При каком расстоянии
от точки подвеса до центра шара шар от удара пули поднимется до вер­
хней точки?
О т в е т : / <0,5 м.
4.19. Какая энергия пошла на деформацию двух столкнувшихся ша­
ров массами по 4 кг каждый, если они двигались навстречу друг другу
со скоростями 3 м/с и 8 м/с, а удар был прямой неупругий?
О т в е т : Еп= \2 0 Дж.
4.20. На подножку вагонетки, которая движется прямолинейно со ско­
ростью 2 м/с, прыгает человек массой 60 кг в направлении, перпенди­
кулярном к ходу вагонетки. М асса вагонетки 250 кг. Определите ско­
рость вагонетки вместе с человеком.
О т в е т: v = 1,6 м/с.
110
4.21. Человек массой 70 кг, стоящий на коньках на льду, бросает
плоскую пластину массой 2 кг так, что она скользит по льду и останав­
ливается через 4 с, пройдя расстояние 28 м. С какой скоростью начнет
скользить после броска конькобежец? Через какое время он остановит­
ся, если коэффициент трения между коньками и ледяной поверхностью
равен 0,04?
О т в е т: v = 0,4 м/с; t = 10 с.
4.22. Тело брошено со скоростью v 0 под углом к горизонту. Опреде­
лите его скорость на высоте h.
Ответ: v =
- 2gh .
4.23. С судна массой 750 т произведен выстрел из пушки в сторону,
противоположную его движению, под углом 60° к горизонту. На сколь­
ко изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со
скоростью
1
Ответ:
км/с относительно судна?
А \ х=
0 ,0 2
м/с.
4.24. Камень массой 1 кг падает с высоты 20 м и в момент падения на
землю имеет скорость i 8 м/с. Какая работа по преодолению сопротив­
ления воздуха была совершена при падении?
О т в е т: А = -3 8 Дж.
4.25. Доказать, что коэффициент полезного действия наклонной плос­
кости с углом наклона а при коэффициенте трения ц выражается фор­
мулой r| = l/(l + (ictga).
4.26. Маятник массой т отклонен на угол а от вертикали. Какова
сила натяжения нити при прохождении маятником положения равнове­
сия?
О т в е т: F = mg(3 - 2cosa).
4.27. На расстоянии 1/4 длины от левого конца горизонтально распо­
ложенной доски лежит камень, масса которого в 5 раз больше массы
доски. Для поднятия камня на одну и ту же высоту мальчик поочередно
прикладывает силы к правому и левому концам доски. Найдите отноше­
ние модулей этих сил и совершенных работ.
О т в е т : F yIF2= l l \ l \ А х1Аг=2\1П .
111
4.28. Скорость свободно падающего тела массой 4 кг на некотором
пути увеличилась с 2 до 8 м/с. Найдите работу силы тяжести на этом пути.
О т в е т: А = 120 Дж.
4.29. Шарик массой т = 100 г, подвешенный на нити длиной / = 40 см,
описывает в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетичес­
кая энергия шарика, если во время его движения нить образует с верти­
калью постоянный угол а = 60°?
Ответ:
„
mgl •sin а ■tga
Ек = --------------
,
Ек - 0,3 Дж.
4.30. Снаряд, выпущенный со скоростью vQ = 100 м/с под углом
а = 45° к горизонту, разорвался в верхней точке А траектории на два
одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой А со ско­
ростью v, = 97 м/с. С какой скоростью упал на землю второй осколок?
Сопротивление воздуха не учитывать.
О т в е т: v 2 = д/v f + Vocos2 a ;
v 2 =120 м/с-
4.31. Реактивный самолет пикирует со скоростью 900 км/ч. На пути
самолета оказалась птица массой 2 кг. Определите силу удара птицы о
стекло кабины летчика, если длительность удара 0 , 0 0 1 с.
О т в е т : .F » 5 0 0 kH.
4.32. Пуля, летящая со скоростью 500 м/с, попадает в препятствие и
застревает в нем, пройдя расстояние 1,25 м. Определите силу сопротив­
ления движению пули в препятствии, если масса пули равна 25 г.
О т в е т: Fc = 2,5 кН.
4 .3 3 . И з ш ахты глуби н ой 200 м п о д н и м ае тся груз м ассо й
500 кг на к ан ате, каж ды й м етр дли н ы которого и м еет м ассу
1,5 кг. Определите работу, совершаемую при поднятии груза, и коэффи­
циент полезного действия установки. Трением пренебречь.
О т в е т: А = 1300 кДж; г) = 77%.
4.34. Теннисный мяч, летящий со скоростью 10 м/с, отброшен уда­
ром ракетки в противоположном направлении со скоростью 20 м/с. При
этом его кинетическая энергия изменилась на 3 Дж. Найдите изменение
импульса мяча.
О т в е т: 0,6 кгм/с.
112
4.35. Акробат прыгает в сетку с высоты 8 м. На какой предельной
высоте над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол
при прыжке? Известно, что сетка прогибается на 0,5 м, если акробат
прыгает в нее с высоты 1 м.
О т в е т : 1,23 м.
4.36. Поезд массой 600 тонн, отойдя от станции на 2,5 км, приобрета­
ет скорость 60 км/ч. Какую среднюю мощность развивает локомотив,
если коэффициент трения 0,005?
О т в е т: 0,5 МВт.
4.37. Каким способом можно закцнуть льдинку дальше: бросив в
воздух под углом 45° к горизонту или пустив ее скользить по льду?
Коэффициент трения о лед 0,02.
О т в е т: S2 : Sj = 25. Пустив скользить по льду.
4.38. Подъемный кран подним аете воде чугунную плиту объемом
0,5 м 3 на высоту 1 м за 10 с. Определите силу тока в электродвигателе
крана, если подаваемое напряжение 500 В, а КПД крана 25%.
О т в е т : «25 А.
4.39. От удара копра массой т^= 50 кг, падающего с высоты hy = 5м,
свая массой т2 = 200 кг погружается в грунт на глубину h2 = 20 см. Опре­
делите силу сопротивления грунта, считая ее постоянной. Удар копра о
сваю считать абсолютно неупругим.
О т в е т: 5 кН.
4.40. Имеются два тонкостенных цилиндра (рис.
4.12). Один из них, радиус которого R = 20 см,
вращается с угловой скоростью со = 2 0 рад/с вок­
руг своей оси, а второй покоится. Цилиндры при­
водятся в соприкосновение так, что их оси враще­
ния параллельны. Через некоторое время за счет
трения цилиндры начинают вращаться без проскаль­
зывания. Какое количество энергии перешло в тепло, если массы ци­
линдров /и, = 100 г и т2 = 50 г?
О т в е т : 0,27 Дж.
4.41. Почему пуля, вылетевшая из ружья, не может отворить дверь,
но пробивает в ней отверстие, тогда как давлением пальца дверь отво­
рить легко, но проделать отверстие невозможно?
О т в е т : импульс пули не успевает передаться двери, т. к. время
взаимодействия мало.
113
4.42. Обладает ли импульсом однородный диск, вращающийся вок­
руг своей оси? Ось диска неподвижна.
О т в е т : нет.
4.43. Д виж ение м атери альн ой точки описы вается уравнением
х = 20 + 2t - t2. Приняв ее массу равной 2 кг, найдите импульс через 2 с
и 5 с после начала движения. Найдите модуль и направление силы, выз­
вавшей это изменение.
О т в е т: - 4 кг-м/с; -1 6 кг-м/с; -4Н .
4.44. Д виж ение м атериальной точки описы вается уравнением
х = 25 - 10/ + 212. Считая массу точки равной 3 кг, найдите изменение
импульса точки за первые 8 с ее движения. Найдите импульс силы, выз­
вавшей это изменение за это же время.
О т в е т: 96 кг-м/с; 96Н-С.
4.45. Белка массой 0,5 кг сидит на абсолютно гладкой, обледенелой,
горизонтальной, плоской крыше. Человек бросает белке орех массой
0,1 кг. Орех летит горизонтально со скоростью 6 м/с. Белка хватает орех
и удерживает его. Вычислите скорость белки, поймавшей орех.
О т в е т : 1 м/с.
4.46. Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/с, вскаки­
вает сзади на платформу массой 12 кг. Чему равна скорость платформы
с мальчиком?
О т в е т : 1,6 м/с.
4.47. Мяч массой 1,8 кг, движущ ийся со скоростью 6,5 м/с, под
прямым углом ударяется в стенку и отскакивает от нее со скоростью
4,8 м/с. Чему равен импульс силы, действующей на мяч?
О т в е т : 20,3 Н-с.
4.48. Ракета испускает раскаленные газы со скоростью 2000 м/с
относительно корабля. Чему равна сила тяги, если каждую секунду от­
брасывается масса, равная 1 0 0 кг?
О т в е т : 200 кН.
4.49. Вагон массой 30 т, движущийся по горизонтальному пути со
скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным
вагоном массой 20 т. С какой скоростью движется сцепка?
О т в е т: 0,9 м/с.
114
4.50. Два неупругих шара массами 6 кг и 4 кг движутся со скоростя­
ми 8 м/с и 3 м/с соответственно, направленными вдоль одной прямой. С
какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого
соударения, если первый догоняет второй? Движутся навстречу друг
другу?
О т в е т: 6 м/с; 3,6 м/с.
4.51. На тележку массой 100 кг, движущуюся равномерно по гладкой
поверхности со скоростью 3 м/с, вертикально падает груз массой 50 кг.
С какой скоростью будет двигаться тележка, если груз не соскальзыва­
ет с нее?
О т в е т: 2 м/с.
4.52. Охотник стреляет с легкой надувной лодки. Какую скорость
приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой
равна 70 кг, масса дроби 35 г и средняя начальная скорость дроби 320 м/с?
Ствол ружья во время выстрела образует угол 60° к горизонту.
О т в е т : 0,08 м/с.
4.53. Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг,
который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние
откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если
коэффициент трения равен 0,05?
О т в е т : 0,028 м.
4.54. На краю стола высотой h лежит маленький шарик массой т х. В
него попадает пуля массой т2, движущаяся горизонтально со скорос­
тью v, направленной в центр шарика. Пуля застревает в нем. На каком
расстоянии от стола по горизонтали упадет шарик на землю?
4.55.
С высоты Я падает шар. Когда он пролетал мимо окна, находя­
щегося на высоте Я/2, в него попала пуля, вылетевшая из ружья в гори­
зонтальном направлении. Пуля застряла в центре шара. С какой скорос­
тью шар упадет на землю? Пуля имеет массу в 10 раз меньшую, чем
масса шара. Ее скорость в момент попадания в шар равна v.
О т в е т : ^221 g H + v 2 .
115
4.56. Снаряд, выпущенный из пушки, установленной под углом 45° к
горизонту на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней
точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый ос­
колок падает прямо под точкой разрыва снаряда спустя 2 0 с после раз­
рыва. На каком расстоянии упадет второй осколок, если разрыв произо­
шел на высоте 2 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.
О т в е т: 8 км от точки разрыва по горизонтали.
4.57. Сани тянут на пути 100 м с силой 80 Н за веревку, составляю­
щую угол 30° к горизонту. Какая работа совершается при этом?
О т в е т : « 6 , 8 кДж.
4.58. Тело массой 100 кг поднимают с ускорением 2 м/с 2 на высоту
25 м. Какая работа совершается при подъеме тела?
О т в е т: 3-104 Дж.
4.59. Равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна 50 Н
и направлена горизонтально. Координаты тела изменяются по закону
х = 24 + 101 - t2. Какую работу совершает сила за 5с? За 10 с? Как
можно объяснить полученный результат?
О т в е т : -1250 Дж; 0.
4.60. Для растяжения пружины на 4 мм необходимо совершить рабо­
ту 0,02 Дж. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту пружи­
ну на 4 см?
О т в е т: 2 Дж.
4.61. Подъемный кран поднимает груз массой 5 т на высоту 15 м. За
какое время поднимется этот груз, если мощ ность двигателя крана
10 кВт и КПД равен 80%?
О т в е т: 94 с.
4.62. Какую мощность должен развивать человек, чтобы подняться
вверх по движущемуся вниз эскалатору метро на высоту Я за время т?
Скорость эскалатора постоянна и равна v, угол наклона эскалатора к
горизонту а .
п
,,
.
MgH
О т в е т : M g v ■s in a + —- — .
т
4.63.
Пружинное ружье выстреливает шарик вертикально вверх на
высоту 30 см, если пружина сжата на 1 см. Какова начальная скорость
полета шарика? На какую высоту поднимется шарик, если эту пружину
сжать на 3 см?
116
4 .6 4 . С какой начальной скоростью vQнадо бросить вниз мяч с высо­
ты 2 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 4 м? Считать удар о землю
абсолютно упругим.
О т в е т: 6,2 м/с.
4 .6 5 . Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту.
Определите его скорость на высоте 1 м.
О т в е т : 19 м/с.
4 .6 6 . Тело массой 1 кг брошено под углом к горизонту. За время
полета (от бросания до падения на Землю) его импульс изменился на
10 кгм/с. Определите наибольшую высоту подъема тела.
О т в е т : 1,25 м.
4 .6 7 . Н ебольш ое тело скользит с верш ины сферы с радиусом
R = 0,9м. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности
сферы и полетит вниз? Трение не учитывать.
О т в е т: 0,3 м.
4 .6 8. Через реку шириной 100 м переброшен выпуклый мост в фор­
ме дуги окружности. Верхняя точка моста поднимается над берегом на
высоту 10 м. Мост может выдержать максимальную силу давления
44,1 кН. При какой скорости грузовик массой 5000 кг может переехать
через мост?
О т в е т : v > 40,6 км/ч.
4 .6 9 . Два тела массой т х = 1 кг и т2 = 2 кг движутся навстречу друг
другу во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями
Vj = 3 м/с и v 2 = 2 м/с. В результате соударения тела слипаются. Какое
количество тепла выделится при ударе?
О т в е т: 4,3 Дж.
4 .70. Сваю массой 100 кг забивают в грунт, используя копер, масса
которого 400 кг. Копер свободно падает с высоты 5 м, и при каждом
ударе свая опускается на глубину 5 см. Определите среднюю силу со­
противления грунта.
О т в е т : 325 кН.
117
Г л а в а 5. Э Л ЕМ ЕН ТЫ СТАТИ КИ
И Д И Н А М И К И Ж И Д К О С Т Е Й И ГАЗО В
СТАТИ КА Ж И Д К О С Т Е Й И ГАЗО В
§32. Давление. Закон Паскаля
Давлением называется физическая величина, определяемая нормаль­
ной силой Fn, действующей на единицу площади (рис. 5.1):
P = Fn/ S .
(5.1)
В системе СИ единицей давления является паскаль (1Па = 1Н / 1м2).
Паскаль — это давление, создаваемое силой
1 Н, равномерно распределенной по нормальной
к ней поверхности площадью 1м2. Давление ча­
сто измеряют внесистемными единицами:
а) технической атмосферой:
1 ат = 9,81 - 104 Па;
б) физической или нормальной атмосферой:
1 атм = 1,013 105 Па;
в) миллиметрами ртутного столба: 1 мм рт. ст. = 133 Па.
Закон Паскаля: внешнее давление, оказываемое на жидкость или
газ, передается этой жидкостью или газом одинаково во все точки
этой жидкости или газа. Другими словами, величина давления внутри
жидкостей или газа при сжатии их внешней силой передается без изме­
нения по всем направлениям этой жидкости или газа. Это не означает,
что давление во всех точках жидкости или газа одинаково. Оно может
быть различным. Только добавочное, внешнее давление передается оди­
наково. Закон Паскаля используется при расчете различных машин —
гидравлических домкратов, пневматических и гидравлических тормо­
зов, гидравлических прессов и т.д.
§33. Принцип работы гидравлического пресса
Гидравлический пресс предназначен для преобразования сравнительно
малых усилий при многократных перемещениях малого поршня в зна­
чительную силу при малых перемещениях большого поршня. Гидравли­
ческий пресс представляет собой сообщающийся сосуд с коленами раз­
ного поперечного сечения, закрытыми поршнями: большим — площа­
118
дью S2 и малым — S, (рис. 5.2). Оба колена
пресса заполнены жидкостью. Насос пере­
качивает жидкость из резервуара Р в боль­ ШПШ
шой цилиндр через систему клапанов К, при ужи
шт.
этом поршень S2 перемещается вверх. Пусть
на малый поршень 5, действует сравнитель­
но небольшая сила F}, создающая в жидко­
сти давление р х = F ^l 5j. Это давление по
закону Паскаля передается жидкостью на
большой поршень S2. Согласно закону Пас­
каля р 1 = р 2, следовательно, F^/S] = F2/S2,
где F2 — сила давления жидкости на боль­
шой поршень.
Рис. 5.2
Отсюда получаем
(5.2)
F2 ! F\ = S2 / S {,
т.е. с помощью гидравлического пресса мы во столько раз выигрываем
в силе, во сколько раз площадь большего поршня больше площади мень­
шего. Это соотношение выполняется точно только при равновесии жид­
кости, так как закон Паскаля — закон гидростатики.
Если пренебречь сжатием жидкости, т.е. считать, что перемещение
малого поршня на величину //, приводит к уменьшению объема жидко­
сти под ним на величину, равную увеличению объема жидкости в боль­
шом цилиндре, т.е. Sj/z, = S2h2, где h2 — перемещение поршня в боль­
шом цилиндре, получим
hl / h 2 = S2 / S v
(5.3)
Сравнивая уравнения (5.2) и (5.3), запишем:
F2 I F x= h l / h 2.
(5.4)
Таким образом, выигрывая в силе, действующей на поршень в боль­
шом цилиндре, во столько же раз проигрываем в пути, пройденном пор­
шнем в насосе. Это положение известно под названием «золотого пра­
вила механики». Если не учитывать сил трения, то из (5.4) видно, что
силы давления F x и F2 выполняют одинаковую работу A = F l h l = F2 h2.
Данное соотношение справедливо, если нет потерь энергии на тре­
ние. При наличии трения А2 - р A v где коэффициент полезного дей­
ствия г] < 1. Отсюда получим
119
Гидравлический пресс ш ироко прим еняется в технике для п рес­
сования изделий, испы тания м атериала на прочность, поднятия т я ­
жестей и т.п.
§34. Давление жидкости на дно и стенки сосуда
Ь.
Г ' г т ч 1, .
1, 1.1 , 1, И2
В гравитационном поле на каждую частицу жидкости, выделенную
внутри объема, действует сила тяжести. Вследствие этого внутри жид­
кости на различной глубине давление неодинако­
во. Определим давления
и р 2 в двух точках,
-ASрасположенных внутри жидкости на разных глу­
бинах. Для этого рассмотрим объем жидкости в
форме цилиндра с малыми по площади основани­
Л'ями A S , параллельными свободной поверхности.
Пусть верхнее основание цилиндра (рис. 5.3) рас­
__
положено на глубине hv а нижнее — на глубине
hj. На выделенный объем жидкости действует сила
тяжести F , а также сверху и снизу силы давления
Рис. 5.3
Ft = p tAS и F2 - p 2A S .
Сила FT = рg(h2 - /г, )Д£ = pgh'AS,
где р — плотность жидкости; /р — высота цилиндра. Так как эти силы
направлены вдоль одной прямой, то условие равновесия будет иметь вид:
p xAS + pgh'AS - р 2AS = 0, отсюда р 2 - р х= рgh' , т.е при действии силы
тяжести внутри жидкости на разных уровнях давления не будут одинако­
вы. Если верхнее основание цилиндра будет лежать на поверхности жид­
кости, то гидростатическое давление на глубине h будет
p = pgh'.
(5.5)
Если над свободной поверхностью жидкости имеется внешнее дав­
ление р^ (например, атмосферное), то давление внутри жидкости на глу­
бине h равно сумме внешнего и гидростатического давлений:
P = Po + P8h -
(5-6)
Эта формула используется при определении сил давления жидкости
на дно и стенки сосуда. Сила гидростатического давления на дно F
цилиндрического сосуда равна силе тяжести жидкости:
120
Fa = m g = pgHSn,
(5.7)
где Бд — площадь дна, Н - высота жидкости в сосуде.
Поскольку гидростатическое давление р = pgh на стенки сосуда из­
меняется с глубиной линейно (у самой поверхности h =0, а у дна h = Н),
то силу давления на боковую стенку находят как произведение среднего
бокового давления (р ) =
(0
+ pgH ) / 2 на площадь боковой поверхности
стенки S& т.е.
F6 = p g HS 6 / 2 .
(5.8)
§35. Закон сообщающихся сосудов
Система, состоящая из двух (или нескольких) сосудов, в нижней
части которых имеются соединительные трубки, по которым жидкость
может перетекать из одного сосуда в другой, называется сообщающи­
мися сосудами. Простейш ими сообщающимися сосудами являются
U-образные трубки. Высоты столбов однородной жидкости, налитой
в сообщающиеся сосуды, устанавливаются на одном уровне. Это за­
кон сообщающихся сосудов для однородной жидкости.
Если в сообщающиеся сосуды налиты две несмешивающиеся жид­
кости различных плотностей pj и р2, то их свободные поверхности при
одинаковых внешних давлениях устанавливаются на разных уровнях (рис.
5.4). В этом случае на неподвижную границу раздела жидкостей с двух
сторон действуют также одинаковые давленияр { = р 2 или, согласно урав­
нению (5.5), рlghl = р2gh2 (внешние давленияр 0, равные по величине,
здесь компенсируются). Отсюда получаем
h[/ h2 —Р 2 / Pi •
(5.9)
Следовательно, при равновесии двух разно­
родных жидкостей в сообщающихся сосудах
высоты столбов, измеряемых от уровня раз­ h
дела жидкостей, обратно пропорциональны
плотностям жидкостей. Примерами сообща­
ющихся сосудов в технике являются шлюзы на
каналах и реках, водонапорные башни и водо­
проводные сети и т.д.
99999^
Рис. 5.4
121
§36. Давление атмосферы. Опыт Э.Торричелли
Поверхность Земли окружена воздушной оболочкой-атмосферой.
Непрерывно и беспорядочно движущиеся молекулы, находясь в гравитационном поле Земли (подобно столбу жидкости в
сосуде), оказывают давление на ее поверхность. Атмосферное давление впервые определил опытным пу­
тем итальянский ученый Э. Торричелли (1643 г.). За­
паянную с одного конца стеклянную трубку длиной
около 1 м заполняют ртутью и вторым концом, пред­
варительно закрытым, опускают в сосуд с ртутью (рис.
5.5). Открыв отверстие трубки, погруженное в сосуд,
замечают, что часть ртути выливается из трубки в со­
Рис. 5.5
суд, а оставшийся столбик ртути имеет высоту И. Безвоздушное пространство в трубке над ртутью называют «торричеллие­
вой пустотой», т.к. давление там мало.
Опыт Торричелли объясняется так. Ш ирокий сосуд с ртутью и труб­
ка образуют сообщ аю щ иеся сосуды. Поскольку ртуть в обоих сосу­
дах находится в равновесии, то на уровне АВ давление в трубке и в
сосуде одинаково. Но давление в трубке создается столбом ртути
высотой h. С ледовательно, это давление уравновеш ивается равным
по величине атмосферным давлением на свободную поверхность ртути
в сосуде.
Атмосферное давление, уравновешивающее давление столба ртути
высотой 760 мм, условно принято за нормальное и называется физи­
ческой (или нормальной) атмосферой. Для вычисления нормального
атмосферного давления в паскалях используется формула (5.5). Подставив в эту формулу значения плотности ртути (р = 13600 кг/м3) и
высоты ртутного столба (h = 0,760 м), получим: 1атм = 760 мм рт.ст. =
= 1,013 • 105 Па.
§ 37. Изменение атмосферного давления с высотой.
Барометры и манометры
Атмосферное давление в одной и той же местности на земной повер­
хности непостоянно, оно зависит от процессов, происходящих в атмос­
фере, а также от высоты местности. С подъёмом вверх от уровня моря
давление атмосферы понижается. Это объясняется уменьшением слоя
воздуха, создающего на данной высоте давление.
122
Если прикрепить к трубке с ртутью
вертикальную шкалу, то получают про­
стейший ртутный барометр. Мано­
метры, предназначенные для измерения
атмосферного давления, называются
барометрами. Приборы, служащие для 3
измерения давления в жидкостях или
р ис 5 5
газе, называются манометрами. Мано­
метры бывают двух видов: жидкостные и металлические. Простейшим при­
мером металлического манометра служит барометр-анероид (рис. 5.6).Для
увеличения чувствительности анероидов и повышения точности измерений
из коробочки 1 (герметично закрытой волнистой мембраной) выкачан воз­
дух. Мембрану 2 оттягивает вверх пружина 3. При уменьшении давления
пружина выпрямляет мембрану. Передаточный механизм 4 поворачивает
стрелку 5 вправо или влево. Под стрелкой укреплена шкала, деления кото­
рой нанесены по показаниям ртутного барометра.
§38. Архимедова сила для жидкостей и газов
Если тело погрузить в жидкость или газ, то на него будет действовать
выталкивающая сила. Выясним причину возникновения выталкиваю­
щей силы. Для этого предположим, что тело в форме куба находится
внутри жидкости в статическом равновесии. Верхнее основание куба
находится на глубине /г, под свободной поверхностью жидкости, а ни­
жнее — на глубине h2 (рис. 5 .7). Плотность тела равна Р т. Обозначим
высоту куба hT, а площадь осно­
вания через S.
На тело, погруженное в жид­
кость, действуют сила тяжести mg
и силы д ав л ен и я
ж и д кости
Fx,F2,...,F6, перпендикулярные
к
граням куба. Силы давления на
боковые грани уравновешивают­
ся. Однако силы давления, дей­
ствующие на нижнюю и верхнюю
__ .Т
Рис 5
7
123
грани, вызванные различными гидростатическими давлениями, не урав­
новешивают друг друга. На уровне верхней грани куба давление жидко­
сти р х = р Xghx, на уровне нижнего основания р 2 = р xgh2, где рж —
плотность жидкости. Следовательно, силы давления
Fi = Pis = РжS \ S , F2 = p 2S = p xgh2S ,
а их равнодействующая будет направлена вертикально вверх и равна:
(5.10)
Fa = F 2 - F v
Сила FА называется выталкивающей (архимедовой) силой. Подстав­
ляя значения сил давления Е)и F2, получим, что
fa
=
- РжgfhS = р xgShT
или
^д=Рж g K ,
(5-11)
где Vf — объем тела, погруженного в жидкость (или объем жидкости,
вытесненной телом).
Таким образом, на тело, погруженное в жидкость или газ, дей­
ствует выталкивающая сила, равная по модулю весу жидкости или
газа, вытесненных телом.
Выталкивающая сила приложена к телу в точке, совпадающей с цен­
тром масс объема вытесненной жидкости. Точка приложения выталки­
вающей силы не всегда совпадает с центром масс самого тела.
Равнодействующая выталкивающей силы и силы тяжести тела назы­
вается подъемной силой:
Fn = F A + FT- F n = F A - F T.
§39. Условия плавания тел
При плавании тела массой ту внутри жидкости выталкивающая сила
уравновешивается силой тяжести тела, т.е. FA = m Tg . Учитывая выра­
жение (5.11), имеем: p xgVT = р TgVT или р ж = р , т.е. тело может пла­
вать в жидкости при условии, что плотность тела равна плотности
жидкости. Если при плавании в жидкость погружена лишь часть тела,
объем которой Vv то p xgVT = p TgVT, откуда Vx = (VT ■р т) / р ж ■Посколь­
124
ку Kj < VT, то равновесие тела на поверхности жидкости возможно лишь
при условии, что рт < р ж ■Здесь р т не обязательно означает плотность
вещества плавающего тела. Например, на поверхности воды плавают
корабли, понтоны, буи и другие полые металлические тела, несмотря на
то что плотность металла больше плотности воды. Дело в том, что архи­
медова сила не зависит от распределения массы в объеме тела, ее вели­
чина определяется лишь объемом погруженной части тела. Поэтому под
р т следует понимать среднюю плотность тела — отношение суммарной
массы тела к занимаемому им объему.
Контрольные вопросы
1. Что называется давлением? В каких единицах измеряют давление?
2. Как формулируется закон Паскаля?
3. Что представляет собой гидравлический пресс и на каком прин­
ципе основано его действие?
4. В чем заключается положение, известное под названием "золотое
правило" механики?
5. Выведите формулу гидростатического давления.
6 . Докажите, что давление на дно сосуда не зависит от формы сосуда.
7. Как определить силу давления на боковую стенку?
8 . Какой опыт провел Торричелли для определения атмосферного
давления?
9. Какие сосуды называются сообщающимися?
10. Сформулируйте закон сообщающихся сосудов.
11. Как формулируется закон Архимеда?
12. Почему возникает выталкивающая сила и от чего она зависит?
13. Сформулируйте условия плавания тел.
14. Как изменяется атмосферное давление с высотой местности над
уровнем моря?
125
Примеры решения задач
Pol
Ро
\
/
И
hC
__ —
Р е ш е н и е. На пластинку действуют две
противоположно направленные силы: сила дав­
ления ртути F j и сила давления воды F2. Плас­
Рис. 5.8
Дано:
h2 = 0 , 6 8 м
р2 =
1
103
5.1.
Стеклянная трубка, нижний конец кото­
рой закрыт пластинкой, опущена вертикально в
воду на глубину h2 = 6 8 см (рис. 5.8). Какой
высоты h i нужно налить ртуть в трубку, чтобы
пластинка отпала? Массой пластинки пренеб­
речь.
тинка отпадет, когда Fx > F2 или Р\ - P i, т.к.
F = S р , где S — площадь сечения трубки. Но
кг/м 3
Pj = 13,6 ■103 кг/м 3
Р\ = Ро + Pigfh >Pi = Ро + P2§h2.
отсюда
/г, — ?
p 0 + P lghl > p 0 + p 2gh2 и
h] > h 2p 2/ p l \
/г, = 0 ,0 5 м .
5.2.
Какую силу давления испытывает стенка аквариума длиной
I = 3 м, если угол наклона ее а = 30°, а высота воды в аквариуме
h = 2 м (рис. 5.9, а)1
Д а н о:
/= 3м
h=2 м
а = 30°
р 0 = 1,01 ■105 Па
р = 1 1 0 3 кг/м 3
р
9
Р е ш е н и е . Средняя сила давления воды на
стенку аквариума F - ( p ) S . С учетом атмосферного давления
(p ) = P o + P S h / 2 ’
a S — площадь стенки аквариума,
S=l h/cosa.
Отсюда
F = {р 0 + р g h / 2 ) l h / c o s a;
F = 770,8 кН .
Можно показать, что сила давления на боковую стенку «переверну­
того» аквариума (рис. 5.9, б) при той же высоте воды h по величине не
изменится и будет определяться данной формулой, гд еа — угол между
стенкой и дном аквариума.
126
a
i ik—
(V
Puc. 5.9
5.3.
В (/-образную трубку (рис. 5.10) налита ртуть, а поверх нее в
одно колено трубки налит столб масла высотой 40 см, а в другое —
столб керосина высотой 20 см. Определите разность уровней ртути в
коленах трубки.
Р е ш е н и е. По закону Паскаля на нижней
Дано:
границе
раздела жидкостей 0 — 0 давление в ле­
/2j = 0,40 м
вом и правом коленах трубки одинаково. В ле­
И2 = 0 , 2 0 м
вом колене давление определится давлением
р = 13,6 ■ 103 кг/м 3
столба масла высотой /г, и атмосферным дав­
pj = 0,92 ■ 103 кг/м 3
лением р (). В правом колене— давлением стол­
Р2 = 0 , 8 1 0 3 кг/м 3
ба керосина высотой h2, давлением столбика
Дh — ?
ртути высотой Д/г и давлением атмосферы р ().
Из равенства давлений имеем:
Ро + P\S
Ро + Рг£ h2+ pgAh,
Ah = (plhi - p 2h2)/ р\ 2!/г = 0,016м.
5.4.
В двух цилиндрических сообщающихся сосудах налита ртуть.
Площадь сечения одного из сосудов вдвое больше площади другого.
Ш ирокий сосуд доливают водой до края. На какую высоту поднимается
при этом уровень ртути в узком сосуде? Первоначально уровень ртути
был на расстоянии 0,80 м от верхнего края широкого сосуда.
Дано:
/ = 0,80 м
S2 t S x = 2
р рт = 13,6-103 кг/м 3
Р е ш е н и е. На рис. 5.11 отметим началь­
ный уровень ртути
0— 0
и высоты ДЛ[ и Д ^ , на
которые ртуть поднялась в узком и опустилась
в широком сосуде. Рассмотрим границу разде­
ла воды и ртути (1— 1). По закону Паскаля
р в = 1 , 0 - 1 0 3 кг/м 3
Д/г. — ?
Ро + PpTg ( A/*l + Ahi ) = Ро + Рв g(l + А1Ь )•( 1)
127
Г Ah
Ah
Рис. 5. JO
Рис. 5.11
Из условия несжимаемости жидкости следует, что увеличение объема
ртути в узком сосуде равно уменьшению ее объема в широком сосуде,
то есть
Д/г, = S
2A h 2 .
Тогда из уравнений (1) - (2) получим
А к = --------- 7 — т^ 4 г— — — с; A h. = 0 ,0 4 м .
Р р т + C^l / $ 2 Ц р р т ~ Р в )
5.5.
При подъеме груза массой m = 2 т с помощью гидравлического
пресса была затрачена раб отав = 40 Дж. При этом малый поршень сде­
лал н = 1 0 ходов, перемещаясь за один ход на h = 10 см. Во сколько раз
площадь большого поршня больше площади малого?
Дано:
m = 2 1 0 3 кг
А = 40 Дж
4=10
h = 0 ,1 м
V s , - ?
5.6.
Р е ш е н и е . Согласно формуле (5.2) запишем:
f2 i f x= s2 i s
x.
Работа
A = F xnhx.
Поскольку сила
( 1)
(2)
р 2 = mS<
из уравнений ( 1 ) - (3) получаем
S2 l S l = m g h l A ;
S2 / 5) = 500.
(3)
Деревянная доска длиной L = 3,5 м, толщиной D = 30 см и шири­
ной Ъ = 25 см плавает в воде. Какова масса М человека, который может
стоять на доске, не замочив ноги?
128
Дано:
Р е ш е н и е . На человека и доску действует
Ъ - 0,25 м
L = 3,5 м
D = 0,3 м
р = 0,7 103 кг/м 3
рв =
103
суммарная сила тяжести (М + m)g ■Эта сила тяжести в момент равновесия должна быть скомпенсирована выталкивающей силой F. ■
кг/м 3
{M + m )g+ F A= 0;
м _ ?
( M + m ) g = FA.
Согласно закону Архимеда
(1)
(2)
Fa = Р Л У -
Здесь V — объем доски:
V = L S = LDb.
(3)
Считаем, что в момент равновесия доска всем своим объемом погруже­
на в воду. Определим массу доски т через плотность дерева р и объем V:
т = р V = pLDb.
Подставим уравнения (2) - (4) в уравнение (1):
Mg + pgLDb = p BgLDb, откуда М = LDb(р в - р);
М — 79 кг.
5 .7.
П олы й м едн ы й ш ар, в н е шн и й объем которого равен
Vq = 44,5 см3, плавает в воде, погружаясь в нее наполовину. Каков
объем полости шара?
Дано:
=
V
о
р =
р =
АА
103
8 9
V — 9
П
Р е ш е н и е . Запишем условие плавания
S ■ 1П'6 м3
кг/м 3
103
кг/м 3
шара: F. + mg = 0 (рис. 5.12). В скалярной
А
Ф°Рме э т 0 условие имеет вид
т§ ~ Fa ,
(1)
Г л = р л \ у 0,
(2)
т.к. по условию шар наполовину погружен в воду. Учтем, что масса
полого шара сосредоточена в оболочке объемом V = V0 - Vn, тогда
т = Рм(Уэ - Vn ).
Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1), получим
PMg(V0 - Vn)=Psg^V0,
откуда
Vn = (1 - р в/ { 2 р ы)) V0;
Vn = 4 2 -1 0 “6м 3.
129
mg
Рис. 5.1 2
5.8.
Рис. 5.13
Кубик из дерева, имею щ ий сторону 10 см, плавает между
маслом и водой. Н иж няя поверхность кубика на 2,5 см ниже по­
верхности раздела. К акова м асса кубика?
Дано:
а = 0 ,1 м
И = 2, 5- 10-2 м
рв = 1 0 3 кг/м 3
р = 0 , 8 1 0 3 кг/м 3
т— ?
Р е ш е н и е . Тело, плавающее на границе
раздела разнородных жидкостей, испытывает
действие выталкивающих сил со стороны каж­
дой жидкости: FM — выталкивающая сила,
д ей ств у ю щ ая на тел о со сторон ы воды ;
Fa2 — со стороны масла (рис. 5.13). Сила тя­
жести m g приложена к геометрическому центру кубика — точке 0 , а
сила F
к точке
Fa2 к точке
2
1
—- центру тяжести погруженной в воду части кубика;
— центру тяжести части кубика, находящейся в масле.
Условием плавания является уравнение
FM + Fk2+ m g= 0 или
(О
m S = F \ \ + F Pa-
Согласно закону Архимеда,
Fk\ = РвS V\ = Рвg a 2h ,
(2)
Fa2 = P«SV2 = PMg a 2{ a~h) ,
(3)
где рв и рм — плотности воды и масла соответственно. Подставив урав­
нения ( 2 ) и (3) в уравнение ( 1 ), получим
т = a 2 [p s
130
/7
+ p w (a -/z )}
т = 0,85-
f
5.9.
Вес тела в воде в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна
плотность тела?
д ано:
Р е ш е н и е . В воздухе вес тела, если пренебр = п Р2
Речь выталкивающей силой, действующей со стоп =з
роны воздуха, равен силе тяжести тела:
рв = 1000 кг/м 3
-------------------------р___ _?
Р\ = mg = Рт Vg,
(1)
где V— объем тела; рт — его плотность. В воде вес
тела уменьшается на величину силы Архимеда:
Р2 = Г х - р »
(2)
где
fa
= p BgV.
(3 )
По условию
Р 1 = П- Р2.
Из уравнений (1) - (4) имеем:
,
(4)
Рт = p W ( « - l ) Рт = 1,5- 1 0 3 кг/м3.
5.10.
Слиток сплава золота и серебра в воздухе весит 2,94 Н, а в
воде — 2,69 Н. Определите массу золота и серебра в слитке. Считать,
что объем слитка равен сумме объемов компонентов. Выталкивающей
силой воздуха пренебречь.
Дано:
Р = 2 94 Н
Р е ш е н и е . Как и в предыдущей задаче,
вес слитка в воздухе примем равным его силе
Р2 = 2,69 Н
тяжести:
р3 = 1,93 103 кг/м 3
Р\ = mg ’
рв = 1 0 3 кг/м 3
а в воде
рс = 1,05 ■ 103 кг/м 3
р 2 = mg ~ Fk ~ р \ ~ Fa-------------s
о---------Так как выталкивающая сила
(1)
(2)
f a = Pb gV,
где рв — плотность воды; V— объем слитка, то уравнение (2 ) примет вид
P2 = mg - p Bg v = P x- P Bg y .
(3)
т = т3 + тс,
(4)
Масса слитка
а его объем
У = V3+ Vc = (mj р3) + (/ис/рс),
(5)
где У3 — объем золота; Ус — объем серебра; т3 — масса золота;
т — масса серебра. Решая уравнения (3) и (5), получим
131
(Д P2
)Pc P\ ' P e
_ n ni
m _ -------7--------- \-------, тъ - и,и/ кг,
Р б \Р с - Р з)8
р
тс = т - т 3 = — - тг; тс = 0,23 кг
g
5.11.
Во сколько раз изменится подъемная сила аэростата, если для
наполнения его будет применяться гелий вместо водорода?
Дано:
Pj = 2 1 0"3 кг/моль
Р е ш е н и е . Под подъемной силой F понимают результирующую двух сил: выталки-
р в - 2 9 1 0 кг/моль
р 2 = 4-10 ' 3 кг/моль
в аю щ ей
СИЛы
F - Fk + mg
Fx!F2 -
и
F .
или
си л ы
т я ж ести
F = F A -mg.
?
По закону Архимеда
FA = р Bg V ,
где рв —- плотность воздуха; V — объем аэростата. Подъемная сила бу­
дет изменяться только с изменением массы газа внутри аэростата:
Fi
=
Fa - m i g = p Bg V - m lg ,
где F j — подъ ем н ая си л а а э р о ста та, н ап олненн ого водородом ;
т j — масса водорода;
F2 = F a - m2g = р Bg V —m 2g ,
где F2 — подъемная сила аэростата, наполненного гелием; т2 -— масса
гелия. Найдем отношение
F\ _ P . g V ~ f n xg _ (от,- m 1)g _ тъ - щ
Fi
PBg y - ^ 2g
(imB- m 2)g
ms - m 2 ’
где mB— масса воздуха, вытесненного аэростатом. Величины т х, т2 и
т в м ож н о о п р е д е л и т ь из у р а в н е н и я М е н д ел еев а-К л а п е й р о н а:
p V = {m /\i)R T , считая параметры р, V и Т одинаковыми для всех трех
газов. Тогда
тъ - щ
m B- m 2
= ц.-ц,
ц в - р 2’
где pj, р 2 и Цв — молярные массы водорода, гелия и воздуха соответ­
ственно. Из уравнений (1) и (2) получим
132
_5_=
V
F2
Me - M i
e
Mi
; A = 1508.
Fi
Подъемная сила уменьшится в 1,08 раза.
Задачи для самостоятельного решения
5.12. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускает­
ся на расстояние h = 0,2 м, а больш ой порш ень поднимается на
Н = 0,01 м. С какой силой F2 действует пресс на зажатое в нем тело,
если на малый поршень действует сила F j = 500 Н?
О т в е т: F2 =10 кН.
5.13. Для подъема груза массой 60 т на высоту 0,45 м воспользова­
лись гидравлическим прессом с КПД 75%. Сколько ходов п сделает
малый поршень, ход которого равен 0,2 м, а площадь меньше площади
большого поршня в 100 раз?
О т в е т : 300.
5.14. Площади поршней гидравлического пресса 10 и 1000 см2. От­
ношение плеч рычага равно 6. Какую силу давления можно будет полу­
чить на прессе, если к длинному плечу рычага, передающему давление
на малый поршень, приложена сила 80 Н? КПД пресса 75%.
О т в е т: 36 кН.
5.15. На какой глубине в пресной воде давление в три раза больше
атмосферного, которое равно 765 мм рт. ст.?
О т в е т : 20,8 м.
5.16. В цилиндрическое ведро диаметром d = 25 см налита вода, за­
нимающая объем V = 12 л. Каково давление р воды на стенку ведра на
высоте h = 10 см от дна?
О т в е т : 1,2 103 Па.
5.17. До какой высоты Н нужно налить жидкость в цилиндрический
сосуд радиуса R, чтобы силы давления воды на дно и на стенки сосуда
были равны между собой?
О т в е т: Н = R.
133
5.18. В цилиндрический сосуд налиты равные по массе количества
воды и р ту ти . О б щ ая в ы со та сто л б а ж и д к о стей в сосуде
Н = 143 см. Чему равно давление р на дно сосуда?
О т в е т : 26,1 кПа.
5.19. Какая разница получится в высоте уровней ртути в сообщаю­
щихся сосудах, если в один сосуд поверх ртути налить керосин высотой
25,5 см?
О т в е т : 1,5 10‘2 м.
5.20. В цилиндрических сообщающихся сосудах с одинаковыми ди­
аметрами и одинаковой высотой находится ртуть. В одном из сосудов
поверх ртути налит столб воды высотой h0 = 32 см. Как будут располо­
жены относительно друг друга уровни ртути в обоих сосудах, если оба
сосуда доверху будут залиты керосином?
О т в е т: 5 10"3 м.
5.21. Ртуть находится в ^/-образной трубке, площадь сечения левого
канала которой в три раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком
канале расположен на расстоянии / = 30 см от верхнего конца трубки.
На сколько поднимется уровень ртути в правом канале, если левый ка­
нал доверху залить водой?
О т в е т: 6 10"3 м.
5.22. Пловец неподвижно лежит на воде лицом вверх, причем в воду
погружено все тело за исключением небольшой части лица. Масса пловца
75 кг. Найдите объем тела пловца.
О т в е т: 75 ■10'3 м 3.
5.23.Тонкая деревянная палочка длиной L=20 см закреплена шар­
нирно на одном конце и опущена свободным концом в воду. Какая часть
длины палочки будет находиться в жидкости при равновесии? Плотность
дерева р = 600 кг/м3.
О т в е т : 0,07 м.
5.24. Определите наименьшую площадь плоской льдины толщиной
40 см2, способной удержать на воде человека массой 75 кг.
О т в е т : 1,87 м2.
5.25. В сосуд налита ртуть и сверху нее масло. Шар, опущенный в
сосуд, плавает так, что он ровно наполовину погружен в ртуть. Опреде­
лите плотность материала шара.
О т в е т : 7,25 • 103 кг/м3.
134
5.26. Вес тела в воде в к раз меньше, чем в воздухе. Какова плот­
ность вещества тела?
О т в е т: к р / (к - 1).
5 .2 7 . М едн ы й ш ар с в н утрен н ей п олостью веси т в воздухе
P j = 2,64 Н, а в воде Р2 = 2,21 Н. Определите объем внутренней полости
шара.
О т в е т : 13 10‘6 м3.
5.28. Определите истинный вес Р тела объемом V - 1000 см3, если
при взвешивании в воздухе оно было уравновешено медными гирями
весом Р0 = 8,80 Н.
О т в е т : 8,812 Н.
5.29. Кусок сплава меди с цинком весит в воздухе 8,24 Н, а в воде —
7,26 Н. Определите, сколько меди и цинка находится в куске?
О т в е т: 0,6 кг; 0,2 кг.
5.30. Аэростат объемом 2000 м3 наполнен водородом. Вес оболочки,
корзинки, балласта и прочего оборудования 16 кН. Определите подъем­
ную силу аэростата.
О т в е т: 8 кН.
5.31. Пробковый спасательный круг имеет массу 3,6 кг. Определите
подъемную силу этого круга в пресной воде.
О т в e f : 1760 Н.
5.32. Какое количество гелия потребуется для заполнения оболочки
аэростата, если его подъемная сила 9,7 кН. Масса оболочки с гондолой
940 кг.
О т в е т : 312,8 кг.
5.33. Пузырек газа поднимается со дна озера с постоянной скорос­
тью. Найдите силу сопротивления воды, если объем пузырька 1 см3.
Изменением объема пузырька пренебречь.
О т в е т: 9,8 мН.
5.34. Стратостат совершил подъем на высоту 19 км. Вес оболочки,
гондолы и балласта стратостата равнялся 25 кН. Оболочка объемом
2500 м3 содержала перед стартом около 2150 м3 водорода. С каким
ускорением начал подниматься стратостат?
О т в е т: 2 м/с2.
135
ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
§40. Понятие сплошной среды
Известно, что любое вещество состоит из молекул, которые находят­
ся в непрерывном движении. При рассмотрении движения твердого тела,
жидкости или газа для упрощения математического описания протекаю­
щих процессов молекулярная структура заменяется идеализированной
моделью. Вещество считается как бы непрерывно "размазанным" по все­
му объему тела. Это модель сплошной среды. Ясно, что ею можно пользо­
ваться только тогда, когда нас интересуют хотя и маленькие объемы, но
все же значительно бтльшие по размерам, чем расстояния между моле­
кулами.
Жидкости и газы являются текучими средами: если на частицы жид­
кости или газа действуют сдвигающиеся внешние силы, то частицы бу­
дут перемещаться до тех пор, пока не исчезнут или не уравновесятся эти
силы. Внутренние силы не могут остановить это движение, но могут его
замедлить. Тормозящие силы, возникающие между слоями движущей­
ся жидкости или газа, называются ст ам и вязкого трения.
Жидкость, в отличие от газа, считается средой несжимаемой, иногда
и газ до определенных границ можно рассматривать как несжимаемый.
Специфические законы гидромеханики не являются самостоятельны­
ми законами. Все они могут быть выведены из общих законов Ньютона.
§41. Уравнение неразрывности
Рассмотрим течение жидкости по трубе с переменным сечением. (Тру­
ба необходима только для удобства рассуждений. Жидкость может течь
по открытому каналу или это может быть свободная струя). Уравнение
неразрывности выводится на основании закона сохранения массы и не­
возможности разрыва жидкости и образования в ней пустот (отсюда
происходит название закона).
Р ассм о тр и м ж и дкость в объем е V м еж ду сечени ям и Sj и S2
(рис. 5.14).
*В классической механике считается, что масса тела не зависит от скорости
его движения и в изолированной системе не изменяется при любых происхо­
дящих в системе процессах.
136
Si
s;
- - .V
7777777777777777777777777ЯШ7
Рис.
Так как жидкость несжимаемая и в ней не могут образовываться пу­
стоты, то масса жидкости между сечениями
и S2 не может изменить­
ся. За время At жидкость пройдет через сечение Sj и переместится на
расстояние
/, = а д = V, А/ .
В объем V втечет жидкость в объеме
V, = / Д = Si\ lA t,
(5-12)
масса которой
т] = pPj = pS1Afvl .
(5.13)
Здесь р — плотность жидкости, Vj — ее скорость в сечении S). Ана­
логично для сечения S2 получим
V2 = l 2S 2 = S 2\ 2At ,
(5.14)
т2 - pV2 = pS2v 2At.
(5.15)
Так как масса жидкости в объеме V не может измениться, то
т^=т2 .
(5.16)
Подставив в (5.16) уравнения (5.12) - (5.15), получим
(5-17)
Sj/j - S2l2,
(5.18)
(5.19)
S j Vj =
= constСоотношение (5.19) называется уравнением неразрывности для не­
сжимаемой жидкости: произведение скорости течения несжимае­
мой жидкости на ее поперечное сечение есть величина постоянная.
137
§42. Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли выводится из закона сохранения энергии для иде­
альной (без вязкости) жидкости для стационарных течений. Стационар­
ным называется течение, при котором скорость жидкости в каждой точ­
ке течения не меняется со временем. Для реальных жидкостей уравнени­
ем Бернулли можно пользоваться, если у них малая вязкость.
Рассмотрим жидкость, движущуюся по трубе между сечениями S х и
S2 (рис. 5.14). Так как течение стационарное, то кинетическая энергия
жидкости в объеме V между сечениями S[ и S2 не изменится. А так как
труба неподвижная, то не изменится и потенциальная энергия жидкости
в этом объеме. Таким образом, полная механическая энергия рассмат­
риваемого объема жидкости будет равна в момент V.
£, = Ev + m xgh] + m, v f / 2 ,
(5.20)
а в конце промежутка времени At:
E2 = E v + m 2gh1 + m 2y 2 / 2 ,
(5.21)
где Еу — внутренняя энергия жидкости в объеме V. В сечении 5) жид­
кость, которая находится слева от этого сечения, совершит работу
Ах = P iS Ji = P lVv
(5.22)
которая пойдет на увеличение энергии жидкости между сечениями 5) и
S2. В свою очередь, эта жидкость совершит работу в сечении S2:
A2 = p 2S 2l2 = p 2V2,
(5.23)
что уменьшит ее энергию на эту величину. Здесь р х и р 2 — давление
жидкости в объеме Vx и V2 соответственно. В результате получим
Е2 - Е 1 = А 1 - А 2 или Е2 + А2 = Е х + А х.
(5.24)
Подставив в уравнение (5.24) соотношения (5.20) - (5.23), получим
Ev + m2gh2 + m 2\ \ H + p 2V2 = Ev + m lgh] + mx\ ] / 2 + p lVl ■
(5.25)
Учитывая, что m x= m2 и поделив уравнение (5.25) на Vx = V2, полу­
чим уравнение Бернулли:
pv^ / 2 + рgh2 + p 2 = p v 2/ 2 + рg \ + p l .
(5.26)
Оно выполняется для любых точек стационарного течения идеальной
жидкости.
В технике величина рgh называется гидростатическим напором (дав­
138
лением); pv2/2 — гидродинамическим (скоростным) напором-, р — ста­
тическим давлением, а их сумма pv2/2 + pgh +р — полным давлением.
Частные случаи:
1. Пусть жидкость покоится, т.е. Vj = v2 = 0. Тогда из уравнения (5.26)
получим
Рг=Р1+№ {\-К)’
p 2 ~ p t = А р,
отсюда
АР = Рg { \ - К ) = pgA■
(5-27)
Изменение статического давления равно гидростатическому напору.
Так как в неподвижной жидкости силы вязкости отсутствуют, то урав­
нение (5.27) верно и для реальных жидкостей.
2. Пусть труба, по которой течет жидкость, горизонтальная, т.е. hl=h2.
Тогда из уравнения (5.26) имеем:
p v \ / 2 + р 2 = р \ 2х / 2 + p i ■
(5.28)
Пусть у2 > v l> тогда р 2 < Р\- Давление меньше там, где скорость пото­
ка больше (сужение трубы). Уравнение Бернулли используется для объяс­
нения явлений в различных технических устройствах.
§43. Применение уравнения Бернулли
1. Подъемная сила крыла самолета
Происхождение подъемной силы крыла самолета было объяснено вы­
дающимся русским ученым Н.Е. Жуковским. В деталях теория доволь­
но сложна. Приведем ее в упрощенном виде.
Профиль крыла самолета (рис. 5.15) имеет такую форму, что ско­
рость обтекающего потока воздуха от­
носительно крыла внизу меньше, а ввер­
ху больше: v2 > Vj. Поэтому давление
под крылом больше, чем над крылом:
Ру > р 2. Это приводит к избыточной силе
F , которую можно разложить на две со­
ставляющие: подъемную силу Fn и силу
сопротивления R .
139
Таким же образом объясняется происхождение подъемной силы у
кораблей на подводных крыльях.
2. Измерение скорости течения жидкости и газа
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 5.16. Применив уравнение
Бернулли для впаянных в трубку 1 тон­
ких вертикальных трубок 2 и 3, полу­
чим для каждой из них:
Р\ ~ Р&#1 >
(5.29)
Рг =
2•
В широкой части давление больше,
поэтому и высота поднятия жидкости
больше.
Рис. 5 .1 6
Используя уравнение Бернулли для
горизонтальной трубы (5.28) и уравнение (5.29), получим
v j - v f = 2 ( р , - f t ) / p = 2 g ( t f , - Н 2).
(5 3 0 )
Таким образом, если известна скорость течения в одной точке (пусть
Vj), то измерив манометром разность давлений или разность высот жид­
кости в трубках, которые и являются в этом случае манометрами, по
формуле (5.30) можно определить скорость течения v2.
Подобным методом можно измерять скорость самолета относительно
воздуха (рис. 5.17).
к манометру
Рис. 5.17
За борт самолета выводится тонкая трубка, называемая трубкой Пито.
Трубка Пито присоединяется к дифференциальному манометру, измеря­
ющему разность давлений: полного — с помощью внутреннего канала 4
и статического — с помощью канала 5. Разность этих давлений есть
динамический напор pv2/2.
140
Если манометр проградуировать’в величинах скорости, учитывая из­
менение плотности воздуха, то получим прибор для измерения скорости
полета самолета.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается модель сплошной среды?
2. Какие законы положены в основу гидромеханики?
3. На чем основан вывод уравнения неразрывности?
4. Почему струя воды, вытекающая из водопроводного крана, утонь­
шается при удалении от крана?
5. Для каких жидкостей и течений справедливо уравнение Бернулли?
6. Какие законы используются при выводе уравнения Бернулли?
7. Какие явления объясняются законом Бернулли?
Примеры решения задач
5.35.
Найдите скорость истечения жидкости из отверстия в дне сосу­
да. Высота жидкости в сосуде поддерживается постоянной И - 1м.
д ано.
Р е ш е н и е . Поскольку высота И (рис. 5.18)
^_ j
поддерживается постоянной, то течение стацио. нарное и к нему применимо уравнение Бернулли.
v2 — ?
(При условии, что жидкость имеет малую вязкость,
как, например', вода).
Точку 1 выберем на свободной п оверхности ж идкости, точку
2 — в струе около дна сосуда. Запишем уравнение Бернулли (5.26):
pvf / 2 -f- р g \ + р х = pv* / 2 + p g h 2 + р 2.
(1)
Так как точки 1 и 2 находятся на границе с атмосферой, то давление
P i = P 2 ~ Ратмусловию поверхность жидкости не опускается, тогда
Vj=0, а /?]- h2= h, и из уравнения (1) получим
v 2 = y[gh; V2 » 4,4
м/с.
(2)
Замечание:
Формула (2) пригодна и тогда, когда жидкость в сосуд не доливается.
Но в этом случае она будет приближенной.
Запишем уравнение неразрывности для сечений 1 (поперечное сече­
ние сосуда) и 2 (отверстие):
141
v^i
У2 ^ 2 ’
откуда
— ш
Рис. 5.18
v2 = v ,(S,/52).
Формула (2) будет пригодной, если можно
считать, что
v l/v2 = S2/S { ®0.
5.36.
Из отверстия диаметром d j = 1 см вытекает со скоростью
Vj = 0,5 м/с вода. Каким будет диаметр струи на высоте h = 20 см ниже
отверстия? Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано:
Vj = 0,5 м/с
d x = 1 см
h = 20 см
Р е ш е н и е . Запишем уравнение неразрывности
для сечений 1 и 2 {рис. 5.19):
v, -ndf / 4 = v 2 -maf22 / 4,
^,2v, = J 2v 2•
(1)
Вода после отверстия будет свободно падать, поэтому
v 2 - v 2 = 2gh •
(2)
Из уравнений (1) и (2) найдем:
d2 =
Рис. 5 .19
Дано:
1= h
c/j /(l + 2 g Л / v f ) ° 25;
d2 =
5.37.
Из отверстия в дне бака вытекает вода. В баке
поддерживается постоянный уровень воды. К дну при­
варивается вертикальная трубка, диаметр которой ра­
вен диаметру отверстия, а длина равна толщине слоя
жидкости в баке. Как изменится расход воды в баке,
т.е. масса воды, вытекающей за 1 с?
Р е ш е н и е . Используем решение задачи 5.35. Ско­
рость истечения воды будет равна:
v, = -J2gh,
т2 / /и,
v 2 = J 2 g ( h + /) •
Расход воды:
т] = VjSp,
m2 = \ 2Sp.
142
0,5cm.
О тсю да
т2 / ml =\-Jl = 1,4 ■
Расход увеличится в 1,4 раза.
5.38. В бак равномерной струей поступает вода: в единицу времени
vt =1л/с. В дне бака имеется отверстие диаметром d = 2 см. На каком
уровне будет держаться вода в баке? |
д ано;
Р е ш е н и е . Стационарный режим тече, ,
ния наступит тогда, когда через отверстие
vt —1л/с — 110 м с
будет вытекать столько же воды, сколько
d = 2 см = 0,02 м
поступает ее в бак:
^. ?
V7iJ2 / 4 = v (.
(1)
Скорость истечения воды находим из
уравнения
v = -Jlgh .
(2)
Подставив уравнение (2) в (1), найдем:
h = 8vf / ( ; r 2g J 4);
h = 0,5 м .
Задачи для самостоятельного решения
5.39. Оцените скорость катера, если вода по его носовой части под­
нимается на высоту h = 1 м.
О т в е т : v « 16 км/ч.
5.40. В широком баке вода налита до высоты Н = 2 м. На какой высо­
те нужно сделать отверстие в стенке бака, чтобы вытекающая струя била
на максимальное расстояние? Чему равно это расстояние? Бак стоит на
горизонтальной поверхности.
О т в е т: h = 1 м; /тах = 2 м.
5 .4 1 . В м а ги с т р ал ьн о й труб е в о д о п р о в о д а д ав л ен и е равн о
р = 0,5 МПа. Чему равен расход воды из крана сечением S = 0,5 см2 на
высоте h = 30 м?
О т в е т: 44 л/мин.
143
Ч а сть
3
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ф и з и к и
и терм одинам ики
Г л а в а 6. О С Н О ВЫ
М О Л Е К У Л Я Р Н О -К И Н Е Т И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И
§44. Понятия и определения
В молекулярной физике и термодинамике изучаются процессы, про­
исходящие в макроскопических телах. Макроскопическими называются
тела, состоящие из большого числа частиц: молекул и атомов.
Существуют два метода исследования макроскопических тел: стати­
стический и термодинамический. Статистический метод изучает мак­
роскопические тела, исследуя свойства частиц, из которых они состоят,
и их взаимодействия. В этом методе для описания тел используются ус­
редненные значения динамических характеристик частиц.
Термодинамический метод базируется на трех опытных законах (на­
чалах). При этом методе исследования не используются представления
о строении тела и характере движения частиц, входящих в него.
Термодинамической системой называется совокупность макроско­
пических тел, обменивающихся энергией как между собой, так и с вне­
шними телами или системами.
Физические величины, характеризующие термодинамическую сис­
тему, называю тся параметрами состояния. Давление, температура,
объем, плотность и т.д. являются параметрами состояния.
144
Температура тела — это мера средней кинетической энергии хаоти­
ческого поступательного движения его молекул. Температура характе­
ризует степень нагретости тела. Если два тела, имеющие различные тем­
пературы, привести в соприкосновение, то их температуры выравнива­
ются: теплое тело охлаждается, а холодное нагревается. Со временем
установится равновесное состояние двух тел. На этом принципе основа­
но измерение температуры.
Для определения температуры термодинамической системы пригод­
но любое из ее свойств, стоящее в количественной зависимости от тем­
пературы, например: длина, объем, давление, сопротивление и т.д. В тер­
мометре, которым мы часто пользуемся, используется зависимость объе­
ма ртути (или спирта) от температуры.
По шкале Цельсия за 0° принята температура тающего льда, а за 100°
— температура кипящей воды (и то и другое при нормальном давлении).
Интервал между ними разделен на 100 равных делений.
В молекулярной физике и термодинамике для измерения температу­
ры пользуются абсолютной шкалой (шкалой Кельвина). Между абсо­
лютной температурой Т и температурой t, измеряемой по шкале Цель­
сия, существует линейная связь:
Т = t + 273 К.
Температура, равная — 273°С (точнее — 273,16°С), называется аб­
солютным нулем. Абсолютный нуль — самая низкая температура. В тер­
модинамике доказывается, что охладить тело до абсолютного нуля не­
возможно.
Термодинамическая система называется изолированной, если она не
обменивается с внешней средой ни энергией, ни веществом. Термоди­
намическая изолированная система находится в равновесном состоя­
нии, если параметры системы при постоянных внешних условиях с те­
чением времени не изменяются.
Переход термодинамической системы из одного состояния в другое
называется термодинамическим процессом. Термодинамический про­
цесс сопровождается изменением параметров состояния.
Бесконечно медленный процесс, в котором термодинамическая сис­
тема проходит через ряд бесконечно близких друг к другу равновесных
состояний, называется равновесным процессом. Реальные процессы не
являются равновесными, но могут приближаться к ним, если они доста­
точно медленные.
145
§45. Основные положения молекулярно-кинетической теории
и их опытное обоснование
1. Любое вещество состоит из мельчайших частиц — молекул и ато­
мов. Одним из доказательств этого положения является то, что некото­
рые молекулы можно увидеть в электронный микроскоп.
2. Молекулы и атомы в веществе находятся в состоянии непрерывно­
го теплового движения', причем скорость их движения пропорциональ­
на корню квадратному из абсолютной температуры: v * л/т
Доказательством этих положений являются броуновское движение и
диффузия.
Броуновское движение. В 1827 году шотландский ботаник Р.Броун
наблюдал в микроскоп взвесь цветочной пыльцы в воде и обнаружил,
что частицы пыльцы энергично и беспорядочно двигаются. Это непрекращающееся хаотическое движение взвешенных частиц получило на­
звание броуновского движения. Ученые очень долго не могли его объяс­
нить. В настоящее время оно объясняется следующим образом. Взве­
шенные мелкие частицы испытывают многочисленные удары со сторо­
ны окружающих молекул воды, которые вследствие соударений имеют
различные скорости. В отдельный малый промежуток времени совокуп­
ность ударов молекул воды о частицу в каком-либо направлении может
быть неодинаковой и частица получит вполне определенное направление
движения. В следующий момент времени это направление сменится на
другое и т.д. В результате чего траекторией частицы будет ломаная линия.
С повышением температуры интенсивность броуновского движения
увеличивается, что объясняется возрастанием скоростей движения мо­
лекул.
Броуновское движение наблюдается не только в жидкостях, но и в
газах.
Диффузией называется явление самопроизвольного проникновения
молекул двух или нескольких соприкасающихся веществ (газов, жид­
костей или твердых тел) друг в друга. Явление диффузии можно объяс­
нить, если принять, что все вещества состоят из молекул, которые все
время движутся, а поэтому переходят из одного вещества в другое. Если
налить поверх раствора медного купороса воду, то с течением времени
они самопроизвольно перемешиваются.
Диффузия является одной из причин распространения запаха какого146
либо вещества в неподвижном воздухе.
В твердых телах диффузия протекает
очень медленно, гораздо медленнее, чем
в жидкостях или газах. Это объясняется
различием в движении молекул газов,
жидкостей и твердых тел.
3.
Взаимодействие молекул. Между
молекулами вещества существуют силы
взаимодействия, называемые молекуляр­
ными силами. Эти силы обладают следу­
ющими свойствами:
а) короткодействия — радиус действия
молекулярных сил порядка 1 0 " 9 м;
б) насыщения — каждая молекула
взаимодействует с определенным числом
Рис. 6.1
других молекул.
На расстояниях, превышающих г0, между молекулами действуют силы
притяжения, а на расстояниях меньше г0 — силы отталкивания (рис.
6 . 1 ).
§46. Модели газа, жидкости и твердого тела
В газах расстояния между молекулами весьма велики и силы взаи­
модействия молекул практически не имеют значения. Молекулы газа
совершают хаотическое поступательное движение. Газы легко сжима­
ются и занимают объем сосуда, в котором они находятся.
В твердых телах притяжения частиц* весьма велики. Частицы со­
вершают хаотические колебания относительно некоторых постоянных по­
ложений равновесия и не могут удаляться друг от друга. Поэтому твер­
дые тела имеют свою форму и объем. В кристаллических твердых телах
наблюдается дальний порядок, т. е. строго упорядоченное расположе­
ние частиц, повторяющееся в пределах сотен и тысяч частиц ячеек, из
которых состоит кристалл.
Жидкости имеют определенный объем, но не имеют своей формы.
Жидкости отличаются сильным межмолекулярным взаимодействием. В
них наблюдается ближний порядок, т.е. упорядоченное расположение
♦(атомов, молекул или ионов)
147
частиц внутри малых объемов. Молекулы жидкостей совершают хаоти­
ческие колебания около положений равновесия. Однако по истечении
некоторого времени эти положения равновесия могут перемещаться.
Жидкости обладают малой сжимаемостью, но не сопротивляются изме­
нению формы, т. е. обладают текучестью.
§47. Количество вещества. Постоянная Авогадро.
Масса и размеры молекул
Количеством вещества называется физическая величина, пропорци­
ональная числу структурных элементов — молекул, атомов, ионов и
других частиц, из которых состоит вещество. Моль — единица количе­
ства вещества, в котором содержится столько же структурных элемен­
тов, сколько содержится атомов в 0,012 кг изотопа углерода 12 С.
Таким образом, по определению в одном моле любого вещества со­
держится одно и то же число атомов или молекул. Это число называется
постоянной или числом Авогадро:
N a = 6 , 0 2 ■1 0 23 м оль'1.
Молярной массой называется физическая величина, равная отноше­
нию массы вещества к числу молей. Молярная масса равна:
=
(6Л )
где т0 — масса одной молекулы. Единица молярной массы — кило­
грамм на моль (кг/моль).
Число молей о в веществе или количество вещ ества есть физичес­
кая величина, равная отношению массы вещества т к его молярной
массе:
D = m /\i = N / N a ,
где N — число молекул в веществе.
Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковой температуре и
давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях
(р0 = 1,013 105 Па, Г0 = 273,16К) объем моля равен
= 2 2 ,4 -1 0 -3 м 3 /моль.
Размеры молекул и атомов очень малы. Оценим размер молекулы
воды. Допустим, что молекулы плотно прилегают друг к другу и обра­
зуют кубическую ячейку. Тогда объем, заним аем ы й молекулой,
148
v 0 = <Р, а линейный размер молекулы d = \[v ^ . Один моль воды имеет
массу
18
10 "3 кг и занимает объем Гц =18-10
объем моля
6
м 3 /моль. Разделив
на число Авогадро NA , получим объем, занимаемый
молекулой V():
Vo = V J N
a
*
3 0 - 1 С Г 30 м 3 .
Отсюда линейный размер молекулы
d = \Jv„ « 0,3 нм.
Молекулы других веществ имеют такой же порядок величины.
§48. Идеальный газ. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории идеального газа
Газ, состоящий из молекул, размерами и взаимодействием которых
можно пренебречь (за исключением моментов столкновений), называ­
ется идеальным.
Мысленно выделим в иде­
альном газе цилиндрический
объем с площадью оснований
AS (рис. 6.2). Вычислим дав­
AS
ление, оказываемое молеку­
лами газа на площадку AS.
Будем считать, что соударения
молекул абсолютно упругие.
В идеальном газе любые
направления движения моле­
Рис. 6.2
кул равноправны. Хаотичес­
кое движение молекул в выделенном объеме будем рассматривать как
движение вдоль координатных осей х, у, z. Вдоль каждой оси движется
1/3 молекул, половина которых, т.е. 1/6 часть, движется в положитель­
ном направлении оси координат, а вторая половина — в противополож­
ном.
Молекула массой т0, двигаясь в положительном направлении оси х
со скоростью v(, ударяется о площадку AS и передает ей импульс:
149
(6 .2)
4Р/ = тоV/ - ( - тоv , ) = 2woV/ •
За промежуток времени At о площадку AS ударяется 1/6 часть моле­
кул, которые заключены в объеме цилиндра с площадью оснований AS и
образующей, равной у^Д?. Число таких молекул
N , = A S v iA tn /6 ,
(6.3)
где п = N / V — число молекул в единице объема.
Из уравнений (6.2) и (6.3) найдем величину импульса, передаваемо­
го площадке:
Ар г = Ap,jV, = 2m 0\ lASwlA tn / 6 = m 0n \] A S A t / 3 .
(6.4)
По второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импуль­
су силы FAt, т.е.
Apz = FAt.
(6.5)
Так как давлениеp = FI AS, учитывая уравнения (6.4) и (6.5), найдем
искомую величину давления газа:
p = Ap y / A S A t = m0m ] / 3.
(6 .6)
Из уравнения (6 .6 ) видно, что давление газа на стенку сосуда опре­
деляется величиной импульса, приходящегося в единицу времени на еди­
ницу площади, и зависит от числа ударов молекул о стенку.
Молекулы газа в рассматриваемом объеме движутся с разными ско­
ростями: Vj, v 2 ,...,v№ поэтому в уравнении ( 6 .6 ) вместо скорости v- сле­
дует записывать среднюю квадратичную скорость:
которая определяет коллективное действие молекул.
Учитывая это, из уравнений ( 6 .6 ) и (6.7) получим
(6.8)
Уравнение ( 6 .8 ) можно представить в виде
(6.9)
150
где (Е0) = т0(V> 1 /2 - средняя кинетическая энергия поступательного ’
движения одной молекулы, (Е ) = ^{v)~b / 2 — кинетическая энергия по­
ступательного движения всех молекул; т — масса газа.
Выражение ( 6 .8 ) называется основным уравнением молекулярно-ки­
нетической теории идеального газа.
§49. Уравнение состояния идеального газа
Уравнение, определяю щее связь между параметрами состояния:
р, V Т, называется уравнением состояния.
Опытным путем была установлена зависимость для постоянной мас­
сы газа:
p V /T = const.
(6.10)
Уравнение (6.10) называют законом Клапейрона. Используя данное
уравнение для одного моля газа
взятого при нормальных условиях
(р0 = 101,325кПа, Т0 = 273К , К0ц - 22,41-К Г3 м 3 /м оль),
можно записать:
const = р 0У0ц /Т0
Обозначив постоянную величину R и подставив в уравнение (6.10)
параметры газа при нормальных условиях, найдем ее значение:
R = P oK jhI То =
Дж/(моль ■К).
Величина R называется универсальной газовой постоянной.
Таким образом, для одного моля газа можно записать: pV^ - R T .
Умножим данное уравнение на число молей и = т / р., получим уравне­
ние состояния для произвольной массы газа - уравнение МенделееваКлапейрона:
p V = m R T /p
(6.11)
или
p V = иR T .
Данное уравнение применимо и для смеси газов, то есть является
более общим, чем уравнение ( 6 . 1 1 ).
151
Поскольку отношение m/К есть плотность газа р ,т о уравнение (6.11)
можно записать:
р = pR T/ц .
(6.12)
Если умножить и поделить правую часть уравнения (6.11) на число
Авогадро и учесть, что R / NA = к = 1,38 10"2 3 Дж/К — постоянная
Больцмана, а выражение mNA / V = и — число молекул в единице объе­
ма, то получим уравнение состояния идеального газа в виде
р = пкТ.
(6.13)
§50. Связь температуры со средней кинетической энергией
Запишем уравнение состояния (6 .11) для одного моля газа: pV^ = R T .
Подставив вместор его значение из уравнения (6.9) р = 2п{£0)/3 и
расписав п = Ад / ^ , получим
( £ 0) = Ъ кТ /1.
(6.14)
Как видно из уравнения (6.14), средняя кинетическая энергия по­
ступательного движения молекул прямо пропорциональна абсолют­
ной температуре.
§51. Скорости движения молекул газа. Опыт Штерна
Молекулы газа, двигаясь хаотически, сталкиваются друг с другом и
при этом изменяют не только направления, но и величину скоростей.
Вследствие этого нельзя говорить об определенной скорости движения
молекулы. В молекулярно-кинетической теории состояние вещества при
данной температуре характеризуется средней скоростью. Со средней квад­
ратичной скоростью мы познакомились в §48.
Из уравнений (6.14) и (Д0) = m0{ y f j 2 найдем выражение для опре­
деления средней квадратичной скорости ( у ) т •
<v)e = V 3 * 7 >
0
= -У з /г г ///.
(6.15)
Движение молекул газа также характеризуется средней арифмети­
ческой скоростью'.
152
где Vj, v 2 ,...,v N - скорости движения отдельных
молекул, N - общее число молекул. Средняя ариф­
метическая скорость:
v
8 RT
V яр
UT
лт0
Рис. 6.3
Для молекул водорода, находящихся при комнатной температуре,
( v )kb=1900 м/с, a v = 1760 м/с.
Опытное определение скоростей движения молекул было выполнено
физиком Штерном в 1920 году. Схема установки показана на рис. 6.3.
Платиновая проволока 1, натянутая вдоль оси цилиндра 2, покрывалась
тонким слоем серебра. По проволоке пропускался электрический ток.
При этом проволока нагревалась, атомы серебра испарялись и, вылетая
через щель в цилиндре, попадали на внутреннюю поверхность цилиндра
3, давая на ней изображение щели А. Воздух из цилиндров заранее отка­
чивался. При вращении цилиндров 2 и 3 вокруг общей оси атомы се­
ребра осаждались на некотором расстоянии х от точки А, давая размы­
тое изображение щели. Зная радиусы цилиндров 2 и 3, угловую ско­
рость их вращения, измеряя температуру проволоки и расстояние х, можно
рассчитать скорости движения атомов серебра. Опыт Ш терна подтвер­
дил справедливость вышеуказанных формул.
§52. Законы идеального газа
Газовые законы были открыты опытным путем. Их можно получить
из уравнения состояния ( 6 . 1 0 ), фиксируя один из параметров.
Закон Бойля-Мариотта
В изотермическом процессе при постоянной температуре (7 = const)
произведение давления р данной массы газа на его объем Vесть величи­
на постоянная:
P \ v \=P2V2=~=PoVQ и ли P v=z const.
(6.16)
Графики изотермического процесса показаны на рис. 6.4.
153
Рис. 6.4
Графиком в р , V координатах является гипербола. В физике ее назы­
вают изотермой (рис. 6.4, а). С повышением температуры газа изотерма
удаляется от начала координат.
Закон Гей-Люссака
В изобарном процессе при постоянном давлении (р = const) отно­
шение объема данной массы газа к его абсолютной температуре есть
величина постоянная:
V\ITX= V2/T2 = ... = Г0 /Г 0 или V / Т = const.
(6.17)
Уравнению (6.17) можно придать другой вид, если температуру t из­
мерять по шкале Цельсия:
1
-‘ о
1
•'о
+ — t = V0(l + cct),
Т
i 0 у
(6.18)
б
V
co n st
О
Рис. 6.5
154
т
Р
Рл
Г2 '
Pi О
v
а
-273
0
t°, С
б
О
Т,К
в
Рис. 6.6
где VQ— объем при 0°С, а = 1/273 град " 1 — коэффициент объемного
расширения (одинаков для всех газов и не меняется с изменением тем­
пературы). Графики изобарного процесса изображены на рис. 6.5.
З а к о н Ш ар л я
В изохорном процессе при постоянном объеме (V = const) отноше­
ние давления данной массы газа к его абсолютной температуре есть ве­
личина постоянная:
Р\!ТХ- р 2/Т2 - . . . = р 0/Т0 или р / Т = const.
(6.19)
Если температура измеряется по шкале Цельсия, то закон Шарля можно
записать в виде
p=pQ(l+ a t),
( 6 .2 0 )
где р {) — давление при 0°С, а = 1/273 град ' 1 — термический коэффици­
ент давления (одинаков для всех газов и не меняется с изменением тем­
пературы). Графики изохорного процесса в различных координатах пред­
ставлены на рис. 6.6.
Г л а в а
7. О С Н О ВЫ ТЕРМ О ДИ Н АМ И К И
i'.tv
§53. В н у т р е н н я я эн е р г и я и д еа л ь н о го газа. К о л и ч ест в о т еп л о т ы
Внутренняя энергия тела — это физическая величина, равная сум­
ме кинетических энергий беспорядочного движения всех частиц тела
(молекул, атомов и т.д.) и потенциальных энергий частиц, обусловлен­
ных силами их межмолекулярного взаимодействия. Во внутреннюю энер­
гию не входит энергия движения тела как целого (его кинетическая энер­
гия) и потенциальная энергия, которой может обладать тело в какомлибо силовом поле (гравитационном, магнитном и т.д.).
155
Для идеального газа внутренняя энергия представляет собой кинети­
ческую энергию хаотического теплового движения его молекул и в слу­
чае одноатомного газа определяется формулой
U = 3mRT/(2\x) .
(7.1)
Внутренняя энергия является функцией состояния системы, т.е. за­
висит только от параметров состояния р, V, Т и т. д. и не зависит от
способа, каким это состояние достигнуто.
Внутренняя энергия возрастает при увеличении температуры тела, так
как при этом возрастает кинетическая энергия частиц. Если холодное
тело соприкасается с горячим, то внутренняя энергия холодного тела
увеличивается, а горячего — уменьшается. Этот процесс происходит до
тех пор, пока температуры тел не сравняются.
Количеством теплоты называется физическая величина, равная ко­
личеству внутренней энергии, перешедшей от одного тела к другому
при их контакте или излучением. Количество теплоты является функцией
процесса и измеряется в джоулях (Дж).
Внутреннюю энергию тела можно увеличить, если телу передать ка­
кое-либо количество теплоты или над телом совершить работу. При на­
гревании тела массой т от температуры t i до t2 ему необходимо пере­
дать количество теплоты:
Q = cm (t2 - t l ),
(7.2)
где с - удельная теплоемкость вещества.
Удельной теплоемкостью называется физическая величина, равная
отношению количества теплоты, полученного веществом, к его массе и
к изменению температуры. Удельная теплоемкость измеряется в джоулях
на килограмм-кельвин (Дж / (кг К)).
Теплоемкостью тела называется физическая величина С, равная от­
ношению количества теплоты, сообщаемой телу, к изменению темпера­
туры тела:
С=£/ДТ.
(7.3)
Теплоемкость тела измеряется в джоулях на кельвин (Дж / К).
При расчете процессов в газах часто пользуются понятием молярной
теплоемкости. Молярной теплоемкостью называется физическая вели­
чина сй, равная отношению количества теплоты, полученного веществом,
к числу молей этого вещества и к изменению его температуры.
156
Различают м олярную т еплоем кост ь при пост оянном объеме — Су
и молярную теплоемкость при постоянном давлении —
, которые свя­
заны уравнением Майера:
c;=c»+R.
(7.4)
Молярная теплоемкость измеряется в джоулях на моль-кельвин
(Дж / (моль К)). Для одноатомного газа
c£=3R/2, a Cp~5R/2,
(7.5)
Молярная и удельная теплоемкости связаны соотношением
сц = д с.
(7.6)
Удельной теплотой сгорания топлива q называется физическая ве­
личина, равная отношению количества теплоты Q, выделившейся при
полном сгорании топлива, к массе т сгоревшего топлива:
q = &т.
(7.7)
Удельная теплота сгорания топлива измеряется в джоулях на кило­
грамм (Дж / кг).
§54. Р а б о т а в т ер м о д и н а м и к е
При расширении газа совершается работа. Допустим, что газ заклю­
чен в сосуд, отделен от окружающего пространства невесомым порш­
нем и занимает объем V[ (рис. 7.1). Давление газа в сосуде уравновеше­
но давлением атмосферы р (процесс изобарный). Повысим температуру
газа под поршнем. Тогда газ, расширяясь, поднимет поршень на вели­
чину Л/г, совершая работу A =FAh, где F — сила давления атмосферы,
равная F = р S. Здесь S — площадь поршня. Следовательно, работа
A=pSAh=pAV,
(7.8)
где AV = V2 - V] — изменение объема газа при на­
гревании.
Ah
Давление р всегда положительная величина. При
расширении газа AV>0 газ совершает положитель­
ную работу. Если газ сжимается, то AV<0 и работа
А < 0. В этом случае положительную работу над га­
зом совершают внешние силы.
Тис. 7.1
157
Величина работы численно равна площади фигуры abed (см рис 6 4,
а), ограниченной графиком процесса, изображенного в р, V координатах.
§55. Первый закон термодинамики
Первый закон термодинамики является законом сохранения и пре­
вращения энергии в тепловых процессах.
При переходе системы и з одно!о состояния в другое внутренняя энер­
гия системы изменяется. Это изменение (вобшем случае) происходит за
счет теплообмена с другими системами или при совершении работы.
1 1 среый закон термодинамики гласит: изменение внутренней энергии
системы &U при ее переходе и/ одного состояния в другоеровно сумме
работы А'внешних сил и количества теплоты Q. переданного системе
& U = A' + Q .
(7.9)
Бели вместо работы А' внешних сил рассматривать работу системы
над внешними телами А=-А'. то первый закон термодинамики примет вид
Q = \ U + A.
Количество теплоты, переданное системе, расходуется на увели­
чение внутренней энергии системы и на совершение системой рабо­
ты над внешними телами.
Из первого законатермодинамики следует невозможность созданиятеп­
ловой машины, которая могла бы работать без потребления энергии извне.
Применим первый закон термодинамики к процессам, при которых
один из параметров остается постоянным (изопроиессы).
При нагревании газа в изобарном процессе наряду с ростом внутрен­
ней энергии п р ои сходи т увеличен ие его объ ем а на величину
ДК V,. т.е. газ совершает работу
Л = p(Vl - V ) = m R U j ii .
В июхорнпм процессе газ работу не совершает, так как ЛК=0. Изме­
нение внутренней энергии согласно уравнению (7.9) равно количеству
теплоты, переданной системе. Если температу ра газа возрастает, то Q > О
и ДГ/>0. При уменьшении температуры газа Q < 0 и внутренняя энергия
газа уменьшается.
Внутренняя энергия газа в изотермическом процессе не изменяется,
т.к. ДГ - 0 и вся теплота, подведенная к системе, идет на совершение
работы над внешними телами согласно уравнению (7.9): Q - А.
158
Если Q > 0. то и А НО. Газ, получая топоту, совершает положительную
работу.
Используя уравнение (7.9> и (6.11), найдем работу изотермического
расширения гата:
4.-Ь*'-!=иТ
Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с
окружающей средой, т.с. Q - 0 . Работа в адиабатном процессе п рои(во­
дится за счет уменьшения внутренней энергии газа:
Л = -A U - - /и с .Д Г /р .
В случае одноатомного газа
А ь ЪтЯАТ!2\х.
<7.11)
11олнос1ЫО теплоизолировать систему практически невозможно. Од­
нако реальные процессы, протекающие достаточно быстро, можно счи­
тать адиабатными.
§56. В ю рой закон термодинамики
и его статистическое истолкование
Обратимым называется процесс, при котором систему можно пере­
вести в начальное состояние, и при этом в окружающей среде не произойзггникаких изменений.
Реальные процессы необратииы. Поясним эго на примере.
