КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Семестр 1 Лекция 1. Введение

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
Семестр 1
Лекция 1. Введение
Физика изучает явления, наблюдаемые в реальном мире, и свойства
материальных объектов. Эти явления и свойства мы характеризуем с
помощью физических величин. Например, движение характеризуется
скоростью и ускорением, свойства тел притягивать друг друга
характеризуются массой или зарядом. Наблюдаемые нами явления и
физические свойства тел возникают вследствие взаимодействия между
телами либо между частицами — атомами и молекулами, из которых состоят
материальные тела. В результате этих взаимодействий соответствующие
физические величины не остаются постоянными, а испытывают
всевозможные изменения. Эти изменения могут происходить как
непрерывно, так и скачками, как по величине, так и по направлению. При
наблюдении изменений физических величин возникает необходимость в их
количественной и качественной оценке. Для этой цели физика использует
математические методы.
В отличие от математики, которая изучает количественные и
пространственные отношения между рассматриваемыми объектами, физика
изучает материальные свойства тел и частиц, из которых состоят эти тела.
Как
показывает
опыт,
материальные
свойства
обусловлены
взаимодействиями между телами либо между частицами. В природе
существуют разные взаимодействия. Каждое из них имеет свои особенности,
и поэтому физика разделяется на ряд областей, изучающих отдельные виды
взаимодействий. На первый взгляд физика состоит из целого ряда
независимых разделов — механики, термодинамики, электродинамики,
оптики и других. На самом деле эти области физики настолько связаны друг
с другом, что не могут существовать друг без друга и, строго говоря, даже не
могут быть разделены. Ведь сама природа не делит всевозможные
взаимодействия на различные виды, в природе все происходит сразу и
вместе. Возможность рассмотрения каждого вида взаимодействия по
отдельности, как это делается в физике, связана с тем, что при изучении
конкретного взаимодействия мы считаем, что другие взаимодействия
отсутствуют или очень малы. Можно ли это делать или нельзя, в каждом
отдельном случае показывает опыт. В этом заключается существо
физического подхода к изучению явлений и свойств материальных объектов.
Наши знания о различных видах взаимодействий возникли не сразу, а
развивались последовательно и постепенно. Сначала постигались наиболее
простые механизмы взаимодействий, при этом все, что не соответствовало
опыту, отбрасывалось, а то, что было нужно и полезно, закладывалось в
фундамент Нового знания. Так — от простого к сложному — возводилась
конструкция огромного и связанного воедино здания современной физики.
При изучении физики мы тоже будем следовать этому естественному
принципу.
Во многих случаях действие одного тела на другое или каких-либо частиц
друг на друга мы, в конечном счете, обнаруживаем, аблюдая перемещение
какого-либо макроскопического тела в пространстве. Макроскопическим мы
называем тело, состоящее из большого числа микроскопических частиц —
атомов и молекул. На опыте мы всегда имеем дело с макроскопическими
телами, хотя результаты опыта позволяют нам часто судить о свойствах
составляющих тело микрочастиц (именно так мы узнали о существовании
атомов и молекул).
Например, при столкновении одного шара с другим шар, который прежде
находился в покое, переместился в пространстве. Изменение электрического
тока в цепи мы отмечаем по перемещению стрѐлки амперметра. Увеличение
температуры мы обнаруживаем по перемещению ртутного столбика в
термометре. Конечно, не всегда действие одного тела на другое обязательно
приводит к перемещению последнего, во нас сейчас будет интересовать
именно такой результат действия, поскольку он является наиболее простым
из всех, которые встречаются в природе.
Как показывает опыт, никакое следствие не возникает без причины. В
частности, причиной указанных выше перемещений макроскопических тел
являются действия на них других тел. Таким образом, измеряя перемещение
тела вследствие его взаимодействия с другими телами, мы можем судить о
характере и величине этого взаимодействия. Поэтому так важно уметь
описывать всевозможные перемещения тела в пространстве и
характеризовать состояние тела в процессе его перемещения.
Перемещение тела в пространстве с течением времени представляет собой
движение. Раздел физики, в котором изучается движение тел и его изменения
в результате действия других тел, называется механикой. В свою очередь
раздел механики, в котором изучают свойства движения тел, не рассматривая
причин, приводящих к этому движению, называют кинематикой, а раздел
механики, в котором изучается изменение движения под действием других
тел называют динамикой.
Изучая физику, мы будем иметь дело с физическими величинами.
Необходимо ясно представлять себе, что такое физическая величина, чем она
отличается от математической иди от величин, рассматриваемых в других
науках.
Физика — опытная наука. Все, что мы узнали о материальном мире,
возникло из опыта. И любые заключения и предположения, которые мы
делаем о свойствах материальных объектов, в конечном счете проверяются
на опыте. Другими словами, опыт является окончательным критерием
правильности наших представлений. В процессе опыта мы определяем те или
иные физические величины, например скорость или температуру. Таким
образом, определить физическую величину означает указать способ ее
измерения. Физические величины являются наблюдаемыми. Напротив, если
мы говорим о какой-либо величине и не можем указать способ ее измерения,
то она не является наблюдаемой. Такие величины просто не рассматриваются
в физике, не являются ее предметом.