Пусть два тела, имеющие различные температуры, приведены в теп­
ловой KOirraicr. В результате теплообмена внутренняя энергия более на­
гретого тела уменьшится, а более холодного — увеличится. Процесс
протекает самопроизвольно. В результате температуры тел сравняются.
Обратный процесс — появление разности температур между телами без
внешнего воздействия — невозможен. Невозможен как единственный
процесс.
Таким образом, процесс теплообмена необратим. Все реальные про­
цессы. протекающие в природе, сопровождаются теплообменом и трс159
нием, а поэтому являются необратимыми. Примером необратимых про­
цессов может служить расширение газов, диффузия, теплопроводность
и др. В термодинамике доказывается, что любой обратимый процесс
является равновесным.
Второй закон термодинамики определяет направление процессов,
выражая тем самым их необратимость. Существует несколько форму­
лировок второго закона термодинамики. Приведем две из н и х :"Невоз­
можен процесс, единственным результатом которого является пе­
редача теплоты от холодного тела к горячему" (Р. Клаузиус). "Не­
возможен процесс, единственным результатом которого является
совершение работ ы за счет охлаждения одного т ела” (У. Томсон).
Второй закон термодинамики является статическим законом, т. к.
выполняется только в замкнутых системах многих частиц. Замкнутая
система, состоящая из большого числа частиц, самопроизвольно мо­
жет переходить из более упорядоченного (менее вероятного) состоя­
ния в менее упорядоченное (более вероятное) состояние. Покажем это
на примере.
Подтермодинамической вероятностью состояния со(.понимается чис­
ло микросостояний, соответствующих данному i-му состоянию мак­
росистемы. Отношение со, к полному числу возможных микросостоя­
ний макросистемы называют вероятностью (математической) г-го со­
стояния:
Р
Пусть в замкнутом объеме, имеющем проницаемую перегородку,
делящую объем на две части, находятся четыре молекулы. Обозначим
их цифрами: 1, 2, 3, 4. Составим таблицу 7.1 возможных состояний
системы четырех молекул с указанием путей реализации этих состоя­
ний. Как видно из таблицы, наиболее вероятным является состояние,
когда в рассматриваемом объеме справа и слева будут находиться по
две молекулы, т. е. состояние с наибольшей термодинамической вероят­
ностью (в рассматриваемом примере ш = 6 ).
160
Таблица 7.1
Состояние системы
Число молекул Число молекул
слева
справа
4
0
1
3
2
2
3
1
4
0
Пути реализации состояний
Термодинами­
Номера
Номера
ческая
молекул слева молекул справа вероятность м
1
1,2, 3,4
1
2, 3,4
1,3,4
4
2
1,2,4
3
4
.1,2,3
3,4
1,2
2,4
1,3
2,3
6
1,4
2,3
1,4
2,4
1,3
3,4
1,2
2, 3,4
1
2
4
1,3,4
1,2,4
3
4
1,2,3
1
1,2, 3,4
Таким образом, в отсутствие внешнего воздействия молекулы газа
равномерно распределяются в занимаемом объеме. Вероятность такого
распределения максимальна, т.е. замкнутая система самопроизвольно
переходит из менее вероятного состояния в более вероятное.
§57. Круговые обратимые и необратимые процессы.
Цикл Карно
Круговыми называются процессы (циклы), при которых термодина­
мическая система после ряда изменений возвращается в исходное со­
стояние. В p -V координатах круговые процессы изображаются в виде
замкнутых кривых.
Круговой процесс называется обратимым, если система, выведен­
ная из какого-либо состояния, вновь возвращается в это состояние и
при этом не происходит никаких изменений в окружающей среде. Про­
цесс, не удовлетворяющий этим условиям, называется необратимым.
Любой равновесный процесс является обратимым.
Работа газа за цикл в р - V координатах определяется площадью, охва­
тываемой замкнутой кривой. Цикл называется прямым, если эта работа
положительна. Прямой цикл используется в тепловых машинах. Если
161
работа за цикл отрицательна, то
цикл называется обратным. Об­
ратный цикл используется в холо­
дильных машинах.
Тепловым двигателем называ­
Рабочее тело
ют устройство, преобразующее
теплоту в работу. К тепловым дви­
Холодильник
гателям относятся паровые турби­
ны, двигатели внутреннего сгора­
ния, реактивные и ракетные дви­
Рис. 7.2
гатели.
Тепловой двигатель состоит из
нагревателя, рабочего тела и холодильника (рис. 7.2). К рабочему телу
подводится теплота Q j от нагревателя, имеющего температуру Тн. Газ,
нагреваясь, расширяется.
При этом совершается положительная р а б о т а в . Однако далеко не
вся теплота Q l превращается в работу. Значительная ее часть Q2 выбра­
сывается в холодильник, который имеет температуру Тх. Роль нагревате­
ля в двигателях внутреннего сгорания выполняет цилиндр, в котором
происходит сгорание топлива, а роль холодильника - окружающая ат­
мосфера, куда выбрасываются выхлопные газы.
Согласно закону сохранения энергии работа, совершаемая тепловым
двигателем, равна
А = Q\ - Q2Коэффициентом полезного действия т| теплового двигателя называ­
ется физическая величина, равная отношению работы А, совершаемой
двигателем, к количеству теплоты Q j, полученному от нагревателя:
Нагреватель
Л
а - а
л = й =^
,
02
=' " й -
(7|2)
Ф ранцузский физик С. Карно показал, что наиболее экономным
является идеальный обратимый цикл, состоящ ий из двух изотерм и
двух адиабат, получивш ий название цикла Карно. Рассмотрим пря­
мой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется
идеальны й газ (рис. 7.3). На кривых стрелками показано направле­
ние процесса.
Кривая 1-2 - изотермическое расширение газа (Т{ = const).
162
Чтобы поддерживать в процессе рас­
ширения температуру Ту постоянной, к
газу подводится теплота
.
Кривая 2-3 - адиабатическое расши­
рение газа.
Кривая 3-4 - изотермическое сжа­
1(Pj.Hj.r.)
(p„v„r,)
(pM
тие, протекаю щ ее при тем пературе
Т2 = const. Чтобы поддерживать тем­
пературу Т2 постоянной, от газа отби­
рается теплота Q2.
Кривая 4-1 - адиабатическое сжа­
тие газа.
Рис. 7.3
В термодинамике доказывается, что работа газа в цикле Карно опре­
деляется разностью температур нагревателя и холодильника и зависит
от расширения газа:
A ^ R ( T {- T
\Х
)Л
,\
(7лз)
У]
Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Qy,
подведенное от нагревателя, равно работе расширения газа в изотерми­
ческом процессе 1-2 (7.10):
К
а = Д_2 = — /г 7 ]1 п ^ .
р
V,
Подставив выражение (7.13) и (7.10) в формулу (7.12), найдем КПД
цикла Карно:
~к(т,-т2)1 г Д
= Л_ = _ Л _ = ц__________ Vi _ Т у - Т 2 =
а
Д-2
и яг in Yl
1_±2 .
(7.14)
Тх
Ух
С.Карно показал, что максимально возможный КПД теплового дви­
гателя определяется формулой
= ( T , - T , ) I T H= 1 - T J T , .
(7.15)
163
Любой реальный двигатель имеет КПД меньше, чем r|max> Так как в
нем имеются дополнительные потери тепла на излучение, на преодоле­
ние сил трения и т.д.
Следует учесть, что при уменьшении потерь КПД машины не будет
стремиться к 100%, а только к максимальному КПД. Например, при
Тх = 280 К, Тн = 1280 К, л тах ~ 78% Г л а в а
8. В ЗА И М Н Ы Е П РЕВРА Щ ЕН И Я Ж И Д К О С Т Е Й ,
ГАЗО В И Т ВЕРДЫ Х ТЕЛ
§58. Плавление. Удельная теплота плавления
Плавлением называется процесс превращения вещества из твердого
агрегатного состояния в жидкое. Обратный плавлению процесс называ­
ется отвердеванием.
Каждое кристаллическое вещество при данных условиях имеет по­
стоянную температуру плавления. Температура плавления и температура
отвердевания одинаковы.
Твердые аморфные вещества не имеют постоянной температуры плав­
ления. Они размягчаются и переходят в жидкое состояние в некотором
интервале температур.
Согласно молекулярно-кинетической теории строения вещества теп­
лота плавления затрачивается на разрушение связей между частицами
твердого тела и увеличение потенциальной энергии молекул. При отвер­
девании вещество отдает эту энергию.
Физическая величина, равная отношению количества теплоты, необ­
ходимой для превращения вещества из твердого агрегатного состояния
в жидкое при температуре плавления, к массе этого вещества, называет­
ся удельной теплотой плавления:
X=Q/™,
(8 .1)
где х — удельная теплота плавления, измеряемая в джоулях на кило­
грамм (Дж/кг); т — масса вещества; Q — количество теплоты, затра­
ченное на плавление.
При плавлении происходит изменение объема вещества. У большин­
ства веществ при плавлении объем увеличивается, а у некоторых (лед,
чугун и др.) — уменьшается.
164
§59. П арообразование и конденсация
Парообразованием называется процесс превращения вещества из
жидкого агрегатного состояния в газообразное, обратный процесс на­
зывается конденсацией.
Парообразование, происходящее только с поверхности жидкости, на­
зывается испарением, а с поверхности и внутри жидкости — кипением.
Процесс испарения протекает при различных температурах. С увеличе­
нием температуры интенсивность испарения возрастает. Скорость испа­
рения зависит от свойств жидкости, от величины испаряющейся повер­
хности и т.д.
Согласно молекулярно-кинетической теории молекулы жидкости,
соударяясь, обмениваются кинетическими энергиями. При этом отдель­
ные молекулы могут приобрести такую большую энергию, что способ­
ны вылететь с поверхности жидкости. Происходит испарение. Так как
вылетают наиболее быстрые молекулы, то температура жидкости при
испарении понижается.
Физическая величина, равная отношению количества теплоты, необ­
ходимой для превращения вещества из жидкого агрегатного состояния
в газообразное при температуре парообразования, к массе этого веще­
ства, называется удельной теплотой парообразования'.
г = Q /m ,
(8.2)
где г — удельная теплота парообразования, измеряемая в джоулях на
килограмм (Дж/кг); т — масса вещества; Q — количество теплоты,
затраченное на парообразование.
При конденсации паров теплота парообразования выделяется.
§60. Н асы щ енны е и ненасы щ енны е пары
В результате испарения над поверхностью жидкости всегда имеются
пары этой жидкости. Одновременно происходит и обратный процесс: пар
конденсируется, т.е. часть молекул возвращается в жидкость.
Пар называется насыщенным, если он находится в динамическом
равновесии со своей жидкостью. При этом число молекул, вылетающих
из жидкости в пар, равно числу молекул, возвращающихся обратно из
пара в жидкость.
Пар называется ненасыщенным, если динамическое равновесие меж­
ду паром и жидкостью отсутствует. Ненасыщенные пары мало чем отли165
о
'
чаются от обычных газов. они с доста­
точной степенью точности подчиняются
законом идеального газа.
Однако при решении задач уравнение
состояния идеального таза применяется
и к насыщенным парам.
Зависимость давления насыщенного
пара от температуры (кривая А В ) пред­
ставлена на рис. 8.1. Участок ВС отно­
сится к ненасыщенному пару.
Пунктирной линией на рисунке показана эта зависимостьдля идеаль­
ного газа. Закон Шарля не выполняется потому, что изменяется плот­
ность насыщенного пара.
С ростом температуры давление насыщенного пара растет не только
за счет увеличения скорост и движения молекул, как зто происходит в
идеальном газе, но и за счет увеличения концентрации молекул.
§6 1 . К и п е н и е
Внутри жидкости всегда имеются пузырьки, состоящие из воздуха и
паров жидкости. С ростом температуры происходит увеличение обьема
пузырьков за счет их теплового расширения и увеличения количества
пара в них. Под действием силы Архимеда пузырьки всплывают на по­
верхность. Жидкость закипает, когда давление насыщенного пара в пу­
зырьках сравнивается с давлением в жидкости.
При увеличении атмосферногодавления температура кипения жидко­
сти возрастает. >го можно объяснить тем. что с ростом внешнего давле­
ния должно возрастать и давление паров в пузырьках. Чтобы они могли
увеличиться и вспльгть на поверхность, требуется больше энергии. Рели
кипение происходит при постоянном давлении, то температура жидкости
во время кипения не меняется. Подводимая мри этом теплота расходует­
ся на разрушение связей между молекулами жидкости.
§62. Уравнение теплового баланса
При теплообмене между телами в изолированной системе, имеющи­
ми первоначально различные температуры, и если тела не обмениваются
работой, изменение внутренней энергии любого тела равно количеству
166
теплоты, отданной или полученной этим телом до наступления в системе
теплового равновесия:
A U , = Q,.
Если система состоит из п тел, то
п
п
/=1
;=1
Поскольку внутренняя энергия изолированной системы не меняется,
т.е.
A t/, =
0
, то и
= 0
или
61 + 62 + - + 6 „=
(8-3)
где Q 1 , Q2, 6 „ — количество тепла, отданное или полученное телами.
Из уравнения (8.3) видно, что в изолированной системе, когда рабо­
та теплового расширения тел пренебрежимо мала, алгебраическая
сумма количества теплоты, отданного телами, и количества тепло­
ты, полученного телами, равна нулю. Это и есть уравнение теплово­
го баланса.
§63. Абсолютная и относительная влажность воздуха.
Точка росы
Количество водяных паров, содержащихся в атмосферном воздухе,
характеризуется абсолютной и относительной влажностью.
Абсолютной влажностью воздуха называется физическая величина,
равная плотности водяного пара ра, содержащегося в воздухе при данной
температуре. Абсолютную влажность воздуха оценивают также величи­
ной парциального давления водяного пара р а, содержащегося в воздухе.
Парциальным давлением какого-либо газа в смеси (в данном случае
водяного пара в воздухе) называется давление, под которым находился
бы этот газ, если бы из смеси были удалены все остальные газы, а объем
и температура остались без изменения.
Абсолютная влажность измеряется в килограммах на кубический метр
(кг/м3) или паскалях (Па).
Физическая величина, равная отношению парциального давления во­
дяного пара при данной температуре р а к парциальному давлению водя­
ного пара в состоянии насыщения при той же температуре р н, называет­
ся относительной влажностью'.
167
B = ( p J р н) - Ш % .
(8.4)
Если количество водяных паров в воздухе не изменяется, то с изме­
нением температуры абсолютная влажность воздуха остается постоян­
ной. Относительная влажность воздуха при этом изменяется: с пониже­
нием температуры -— увеличивается, а с повышением — уменьшается.
Это связано с тем, что с изменением температуры изменяется количе­
ство водяного пара, необходимое для насыщения единицы объема воз­
духа.
Температура, при которой относительная влажность равна 100%, на­
зывается точкой росы. При точке росы водяной пар становится насы­
щенным.
Г л а в а 9. Ж И ДК О Е И ТВЕРДО Е С О С Т О Я Н И Я
§64. Поверхностное натяжение жидкости.
Сила поверхностного натяжения
Согласно молекулярно-кинетической теории каждая молекула жид­
кости испытывает притяжение со стороны других молекул. При удале­
нии молекул друг от друга силы притяжения быстро уменьшаются. На
расстоянии порядка 1 0 " 9 м, называемом радиусом молекулярного дей­
ствия г, силами молекулярного притяжения можно пренебречь ввиду их
малости.
Рассмотрим отдельную молекулу А (рис. 9.1), находящуюся внутри
жидкости. Если провести вокруг этой молекулы сферу радиусом г, то
силы притяжения со стороны молекул, заключенных в данной сфере,
будут направлены в разные стороны и их равнодействующая будет равна
нулю.
Выделим молекулу В, находящуюся на рассто­
янии меньше г от поверхности жидкости. Снова про­
ведем сферу радиусом г вокруг молекулы. Как
видно из рис. 9.1, часть этой сферы выйдет за пре­
делы жидкости.
В связи с тем, что концентрация молекул над
жидкостью мала, равнодействующая сил молеку­
лярного притяжения F , действующих на молеку­
168
лу В, не будет равна нулю. Эта равнодействующая направлена внутрь
жидкости. Таким образом, молекулы поверхностного слоя жидкости
оказывают на жидкость давление, которое называют молекулярным дав­
лением. Жидкость оказывается сжатой. Поэтому жидкости мало сжима­
емы при внешнем воздействии.
Молекулы жидкости в поверхностном слое за счет сил межмолекулярного взаимодействия обладают большей потенциальной энергией по
сравнению с другими молекулами. Чтобы молекула из глубины жидко­
сти переместилась к ее поверхности, необходимо совершить работу про­
тив сил, действующих в поверхностном слое. Эта работа совершается
за счет уменьшения кинетической энергии теплового движения молеку­
лы и расходуется на увеличение ее потенциальной энергии.
Итак, молекулы в поверхностном слое жидкости обладают дополни­
тельной поверхностной энергией АЕ. Величина энергии АЕ тем больше,
чем больше поверхность жидкости.
Поверхностное натяжение измеряется в джоулях на квадратный метр
(Дж/м2) или в ньютонах на метр (Н/м). Для увеличения поверхности
жидкости необходимо совершить работу АА против сил поверхностного
натяжения:
AA=oAS,
(9.1)
где AS — приращение площади поверхностного слоя жидкости. Эта
работа равна дополнительной поверхностной энергии АЕ.
Если поверхность жидкости ограничена каким-либо замкнутым кон­
туром, то на неебудут действовать силы, стремящиеся сократить эту
поверхность. Эти силы называются силамиповерхностного натяже­
ния.
Поверхностным натяжением о называется физическая величина,
равная отношению силы F, действующей на участок контура поверхнос­
ти, к длине / этого участка:
a=F/l.
(9.2)
Можно дать определение а на основании формулы (9.1).
§65. Смачивание. Капиллярные явления
Можно наблюдать, как легко капля воды растекается по поверхности
стола, прилипая к нему, а капля ртути свободно перекатывается с одного
места на другое, образуя шарик. При этом молекулы ртути преодолева­
169
ют не только силу тяжести, но и силу притяжения к молекулам стола.
Следовательно, силы притяжения молекул ртути друг к другу сильнее,
чем к молекулам стола.
В первом случае жидкость смачивает поверхность твердого тела, а
во втором — не смачивает. Без каких-либо внешних воздействий ка­
пелька ртути принимает сферическую форму. Стремление поверхности
жидкости к сокращению приводит к тому, что давление под выпуклой
поверхностью больше, а под вогнутой меньше, чем под плоской. Силы
поверхностного натяжения создают добавочное давление р (в случае
выпуклой поверхности — положительное, а при вогнутой — отрица­
тельное). Вычислим давлениер для сферической поверхности.
Пусть радиус сферы г увеличивается на малую величину Аг. При этом
поверхность сферы увеличится на величину AS = SnrAr, а объем — на
величину AV = 4лг 2Аг ■Найдем работу АА по увеличению объема:
АА = pA V = 4 к г 2р Аг Для образования новой поверхности ДА требуется совершить работу
АА, = AS ■о = 8 лш Д г .
Приравнивая А А н А А р найдем величину добавочного давления:
р = 2а/г.
-
(9.3)
Жидкость может смачивать поверхность одного тела и не смачивать
поверхность другого. Например, вода смачивает стекло, дерево, но не
смачивает парафин. Ртуть смачивает поверхности металлов, но не сма­
чивает стекло, дерево и т.д.
Если опустить в воду тонкие стеклянные трубки разного диаметра
(капилляры), то можно наблюдать картину, изображенную на рис. 9.2:
жидкость в капиллярах поднимется на разную высоту. Чем тоньше ка­
пилляр, тем на большую высоту поднимется жидкость. Если взять жид­
кость, не смачивающую трубки, например ртуть, то уровень жидкости в
капиллярах будет ниже уровня жидкости в сосуде (рис. 9.3). Наблюдае­
мые явления изменения высоты уровней жидкости в капиллярах полу­
чили название капиллярных явлений.
Если жидкость смачивает трубку, то поверхность жидкости в трубке
(мениск) имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую. Под
вогнутой поверхностью образуется отрицательное добавочное давление,
и жидкость поднимается вверх по капилляру до тех пор, пока это давле­
170
ние не уравновесится высотой столба жидкости в капилляре (гидроста­
тическим давлением).
Найдем высоту подъема жидкости h в капилляре. Пусть жидкость
смачивает капилляр радиусом г {рис. 9.2), образуя вверху вогнутый ме­
ниск. Наименьший радиус кривизны мениска
Как следует из урав­
нения (9.3), добавочное давлениер=2<з/г. Тогда величина направленной
вверх силы F=2cS/r, где S — площадь поперечного сечения трубки. Эта
сила уравновешивается силой тяжести столбика жидкости mg = hpgS,
т.е. F = mg или 2o S /r = h p g S , где р — плотность жидкости.
Отсюда получим
h = 2cr/(prg).
(9.4)
Для несмачивающей жидкости мениск выпуклый и добавочное дав­
ление дает силу, направленную вниз. Уровень жидкости в капиллярной
трубке при этом будет ниже уровня жидкости в сосуде на величину h,
определяемую формулой (9.4).
§66. Кристаллические и аморфные тела
Твердые тела, в которых молекулы, атомы и ионы расположены упо­
рядоченно, образуя периодически повторяющуюся структуру, называ­
ются кристаллами. Кристаллические тела анизотропны, т.е. их физи­
ческие свойства — сжимаемость (упругость), теплопроводность, элек­
тропроводность и т.д. — зависят от направления в кристалле. Анизотро-
Рис. 9.2
Рис. 9.3
171
пия свойств кристаллических тел обусловлена упорядоченным распо­
ложением частиц, из которых они состоят. При таком расположении ча­
стиц межатомные расстояния и силы взаимодействия между частицами
разные.
Кристаллические тела чаще всего встречаются в виде поликристаллов,
представляющих собой множество беспорядочно ориентированных, срос­
шихся воедино кристалликов. В целом твердом поликристалле анизотропия
свойств, присущая отдельному кристаллику, не обнаруживается.
При некоторых специальных условиях кристаллизации можно полу­
чить большие однородные кристаллы — монокристаллы. Монокрис­
талл имеет периодически повторяющуюся внутреннюю структуру во всем
объеме.
Мельчайшие частицы вещества — атомы, ионы, молекулы — в кри­
сталле размещаются в узлах пространственной решетки, состоящей из
большого числа элементарных кристаллических ячеек. Элементарная
ячейка представляет собой параллелепипед, в котором размещены час­
тицы в зависимости от действующих на них межатомных сил.
Кристаллическая решетка обладает различными видами симметрии.
Симметрией решетки называют ее свойство совмещаться с собой при
некоторых пространственных перемещениях. Существует 14 типов ре­
шеток, различающихся по виду симметрии.
Твердые тела, физические свойства которых одинаковы по всем на­
правлениям, называются аморфными телами (стекло, янтарь, смола и
т.д.). Аморфные тела изотропны, что объясняется беспорядочностью рас­
положения частиц, составляющих тела.
§67. Механические свойства твердых тел.
Упругие деформации
Деформацией называется изменение объема или формы твердых тел
при воздействии внешних сил. При деформации в телах возникают внут­
ренние силы, препятствующие смещению частиц тела и стремящиеся воз­
вратить его в первоначальное состояние. Различают деформации растя­
жения (сжатия),сдвига и кручения.
172
Деформации называются упругими, если они исчезают после прекра­
щения действий внешних сил. Неупругие деформации, в результате ко­
торых происходит необратимая перестройка кристаллической решетки,
называются пластическими.
j
Пусть / — первоначальная величина, характеризующая размер тела
(например, его длину), а А/ — абсолютное изменение этой величины.
Отношение А/// = £ является мерой деформации и называется относи­
тельной деформацией тела.
На рис. 9.4 показан график зависимости напряжения а от относи­
тельного удлинения г при растяжении тела (см. §18, формула 3.9).
Напряжение ст при упругой деформации тела пропорционально от­
носительной деформации (закон Гука):
<у = ± Е е ,
(9.5)
где Е — модуль Юнга. При растяжении тел ст считается положительным,
при сжатии - отрицательным.
В области 0-1 упругие деформации подчиняются закону Гука: напря­
жение ст, возникающее под действием внешних сил, прямо пропорцио­
нально относительной деформации е .
Максимальное напряжение стт а х , после снятия которого тело еще
способно восстановить первоначальную форму и объем, называется пре­
делом упругости. Пределу упругости на графике соответствует точка 2.
При дальнейшем увеличении напряжения возникают остаточные де­
формации (участок 2-3), после прохождения которого удлинение дефор­
мированного тела происходит без
ст
увеличения внешней нагрузки.
Точка 3 на графике соответству­
ет пределу текучести.
Возвращение тела в первона­
чальное состояние после прекра­
щения действия силы происходит по
прямой, изображенной на рис. 9.4
пунктирной линией.
Наибольшее напряжение, кото­
рое выдерживает тело не разру­
Рис. 9.4
шаясь, называется пределом проч­
173
ности (точка 5). На практике, чтобы избежать разрушения какой-либо
детали, ее проектируют с запасом прочности.
Отношение
^проч
I стдоп
П
(9 -6 )
называется запасом прочности. Здесь стпроч — предел прочности мате­
риала, стдоп — допустимое напряжение.
§ 6 8 . Тепловое расш ирение тверды х тел
При нагревании у большинства твердых тел происходит увеличение
их размеров и объема:
/ = /0( 1 + аДО, а = (/ - /0) / (/0Л0,
(9.7)
V=V0( l + m , Р = ( V - VQ) / (VqAi),
(9.8)
где /0, Fq — длина и объем тела соответственно при начальной темпера­
туре, равной 0° С; I, V - длина и объем тела после нагревания на
At° С; а — коэффициент линейного расширения; р — коэффициент
объемного расширения.
Коэффициент линейного расширения а есть физическая величина,
равная относительному удлинению тела при нагревании его на
1
градус,
и измеряется в кельвин в минус первой степени (К '1).
Аналогично дается определение коэффициента объемного расши­
рения. Коэффициенты а и р являются характеристиками материала, из
которого состоит тело, и очень мало зависят от температуры. Поэтому в
уравнениях (9.7) и (9.8) можно считать, что
/0
и К0 — длина и объем
тела при первоначальной температуре, a A t— разность между конечной
и начальной температурами тела.
Допустим, что тело имеет форму куба, длина ребра которого при 0°С
равна 1 м. При нагревании на 1° С объем куба V = 1+ р. Найдем объем
куба, вычислив увеличение длины ребра при нагревании его на 1° С:
/ = 1+а, а объем V = (1+ а)3.
Итак,
(1+а)3 = 1 + р
или
1+За +3а2 + а 3 =1 + р.
174
Величинами З а 2 и а 3 вследствие малости а можно пренебречь.
В результате получим связь между коэффициентами объемного и линей­
ного расширения:
Р « 3 а.
(9.9)
При нагревании объем тела увеличивается, следовательно плотность
вещества уменьшается:
р= р
0
/( 1 + р Д /) ,
(9.10)
где р, р 0 — плотность тела при начальной и конечной температурах;
At — изменение температуры тела.
У большинства веществ с повышением температуры плотность умень­
шается. Исключением является вода в интервале температур от 0 до 4° С.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической
теории и перечислите опытные данны е, подтверж даю щ ие эти п олож е­
ния.
2. Каковы причины броуновского движения?
3. Какое состояние системы называется равновесным?
4. Как определить массу и размер молекулы?
5. Одинаково ли двигаются молекулы в твердых телах, жидкостях,
газах?
6 . Покажите на примерах наличие сил притяжения и сил отталкива­
ния между молекулами.
7. Какой газ называется идеальным?
8 . Что такое абсолютная температура и какова ее связь с температу­
рой Цельсия?
9. Дайте понятие внутренней энергии. Назовите способы изменения
внутренней энергии.
10. Что такое количество теплоты? Как подсчитать количество тепло­
ты, переданное при нагревании телу?
11. Какая разница между теплоемкостью и удельной теплоемкостью?
12. Напишите законы изотермического, изобарного и изохорного из­
менений состояния газа, нарисуйте графики этих процессов.
13. Какие процессы называются адиабатными?
14. Что понимается подтермодинамической вероятностью?
175
15. Дайте понятие кругового процесса.
16. Какое процесс называется обратимым?
17. Из каких процессов состоит цикл Карно?
18. Чему равна работа газа в цикле Карно?
19. Что называется коэффициентом полезного действия? Как его оп­
ределить для тепловой машины?
20. Перечислите виды агрегатного состояния вещества.
21. Как изменяется температура при переходе тела из одного агрегат­
ного состояния в другое?
22. Запишите и поясните уравнение теплового баланса.
23. Как зависит температура плавления от внешнего давления?
24. Какой процесс называется испарением? Что происходит с темпе­
ратурой жидкости при ее испарении?
25. Что такое кипение? Чем кипение отличается от испарения?
26. Может ли вода кипеть при 20° С?
27. Что называется парообразованием? Какие свойства имеют нена­
сыщенные и насыщенные пары?
28. Можно ли перевести ненасыщенный пар в насыщенный? Каким
образом?
29. Испаряются ли твердые тела?
30. Что называется точкой росы?
31. Изменяется ли влажность воздуха с изменением температуры?
32. За счет чего возникает сила поверхностного натяжения?
33. Что такое капиллярное давление?
34. Дайте понятие механического напряжения.
35. Что называется пределом прочности?
176
Примеры решения задач
6.1. Вода в сосуде занимает объем V = 10 см 3 при температуре
t = 4° С. Какое число молекул воды N содержится в сосуде? Найдите
массу молекулы т0.
д а Н о:
Р е ш е н и е . Число молекул можно найти,
если определить число молей воды в занимаемом
объеме:
---------------------------N = Na ■ V.
(1)
N — ? т0 — ?
Зная химическую формулу воды Н 2 0 , с по­
мощ ью п ери оди ч еск ой си стем ы элем ен тов
Д.И.Менделеева находим ее молярную массу:
р = ( 1 2 + 16) 1 0 ' 3 кг/моль = 18 • 1 0 '3 кг/моль.
Число молей
v = т/\х,
(2 )
а масса вещества
т = р V.
(3)
По таблицам физических величин отыскиваем плотность воды и убеж­
даемся, что ее значение задано при определенной температуре. Так вот,
оказывается, зачем в условии задачи дана температура воды! Из уравне­
ний (1)-(3) находим число молекул в сосуде:
N = Ад ■рГ/р; N = 3,34 10 23 молекул.
(4)
Масса одной молекулы
т0 = р /Na ; т0 = 2,99 ■10' 2 6 кг.
(5)
6.2. Газ находится под давлением р = 2 атм, имеет плотность
р = 1,2 кг/м3. Определите среднюю квадратичную скорость молекул
V = 10 ' 5 м 3
t = 4° С
газа.
Дано:
Р е ш е н и е . Средняя квадратичная скорость
Г м 9™
_______________
< v > ^ »
<»
Плотность газа можно определить из уравне-
<v>
— ?
ния М енделеева-Клапейрона:
р = р р /RT.
(2)
Из уравнения (2) найдем: RT/ р —р /р и, подставляя его значение в
формулу ( 1 ), получим
<
v
>
k b
= V
W
p
;
< V > kB = 7 0 0 М / С -
177
6.3.
Найдите молярную массу воздуха, считая, что он состоит из кис­
лорода и азота, причем азота по массе в 3 раза больше, чем кислорода.
Дано:
р, = 32 10‘3 кг/моль
р2=28 1 0 3 кг/моль
пт[
и=3
Р е ш е н и е . Средняя молярная масса
р = ml v,
(])
где т — масса воздуха, v — общее число
молей в воздухе. Поскольку
т = ffjj + т2,
а v = v i + v 2>
то \ x = m xl \ i v
v 2 = m2 /p2.
Из уравнений (1)-(3) имеем
р = (/и,+ т2)/{ W]/ р, + т2/ р 2 ).
По условию задачи
m2 = nmv
Подставив выражение (5) в (4), получим
(2 )
(3)
9
A=
6.4.
пцх+ ц 2
(4)
(5)
^ 0 ,0 2 9 к г /м о л ь .
До какой температуры следует изобарно нагреть газ, чтобы его
плотность уменьшилась вдвое по сравнению с плотностью при 0° С?
Дано:
Г,=273 К,
Р е ш е н и е . Из закона Менделеева-Клапейрона
дЛя заданных состояний газа запишем:
"*2
р - co£t
_
Т —9
2
-р
Л
, Г |/ ц,(1)
? = Р2 е т 2 / ц .
(2 )
Приравняем правые части уравнений (1) и (2),
получим
р, Д 7ур = р 2 ЯТ2/ р,
откуда
Pl^l Рг^2 и ^2 Pl^VP2‘
(2)
По условию
P i = « p 2.
(4)
Из уравнений (3) и (4) окончательно получим
Т2 ~ пТ\,
Т2 = 546 К.
6.5.
По цилиндрической трубе истекает горячий газ, имеющий темпе­
ратуру на входе 700° С и скорость 5 м/с. С какой скоростью вытекает газ
из трубы, если температура его на выходе 300° С, а давление уменьши­
лось в 1,5 раза?
178
Дано:
Г, = 973 К
V| = 5 м/с
Т = 573 К
РГ»Рг
«=1,5
Р е ш е н и е . Запишем уравнение Менделее­
ва-Клапейрона для двух состояний газа:
P\V\ = ( w / ц ) Щ ,
( 1)
р 2У2 = ( т / ц) RT2.
(2)
Объем газа, протекающего ежесекундно че­
рез поперечное сечение трубы, V = vS, где S —
площадь сечения.
Тогда
F |—VjS, а
\ 2S.
(3)
Из уравнений (1)-(3) получим
P l v l / ( P 2 v 2 ) = : r i / 7 2-
(4 )
По условию
Р \ = ир2-
(5)
Подставив уравнение (5) в (4), окончательно имеем
v2 = wv,= Т2/Т\
v 2 = 4,4 м/с.
6 . 6 . Бутылка, наполненная газом, плотно закрыта пробкой, площадь
сечения которой равна 2,5 см2. До какой температуры надо нагреть газ,
чтобы пробка вылетела из бутылки, если сила трения, удерживающая
пробку, 12 Н? Первоначальное давление воздуха в бутылке и наружное
давление 760 мм рт. ст., а температура 13° С.
Р е ш е н и е . Процесс нагревания газа изохорДано:
ный,
так как до момента вылета пробки объем его
5=2,5 10-4 м2
остается постоянным. С повышением температуры
Fw = 1 2 Н
возрастает давление газа/? в бутылке и увеличива­
р0= 101 кПа
ется сила давления на пробку F = р S. Вылету
Т = 290 К
пробки препятствуют сила трения F и сила ат­
мосферного давления / гетм. Пробка вылетает, ког­
да F + Датм <pS. Отсюда минимальное давле­
ние, при котором пробка вылетает из бутылки:
р = (/■ + FaTM)/S. Достигается это давление при нагревании газа до тем­
пературы Т, определяемой по закону Шарля:
т_тоР = т0( f tv + д атм) _ т0(/ур + p0s)
Ро
PoS
т = 28к
PoS
6.7. После включения отопления температура воздуха в комнате уве­
личилась с 15 до 27° С. Найдите относительное изменение числа моле­
кул в комнате.
179
Дано:
Г, = 288 К
Т = 300 К
Р е ш е н и е . Считаем, что при увеличении
температуры давление и объем газа в комнате не
меняются. Используя уравнение состояния газа,
запишем:
A N /N -?
p V = N xkTx и p V = N2kT2,
откуда
N x = pV / (кТх), N2 = p V / (кТ2).
Относительное изменение числа молекул:
AN _ Nx- N2
^ =
N, n \
N,
'1 ~
0,04.
2
6 .8 . Найдите разницу вмассах воздуха, заполняющего помещение
объемом V= 50 м 3 зимой и летом, если летом температура воздуха под­
нимается до /, = 37° С, а зимой падает до t2 = 0° С. Атмосферное давле­
ние р 0 = 760 мм рт. ст.
Дано:
V= 50 м3
7’| = 310К
7^=273 К
р = 101 кПа
р = const
Am
Р е ш е н и е . Запишем уравнение МенделееваКлапейрона для двух состояний газа (зимой и ле­
том):
p V = (m ,/p) ■RTX,
(1)
p V = ( m 2lix) RT2.
(2)
Давление, объем, а также молярную массу газа
считаем неизменяющимися. Искомая величина
Am =
(3)
Из уравнений (l)-(3) находим:
Am -
РУ£
R
1
1
Am —7,7 кг.
[i У
6.9.
В зап аян н ой с одного конца стеклян н ой трубке дли н ой
/ = 0,7 м находится столбик воздуха, запертый сверху столбиком ртути
вы сотой h = 0 , 2 м, доходящ им до в ер х н его края трубки
(рис. 9.5, а).
Трубку осторожно перевертывают, при этом часть ртути выливается
(рис. 9.5, б). Найдите высоту х столбика ртути, которая останется в труб­
ке, если атмосферное давление р 0 = 750 мм рт. ст. При какой длине
трубки /| ртуть полностью выльется из нее?
180
Да н о :
/ = 0,7 м
h = 0 ,2 м
р0= 99,75 кПа
р= 13600 кг/м3
х— ? / — ?
Р е ш е н и е . 1) Воздух, находящийся в труб­
ке, после ее перевертывания расширяется, так как
ртуть частично выливается. При этом изменится
и его давление. Неизменными можно считать тем­
пературу и массу воздуха. Для такого процесса
справедлив закон Бойля-Мариотта:
P \ V\ = P2V2(О
Давление р х будет складываться из давления, оказываемого на газ
столбиком ртути высотой h, и атмосферного давления р 0, т.е.
(2 )
P l = P o + PghОбъем воздуха
V ^ S d -h ),
(3)
где S — площадь поперечного сечения трубки.
После перевертывания трубки выливание ртути из нее прекратится,
когда атмосферное давление уравновесит давление газа в трубке и дав­
ление ртути высотой столбах, т.е.
Р о =Р2 +
откуда
(4 )
Р2~ Ро~ PgX’
а объем:
V2 = S { l-x ).
Подставляя уравнения (2)-(5) в (1), получим
(5 )
(Р0 + Рgh)S(l - h ) = (p0- рgx)(l - x)S.
(6 )
Подставив в уравнение (6 ) численные значения величин, получим
х 2 - 1,45 х + 0,05 = 0.
(7 )
Решение уравнения (7) имеет вид
Ро
,45 ±1,38
-м,
х, = 1,41 м, х 2
3,5-10 м.
Р1
Р2
Из двух корней уравнения справедли­
во значение х2, т.к. величина Xj противо­
777Л
речит здравому смыслу (х не может быть
больше /)■
Ро
Рис. 9.5
181
2) Чтобы найти длину трубки /,, при которой ртуть полностью выли­
вается, в уравнении ( 6 ) следует принять х = 0 , а / = /j и решать получен­
ное уравнение относительно /,:
PgM{ - pgh2 = p 0h,
+ pgh)/( pg),
/, >0,95 м.
6.10. На дне сосуда, заполненного воздухом, лежит полый металли­
ческий шарик радиусом г и массой т. До какого давления р надо сжать
воздух в сосуде, чтобы шарик поднялся вверх? Температуру воздуха
считать постоянной.
Д ано:
Р е ш е н и е . На шарик, находящийся в воздухе,
'
действует сила тяжести FT = mg и сила Архимеда
YYI
у,
АЛ = pgV. Шарик будет подниматься со дна сосуда, если
___________ сила Архимеда окажется равной силе тяжести или больр __ 9
шенее:
mg < рgV,
( 1)
где V = ( 4 / 3 )( 7гг3) — объем вытесненного воздуха,
равный объему шарика; р — плотность воздуха.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
р =pvK R T ).
(2)
Подставив уравнение (2) в (1), получим
р S (3/4) тКТ/ (лг^р).
6.11. Какую массу m j должны иметь железные тормоза трамвая, что­
бы при полной остановке его на скорости v = 36 км/ч они нагревались
не более чем на At = 100° С? Массу трамвая принять равной т2 = 9,2
тонны.
Дано:
тг = 9,2 10 3 кг
\ ~
At= 100°С
с = 460 Дж/(кг К)
Р е ш е н и е . Кинетическая энергия движущегося трамвая Е при торможении будет
израсходована на совершение работы А по
преодолению сил сопротивления, в резуль­
тате чего выделится количество теплоты Q.
т
Если пренебречь рассеянием тепла, считая,
что все выделившееся тепло пошло на на­
гревание тормозов, то по закону сохранения
и превращения энергии получим
Ек = А = Q или m2v2/2 = cm^At,
откуда
т \ = m2v2/(2cAt),
182
wij =
10
кг.
6.12. Тело массой т = 1 кг скользит по наклонной плоскости длиной
/ = 20 м, образующей угол а = 30° с горизонтом. Найдите количество
теплоты, выделившееся при движении тела, если его скорость увеличи­
лась от 0 до 5 м/с.
Дано:
т = 1 кг
I= 20 м
а = 30°
V
vo = 0v
v = 5 м/с
Р е ш е н и е . В исходном положении тело обладает потенциальной энергией АЕп ~ mgh, а кинетическая энергия Ек = 0.
При скольжении тела по наклонной плоскости
потенциальная энергия переходит в кинетическую
и часть энергии расходуется на преодоление сил
сопротивления. При этом вьщеляется количество
теплоты, которое можно определить по закону со­
хранения энергии:
AEn = АЕк + Q или mgh = (ту2/2) + Q,
т.к. h = / sin а , то Q = m(gl sin а - v 2 /2), Q = 85,5 Дж.
6.13. Для приготовления ванны смешали холодную воду при 11° С с
горячей при 6 6 ° С. Какое количество той и другой воды необходимо
взять для получения 550 кг воды при 36° С?
Дано:
t = 11 ° С
t2= 6 6 ° С
0 = 36° С
т =550кг
тг
2
Р е ш е н и е . Считая систему изолированной,
запишем уравнение теплового баланса:
с /я ,(0 - lj)+cm2( 0 - t2) = 0,
Где с — удельная теплоемкость воды.
Поскольку т = /и, + т2, то
т^ = т(t 2 - 0)/(f 2 - /]), т х = 300 кг;
тч2
~, = т -- т
т ,х т-,
т2 =
: 250 кг.
6.14.
Теплоемкость двух цилиндров, изготовленных из алюминия и
меди, одинакова. Найти отношение объемов этих цилиндров.
Дано:
С, = С2
с, = 880Дж/(кг К)
сг = 400Дж/(кг К)
Р, = 2,7 103 кг/м3
Р2 = 8,9 103 к г / м 3
Р е ш е н и е . По определению теплоемкость тела С равна произведению удельной
теплоемкости с на массу тела т. Отсюда:
Cj = W]C]) с 2 = т2с 2. Но т х = Pj Fj , а
_ р ^ где р . ПЛотность тела, F - его
}
Тогда для теплоемкостей цилиндров мож­
но записать:
V1/V2
о б 2ъ е м Р 2
183
C)
Pi^ici> С-2
Р2^2С2’
т.к. по условию С, = С2, то
Pl^lcl = Р2*^2С2’
откуда
VXIV2 = р 2 с2/ (pjCj),
Vx/V2 = \ , 5 .
6.15. В цилиндре под поршнем находится воздух при температуре
^ = 17° С и давлении р = 5 атм, который нагревается изобарно до темпе­
ратуры ?2 = 47° С. На сколько при этом поднимется поршень и какая
будет со в ер ш ен а р аб о та, если п лощ адь о сн о в ан и я ц и л и н д ра
5 = 0,05 м2, а поршень первоначально находился на высоте /г, = 0,2 м?
Дано:
Р е ш е н и е. П о закону Г ей -Л ю ссака
Г, =290 К
р = 4,91 105Па
7^ = 320 К
S=_0,05m2
h\ ~
м
ль
oj
откуда
V2^V\ = Т2/ Т \ ’ 0 ТКУДа V2 = V\ T2^TV
но
Г, = S h x, V2 = Sh2, или Sh2 =VXT2IT X и
/г2 = УХТ2/(ТХ5>), откуда
A h = h2 - h x= h x {Т2 - Т х)/Тх, Д/г = 0,02 м.
Здесь /г, — конечная высота поршня.
о
Работа газа в изобарном процессе
Л = pAV, где ДГ = 5 ДА,
4 = pS Ah = p S hx (T 2 - Tx)/Tx A = 490 Дж.
6.16. В идеальной тепловой машине Карно за счет каждого килоджо­
уля энергии, получаемой от нагревателя, совершается работа 300 Дж.
Определите КПД машины и температуру нагревателя, если температура
холодильника 17° С.
Дано:
а =зооДж
^
Г2 = 290 К
л— ? Т.
Р е ш е н и е . По определению
л = Д / 0 ; л = о,з.
^ля иДеальной машины Карно
Л = 1 - Т 2 / Т х,
где Г, — температура нагревателя;
Т2 — температура холодильника.
Из уравнений (1) и (2) находим:
Тх = Т2 /(1 - ц), Тх * 4 1 4 К.
( 1)
(2)
6.17. В баллоне емкостью 20 л находится гелий при температуре
t = 17° С и давлении р х = 150 атм. Какое количество теплоты было
подведено, если температура газа увеличилась до 21° С?
184
Дано:
Р е ш е н и е . Так как процесс изохорный, то
Г = 290к"3М3
/»' = 150 105 Па
Q =
-7 ;)
( 1)
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
pxv = (m/n)RTv
‘г
Т2= 300 К
(2)
Из уравнений (1) и (2) имеем:
Q- ч
Q = (3/2)А К (Г2 - 7] )/Г„ 2 = 25 кДж.
6.18. При адиабатном расширении гелия массой m = 56 г совершает­
ся работа Л = 3,32 кДж. На сколько при этом понизилась температура
газа?
Д а но:
m = 56 10 кг
А -3320 Дж
ц= 2 10 '3 кг/моль
Р е ш е н и е. По определению для адиабатного п,роцесса Q = 0. Из первого закона
термодинамики Q - AU + А получим
Д 7 ’_ ?
но
A U
=
- А
,
A U = (3/2 \m/\i)RAT.
(1)
(2)
Из уравнений (1) и (2) найдем:
АТ = (2/3)An/(Rm), АТ = 9,5 К .
6.19. Одноатомный газ расширяется при постоянном давлении. При
этом совершается работа А = 40 Дж. Какое количество теплоты Q было
сообщено газу?
Дано:
А=40 Дж
Р е ш е н и е . При нагревании в изобарном
процессе
Q = К А Т = {5/2)vRAT,
A = p A V = pV2 - p V { = v R A T .
Из уравнений (1) и (2) имеем:
Q=(5/2)А,
2=100 Дж.
( 1)
(2)
6.20. Закипевшую воду ( t\ —100° С) массой m -у = 3 кг охлаждают до
температуры / 2 = 70° С путем помещения в нее кусочков льда,взятых
при температуре / 3
=0°
С.Какое количество льда потребуется для ох­
лаждения воды, если теплоемкость сосуда, в котором находится вода,
С = 160 Дж/К.
185
Дано:
mt =3 кг
t] = 100° С
t2= 70° С
/ 3 = 0°С
С= 160 Дж/К
>. = 330 103 Дж/кг
с, =4190 Дж/(кг К)
Р е ш е н и е . Пусть вода, лед и сосуд
представляю т изолированную систему.
Полная внутренняя энергия такой системы
не меняется, может происходить только пе­
рераспределение энергии между телами.
Запишем уравнение теплового баланса:
С \^ 1 \ (?2 ~ t\
)3" С \т
2^2 ~
О"*"
+ Хт2 + C (t2 - / , ) = 0 ,
где с j — удельная теплоемкость воды;
т2 — масса льда; \ — удельная теплота плавления льда.
Отсюда: т2 = (С + c xm x)(tx - t2) / [Я, + c x(t2 - /3)], Q «0,6 кг.
6.21.
С какой минимальной скоростью влетает метеорит в атмосферу
Земли, если при этом он нагревается, плавится и превращается в пар?
Метеоритное вещество близко к железу. Начальную температуру метеорита принять равной 0° С.
Дано:
t = 0°С
с = 460 Дж/(кг К)
А.=270 103 Дж /кг
г = 0,58 10 5 Дж/кг
tпл =1530° С
tп =3050° С
Р е ш е н и е . Переход метеорита из
твердого агрегатного состояния в жидкое,
а затем и в парообразное происходит за
счет убыли его кинетической энергии:
АЕк= mv2 /2 .
( 1)
При определении минимальной скорости
движения метеорита можно предположить,
что рассеяния энергии в окружающее про­
V— ?
странство не происходит и механическая
энергия движущегося метеорита переходит во внутреннюю энергию:
AE=AU.
(2)
Представим изменение внутренней энергии AU в виде слагаемых:
Ди = Д и х +Д и2 +AU3 + A U 4,
где ДС/j = cm (/пл- /,)— энергия, пошедшая на нагревание метеорита до
температуры плавления tm ; AU2 = Хт — энергия, затраченная на плавле­
ние; Д { /3 = cm (tn - t^ ) — энергия, пошедшая на нагревание жидкого
м етео р и тн о го вещ ества до тем п ературы п арооб разован и я t ;
Д£/4 - гт — энерги я, затраченная на п арообразование. Здесь
X — удельная теплота плавления; г — удельная теплота парообразования.
Таким образом, изменение внутренней энергии метеоритного вещества
186
AU = cm (/пл - fj) + Ъп + cm Оп - /пл) + rm .
Подставляя в выражение (2) уравнения (1) и (3), получим
v = л /2 с ( ^ л “ 0 + ^ + ^ ('п + 'ш ,) + г -
(3 )
v « 2 ,1 - 1 0 3 м / с .
6.22.
Нагретый медный цилиндр, поставленный на лед, температура
которого Г] = -5 ° С, полностью в него погружается. Найдите начальную
минимальную температуру цилиндра.
Дано:
Р е ш е н и е . Для погружения цилиндра в лед
с = 2100 Дж/(кг К)
необходимо расплавить лед в объеме цилиндра.
с = 400 Дж/(кг К)
Считая, что теплообмен происходит только меж­
t = -5 ° С
ду льдом и цилиндром, и пренебрегая изменени­
t = о°с
Г=330 103 Дж/кг
ем объема цилиндра при его охлаждении, соста­
р, = 900 кг/м3
вим уравнение теплового баланса:
р2 = 8900 кг/м3
С т х( ' ш , - О + Ъ м 1 + с 2т 2(/пл- / 2) = 0 , (1)
где те, и с , — масса и удельная теплоемкость льда; те2 и с2 — масса и
удельная теплоемкость цилиндра; \ и /Ш1 — удельная теплота плавления
и температура плавления льда. Так как
те,= р,К ,ате 2 =р 2 К,
(2 )
где V— объем цилиндра, а р, и р 2 — плотности льда и цилиндра соот­
ветственно, то из уравнений ( 1 ) и (2 ) имеем:
/ г = £
.
,
2
= 359 К .
с гРг
6.23.
Расплавленный свинец массой те, = 2 кг при температуре плав­
ления влили в сосуд, в котором находилось те2 = 500 г льда при темпера­
туре t2 = -10° С. Какая температура установится в сосуде, если его теп­
лоемкость С = 850 Дж/К?
Р е ш е н и е. Из условия задачи неизвес­
Дано:
mf = 2 кг
тен конечный результат теплообмена. Счита­
те = 0,5 кг
ем си стем у сосуд-лед-свинец зам кнутой.
t =327° С
/ =-10° С
Внутренняя энергия сосуда и льда увеличит­
ct = 120 Дж/(кг К)
ся за счет тепла, выделившегося при отвер­
с2= 2090 Дж/(кг К)
девании и остывании свинца. Подсчитаем ко­
с =4190Дж/(кг К)
С = 850 Дж/К
личество тепла, отданное свинцом при осты­
=2,5 104 Дж/кг
А.2 = 3,35 10 5 Дж/кг вании его до 0° С:
Qx =с,те,(г1 - t 0)+Xxmx,
£>, =128,5 кДж.
187
Определим количество тепла, пошедшее на нагревание льда и сосуда
до 0° С:
a = c 2m2(t0 - t 2)+ C (t0 - t 2),
Q2 = 18,95 кДж.
Найдем разность величин Q^vi Q2:
&Q = Q \ - Q 2 = 1 2 8 ’ 5 кДж " 1 8 ’ 9 5 кДж’
AQ = 109,55 кДж.
Подсчитаем, какая масса льда т может расплавиться за счет AQ:
AQ = к
’ 1т,
т = AQ/X2, AQ « 0,33 кг.
Сравнивая т и т2, видим, что растает только часть льда. Следова­
тельно, температура системы будет равна 0° С.
6.24.
Автомобиль массой т движется в гору с уклоном а и на рас­
стоянии / увеличивает свою скорость от Vj до v2- Сколько бензина за
единицу времени расходует двигатель автомобиля, если его КПД г|, а
коэффициент сопротивления Ю.
Дано;
т; а ; /; v ;
Р е ш е н и е . Коэффициент полезного действия
определяется выражением
v2 ; г|; Л; q
Л=
>
0 )
где А - работа, совершаемая двигателем; Q - коmQ— ?
личество теплоты, выделившееся при-сгорании
топлива.
Работа, совершаемая двигателем, пошла на увеличение кинетичес­
кой энергии автомобиля:
АЕК = (mv22 / 2 ) —(mvf / 2 ),
(2 )
на увеличение его потенциальной энергии (автомобиль поднялся на высо­
ту h)'.
АЕп = mgh = mgl sin а
(3)
и на работу по преодолению сил сопротивления:
Ас = kmglcosa.
(4)
Количество теплоты, выделившееся при сгорании топлива:
Q =qm =qm 0A t ,
(5)
где q — удельная теплота сгорания; тг — масса сгоревш его топлива;
/и 0 — массовый секундный расход топлива; At — время работы дви­
гателя.
188
При равноускоренном движении
/ = (vj + v2)- At/2.
(6)
Из уравнений (1)-(6) получим
т0 = т [(vj - vf )/( 2 /) + g ( sin a + &cosa)](v, + v 2 )/( 2 r\q).
6.25.
Один моль идеального газа совершает замкнутый процесс, по­
казанный на рис. 9.6. Определить работу, совершаемую газом за один
цикл, если точки 2 и ^ лежат на одной изотерме, а температура газа в
точке 1 равна Тj = 300 К, в точке 3 Т3 = 970 К.
Дано:
^ = 300 К
7; = 970 К
_________
А
?
Р е ш е н и е . Рассматриваемый процесс 1-2-3-4-1
состоит из двух изохор: 1-2 и 3-4 и двух изобар: 2-3 и
4-1.
Работа газа в замкнутом цикле, представленном в
p - V координатах, равна площади фигуры 1-2-3-4-1, т.е.
л
= (р 2 ~ р Ж
i ~ v J = P i K - P iv \ - P iK + p / y
0)
Применим уравнение Менделеева-Клапейрона, записанное для одно­
го моля газа, для каждого из четырех состояний:
P \ v \ = RTV
p 2V2 = RT2,
(2>
(3)
P3V3 = RT3,
(4)
P4V4 = RT4.
Из рис. 9.6 видно, что р {= р 4,
(5)
T=const
P 2= P V Г Г V2’ V3 = V4 и Т2= ТГ
Т.
С учетом этого уравнение (1) примет вид
(6 )
A = p3V3 - p 2V2- p 4V4 + p 1V1.
Из уравнений (2)-(6) получим
А = RT3 - RT2- RT4 +RT{ =R(T{+T3 - 27).
(7)
Поделим почленно уравнение (4) на (2) и
уравнение (5) на (3):
р 2у2/ ( р К
) =
к т 2/ №
)-
Рис. 9.6
(8>
р 2/Р\ = т!т\ P , V j { p 1Vz) = R T j { R T 3),
(9)
189
PxtPi = т .
Из уравнений( 8 ) и (9 )получим
Т = д/Г, • Д .
(10)
Подставляя уравнение (10) в (7), найдем:
А = я ^ + т г - 2 ^ т г тъ )
^ = 1 ,б к Д ж .
6.26. Относительная влажность воздуха составляла В[ = 63 % при
температуре Г,= 18°С. На сколько градусов должна понизиться темпе­
ратура воздуха до появления росы?
Дано:
В, = 0,63
= 18° С
А/ _ ?
Р е ш е н и е . Плотность насыщенного пара при
заданной температуре (/,= 18°С) находится из таблицы VII приложения 2 :
Р„, = 1 5 , 4 - 1 0 3 кг/м3.
Зная р н1 и В,, определим абсолютную влажность
воздуха:
Pa= -s lPHl, Ра = 0,0097 кг/м3.
Из той же таблицы видно, что полученное значение абсолютной
влажности соответствует насыщению воздуха водяными парами при тем­
пературе t2= 10,5°С. При дальнейшем понижении температуры появится
роса. Следовательно, искомая температура
At = / , - t 2 = (18-10,5)°С,
А/ = 7,5°С .
6.27. При температуре t\= 20°С относительная влажность воздуха
В j= 90%. Сколько воды выделится из 1 м 3 воздуха при понижении тем­
пературы до t2= 15°С?
Дано:
Р е ш е н и е . Абсолютная влажность воздуха
ч ; ™
ро= 5 'р а массы водяного пара
о)
t2 = 15° С
(/=
Щ = Р У = В р ну ,
(2 )
W /'
1 м3
^
2
= Р н 2 ^>
где Рн| = 17,3-10 ”3 кг/м3, Рн2 =
190
1 2 ,8
(3)
- 1 0 “ 3 кг/м3— плотность насыщен­
ного пара при температурах /| и t2, определяемая из таблицы VII прило­
жения 2 .
Из уравнения (2) и (3) находим:
А т = т х- т г = ( 5 , р н] - р н2 )V,
А т & 2,8 • 1(Г 3 к г .
6.28.
Воздух находится в сосуде при температуре t1 - 17°С и имеет
относительную влажность В j =40%. Найдите относительную влажность
воздуха, если его температура увеличится до t2 = 10 0 °С , а объем умень­
шится в 5 раз.
Дано:
Т{ = 290 К
В,=0,4
Т2= 373 К
V = n V 2,
п -5
В,
Р е ш е н и е . Абсолютная влажность воздуха
при начальной температуре
Р а = В 1- р 1й,щ>тлем
Ра~ Р\'
(О
Поскольку в сосуде ненасыщенный пар, при­
м еним уравнение М енделеева-К лапейрона для
двух заданных состояний:
PlVt - (ш /р) • RT[ ,
(2)
p 2V2 = { m / P)-R T 2 .
(3)
По условию
V j = hV2.
(4)
По определению относительная влажность
(5)
B2 = P 2/P*2Решая уравнения (1)-(5), получим
B2 =r,B\PJ J ( PtaT2)\
В2 = 0,049.
Парциальные давления насыщенных паров определяются из таблицы
7 приложения 2:
р н]=14,5 мм рт.ст., р и2= 760 мм рт.ст.
6.29.
Тонкое кольцо из плексигласа радиусом R = 8 см и массой
т = 5 г, подвешенное к пружинным весам, соприкасается с жидкостью.
Определите коэффициент поверхностного натяжения жидкости а , если
для отрыва кольца потребовалась сила F = 124 • 10
3
Н.
191
Дано:
R = 8 10' 2 м
m = 5 10 ' 3 кг
F= 124 КИН
Г7 - ?
i
F n Fn'
m g.
Р е ш е н и е . Так как кольцо смачивается жид­
костью, то при отрывании кольца вместе с ним под­
нимается и жидкость (рис. 9.7). При этом свобод­
ная поверхность жидкости будет увеличиваться.
Вследствие стремления этой поверхности сокра­
титься возникает сила поверхностного натяжения,
направленная по касательной к поверх­
ности жидкости в месте ее соприкосно­
вения с кольцом. Когда на кольцо будет
действовать сила F, равная (или больше)
силе поверхностного натяжения Fn и
силе тяжести кольца mg, то оно оторвет­
ся от поверхности жидкости:
F„ F
F > ( F n + m g).
С ила п оверхн остн ого натяж ения
/
7
п=а/,
но так как кольцо соприкасается
Рис. 9.7
с жидкостью двумя (наружной и внут­
ренней) поверхностями, то F n=2o/, где l=2nR — длина окружности коль­
ца. Минимальная сила, необходимая для отрыва кольца, определяется
выражением
F=4naR + mg,
a=(F-mg)/ (4nR),
ст=0,0075 Н/м.
6.30. Найдите поверхностную энергию и давление воздуха внутри ша­
рообразного мыльного пузыря радиусом г = 5 см, если атмосферное
давление p Q= 10 5 Па.
Р е ш е н и е . Пленка мыльного пузыря
имеет две сферические поверхности — на­
ружную и внутреннюю. Каждая из этих поверхностей вследствие своей кривизны оказывает давление на воздух, находящийся
Е - ? р ' ?
внутри пузыря. П оверхностная энергия
Е = aS, где и - коэффициент поверхностного натяжения; S — суммарпая площадь поверхностей пленки. Поскольку пленка очень тонкая, то
радиусы сфер (наружной и внутренней) можно считать одинаковыми и
равными г, а значит:
S = 2-4ПГ2 и Е = 87 ю г 2 , S = 2,7 мДж.
Дано:
г = 5 10 2 м
р 0 = 105П а
а = 4,3 10-2 Н /м
192
Давление р внутри мыльного пузыря слагается из атмосферного дав­
ления P q и добавочного давления Ар, обусловленного поверхностным
натяжением жидкости:
р = р 0 + Ар = р 0 + 4а /r, р = 100003,4 Па.
6.31.
Найдите высоту, на которую поднимется жидкость в капилляр­
ной трубке диаметром d = 1 0 0 мкм, опущенной в сосуд с водой.
Дано:
а = 7,4 10' 2 Н/м
р = 1000 кг/м3
d - 1 Ю-4 м
Р е ш е н и е . Высота подъема жидкости в
капилляре согласно (9):
/j = 2a/(rpg) =4a/(dpg), h = 0,296 м,
Где р — плотность жидкости; г — радиус ка-
h —?
пилляра; g — ускорение свободного падения.
6.32.
В центре диска, изготовленного из алюминия, имеется отверстие
диаметром ^ = 3 0 мм при температуре /]=20°С. На сколько градусов надо
нагреть диск, чтобы в отверстие проходил цилиндр диаметром d=30, 5 мм?
Дано:
dx= 30 мм
а = 2,4 10"5 К-1
d = 30,5 мм
t = 20° С
Р е ш е н и е . При нагревании твердых тел
их линейные размеры увеличиваются по закону d — ^ ( l + a r ) , где d0— линейный размер
тела ПрИQOQ a — коэффициент линейного рас­
ширения. Поскольку начальная температура
диска не равна 0°С, вначале найдем диаметр
отверстия dQпри 0°С:
At — ?
d0 = - ^ ~
1 + а /, '
Определим далее диаметр отверстия d2 при температуре /2, который
по условию задачи должен быть равен d:
(1)
Из уравнения (1) найдем температуру /2:
t
тогда
A t ~ ‘2
h
(d
d - d x + a t xd
2
—
dxX' +
■
a dx
^ д; = 695° С .
193
6.33. При нагревании медного шара было израсходовано 2МДж энер­
гии. Как при этом изменился объем шара?
Дано:
Q = 2 106 Дж
а - 1,7 10 5 К 1
с =0,3 8 1о3 Дж/(кг к )
р = 8,9 103 кг/м3
Р е ш е н и е . При нагревании твердых тел
их объем увеличивается по закону
/
рл
/j4
v
+
и;
где V0— объем тела при 0°С, (3 — коэффи-
------------------ ----------- циент объемного расширения.
^ ^ ^
Допустим,
чтопри нагревании темпера­
тура тела увеличилась от /, до t2■Воспользовавшись формулой (1),
найдем изменение объема:
&V
= V 2- Г , = Г „ ( 1 + | ) ( 2 ) - Г 0 ( 1 + р » | ) = Г 0 Р ( Ь - » , ) • ( 2 )
Поскольку р « З а , из уравнения (2) получим
AV = 3V 0 a ( / 2
(3)
Энергия, необходимая для нагревания тела, определяется по формуле
Q =
(4)
cm(t2 - t , )
где т = p V — м асса тела; с — удельная теплоемкость.
Поскольку масса тел при нагревании не меняется, можно записать:
т - Р(Уо<
где р 0 — плотность при 0°С.
Из уравнений (3)-(5) имеем:
A F = 3 a Q / (ср0),
(5)
AV а 3 ■10‘ 5 м3.
6.34. Стальная проволока, нагретая до температуры /|=350°С , натя­
нута между двумя неподвижными кронштейнами. Оцените приближен­
но, при какой температуре t2 остывая, проволока разорвется?
Дано:
a =1,1 К И К ' 1
Р е ш е н и е . Длины проволоки /, и
при температурах /, и t2:
£ = 2 ,1 6 10"Па
a = 785 106 Па
t0= 0° С
l] = /o( 1 + a O> / 2 = /o( 1 + a ^ ).
где /0 — длина проволоки при 0°С; a — коэффициент линейного расширения.
Относительное изменение длины:
А/ / Iq = (/j —l2) / /д — (?j —t^CL-
194
/2
(1)
П о закон у Г ука
А/ / / 0 = о / Е ,
(2)
где Е — модуль Юнга; о — напряжение растяжения-сжатия. Проволока
разорвется, если
а > с т п,
(3)
где а п — предел прочности стали.
Из уравнений (1)-(3) находим:
'Е )’
t 2 = 2 0°C .
Задачи для самостоятельного решения
М о л е к у л я р н о - к и н е т и ч е с к а я теория.
Законы идеального газа
6.35. Определите число молекул, содержащихся в капле воды мас­
сой 0 , 2 г.
О т в е т : 6,7 1021.
6.36. Сколько молекул ртути содержится в ! м 3 воздуха впомеще­
нии, зараженном ртутью, при температуре 293К, если давление насы­
щенного пара ртути при этой температуре 133 МПа?
О т в е т : 3,3-1019.
6.37. Сколько молекул воздуха находится в комнате объемом 240 м 3
при температуре 15° С и давлении 105 Па.
О т в е т : « 6 1 0 27.
6.38. Определите давление и среднюю энергию поступательного дви­
жения молекул идеального газа при температуре 21° С, если концентра­
ция молекул равна 1 0 2 6 м '3.
О т в е т : 0,4 МПа; 6,2 10‘21 Дж.
6.39. Сколько молекул воздуха будет находиться в 1 см 3 сосуда при
10° С, если воздух в сосуде откачан до давления 1,33 мкПа?
О т в е т : 3,4 108.
6.40. Найдите среднюю квадратичную скорость молекул аргона при
температуре Т = 300 К.
О т в е т : «432 м/с.
195
6.41. Найдите массу воздуха в комнате размером 8 x 5 x 4 м при тем­
пературе 10°С и давлении 780 мм рт.ст.
О т в е т : я 204 кг.
6.42. Какова плотность углекислого газа, которым газируется вода,
если его температура 300 К, а давление в баллоне 9,8 106 Па?
О т в е т : я 170 кг/м3.
6.43. В сосуде находится газ под давлением 8 10 5 Па. Какое устано­
вится давление, если из сосуда выпустить 3/8 содержащегося там газа?
Температуру считать постоянной.
О т в е т : 5 1 05 Па.
6.44. Электрическую лампу при изготовлении заполняют азотом под
давлением 5 10 4 Па и при температуре 17° С. Какова температура газа в
горящей лампе, если давление в ней повысилось до 10 5 Па.
О т в е т : 580 К.
6.45. До какой температуры следует изобарно нагревать газ, чтобы
его плотность уменьшилась вдвое по сравнению с плотностью при 0° С.
О т в е т : 546 К.
6.46. Сжатый компрессором воздух используется для приведения в
действие воздушных тормозов железнодорожных вагонов. Под каким
давлением он находится, если при температуре 20° С его плотность рав­
на 8 кг/м3?
О т в е т : 0,67 МПа.
6.47. Найдите число молей идеального газа, если при давлении
200 кПа и при температуре 15° С его объем составляет 40 л.
О т в е т: 3,3 моля.
6.48. В баллоне находится газ при температуре 115° С. Во сколько раз
уменьшится давление газа, если 40 % его выйдет из баллона, а темпера­
тура при этом понизится на 89°С?
О т в е т: в 2,16 раза.
6.4 9 . А эр остат н ап олняю т водород ом при 20° С и давлен ии
750 мм рт.ст. до объема 300 м3. Сколько времени будет производиться
наполнение, если из баллонов каждую секунду переходит в аэростат 2,5 г
водорода?
О т в е т : 2,76 ч.
6.50. Чему равна молярная масса газа, который при давлении 100 кПа
и температуре 21° С имеет плотность 0,16 кг/м3?
О т в е т : 0,004 кг/моль.
196
6.51. При увеличении абсолютной температуры идеального газа в 2
раза давление его увеличилось на 25 %. Как при этом изменится объем?
О т в е т : увеличится в 1 ,6 раза.
6.52. Стальной баллон наполнен азотом при температуре 12° С. Дав­
ление азота 15 МПа. Найдите плотность азота при этих условиях. При
какой температуре давление возрастет до 18 МПа? Расширением стенок
баллона пренебречь.
О т в е т : 180 кг/м3; 69° С.
6.53. Какая масса воздуха потребуется для наполнения камеры шины
автомобиля «Жигули», если объем камеры 12 л? Наполнение камеры
производится при температуре 21° С до давления 2 10 5 Па.
О т в е т : 28,8 г.
6.54. На какой глубине находился пузырек воздуха, если его объем
при всплытии у поверхности воды оказался в 1,5 раза больше, чем под
водой? Атмосферное давление принять равным 760 мм рт.ст.
О т в е т: 5,2 м.
6.55. В озере на глубине 100 м при температуре 8 ° С находится в
равновесии шар массой 40 г, наполненный воздухом. Найдите массу
воздуха внутри шара, если атмосферное давление 99,7 кПа. Шар счи­
тать тонкостенным, изготовленным из резины.
О т в е т : 5,35 10' 4 кг.
6.56. Пустой стальной цилиндр массой 200 г и емкостью 250 см 3
плавает на поверхности воды. Можно ли его заставить утонуть, если
погружать в воду вверх дном? Если можно, то при какой глубине погру­
жения?
О т в е т : можно, при h ^ 4,4 м.
6.57. Атмосфера Венеры почти полностью состоит из углекислого газа.
Температура его у поверхности планеты около 500°С, а давление при­
мерно 100 атмосфер. Какой объем должен иметь исследовательский зонд
массой 1 тонна, чтобы плавать в нижних слоях атмосферы Венеры?
О т в е т : = 15 м3.
6.58. В каждую из четырех шин автомобиля накачан воздух объемом
К] = 200 л при температуре t l = 17°С. Объем шины V2 = 54,6 л, площадь
сцепления шины с дорогой при температуре / 2 = 0°С равна S = 290 см2.
Найдите массу автомобиля. Атмосферное давление р ] = 0,1 МПа.
Ответ: » 4000 кг.
197
6.59. Посередине откачанной и запаянной с обеих сторон горизон­
тальной трубки длиной 1 м находится столбик ртути длиной 20 см. Если
трубку поставить вертикально, то столбик ртути переместится вниз на
расстояние 10 см. До какого давления откачана трубка?
О т в е т : 0,05 МПа.
6.60. Компрессор захватывает при каждом такте нагнетания 0,5 л
воздуха при давлении р = 10 5 Па и температуре 276 К и нагнетает его
в автомобильный баллон объемом 0,5 м3. Температура воздуха в балло­
не 290 К. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы умень­
шить площадь соприкосновения покрышки с полотном дороги на 1 0 0 см2?
До этого площадь соприкосновения была равна 450 см2, колесо нахо­
дится под нагрузкой 5 кН.
Ответ:
и 302.
6.61. Два баллона соединены трубкой с краном. В первом баллоне
газ находится под давлением р| = 0,2 МПа, во втором - под давлением
р 2 = 0,12 МПа. Емкость первого баллона V, = 2 л, второго - V2 = 6 л.
Температура газа в баллонах одинакова. Какое давление установится в
баллонах, если открыть кран?
Ответ:
0 ,1 4 МПа.
6.62. В помещ ении площ адью 100 м2 и высотой 4 м разлили 800 г
ацетона: (СН 3 )2 СО. Сколько молекул ацетона будет находиться в 1 м 3
воздуха, если весь ацетон испарится?
О т в е т : 2 • 1022 ■
Основы термодинамики
7.1. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в
1,4 раза выше температуры холодильника. Какую долю количества тепла,
получаемого за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?
О т в е т : 0 х / 0 н * 0,7.
7.2. Найдите работу тепловой машины за один цикл, изображенный
на рис. 9.6 (с. 189).
О т в е т : (рг~рх) (У2-У{).
7.3. Молотком массой 1 кг ударяют 10 раз по куску свинца массой
100 г. Скорость молотка при ударе 3 м/с. На сколько градусов нагрева­
ется свинец, если 50 % выделившейся при ударе теплоты идет на его
нагревание?
О т в е т : 1,7° С.
198
7.4. Свинцовая дробинка, летящая со скоростью 100 м/с, попав в
доску, углубилась в нее. На сколько градусов нагрелась дробинка, если
50 % выделенной при ударе теплоты пошло на ее нагревание?
О т в е т : я 20° С.
7.5. С тальной резец массой 400 г, нагреты й до тем пературы
820° С, погружаю т для закалки в 4 кг воды, температура которой
10° С. Определите, до какой температуры охладился резец.
О т в е т : 18,8° С.
7.6. Сколько тепла выделится при ударе молота массой 5 кг о предмет,
лежащий на наковальне, если скорость молота в момент удара 6 м/с?
О т в е т : 88,2 Дж.
7.7. Смешали 6 кг воды при 42° С, 4 кг воды при 72° С и 20 кг воды
при 18° С. Определите температуру смеси.
О т в е т : 30° С.
7.8. В калориметр теплоемкостью 210 Дж/К, содержащий 600 г воды
при температуре 293 К, опускают 100 г льда при температуре 253 К.
Определите установившуюся температуру воды.
О т в е т : » 5,5° С.
7.9. В латунный калориметр массой 128 г, содержащий 240 г воды
при температуре 8,4° С, опущено металлическое тело массой 192 г, на­
гретое до 100° С. Окончательная температура в калориметре установи­
лась 21,5° С. Определите удельную теплоемкость вещества тела.
О т в е т: с = 786 Дж/(кг К).
7.10. Нагревательную установку охлаждают водой, которая течет по
спиральной трубке диаметром 3 мм со скоростью 3 м/с. Определите
мощность установки, если вода нагреется на 8 ° С.
О т в е т: я 711 Вт.
7.11. 0,5 кг алю миния нагреваю т паяльной лампой в течение
10 мин. Найдите температуру нагретого алюминия, если в минуту сгора­
ло 5 г кероси н а. Т ем пература воздуха 20° С, КПД нагревателя
15 %.
О т в е т : » 660° С.
7.12. Воде, масса которой 1,5 кг, находившейся при температуре
20° С, сообщили 6,3 10 5 Дж энергии. Вода закипела и часть ее обрати­
лась в пар. Определить массу выкипевшей воды.
О т в е т : я 0,06 кг.
199
7.13. В калориметр, содержащий 100 г льда при 0° С, впущен пар,
имеющий температуру 100° С. Сколько воды окажется в калориметре
после того, как весь лед растает?
О т в е т: » 0,11 кг.
7.14. На электроплитке мощностью 600 Вт, имеющей КПД 45%, на­
гревалось до кипения 1,5 л воды, взятой при 10° С, и 5 % ее обратилось
в пар. Как долго длилось нагревание?
О т в е т: 45 мин.
7.15. Углекислый газ массой 10 г нагрет от 20 до 30° С при постоян­
ном давлении. Найдите работу расширения газа.
О т в е т : «18,9 Дж.
7.16. Сани массой 6 кг скатываются с горы, образующей угол 30° с
горизонтом. Пройдя по склону горы 50 м, сани достигают скорости
4,5 м/с. Определите количество теплоты, выделенное при трении поло­
зьев о снег.
О т в е т : 1,4 кДж.
7.17. Железный шар массой 10 кг упал с высоты 87м и подскочил
после удара на высоту 1,6 м. На сколько градусов нагрелся шар, если
50% выделившейся при ударе энергии пошло на его нагревание?
О т в е т : 0,9° С.
7.18. Поезд массой 2000 т при торможении с ускорением 0,3 м/с 2
остановился спустя 50 с после начала торможения. Какое количество
теплоты выделилось при торможении?
О т в е т : 225 МДж.
7.19. При выстреле вертикально вверх свинцовая пуля достигла вы­
соты 1200 м. При падении, ударившись о землю, она нагрелась. На сколь­
ко повысится температура пули, если 50 % всей энергии удара пошло на
нагревание?
О т в е т: 47 К.
7.20. С какой средней скоростью движется автомобиль, двигатель
которого при м о щ н о сти 50 кВ т и зрасход овал на 100 км пути
30 л бензина? КПД двигателя 30 %.
О т в е т: » 62 км/ч.
7.21. Пуля массой 9 г вылетела из ствола винтовки со скоростью
800 м/с. Масса порохового заряда 4 г. Определить КПД выстрела. Удель­
ная теплота сгорания пороха 3 1 06 Дж/кг.
О т в е т : 0,24.
200
7.22. Сколько литров бензина израсходовал двигатель насоса, нака­
чав 300 м 3 воды на высоту 23 м? КПД двигателя 15 %.
О т в е т ; 14,3 л.
7.23. При электролизе воды череЗ|ванну протекло 500 Кл электриче­
ства. Определите температуру выделившегося кислорода, если его объем
250 см3, а давление 970 мм рт.ст.
От в е т: 51° С.
7.24. Двигатель реактивного самолета развивает силу тяги 92 кН. Ско­
рость полета самолета 1800 км/ч, КПД двигателя 20 %. Определите рас­
ход керосина в час.
О т в е т : 18 1 0 3 кг.
7.25. Сколько дров надо израсходовать, чтобы получить воду при 3°С
из 1000 кг льда, взятого при — 8 ° С? КПД установки 30 %.
О т в е т : 96,4 кг.
7.26. Сколько времени потребуется, чтобы нагреть 1,55 л воды от 20
до 100° С, если горелка потребует 0,30 кг спирта в час, а КПД ее 24 %?
О т в е т : и 15 мин.
7.27. В 1 л воды при температуре 20°С бросают кусок железа массой
100 г, нагретый до 500°С. При этом некоторая часть воды превращается
в пар. Окончательная температура воды 24°С. Определите массу обра­
тившейся в пар воды.
О т в е т: 2 г.
7.28. В сосуде находится смесь воды со льдом массой т = 10 кг.
Сосуд внесли в комнату и сразу же начали измерять температуру смеси.
Зависимость температуры смеси t от времени т приведена на рис. 9.8.
Определите начальную массу льда. Теплоемкостью сосуда пренебречь.
О т в е т : 1,23 кг.
<°, С
2
30
40
60
т, мин
Рис. 9.8
Г
201
7.29. В цилиндрическом сосуде с площадью основания 250 см 2 на­
ходится 10 г азота, сжатого поршнем, на котором лежит груз массой 12,5 кг.
Найдите работу газа при его нагревании от 25 до 625°С.Атмосферное
давление 760 мм рт. ст. Как зависит работа от массы груза? Найдите
величину перемещения поршня.
О т в е т : 1781 Дж;0,67 м.
7.30. Параметры идеального одноатомного газа (v = 3 моля) измени­
лись по циклу (рис. 9.9). Температуры газа в соответствующих точках
равны Тх = 400 К, Т2 = 800 К, Г4 = 1200 К. Определите работу газа за
цикл.
О т в е т: 20 кДж.
7.31. В цилиндре под поршнем находится 0,1 м 3 воздуха под давле­
нием 2,4 кПа. При изобарическом нагревании на 10°С была совершена
работа 8,2 Дж. Найдите конечную температуру воздуха.
О т в е т : 303 К.
7.32. Определите работу адиабатического расширения 200 г гелия,
если температура газа понизилась на 50 К.
О т в е т: 31 кДж.
7.33. В идеальной тепловой машине за счет каждого килоджоуля энер­
гии, получаемой от нагревателя, совершается работа 300Дж. Определи­
те КПД машины и температуру нагревателя, если температура холодиль­
ника 17°С.
О т в е т : 0,3; 414 К.
7.34. Идеальный одноатомный газ совершает цикл, показанный на рис.
9.10. Определите КПД цикла, если Vx = 1 л; V2 - 2 л; р х = 0,1 МПа;
р 2 = 0,2 МПа.
О т в е т : 13%.
-L
Т
Рис. 9.10
202
7.35. Найдите КПД электрочайника, если 2 литра воды, взятой при
температуре 20°С, закипают в нем за 20 минут. Сила тока ЗА, напряже­
ние в сети 220 В.
О т в е т : 0,85.
7.36. Относительная влажность воздуха равна 80 % при температуре
20° С. Какова абсолютная влажность воздуха?
О т в е т : 13,8 10"3 кг/м3.
7.37. Относительная влажность воздуха 70 % при температуре 25° С.
При какой температуре начнет появляться роса?
О т в е т : »1 9 ° С.
7.38. В подвальном помещении относительная влажность при темпе­
ратуре 8 °С равна 100 %. На сколько градусов надо повысить температу­
ру воздуха в подвале, чтобы влажность уменьшилась до 60%?
О т в е т : 8 °С.
7.39. Какое количество воды испарится в 1 м 3 воздуха в закрытом
помещении, если его температура 15° С, а точка росы равна 5° С?
О т в е т : 6,67 г.
7.40. Насыщенный водяной пар, взятый при 100° С, изолировали от
жидкости и нагрели изобарно на 60° С. Чему будет равно давление пара?
О т в е т: 0,12 МПа.
7.41. В сосуд объемом V=10 л, наполненный сухим воздухом при
нормальных условиях, вводят m = 3 г воды и нагревают сосуд до t= 100°С.
Определите давление влажного воздуха при этой температуре.
О т в е т : 5,8 г.
i
7.42. В теплоизолированном сосуде находится вода при температуре
Т=273 К. Выкачивая из сосуда воздух, всю воду в сосуде заморозили.
Какая часть воды при этом испарилась?
О т в е т : 11,7 %.
7.43. В сосуд объемом V = 10 дм3, наполненный сухим воздухом
при давлении р 0 = 105 Па и температуре Т0 = 273 К, вводят ш = 3 г воды.
Сосуд нагревают до температуре Т = 373 К. Каково давление влажного
воздуха в сосуде при этой температуре?
О т в е т : р = 1, 8 8 10 5 Па.
203
Часть
3
О СН О ВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМ ИКИ
Г л а в а 10. ЭЛЕКТРО СТАТИ КА
§ 69. Э л ек т р и ч ес к и й за р я д .
З ак он со х р а н ен и я эл е к т р и ч е с к о г о за р я д а . З а к о н К ул он а
Электростатика — это раздел электродинамики, в котором изуча­
ются покоящиеся электрические заряды и их поля.
Электрический заряд
это основная, неотъемлемая характеристика
некоторых элементарных частиц, которая проявляется в их электромаг­
нитном взаимодействии. Электрический заряд не может меняться непре­
рывно как угодно малыми порциями. Наименьшая величина электри­
ческого заряда равна е0 = 1,6-10 ' 19 Кл. Этот заряд называется элемен­
тарным зарядом. Элементарный электрический заряд равен заряду про­
тона и по абсолютной величине — заряду электрона.
Закон сохранения заряда: в электрически изолированной системе ал­
гебраическая сумма зарядов всех частиц остается постоянной:
п
= const,
1=1
где п — число зарядов в системе; qi — заряд частицы.
Закон
Кулона
В 1785 году Ш.Кулон экспериментально установил закон, который
определяет силу взаимодействия точечных зарядов. Точечным зарядом
называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по
сравнению с расстоянием от этого тела до других заряженных тел. Ку204
лон измерил силу взаимодействия двух заряженных шариков на кру­
тильных весах.
Закон Кулона: сила взаимодействия двух неподвижных точечных
зарядов, расположенных в вакууме, прямо пропорциональна произве­
дению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату рассто­
яния меж ду ними.
Сила Кулона действует вдоль прямой, соединяющей заряды, а ее на­
правление зависит от знаков взаимодействующих зарядов:
F = k\qx| • l ^ l / r 2,
где k = 1 / (4 7 Г8 0) = 9 • 10 9 Нм 2 /Кл2, е 0 = 8,85 ■10 ' 12 Ф/м — электрическая
постоянная.
Единица заряда кулон (Кл). 1 Кл - количество электричества, прохо­
дящего через поперечное сечение проводника при токе силой 1 А за
время 1 с:
1Кл = 1А -1с.
§ 70. Э л ек т р и ч ес к о е п оле. Н ап р я ж ен н о сть эл ек т р и ч е ск о го поля
Электрическое поле — составляющая электромагнитного поля. Элек­
тромагнитное поле — это форма материи, посредством которой осуще­
ствляются электромагнитные взаимодействия. Электрическое поле можно
обнаружить по действию на электрический заряд.
Силовой характеристикой электрического поля является вектор на­
пряженности Е . Напряженностью поля в данной точке называется фи­
зическая величина, равная отношению силы, действующей на заряд, вне­
сенный в данную точку поля (пробный заряд), к величине этого заряда:
Ё = F lq Направление напряженности со­
впадает с направлением силы, дей­
ствующей на пробный положитель­
ный заряд, внесенный в данную точ-
Рис. 10.1
ку поля.
Электрическое поле принято изображать графически с помощью си­
ловых линий. Силовой линией (линией напряженности) электрическо­
го поля называется линия, в каждой точке которой вектор напряженно­
сти касателен к ней. Линии напряженности поля точечного заряда —
205
это радиальные прямые, начинающиеся на положительном заряде и ухо­
дящие в бесконечность или начинающиеся в бесконечности и заканчи­
вающиеся на отрицательном заряде (рис. 10.1).
Если поле однородное, то силовые линии будут параллельными пря­
мыми и в каждой точке вектор напряженности одинаков. Поле, создава­
емое двумя параллельными бесконечными плоскостями (рис. 10.2, а),
является однородным.
§71. П о л е т о ч е ч н о г о зар я д а. П р и н ц и п су п ер п о зи ц и и
Поле точечного заряда является центральным, т.е. силовые линии
пересекаются в одной точке (рис. 10.2, б).
б
Рис. 10.2
Найдем напряженность поля в точке А на расстоянии г от заряда q.
Мысленно внесем в эту точку пробный заряд qup. На этот заряд будет
действовать кулоновская сила F = k\qqn^\ / г2.
По определению напряженность в точке А равна:
еа
= f / \%v\ = l<7l / (4тте0^ ) .
Принцип суперпозиции: результирующая напряженность Ё в какойлибо точке поля, создаваемого несколькими зарядами, равна векторной
сумме напряженностей полей Ё ,, создаваемых в этой точке отдельными
зарядами qf.
Ё =Щ
206
.
Пример: поле создается двумя зарядами
1 и - q 2, находящимися на расстоянии / друг
от друга. Определить напряженность поля в
точке А, отстоящей на расстоянии г ] от пер­
вого заряда и г2 от второго заряда (рис. 10.3).
Найдем модули векторов £ , и Е2 в точке А:
'А
Е ] = kq{ / г,2, Е2 = kq2 / г2 .
Результирующий вектор
Рис. 10.3
Еа = д/ ^ , 2 + E l + 2Е1 ■Е2 cos а •
§72. Работа электрического поля при перемещении заряда.
Потенциал. Разность потенциалов
Электрическое поле образовано положительным зарядом q(puc. 10.4).
Под действием сил поля пробный заряд qnp перемещается из точки 1,
определяемой радиусом-вектором гх , в точку 2 с радиусом- вектором г2 .
На заряд qnp действует кулоновская сила
( 10. 1)
Найдем работу этой силы по перемещению пробного заряда. Из закона
Кулона (10.1) видно, что сила F зависит от г , т.е. не является постоянной
силой. Как известно из механики, для вычисления работы переменной силы
надо взять интеграл (см.4.7) от скалярного произведения силы F на перемещение d I , т.е.
( 10.2 )
где d r = d l • c o s ср. Работа считается положительной, если совершается
силами поля. Подставив уравнение (10.1) в (10.2), получим
207
Г2
A 12
r2
= ][яЯпР/ ( 4 ^£ с / 2)]Аг =
о
ЯЯпР / ( 4 ™ о )
\d r/r 2 =
п
(1 0 .3 )
= яяпРИ4^ 0г,)-я я прj{4^ o r 2 )•
Уравнение (10.3) показывает, что работа сил поля не зависит от фор­
мы траектории, а зависит только от начального и конечного положения
заряда. Такие силы называются потенциальными (или консервативны­
ми).
Из механики известно, что работа консервативных сил равна убыли
потенциальной энергии системы:
Л,2 = Яр1-Яр2-
(Ю-4)
Сопоставляя уравнения (10.3)
и (10.4), приходим к выводу, что
потенциальная энергия заряда дпр
в электрическом поле
^■р = ^ 1<?Пр 7 (4
-
( 10-5)
Если уравнение (10.5) разде­
лить на <7 пр, то получим физичес­
кую величину, которая характери­
зует только поле и не зависит от
величины пробного заряда.
Физическая величина ф = Ер /
<7 пр называется потенциалом поля
в данной точке и является энерге­
тической характеристикой поля.
Это величина скалярная. Уравне­
н и е. 10.4
ние (10.3) можно переписать в виде
^ 1 2 = ? п р ( ф 1 _ ( р 2)-
( 10.6)
Эта формула справедлива при расчете работы в любых электростати­
ческих полях, а не только в поле точечного заряда. По определению
потенциала потенциал поля точечного заряда
Ф= ЯЯпр 1 (4Tis0 r^np) = q / (4лв 0 г) = kq/r.
Если поле создается системой точечны х зарядов, то по принципу
суперпозиции результирую щ ий п отенциал в данной точке равен
208
алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в
отдельности:
Ф = £ (р ,.
В уравнении (10.6) обозначим cpj - ф2 = Аф — разность потенциалов
между двумя точками поля. Тогда величина
ДФ = ^ 1 2 / V
Разностью потенциалов между двумя точками поля называется фи­
зическая величина, равная отношению работы по перемещению пробно­
го заряда между этими точками к величине пробного заряда. В системе
СИ разность потенциалов измеряется в вольтах (В):
[Аф] = 1 Д Л / 1Кл = 1 В.
1 В — это разность потенциалов между такими точками электроста­
тического поля, при перемещении между которыми заряда в 1 Кл силы
поля совершают работу в 1 Дж.
Следует отметить, что потенциальная энергия и потенциал определя­
ются не однозначно, а с точностью до аддитивной (произвольной) по­
стоянной, величина которой зависит от выбора нулевой точки, т.е. точки,
где потенциал равен нулю. Нулевая точка выбирается произвольно, ис­
ходя из удобства (простоты) полученных выражений.
§ 73. Потенциальная энергия системы точечных зарядов
Система зарядов обладает потенциальной энергией. Определим эту
энергию для системы, состоящей из и= 3 положительных точечных заря­
дов.
Пусть заряд q x переносится из бесконечности в точку 1 (рис. 10.5).
Если других зарядов нет (или они бесконечно удалены), то для переме­
щения заряда q x не требуется совершения работы: А х=0. При перенесе­
нии заряда q2 из бесконечности в точку
2 совершается работа А2 против сил
поля заряда q j :
^
4ле„г,,
■'О' 12
где ф2 - потенциал поля, созданного за­
рядом q x в точке 2 .
q‘
1
\q 3
'13
Рис. 10.5
209
При перемещении заряда q 3 из бесконечности в точку 3 совершается
работа А^ против сил поля, созданного зарядами q x и q2:
Л = 9з'
4ле0г13
4ле 0 г23
:?зФ з’
где ф3 - потенциал поля в точке 3, созданный зарядами q x и q2- Потенци­
альная энергия системы трех зарядов W равна сумме работ:
W = А] + А 2 +
Так как
Ч\Ч2
W=■
4п еп V гп
1
1
2
4д8п
'я М г
M
_
i
-M
" _
l
, то
Ч\Чъ + ЦгЧъ
'1 3
'2 3
Я 2 Я \ ,Ч г Ъ
Я з Я 2 , ЯзЯ\ , Я \ Я ъ '
1------- 1,---------1
---------1-----1,----------21
23
32
31
13
у
1Й
,00.7)
<=1
где ср• - потенциал, созданный всеми зарядами, кроме qp в точке, где
располагается заряд qr Формула (10.7) справедлива для любого числа
. точечных зарядов и позволяет определить потенциальную энергию сис­
темы, образованной как положительными, так и отрицательными точеч­
ными зарядами.
§ 74. Связь напряженности с разностью потенциалов
Электрическое поле характеризуется двумя физическими величина­
ми: напряженностью и потенциалом. Выясним, как связаны между со­
бой эти величины. Пусть пробный положительный заряд q„p перемеща­
ется в однородном электрическом поле ( рис. 1 0 .6 ), образованном по­
ложительным зарядом q, из точки 1 в точку 2 , находящуюся на беско­
нечно малом расстоянии dr от точки 1 по направлению вектора напря­
женности поля ^ . Работа по перемещению заряда
а ,2 = F d r = dnpEdr,
210
( 10.8)
так как силу F при малом пе­
ремещении dr можно считать
постоянной. Эту работу можно
вычислить как произведение q
на разность потенциалов точек
2
1
-ц-
d(p = (pt - ( p 2.
Таким образом,
dr
4 npE d r = -q „ pd(p, откуда
Рис. 10.6
Е = -
d(p
dr
Сотношение имеет знак минус, поскольку возрастание г вызывает
уменьшение (р . Полученное выражение справедливо для любого элек­
тростатического поля.
§ 75. Проводники в электрическом поле
По способности проводить электрический ток вещества делятся на
проводники, полупроводники и диэлектрики (изоляторы). В металличес­
ких проводниках имеются свободные носители электрического заряда электроны проводимости, способные под действием электрического поля
перемещаться по проводнику.
Внесем проводник в электрическое поле. В нем происходит пере­
распределение носителей зарядов до тех пор, пока результирующая
напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а ли­
нии напряженности вне проводника — перпен­
дикулярными его поверхности. Таким образом,
нейтральный проводник, внесенный в электри­
ческое поле, разры вает часть силовых линий
поля, так как они заканчиваются на отрицатель­
ных индуцированных зарядах проводника и вновь
начинаются на положительных. Если внутри про­
водника поле отсутствует, то потенциал всех то­
чек внутри проводника будет постоянным и рав­
эквипотенциальные
ным потенциалу его поверхности: (p=cpnoB=const
поверхности
(рис. 10.7).
Рис. 10.7
211
Силовые линии будут перпендикулярны эквипотенциальным поверх­
ностям. Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность, в
каждой точке которой одинаковый потенциал. Например, поверхность
проводника — это эквипотенциальная поверхность (если по нему не пе­
ремещаются заряды).
§ 76. Диэлектрики в электрическом поле
Диэлектрики — это вещества, не способные проводить электрический
ток. Поведение молекулы вещества во внешнем электрическом поле экви­
валентно диполю. Электрическим диполем называется система, состоящая
из двух одинаковых по значению, но разноименных точечных зарядов.
Процесс ориентации диполей под действием внешнего электростати­
ческого поля называется поляризацией диэлектрика. Существует два
вида молекул диэлектрика: полярные и неполярные.
У полярных молекул центры положительных и отрицательных заря­
дов смещены. При внесении диэлектрика с полярными молекулами в
электрическое поле происходит поворот молекул-диполей к направле­
нию напряженности внешнего электрического поля. Диэлектрик поля­
ризуется. Такая поляризация называется ориентационной (рис. 10.8).
У неполярных молекул центры положительных и отрицательных заря­
дов находятся в одной точке. При внесении диэлектрика с неполярными
молекулами в электрическое поле молекулы-диполя под действием поля
вытягиваются вдоль поля и становятся диполярными. Такая поляриза­
ция называется деформационной.
При любой поляризации в тонком поверхностном слое диэлектрика
возникают избыточные связан­
ные заря ды q'. О тн ош ен и е
q ' / S = а ' — поверхностная плот­
ность связанны х зарядов, где
S — площадь поверхности.
Поместим пластину из диэ­
о>*
лектрика в однородное поле
(рис. 10.9), образованное двумя
параллельными заряженными
плоскостями с поверхностной
а
б
плотностью сторонних зарядов
Рис. 10.8
212
a . Диэлектрик поляризуется и на его гранях появляются связанные за­
ряды, поверхностная плотность которых ст'. Вектор напряженности поля
связанных зарядов
противоположен по направлению вектору на­
е
пряженности поля сторонних зарядов Е0 . Напряженность поля внутри
диэлектрика определяется по принципу суперпозиции полей:
,
Е = Е0 - Е / .
Отношение е = Е 0/ Е — относительная диэлектрическая проницаемость.
Относительная диэлектрическая проницаемость среды — это физи­
ческая величина, показывающая во сколько раз напряженность электроста­
тического поля в данной среде меньше, чем в вакууме. Для вакуума в = 1.
В общем случае, когда поверхность диэлектрика не перпендикулярна
силовым линиям поля, относительная диэлектрическая проницаемость
равна отношению нормальной составляющей напряженности поля в ва­
кууме к нормальной составляющей напряженности поля в диэлектрике
{рис. 10.10), где Еп1 и Еп2 — составляющие вектора напряженности,
п ер п ен д и к у л я р н ы е п о в е р х н о с ти д и эл ек тр и к а , а £ т1 и Ет2 —
составляющие, направленные по касательной к поверхности.
Таким образом, на поверхности диэлектрика силовые линии поля
преломляются.
+ ст
+
+
-о '
+а'
-
+
+
+
+
-о
-
+
—
+
-
+
+
-
-ст.
- с т
+ СТ
+
+
+
+
-
Е ^ ~
Рис. 10.9
Рис. 10.10
213
§ 77. Электроемкость. Конденсаторы
Электроемкостью уединенного проводника называется физическая
величина, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:
C = q / ф.
(10.9)
Электроемкость проводника не зависит ни от заряда, ни от потенци­
ала, а зависит от геометрических размеров проводника и от относи­
тельной диэлектрической проницаемости среды, в которой находится
проводник. В системе СИ электроемкость измеряется в фарадах (Ф).
1 Ф — это электроемкость такого уединенного проводника, при сооб­
щении которому заряда в 1 Кл его потенциал увеличивается на 1В.
Потенциал поверхности шара можно определить по формуле потен­
циала поля точечного заряда, так как вне шара силовые линии поля
совпадают с линиями поля точечного заряда, если бы заряд был распо­
ложен в центре шара. Поэтому
фш = q / (4ле 0 г),
(10.10)
где г — радиус шара. Подставив уравнение (10.10) в уравнение (10.9),
получим
= # 471бог !q~ 4теогЭлектроемкость шара зависит от его радиуса. Если шар находится в
среде с относительной диэлектрической проницаемостью в, то
Сш= 4пг0гг.
Конденсатором называется устройство, предназначенное для на­
копления энергии электрического поля и состоящее из двух проводни­
ков, разделенных диэлектриком. Образующие конденсатор проводни­
ки называются обкладками. В зависимости от формы обкладок кон­
денсаторы бывают плоские, сферические и цилиндрические.
Электроемкостью конденсатора называется физическая величи­
на, равная отношению заряда одной из обкладок к разности потенциа­
лов между обкладками. Разность потенциалов при этом равна напря­
жению (U) (см. § 8 6 ):
С = q / Аф = q / U.
§ 78. Электроемкость плоского конденсатора
Плоский конденсатор состоит из двух пластин (обкладок), разделен­
ных диэлектриком. Если размеры пластин гораздо больше расстояния меж­
ду ними, то поле внутри такого конденсатора можно считать однородным.
214
По определению емкость конденсатора
С = q / U.
(10.11)
Заряд q на обкладке конденсатора выразим через поверхностную плот­
ность сторонних зарядов ст:
q = aS,
(10.12)
где S — площадь обкладки.
Запишем связь напряженности с разностью потенциалов:
E = Aq>/d=U/d,
(10.13)
где d — расстояние между обкладками.
Напряженность поля в конденсаторе связана с поверхностной плот­
ностью зарядов следующим соотношением:
Е = а / ( е Е 0),
(10.14)
где в :— относительная диэлектрическая проницаемость.
Подставив уравнения (10.12) — (10.14) в формулу (10.9), получим
C = EE0S / d .
(10.15)
Электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна пло­
щади обкладки, относительной диэлектрической проницаемости среды
и обратно пропорциональна расстоянию между обкладками.
§79. Соединение конденсаторов в батарею
Для получения больших емкостей конденсаторы соединяют параллель­
но (рис. 10.11,а). Общая емкость батареи параллельно соединенных конден­
саторов равна сумме емкостей всех п конденсаторов, входящих в батарею:
/
пар
j
(10.16)
I
/=1
rlh
С
ЧЬ
£ з ||_
Cl
с2
ь I1
* 11
11
11
с3
11
11
сп
—НЬ
- |h
Рис. 10.11
215
При последовательном соединении конденсаторов (рис. 10.11,6) об­
щая емкость батареи п конденсаторов определяется выражением
1
г —
1
1
1
= 7 г + 7 ^ +- + 7 г .
'-'поел
И
'" '2
(Ю.17)
п
При последовательном соединении уменьшается возможность про­
боя конденсаторов, зато емкость батареи меньше минимальной емкости
конденсатора, входящего в батарею.
§ 80. Э нергия электрического поля
Сообщение проводнику заряда связано с совершением работы по пре­
одолению кулоновских сил отталкивания между одноименными заряда­
ми. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного
проводника.
Для элементарной работы dA, совершаемой внешними силами при
перемещении заряда dq из бесконечности, где потенциал равен нулю, на
проводник, можно записать:
dA = фdq = Сф<7ф.
Тогда работа, совершаемая при зарядке проводника,
ф
= |СфДф = Сф2 / 2 .
о
Эта работа равна энергии проводника W:
А
А = W = C ( p 2 / 2 = q 2 / ( 2 C ) = ( p q / 2.
Для заряженного конденсатора
W = CU2 I 2 = q2 I (2С) = qU / 2.
(10.18)
Энергию заряженного конденсатора можно выразить через парамет­
ры электростатического поля. Для этого, подставив в формулу (10.18)
выражение (10.15), получим
W = ее 0 S £ / 2 / (2d) =
Так как Е =
8 8 QU2Sd
/ (2£ ) .
U / d, a Sd = V — объем конденсатора, то
W = zBqE2V / 2.
(10.19)
В формуле (10.19) выражение se qE2 / 2 называется плотностью энергии'.
со = ее ^ 2 / 2, т.е. W = соК.
216
Плотность энергии измеряется в Дж/м3.
Формула (10.18) связывает энергию конденсатора с зарядом на его
обкладках, а формула (10.19) — с напряженностью поля. Тогда возни­
кает вопрос: где же сосредоточена энергия, что является носителем энер­
гии — заряды или поле?
Постоянные поля и порождающие их заряды не могут существовать
обособленно друг от друга, т.е. в пределах электростатики дать ответ на
этот вопрос невозможно, однако меняющиеся во времени поля могут
существовать независимо от зарядов и распространяться в простран­
стве в виде электромагнитных волн.
Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию,
т.е. носителем энергии является поле.
К онтрольны е вопросы
1. Как взаимодействуют электрические заряды?
2. Что такое электрическое поле?
3. Как формулируется и записывается закон Кулона?
4. Какова величина и размерность электрической постоянной?
5. Как определяется единица заряда в системе СИ?
6 . Какие заряды называются точечными?
7. Каков физический смысл напряженности электрического поля в
данной точке?
8 . Как графически изображаются электрические поля?
9. Какое поле называется однородным?
10. Что происходит с диэлектриком при внесении его в электричес­
кое поле?
11. Каков физический смысл потенциала поля в данной точке?
12. Какова связь меяаду напряженностью поля и разностью потенциалов?
13. От чего зависит электроемкость проводника?
14. Чему равна энергия электрического поля?
15. Что является носителем электрической энергии— заряды или поле?
16. Заряд уединенного проводника увеличили в два раза. Во сколько
раз изменится электроемкость проводника?
17. Заряженный конденсатор отсоединили от источника и подключи­
ли параллельно к другому такому же, но незаряженному конденсатору.
217
Во сколько раз изменилась энергия
электрического поля? Как согласо/
, вать это с законом сохранения энер1 „гии?
IЕ
v18.
Заряженный шар «запотел»,
^ п о к р ы в ш и с ь
слоем воды. Как изме\
v ^
нилась напряженность поля внутри
слоя воды и вне его?
19. Сравнить работы на участках
Рис. 10.12
в с Вд В Е {рис 1()12у
С
20. Во сколько раз изменится энер­
гия конденсатора при увеличении напряжения в нем в 4 раза?
21. Сравнить силу взаимодействия двух одинаковых проводящих ша­
ров в случае одноименных и разноименных одинаковых по модулю за­
рядов. Расстояние между шарами соизмеримо с их радиусами.
22. В однородное поле внесли металлический шар. Останется ли поле
однородным?
218
П рим еры реш ения задач
10.1.
Вдоль прямой в точках А, В и С (рис. 10.13) помещены заряды
q x = 5 10' 8 Кл; q2 = -1 10' 7 Кл и д 3 = 5 • 10‘ 8 Кл. Расстояние АВ равно
5 см, расстояние ВС равно 2 см. Найдите силы, действующие на каждый
заряд.
д ано;
АВ = г = 5 ■ 10"2 м
ВС = г2 = 2 • 10‘2 м
q x = q3 = 5 ■ 10-8 Кл
Р е ш е н и е . На каждый заряд действует по две силы. Покажем эти силы
н аРис- 10.13. Обозначим Fx = F n - Fxy
По закону Кулона
<72 = - 1 0 7 Кл
% ||g 2J
12 ~
2
г,
F , — ? F2 — ? F 3 — ?
k\q,\\q2\
k \q ,\q 3\
■k\q,\
(п + сУ
k\q,\\q31
_ % ,Ы
> *13
('I + ^ ) 2 ’
?2
?3
r?
(п + сУ
=
,
q3\
% 2
F, -
F
Г 3
- F
F =
Г 3/
0,013 H ;
Iqt
„2
2
rl
V r2
/Л = 0 ,2 2
,
-
Н ;
- F
32
=
k\q3\\q,\
/
_
k\q3\\q2\ _
V
k\q3
Ы
i n + c )2
r22 )
0,45 H .
4\
02
4з
Рис. 10.13
219
10.2.
Между точками поля А и В разность потенциалов U = 100 В.
Какую скорость будет иметь электрон в точке В, если в точке А его ско­
рость была равна нулю?
Д ано:
и = 100 В
е = 1,6 10' 19 Кл
т„
кг
ie = 9,1
y,i 10
1 \j ‘31 м
Р е ш е н и е . Работа электростатического
поля равна изменению кинетической энергии
... / 2
_______ е„ U
т г=^——
те^в
электрона
- , отсюда
V
2eU
v ' „в =~
л
vVBP &6- 10 м / с .
’
{ т„
10.3.
На расстоянии / = 0,4 м друг от друга находятся два заряда:
= 2 1 0 '6 Кл и <72 = 5 10"6 Кл {рис. 10.14). Вдоль прямой CD, параллель­
ной АВ, на р ассто ян и и d = 30 см от нее п ер ем ещ ается заряд
q = 10 "8 Кл. Определите работу по перемещению
Дано:
заряда q из точки С в D.
#1
I = 0,4 м
~ 2 ■ 10"6 Кл
q2 = 5
1
д л
Р е ш е н и е . Работа по перемещению заряда
в электростатическом поле
10‘6 Кл
_ ’ gM
q - 10 Кл
——
A = q(q>r -< pD).
В точках С и D потенциал равен сумме потенциалов, создаваемых зарядами q x и q2:
фс = ф! + ф2 = {kqx J d) + (kq2/r);
ф0 =
/ г + kq2 / d, тогда работа
A=q
Гкдх | kq2
d
kqx
r
r
кд2л
d
( 1)
Здесь
(2 )
r = M 2+ d 2.
Подставив уравнение (2) в уравнение (1), получим
1
A = kq(qI - q 2)
дj
l 2
, А = - 3 6 - 1 0 5Дж.
-sr d "
Знак минус означает, что работа совершается против сил поля.
220
10.4.
Маленький шарик, несущий заряд q, кос­
нулся внутренней поверхности полого незаряжен­
ного металлического шара радиусом R. Найдите по­
верхностную плотность электрического заряда боль­
шого шара.
Р е ш е н и е . Так как заряды на проводнике
стремятся удалиться друг от друга, то заряд с ма­
ленького шарика полностью перейдет на большой и
распределится по внешней поверхности большого
шара равномерно. Поэтому поверхностная плотность
Рис. 10.14
ст = ■
4nR2 '
10.5.
Д ва одинаковы х м аленьки х ш арика, им ею щ их заряды
q i = 6 10 -9 Кл и q2 = 4 10 "9 Кл, приведены в соприкосновение и вновь
раздвинуты на 2 см. Найдите силу взаимодействия между ними.
Дано:
<?j = 6 10 "9 Кл
#2 = 4
10 "9 Кл
r = 2 см
Р
^
Р е ш е н и е . Согласно закону сохранения
заряда
q l + q2 = q { + q {,
(1)
где <7 j' и q2' — заряды шариков после соприкосновения.
Так как шарики одинаковые, то q x = q2' = q,
q t + q 2
qx +q2 =
По закону Кулона F = —у - =
2q,
4 = ^
^
^
'
> F ~ $>6 ’М
Н.
10.6.
В однородном электрическом поле с напряженностью Е нахо­
дится положительный заряд q. Найдите напряженность результирующего
поля на расстоянии г от заряда в точках:
а) лежащих на силовой линии однородного поля, проходящей через
заряд;
б) лежащих на прямой, проходящей через заряд, перпендикулярно
силовым линиям.
221
Р е ш е н и е . Заряд создает на­
пряж енность Е' направленную по
радиусу от заряда (рмс. 10.15).
Используя принцип суперпозиции,
получим:
в точке 7 напряженность
Дано:
Е, q, г
Е . — 7 £,
£3- ?
-
4
£, = £ + Eq,
/ 1
по модулю
= Е + Е •
в точке 2 напряженность
г
1—
N
c
,£'
= E - E q;
в точках 3 и 4 напряженность
E3 = E t = J . Е 2 + E l ,
Рис. 10.15
а направление Е3 и Е4 видно из рис.
10.15.
10.7.
Первому шару радиусом г х сообщен заряд q v второму — ра­
диусом г2 сообщен заряд q2- Шары находятся на большом расстоянии
друг от друга. Найдите распределение зарядов, если их соединить тон­
ким проводником.
Дано:
Ч\, Яр
г 1>
Я\
222
Р е ш е н и е . До соединения шары имели заряды
Я\ и Яг и потенциалы (p j и <р2 (Рис■10.16). После
соединения шаров их потенциалы станут одинаковыми. Следовательно:
Яг ~ ?
ф 1 ' = ф2 По закону сохранения заряда
(О
Ч\ + Я2 = Я\ + Я2 Из определения емкость шара
С\ = 47 rs 0 r 1 = q l l <pj;
С 2 = 4 л 8 0 г2 = ^ 2 /ф 2.
Уравнение ( 1 ) при подстановке
С, = <7 j' / cpj' и С 2 = я2 / Ф2 ' примет вид
Я{ / Cj= q2 / С 2 или
(2)
q { I г \ ~ #2' / г 2 ■
Решая уравнения (2) и (3), получим
(3)
10.8.
Пластины А и В, расположен­
ные п ар ал л ел ь н о на р ассто ян и и
8 см друг от друга, имеют потенциалы
= 60 В и (pg = -6 0 В по отношению к
Земле. Между ними поместили парал­
Puc 10 /б
лельную пластину С на расстоянии 2 см от пластины А. Найдите напря­
женность поля между пластинами в первом и во втором случаях. Пост­
роить графики ф(х) и Е(х). Какого знака заряд будет на пластине С?
Дано:
(рА = 60 В
фд “ ~ 60 В
jcj = 8 см
х2 = 2 см
Р е ш е н и е . Между пластинами А и В
находится однородное поле, напряженность
которого
х,
Ех — ? Е2 — ?
Е3 — 1 ф ) — ?
Е(х) - ?
При внесении пластины С напряженность
поля изменится (рис. 10.17, а).
Между пластинами Л и С напряженность
поля Е2 = (ф^ - фс ) / х2, т.к. фс = 0 , пластина заземлена.
Между пластинами С и В напряженность поля
Напряженность поля между пластинами остается постоянной. На пла­
стине С напряженность уменьшается скачком (рис. 10.17, б).
Потенциал в однородном поле меняется с изменением расстояния ли­
нейно.
Так как составляющая напряженнос­
ти Е3 уменьшилась при переходе через
пластину С, то на ней отрицательный за­
ряд (рис. 10.17, в).
10.9.
Шарик массой т с зарядом q сво­
бодно падает в однородном электричес­
кВ/м
ком поле напряженностью Е , направлен­
ной горизонтально. Каково движение ша­
рика? Напишите уравнение траектории.
Начальная скорость шарика v 0 = 0.
Дано:
т, q, Е
v0 = °
-OU
I
№
— ?
Рис. 10.17
Р е ш е н и е . На­
правим ось х гори­
зонтально, а ось у —
в ер ти к ал ь н о вниз
(рис. 10.18). На заря­
женный шарик дей­
ствуют две силы: сила тяжести mg и сила
О
электрического поля q Е .
Запишем второй закон Ньютона для
шарика:
mg + qE = m a.
(1)
В проекциях на оси х, у получим
та. = qE;
У
mg
Рис. 10.18
тау = т&
ах = qE / т = const;
а = g = const.
Следовательно, движение шарика по
осям у, х равноускоренное:
х = qEt2 / (2т) \
(2)
у = gt2 / 2.
(3)
Из уравнений (2) и (3), исключив время, получим уравнение траекто­
рии:
у = xmg / (qE);
(4)
tg a = m g / (qE).
(5)
224
Полное ускорение шарика
а ~ Vа* + a l =
+ g 2 = co n st.
Следовательно, шарик движется равноускоренно по прямой АС.
10.10.
В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью
v = 2 1 0 7 м/с, направленной параллельно обкладкам конденсатора (рис.
10.19). На какое расстояние h от своего первоначального направления
сместится электрон за время пролета конденсатора, если расстояние меж­
ду пластинами d = 2 см, длина конденсатора /= 5 см и разность потенци­
алов м евду пластинами U = 200 В?
Дано:
v = 2 1 0 7 м/с
/ = 5см
d = 2 см
U = 200 В
________
h— ?
Р е ш е н и е . Вдоль оси х электрон движется
равномерно со скоростью v, тогда
/ = v • /.
( 1)
В направлении оси у на электрон действует
сила F.
По второму закону Ньютона
F = та,
(2)
следовательно, вдоль оси у движение рав­
ноускоренное с ускорением а и расстояние
h = at2 / 2 .
(3)
Из уравнений (1) — (3) найдем:
h = FI2 1(2т \2).
(4)
Так как сила F = еЕ, а напряженность поля E = U/ d, то из уравнений
(1) — (4) получим
h = eUl2 1(2mdv2) , h = 5,5 ■10' 3 м.
у
Рис. 10.19
225
10.11. К воздушному конденсатору, заряженному до напряжения
210 В, присоединили параллельно такой же незаряженный конденса­
тор, но с диэлектриком. Какова относительная диэлектрическая прони­
цаемость диэлектрика, если напряжение на конденсаторах оказалось
равным 30 В?
Дано:
f/j = 2 10 В
U2 = 30 В
_________
e— ?
Р е ш е н и е . По закону сохранения заряда
Ч\ = Ч\ +Ч2>
(О
где
~ CjC/j; q j' —C^U2, q2 —C2U2, C 2 —eCj.
Подставив все в уравнение (1), получим
С хи х = С хи 2 + гС хи 2,
где Cj и С2 — электроемкости конденсаторов. От­
сюда
е = (C/j - U2) / U2 = 6 .
10.12. В о сколько раз изменится энергия поля заряженного конденса­
тора, если пространство м еж ду пластинами конденсатора заполнить м ас­
лом?
Рассмотреть случаи: а) конденсатор отключен от источника напряже­
ния, б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного
напряжения.
Дано:
s = 2,5
______________
WXI W 2 — ?
Р е ш е н и е , а) Если конденсатор отключен от
источника, то при всех манипуляциях с конденсатором
Я = const и Wx = q2 1 (2СХ).
После заполнения диэлектриком
W2 = q2 / (2вCj).
Отношение
Wl / W 2 = q22 sC { / ( 2 С ^ 2) = е .
Энергия уменьшилась в s = 2,5 раза. Энергия пошла на поляризацию
диэлектрика и его нагревание.
б)
Если конденсатор присоединен к источнику, то постоянным оста­
ется напряжение между обкладками, U = const:
Wl = С^и2 / 2; W2 = e C jU2 / 2; W2 / W{ = e.
Энергия увеличилась в e =2,5 раза. Энергия пополняется за счет ра­
боты источника тока.
226
Задачи для самостоятельного решения
10.13. Сила тяготения между наэлектризованными шариками массой
по 1 г уравновешена электрической силой отталкивания. Считая заряды
шариков равными, определите их величину.
О т в е т : 0,86 10' 13 Кл.
10.14. Два небольших изолированных шара, расположенных на рас­
стоянии 60 см друг от друга, несут заряды 2,5 10‘8 и 5 10"8 Кл. В какую
точку нужно поместить третий заряд, чтобы он оказался в равновесии?
О т в е т : 0,25 м.
10.15. Определите величину точечного заряда, образующего элект­
рическое поле в вакууме, если на расстоянии 9 см от него напряжен­
ность составляет 4,0 105 В/м. Насколько ближе к заряду будет находить­
ся точка, в которой напряженность окажется прежней, если заряд поме­
стить в среду е = 2 ,0 ?
О т в е т: 3,6 • 10"7 Кл; 2,7 см.
10.16. В двух точках поля точечного заряда потенциал отличается в 5
раз. Во сколько раз в этих точках отличается напряженность поля?
О т в е т: В 25 раз.
10.17. Ш арик имеет массу 10 г и заряд 2 нКл. С каким ускорением он
будет двигаться под действием однородного электрического поля с на­
пряженностью 300 В/см?
О т в е т: 0,6 см/с2.
10.18. В поле точечного заряда 10' 7 Кл две точки расположены на рас­
стоянии 15 и 20 см от заряда. Найдите разность потенциалов этих точек.
О т в е т : 1500 В.
10.19. Ш арики емкостью 6 и 9 пФ наэлектризованы до потенциалов
200 и 800 В соответственно. Найдите суммарный заряд обоих шариков,
считая, что они находятся в воздухе.
О т в е т: 8,4 10"9 Кл.
10.20. Ш ару емкостью 2,2 10'12Ф сообщили заряд 18,3 • Ю' 10 Кл.
Какое количество электричества перейдет на шарик, имеющий радиус
2 мм, если его соединить проводником с большим шаром? Емкостью
соединительного проводника пренебречь.
О т в е т : 1,66 Ю" 10 Кл.
227
Г л а в а
И . ЗА К О Н Ы П О С Т О Я Н Н О ГО ТО К А
§ 81. Электрический ток. Условия возникновения
электрического тока
Электрическим током называют упорядоченное (направленное) дви­
жение заряженных частиц. Ток, образованный зарядами, движущ ими­
ся по проводнику, называют током проводимости.
Носителями тока являются заряженные частицы, способные пере­
мещаться упорядоченно.
В металлах носителями тока являются электроны, слабо связан­
ные с ионами кристаллической решетки металла.
Носителями электрического тока в жидкостях являются положи­
тельные ионы - катионы и отрицательные ионы - анионы, которые
образуются при распаде (диссоциации) молекул растворенного веще­
ства.
Носителями заряда в газах могут быть положительные и отрицатель­
ные ионы и электроны.
Проводимость полупроводников обусловлена электронами и дыр­
ками.
В зависимости от природы носителей заряда в проводнике разли­
чают проводимость электронную (в металлах), ионную (в электроли­
тах), электронно-ионную (в газах), электронно-дырочную (в полу­
проводниках).
За направление тока принимают направление движения положительно
заряженных частиц или направление, противоположное направлению
движения отрицательных частиц.
Для возникновения и существования тока проводимости в веще­
стве необходимо, чтобы в нем имелись заряженные частицы и элект­
рическое поле или другие силы, вызывающие и поддерживающие их
упорядоченное движение.
Чтобы ток в проводнике был постоянным, необходимо на его кон­
цах поддерживать постоянное напряжение, а в проводнике — неизменяю щ ееся электрическое поле. Для этого в цепь должен быть включен
источник ЭДС.
228
§82. Сила тока. Плотность тока
Количественными характеристиками электрического тока являются
сила тока 1 и плотность тока j.
Силой постоянного тока называют скалярную величину, равную от­
ношению заряда Aq, переносимого через поперечное сечение проводни­
ка за интервал времени At, к величине этого интервала времени:
I = Aq / At.
(11.1)
За единицу силы тока в СИ принят ампер (А). Электрический ток,
сила которого с течением времени не изменяется, называется постоян­
ным. Рассмотрим проводник, по которому течет ток.
За промежуток времени At через поперечное сечение S проводника
(рис. 11.1) пройдет число заряженных частиц N, находящихся в объеме,
ограниченном сечениями 1 и 2 :
N = nSvHAt,
где п — концентрация частиц, vH— скорость их направленного движения.
Общий заряд Aq этих частиц
Aq = q0n S\HAt,
где qQ— заряд частицы.
Тогда сила тока
I = Aq / At = qQnSvH.
(11.2)
Итак, сила тока зависит от за­
ряда, переносимого каждой час­
тицей, концентрации частиц, скорости их направленного движения и пло­
щади поперечного сечения проводника.
Плотность тока — это векторная физическая величина, совпадаю­
щая с направлением тока, равная отношению силы тока к площади попе­
речного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока:
Рис. 11.1
j = I l 0/ S ,
где /о — единичный вектор, совпадающий с направлением тока.
В СИ за единицу плотности тока принят ампер на квадратный метр
( А / м2).
Приняв во внимание уравнение (11.2), для плотности тока получим
j = q0nvH.
(11-3)
229
Вектор плотности тока по направлению совпадает с направлением
движения положительно заряженных частиц:
(11.4)
j = q 0n v H.
Для отрицательно заряженных частиц вектор плотности тока проти­
воположен их скорости, но формула (11.4) сохраняется, т.к. заряд час­
тицы отрицательный (д0 < 0 ).
§83. Закон Ома для участка цепи.
Сопротивление проводников
J
Зависимость силы тока в провод^
...г т ^
Ъ
-0
0нйке от напряжения (рис. 11.2) запи­
R
сывают в виде уравнения
1 = U / R,
(11.5)
которое выражает закон Ома для уча­
стка цепи: сила тока в проводнике
р
ц j
прямо пропорциональна приложен­
ному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению про­
водника. Сопротивление R измеряется в омах.
Сопротивление 1 Ом имеет такой проводник, в котором при напряже­
нии 1 В течет ток силой 1 A: [R] = 1 В / А = 1 Ом.
Сопротивление металлического проводника зависит от его размеров
и материала, из которого он изготовлен:
R = pl / S ,
(11.6)
где I — д ли н а проводника; S — площ адь поперечного сечения;
р — удельное сопротивление.
Из уравнения (11.6) имеем
р =RS/L
Удельное сопротивление — это физическая величина, равная сопро­
тивлению проводника, изготовленного из данного материала, имеюще­
го единичную длину и единичную площадь поперечного сечения.
Единицей удельного сопротивления в СИ является ом-метр (Ом м).
§84. Последовательное и параллельное соединение проводников
Проводники, образующие электрическую цепь, могут быть соедине­
ны между собой различными способами.
230
При последовательном соедине­
нии проводники включают в цепь
поочередно друг за другом. На рис.
11.3 показано последовательное
соединение двух проводников, име­
ющих сопротивления Rx и R2- Ам­
перметры А ] и А2 показывают, что
сила тока во всех участках после­
довательно соединенной цепи оди­
накова, т.е. /j = / 2 = /.
Рис. 11.3
Вольтметры Vy и V2 измеряют
напряжение Ux и U2 на каждом уча­
стке цепи. Полное напряжение U в цепи (показание вольтметра V) равно
сумме напряжений на первом и втором проводниках:
и = и х + и 2.
(11.7)
Применим закон Ома (11.5) для каждого участка и для всей цепи:
U = IR,
(11.8)
где R — сопротивление всей цепи.
(11.9)
UX=1RX,
( 11 . 10 )
u 2 = i r 2.
Подставив выражения (11.8), (11.9), (11.10) в уравнение (11.7), по­
лучим
R = R x+ R 2.
(11.11)
Если последовательно соединены п проводников, выражение (11.11)
примет вид
*=ii=lx
( 11.12)
Сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных
проводников, равно сумме сопротивлений этих проводников.
Разделив почленно уравнение (11.9) на (11.10), получим
U x/ U 2 = R x/ R 2,
(11.13)
т.е. напряжения на отдельных участках последовательно соединенной цепи
пропорциональны сопротивлениям этих участков.
На рис. 11.4 изображено параллельное соединение двух проводни­
ков, имеющих сопротивления Rх и R2. Опытами установлено, что напря231
Рис. 11.4
жения C/j и U2 на проводниках
и R2 и общее напряжение U в цепи
одинаковы, т.е.
и 1 = и 2 = U.
Общий ток / в цепи, определенный с помощью амперметра А, равен
сумме токов /] и / 2 в проводниках R { и R2, т.е.
/ = / , + / 2.
(11-14)
Каждая ветвь цепи является однородным проводником, поэтому со­
гласно закону Ома
/, =
(11.15)
I2 = U / R 2,
(11.16)
1 = U / R,
(11.17)
где R — полное сопротивление цепи.
Разделив почленно выражение (11.15) на (11.16), получим /, / / 2 =
= R2 / R v т.е. сила токов в ветвях параллельно соединенной цепи обрат­
но пропорциональна сопротивлениям ветвей. Подставив выражения
(11.15) - (11.17) в (11.14), получим
\ I R = \ I R x+ \ I R 2.
(11.18)
Если параллельно соединены п проводников, формула (11.18) при­
нимает вид
1/Д = £ ( 1 / Д ,) .
(11.19)
/=1
Величина, обратная сопротивлению цепи, состоящей из параллельно
соединенных проводников, равна сумме величин, обратных сопротив­
лениям этих проводников.
232
§85. Работа и мощность постоянного тока.
Закон Джоуля-Ленца
При упорядоченном движении заряженных частиц в проводнике силы
электростатического поля, действующие на заряды, совершают работу.
Эту работу называют работой тока.
Пусть за промежуток времени At через поперечное сечение однород­
ного проводника проходит заряд Aq. Электрическое поле между точка­
ми проводника с напряжением U совершает работу А = AqU. Так как
сила тока / = Aq / At, то
А = IUA1.
(11.20)
Работа тока на участке цепи равна произведению силы тока, напря­
жения и времени, в течение которого совершалась работа. Работу тока
выражают в джоулях:
[А] = 1А В с = 1Дж.
С помощью закона Ома (11.5) для участка цепи и формулы (11.20)
можно получить эквивалентные уравнения для работы тока:
А = IUAt = I 2RAt =U 2At / R.
(П-21)
Мощность Р постоянного тока — это физическая величина, равная
отношению работы, совершаемой током за время At, к этому интервалу
времени:
Р =А / Ал
(11.22)
Подставив формулу (11.20) в (11.22), получим
P = IU.
(11.23)
Мощность тока выражают в ваттах:
[Р] = 1Дж / с = 1А В = 1Вт.
Используя уравнение (11.21), получим для мощности
P = I 2R = U 2 /R.
(11-24)
На практике для измерения работы и энергии электрического тока
используют внесистемную единицу — киловатт-час (кВт • ч):
1 кВт • ч — это работа, совершаемая электродвигателем мощностью
1 кВт в течение 1 ч.
1кВт • ч = 3,6 • 106Дж.
Если на участке цепи совершается механическая работа или ток вы­
зывает химические реакции, то работа электрического тока приводит к
нагреванию проводника.
233
Закон, определяющий количество теплоты, которое выделяется про­
водником в окружающую среду, был экспериментально установлен ан­
глийским ученым Джоулем и русским ученым Ленцем.
Закон Джоуля-Ленца формулируется следующим образом: количе­
ство теплоты, выделяемое проводником с током, равно произведению
квадрата силы тока, сопротивления проводника и времени прохождения
тока по проводнику:
Q = I 2RAt.
(11.25)
Количество теплоты, выделяемое в проводнике, может быть рассчи­
тано по любому выражению уравнения (11.21).
§86. Электродвижущая сила (ЭДС). Источники ЭДС.
Закон Ома для замкнутой цепи
При рассмотрении условий существования тока была отмечена необ­
ходимость источника — устройства, в котором на заряды, кроме элек­
трических сил, действуют силы неэлектростатического происхождения.
Любые силы, действующие на электрически заряженные частицы, за
исключением сил электростатического происхождения, называют сто­
ронними силами.
Природа сторонних сил может быть различна. В источнике ЭДС про­
исходит непрерывное превращение энергии неэлектрического происхож­
дения в электрическую: в электрогенераторе — механической, в акку­
муляторе — химической, в термобатарее — тепловой, в фотоэлементе
— световой.
За счет таких превращений в источнике ЭДС происходит разделение
разноименных зарядов, в результате которого на клеммах источника на­
капливаются заряды противоположных знаков и устанавливается посто­
янная разность потенциалов.
При подключении нагрузки к источнику ЭДС электрическое поле
разделенных зарядов совершает работу по перемещению заряда q во
внешней цепи. Затраты энергии электрического поля во внешней цепи
восполняются за счет работы сторонних сил по разделению электри­
ческих зарядов. Таким образом, полная работа в замкнутой цепи со­
вершается за счет энергии сторонних сил, действующих внутри источ­
ника ЭДС.
234
Физическая величина, равная отноше­
нию работы Лст, совершаемой сторонни­
ми силами при перемещении заряда q
a
вдоль цепи, к значению этого заряда, на­
зывается электродвижущей силой (ЭДС)
источника:
I
R
(11.26)
Электродвижущую силу выражают в
б
вольтах.
Простейшая электрическая цепь состо­
Рис. 11.5
ит из источника с ЭДС $ и внутренним
сопротивлением г, внешней нагрузки R
(рис. 11.5, б). Точку внешней цепи с наибольшим потенциалом называ­
ют положительным полюсом, а точку с наименьшим потенциалом —
отрицательным полюсом. При замыкании цепи по внешнему ее участку
положительные заряды будут двигаться от положительного полюса ис­
точника к отрицательному. Напряжением U2.\ (рис. 11.5, а) на участке
цепи 1-2 называется физическая величина, равная работе кулоновских и
сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда из
точки 1 в точку 2: U2_x = (ф] - Ф2 ) + £• Напряжение измеряется в воль­
тах. Если никаких изменений во внешней цепи, кроме ее нагревания,
не происходит (проводники не движутся, химически не изменяю тся и
т.д.), то энерги я движ ущ ихся зарядов расходуется только на н а­
гревание. П ричем нагреваю тся не только подклю ченные к источ­
нику проводники, но и сам источник.
По закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющейся на внеш­
нем и внутреннем участках цепи, равно:
(11.27)
Q = I 2RAt + I 2rAt.
По закону сохранения энергии эти потери энергии компенсируются
работой сторонних сил: А = $ q .
Согласно определению силы тока (11.1) q = IAt, тогда
А = 8 1 At.
Приравнивая уравнения (11.27) и (11.28), получим
(11.28)
8 = IR + Ir,
(11.29)
/ = g / (R + r).
(11.30)
откуда
235
Сила тока в замкнутой цепи равна отношению электродвижущей силы
источника к ее полному сопротивлению. Полученное выражение (11.30)
представляет собой закон Ома для замкнутой цепи.
Произведение силы тока в участке цепи на его сопротивление назы­
вают падением напряжения на этом участке: U= IR.
Из выражения (11.29) следует, что ЭДС источника равна сумме па­
дений напряжений на внешнем и внутреннем участках замкнутой цепи и
остается постоянной.
Падение напряжения во внешней части цепи равно напряжению на
полюсах источника:
U=IR.
(11.31)
Из уравнения (11.29) и (11.31) получим
U= $ - 1г,
(11.32)
откуда видно, что так как £ = const, то с ростом тока I напряжение U на
полюсах источника уменьшается.
Подставив выражение (11.30) в (11.32), получим
£ /= £ (1 -г /(Л + г )).
(11.33)
Рассмотрим предельные случаи работы в замкнутой цепи:
1. Цепь разомкнута, т.е. R -> <ю, следовательно, I = 0. Из формулы
(11.32) видно, чтоU =£ , т.е. напряжение на полюсах источника при
разомкнутой цепи равно ЭДС источника. На этом основан метод Изме­
рения ЭДС источника.
2. Короткое замыкание — полюса источника замкнуты между собой,
т.е. R -> 0 . Из выражения (11.30) и (11.33) видно, что в таком случае
U = 0, а сила тока достигает значения
/ к.3 = 0 / # :
(11.34)
Такой ток называют током короткого замыкания. Короткое замыка­
ние — явление вредное и опасное. При коротком замыкании происходит
ненужный расход электрической энергии, перегрев проводов, выход
источника из строя.
КПД источника ЭДС
Коэффициент полезного действия источника ЭДС определяется при
включении его в электрическую цепь по формуле
где Рв - полезная мощность на внешнем сопротивлении R; Рп - полная
мощность источника; г - внутреннее сопротивление источника.
§ 87. Соединение источников ЭДС в батарею
Различают последовательное и параллельное соединения источников.
При последовательном соединении источников тока (рис. 11.6, а) ЭДС
батареи равна сумме ЭДС отдельных ис­
г2
г3
+ 1. - +
точников, составляющих батарею:
'|—
я
£ = £, + £ , + ...+
(П.36)
1=1
-0
0
-
где п - число источников.
Внутреннее сопротивление батареи
равно сумме внутренних сопротивлений
отдельных источников:
гб = г 1 + г 2 +
rn = S r ,
(=1
(11.37)
При параллельном соединении источни­
ков (рис. 11.6, б), если соединяемые эле­
менты имеют одинаковые ЭДС, то такая же
Рис. 11.6
ЭДС будет у всей батареи, т.е.
=
= % = . . . = £„.
(11.38)
Если элементы имеют разные ЭДС, то ЭДС батареи определяется по
правилам Кирхгофа.
Внутреннее сопротивление батареи находится по формуле
— = -+ —+
+—
(11.39)
§88. Правила Кирхгофа.
Расчет разветвленной электрической цепи
Узлам электрической цепи называется точка, в которой сходятся три и более
проводника. В цепи, изображенной на рис. 11.7, имеются два узла: А и В.
Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящих­
ся в узле, равна нулю:
237
/
в
+
+
£2
\-L [
*
£/,=<>.
( 1L4°)
Токи, притекающие к узлу, счита­
ют положительными, а оттекающие от
узла - отрицательными. По правилу
К ирхгоф а мож но написать (£-1)
уравнений, где к - число узлов цепи.
Произвольно выбирается и обознача­
ется на схеме стрелками направление
токов во всех участках цепи (учас­
ток - это часть цепи между соседни­
ми узлами).
Для узла А первое правило Кирх­
h
/>нс. 11.7
гофа запишется в виде
(11.41)
/, + / 2 - 7 = 0 .
Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электри­
ческой иепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивле­
ния соответствующих участков контура равна алгебраической сумме
ЭДС, действующих в данном контуре:
т
п
(11.42)
где т - число участков, а п - количество источников ЭДС в контуре.
Число уравнений, записываемых по первому и второму правилам
Кирхгофа, должно быть равно числу токов, текущих в разветвленной
цепи.
При применении второго правила Кирхгофа необходимо выполнить
следующее:
1) произвольно выбрать и обозначить на схеме направление обхода
контура;
2) выделить замкнутые контуры таким образом, чтобы каждый новый
контур имел не менее одного участка цепи, не входящего в уже рас­
смотренные контуры;
3) если направление обхода контура совпадает с направлением тока
/ ;, то произведение I-R. в уравнении (11.42) запишется со знаком плюс,
и наоборот;
238
4)
если направление тока от источника (ток течет по цепи от положи­
тельного полюса к отрицательному) совпадает с направлением обхода
контура, то соответствующая ЭДС в уравнении (11.42) берется со зна­
ком плюс, и наоборот.
В цепи, изображенной на рис. 11.7, три замкнутых контура. Приме­
ним для двух из них второе правило Кирхгофа (обход контура выбираем
по ходу часовой стрелки):
Irx + I XR X= - 0 lt
(11.43)
/г, + / 2(Л2 + r2) = - £2(11.44)
Допустим, что по условию задачи известны внутренние сопротивле­
ния источников г, и г2, сопротивления нагрузки Д, и R2 и величины ЭДС
(S) и £2 , тогда, решая уравнения (11.41), (11.43) и (11.44), можно опре­
делить токи на участках цепи: I, /,, / 2. Если при решении сила тока полу­
чилась со знаком минус, то истинное направление тока противоположно
выбранному.
§89. Электронная проводимость металлов. Зависимость
сопротивления металлических проводников от температуры
В начале XX века была создана классическая электронная теория
проводимости металлов. Согласно этой теории носителями тока в метал­
лах являются свободные электроны, т.е. электроны, слабо связанные с
ионами кристаллической решетки металла. Эти электроны между собой
не взаимодействуют, а при своем движении сталкиваются с ионами ре­
шетки, т.е. электроны проводимости ведут себя подобно одноатомному
идеальному газу.
В отсутствие внешнего электрического поля электроны проводимос­
ти совершают хаотическое тепловое движение со средней квадратичной
скоростью, зависящей от температуры металла. Когда к металлу прило­
жено внешнее электрическое поле, то на хаотическое движение электро­
нов накладывается их направленное движение, так называемый дрейф
электронов, со средней скоростью, пропорциональной модулю напря­
женности этого поля. В процессе дрейфа электроны сталкиваются с ионами
кристаллической решетки, обусловливая тем самым сопротивление про­
водника электрическому току.
При повышении температуры возрастает скорость хаотического теп­
лового движения свободных электронов, увеличивается амплитуда
239
тепловых колебаний положительных ионов в узлах кристаллической ре­
шетки. Это приводит к более частым столкновениям электронов с ре­
шеткой и к уменьшению скорости дрейфа электронов.Чем меньше ско­
рость дрейфа, тем меньший заряд переносится через поперечное сечение
проводника, тем, согласно уравнению (11.2), меньше сила тока в про­
воднике. А это, согласно закону Ома для участка цепи (11.5), свиде­
тельствует об увеличении сопротивления проводника.
Пусть при 0° С сопротивление проводника R0, а при температуре
t — R. Опытом установлено, что относительное изменение сопротивле­
ния прямо пропорционально изменению температуры A t:
( R - R 0) / R 0 = aAt,
(11.45)
где а — температурный коэффициент сопротивления, характеризующий
зависимость сопротивления вещества от температуры и численно рав­
ный относительному изменению сопротивления проводника при нагре­
вании на 1 К.
Из формулы (11.45) видно, что размерность [а] = К '1.
Для химически чистых металлов а а 1/273 К"1. Существуют сплавы,
у которых температурный коэффициент сопротивления настолько мал,
что их сопротивление практически не зависит от температуры. Эти спла­
вы используют для создания эталонных сопротивлений, шунтов и доба­
вочных сопротивлений к измерительным приборам.
Используя уравнения (11.6) и (11.45), получим формулу, выражаю­
щую зависимость удельного сопротивления от температуры:
р - р 0( 1 + а /) .
(11.46)
Для чистых металлов при не слишком низких и не слишком высоких
температурах а практически не зависит от температуры и температурная
зависимость удельного сопротивления является линейной.
У большой группы металлов и сплавов при температурах, близких к
абсолютному нулю, сопротивление скачком обращается в нуль {рис. 11.8).
Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, было обнаружено
в 1911 году голландским физиком Камерлинг-Оннесом в ртути.
Прохождение тока в сверхпроводнике происходит без потерь энер­
гии. Для каждого сверхпроводника имеется своя критическая темпера­
тура Т , при которой он переходит в сверхпроводящее состояние. Для
ртути т
кр= 4 К.
В настоящее время достигнуты значительные успехи в получении
высокотемпературной сверхпроводимости.
240
На базе металлокерамики получены Р1
вещества, для которых температура пере­
хода в сверхпроводящ ее состояние Гкр
превышает температуру сжижения азота
(77 К).
Проводятся исследования по созданию
мощных генераторов электрического тока
с и сп о л ь зо в а н и е м я в л ен и я с в е р х ­
проводимости, передаче электрической энергии на расстояние и т.д.
§90. Э л ек т р и ч ес к и й т о к в р а ст в о р а х и р а сп л а в а х эл ек т р о л и т о в .
З а к о н эл ек т р о л и за
К электролитам относят вещества,- обладающие ионной проводимо­
стью, — это растворы солей, кислот, щелочей, а также расплавы солей.
Ионная проводимость электролитов обусловлена электролитической дис­
социацией, т.е. распадом на ионы молекул растворяемого вещ ества под
действием растворителя. Образующиеся при диссоциации молекул ионы
имеют одинаковые по модулю и противоположные по знаку заряды. Внеш­
нее электрическое поле вызывает упорядоченное движение ионов в элек­
тролите:
— положительные ионы (ионы водорода и металлов) движутся к от­
рицательному электроду — катоду и называются катионами',
— отрицательные ионы (кислотные остатки, гидроксильные группы)
движутся к положительному электроду — аноду и называются аниона­
ми. Это движение представляет собой ток в электролитах, который со­
провождается переносом вещества и выделением его на электродах.
Процесс выделения на электродах составных частей химических со­
единений, находящихся в электролите, называется электролизом.
Масса выделившегося на электроде вещества равна произведению мас­
сы одного иона mQi на число ионов Njt достигших электрода за время At:
m = m0 j N i,
(11.47)
но /я0( = ц / Na , где ц — молярная масса вещества, NA — постоянная
Авогадро.
Число ионов Nt = q / q0j, где q — заряд, протекающий через электро­
лит за время At; q0j — заряд иона, который определяется валентностью п
атома: q0i = пе, где е — элементарный заряд.
241
Подставим в формулу (11.47) все эти выражения и получим закон
Фарадея для электролиза:
т = \щ / (NA n е) = kq,
(11.48)
где к = р. / (Npfie) называется электрохимическим эквивалентом веще­
ства, который измеряется в кг/Кл.
Для постоянного тока q = IAt, и тогда уравнение (11.48) запишется в
виде
т = klAt.
(11.49)
Следовательно, масса вещества, выделившегося на электроде за вре­
мя At при прохождении электрического тока через электролит, пропор­
циональна силе тока и времени.
Закон Фарадея можно представить в виде
1А
т- — q,
F
п
где F = 9,65 • 104 Кл/моль — постоянная Фарадея, А — атомная масса.
Электролиз ш ироко прим еняется в технике для очистки металлов от
примесей; для покрытия деталей антикоррозийным слоем (хромирова­
ние, никелирование); при изготовлении типографских клише, копий пред­
метов и т.д.
§9 1 . Э л е к т р и ч е с к и й т о к в газах.
С а м о с т о я т е л ь н ы й и н е с а м о с т о я т е л ь н ы й р а зр я д ы
В обычных условиях газы являются хорошими изоляторами, т.к. ато­
мы и молекулы, из которых они состоят, электрически нейтральны.
Чтобы газ стал проводящ им , нужно воздействием н а него извне
добиться образования в нем подвижных заряж енных частиц, т е .и о н и ­
зировать его .К ионизации газа могут привести его нагревание, воз­
действие излучений: ультрафиолетового, рентгеновского, радиоактив­
ного.
При ионизации часть атомов газа распадается на положительно заря­
женные ионы и электроны. При этом в газе могут образоваться и отрица­
тельные ионы вследствие захвата нейтральным атомом свободного элек­
трона. После этого газ становится проводящим, но в отличие от электро­
литов проводимость газов носит ионно-электронный характер, а главное
— в нем происходит явление, аналогичное электролитической диссоци­
ации молекул.
242
Наряду с процессом ионизации в газе протекает процесс рекомбина­
ции — воссоединение ионов в нейтральные атомы или молекулы. Если
внешний ионизатор не будет действовать, проводимость газа уменьшит­
ся и газ перестанет быть проводником.
При неизменной мощности ионизатора между процессом ионизации
и рекомбинации устанавливается динамическое равновесие, при кото­
ром число вновь образующих пар заряженных частиц равно в среднем
числу пар ионов, исчезающих вследствие рекомбинации.
Электрический ток в газах называется газовым разрядом.
Электропроводность газов, возникающая под действием внешнего
ионизатора, называется несамостоятельным газовым разрядом.
Предположим, что на воздушный промежуток между обкладками
конденсатора воздействует ультрафиолетовое излучение. Если плавно
увеличивать напряжение между обкладками конденсатора, то сила тока
будет увеличиваться до некоторого значения / н, называемого током на­
сыщения (рис. 11.9). Возрастание силы тока объясняется тем, что при
увеличении напряжения возрастает количество ионов и электронов, дви­
жущихся к обкладкам.
При напряжении UH, при котором все образовавшиеся в зазоре заря­
ды достигают обкладок конденсатора, ток максимален при данной ин­
тенсивности ионизации (ток насыщения). Увеличение напряжения (до
значения U3) не вызывает увеличения тока.
Если источник ионизации перестает действовать, электрический ток
через газ прекращается. Описанный процесс — несамостоятельный га­
зовый разряд.
Если после достижения тока насыщения продолжать увеличивать на­
пряжение (выше t/3), то сила тока резко возрастет. Такой разряд может
продолжаться без внешнего иониза­
тора. При этом ионы, необходимые
для поддержания электропроводно­
сти газа, создаются самим разрядом.
Газовый разряд, который продол­
жается после прекращения действия
внешнего ионизатора, называют са­
мостоятельным газовым разрядом.
UH
U3
U
Напряжение U3, при котором возр цс ц g
никает самостоятельный разряд, на­
243
зывают напряжением зажигания газового разряда или напряжением про­
боя. Причиной резкого увеличения тока является возрастание числа заря­
женных частиц в газе за счет ионизации молекул газа при столкновении
их с электронами, разогнанными электрическим полем до больших ско­
ростей. При этом кинетическая энергия электронов оказывается достаточ­
ной для того, чтобы они могли совершить работу по отрыву электронов от
нейтральных атомов или молекул, т.е. работу ионизации. Произойдет иони­
зация электронным ударом, в результате которой возникает лавина элект­
ронов и ионов. Необходимость во внешнем ионизаторе для поддержания
самостоятельного разряда отпадает. Однако только ионизация электрон­
ным ударом не может обеспечить длительный самостоятельный разряд.
Необходимо, чтобы в газе протекал процесс воспроизведения электронов
взамен тех, что ушли на анод. Эти электроны испускаются катодом при
бомбардировке его положительными ионами, движущимися к катоду под
действием электрического поля и вследствие фотоэффекта.
§92. Понятие о плазме
Под плазмой понимают сильно ионизированный газ, в котором кон­
центрация электронов и отрицательных ионов равна концентрации поло­
жительных ионов. Плазма в целом является электрически нейтральной
системой.
Ионизация газа и образование плазмы могут быть вызваны нагрева­
нием газа, а также различными излучениями или бомбардировкой ато­
мов газа быстрыми заряженными частицами. В зависимости от условий
степень ионизации плазмы может быть различной. Чем выше температу­
ра газа, тем больше ионов и электронов в плазме, тем меньше остается в
ней нейтральных молекул. В зависимости от степени ионизации газа раз­
личают частично и полностью ионизированную плазму. Плазма рассмат­
ривается как четвертое состояние вещества, т.к. имеет ряд отличи­
тельных свойств.
Плазма обладает хорошей теплопроводностью. Поскольку электроны
и ионы плазмы могут перемещаться под действием электрического поля,
то по характеру электропроводности плазма приближается к металлам.
В отличие от металлов проводимость плазмы растет с увеличением тем­
пературы. При высокой температуре сопротивление плазмы становится
исчезающе малым.
244
Световое излучение плазмы широко используется в лампах дневного
света, газоразрядных лампах уличного освещения. Высокая температу­
ра плазмы позволяет использовать ее для резки, сварки и плавки метал­
лов. Газоразрядную плазму используют в квантовых источниках света
(лазерах).
§93. Электрический ток в вакууме. Электронная эмиссия.
Электронно-лучевая трубка
Под вакуумом подразумевают такую степень разрежения газа в сосу­
де, при которой молекулы газа успевают пролететь от одной стенки со­
суда к другой, не сталкиваясь друг'с другом.
Чтобы в вакуумной трубке, имеющей два электрода — катод и анод
— протекал электрический ток, необходим источник заряженных час­
тиц. Действие такого источника основано на свойстве тел, нагретых до
высокой температуры, испускать электроны. Этот процесс называется
термоэлектронной эмиссией.
При повышении температуры металла увеличивается кинетическая
энергия электронов и часть электронов получает возможность выйти за
пределы металла. Получить в вакууме свободные электроны можно и
другими способами, например освещением катодов, изготовленных из
щелочных металлов. Это так называемая фотоэлектронная эмиссия.
Наконец, с поверхности металла испускаются электроны, когда на
нее попадают быстрые заряженные частицы (электроны, ионы и др.).
Это вторичная электронная эмиссия.
Все виды эмиссии широко используются для получения электричес­
кого тока в вакууме.
Посмотрим, как, используя термо­
электронную эмиссию, можно получить
ток в вакууме. На рис. 11.10 изображен
стеклянный баллон с впаянными в него
электродами. Один из них в виде метал­
лической (вольфрамовой) нити К может
накаливаться электрическим током от
батареи Б, другой электрод — это ме­
таллическая пластина А.
Присоединим нить к отрицательному
полюсу, а пластину А — к положитель^ и ю
ному полюсу источника напряжения В.
245
Нить К будет служить катодом, а пластина А — анодом. Включенный в
цепь гальванометр покажет наличие тока, когда катод К накален. При
изменении полярности источника В (нить К станет анодом, а пластина А
— катодом) тока в цепи не будет. Отсутствие тока объясняется тем, что
электроны, вылетевшие из накаленной нити, которая теперь служит ано­
дом, возвращаются обратно.
Двухэлектродная электронная лампа, изображенная на рис. 11.10,
обладает односторонней проводимостью и получила название вакуум­
ный диод. Она используется для выпрямления переменного тока.
В отличие от тока в металлическом проводнике, в вакууме электроны
движутся между электродами, не сталкиваясь ни с какими другими ча­
стицами. Поэтому под действием электрического поля в электровакуум­
ных приборах электроны на пути от катода к аноду движутся ускоренно
и приобретают большую кинетическую энергию.
Если в пластине А, служащей анодом, сделать отверстие, то часть
электронов, ускоренных электрическим полем, пролетит в отверстие,
образуя за анодом электронный пучок.
Электронно-лучевая трубка — это специальный электровакуумный
прибор, в котором образуются электронные пучки.
На рис. 11.11 изображена схема устройства электронно-лучевой труб­
ки. В стеклянном баллоне 1, из которого откачан воздух до глубокого
вакуума, в узкой его части находится устройство, создающее электрон­
ный пучок и называемое «электронной пушкой». Она состоит из нити
накала (катод) 2, электрода 3, выполненного в виде цилиндра с отвер­
стием в торце, который управляет интенсивностью электронного пучка,
и цилиндрического анода 4.
Когда нить накалена и между катодом и анодом приложено высокое
напряжение, электроны, испускаемые нитью, пролетают через анод, об­
разуя узкий электронный пучок 7. Этот пучок попадает на экран 8, по­
крытый люминофором. На экране возникает светящаяся точка. Управ­
лять движением электронного луча можно с помощью дополнительного
электрического поля, создаваемого отклоняющими пластинами 5,6. Поле
одной пары пластин отклоняет луч в горизонтальном направлении, поле
второй пары -— в вертикальном.
Электронно-лучевая трубка используется для наблюдения за быстропротекающими процессами в электрических цепях и является основной
частью электронного осциллографа. Управлять электронным пучком
можно и с помощью магнитных полей, создаваемых катушками. Такое
управление лучом используется в телевизионных трубках (кинескопах).
§94. Полупроводники. Электропроводность полупроводников
и ее зависимость от температуры
К полупроводникам относят вещества, которые по своему удельному
сопротивлению занимают промежуточное положение между проводни­
ками и диэлектриками.
Большинство полупроводников — это твердые кристаллические ве­
щества. Ярко выраженными полупроводниками являются кремний и гер­
маний.
Экспериментально установлено, что прохождение электрического тока
по полупроводникам не сопровождается переносом вещества. Это оз­
начает, что носителями тока в полупроводниках, как и в металлах, явля­
ются электроны.
В чем причина различия свойств полупроводников и металлов?
В металлах носителями тока являются электроны проводимости. Их
концентрация очень велика и практически постоянна, т.е. не может за­
метно изменяться под воздействием температуры, света и других факто­
ров.
Электроны проводимости, подобно молекулам в обычном газе, сво­
бодно перемещаются по всему проводнику. Именно этим объясняется
высокая проводимость металлов.
В полупроводниках концентрация электронов проводимости при ком­
натной температуре незначительна — она в миллиарды раз меньше, чем
247
у металлов. Поэтому удельное сопро­
тивление полупроводников при низкой
тем п ературе велико, оно близко к
удельному сопротивлению диэлектри­
ков.
При нагревании полупроводников
количество подвижных носителей за­
т
рядов в них быстро возрастает, удель­
ное сопротивление значительно умень­
Рис. 11.12
шается. На рис. 11.12 изображен гра­
фик зависимости удельного сопротивления полупроводников от темпе­
ратуры. Из графика видно, что при температуре, близкой к абсолютному
нулю, полупроводник ведет себя как диэлектрик. Температурный коэф­
фициент сопротивления полупроводников, в отличие от металлов, отри­
цательный.
Высокая чувствительность сопротивления полупроводников к изме­
нению температуры используется в термисторах — устройствах для из­
мерения температуры.
Сопротивление некоторых полупроводников уменьшается также под
действием освещения. Это явление получило название фотопроводи­
мости. Из таких полупроводников делают фоторезисторы, которые при­
меняются для управления током в цепи при изменении освещения. Кро­
ме того, электропроводность полупроводников изменяется под влияни­
ем примесей.
Р
§95. Собственная и примесная проводимость полупроводников
Электропроводность чистых (т.е. без примесей) полупроводников
называется собственной.
Рассмотрим механизм электрической проводимости на примере та­
ких полупроводников, как германий или кремний.
Межатомные связи в любых кристаллах, в том числе и в полупро­
водниковых, осуществляются с помощью валентных электронов, нахо­
дящихся во внешней электронной оболочке атома.
Германий и кремний являются четырехвалентными элементами, т.е.
их внешняя оболочка состоит из четырех электронов. При образовании
кристаллов атомы настолько сближаются, что их внешние электронные
248
оболочки перекрывают друг дру­
га. Взаимодействие электронных
оболочек приводит к тому, что ва­
лентные электроны соседних ато­
мов становятся общими. Эти об­
щие электроны и связывают меж­
ду собой атомы германия или крем­
ния, образуя ковалентные или пар­
ноэлектронные связи {рис. 11.13).
При температурах, близких к аб­
солютному нулю, все валентные
электроны в полупроводнике свя­
заны и свободных заряженных ча­
стиц (т.е. электронов проводимос­
ти) в кристалле нет. Если поместить такой кристалл в электрическое поле,
электрический ток в нем не возникнет. При очень низких температурах
чистые полупроводники являются диэлектриками.
При нагревании или облучении чистого полупроводника кинетичес­
кая энергия валентных электронов увеличивается и некоторые из парно­
электронных связей разрываются. В результате этого в полупроводнике
появляются свободные электроны. Если валентный электрон становится
свободным, то атом, которому он ранее принадлежал, превращается в
положительный ион с зарядом, равным по абсолютному значению заря­
ду электрона.
Вакантные места, появляющиеся в валентных связях после освобож­
дения электронов, называются дырками. Так как в чистом полупровод­
нике дырка появляется одновременно с образованием свободного элек­
трона, то число дырок в нем всегда равно числу свободных электронов.
В отсутствие внешнего электрического поля дырки и свободные элек­
троны движутся в кристалле полупроводника хаотически. При наложе­
нии на полупроводник внешнего электрического поля свободные элект­
роны и дырки в нем начинают двигаться упорядоченно: электроны про­
тив направления внешнего поля, дырки — по направлению этого поля,
что и создает электрический ток.
При повышении температуры (или при облучении) число разорван­
ных связей в полупроводнике (а следовательно, число свободных элек­
249
тронов и дырок) увеличивается. Это приводит к уменьшению удельного
сопротивления полупроводников. Удельное сопротивление полупровод­
ника может резко уменьшиться при введении в него незначительного
количества примеси. Таким образом, собственная проводимость полу­
проводников является электронно-дырочной проводимостью.
При наличии в полупроводнике примесей в нем, наряду с собственной
проводимостью, возникает дополнительная — примесная проводимость.
Изменяя концентрацию примеси, можно значительно изменять число
носителей заряда того или иного знака. Примеси могут служить допол­
нительными поставщиками электронов в кристаллы полупроводника.
Например, в решетке полупроводника один атом германия, имеющий
четыре валентных электрона, заменён атомом примеси, который имеет
пять валентных электронов (мышьяк, сурьма).
Четыре валентных электрона примесного атома будут участвовать в
образовании парноэлектронных связей с соседними атомами германия,
а пятый электрон оказывается лишним. Этот электрон очень слабо свя­
зан со своим атомом, легко может его покинуть и стать свободным
электроном. Кристалл полупроводника в этом случае приобретает сво­
бодные электроны в основном от атома примеси.
Примеси, отдающие электроны, называются донорными. В полупро­
воднике с донорйой примесью основнымЦ носителями тока являются
электроны. Под действием электрического поля эти электроны приходят
в упорядоченное движение и в полупроводнике возникает электронная
примесная проводимость. Полупроводники с такой проводимостью на­
зываются электронными или полупроводниками п-типа.
Если в качестве примеси взять трехвалентный химический элемент (ин­
дий, бор, алюминий), то трехвалентный атом примеси своими электрона­
ми может заполнить лишь три валентные связи с соседними атомами. Воз­
никает недостаток одного электрона для образования всех парноэлектрон­
ных связей в решетке четырехвалентного германия. Незаполненная ва­
лентная связь будет дыркой. Сюда может перейти валентный электрон от
соседнего основного атома. При этом трехвалентный атом станет отрица­
тельным ионом, а у соседнего атома, потерявшего электрон, возникнет
положительная дырка, которая, в свою очередь, может быть заполнена
электроном от следующего соседнего атома решетки и т.д.
Таким образом, трехвалентная примесь отнимает у решетки электро­
ны, создавая дырки. Под действием электрического поля дырки переме­
250
щаются в направлении поля и в полупроводнике возникает дырочная
примесная проводимость.
Примеси, которые приводят к примесной дырочной проводимости,
называются акцепторными. Присутствие в кристалле акцепторной при­
меси создает большую концентрацию дырок, которые становятся основ­
ными носителями тока. Полупроводники с преобладанием дырочной
проводимости называются полупроводниками р-типа.
§96. Полупроводниковый диод
Основным элементом большинства полупроводниковых приборов
является электронно-дырочный (п-р) переход, который образуется в по­
лупроводниковом кристалле на границе между областями с электрон­
ной и дырочной проводимостью. Это может быть кристалл германия, у
которого одна половина содержит донорную примесь, являясь полупро­
водником н-типа, а другая половина — акцепторную, представляя собой
полупроводник р-типа.
Благодаря тепловому движению будет происходить взаимная диффу­
зия основных носителей тока через контакт полупроводников. В резуль­
тате на границе электронно-дырочного перехода образуется запирающий
электрический слой.
Электрическое поле запирающего слоя препятствует дальнейшему
переходу электронов и дырок через границу раздела полупроводников
(рис. 11.14, а).
Внешнее электрическое поле влияет на сопротивление запирающего
электрического слоя.
о©
++ —
0©
0©
++
©0
0 0
++
—
-
И
-
©©
Рис. 11.14
251
Если «-полупроводник подключен к отрицательному полюсу источ­
ника тока, а плюс источника соединен с />-полупроводником, электри­
ческое поле источника будет перемещать основные носители тока в каж­
дой из областей к границе раздела полупроводников. Напряженность
электрического поля запирающего слоя уменьшится. Через контакт бу­
дет проходить электрический ток. Такое включение п-р перехода назы­
вают прямым (пропускным).
Если «-полупроводник соединить с положительным полюсом источ­
ника, а р-полупроводник — с отрицательным, основные носители тока
под действием электрического поля источника будут перемещаться от
границы контакта в противоположные стороны. Напряженность поля п-р
перехода увеличивается, а сопротивление приконтактной области значи­
тельно возрастает. При таком направлении внешнего поля электричес­
кий ток через п-р переход практически не проходит. Такое включение
п-р перехода называется обратным (запирающим).
Таким образом, контакт двух полупроводников с различными вида­
ми проводимости обладает свойством хорошо проводить ток в одном
направлении и очень плохо в противоположном, т.е. имеет односторон­
нюю проводимость. Поэтому полупроводник с одним п-р переходом
называется полупроводниковым диодом и используется в выпрямителях
переменного тока.
На протяжении половины периода, когда потенциал р - полупровод­
ника положителен, ток свободно проходит через п-р переход. В следую­
щую половину периода ток равен нулю.
Схематическое изображение диода показано на рис. 11.14, б. Полу­
проводниковые диоды обладают рядом преимуществ перед электронны­
ми двухэлектродными лампами (экономия энергии, миниатюрность и
т.д.), что позволяет широко использовать их в различных электронных
системах, радио-, теле- и видеоаппаратуре, в электронно-вычислитель­
ных машинах и т.д.
§97. Транзистор
Полупроводниковое устройство с двумя электронно-дырочными пе­
реходами называется транзистором (триодом).
С помощью соответствующих примесей в кристалле германия или
кремния создаю т три области: между двумя областями с проводимос­
тью /7-типа создаю т слой с проводимостью «-типа. Эту тонкую про­
слойку называют базой (Б) (рис. 11.15, а). Одна из разделенных базой
252
Э
Б
К
а
б
Рис. 11.15
областей называется эмиттером (Э), а вторая — коллектором (К).
Таким образом, между эмиттером и базой, а также коллектором и ба­
зой создаются два р-п перехода, пропускные направления которых про­
тивоположны.
На рис. 11.15, б показано условное изображение транзистора. Оба
р-п перехода соединяют с двумя источниками тока (рис. 11.15, а). При
этом переход «эмиттер-база» включен в прямом (пропускном), а пере­
ход «коллектор-база» в обратном (запирающем) направлении.
При создании напряжения между эмиттером и базой основные носи­
тели эмиттера (дырки) переходят из него в базу, создавая ток в этой
цепи.
Так как толщина базы очень мала, попавшие в нее дырки не объеди­
няются с электронами базы и проникают в коллектор. В коллекторе дыр­
ки увлекаются электрическим полем и замыкают цепь. Сила тока в кол­
лекторе приблизительно равна силе тока в эмиттере. Поэтому при изме­
нении силы тока в цепи эмиттера с помощью источника переменного
напряжения одновременно во столько же раз изменяется сила тока в
цепи коллектора.
Эту особенность действия транзистора используют для управле­
ния током в цепи коллектора. Для этого в цепь коллектора включают
резистор R с большим сопротивлением. Тогда небольшие изменения
напряжения в цепи эмиттера могут вызвать значительные изме­
нения напряжения на резисторе. Это означает усиление напряже­
ния. Следовательно, транзисторы можно использовать для усиления
напряжения и мощ ности, т.е. для преобразования малых сигналов в
большие.
253
Контрольные вопросы
1. Что называют электрическим током? Каковы условия его возник­
новения и существования?
2. Что называют силой тока? В каких единицах она измеряется? Что
называется плотностью тока?
3. Как формулируется закон Ома для участка цепи?
4. Что называют вольт-амперной характеристикой проводника?
5. Что такое сопротивление проводника, чем оно обусловлено, в ка­
ких единицах измеряется?
6. Что такое удельное сопротивление проводника, в каких единицах
оно выражается?
7. Какое соединение проводников называется последовательным?
Каковы законы последовательного соединения проводников?
8. Какое соединение проводников называется параллельным? Каковы
законы параллельного соединения проводников?
9. Для чего предназначены и как рассчитываются шунты и добавоч­
ные сопротивления к электрическим измерительным приборам?
10. Что называют источником ЭДС? Каково его назначение?
11. Что называют электродвижущей силой источника ЭДС?
12. Как записывается закон Ома для полной цепи? Дайте его форму­
лировку.
13. Чему равна работа тока? Напишите формулы для ее расчета.
14. Чему равна мощность тока?
15. Почему при прохождении электрического тока проводник нагре­
вается? Сформулируйте закон Джоуля-Ленца.
16. На каком из двух резисторов (R2 > i?j) в зависимости от способа
их соединения выделится большее количество тепла за один и тот же
промежуток времени?
17. Почему плавкий предохранитель выходит из строя раньше, чем
какой-либо другой участок электрической цепи?
18. Каким образом соединяются источники в батарею? Как при этом
определяют ЭДС и внутреннее сопротивление батареи?
19. Сформулируйте и запишите правила Кирхгофа.
20. Что такое киловатт и киловатт-час и каково их соотношение с
единицами соответствующих величин системы СИ?
21. Какая величина называется температурным коэффициентом со­
противления?
254
22. Что такое сверхпроводимость проводников? При какой темпера­
туре наступает сверхпроводящее состояние металлов? Где применяется
явление сверхпроводимости?
23. Что такое электролит? Какое явление называется электролизом?
24. Сформулируйте закон электролиза Фарадея.
25. Объясните физический смысл электрохимического эквивалента
вещества.
26. Что такое газовый разряд? Какова физическая природа электри­
ческого тока в газах?
27. В чем заключается разница между несамостоятельным и само­
стоятельным газовыми разрядами?
28. Что называют плазмой?
29. В чем заключается явление термоэлектронной эмиссии?
Примеры решения задач
11.1.
Какова напряженность электрического поля в стальном провод­
нике диаметром 0,1 мм, по которому протекает ток 0,4 А? Как изменится
напряженность электрического поля в проводнике при повышении его
температуры от 273 до 373 К?
Дано:
d = 1,0 10'4 м
/ = 0,4 А
т = ?7Т V
Р е ш е н и е. Когда по проводнику течет ток,
внутри него существует электрическое поле,
напряженность которого Е связана с напряжением U на концах проводника соотношением
г ' = 373 К
р = 1,2 10"7 Ом м
а = 6 0 10'3 К '1
E -V /U
(1)
где ^ — длина проводника. По закону Ома
для Участка цепи
U - I R,
(2)
р
7 д/г
?
где / — ток в проводнике, сопротивление которого
1
’
д = р 0/ / 5 ,
(з)
где р 0 — удельное сопротивление при температуре Тх = 273 К, а
S = nd2 / 4 — площадь сечения проводника.
Решая уравнения (1), (2) и (3), получим значение напряженности
поля при температуре Г]:
Е х = 4/р0 / (дс?2), Ех = 6,1 В/м.
(4)
После повышения температуры проводника до Т2 удельное сопро­
тивление его увеличится и станет равным р = р0( 1 + аАТ), тогда
255
E2 = 4/p / (nd2) = 4/p0( 1 + aAT) / (nd2).
Из уравнений (4) и (5) получим
AE = E2 - E l = 4Ip()aAT/(nd2) ,
АЕ
(5)
= 3,7 В/м.
11.2. Вычислить общее сопротивление цепи, изображенной на рис. 11.16.
Р е ш е н и е . Анализируя схему, нетрудно заметить, что в ней есть
продольная ось симметрии, проходящая через точки а и с. Таким обра­
зом, ток в узле а разветвляется на две равные части, т.к. условия про­
хождения его до точки с по обеим ветвям одинаковы. Значит, потенциа­
лы точек Ъи d равны ц>ь = q d и ток по сопротивлению 2г не пойдет. Тогда,
не нарушая режима работы цепи, можно исключить проводник 2г. После
такого упрощения схемы проводники г и Ъг в каждой ветви оказываются
соединенными последовательно, а верхняя и нижняя ветви — параллель­
но. Общее сопротивление всей цепи
Ro6 = (r + 3 r ) / 2 = 2r.
Рис. 11.16
Рис. 11.17
11.3.
Определить общее сопротивление цепи, изображенной на рис. 11.17,
если резисторы R x = R2 = R5 = R6 = 1 Ом; R3 = 10 Ом; R4 = 8 Ом.
Р е ш е н и е . Данную схему можно заменить
эквивалентной, изображенной т.рис. 11.18. Рас­
считаем сопротивление контура АВ - RAB\
R' = R2 + R4 R<
сопротивление последова­
тельно соединенных резисторов R2, R4, R5
Дано:
= 1 Ом
R2 = 1 Ом
R3 = 10 Ом
R4 = 8 Ом
R5 = 1 Ом
R6 = 1 Ом
=_L+_L- R
R АВ
^общ
?
7?3 ’ AB
r a b = 5 ОмОбщее сопротивление цепи
R . общ
256
R’
^1 + R AB + R 6
К о 6 щ
~
1
О м .
R 'R 3
R' + R,
R2
R4
R5
Ra
R,
В
R3
Puc. 11.18
11.4. И сто чн и к сЭДС 2,1 В и в нут ре нним с опрот ив л е ние м
0,2 Ом соединен с реостатом (см. рис. 11.5, б). Напряжение на зажимах
элемента 2 В.
Определить: 1) силу тока в цепи и сопротивление реостата; 2) какой
длины железную проволоку надо взять для изготовления реостата, если
площадь ее сечения 0,75 мм2? 3) какое количество теплоты будет выде­
ляться во внешней цепи в единицу времени?