Далее, физические величины являются достоверными в том смысле, что
физический опыт должен обладать свойством повторяемости. Это значит, что
при повторении опыт, проведенный в равных условиях, должен приводить
всякий раз к одинаковому результату. В других науках это не всегда так, и
чем менее выполняется это требование, тем менее эта наука достоверна.
Физические величины обладают свойством размерности. Под размерностью
физической величины понимают совокупность параметров, необходимых для
ее определения. Другими словами, указать размерность физической
величины означает указать, какие измерения нужно произвести, чтобы ее
определить. Самые простые физические величины — это длина, время и
масса. Они имеют, как говорят, собственные размерности, обозначаемые
соответственно буквами L, T и M, потому что для их определения никаких
других измерений производить не нужно. Но уже, например, для
определения скорости тела необходимо произвести два независимых
измерения — длины L и времени T. Поэтому размерность скорости есть
отношение L/T. Как мы увидим, размерность физической величины
находится с помощью формулы, которая служит ее определением.
Подчеркнем, что размерность физической величины и единицы ее измерения
— это разные понятия. Например, скорость может измеряться в см/с, или в
м/с, или в км/ч, а размерность ее при этом не меняется — она всегда есть L/T,
потому что независимо от того, в каких единицах мы измеряем скорость, мы
всегда производим измерения одних и тех же двух параметров — длины L, и
времени T. Размерность физической величины представляет ее важнейшее
свойство. Часто приходится сравнивать между собой различные величины.
Физические величины можно сравнивать, только если они обладают
одинаковой размерностью. Например, нельзя сравнивать между собой длину
пути и отрезки времени: это бессмысленно — они обладают разной
размерностью.
Физические величины, характеризующие то или иное состояние вещества,
стали называть в классической физике параметрами состояния. Если между
параметрами состояния существует какое-нибудь определенное однозначное
соотношение, которое сохраняется при переходе из одного состояния в
другое, то это соотношение называется уравнением состояния. Важным
свойством замкнутых термодинамических систем является существование у
них равновесных состояний, в которых они могут пребывать сколь угодно
долго. Для газа, заключенного в некотором сосуде, равновесным является
состояние, в котором температура, давление и плотность (или число молекул
в единице объема) в пределах объема газа одинаковы. Если в каком-нибудь
месте этого объема вызвать местное нагревание или сжатие, то в системе
начнется процесс выравнивания температур и давления. Этот процесс будет
происходить в течение того времени, пока имеется внешнее воздействие.
Однако только после прекращения этого воздействия процесс выравнивания
приведет
систему
к
новому
равновесному
состоянию.
В термодинамике продолжало ―работать‖ и понятие неравновесного
состояния. Состояния изолированных термодинамических систем, в которых
они, несмотря на отсутствие внешних воздействий, не могут пребывать в
течение конечных промежутков времени, называются неравновесными.
Система, первоначально находящаяся в неравновесном состоянии, с
течением
времени
переходит
в
равновесное
состояние.
В классической физике широко используется и понятие стационарного
состояния. Состояние физической системы, при котором некоторые
существенные для характеристики системы величины не меняются со
временем, называется стационарным. Например, состояние потока жидкости
стационарно, если скорость движения (и другие характеристики) остаются в
каждой
точке
пространства
неизменными.
Расширение класса задач сразу же показало физикам, что состояние тел
может меняться не только с изменением температуры. Так,
макроскопические свойства куска железа изменяются, если его намагнитить.
Соответственно вводится величина, характеризующая магнитное состояние
образца – вектор намагничивания. Электрическое поле также изменяет
состояние
макроскопического
тела.
Оно
поляризуется.
Итак, классическая физика считала, что состояние физической системы
всегда задается физическими параметрами. Это, например, координата,
импульс, температура, вектор намагничивания и т.д. С расширением класса
физических задач расширяется и число физических параметров, вводимых
для характеристики состояния физических систем. Какие именно параметры
характеризуют конкретное состояние системы определяется законами, на
основании
которых
и
решаются
поставленные
задачи.
Любая система может быть описана лишь с какой-то степенью приближения.
Это касается и набора параметров, задающих состояние системы, и значения
параметров, которые всегда, конечно, приближенны. Другими словами,
всегда существует разница между истинным состоянием системы и
описанием
этого
состояния.
Изучением поведения совокупностей большого количества частиц в
классической физике занимается статистическая физика. К моменту ее
формирования физике уже были известны две основные формы
закономерностей: динамическая и статистическая. Отличаются они по
характеру вытекающих из них предсказаний. В законах динамического типа
предсказания имеют точно определенный, однозначный характер. В
статистических законах предсказания носят не достоверный, а лишь
вероятностный
характер.
Для исследования и выражения динамических закономерностей (их часто
называют закономерностями жесткой детерминации) используются обычно
методы классического математического анализа, особенно методы теории
дифференциальных уравнений. Эти методы используются также в познании
и выражении статистических закономерностей. Однако решающую роль
здесь играют методы теории вероятностей. Привлечение вероятностных
методов описания состояния физической системы типично для молекулярнокинетической теории, позволяющей находить вероятности различных
скоростей молекул, длин свободного пробега, плотностей и т.д. При этом,
однако, подразумевается, что движение каждой молекулы подчиняется
детерминистическим законом классической механики. Они позволяют точно
и однозначно предсказать при заданных начальных условиях состояние в
будущем, если известны действующие со стороны остальных молекул силы.
Лишь из-за того, что количество молекул слишком велико, такое
детерминистское описание в действительности оказывается недостижимым.
Для систем с большим числом частиц более употребителен сокращенный
способ описания – язык вероятностей. Он позволяет говорить не об
индивидуальной динамической характеристике частицы, а о вероятности
реализации данного значения динамической переменной для произвольной,
наугад выбранной частицы.
Поле существенно, принципиально отличается от классической частицы:
физические характеристики поля не локализованы на отдельных
материальных телах, а распределены по некоторой области пространства.
Поле от вещества отличается числом степеней свободы. У вещества оно
конечно, а у поля – бесконечно (число степеней свободы физического
объекта определяется числом его координат в фазовом пространстве).
Различие между полем и частицей особенно ярко проявляется в их
механическом поведении. Движение частицы в пространстве – это еѐ
механическое перемещение. Оно может быть, в частности, наложением
нескольких движений. Если, например, как мы уже подчеркивали,
складываются два противоположных (равных по величине) движения,
частица оказывается в состоянии покоя. Сама частица при этом никуда не
исчезает. Движение поля в пространстве – это распространяющиеся
колебания полевой функции, т.е. волны. Наложение двух волн может
привести к усилению, ослаблению, а иногда и к полному гашению поля в
некоторой области пространства. Другими словами, для поля возможна
интерференция. Присущие полю эффекты интерференции и дифракции в
рамках классической физики невозможны для частиц.
Лекция 2. Кинематика
Одним из основных понятий механики является понятие материальной
точки, что означает тело, обладающее массой, размерами которого можно
пренебречь при рассмотрении его движения. Движение материальной точки
— простейшая задача механики, которая позволит рассмотреть более
сложные типы движений.
Перемещение материальной точки происходит в пространстве и изменяется
со временем. Реальное пространство трехмерно, и положение материальной
точки в любой момент времени полностью определяется тремя числами — ее
координатами в выбранной системе отсчета. Число независимых величин,
задание которых необходимо для однозначного определения положения тела,
называется числом его степеней свободы. В качестве системы координат
выберем прямоугольную, или декартову, систему координат. Для описания
движения точки, кроме системы координат, необходимо еще иметь
устройство, с помощью которого можно измерять различные отрезки
времени. Такое устройство назовем часами. Выбранная система координат и
связанные с ней часы образуют систему отсчета.
Декартовы
координаты
X,Y,Z
определяют
в
пространстве радиус-вектор z, острие которого
описывает при его изменении со временем траекторию
материальной точки. Длина траектории точки
представляет собой величину пройденного пути S(t).
Путь S(t)— скалярная величина. Наряду с величиной
пройденного пути, перемещение точки характеризуется направлением, в
котором она движется. Разность двух радиус-векторов, взятых в различные
моменты времени, образует вектор перемещения точки (рис.).
Для того чтобы характеризовать, как быстро меняется положение точки в
пространстве, пользуются понятием скорости. Под средней скоростью
движения по траектории за конечное время t понимают отношение
пройденного за это время конечного пути S ко времени:
S S 2 S1
.
vs
t
t 2 t1
Скорость движения точки по траектории — скалярная величина. Наряду с
ней можно говорить о средней скорости перемещения точки. Эта скорость —
величина, направленная вдоль вектора перемещения,
  

r r2 r1
.
vr
t t 2 t1
Если моменты времени t1, и t2 бесконечно близки, то время t бесконечно
мало и в этом случае обозначается через dt. За время dt точка проходит
бесконечно малое расстояние dS. Их отношение образует мгновенную
скорость точки
S
.
v lim
t 0 t
Производная радиус-вектора r по времени определяет мгновенную скорость
перемещения точки.

 dr
.
v
dt
Поскольку перемещение совпадает с бесконечно малым элементом
траектории dr = dS, то вектор скорости направлен по касательной к
траектории, а его величина:
dS dr
.
v
dt dt
На рис. показана зависимость пройденного пути
S от времени t. Вектор скорости v(t) направлен по
касательной к кривой S(t) в момент времени t. Из
рис. видно, что угол наклона касательной к оси t
равен
dS
tg .
dt
Интегрируя выражение в интервале времени от t0 до t, получим формулу,
позволяющую вычислить путь, пройденный телом за время t-t0 если известна
зависимость
от
времени
его
скорости
v(t)
S
t
v( t )dt .
t0
Геометрический смысл этой формулы ясен из рис. По
определению
интеграла
пройденный
путь
представляет собой площадь, ограниченную кривой
v =v(t) в интервале от t0 до t.В случае равномерного
движения, когда скорость сохраняет свое постоянное
значение во все время движения, v=const; отсюда
следует выражение
S
S0 v( t t0 ) ,
где S0 - путь, пройденный к начальному времени t0.