Дано:
£ =2, 1 В
г = 0,2 Ом
Р е ш е н и е . Напряжение на зажимах
источника равно падению напряжения во
внешней цепи:
Щ - 2,0 В
5 - 7 , 5 10
Тогда ток в цепи
7_ ? д _ ?
I
7
(1)
U3 = IR = g - I r .
м
q /1
7 = 0 , 5 А.
/ = ( £ - U3) / г,
7
(2)
Подставив уравнение (2) в (1), получим
7? = — = U}r , R = 4 Ом.
I
E-U3
Зная, что R = р/ / 5, найдем длину железной проволоки:
l = R S / p , I = 25 м.
Количество теплоты, выделяющееся во внешней цепи, определим по
закону Джоуля-Ленца:
Q = 1 2Rt, откуда Q / 1 = I2R ,
Q = 1 Вт.
11.5. По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток Ю мА.Найти
среднюю скорость направленного движения (дрейфа) электронов вдоль
проводника, считая, что на каждый атом меди приходится один электрон
проводимости.
257
Дано:
S = 1 • 10-6 м2
/ = 10 10'3 A
e = 1,6 10’19Кл
p. = 64 10 '3 кг/моль
p = 8,9 103 кг/м3
A a = 6,02 ■1023 м оль'1
v— ?
Р е ш е н и е . Сила тока в проводнике
I = Aq/At.
(1)
Здесь
Aq = eN,
(2)
е — заряд электрона.
По условию задачи число электронов N,
прошедших через поперечное сечение про­
водника, равно числу атомов, содержащих­
ся в объеме цилиндра длиной / = v At и
площадью сечения S, т.е .
A = /wAA / p .
(3)
Так как масса проводника
т = pv A c S,
(4)
то из уравнений (1)-(4) имеем
v = /р. / (epSNA),
v = 7 ■10"7 м/с.
11.6.
Гальванометр, внутреннее сопротивление которого 200 Ом, имеет
шкалу на 50 делений. Цена деления шкалы 2 мкА/дел. Как из этого при­
бора сделать миллиамперметр для измерения токов до 10 мА или вольт­
метр для измерения напряжения до 2 В?
Дано:
п = 50 дел.
i = 2 10 '6 А/дел.
/?пр = 200 Ом
77 = 2 В
/ = 1 ■10‘2А
RШ — ? Rg — ?
Р е ш е н и е . Максимальное значение
силы тока, которую позволяет измерить галь­
ванометр:
1а = in , 1а = 2 ■10-6 5 0 = 10'4 А.
Для измерения тока, превышающего 1а,
параллельно гальванометру необходимо
включить шунт (рис. 11.19, а). Через шунт
течетток
'ш = / - л -
Рис. 11.19
258
( 1)
По закону Ома для участка цепи
откуда
V 'in - *ШI V
Л ш = / А р / / ш-
(2 )
Из уравнений (1), (2) получим
*Ш = W
( 7 - 7a)’ *ш = 2,02 Ом.
Если гальванометр используется в качестве вольтметра для измере­
ния напряжений, превышающих допустимые, к нему последовательно
включается дополнительное сопротивление (рис. 11.19, б).
При последовательном соединении проводников
Отсюда
Unv = Ia K v = inK v
(3)
Ug = U - U np.
По закону Ома для участка цепи запишем:
(4)
K ^ K r V K -
Решая уравнения (3)— (5), получим
Rg = ( U - inRnp) / (in),
^
Rg = 19,8 кОм.
11.7.
Как изменится температура медного стержня, если по нему в
течение 0,5 с будет проходить ток, плотность которого 9 А/мм2? Считать,
что теплообмен с окружающими телами отсутствует.
Дано:
At = 0,5 с
7 = 9 А/мм2 = 9 106А/м2
р = 1 7 • 10 '8 Ом м
D = 8,9 103 кг/м3
с = 380 Дж/кг • К
Р е ш е н и е . Количество теплоты,
выделившееся в проводнике при прохождении по нему электрического тока,
определяется законом Джоуля-Ленца:
Q = I 2RAt.
(1)
Сопротивление стержня
R = pl/S,
(2)
о
а плотность тока
7=7/5.
(3)
Из уравнений (1)-(3) получим
Q = j 2SplAt.
(4)
С другой стороны, количество теплоты, полученной стержнем,
можно определить по формуле
Q = стАТ,
(5)
где с — удельная теплоемкость меди.
259
М асса стержня
т = D V = DS I.
Из уравнений (4)-(6) имеем
АТ = j 2pAt / (cD), , AT = 0,4 К.
(6)
11.8.
Ток течет по медным проводам сечением 5 мм2. Какое сечение
должен иметь свинцовый предохранитель, чтобы при нагревании прово­
дов более чем на 10° С он расплавился? Температуру в помещении считать равной 27° С.
Дано:
S x = 5 • 10'6 м2
At x = 10° С; tcX = 27° С
Cj = 0,38 103 Д ж /(кгК )
с2 = 0,13 103 Д ж /(кгК )
pj = 1,7 10'8 О м м
р2 = 21 • 10"8 Ом м
D x = 8,9 ■ 103 кг/м3
Z)2 = 11,3 ■103 кг/м3
X =25 ■ 103 Дж/кг
Р е ш е н и е . Плавкие предохранители
включают последовательно с провода­
ми и ток через них идет такой же, как и
по проводам. Предохранители перегора­
ют как только температура проводов пре­
высит допустимую. Воспользуемся за­
коном Джоуля-Ленца. Рассмотрим сна­
чала медные провода. Пусть по ним идет
ток I. Тогда за время т в проводах выде­
лится количество теплоты
?пл = 327° С
Q x=12R xt .
(1)
Сопротивление медных проводов
5 ,- ?
R x= p xl x!Sx.
(2)
При нагревании проводов их внутренняя энергия изменится на величину
A U = Q x= c xm xAtx.
(3)
Масса медных проводов
m x= D x S xl x,
(4)
где Cj -— удельная теплоемкость меди,
D х — плотность меди,
А?, — изменение температуры проводов.
Подставив выражения (2), (3), (4) в уравнение (1), получим
c xD xS xAtx = I2( p xISx)i.
(5)
В предохранителе за то же время при протекании тока / выделится
количество теплоты
Q2 = I2R2x.
(6)
Сопротивление предохранителя
К ~
где р2 — удельное сопротивление свинца.
260
(2)
Это количество теплоты идет на нагревание и плавление предохрани­
теля:
Q2 = c2m2At2 + Хт2.
Здесь с2 — удельная теплоемкость свинца,
At2 = tmi- t cj — изменение температуры свинца,
т2 = D2l2S2 — масса свинцового предохранителя,
D2 — плотность свинца,
(8)
(9)
X — удельная теплота плавления свинца.
Подставив уравнения (7), (8) и (9) в (6), получим
D2S2(c2At2 + Х) = / 2(р2/52)т.
(10)
Решая уравнения (5) и (10), найдем S2:
2
— Р|С|А<|р2 v S2 = 3,9 мм2.
VD2P\(c2At2 + А,)
2
11.9.
Под каким напряжением нужно передавать электрическую энер­
гию на расстояние 5 км, чтобы при плотности тока 2,5 107 А/м2 в мед­
ных проводах двухпроводной линии электропередачи потери составили
3 % от передаваемой мощности?
Дано:
1 = 5 103 м
7 = 2,5 • 107 А/м2
г — 1,7 10"8 Ом м
* = з • Ю'2
Р е ш е н и е . Передаваемая мощность электрического тока
P = I U.
(1)
Выразим т о к /ч ер ез плотность тока:
I = j -S ,
(2 )
----------------------U— ?
где S — площадь сечения проводов.
Считаем, что потери мощности в линии электропередачи вызваны толь­
ко нагреванием проводов, поэтому
■
( 3)
где /?пр — сопротивление проводов с учетом двухпроводности линии,
Дпр = р 2 //5 .
(4)
По условию задачи
Л ю т " " ’261
Из уравнений (1)-(4) получим
U = 2/р/ / к,
U = 141 кВ.
11.10.
Определить ток короткого замыкания для источника ЭДС, ко­
торый при токе 2 А выделяет полезную мощность 24 Вт, а при токе 5 А —
мощность 30 Вт.
Дано:
4 =2А
Р 1 = 24 Вт
Р е ш е н и е . По закону Ома для замкнутой
цепи
/ = £ / ( R + r ).
^2 = 5 А
Р2 - 30 Вт
___________
При сопротивлении внешней цепи R=0 ток в
цепи достигает максимального значения (ток короткого замыкания):
' к
, - ?
4 .3 =
£
, г -
(О
Чтобы определить / к 3, необходимо найти ЭДС
и внутреннее сопротивление источника.
П олезная м ощ ность, выделяемая источником, — мощ ность тока во
внешней цепи:
P=IU,
(2)
где U — напряжение на зажимах источника или падение напряжения на
внешнем сопротивлении.
Напряжения на зажимах источника в первом и втором случаях
Ux = P xU x = $ - I xr,
(3)
U2 = P 2 I I 2 = g
(4)
~ I2r '
Решая уравнения (3) и (4), получим
г= К г ' U
4 4 (4 -А )’
/,
(5)
/,4 ( 4 - 4 )
Подставив уравнения (5) и (6) в (1), получим
I
Р ^ - Р г 1?
44-44
262
/
= 8 А.
11.11.
Электрическая плитка мощностью 550 Вт для сети с напряже­
нием в 220 В была включена в сеть с напряжением 127 В. Какая мощ­
ность выделяется в плитке в данном случае? На какую часть надо укоро­
тить спираль, чтобы плитка выделяла мощность 550 Вт при напряжении
в сети 127 В?
Дано:
(7] = 220 В
Р , = 550 Вт
Р е ш е н и е . Мощность электрической плитки
может быть рассчитана по формуле
Р = U2 / R.
U2 = 127 В
pj3 этод формулы .Я, = U ? /P r т.к. сопротив­
ление плитки не меняется, то
? д/ ■
Р2
р
и 2
R,
=
и 2 Р
р = 1 8 3 Вт.
U2
Чтобы плитка при включении в сеть с напряжением U2 выделяла та­
кую же мощность, как и при включении в сеть с напряжением Uy, т.е.
Ul
г*
•*ч
_
U 2
R
п , необходимо изменить ее сопротивление:
2
Р - U2 - R\
2 ~ Jji
, отсюда Т?2 = (1 / 3)7?j,
т.е. сопротивление плитки нужно уменьшить в 3 раза.
При заданном сечении спирали уменьшить ее сопротивление можно,
укоротив ее длину:
р/2 / 5 = (1 / 3)p(/j / 5);
/2= 0
/
А/ = /j - /2 =
11.12.
ly -
(1 / 3)/j = (2/3)/j.
Электровоз массой 2 104 кг движется вверх по склону горы
со скоростью 54 км/ч. Найти силу тока в электромоторе, если напряже­
ние в сети 3000 В, КПД электровоза 90%, уклон горы 0,05, а коэффици­
ент сопротивления — 0,02.
263
Дано:
т —2 ' 104 кг
v = 15 м/с
*8“
Р е ш е н и е . Полезная мощность, развиваемая электровозом, представляет собой его механическую мощность:
= °> 0 5
Л ю лез ^
Л - 0,9
£ / = 3 103 В
р = 0,02
г
v,
(1 )
где РТЯТ — сила тяги, развиваемая двигателем
электровоза; V- — скорость движения,
Затраченная мощность — это мощность тока
___________
Л атр=^-
/— ?
(2)
Из определения КПД
Люлез = Л^затр’ ^тягу = Л UI,
(3)
откуда
I = ГТЯ1у/(ц Ц ).
(4)
Чтобы определить силу тяги, рассмотрим движение электровоза вверх
по склону горы, указав все силы, действующие на него (рис. 11.20)', т.к.
движение электровоза равномерное, то
Fn r + m g + Fc + N = 0,
или в проекциях на оси координат:
на ось ох\ F TJir - Fc - mg sin a = 0,
на ось оу: N - mg co sa = 0,
F ^ iiN .
■
Из уравнения (5) получаем выражение для силы тяги:
Ртяг = mg sin a + р mg cos a .
Подставив уравнение (6) в (4), получим
т_ mg {sina + р cosa)v .
1—
77 и
У
m g
Рис. 11.20
264
т_ п* л
1 —/О А.
(5)
(6)
11.13. При серебрении пластинки через раствор азотно-кислого се­
ребра проходит ток плотностью 0,2 А/см2. С какой средней скоростью
растет толщина серебряного покрытия пластинки?
Дано:
j = 0,2 А/см2 = 2
к = 1,1210 '6 кг/Кл
р = 1,05 104 кг/м3
___________________'
v —?
Р е ш е н и е . За промежуток време103 А/м2
ни At на катоде откладывается масса серебра
т = klAt.
(1)
Если слой серебра плотностью р
осаждается равномерно по всей повер­
хности пластинки площадью S и толщи­
на слоя h, то масса выделившегося серебра
т = pSh.
(2)
По определению
j = I/S.
(3)
Из уравнений (1), (2), (3) получим
v = h / / = kj / р,
v = 2,3 10"7 м/с.
11.14. Сколько электроэнергии нужно затратить для получения из под­
кисленной воды 2,5 л водорода при температуре 300 К и давлении
750 мм рт.ст., если электролиз ведется при напряжении 5 В, а выход по
току равен 0,75.
Дано:
V = 2 ,5 • 10-3 м3
Т = 300 К
р = 750 мм рт.ст.=105 Н/м2
U=5В
31 = 0,75
|i.= 2 • 10"3 кг/моль
_______________________
W— ?
Р е ш е н и е . Выход по току т| — это
отношение количества фактически выделившегося вещества при электролизе к.тому количеству, которое должно
выделиться согласно закону Фарадея:
т| = m / kit.
(1)
Отсюда
m = г| kit,
где £ — электрохимический эквивалент
водорода.
Для получения этого количества вещества необходимо затратить элек­
троэнергию
W = IUt.
(2)
Из уравнений (1) и (2) получим
m = r\kW I U.
(3 )
265
Массу водорода, выделившегося при электролизе, можно опреде­
лить из уравнения Менделеева-Клапейрона:
P V = m R T/[i.
(4)
Из уравнений (3) и (4) находим
W
рУ рЦ
W = 134 кДж .
RTkr j '
11.15.
До какого потенциала зарядится конденсатор С, присоединен­
ный к источнику тока с £ = 3,6 В по схеме, изображенной на рис. 11.21.
Какой заряд будет при этом на обкладках конденсатора, если его емкость
равна 2мкФ? Внутреннее сопротивление источника тока г = 1 Ом;
7?! = 4 Ом; R2 = 7 О м ; R3 = 3 Ом.
Дано:
£=3,6 В
С = 2 ■ 10"6 Ф
г = 1 Ом
7?, = 4 Ом
R2 = 7 Ом
i?3 = 3 Ом
Р е ш е н и е . Конденсатор С разрывает цепь
постоянного тока. Источник тока зарядит конденсатор до определенного напряжения Uc , пос­
ле чего ток в ветви С - /?3 прекратится и будет
идти только по ветви R\ - R2- Установившееся
напряжение на конденсаторе Uc будет равно па­
дению напряжения на сопротивлении R2:
~йР?
uc
= i r 2.
По закону Ома запишем:
I =
£
Г + 7?! + Т?2
Найдем падение напряжения на сопро­
тивлении R.2-
£-R2
U =
V
= Ur
+ 7?] + /?2
Заряд на обкладках конденсатора оп­
ределяется по формуле
Л,
сис Рис. 11.21
266
£■ R2C
v 4- Ry + Т?2
Uc = 2 ,1 В ; <7 = 4 ,2 - IQ '6 К л.
11.16.
Электрон, имеющий скорость V0 = 2 1 06 м/с, влетает в одно­
родное ускоряющее электрическое поле. Какую разность потенциалов
должен пройти электрон, чтобы ионизировать атом азота, энергия иони­
зации которого £ = 14,5 эВ.
Дано:
Vg = 2 106 м/с
Р е ш е н и е . Электрическое поле совершает
работу
8 = И: 5 ! В
т = 9,1 10'31 кг
е = 1,6 Ю'19 Кл
А = еЛ<р,
(1)
которая идет на увеличение кинетической
энергии электрона
ту2
Аср-?
mvl
(2)
где т и е - масса и заряд электрона, v - скорость, при которой энергия
электрона достаточна, чтобы ионизировать атом азота. Отсюда запишем:
Е -
ту 1
или
2
v
2
2Е
т
.
(3 )
Расчет по формуле (3) показывает, что частица нерелятивистская, так как
скорость электрона v = 2,26 106 м/с, что гораздо меньше скорости света.
Из уравнений (1) - (3) находим:
т 2Е
2 т
туI
2
А (р -е = — ------------— .о тку д а
А
Aq> =
2 Е -т у\
2е
;
А<р = 3,1 В.
11.17.
Несамостоятельный газовый разряд возбуждается ионизато­
ром и горит между двух параллельных пластин - электродов. Определи­
те силу тока насыщения разряда, если ионизатор образует ежесекундно
1010 пар ионов в 1см3. Площадь пластины 100 см2, а расстояние между
пластинами 10 см.
Дано:
S =100 см3
d = 0,1 м
N0 = 1010 см-3
e = 1,610 19 Кл
t _ jc
JH= ?
Р е ш е н и е . Силу тока насыщения можно найти из выражения
q _eN
(1)
где N - число пар одновалентных ионов, об­
разу ю щ и х ся в 1 с м 3 за 1 с. Т ак как
N = N0 V , a V = S d , то из (1) получим
267
J„
e-N0S d
J '
=
1 ,6
m k
A .
11.18. При комнатной температуре концентрация электронов прово­
димости в германии пэ = 3,5 1019 м"3. Найдите отношение числа элект­
ронов проводимости к общему числу атомов. Плотность германия
р = 5400 кг/м3.
Дано:
иэ = 3 ,5 1 0 19м-3
р = 5400 кг/м3,
ц = 0,073 кг/моль
Р е ш е н и е . Общее число атомов в герма­
нии определим по формуле:
п=
PNA
«Э/ П- ?
где N . = 6,02 1023 м оль'1 - число Авогадро.
Тогда
п,И
п
— ~ 7,86-10
п
Р *А
-1 0
11.19. Найдите значение концентраций “дырок” в кремниевом полу­
проводнике с примесью алюминия, равной 10'6 (по массе), если каж­
дый атом алюминия участвует в образовании “дырки”.
Дано:
та ,т к = 10-6
рк = 2300 кг/м3.
цк = 27- 10‘3 кг/моль
Р е ш е н и е . Массу вещества можно оп­
ределить, зная его концентрацию п и моляр­
ную массу р.:
т -
"д -?
nV/л
( 1)
N,
где V - объем вещества, NA - число Авогадро.
Тогда отношение
П/ Р а
т„
. ПУ Р К .
П аРа
N л
"кР к
n a
(2)
где па = пд - концентрация дырок
Поскольку
п .,
=
Рк^А
( 3)
Р к
268
то из уравнений (2), (3) получим
д
’
тк
д
На
Задачи для самостоятельного решения
11.20. Какова площадь поперечного сечения алюминиевого провод­
ника, если при силе тока 1,0 А напряженность электрического поля в
нем равна 2,0 10"2 В/м?
О т в е т : 1,4-10"6 м2.
11.21. Реостат, изготовленный из железной проволоки, площадь се­
чения которой 0,75 мм2, включен в цепь элемента ЭДС 2,1 В и внутрен­
ним сопротивлением 0,2 Ом. Определите длину проволоки, если напря­
жение на зажимах элемента равно 2 В.
О т в е т: 25 м.
11.22. Определите показание вольтметра, имеющего внутреннее со­
противление 100 Ом, в цепи, изображенной на рис. 11.22, если ампер­
метр п о к азы в ает силу то ка 0,9 А, со п р о ти вл ен и я R = 10 Ом,
г = 5 Ом. Внутренним сопротивлением амперметра пренебречь.
О т в е т; 7,5 В.
11.23. Электрическая цепь состоит из источника, ЭДС которого
100 В, и трех сопротивлений:
= 3 Ом, R2 = 2 Ом и Л3 = 18,6 Ом,
включенных по схеме, изображенной на рис. 11.23. Найдите токи, теку­
щие через сопротивления R { и R2, напряжение на зажимах источника,
внутреннее сопротивление которого 0,2 Ом.
О т в е т: 2 А; З А ; 99 В.
Рис. 11.22
Рис. 11.23
269
11.24. К амперметру с внутренним сопротивлением 0,03 Ом подклю­
чен медный шунт длиной 10 см и диаметром 1,5 мм. Какой максималь­
ный ток можно измерить этим амперметром, если он рассчитан на силу
тока 0,4 А?
О т в е т : 12,9 А.
11.25. Гальванометр с ценой деления 1 мкА/дел. и числом делений
100 имеет внутреннее сопротивление 50 Ом. Как приспособить этот галь­
ванометр для измерения: а) токов до 10 мА; б) напряжений до 1 В?
О т в е т : Включить: а) шунт Rm = 0,5 Ом; б) добавочное сопротивле­
ние 9950 Ом.
11.26. Нихромовую проволоку длиной 18 м и поперечным сечением
1,1 мм2 разрезали на равные части и соединили их параллельно. Сопротив­
ление соединения стало 0,5 Ом. На сколько частей разрезали проволоку?
О т в е т: 6.
11.27. Общее сопротивление двух проводников при последователь­
ном соединении 50 Ом, при параллельном 12 Ом. Найдите сопротивле­
ние каждого проводника.
О т в е т: 20 Ом; 30 Ом.
11.28. Найдите сопротивление между точками 1 и 2 (рис. 11.24), если
каждое из трех сопротивлений равно 1 Ом. Сопротивлением соедини­
тельных проводов пренебречь.
О т в е т : 1/3 Ом.
11.29. Три одинаковых медных кольца радиусом г соединены, как
показано на рис. 11.25. Определите сопротивление полученного конту­
ра, если диаметр проволоки d, удельное сопротивление р, ток подводит­
ся к точкам А и В.
О т в е т: pr / d 2.
Рис. 11.24
270
Рис. 11.25
11.30. Гальванический элемент дает на внешнее сопротивление
4 Ом ток 0,2 А. Если внешнее сопротивление 7 Ом, элемент дает ток
0,14 А. Какой ток он дает, если его замкнуть накоротко?
О т в е т : 0,47 А.
11.31. При сопротивлении внешней цепи 1 Ом напряжение на зажи­
мах источника 1,5 В, а при сопротивлении 2 Ом напряжение 2 В. Найди­
те ЭДС и внутреннее сопротивление источника.
О т в е т: 3 В; 1 Ом.
11.32. К источнику с ЭДС 8 В подключена нагрузка. Напряжение на
зажимах источника 6,4 В. Определите КПД установки.
О т в е т: 80 %.
11.33. Определите силу тока в цепи источника с ЭДС 2,2 В, если
сопротивление нагрузки 0,5 Ом, а КПД схемы 65 %. Какова сила тока
короткого замыкания? Какую максимальную мощность может отдавать
этот источник во внешнюю цепь?
О т в е т : 2,86 А; 8,15 А; 4,48 Вт.
11.34. Элемент с внутренним сопротивлением 6 Ом замкнут на со­
противление 24 Ом. При каком еще внешнем сопротивлении полезная
мощность цепи будет такой же?
О т в е т : 1,5 Ом.
11.35. Определите величину тока в цепи свинцового аккумулятора,
если его ЭДС равна 2,2 В, внешнее сопротивление 0,5 Ом, а КПД цепи
65 %.
О т в е т : 2,86 А.
11.36. Какого сечения надо взять медный провод для устройства двух­
проводной линии от электростанции до потребителя на расстояние 5 км.
Напряжение на шинах станции 100 кВ, передаваемая потребителю мощ­
ность 5 МВт. Допускаемая потеря напряжения на линии передачи состав­
ляет 1 %.
О т в е т: 8,5 мм2.
11.37. При токе 10 А выделяемая во внешней цепи мощность 200 Вт,
а при токе 15 А мощность во внешней цепи 240 Вт. Каковы внутреннее
сопротивление, ЭДС источника и сила тока короткого замыкания?
О т в е т: 0,8 Ом; 28 В; 35 А.
271
Г л а в а 12. М А ГН И Т Н О Е П О ЛЕ.
ЭЛЕКТРО М АГН И ТН АЯ И Н ДУ К Ц И Я
§98. Магнитное поле тока. Индукция магнитного поля
В 1820 г. датский физик X.Эрстед проделал следующий опыт.Над
магнитной стрелкой (рис. 12.1) натягивался провод, по которому
пропускали ток. При этом стрелка отклонялась. Это говорит о том,
что электрический ток создает вокруг провода магнитное поле, кото­
рое и отклоняет стрелку.
Магнитное поле — это часть
электромагнитного поля. Магнитное
поле создается токами и движущи­
мися заряженными частицами. Ос­
новное свойство магнитного поля
проявляется в действии на токи или
Г
N
движущиеся заряженные частицы.
Силовой характеристикой маг­
ГТТГП
нитного поля является векторная
величина, которая называется ин­
Рис. 12.1
дукцией магнитного поля и обо­
значается буквой В . Индукция маг­
нитного поля определяется или по действию поля на небольшой участок
тока, или по действию на рамку (виток) с током.
За направление вектора индукции магнитного поля принимают на­
правление нормали, ориентированной в поле рамки с током. Эта рамка
должна быть достаточно малых размеров, чтобы в пределах ее поле можно
было считать однородным.
Положительной нормалью рамки называется перпендикуляр, прове­
денный к плоскости рамки так, чтобы вращательное движение рукоятки
буравчика совпадало с током в рамке, а поступательное движение бу­
равчика укажет направление положительной нормали.
Линией индукции магнитного поля (силовой линией) называется ли­
ния, в каждой точке которой вектор индукции касателен к ней.
Если рамку отклонить от положения равновесия, то магнитное поле
будет поворачивать ее. На рамку будет действовать вращающий механи­
ческий момент. Если нормаль к плоскости рамки перпендикулярна
272
вектору индукции, то момент будет максимальным. По нему определяет­
ся модуль индукции:
Щ = М _ / ( / • S).
(12.1)
Произведение силы тока / и площади рамки S называется магнит­
ным моментом рамки.
Итак, магнитная индукция — это векторная физическая величина,
численно равная отношению максимального механического момента,
действующего на рамку с током в магнитном поле, к магнитному мо­
менту рамки.
Единицей измерения магнитной индукции в системе СИ является тес­
ла (Тл):
[5] = 1 Нм / (1Ам2) = 1 Н/ (Ам) = 1 Тл.
1 Тл — это индукция такого однородного магнитного поля, в кото­
ром на рамку с током 1 А и площадью 1 м2 действует вращающий мо­
мент 1Нм, если нормаль к плоскости рамки перпендикулярна вектору
индукции.
§99. Закон А мпера
Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, прямо
пропорциональна произведению индукции магнитного поля В, силе тока
в проводнике /, длине проводника / и синусу угла а между направле­
нием вектора индукции магнитногб поля и направлением тока в про­
воднике:
Fa = BIl sina.
(12.2)
Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки. Ле­
вую руку следует расположить так, чтобы силовые линии магнитного
поля входили в ладонь, четыре вытянутых пальца показывали направле­
ние тока в проводнике, тогда отогнутый на 90° большой палец покажет
направление силы Ампера.
§100. С ила Л оренца
На частицу с электрическим зарядом q, движущуюся в магнитном
поле со скоростью v , направленной произвольным образом по отноше­
нию к вектору магнитной индукции В , действует сила Лоренца. Силу
Лоренца можно найти из закона Ампера (12.2).
273
Для этого силу А мпера следует
представить как сумму сил, действу­
ющих на каждый заряд в проводнике
(рис. 12.2):
FA = NFn,
где N — общее число зарядов в про­
воднике.
l=vAt
Чо
Рис. 12.2
Тогда
Л
FA / N = IBl sina IN.
(12.3)
Сила тока
/ = q / At,
(12.4)
гДе q — заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за
время At,
q = q0nvAtS.
(12.5)
Зд есь q 0 — зар я д ч асти ц ы ,
п — к о н ц е н т р а ц и я части ц ,
v — скорость ее упорядоченного движения.
Число заряженных частиц
N = nSl.
(12.6)
Подставив выражения (12.4)—(12.6) в (12.3), получим
Fn = qQB \ sina.
(12.7)
Сила Лоренца — это сила, действующая на заряд, движущийся в
магнитном поле. Она прямо пропорциональна величине заряда, индук­
ции магнитного поля, скорости движения заряда и синусу угла между
направлением векторов В и v .
В
q< О
Q
q> О
v
б
Рис. 12.3
274
Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки, если
заряд положительный {рис. 12.3, а), и правой, если заряд отрицательный
(рис. 12.3, б).
В проводнике длиной /, движущемся в однородном магнитном поле
с индукцией В со скоростью v , происходит разделение электрических
зарядов. Под действием силы Лоренца положительные и отрицательные
заряды оказываются на противоположных концах проводника, т.е. про­
странственно разделяются. На концах проводника возникает разность
потенциалов, т.е. в проводнике наводится ЭДС индукции:
\
. = vBl ■s i n a ,
(12.8)
\
где a - угол между векторами В и v .
§101. Движение заряженных частиц
в электрических и магнитных полях
На движущийся электрический заряд действует сила Лоренца:
F = qE + qvB s in a ,
(12.9)
где qE - сила, действующая со стороны электрического поля; q - заряд
частицы; Е - напряженность электрического поля; qvBsm a - сила, дей­
ствующая со стороны магнитного поля; v - скорость частицы, В - ин­
дукция магнитного поля; a - угол между векторами v и В .
Рассмотрим движение заряженной частицы в электрическом поле на
примере движения электрона в поле заряженного конденсатора (рис. 12.4).
Пусть электрон, имеющий массу ш и заряд е, влетает в однородное элек­
трическое поле плоского конденсатора со скоростью v по направлению
_____________________
оси ох.
Расстояние, проходимое вдоль оси
----------------------------—
ох, найдем по формуле
0
т
v
х
x = v t,
(12.10)
--------------- —
где t - время, в течение которого элект^
рон находится в электрическом поле конр и
\
\
денсатора.
Вдоль оси оу электрон движется под
действием постоянной силы F = еЕ,
У^
которая сообщает ему ускорение:
Рис- 12 4
275
a = F = eE = e £ ,
m
m
md
(12.11)
где U - напряжение на пластинах конденсатора, d - расстояние между
пластинами. За время t в направлении оси оу электрон проходит путь
a t2
" =T
eU
2
= 2 W ''
<12Л2)
Исключив время t из уравнений (12.10) и (12.12), находим уравнение
траектории движения:
у = кх2,
(12.13)
где к = eU/(2mdv2). '
\:
Таким образом, согласно уравнению (12.13), электрон движется по
параболе. Заметим также, что электрическое поле, воздействуя на заря­
женную частицу, изменяет ее кинетическую энергию, т.е. ускоряет или
тормозит частицу.
Рассм отрим движ ен ие заряж енной частицы в одн ор одн ом м агнит­
ном поле. В этом случае на частицу действует магнитная составляющая
силы Лоренца:
Рл = qvBs'm a.
(12.14)
Если векторы В и v направлены в одну и ту же, либо в противопо­
ложную стороны, т.е. угол a = 0, либо 180°, то сила Лоренца Fjj = 0 и не
оказывает действия на заряженную частицу. Частица продолжает дви­
жение с прежней скоростью в прежнем направлёнии. Если скорость д в и -'
жения частицы у перпендикулярна вектору магнитной индукции поля
В (угол a = п/2), то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к
траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона эта сила сооб­
щает частице центростремительное ускорение. Частица будет двигаться
равномерно по окружности, радиус которой R определяется из условия:
\q \v B = m v 2/ R , R = m v/(\q\B ),
(12.15)
где m и |g| - масса и заряд частицы.
Если вектор В перпендикулярен плоскости чертежа {рис. 12.5), а
частица движется в плоскости чертежа, то положительно заряженная ча­
стица отклонится вверх, а отрицательная - вниз.
276
На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитном поле.
Период обращения частицы (время одного
полного оборота)
Т = 2nR/v.
(12.16)
Заменив в уравнении (12.16) радиус R из
формулы (12.15), получим
q > д
^
у+
д~+
+
v
^
(12.17)
Т = 2n-m/(B\q\).
/
в
\ +
+
^
+
/ а <0
^
Из уравнения (12.17) видно, что период обраРис■ 125
щения заряженной частицы в однородном магнитном поле не зависит от
её скорости.
п
Если скорость v частицы направлена под углом 0 < а < — к векто­
ру В , то ее движение определяется как суперпозиция равномерного пря­
молинейного движения вдоль вектора В со скоростью v || = v c o sa и
равномерного вращения со скоростью у i = у sin a по окружности,
лежащей в плоскости, перпендикулярной вектору В . В результате час­
тица будет двигаться по винтовой линии (рис. 12.6), радиус которой
m v sin a
Т м - '
<12Л8>
а шаг винта
,
^
2 n m \ c o sa
h = \ , - T = — :—г
\я\'в
/1А 1АЧ
(12.19)
Рис. 12.6
§102. О пределение удельного заряда частицы
Удельным зарядом частицы называется отношение заряда частицы к
Я
Я
ее массе: — . Известны различные методы измерения
.
m
r
m
В масс-спектрографе определение удельного заряда частиц осно­
вано на изучении отклонения частиц в совместно действующих на них
электрическом и магнитном полях.
277
На схеме установки (рис. 12.7) заряженные частицы ускоряются на участке
KL электрическим полем и, попав в маг­
нитное поле с индукцией В, описывают окружность радиусом R. Выведем формулу
В
•
I • • '•
К.
• 1•
д
для расчета удельного заряда частицы —
т
если ускоряющее напряжение равно U,
а начальную скорость частицы будем счи­
тать равной нулю.
<7
Рис. 12.7
В электрическом поле частица увеличивает свою скорость от нуля
до V. Электрическое поле совершает работу: А = qU, которая расходуется
на увеличение кинетической энергии частицы:
qU = -
( 12 . 2 0 )
-
2
В магнитном поле под действием силы Лоренца частица движется по
окружности радиуса R:
qB v = — .
R
-
(12.21)
Решая уравнения (12.20) и (12.21), получим
q _
2U
т ~ B 2R 2 '
Зная ускоряющее напряжение U., индукцию магнитного поля В и
радиус окружности R, по которой движется частица, можно рассчитать
ее удельный заряд.
§103. Магнитное взаимодействие токов
В качестве примера применения закона Ампера рассмотрим взаимо­
действие двух прямых параллельных проводников с током (рис. 12.8).
Если направления токов 1Хи / 2 совпадают, то такие проводники при­
тягиваются друг к другу, если направления токов противоположны, то
проводники отталкиваются. Докажем это.
278
Пусть проводник I создает магнитное
в,
О
поле с индукцией Д . Направление ин­
дукции Д определяем по правилу бурав­
чика. На проводник II действует сила
Ампера F , направление которой опре­
деляем по правилу «левой» руки.
Из рис. 12.8 видно, что проводник
II притягивается проводником I. А на­
логично рассуж дая, м ож но доказать,
что проводник I притягивается провод­
ником II.
Если проводники бесконечной длины,
то модуль индукции, как показы вает
опыт, можно определить по формуле
П
I
Рис. 12.8
в \ = № о711 (2ш
где р. — магнитная проницаемость среды; р0 = 4л ■10 '7 Гн/м
ная постоянная; г — расстояние между проводниками.
Q o ia F 21 определяется по закону Ампера:
B2\ = B \ h h s'n a ’
где a — угол между Д
( 12.22)
- магнит-
(12.23)
и направлением тока в проводнике.
Подставив формулу (12.22) в (12.23) и учитывая, что угол a = 90°,
получим
F2l/l2 = рр о1Х12 / (2 таг).
(12.24)
Здесь F 21 / /2 — сила, действую щ ая на единицу длины проводни­
ка И.
На основании соотношения (12.24) устанавливается единица силы тока
в СИ — ампер. 1 ампер — это сила неизменяющегося тока, который,
проходя по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ма­
лого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от дру­
гого в вакууме, вызвал бы между проводниками силу, равную 2 10 7 Н
на каждый метр длины проводника.
279
§104. Магнитные свойства вещества
Все тела при внесении их во внеш нее м агнитное поле намагничи­
ваются в той или иной степени, т.е. создают собственное магнитное
поле, которое накладывается на внеш нее поле. При рассмотрении
магнитных свойств различных сред их назы ваю т магнетиками. Су­
щ ествую т три типа магнетиков: диамагнетики, парамагнетики и фер­
ромагнетики.
Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойства­
ми электронов и атомов.
Электрон, движущийся в атоме, эквивалентен замкнутому контуру с
током / = е \, где е — заряд электрона; v — частота обращения электро­
на по орбите. Орбитальный магнитный момент электрона тогда будет ра­
вен: Ро — h IS = e v h S , где 5 — площадь орбиты электрона; п — еди­
ничный вектор нормали к плоскости орбиты.
Кроме орбитального момента, который зависит от движения элект­
рона, электроны обладают постоянным (врожденным) магнитным мо­
ментом, который называется спиновым Р^. Происхождение спинового
момента может быть объяснено только в квантовой механике.
Общий магнитный момент атома складывается из всех орбитальных
и спиновых моментов электронов этого атома.
М агнитные свойства вещества характеризуются относительной маг­
нитной проницаемостью:
\i = B / B 0,
(12.25)
где В — индукция поля в магнетике; Во — индукция поля в вакууме.
Относительная магнитная проницаемость — это физическая ве­
личина, равная отношению индукции магнитного поля в магнетике к ин­
дукции магнитного поля в вакууме.
Формула (12.25) справедлива лишь в тех случаях, когда однородный
магнетик заполняет все пространство, в котором действует поле с ин­
дукцией Во. Если магнетик заполняет не все пространство, то (за ис­
ключением особых случаев) связь между В и В0 будет более сложной.
Она зависит от формы магнетика.
280
Диамагнетиками называются вещества, для которых ц < 1. У диа­
магнетиков магнитные моменты атомов (молекул) в отсутствие внеш­
него магнитного поля равны нулю, так как магнитные моменты всех
электронов атома взаимно скомпенсированы. Такими свойствами об­
ладают, например, вещества, в атомах которых имеются только цели­
ком заполненные электронные слои — инертные газы, азот, NaCl и др.
Магнитные проницаемости диамагнетиков мало отличаются от еди­
ницы. Например, у водорода ц = - 6,3 10"8.
При внесении диамагнетика во внешнее магнитное поле атомы при­
обретают наведенные магнитные моменты, которые направлены проти­
воположно вектору В0. Таким образом, диамагнетики ослабляют внеш­
нее поле.
Парамагнетиками называются вещества, атомы которых в отсут­
ствие внешнего магнитного поля имеют отличный от нуля магнитный
момент.
Парамагнетиками являются щелочные и щелочно-земельные метал­
лы. М агнитные проницаемости парамагнетиков тоже мало отличаются
от единицы. Например, у кислорода ц = +1,9 10 '6. Парамагнетики очень
незначительно усиливают внешнее магнитное поле, т.к. собственный
магнитный момент атома сонаправлен с В0.
Ферромагнетики, в отличие от слабомагнитных диа- и парамагне­
тиков, являются сильно магнитными средами. М агнитное поле, созда­
ваемое ими, может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее поле.
У ферромагнетиков относительная магнитная проницаемость р,» 1 и
может достигать десятков и сотен тысяч. Она не является постоянной
величиной, а зависит от магнитной индукции. Ферромагнетизм наблю­
дается у железа, кобальта, никеля, у многочисленных их сплавов.
Ферромагнетики обладают особыми свойствами благодаря домен­
ной структуре строения. Домен — микрообласть, в которой магнитные
моменты отдельных атомов имеют одинаковое направление. При этом
ориентируются спиновые магнитные моменты. Направления магнитных
моментов для разных доменов различны, так что в отсутствие внешне­
го поля суммарный магнитный момент всего ферромагнетика равен
нулю. Домены имеют размеры порядка (1-10) мкм.
При внесении ферромагнетика в магнитное поле происходит его на­
магничивание. Намагничивание состоит, во-первых, в смещении гра­
281
ниц доменов и росте размеров тех доменов, векторы магнитных момен­
тов которых близки по направлению к магнитной индукции В0, и, вовторых, в повороте магнитных моментов целых доменов по направлению
поля Во.
В достаточно сильном магнитном поле достигается состояние насы­
щения, когда весь образец намагничен по полю (рис. 12.9, участок 1-2).
На рис. 12.9 изображена кривая намагничивания, получившая назва­
ние петли гистерезиса.
Первоначально намагничивание происходит по кривой 0 - 1 . Если
затем уменьшать В0 , то кривая пойдет по 1 - В 1; т.е. происходит отста­
вание изменения поля в веществе (В) по отношению к полю в вакууме
(В0); это явление запаздывания и называется гистерезисом. При этом
ферромагнетик остается намагниченным, когда В0 = 0.
Чтобы размагнитить ферромагнетик, нужно изменить направление на­
магничивающего поля. Индукция Вк называется коэрцитивной силой (ко­
эрцитивной индукцией). Она характеризует способность ферромагнети­
ка сохранять намагниченное состояние.
Большой коэрцитивной силой (широкой петлей гистерезиса) облада­
ют магнитотвердые ферромагнетики, используемые для изготовления
постоянных магнитов.
Малую коэрцитивную силу (узкую петлю гистерезиса) имеют магни­
томягкие ф ерром агнетики, используемые для сердечников тр ан с­
форматоров, магнитных цепей и т.д.
-В.
+В,
Рис. 12.9
282
Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, при
которой домены разрушаются и ферромагнетик превращается в пара­
магнетик. Эта температура называется точкой Кюри.
§105. Электромагнитная индукция
Магнитным потоком через площадку S называется физическая ве­
личина Ф, равная произведению индукции магнитного поля на площадь
площадки и на косинус угла а между нормалью к площадке Я и векто­
ром В (рис. 12.10)-.
Ф = BS cos а .
Магнитный поток — это алгебраическая величина, знак потока зави­
сит от выбора направления нормали.
В системе СИ магнитный поток из­
меряется в веберах (Вб):
[Ф] = 1Тл • 1м2 = 1В6.
1 Вб — это магнитный поток в од­
нородном поле с индукцией 1 Тл через
площадку 1 м2, перпендикулярную век­
s
тору индукции.
Рассмотренный в §98 опыт Эрстеда
Рис. 12.10
показал, что электрический ток создает
магнитное поле. А не может ли магнит­
ное поле создавать электрический ток?
После многолетней работы Фарадей
ответил на этот вопрос положительно.
N
Рассмотрим один из опытов Фарадея,
позволяющий понять явление электро­
магнитной индукции. Концы металли­
/Л
/Л
ческой проволоки, навитой на катуш­
/a W a \\ n
ку, подключались к гальванометру G
(рис. 12.11).
Внутрь катушки вводился постоян­
ный магнит. При движении магнита
стрелка гальванометра отклонялась.
Это значит, что в витках катушки воз­
буждалась ЭДС и возникал электричесРис 12 ц
гг
283
кий ток, названный Фарадеем индукционным. Если магнит выводился
из катушки, то стрелка гальванометра отклонялась в другую сторону.
При остановке магнита стрелка гальванометра возвращалась в нулевое
положение.
Тот же эффект можно наблюдать, если магнит держать неподвижно,
а катушку двигать. При движении магнита или катушки изменяется маг­
нитный поток, пронизывающий витки проволоки. Явление возникнове­
ния электрического тока в замкнутом проводящем контуре при измене­
нии магнитного потока, охватываемого этим контуром, называется элек­
тромагнитной индукцией.
Фарадей открыл закон электромагнитной индукции-.
ЭДС электромагнитной индукции прямо пропорциональна и противо­
положна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизываю­
щего контур:
£ = - ДФ / At.
(12.26)
Мгновенное значение ЭДС индукции — это первая производная по­
тока по времени:
= -Ф '.
Знак потока и ЭДС связаны с выбором направления нормали к плос­
кости контура.
Явление электромагнитной индукции наблюдается и при движении
проводника в однородном магнитном поле или в неподвижном провод­
нике при изменении магнитного поля.
Ленц установил закон, позволяющий определить направление ин­
дукционного тока. Закон Ленца гласит: индукционный ток имеет такое
направление, что его собственное магнитное поле противодействует из­
менению магнитного потока, вызвавшего индукционный ток.
Воспользовавшись законом Ленца, определим направление индук­
ционного тока в катушке (рис. 12.11). При вдвигании в катушку посто­
янного магнита магнитный поток, пронизывающий витки катушки, воз­
растает. Возникающий индукционный ток имеет такое направление, что
препятствует этому возрастанию: катушка становится электромагнитом,
северный полюс которого обращен к северному полюсу вдвигаемого
магнита. Одноименные полюса отталкиваются. Силовые линии магнит­
ного поля катушки выходят из северного полюса и входят в южный.
Применяя правило буравчика, находим направление индукционного тока:
284
буравчик движется по направлению магнитной силовой линии внутри
катушки, вращение ручки буравчика показывает направление индукци­
онного тока в витках.
§106. Явление самоиндукции
Самоиндукцией называется возникновение ЭДС индукции в катушке
или контуре вследствие изменения в них электрического тока. Эта ЭДС
называется электродвижущей силой самоиндукции.
Магнитный поток Ф через площадь, охваченную контуром, пропор­
ционален силе тока I, протекающего по контуру и создающего этот по­
ток:.
Ф = Ы.
(12.27)
Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью
контура (катушки, проводника). Индуктивность замкнутого прово­
дящего контура — это скалярная физическая величина, равная отно­
шению магнитного потока, сцепленного с контуром, к силе тока в
этом контуре. Индуктивность контура зависит от его размеров, фор­
мы и от относительной магнитной проницаемости среды, в которой
он находится.
Подставив выражение (12.27) в (12.26), получим (при L = const)
$0 = -LA I / At.
(12.28)
Электродвижущая сила самоиндукции ё 0 прямо пропорциональна
скорости изменения тока в контуре, i
Мгновенное значение ЭДС самоиндукции равно первой производной
тока по времени, умноженной на индуктивность контура:
£
= - L I '.
vс.мгн
В системе СИ индуктивность измеряется в генри (Гн):
[L\ = [£ A t / A I ] = 1В 1 с / 1А = 1Гн.
1 Гн — индуктивность такой катушки (контура), в которой при равно­
мерном изменении тока на 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В.
§107. Энергия магнитного поля
При создании в замкнутом проводящем контуре электрического тока
необходимо совершить работу А по преодолению ЭДС самоиндукции,
препятствующей нарастанию тока в контуре.
285
Элементарная работа
Ь А = - £c idt,
(12.29)
где /' - сила тока.
ЭДС самоиндукции
ё с = -L d i I dt.
Подставив уравнение (12.30) в (12.29), получим
(12.30)
5А = Li di dt t dt —Lidi,
тогда работа по установлению тока
/
А = j b i ■di = L I212.
о
По закону сохранения энергии работа определяет собственную энер­
гию тока в контуре:
W = LI2 / 2.
(12.31)
Выразим энергию магнитного поля W через величины, характеризу­
ющие само поле. В случае однородного поля
W=aV,
(12.32)
где и — объемная плотность энергии, измеряемая в Дж/м3; V— объем,
занимаемый полем.
Можно показать, что
ю = 5 2 /(2р.р0).
(12.33)
Подставив выражение (12.33) в (12.32), получим
W = B2 V / (2цЦо).
(12.34)
Контрольные вопросы
1. Что называется силовыми линиями магнитного поля?
2. Как формулируется правило буравчика?
3. Что называется индукцией магнитного поля?
4. Чему равна сила, действующая на проводник с током в магнит­
ном поле?
5. Как взаимодействуют прямые параллельные проводники с током?
6. Какое магнитное поле называется однородным?
7. Что называется потоком магнитной индукции?
8. Чему равна магнитная постоянная?
9. Что называется относительной магнитной проницаемостью среды?
286
10. В чем сущность явления магнитного гистерезиса?
11. Какова сущность закона электромагнитной индукции?
12. Как формулируется закон Ленца?
13. Что такое индуктивность проводника?
14. Какова формула энергии магнитного поля тока?
15. Как будет двигаться положительно заряженная частица в магнит­
ном поле, если: а) ее скорость v перпендикулярна линиям магнитной
индукции В; б) скорость направлена под углом а к линиям магнитной
индукции?
16. Если разрезать постоянный магнит, то можно ли отделить север­
ный полюс от южного?
17. Почему отключение от сети мощных электродвигателей произво­
дят плавно при помощи реостата?
П ри м еры реш ения задач
12.1.
Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии
5 МэВ. Определите наибольший радиус орбиты, по которой движется
протон, если индукция магнитного поля циклотрона 1 Тл.
Дано:
W = 5 М-эВ =
= 5 106 1,6 10‘19(Дж) =
= 8 К Г 13 Дж
В = 1 Тл
/г — ?
Р е ш е н и е . На протон, влетающий в
магнитное поле, действует сила Лоренца (рис. 12.12)
р л=др Ву sina,
О )
сообщаю щая протону центростреми­
тельное ускорение а ц:
F n= m p % = m pv 2 /R ’
( 2 )
т.к. протон влетает перпендикулярно к
линиям магнитной индукции, то sin a =1.
Кинетическая энергия протона W=m \ 2!2.
Отсюда
( 3)
Решая систему уравнений (1) — (3), получим
R = 0,3 м.
287
12.2.
Самолет летит горизонтально со скоростью 900 км/ч. Найдите
разность потенциалов, возникающую между концами крыльев самолета,
если вертикальная составляющая земного магнитного поля 5 0=5 10'5 Тл,
а размах крыльев самолета 12 м.
Р е ш е н и е. За время At (рис. 12.13) само­
лет «заметает» площадку AS=\Atl. Магнитный
поток через эту площадку
АФ=В0АБ; а = 0.
Разность потенциалов, возникающая на кон­
U— 2
цах крыльев, равна ЭДС индукции, наводимой в
металлических крыльях самолета при его дви­
жении в магнитном поле Земли:
Дано:
v=900 км/ч=250 м/с
% =5 10"5 Тл
/=12 м
U =
• \*
I '•
АФ
At
£
В v A tl
= B \ l;
At
U = 0,15 В.
*F* * /*
• • •/ •
В
vdt
Рис. 12.12
Рис. 12.13
12.3.
Однородное электрическое и магнитное поля расположены вза­
имно перпендикулярно. Напряженность электрического поля 1 кВ/м, а
индукция магнитного поля 1 мТл. Какими должны быть направление и
величина скорости электрона, чтобы его движение было прямолиней­
ным и равномерным?
Дано:
F=1ООО В/м
5 = 1 0 '3 Тл
_____________
V — ?
288
Р е ш е н и е . При равномерном движении
F = F 3]l, F
и Fn направлены вдоль оси <ш> в
противоположном направлении, скорость будет
направлена вдоль оси «у» по правилу левой руки
(рис. 12.14):
F = e \B ,
F3*=eE’
e\B=eE,
v=EIB; v =106 m/ c.
12.4. В катушке с индуктив­
ностью 0,6 Гн сила тока равна
20 А. Какова энергия магнитного
поля этого тока? Как изменится
эн ер ги я поля, если сила тока
уменьшится вдвое?
Дано:
/=20 А
/= 0 ,6 Гн
/ 2= / j/2=10 А
? WXIW2 — ?
Рис. 12.14
Р е ш е н и е . Энергия магнитного поля
w ,=
LI2
L I 2, 2
El w.,2
2* -L^ *I22,
Wj =120 Дж.
_
ij
= 4 -;
*2
- L = 4.
" 2
12.5. Найдите энергию магнитного поля соленоида, в котором при
силе тока 10 А возникает магнитный поток 0,5 Вб.
Дано:
Ф=0,5 Вб
/ =10 А
W-
Решение.
Энергия магнитного поля
г2
т
и ; ф = и , где Ф - магнитный поток,
W = ------
W=
Ф1
W = 2,5 Дж.
12.6. С какой скоростью надо перемещать проводник, длина актив­
ной части которого 1м, под углом 60° к линиям магнитной индукции,
чтобы в проводнике возбуждалась ЭДС индукции 1 В? Индукция маг­
нитного поля 5=0,2 Тл.
Дано:
i- 1м
£= 1В
В = 0,2 Тл
а = 60°
Р е ш е н и е . При перемещении проводник
«заметает» площадку S=vAtl, поток магнитной
индукции за время At через эту площ адку
АФ=BS coscp, где <р = (90°- а ) — угол между нор­
малью Я к площадке и вектором В (рис. 12.15).
289
ЭДС индукции, возникающая в проводнике:
ё =
BS coscp _ vAtlB coscp
ДФ
At
At
At
= \1В coscp
Отсюда
Рис. 12.15
v =
= 5,8 м/с.
Bl coscp
12.7. В горизонтально направленном однородном магнитном поле
находится горизонтально расположенный проводник, перпендикулярный
полю. Какой ток должен протекать через проводник, чтобы он висел не
падая, если индукция поля 0,01 Тл, а масса 1 м длины проводника 10 г.
Дано:
772^
10'2 кг/м
В = 10'2 Тл
а = л/2
1 —
1
Р е ш е н и е . На проводник действуют сила тяжести Fr и сила Ампера FA. Проводник находится в
равновесии, если соблюдается равенство сил:
Fa ~
F, ■
( 1)
Сила Ампера FA=BIl sina. Так как проводник перпендикулярен полю и
sin п/2 =1, то FA= B ll, сила тяжести проводника
FT = m g = m 'lg .
Таким образом, BII = т 'lg, откуда I = m 'g l В; 1 « 1 0 А.
12.8. Чтобы определить индукцию магнитного поля между полюсами
электромагнита, в него поместили рамку из 50 витков тонкого провода.
Площадь рамки 3,2 см2. Рамку присоединили к баллистическому гальва­
нометру с постоянной 2 10'5 Кл/дел. Сопротивление рамки с гальваномет­
ром 100 Ом. Когда рамку выдернули из поля, стрелка гальванометра от­
клонилась на 20 делений. Чему равна индукция поля?
Р е ш е н и е . При выдергивании рамки из
Дано:
магнитного поля, в ней возник индукционный
N= 50
ток I. По закону Ома / = ё //?;
5=3,2 • 10-4 м2
0 = _ ( ф к_ ф н)/Д,;
(1)
q0=2-1О*5 Кл/дел.
Фк=0; Ф „ = Ж
(2)
Д=100 Ом
По определению сила тока
к=20 дел.
I=Aq/At => Aq=IAt\
В
290
i
Из формулы (1) Фн= S At, приравняем это выражение к уравнению
(2), получим
At
откуда
At
BNS = M ^ i .
At
Из уравнения (3) В - ^
;
(3)
В - 2,5Тл.
Задачи для самостоятельного решения
12.9. В однородном магнитном поле индукцией 0,2 Тл находится пря­
мой проводник длиной 0,2 м, концы которого подключены гибким прово­
дом, находящимся вне поля, к источнику ЭДС. Определите силу тока в
проводнике, если известно, что при расположении его перпендикулярно к
линиям индукции поля сила тяжести проводника, равная 0,4 Н, уравнове­
шивается силой, действующей на проводник со стороны поля.
О т в е т : 10 А.
12.10. Найдите индуктивность проводника, в котором равномерное изме­
нение силы тока на 2А в течение 0,5 с возбуждает ЭДС самоиндукции 20 мВ.
О т в е т : 5 мГн.
12.11. Плоская прямоугольная катушка из 200 витков со сторонами 10
и 5 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл.
Какой максимально вращающий момент может действовать на катушку в
этом поле, если сила тока в катушке 2А?
О т в е т: 0,1 Н м.
12.12. Найдите величину ЭДС индукции в проводнике с длиной актив­
ной части 0,25 м, перемещающемся в однородном магнитном поле с ин­
дукцией 8 мТл со скоростью 5 м/с под углом 30° к вектору магнитной
индукции.
О т в е т: 5 мВ.
12.13. В проводнике с длиной активной части 8 см сила тока равна
50 А. Он находится в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл.
Найдите совершенную работу, если проводник переместился на 10 см пер­
пендикулярно силовым линиям.
О т в е т: 8 мДж.
291
12.14. Найдите скорость изменения магнитного потока в соленоиде
из 2000 витков при возбуждении в нем ЭДС индукции 120 В.
О т в е т : 0,06 Вб/с.
12.15. Однородное магнитное поле с индукцией В направлено пер­
пендикулярно к плоскости медного кольца, имеющего диаметр £>=20 см и
толщину d= 2 мм. С какой скоростью должна изменяться во времени маг­
нитная индукция В, чтобы индукционный ток в кольце равнялся 10 А?
О т в е т: 2,7 103 Тл/с.
12.16. Отрицательная заряженная частица влетает в область однород­
ного магнитного поля с индукцией В = 1 мТл, где движется по дуге
окружности радиуса R = 0,2 м. Затем частица попадает в однородное
электрическое поле, где пролетает по направлению силовой линии учас­
ток с разностью потенциалов U= 1 кВ, при этом скорость частицы изме­
няется в п = 3 раза. Определите конечную скорость частицы.
О т в е т : ^3,8 • 106 м/с.
12.17. П ротон и электрон влетают в одн о р о д н о е м агнитное поле с
одинаковой скоростью , перпендикулярной индукции поля. Н айдите о т­
нош ение радиусов траекторий частиц.
О т в е т : 1835.
12.18. На непроводящем диске диаметром d=0,4 м закреплена прово­
лока длиной /=0,1 м, расположенная по радиусу диска так, чТо расстоя­
ние от одного ее конца до центра диска а = 0,1 м. При вращении диска в
однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл, направленном по
нормали к диску, между концами проволоки возникает разность потенци­
алов Аф = 600 мкВ. Определите угловую скорость вращения диска.
О т в е т: 2 рад/с.
12.19. В однородном горизонтальном магнитном поле с магнитной
индукцией В (рис. 12.16) по вертикально расположенным рельсам, зам­
кнутым через последовательно соединенный резистор сопротивлением
R и источник с ЭДС ё, свободно скользит без нарушения контакта
проводник АС длиной / и массой т. Найдите
„
величину скорости v и направление устано^ —|
|— |(-J'
вившегося движения проводника.
(+)
Ответ:
_
V —± -
( BI - m gR
2/2
В7
Рис. 12.16
292
Часзгь
4
КОЛЕБАНИ Я И ВОЛНЫ
Г л а в а
13. М Е Х А Н И Ч Е С К И Е К О Л ЕБА Н И Я И ВОЛНЫ
Механические колебания — это повторяющиеся во времени откло­
нения системы (или тела) от положения равновесия. Процесс распрост­
ранения колебаний в среде называют волной.
§108. Гармонические колебания
Колебания системы, выведенной из положения равновесия и предос­
тавленной самой себе при отсутствии внешних воздействий, называют­
ся свободными (собственными) колебаниями. Частота, с которой со­
вершаются свободные колебания, называется собственной частотой
колебаний.
Периодическими называются колебания, при которых значения физи­
ческих величин, изменяющихся при колебаниях, повторяются через рав­
ные промежутки времени. Отклонение колеблющейся точки от положе­
ния равновесия в данный момент времени называется смещением. Коле­
бания называются гармоническими, если колеблющаяся величина (на­
пример, смещение х) изменяется со временем по закону синуса или ко­
синуса:
х = xmsin(co? + ф0) = y4sin(co/ + <р0),
х = xmcos(co t + ф0) = Acos(a>t + ф0),
O ^ -l)
где А = хт — амплитуда колебаний; ф = (ю?+ф0)— фаза колебаний;
Ф 0 — начальная фаза колебаний, т.е. фаза в момент времени t = 0.
293
Амплитуда колебаний — это
физическая величина, равная мак­
сим альном у
см ещ ени ю
кол еб л ю щ ей ся си стем ы от
положения равновесия. В системе
СИ ам п л и ту д а и зм ер я ется в
метрах.
Фаза колебаний — физическая
величина, определяю щ ая поло­
ж ение колеблю щ ейся системы
в д ан н ы й м о м е н т врем ен и .
Фаза колебаний измеряется в ра­
дианах.
Различные состояния системы, совершающей гармонические коле­
бания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом
колебаний, за который фаза колебаний получает приращение 2 л , т.е.
[(co(t + г ) + % ) - (а) 1 + % )] = 2 л .
Отсюда
со = 2 я / Т = 2 7i V.
(13.2)
Период колебаний измеряется в секундах; v = 1 I T — частота (линей­
ная) колебаний. Частотой колебаний называется физическая величина,
равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени. Частота ко­
лебаний измеряется в герцах. 1 Гц — частота таких колебаний, период
которых равен 1с:
[v] = 1 Гц = 1 / с = с-1.
Пусть колебания осуществляются по закону синуса (рис. 13.1, а):
х = A sin(co/ + ф0).
Скорость колеблющейся точки \ х определяется как первая произ­
водная смещения х по времени t (рис. 13.1, б)\
\ х = х' = Acocos((ot + ф0) = /lcosin(coJ + ф0 + л / 2),
(13.3)
а ускорение — как вторая производная смещения х по времени t (рис.
13.1, в):
ах = х" = -co2nsin(cof + ф0) = co2n sin (W + ф0 + я ) = -со2*.
(13.4)
Из уравнений (13.3) и (13.4) следует, что скорость и ускорение изме294
няются также по гармоническому закону и с той же циклической часто­
той со; фаза скорости колебаний отличается от фазы смещения на п / 2, а
фаза ускорения — на п.
Рассмотрим систему, которая совершает свободные колебания. Со­
гласно второму закону Ньютона и выражению (13.4) результирующая
сила, действующая на колеблющуюся систему массой т, равна:
Fx = тах = - тю2х = -кх,
(13.5)
где к = т а 2 — коэффициент квазиупругой силы.
Из уравнения (13.5) видно, что свободные гармонические колебания
совершаются под действием силы, пропорциональной смещению х и
направленной в сторону, противоположную смещению. Эта сила подоб­
на упругой силе и поэтому называется квазиупругой силой. В качестве
примера свободных колебаний рассмотрим колебания груза на пружине
и колебания математического маятника.
§109. Колебания груза на пружине. Математический маятник
Пусть груз массой т колеблется на пружине, длина которой /, а ко­
эффициент жесткости (упругости) к (рис. 13.2).
В положении равновесия сила тяжести груза mg уравновешивается
силой упругости пружины Fq = кД/, т.е.
(13.6)
mg - кА1,
где Л/ — удлинение пружины. При растяжении пружины на величину х
ее удлинение увеличится и станет равным (А/ + х).
Тогда величина результирующей квазиупругой силы Fx, действую­
щей на груз, с учетом выражения (13.6) будет равна:
F = mg - к(А1 + х) = Fq - к(А1 + х) = - кх.
Знак минус в уравнении показывает, что смещение jc и сила Fx проти­
воположны по направлению. Для данного пружинного маятника сила Fx
является возвращающей силой.
Из выражений (13.2) и (13.5) получим
со = ф ф п = 2п / Т .
(13.7)
Отсюда можно определить период свободных колебаний пружинного
маятника Т и его частоту v:
Т = 2 л Л[ т /к ,
v = -J k/ гп / { 2 л ).
(13.8)
295
/// /////
ЛИШИ
lllllllll
о(
Рис. 13.2
Математическим маятником называется материальная точка М,
подвешенная к невесомой, нерастяжимой нити (рис. 13.3). На маятник
действуют сила тяжести F = mg и сила упругости нити Т , которые при
покоящемся маятнике уравновешивают друг друга (рис. 13.3, а).
Если маятник отклонить на малый угол а , то силы Рти Т будут
направлены под углом друг к другу и поэтому не уравновесятся (рис.
13.3, б).
Разложим силу тяжести FT на две составляющие: FHи F . Силу FH
направим вдоль нити, a F — по касательной к траектории движения
маятника. Результирующая сил FHи f сообщает маятнику центростре­
мительное ускорение, которое изменяет направление вектора скорости,
не меняя его модуля.
Сила F создает касательное ускорение, характеризующее изменение
модуля скорости.
Из подобия треугольников АСМО и АВМА запишем: F = mg sina.
Если угол а мал (~ 8°ч-10°), то sin a * х / / и
F = - m g x ll,
(13.9)
где х — смещение маятника, I — его длина. Знак минус означает, что
сила F направлена против смещения х. Сила F прямо пропорциональ­
на смещению х, т.е. является квазиупругой силой. Следовательно, в от­
296
сутствие сопротивления при малых углах отклонения а колебания мате­
матического маятника будут приблизительно гармоническими и осуще­
ствляются по закону:
а = a msin(co t + ф0),
где а т — амплитуда (угловая) колебаний. Сопоставляя выражения (13.5)
и (13.9), для коэффициента жесткости получим значение:
к = то)2 = mg / 1 ,
Отсюда циклическая частота
® = 4 s f l = 27Г/ г >
а период колебаний математического маятника
Т = 2n-Ji/g .
(13.10)
§110. Превращение энергии при гармонических колебаниях
Колеблющаяся система обладает кинетической и потенциальной энер­
гией. На примере пружинного маятника запишем выражения для потен­
циальной энергии деформированной пружины и кинетической энергии
движущегося шарика:
Е п - к х 2f 2 = mco2A 2 s i r 2(cot + (р0) / 2 ,
Е к = т \ 2/ 2 = та>2A 2 c o s 2(cot + (p0) /2 .
(13.11)
(13.12)
Полная энергия системы
Е = Еп + Ек = А2то)2/ 1 .
(13.13)
Отсюда амплитуда колебаний
А = yjlE /m /со.
(13.14)
При отклонении колеблющегося маятника от положения равновесия
величина смещения х увеличивается, а значит, увеличивается и потенци­
альная энергия. Максимальное значение потенциальная энергия имеет при
х = А, т.е. при наибольшем отклонении от положения равновесия. Ско­
рость же при этом равна нулю и кинетическая энергия равна нулю. Да­
лее смещение х уменьшается, потенциальная энергия тоже уменьшается,
а скорость колебаний и кинетическая энергия увеличиваются. Макси­
297
мальное значение кинетическая энергия приобретает в момент прохож­
дения маятником положения равновесия, когда потенциальная энергия
равна нулю. Таким образом, при колебании маятника происходит пре­
вращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Если ко­
леблющаяся система не теряет энергии, то полная энергия Е остается
при этом величиной постоянной.
§111. Вынужденные колебания. Резонанс
Колебания реальных механических систем являются затухающими,
так как колеблющаяся система теряет энергию на преодоление сил со­
противления. Амплитуда колебаний при этом уменьшается и колебания
со временем прекращаются. Чтобы получить незатухающие колебания,
надо периодически пополнять энергию системы, воздействуя на нее внеш­
ней силой. Колебания, происходящие под действием периодически из­
меняющейся внешней силы, называются вынужденными механически­
ми колебаниями. График зависимости амплитуды от времени при вы­
нужденных колебаниях показан на рис. 13.4. В начальной стадии, при
неустановившихся колебаниях, амплитуда возрастает, пока не достигнет
постоянной величины, с которой и происходят колебания. При устано­
вившихся колебаниях работа внешних сил за один период равна величи­
не потерь энергии колебательной системы за это время.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждаю-
А
и,р
Рис. 13.4
298
Рис. 13.5
со
щей силы. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы со к резонансной частоте ®р
называется механическим резонансом (рис. 13.5). Если сопротивление
колеблющейся системы мало, то резонансная частота приблизительно
равна частоте собственных колебаний. При этом амплитуда колебаний
может возрастать очень сильно. Явление резонанса необходимо учиты­
вать в технике и в быту. Так, например, колонне солдат запрещается в
"ногу" маршировать по мосту, чтобы не вызвать его разрушение.
Автоколебания - это незатухающие колебания, поддерживаемые в
колеблющейся системе за счёт энергйи внешнего источника. В отличие
от вынужденных колебаний при автоколебаниях сама колеблющаяся си­
стема управляет внешним воздействием. Так, например, механические
часы совершают автоколебания. За счёт энергии поднятой гири или зак­
рученной пружины маятник часов получает толчки в моменты прохож­
дения им положений равновесия.
§112. Распространение механических волн в упругих средах.
Поперечные и продольные волны
Механические колебания могут распространяться в упругих средах:
в твердых телах, в жидкостях и газах. Колебания отдельной частицы среды
вызывают колебания соседней частицы (или частиц), которые возбужда­
ют колебания следующей частицы. Так образуется волна - процесс рас­
пространения колебаний в какой-либо среде. Если взять резиновый шнур,
закрепленный с одного конца, а другой его конец заставить колебаться,
например движением руки вверх-вниз, то мы вызовем волну, бегущую
вдоль шнура. При этом каждая частица шнура будет колебаться в плос­
кости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такая
волна называется поперечной.
Если колебания частиц среды происходят в направлении распрост­
ранения волны, то такая волна называется продольной. Отметим, что
при распространении волны частицы среды не двигаются вместе с вол­
ной, а совершают колебательные движения около положений равнове­
сия. Так как волны переносят энергию, то при движении волны проис­
ходит перенос энергии без переноса массы вещества. Представление о
таком процессе переноса энергии было введено в физику Н.А. Умо­
вым.
299
Продольные упругие волны могут распространяться в твердых телах,
в жидкостях и газах, т.е. в средах, где возникают упругие силы при
деформациях растяжения и сжатия. Поперечные упругие волны могут
распространяться только в твердых телах, в которых возникают силы
упругости при деформациях сдвига. Неупругие поперечные волны мо­
гут возникать на поверхности жидкостей под действием сил поверхнос­
тного натяжения и силы тяжести.
Уравнение вида
(13.15)
называют уравнением плоской гармонической волны. Здесь s — смеще­
ние из положения равновесия колеблющихся точек с различными значе­
ниями координаты х в момент вре5
мени t\ х — расстояние колеблющейся точки от источника колебаX
х
О
ний;
ф = [co(f - x /v ) + ф0] — фаза
плоской волны; ф0 — начальная
фаза колебаний в точках х = 0; А —
Рис. 13.6
амплитуда волны; v — фазовая скорость волны. График смещения s в плоской волне изображен на рис.
13.6. Данный график показывает зависимость смещения всех частиц ко­
леблющейся среды от расстояния х до источника колебаний в данный
момент времени /.
Физическая величина, равная расстоянию между двумя ближайши­
ми частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной
волны и обозначается буквой X. Длина волны равна расстоянию, на ко­
торое распространяется волна за время, равное периоду Г, т.е.
X - \ Т = v / v,
(13.16)
где v — частота колебаний.
Волны, образующиеся при наложении двух волн с одинаковыми ча­
стотами и амплитудами, распространяющимися навстречу друг другу,
называются стоячими волнами.
Стоячие волны можно наблюдать на шнуре, один конец которого рас­
качивается, а другой закреплён. Стоячая волна выглядит неподвижной и
представляет собой чередование узлов и пучностей (рис. 13.7). В пуч­
ностях амплитуда возрастает в два раза по сравнению с амплитудой скла­
300
дывающихся волн, а в узлах
iучность
- обращается в ноль. По рас­
положению узлов и пучнос­
тей можно определить длину
волны X.
Стоячие волны энергию не
переносят.
Скорость распространения
волны в различных средах не
одинакова. О на зависит от
свойств среды. Согласно уравнению (13.16) волны одной и той же часто­
ты имеют различную длину волны при распространении в разных средах.
§113. Звуковые волны. Характеристика звука
Звуковыми волнами (звуком) называют упругие волны, распростра­
няющиеся в средах и имеющие частоту в пределах от 16 до 20000 Гц.
Если частота упругих волн меньше 16 Гц, то такие волны называют ин­
фразвуком, если больше 20 кГц, то — ультразвуком. Инфра- и ультра­
звуки человеческое ухо не слышит. Звуковая волна, распространяясь в
среде, переносит энергию. Интенсивностью звука I называется физи­
ческая величина, равная средней энергии, переносимой звуковой вол­
ной за единицу времени сквозь едикицу площади поверхности, распо­
ложенной нормально к направлению распространения волны:
1 - E/(St),
(13.17)
где Е — средняя по времени величина энергии волны; S — площадь
поверхности; t — время.
Единица интенсивности звука [/] = 1 Вт/м2.
Человеческое ухо имеет различную чувствительность к звукам раз­
ных частот. Для каждой частоты существуют наименьшая и наибольшая
интенсивности звука, которые воспринимаются человеческим ухом.
Минимальную интенсивность называют порогом слышимости, а макси­
мальную — порогом болевого ощущения. Графики зависимости приве­
дены на рис. 13.8.
Громкость звука зависит от амплитуды колебаний. Уровень громкос­
ти звука L, имеющего интенсивность I, оценивается формулой
301
-| Z, дБ
1-
Порог болевого ощущения
- -
120
-- 80
ю-!
Порог слышимости
--4 0
-■ 0
20
200
2000
v, Гц
20000
Рис. 13.8
Л
= 10 l g ( / / / 0),
(13.18)
где / 0 = 10~12 Вт/м2 — интенсивность звука на пороге слышимости при
частоте v = 1000 Гц. Уровень громкости измеряют в децибелах (дБ).
Тихий разговор составляет по уровню громкости 40 дБ, крик — 80 дБ,
шум реактивного двигателя (120 — 130)дБ.
Реальные звуки возникают в результате наложения большою числа
колебаний разных частот, т.е. обладают акустическим спектром. Разли­
чают сплошной и линейчатый акустические спектры. При сплошном спек­
тре волны частоты простых синусоидальных волн, входящих в ее со­
став, образуют непрерывную последовательность. Если волна представ­
ляет собой набор простых синусоидальных волн с дискретными часто­
тами, то спектр такой волны является линейчатым. Колебания с линей­
чатым спектром называются тональными. Они характеризуются опре­
деленной высотой. Высота звука определяется наименьшей частотой в
спектре. При этом относительная интенсивность других частот (оберто­
нов) определяет тембр звука. Скорость звука в различных средах раз­
лична. Так, в воздухе при нормальных условиях она чуть меньше сред­
ней скорости теплового движения молекул и составляет 340 м/с, в воде
(при 20°С) — 1480 м/с, в железе — 5850 м/с.
Ультразвук находит большое применение на практике: обнаружение
предметов в воде на расстоянии (локация), обнаружение дефектов в
металлических деталях (ультразвуковая дефектоскопия), ультразвуковая
диагностика и микромассаж в медицине и т.д.
302
Контрольные вопросы
1. Какое движение называется колебательным?
2. Какие колебания называются гармоническими?
3. Дать определения основных величин, характеризующих гармони­
ческие колебания (амплитуда, период, частота, фаза).
4. Какие колебания называются собственными?
5. Являются ли гармонические колебания равноускоренным движе­
нием?
6. Чему равна циклическая частота колебаний груза на пружине?
7. Как зависит период колебаний груза на пружине от массы груза и
жесткости пружины?
8. Какую колебательную систему называют математическим маятни­
ком?
9. При каком условии колебания математического маятника можно
считать гармоническими?
10. Какие превращения энергии происходят при гармонических ко­
лебаниях?
11. Какие колебания называются вынужденными?
12. При каком условии амплитуда вынужденных колебаний имеет
максимальное значение?
13. Какое явление называется резонансом?
14. Что называют волной?
15. Какие волны называются поперечными, продольными? Каковы
условия их возникновения?
16. Что такое звук? Что является источником звуковых колебаний?
17. От чего зависит скорость распространения звука в различных
средах?
18. Возбуждается ли звук в вакууме?
Примеры решения задач
13.1.
М ат е р и а л ь н ая то ч к а со в ер ш ает колеб ан и я по закону
х = 0,04cos2n(f + 0,25) .* Найдите амплитуду, период, частоту, цикличес­
кую частоту и начальную фазу колебаний.
* Значения физических величин, входящих в уравнение колебаний, здесь и
далее даются в системе СИ.
303
Дано:
х = 0 ,0 4 cos 2 7 t(f + 0,25)
Р е ш е н и е . Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:
А— ?Г— ? v — ?
(о — ? ф0 — ?
^ = ^maxCOS( ^ + 9 o ) (1)
Выразим циклическую частоту через пе­
риод, тогда уравнение (1) примет вид
2л
\
y ' + <P°J-
(2).
Сравнивая уравнения (1) и (2) с заданным, найдем амплитуду
А —у
Л
max
•
9
циклическую частоту ® = 2л рад/с;
период Т = 1 с и частоту v = l / T ;
v = 1Г ц ;
начальную фазу ф0 = 0,5л рад.
13.2.
Напишите уравнение колебаний материальной точки, если амп­
литуда колебаний 4 см, период колебаний 2 с и начальное смещение
2 см.
Дано:
Р е ш е н и е . Запишем уравнение гармони,
а 1 Л -2
ческих колебаний: •
А = 4 • 10 м
Т= 2 с
х —xmaxc o s (со^ + Ф0) .
х = 2 ■10 '2 м
Условия задачи
*та х = Л = 4 - Ю- 2 м.
х (0 — ?
Циклическая частота колебания
й> = 2;г/Г ;
с о - л р а д /с.
Для определения начальной фазы ф0 запишем уравнение колебаний
для момента времени t 0= 0:
Х0 =ЛсО8ф0, СО5ф0 = Х / А = ^ , Фо = j .
Таким образом, уравнение колебаний точки будет иметь вид
x = 4 - 1 0 _2 cos
(
v
nt +
304
п}
— = 4-10~2cos7t(/ + l/3)
J J
13.3.
Материальная точка массой т = 0,02 кг совершает гармоничес­
кие колебания, период которых 4 с, а начальная фаза равна нулю. Полная
энергия колеблющейся точки 1 • 10 4 Дж. Найдите амплитуду колебаний,
максимальную силу, действующую на точку, запишите уравнение коле­
баний точки.
Дано:
т = 0,02 кг
Т= 4 с
Р е ш е н и е . Запишем уравнение гармонических колебаний, начальная фаза которых
равна нулю:
x-Acosa>t(1)
Циклическая частота колебаний (в рад/с)
ф0 = 0
Е0 = 1 • 1(Г4 Дж
со =
А — 1* Fшах — ?
2п
п
т
2
‘
х (?) — ?
Полная энергия точки равна максималь­
ному значению кинетической энергии точки
или максимальному значению потенциальной энергии точки:
Е0
= £ кш ах = " ^ ш а х / 2
,
(2 )
где v max — максимальное значение скорости колеблющейся точки, ко­
торое можно найти из уравнения
v = х' = -Д ош п оУ ,
(3)
Лю = v max .
(4)
где
Подставим уравнение (4) в (2), получим
Е0 = т А \о 2 / 2 .
Отсюда
А - д/2 Е 0/ т / с о = T ^ j 2 E 0/ m / 2 л \
А = 6 ,3 -1 0 '2 м.
Уравнение (1) с учетом значений со и А будет иметь вид
х = 6,3 • 10“2cos(^ / 2) t .
По 2-му закону Ньютона максимальная сила, действующая на точку,
F max = w amax. Значение атах определим, записав уравнение для ускоре­
ния точки:
305
a —
—-A (o 2cos(ot >
отсюда
amax = Лео2 .
Тогда
F^=mAco\
Fmax = 3,15 ■10~3H.
13.4.
Математический маятник, имеющий массу 0,1 кг и длину 1 м,
отклонили от положения равновесия на 5 см. Какую скорость и потенци­
альную энергию он будет иметь на расстоянии 2,5 см от положения рав­
новесия?
Дано:
m = 0,1 кг
/= 1м
Р е ш е н и е . Запишем уравнение гармони­
ческих колебаний маятника, учитывая, что при
А = 5 -10 -2 м
этому
t0 = 0 смещение было максимальным х = А, по­
х = A coscot ■
Циклическая частота колебаний
х = 2,5 • 10 2 м
v - ?
Еп
- ?
(1)
со = 2%/Т ,
где период колебаний
Т = 27r^fljg, Т = 2с,
тогда
ю = л рад/с.
Для скорости движения маятника запишем уравнение
v = х' = -Лео sinco/ = Лео cos(co? +
л / 2)
Смещение х = 2,5 см маятник имеет через t с от начала движения.
Для определения t подставим в уравнение (1) значение х и со, полу­
чим
2,5 - КГ2 = 5 • l(T2cosTtf, cos n t = 0,5, nt = n / 3 ,
откуда
t = 1/3 с.
Значение скорости в этот момент времени
v = 5 •10'2л с о ^ п /З + л /,2),
306
v = -1 ,3 5 -1 0'1м/с.
Потенциальная энергия определяется по формуле Еп = кх2 / 2 , где
к — коэффициент квазиупругой силы. Для математического маятника
к - m g / 1.
Поэтому
En=mgx2/{21),
13.5.
Еп = 3-10~4Дж.
Груз массой т = 0,2 кг, подвешенный к пружине, совершает
30 колебаний в минуту с амплитудой 0,1 м. Определите жесткость пру­
жины, смещение груза от положения равновесия и его кинетическую
энергию через 1/6 периода после момента прохождения положения рав­
новесия. Колебания происходят по закону синуса.
Дано:
т - 0,2 кг
v = 30 мин-1 = 0,5 с -1
А = 0,1 м
t = 776
Р е ш е н и е . Гармонические колеба­
ния пружинного маятника могут быть
представлены уравнением
х = Hsinco/ •
Используя данные задачи, запишем
к — ? х — ? £ к— ?
х = 0,1 s u m /.
(1)
Скорость движения маятника
V
=
х' = 0,l7TCOS7tf ,
(2)
а = V = -0 ,lji2sin7tf = - п 2х ■
(3)
ускорение
Колебания маятника совершаются под действием силы F = — кх, ко­
торая сообщает маятнику ускорение а, определяемое уравнением (3).
По второму закону Ньютона тах = -к х или - ттс2х = - к х . Отсюда
жесткость пружины
к = л 2 т,
к = 1,96 Н/м.
Смещение груза от положения равновесия через t = 776 определим
по уравнению (1):
х =
0,lsin(2^/rX ?"/6) = 0,lsin(;r/3),
jc = 8,6-10“2м.
307
Кинетическая энергия груза через t = Т/6 от начала колебаний
, Ек = 4,9-1(Г3Дж.
13.6.
Два математических маятника в одном и том же месте Земли за
одинаковое время t совершают — один 30, а второй 40 колебаний. Како­
ва длина каждого маятника, если разность их длин 0,07 м?
Р е ш е н и е . Число колебаний, совершаемых
маятником за время t :
п = t/T, тогда
Дано:
и, = 30
п2 = 40
п\ /
/, - /2 = 0,07 м
п2 ~ Т 2 /
Т\ —
лАг /
h >
откуда /, = /2л22 / п \,
I‘| — 7• ‘2
/ — ?
Л/ = /, - /2 = /2[(«j / п\ ) ~ 4
отсюда
12= А 1 /\(4 / г?У ^
/,= 0,09 м ,
/j = /2 + А/, /j = 0,16 м.
13.7.
Период колебания маятника, подвешенного к потолку каби­
ны неподвижного вертолета, равен 2 с. Найдите периоды колебаний,
если:
1) вертолет летит горизонтально с постоянной скоростью;
2) вертолет летит горизонтально с ускорением 2 м/с2;
3) вертолет поднимается вертикально вверх с ускорением 2 м/с2;
4) вертолет опускается вертикально вниз с ускорением 2 м/с2.
Дано:
Т0 = 2 с
Р е ш е н и е . В инерциальной системе отсчета, если маятник покоится (рис. 13,9, а),
а - 2 м/с2
натяжение нити
g 0 = 9,8 м/с2
( 1)
/\,о = m g о •
Период колебаний
Г 0 = 2 т г Л/ 7 7 g o =
308
/ ^но ■
(2 )
а
б
в
г
Рис. 13.9
\
Система отсчета, связанная с вертолетом, который летит горизонтально
с постоянной скоростью, ийерциальная и период колебаний маятника
Т = Т0 = 2 с.
При горизонтальном полете с ускорением а положение равновесия
маятника изменится (рис. 13.9, б). Сила натяжения нити
F Hl = m g ,
=
n b jg l + а 2
,
(3)
а период колебаний
Г, = 27i^lml /
(4)
.
Из уравнений (2), (3) и (4) находим
Т, =Т0^
1
Tj = 1,98с.
(5)
Сила натяжения нити маятника изменится и при вертикальном рав­
нопеременном движении вертолета. При ускоренном подъеме (рис. 13.9, в)
натяжение нити
f„2 = mSo + m a = n ( g 0 + а ) ,
(6)
Т2 = 2 т г > / / Fh2 .
(7)
а период колебаний
При ускоренном спуске (рис. 13.9,
г)
натяжение нити
F* 3 = m( g o - a ) ,
(8)
309
а период колебаний
Тъ = 2 n jm l / FHз .
(9)
Из уравнений (2), (6) и (7) находим
Т2 = T<Jgo/ {go+a),
Т2 = 1,8с.
Из уравнений (2), (8) и (9) находим
T ^ T o h o A g o -a ).
Т3 = 2,24с.
13.8. При какой скорости поезда маятник длиной 11 см, подвешен­
ный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если расстояние между
стыками рельсов 12,5 м.
Дано:
/ = 0,11 м
t = ' 2-5 "
v - ?
Р е ш е н и е . Маятник будет сильно раскачиваться, если частота его собственных колебаний
-
757
v„=—
...
(О
совпадает с частотой вынужденных колебаний, свя­
занных с ударами колес о стыки рельсов:
v = v/Z.
(2)
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим
v = L - ^ g / l/ { 2 n ) , v= 19m /с.
13.9. Рыболов подсчитал, что за 10 с поплавок совершил на волнах
20 колебаний, а расстояние между соседними горбами волны около
1,0 м. Какова скорость распространения волн?
Дано:
t= Юс
п ~^0
А .-1,0м
v
•
Таким образом,
Р е ш е н и е . Скорость распространения волн
у = A,v, где X — длина волны (расстояние между
двумя соседними горбами), v — частота колебаннй:
v = n/t.
v=An/t, v = 2 m /c .
310
13.10. Из пушки произвели выстрел под углом 30° к горизонту. Ар­
тиллерист услышал звук разрыва снаряда через 44 с после выстрела.
Какова горизонтальная дальность полета снаряда, если его начальная скорость равна 800 м/с.
Р е ш е н и е . Дальность полета снаряда опре­
деляется по формуле (см. задачу 1.21)
Дано:
а = 30°
At = 44 с
v0 = 800 м/с
S = v 0A ^cosa,
узв = 340 м/с
(1)
где А/, — время полета снаряда. Это же рас­
стояние S звук проходит в обратном направле­
нии за время
At2 = S / w „ .
(2)
Промежуток времени At от выстрела до момента, когда артиллерист
услышал звук разрыва снаряда:
At - А/, + At2 .
(3)
Решая систему уравнений (1) - (3), получим
S - v3B-zlrv0c o s a /( v 3B+ v0cosa),
S = \ 0 km
Задачи для самостоятельного решения
13.11. Материальная точка совершает гармонические колебания с пе­
риодом 0,5 с. Амплитуда колебаний 0,9 м. Движение точки начинается
из положения х0 = 30 см. Напишите уравнение движения точки.
О т в е т : х = 0,9cos(4n/ + arccos
1/з).
13.12. Амплитуда гармонических колебаний точки 10 см, а частота
0,5 Гц. Напишите уравнение движения точки. Найдите фазу и смещение
через 1,5 с. Определите, через сколько времени смещение точки будет
7,1 см.
Ответ: х
-
0,1costi/; Зп / 2 рад; 0; 1,75 с.
13.13. За какой промежуток времени маятник, совершающий гармо­
нические колебания, отклонится от положения равновесия на половину
амплитуды? Период колебаний 3,6 с, начальная фаза равна нулю.
О т в е т: 0,3 с.
311
13.14. Уравнение движения точки имеет вид: х = 2sin7i/, где t выра­
жено в секундах. Какой путь проходит колеблющаяся точка за 2,2 с,
считая от начала движения.
О т в е т: 8,8 м.
13.15. Полная энергия тела, совершающего синусоидальные колеба­
ния, равна 3,0 • 10-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, рав­
на 1,5 ■10~3 Н. Напишите уравнение движения тела, если период колеба­
ний равен 2,0 с, а в начальный момент времени смещение тела от поло­
жения равновесия составляло 3,0 см.
О т в е т : х = 0,04sinn(/ + 0,3).
13.16. Груз массой 0,1 кг совершает гармонические колебания по
закону х = 0,lcosl007i/. Напишите уравнения зависимости скорости и
ускорения груза от времени. Найдите максимальные значения скорости
и ускорения, максимальную кинетическую энергию груза.
О т в е т: 31,4 м/с; 9,86 ■103 м/с2; 49,3 Дж.
13.17. Как относятся длины математических маятников, если за оди­
наковое время один из них совершает 30, а второй 90 колебаний?
Ответ:
/ 1г = 9-
13.18. Во сколько раз и как отличается период гармонических коле­
баний математического маятника на планете, масса и радиус которой в
4 раза больше, чем у Земли, от периода колебаний такого же маятника на
Земле?
О т в е т : Тш / Т а = 2 .
13.19. В покоящейся ракете маятник колеблется с периодом 1 с. При
движении ракеты вертикально вверх период колебаний уменьшился вдвое.
Определите ускорение ракеты.
О т в е т : и 30 м/с2.
13.20. Математический маятник длиной 1 м подвешен в лифте. Каков
будет период колебаний маятника, если: а) лифт поднимается с ускоре­
нием 1,8 м/с2, б) опускается с таким же ускорением?
О т в е т : 1,8 с; 2,2 с.
312
13.21. Груз, подвешенный на пружине с жесткостью 1 кН/м, колеб­
лется с амплитудой 2 см. Найдите кинетическую и потенциальную энер­
гию груза при фазе п/3.
О т в е т : 150 мДж; 50 мДж.
13.22. Ведра с водой на коромысле имеют частоту собственных коле­
баний 0,625 Гц. При какой длине шага вода будет сильно выплескивать­
ся, если человек с ведрами движется с постоянной скоростью 2,7 км/ч.
О т в е т : 0,6 м.
13.23. Пароход, проходящий по озеру, возбудил волну, которая дош­
ла до берега за 1 мин. Расстояние между соседними "горбами" волны
равно 1,5 м, а время между последовательными ударами о берег 2 с.
Каково расстояние от берега до проходящего парохода?
О т в е т: 45 м.
13.24. В однородной среде со скоростью 10 м/с распространяется
плоская волна, возбуждаемая источником, колеблющимся по закону
х = 0,2 sin20 nt, м. Определите длину бегущей волны, смещение точек
1 и 2, расположенных вдоль луча на расстояниях 10,25 м и 10,75 м от
источника, через 5 с от начала колебаний.
О т в е т : 1,0 м; - 0,2 м; 0,2 м.
13.25. Волна распространяется со скоростью 18 м/с, с частотой 6 Гц.
Чему равна разность фаз колебаний точек волны, отстоящих друг от
друга на расстоянии 0,75 м?
О т в е т : 1/2 п.
313
Г л а в а 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ i
§114. Свободные электромагнитные колебания в контуре
Электромагнитные колебания — это повторяющиеся во времени из­
менения зарядов, токов и напряжений электрического и магнитного по­
лей.
Простейшая система {колебательный кон­
тур),
в которой могут происходить свободные
г
L
электромагнитные колебания, состоит из кон­
денсатора электроемкостью С и катушки ин­
дуктивности L, присоединенной к его обклад­
кам (рис. 14.1).
Рис. 14.1
Рассмотрим идеальный колебательный кон­
тур, активным сопротивлением R которого бу­
дем пренебрегать. Пусть конденсатору был сообщен электрический за­
ряд qQ, на его обкладках появится напряжение U(}.
При этом
q0 = CUQ,
(14.1)
где q0 и U0 будут амплитудными (максимальными) значениями заряда и
напряжения.
Полная энергия системы W будет равна энергии электрического поля
конденсатора:
W = W3n= C U 20 / 2 = q l / ( 2 C ) .
(14.2)
Так как обкладки конденсатора замкнуты на катушку, конденсатор
начинает разряжаться, его электрическое поле — уменьшаться, в конту­
ре возникнет электрический ток. Вследствие явления самоиндукции раз­
ряд конденсатора будет происходить постепенно, и ток в катушке дос­
тигнет максимального значения / 0 через четверть периода Т. При этом
заряд конденсатора станет равным нулю, а энергия системы будет равна
энергии магнитного поля катушки:
W = WMar= L I 02 / 2 .
(14.3)
К моменту полного разряда конденсатора разность потенциалов на
обкладках его становится равной нулю, ток в цепи должен прекратиться.
314
Однако возникающая электродвижущая сила самоиндукции будет под­
держивать убывающий ток, что приведет к перезарядке конденсатора.
Постепенно ток в цепи уменьшится до нуля и, таким образом, через про­
межуток времени t = 772 энергия системы будет снова сосредоточена в
конденсаторе. То есть энергия магнитного поля катушки превратится в
энергию электрического поля конденсатора. Затем конденсатор вновь
начнет разряжаться, только ток через катушку потечет в обратном на­
правлении. Через промежуток времени t, равный периоду Т, система
придет в исходное состояние, и весь процесс будет повторяться.
Периодические изменения заряда и напряжения на обкладках кон­
денсатора, силы тока в катушке без потребления энергии от внешних
источников называются свободными электромагнитными колебани­
ями. В процессе таких колебаний происходит периодически повторя­
ющийся обмен энергией между конденсатором и катушкой индуктив­
ности.
Полная энергия Wконтура в любой момент времени равна сумме энер­
гий магнитного и электрического полей контура:
W = (Li 2 / 2 ) + q 2/ { 2C) ,
(Н .4 )
где i n q — мгновенные значения тока и заряда в контуре. Эта энергия не
меняется с течением времени, если активное сопротивление R контура
равно нулю.
В реальной колебательной системе взаимные превращения энергии
электрического и магнитного полей сопровождаются потерями энергии
на нагревание проводов.
При однократной зарядке конденсатора свободные электромагнитные
колебания в контуре затухают, т.е. их амплитуда с течением времени
уменьшается. Чем меньше активное сопротивление контура, тем мед­
леннее происходит процесс затухания колебаний.
§115. Собственная частота колебаний в контуре.
Формула Томсона
Напряжение на обкладках конденсатора в любой момент времени равно
электродвижущей силе самоиндукции:
q / С = —Li' ,
(14.5)
315
где /' — производная силы тока по времени или вторая производная
заряда по времени: /' = q".
Перепишем выражение (14.5) в виде q / С = -L q " , откуда получим
основное уравнение свободных электромагнитных колебаний в контуре:
q" = - q / { L C ) .
(14.6)
Уравнение (14.6) можно записать в виде
q’ = - < q ,
где ю0 =
l/VZc
(14-7)
— циклическая частота свободных электромагнит­
ных колебаний.
Периодом колебаний называют минимальный промежуток времени
Т, через который весь процесс в контуре повторяется, т.е. заряд или ток
в контуре совершает полное колебание.
Поскольку период колебаний связан с циклической частотой форму­
лой Т = 2л / со0, то для периода свободных электромагнитных колеба­
ний, используя выражение (14.7), получим формулу Томсона
T = 2nJbC .
(14.8)
Из решений уравнения (14.6) можно получить уравнения, описываю­
щие изменения заряда q, напряжения и и тока i в контуре:
q = ?oco s(« y + Фо),
и = q / C = {70cos(co0r + ср0),
i = q = - ? 0(Oosin(<V + Фо) = ~I0sm((o0t + срД
(14.9)
(14.10)
(14.11)
где / 0 = q0со0, (J0 = q0 / С — амплитудные значения силы тока и напря­
жения соответственно.
§116. Вынужденные электрические колебания.
Переменный электрический ток
Вынужденными называются колебания в цепи, происходящие под
действием внешней электродвижущей силы, изменяющейся с течением
времени.
316
Если в колебательный контур вклю­
чить источник с периодически изме­
няющейся ЭДС, то энергия контура
будет пополняться, в контуре возник­
нут вынужденные колебания, частота
которых определяется частотой вынуж­
дающей их переменной ЭДС. Приме­
ром таких колебаний является перемен­
ный ток. В основе получения перемен­
ного тока лежит явление электромаг­
Рис. 14.2
нитной индукции.
Если прямоугольную рамку площа­
дью S' равномерно вращать вокруг оси 0(У (рис. 14.2) с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукцией В , то в ней наводится
переменная ЭДС индукции, приводящая к возникновению индукцион­
ного тока в рамке.
Поток магнитной индукции Ф, пронизывающий рамку при ее враще­
нии, меняется гармонически:
Ф = BScosa = B S c o sa t,
(14.12)
где а = соt — угол между нормалью Я к рамке и вектором магнитной
индукции В ; со — циклическая частота колебаний, равная угловой ско­
рости вращения рамки.
Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции в рамке
равна взятой со знаком «минус» производной потока магнитной индук­
ции по времени:
IS, - - Ф '= - ВС (co sa t) - 5 5 sin со? = fi0 sin cor,
(14.13)
где
Sq = BSa — амплитудное значение ЭДС индукции.
Если эту рамку замкнуть на внешнюю цепь, то по цепи пойдет ток,
сила и направление которого изменяются.
Промежуток времени Т, в течение которого переменная ЭДС совер­
шает одно полное колебание, называется периодом переменного тока,
он совпадает с периодом вращения рамки в магнитном поле.
Число полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой
переменного тока v . Стандартная техническая частота переменного тока
317
50 Гц, это означает, что ЭДС и ток меняют свое направление 100 раз в
секунду. Величину (р = a t = 2nt / Т называют фазой переменного тока.
При данных амплитудных значениях ЭДС и силы переменного тока
фаза определяет мгновенные значения этих величин по модулю и на­
правлению.
Вынужденные электрические колебания в цепях могут происходить
под действием напряжения, меняющегося с частотой со по закону сину­
са или косинуса:
и = C/0sinco/
(14.14)
или
U = U 0COS(£>t,
где U0 — амплитуда напряжения в цепи переменного тока.
. Сила тока i в цепи в любой момент времени определяется по формуле
i = / 0sin(col + (pc),
где
(14.15)
/ 0— амплитуда силы тока; срс — сдвиг фаз между колебаниями
силы тока и напряжения.
Электрические машины, в которых механическая энергия превраща­
ется в электрическую с помощью явления электромагнитной индукции,
называют индукционными генераторами. Проволочную рамку, вращаю­
щуюся в однородном магнитном поле, можно рассматривать как про­
стейшую модель такого генератора.
§117. Действующее значение напряжения и силы тока
При вычислении работы и мощности переменного тока используются
действующие значения напряжения и силы тока.
Действующее значение силы переменного тока I равно силе посто­
янного тока, выделяющего в проводнике то же количество теплоты, что
и переменный ток за одно и то же время.
Действующие значения силы тока I, напряжения U и ЭДС £ связа­
ны с амплитудными значениями I0 , U0 и £0 следующими соотнош е­
ниями:
/ = / „ / * / 2 , U = U j 4 2 , £ = £0 / V 2 .
318
(14.16)
§118. Цепь переменного тока.
Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
Любая реальная электрическая цепь переменного тока содержит ак­
тивное сопротивление (сопротивление проводов, приборов и т.д.), ем­
костное сопротивление (емкость проводников, конденсаторов) и ин­
дуктивное сопротивление (обмотки электродвигателей, катушки элект­
ромагнитных приборов).
Емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивным со­
противлением переменному току. Основное отличие реактивного со­
противления от активного заключается в том, что оно только ограничи­
вает ток в цепи и на нем не происходит превращений электромагнитной
энергии в другие виды энергии.
Участки цепи, на которых происходит необратимый переход электри­
ческой энергии во внутреннюю с выделением теплоты, называют актив­
ной нагрузкой, а их сопротивление R — активным.
Если напряжение на зажимах цепи меняется по закону и - U0coscol,
то мгновенное значение тока в проводнике с активным сопротивлением
будет
i = и / R = U 0c o s a t / R = / 0cosco/,
(14.17)
где / 0 = U 0 / R — амплитуда силы тока.
Согласно выражению (14.16) / 0 = /V 2 и U0 = l / j 2 , a I - U / R ,
т.е. закон Ома для цепи переменного тока с активным сопротивлением
справедлив для мгновенных, амплитудных и действующих значений силы
тока и напряжения.
Мощность в цепи переменного тока определяется действующими зна­
чениями силы тока и напряжения и в случае чисто активного сопротив­
ления равна:
P = I 2R = IU .
(14.18)
Сопротивление X L катушки индуктивности переменному току назы­
вают индуктивным:
Xl =
u L.
(14.19)
Сопротивление конденсатора переменному току называют емкостным:
Х с = 1 / (соС ).
(14.20)
319
Полное сопротивление Z цепи, содержащей активное, индуктивное и
емкостное сопротивления, соединенные последовательно (рис. 14.3),
можно определить по формуле
Z = 4 R 2 + {X L - X c f .
(14.21)
Закон Ома для такого участка цепи переменного тока имеет вид:
для амплитудных значений
тока и напряжения
0
Рис. 14.3
I0 = U 0 / Z,
(14.22)
для действующих значений тока
и напряжения
I = U'/Z.
(14.23)
Для мгновенных значений тока и напряжения закон Ома не выполня­
ется.
§119. Резонанс в цепи переменного тока
Если колебательный контур включить в электрическую цепь перемен­
ного тока, то в нем возникают вынужденные колебания, частота которых
определяется частотой вынуждающей их переменной ЭДС со. Амплиту­
да колебаний силы тока зависит не только от параметров контура, т.е. R,
L, С, но и от частоты вынуждающей ЭДС со.
Если величина полного сопротивления цепи Z имеет наименьшее зна­
чение, то амплитуда колебаний силы тока 10 максимальна. При малом
активном сопротивлении R это происходит, если Ьоз - 1 / (соС) = 0. От­
сюда следует, что циклическая частота колебаний силы тока и вынужда­
ющей ЭДС со = J \/( L C ) , т.е. совпадает с циклической частотой свобод­
ных незатухающих колебаний в контуре.
Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний силы
тока в контуре при приближении циклической частоты внешней ЭДС со
к циклической частоте свободных незатухающих колебаний со0 называ­
ется резонансом в цепи переменного тока.
Если источник внешней переменной ЭДС подключен к колебатель­
ному контуру последовательно с его катушкой индуктивности и кон­
320
денсатором {рис. 14.4), то при резонансе в дан­
ном контуре сдвиг фаз между колебаниями
внешней ЭДС и силой тока равен нулю. Амп­
литуды колебаний напряжения на катушке ин­
д у к т и в н о с т и и к о н д е н с а т о р е один аковы :
с
-4
Yr
е
L a I o = / о /(“ С )При этом падения напряжения на катушке U L
и конденсаторе Uc , всегда противоположные по
Рис. 14.4
фазе, оказываю тся равными друг другу, т.е.
UL + U C - 0 . Все внешнее напряжение приходится на активное сопротив­
ление, создавая наибольшую силу тока в цепи, сдвиг по фазе исчезает:
Z = R, I0 = U / R , срс = 0 .
Резонансные значения
U, и
Uc
могут значительно превышать прило­
женное напряжение U. Это явление по­
лучило название резонанса напряже­
ний. Если при этом активное сопротив­
ление R мало, то ток в нем достигает
больших значений.
Графики зависимости
/0
R,<R
от со пока­
заны на рис. 14.5.
со
со0
Как видно из графиков, чем меньше
R, тем острее максимум резонансной
Рис. 14.5
кривой.
Явление электрического резонанса используется в радиотехнике при
настройке радиоприемников на частоту передающей радиостанции.
§120. Трансформатор
Для изменения напряжения переменного тока применяются трансфор­
маторы. Работа трансформатора основана на явлении электромагнитной
индукции.
Трансформатор состоит из замкнутого стального сердечника (магнитопровода) и двух (или большего числа) надетых на него катушек
321
г _
n if
-и .
&Рис. 14.6
с различны м числом витков (рис.
14.6).
Для уменьшения потерь энергии, в
связи с возникновением токов Фуко,
сердечники трансформаторов делают
не сплошными, а состоящими из от­
дельных изолированных друг от друга
пластин. К одной катушке (первичной)
подводится преобразуемое напряжение
С/,, а с другой (вторичной) снимается напряжение U2.
Переменный ток, протекая по первичной катушке, создает в замкну­
том сердечнике переменный магнитный поток, который возбуждает ЭДС
индукции £) и § 2 в первичной и вторичной катушках.
Между ЭДС индукции в катушках и числом витков в них существу­
ет соотношение
£ j / £ 2 = п^л \~к,
(14.24)
где п2 и п1-— число витков в катушках соответственно, к — коэффици­
ент трансформации.
Обычно активное сопротивление катушек трансформатора мало, по­
этому
, а при разомкнутой вторичной катушке и
Поэтому для холостого хода трансформатора соотношение (14.24)
можно переписать: U2 / U l
= п 2/ пх -
к.
Если к > 1, трансформатор повышающий, если к < 1 — понижающий.
Следует отметить, что в школьном учебнике физики коэффициент
трансформации к вводится как отношение
пх/ п2 ,
что не соответствует
определению, принятому в электротехнике и, на наш взгляд, является
менее удобным.
Энергия из первичной катушки во вторичную передается только при
наличии нагрузки во вторичной катушке трансформатора. Пренебрегая
потерями энергии на нагревание и перемагничивание сердечника, мож­
но записать I ]U ] = I2U 2.
Отсюда
Ui / U l = / , / / 2.
322
(14.25)
Таким образом, во сколько раз повышается напряжение, во столько
же раз уменьшается сила тока.
В действительности I2U2 < / ,С/,, поэтому для трансформатора вво­
дится коэффициент полезного действия
Ц = 12и 2/ ( Щ ) .
(14.26)
§121. Электромагнитные волны.
Свойства электромагнитных волн
Электромагнитной волной называется распространяющееся в про­
странстве переменное электромагнитное поле.
В 1860 г. Максвелл, основываясь на работах Фарадея об электриче­
стве и магнетизме и опытных законах Кулона, Ампера и других ученых,
создал теорию электромагнитного поля. Эта теория основана на следую­
щих положениях:
1. Всякое изменение магнитного поля создает в окружающем про­
странстве вихревое электрическое поле.
2. Всякое изменение электрического поля возбуждает в окружаю­
щем пространстве вихревое магнитное поле.
Согласно Максвеллу переменные электрическое и магнитное поля не­
разрывно связаны друг с другом.
Совокупность неразрывно связанных изменяющихся вихревых элек­
трического и магнитного полей называют электромагнитным полем.
Из теории Максвелла следует, что любой движущийся с ускорением
(например, колеблющийся) электрический заряд должен излучать элек­
тромагнитные волны.
При распространении электромагнитных волн в каждой точке про­
странства происходят периодически повторяющиеся изменения элект­
рического и магнитного полей, которые можно представить в виде коле­
баний векторов напряженности Е электрического поля и индукции В
магнитного поля. Эти векторы взаимно перпендикулярны и лежат в плос­
кости, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. пер­
пендикулярно вектору ее скорости v в рассматриваемой точке поля (рис.
14.7). Это означает, что электромагнитные волны являются поперечны­
ми волнами.
Векторы Е и В в бегущей волне колеблются в одинаковой фазе: они
одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максималь323
*t
Ё
В
Рис. 14.7
ных значений. Длина электромагнитной волны X есть расстояние меж­
ду двумя ближайшими точками, совершающими колебания в одинако­
вых фазах, и определяются по формуле
X = v ■т = v / о ,
(14.27)
где Т — период колебаний, а о — их частота.
Скоростью электромагнитной волны v называется скорость распро­
странения данной фазы колебаний, например, скорость перемещения мак­
симума напряженности электрического поля Е .
Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не за­
висит от длины волны и равна скорости света в вакууме, т.е. приблизи­
тельно 3 • 108 м/с. В среде скорость электромагнитной волны
\ = с/^[щ,
(14.28)
где с — скорость света в вакууме; е и ц — диэлектрическая и магнит­
ная проницаемости среды.
Из выражения (14.28) следует, что отношение с / \ = ^/вр = п. Его
называют абсолютным показателем преломления среды. Следователь­
но, в любой среде скорость распространения электромагнитных волн
меньше, чем в вакууме.
Для вакуума формула (14.27) принимает вид
с = Х0 и ,
(14.29)
где Ха — длина волны в вакууме.
Впервые электромагнитные волны в лабораторных условиях получил
Г.Герц. Он применил вибратор, состоящий из двух металлических стер­
жней, к которым подводилось переменное напряжение высокой часто­
ты. В момент образования искры в зазоре между стержнями в вибраторе
324
возникали электромагнитные колебания и в окружающее пространство
излучались электромагнитные волны.
Аналогичный вибратор был использован для приема волн. Экспери­
ментально Герц показал, что электромагнитные волны, подобно свету,
отражаются металлическими поверхностями и преломляются на границе
раздела двух диэлектрических сред.
При наложении электромагнитных волн двух когерентных источни­
ков наблюдается явление интерференции, при прохождении их через ма­
лые отверстия или щели — явление дифракции.
Распространение электромагнитных волн связано с переносом энер­
гии электромагнитного поля, что позволяет осуществлять радиосвязь.
§122. И зл у ч ен и е и п р и ем эл ек т р о м а гн и т н ы х волн.
П р и н ц и п р ади осв я зи
Для осуществления радиосвязи необходимо интенсивное электромаг­
нитное излучение. Колебательный контур, изображенный на рис. 14.1,
электромагнитные волны излучает слабо, т.к. электрическое поле в нем
сосредоточено в узком промежутке между обкладками конденсатора.
Такой контур называется закрытым.
Для увеличения излучения энергии в пространство обкладки конден­
сатора раздвигают, т.е. переходят от закрытого колебательного контура к
открытому — типа антенна с заземлением (рис. 14.8).
В этом контуре переменное электрическое поле окружает его снару­
жи, что повышает интенсивность электромагнитного излучения. Катуш­
ка антенны имеет индуктивную связь с катушкой колебательного конту­
ра генератора незатухающих высокочастотных электромагнитных коле­
баний (рис. 14.9).
Вынужденные колебания высокой частоты в антенне создают в окру­
жающем пространстве переменное электромагнитное поле. Интенсивность
электромагнитного излучения пропорциональна частоте колебаний. По­
этому для осуществления радиосвязи используются электромагнитные
волны с частотой от нескольких сотен тысяч герц до сотен мегагерц.
Прием электромагнитных волн также производится открытым ко­
лебательным контуром, подобным излучающему контуру. Для хоро­
шего приема необходимо, чтобы приемный колебательный контур был
настроен в резонанс с передающим контуром. Настройка производит­
ся конденсатором переменной емкости или катушкой переменной ин­
дуктивности.
325
ВЧ-генератор
Рис. 14.8
Рис. 14.9
Идея использования электромагнитных волн для передачй информа­
ции на расстояние была впервые высказана русским ученым А.С. Попо­
вым, а в мае 1895 г. им был построен и продемонстрирован в действии
первый радиоприемник.
Разновидностями радиосвязи являются радиовещание (передача речи
и музыки) и телевидение (передача изображения). Схема радиопередат­
чика и радиоприемника изображена на рис. 14.10.
Генератор незатухающих колебаний 1 вырабатывает высокочастот­
ные незатухающие колебания. Звуковые колебания с помощью микро­
фона М преобразуются в электрические колебания. В модуляторе 2 под
действием звуковых колебаний происходит изменение либо амплитуды
(амплитудная модуляция), либо частоты (частотная модуляция) колеба­
ний, вырабатываемых генерато­
ром. После усилителя 3 модули­
рованные колебания поступают
в передающую антенну 4, кото­
рая излучает электромагнитные
волны в эфир. Эти волны посту­
пают в антенну радиоприемника
5 и в контуре 6 вызывают элект­
ромагнитные колебания. Этот
контур с помощью конденсато­
ра переменной емкости С на­
строен в резонанс с принимае­
мыми электромагнитными коле­
Рис. 14.10
баниями.
326
Принятые колебания высокой частоты поступают в усилитель 7, а за­
тем в детектор 8, где происходит процесс преобразования модулирован­
ных колебаний в колебания низкой частоты. После усилителя 9 низкоча­
стотные звуковые колебания подаются на динамик Д, где воспроизво­
дится информация, поступившая в микрофон.
К о н т р о л ь н ы е в оп р осы
1. Что называется колебательным'контуром?
2. Что называют электромагнитными колебаниями?
3. Какие электромагнитные колебания называют свободными? По­
чему такие колебания являются затухающими?
4. В чем состоит различие между свободными и вынужденными
электромагнитными колебаниями?
5. В чем проявляется аналогия между электромагнитными колеба­
ниями в контуре и колебаниями пружинного маятника?
6 . Чему равна энергия контура в произвольный момент времени?
7. Как определить период свободных электромагнитных колебаний
в колебательном контуре без активного сопротивления?
8 . Как изменится период свободных колебаний, если конденсатор
контура заменить другим конденсатором с вдвое меньшей емкостью?
9. Где сосредоточена энергия контура через четверть периода после
начала колебаний?
10. Что такое затухающие и незатухающие колебания?
11. Как можно получить переменный ток?
12. Что такое период, частота, фаза переменного тока?
13. Что называют действующими значениями силы тока и напряжения?
14. Какие виды сопротивлений различают в цепи переменного тока?
В чем отличие активного и реактивного сопротивлений?
15. В чем заключается принцип работы трансформатора?
16. При каком условии возникает электрический резонанс?
17. Что такое электромагнитное поле и электромагнитные волны?
18. Какой формулой выражается зависимость скорости распрост­
ранения электромагнитной волны в веществе от свойств вещества?
19. Что называют длиной электромагнитной волны?
20. Какова скорость распространения электромагнитных волн и как
она связана с длиной волны и частотой?
327
Примеры решения задач
14.1. Период колебаний в колебательном контуре 10 “5 с. При под­
ключении параллельно конденсатору контура дополнительного конден­
сатора емкостью 3 10- 8 Ф период колебаний увеличился в 2 раза.
Определите индуктивность катушки и начальную емкость конденсато­
ра контура.
Дано:
j _ jg -5 с
1
С2 —3 - 1 0
Ф
Р е ш е н и е . Период свободных колебаний в
контуре определяется по формуле Томсона. До
подключения дополнительного конденсатора период
т = ?т
:2 - 1--------- •
___
Г ,=
2лу[Щ .
.
(1)
С, — ?
При параллельном подклю чении к конден­
сатору контура дополнительного конденсатора
емкость контура станет равной (С, + С 2), поэтому период колебаний
будет
Т2 = 2%ГЩ С Х+ С2) .
(2)
Из уравнений (1) и (2) имеем
гп2
L=
пг»2
1 , L = 2 ,5 10“4 Гн
Ап С2
1н>
2 7
Из формулы (1) найдем емкость конденсатора
с, = - 5 1
с , =10-* Ф.
An L
14.2. На какую частоту настроен радиоприемник, если в его колеба­
тельный контур введена емкость 0,1 пФ и в нем возникает ЭДС самоин­
дукции 0,2 В при скорости изменения силы тока в нем 2 А/с?
328
Дано:
Р е ш е н и е . Искомая частота будет равна
С = 0,1 пФ = К Г 13 Ф
ё с = 0,2 В
у _ 1 _
Т
AI / At = 2 А/с
~
1
2nJ~LC '
К)
Для определения индуктивности контура
воспользуемся выражением для ЭДС само­
индукции:
‘■ - С
откуда
4
-
^
м
Подставим уравнение (2) в (1), получим
V —------ ■ 1
v « l ,6
Щ
V
МГц.
с
АI
14.3.
Конденсатору сообщили заряд q =10 "6 Кл, затем, отключив от
источника постоянного напряжения, присоединили к катушке индуктив­
ности. Определите максимальный ток в катушке, если частота электро­
магнитных колебаний в контуре
Дано:
Ю “ 6 Кл
v = 1 0 4 Гц
--------------------^max
?
1о4 Гц.
Р е ш е н и е . После отключения от источника конденсатор обладает энергией
^з = <?2 /(2 С ).
(1)
При разряде конденсатора в контуре происходит
превращение энергии. Пренебрегая активным сопро­
тивлением проводов, будем считать, что в момент пол­
ного разряда конденсатора энергия электрического
поля W3 целиком переходит в энергию магнитного поля катушки:
K=LIL/
2,
(2)
где / тах — максимальный ток в катушке; L — ее индуктивность.
329
По закону сохранения энергии q 2 / ( 2 С) = Z ,/^ / 2 , откуда
(3 )
max
■
Частота колебаний в контуре
(4 )
V 27tVZc ’
4-=2»r9V, Im = V & W * A.
14.4.
На какую длину волны настроен колебательный контур, если он
состоит из катушки, индуктивность которой 2 мГн, и плоского конден­
сатора. Расстояние между пластинами конденсатора 1 см, диэлектри­
ческая проницаемость вещества, заполнившего пространство между пла­
стинами, равна 1 1 , площадь пластины 800 см2.
Дано:
L = 2 • 10 3 Гн
d = 1 см = 1 0 ' 2 м
8
=
S=
11
8
• 10' 2 м 2
Р е ш е н и е . Длина волны, на которую
настроен контур, связана с периодом коле­
баний Т в нем выражением
к = сТ,
( 1)
где с — скорость распространения электро­
магнитных волн, равная скорости света в ва­
кууме:
Т = 2 Дл/Z C -
(2)
Емкость плоского конденсатора
С = е0е£ / d ,
(3)
где е 0 — электрическая постоянная.
Решая уравнения (1), (2), (3), получим
14.5.
В рамке, содержащей 100 витков, равномерно вращающейся в
однородном магнитном поле, поток магнитной индукции изменяется по
закону ф = 2,0 -К Г 3 cos 314?. Определите зависимость возникающей в
рамке ЭДС от времени; максимальное и действующее значения ЭДС,
мгновенное значение ЭДС для t = 5 мс.
330
Дано:
N = 100
Р е ш е н и е . Мгновенное значение ЭДС,
возникающей в каждом витке, равно пер-
Ф - 2 0 10 ” 3 c o s3 14?
в°й производной магнитного потока по времени,.; взятой со знаком м и н ус, т.е.
? = 5-10"
т
= ^-Ф ', при N витках
? «о
'■
-no'
Так как Ф =
® 0c o s c d ?
, то
= Afo0 o sin<a? = £ o sin(o/.
( 1)
Таким образом, зависимость мгновенного значения ЭДС от времени
будет иметь вид
=100-314-2,0-КГ3sin314? = 62,8 sin314?,
(2)
где максимальное значение ЭДС
/ ’0 = ЛТуФ0,
f 0 = 62,8 В.
Действующее значение ЭДС
$ =
£ = 4 4 ,5 В.
. V2
Мгновенное значение ЭДС найдем, подставив в уравнение (2) соот­
ветствующее значение t:
= 62,8 sin 314 •5 • 10 '3,
14.6.
ё , = 62,8 В.
На участке цепи с активным сопротивлением 4 Ом сила тока
изменяется по закону / = 6,4sin314?. Определите действующее значение
силы тока, активную мощность, выделяющуюся на этом участке.
Дано:
Р е ш е н и е . Закон изменения силы тока со
R = 4 Ом
временем в общем виде i = / 0 smco?. Значит,
/ - 6,4sin314?
амплитудное значение силы тока 10 = 6,4 А. Дей-
I— ?Р— ?
ствующее значение силы тока
Мощность, выделяющаяся на активном сопротивлении,
P = I 2R, Р —82 Вт.
14.7.
В сеть стандартной частоты 50 Гц с напряжением 100 В после­
довательно включены активное сопротивление 150 Ом и конденсатор ем­
костью 16 мкФ. Найти полное сопротивление цепи, силу тока в ней, на­
пряжение на зажимах активного сопротивления и конденсатора.
д ан0;
v_
Р е ш е н и е . Полное сопротивление цепи переменного тока определится по формуле
и = 100 В
150 Ом
С = 16 10-6 Ф
Z = ^ R2 + X 2 = ^ R 2+{\/{(oC))2,
R=
Z— ? /— ?
Z
= 250 Ом,
где
х с = 1 /(соС) = 1/(2nvC) ,
Uк — ? Uc — ?
емкостное сопротивление Х с = 200 Ом. Сила тока в цепи по закону Ома
для действующих значений напряжения и силы тока
I=U/Z /=0,4А
Напряжение на-активном сопротивлении UR=I R, UR=60В, на конден­
саторе UC= I X C ,
14.8.
Uc =80 В .
К источнику переменного напряжения, изменяющегося по за­
кону U = 300 sin 200л?, подключили последовательно катушку индук­
тивностью 0,5 Гн, конденсатор емкостью 10 мкФ и активное сопротив­
ление 100 Ом. Определите полное сопротивление цепи и амплитудное
значение тока.
Дано:
17 = 300 sin 2 0 0 nt
Р е ш е н и е . Из заданного уравнения переменного напряжения видно, что амплитудное
I = 0,5 Гн
С = 10' 5 Ф
R = 100 Ом
значение напряжения U0 = 300 В, цикличес­
Z -?
332
/0
кая частота со = 200л рад/с. Амплитудное зна­
чение тока определим по закону Ома:
I o - U 0/ Z ,
( 1)
где Z — полное сопротивление цепи переменному току, определяемое по
формуле
Z = ,Jr 2 + (Х , - X c f ,
(2)
где R — активное сопротивление цепи; X , = соL — индуктивное сопро­
тивление; Хс = 1ДсоС) — емкостное сопротивление.
Подставив значения R, X L, Хс в уравнение (2), получим 2 - 180 Ом,
подсчитаем из уравнения (1):
/ 0
= 1,66 А.
14.9.
Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффи­
циентом трансформации, равным 8 , включена в сеть с напряжением
220 В. Сопротивление вторичной обмотки трансформатора 2 Ом, сила
тока во вторичной цепи трансформатора 3 А. Определите напряжение на
зажимах вторичной обмотки и КПД трансформатора. Потерями в пер­
вичной обмотке пренебречь.
д ано;
17 = 220 В
^
к —о
Р е ш е н и е . Число витков в обмотках трансформатора связано с индуцированной в обмотках
ЭДС соотношением
R2 = 2 0 м
j
_
= ”2/п\ = Ук ’
з д
—
иг - ч
0 ) '‘
где £, и
— ЭДС индукции соответственно в
первичной и вторичной обмотках; к — коэффициент трансформации.
Так как по условию задачи потерями в первич­
ной обмотке пренебрегают, то индуцированная в ней ЭДС
равна под­
веденному к ней напряжению: f§j = t/j.
Тогда из уравнения (1)
$2 = СУ*
•
Если сопротивлением вторичной обмотки пренебречь нельзя, то на
ней происходит потеря напряжения I 2R2 и тогда на зажимах вторичной
обмотки напряжение
и 2
=
&2 - h
R 2 = U \ / k - l 2 R 2'
и 2
=
2 1 ’5
В
-
333
КПД нагруженного трансформатора
(U J k h M l « _ о 77
и,
jkс/,
u
е
14.10.
’
Определите длину электромагнитной волны в вакууме, на кото­
рую настроен колебательный контур, индуктивность которого 2,0 • 10 ” 7 Гн,
если максимальный заряд конденсатора 20 нКл, а максимальный ток в
контуре 1,0 А. Какова емкость конденсатора в контуре? Какова энергия
электрического поля конденсатора в тот момент, когда энергия магнит­
ного поля составляет 3/4 от ее максимального значения? Определите на­
пряжение на конденсаторе в этот момент. Активным сопротивлением кон­
тура пренебречь.
Дано:
<?0
Р е ш е н и е . Длина волны опре-
= 20 нКл = 2 • К Г 8 Кл
Деляется по формуле
I = 1,0 А
Ь = 2 0 10' 7 Гн
jI = q
ГД 6
Ь = сТ,
(1)
С — СК0 Р0СТЬ электромагнитной
волны в вакууме, равная скорости
с = 3 ■ 108 м/с
света;
Т = 2nJLC
— период коле-
4 'W
Wмаг = 3- , /(
/ 'Л
т 0 м а г)/
_____________________
^ — ?с — ?
цг
г, и
^
б™тт ‘
тДля нахождения Т используем закон сохранения и превращения энергии. При незатухающих колебаниях
максимальная энергия магнитного
поля равна максимальной энергии
электрического поля и равна полной энергии колебаний в контуре:
W0Mar = W 0 3J1 = W3JI + WMar,
(2)
2
2
Чо _ LIо
2С
Тогда
2
2
_ Чъ_
11
h
х -2п —
h
Длина электромагнитной волны Я —с- 2 я у 2- , Я ~ 3 8 м.
334
(3)
Из формулы (3)
о
После подстановки в выражение (2) получим
откуда
^ =
7
4
^ =
7
4
%
2
=2,5-10 '7 Дж.
(4)
Энергия электрического поля в произвольный момент времени
Используя уравнение (4), имеем
CU2
1 LI]
откуда
Задачи для самостоятельного решения
14.11. Какой величины индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости конденсатора 50 пФ получить частоту
свободных колебаний 10М Гц?
О т в е т: 5 мкГн .
14.12. На какую частоту настроен радиоприемник, если его прием­
ный контур обладает индуктивностью 1,5 мГн и емкостью 450 пФ?
О т в е т: 0,19 МГц.
14.13. Вычислите частоту собственных колебаний в контуре, актив­
ное сопротивление которого равно нулю, если индуктивность в нем
12 мГн, а емкость 0,88 мкФ. Как изменится частота колебаний, если
последовательно включить в контур еще три таких конденсатора?
О т в е т : 1550 Гц; увеличится в 2 раза.
14.14. В колебательном контуре к конденсатору параллельно присое­
динили другой конденсатор вдвое большей емкости, после чего частота
колебаний контура уменьшилась на 300 Гц. Определите первоначальную
частоту колебаний контура.
О т в е т : 710Гц.
335
14.15. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсато­
ра с двумя пластинами по 2 0 0 см 2 каждая и катушки индуктивностью
1 мкГн, резонирует на частоту 7,5 МГц. Определите расстояние между
пластинами конденсатора.
О т в е т: 4 10' 4 м.
14.16. Рассчитайте массу груза, совершающего механические коле­
бания на пружине с жесткостью 0,3 Н/м с частотой, совпадающей с ча­
стотой колебаний колебательного контура, составленного из катушки ин­
дуктивностью 120 мГн и двух параллельно соединенных конденсаторов
емкостью 104 мкФ и 2 104 мкФ.
О т в е т : 1 0 " 3 кг.
14.17. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью
1,0 мГн и конденсатора емкостью 10 мкФ. Конденсатор заряжен до мак­
симального напряжения 100 В. Определите максимальный заряд кон­
денсатора и максимальный ток в контуре. Запишите уравнение для опре­
деления мгновенного значения заряда и тока в контуре. Колебания счи­
тать незатухающими.
О т в е т : 1,0 10 "3 Кл; 10А.
14.18. В колебательном контуре с индуктивностью 0,40 Гн и емкос­
тью 20 мкФ амплитудное значение тока 100 мА. Каким будет напряжение
на конденсаторе в тот момент, когда энергия электрического поля будет
равна энергии магнитного поля? Колебания считать незатухающими.
О т в е т : 10,0 В.
14.19. В рамке, содержащей 100 витков, равномерно вращающейся
в однородном магнитном поле, магнитный поток изменяется по закону
Ф = 1,0 10' 4 cos 628 t. Определите частоту изменения ЭДС, возникаю­
щей в рамке, ее максимальное и действующее значения.
О т в е т : 100 Гц; 6,28 В; 4,45 В.
14.20. Рамка площадью 400 см 2 имеет 100 витков и равномерно вра­
щается в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл. Период вра­
щения рамки 0,1 с. Определите максимальное значение ЭДС, возникаю­
щее в рамке, если ось вращения перпендикулярна к силовым линиям
магнитного поля.
О т в е т : 2,5 В.
336
14.21. Сила тока изменяется по закону i = 8,5 sin(31At + 0,651). Опре­
делите амплитудное значение силы тока, его начальную фазу, частоту.
Каково показание амперметра, включенного в эту цепь?
О т в е т: 8,5 А; 0,651 рад; 50 Гц; 6,0А.
14.22. Катушка индуктивности с ничтожно малым активным сопро­
тивлением включена в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. При
напряжении 125 В сила тока в цепи 2,5 А. Какова индуктивность катуш­
ки?
О т в е т: 0,16 Гн.
14.23. Проводник имеет активное сопротивление 15 Ом и индуктив­
ность 63 мГн. Найдите полное сопротивление проводника в сети пере­
менного тока с частотой 50 Гц.
О т в е т : 24,8 Ом.
14.24. Катушка с активным сопротивлением 15 Ом и с индуктивнос­
тью 52 мГн включена в цепь тока с частотой 50 Гц последовательно с
конденсатором емкостью 120 мкФ. Напряжение в сети 220 В. Найдите
силу тока в цепи.
О т в е т: 12 А.
14.25. Ток в первичной обмотке трансформатора 0,5 А, напряжение
на ее концах 220 В. Ток во вторичной обмотке 11 А, а напряжение 9,5 В.
Определите коэффициент полезного действия трансформатора.
О т в е т : 95%.
14.26. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффи­
циентом трансформации 10 включена в сеть с напряжением 120 В. Со­
противление вторичной обмотки 1,2 Ом, ток в ней 5 А. Определите на­
пряжение на зажимах вторичной обмотки.
О т в е т: 6 В.
14.27. От генератора переменного тока питается электропечь сопро­
тивлением 22 Ом. Определите количество теплоты, выделяемой элект­
ропечью за 1 час, если амплитуда тока 10 А.
О т в е т : 3,96 МДж.
337
Часть
5
ОПТИКА
Г л ав а
15. Г Е О М Е Т РИ Ч Е С К А Я О П Т И К А
§123. Э лем енты фотометрии
Фотометрия занимается вопросами измерения энергии, переноси­
мой световыми волнами. Физические величины, характеризующие свет
с точки зрения переносимой энергии, называются фотометрическими.
К ним относятся: световой поток, сила света, освещенность и другие.
Источник света называется точечным, если его размеры по сравне­
нию с расстоянием до места наблюдения пренебрежимо малы.
Световой поток Ф - это энергия световой волны, оцениваемая по
зрительному ощущению, переносимая в единицу времени через некото­
рую поверхность.
Силой света Уточенного источника называется физическая величи­
на, равная световому потоку, создаваемому этим источником в единич­
ном телесном угле.
Телесный угол со - это часть пространства, ограниченная конической
поверхностью.
Для измерения телесного угла (рис.
15.1) описывается сфера с центром О,
расположенная в вершине конической
поверхности. Величина телесного угла со
изм еряется отн ош ен и ем площ ади S
338
части поверхности сферы, вырезанной конической поверхностью, к квад­
рату радиуса сферы г. Единица телесного угла стерадиан (стер) - есть
такой телесный угол, для которого S = г2.
Если точечный источник излучает световую энергию равномерно по
всем направлениям, то сила света
4л ’
где Ф - полный световой поток, излучаемый источником света. В СИ
единица силы света - кандела (кд) (см. приложение 2 ).
Световой поток в телесном угле со пропорционален силе света J то­
чечного источника, создающего этот поток, и телесному углу со, т. е.
Ф=М.
Единица светового потока - люмен (лм). 1 лм - это световой поток,
который создает точечный источник света в 1 кд в телесном угле в
1 стер, т. е. 1 лм = 1 кд ■ 1 стер.
Если источник света протяженный и неравномерно излучает свет по
различным направлениям, то сила света небольшого участка его повер­
хности AS в данном направлении
J = Игл — ,
Дш->0 Д о
где ДФ - световой поток, созданный участком AS поверхности источни­
ка света внутри телесного угла Дсо.
Освещенностью Е называется физическая величина, равная отно­
шению светового потока Ф, падающего на поверхность, к площади S
этой поверхности:
£ =- .
(15.1)
Единица освещенности - люкс (лк). 1 лк - это освещенность поверх­
ности в 1 м 2 при падении на нее в перпендикулярном направлении свето­
вого потока в 1 лм, т. е. 1 лк = 1 лм/м2.
Для получения зависимости освещенности от расстояния до освеща­
емой поверхности опишем около точечного источника света силой ./сферу
радиуса г. Согласно формуле (15.1) освещенность сферы равна полно­
му световому потоку Ф = 4 nJ, деленному на поверхность сферы
S = 4пг2, следовательно
339
Таким образом, освещенность обратно пропорциональна квадрату
расстояния г от точечного источника света до освещаемой поверхности.
Освещенность поверхности, которую создает точечный источник све­
та, зависит также от угла падения лучей а (угол между падающим све­
товым лучом и перпендикуляром, восстановленным из точки падения
луча к плоскости, на которую он падает):
= Jcosa
(1 5 2 )
г2
Формула (15.2) является законом освещенности от точечного источ­
ника света.
§ 124. Световые лучи. Закон прямолинейного
распространения света. Скорость света
Линии, вдоль которых распространяется свет, называются световы­
ми лучами.
Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически од­
нородной среде распространяется прямолинейно.
Если среда содержит неоднородности — отверстия, щели, малые пре­
пятствия, то прямолинейность распространения света может нарушать­
ся.
Скорость распространения света в вакууме — одна из основных
физических констант; она является предельной скоростью распростра­
нения каких-либо физических возмущений и входит в формулы многих
физических законов. Поэтому определению скорости света в вакууме в
физике уделяется много внимания.
Первое измерение скорости света в вакууме сделал Ремер в 1676 г.
астрономическим методом по результатам исследований периода затме­
ния одного из спутников Юпитера. В лабораторных условиях скорость
света впервые измерил Физо (1849 г.). По его данным с а 313000 км/с.
Более точно измерил скорость света Майкельсон в 1878-1882 гг. Он
получил значение скорости света в вакууме с = 299 792,5 ± 3 , 4 км/с.
По со в р ем ен н ы м д ан н ы м , ск о р о сть св ета в вакуум е
с = 299 792 456,2 ± 1,1 м/с.
340
В различных прозрачных средах свет распространяется с разной ско­
ростью. На основании теории электромагнитных волн можно найти от­
ношение скоростей распространения света в вакууме и среде:
п = с / V,
где п — абсолютный показатель преломления среды, v — скорость
света в среде; с — скорость света в вакууме.
Абсолютный показатель преломления зависит от частоты света и от
состояния среды (плотности и температуры).
Различие в скоростях распространения света в двух средах, отлича­
ющихся оптической плотностью, является причиной преломления света
на границе раздела этих сред.
§ 125. Законы отражения и преломления света.
Полное отражение. Предельный угол
Закон отражения: отраженный и падающий лучи лежат в одной плос­
кости с перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в
точке падения и по разные стороны от него; угол отражения /' равен
углу падения
/; = / , .
Закон преломления-, падающий и преломленный лучи лежат в одной
плоскости с перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред
в точке падения и по разные стороны от перпендикуляра;
отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть ве­
личина постоянная для данных сред:
sin/, / s i m
2
= n2l,
(15.3)
где n2l — относительный показатель преломления второй среды относи­
тельно первой:
и2, = п 2 / п 1.
(15.4)
Учитывая формулу (15.4), закон преломления можно записать в виде
H,sin/, = « 2 sin/2 .
(15.5)
Если обратить луч III (рис. 15.2), заставив его падать на границу
раздела под углом /2, то
преломленный лучвпервой среде будет рас­
пространяться под углом
/j, т.е. пойдет в направлении обратном лучу I.
В этом заключается свойство обратимости светового луча.
341
II
Если свет распространяется из сре­
ды с большим показателем преломления
«, (оптически более плотной) в среду с
меньшим показателем преломления п2
(оптически менее плотную, и, > п2), на­
пример, из стекла в воду, то согласно
уравнению (15.5)
sin i, / sin i2 = n 2 / n, < 1 ,
Рис. 15.2
(15.6)
преломленный луч удаляется от норма­
ли и угол преломления
/2
больше, чем угол падения /, {рис. 15.3). С
увеличением угла падения увеличивается и угол преломления до тех пор,
пока при некотором угле падения (/, = /пр ) угол преломления не окажет­
ся равным 90°.
Угол падения луча /пр, при котором преломленный луч скользит по
границе раздела двух сред, называется предельным углом полного от­
ражения. При углах /, > /пр весь свет полностью отражается. При при­
ближении угла падения к предельному интенсивность преломленного луча
уменьшается, а отраженного — растет. Если /, = /пр, то интенсивность
преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного
равна интенсивности падающего.
Вода
Стекло
5
Рис. 15.3
342
Таким образом, при углах падения в пределах от /пр до л/2 луч не
преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интен­
сивность отраженного и падающего лучей одинакова. Это явление назы­
вается полным отражением:
(15.7)
sin/,пр = л2 / и , .
Если п2 = 1, то sin/
1
= —.
п,
Явление полного отражения имеет место только при падении света из
среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.
§126. Ход лучей света в плоскопараллельной пластинке
и трехгранной призме. Плоское зеркало
При падении света на прозрачную пластинку с плоскими параллель­
ными гранями световой луч
частично отражается от по­
верхности, частично прелом­
ляется. Луч, дважды прелом­
ленный на каждой поверхно­
сти, выходит из пластины па­
раллельно падающему лучу с
н екоторы м см ещ ен и ем h
{рис. 15.4).
Пусть на п лоскоп арал­
лельную пластинку, толщина
Рис. 15.4
которой d и показатель пре­
ломления п, из воздуха ( пвт « 1) падает луч света под углом /,. Прело­
мившись под углом /2, луч падает на вторую поверхность пластины
под углом
/3
и выходит в воздух (угол преломления /4). Запишем за­
кон преломления света для верхней и нижней пластины:
sin/) / sin/2 = п , sin/3 / sin/4 =
1/
п .
П ерем н ож и м эти у р а в н е н и я , уч и ты вая, что
/2
= Ц ■ Тогда
sin/, ' sinz4 = 1 , следовательно /, = i . .
343
Равенство этих углов означает, что вышедший из пластины луч па­
раллелен падающему лучу. Смещение луча h определяется, как видно из
рис. 15.4, соотношением h = ABsm(i^ - i2):
т.к. АВ = d / cos i2, то
h = rfsin/,^1 - cos/, / ncosi2j .
(15.8)
Следовательно, параллельное смещение луча, вышедшего из плос­
копараллельной пластины, пропорционально толщине пластины и возра­
стает с увеличением показателя преломления пластины и угла падения
луча.
В оптических приборах широко применяются прозрачные трехгран­
ные призмы, состоящие из оптически более плотного вещества, чем
окружающая среда. Луч света, проходя через такую призму, отклоняет­
ся в сторону основания призмы (рис. 15.5). Грани призмы, на которых
происходит преломление входящего и выходящего лучей, называются
преломляющими, а образованный ими двухгранный угол ф — прелом­
ляющим углом призмы. Луч SA падает на одну из граней призмы, пре­
ломляется и распространяется в направлении АВ к другой грани; прело­
мившись вторично в точке В, луч выходит в воздух в направлении ВС
под углом б к первоначальному направлению. Этот угол 5 называется
отклоняющим углом призмы. Для тонких призм (с малыми углами 8 )
при малых углах падения света на них справедлива формула
6 = <р(и-1).
(15.9)
Все тела в большинстве случаев отражают часть падающего на них
светового потока. Поверхности отполированных тел называют зеркаль­
ными. Зеркальное отражение света от поверхности приводит к образова­
нию оптического изображения светяще­
гося или освещенного предмета, рас­
положенного перед этой поверхностью.
Рассмотрим построение изображе­
ния светящейся точки в плоском зер­
кале MN (рис. 15.6). Из всех лучей вы­
делим два: лучи SC и SD. В результате
зеркального отражения образуются от­
раженные лучи СС] и D D y Когда отра, сс
женные лучи попадают в глаз наблюдаРис. 15.5
344
Рис. 15.6
теля, у него создается впечатление, будто эти лучи выходят из одной
точки, лежащей на пересечении продолжения отраженных лучей. Точка
является изображением точки S. Такое изображение, образующееся
на пересечении воображаемых продолжений отраженных лучей, назы­
вается мнимым. Изображение светящейся точки в плоском зеркале рас­
положено с противоположной стороны зеркала в точке, симметричной
светящейся точке относительно зеркальной поверхности, т.е. расстояние
SA = A SV Изображение предмета в плоском зеркале состоит из сово­
купности изображений отдельных его точек. На рис. 15.7 показано изоб­
ражение A
предмета АВ, расположенного перед плоским зеркалом.
Таким образом, изображение предмета в плоском зеркале является
мнимым, прямым и размером в натуральную величину. Оно располо­
жено с противоположной стороны зеркала симметрично предмету отно­
сительно зеркальной поверхности, однако по сравнению с предметом
правая и левая стороны в его изображении меняются местами.
§ 127. Линзы. Оптическая сила линзы.
Формула тонкой линзы
Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя
поверхностями (одна из них чаще сферическая, а вторая — сферичес­
кая или плоская), преломляющими световые лучи. Материалом для линз
служат стекло, кристаллы, пластмассы. По внешней форме линзы де­
лятся на (рис. 15.8): 1 ) двояковыпуклые; 2 ) плосковыпуклые; 3) двоя­
345
1
2
3
4
5
6
Рис. 15.8
ковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6 ) вогнуто-вы­
пуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рас­
сеивающие. Линза называется тонкой, если ее толщина (расстояние меж­
ду ограничивающими поверхностями) значительно меньше радиусов кри­
визны поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая че­
рез центры кривизны поверхностей линзы, называется главной опти­
ческой осью. Оптическим центром линзы называется точка, лежащая
на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи про­
ходят сквозь нее без преломления. Всякая прямая, проходящая через
оптический центр линзы под углом к главной оптической оси, называет­
ся побочной осью.
Если на линзу направить пучок лучей параллельно главной оптичес­
кой оси, то после преломления в линзе они или их продолжения пересе­
кутся в одной точке, расположенной на оптической оси линзы. Эта точ­
ка называется главным фокусом линзы. Расстояние от главного фокуса
до оптического центра линзы называется фокусным расстоянием лин­
зы. Плоскость, проходящая через фокус линзы перпендикулярно к ее
главной оптической оси, называется фокальной плоскостью.
Оптической силой линзы в среде называется величина
D = n/F,
(15.10)
где п — показатель преломления среды; F — фокусное расстояние лин­
зы.
В воздухе D = 1 / F.
Оптическая сила измеряется в диоптриях. За одну диоптрию принята
оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой равно одно­
му метру: 1 дптр= 1 /м.
346
Оптическую силу собирающей линзы принято считать положитель­
ной, а рассеивающей — отрицательной. Оптическая сила D системы
двух линз, составленных вместе, равна алгебраической сумме оптичес­
ких сил обеих линз:
D = D x+ D2.
(15.11)
В среде, оптически более плотной по сравнению с материалом лин­
зы, выпуклые линзы становятся рассеивающими, а вогнутые — соби­
рающими.
Построим изображение светящейся точки S, расположенной на глав­
ной оптической оси собирающей линзы (рис. 15.9). Для этого использу­
ем луч SO, падающий на линзу вдоль главной оптической оси и сохраня­
ющий то же направление после прохождения сквозь линзу, и произволь­
ный луч SA, который падает на линзу параллельно побочной оптической
оси ОБ и после преломления в линзе пересекает фокальную плоскость
MN в точке В и главную оптическую ось в точке S j.
Точка Sj является изображением светящейся точки S. Введем обо­
значения: d — расстояние от светящейся точки 5 до оптического центра
О линзы; / — расстояние от изображения S x до оптического центра О;
F — фокусное расстояние линзы.
Н а р и с. 15. 9 тр еу го л ь н и к и S AS х и O B S x п одоб н ы , поэтом у
SSX/ OSx = AS X/ BSXили ( d + f ) 1f = A S x / BSX. Из подобия треугольников
OASx и FBSXимеем OSx / FSX= ASX/ BSX и л и / / ( f - F) = A SX/ BSX.
В этих пропорциях правые части равны, поэтому
(d+fi/f=f/(f-F ).
Отсюда получаем fF + Fd = fd. Разделив это уравнение на fdF, нахо­
дим формулу тонкой линзы:
Рис. 15.9
347
1 / F = 1 / d + 1 If.
(15.12)
В левой части этой формулы стоит оптическая сила линзы:
D = \ / d + \ If
Уравнение (15.12) справедливо и для рассеивающей линзы.
При использовании формулы (15.12) необходимо придерживаться сле­
дующего правила знаков. Расстояние предмета от линзы принято счи­
тать положительным (d > 0 ), если предмет находится слева от линзы, и
отрицательным (d < 0), если предмет расположен справа от линзы. Фо­
кусное расстояние собирающей линзы — положительное (F>0), а рас­
сеивающей — отрицательное (F < 0). Если при этих условиях в резуль­
тате расчета по формуле (15.12) получается положительное расстояние
изображения от линзы i f > 0 ), то изображение действительное и распо­
ложено с противоположной стороны линзы. Если же расстояние ока­
жется отрицательным, то изображение мнимое и расположено по ту же
сторону линзы, что и предмет.
Запишем без вывода формулу тонкой линзы через радиусы кривизны
сферических поверхностей:
(15.13)
где пп — показатель преломления линзы; нср — показатель преломле­
ния среды, в которой находится линза; 7?,,
— радиусы кривизны
сферических поверхностей линзы.
§128. Построение изображения в линзах
Для построения изображения точки в тонкой линзе достаточно по­
строить ход каких-либо двух выходящих из этой точки лучей до паде­
ния на линзу и после преломления в ней. Изображение предмета полу­
чается как совокупность изображений отдельных его точек. При пост­
роении изображений предметов в линзах пользуются лучами, ход ко­
торых показан на рис. 15.10: (а — в собирающей линзе; 6 — в рассе­
ивающей):
1 — луч, идущий параллельно главной оптической оси, после пре­
ломления в собирающей линзе проходит через задний главный фокус
собирающей линзы, а после преломления в рассеивающей линзе рас348
a
v
б
Рис. 15.10
пространяется так, что его продолжение проходит через передний глав­
ный фокус линзы;
2 — луч, который проходит через передний главный фокус собираю­
щей линзы, после преломления в ней распространяется параллельно глав­
ной оптической оси; если луч 2 падает на рассеивающую линзу так, что
его продолжение проходит через задний главный фокус линзы, то после
преломления в рассеивающей линзе он распространяется параллельно
главной оптической оси;
3 — луч, падающий в оптический центр линзы, после прохождения
сквозь линзу не изменяет своего направления.
Можно построить изображение светящейся точки как в собирающей,
так и в рассеивающей линзе с помощью побочных оптических осей.
Проводится побочная оптическая ось СТО" любого направления (рис.
15.11). Через светящуюся точку проводится луч, параллельный побоч­
ной оси СТО". Преломленный луч или его продолжение пройдет через
349
a
6
Рис. 15.11
точку пересечения А побочной оптической оси 0 " 0 " с фокальной плос­
костью линзы MN. Второй луч проводится по главной оптической оси,
он пройдет линзу без преломления. Точка пересечения этих двух лучей
(или их продолжений) есть изображение S j .
Рассмотрим типичные случаи построения изображений предмета при
помощи собирающей линзы. Предмет обозначим стрелкой АВ, его изоб­
ражение Л
1. Предмет бесконечно удален от линзы (рис. 15.12, а). От предмета
на линзу падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси лин­
зы. После преломления лучи пересекаются в фокусе линзы.
2. Предмет расположен за двойным фокусом (d > 2F). Полученное
изображение (рис. 15.12, б ) — действительное, обратное и уменьшенное.
3. Предмет расположен перед линзой на двойном фокусном рассто­
янии (d = 2F). Изображение (рис. 15.12, в) — действительное, обратное,
в натуральную величину.
350
d =
O'
O'
d>2F
O'
d=2F
2F
O'
Puc. 15.12
4. Предмет находится между двойным фокусом и фокусом линзы.
Изображение — действительное, обратное, увеличенное (рис. 15.13, а).
5. Предмет в фокальной плоскости линзы. Лучи из линзы выходят
параллельными (рис. 15.13, б) друг другу. Изображения не будет.
6 . Предмет между фокусом и линзой. Изображение — мнимое, пря­
мое и увеличенное, находится с той же стороны линзы, что и предмет
(рис. 15.14, а).
Построение изображения предмета в рассеивающей линзе показано
на рис. 15.14, б. Рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное
и прямое изображение предмета, расположенное между линзой и ее глав­
ным фокусом с той же стороны, что и предмет.
Отношение линейных размеров изображения предмета /?, в линзе
к линейным размерам предмета h называется линейным увеличением
линзы:
T =h J h .
(1 5 .1 4 )
351
Рис.. 15.13
А
Вш
F
В,
Рис. 15.14
Линейное увеличение можно выразить и через расстояния d и f.
V = f/d .
(15Л5)
Собирающая линза дает увеличенное изображение только тогда, ког­
да расстояние от линзы до изображения больше расстояния от линзы до
предмета. Рассеивающая линза дает только уменьшенное изображение
предмета.
Увеличение в линзе считается положительным, когда h и /г, находят­
ся на одной стороне главной оптической оси линзы (изображение пря­
мое, мнимое), и отрицательным, когда h и /г, находятся по разные сторо­
ны от главной оптической оси линзы (изображение перевернутое, дей­
ствительное).
352
§129. Фотоаппарат. Глаз. Очки
Фотоаппарат служит для получения действительного уменьшен­
ного (иногда увеличенного) изображения предмета, находящегося в боль­
шинстве случаев за двойным фокусным расстоянием от объектива (си­
стемы линз или, в простейшем случае, одной собирающей линзы). Объек­
тив вставляется в переднюю стенку камеры. У задней стенки камеры
помещается фотопластинка или фотопленка, покрытые тонким слоем чув­
ствительной к свету фотоэмульсии. На них возникает изображение Aj Bj
предмета АВ (рис. 15.15).
объектив
камера
I,
Рис. 15.15
Световой поток, падающий на светочувствительный слой, регулиру­
ется фотографическим затвором, который открывает свету доступ на
время, называемое временем экспозиции т. Оптимальное т зависит от
освещенности фотопленки и ее чувствительности. Освещенность зави­
сит от светового потока, поступающего через объектив с диаметром d.
Обычно фотопленка находится вблизи фокальной плоскости объектива.
d 2
Освещенность фотопленки пропорциональна величине —j , называемой
F
светосилой объектива. Качество объектива оценивается по величине отd
носительного отверстия — ■ На оправах объективов обозначаются их
г
фокусные расстояния F и относительные отверстия в виде 1 •—г ■
d
Глаз. Основным оптическим элементом глаза является хрусталик.
Он состоит из прозрачного вещества, коэффициент преломления кото­
353
рого п —1,5 примерно равен коэффициенту преломления оптического
стекла. С оптической точки зрения хрусталик представляет собой двоя­
ковыпуклую собирающую линзу с фокусным расстоянием около 1,5 см.
Рассматриваемый предмет проектируется хрусталиком на дно глазного
яблока, которое выстлано сетчаткой. Сетчатка представляет собой сет­
ку светочувствительных элементов, в которых световая энергия преоб­
разуется в энергию нервного возбуждения зрительного нерва.
Не очень мелкие детали, например печатный текст, лучше всего рас­
сматриваются глазом на расстоянии 25 см. Такое расстояние называют
расстоянием наилучшего зрения. При расположении предмета на рас­
стоянии наилучшего зрения от глаза изображение предмета фокусирует­
ся хрусталиком нормального глаза как раз на сетчатке.
Встречаются два вида отклонения от нормального зрения: близору­
кость и дальнозоркость. При близорукости изображение предмета фо­
кусируется хрусталиком в плоскости перед сетчаткой (рис. 15.16, а), а
при дальнозоркости - в плоскости за сетчаткой (рис. 15.16, в). Это зна­
чит, что фокусные расстояния хрусталика близорукого глаза меньше, а
оптическая сила больше, чем у хрусталика нормального глаза. У хрус­
талика дальнозоркого глаза, наоборот, фокусное расстояние больше, а
оптическая сила меньше, чем у хрусталика нормального глаза. Эти не­
достатки глаза можно исправить с помощью дополнительных линз очков.
в
г
Рис. 15.16
354
Близорукость глаза исправляется с помощью рассеивающей линзы
(рис. 15.16, б)\ дальнозоркость - с помощью собирательной линзы
(рис. 15.16, г). Оптическая сила сложенных вместе линз равна алгебра­
ической сумме оптических сил отдельных линз системы. Поэтому опти­
ческая сила системы хрусталик - линза должна равняться оптической
силе нормального глаза.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит свойство обратимости лучей?
2. Каким является изображение предмета в плоском зеркале?
3. При каком условии возникает полное отражение света? Что такое
предельный угол?
4. От чего зависит смещение луча, вышедшего из плоскопараллель­
ной пластинки?
5. От чего зависит оптическая сила линзы?
6 . Дайте определение единицы измерения оптической силы.
7. Вы ведите формулу тонкой линзы.
8
. Запишите формулу тонкой линзы для случая лупы.
Примеры решения задач
15.1.
Расстояние между осветительными лампами 5[ и S2 силой
= 600 кд и J2 = 1200 а д равно / = 4 м . Лампы подвешены на высоте
А] = 2 м и / | 2 = 5 м над освещаемой поверхностью. Определите осве­
щенности в точках А, В и С (рис. 15.17), если точка С лежит на середи­
не расстояния между А и В.
Дано:
J j = 600 кд
J2 = 1200 кд
/ =4м
/г, = 2 м
h2 = 5 м
I
А
С
В
Рис. 15.17
355
Р е ш е н и е . Освещенность в точке А Е ^ = Е ^ + ЕА2, где Еах и Еа2
- освещенности, создаваемые в точке А каждой лампой отдельно. По
закону освещенности (15.2) находим:
= ~т + —г cos а ,
К
rl
J2h2
г, Ел «173 лк.
hf + (h2
2 + l 2\]h 2 + l :
Аналогично находим Ев и
г.
t/ т
t/|
Е„ ~ - ^ + - ~ c o s a ,
/г2
2
гЧ2
J.A ,
J1
= - v +
^2
~
« 61 лк.
(h?+l2\[h[+l:
ZT = - 1j c o s a 3 + —
J yCosa2
2
Ес
=—
JA
^+
'3
У
+
■
2
E„ = 92 лк.
\
* +7
15.2.
Найдите число изображений TV точечного источника света 5,
полученных в двух плоских взаимно перпендикулярных зеркалах. Ис­
точник находится на биссектрисе угла (см. рис. 15.18).
Дано:
а = я /2
^
г,
Р е ш е н и е . Отразим источник S в зеркале 1.
Для этого опустим перпендикуляр на плоскость зеркала и на нем отложим расстояние а х, равное рас­
стоянию а от источника S до зеркала 1. Получим изоб­
ражение источника . Аналогично рассуждая, по­
строим изображение источника S2 в зеркале 2. Теперь учтем, что изоб­
ражение S j является предметом для зеркала 2. Для того чтобы построить
изображение S\ в зеркале 2, продолжим плоскость зеркала 2 (ОС) и
отразим т.
в зеркале 2 , получим изображение S y
356
'- - - - - - - - - ^ / У
7 /////////в
А
Рис. 15.18
Рис. 15,19
В свою очередь, изображение S2 является предметом для зеркала 1.
Продолжим плоскость зеркала 1 (ОЕ) и отразим S2 относительно этой
плоскости. Изображение предмета S2 совпадает с S, Итак, число изоб­
ражений N = 3. Его можно найти по формуле
N = ( 2 7 1 / 0 0 - 1,
(1 )
71
Формула (1) является общей для подобных задач.
15.3.
Кажущаяся глубина водоема 3 м. Определите истинную глуби­
ну водоема Н {рис. 16.19).
Р е ш е н и е . Рассмотрим лучи, идущие из т. А
— некоторой точки дна водоема. Луч AD прелом­
ляется на границе раздела вода—воздух и попадает
в глаз наблюдателя. Наблюдателю кажется, что лучи
Я — ?
идут из т. В.
Из треугольника ACD следует, что CD =Н tg а,
а из треугольника BCD имеем CD = h tg p.
Таким образом,
H = h tg р/ tg a.
Из закона преломления имеем
sin a / sin (3 = Мп.
Дано:
h=3м
п — 1,33
357
Так как лучи, попадающие в зрачок глаза наблюдателя, идут под ма­
лыми углами а и Р, то
sin а / sin Р и tg а / tg Р = \/п.
Следовательно,
Н = nh, Н = 4 м.
15.4.
Луч света падает на границу раздела алмаза и стекла под углом
20°. Каким должно быть отношение толщин этих веществ, чтобы время
распространения света в них было одинаковым?
Дано:
а = 20°
пх= 2,42
«2 ~ Д50
t = const
h\ / h2 — ?
Р е ш е н и е . Скорости света в алмазе и стекле
связаны соотношением
w1 / « 2 = v2 / v ].
( 1)
Из рис. 15.20 видно, что луч света, падая на гра­
ницу раздела алмаза и стекла под углом а , проходит
в алмазе расстояние ОА = 1Х, а в стекле — расстоя­
ние ОБ = /2.
Эти расстояния связаны с толщинами сред h j и h 2
соотношениями
/г j = /j cos а ,
h 2 = l2 cos p.
Следовательно,
h x / h2 = /j cos а / ( / 2 cos P).
(2)
Так как свет в однородной сре­
де распространяется с постоянной
скоростью, то
Рис. 15.20
1\ = V , h = v2t
где Vj и v 2 — скорости распростра­
нения света в алмазе и стекле.
Тогда /j / / 2 = Vj / v2 или, с уче­
том выражения ( 1 ), получим
/j / / 2 = п2 / п х.
(3)
Из закона преломления света
sin a / sinP = «2 / « j .
(4)
Выразим
sinp = (П]/«2) sina.
С учетом
cosp = л]\ - sin2p
358
получим
cosp = д/l - (w .s in a /^ )2 .
(5)
Подставим соотношения (3) и (5) в выражение (2).
Будем иметь
cos а
А . - И2
1
f
1
^
n, .
— s in a
2
\
л _
= 0,69
)
15.5.
Плоскопараллельная стеклянная пластинка толщиной 4,20 см
находится в воде. Луч света падает на пластинку под углом 50°. Под
каким углом луч, пройдя сквозь пластинку, выйдет из нее? Каково сме­
щение луча при выходе его из пластинки?
Дано:
d = 4,20 см
a = 50°
и, = 1,33
п2 = 1,50
Р е ш е н и е . При построении рис. 15.21 учтем,
что « 2 > И], следовательно, a > у, а при выходе из
пластинки у < ф, где а , у, ф - углы падения и пре­
ломления луча на границах раздела сред вода стекло и стекло - вода.
ф_ ух
?
Луч NP, пройдя через плоскопараллельную
пластинку, выйдет из нее параллельно своему пер­
воначальному направлению SM, т.е. ф = a = 50° (см. §126).
Найдем смещение луча — х. Из SMNK следует, что
х = MN • sin ( a - у), а из ANMO
MN = d / qos у. Значит,
х =
t/sin (a - у)
cosy
Учитывая, что
cosy
sm 2y
V 1 - si
359
Рис. 15.21
Рис. 15.22
и sin (a - у) = sin a • cosy - co sa • siny,
получим
С
x = d sin a
n] cos a
^
V
2
- 2
n2 - nx2 sin
a
x = 0,72 c m .
15.6.
Наблюдатель рассматривает светящуюся точку S (рис. 15.22)
через плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 3,0 см
так, что луч зрения нормален к пластинке. Определите расстояние меж­
ду точкой S и ее изображением S '.
Дано:
п = 1,50
d = 3,0 см
Р е ш е н и е . В глаз наблюдателя попадает световой пучок, лучи которого образуют между собой
малые углы i. Продолжим эти лучи до пересечения в
-----------------S S' — ?
точке S ' , которая является изображением светящейся точки S. Пусть два луча выходят из точки S и попа­
дают в глаз наблюдателя. Один из них — луч SN па­
дает на пластинку нормально. Другой — луч SO падает под произволь­
ным малым углом /. Этот луч, дважды преломившись, выйдет из плас­
тинки параллельно отрезку SO. Чтобы определить положение точки S
проведем отрезок ОА, параллельный лучу SN.
Из параллелограмма S S ' СО следует:
S S ' = ОС = d - h.
При этом отрезок h = АС можно выразить через величины d, п.
360
(1)
Для этого заметим, что если бы в точке О находился источник света,
его изображением явилась бы точка С.
Из А ОАВ и САВ имеем
h / d = tg у / tg / .
В силу малости углов / и у заменим
tgy / tg/ = siny / sin/
и воспользуемся законом преломления
siny / sin / =1 In,
т.к. показатель преломления воздуха равен 1 .
Тогда
h / d = 1 In, откуда
h = d /n .
(2 )
Подставив это значение h в выражение (1), получим
SS' = ( n - l ) d / n ,
15.7.
SS' = 1,0см = 110Г2 м.
На стеклянную призму с преломляющим углом
0
= 50° падает
под углом / j = 30° луч света. Определите угол отклонения 5 луча при­
змой, если показатель преломления стекла равен 1,56.
Д аноР е ш е н и е . Задачи данного типа удобно решать не
0 = 50°
в общем виде, а производя промежуточные вычисле/ j = 30°
ния. Из рис. 15.23 видно, что угол отклонения
п = \ ,5 6
Пч
------------------------------5= у+ у.
О/
^
?
Углы у и у' выразим через углы / },
/2
i'2, которые
последовательно и будем вычислять:
1)
sin/,
из закона преломления -- 1 = п имеем
i2
=
r s in
/,
и = 18,7°;
a r c s in
V п
2) из рис. 15.23 следует, что угол падения
/ '2
на вторую грань призмы
/ ' = 0 - / 2, 4 = 31,3°;
361
Теперь найдем углы у и у ':
У= i i - * 2 , У = П , 3 ° ,
PUC- 1 5 П
/ = 22,8
По формуле (1)
8 = у + у',
6 = 34,1°.
15.8.
У призмы с преломляющим углом 45° показатель преломле­
ния стекла равен 1,6. Каким должен быть наибольший угол падения
луча на грань призмы, чтобы при выходе луча из призмы наступило
полное отражение?
Дано:
у = 45°
п = 1 ,6
j
о
Р е ш е н и е . Полное отражение наступит тогда, когда луч будет падать на грань АС (рис. 15.24)
под углом, который равен или больше предельного угла полного отражения. Предельный угол пол­
ного отражения определяется из соотношения
sim 0 = 1 / п, откуда iQ = 38°4Г .
Зная угол *0, можно найти угол
из AMNO:
г, + i 0 = 4 5 ° ; г, = 6 ° 2 0 '.
тТак как —
sm
i\ = п,
—то sim , =п sinrj,
/, = a rc sin (« • sin rx),
Рис. 15.24
z, = 10°.
15.9.
На дне водоема глубиной 3,0 м находится точечный источник
света. На поверхности воды плавает круглый непрозрачный диск так,
что центр находится над источником. Какова должна быть минимальная
площадь этого диска, чтобы с вертолета нельзя было обнаружить источ­
ник света?
Дано:
Н=3м
« 5 = 1,33
^
7)
Р е ш е н и е . Лучи, идущие от точечного источника света S, падают на границу раздела сред вода —
воздух, переходя из среды оптически более плотной в
среду оптически менее плотную. Лучи (SM и SN на
рис. 15.25), падающие на границу раздела под углами
а , которые больше предельного угла а 0, будут пол­
ностью отражаться в воду под углами р = а . С вертолета можно наблю­
дать источник лишь в том случае, если лучи света, идущие от него,
выходят в воздух. Но из рис. 15.25 видно, что в воздух выйдут лишь
лучи, заключенные внутри конуса SAB с диаметром основания АВ = d и
вершиной в точке S. Поэтому, если на поверхность воды поместить не­
прозрачный диск диаметром d, то ни один луч не выйдет в воздух и
источник света с вертолета не будет виден. Таким образом, искомая
минимальная площадь диска
. S = nd2 / 4.
(1)
!
о\__
гр
Рис. 15.25
363
Из A SAB видно, что t g a n = ----- , откуда
2Н
d = 2 H t g a 0.
(2 )
Для предельного угла а 0 закон преломления имеет вид
s i n a 0 = и 2/ Л [ ,
где п2 =
1
(3)
— абсолютный показатель преломления воздуха.
Учтем, что c o s a 0 = у]1 - sin 2 a 0 ,
а tg a 0 =
sin a о
cosa0
Решая уравнения (1), (2) и (3), получим
S = П Н П] .
П[ - « j
S = 41 м 2.
15.10.
Найдите ход луча АВ после преломления в собирающей линзе
(рис. 15.26, а).
Р е ш .е н и е. Для определения хода луча АВ проведем побочную
оптическую ось O l 0 2 (рис. 15.26, б), параллельную лучу АВ. Эта ось
пересечет фокальную плоскость линзы в точке С. Через точку С должен
пройти и преломленный луч BD.
О
Рис. 15.26
364
Рис. 15.27
15.11. Известен ход луча SA после его преломления в рассеивающей
линзе. Найдите с помощью геометрического построения главные фоку­
сы линзы (рис. 15.27,а).
Р е ш е н и е . Проведем побочную оптическую ось 0 ] 0 2, параллель­
ную лучу SA (рис. 15.27,6). Продолжение преломленного луча АВ и эта
ось пересекаются в точке С, лежащей в фокальной плоскости. Точка
пересечения фокальной плоскости с главной оптической осью — это
главный фокус линзы.
15.12. Определите размер изображения предмета высотой 12 мм, если
его поместить на расстоянии 1,75 F от линзы. Построить изображение
предмета.
Дано:
h = 0 ,0 1 2 м
d = 1,75 F
Н
9
Р е ш е н и е . Из условия задачи неясно, рассеивающая линза или собирающая.
Поэтому рассмотрим два случая.
1) Линза собирающая. Построим изображение
предмета в собирающей линзе (рис. 15.28, а). Луч,
идущий параллельно главной оптической оси до собирающей линзы,
после прохождения через линзу пройдет через задний фокус линзы F, а
луч, идущий через оптический центр, пройдет линзу без преломления.
Точка пересечения вспомогательных лучей даст точку изображения пред­
мета. Запишем формулу собирающей линзы:
365
1 +1 =1
( 1)
учтем, что увеличение Г можно определить как
(2)
d
h
Откуда следует, что
Н = fli/d.
Расстояние/ найдем из выражения (1):
/
F
d
F
( 3)
\,15F
тогда
Н = — , Н = 1,6-10‘2м.
0,75
2)
Линза рассеивающая. Построим изображение предмета в рассеи­
вающей линзе (рис. 15.28, б). Для этого воспользуемся теми же вспомо­
гательными лучами: параллельным главной оптической оси и лучом,
идущим через оптический центр линзы. Но учтем, что луч, идущий па­
раллельно главной оптической оси до рассеивающей линзы, будет от­
клоняться от главной оптической оси по прямой, выходящей из пере­
днего фокуса. Точка пересечения мнимого хода луча и луча, идущего
через оптический центр линзы, даст точку А' изображения предмета.
Запишем формулы рассеивающей линзы
и увеличения линзы
гГ = —
f =—
н,
d
366
h
откуда
v
о
о
Рис. 15.28
а расстояние/ найдем из формулы (4):
1-1
f~ d
1 .
1,75F
+ — '■>/ - — — ■
+ F ~ 1/75 F
F
2,75
1
1
Тогда
Н = h^ =
d
Н = 4-10"3м.
2,75
15.13.
На рассеивающую линзу падает сходящийся пучок лучей. Пос­
ле преломления в линзе лучи пересекаются в точке, лежащей на рассто­
янии 20 см от линзы. Если линзу убрать, то точка пересечения лучей
переместится на расстояние 12 см ближе к тому месту, где была линза.
Определите фокусное расстояние линзы (рис. 15.29).
Дано:
АВ = 12 см
ОВ = 20 см
р
9
Р е ш е н и е . Вершина конуса А, образованная
пучком сходящихся лучей, служит мнимым источником. Точка В является действительным изображением точки А. Запишем формулу линзы:
_1-_1 1
F “
где
d = ОВ — АВ = 8 см,
F=
d + f ’
/ = 20 см,
df
,
F = 13,3-10"2m.
f~ d
367
/\
Рис. 15.29
15.14.
Определите оптическую силу очков для дальнозоркого чело­
века, чтобы он видел так же, как человек с нормальным зрением. Рас­
стояние наилучшего зрения нормально видящего человека 25 см, а даль­
нозоркого - 1 м.
Дано:
d0 = 0,25 м
d= 1м
%
Р е ш е н и е . Изображение предмета (мнимое прямое), даваемое очками, позволяет рассматривать его
на расстоянии наилучшего зрения дальнозоркого человека.
Запишем формулу тонкой линзы для глаза:
D = — + —
d
f
(О
и для глаза с очками:
Из уравнений (1), (2) получим
° 0= С
^а0а
Г Г ’ Do
ДПТР •
15.15.
Каково наименьшее возможное расстояние между предметом
и его изображением в собирающей линзе с фокусным расстоянием F7
Дано:
F
/
min
368
7
Р е ш е н и е . Рассмотрим два случая, когда собирающая линза дает действительное (рис. 15.30, а) и мнимое изображения (рис. 15.30, 5).
б
a
О
Рис. 15.30
Величины d u f являются координатами предмета и изображения на
числовой оси, совпадающей с оптической осью линзы. При этом за на­
чало отсчета принят оптический центр линзы, а положительное направ­
ление отсчета совпадает с направлением распространения света. По­
этому расстояние между предметом и изображением, отсчитанное вдоль
этой оси, равно:
для случая а): I = / — d,
для случая б): / = d —f.
Воспользуемся формулой линзы:
d + / '
F
В формуле линзы взяли ±
1
—
т.к. изображение может быть как дей
ствительное, так и мнимое.
Выразим / как функцию одной переменной/ :
1
1 ,1
d~ F~ f ~
±f+F
F-f
’
тогда
369
,
F ■f
d = ------— , откуда
F ± f
f 2
l = ± — -------,
f~ F
где знак «+» соответствует действительному изображению, а знак «-»
— мнимому. Будем исследовать функцию / на экстремум, для этого про­
дифференцируем выражение для I п о / и приравняем нулю производ­
ную:
d l _ f(f-2F )_
d f~ ~ (f-F f " '
Получим два корня: 1 ) / = 0 и 2 ) / = 2F.