Производную скорости по времени, которая является второй производной по
времени от радиус-вектора, называют ускорением точки:


 dv d 2 r
a
.
dt dt 2
Вектор ускорения а направлен вдоль вектора приращения скорости dv. Пусть
а = const. Этот важный и часто встречаемый случай носит название
равноускоренного или равнозамедленного (в зависимости от знака величины
а) движения. Проинтегрируем выражение в пределах от t = 0 до t:



dr 
v( t )
v ( 0 ) at ,
dt




at 2
r ( t ) r ( 0 ) v ( 0 )t
2



и используем следующие начальные условия: r ( 0 ) 0; v ( 0 ) v0 .
Таким образом, при равноускоренном движении

r( t )

v ( 0 )t

at 2
.
2
В частности, при одномерном движении, например вдоль оси
at 2
X,
. Случай прямолинейного движения
x v0 t
2
изображен на рис. При больших временах зависимость
координаты от времени представляет собой параболу
Лекция 3. Кинематика поступательного и вращательного движения
В общем случае движение точки может быть криволинейным. Рассмотрим
этот тип движения. Если траектория точки произвольная
кривая, то скорость и ускорение точки при ее движении по
этой кривой меняются по величине и направлению.
Выберем произвольную точку на траектории. Как всякий
вектор, вектор ускорения можно представить в виде суммы
его составляющих по двум взаимно перпендикулярным осям. В качестве
одной из осей возьмем направление касательной в рассматриваемой точке
траектории, тогда другой осью окажется направление нормали к кривой в
этой же точке. Составляющая ускорения, направленная по касательной к
траектории, носит название тангенциального ускорения at, а направленная
ей перпендикулярно — нормального ускорения an.
Получим формулы, выражающие величины at, и an через характеристики
движения. Для простоты рассмотрим вместо произвольной криволинейной
траектории плоскую кривую. Окончательные формулы остаются
справедливыми и в общем случае неплоской траектории.
Благодаря ускорению скорость точки приобретает за
время dt малое изменение dv. При этом тангенциальное
ускорение, направленное по касательной к траектории,
зависит только от величины скорости, но не от ее
направления. Это изменение величины скорости равно
dv. Поэтому тангенциальное ускорение может быть
записано как производная по времени от величины
скорости:
dv
.
at
dt
С другой стороны, изменение dvn, направленное перпендикулярно к v,
характеризует только изменение направления вектора скорости, но не его
величины. На рис. показано изменение вектора скорости, вызванное
действием нормального ускорения. Как видно из рис. v 2 v 2 ( dvn )2 , и,
таким образом, с точностью до величины второго порядка малости величина
скорости остается неизменной v=v'.
Найдем величину an. Проще всего это сделать, взяв наиболее простой случай
криволинейного движения — равномерное движение по окружности. При
этом at=0. Рассмотрим перемещение точки за время dt по дуге dS окружности
радиуса R.
Скорости v и v' , как отмечалось, остаются равными
по величине. Изображенные на рис. треугольники
оказываются, таким образом, подобными (как
равнобедренные с равными углами при вершинах).
Из подобия треугольников следует
Формула для полного ускорения при криволинейном
движении имеет вид:
a
a t2
a n2
dv
dt
2
v2
R
2
.
Подчеркнем, что соотношения справедливы для всякого криволинейного
движения, а не только для движения по окружности. Это связано с тем, что
всякий участок криволинейной траектории в достаточно малой окрестности
точки можно приближенно заменить дугой окружности. Радиус этой
окружности, называемый радиусом кривизны траектории, будет меняться от
точки к точке и требует специального вычисления. Таким образом, формула
остается справедливой и в общем случае пространственной кривой.
Пройденный путь S , перемещение dr, скорость v , тангенциальное и
нормальное ускорение at, и an, представляют собой линейные величины. Для
описания криволинейного движения наряду с ними можно пользоваться
угловыми величинами.
Рассмотрим более подробно важный и часто встречаемый случай движения
по окружности. В этом случае наряду с длиной дуги окружности движение
можно характеризовать утлом поворота φ вокруг оси вращения. Величину

 d
dt
называют угловой скоростью. Угловая скорость представляет собой вектор,
направление которого связывают с направлением оси
вращения тела (рис.).
Обратим внимание на то, что, в то время как сам угол
поворота φ является скаляром, бесконечно малый поворот
dφ — векторная величина, направление которой определяется по правилу
правой руки, или буравчика, и связано с осью вращения. Если вращение
является равномерным, то ω=const и точка на окружности поворачивается на
равные углы вокруг оси вращения за равные времена. Время, за которое она
совершает полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется
периодом движения Т.
2
.
T
Число оборотов в единицу времени есть величина, обратная периоду, —
циклическая частота вращения
ν =1/T.
Нетрудно получить связь между угловой и линейной скоростью точки. При
движении по окружности элемент дуги связан с бесконечно малым
поворотом соотношением dS = R·dφ.
v = ωr.
Формула связывает величины угловой и линейной скоростей. Соотношение,
связывающее векторы ω и v, следует из рис. А именно, вектор линейной
скорости представляет собой векторное произведение вектора угловой
скорости и радиуса-вектора точки r:
  
v
r.
Таким образом, вектор угловой скорости направлен по оси вращения точки и
определяется по правилу правой руки или буравчика.
Угловое ускорение — производная по времени от вектора угловой скорости
 d
ω (соответственно вторая производная по времени от угла поворота)
.
dt
Выразим тангенциальное и нормальное ускорение через угловые скорости и
ускорение.
at = β·R, a =ω2·R.
Таким образом, для полного ускорения имеем
a
2
4
R.
Величина β играет роль тангенциального ускорения: если β = 0.полное
ускорение при вращении точки не равно нулю, a =R·ω2 ≠ 0.
Лекция 4. Динамика материальной точки.
В кинематике, где только описываются движения и не затрагивается вопрос о
причинах, их вызывающих, никакой принципиальной разницы между
различными системами отсчета нет, и все они в этом отношении
равноправны. Иначе обстоит дело в динамике, где изучаются законы
движения. Здесь обнаруживается существенное различие между разными
системами отсчета и преимущества одного класса систем отсчета по
сравнению с другим.
В принципе можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета.
Однако законы механики в разных системах отсчета имеют, вообще говоря,
различный вид и может оказаться, что в произвольной системе отсчета
описание даже совсем простых явлений будут весьма сложным. Естественно,
возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы
механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета,
очевидно, наиболее удобна для описания механических явлений.
Рассмотрим с этой целью ускорение частицы в некоторой произвольной
системе отсчета. Какова причина этого ускорения? Опыт показывает, что
этой причиной могут быть как действие на данную частицу каких-то
определенных тел, так и свойства самой системы отсчета (действительно,
относительно разных систем отсчета ускорение в общем случае будет
различным).
Можно, однако, предположить, что существует такая система отсчета, в
которой ускорение материальной точки целиком обусловлено только
взаимодействием ее с другими телами. Свободная частица, не подверженная
действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета
прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Такую систему
отсчета называют инерциальной,
Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, составляет
содержание первого закона классической механики - закона инерции Галилея
- Ньютона - таково: существуют системы отсчета, называемые
инерциальными, в которых при отсутствии воздействия других тел
частица сохраняет стационарное состояние движения: движется
равномерно и прямолинейно (в частном случае - покоится).
Следует заметить, что оба вида стационарных состояний являются
идеализацией реально наблюдаемых природных процессов. Так покой,
который в античности считался единственно возможным стационарным
состоянием (Аристотель, 384-322 до н. э.), возможен лишь в пренебрежении,
например, хаотичным тепловым движением молекул тела. Стационарность
равномерного прямолинейного движения (достижение физики 17 века) верна
при неучете взаимодействия с телом отсчета (например, гравитационного по закону тяготения Ньютона) и приборами, которые в результате
взаимодействия с частицей измеряют ее "неизменную" скорость. Если для
тела неприменима модель частицы (материальной точки), то понятие
стационарности состояния резко обогащается и усложняется, но это уже
предмет кантовой теории.
Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом.
Первоначальными опытами было установлено, что такой системой отсчета
является Земля. Последующие более точные опыты показали, что эта система
отсчета не совсем инерциальная: были обнаружены ускорения,
существование которых нельзя объяснить действием каких-либо
определенных тел - необходимо учитывать вращение Земли и ее движение
вокруг Солнца (опыт Фуко по сохранению неизменной плоскости качания
маятника с шаровым подвесом без трения и все аналогичные ему). Заметим,
что во многих случаях систему отсчета, связанную с Землей, можно считать
практически инерциальной.
В то же время наблюдения над ускорениями планет показали инерциальность
гелиоцентрической системы отсчета (система Коперника, в честь Николая
Коперника, 1473-1543), связанной с центром Солнца и "неподвижными"
звездами. В настоящее время инерциальность гелиоцентрической системы
отсчета подтверждается всей совокупностью опытов в пределах точности
имеющихся измерений. Любая другая система отсчета, движущаяся
равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы,
является также инерциальной. Действительно, если в гелиоцентрической
системе отсчета ускорение тела равно нулю, то оно равно нулю и в любой
другой из этих систем отсчета.
Таким образом, существует не одна, а бесчисленное множество
инерциальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга
прямолинейно и равномерно. Системы отсчета, движущиеся с ускорением
относительно инерциальных систем, называют неинерциальными.
Важной особенностью инерциальных систем отсчета является наличие,
определенных свойств симметрии времени и пространства. Опыт убеждает,
что в этих системах отсчета время однородно, а пространство однородно и
изотропно. Свойства симметрии пространства и времени тесно связаны с
законами сохранения (см. гл.4-6) и определяют их количество.
Однородность времени заключается в том, что протекание физических
явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их наблюдения
одинаково. Иначе говоря, различные моменты времени эквивалентны друг
другу по своим физическим свойствам.
Однородность и изотропность пространства заключаются в том, что
свойства пространства одинаковы в различных точках (однородность), а в
каждой точке одинаковы во всех направлениях (изотропность).
По отношению к неинерциальным системам отсчета пространство не
является однородным и изотропным. Это значит, что если какое-либо тело не
взаимодействует ни с какими другими телами, то тем не менее его различные
положения в пространстве и его различные ориентации в механическом
отношении не эквивалентны. То же самое относится в общем случае и ко
времени, которое будет неоднородным, т. е. его различные моменты
неэквивалентны. Ясно, что такие свойства пространства и времени вносили
бы большие усложнения в описании механических явлений. Так, например,
тело, не подверженное действию со стороны других тел, не могло бы
покоиться: если его скорость в некоторый момент времени и равна нулю, то
уже в следующий момент тело начало бы двигаться в определенном
направлении.