Первый корень отбрасывается, тогда
I.
f2
4F 2
= -L
=_
= 4F
/ - F
2F - F
15.16.
Объектив состоит из трех контактирующих тонких линз: пер­
вая собирающая с фокусным расстоянием Fj =12,5 см, вторая рассеива­
ющая с фокусным расстоянием F2 =10 см, третья собирающая с фокус­
ным расстоянием F 3 = 5 см. Определите фокусное расстояние объектива
F.
Дано:
F j = 12,5 см = 12,5 10*2 м
F2 = 10 см = 1 10'1 м
F 3 = 5 см = 5 10'2 м
F— ?
Р е ш е н и е . Оптическая сила D системы линз равна алгебраической сумме
оптических сил линз, образующих эту
систему. Так как одна линза рассеиваю­
щая, то ее оптическая сила D2 берется со
знаком «-» :
D —Dj —D2 + D y
Учтем, что
D - 7 ; D ' - X - D ‘ - T , ' D> ’ T ,
выражены в диоптриях, тогда
370
1
1
1
r
1
\
1
2
j
J ‘ ytO
- TK>™
J 3
F = -------F± F1 ' F1------е д - в д + е д
f = 5 ,5 5 -1 0 “2m.
15.17.
Точечный источник света помещен на оптической оси собира­
ющей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м на расстоянии 0,5 м от нее.
По другую сторону линзы в ее фокальной плоскости помещена рассеи­
вающая линза (рис. 15.31). Каким должно быть фокусное расстояние
рассеивающей линзы, чтобы мнимое изображение в ней источника со­
впало с самим источником?
Дано:
Р е ш е н и е . Для того чтобы мнимое изобра-
F\ ~ м
<i= 0,5 м
__________
^2' ?
ж ение источника в рассеиваю щ ей линзе Л ,
^
совпало с самим источником S, необходимо, чтобы продолжения лучей после преломления в обе­
их линзах пересекались в точке S.Отметим на
рис. 15.31 все заданные в условии расстояния. Если быне было линзы
, то действительное изображение источника S находилось бы в точке
5 | . Тогда изображение
является мнимым источником для линзы Л 2
Таким образом, для линзы Л 2 и источник 5 ,, и его изображение S явля­
ются мнимыми. С учетом этого формула линзы будет иметь вид
__L =_L__L,
F2
d2
(О
f2
где d2 = / - F j — расстояние от мнимого источника до линзы
f 2 = d + Fy — расстояние от мнимого изображения до нее же. Тогда
уравнение (1) примет вид
-1 = - L - + - L _
F,
(2)
f~F,
Неизвестное расстояние/ найдем из формулы линзы Д . :
371
5'
Рис. 15.31
откуда
( 3)
d -F
Решая уравнения (2) и (3), получим
1
1
d
Kd - F ,
1
d-F,
d + F,
F2
-+
-1
d2
d + F{
F 2(d + F;)
,
f2
=
1
( d + F,
F2 = ОД м .
d )
15.18.
Физкультурник бежит со скоростью 8 м/с на расстоянии 200 м
от фотоаппарата перпендикулярно направлению съемки. Какую мини­
мальную выдержку должен обеспечить затвор фотоаппарата, чтобы сме­
щение изображения на снимке не превышало 0,1 мм ? Фокусное рассто­
яние объектива фотоаппарата 5 см.
372
Дано:
d - 200 м
v = 8 м/с
h = 0,1 мм = 10"4 м
F = 0,05 м
Р е ш е н и е . Смещение изображения
на снимке h так относится к перемещению
физкультурника Д как расстояние от изоб­
ражения до оптического центра объектива
относится к расстоянию от оптического
центра объектива до предмета:
А =/
н
d ’
откуда Н = — h,
а минимальная выдержка
t =
Я
d_h
v
/
V
О пределив/из формулы линзы
1
1
1
F
d
f
.
F- d
d-F
— —— t- ■—; f —-------получим
h{d-F)
t -—
,
Fx
t = 0,05 c.
15.19.
Точка движется по окружности с постоянной по модулю ско­
ростью 0,2 м/с вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плос­
кости, перпендикулярной оси и отстоящей от линзы на расстоянии в 1,5
раза больше фокусного. Центр окружности лежит на главной оптичес­
кой оси линзы. С какой линейной скоростью движется изображение?
Дано:
v = 0,2 м/с
d = 1,5 F
v ,- ?
Р е ш е н и е . Изобразим радиусы движения точки
АВ и ее изображения А'В' (рис. 15.32). Запишем фор­
мулу связи линейной и угловой скорости для точки
и ее изображения:
v = со АВ,
373
Vj = со А'В'.
v
АВ
Тогда — = ------.
А'В'
v,
~
Из подоби я ДABC и А А'В'С
имеем
АВ
d
= — следовательно,
А'В'
/ ’
Рис. 15.32
v
_
d
\ ~ J т, ,
1 1 1
Из формулы линзы — = — + — определим f =
Fd
., получим
— = d ~ F _ _v_ ^ 0ТКуДа
/
F
V,
f
d
v . = v — = v
1
F
d-F
= 2 \ ,
v,=0,4m/c.
Задачи для самостоятельного решения
15.20. На стене висит зеркало высотой 1 м. Человек стоит на рассто­
янии 2 м от зеркала. Какова высота участка противоположной стены
комнаты, который может увидеть в зеркале человек, не изменяя положе­
ния головы? Стена находится на расстоянии 4 м от зеркала.
О т в е т: 3 м.
15.21. Плоское зеркало повернули вокруг оси, проходящей через точку
падения луча перпендикулярно к плоскости, в которой лежат падающий
и отраженный лучи. На какой угол повернули зеркало, если отражен­
ный от него луч повернулся на 42°? На сколько изменится при этом угол
между падающим и отраженным лучами?
О т в е т: 21°; 42°.
374
15.22. Плоское круглое зеркало может вращаться вокруг своего вер­
тикального диаметра. На расстоянии 1,2 м от зеркала на стене висит
плоский экран, параллельный плоскости зеркала. Горизонтальный луч
света падает в центр зеркала под углом 12° и отражается на экран. Опре­
делите, на какое расстояние переместится световой зайчик на экране
при повороте зеркала на 15°.
О т в е т : 0,8 м.
15.23. Высота Солнца над горизонтом равна 20°. Пользуясь плоским
зеркалом, пускают зайчик в воду пруда. Как надо расположить зеркало,
чтобы отраженный от него луч шел в воде под углом 60° к горизонту?
О т в е т : под углом 70° к горизонту.
15.24. На дне ручья лежит камещек. Мальчик хочет попасть в него
палкой. Прицеливаясь, мальчик держит палку в воздухе под углом 45°.
На каком расстоянии от камешка воткнется палка в дно ручья, если его
глубина равна 32 см?
О т в е т:12 см.
15.25. Точечный источник света расположен в воздухе над поверхно­
стью воды. Наблюдателю, находящемуся в воде под источником света,
расстояние от поверхности воды до источника кажется равным 2,5 м.
Определите истинное расстояние от источника света до поверхности
воды.
О т в е т : 1,9 м.
15.26. Определите толщину плоскопараллельной стеклянной плас­
тинки с показателем преломления 1,7, если луч света, пройдя эту плас­
тинку, смещается на 2,0 см. Угол падения луча на пластинку равен 50°.
О т в е т: 4,5 см.
15.27. Имеются две плоскопараллельные стеклянные пластинки тол­
щиной 16 и 24 мм, сложенные вплотную друг к другу. Первая имеет
показатель преломления
= 1,5, а вторая — п2 = 1,8. На поверхность
одной из них падает луч света под углом 48°. Определите смещение от­
носительно первоначального направления этого луча после его выхода
из пластинок в воздух.
О т в е т : 1,6 см.
15.28. На грань стеклянной призмы с преломляющим углом ф=60°
падает луч света под углом /,= 45°. Найдите угол преломления /' луча
при выходе из призмы и угол отклонения 5 луча от первоночального
направления.
О т в е т : 58°; 30°.
15.29. Преломляющий угол ср призмы равен 60°. Угол наименьшего
отклонения луча от первоначального направления 5 = 30°. Определите
показатель преломления п стекла, из которого изготовлена призма.
О т в е т : 1,41.
15.30. Призма с преломляющим углом 50° дает угол наименьшего
отклонения 35°. Какой угол наименьшего отклонения получится, если
погрузить эту призму в воду?
О т в е т : 10,9°.
15.31. На рис. 15.33, а и б показаны положения оптической оси ММ
тонкой линзы, светящейся точки S и ее изображения S 1. Найдите пост­
роением положение центра линзы и ее фокусов для обоих случаев.
15.32. На рис. 15.34 показаны положения оптической оси ОО тонкой
линзы L и ход проходящего через нее луча ABC для случаев (а) и (б).
Найдите построением ход произвольного луча DE за линзой для обоих
случаев.
15.33. Определите оптическую силу объектива проекционного фо­
наря, если он дает 24-кратное увеличение, когда диапозитив помещен
на расстоянии 20,8 см от объектива.
О т в е т: 5 дптр.
15.34. На каком расстоянии от линзы с оптической силой — 4,5 дптр
надо поместить предмет, чтобы его изображение получилось уменьшен­
ным в шесть раз?
О т в е т : 110 см.
376
15.35. Мнимое изображение предмета, получаемое с помощью лин­
зы, в 4,5 раза больше самого предмета. Чему равна оптическая сила лин­
зы, если предмет находится на расстоянии 3,8 см от нее?
О т в е т: 20 дптр.
15.36. Пучок лучей сходится в точке А {рис. 15.35). Если на пути этих
лучей поместить собирающую линзу на расстоянии 40 см от точки А, то
лучи пересекутся в точке А 7 на расстоянии 30 см от линзы. Определите
фокусное расстояние линзы.
О т в е т : 120 см.
15.37. От предмета высотой 3,0 см получили с помощью линзы дей­
ствительное изображение высотой 18 см. Когда предмет передвинули
на 6,0 см, то получили мнимое изображение высотой 9,0 см. Определи­
те фокусное расстояние и оптическую силу линзы.
О т в е т : 12 см; 8,3 дптр.
15.38. Рассеивающая линза создает изображение предмета с увели­
чением Г, = 2/3. Каким будет увеличение Г2, если линзу заменить на
собирающую с таким же фокусным расстоянием?
О т в е т: 2.
15.39. Человек без очков читает книгу, располагая ее перед собой на
расстоянии 12,5 см. Какой оптической силой D очки следует ему но­
сить?
О т в е т : — 4 дптр.
Рис. 15.35
377
Г л ава
16. В О Л Н О В А Я О П Т И К А
§130. Интерференция света
Уравнение световой волны.
Условия интерференционного максимума и минимума
Свет - это электромагнитная волна, длина которой лежит в диапазо­
не от 10 нм до 1 мм. Из теории Максвелла для плоской монохроматичес­
кой волны были получены уравнения:
Ё = Ё0со$(ш - кх),
й = Hй 0cos(<s)t
( , - кх),
^
Н
(16Л)
где Ё — вектор напряженности электрического поля; Н - вектор на­
пряженности магнитного поля; Ё0, Н 0 - максимальное (амплитудное)
значение векторов Е? и Яы ; со = 2п
Т
2п
циклическая частота; к/ = ——
волновое число; (соt - кх) - фаза волны; Т -
X
период колебаний; X -
длина волны.
Вектор Ё называется световым вектором, так как многие из опти­
ческих действий (физиологические, фотохимические, фотоэлектричес­
кие и другие) вызываются колебаниями данного вектора.
Интерференция - это физическое явление наложения когерентных
волн, в результате которого происходит усиление колебаний в одних точ­
ках пространства и ослабление в других. При интерференции света об­
разуются чередующиеся между собой светлые и темные полосы или
кольца. Интерферировать могут только волны, имеющие одинаковые ча­
стоты и постоянные во времени разности фаз. Такие волны называются
когерентными.
378
Когерентность - это согласованное
протекание во времени и в пространстве
нескольких колебательных или волновых
процессов.
Волны от естественны х источников
света не являются когерентными. Для
получения когерентных световых пучков
применяют различные методы (щели
Юнга, зеркала Френеля, бипризмы Фре­
неля и т.д.). Сущность этих методов зак­
лючается в том, что свет от одного источ­
ника идет к экрану, на котором наблюда­
ется интерференция, двумя различными пу­
тями.
Волна, у которой амплитуда, частота и начальная фаза остаются по­
стоянными неограниченно долго, называется монохроматической.
Пусть источники света 5j и S2 (рис. 16.1) излучают когерентные вол­
ны:
Ех = £ 01cos2;r
Е2 = Е01соъ2л
t
х,
т
7,
t
х2
т~ 7
= £ 01c o s p ,,
= E02cos(p2,
В точке М происходит наложение двух волн и наблюдается явление
интерференции. Применив принцип суперпозиции, найдем амплитуду
результирующего колебания:
Е1 = К
~ Ео\
+ Ео2 + 2E(nE02cosA(f> .=
Ео2
2E0XE02cos
(16.2)
где Лф = ф2 - ф, — разность фаз слагаемых волн; 1Хи /2 - расстояния от
источника света 5, и S2 до точки М; пх и п2 - показатели преломления
сред, в которых распространяются волны; nl - оптическая длина пути.
Амплитуда результирующего вектора Е() максимальна, если cos Дф = 1,
т.е. когда разность фаз
379
Дф = ±2я — —
А,
= ±2кк,
(16.3)
где к = 0, 1,2, 3,... - порядок интерференционного максимума.
Из выражения (16.3) имеем
8 - ±(/,Н| - /2и2) = ±кХ = ±2к
5
где 8 - оптическая разность хода волн.
Если оптическая разность хода двух волн равна целому числу длин
волн или четному числу полуволн, то в точке М наблюдается усиление
колебаний (условие максимума при интерференции).
Амплитуда результирующего вектора Е0 минимальна, если cos Дф = -1,
т.е. когда разность фаз в уравнении (16.2)
Дф = ±2тс — —
А.
- ±(2k + 1)п
или
1 \П
1
- 1
2” 2
= ± ( 2 * + 1) | ,
где к = 0, 1,2,3,....
Если оптическая разность хода двух волн равна нечетному числу
полуволн, то в точке М наблюдается ослабление колебаний (условие
минимума при интерференции).
Интенсивность света / ~ Е%, из уравнения (16.2) получим
/ = /, + / 2 + 2 7 7 Л с о з Д ф •
Допустим, что интенсивности интерференцирующих волн одинако­
вы: 7j = / 2. Если cos Дф = 1, то
/ = /,+ /,+
2 j l f
= 4 / ,,
т.е. в интерференционных максимумах интенсивность света возрастает
в четыре раза. Если cos Дф = -1 , то I = 0, происходит полное гашение
света светом.
380
Расчет интерференционной картины
от двух когерентных источников
Источники монохроматического света Sj и S2 находятся в одинако­
вой среде с показателем преломления п = 1 на расстоянии d друг от дру­
га (рис. 16.2) и на расстоянии I от экрана Э. Пусть расстояние I » d.
Выделим на экране произвольную точку М, положение которой опреде­
ляется координатой х. Начало отсчета координаты, точка О, равноудале­
на от
и S2, а точка М отстоит от источника света S l на расстоянии /,,
а от S2 - на расстоянии /2. Найдем условия, при которых в точке М на­
блюдается максимум или минимум интенсивности света I. Из треуголь­
ников A SjM и BS2M запишем:
Вычитая первое уравнение из второго, получим
или
( / 2 - /, Х а + i 2) = 2 x d
При d « I сумма /]+/2 « 21, тогда (/2 - / j)2/ = 2xd, откуда оптическая
разность хода волн 5 = /2 - /[ = xdll.
Если для точки М 5 = ±кХ , то в этой точке наблюдается усиление
интенсивности света. Найдем координату хк, удовлетворяющую этому
условию:
± кк = хк d / l ,
хк - ± к ~ , где к = 0,1,2,3,...
Ш ирина интерференционной полосы
Л х ~ x k+l —х к = X I / d .
(16.4)
На экране образуется ряд чередующихся светлых и темных интерфе­
ренционных полос, ширина которых Ах увеличивается с уменьшением
расстояния d.
В точке О всегда наблюдается максимум интенсивности, т.к. разность
хода волн равна нулю (SjO = S20 ). При наблюдении в белом свете поло­
сы цветные, кроме точки О, где располагается белая полоса.
Интерференция в тонких пленках
При падении световой волны под углом i на пленку толщиной d (рис.
16.3) происходит ее отражение от верхней и нижней поверхностей плен­
ки. В результате образуются две вол­
ны 1 и 2, которые, пройдя линзу L, ин­
терферируют в точке М. Определим
оптическую разность хода лучей 8 для
случая, когда показатель преломления
пленки п2 больше показателя прелом­
ления среды л, (п2 > п х).
Оптические пути 1 и 2 от плоско­
сти DC до точки М одинаковы, пер­
вый луч от точки А проходит опти­
ч еск и й путь A D n j, а второй луч
(АВ+ВС)л2. Таким образом, разность
Рис. 16.3
хода лучей
382
( ADn. ----^ = 2 АВп2 - ( ADn, —50
2 1
1
2,
2)
(16.5)
В точке А отражение луча происходит от оптически более плотной
среды, поэтому фаза волны меняется на п, т.е. отраженный луч теряет
полволны (оптический путь ADпх уменьшается на А/2 ).
На рис. 16.3 видно, что
А В = dl cos г, AD = AC sin i = 2d tgr sin i.
(16.6)
По закону преломления запишем:
sim = Hl , откуда
sinr
п,
sin i = n2 sinr.
(16.7)
Подставив выражения (16.6) и (16.7) в (16.5), получим
с 2 dn2 (.. 2 \ А,
„ ,
А
5 = ----- - II - sin г ) + —.= 2dH,cosr + —
cosr
2
2
Так как cosr
(16 8)
= Vl - sin 2/-, то уравнение (16.7) примет вид
sim- = nf sinV/ и 2 ,
тогда
2
•
2
•
«.Sin I
cosr = ^ - ^ 2 - .
(16.9)
Подставив выражение (16.9) в (16.8), окончательно получим
А<
5 = I d ^ n f - n 2sin2/ + — .
(16.10)
Если пленка освещается монохроматическим светом (например крас­
ным) и при этом выполняется условие максимума при интерференции:
8 = ± к \ , то в отраженном свете пленка будет иметь тот же цвет (т.е.
красный). Если же выполняется условие минимума 8 = ±(2к + 1)А/2,
то пленка будет темной. При освещении белым светом пленка окраши­
вается в цвет, соответствующий длине волны А, для которой выполняет­
ся условие максимума.
383
Применение интерференции света
Приборы, в которых используется явление интерференции света, на­
зываются интерферометрами. На рис. 16.4 приведена схема интерфе­
рометра Майкельсона.
Прибор имеет два плоских зеркала М] и М2 и полупрозрачную плос­
копараллельную пластинку Р]. Луч от источника монохроматического
света S попадает на пластинку Р (, где разделяется на два луча, один из
которых, отразившись от посеребренного слоя пластинки, направлен к
зеркалу М ,. После отражения от зеркала М[ луч вновь проходит плас­
тинку Pj (н арис. 16.4 обозначен Г). Луч 2 идет к зеркалу М2 и, отразив­
шись от него, возвращается к пластинке Р,, отразившись от которой,
идет параллельно лучу Г (на рис. 16.4 обозначен 2'). Первый луч прохо­
дит пластинку Pj дважды.
Чтобы компенсировать возникшую разность хода между лучами 1 и
2, на пути луча 2 ставится пластинка Р9, такой же толщины как Р[ , но
не имеющая серебряного покрытия.
Лучи Г и 2' когерентны. Их оптическая разность хода
8 = 2/2,(/j -
12),
где и, - показатель преломления среды, /j и /2 - расстояния от точки А
до зеркала М | и М2 соответственно. Когда расстояния /, и /2 равны, на­
блюдается максимум интерференции. При смещении зеркала Mj на ве­
личину Я./4 оптическая разность хода лучей будет равна А./2, наблюда­
ется минимум интерференции.
Рис. 16.4
384
Таким образом, по изменению ин­
терференционной картины можно су­
дить о незначительных перемещениях
зеркала. Интерферометр Майкельсона
используется для точного (~10'7 м) из­
мерения длины тела. Различные типы
интерферометров отличаются лишь
конструктивно, принцип же действия
остается одинаковым.
Применение интерферометров мно­
гообразно: для исследования качества
изготовления оптических стекол, изме­
рения углов, при исследовании быстропротекающих процессов, для
измерения различных газодинамических параметров при обтекании воз­
духом летательных аппаратов и т.д.
Просветление оптики
Явление интерференции также используется в просветлении опти­
ки. Интенсивность светового потока, проходящего сложную оптичес­
кую систему, состоящую из набора линз, призм и зеркал, значительно
уменьшается. Кроме того, появляются блики, которые очень нежелатель­
ны при использовании некоторых оптических приборов (перископов,
биноклей и т.п.). Эти дефекты устраняются методом просветления оп­
тики: на оптические поверхности наносятся тонкие прозрачные пленки
толщиной Х/4 (X - длина волны падающего света). Падающий и отра­
женный лучи, имеющие разность хода Х/ 2, интерферируют. При этом
выполняется условие минимума, в результате чего уничтожаются блики
и улучшается четкость изображения.
§131. Дифракция света. Дифракционная решетка.
Условия наблюдения дифракции
Дифракцией света называется совокупность явлений, обусловлен­
ных волновыми свойствами света и наблюдаемых при его распростра­
нении в среде с резко выраженными неоднородностями (отверстия, щели,
границы непрозрачных тел и т. д.).
Дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и
к захождению света в область геометрической тени, т.е. к отклонению
от законов геометрической оптики.
Дифракция происходит всегда, если на пути распространения света
имеется резко выраженная неоднородность.Другой вопрос, будем ли мы
ее видеть. Это зависит от постановки опыта и от условий наблюдения.
С помощью микроскопа можно рассмотреть дифракцию тогда, когда про­
стым глазом она не видна. Для определенности будем говорить о на­
блюдении дифракции глазом.
Широко распространено заблуждение о том,что дифракция света на­
блюдается на предметах, размеры которых сравнимы с длиной свето-
волны. На самом деле дифракция света обычно наблюдается на пред­
метах, размеры которых значительно больше длины волны. В зависи­
мости от условий наблюдения различают два вида дифракции: дифрак­
ция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера) и все другие виды
дифракции (дифракция Френеля).
Рассмотрим пример диф­
ракции Фраунгофера: диф ­
ракцию на дифракционной
8 = rfsintp
решетке.
Дифракционная решетка
- это оптический прибор,
представляющий собой сово­
< А-Н
купность больш ого числа
/ф ц
одинаковых по ширине и па­
раллельных друг другу ще­
лей, разделенных непрозрач­
ными промеж утками (рис.
16.5). Величина d = а + Ъ на­
Рис. 16.5
зывается периодом (постоян­
ной) дифракционной решет­
ки. Здесь Ъ - ширина щели, а - ширина непрозрачного промежутка.
Современная дифракционная решетка может иметь число штрихов
N 0 = 5000 (и более) на 1 мм, а период d = 10~3м/5000 = 0,2 мкм.
Пусть на дифракционную решетку нормально падает параллельный
пучок монохроматического света. Для наблюдения дифракционной кар­
тины за решеткой ставится линза L, в фокальной плоскости которой рас­
полагается экран Э. На экране интерферируют лучи от разных щелей.
Так как щели находятся на одинаковых расстояниях друг от друга, то
оптические разности хода лучей от двух соседних щелей для данного
направления ср одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:
5 = (р + Ь) sin ф = d sin ф.
Минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, оп­
ределяемых условием
bsin(p = ± k X ,
(16.11)
где k = 1, 2, 3... Это условие главных минимумов дифракционной ре­
шетки.
386
Освещенность от одной щели усиливается действием другой, если
d sirup = ± 2 k — = ±кХ t
(16.12)
где к = О, 1,2, 3,... Это условие главных максимумов.
Если дифракционная решетка имеет N щелей, то между двумя глав­
ными максимумами располагается ^N-1) дополнительных минимумов,
разделенных слабыми по интенсивности вторичными максимумами.
Условие дополнительных минимумов'.
d sirup = ± m X / N ,
(16.13)
где т = 1,2,3,... (N -1),(N +1),... (2N-1),(2N+1) и т.д.
При наблюдении в белом свете максимумы первого, второго и т.д.
порядков, кроме нулевого, имеют вид дифракционных спектров, обра­
щенных фиолетовой частью к центру.
В фокусе линзы F {рис. 16.5) наблюдается максимум нулевого поряд­
ка (к = 0), а в точке Р — максимум первого порядка (к = 1). Из чертежа
видн о, что р ас ст о я н и е м еж д у ними FP = А = F tgtpj, где
F — фокусное расстояние; ф ,— угол дифракции, определяемый из ус­
ловия (16.12): d snupj = X. При малых углах
tg(p^~sincpx
и
A = FX/d.
(16.14)
Чтобы увидеть глазом дифракционную картину, расстояние /5 дол­
жно быть больше или равно расстоянию А , между линиями, которые
различает глаз. Для нормального глаза А ,»0,1 мм. Чтобы наблюдать
дифракционную картину без напряжения, нужны большие расстояния
между штрихами. Пусть с гарантией А ,= 1 мм. Используя выражение
(16.1 4), получим d ~ FX/ А ,. Пусть F = 10 см. Тогда d ~ 100 X . Если
фокусное расстояние линзы увеличить, то период d будет еще больше.
Можно ли наблюдать дифракционную картину, если размеры щели
соизмеримы с длиной волны? Рассмотрим случай, когда d = X . Соглас­
но формуле (16.12) при к = 0 угол дифракции ф = 0, а при к = 1 угол
Ф = 71/2, т. е. максимум первого порядка располагается в бесконечности.
387
Таким образом, при d < X явление дифракции не наблюдается. С
увеличением d расстояния между максимумами уменьшаются и при d
» X образуется светлая полоса, т.е. дифракция не наблюдается.
В случае дифракции Френеля критерий наблюдения дифракции вы­
вести сложнее.
Приведем его без вывода. Пусть расстояние от источника до предме­
та Tj, от предмета до экрана— i 2 Обозначим меньшую из этих величин
за L. Чтобы наблюдать дифракцию, размеры предмета должны удовлет­
ворять соотношению: d ~ 4XL . Из данного выражения видно, что раз­
меры предмета могут как угодно превосходить длину световой волны.
Пример: если L = 5 м, 1 = 0,5 мкм, то d —1ООО X.
Дифракция света применяется при определении длины световой вол­
ны, при исследовании структуры твердых тел и т. д.
§132. Поляризация света. Поперечность световых волн
Поляризацией света называется совокупность явлений волновой
оптики, в которых проявляется поперечность электромагнитных свето­
вых волн. Векторы напряженностей электрического Ё и индукции маг­
нитного В полей взаимно перпендикулярны и колеблются перпендику­
лярно вектору скорости v распространения волны (перпендикулярно
лучу) (рис. 14.7).
Электромагнитная световая волна называется естественной (неполяр изованной), если направления колебаний векторов £ и й в этой волне
могут лежать в любых плоскостях, перпендикулярных к вектору скоро­
сти распространения волны. Направления колебаний векторов Е и В
всегда взаимно перпендикулярны. Обычно все рассуждения ведутся
относительно светового вект ора- вектора напряженности Е электри­
ческого поля (рис. 16.6, а).
Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то
образом упорядочены, называется поляризованным.
На рис. 16.6,6 колебания светового вектора Е происходят в одной
плоскости. Такой свет называется плоскополяризованным.
Плоскость, проходящая через направление колебаний светового век­
тора плоскополяризованной волны и направление распространения этой
волны, называется плоскостью поляризации.
Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный,
используя так называемые поляризаторы, пропускающие колебания
только определенного направления (например, пропускающие колеба­
ния, параллельные плоскости поляризатора, и полностью задерживаю­
щие колебания, перпендикулярные этой плоскости). Из природных кри­
сталлов, используемых в качестве поляризатора, следует отметить тур­
малин. Убедиться в том, что свет, прошедший через кристалл турмали­
на, оказывается плоскополяризованным, можно с помощью второго кри­
сталла турмалина, играющего роль анализатора.
При пропускании света через два последовательно расположенных
кристалла турмалина свет полностью проходит через оба кристалла при
параллельно расположенных осях кристаллов (рис. 16.7,а). Если оба кри­
сталла расположены так, что оси их перпендикулярны друг другу (рис.
16.7,6), то свет полностью гасится в анализаторе.
X
-
/ /
/ /
Е
Е
V
Рис. 16.7
389
§133. Дисперсия. Дисперсионный спектр
Дисперсией света называется зависимость скорости распростране­
ния света в веществе от его частоты v. Скорость света в веществе v свя­
зана с показателем преломления соотношением
v = с / п,
где с - скорость света в вакууме (величина постоянная). Поскольку ско­
рость света v в различных средах разная, то и показатель преломления
вещества зависит от частоты (длины волны):
n=f(v),n=m.
( 16. 15)
Формула (15.9) показывает, что угол отклонения 5 монохроматичес­
кого луча призмой зависит от показателя преломления вещества при­
змы п. Это значит, что монохроматические лучи различной длины вол­
ны отклоняются на разные углы. Если пропустить пучок белого света
через призму, то на экране, установленном за призмой, можно наблю­
дать радужную полосу — дисперсионный спектр.
Дисперсионный спектр солнечного света представляет собой со­
вокупность монохроматических пучков различных длин волн, а зна­
чит, и цветов: красного, оранжевого, желтого, зеленого, голубого,
синего, фиолетового. Причем лучи красного цвета, имеющие боль­
шую длину волны, отклоняются призмой на меньший угол, чем фио­
летовые. При этом фиолетовый участок спектра растянут, а красный
сжат. Ф иолетовый участок занимает прим ерно столько же места,
сколько весь остальной спектр. Белый свет — это электромагнитные
волны с длинами волн примерно от 4 10 '7 м до 8 10 '7 м. Излучение,
имею щ ее длину волны больше 8 10 '7 м, называют инфракрасным из­
лучением. Его испускает лю бое нагретое тело. Инфракрасное излу­
чение применяют при сушке овощей и фруктов, лакокрасочных по­
крытий и т. д.
Излучение, имеющее длину волны меньше 4-10"7 м, называют ульт­
рафиолетовым излучением. Оно так же, как и инфракрасное, не воспри­
нимается глазом. Ультрафиолетовое излучение обладает высокой хими­
ческой активностью и может быть обнаружено по почернению фото­
пленки и фотобумаги.
390
§134. Рентгеновские лучи
Рентгеновские лучи можно
получить с помощью рентге­
новской трубки (рис. 16.8),
состоящей из катода 1, фоку­
сирующего цилиндра 2, анода
3 и вакуумированной колбы 4.
Катод 1 выполняется из воль­
фрама в виде спирали. За счет
р ис. 16.8
тер м о эл ек тр о н н о й эм иссии
катод испускает электроны, которые фокусируются цилиндром 2 на
металлический анод 3. Между анодом и катодом прикладывается вы­
сокое напряжение - десятки киловольт. Давление газа в трубке 4 очень
низкое, порядка 10 '5 мм рт. ст.
Электроны, вырываемые из катода и ускоренные внешним электри­
ческим полем, бомбардируют анод, при этом образуются рентгеновские
лучи.
Рентгеновские лучи представляют собой электромагнитные волны с
длиной волны X « (0,1 - 1) нм. Они обладают большой проникающей
способностью, вызывают почернение фотопластинки, ионизируют газы.
Благодаря высокой проникающей способности рентгеновские лучи
находят широкое применение в медицине (диагностика и лечение ряда
заболеваний), в дефектоскопии изделий, металловедении при определе­
нии структуры кристаллов и т. д.
§135. Шкала электромагнитных волн
Электромагнитные волны, имеющие длину волны от нескольких ки­
лометров до 1 мм, относятся к диапазону радиоволн. С помощью их осу­
ществляется радиосвязь, радиолокация и телевидение. Инфракрасное
излучение с длиной волны примерно от 1 миллиметра до 800 нм лежит в
диапазоне между радиоволнами и видимым светом. Очень узкий учас­
ток шкалы с длиной волны примерно от 800 нм до 400 нм занимает
видимый свет, включающий области от красного до фиолетового излу­
чения. Ультрафиолетовое излучение имеет длину волны примерно (4001) нм. Еще более короткие длины волн присущи рентгеновским лучам,
лежащим в диапазоне примерно (1-0,1) нм. Электромагнитное
391
излучение, испускаемое атомными ядрами и возникающее в резуль­
тате взаимодействия элементарных частиц, называют у-излучением. Оно
имеет длину волны X < 0,1 нм.
Контрольные вопросы
1. Какие источники света называют когерентными?
2. В чем состоит явление интерференции света?
3. Назовите условия максимумов и минимумов при интерференции.
4. Дайте понятие оптической разности хода волн.
5. Чему равна ширина интерференционной полосы?
6. Нарисуйте схему интерферометра Майкельсона.
7. Что такое просветление оптики?
8. В чем состоит явление дифракции света?
9. При каких условиях наблюдается дифракция?
10. Что называют дифракционной решеткой?
11. Условие максимумов при дифракции.
12. Что называют дисперсией света?
13. Как возникает радуга?
14. Какими свойствами обладают инфракрасные и ультрафиолето­
вые лучи?
15. Как получают и где используют рентгеновские лучи?
16. Какие электромагнитные волны вы знаете? Как они классифици­
руются?
Примеры решения задач
16.1.
На мыльную пленку с показателем преломления и2= 1>33
падает под углом i = 30° монохроматический свет с длиной волны
X = 0,6 мкм. Отраженный от пленки свет в результате интерференции
имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина
пленки?
Дано:
«1
=
1 ,0
п2 = 1,33
/ = 30°
X = 610'7м
392
Р е ш е н и е . При падении световой волны
на пленку (рис. 16.9) происходит ее отражение
от верхней и нижней поверхностей пленки. В
результате образуются две волны 1 и 2, кото­
рые, пройдя линзу Д интерферируют в точке Р.
Оптическая разность хода лучей 1 и 2:
В точке А отоажение пооисхолит от
Запишем условие максимума при ин­
терференции:
Рис. 16.9
Для определения hmm необходимо в уравнении (3) принять k = 1, т.е.
h
16.2.
С колько
штрихов на
1
мм длины имеет дифракционная решет­
ка, если зеленая линия ртути с длиной волны 421,9 нм в спектре первого
порядка наблюдается под углом 19°8'? Определите наибольший поря­
док главного максимума, который может образовать эта дифракционная
решетка для данной длины волны.
Дано:
X = 421,9 ■10 '9 м
к= 1
Ф = 19,1 °
m ax
__?
Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой дифракционной решетки
d sincp = кХ ,
где d — период решетки;
Ф — угол отклонения луча;
X— длина волны падающего на решетку света;
к — порядок спектра.
Так как число штрихов N0, приходящихся на единицу длины решет­
ки, связано с периодом решетки d соотношением
откуда
s Jm .£
О
кЛ
туо
6 0 0 м м '1.
( 1)
Из соотношения (1) найдем
sintp
(2)
Из формулы (2) следует, что «Ь> максимально тогда, когда
sin<p0 = 1,
т.к. «к» — целое число, то наибольш ий порядок главного максимума
к = 3.
Задачи для самостоятельного реш ения
16.3. Определите длину волны для линии в дифракционном спектре
третьего порядка, совпадающей с линией в спектре четвертого порядка
с длиной волны 490 нм.
О т в е т : 653 нм.
16.4. Определите длину волны, падающей на дифракционную решет­
ку, имеющую 400 штрихов на 1 мм. Дифракционная решетка располо­
жена на расстоянии 25 см от экрана. При измерении на экране оказа­
лось, что расстояние между третьими линиями слева и справа от нуле­
вого максимума равно 27,4 см.
О т в е т : 400 нм.
16.5. Расстоянием?между двумя когерентными источниками света (А.
= 0,5 мкм) равно 0,1 мм. Расстояние Ах между интерференционными
полосами на экране в средней части интерференционной картины рав­
но 1 см. Определите расстояние I от источника до экрана.
О т в е т: 1 = 2 м.
394
16.6. На поверхность стеклянного объектива («| = 1,5) нанесена
тонкая пленка, показатель преломления которой п2 = 1,2 («просветляю­
щая» пленка). При какой наименьшей толщине d этой пленки произой­
дет максимальное ослабление отраженного света в средней части ви­
димого спектра?
О т в е т : 115 нм.
16.7. На дифракционную решетку падает монохроматический свет.
Максимальный наблюдаемый порядок спектра к = 4 . Максимум какого
порядка будет наблюдаться под углом (р - 24° ?
О т в е т: 2.
16.8. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим све­
том (Л = 6 0 0 н м ). Расстояние между отверстиями d = 1 мм, расстояние
от отверстия до экрана L = 3 м. Найти положение трех первых светлых
полос.
О т в е т : у, = 1,8м м ;
у 2 = 3,6мм;
у 3 = 5,4мм.
16.9. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изоб­
ражениями источника света d = 0,5 мм, расстояние до экрана L = 5 м. В
зеленом свете получились интерференционные полосы, расположенные
на расстоянии / = 5 мм друг от друга. Найти длину волны Л зеленого
света.
О т в е т : Л = 0,5 мкм.
16.10. В опыте Юнга стеклянная пластинка толщиной h = 12 см
помещается на пути одного из интерферирующих лучей перпендику­
лярно к лучу. На сколько могут отличаться друг от друга показатели пре­
ломления в различных местах пластинки, чтобы изменение разности хода
от этой неоднородности не превышало А = 1 мкм ?
О т в е т : А п < 5 -1 (Г5.
395
Часть
6
Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О РИ И О ТН О С И Т Е Л Ь Н О С ТИ .
КВАНТОВАЯ Ф И ЗИ К А . А ТО М И АТОМ НОЕ Я Д РО
Г л а в а 17. Э Л Е М Е Н Т Ы СП Е Ц И А Л Ь Н О Й
Т Е О РИ И О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О С ТИ
Теория относительности рассматривает явления, протекающие в про­
извольных системах отсчета (общая теория относительности) и в инерциальных (специальная или частная теория относительности).
В школьном курсе физики рассматривается только специальная тео­
рия относительности (СТО).
Специальная теория относительности изменила сложившиеся пред­
ставления о пространстве и времени. Пространство и время, считавши­
еся в классической механике абсолютными и обособленными, оказались
относительными и взаимосвязанными. Связь между пространственны­
ми и временными координатами событий в различных инерциальных
системах отсчета устанавливают преобразования Лоренца. По современ­
ным представлениям время играет роль четвертого измерения, допол­
нительного к трем пространственным координатам.
§136. Принцип относительности А. Эйнштейна.
Инвариантность скорости света в вакууме
При рассмотрении движения частиц со скоростью, сравнимой со ско­
ростью света в вакууме (с « 3 108 м/с), классическая механика Ньюто­
на оказывается неприменимой.
396
В 1881 г. американские ученые А. Майкельсон и Э. Морли опытным
путем установили, что скорость света остается одинаковой, если свет
распространяется в направлении движения Земли или в направлении,
ему противоположном или перпендикулярном. Из опыта следовал вы­
вод, что свет распространяется во всех направлениях с одинаковой ско­
ростью независимо от движения источника света и наблюдателя. Это
оказалось в противоречии с классическим законом сложения скоростей
и с преобразованиями Галилея, лежащими в основе механики Ньютона.
В СТО классические преобразования координат (преобразования Гали­
лея), позволяющие переходить от одной инерциальной системы отсчета
к другой, были заменены преобразованиями Лоренца.
Пусть система координат х , у ' , z ' ,t' движется относительно сис­
темы х, у, z, t {рис. 17.1) со скоростью у , направленной вдоль общей
для системы оси ох. Запишем преобразования Галилея и Лоренца для
этих систем.
Преобразования Галилея:
X = X ,Jr \t, X 1 - X — \t,
у = у /,
у/=у,
(17.1)
Z =
Z
*=
Преобразования Лоренца:
х = {х/ + v t / ) / ^ \ - \ 2/ с 2 ,
Z / = Z,
t'=t.
Х = ( х - V / ) / - y / l - v 2/ c 2 ,
у = у /1
у 7= у
z = z /,
z / = z,
t = (t/ + X у / с 2) / д / 1 - V2/ c 2 i
(17.2)
t = ( f - x v / С2) / д / 1 - v 2/ c 2 .
Из преобразований видно, что при скорости движения, которая на­
много меньше скорости света, отношение v2 / с2 « 1 и преобразования
Лоренца переходят в классические преобразования Галилея. Таким обра­
зом, законы механики Ньютона не отвергаются, они рассматриваются как
частный случай движения тел с малыми скоростями. В основе СТО лежат
два постулата:
1)
Все физические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета; этот постулат называется принципом относи­
тельности А. Эйнштейна.
397
2)
Скорость света в вакууме оди
кова для всех инерциальных систем от­
счета. Кроме того, в СТО перешли мно­
гие постулаты классической физики: од*
нородность пространства и времени,
изотропность пространства, обрати­
мость времени и др.
Из преобразований Лоренца (17.2)
вытекает ряд следствий:
1. Сокращение длины движущегося тела:
1 = 1 J l - v 2/ c 2,
(17.3)
где /0— длина стержня (тела) в системе отсчета К ' , относительно кото­
рой стержень покоится (собственная длина); / — длина этого стержня,
измеренная в системе К, относительно которой он движется со скорос­
тью v . Стержень параллелен оси ох.
Это сокращение носит относительный характер. Если стержень по­
коится в системе К, то его длина в системе К' выражается формулой
(17.3). Поэтому когда в системах А" и К' покоятся одинаковые стержни,
то нельзя ставить вопрос: какой из них на самом деле короче? Все зави­
сит от системы отсчета.
2. Замедление хода движущихся часов:
A t = A t J y l \ - v 2/ c 2 ,
(17.4)
где Д/0 — интервал времени между событиями, происходящими в одной
точке системы К ' , измеренный по часам этой системы (собственное
время);
— интервал времени между теми же событиями, измерен­
ными по часам системы К. Как и изменение длины, это сокращение но­
сит относительный характер.
3. Релятивистский закон сложения скоростей:
и = [и + v ) / ( l + w v / c 2),
(17.5)
где и - скорость тела относительно системы К\ и' — скорость тела отно­
сительно системы К ' . Из формулы (17.5) видно, что в случае, когда
398
v < < с, р е л я т и в и с т с к и й з а к о н с л о ж е н и я с к о р о с т е й п е р е х о д и т в
к л а с с и ч е с к и й : и = и' + \.
Е с л и м '= с , то и = (c + v ) / ( l + v /c ) = c.
§137. Связь между массой и энергией. Полная энергия,
энергия покоя и кинетическая энергия релятивистской частицы
В СТО вводится релятивистская масса частицы т, зависящая от ско­
рости ее движения v:
т = 7И0Д /1 —V2/ c 2 ,
(17.6)
где т() — масса частицы, находящейся в покое.
С возрастанием скорости движения, как следует из формулы (17.6),
масса тоже увеличивается. Если скорость частицы v стремится к скоро­
сти света с, то масса частицы стремится к бесконечности. При малых
скоростях, когда v « с, массы движущейся и покоящейся частицы при­
близительно одинаковы. Следует отметить, что релятивистская масса
вводится в физику не всеми учеными.
Основной закон движения в теории относительности имеет такой же
вид, как и в классической механике Ньютона:
_> /
- / _л /
F - d P dt = d т v
dt,
(17.7)
v
л
только в этом уравнении масса - переменная величина. Здесь F — сила,
действующая на частицу; р — импульс частицы. В СТО установлен
фундаментальный закон природы — связь между энергией Е и массой
частицы:
Е = т с 2 = т0с 2/ д /l - v 2/ c 2 .
(17.8)
Энергию Е, определяемую формулой (17.8), называют полной энергией.
Энергия
Е0 = т0с2
(17.9)
называется энергией покоя.
Кинетическая энергия частицы Ек равна разности полной энергии и
энергии покоя:
Ек = Е - Е0 = тс2 - т0с 2 - т0с 2 (l/^/l - v2/ c 2) - 1 .
(17.10)
399
П ри скорости дви ж ен ия v «
с у р а в н е н и е (1 7 .1 0 ) п е р е х о д и т в к л а с с и -
ческое: Е к ~ т 0\ 2/ 2 . Частица называется релятивистской, если ее скорость сравнима со скоростью света, и классической, если скорость час­
тицы значительно меньше скорости света. Чтобы определить, является
ли частица с кинетической энергией Ек релятивистской или классичес­
кой, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с энергией
покоя. Если Ек / Е0 « 1, то частицу можно считать классической. При
скоростях движения, которые намного меньше скорости света, справед­
ливы законы классической физики.
Контрольные вопросы
1. Какие постулаты лежат в основе СТО?
2. Чем отличается принцип относительности Эйнштейна от принци­
па относительности Галилея?
3. Какие эффекты называются релятивистскими?
4. В чем отличие скорости света от скорости движения тела?
5. Когда релятивистскую массу тела можно считать не зависящей от
скорости движения?
6. В каких случаях следует пользоваться классическими законами меха­
ники?
7. Что называется энергией покоя?
8. В чем состоит закон взаимосвязи массы и энергии?
9. Как найти кинетическую энергию релятивистской частицы?
Примеры решения задач
17.1.
Фотонная ракета длиной /0 = 100 м летит относительно Земли
со скоростью v = 0,9 с. Чему равна длина ракеты для земного наблюда­
теля? На Земле за ракетой наблюдали 1 ч. Сколько времени это длится
по часам в ракете?
Дано:
/0 = 100 м
A t0 = 3600 с
v = 0,9 с
Р е ш е н и е . Длину ракеты для земного наблю­
дателя рассчитаем по формуле (17.3):
Время полета ракеты определим, воспользо­
вавшись уравнением (17.4):
A t = A t J J \ - v 2/ c 2,
400
A t = 8 3 7 2 -с = 2,3 ч .
17.2. Фотонная ракета Ф-1 летит со скоростью v = 0,5 с относитель­
но Земли. Ракета Ф-2 запущена с ракеты Ф-1 в направлении ее движе­
ния и летит со скоростью и —0,6 с относительно ракеты Ф -1. Найди­
те скорость ракеты Ф-2 относительно Земли.
д ано;
v = 0,5 с
Р е ш е н и е . Если для определения скорости
ракеты Ф-2 применить классический закон сложе-
и' - 0 6 с
НИЯ скоРосте^ ’ то полУчим значение скорости
и
и = v + u = 1,1с, « = 3,3-108м /с ,
?
что противоречит второму постулату теории отно­
сительности. Воспользуемся релятивистской формулой сложения ско­
ростей (17.5):
м = (и + у)/(1 + и7у /с 2)= 0,85 с,
и = 2,45-108м /с.
17.3. В с и н х р о тр о н е п ротоны ускоряю тся до энерги и Е =
= 4 1011 эВ. Найдите релятивистскую массу и скорость ускоренного
протона.
Дано:
Ек = 4 10п эВ
т0 = 1,67 ■10 '27кг
Р е ш е н и е . Для полной энергии релятивистекой частицы согласно выражениям (17.8) (17.10) запишем:
т — ?v — ?
Е = тс2 = Е к + Е0,
(1)
Е0 = т0с2,
(2)
где Е0 — энергия покоя протона.
Поделив уравнение (1) на (2), получим (£ K + Е0)/Е 0 = ш//к0 , откуда
т - т0(\ + £ к/ ( т 0с 2) ) = 7 - Ю 25 кг. С другой стороны, полная энергия ча­
стицы
Е = ЕК+Е0 =т0с2Ц l - v 2/c 2 ,
откуда
v j / c ! = (2
и v=
+
El)/(E, + E j
C'JF/:[2т,,с + Ек )/(m0c2 + Ек ),
v = 2.99999-108 м /с.
401
17.4.
Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти элек­
трон, чтобы увеличить скорость до 0,9 с?
Дано:
v = 0,9 с
т0 = 9,1 10 '31 кг
е = 1,6 10"19 Кл
AU -— ?
Р е ш е н и е . Силы электрического поля,
перем ещ ая электрон , соверш аю т работу
А = |е|Д£/. Эта работа идет на увеличение
кинетической энергии электрона. Полагая,
что начальная скорость электрон а равна
нулю, по закону сохранения энергии запи­
шем:
е АU = Е„ - тпс
откуда
AU = Ек/\е\, Д(/ = 0,66МВ.
17.5. Найдите скорость элементарной частицы, при которой кинетид а н 0ческая энергия частицы равна ее энергии покоя.
Р е ш е н и е . Кинетическая энергия релятивистс­
кой частицы, согласно уравнению (17.10)
Л
Е„ = тс2 — т0с^.
( 1)
Е к = Е о = т 0с 2 -
(2)
т = 2т0.
( 3)
По условию задачи
Из уравнений (1) и (2) получим
Но релятивистская масса частицы определяется по формуле (17.6):
т1=
т0/ л / ЬV
’ /c2
(4)
Из уравнений (3) и (4) получим
v = Сд/3/4,
v = 0,866с.
17.6.
Найдите, за какое время масса Солнца уменьшится на величи­
ну Ат, равную а = 1%, если известно, что Солнце излучает ежеминутно
энергию АЕ = 23,76 1027 Дж.
Дано:
АЕ = 23,76 1027 Дж
тс = 1,97 Ю30 кг
с = 3 ■108 м/с
а = 0,01_____
г— ?
Р е ш е н и е . Считая излучение Солнца
постоянным, можно записать:
Д/ис2 = АЕ t.
(О
Так как
Д/я = а тс,
(2)
из уравнений (1) и (2) получим
t - а тсс 2/ А Е ,
t = 1 4 ,2 -1 0 10лет.
Задачи для самостоятельного решения
17.7. При какой относительной скорости v движения релятивистское
сокращение длины движущегося тела составляет 25%?
О т в е т: v = 1,98 108 м/с.
17.8. Найдите релятивистское сокращение размеров тела, скорость
которого равна 0,95 с.
О т в е т : (/„ - /)//0 < 68,8%.
17.9. Собственное время жизни мю-мезона равно 2 мкс. От точки
рождения до точки распада в системе отсчета, жестко связанной с Зем­
лей, мю-мезон пролетел расстояние 5 = 6 км. С какой скоростью v дви­
гался мезон?
О т в е т: v = 0,995 с.
17.10. Две релятивистские частицы движутся в системе отсчета,
жестко связанной с Землей, со скоростями Vj = 0,6 с и v2 = 0,9 с вдоль
одной прямой. Определите их относительную скорость и в случаях:
1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся на­
встречу друг другу.
О т в е т: 1) Mj=0,195 с; 2) г/2=0,974 с.
17.11. При какой скорости масса движущегося тела возрастает в два раза?
О т в е т: v = 0,87 с.
17.12. Насколько увеличится масса а -частицы после прохождения
ускоряющей разности потенциалов U = 1 MB?
О т в е т: Ат = 3,55 Ю"30 кг.
17.13. Найдите скорость элементарной частицы, если ее полная энер­
гия в п раз больше энергии покоя.
О т в е т : v = c-Jn2 - 1/и
403
17.14. Определите скорость частицы, если ее кинетическая энергия
составляет половину энергии покоя.
О т в е т: v = 2,2 ■108 м/с.
17.15. Определите релятивистский импульс Р и кинетическую энер­
гию Ек электрона, движущегося со скоростью v = 0,9 с.
О т в е т: Р = 5,6 10"22 кгм/с; Ек = 0,66 МэВ.
17.16. Отношение заряда движущегося электрона к его релятивистс­
кой массе равно 0,88-10 11 Кл/кг. Определите релятивистскую массу элек­
трона и его скорость.
О т в е т: т = 2mQ; v =0,866 с.
Г л а в а 18. К ВА Н ТО ВАЯ П РИ РО Д А И ЗЛ У Ч ЕН И Я
§138. Тепловое излучение.
Законы излучения абсолютно черного тела
Тепловым называется электромагнитное излучение, обусловленное
нагреванием тела. Тепловое излучение происходит за счет энергии ато­
мов и молекул вещ ества и возникает при лю бы х температурах выше аб­
солютного нуля. При невысоких температурах наблюдается излучение
в невидимой глазом инфракрасной области спектра.
Если нагретое тело поместить в идеально отражающую и непроница­
емую для излучения оболочку, то с течением времени в результате обмена
энергией между телом и излучением наступит равновесие: количество
энергии, излучаемой и поглощаемой телом в единицу времени, станет
одинаковым. Состояние термодинамического равновесия системы сохра­
няется до тех пор, пока не изменятся внешние условия. Самостоятельно
система не может выйти из этого состояния. Среди известных видов из­
лучения только тепловое излучение может быть равновесным.
Количество энергии dW, излучаемое телом за единицу времени, на­
зывается потоком излучения'.
dW
Ф = ----dt
Энергетической светимостью тела Rc называется отношение пото­
ка излучения к площади поверхности S излучающего тела:
Re = Ф/S.
404
Энергетическая светимость измеряется в ваттах на квадратный метр
(Вт/м2).
Нагретое тело излучает электромагнитные волны различной длины
волны. Каждая длина волны обладает определенной энергией.
Спектральный состав излучения характеризуется спектральной
плотностью энергетической светимости
Т (лучеиспускательная
способность):
гх,т ~ dRe/d k ,
где dRe - энергетическая светимость на участке спектра шириной dX.
Опыты показывают, что спектральная плотность энергетической свети­
мости зависит от длины волны X и от температуры тела Т.
Зная гх т, можно найти энергетическую светимость:
оо
Re = \ r XTdX.
о
(18.1)
Поглощение телом лучистой энергии характеризуется спектральной
поглощающей способностью (коэффициент поглощения):
а ».,т =
(18-2)
где Фх т - поток падающего на тело излучения для данного интервала
длин волн, Ф'х т - поток, поглощенный телом. Коэффициент поглоще­
ния зависит от температуры, дины волны и от природы тела.
Из выражения (18.2) следует, что а изменяется от 0 до 1. Тело, коэф­
фициент поглощения которого для всех длин волн (или частот) равен
единице, называется черным. Сажа, черный бархат, платиновая чернь и
др. имеют коэффициенты поглощения близ­
кие к единице. Моделью черного тела может
служить тело с небольшим отверстием в зам­
кнутой полости (рис. 18.1). Луч света после
многократного отражения в полости погло­
щается настолько, что интенсивность вышед­
шего луча практически равна нулю. Тело, для
которого коэффициент поглощения меньше
единицы, называется серым.
рис, / 8.1
405
Количественная связь между поглощением и излучением тел устанав­
ливается законом Кирхгофа: в состоянии термодинамического равнове­
сия отношение спектральной плотности энергетической светимости к
спектральной поглощательной способности одинаково для всех тел и равно
спектральной плотности энергетической светимости черного тела гх т чер:
Г!Д ,Т
! а 1Л.Т
=
Г2 Л ,Т
I
а
2Х
,Т
~
Г х ,1
:"Ч> =
^ )-
( 1 8.3)
Это отношение для всех тел является универсальной функцией КирхгофаДТ., 7) длины волны X и температуры Т.
Из закона Кирхгофа следует, что каждое тело поглощает излучение в
том интервале длин волн, в котором оно их испускает.
Зависимость спектральной плотности энергетической светимости
^х,т черного тела от длины волны X при постоянной температуре Т была
установлена экспериментально (рис. 18.2).
Как видно из рисунка, спектр теплового излучения сплош ной, с р ос­
том температуры (Г3 > 7’2 > Т}) лучеиспускательная способность тела
увеличивается. С формулируем опытные законы теплового излучения
черного тела.
Закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость R£ черного
тела прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной темпе­
ратуры:
Х ,Т ' L
•m2
Рис. 18.2
406
(1 8 .4 )
где
а -
5,67 • 10 8 Вт/(м2 • К4) - постоянная Стефана-Больцмана.
Из р и с . 1 8 . 2 видно, что с ростом температуры максимум излучения
смещается в сторону более коротких длин волн.
З а к о н с м е щ е н и я В и н а : д л и н а в о л н ы 1 т, с о о т в е т с т в у ю щ а я м а к с и ­
м альном у
м ост и
значению спект р а льно й плот н ост и энергет ической свет и ­
l
черного т ела, о б р а т но п р о п о р ц и о н а льн а его абсолю т ной
т ем перат уре:
К
где
b =
=
Ь /Т ,
(18.5)
2,9 • 10 3 мК - постоянная Вина.
В классической физике считается, что излучение и поглощение энер­
гии телами происходит непрерывно. Экспериментальную зависимость
спектральной плотности энергетической светимости от длины волны и
температуры в рамках представлений классической физики объяснить
не удалось.
§139. Кванты света (фотоны). Постоянная Планка
В 1890 г. немецкий физик М. Планк выдвинул гипотезу, согласно ко­
торой свет излучается и поглощается не непрерывно, а в виде опреде­
ленных порций — к в а н т о в . Энергия кванта света Е пропорциональна
частоте колебания v:
E - h v - he/ Л,
где
h
= 6,625
(18.6)
10'34 Дж ■с — постоянная Планка.
Основываясь на выдвинутой гипотезе, Планк вывел формулу, блес­
тяще согласующуюся с экспериментальными данными по распределе­
нию энергии в спектре излучения абсолютно черного тела во всем ин­
тервале частот и температур.
Эйнштейн продолжил гипотезу Планка идеей, что свет состоит из
квантов (фотонов).
Ф о т о н - это элементарная частица, которая в любой среде движется
со скоростью света с. Масса фотона равна нулю. Импульс и энергия
релятивистской частицы определяются соотношениями:
407
m ac
P=^ 7 J ? \
r- ■■
m' /
(1 8 .7 )
Если скорость фотона v=c, то фотон согласно (18.6), (18.7) обладает
импульсом
Е
hv
h
'-■7‘ Т Т
(18'8)
Фотон обладает энергией и импульсом (это корпускулярные свой­
ства частицы) и характеризуется частотой (волновая характеристика).
Фотон движется со скоростью, равной скорости света в вакууме.
Это не противоречит тому, что скорость света в веществе v ^ с ■ При
распространении в какой-либо среде фотоны поглощаются и вновь ис­
пускаются частицами вещества. Падая на какую-либо поверхность, фо­
тон передает свой импульс атомам или молекулам вещества поверхно­
сти, оказывая на нее световое давление.
§140. Внешний фотоэффект
В н е ш н и й ф о т о э ф ф е к т — это явление выбивания электронов с поверхнос­
ти металлов электромагнитным излучением. Был открыт Г. Герцем в 1887 г.
А.Г. Столетов исследовал явление фотоэффекта. Схема эксперимен­
тальной установки показана на р и с . 1 8 .3 . Излучение от электрической дуги,
горящей между электродами 1 и 2, проходило через сетчатую пластинку
— анод А и попадало на пластинку — катод К . Пластинка-катод изготов­
лялась из различных исследуемых материалов. В электрическую цепь
включались батарея Б А и гальванометр G . Опытами было установлено,
что фототок в цепи возникал в том случае, когда сетчатая пластинка име­
ла положительный заряд; явление фотоэффекта протекало наиболее эф­
фективно при использовании ультрафиолетового излучения.
На р и с . 1 8 . 4 дана зависимость фототока от напряжения в цепи. С
увеличением напряжения U сила фототока / также увеличивается, дос­
тигая тока насыщения / н.
408
и
о
Рис. 18.4
Рис. 18.3
Величина фототока насыщения Пропорциональна освещенности ка­
тода. Дальнейшие исследования, выполненные Ленардом и Томсоном,
доказали, что носителями заряда при фотоэффекте являются электро­
ны.
З а к о н ы ф о т о э ф ф е к т а следующие:
- сила фототока насыщения пропорциональна освещенности;
- максимальная скорость фотоэлектронов определяется частотой из­
лучения, падающего на катод;
- для каждого вещества существует минимальная частота о кр, при
которой начинает наблюдаться фотоэффект; эта частота получила на­
звание к р а с н о й г р а н и ц ы ф о т о э ф ф е к т а .
Теория фотоэффекта была разработана А. Эйнштейном. Фотоны, па­
дая на катод, отдают свою энергию, которая расходуется на работу вы­
хода электронов из металла Л вых и кинетическую энергию электрона:
(18.9)
где
hv
— энергия поглощенного фотона;
Е™ т
— максимальная кине­
тическая энергия фотоэлектронов.
К расная граница ф от оэф ф ект а
определяется по формуле
% = АыхЛ-
(18.10)
Внешний фотоэффект используется в фотоэлементах, которые ши­
роко применяются в технике: при сортировке и счете деталей на кон­
вейере, при передаче изображения по телеграфу, в телевидении, в зву­
ковом кино и т.д.
409
§ 141. Гипотеза Луи де Бройля. Дифракция электронов.
Корпускулярно-волновой дуализм
Некоторые оптические явления: интерференция, дифракция, поля­
ризация и др. описываются волновой теорией, тепловое излучение, фо­
тоэлектрический эффект и многие другие явления объясняются на ос­
нове квантовых представлений. Такая двойственная природа света при­
нята как факт, который получил название к о р п у с к у л я р н о - в о л н о в о й д у а ­
л и з м света.
В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой микро­
частицы (электроны, нейтроны, атомы и т. д.) наряду с корпускулярными
обладают и волновыми свойствами, т. е. дуализм является особенностью
не только оптических явлений, а имеет универсальный характер.
Согласно гипотезе Планка фотон обладает энергией
сом
Е
— h v ^
импуль-
h
постоянная Планка, v - частота, а А -длина волны.
Я
По гипотезе де Бройля движение микрочастиц связано с волно­
вым процессом, длина волны которого
Р = — , где И -
«
h
И
*- = - =
,
р
т
\
(18.11)
где т - масса, v - скорость частицы. У макротел де-бройлевская длина
волны настолько мала, что ее обнаружить или измерить невозможно.
Другое дело, если речь идет о микрочастице, масса которой очень мала.
Так, электронам могут соответствовать длины волн порядка Ю"10 м.
В экспериментах Дэвиссона и Джермера по рассеянию пучка элект­
ронов от поверхности металлического кристалла в распределении час­
тиц были обнаружены регулярные тени. Полученная картина интерпре­
тировалась как дифракционная.
Томсон и независимо от него Тартаковский в экспериментах по об­
лучению металлической фольги пучком ускоренных электронов также
зарегистрировали на фотопластинке дифракционную картину.
Дифракционные явления были обнаружены у атомных и молекуляр­
ных пучков в опытах Штерна.
Длина волны, определяемая экспериментально, во всех случаях со­
впадала с предсказанной де Бройлем.
410
Таким образом, опыты подтвердили, что корпускулярно- волновой
дуализм относится и к материальным телам.
§142. Давление света
Фотон обладает энергией и импульсом (это корпускулярные свой­
ства частицы) и характеризуется частотой (волновая характеристика).
Падая на какую-либо поверхность, фотон передает свой импульс ато­
мам или молекулам вещества поверхности, оказывая на нее световое
давление.
Пусть в единицу времени на единицу площади поверхности падает п
фотонов. Часть фотонов отражается поверхностью, часть поглощается.
Обозначим за р коэффициент отражения света, тогда
р п -
число отра­
жаемых фотонов, а ( 1 - р ) п - число поглощаемых фотонов. Каждый отра­
жаемый фотон передает поверхности импульс
[ h v /c - ( - h v /c ) ] = 2 h v /c ,
так как при отражении знак импульса меняется на противоположный.
Каждый поглощаемый фотон передает поверхности импульс h v / c . Дав­
ление света р на поверхность равно импульсу, который передают повер­
хности за единицу времени все п фотонов:
р
= (2h v / c ) p
п + i h v / c)(l
- р )п
или
р
где Е 0
= nhv -
=
(n v h /c )(l +
р) =
( Е 0/ с ) ( 1 + р )
= ю(7 + р ) ,
(18.12)
энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности
в единицу времени; со = Е0/с - объемная плотность энергии излучения
[Дж/м3].
Если свет падает под углом а к поверхности, то давление
р
=
(E Jc)(1
+ р ) cos2a.
Существование давления света было предсказано Максвеллом после со­
здания им электромагнитной теории и впервые измерено П. Лебедевым
в 1901г.
Естественный свет оказывает на поверхность очень малое давление,
примерно 5-10 '6 Па, что на десять порядков меньше нормального ат­
мосферного давления.
411
Контрольные вопросы
1. Природа теплового излучения.
2. Что называется спектральной плотностью энергетической свети­
мости?
3. Сформулируйте законы Кирхгофа, Стефана-Больцмана и Вина.
4. Какие факты свидетельствуют о наличии у света корпускулярных
свойств?
5. Что такое корпускулярно-волновой дуализм материи?
6. Чему равны масса, импульс и энергия фотона?
7. Какое явление называют фотоэффектом?
8. Сформулируйте основные законы фотоэффекта.
9. Напишите уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.
10. Что такое красная граница фотоэффекта?
11. Кто впервые измерил давление света?
12. Чему равно давление света на поверхность, падающего перпен­
дикулярно ей? Под углом а ?
Примеры решения задач
Максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного
тела приходится на длину волны А.тах = 0,8 мкм. Найдите энергетичес­
кую светимость поверхности тела.
18.1.
Дано:
^•шах = 0,8-10-6 м
Р е ш е н и е . По закону Стефана-Больцмана
(18.4) можно определить энергетическую све­
тимость тела:
* е= а Т 4
(О
Абсолютную температуру тела Т, входящую
в уравнение (1), найдем по закону смещения Вина (18.5):
Из уравнений (1), (2) получим
Re = a ----V
412
ma x /
, Лс = 9,8 МВт/м2.
18.2. Найдите работу выхода электрона из металла и максимальную
скорость вырываемых электронов, если фотоэффект осуществляется под
действием света с длиной волны X = 180 нм, а красная граница фотоэф­
фекта А.кр=234 нм.
Дано:
Л. = 180 • 10'9 м
X кр = 234 • 10'9 м
~ “
7)
Р е ш е н и е . Из уравнения Эйнштейна
для фотоэффекта (18.9) можно определить
работу выхода электрона, так как при частоте падающего света v = vKp энергия кванта
h v расходуется только на работу выхода элек­
трона:
A = hvKp= c h / AKp,
А
= 5,3 эВ.
Запишем уравнение(18.9) в виде
c h /X
=
c h / X KJ> +
mv2/ 2 .
Отсюда найдем максимальную скорость вырываемых электронов:
v =
2 ^ h c (\/A
-1/А кр)/(2т),
v = 4,3 - 1 0 5 м / с .
18.3. Найдите длину световой волны, вырывающей электроны с по­
верхности цинка, если электроны полностью задерживаются обратным
потенциалом U = 1В.
Дано:
А = 6,6 ■ 10"19 Дж
U = 1В
э 9
Р е ш е н и е . Электрон, вылетающий из
металла, может быть полностью задержан
электрическим полем, если силы этого поля
совершат над ним работу А3 =
II
\е\U ,
равную
к и н ети ч е ск о й эн ер ги и эл е к тр о н а, т.е.
\е\U
=
т \ 2/
2.
Тогда уравнение (18.9) можно записать в виде
hv
(1)
= А + \е \U .
Длина световой волны X и частота v связаны соотношением
v = с /Х .
Из уравнений (1) и (2) получим
А = chjiyA + \e\U),
(2)
А = 243 нм .
413
18.4.
Найдите максимальную скорость электронов, вырванных с по­
верхности вольфрама у-лучами с длиной волны X = 0,001 нм.
Дано:
7,2 • 10'19 Дж
Х = 1 • 10 ■12 м
о
Р е ш е н и е . Скорость электронов, вырываемых с поверхности металла, зависит от
энергии кванта электромагнитного излучения,
падающего на поверхность. Если энергия
кванта много меньше энергии покоя электро­
на, то скорость вырванного электрона оказывается много меньше ско­
рости света в вакууме. В этом случае при решении задач кинетическая
энергия в уравнении (18.9) записывается по классической формуле:
А -
Е ^т
=
m v 2/
2 . Если же энергия кванта сравнима с энергией покоя элек­
трона, то необходимо применять релятивистскую формулу кинетичес­
кой энергии:
/
L
сч
1-
= Е0
v 2/ c 2
J
оо
£
II
Е к
\
1
1
V 1 - v2/c 2 J
Подсчитав энергию покоя электрона
Е0 = т0с2, Е0 = 9 Д Ы (Г 3,(з-108)2 ы2/ с 2 = 0,82-1(Г13 Дж
и энергию у -кванта
Е = hv = ch/ Я,
Е = 1,991(Г13Дж,
убеждаемся, что эти величины сравнимы друг с другом, а следователь­
но, нужно пользоваться релятивистской формулой кинетической энер­
гии. Для данного случая уравнение (18.9) с учетом (17.10) примет вид
he
X
=
А
+
т ас ‘
-
2 / 2
$
1
V /С
Величиной работы выхода электрона А в уравнении (1) можно пре­
небречь как очень малой по сравнению с энергией кванта h v . Тогда из
уравнения(1) получим
откуда
2cJ(/ra0c2 + hc/(2l))hc/(2l)
v = - -A/V-°------- /V r /V
wIqC + hc/l
„ .
v = 1,9-10 м/с.
18.5.
Пучок света с длиной волны А. = 490 нм, падая нормально на
поверхность, производит на нее давление, равное р = 9,81 •10 '7 Па. Сколь­
ко квантов света падает ежесекундно на единицу площади этой поверх­
ности, если коэффициент отражения света р = 0,5?
д ано;
= 9 ,8 Ы 0 "7Па
р
Р е ш е н и е . Давление, производимое светом>определяется формулой (18.12):
/>=0,5
X = 490- Ю'9 м
N
Р~
£ О0 + Р)
, откуда
- ?
Е = - Р°
1+р
Если энергия данного кванта Е = h v = h c f k , то количество квантов,
падающих ежесекундно на единицу поверхности:
N
\
N =
Е0 _ p c i _ p i
Е hc(1+ р) h(1+ р) ’
= = ^ =
2,5 • 1021 частиц/(м2-с).
Задачи для самостоятельного решения
18.6. С какой длиной волны следует направить световые лучи на по­
верхность платины, чтобы скорость вылетевших из нее электронов была
равна 3000 км/с?
О т в е т : 4,02 мкм.
18.7. Красная граница фотоэффекта для серебра равна 261 нм. Опре­
делите работу выхода электрона из серебра.
О т в е т: 4,3 эВ.
18.8. На сколько энергия фотонов фиолетового излучения с частотой
7,5-1014 Гц больше энергии фотона красного излучения с частотой
4-1014 Гц?
О т в е т: на 23 -10“20 Дж.
415
18.9. Какую максимальную скорость имеют электроны, вырванные
из натрия светом с длиной волны 0,5 мкм? Красная граница фотоэффек­
та для натрия равна 0,68 мкм.
О т в е т: 48 ■104 м/с.
18.10. Работа выхода электрона из цинка равна 3,74 эВ. Произойдет
ли фотоэффект, если на цинк будут падать световые лучи с длиной вол­
ны 0,45 мкм?
О т в е т : нет.
18.11. Источник света мощностью 100 Вт испускает за 1 с 5-1020 фо­
тонов. Найдите среднюю длину волны излучения.
О т в е т : 990 нм.
18.12. Определите длину волны лучей, кванты которых имеют такую
же энергию, как электрон, ускоренный разностью потенциалов 4 В.
О т в е т: 310 нм.
18.13. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его
кинетическая энергия была равна энергии фотона с длиной волны
X = 436 нм?
О т в е т : 106 м/с.
18.14. Определите импульс фотона, если длина его волны А.=2,2 ■Ю"10м.
О т в е т: 3 • 10"24 кг м/с.
416
Глава 19. ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 143. Модель атома Томсона и Резерфорда
Со времен Д ем окрита ученые
считали, что все вещества состоят
из мельчайших неделимых частиц атомов. Такое мнение существова­
ло весьма долго. Во второй полови­
не XIX века в связи с развитием
спектроскопии и открытием элект^
рона серьезно встал вопрос о стро­
ении атома.
Дж. Дж. Томсон в 1903 г. пред­
ложил п у д и н г о в у ю модель атома. Согласно этой модели атом равномер­
но заряжен положительным электричеством, внутри которого относи­
тельно его центра колеблются отрицательно заряженные электроны. В
целом атом электронейтрален. Однако такая модель атома оказалась оши­
бочной, так как противоречила результатам опытов Э. Резерфорда.
Схема экспериментальной установки Резерфорда показана на р и с . 1 9 .1 .
Радиоактивное вещество Р, испускающее а-частицы (ядра атома гелия),
помещалось в вакуумной камере. Пройдя диафрагму D, узкий поток
а - частиц попадал на тонкую (~1 мкм) металлическую фольгу Ф, кото­
рая рассеивала их на различные углы © .Затем а-частицы ударялись об
экран Э, покрытый сернистым цинком. Удары а-частиц вызывали на
экране вспышки (сцинтилляцию), наблюдаемые в микроскоп.
Опыты показали, что некоторые а-частицы (примерно одна из 20.000),
налетая на фольгу, отклонялись на аномально большие (почти до 180°)
углы.
По результатам опытов Резерфорд сделал следующие выводы:
1) отклонение а-частиц на значительные углы происходит в резуль­
тате их взаимодействия с большим положительным зарядом атома;
2) поскольку а-частиц, испытывающих значительные отклонения, не­
много, то объем с большим положительным зарядом занимает очень
малую часть атома.
Эти выводы противоречили модели атома Томсона.
417
На основании своих опытов Резерфорд разработал ядерную (плане­
тарную) модель атома. Согласно этой модели атом состоит из ядра с по­
ложительным зарядом Z e ( Z - порядковый номер элемента в таблице Мен­
делеева, е - элементарный заряд) и имеет размер порядка 10'15-10"14 м,
основная масса атома (-99,4 %) сосредоточена в атомном ядре. Вокруг
ядра по орбитам, близким к круговым, вращаются электроны. Атом электронейтрален.
Однако ядерная модель атома не смогла объяснить линейчатый ха­
рактер спектров излучения и поглощения и оказалась в противоречии с
законами классической электродинамики.
В модели Резерфорда электроны, вращаясь вокруг атомного ядра по
криволинейным орбитам, должны двигаться с ускорением. Согласно
классической электродинамике любые ускоренно движущиеся электри­
ческие заряды должны излучать электромагнитные волны. Поскольку
полная энергия системы «атом + электромагнитная волна» сохраняется,
то энергия электрона должна уменьшаться, чтобы скомпенсировать из­
лучение. В результате этого уменьшается радиус орбиты и, двигаясь по
спирали, электрон должен упасть на ядро. По мере приближения к ядру
частота обращения электрона и испускаемого им излучения должна воз­
растать. Таким образом, свет, испускаемый атомом, должен иметь сплош­
ной спектр.
В действительности атомы являются устойчивыми системами, а
излучение разреженных газов имеет линейчатый спектр.
Разработанная Резерфордом ядерная модель атома оказалась внут­
ренне противоречивой.
В рамках этой модели ни устойчивость атомных систем, ни линейчатость спектров объяснить не удалось.
§144. Спектр атома водорода
Спектры излучения и поглощения разреженных газов являются дис­
кретными, так как атомы испускают свет только определенных длин волн.
В спектроскопе наблюдается линейчатый спектр, представляющий со­
бой совокупность спектральных линий, составляющих определенные
серии.
Водород представляет собой простейший атом, состоящий из ядра,
вокруг которого вращается один электрон. Поэтому водород имеет са 418
мый простой спектр. На р и с . 1 9 . 2 показана схема спектральных линий
водорода серии Бальмера, где симво­
лам и Н а ( X = 0 ,6563 м к м ), Яр
//„ Я„
н
( X = 0,481 мкм), # r ( X = 0,4340 мкм),
Я 5 (А. = 0,4102 мкм) обозначены ви­
димые спектральные линии. Помимо
Рис. 19.2
видимого света, в спектре водорода
имеются излучения, расположенные
в инфракрасной области (серии Пашена, Брэкета, Пфунда), в ультрафи­
олетовой (серия Лаймана).
Расположение спектральных линий в спектре подчиняется обобщен­
ной формуле Бальмера:
где R = 1,097 •107 м '1 - постоянная Ридберга, X - длина волны, т и п целые числа, имеющие определенное значение каждой серии и спект­
ральной линии (табл. 19.1).
Таблица 19.1
Наименование серии
Сепия
Сеиия
Сеоия
Серия
Серия
Значение т
Значение п
1
2
3
4
5
2.3.4...
.3.4.5....
4.5.6....
5.6.7....
6,7,8,...
Лаймана
Бальмеоа
Пашена
Боэкета
Пфунда
Формулу (19.1) можно записать для частоты излучения:
v = * { '2
\Г П
где
R ' = R ■с =
п
12
(19.2)
V
1
3,29 ■1015 с 1 - постоянная Ридберга,
с -
скорость све­
та в вакууме.
На р и с . 1 9 . 3 дана схема энергетических уровней атома водорода. Со­
стояние 1 является о с н о в н ы м с о с т о я н и е м . В этом состоянии атом имеет
минимальную энергию. При поглощении энергии атом переходит из
419
1 3 ,5 -5
4
3
2
10
--
Серия Бальмера
основного состояния в возбужденное.
На рисунке показаны переходы с верх­
них уровней на энергетический уровень
1 при излучении атомом электромагнит­
ных волн (серия Лаймана) и на энерге­
тический уровень 2 (серия Бальмера).
Следует отметить, что атомом погло­
щается энергия той же частоты, что и
излучается.
5
§145. Теория Н. Бора
0
1 Vi v
Спектральные закономерности атома
водорода объяснила теория Бора, разра­
Р и с . 1 9 .3
ботанная в 1913 г. и являющаяся первым
вариантом квантовой теории. В основу
теории Бора положены два постулата:
1.
Электроны в атоме могут находиться только в определенных ус­
тойчивых состояниях, в которых атом не излучает энергии. Эти состоя­
ния назвали с т а ц и о н а р н ы м и . На стационарных орбитах момент импуль­
са электрона m e v r n кратен значению h / ( 2 n ) , т.е.
Серия Лаймана
(19.3)
где m g - масса электрона, v - линейная скорость электрона, г п - радиус
орбиты, п = 1, 2, 3,... - целое число, названное квантовым числом,
h - постоянная Планка.
2.
Атом излучает или поглощает квант энергии при переходе из од­
ного стационарного состояния в другое:
h v = Е пп - Е т
т ,’
(19.4)
где Е п, Е щ - энергии стационарных состояний атома до и после излуче­
ния или поглощения. Если Е п > Е т , то атом излучает фотон (электрон
переходит на орбиту более близкую к ядру атома).
Постулаты Бора позволили рассчитать спектр атома водорода и оп­
ределить постоянную Ридберга.
В атоме на электрон действует сила кулоновского притяжения к ядру,
сообщающая ему нормальное (центростремительное) ускорение. Счи­
тая орбиту электрона круговой, запишем уравнение его движения:
420
m ev 2 _
2
1
4 т ге0
Z e2
(19.5)
г
2
Из уравнений (19.3) и (19.5) находится выражение для радиусов орбит:
Подставляя значения констант и считая Z = 1 и п = 1 (первая орбита
атома водорода), по формуле (19.6) определим значение первого во­
ровского радиуса, являющееся единицей длины в атомной физике:
г Б = 0,528 • 1(Г10 м.
Используя выражение (19.5), вычислим полную энергию электрона
в атоме, которая согласно принятой модели является суммой кинетичес­
кой энергии вращающегося электрона и потенциальной энергии взаимо­
действия электрона с ядром:
Е = Ек + Ер
т е\ 2
e 2Z
e 2Z
e 2Z
e 2Z
Согласно (19.7) полная энергия электрона оказывается отрицатель­
ной и равной по абсолютному значению его кинетической энергии.
Из соотношений (19.6) и (19.7) следует, что в боровской модели как
радиусы орбит, так и энергии принимают дискретные значения.
При п = 1 атом обладает наименьшей энергией ( о с н о в н о е
Состояния атома с п > 1 называются в о з б у ж д е н н ы м и .
сост оя­
н и е ).
Из уравнений (19.6) и (19.7) получаем энергетический спектр атома
водорода:
(19.8)
Теория Бора позволила рассчитать спектры атома водорода и водо­
родоподобных систем (ионы Не+, Li2+), но не смогла описать спектры
других атомов, в том числе и простейшего атома гелия, а также объяс­
нить интенсивность спектральных линий.
421
§146. Непрерывный и линейчатый спектры.
Спектральный анализ
Электромагнитное излучение вещества исследуется спектральными
аппаратами, основной частью которых является призма или дифракци­
онная решетка. Такие приборы называются спектроскопами или спект­
рографами. При этом на матовом стекле или фотопластинке аппарата
наблюдается или фиксируется спектр излучения. Если спектр представ­
ляет собой сплошную разноцветную полосу с плавным переходом цве­
тов, то такой спектр называют н е п р е р ы в н ы м . В нем имеются волны всех
длин (частот). Непрерывным является спектр Солнца, электрической дуги,
высокотемпературной плазмы и т.д. Непрерывный спектр называют так­
же сплошным. Если нагреть до высокой температуры твердое тело, жид­
кость или газ, находящийся при большом давлении, то наблюдается сплош­
ной спектр излучения.
Исследования спектров излучения разреженных газов, т.е. отдель­
ных атомов, показали, что каждый газ имеет определенный спектр,
состоящ ий из отдельных цветных линий, расположенных на темном
фоне. Такой спектр называется л и н е й ч а т ы м . Его можно наблюдать,
если вещ ество перевести в парообразное атомарное состояние. О т­
дельные линии в спектре соответствуют определенным длинам волн,
т.е. изолированные атомы излучают энергию в узком диапазоне длин
волн или частот. Спектры подразделяются на спектры и с п у с к а н и я и
поглощ ения.
Если солнечный свет пропустить через неизлучающий газ, то на не­
прерывном спектре наблюдаются темные линии. Это л и н и и п о г л о щ е н и я .
Каждый газ поглощает линии таких длин волн, которые он излучает в
нагретом состоянии, т.е. положение темных линий в спектре поглощения
соответствует положению светлых линий в спектре испускания данного
газа. Спектр Солнца, полученный в условиях Земли, является спектром
поглощения, так как солнечные лучи при прохождении земной атмосфе­
ры и фотосферы Солнца поглощаются.
В линейчатом спектре каждому химическому элементу соответству­
ют свои определенные линии. По их расположению, пользуясь таблица­
ми спектральных линий, можно определить химический состав веще­
ства.
422
Состав вещества определяют и по спектру поглощения, в котором
каждому химическому элементу соответствуют определенные темные
линии.Чтобы узнать химический состав твердых и жидких веществ, их
следует перевести в газообразное состояние.
Данный метод исследования вещества называется с п е к т р а л ь н ы м а н а ­
л и з о м . Он обладает большой чувствительностью. С помощью этого ме­
тода можно обнаружить присутствие очень малого количества какоголибо элемента в составе сложного вещества.
§ 147. Люминесценция
Л ю м и н е с ц е н ц и е й называется неравновесное излучение света телами,
имеющее длительность более Ю '10с.
Люминесценция возникает при переходе электронов в возбужден­
ных атомах с более удаленных орбит на орбиты более близкие к ядру.
По способу возбуждения различают несколько видов люминесцен­
ции:
1 ) э л е к т р о л ю м и н е с ц е н ц и я , возникающая при действии электричес­
кого поля;
2 ) ф о т о л ю м и н е с ц е н ц и я , возникающая под действием света;
3 ) к а т о д о л ю м и н е с ц е н ц и я , возникающая под действием электронов;
4 ) р е н т г е н о л ю м и н е с ц е н ц и я , возникающая под действием рентгено­
вского излучения;
5 ) х е м и л ю м и н е с ц е н ц и я , возникающая при химических превращениях;
6 ) ф л ю о р е с ц е н ц и я , возбуждаемая коротковолновым электромагнит­
ным излучением или потоком электронов, протонов, а-частиц и др.;
7 ) ф о с ф о р е с ц е н ц и я - флюоресценция, возникающая после пре­
кращения облучения (длительное послесвечение фосфора и других
веществ).
Люминесцирующие вещества называются л ю м и н о ф о р а м и .
§148. Лазеры
В 1954 году советские ученые Н.Г. Басов и А.М. Прохоров опубли­
ковали работы с описанием квантового генератора ультракоротких ра­
диоволн в сантиметровом диапазоне, получившего название м а з е р .
Генераторы света, появившиеся в 1960 году в видимой и инфракрас­
ной областях, назвали л а з е р а м и .
423
Рассмотрим принцип действия руби­
нового лазера. Рубин — это ярко-крас­
I S ,
ный кристалл оксида алюминия А120
2 33
с примесью трехвалентных ионов хро­
ма в количестве 0,05%. Ионы хрома
после их возбуждения и являются при­
чиной процессов, протекающих в ла­
зере. Кроме основного состояния 1
Рис. 19.4
( р и с . 1 9 . 4 ) у иона хрома существуют
возбужденные состояния 2 и 3 . Уровень
2 получил название м е т а с т а б и л ъ н о г о у р о в н я , так как время жизни его
на несколько порядков больше, чем у обычных состояний, и составляет
примерно 10"3с.