Из опытного изучения различных движений обнаруживается, что в
инерциальных системах отсчета всякое ускорение тела вызывается
действием на него каких-либо других тел. То есть, изменение стационарного
состояния есть результат взаимодействия частицы с другими телами.
Поскольку представление об уединенной невзаимодействующей частице
соответствует практически редко встречающимся случаям, то закон,
определяющий изменение стационарного состояния, являясь по счету
вторым, может быть назван основным законом динамики. Степень влияния
(действия) каждого из окружающих тел на состояние движения
интересующей нас частицы А - это вопрос, на который в каждом конкретном
случае может дать ответ только опыт.
Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение частицы А,
называют силой. Итак, причиной ускорения является действующая на
частицу сила.
Важнейшей характеристикой силы является ее материальное происхождение.
Говоря о силе, всегда неявно предполагается, что в отсутствие посторонних
тел сила, действующая на интересующую нас частицу, равна нулю. Если же
обнаруживается, что сила действует, ищется ее источник в виде того или
иного конкретного тела или других тел.
Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно условно подразделяют
на контактные силы, возникающие при непосредственном контакте тел
(силы давления, трения), и силы, возникающие через посредство
создаваемых взаимодействующими телами полей (силы гравитационные,
электромагнитные). Заметим, однако, что и при непосредственном контакте
силы взаимодействия обусловлены также наличием тех или иных полей,
создаваемых молекулами или атомами тел, просто можно пренебречь
временем распространения взаимодействия. Таким образом, все силы
взаимодействия между телами обусловлены, в конечном счете, полями.
Вопрос о природе сил выходит за рамки механики и рассматривается в
других разделах физики.
Опыт показывает, что всякое тело "оказывает сопротивление" при любых
попытках изменить его скорость, как по модулю, так и по направлению. Это
свойство, выражающее степень сопротивления тела к изменению его
скорости, называют инертностью. У различных тел оно проявляется в
разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая массой.
Тело с большей массой является более инертным, и наоборот.
Введем понятие массы m, определив отношение масс двух различных тел по
обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами:
Отметим, что такое определение не требует предварительного измерения и
понимания природы самих сил. Достаточно лишь располагать критерием
равенства сил. Например, если на два различных тела, лежащих на гладкой
горизонтальной плоскости, последовательно подействовать одной и той же
пружиной, ориентировав ее горизонтально и растянув ее на одну и ту же
длину, то можно утверждать, что в обоих случаях влияние пружины на
каждое тело одинаково, другими словами, одинакова и сила.
Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые действует одна и та же
сила, сводится к сравнению ускорений этих тел. Для того, чтобы от
отношения масс перейти к самим массам, необходимо выбрать массу
единичного тела, называемого эталоном (см. гл. 1). Приближенно 1 дм 3
чистой воды при 4 градусах Цельсия имеет массу в 1 кг, а эталоном служит
цилиндр из сплава иридия и платины, хранящийся в Международном бюро
мер и весов (г. Севр, Франция).
В рамках ньютоновой механики из опыта следует, что так определенная
масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:
1) масса - величина аддитивная, т. е. масса составного тела равна сумме масс
его частей;
2) масса тела как такового - величина постоянная, не изменяющаяся при его
движении.
Вернемся к опыту по сравнению ускорений двух различных частиц под
действием одинаково растянутой пружины. То, что в обоих случаях пружина
была растянута одинаково, позволило нам высказать утверждение об
одинаковости действия пружины, или силы со стороны пружины. Обычно
эту силу натяжения называют силой упругости. Зависимость ее величины от
растяжения определяется законом Гука (по имени Роберта Гука, 1635-1703).
Сила является причиной ускорения тела. Ускорения же различных тел под
действием одной и той же одинаково растянутой пружины разные.
Необходимо так определить силу, чтобы, несмотря на различие ускорений
разных тел в рассматриваемом опыте, сила была бы одной и той же.
Для этого прежде всего надо выяснить: что является одинаковым в данных
опытах? Ответ очевиден: произведение массы частицы на ее ускорение m .
Эту величину и естественно взять за определение силы. Учитывая, кроме
того, что ускорение-вектор, будем считать и силу вектором, совпадающим по
направлению с вектором ускорения .
Итак, в ньютоновой механике сила, действующая на тело массы m,
определяется как произведение
. Оправданием именно такого
определения силы кроме соображений наибольшей простоты и удобства
служит, конечно, только дальнейшая проверка всех вытекающих из него
следствий.
Для того чтобы более тесно связать первый и второй законы механики
Ньютона, удобно ввести в рассмотрение импульс частицы
. Тогда
первый закон может быть сформулирован так: существуют инерциальные
системы отсчета (ИСО), где импульс частицы сохраняется при отсутствии
действия других тел. Здесь учтено свойство постоянства массы. Именно оно
позволяет представить произведение
как производную импульса по
времени
, если масса тела неизменна. Изучая на опыте взаимодействие
различных частиц с окружающими телами, мы обнаруживаем, что
зависит от величин, характеризующих как состояние самой материальной
точки, так и состояние окружающих тел. Это является весьма существенным
физическим фактом, лежащим в основе одного из наиболее
фундаментальных обобщений ньютоновой механики - второго закона
Ньютона: произведение массы материальной точки на ее ускорение
является функцией положения этой точки относительно окружающих тел,
а иногда также и функцией ее cкорости. Эту функцию обозначают
называют силой.
и
Величина
называется импульсом силы. Она характеризует действие
силы на частицу и изменение ее импульса. Именно в этом и состоит
фактическое содержание второго закона Ньютона, который кратко
формулируют обычно таким образом: произведение массы материальной
точки на ее ускорение равно действующей на нее силе, т. е.
или
сила есть производная импульса
частицы по времени, т. е.
.
Вторая формулировка имеет более общий характер и применима и в случае
движения со скоростями, близкими к скорости света. Его можно
сформулировать и так
то есть изменение импульса частицы равно импульсу силы.
Это уравнение называют уравнением движения частицы. Сразу же
подчеркнем, что второй закон Ньютона получит конкретное содержание
только после того, как установлен вид функции
- зависимость от
определяющих ее величин, или, как говорят, закон силы. Установление
закона силы в каждом конкретном случае является одной из основных задач
физической механики.
Определение силы как
, обладает тем исключительным достоинством,
что законы сил при этом оказываются очень простыми. Однако переход к
изучению движений с релятивистскими скоростями показал, что законы сил
потребовалось бы модифицировать, сделав их сложным образом зависящими
от скорости материальной точки, если считать, что масса частицы - величина
неизменная и определенная в ИСО, где частица покоится. Теория стала бы
громоздкой и запутанной.
Существует, однако, простой выход из этого затруднения, если дать
несколько иное определение импульса в релятивистской механике, а именно:
.
При таком определении силы (как
) законы сил, оказывается, остаются
теми же и в релятивистской области. Так что простое выражение данной
силы через физическое окружение изменять не потребуется при переходе к
релятивистской механике. Первый и второй законы сохраняют свою
формулировку. Это обстоятельство мы учтем в дальнейшем.
Рассмотрим сложение сил. На всякую частицу в данных конкретных
условиях действует, строго говоря, всего только одна сила
, модуль и
направление которой определяются расположением этой точки относительно
всех окружающих тел, а иногда также и ее скоростью. Но эта сила может
быть результатом взаимодействия одновременно с несколькими телами.
Опыт показывает, что если тела, являющиеся источниками сил, не влияют
друг на друга и поэтому не изменяют своего состояния от присутствия
других тел, то сила может быть представлена как векторная сумма сил
где - сила, с которой действовало бы на данную материальную точку i-е
тело в отсутствие других тел.
Если это так, то говорят, что силы
,... подчиняются принципу
суперпозиции. Такое утверждение надо рассматривать как обобщение
опытных фактов.
Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности
Галилея, согласно которому все инерциальные системы по своим
механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это значит, что никакими
механическими опытами, проводимыми "внутри" данной инерциальной
системы, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется. Во
всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени
одинаковы, одинаковы также и все законы механики.
Это утверждение - один из важнейших принципов классической механики.
Оно является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием
приложений классической механики к движению тел, скорости которых
значительно меньше скорости света.
Все сказанное ясно свидетельствует об исключительности свойств
инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны,
как правило, использоваться при изучении механических явлений.
Выведем формулы преобразования координат при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой, опираясь на одинаковость свойств
простанства и времени во всех системах отсчета и их независимость друг от
друга. Пусть инерциальная система К движется со скоростью
относительно другой инерциальной системы К. Выберем оси координат x, y,
Преобразования Галилея
z К'-системы параллельно соответствующим осям х, у, z К-системы, причем
так, чтобы оси х' и х совпадали между собой и были направлены вдоль
вектора .
Взяв за начало отсчета времени момент, когда начала координат О' и О
совпадали, запишем соотношение между радиус-векторами
той же точки А в К - и К'-системах:
и
одной и
и, кроме того,
.
Здесь использована одинаковость в обеих системах отсчета длин отрезков и
хода времени, не зависящих от состояния движения.
Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в самой
основе представлений классической механики, представлений, основанных
на обширном экспериментальном материале, относящемся к изучению
движений со скоростями, значительно меньшими скорости света.
преобразования Галилея. В координатах эти преобразования имеют вид:
Продифференцировав
по времени, найдем классический закон
преобразования скорости точки при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой:
Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что
,
получаем
, т. е. ускорение точки одинаково во всех инерциальных
системах отсчета.
В тех случаях, когда в опыте участвуют только две частицы А и В и частица А
сообщает ускорение частице В, обнаруживается, что и частица В сообщает
ускорение частице А. Отсюда мы заключаем, что воздействия тел друг на
друга имеют характер взаимодействия.
Ньютон постулировал следующее общее свойство всех сил взаимодействиятретий закон Ньютона.
Силы, с которыми две материальные точки воздействуют друг на друга,
всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль
прямой, соединяющей эти точки, т. е.
.
Это значит, что силы взаимодействия всегда появляются парами. Обе силы
приложены к разным материальным точкам и, кроме того, являются силами
одной природы.
Закон обобщается и на системы из произвольного числа частиц, исходя из
представления, что и в этом случае взаимодействие сводится к силам
попарного взаимодействия между ними.