Переход в состояние 1 из состояния 2 осуществляется под воздей­
ствием внешней электромагнитной волны и сопровождается излучени­
ем лазера. Для перевода системы в метастабильное состояние использу­
ется о п т и ч е с к а я н а к а ч к а . Накачку выполняет ксеноновая лампа-вспыш­
ка, излучающая свет с длиной волны X = 550 нм. Световая энергия от
лампы проникает через прозрачный кристалл и переводит ионы хрома из
основного состояния 1 в возбужденное состояние 3 . Подавляющее чис­
ло атомов путем безызлучательного перехода попадают на метастабильный уровень 2, в котором живут сравнительно долго. Уровень 2 стано­
вится перенаселенным. Так «накапливается» энергия. Затем происходят
вынужденные переходы из состояния 2 в состояние 1 . Начинают излу­
чаться волны во всех направлениях.
Импульсная газоразрядная лампа в виде спирали окружает рубино­
вый стержень, который имеет плоскопараллельные полированные тор­
цы. На торцы нанесены зеркальные слои.
Волна, идущая вдоль кристалла, многократно отражается от его тор­
цов (один из торцов делается зеркальным, а другой — полупрозрачным).
Эта волна освобождает энергию, накопленную на метастабильных уров­
нях, и быстро усиливается. Через полупрозрачный торец из рубина выхо­
дит кратковременный импульс красного цвета. Лазерный луч обладает
большой монохроматичностью, высокой когерентностью, большой интен­
сивностью и имеет очень малый (порядка 10'5 рад) угол расхождения.
3
424
Лазеры используются в технике: для сварки, резки, плавления мате­
риалов; в медицине вместо скальпеля; в светолокаторах для измерения
расстояний, в голографии как источники света и т.д.
§149. Структура ядра атома. Изотопы
Согласно современным представлениям атомное ядро состоит из н у к ­
Протон имеет положительный заряд, рав­
ный по величине заряду электрона. Масса протона т р = 1,6726 1О'27 кг
примерно в 1840 раз больше массы электрона. Нейтрон не имеет электри­
ческого заряда, а масса нейтрона приблизительно равна массе протона:
т = 1,6750
10-27 кг.
Количество нуклонов в ядре определяется м а с с о в ы м ч и с л о м М (ок­
ругленное значение атомной массы химического элемента), а число про­
тонов N p = Z - з а р я д о в ы м ч и с л о м , равным порядковому номеру элемен­
та в периодической системе Д.И. Менделеева. Число нейтронов в ядре
атома N = М - Z. Атомы одного и того же химического элемента, отли­
чающиеся друг от друга числом нейтронов в их ядрах, называются и з о ­
т о п а м и данного элемента. Существуют, например, три стабильных изо­
топа кислорода. Приняты условные символические обозначения хими­
лонов: прот онов и нейт ронов.
ческих элементов
нейтрон,
е
MZ X
и элементарных частиц:
\р
— протон, 0V —
— электрон и т.д. Изотопы кислорода, например, обознача­
ются:
l o . ' j o . ' j o Приближенно размеры ядер впервые были определены Резерфордом
в опытах по рассеянию а-частиц.
Оказалось, что ядра имеют примерно сферическую форму, причем
радиус возрастает в зависимости от массового числа М и может быть
рассчитан по приближенной формуле
г
» (l,2 • 10~15) м |/3.
Массы ядер принято измерять в
а т о м н ы х е д и н и ц а х м а с с ы ( а .е .м ) .
М асса нейтрального атома углерода 12С принята за 12 а.е.м. Массы
также выражают в единицах энергии - электрон-вольтах (эВ). Соглас­
но формуле Эйнштейна
Е = т с2
масса и энергия взаимосвязаны.
425
1 а.е.м.= 1,6606-10'27 кг = 931,5016 МэВ/с2. Утверждение о том, что
масса частицы равна 1 МэВ, эквивалентно тому, что масса равна
106 эВ/с3 = 1,78 • Ю-30 кг. Массы покоя некоторых частиц приведены
в табл. 19.2.
Таблица 19.2
Частица
Масса покоя
а.е.м.
0,00054858
1,007276
Электрон
Протон
кг
9,1095 • 10'31
1,67256 • 10'27
МэВ
0,51100
938,28
Атом J H
1,67356- 10‘27
1,007825
938,79
Нейтрон
1,67500 • 10"27
1,008665
939,57
§150. Ядерные силы. Энергия связи атомных ядер
Ядро атома состоит из одноименно заряженных и нейтральных час­
тиц. На первый взгляд, ядро атома должно разлететься на отдельные ча­
стицы. Однако этого не происходит. Ядра атомов устойчивы, а значит,
они удерживаются какими-то силами. Я д е р н ы е с и л ы , как принято их
называть, отличаются от всех других известных сил. Они не являются
электромагнитными силами, так как в ядре есть нейтральные частицы.
Но это и не гравитационные силы, поскольку ядерные силы весьма ве­
лики. Это самые мощные силы, которые наблюдаются в природе. Их
величина примерно в 103 раз больше сил кулоновского взаимодействия,
поэтому взаимодействия частиц в ядре атома называют с и л ь н ы м и в з а и ­
м одейст виям и.
Ядерные силы, действующие между двумя протонами или между дву­
мя нейтронами, или между протоном и нейтроном, имеют одинаковую
величину. В этом смысле протон и нейтрон не отличаются друг от друга
и могут считаться двумя состояниями одной частицы - нуклона. Их на­
зывают к о р о т к о д е й с т в у ю щ и м и с и л а м и , так как радиус их действия
порядка 10'15 м. В отличие от кулоновских, ядерные силы не являются
центральными.
Масса покоя ядра
тя = та— гт е
(19-9)
всегда меньше суммы масс образующих ядро нуклонов на величину
А т , называемую д е ф е к т о м м а с с и определяемую выражением
426
Л т = Z m p + ( M - г ) т п - т я,
(19.10)
где т а — масса покоя нейтрального атома, т р , т п — массы покоя сво­
бодного протона и нейтрона соответственно; т е — масса электрона.
На что пошла часть массы? Оказывается, она превращается в энер­
гию (излучения, кинетическую энергию и т.п.).
Энергия, необходимая для полного расщепления ядра на нуклоны,
называется э н е р г и е й с в я з и я д р а . Энергию связи Ё с рассчитывают по
формуле
где
с
Е с = А т ■ с 2’
Ат
— скорость света в вакууме;
( 19Л1)
— дефект масс.
Энергия связи сравнительно
велика. Так, например, для ядра
гелия она составляет 28,4 МэВ.
В расчете на один нуклон при­
ходится энергия связи 7,1 МэВ.
Энергия связи валентных элек­
тронов в атомах порядка 10 эВ,
т.е. в миллион раз меньше.
У дельной
энергией
связи
называется полная энергия свя­
зи, деленная на число нукло­
нов в ядре, т.е. E J M . Н апри­
мер, для гелия она составляет
Е/М , М эВ
5
Т
4 __________________________
3 _________________________
2 ___________________________
11111
0
40
□
80
111
120
160 200
М
Рис. 19.5
28,3/4 МэВ = 7,1 МэВ. На р и с .
1 9 . 5 п о к а з а н а за в и с и м о с т ь
удельной энергии связи для с т а б и л ь н ы х я д е р . Под стабильным по­
нимается ядро, сущ ествую щ ее сколь угодно долго. С ростом мас­
сового числа М происходит увеличение удельной энергии связи,
при M ss50 кривая выходит на насыщ ение, а затем с ростом М мед­
ленно снижается. Это означает, что более тяжелые ядра оказываю т­
ся менее прочными.
427
§151. Радиоактивность
Р а д и о а к т и в н о с т ь - это спонтанное превращение атомных ядер од­
ного химического элемента в ядра другого, сопровождающееся излу­
чением и испусканием элементарных частиц.
Явление радиоактивности было открыто в конце девятнадцатого века
французским физиком Беккерелем. Некоторые вещества (полоний, уран,
радий и др.) самопроизвольно и непрерывно излучают частицы, которые
обладают высокой проникающей способностью. Такое излучение назва­
ли р а д и о а к т и в н ы м .
Радиоактивное излучение сильно ионизирует газы, оказывает воздей­
ствие на биологические объекты, проникает через непрозрачные пред­
меты. При воздействии электрического или магнитного полей поток ра­
диоактивного излучения делится натри части: а-частицы, Р-частицы и
у-лучи; а - и р-частицы отклоняются в электрическом и магнитном по­
лях в разные стороны. Следовательно, они несут заряды противополож­
ных знаков, у-лучи не отклоняются. Исследования показали,что р-час­
тицы — поток электронов, движущихся с огромной скоростью, близкой
к скорости света; а-частицы — ядра атома гелия, которые движутся со
скоростью порядка 107 м/с; у-лучи — электромагнитные волны с очень
короткой длиной волны
< 1СГ|0м). Таким образом, к радиоактивным
процессам относятся: а-распад, Р-распад, у-излучение ядер и др.
Радиоактивное излучение связано с процессами, происходящими
внутри ядра атома. Ядра радиоактивных элементов испускают каждый
свое излучение и в результате превращаются в другие ядра. Происходит
радиоактивный распад ядер.
А л ь ф а - р а с п а д протекает по схеме
M
z X^f_\Y+lH e.
(19.12)
При а-р асп ад е из материнского ядра, обозначенного в (19.12) бук­
вой X, образуется дочернее ядро Y. При этом выделяется а-ч асти ц а ядро атома гелия. Например, при а-расп ад е радий превращается в ра­
дон:
™ R a -+ ™ R n + 42He.
(19.13)
Альфа-распад обусловлен тем, что у тяжелых ядер сильное ядерное
взаимодействие, проявляющееся между соседними нуклонами, не может
428
противостоять силам кулоновского отталкивания протонов. Энергия свя­
зи радиоактивного ядра слишком мала, чтобы ядро было стабильным.
Б е т а -р а с п а д
протекает по схеме
(19.14)
M
z X -> z“ Y + °e + v.
Дочернее ядро имеет атомный номер на единицу больше, чем мате­
ринское. При Р-распаде наряду с электроном испускается антинейтрино
v .
Н ейт рино
и
ант инейт рино
имеют нулевой заряд и нулевую массу
покоя. Например, Р-распад ядра '*С происходит следующим образом:
" C - > l} N + ° e +
V.
В p-распаде решающую роль играет с л а б о е
пад сопровождается испусканием у-лучей.
(19.15)
вза и м од ей ст ви е,
Р-рас-
Г а м м а - и з л у ч е н и е представляет собой фотоны, обладающие высокой
энергией. Поскольку у-излучение не имеет электрического заряда, то при
у-распаде не происходит превращения одного химического элемента в
другой.
При радиоактивном распаде выполняются классические законы со­
хранения. Энергия, импульс, момент импульса :и электрический заряд
после распада остаются такими же, как до распада. Помимо этого дей­
ствует еще з а к о н с о х р а н е н и я ч и с л а н у к л о н о в : полное число нуклонов
М остается неизменным при любом радиоактивном распаде.
§152. Закон радиоактивного распада
Процесс радиоактивного распада является случайным процессом,
поэтому точно предсказать, когда произойдет распад, невозможно. Од­
нако можно приближенно определить число ядер, распадающихся за
данный промежуток времени.
Пусть число распадов d N , происходящих за очень короткий проме­
жуток времени d t, пропорционально d t и полному числу радиоактивных
ядер N :
да.
d N - - X N d t.
(19.16)
Коэффициент пропорциональности X называется п о с т о я н н о й р а с п а ­
Знак минус указывает на то, что число N уменьшается.
429
NdN
Интегрируя уравнение (19.16):
N
где N 0
Jf—дг
=
JГdt , получим
(19.17)
= N 0e ~ “ ,
количество нераспавшихся ядер в начальный момент времени
число нераспавшихся ядер в момент времени t.
Уравнение (19.17) выражает з а к о н р а д и о а к т и в н о г о р а с п а д а , согласно
которому число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспонен­
циальному закону.
С к о р о с т ь р а с п а д а х а р а к т е р и д / е т с я п е р и о д о м п о л у р а с п а д а 7)^ • Пе­
риод полураспада - это промежуток времени, за который распадается
половина исходного количества ядер. Если принять N - N o / 2 при t = Т ,
то из уравнения (19.17) получим
-
t = 0; N -
No
— -
\т ~хт
N 0e
или
~
Т
In2
0,693
- — - —— .
(19.18)
Период полураспада известных радиоактивных элементов изменяет­
ся в диапазоне от 10"22до 1028с, т.е. до Ю21 лет.
Число распадов, происходящих в радиоактивном элементе за едини­
цу времени, называется а к т и в н о с т ь ю в е щ е с т в а .
Пусть за промежуток времени d t распадается d N ядер. Используя
выражение (19.16), получим
\dN\ = XNdt.
(19.19)
Активность радиоактивного вещества равна произведению постоян­
ной распада на количество нераспавшихся в веществе ядер.
Единицей активности в СИ является беккерель (Бк), равный одному
распаду в секунду.
§ 153. Ядерные реакции. Ядерный реактор
Я д е р н ы м и р е а к ц и я м и называют изменения ядер атомов при их взаи­
модействии друг с другом или элементарными частицами. Эти реакции
символически записываются в виде
M
zX+la->M
z+
AY
или
430
В ядерных реакциях выполняются законы сохранения электрического
заряда и числа нуклонов, например:
'*N+\HeW\0+\р,
(19.20)
?] A l + xQn - > 2*N a+ *2H e ,
(19.21)
lL i+ \p ^ > * H e + * H e .
(19.22)
Если энергия покоя ядер и элементарных частиц после реакции боль­
ше, чем до реакции, то реакция протекает с поглощением энергии, если
меньше, то энергия выделяется в результате реакции. Например, при бом­
бардировке атома азота а-частицами (реакция 19 . 2 0 ) часть энергии пе­
реходит во внутреннюю энергию вновь образовавшегося ядра атома кис­
лорода.
Исследуя искусственные превращения элементов, Э. Ферми пока­
зал, что нейтроны наиболее эффективны для инициирования ядерных ре­
акций. Нейтроны электронейтральны, поэтому не отталкиваются поло­
жительно заряженным ядром и вероятность реакции у них гораздо выше,
чем у протонов или а-частиц.
При попадании нейтрона в ядра некоторых тяжелых элементов (уран,
плутоний и др.) ядра делятся обычно на осколки неравной массы, обра­
зуя 2-3 нейтрона. Такой распад тяжелого ядра называется я д е р н о й р е а к ­
цией деления.
Образовавшиеся в результате реакции ядра осколки и нейтроны раз­
летаются с огромными скоростями, происходит деление ядра атома, со­
провождаемое у-излучением. При распаде ядра образуются новые эле­
менты: барий, стронций, криптон и другие.
Реакцию деления записывают в виде
1 п + 2Ц и ~ > 2Ц и
где
N \
w
N2 -
—»
N x + N 2 + нейт роны ,
(19.23)
ядра, образовавшиеся в результате реакции, называемые
осколкам и деления.
Процесс деления протекает очень быстро, промежуточное ядро
2^ U
существует порядка 10'12с. Типичной реакцией деления является
(19.24)
431
В реакции деления высвобождается огромная энергия, т.к. масса ядра
существенно больше суммарной массы осколков деления.
Нейтроны, образовавшиеся в результате реакции, попадая в другие
ядра, могут вызвать ц е п н у ю р е а к ц и ю д е л е н и я . При цепной реакции можно
получить огромное количество энергии. Цепная реакция осуществляет­
ся в я д е р н о м р е а к т о р е .
При создании ядерного реактора необходимо было решить ряд про­
блем. Во-первых, вероятность поглощения нейтрона ядром
2Ц и
велика
только для медленных нейтронов. При делении ядер образовывались
быстрые нейтроны, которые необходимо замедлять. В качестве материа­
ла-замедлителя нейтронов используется графит, тяжелая вода и др.
Во-вторых, нейтроны, возникающие при делении, могут поглощаться
другими ядрами и вызывать иные ядерные реакции. Так, например, в ре­
акторе на легкой воде нейтроны поглощаются ядрами
и в результате реакции превращаются в ядра
\Н
наряду с ядрами
2Ц и .
Природный уран
содержит 99,3% изотопа и только 0,7% делящегося изотопа . Чтобы по­
высить эффективность деления ядер, природный уран о б о г а щ а ю т , увели­
чивая в нем процентное содержание изотопа урана-235. Для этого приме­
няется ц е н т р и ф у г и р о в а н и е или используется процесс д и ф ф у з и и .
В-третьих, масса ядерного горючего должна быть достаточно боль­
шой, больше к р и т и ч е с к о й м а с с ы , характерное значение которой состав­
ляет несколько килограммов.
Среднее число нейтронов в каждом акте деления, вызывающее деле­
ние других ядер, называется к о э ф ф и ц и е н т о м д е л е н и я н е й т р о н о в к. Для
самоподцерживающейся цепной реакции k > 1.
Схема гетерогенного уранового реактора на тепловых нейтронах по­
казана на р и с . 1 9 .6 . В активной зоне реактора расположены тепловыде­
ляющие урановые элементы 1 и графитовый замедлитель 2, в котором
скорости нейтронов уменьшаются. Стержни 3 с примесью кадмия или
бора сильно поглощают нейтроны и служат для регулирования скорости
реакции и для аварийной остановки реактора. При опускании стержней
3 в реактор уменьшается количество нейтронов, при поднятии - увели­
чивается. Автоматическое устройство управления стержнями позволяет
регулировать мощность реактора.
432
Р и с . 1 9 .6
Т е п л о в ы д е л я ю щ и е э л е м е н т ы (твэлы) представляют собой стержни
из ядерного топлива, заключенные в оболочку, слабо поглощающую
нейтроны. Отражатель нейтронов 4 окружает активную зону реактора и
служит для уменьшения их утечки. Количество нейтронов контролиру­
ется с помощью счетчика 5. Тепло, выделяющееся в твэлах при делении
ядер, передается теплоносителю, который насосами прокачивается по
каналам 6 . Теплоноситель переносит энергию от твэлов к газовой турби­
не или к электрогенератору (в зависимости от назначения реактора), в
которых происходит ее дальнейшее преобразование в механическую или
электрическую энергию. В качестве теплоносителей применяется вода,
водяной пар, воздух, щелочные металлы, гелий, углекислый газ.
Ядерные реакторы используются для выработки новых делящихся
материалов, радиоизотопов, в атомных электростанциях, в качестве ис­
точников энергии движителей судов, космических аппаратов и т.д.
Т е р м о я д е р н о й р е а к ц и е й синтеза называется процесс слияния легких
ядер в одно ядро (ядерный синтез). Термоядерные реакции протекают
при высоких температурах порядка (107- 108) К с выделением огромно­
го количества энергии. Их осуществление даст человечеству неисчер­
паемый запас энергии.
Так, например, при слиянии ядер дейтерия и трития
] Н + ] Н - > 1 Н е + ' 0п
433
выделяется энергия 17,6 МэВ (или 3,5 МэВ на каждый нуклон). При
соединении одного атома углерода с двумя атомами кислорода (сгора­
ние угля с образованием углекислого газа) выделяется энергия порядка
5 эВ. В нашем примере при ядерном синтезе выделится энергии пример­
но в 3,5 миллиона раз больше, чем при сгорании каменного угля.
При делении урана выделяется энергии 0,85 МэВ на нуклон, т.е. в 4
раза меньше.
Однако осуществить управляемую термоядерную реакцию очень труд­
но. Для этого необходимо научиться получать очень высокие температу­
ры и удерживать образовавшуюся плазму в заданном объеме.
Работы по осуществлению ядерного синтеза ведутся в нескольких
направлениях. Одним из перспективных является создание установок
«токамак», в которых плазма удерживается магнитным полем. Разраба­
тываются также установки с использованием мощных импульсных ла­
зеров.
§154. Методы регистрации ионизирующих излучений
Радиоактивное излучение обладает сильным ионизирующим действи­
ем. Это свойство излучения используется в с ч е т ч и к е Г е й г е р а - М ю л л е р а
для регистрации Р-частиц и у-квантов. Счетчик Гейгера-Мюллера пред­
ставляет собой металлическую трубку, вдоль оси которой натянута тон­
кая, изолированная от трубки вольфрамовая проволочка.Трубка запол­
няется разреженным газом. Между проволочкой-анодом и трубкой под­
держивается высокое напряжение, примерно 1 кВ. Бета-частица или
у -квант, попав в газовую среду, ионизируя газ, создает свободные элек­
троны, которые под действием электрического поля устремляются к аноду.
Разрядные процессы внутри трубки регистрируются электронными счет­
ными схемами.
В с ц и н т и л л я ц и о н н ы х с ч е т ч и к а х используются специальные крис­
таллы, в которых энергия элементарных частиц или у -квантов переходит
в энергию световых квантов. Вспышки света, возникающие в кристал­
ле, усиливаются специальными фотоэлектронными умножителями и ре­
гистрируются электронными схемами.
В к а м е р е В и л ь с о н а траектория движения частиц видна непосредствен­
но и может быть сфотографирована. Камера наполняется перенасыщен­
ными парами жидкости (вода, спирт и т.д.). Через специальное отвер­
434
стие в камеру проникают исследуемые частицы. Пролетая в камере, ча­
стицы на своем пути создают ионы. Перенасыщенный пар, конденсиру­
ясь на ионах, образует капельки жидкости, в результате чего наблюдают­
ся т р е к и — следы движущихся частиц.
Для регистрации частиц используется также ф о т о э м у л ь с и о н н ы й м е ­
т о д . Ионизирующее излучение действует на эмульсию фотопластинки,
образуя скрытое изображение. При проявлении фотопластинки виден трек
частицы.
§155. Дозиметрия. Дозы облучений
Прохождение а - и Р-частиц, а также у - и 11(рентгеновского)-излучения через ткани живых существ оказывает сильное поражающее дей­
ствие. Количественной оценкой действия ионизирующего излучения на
вещество и живые организмы занимается д о з и м е т р и я .
П о г л о щ е н н о й д о з о й и з л у ч е н и я Д называется физическая величина,
равная отношению энергии ионизирующего излучения A W. переданной
элементу облученного вещества, к массе А т этого элемента:
Д = A W /A m .
(19.25)
Единицей поглощенной дозы является грей (Гр). 1 Г р -э т о доза излу­
чения, при которой веществу массой 1 кг передается энергия ионизиру­
ющего излучения 1 Дж:
|Д \ = 1Дж/1кг.
Поглощенную дозу практически оценить трудно, поэтому вводится
понятие э к с п о з и ц и о н н о й д о з ы фотонного облучения Д & оцениваемой по
ионизирующему действию излучения на воздух. Единицей экспозици­
онной дозы облучения является [ Д ^ = 1 Кл/кг - это доза фотонного
излучения, при которой сумма электрических зарядов всех ионов одно­
го знака, созданного электронами, освобожденными в облученном воз­
духе массой 1 кг при полном использовании ионизирующей способно­
сти электронов, равна 1 Кл.
Ранее экспозиционная доза измерялась в рентгенах (Р), а поглощен­
ная доза в радах (рад):
1Р = 258мкКл/кг, 1рад = 0,01 Гр.
Действие ядерных излучений на живой организм определяется не толь­
ко дозой облучения, но и природой ионизирующих частиц. Альфа-час­
тицы, протоны, нейтроны, быстрые ионы производят больше физиологи­
435
ческих нарушений в организме, чем Р-частицы, у - и R-лучи. Особенно
опасны потоки нейтронов.
Для оценки биологического воздействия излучения вводится поня­
тие биологической дозы Д & которая связана с экспозиционной дозой Д 0
следующим соотношением:
Д б~До'ОБЭ,
Л 9.26)
где ОБЭ - опытный коэффициент, называемый относительной биологи­
ческой эффективностью.
ОБЭ показывает, во сколько раз действие данного излучения на жи­
вую ткань превышает действие у - или R-лучей, если при их поглощении
выделяется одинаковое количество энергии. В табл. 19.3 приводятся при­
ближенные значения ОБЭ для различных видов излучения.
При воздействии на организм разных видов излучения результирую­
щий эффект определяется суммой биологических доз.
Таблица 19.3
Вид излучения
R-, у - и Р - излучение
Медленные нейтроны
Быстрые нейтроны
Протоны
а-частицы
Осколки деления
ОБЭ
1
5
10
ю
20
20
Облучение организма разделяют на внешнее и внутреннее. Ядерные
взрывы, ядерные реакторы, рентгеновские установки, горные породы,
радиоактивные лечебные воды, космические лучи - это источники внеш­
него облучения. Внутреннее облучение обусловлено долгоживущими рад и о ак ти вн ы м и эл е м ен там и
ес т е с т в е н н о го
п роисхож ден ия
( 'gC, ™К, 2H R a), входящими в состав пищи и попавшими внутрь орга­
низма при аварийных ситуациях.
Естественный фон радиации составляет в среднем 25 мкКл/кг в
год. Предельно допустимая индивидуальная доза не должна превышать
1,3 мКл/кг в год. Опасной для жизни человека считается доза (75-150)
мКл/кг, полученная при единовременном облучении всего организма.
От внешнего a -излучения можно защититься тонким слоем вещества
436
(в том числе и воздуха), так как частицы из-за малого пробега легко по­
глощаются. Гораздо опаснее попадание а-частиц внутрь организма.
Для защиты от у - , R - лучей и нейтронных потоков применяются тол­
стые поглощающие экраны из свинца, железа, бетона, кирпича.
При радиоактивном загрязнении среды особую опасность представ­
ляет p -активный стронций ^ S r , период полураспада которого Т = 28
лет. Попадая в организм через еду, растения или продукты, радиоактив­
ный стронций накапливается в организме и становится источником дли­
тельного облучения костного мозга.
Считается, что даже малые дозы излучения повышают вероятность
раковых заболеваний и генетических изменений, поэтому дозы облуче­
ния организма следует свести к минимуму.
§ 156. Элементарные частицы.
Ф ундаментальные взаимодействия
Элементарными (простейшими, неделимыми) называются мельчай­
шие частицы материи за исключением атомных ядер с массовым чис­
лом больше единицы.
Мы уже описывали некоторые элементарные частицы: фотоны кванты электромагнитного излучения, протоны и нейтроны, входящие
в состав ядра атома, электроны, образующие электронную оболочку
атома.
В настоящее время известно свыше 500 элементарных частиц. Многие
из них возникают при взаимодействии космических лучей с земной ат­
мосферой. Элементарные частицы регистрируются в экспериментах на
ускорителях по расщеплению атомных ядер, по рассеянию пучков частиц.
Большинство элементарных частиц имеют очень короткое время жиз­
ни: миллионные доли секунды даже при отсутствии внешнего воздей­
ствия. Стабильными частицами являются: фотон, электрон, протон и
нейтрино. Но и фотон, испущенный, например, нагретым телом, живет
порядка 10‘8 с, а потом поглощается другим телом. Бессмертным мож­
но считать только нейтрино, так как они слабо взаимодействуют с дру­
гими частицами.
Все элементарные частицы превращаются друг в друга. При взаимо­
действии двух частиц наблюдаются также превращения их в другие
437
частицы, которые не входят в состав исходных, а рождаются в момент
взаимодействия. Такая взаимопревращаемость частиц является их отли­
чительным свойством.
У всех элементарных частиц существуют античастицы, которые
обладают противоположным электрическим зарядом и магнитным мо­
ментом. При столкновении частицы с античастицей происходит их анни­
гиляция: частицы превращаются в у-излучение или в более легкие час­
тицы других типов. Например, при взаимодействии электрона и позит­
рона порождаются два фотона:
е + + е~ -» 2у!
Процесс, обратный аннигиляции, называется процессом образования
пар:
у+X
X + е + + е '.
В этом процессе позитрон образуется вместе с электроном при стол­
кновении жесткого у-кванта с ядром атома.
Считается, что механизм всех взаимодействий обменный: частица
испускает или поглощает другую частицу. При этом силы, возникающие
между двумя частицами, являются результатом их обмена промежуточ­
ной частицей, которая называется переносчиком взаимодействия.
При превращении элементарных частиц выполняются законы сохра­
нения энергии, массы, импульса, электрического заряда и др.
Элементарные частицы принято классифицировать по их отношению
к различным типам фундаментальных взаимодействий.
Различают четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное,
электромагнитное, слабое и гравитационное. Сильное взаимодействие
обеспечивает существование атомных ядер и проявляется в действии
ядерных сил. Электромагнитное взаимодействие обуславливает суще­
ствование атомов, молекул и макротел. Слабое взаимодействие харак­
терно для всех элементарных частиц, кроме фотона. Гравитационное
взаимодействие проявляется в виде сил всемирного тяготения.
Если принять за 1 интенсивность сильного взаимодействия, то ин­
тенсивность электромагнитного взаимодействия составляет ~10‘3, сла­
бого ~ 10"14, гравитационного ~ 10‘40.
438
Таблица 19.4
Символ
Масса, Электри­ Время жизни,
ческий
Частица Античастица МэВ
с
заряд
Фотон
стабилен
0
0
У
У
стабилен
Гравитон*
G
0
Глюон
0
0
Gi
W+
80000
действий Промежуточные
~
бозоны
Z°
90000
Нейтрино
0
стабильно
0
электронное
Нейтрино
0
стабильно
0
V4
n*
мюонное
Лептоны Нейтрино
стабильно
0
0
*x
vx
тау-лептонное
стабилен
Электрон
e—
e+
0,511
-1
+
Мюон
-1
105,66
2,2- 10'6
Ц+
Тау-лептон
1782
0
T“
3,4 • КГ13
I
8 ■10'17
0
7U°
134,96
*°
М Пи-мезоны
(пионы)
139,57
1
2,6 ■10'®
71
n*
е
1
493,67
/С1
K"
1,24 ■10'8
3
Ка-мезоны
ЛГ”-8,9-10““
о
K°
497.7
0
K°
(каоны)
н
К° -5,18-10‘8
ы
Эта-нуль-мезон
548.8
0
1018
n°
4°
Н
1
стабилен
Протон
938,28
p
p
У
А
Д
Р
о Б
н а
ы Р
и
о
н
ы
л
О
н
ы
Г
и
п
е
Р
о
н
ы
Нейтрон
n
n
939,57
0
918
Лямбда-гиперон
A0
01| [IIII [IIIо MlI MlО Ml+ >Jd
Наименование частицы
1115,6
0
2,6- Ю'10
1189,37
1
0
-1
8- 10'11
r
Сигма-гиперон
1°
I"
—0
Кси-гипероны
Омега-минус
частица
Q-
1192,48
1197,35
5,8 • Ю'20
1,48 ■Ю'10
2,90 ■Ю'10
1321,3
0
-1
1672,2
-1
8,2 10'"
1314,9
1,64- 10*'°
‘ .Экспериментально гравитоны не зарегистрированы
439
Элементарные частицы делятся натри группы:
1. Переносчики взаимодействий. В эту группу входят: фотоны - кван­
ты электромагнитного поля, гравитоны - кванты гравитационного поля,
промежуточные бозоны - переносчики слабых взаимодействий и глю­
оны - переносчики сильных взаимодействий.
2. Адроны - самый многочисленный класс элементарных частиц, ко­
торые наряду с электромагнитным и слабым участвуют в сильном взаи­
модействии. К адронам относятся барионы (протон, нейтрон, гиперон),
мезоны (тс - мезон, К -мезон), а также резонансные частицы. Соглас­
но гипотезе американских физиков М. Гелл-Мана и Д. Цвейга все адро­
ны (мезоны и барионы) состоят из кварков, которых существует шесть
сортов (ароматов): и - кварк, d - кварк, s - кварк, с - очарованный
кварк,
b - кварк и t - кварк. Каждый сорт кварков может иметь три
разновидности ( желтый, синий и красный).
3. Пептоны - элементарные частицы, не участвующие в сильном вза­
имодействии. Насчитывают шесть лептонов (электрон, электронное ней­
трино, мюон, мюонное нейтрино, тау-лептон и тау-нейтрино) и шесть антилептонов.
При сегодняшнем понимании окружающей природы пока невозмож­
но решить, какие из известных элементарных частиц являются истинно
элементарными (неделимыми) частицами.
Кварки обладают дробными электрическими зарядами, равными
+2/3 е и - 1/3 е. Здесь е - заряд электрона.
2
1
Кроме того, имеются антикварки с зарядами - —е и + —е. Напри­
мер, мезон состоит из одного кварка и одного антикварка, барион - из
трех кварков, антибарион - из трех антикварков.
Экспериментально кварки обнаружить не удалось и, по-видимому,
не удастся. Считается, что кварки заключены внутри адронов, структу­
ру которых они образуют. При малых расстояниях кварки практически
свободны, так как силы взаимодействия между ними очень малы. С
увеличением расстояния между кварками очень быстро возрастают и
силы их взаимодействия. Поэтому кварки не вылетают из адрона.
Свойства важнейших элементарных частиц приведены в табл. 19.4.
440
Античастицы могут образовывать антивещество. В 1969 году в на­
шей стране на ускорителе в Серпухове был получен антигелий - 3, ядра
атома которого состоят из двух антипротонов и одного антинейтрона, а
оболочка - из двух позитронов. При аннигиляции антивещества с веще­
ством образуются у-кванты, обладающие большой энергией.
Контрольные вопросы
1. Какие явления подтверждают сложное строение атома? Ядра ато­
ма?
2. Почему в опыте Резерфорда электроны атома не оказывают замет­
ного влияния на рассеяние а-частиц?
3. Сформулируйте постулаты Бора.
4. Как происходит излучение и поглощение энергии атомами?
5. Из каких частиц состоит ядро атома?
6. Что такое дефект массы?
7. Что называется энергией связи ядра? Как определяется энергия
связи?
8. Что называют ядерными реакциями?
9. Что такое критическая масса?
10. Запишите закон радиоактивного распада.
11. Что такое радиоактивные изотопы?
12. Что такое люминесценция?
13. Какие частицы называют элементарными?
14. Что такое античастица?
15. Какие типы фундаментальных взаимодействий Вы знаете?
Примеры решения задач
19.1.
Найдите период Т обращения электрона на первой боровской
орбите атома водорода.
Дано:
Атом водорода
п = 1__________
Т_у
Р е ш е н и е . Согласно теории Бора (19.3)
m \r = nh,
(1)
где
m - масса электрона, % - постоянная Планка, г - радиус электронной орбиты, v - скорость
электрона, п - номер орбиты.
441
Сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и элект­
рона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основа­
нии второго закона Ньютона запишем:
т \2
1
е2
г
4 тг£ 0
г
2’
^
где е - заряд электрона.
Из выражений (1) и (2) определим скорость v и радиус п-й электрон­
ной орбиты:
r =
-4 -п-те-Ле- 2п- 2 ,
е2
=
=- —•
тг
4 п г Jin
nh
V
...
(3)
Зная г и v, найдем период обращения:
Т=
= Ъ2п £°Ь v
19.2.
,
Т = 1 , 5 - 1 0 ” 16с .
те
Определите дефект массы и удельную энергию связи для ядра
изотопа кислорода 16о ■
8
Дано:
М = 16
Z= 8
’ В°
Р е ш е н и е . Для определения дефекта массы вместо уравнения (19.10) воспользуемся
эквивалентным ему выражением:
’
Ат~ Zm\H+ (М-Z)mn-m a,
(1)
где т ' Н — масса атома водорода ' Н , та — масса данного атома.
Формула (1) удобней для решения, т. к. в справочных таблицах при­
водятся значения масс атомов, а не ядер.
Выпишем из таблиц значения масс:
т \Н = 1 , 0 0 7 8 3 а. е. м.,
п ц'Н = 1,6732-КГ27 кг;
тп =1,675 10“27кг’
тХ\ о = 15,99491 а. е. м.,
442
w 'g O
= 2 6 ,5 5 4 7 5 -10 -27 кг;
Am =
"8-1,6732 • 1 0 ~21 + (16 - 8 ) - 1 , 6 7 5 -1 0 “27-"
-2 6 ,5 5 4 7 5
-1 0 “27
Am = 0,23085 -1 (Г 27кг;
6C= E C/ M =Amc2 /M = 0,13-10~п Дж =8,1 МэВ.
19.3.
Определите количество ядерного горючего урана-235 для рабо­
ты атомной электростанции мощностью 50 МВт в течение 1 года, если
при расщеплении одного ядра урана'выделяется энергия 200 МэВ. КПД
станции принять равным 20%.
4
Р е ш е н и е . КПД станции
Дано:
N =5-107Вт
/ = 365 86400 с
р = 235 -10—
3 кг / моль
/7
=
0 ,2
Л = N t/(E n),
(*>
где п — число ядер, расщепленных в тече­
ние года.
Так как
и / N А - т / р,
£ = 3,2-10" Дж
т— Ч
где NА— число Авогадро, то из уравнений
(1), (2) получим
т-
19.4.
т ~ 9 6 кг.
Образовавшееся в результате ядерной реакции неподвижное ядро
изотопа калия ^ К испускает у-квант с энергией Е = 9,4 кэВ. Определи­
те кинетическую энергию ядра после испускания кванта. Одной атомной
единице массы соответствует энергия 931,5 МэВ.
Дано:
Е = 9,4 кэВ
М = 40
2 = 19
_____________
Ек - ?
Р е ш е н и е . Зная энергию у - кванта, можно
определить его импульс:
Р = Е/с,
(1)
где с - скорость света.Считая систему «ядроквант» замкнутой, в соответствии с законом сохранения импульса запишем:
М я - v = Е/с,
(2 )
443
где Мя = 40 - масса ядра калия, определяемая массовым числом М. Из
уравнения (2) находим скорость ядра
Е
( 3)
v =•
М„ с
мУ
Так как кинетическая энергия ядра Ек = — -— , используя выражение
Е2
(3), получим:
19.5.
Ек ~
с 2
’
э®’
Термоядерная реакция \ Н + \ Н е —> * Н е+ \р идет с выделением
энергии £■] = 18,4 МэВ (кинетическая энергия образовавшихся частиц
на величину Е х больше кинетической энергии исходных). Какая энергия
Е2 выделится в реакции 1 Н + ]Н е У Н е + 2 \р , если дефект масс ядра
Не на
Д т=0,006 а.е.м. больше, чем у ядра ]Н ?
Дано:
Р е ш е н и е . Выражая массы ядер, входя-
Ех = 18,4МэВ
А т -0 ,0 0 6 а.е.м.
щих в реакцию, через дефект масс и массы
свободных нуклонов, напишем закон сохра-
Е2 - ?
нения энергии для первой реакции:
(тр + т „ - \ т ]н)+ (2 тр + т п - Д т , J =
+ ™Р + ^ -
Аналогично для второй реакции:
Е2
2(mp + m n - A m lHe) = M , h + 2m p + - t .
Вычитая второе уравнение из первого, получим
- Д т , я + Д т , №= Д т = ^ - ^ .
Отсюда энергия, выделившаяся во второй реакции, будет равна
Е2 ~ Е х - Етс2,
Е2 = 12,8 МэВ.
444
1 9 .6 . П р и с л и я н и и п р о т о н а ( JН ) и я д р а т р и т и я ( * Н ) о б р а з у е т с я
а-части ца ( \ Н е ) и у-квант: \ Н + \ Н ^ > \ Н е + у . Определите, какую
энергию уносит у-квант в этой реакции, если кинетическими энергиями
ядер ‘Я , ]Н и \Н е в ней можно пренебречь. Известно, что дефект масс
ядра \Н е составляет Дта = 0,0304 а.е.м., а кинетическая энергия час­
ти ц , об разую щ и хся в реакц ии ^ Я + ’Я —»* Я е+ 2 0‘и , на величину
Е = 11,3 МэВ больше кинетической энергии исходных частиц.
Дано:
Дл2а = 0,0304 а.е.м.
Е = 11,3 МэВ
Решение.
Аналогично задаче (19.5)
запишем закон сохранения энергии для пер­
вой (1) и второй (2) реакции:
Е, - ?
или
( 1)
Так же для второй реакции:
или
(2)
Исключая из уравнений (1) и (2) А т ,н , получим
445
Задачи для самостоятельного решения
19.7. При переходе электрона в атоме водорода с одного энергети­
ческого уровня на другой энергия атома уменьшилась на 1,89 эВ. При
этом атом излучает квант энергии. Определите длину волны излучения.
О т в е т : Л = 660 нм.
19.8. При радиоактивном распаде энергия а - частицы приближенно
равна 5 Мэв. Определите скорость частицы.
О т в е т : 15,5 106 м/с.
19. 9. В атоме водорода радиус первой орбиты электрона равен
0,5 10"8 см. Определите линейную скорость движения электрона по этой
орбите.
О т в е т: 2,2 106 м/с.
19.10. Вычислите энергию связи ядра бора п5В .
О т в е т : 76,2 МэВ.
19.11. Вычислите дефект масс ядра изотопа неона ,2°N e .
О т в е т: 2,8 10"28 кг.
19.12. В результате захвата а-частицы ядром изотопа азота
обра­
зуется неизвестный элемент и протон. Напишите ядерную реакцию и
определите неизвестный элемент.
О т в е т : 120 19.13.
К акая
ч асти ц а
о б р азу етс я
в
ядерн ой
реакц и и :
2fAl + y - > £ M g + ?.
О т в е т : протон.
19.14. Ядра изотопа азота
бомбардируются нейтронами. При
этом образуется изотоп бора !]В . Какая элементарная частица еще
образуется?
О т в е т : а -частица.
19.15. В результате ядерной реакции Р+^В —> а + а + ? образуется
ядро какого элемента?.
О т в е т : гелия.
446
19.16. Запишите ядерную реакцию: ®Li + /> —» ?+ ос19.17. Какая масса т урана Ц U расходуется за время t= l сут на
атомной электростанции мощностью Р = 5000 кВт? КПД принять равным
17%. С читать, что при каждом акте распада выделяется энергия
Q=200 МэВ.
О т в е т: 31 г.
447
Г л а в a 20. ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
ТЕСТ №1
ЧАСТЬ А
А1. Камень брошен с башни в горизонтальном направлении. Через
Зс вектор скорости камня составил угол 45° с горизонтом. Какова на­
чальная скорость камня?
1) 10 м/с, 2) 15 м/с, 3) 3 м/с, 4) 20 м/с, 5) 30 м/с.
А2. Из двух параллельных сил, направленных в разные стороны, боль­
шая сила равна 6 Н. Определите меньшую силу, если под действием
этих сил тело массой 0,5 кг движется с ускорением 2 м/с2.
1) 1,0 Н, 2) 3,0 Н, 3) 0,5 Н, 4) 5,0 Н, 5) 2,0 Н.
У, ( м с )
АЗ. График зависимости изменения скорос­
ти от времени для груза массой 50 кг, который
поднимается вверх с помощью троса, представ­
лен на рис. 20.1. Какова сила натяжения троса?
1) 10 Н, 2) 510 Н, 3) 480 Н, 4) 520 Н, 5) 500 Н.
6
4
9
0
А4. Когда к пружине жесткостью 500 Н/м под­
весили груз массой 1 кг, ее длина стала 12 см.
До какой длины растянется пружина, если к ней подвесить еще один
груз массой 1 кг?
1) 14 см, 2) 16 см, 3) 24 см, 4) 18 см, 5)20 см.
Рис. 20.1
А5. На нити длиной 1 м, могущей выдержать натяжение до 46 Н,
вращается в вертикальной плоскости камень массой 1 кг. При какой мак­
симальной угловой скорости вращения камня нить еще не оборвется?
1) 2 рад/с, 2) 3 рад/с, 3) 4 рад/с, 4) 5 рад/с, 5) 6 рад/с.
А6. Модуль изменения импульса стального шарика массой т, упав­
шего с высоты h на стальную плиту и отскочившего вверх, в результате
удара равен (удар считать абсолютно упругим):
1) 2т 2 g h , 2) m j2 g h , 3) 2т g h . 4) - т gh , 5) т ^
448
.
A7. Груз массой т подвешен к горизонтальной балке на двух тросах
равной длины, угол между которыми 120°. Натяжение каждого троса
равно:
1) 2mg, 2) mg, 3)
1
7з
mg, 4) ~mg, 5) ~ mg.
A8. Шар равномерно падает в жидкости, плотность которой в 2,5 раза
меньше плотности шара, испытывая силу сопротивления со стороны
жидкости, равную 1,2 Н. Какова масса шара?
1) 0,2 кг, 2) 0,4 кг, 3) 2,0 кг, 4) 1,0 кг, 5) 0,5 кг.
А9. Определите давление, которое производит газ массой 3 г на стен­
ки сосуда, если средняя квадратичная скорость его молекул 500 м/с, а
объем 0,5 л?
1)2- 105Па, 2) 3- 105Па, 3) 4- 10s Па, 4 ) 5 • 105Па, 5 ) 6 - 105 Па.
А 10. В каком из изображенных н ар Г-диаграмме процессов (рис. 20.2) идеальный газ со­
вершает наибольшую работу?
1) А-1, 2) А-2, 3) А-3, 4) А-4, 5) А-5.
Р
■
О
Г
Рис. 20.2
А П . Баллон содержит сжатый газ при температуре 27° С и давлении
4 МПа. Если из баллона выпустить половину массы газа и температуру
понизить на 15°С, то давление газа станет равным:
1) 19 МПа, 2) 105 Па, 3) 1,9 МПа, 4) 4 • 105 Па, 5) 3 МПа.
А 12. Если в некотором процессе газ соверш ил работу, равную
5 кДж, а его внутренняя энергия уменьшилась на 5 кДж, то такой про­
цесс является:
1) изотермическим, 2) изохорическим, 3) адиабатическим, 4) изобари­
ческим, 5) такой процесс невозможен.
449
A 13. Два маленьких одинаковых металлических шарика заряжены
разноименными зарядами +q и - 5 д. Шарики привели в соприкосновение
и раздвинули на прежнее расстояние. Как изменится модуль силы взаи­
модействия шариков?
1) увеличится в 1,8 раза, 2) уменьшится в 1,8 раза, 3) увеличится в 1,25
раза, 4) уменьшится в 1,25 раза, 5) не изменится.
А 14. Металлический шар с радиусом Rv заряженный до потенциала
Ф, окружили незаряженной концентрической сферической проводящей
оболочкой радиусом /?,. Найти потенциал шара, если его соединить про­
водником с оболочкой.
Зк
*) ‘Р R2 ’ 2)
^2
Д, ’ 3) ч>
, 4) Ф, 5) 0.
А 15. Плоский воздушный заряженный конденсатор обладает энерги­
ей W. Если при той же разности потенциалов между пластинами конден­
сатора все его геометрические размеры увеличить в к раз, то энергия
конденсатора станет равной:
1) Wk\ 2) Wk, 3) W/k, 4) W(k-1), 5) W.
A 16. Если в цепи, состоящей из источника с ЭДС £ и внутренним
сопротивлением г и внешнего сопротивления R, внутреннее и внешнее
сопротивления увеличить в 2 раза, то падение напряжения на внешнем
сопротивлении:
1) увеличится в 4 раза, 2) увеличится в 2 раза, 3) не изменится, 4) умень­
шится в 2 раза, 5) уменьшится в 4 раза.
А 17. 100-ваттная лампа накаливания, рассчитанная на напряжение
220В, имеет сопротивление, равное:
1) 484 Ом, 2) 220 Ом, 3) 22 Ом, 4) 100 Ом, 5) 50 Ом.
А 18. На сколько отличаются наибольшее и наименьшее значения мо­
дуля силы, действующей на прямой провод длиной 20см, по которому
течет ток 10А, при различных положениях провода в однородном маг­
нитном поле, индукция которого равна 1 Тл?
1) 200 Н, 2) 2 Н, 3) 1 Н, 4) 20 Н, 5) 10 Н.
450
A 19. Если два протона движутся в однородном магнитном поле в
плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля, по ок­
ружностям радиусами R} и R2, то отношение их кинетических энергий
Ех/ Е2 равно:
R
R
1} Я,2 ’ 2) R;
R2
3) R r 4)
R]
r
,5)L
A20. Проволочная рамка площадью
В (Тл)
100 см2 помещена в однородное магнит­
ное поле, зависимость индукции которого
от времени показана на рис. 20.3. Если
плоскость рамки составляет угол 30° с
направлением линий магнитной индук­
1 2
3 4
ции, то в момент времени t = 3 с в рамке
Рис. 20.3
действует ЭДС индукции, равная:
1) 2,0 мВ, 2) 1,0 мВ, 3) 0,7 мВ, 4) 0,3 мВ, 5) 0,4 мВ.
t (с)
А 2 1. Если при гармонических колебаниях тела с циклической часто­
той 5 рад/с максимальное ускорение равно 1,5 м/с2, то амплитуда коле­
баний тела равна:
1) 7 см, 2) 6 см, 3) 30 см, 4) 45 см, 5) 3 см.
А22. Период колебаний математического маятника в неподвижном
лифте Т = 1 с. Найдите ускорение лифта, если период колебаний маятни­
ка стал равным Т = 1,1 с!
1) 1,74 м/с2, 2) 3,00 м/с2, 3) 0,36 м/с2, 4) 1,48 м/с2, 5) 2,96 м/с2.
А23. Скорость звука в воздухе равна 340 м/с. Ухо человека имеет наи­
большую чувствительность на длине волны 17 см. Частота этой волны равна:
1) 2 кГц, 2) 200 Гц, 3) 30 Гц, 4) 20 кГц, 5) 100 Гц.
А24. Как изменится длина волны, на которую настроен радиоприем­
ник, если в приемном колебательном контуре емкость конденсатора уве­
личить в 9 раз? Сопротивлением контура пренебречь.
1) уменьшится в 3 раза, 2) увеличится в 3 раза, 3) уменьшится в 9 раз,
4) увеличится в 9 раз, 5) не изменится.
451
A25. Длина волны света при переходе из среды с абсолютным показате­
лем преломления 2 в среду с абсолютным показателем преломления 1,5:
1) уменьшается в 4/3 раза, 2) увеличивается в 4/3 раза, 3) не изменяется,
4) увеличивается в 3 раза, 5) уменьшается в 3 раза.
А26. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным рас­
стоянием 20 см следует поместить источник света, чтобы его изображе­
ние было мнимым и увеличенным в 4 раза?
1) 80 см, 2) 5 см, 3) 10 см, 4) 15 см, 5) изображение не может быть
мнимым для собирающей линзы.
А27. Максимум третьего порядка при дифракции света с длиной вол­
ны X = 600 нм на дифракционной решетке, имеющей 100 штрихов на
1 мм длины, виден под углом:
1) arcsin 0,60, 2) arcsin 0,18, 3) arcsin 0,20,
4) arcsin 0,06, 5) arcsin 0,02.
A28. Работа выхода электрона из платины равна 9,1 ■10'19 Дж. Мак­
симальная кинетическая энергия фотоэлектронов, вырываемых из пла­
тины светом с длиной волны 0,5 мкм, равна:
1) 4,2 • 10-19 Дж, 2) 2,1 • 10-19 Дж, 3) 7,4 • 10'19 Дж, 4) 1,1 • Ю'19 Дж,
5) такой свет не может вырывать электроны из пластины.
А29.Какой длины волны свет поглотил атом водорода, если полная
энергия электрона в атоме увеличилась на 3 ■10'19 Дж?
1) 0,46 мкм, 2) 0,66 мкм, 3) 0,58 мкм, 4) 0,32 мкм, 5) 0,86 мкм.
А30. Если AN уменьшение числа нейтронов в ядре, a AZ уменьшение
числа протонов в ядре, то какие изменения в составе ядра произошли в
результате радиоактивного альфа-распада?
1) AN = 4, 2) AZ = 4, 3) AN = 0, 4) AN = 2, 5) AZ = 0.
ЧАСТЬ В
В 1. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, рав­
нялась 20 м. Определите минимальную скорость, которую имело тело во
время полета, если продолжительность полета составляла 2 с.
452
B2. Тонкая деревянная палочка длиной 20 см закреплена шарнирно
на одном конце и опущена свободным концом в воду. Какая часть дли­
ны палочки будет находиться в воде при равновесии? Плотность дерева
принять равной 600 кг/м3.
ВЗ. При изменении тока в катушке индуктивности на величину 1 А за
0,6 с в ней индуцируется ЭДС 0,2 мВ. Какую длину будет иметь радио­
волна, излучаемая генератором, колебательный контур которого состоит
из этой катушки и конденсатора емкости 14,1 нФ.
В4. Плоское зеркало установлено вертикально. Какова должна быть
наименьшая высота зеркала, чтобы человек высотой h мог в нем видеть
свое изображение во весь рост, не изменяя положения головы?
В5. Во сколько раз увеличивается масса электрона при прохождении
им разности потенциалов 106 В?
ЧАСТЬ С
С 1.Ведерко, заполненное водой и подвешенное на длинном шнуре,
имеет отверстие в дне, через которое вытекает вода. Ведерко совершает
гармонические колебания. Используя законы колебательного движения,
нарисуйте качественный график изменения периода колебаний ведерка
от времени колебаний.
С2. В о кр у г го ри зон тал ьн ой оси О
(рис. 20.4) может без трения вращаться лег­
кий рычаг, плечи которого /, = 0,1 м и
/2 = 0,15 м. На концах рычага укреплены
грузы массой т] = 20 г и т2 = 30 г. Предо­
ставленный самому себе, рычаг переходит
из горизонтального положения в вертикаль­
ное. Какую скорость будет иметь в нижней
точке груз те2?
Рис. 20.4
СЗ. Объем воздушного шара V=224 м3, масса оболочки М=145 кг.
Ш ар заполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давле­
нии. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы
шар начал подниматься? Температура окружающего воздуха Т=273 К.
453
£
€?
C4. В однородном горизонтальном
магнитном поле (рис. 20.5) с магнит­
ной индукцией В=0,5 Тл по вертикаль­
но расположенным рельсам, замкну£
тым через последовательно соединен­
ный резистор сопротивлением R=5 Ом
и источник ЭДС е=12 В, свободно
скользит без нарушения контакта проЛис. 20.5
водник АС длиной L=1 м и массой
т= 1 0 0 г. Найдите величину скорости
v (м/с) и направление установившегося движения проводника. Ускоре­
ние свободного падения примите равным 10 м/с2 .
С5. На каком расстоянии надо поместить предмет от собирающей линзы
с фокусным расстоянием F, чтобы расстояние от предмета до его дей­
ствительного изображения было наименьшим?
Сб. Найдите энергию, выделяющуюся при протекании ядерной реак­
ции: 1 В е + \Н —>™В+1п. Ответ дайте в МэВ.
ТЕСТ №2
ЧАСТЬ А
А 1. Локомотив находился на расстоянии 400 м от светофора и имел
скорость 54 км/ч, когда началось торможение с ускорением, модуль ко­
торого равен 0,3 м/с2. На каком расстоянии от светофора остановился
локомотив?
1) 0 м, 2) 10 м, 3) 25 м, 4) 30 м, 5) 50 м.
А2. Вагон массой 1000 кг движется со скоростью 54 км/ч. Опреде­
лите силу торможения, действующую на вагон, под действием которой,
двигаясь равнозамедленно, он остановился за 10 секунд.
1) 500 Н, 2) 1000 Н, 3) 1500 Н, 4) 2000 Н, 5) 3000 Н.
АЗ. К пружине длиной 10 см, коэффициент жесткости которой 500 Н/м,
подвесили груз массой 2 кг. Какой стала длина пружины?
1)12 см, 2) 13 см, 3)14 см, 4) 15 см, 5) 16 см.
454
A4. Тело соскальзывает с верхней точки полу­
сферы. В момент отрыва от ее поверхности вектор
ускорения тела имеет направление {рис. 20.6).
1) 1, 2) 2, 3) 3, 4) 4, 5) 5.
Рис. 20.6
А5. Во сколько раз возрастает импульс тела при увеличении его ки­
нетической энергии в два раза?
1) не изменится, 2) в ,/2 раз, 3) в
раз, 4) в 2 раза, 5) в 4 раза.
\
А6. Металлический шарик, падая с высоты /г, = 1 м на стальную пли­
ту, отскакивает от нее на высоту /г, = 0,49 м. Во сколько раз уменьшается
импульс шарика при ударе?
1) импульс не меняется, 2) в 0,49, 3) в 0,70, 4) в 0,81, 5) в 0,90.
А7. Однородный стержень АВ длиной 1,2
м (рис.20. 7) подвешен в точке С на двух ни­
тях АС=СВ=1 м. Натяжение каждой нити рав­
но 200 Н. Определите массу стержня.
1) 8 кг, 2) 16 кг, 3) 32 кг, 4) 50кг, 5) 100 кг.
А8. В сосуд с вертикальными стенками и дном площадью 500 см2
налита жидкость плотностью 103 кг/м3. На сколько изменится уровень
жидкости в сосуде, если в него опустить тело произвольной формы мас­
сой 1кг, плотность которого меньше плотности жидкости?
1) 5 • 10° м, 2) 1 • 10'2 м, 3) 2 • 10-2 м, 4) 4 • 10‘2 м, 5) 0,1м.
А9. Какое количество молей вещества содержится в 36 г воды?
1) 0,5 моля, 2) 1 моль, 3) 2 моля, 4) 4 моля, 5) 36 молей.
А 10. Определите число молекул азота, занимающего объем 5л и на­
ходящегося под давлением 105 Па, если средняя квадратичная скорость
поступательного движения молекул равна 5,0-10'2 м/с (молярная масса
азота 0,028 кг/моль).
1) 0,2 • 1023, 2) 0,4 • 1023, 3) 0,8 ■1023, 4) 1,3 • 1023, 5) 2,0 • 1023.
455
p
3
2
A
4
A 11. В каких процессах, изображенных на
^-диаграмме (рис. 20.8), температура идеально­
го газа уменьшается?
1) А-1 и А-2, 2) А-3 и А-4, 3) А-1 и А-4, 4) А-2
и А-3, 5) А-2 и А-4.
1
О
Рис. 20.8
А 12. В сосуде объемом 20 литров находится водород массой 4 г при
температуре 27°С. Молярная масса водорода р = 0,002 кг/моль. Давле­
ние водорода в сосуде равно:
1) 0,5 • 105 Па, 2) 2,5 • 105 Па, 3) 5,0 • 105 Па, 4) 10,0 • 105 Па,
5) 15,0-105 Па.
А 13. Работа, совершаемая тепловой машиной за один цикл, изобра­
женный на рис. 20.9, равна:
1) 0,1 кДж, 2) 1,0 кДж, 3) 10,0 кДж, 4) 40,0 кДж, 5) 80,0 кДж.
А 14. В вершинах квадрата (рис. 20.10)- в точках А, В, С, D - распо­
ложены точечные заряды +q, -2q, +q, -2q. Напряженность электрическо­
го поля этой системы зарядов равна нулю в точке:
1) в центре квадрата - точке 0, 2) А, 3) В, 4) С, 5) D.
В
А
-2q
Р, Па
0
0.2 0.4 V m
D
Рис. 20.9
456
С
Рис.20.10
A 15. Напряженность электрического поля в точке, удаленной на рас­
стоянии R от центра заряженной проводящей сферы радиусом г {R > г),
равна Е. Поверхностная плотность о заряда на сфере:
E e0R
1)
=
2) a=E£ » ’ 3)
=
4)
EenR2
5)
A 16. Батарея из трех одинаковых плоских воздушных конденсато­
ров, показанная на рис. 20.11, заряжена от источника напряжения и
затем отсоединена от него. Как изменится
разность потенциалов между точками А и В,
если расстояние между пластинами конден­
сатора С3 увеличить в два раза?
1) уменьшится в 2 раза, 2) уменьшится в
4/3 раза, 3) не изменится, 4) увеличится в
5/3 раза, 5) увеличится в 2 раза.
Рис.20.11
А 17. ЭДС источника 8 В, его внутреннее сопротивление .:0 м . К исО
точнику подключены параллельно два сопротивления 1,5 Ом и 0,5 Ом,
полный ток в цепи равен:
1) 16 А, 2) 8 А, 3) 4А, 4) 2 А, 5) 1 А.
А 18. Два сопротивления Рл = 3R0 и R2 = 2R0 подключены параллельно
к источнику постоянного напряжения. На каком из сопротивлений выде­
ляется большая мощность и во сколько раз?
1) на первом, в 3 раза, 2) на первом, в 1,5 раза, 3) на втором, в 2 раза,
4) на втором, в 1,5 раза, 5) выделяется одинаковая мощность.
А 19. По двум прямолинейны м парал­
лельным проводникам текут в одном направ­
лении равны е по величине токи I {рис.
20.12). Вектор индукции магнитного поля,
созданного этими токами, в точке 0, равно­
удаленной от каждого проводника, имеет на­
правление:
1) 1, 2) 2, 3)3, 4) 4, 5) 5.
-0
Рис.20.12
457
A20. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U - 100В, влета­
ет в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендику­
лярны н ап р авл ен и ю его дви ж ени я. И ндукция м агн и тн ого поля
В = 2 • 10'3Тл. Радиус окружности, по которой движется электрон, равен:
1) 0,5 • 10-2 м, 2) 1,0 • 10-2 м, 3) 1,7 • 10-2 м, 4) 3,4 • 1Q-1 м, 5) 5,0 м.
А 2 1. Круговой проволочный виток пло­
щадью 100 см2 находится в однородном
магнитном поле, зависимость индукции
которого от времени показана на рис.
20.13. Плоскость витка перпендикулярна
линиям индукции поля. Максимальное зна­
чение ЭДС индукции, возникающей в вит­
ке, равно:
1) 1 • 10-2 В, 2) 2 • 10-2 В, 3) 4 • 10-2 В,
4) 6 • 10'2 В, 5) 8 • 10'2 В.
ДТл
--t-V--+---- V - .
—+
ь-\-+—
Рис. 20.13
А22. У равнение движ ения м атериальной точки дано в виде
x=cos(7rt/2+K/4) (см). Период колебаний этой точки равен:
1) 1 с, 2) 2 с, 3) 4 с, 4) 6 с, 5) 8 с.
А23. Определите частоту звуковых колебаний в воде, если расстоя­
ние между ближайшими точками бегущей звуковой волны, колебания
которых отличаются по фазе на л/2, равно 2,5 м. Скорость звука в воде
равна 1500 м/с.
1) 150 Гц, 2) 300 Гц, 3) 500 Гц, 4) 1000 Гц, 5) 1500 Гц.
А24. В идеальном колебательном контуре сила тока изменяется по
закону: / = 0,1 sinl О3/ (А). Если в этом контуре емкость конденсатора
10 мкФ, то индуктивность катушки равна:
1) 10° Гн, 2) 10-2 Гн, 3) 0,1 Гн, 4) 10 Гн, 5) 102 Гн.
А25. Определите угол падения луча в воздухе на поверхность воды,
если угол между преломленным и отраженным лучами равен 90°. Пока­
затель преломления воды пв = 1,33.
. 1
1)
458
1
1
arcsin ^ ^ } 2) arccosj 3 3 > 3) arct^ i 2 3 ’ ^ arctg\,33, 5) arcctg\,33.
A26. На рис. 20.14 изображены: соВ
бирающая линза, положение ее главной
4
оптической оси, главных фокусов и пред|
Q
мета АВ. Какое получится изображение
2F A F
F
2F
предмета?
1) действительное, уменьшенное, прямое,
2) действительное, увеличенное, обратное,
р ис 20 14
3) мнимое, ум еньш енное, обратное,
4) мнимое, увеличенное, обратное, 5) действительное, уменьшенное,
обратное.
А27. Разность фаз двух интерферирующих лучей при разности хода
между ними . длины волны равна:
3
4
3
2
л
1) 2 * , 2 ) 3 * , 3 ) - - * , 4 ) 3 ^ , 5 ) 3 .
А28. Лазер мощностью 1 мВт генерирует монохроматическое излу­
чение с длиной волны, равной 0,6 мкм. За какое время лазер испускает
фотоны, суммарная масса которых равна массе покоя протона?
1) 1,5 - Ю-4 с, 2) 1,5 • Ю-5 с, 3) 1,5 • 10-6 с, 4) 1,5 • 10'7 с, 5) 1,5 • 10'8 с.
А29. На какую стационарную орбиту переходят электроны в атомах
водорода при испускании ультрафиолетовых лучей?
1) на пятую, 2) на четвертую, 3) на третью, 4) на вторую, 5) на первую.
АЗО. При захвате нейтрона ядром ^ А1 образуется радиоактивный эле­
мент \\N a ■При этом ядерном превращении испускается:
1) нейтрон, 2) а-частица, 3) электрон, 4) протон, 5) позитрон.
459
ЧАСТЬ В
В1. С какой максимальной скоростью может повернуть мотоциклист
на горизонтальной плоскости при коэффициенте трения 0,40, если ради­
ус поворота 25 м?
В2. На какой глубине находился пузырек воздуха, если его объем
при всплытии у поверхности воды оказался в 1,5 раза больше, чем под
водой? Атмосферное давление принять равным 760 мм рт. ст.
ВЗ. Катушка индуктивности с ничтожно малым активным сопротив­
лением включена в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. При напря­
жении 125 В сила тока равна 2,5 А. Какова индуктивность катушки?
В4. Человек, находящийся на берегу, видит камень на дне озера. Глу­
бина озера 1 м. На каком расстоянии от поверхности воды видит человек
камень, если луч зрения составляет с вертикалью угол 60°?
В5. Вычислите дефект массы ядра изотопа неона ^ N e .
ЧАСТЬ С
C l. Опираясь на законы механики, поясните, почему крупные капли
дождя падают с большей скоростью, чем мелкие? Капли считать шаро­
образной формы.
С2. С высоты h = 1 м на теннисный мяч падает кирпич и подскакива­
ет почти на 1 м. На какую высоту подскакивает при этом мяч?
Р
СЗ. На рис. 20.15 изображен замкнутый
цикл 1-2-3-1, проведенный с одним молем
идеального одноатомного газа. Чему равен
КПД цикла?
Рис. 20.15
460
C4. Прямолинейный проводник массой т = 0,03 кг, по которому про­
текает ток/ = 5 А, поднимается вертикально вверх в однородном горизон­
тальном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл, двигаясь к линиям маг­
нитной индукции под углом а = 30°. Через t = 2 с после начала движения
он приобретает скорость v = 4 м/с. Определите длину проводника.
С5. Источник света помещен на расстоянии 20 см от собирающей
линзы, имеющей фокусное расстояние 12 см. На каком расстоянии (в
см) за собирающей линзой надо поместить рассеивающую линзу с фо­
кусным расстоянием 12 см, чтобы изображение источника света оста­
лось действительным?
Сб. Какую массу воды можно нагреть от 0°С до кипения, если ис­
п о л ьзо в ать все теп л о, вы деляю щ ееся при ядерн ой реакции
1Ы +]р—> ^ H e+ jH e, при полном разложении массы т = 1 г лития? Ответ
дайте в тоннах.
ТЕСТ №3
ЧАСТЬ А
А1. Поезд длиной 240 м, двигаясь равномерно, прошел мост длиной
в 360 м за 2 мин. Скорость поезда при этом равна:
1) 3 м/с, 2) 2 м/с, 3) 5 м/с, 4) 10 м/с, 5) 4м/с.
А2. Точка движется вдоль оси ОХ с постоянным ускорением ах - -1 м/с2.
Если в начальный момент времени ее скорость
= 2 м/с, то за время
t = 5 с точка пройдет путь, равный:
1)2,5м, 2) 6,5 м, 3)3,5м, 4) 5,0 м, 5) 7,5 м.
АЗ. На рис. 20.16 дан график зависи- р
мости изменения со временем силы, дей­
ствующей на тело массой 0,5 кг. За про­
межуток времени от /,=1 с до t = 2 с мо­
дуль изменения импульса тела равен:
1) 10 кг • м/с, 2) 2 кг • м/с, 3) 5 кг • м/с,
4) 1 кг • м/с, 5) 20 кг • м/с.
Рис. 20.16
461
A4. Сани со стальными полозьями перемешаются равномерно по льду
под действием горизонтальной силы, равной 2 Н. Определите массу са­
ней, если коэффициент трения стали о лед 0,02.
1) 5 кг, 2) 12,5 кг, 3) 15 кг, 4) 10 кг, 5) 20 кг.
А5. Во сколько раз скорость искусственного спутника, вращающе­
гося вокруг Земли по круговой орбите R, больше скорости спутника,
вращающегося по орбите радиусом 2R1
1) 4, 2) 2, 3) 4 2 , 4) 1, 5) 0,5.
А6. Пуля массой 10 г, имеющая начальную скорость 600 м/с, пробила
доску. При вылете из доски скорость пули составила 200 м/с. На сколь­
ко уменьшилась кинетическая энергия пули?
1) 1000 Дж, 2) 400 Дж, 3) 3200 Дж, 4) 1600 Дж, 5) 800 Дж.
А7. Если на вагонетку массой т, движущ уюся по горизонталь­
ным рельсам со ск ор остью v, сверху вертикально опустить груз, м асса
которого равна половине массы вагонетки, то скорость вагонетки с
грузом стан ет равной:
1) | v , 2) | v , 3)
“ V,
4) | v , 5) | v .
A8. Однородный стержень массой т, две трети которого выступает
за край стола, находится в равновесии, если к концу стержня, лежащего
на столе, приложена вертикальная сила, минимальное значение которой
равно:
1) mg / 2, 2) mg / 3, 3) 2mg / 3, 4) 2>mg / 4, 5) mg.
A9. Плотность льда равна 900 кг/м3, а плотность воды 1000 кг/м3.
Какую наименьшую площадь имеет льдина толщиной 40 см, способная
удержать над водой человека массой 80 кг?
1) 2,0 м2, 2) 4,0 м2, 3) 0,5 м2, 4) 8,0 м2, 5) 1,0 м2.
А 10. Определите число молекул, содержащихся в 1 м3 газа, если при
температуре 27°С давление газа равнялось 4,14 • 105 Па.
1) 1026, 2) 1025, 3) 2 • 1025, 4) 2 • 1026, 5) 2,5 • 1026.
462
A l l . В каком из процессов, изображенных
нарК -диаграмме (рис. 2 0 .1 7), температура иде­
ального газа не менялась?
1) А-1, 2) А-2, 3) А-3,
4) А-4, 5) нет правильного ответа.
Рис. 20.17
V
А 12. В баллоне вместимостью 39 л содержится 1,88 кг углекислого
газа (р=44 • 10'3 кг/моль) при 0°С. При повышении температуры на 57°С
баллон разорвался. При каком давлении произошел разрыв баллона?
1) 2 • 106 Па, 2) 2 ■105 Па, 3) 3 • 106 Па,
4) 3 • 105 Па, 5) 5 • 105 Па.
А 13. В некотором процессе газ совершил работу, равную 5 МДж, а
его внутренняя энергия уменьшилась на 2 МДж. Какое количество теп­
лоты передано газу в этом процессе?
1) 5 МДж, 2) 3 МДж, 3) 2 МДж, 4) 1,5 МДж, 5) 7 МДж.
А 14. В идеальной тепловой машине за счет каждого килоджоуля энер­
гии, получаемой от нагревателя, совершается работа 300 Дж. Определи­
те КПД машины.
1) 0,2, 2) 0,3, 3) 0,4, 4) 0,5, 5) 0,6.
А 15. Если на заряд 10‘9 Кл, помещенный в некоторую точку поля,
действует сила 2 -10-8 Н, то модуль напряженности электрического поля
в этой точке равен:
1) 10 В/м, 2) 200 В/м, 3) 150 В/м, 4) 20 В/м, 5) 15 В/м.
q
q
А 16. Три маленьких одноименно заряжен- q
ных шарика с зарядом q каждый удерживают •
^
^
*
в вакууме вдоль прямой на расстояниях, рав,
™ ,оч
Рис. 20.18
ных а, друг от друга двумя нитями (рис. 20.18).
Какую максимальную кинетическую энергию приобретает крайний ша­
рик, если обе нити одновременно пережечь?
5<7
q
5q 2
f
*) 8 ^ ’ 2) 4 я ^ ’ 3> 16пЕйа ’ У 2яе0а ’ ^
q
4 щ ,а ~
463
A 17. Плоский воздушный конденсатор емкостью С, подключен­
ный к аккумулятору, заряжен до разности потенциалов U. Если рас­
стояние между пластинами конденсатора увеличить в к раз, то через
аккумулятор протечет заряд, равный по величине:
1) kCU, 2) (k-\)CU , 3) ~7~ CU, 4) CU, 5) 0.
А 18. При последовательном соединении п одинаковых источников
с одинаковыми ЭДС каждый и одинаковыми внутренними сопротив­
лениями г каждый, полный ток в цепи с внешним сопротивлением R
будет равен:
1) / = е / (R+r/n), 2 ) 1 = г / (R+rn), 3) / = п е / (R+r),
4) / = п е / (R+r«), 5) / = п е / (R+r/n).
А 19. Сколько энергии потребляет двигатель трамвая за 10 мин не­
прерывной работы, если напряжение на коллекторных пластинах
двигателя 500 В, а сила тока в обмотке двигателя 120 А?
1) 36 МДж, 2) 60 кДж, 3) 36 кДж, 4) 6 МДж, 5) 600 кДж.
А20. Прямолинейный проводник длиной 1 м, по которому течет
постоянный ток силой 10А, находится в однородном магнитном поле
с индукцией 5=0,5 Тл и расположен перпендикулярно линиям маг­
нитной индукции. При перемещении проводника на 1 м по направле­
нию действия силы Ампера совершается работа, равная:
1) 0 Дж, 2) 0,5 Дж, 3) 1 Дж, 4) 5 Дж, 5) 10 Дж.
А21. Если заряженная частица, заряд которой q, движется в одно­
родном магнитном поле с индукцией В по окружности радиуса R, то
модуль импульса частицы равен:
qR
’)
464
В ’ 2)
qB
В
R
R ’ 3) q B R ' 4) q R ' 5) q B ’
A22. Индукция магнитного поля изме- В,
няется в зависимости от времени так, как
показано на рис. 20.19. Линии индукции
этого однородного поля перпендикулярны
плоскости проволочного кольца площадью
100 см2. Чему равно максимальное значе­
ние индуцируемой в кольце ЭДС?
1) 1,0 В, 2) 20,0 мВ, 3) 2,0 В, 4) 1,0. мВ,
5) 0,7 мВ.
А23. Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с ам-
V
плитудой 8 см и начальной фазой —. Через промежуток времени, рав­
ный - периода после начала колебаний, смещение тела от положения
О
равновесия примет значение:
1) 4 см, 2) 0 см, 3) 6 см, 4) 8 см, 5) 2 см.
А24. Вагон массой 80 т имеет четыре рессоры. Ж есткость каждой
рессоры равна 197 кН/м. Чтобы вагон сильно раскачивало, толчки от
стыков рельс должны повторяться через промежуток времени, рав­
ный:
1 )8 с, 2) 2 с, 3 )4 с, 4) 6 с, 5) 5 с.
А25. Колебательный контур с конденсатором емкостью 1 мкФ настроен
на частоту 400 Гц. Когда параллельно первому конденсатору подключи­
ли второй конденсатор, резонансная частота стала равной 100 Гц. Како­
ва емкость второго конденсатора? Сопротивлением контура можно пре­
небречь.
1) 16 мкФ, 2) 5 мкФ, 3) 10 мкФ, 4) 12 мкФ, 5) 15 мкФ.
А26. Светящаяся точка со скоростью 0,2 м/с движется по окружнос­
ти вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости,
параллельной плоскости линзы и отстоящей от нее на расстоянии в 1,8
раза больше фокусного расстояния линзы. Какова скорость движения
изображения?
1) 0,36 м/с, 2) 0,80 м/с, 3) 0,25 м/с, 4) 0,11 м/с, 5) 0,90 м/с.
465
A27. Импульс фотона может быть оценен из соотношения:
1) p = h v , 2) P = j , 3) P B j ^ , 4) Р = Р0 +
5) Р = ~ .
А28. Работа выхода электрона из металла равна 6,6 • 10 |9Дж. Опреде­
лите частоту света, вырывающего с поверхности этого металла электро­
ны, полностью задерживающиеся разностью потенциалов 5 В.
1) 2,2 • 1015 Гц, 2) 3,6 • 1015 Гц, 3) 1,6 • 1014 Гц,
4) 4,2 • 1015 Гц, 5) 2,2- 1014 Гц.
А29. Какой длины волны излучение является видимым для глаза
человека?
1) 5 • К)'3 м, 2) 5 • К)'5 м, 3) 5 • К)'7 м, 4) 5 • 10'9 м, 5) 5 • 10 " м.
А30. При бомбардировке ядер изотопа а з о т а N нейтронами образу­
ется изотоп УВ . В этой ядерной реакции образуется также частица:
1) протон, 2) а-частица, 3) нейтрон, 4) 2 нейтрона, 5) 2 протона.
ЧАСТЬ В
В 1.Шарик, прикрепленный к пружине, совершает гармонические ко­
лебания на гладкой горизонтальной поверхности с амплитудой 10 см. На
сколько (в см) сместится шарик от положения равновесия за время, в
течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
В2. После того как в комнате протопили печь, температура воздуха
поднялась с 15 до 27°С. На сколько процентов уменьшилось число мо­
лекул в комнате?
ВЗ. Во внешней цепи, состоящей из трех одинаковых резисторов R,
выделяется одна и та же мощность Р как при последовательном, так и
при параллельном соединении этих резисторов. Источником служит эле­
мент с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 6 Ом. Определите со­
противление резистора R.
В4. На сколько увеличится фокусное расстояние линзы, если ее по­
грузить в воду?
466
B5. На сколько увеличится (в мкм) длина волны фиолетовых лучей с
частотой колебаний 7,5 • 1014 Гц при переходе из воды в вакуум, если
скорость их распространения в воде 2,23 • 105 км/с?
ЧАСТЬ С
С1. Полосовой магнит падает в катушку, длина которой меньше длины
магнита. Нарисуйте качественно график зависимости индукционного тока
в катушке от времени, в течение которого магнит пролетает катушку.
С 2 .В фтолетм ассой т= 1500 кг имеет винт, концы лопастей которого
двигаются по дуге окружности радиусом R=5 м. Какую мощность
(в кВт) должен развить двигатель вертолета, чтобы удержаться в возду­
хе? Считать, что весь воздух под вращающимися лопастями движется
вниз однородным потоком.
СЗ. В сосуд объемом V=10 дм3, наполненный сухим воздухом при
давлении р 0-Ю 5 Па и температуре Тд=273 К, вводят т=3 г воды. Сосуд
нагревают до температуры Т=373 К. Каково давление в кПа влажного
воздуха при этой температуре?
С4. Электрическое поле образовано внешним одно......
родным электрическим полем и электрическим полем
---------------заряженной металлической пластины (рис. 20.20), которое вблизи пластины тоже можно считать однородным, р
р
Напряженность результирующего электрического поля
—III
справа от пластины Е = 30 кВ/м, а слева Е2=50 кВ/м.
~
----Определите заряд пластин (в мКл), если сила действующая на пластину со стороны внешнего поля, F=0,7 Н.
Рис. 20.20
С5. Источник света расположен на главной оптической оси на рассто­
янии б=0,45м от собирающей линзы с оптической силой D=5 дптр. За
линзой, перпендикулярно оптической оси, помещено плоское зеркало. На
каком расстоянии от линзы нужно поместить плоское зеркало, чтобы лучи,
отраженные от него, пройдя вторично через линзу, стали параллельными?
Сб. Красная граница фотоэффекта для металла 620 нм. Найдите вели­
чину запирающего напряжения для фотоэлектронов при освещении ме­
талла светом длиной волны 330 нм.
467
ТЕСТ №4
ЧАСТЬ А
А 1. По двум параллельным железнодорожным путям равномерно дви­
жутся два поезда в противоположных направлениях; грузовой со ско­
ростью 44 км/ч и пассажирский со скоростью 100 км/ч. Чему равна
относительная скорость поездов?
1) 20 м/с, 2) 40 м/с, 3) 56 км/ч, 4) 30 м/с, 5) 50 м/с.
А2. Точка движется по оси х по закону: х=5 + At - 212 (м). Координата,
в которой скорость точки обращается в нуль, равна:
1) 5 м, 2) 10 м, 3) 7 м, 4) -10 м, 5) - 5м.
АЗ. Сила трения, действующая на тело, лежащее на горизонтальном
диске и вращающееся вместе с ним вокруг вертикальной оси с постоян­
ной угловой скоростью , направлена:
1) по касательной к траектории,
2) не имеет направления, так как равна 0,
3) к центру траектории по радиусу,
4) от центра траектории по радиусу,
5) перпендикулярно плоскости вращения.
А4. Какова должна быть наименьшая скорость мотоцикла, для того
чтобы он мог ехать по внутренней поверхности вертикального кругово­
го цилиндра радиусом R по горизонтальной окружности? Коэффициент
трения скольжения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра
равен к.
,
kR
oR
gR
1) jk g R ,2 ) y , 3 ) k g R \A ) -•* ,5 ) \ .
A5. Движение тела массой 2 кг описывается уравнением: х = 2t-t2 м.
В момент времени t= 1 с проекция импульса этого тела на ось х :
1) -4 (кг • м )/с, 2) -2 (кг • м )/с, 3) 0 (кг • м )/с, 4) 2 (кг • м )/с,
5) 4 (кг • м)/с.
468
A6. КПД двигателя механизма, имеющего номинальную мощность
400 кВт и двигающегося со скоростью 10 м/с, при силе сопротивления
движению 20 кН равен
1) 25 %, 2) 40 %, 3) 50 %, 4) 55 %, 5) 60 %.
А7. Два шара массами 1 кг и 2 кг скреплены невесомым стержнем.
Центр первого шара отстоит от центра второго шара на расстоянии
90 см. На каком расстоянии от центра более легкого шара находится
центр тяжести системы?
1) 60 см, 2) 30 см, 3) 20 см, 4) 80 см, 5) 50 см.
А8. Деревянный шар объемом V и массой т удерживается под водой
пружиной жесткости к. Пренебрегая массой и объемом пружины, най­
дите энергию деформации пружины. Плотность воды равна р.
n
g \™ -p V f
’
2к
'
’
g (p V -m )2
2к
'
’
g 2(pV -ru )
2к
g 2(pV - т)2
2к
'
_ g (p V -m )
’
2к
А9. Определите концентрацию молекул водорода, находящегося под
давлением 2,67 • 104Па, если средний квадрат скорости поступательного
движения молекул при этих условиях равен 4,0 • 10б м2/с2. (Молярная
масса водорода р=0,002 кг/моль).
1) 3,0 • 1024 м-3, 2) 6,0 • 1024 м-3, 3) 12,0 • 1024 м'3, 4) 24,0 • 1024 м '3,
5) 36,0 -1024 м-3.
А 10. На рис. 20.21 изображены кривые
для изотермического, адиабатического, изохорического и изобарического процессов
идеального газа. При этом изотермой явля­
ется линия:
1) 1, 2) 2, 3) 3, 4) 4, 5) на рисунке изотермы
нет.
Рис. 20.21
469
A 11. В баллоне емкостью 50 л находится водород при температуре
10°С. Молярная масса водорода р=0,002 кг/моль. Вследствие неисп­
равности вентиля часть газа вытекла, и давление его при постоянной
температуре понизилось на 4 105 Па. Масса вытекшего из баллона во­
дорода равна:
1) 1,7 10-2 кг, 2) 3,4 10-2 кг, 3) 6,8 -Ю'2 кг,
4) 1,7-10 '1 кг, 5)6,8-10-' кг.
А 12. Как изменится внутренняя энергия идеального газа при изохорном нагревании?
1) AU = Q, 2) ДU = 0, 3) A U = Q + А,
4) A U = А, 5) A U = Q - А.
А 13. Работа, совершаемая идеальной тепловой машиной за один
цикл, в котором газ получает от нагревателя 75 кДж теплоты при абсо­
лютной температуре нагревателя, втрое большей температуры холодиль­
ника, равна:
1) 50 кДж, 2) 55 кДж, 3) 25 кДж,
4) 20 кДж, 5) 30 кДж.
А 14. Какого диаметра нужно выбрать медный провод, чтобы при до­
пустимой плотности тока в 1 А/мм2 сила тока в нем была 314 А?
1) 2 мм, 2) 2 см, 3) 1 см, 4) 1 мм, 5) 5 мм.
А 15. Две материальные точки, имеющие одинаковые массы и заря­
женные равными по величине, но противоположными по знаку заряда­
ми, движутся по окружности вокруг своего неподвижного центра масс.
Действуют только кулоновские силы. Отношение потенциальной энер­
гии электрического взаимодействия этих частиц к их кинетической энергии
равно:
1) -2, 2 ) - 1 ,3 ) 1 ,4 ) 2, 5) 4.
А 16. Заряженный конденсатор емкостью С,=4 мкФ подключили па­
раллельно к незаряженному конденсатору емкостью С2. При этом напря­
жение на батарее конденсаторов стало равно 200 В, а ее энергия 0,1 Дж.
Емкость конденсатора С2равна:
1) 0,5 мкФ, 2) 1,0 мкФ, 3) 1,5 мкФ, 4) 2,0 мкФ, 5) 4,0 мкФ.
470
A 17. Электрическая цепь (рис. 20.22) состоит из
источника с ЭДС е и внутренним сопротивлением г,
внешнего сопротивления R и конденсатора емкостью
С. Заряд на конденсаторе равен:
1) еС, 2) CsR/r, 3) Cer/R, 4) CeR/(R+r),
5) Се (1 +r/R).
Рис. 20.22
А 18. Электрический нагреватель рассчитан на напряжение 220 В. Со­
противление его нагревательного элемента 88 Ом. Мощность этого на­
гревателя равна:
1) 2 •103 Вт, 2) 4 •103 Вт, 3) 5,5 ■103 Вт, 4) 4 ■102 Вт, 5) 5,5 •102 Вт.
А 19. Прямолинейный проводник длиной 0,5 м, по которому течет по­
стоянный ток силой 20А, находится в однородном магнитном поле с ин­
дукцией В = 0,25 Тл, и расположен перпендикулярно линиям индукции.
При перемещении проводника на 0,1 м по направлению действия силы
Ампера совершается работа, равная:
1) 0,00 Дж, 2) 0,25 Дж, 3) 0,50 Дж, 4) 1,00 Дж, 5) 5,00 Дж.
А20. Как изменится период обращения заряженной частицы в цик­
лотроне при увеличении ее скорости в два раза? Рассмотрите нереляти­
вистский случай (v « с).
1) не изменится, 2) увеличится в 2 раза, 3) увеличится в 4 раза,
4) увеличится в 8 раз, 5) увеличится в 16 раз.
А21. В однородном магнитном поле, индукция которого равна
0,1 Тл, равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков про­
волоки. Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось враще­
ния катушки перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного
поля. Угловая скорость вращения катушки равна 10 рад/с. Максималь­
ная величина ЭДС, возникающая в катушке, равна:
1) 1 В, 2) 2 В, 3 )4 В, 4) 8 В, 5) 10 В.
471
A22. Ш арик массой 10 г совершает гармонические колебания с амп­
литудой 3 см и частотой 10 с'1. Максимальное значение возвращающей
силы, действующей на шарик, равно:
1) 0,5 Н, 2) 1,0 Н, 3) 1,2 Н, 4) 5,0 Н, 5) 10,0 Н.
\ \ \ \ \ \ К \\У ч
/
А23. Математический маятник длиной /=1м
колеблется параллельно вертикальной стенке. Под
точкой подвеса маятника на расстоянии 1=1/2 от
него в стенку забит гвоздь {рис.20.23). Период
колебаний маятника равен:
1) 1,0 с, 2) 1,7 с, 3) 2,0 с, 4)2,5 с, 5) 3,0 с.
Рис. 20.23
А24. Изменение заряда конденсатора в идеальном колебательном кон­
туре происходит по закону: q = 10_3 sinl007t/(Ka). При емкости конденса­
тора этого контура, равной 10 мкФ, максимальная энергия магнитного
поля в контуре равна:
1) 0,05 Дж, 2) 0,1 Дж, 3) 0,5 Дж, 4) 1 Дж, 5) 5 Дж.
А25. Светящаяся точка приближается к плоскому зеркалу со ско­
ростью 2 м/с. Расстояние между точкой и ее изображением изменяется
со скоростью:
1) 0 м/с, 2) 0,5 м/с, 3) 1 м/с, 4) 2 м/с, 5) 4 м/с.
М
В
2F A
F
N
А26. Как изменится изображение
предмета АВ, если половину соби­
рающей линзы закрыть непрозрач2F ным экраном MN (рис.20.24)2
Рис. 20.24
1) изображение исчезнет,
2) изображение не изменится,
3) яркость изображения изменится вдвое,
4) будет видна только верхняя половина предмета АВ,
5) будет видна только нижняя половина предмета.
472
A27. При дифракции монохроматического света с длиной волны X на
дифракционной решетке с периодом d = 5Х максимум третьего порядка
наблюдается под углом:
1) arcsin 0,6, 2) arcsin 0,4 3) arcsin 0,3, 4) arcsin 0,2, 5) arcsin 0,5.
A28. Максимальная длина волны света, вызывающего фотоэффект с
поверхности металлической пластины, равна 0,5 мкм. Если на эту плас­
тину подать задерживающий потенциал 2В, то фотоэффект начнется при
минимальной частоте света, равной:
1) 5 • 1014 Гц, 2) 1,1 • 1015 Гц, 3) 2,2 • 1015 Гц, 4) 3,3 • 1015 Гц, 5) 5 • 1015 Гц.
А29. Сколько возможных квантов с различной энергией может испу­
стить атом водорода, если электрон находится на третьей стационарной
орбите?
1) 1 ,2 ) 2, 3 )3 , 4) 4, 5)5.
А30. При радиоактивном распаде ядра у р а н а *U и конечном
превращении его в стабильное ядро свинца Х
ЦРЬ должно произойти ...
а-распадов и ...(3-распадов:
1) 10 и 8, 2) 8 и 10, 3) 10 и 9, 4) 9 и 1Q, 5) 10 и 10.
ЧАСТЬ В
В1. Из шахты глубиной 200 м поднимается груз массой 500 кг на
канате, каждый метр длины которого имеет массу 1,5 кг. Определите
коэффициент полезного действия установки. Трением пренебречь.
В2. Аэростат наполняют водородом при 20°С и давлении 750 мм рт.ст.
до объема 300 м3. Сколько времени (в часах) будет производиться на­
полнение, если из баллонов каждую секунду переходит в аэростат 2,5 г
водорода?
ВЗ. Амперметр имеет сопротивление 0,02 Ом, им можно измерять
токи до 1,2 А. Найдите сопротивление шунта, который надо подключить
к амперметру, чтобы можно было измерять токи силой до 6 А.
473
B4. Объектив состоит из собирающей линзы с оптической силой
2,5 дптр и рассеивающей линзы с оптической силой - 0,5 дптр. Линзы
сложены вплотную так, что их оптические оси совпадают. Предмет по­
мещен на расстоянии 40 см от объектива. Найдите расстояние от предме­
та до изображения.
В5. Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону: t/= t/0sin(co/‘+ “ ).
В момент времени t = Т/12 мгновенное напряжение равно 10 В. Опреде­
лите амплитуду напряжения.
ЧАСТЬ С
С1. Поясните, у какого воздушного шара подъемная сила больше:
заполненного сухим или влажным воздухом (давление, объем и темпе­
ратуру считать одинаковыми)?
А
’v v s ; / / \ > s s / ; s .
Рис. 20.2 5
СЗ. На рис. 20.26 изображены два зам­
кнутых цикла 1-2-3-1 и 1-3-4-1, проведен­
ные с одним молем идеального одноатом­
ного газа. У какого из циклов КПД выше
и во сколько раз?
Р
Рис. 2 0.2 6
474
С2. На гладкой горизонтальной повер­
хности около стенки стоит симметричный
брусок массой т ,=10 кг, имеющий углуб­
ление полусферической формы радиусом
R=0,8 м (рис. 20.25). Из точки А без тре­
ния и начальной скорости соскальзывает
ш айба м ассой w 2=0,5 кг. О пределите
максимальную скорость бруска при его
последующем движении.
C4. Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного
магнитного поля с индукцией В= 1мТл, где движется по дуге окружно­
сти радиуса R=0,2 m. Затем частица попадает в однородное электричес­
кое поле, где пролетает по направлению силовой линии участок с разно­
стью потенциалов U=1kB, при этом скорость частицы изменяется в
п = 3 раза. Определите (в Мм/с) конечную скорость частицы.
С5. Два взаимно перпендикулярных луча
идут из воздуха в жидкость (рис.20.27). Углы
преломления равны р,=30° и р,=40°. Опреде­
лите показатель преломления жидкости.
Рис. 20.27
Сб. Изотоп гелия 3 Не получается бомбардировкой ядер трития 3 Н
протонами. Напишите уравнение реакции и определите энергию в МэВ,
выделяющуюся при этой реакции.
ТЕСТ №5
ЧАСТЬ А
А1. Пассажир поезда, идущего со скоростью 15 м/с, наблюдает в
окно встречный поезд длиной 150 м в течение 6 с, если скорость встреч­
ного поезда равна:
1) 15 м/с, 2) 10 м/с, 3) 5 м/с, 4) 25 м/с, 5) 20 м/с.
А2. Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в по­
лете 2 с. Найдите величину скорости, с которой камень упал на землю.
1 )1 0 м/с, 2) 20 м/с, 3) 15 м/с, 4) 5 м/с, 5) 1 м/с.
АЗ. На рис. 20.28 дан график зави- v (м/с)
симости изменения скорости тела мае10
сой 2 кг от времени для прямолинейного движения. В момент врем ени/=15 с
модуль силы, действующ ей на тело,
^
равен:
1) 1 Н, 2) 5 Н, 3) 4 Н, 4) Ю Н, 5) 2 Н.
5
10
15 20 /
Рис. 20.28
475
A4. Какой массы груз нужно подвесить к пружине для упругого удли­
нения ее на 3 см, если коэффициент жесткости пружины равен 900 Н/м?
1) 2,0 кг, 2) 3,2 кг, 3) 2,7 кг, 4) 3,0 кг, 5) 4,5 кг.
А5. Мальчик массой 40 кг качается на качелях с длиной подвеса 4 м.
С какой силой мальчик давит на сиденье при прохождении низшего по­
ложения со скоростью 6 м/с:
1) 500 Н, 2) 400 Н, 3) 40 Н, 4) 760 Н, 5) 300 Н.
А6. Для того, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной
3 м и массой 10 кг, поставить вертикально, нужно совершить работу,
равную:
1) 150 Дж, 2) 300 Дж, 3) 200 Дж, 4) 400 Дж, 5) 100 Дж.
А7. Пуля, летящая со скоростью v0, пробивает несколько одинаковых
досок равной толщины, расположенных вплотную друг к другу. В какой
по счету доске застрянет пуля, если скорость ее после прохождения пер­
вой доски v, = 0,8 v0?
1 )2, 2) 3 ,3 ) 4, 4) 6, 5) 8.
А8. Два малых по размерам груза массами 4 кг и 2 кг скреплены
невесомым стержнем длиной 0,6 м. Центр тяжести такой системы нахо­
дится от центра стержня на расстоянии, равном:
1) 0,20 м, 2) 0,15 м, 3) 0,25 м, 4) 0,30 м, 5) 0,10 м.
А9. Шар равномерно падает в жидкости, плотность которой в 2,5 раза
меньше плотности шара, испытывая силу сопротивления жидкости, рав­
ную 1,2 Н. Найдите массу шара.
1) 1 кг, 2) 2 кг, 3) 0,2 кг, 4) 0,3 кг, 5) 0,4 кг.
А 10. С редняя квад рати чная скорость молекул водорода при
0°С равна 1760 м/с. Какова средняя квадратичная скорость молекул
кислорода при 273 К? (ц водорода = 0,002 кг/моль, р кислорода =
0,032 кг/моль).
1) 110 м/с, 2) 440 м/с, 3) 320 м/с, 4) 500 м/с, 5) 600 м/с.
476
A l l . Какой процесс 1-2
диаграмме (рис. 20.29) для
1 )адиабатический,
2) изохорический,
3) изобарический,
4) изотермический,
5) нет правильного ответа.
Рис. 20.29
А 12. Каково давление воздуха (ц = 29 • 10'3 кг/моль) в камере сгора­
ния дизельного двигателя при температуре 503°С, если плотность возду­
ха равна 1,8 кг/м3?
1) 400 кПа, 2) 4 • 106 Па, 3) 40 кПа, 4) 4000 Па, 5) 40 Па.
А13. При передаче газу количества теплоты 300 Дж его внутренняя
энергия уменьшается на 100 Дж. При этом газ совершил работу:
1) 300 Дж, 2) 100 Дж, 3) 200 Дж, 4) -100 Дж, 5) 400 Дж.
А 14. КПД идеального теплового двигателя равен 30 %. Если темпе­
ратура холодильника равна 7° С, то температура нагревателя равна:
1) 200° С, 2) 220° С, 3) 127° С, 4) 90° С, 5) 300° С.
А 15. Три одинаковых точечных заряда по 3 • 10‘9 Кл каждый располо­
жены на одном уровне на расстоянии 5 см один от другого. Определите
величину силы, которая действует на первый заряд.
1) 4,1 • 10 s Н, 2) 5,1 ■10-5 Н, 3) 6,5 • 10-5 Н, 4) 0 Н, 5) К)’4 Н.
А 16. Потенциал одной маленькой заряженной сферической капли ртути
равен ф. При слиянии N таких капель в одну большую ее потенциал ста­
нет равным:
1)
Ф,
2
2)q>-/V, 3 )ф - д г з ,4 ) ф -
1
д р ,
\
5)Ф -
^
N
.
А 17. Отсоединенный от источника ЭДС плоский воздушный конден­
сатор заряжен до разности потенциалов U. Если такой конденсатор за­
полнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е, то разность
потенциалов между обкладками конденсатора станет равной:
1) £ • £ / , 2) (е-1) ■U, 3) U / (£-1), 4) U / е, 5) U.
477
A 18. В конце зарядки аккумулятора при токе в цепи / = 1,2 А напря­
жение на его клеммах £/, = 64 В. Если в начале разрядки аккумулятора
при токе в цепи / 2 = 1,7 А напряжение на его клеммах U2 = 57 В, то
внутреннее сопротивление аккумулятора равно:
1) 2,1 Ом, 2) 2,7 Ом, 3) 2,4 Ом, 4) 3,30 Ом, 5) 3,0 Ом.
А 19. Линейный проводник длиной 60 см при силе тока в нем 3 А
находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Если про­
водник расположен по направлению линий индукции магнитного поля,
то на него действует сила, модуль которой равен:
1) 0,18 Н, 2) 18,00 Н, 3) 2,00 Н, 4) 0,30 Н, 5) 0,00 Н.
А20. Если два протона, ускоренные из состояний покоя электричес­
кими полями с разностями потенциалов 17, и U2, попадают в однород­
ное магнитное поле с вектором индукции, перпендикулярным их ско­
ростям, то они двинутся по окружностям, отношение радиусов кото­
рых RJR-, равно:
и 2
[и ,
и 2
и
,
’>V 2) ^ ’3Ы ’4)^ ’5)1А 21. Какой магнитный поток пронизывал каждый виток катушки, име­
ющей 100 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля
в течение промежутка времени, равного 0,1 с, в катушке протекает ин­
дукционный ток 0,2 А? Сопротивление замкнутой цепи, включающей
катушку и амперметр, равно 50 Ом.
1) 0,01 Вб, 2) 0,1 Вб, 3) 1 Вб, 4) 10 Вб, 5) 100 Вб.
А22.Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с пе­
риодом Т = 1 ,2 с и нулевой начальной фазой. Через сколько времени
после начала колебаний смещение тела от положения равновесия станет
равным половине амплитуды?
1) 0,1 с, 2) 0,6 с, 3) 0,4 с, 4) 0,2 с, 5) 0,3 с.
А23. Во сколько раз изменится длина звуковой волны при переходе звука
из воздуха в воду, если скорость звука в воде 1460 м/с, а в воздухе 340 м/с?
1) увеличится в 4,3 раза, 2) уменьшится в 4,3 раза, 3) увеличится в 2,1
раза, 4) уменьшится в 2,1 раза, 5) не изменится.
478
A24. В идеальном электрическом колебательном контуре емкость кон­
денсатора 2 мкФ, а амплитуда напряжения на нем 10 В. В таком контуре
максимальная энергия магнитного поля катушки равна:
1) 100 Дж, 2) 0,01 Дж, 3) 10-3 Дж, 4) 10'4 Дж, 5) 20 Дж.
А25. Предельный угол внутреннего отражения на границе алмаза и
жидкого азота равен 30°. Абсолютный показатель преломления алмаза
равен 2,4. Во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости
света в жидком азоте?
1) в 4,8 раза, 2) в 1,2 раза, 3) в 2,1 раза, 4) в 2,0 раза, 5) в 2,4 раза.
А26. Найдите увеличение собирающей линзы, если изображение
предмета, помещенного в 15 см от линзы, получается на расстоянии
30 см от нее.
1) 2, 2) 20, 3) 0,2, 4) 4,5, 5) 0,45.
А27. Наибольший порядок спектра, который можно наблюдать при
дифракции света с длиной волны X на дифракционной решетке с перио­
дом d = 3,5 X, равен:
1)4, 2) 7, 3) 2, 4) 8, 5 )3.
А28. Сетчатка глаза начинает реагировать на желтый свет с длиной
волны 600 нм при мощности падающего на нее излучения 1,98 • 10‘18Вт.
Сколько фотонов при этом падает на сетчатку каждую секунду?
1) 5 0 0 ,2 ) 3 0 0 0 ,3 ) 6 ,4 ) 100,5) 28. :
А29. Расстояние наилучшего зрения у человека равно 16,5 см. Этот
недостаток можно исправить с помощью очков, оптическая сила линз в
которых равна:
1) -2,65 дптр, 2) -2,05 дптр, 3) -2,40 дптр, 4) -2,25 дптр, 5) -3,00 дптр.
А30. Вторым продуктом ядерной реакции
+ а - ^ ^ О + X явля­
ется:
1) а-частица, 2) нейтрон, 3) протон, 4) электрон, 5) у-квант.
479
ЧАСТЬ В
В 1. До какой высоты h надо налить жидкости в цилиндрический со­
суд радиусом R=5 cm, чтобы силы давления жидкости на дно и боковую
поверхность сосуда были равны между собой?
В2. Удельная теплоемкость масла в три раза больше удельной тепло­
емкости стали. При закалке стальную деталь массой 0,2 кг опустили в
масло, взятое при 10° С в количестве 2 кг. Если при этом температура
масла поднялась до 35° С, то деталь была нагрета до ... (в °С). Потерями
тепла пренебречь.
ВЗ. Два источника с ЭДС е, = 8 В и е2 = 6 В и
внутренними сопротивлениями г { = 2 Ом и r2 = 1,5 Ом
и реостат сопротивлением R = 10 Ом соединены, как
показано на рис. 20.30. Определите силу тока, теку­
щего через реостат.
R
Рис. 20.30
В4. Свет с длиной волны 0,5 мкм падает нормально на дифракцион­
ную решетку. Если главный дифракционный максимум второго поряд­
ка наблюдается под углом 30°, то период дифракционной решетки ра­
вен .. (в мкм).
В5. Ядро урана 2Ц и претерпело ряд а- и (3-распадов. В результате
образовалось ядро свинца 21\РЬ . Определите число а-распадов.
ЧАСТЬ С
С 1.Внутри стеклянного куба находится воздушная призма. Нарисуйте
ход луча белого света, падающего на призму параллельно ее основанию.
С2.Тело массой 1кг брошено под углом к горизонту. За время полета
(от бросания до падения на Землю) модуль импульса тела изменился на
10кгм/с. Определите наибольшую высоту подъема тела.
480
СЗ. Пустой стальной цилиндр массой 200г и емкостью 250см3 плава­
ет на поверхности воды. На какой глубине его можно утопить, погружая
в воду вверх дном?
С4. Напряжение между анодом и катодом вакуумного диода U=250B,
анодный ток 1= 40 мА. Найдите среднее давление электронов на анод,
имеющий площадь S=20mm2.
С5. Спортсмен бежит со скоростью v=8 м/с на расстоянии б=200м от
фотоаппарата перпендикулярно к направлению съемки. Какую минималь­
ную выдержку должен обеспечить затвор фотоаппарата, чтобы смеще­
ние изображения на снимке не превышало h=0,1 мм? Фокусное рассто­
яние фотообъектива F=5cm.
Сб. Какую энергию W (в киловатт-часах) можно получить от деления
массы т = 1г урана 2Ц и , если при каждом акте распада выделяется
энергия Q = 200 МэВ?
481
ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Номера
заданий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
В1
В2
ВЗ
В4
В5
С2
СЗ
С4
С5
С6
482
НОМЕРА ТЕСТОВ
1
2
3
4
5
5
4
4
1
5
1
2
1
4
2
3
3
4
1
2
3
1
2
2
2
2
1
1
2
2
4
2
5
2
4
10
0,07
2450
Н/2
3
1,13
546
4
4F
4,42
3
3
1
2
2
3
3
3
3
4
1
2
4
1
5
4
1
4
1
3
3
3
1
3
4
2
1
1
1
2
10
5,16
0,16
0,5
3
2
2
4
3
4
5
1
1
1
5
3
2
2
4
3
3
4
1
4
3
2
4
2
5
3
1
1
3
2
7
4
6
3,9
0,1
96
188
-70
0,28
1,76
2
3
3
4
3
3
1
1
2
3
1
1
1
2
1
2
4
5
2
1
1
3
2
1
5
3
1
2
3
5
0,77
2,73
0,005
2
11,55
1,5
1,1
3,8
1,23
-0,79
2
2
5
3
4
1
2
5
3
2
3
1
5
3
1
3
4
3
5
2
1
1
2
4
2
1
5
3
2
3
0,05
785
0,63
2
8
1,25
4,4
0,1
0,05
2,28
0,25
8,7
0,36
563
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Окружающий нас мир материален. Человечеству всегда было присуще
стремление познать этот мир, представить его структуру, сформировать
законы его существования и развития. Наука о природе прошла длинный
путь от непосредственного ее созерцания к накоплению и обобщению
полученных знаний и воссозданию физической картины мира (ФКМ).
Физическая картина мира - это модель природы, определяющая весь
стиль физического мышления на данном историческом этапе развития
физики. В ее основе лежат представления о материи и ее атрибутах пространстве, времени, движении, причинности, взаимодействии и др.
Это не просто философские идеи, а элементы физического знания,
конкретизированные и выраженные на языке науки.
В 1687 г. появился труд И. Н ью тона «М атематические начала
натуральной философии», в котором были сформулированы основные
законы механики - науки о механическом движении и взаимодействии
материальны х тел. Законы Н ью тона легли в основу механической
картины мира (МКМ). Большой вклад в создание МКМ внесли ученые
древности: Демокрит, Эпикур, Гассенди, Кеплер, Галилей.
Согласно МКМ все тела состоят из абсолютно твердых частиц, которые
находятся в непрерывном движении в соответствии с законами механики.
В заи м о д ей ств и е м еж ду телами, о су щ еств л яется с пом ощ ью
гравитационных сил. Это взаимодействие протекает с бесконечно большой
скоростью, т.е. мгновенно (принцип дальнодействия). Материя является
мерой инерции и гравитации. Ньютон считал пространство и время
абсолютными. Пространство - ни от чего не зависящая бесконечная
протяженность в трех измерениях. Время - ни от чего не зависящая и
единая для всей Вселенной равномерная длительность.
МКМ господствовала в науке почти двести лет. В 1873 г. Максвелл
разработал теорию электромагнитного поля. На смену МКМ пришла
электродинамическая картина мира (ЭКМ). Ее создателями являются:
Д.К. Максвелл, А.М. Ампер, М. Фарадей, Х.А. Лоренц и др. Согласно
представлениям ЭКМ материя - универсальное физическое поле,
заполняющее все пространство. Теория Максвелла утверждала, что
взаимодействие осуществляется посредством электромагнитных полей
с конечной скоростью, равной скорости света в вакууме (принцип
близкодействия). ЭКМ с помощью электромагнитных полей объясняла
483
природу сил, действующих внутри атомов и молекул, из которых состоят
макроскопические тела.
Согласно теории относительности А.Эйнштейна пространство и время
связаны неразрывно, образуя единое четырехмерное пространство-время.
При наличии тяготеющих масс пространство искривляется, становится
неевклидовым.
Однако с помощью законов электродинамики объяснить все явления
окружающего мира не удалось. На смену ЭКМ пришла квантово-полевая
физическая картина мира. Создателями квантовой теории является целая
плеяда блестящих ученых XX века: М. Планк, Э. Резерфорд, Н. Бор,
А. Эйнштейн, Луи де Бройль, В. Гейзенберг, Э. Ш редингер, П. Дирак,
М. Борн, В. Паули, Э. Ферми, Л.Д. Ландау, Р. Фейнман и др.
Квантовая механика позволила понять структуру атомов и их спектры,
природу химической связи и объяснить периодическую систему элементов
Д .И . М ен д ел еев а. О тл и ч и тел ь н о й чертой этой тео р и и яв л яется
вер о ятн о стн ы й характер п ред сказан и й результатов изм ерени й и
дискретность значений физических величин.
По принципу корпускулярно-волнового дуализма материя дискретна
и непрерывна, т.е. может обладать либо корпускулярными, либо волновыми
свойствами. Важнейшей мерой движения материи является энергия,
которая эквивалентна массе.
Закон ы со х ран ен и я об язан ы свой ствам си м м етри и природы .
П р о с т р а н с т в о и врем я о д н о р о д н ы , п р о стр ан ств о - и зо тр о п н о .
Однородность пространства приводит к закону сохранения импульса,
однородность времени - к закону сохранения энергии, а изотропность
пространства - к закону сохранения момента импульса. Эти законы
соблюдаются в классической и квантовой физике.
В последн ие д есяти л ети я учены е проводили м ногочисленны е
исследования по оты сканию «истинно элементарны х» частиц. По
современным представлениям такими частицами могут быть кварки. Хотя
сущ ествование и свойства кварков подтверждены многочисленными
экспериментальными и теоретическими исследованиями, найти их не
удается.
Элементарные частицы взаимопревращаются друг в друга. Этому
превращению соответствуют четыре вида фундаментальных взаимодействий:
гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Фундаментальные
взаимодействия являются обменными, так как в процессе взаимодействия
частицы обмениваются квантами соответствующих полей.
484
В современной физике предпринимаются попытки создания теории,
которая о б ъ ед и н и л а бы поля, о п и сы ваю щ и е гр ав и тац и о н н о е,
электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия (суперобъединение).
Но эти попытки пока крайне далеки от завершения.
Чем ближе наука подходит'к общим физическим идеям и принципам,
тем стремительнее приближается к единой картине физической реальности.
Например, принцип причинности «работает» как в классическом, так и в
квантовом случае: состояние объекта в некоторый момент времени
однозначно п редопределяет его дальнейш ее состояние. Только в
классическом случае состояние объекта в начальный момент времени
определяется координатами и скоростью, а в квантовой механике - видом
волновой функции.
Каждая новая картина мира претендует на универсальность, но рано
или поздно опыт заставит изменить исторически ограниченное видение
мира. В силу этого любой закон или теория имеют границы применимости.
За этими границами согласно принципу соответствия «работает» другая
теория, не отрицающая предыдущую, а включающая ее как частный
случай.
Итак, с развитием естествознания, по мере накопления новых знаний
представления о материи и её атрибутах претерпевают существенные
изменения. Изменяется и физическая картина мира. Поскольку нет
пределов широте и глубине познания мира, то и процесс познания его
является бесконечным.
485
НИБЛИОГ'РАФИЧЕСКИ Й СПИСОК
1. Перышкин, А.В. Физика: учебник для 8 класса средней школы / А.В.
Перышкин, Н.А. Родина - М.: Просвещение, 1993.192 с.
2. Кикоин, И. К. Физика: учебник для 9 класса средней школы / И. К. Кико­
ин, А.К. Кикоин -М .: Просвещение, 1994.192 с.
3. Мякишев, Г.Я. Физика: учебник для 10 класса средней школы / Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев - М.: Просвещение, 1990.224 с.
4. Мякишев Г.Я. Физика: Учебник для 11 класса средней школы /
Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев -М .: Просвещение, 1993.256 с.
5.Ландсберг, Г.С. Элементарный учебник физики. Т. I. Механика. Тепло­
та. Молекулярная физика /Г. С. Ландсберг - М.: Наука, 1966.576 с.
6. Ландсберг, Г.С. Элементарный учебник физики. Т. 2. Электричество и
магнетизм/Г. С. Ландсберг - М.: Наука, 1967.472 с.
7. Ландсберг, Г.С. Элементарный учебник физики. Т. 3. Колебания, вол­
ны. Оптика. Строение атома/Г.С. Ландсберг -М .: Наука, 1966. 532 с.
8. Гольдфарб, Н.И. Сборник вопросов и задач по физике / Н.И. Гольдфарб
-М .: Высшая школа, 1983.352 с.
9. Зубов, В. Г. Задачи по физике: пособие для самообразования /
В.Г. Зубов, В.П. Шальное - М.: Наука, 1985.255 с.
10. Рымкевич, А.П. Сборник задач по физике / А. П. Рымкевич,
П.А. Рымкевич -М .: Просвещение, 1984. 192с.
11. Сборник вопросов и задач по физике / П.А.Знаменский [и др.] - М.:
Учпедгиз, 1958.192 с.
12. Рогачев, Н.М. Задачи по физике для поступающих в вуз / Н.М. Рога­
чев - Самара: СГАУ, 1996.60 с.
13. Рогачев, Н.М. Курс физики: учеб. пособие / Н.М. Рогачев - СПб.:
Лань, 2008.448 с.
14. Решения задач по курсу общей физики: учеб. пособие./ под ред.
Н.М.Рогачева. - СПб: Лань, 2008. 304 с.
15. Федосов, А. И. Задания по физике для слушателей подготовительных
отделений и курсов /А. И. Федосов - Куйбышев: КуАИ, 1983.49 с.
16. Власова, К. Н. Практические задания по теме «Постоянный ток» I КН.
Власова, Г.И. Карханина, Л.А. К рю кова-Куйбышев: КуАИ,1986.32 с.
17. Механика. Молекулярная физика. Основы термодинамики: пособие
по физике для поступающих в СГАУ /С. И. Андриянова, Г.И. Карханина, Н.М.
Рогачев [и др.] - Самара: СГАУ, 1995.124 с.
18. Основы электродинамики. Колебания и волны. Оптика. Элементы тео­
рии относительности. Квантовая физика: пособие по физике для поступаю­
щих в СГАУ /С. И. Андриянова, Г.И. Карханина, Н.М. Рогачев [и др.] - Сама­
ра: СГАУ, 1994. 128 с.
19. Физика в кратком изложении: пособие для поступающих в СГАУ/
Н. М. Рогачев, С. И. Андриянова, Г. И. Карханина[н др.] / под ред. А.И. Федо­
сова, Н. М. Рогачева. -С ам ара: СГАУ, 1996.182 с.
486
Приложение 1
М Е Ж Д У Н А Р О Д Н А Я С И С Т Е М А Е Д И Н И Ц (С И )
Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных
единиц.
Основными называются единицы нескольких разнородных физичес­
ких величин, произвольно выбранных при построении системы. В СИ
основными единицами являются: единицы длины — метр (м ); массы —
килограмм (кг); времени — секунда (с); силы электрического тока —
ампер (А), термодинамической температуры — кельвин (К), количества
вещества — моль (моль); силы света — кандела (кд).
Метр — единица длины, равная расстоянию, проходимому в ваку­
уме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 доли секунды.
Килограмм — единица массы, равная массе международного прото­
типа килограмма.
Секунда — единица времени, равна 9192631770 периодам излуче­
ния, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями
основного состояния атома цезия-133.
Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум
параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и нич­
тожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным
на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызвал бы между этими
проводниками силу, равную 2 10 '7 Н на каждый метр длины.
Кельвин — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16
термодинамической температуры тройной точки воды.
Моль — единица количества вещества, равная количеству вещества
системы, в которой содержится столько же структурных элементов (ато­
мов, молекул, ионов, электронов и других частиц), сколько содержится
атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.
Кандела — единица силы света, равная силе света в данном направ­
лении от источника, испускающего монохроматическое излучение час­
тоты 540 1012 Гц, сила излучения которого в этом направлении состав­
ляет 1/683 Вт/ср.
В СИ, кроме основных, введены две дополнительные единицы —
радиан (рад) и стерадиан (ср).
487
Радиан — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги
между которыми равна радиусу.
Стерадиан — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезаю­
щей на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со сто­
роной, по длине равной радиусу этой сферы.
Производными называются единицы, устанавливаемые через дру­
гие единицы данной системы на основании физических законов, выра­
жающих взаимосвязь между соответствующими физическими вели­
чинами.
На примере единицы скорости рассмотрим схему введения опреде­
ления производной единицы измерения. При определении производной
единицы договариваются о выборе определенной формулы и названии
единицы. Для равномерного прямолинейного движения значение скоро­
сти может быть определено как отношение пути AS ко времени At (см.
формулу (1.3)):
v = AS / At.
Положив в данном уравнении AS = 1 м, At = 1 с, получим единицу
скорости метр в секунду:
[v] = 1 м / 1с = 1 м/с.
Запишем это в виде выражения:
Читая его справа налево и заменив слово равно словом это, легко
сформулировать словесное определение: 1 м/с — это скорость равно­
мерного прямолинейного движения, в котором материальная точка за
1 с проходит путь в 1 м.
Размерностью физической величины называется выражение, харак­
теризующее связь данной физической величины с основными величина­
ми системы единиц. Правило размерности гласит: размерности обеих
частей уравнений, выражающих физические законы, должны быть оди­
наковы.
Правило размерностей используется для проверки правильности по­
лученных или записанных уравнений.
488
Приложение 2
И ЗМ ЕРЕН И Е Ф И ЗИ Ч ЕС К И Х ВЕЛ И Ч И Н
Измерение - это сравнение измеряемой величины с однородной вели­
чиной, принятой за единицу. Общее уравнение измерений имеет вид
х=кх*,
где х - измеряемая величина, х* - единица величины х, к - число единиц.
Полученное при измерении значение физической величины отличается
от истинного значения из-за действия множества факторов. Разность ре­
зультата измерения и истинного значения измеряемой величины называет­
ся погрешностью измерения.
Различают два типа измерений: прямые и косвенные. При прямых изме­
рениях искомое значение величины получают непосредственно из опыта.
Например, измерение температуры термометром, силы тока - ампермет­
ром и т.д.
Измерения, при которых значения физических величин определя­
ются на основании результатов прямых измерений других физических
величин, функционально связанных с искомой, называются косвенными.
Например, плотность твердого тела можно установить по величинам его
массы, измеренной взвешиванием на весах, и объема тела, определенного
с помощью мензурки.
При многократных измерениях за истинное значение измеренной вели­
чины принимают среднее арифметическое экспериментальных данных, из
которых исключены погрешности, свойственные средствам измерений. Точ­
ность измерения определяется наименьшим делением шкалы средства из­
мерения.
Длину тела измеряют линейкой, рулеткой, штангенциркулем, микромет­
ром и т.д. Наиболее точные измерения длины осуществляются оптически­
ми методами, основанными на явлении интерференции.
Объем тел правильной формы (куб, параллелепипед, диск, шар, цилиндр)
определяют, применяя соответствующие формулы, измерив длину их ре­
бер, диаметров, высот, толщин и т. д. При помощи мензурки можно изме­
рить объем небольшого твердого тела любой формы.
Основной прибор для измерения времени - это часы. При помощи ча­
сов с секундной стрелкой можно измерить промежутки времени с точнос489
тью до одной секунды. Время измеряют также секундомерами. Наиболее
точное измерение времени осуществляется электронными приборами.
Массу тела определяют на рычажных или аналитических весах мето­
дом сравнения с массой других тел.
Силу можно измерить динамометром. Динамометр состоит из пру­
жины и шкалы отсчета. При воздействии силы пружина динамометра удли­
няется и по шкале прибора отсчитывается величина силы.
Для измерения температуры пользуются изменением какой-либо мак­
роскопической величины (объема, давления, электрического сопротивле­
ния и т.д.) от температуры. На практике чаще применяются жидкостные
термометры. Длина столбика жидкости (ртути, спирта, толуола и т. д.) слу­
жит мерой температуры. Интервал измерений ограничен температурами
кипения и замерзания жидкости.
Термометры всегда показывают собственную температуру. Только че­
рез определенное время эта температура становится равной температуре
среды,т.е. термометрам свойственна инерционность.
Металлические термометры представляют собой биметаллическую пла­
стинку, сваренную из полосок двух различных металлов. Вследствие разни­
цы в тепловом расширении металлов пластинка при нагревании изгибает­
ся. Из длинной пластинки делают спираль, наружный конец которой зак­
репляют, а к внутреннему прикрепляют стрелку, показывающую соответ­
ствующую температуру. Более точное измерение температуры осуществ­
ляется термопарами. Термопары имеют два спая разнородных металли­
ческих проволочек. Когда спаи находятся при разных температурах, то в
цепи термопары возникает термоэлектродвижущая сила, по величине ко­
торой определяется температура.
Для измерения относительной влажности воздуха пользуются волос­
ным гигрометром, действие которого основано на свойстве обезжиренного
человеческого волоса удлиняться при увеличении влажности. Более точные
измерения относительной влажности воздуха осуществляются психрометра­
ми. Психрометр состоит из двух одинаковых термометров. У одного термо­
метра стеклянный шарик с ртутью окружен полоской ткани, конец которой
опущен в воду. Вода, испаряясь, охлаждает этот термометр и он показы­
вает более низкую температуру, чем сухой термометр. По разности
показаний термометров с помощью психрометрических таблиц определя­
ется относительная влажность воздуха. Если разность температур равна
нулю (вода не испаряется),то относительная влажность воздуха равна 100%.
490
Точку росы определяют конденсационным гигрометром, действие ко­
торого основано на испарении эфира, помещенного в металлическую ко­
робочку. По термометру, установленному в коробочке, при продувании
через нее воздуха замечают температуру, при которой появляются капель­
ки росы на стенке прибора. Замеренная температура является точкой росы.
Это наиболее точный способ измерения относительной влажности.
Для определения плотности твердого тела часто используются гидро­
статические весы, которые позволяют взвешивать тело как в воздухе, так и в
жидкости. Плотность тела d рассчитывается по формуле
d = d*/( 1 - Р*/Р),
где d* - плотность жидкости, в которой взвешивается тело, Р - вес тела в
воздухе, Р *- вес тела в жидкости, измеренный при полном погружении тела
в жидкость.
С помощью гидростатических весов можно определить плотность неиз­
вестной жидкости d. Для этого используется другая жидкость с известной
плотностью d* и твердое тело:
d = d * (P -P 1)/(P -P 2),
где Р - вес твердого тела в воздухе, Р , - вес твердого тела в жидкости, плотность
которой определяется, Р2 - вес твердого тела в жидкости с плотностью d*.
Измерения следует проводить при полном погружении тела в жидкость.
Плотность газов можно определить, используя уравнение МенделееваКлапейрона (6.121), по измеренным величинам давления и температуры,
если известна молярная масса газа.
Измерение силы тока и напряжения в электрической цепи проводится
с помощью электроизмерительных приборов, в которых используется раз­
личное действие электрического тока. Приборы электромагнитной систе­
мы (рис. П. 1) содержат вращающуюся на оси стальную пластинку 3 и
жестко закрепленную катушку 2. При пропускании электрического тока по
катушке образуется магнитное поле, втягивающее пластинку в катушку.
Рис. П. 1
Рис. П. 2
491
В приборах магнитоэлектрической системы (рис. П. 2) в поле постоян­
ного магнита 3 расположена катушка 2, вращающаяся вокруг своей оси.
Упругие элементы 1 создают противодействующий момент. Если по катуш­
ке пропустить ток, то в результате взаимодействия магнитного поля катуш­
ки с полем магнита возникает вращающий момент и катушка поворачива­
ется на угол, пропорциональный току. Сила тока измеряется амперметром.
Амперметр включается в электрическую цепь последовательно с нагруз­
кой и весь измеряемый ток протекает через прибор. Чтобы амперметр не
изменял напряжение на нагрузке, его внутреннее сопротивление должно
быть как можно меньше. Для увеличения диапазона измерений параллель­
но амперметру включают шунтирующее сопротивление.
Напряжение в электрической цепи измеряется вольтметром, который
включается параллельно нагрузке. Внутреннее сопротивление вольтметра
должно быть большим, чтобы ток через прибор не приводил к заметному
увеличению полного тока в цепи. Для увеличения диапазана измерений
напряжения последовательно с вольтметром включается дополнительное
сопротивление.
Показатель преломления среды можно определить, измеряя углы паде­
ния / и преломления луча г на границе раздела двух сред. При падении
света из вакуума на границу со средой измеряется абсолютный показатель
преломления среды:
n = sin i / sin г = с /v,
где с, v - скорости света в вакууме и среде соответственно.
Фокусное расстояние линзы можно определить, воспользовавшись фор­
мулой тонкой линзы (15.12). Для этого измеряют расстояния d и f, переме­
щая линзу на оптической скамье и добиваясь резкого изображения светя­
щейся точки. При измерениях необходимо использовать диафрагмы,
чтобы отсечь периферийные лучи.
Фокусное расстояние линзы F зависит от материала линзы и кривизны
образующих ее поверхностей. Если известны радиусы кривизны и показа­
тели преломления материала линзы и среды, то фокусное расстояние мож­
но рассчитать по формуле (5.13).
Длина световой волны X определяется с помощью дифракционной ре­
шетки (рис. П. 3). На рисунке введены обозначения: S - источник света,
Ф - светофильтр, Д.р. - дифракционная решетка, L - собирающая линза,
Э - экран. Измерив угол дифракции ф, определяющий положение максиму492
мов данного порядка к, зная период дифракционной решетки d, по форму­
ле (5.1 8) рассчитывают длину световой волны.
Д-р.
Рис. П. 3
Из-за действия многих факторов результат отдельного измерения
отличается от истинного значения измеряемой величины. Разность между
истинным значением измеряемой величины и результатом измерения
называется погрешностью измерения. Погрешности измерений связаны с
несовершенством измерительных приборов, с ограничением возможности
органов зрения человека, действием вибраций и другими факторами.
При измерениях физических величин с помощью приборов наблюдаются
инструментальные (приборные) погрешности. Значения этих погрешностей
приводятся в технических паспортах на средства измерения. Большинство
приборов характеризуются классом точности прибора:
Лх
у = —
100% ,
Хп
где Ах - предельно допустимая погрешность, определяемая при нормальных
внешних условиях, хп- нормирующее значение (верхний предел измерений).
Зная класс точности прибора и предел измерений, можно рассчитать
абсолютную погрешность А х .
Задачей экспериментатора является не только измерение физической
величины, но и определение погрешностей измерения.
Приложение 3
Т А Б Л И Ц Ы Ф И ЗИ Ч Е С К И Х В Е Л И Ч И Н
1. Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц
Наименование
Множитель
экса
гета
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
санти
101S
1013
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
ю '2
109
106
10J
ю2
10
10'1
10'2
10'’
10'6
10'9
Ю'12
10'1S
,0-18
Русское обозначение
Э
п
т
г
м
Международное
обозначение
Е
Р
Т
G
М
к
к
г
да
д
с
h
da
м
мк
н
п
ф
а
d
с
m
А
n
Р
f
а
2. Фундаментальные физические константы
Ускорение свободного падения
Постоянная Авогадро
g —9,81 м/с;
Na = 6,0221367-1023 моль'1
Атомная единица массы 1 а. е. м.
1 а. е. м. = 1,6605402-10'27 кг
Постоянная Фарадея
F = 96485,309 Кл/моль
Универсальная газовая
постоянная
R = 8,314510 Дж/(моль- К)
Постоянная Больцмана
к = 1,380658- 10'23 Дж/К
Молярный объём идеального
газа при нормальных условиях
Vm = 22,414- Ю'3 м3/моль
Постоянная Лошмидта N a/V m
по = 2,686763- 1025 м"3
494
Нормальное атмосферное давление
Ро = 1,013 ' 10-'’ Па
Скорость света в вакууме
|
с = 299 792 458 м/с
Магнитная постоянная
ir
ро = 4л: 10'7 Гн/м
V
Электрическая постоянная
ео = 8,854187817- 10'12Ф/м
Гравитационная постоянная
G = 6,67259-10 й м3/(кг-с2)
Постоянная Планка
h = 6,6260755- 10'34 Дж- с
Элементарный заряд
е = 1,60217733- КГ19 Кл
Масса покоя электрона
ше = 9ДА10'31 кг
МасСа покоя протона
шр = 1,6726231- 10'27 кг
Масса покоя нейтрона
т „ = 1,6749286- КГ27 кг
Масса покоя дейтрона
md = 3,3435860- 10'27 кг
3. Некоторые данные о планетах Солнечной системы
~^~^П ланеты
Данные
Среднее расстояние
от Солнца, млн. км
Период обращения
вокруг Солнца,
земной год
Экваториальный
диаметр, км
Меркупи й
57,91
Венера
Земля
Марс
Юпитер Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
108,21
149,59
227,94
778,3
1 429,3
2 875,03 4 504,4
5900
0.24
0,62
1,0
-
1,88
11,86
29,46
84,02
164,8
249,7
4 840
12400
12742
6780
139760
115 100 51 000
50 000
—
4. Астрономические постоянные
Радиус Земли
Средняя плотность Земли
Масса Земли
Радиус Солнца
Масса Солнца
Радиус Луны
Масса Луны
Среднее расстояние до Луны
Среднее расстояние до Солнца
Период обращения Луны вокруг Земли
6,378164 - 106 м
5,518- 103кг/м3
5,976 - 1024кг
6,9599 • 108м
1,989 ■ 1030кг
1,737- 106м
7,35 • 1022кг
3,844 • 108м
1,49598 • 10" м
27 сут 7 ч 43 мин
495
5. Диаметры атомов и молекул, нм
Гелий
Водород
0,30
0,30
Кислород
Азот
0,20
0,23
6. Критические значения Тк и рк
Вещество
Водяной пар
У глекислый газ
Кислород
Аргон
Тк,
К
647
304
154
151
Р к,
М Па
22,0
7,38
5,07
4,87
Вещ ество
Азот
Водород
Гелий
Тк,
К
126
33
5,2
Рк',
М Па
3,4
1,3
0,23
7. Давление водяного пара, насыщающего пространство при разных
температурах
t, °С
Рн:,Па
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
400
609
656
704
757
811
870
932
1025
t, °С
р„-,Па
8
9
10
12
14
16
20
25
30
1070
1145
1225
1396
1596
1809
2328
3165
4229
t, °С
40
50
60
70
80
90
100
рн-,Па
7335
12302
19817
31122
47215
69958
101080
8. Удельная теплота парообразования воды при разных температурах
t, °С
г, М Дж/кг
496
0
50
100
200
2,49
2,38
2,26
1,94
9. Свойства некоторых жидкостей (при 20°С)
Удельная
теплоёмкость,
Плотность,
103 кг/м3
Вещество
Дж/(кг • К)
1720
4190
2430
1800
2140
138
2510
0,88
1,00
1,20
0,90
0,80
13,60
0,79
Бензол
Вода
Глицерин
Касторовое
масло
Керосин
Ртуть
Поверхно­
стное
натяжение,
Н/м
0,03
0,073
0,064
0,035
0,03
0,5
0,02
10. Свойства некоторых твёрдых тел
Вещество
Алюминий
Железо
Латунь
Лёд
Медь
Олово
Платина
Пробка
Свинец
Серебро
Сталь
Цинк
Плот­
ность,
103
кг/м’
2,6
7,9
8,4
0,9
8,6
7,2
21,4
0,2
п ,з
10,5
7,7
7,0
Темпе­
ратура
плавле­
ния, °С
Удельная
теплоём­
кость,
Дж/(кг- К)
896
500
386
2100
395
230
117
2050
126
234
460
391
659
1530
900
0
1100
232
1770
327
960
1300
420
Удельная
теплота
плавле­
ния,
кДж/кг
322
272
335
176
58,6
113
22,6
88
117
Температурный
коэффициент
линейного
расширения,
10'5К'1
2,3
1,2
1,9
1,6
2,7
0,89
2,9
1,9
1,06
2,9
11. Упругие свойства некоторых твёрдых тел
Вещество
Алюминий
Железо
Медь
Свинец
Серебро
Сталь
Предел прочности, МПа
Модуль Юнга, ГПа
110
294
245
20
290
785
69
196
118
15,7
74
216
497
12. Теплопроводность некоторых твёрдых тел, Вт/(м •К)
Алюминий
Войлок
Железо
Кварц
Медь
210
0,046
58,7
1,37
390
Песок сухой
Пробка
Серебро
Эбонит
0,325
0,050
460
0,174
13. Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ
Воск
Вода
Керосин
Масло
7,8
81
2
5
Парафин
Слюда
Стекло
Фарфор
2
6
6
6
Эбонит
2,6
Парафинированная 2
бумага
14. Удельное сопротивление проводников (при 0°С), мкОм • м
Алюминий
Графит
Железо
Медь
0,025
0,039
0,087
0,017
15. Подвижности ионов в
электролитах, 10~8 м2/(В • с)
6,4
NO'3
Н+
32,6
к+
6,7
СГ
6,8
5,6
Ag+
Нихром
Ртуть
Свинец
Сталь
100
0,94
0,22
0,10
16. Работа выхода
электронов из металла, эВ
W
4,5
4,74
Ag
W + Cs
1,6
Li
2,4
W + Th
2,63
Na
2,3
Pt + Cs
1,40
К
2,0
Pt
5,3
Cs
1,9
17. Показатель преломления
Алмаз
Вода
Лёд
<98
2,42
1,33
1,31
Сероуглерод
Скипидар
Стекло
1,63
1,48
1,5-1,9
18. Масса некоторых нуклидов, а. е. м.
Масса
Нуклид
Масса
Нуклид
Масса
Нуклид
ЗОо
29,97377
;н
1,00783
jB e
9,01218
>н
2,01410
“в
10,01294
го
Са
39,96257
3,01605
1б42С
12,0
27 Со
55,93984
jHe
3,01603
12N
13,00574
29
“ СиU
62,92960
jHe
4,00260
12N
14,00307
«C d
111,90276
з Li
6,01512
178о
16,99913
™Hg
199,96832
“ Mg
22,99413
235 и
92 и
235,04393
“ Mg
23,98504
238
92 и
и
238,05353
1зA1
26,98154
7,01600
’ Li
I Be
7,01693
*Be
8,00531
14
19. Период полураспада некоторых радиоактивных нуклидов
го С а
164 сут.
90Sr
28 лет
38
м°Ро
“ Rn
138 сут.
“ Ra
1590 лет
2^и
«и
7,1 • 108 лет
4,5 • 109 лет
3,82 сут.
499
20. Названия, символы и атомные массы химических элементов
1 Водород
2 Гелий
3 Литий
4 Бериллий
5 Бор
6 Углерод
7 Азот
8 Кислород
9 Ф тор
10 Неон
11 Натрий
12 М агний
13 А люминий
14 Кремний
15 Ф осфор
16 Сера
17 Хлор
18 Аргон
19 Калий
20 Кальций
21 Скандий
22 Титан
23 Ванадий
24 Хром
25 М арганец
26 Ж елезо
27 Кобальт
28 Никель
29 М едь
30 Цинк
31 Галлий
32 Германий
33 М ыш ьяк
34 Селен
35 Бром
36 Криптон
37 Рубидий
38 Стронций
39 Иттрий
40 Цирконий
41 Ниобий
42 М олибден
43 Технеций
44 Рутений
45 Родий
46 Палладий
47 С еребро
48 Кадмий
49 Индий
50 Олово
51 С урьма
52 Теллур
53 Иод
500
Н
Не
Li
Be
В
С
N
0
F
Ne
Na
Mg
A1
Si
P
S
Cl
Ar
К
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
Rb
Sr
Y
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
Rh
Pd
Ag
Cd
In
Sn
Sb
Те
I
1,0079
4,00260
6,941
9,01218
10,81
12,011
14,0067
15,9994
18,998403
20,179
22,98977
24,305
26,98154
28,0855
30,97376
32,06
35,453
39,948
39,0983
40,08
44,9559
47,90
50,9415
51,996
54,9380
55,847
58,9332
58,71
63,546
65,38
69,735
72,59
74,9216
78,96
79,904
83,80
85,467
87,62
88,9059
91,22
92,9064
95,94
98,9062
101,07
102,9055
106,4
107,868
112,41
114,82
118,69
121,75
127,60
126,9045
54 Ксенон
55 Цезий
56 Барий
57 Лантан
58 Церий
59 П разеодим
60 Н еодим
61 Прометий
62 Самарий
63 Европий
64 Гадолиний
65 Тербий
66 Диспрозий
67 Гольмий
68 Эрбий
69 Тулий
70 Иттербий
71 Лю теций
72 Гафний
73 Тантал
74 Вольфрам
75 Рений
76 Осмий
77 Иридий
78 Платина
79 Золото
80 Ртуть
81 Таллий
82 С винец
83 Висмут
84 Полоний
85 А стат
86 Радон
87 Франции
88 Радий
89 А ктиний
90 Торий
91 П ротактиний
92 Уран
93 Нептуний
94 Плутоний
95 Америций
96 Кюрий
97 Берклий
98 Калифорний
99 Эйнштейний
100 Ф ермий
101 М енделевий
102 (Нобелий)
103 (Лоуренсий)
104 Курчатовой
Хе
Cs
Ва
La
Се
Рг
Nd
Pm
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb
Lu
Hf
Та
W
Re
Os
Ir
Pt
An
Hg
Tl
-Pb
Bi
Po
A t.
Rn
Fr
Ra
Ac
Th
Pa
U
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
(No)
(Lr)
Ku
131,30
132,9054
137,33
138,9055
140,12
140,9077
144,24
145
150,4
151,96
157,25
158,9254
162,50
164,9304
167,26
168,9342
173,04
174,967
178,49
180,947
183,85
186,207
190,2
192,22
195,09
196,9665
200,59
204,37
207,2
208,9804
209
210
222
223
226.D 254
227
231,0381
231,0359
238,029
237,0482
244
243
247
247
251
254
257
258
259
260
260
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная влажность 167
Абсолютный нуль температур 145
Абсолютный показатель
преломления 341
Автоколебания 299
Адиабатный процесс 159
Адроны 440
Активность 430
Альфа-распад 428
Ампер, единица силы тока 279
Амплитуда колебаний 296,316
Аморфное тело 164,171
Анализатор 389
Анизотропия 171
Аннигиляция 43 8
Антивещество 441
Антинейтрино 429
Античастицы 438
Атомная единица массы 426
Барионы 440
Барометр 122
Беккерель, единица активности 430
База 253
Бета-распад 429
Ближний порядок 147
Близорукость 354
Броуновское движение 146
Вакуум 245
Ватт 233
Вебер 283
Величина векторная 7
- скалярная 7
Вес тела 69
Вечный двигатель 158
Вектор индукции магнитной 273
Вектор напряженности поля
электростатического 205
- плотности тока 229
- скорости 9
-ускорения 13
Взаимодействие атомов
и молекул 147
- гравитационное 438
- сильное 426
-слабое 438
-тел 64
- электромагнитное 438
Вибратор Герца 324
Виды равновесия 48
Влажность 167
Внутренняя энергия 155
Волна де Бройля 410
-звуковая 301
- когерентная 379
Волна монохроматическая 383
- продольная 299
- стоячая 300
- электромагнитная 323
Вольт 209
Вращательное движение 5
Время собственное 298
-экспозиции 353
- однородное 6
Вынужденные колебания 298
Высота звука 302
Гагарин Ю. А. 92
Газ идеальный 149
Галилей Галилео 15
Газовый разряд 243
Гамма-излучение 429
Генератор квантовый 423
Генри 285
Герц, единица частоты 18
Г идравлический пресс 118
Гидростатический напор 138
Гидродинамический напор 138
Гипотеза де Бройля 410
-Планка 407
Гистерезис магнитный 282
Глаз 353
Гравитация 67
Гравитационная постоянная 67
Гравитоны 440
Граница фотоэффекта красная 409
Грей, единица дозы излучения 435
Громкость звука 301
Гук 65
Давление 118
- атмосферное 122
-гидростатическое 120
- идеального газа 150
-парциальное 167
-света415
Дальнозоркость 368
Дальний порядок 147
Двигатель тепловой 162
Движение механическое 5
-броуновское 146
- колебательное 293
- равномерное прямолинейное 9
- - по окружности 17
-равнопеременное 13
-тепловое 146
Дефект масс 427
Деформация 65,172
- упругая 65
Джоуль 93
Диаграмма растяжения 173
Диамагнетики 281
Динамика 62
- релятивистская 401
Диод вакуумный 246
Диод полупроводниковый 251
Диоптрия 346
Диполь электрический 212
Дисперсия света 390
Диссипативные силы 96
Дифракция света 385
-электронов 410
Диффузия 146
Диэлектрики 212
- дипольные полярные 212
- дипольные неполярные 212
502
Диэлектрическая
проницаемость 213
Длина волны 300,325
--д е Бройля410
- пути оптическая 379
- тела собственная 398
Добавочное давление 170
Доза облучения 435
Дозиметрия 435
Домены 281
Дуализм квантово-волновой 410
Единицы физических величин 487
- основные 487
- производные 488
Жесткость 65
Жидкость, свойства 168
Жуковский Н.Е. 139
Закон Авогадро 148
-Ампера 273
- Бойля-Мариотта 153
- взаимосвязи массы и энергии 399
-Вина 407
- всемирного тяготения 67
- Гей-Люссака 154
-Гука 65
- Джоуля-Ленца 233
- инерции 62
- кинематический 9
-Кирхгофа 406
-Клапейрона 151
- Кулона 205
- Ленца 284
- Ньютона первый 62
- - второй 63
- - третий 64
-Ома 230
- - для цепи переменного тока 319
- Паскаля 118
- прямолинейного
распространения света 340
- радиоактивного распада 430
Закон сложения скоростей 12
- релятивистский 399
- смещения Вина 407
- сообщающихся сосудов 121
- сохранения заряда 204
- - импульса 89
Закон сохранения массы 136
- - и превращения энергии 96
- Стефана-Больцмана 407
- отражения света 341
- преломления света 341
- термодинамики первый 158
- - второй 159
- Фарадея для электролиза 242
- электромагнитной индукции 284
-Шарля 155
Законы фотоэффекта 409
Замедление хода часов 398
Запас прочности 173
Заряд электрический связанный 212
--сторонний 212
- - точечный 204
- - элементарный 204
- частицы удельный 277
- ядра атома 420
Заряды индуцированные 284
Зеркало плоское 345
Золотое правило механики 99,119
Зона валентная 248
- запрещенная 248
- проводимости 248
Зона разрешенная 248
Идеальный газ 149
Излучение индуцированное 424
- инфракрасное 404
- радиоактивное 428
- рентгеновское 391
- тепловое 404
Изобара 154
Изобарный процесс 154
Изотерма 154
Изотермический процесс 153
Изотропность пространства 6
Изохора 155
Изохорный процесс 155
Импульс силы, тела 89
-фотона 408
Индуктивность 289
Индукция магнитного поля 272
- электромагнитная 284
Инертность 62
Инерциальные системы отсчета 62
Интенсивность волны 302
Интерференция света 378
Интерферометры 384
Ионизация газа 243
Испарение 165
Источник ЭДС 234
Камера Вильсона 434
Кандела338
Капиллярность 169
Карно С. 162
Квант энергии 407
Кварки 440
Кельвин 145
Килограмм 63
Киловатт-час 233
Кинематика 5
Кинетическая энергия 94
Кипение 166
Клаузиус Р. 160
Когерентность 379
Колебания гармонические
свободные 293
- - вынужденные 298,316
- электромагнитные 314
- груза на пружине 295
Количество вещества 148
-движения 89
-теплоты 155
Коллектор 253
Конденсатор 214
Конденсация 165
Контур колебательный 314
503
Королев С.П. 92
Корпускулярно-волновой
дуализм 410
Коэффициент жесткости 65
- поглощения 405
Коэффициент полезного действия
источника ЭДС 236
- упругости 65
- теплового расширения 174
- трансформации 322
- трения 66
КПД механизма 99
-цикла Карно 162
Красная граница фотоэффекта 409
Кристаллы 171
Крутовой процесс 161
Купон 204
Лазеры 423
Лебедев П. 411
Лептоны 440
Линзы 345
Линейное увеличение линз 351
Линия вектора напряженности поля
электрического 205
- - индукции магнитной 272
Лучеиспускательная .
способность 405
Лучи рентгеновские 391
- световые 340
Лучи альфа-,бета-,гамма 428
Люминесценция 423
Магнетик 281
Магнитный момент 273
Магнитное взаимодействие
токов 278
Магнитная проницаемость 280
Майкельсон384
Максвелл Д. 323
Максимум дифракционный 386
- интерференционный 380
Манометр 122
504
Масса критическая 432
Масса молекул 148
-молярная 148
- покоя 399
- релятивистская 399
-тела 63
- ядра атома 418
Масс-спектрограф 278
Материальная точка 5
Маятник математический 295
Метр 7
Мениск 171
Механика 5
Миллиметр ртутного столба 122
Модели атома 417
Модель идеального газа 149
Модуль Юнга 173
- вектора 7
Модуляция 326
Молекулярно-кинетическая
теория 144
Молекулярное давление 169
Моль 148
Момент силы 46
Монокристаллы 171
Мощность 93
- тока постоянного 233
--переменного 319
Наклонная плоскость 98
Напряжение механическое 65,173
Напряжение электрическое 235
Напряженность электрического
поля 205
- поля точечного заряда 206
Натяжение поверхностное 169
Начало термодинамики первое 158
--второе 159
Невесомость 69
Необратимость тепловых
процессов 161
Нейтрино 429
Нейтрон 425
Плоскость поляризации 389
Плотность тока 229
I - вещества 63
Плотность энергии
объемная 216,286
Обратимый процесс 161
Поверхностное натяжение 169
Обратимость луча 341
Поверхность эквипотенциальная 212
Однородное пространство 6
Показатель преломления 341
- время 6
Поле вихревое 323
- поле 206
; - магнитное 272
Ом Г. 230
- однородное 206
Ом, единица сопротивления 230
- электрическое 205
Оптика 338
- электромагнитное 323
- геометрическая 338
- потенциальное 208
-волновая 378
Поликристалл 172
- просветленная 385
Полупроводники 247
Опыт Резерфорда 417
Поляризация света 388
Опыт Штерна 153
-диэлектрика 212
Опыты Девиссона и Джермера 410
Последовательное соединение
Освещенность 339
пружин 65
Освоение космоса 92
Порядок интерференционного
Основное уравнение МКТ 149
максимума и минимума 3820
Основные величины 455
Постоянная Авогадро 148
Ось вращения 5
-Больцмана 152
- оптическая 346
- гравитационная 67
Оптическая сила линзы 346
магнитная 281
Относительная диэлектрическая про­
молярная газовая 151
ницаемость 213
-Планка
407
- магнитная проницаемость 280
- распада радиоактивного 429
-влажность 167
Постоянная решетки
Относительное удлинение 398
дифракционной 386
Отвердевание 164
-Ридберга419
Очки 354
- Стефана-Больцмана 407
- электрическая 205
Парамагнетики 281
Постулаты Бора 420
Период колебаний 294,316
Постулаты Эйнштейна 397
- обращения 18
Поступательное движение 5
- дифракционной решетки 386
- переменного тока 316
Потенциал поля 207
- - электростатического 209
- полураспада 430
Плазма244
Потенциальная сила 208
ПланкМ.410
- энергия 94
Плечо силы 46
- - системы зарядов 209
Нуклоны 425
Нуль Кельвина 145
Ньютон И. 62
Ньютон, единица силы 64
Поток магнитный 283
-световой 339
Правила буравчика 273
-Кирхгофа 23 7
- руки левой 273
- Ленца 284
Правило параллелограмма 7
- треугольника 7
Предел прочности 173
Предельный угол полного
отражения 342
Преобразования Лоренца 397
Принцип постоянства скорости
света 397
- суперпозиции полей 206
- относительности Галилея 64
- - Эйнштейна 397
Проводник 211
Проводимость металлов 228
- полупроводника248
- - дырочная 249
- - собственная 248
Проводимость примесная 250
- электронная 248
Пространство однородное,
изотропное 6
Просветление оптики 385
Простые механизмы 98
Протон 425
Процесс адиабатный 159
- изобарный 154
-изохорный 155
- изотермический 153
- круговой (цикл) 161
-термодинамический 145
- обратимый и необратимый 161
Путь 6
Работа 93
- в термодинамике 157
- выхода электрона из металла 409
- механическая 93
- переменной силы 93
506
Работа
- силы тяжести 94
- тока электрического 233
- электрического поля 207
Равновесие тел 46
- тепловое 404
Равнодействующая сила 45
Равномерное движение 9
Равнопеременное движение 13
Радиоактивность 428
Радиус-вектор 6
Разность потенциалов 209
- хода волн оптическая 380
Разряд газовый 242
Ракеты 92
Расстояние наилучшего зрения 354
Реактивное движение 92
Реактор ядерный 430
Реакция термоядерная 433
-ядерная430
- цепная 431
Резерфорд Э. 417
Резонанс механический 298
- в цепи переменного тока 320
Рекомбинация 243
Решетка дифракционная 385
Сверхпроводимость 241
Свойства жидкостей 168
Связь напряженности с разностью
потенциалов 210
Сила 62
- Архимеда 123
-Ампера 273
- всемирного тяготения 136
- вязкого трения 136
- квазиупругая 297
- коэрцитивная 282
Сила Лоренца 275
Сила
- оптической линзы 346
- поверхностного натяжения 169
- подъемная 124
Сила
-света 339
-тока229
- трения покоя 67
- - скольжения 67
- тяжести 68
- упругости 65
- электродвижущая
- - самоиндукции 285
Силы потенциальные 208
- сторонние 235
- центральные 205
- ядерные 425
Симметрия решетки 172
Система отсчета 6
-термодинамическая 144
Скорость 9
- колеблющейся точки 294
- линейная 18
-мгновенная 12
-молекул 152
- относительная 11
- первая космическая 69
- переносная 11
-путевая 12
- света в вакууме 340
Скорость угловая 18
Сложение сил 45
Смачивание 169
Соединение источников ЭДС 237
- конденсаторов 216
Соединение проводников 230
Сопротивление цепи переменного
тока320
- электрическое 230
Состояние атома основное 419
Спектр атома водорода 418
- акустический 302
- дисперсионный 390
- дифракционный 387
- испускания, поглощения 422
Сплошная среда 136
Стабильные частицы 437
Статика 45
Статическое давление 138
Стационарное течение 138
Стерадиан 339
Счетчик Гейгера-Мюллера 434
- сцинтилляционный 434
Твердое состояние 168
Тело отсчета 6
- серое 405
- черное 405
Тембр звука 302
Температура 144
Температура абсолютная 145
Теорема о кинетической энергии 94
Теория Бора 420
Тепловая машина 162
Тепловое движение 146
Теплоемкость тела 156
-молярная 157
- удельная 156
Теплота парообразования
удельная 165
-плавления 164
- сгорания топлива 157
Термодинамика 155
Термодинамический процесс 145
Термодинамические системы 144
Тесла 273
Техническая атмосфера 118
Ток индукционный 284
- постоянный 228
-переменный 316
Торричелли 122
Течение стационарное 136
Точка Кюри 283
- материальная 5
- росы 168
Траектория 6
Транзистор 253
Трансформатор 321
Трение 66
507
Триод вакуумный 245
- полупроводниковый 253
Трубка Пито 140
Угловая скорость 18
Угол дифракции 386
- отражения, преломления 341
- предельный полного
отражения 342
Угол телесный 339
Удар 97
Универсальная газовая
постоянная 151
Уравнение
-Бернулли 136
- волны световой 378
-изобары 154
- изотермы 153
-изохоры 155
- Менделеева-Клапейрона 151
- моментов 46
-неразрывности 137
- теплового баланса 166
- Эйнштейна для фотоэффекта 409
Ускорение 13
- колеблющейся точки 294
- свободного падения 15,68
- центростремительное 18
Условие плавания тел 123
- равновесия тел 46
Фаза колебаний 294,318
Фарад 214
Фарадей М. 213
Ферромагнетики 281
Физическая атмосфера 118
Физика атомная 417
-молекулярная 144
Формула Бальмера обобщенная 419
- линзы тонкой 348
Формула Томсона 316
Фотоаппарат 353
508
Фотон 407
Фотоэффект внешний 408
Хемилюминесценция 423
Ход лучей в линзах 348
-- в плоскопараллельной
пластинке 343
- - в трехгранной призме 344
Холодильная машина 162
Центр тяжести 47
- оптический линзы 346
Цикл Карно 161
Циклическая частота 316
Циолковский К.Э. 92
Частицы классические 400
- релятивистские 400
- элементарные 437
Частота колебаний собственная 293
- переменного тока 318
- резонансная 320
- циклическая 320
- электромагнитных колебаний 317
Число Авогадро 148
Черное тело 404
Число молей 148
Шкала волн электромагнитных 391
Эйнштейн А. 409
ЭДС источника 234
Электроемкость 214
- конденсатора плоского 214
Электростатика 204
Электролиз 241
Электрон 426
Электрон-вольт 426
Электронно-лучевая трубка 246
Электромагнитная индукция 283
Электромагнитные волны 323
Электрохимический эквивалент 242
Элементарная ячейка 172
Эмиссия термоэлектронная 245
Энергия 94
- взаимодействия зарядов 216
-внутренняя 158
- механическая 94
- - релятивистская 399
- покоя 399
- полная 399
- поля магнитного 285
- - электрического 216
Л - связи ядра 426
- фотона 408
-ядерная 432
Эрстед 272
Явление полного отражения 343
- самоиндукции 285
- электромагнитной индукции 283
Явления капиллярные 171
509
СОДЕРЖАНИЕ
П Р Е Д И С Л О В И Е .......................................................................................... 3
Ч а ст ь 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ .. .. 5
Г л а в а Е КИНЕМАТИКА................................................................................. 5
§ 1. Механическое движение...................................................................... 5
§ 2. Скалярные и векторные величины.....................................................7
§ 3. Равномерное прямолинейное движение........................................... 9
§ 4. Относительность движения. Сложение перемещений
11
и скоростей.......................................................................................
§ 5. Переменное прямолинейное движение. Мгновенная скорость.
Ускорение............................................................................................. 12
6.
...................... 13
§ Равнопеременное прямолинейное движение
§ 7. Свободное падение тел ...................................................................... 15
§ 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.................. 16
§ 9. Равномерное движение по окружности......................................... 17
Контрольные вопросы......................................................................... 19
Примеры решения задач ...................................................................... 20
Задачи для самостоятельного реш ения............................................. 39
Г л ав а2. СТАТИКА ТВЕРДОГО Т Е Л А
............................................. 45
§ 10. Сложение сил. Равнодействующая сила........................................ 45
§11. Момент силы. Условия равновесия т е л а ....................................... 46
§ 12. Центр тяжести....................................
47
§ 13. Виды равновесия........................................................
48
Контрольные вопросы .......................................................................... 49
Примеры решения зад ач ...................................................................... 50
Задачи для самостоятельного реш ения..............................................58
Г л а в а 3. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ..................................................................62
§ 14. Первый закон Ньютона...................................................................... 62
§15. Второй закон Ньютона.......................................................................63
§ 16. Третий закон Ньютона....................................................................... 64
§17. Принцип относительности Галилея.................................................64
§18. Силы упругости. Закон Гука. Соединения пружин...................... 65
§19. Силы трения. Коэффициент трения.................................................66
510
§20. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения...................67
§21. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость............................................. 68
§22. Первая космическая скорость..........................................................69
Контрольные вопросы..........................................................................70
Примеры решения зад ач ......................................................................71
Задачи для самостоятельного реш ения............................................. 83
Г л а в а 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ............................... ...89
§23. Импульс тела. Закон сохранения импульса....................................89
§24. Реактивное движение. Ракеты..........................................................92
§25. Механическая работа. Мощность................................................... 93
§26. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии
94
§27. Потенциальная энергия материальной точки в поле
силы тяжести.................................
94
95
§28. Потенциальная энергия упругодеформированного т е л а
§29. Закон сохранения энергии в механике...........................................96
§30. Абсолютно упругий и неупругий удары .......................................97
§31. Простые механизмы. КПД механизма............................................98
Контрольные вопросы........................................................................ 100
Примеры решения задач .................................................................... 100
Задачи для самостоятельного реш ения........................................... 110
Г л а в а 5. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТЕЙ
И ГАЗОВ. СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ...................... 118
§32. Давление. Закон Паскаля.................................................................118
§33. Принцип работы гидравлического пресса................................... 118
§34. Давление жидкости на дно и стенки сосуда.................................120
§35. Закон сообщающихся сосудов....................................................... 121
§36. Давление атмосферы. Опыт Э.Торричелли.................................122
§37.Изменение атмосферного давления с высотой. Барометры
и манометры....................................................................................122
§38. Архимедова сила для жидкостей и газов...................................... 123
§39. Условия плавания тел ....................................................................... 124
Контрольные вопросы........................................................................ 125
Примеры решения задач ....................................................................126
Задачи для самостоятельного реш ения........................................... 133
511
ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.........................................................136
§40. Понятие сплошной среды ............................................................... 136
§41. Уравнение неразрывности....................
136
138
§42. Уравнение Бернулли..........................................
§43. Применение уравнения Бернулли................................................. 139
Контрольные вопросы.........................................................................141
Примеры решения зад ач .....................................................................141
Задачи для самостоятельного решения.....................................
143
Ч а с т ь 2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
И ТЕРМ ОДИНАМ ИКИ...................................................
144
Г л а в а 6. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ...... 144
§44. Понятия и определения................................................................... 144
§45. Основные положения молекулярно-кинетической теории
и их опытное обоснование............................................................. 146
§46. Модели газа, жидкости и твердого тела.........................................147
§47. Количество вещества. Постоянная Авогадро. Масса
и размеры молекул..........................................................................148
§48. Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно­
кинетической теории идеального газа.........................................149
§49. Уравнение состояния идеального г а за ..........................................151
§50. Связь температуры со средней кинетической энергией.......... 152
§51. Скорости движения молекул газа. Опыт Штерна ........................152
§52. Законы идеального газа..........................
153
Г л а в а 7. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ.................................................. 155
§53. Внутренняя энергия идеального газа. Количество теплоты
155
§54. Работа в термодинамике................................................................. 157
§55. Первый закон термодинамики........................................................158
§56. Второй закон термодинамики и его статистическое
истолкование.......................................................................................159
§57. Круговые обратимые и необратимые процессы. Цикл
К ар н о .................................................................................................. 161
Г л а в а 8. ВЗАИМНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ, ГАЗОВ
И ТВЕРДЫХ Т Е Л ...........................................................................164
§58. Плавление. Удельная теплота плавления........................................164
§59. Парообразование и конденсация................................................... 165
512
§60. Насыщенные и ненасыщенные пары ............................................165
§61. Кипение..............................................................................................166
§62. Уравнение теплового баланса.........................................................166
§63. Абсолютная и относительная влажность воздуха.
Точка росы..........................................................................................167
Г лава9.Ж И Д К О Е И ТВЕРДОЕ СОСТОЯНИЯ...................................... 168
§64. Поверхностное натяжение жидкости. Сила поверхностного
натяжения......................................................................................... 168
§65. Смачивание. Капиллярные явления...............................................169
§66. Кристаллические и аморфные те л а ...............................................171
§67. Механические свойства твердых тел.Упругие деформации ...172
§68. Тепловое расширение твердых т е л ................................................174
Контрольные вопросы........................................................................ 175
Примеры решения зад ач .................................................................... 177
Задачи для самостоятельного реш ения............................................195
Ч а с т ь 3. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ......................................... 204
Г л а в а 10. ЭЛЕКТРОСТАТИКА.................................................................. 204
§ 69. Электрический заряд. Закон сохранения электрического
заряда. Закон Кулона......................................................................204
§ 70. Электрическое поле. Напряженность электрического поля ....205
§71. Поле точечного заряда. Принцип суперпозиции......................206
§ 72. Работа электрического поля при перемещении заряда.
Потенциал. Разность потенциалов.............................................207
§ 73. Потенциальная энергия системы точечных зарядов.................209
§ 74. Связь напряженности с разностью потенциалов.......................210
§ 75. Проводники в электрическом поле.............................................. 211
§76. Диэлектрики в электрическом поле ............................................ 212
§77. Электроемкость. Конденсаторы.....................................................214
§78. Электроемкость плоского конденсатора......................................214
§79. Соединение конденсаторов в батарею.......................................... 215
§80. Энергия электрического п оля........................................................216
Контрольные вопросы........................................................................217
Примеры решения зад ач ....................................................................219
Задачи для самостоятельного реш ения........................................... 227
513
Г л а в a 11. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА........................................... 228
§81. Электрический ток. Условия возникновения электрического
т о к а ..................................................................................................... 228
§82. Сила тока. Плотность то к а...............................................................229
§83. Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников
230
§84. Последовательное и параллельное соединение проводников . 230
§85. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца.. 233
§86. Электродвижущая сила (ЭДС). Источники ЭДС. Закон Ома
для замкнутой цеп и ........................................................................ 234
§87. Соединение источников ЭДС в батарею ...................................... 237
§88. Правила Кирхгофа. Расчет разветвленной электрической
237
цепи..................................................
§89. Электронная проводимость металлов. Зависимость
сопротивления металлических проводников
от температуры.................................................................................239
§90. Электрический ток в растворах и расплавах электролитов.
Закон электролиза...........................................................................241
§91. Электрический ток в газах. Самостоятельный
и несамостоятельный разряды ...................................................... 242
§92. Понятие о плазме..............................................................................244
§93. Электрический ток в вакууме. Электронная эмиссия.
Электронно-лучевая труб ка......................................................... 245
§94. Полупроводники. Электропроводность полупроводников
и ее зависимость от температуры................................................247
§95. Собственная и примесная проводимость полупроводников ...248
§96. Полупроводниковый диод...............................................................251
§97. Транзистор........................................................................................ 252
Контрольные вопросы........................................................................ 254
Примеры решения зад ач .................................................................... 255
Задачи для самостоятельного реш ения........................................... 269
Г л а в а 12. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ
ИНДУКЦИЯ.................................................................................. 272
§98. Магнитное поле тока. Индукция магнитного поля.....................272
§99. Закон Ампера.................................................................................... 273
§ 100. Сила Л оренца.................................................................................. 273
514
§101. Движение заряженных частиц в электрических
и магнитных полях........................j........................................................ 275
§ 102. Определение удельного заряда частицы.................................. 277
§ 103. Магнитное взаимодействие трков.............................................278
§ 104. Магнитные свойства вещества.................................................. 280
§105. Электромагнитная индукция ...................................................... 283
§106. Явление самоиндукции.....;.........................................................285
§ 107. Энергия магнитного поля ....................................................... 285
Контрольные вопросы............ L....................................................... 286
Примеры решения зад ач ........ X........................................................287
Задачи для самостоятельного реш ения.......................................... 291
Ч а с т ь 4. КОЛЕБАНИЯ И В О Л Н Ы ........................................................293
Г л а в а 13. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ........................ 293
§108. Гармонические колебания..........................................................293
295
§109. Колебания груза на пружине. Математический маятник
§ 110. Превращение энергии при гармонических колебаниях
297
§111. Вынужденные колебания. Резонанс........................................... 298
§ 112. Распространение механических волн в упругих средах.
Поперечные и продольные волны .......................................... 299
§113. Звуковые волны. Характеристика звука.................................... 301
Контрольные вопросы......................................................................303
Примеры решения зад ач
.....................................................303
Задачи для самостоятельного реш ения......................................... 311
Г л а в а 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.............. 314
§ 114. Свободные электромагнитные колебания в контуре............... 314
§ 115. Собственная частота колебаний в контуре. Формула
Томсона........................................................................................ 315
§ 116. Вынужденные электрические колебания. Переменный
электрический т о к ...................................................................... 316
§117. Действующее значение напряжения и силы тока.....................318
§ 118. Цепь переменного тока. Активное, индуктивное и
емкостное сопротивления...........................................................319
§ 119. Резонанс в цепи переменного тока............................................320
§120. Трансформатор.............................................................................321
515
§121. Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных
в о л н .................................................................................................. 323
§122. Излучение и прием электромагнитных волн. Принцип
радиосвязи.......................................................................................325
Контрольные вопросы ........................................................................ 327
Примеры решения зад ач .................................................................... 328
Задачи для самостоятельного реш ения............................................335
Ч а с т ь 5. О П Т И К А .......................................................................................338
Г л а в а 15. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА................................................. 338
§123. Элементы фотометрии.................................................................. 338
§ 124. Световые лучи. Закон прямолинейного распространения
света. Скорость света.................................................................... 340
§125. Законы отражения и преломления света. Полное
отражение. Предельный у г о л ..................................................... 341
§ 126. Ход лучей света в плоскопараллельной пластинке и
трехгранной призме. Плоское зеркало..................................... 343
§ 127. Линзы. Оптическая сила линзы. Формула тонкой лин зы
345
§ 128. Постороение изображения в линзах...........................................348
§ 129. Фотоаппарат. Глаз. О чки...............................................................353
Контрольные вопросы ............................................. :.........................355
Примеры решения за д а ч .................................................................... 355
Задачи для самостоятельного реш ения............................................374
Г л а в а 16. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА...............................................................378
§ 130. Интерференция света..................................................................... 378
§131. Дифракция света. Дифракционная решетка. Условия
наблюдения дифракции................................................................ 385
§132. Поляризация света. Поперечность световых волн.................... 388
§133. Дисперсия. Дисперсионный спектр............................................390
§ 134. Рентгеновские лучи........................................................................ 391
§ 135. Шкала электромагнитных волн..................................................... 391
Контрольные вопросы ........................................................................ 392
Примеры решения за д а ч .................................................................... 392
Задачи для самостоятельного реш ения............................................394
516
Ч а с т ь 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. КВАНТОВАЯ
ФИЗИКА. АТОМ И АТОМНОЕ Я Д Р О ...................................396
Г л а в а 17. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ........................................................................... 396
§ 136. Принцип относительности А. Эйнштейна. Инвариантность
скорости света в вакууме ......................................................... 396
§137. Связь между массой и энергией. Полная энергия, энергия
покоя и кинетическая энергия релятивистской частицы
399
Контрольные вопросы........................................................................400
Примеры решения зад ач ....................................................................400
Задачи для самостоятельного реш ения........................................... 403
Г л а в а 18. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ..................................404
§138. Тепловое излучение. Законы излучения абсолютно
черного тел а.........................................................................................404
§ 139. Кванты света (фотоны).Постоянная Планка.............................. 407
§ 140. Внешний фотоэффект................................................................... 408
§ 141. Гипотеза Луи де Бройля. Дифракция электронов.
Корпускулярно-волновой дуализм.................................................. 410
§142. Давление света................................................................................ 411
Контрольные вопросы........................................................................412
Примеры решения зад ач ................................................................... 412
Задачи для самостоятельного реш ения........................................... 415
Г л а в а 19. ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА............................. 417
§ 143. Модель атома Томсона и Резерфорда.......................................417
§ 144. Спектр атома водорода................................................................. 418
§145. Теория Н. Б ора............................................................................... 420
§146. Непрерывный и линейчатый спектры. Спектральный
анализ.................................................................................................... 422
§ 147. Люминесценция............................................................................ 423
§148. Л азеры .............................................................................................423
§149. Структура ядра атома. Изотопы.................................................. 425
§150. Ядерные силы. Энергия связи атомных ядер............................. 426
§151. Радиоактивность............................................................................. 428
§ 152. Закон радиоактивного распада.....................................................429
§ 153. Ядерные реакции. Ядерный реактор.........................................430
517
§154. Методы регистрации ионизирующих излучений.....................434
§155. Дозиметрия. Дозы облучений...................................................... 435
§ 156. Элементарные частицы. Фундаментальные
взаимодействия.................................................................
437
Контрольные вопросы........................................................................ 441
Примеры решения зад ач....................................................................441
Задачи для самостоятельного реш ения........................................... 446
Г л а в а 20. ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ............................................. 448
Тест№ 1.......................................................................................................448
Тест № 2.......................................................................................................454
Тест№ 3.....................................................................:..........
461
Тест № 4.......................................................................................................468
475
Тест № 5..............
Ответы к тестам для самоконтроля............................................;..... 482
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .............................................................................................. 483
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ С П И С О К ......................................................... 486
Приложение 1. Международная система единиц (С И )............................. 487
Приложение 2. Измерение физических величин
..................................489
Приложение 3. Таблицы физических величин........................................... 494
Предметно-именной указатель..................................................................... 501
518
У ч еб н о е и здан и е
Рогачев Николай Михайлович
Андриянова Светлана Ивановна
Карханина Галина Ивановна
Федосов Александр Иванович
Федосова Лидия Ивановна
ФИЗИКА ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ
Учебное пособие
(3-е издание, исправленное и дополненное)
Под редакцией Н.М. Рогачева
Редактор Т. К. К р е т и н и н а
Компьютерная верстка И. И. С п и р и д о н о в а
Подписано в печать 27.12.2010. Формат 60x84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Печ. л. 32,75. Тираж 100 экз. Заказ
. Арт. С-21 /2010.
Самарский государственный
аэрокосмический университет.
443086, Самара, Московское шоссе,34.
Издательство Самарского государственного
аэрокосмического университета.
443086, Самара, Московское шоссе,34.
ISBN 978-5-7883-0752-7
9785788307527
9 785788 307527