В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в
любой момент времени независимо от движения точек. Это утверждение
соответствует ньютонову представлению о мгновенном распространении
взаимодействий - предположению, которое носит название принципа
дальнодействия классической механики. Согласно этому принципу,
взаимодействие между телами распространяется в пространстве с
бесконечно большой скоростью. Иначе говоря, если изменить положение
(состояние) одного тела, то сразу же можно обнаружить хотя бы очень
слабое изменение во взаимодействующих с ним телах, как бы далеко они ни
находились. В действительности это не так - существует конечная
максимальная скорость распространения взаимодействий, которая равна
скорости света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет
определенные пределы применимости. Однако при скоростях тел,
значительно меньших скорости света, с которыми имеет дело классическая
механика, закон выполняются с очень большой точностью. Свидетельством
тому являются хотя бы расчеты траекторий планет и искусственных
спутников, которые проводятся с "астрономической" точностью именно с
помощью законов Ньютона.
Три закона динамики Ньютона являются основными законами классической
механики. Они позволяют, по крайней мере, в принципе, решить любую
механическую задачу; кроме того, из них могут быть выведены и все
остальные законы классической механики. По принципу относительности
Галилея законы механики одинаковы во всех инерциальных системах
отсчета. Это значит что уравнение будет иметь один и тот же вид в любой
инерциальной системе отсчета. Действительно, масса т материальной точки
как таковой не зависит от скорости, т. е. одинакова во всех системах отсчета.
Кроме того, для инерциальных систем отсчета одинаковым является и
ускорение точки. Сила
тоже не зависит от выбора системы отсчета,
поскольку она определяется только взаимным расположением и скоростью
материальной точки относительно окружающих тел, а эти величины,
согласно нерелятивистской кинематике, в разных инерциальных системах
отсчета одинаковы.
Таким образом, все три величины,
, и , входящие в уравнение, не
изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой,
а следовательно, не меняется и само уравнение. Другими словами, уравнение
инвариантно относительно преобразований Галилея. В случае
движения частиц со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме,
первый и второй законы Ньютона сохраняют свой вид в записи через
импульс и уравнения механики инвариантны относительно преобразований
Лоренца (см. гл. 9 и 10), которые переходят в преобразования Галилея при
малых скоростях. Третий закон, сформулированный Ньютоном для
мгновенного дальнодействия, утрачивает свое значение, так как требует
введение в рассмотрение различного рода полей, что выходит за рамки
чистой механики.
Лекция 5 Работа. Мощность. Энергия.
Пусть частица под действием силы
траектории 1-2 . В общем случае сила
совершает перемещение по некоторой
в процессе
Определение работы силы
движения частицы может изменяться как по модулю, так и по направлению.
Рассмотрим, как показано на рис.5.1, элементарное перемещение
, в
пределах которого силу
можно считать постоянной.
Действие силы
на перемещении
скалярному произведению
силы
на перемещении
характеризуют величиной, равной
, которую называют элементарной работой
. Ее можно представить и в другом виде:
,
где
- угол между векторами
проекция вектора
на вектор
Итак, элементарная работа силы
и
- элементарный путь,
обозначена.
на перемещении
.
Величина
- алгебраическая: в зависимости от угла между векторами силы
и
или от знака проекции вектора силы на вектор перемещения она
может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной
нулю, если
т.е.
. Единицей измерения работы в СИ служит
Джоуль, сокращенное обозначение Дж.
Суммируя (интегрируя) выражение по всем элементарным участкам пути от
точки 1 до точки 2, найдем работу силы
на данном перемещении:
.
Выражению можно придать наглядный геометрический смысл. Изобразим
график как функцию положения частицы на траектории. Пусть, например,
этот график имеет вид, показанный на рис. Из этого рисунка
Графический смысл работы сил
видно, что элементарная работа A численно равна площади заштрихованной
полоски, а работа А на пути от точки 1 до точки 2 - площади фигуры,
ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и осью s. При этом площадь фигуры
над осью s берется со знаком плюс (она соответствует положительной
работе), а площадь фигуры под осью s - со знаком минус (она соответствует
отрицательной работе).
Введем в рассмотрение новую величину - мощность. Она используется для
характеристики скорости, с которой совершается работа. Мощность, по
определению, - это работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за
промежуток времени
сила
совершает работу
, то мощность,
развиваемая этой силой в данный момент времени, есть
Учитывая, что
, получим
.
Единица мощности в системе СИ - Ватт, сокращенное обозначение Вт.
Таким образом, мощность, развиваемая силой
, равна скалярному
произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка
приложения данной силы. Как и работа, мощность - величина
алгебраическая.
Зная мощность силы , можно найти и работу, которую совершает эта сила
за промежуток времени t. В самом деле, представив подынтегральное
выражение в виде
получим
.
Следует также обратить внимание на одно весьма существенное
обстоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в
каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа
какой именно силы (или сил) имеется в виду. В ином случае, как правило,
неизбежны недоразумения.
Рассмотрим примеры на вычисление работы. Работа упругой силы
где - радиус-вектор частицы А относительно точки О.
Работа упругой силы
Переместим частицу A, на которую действует эта сила, по произвольному
пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала элементарную работу силы
элементарном перемещении
:
на
.
Скалярное произведение
перемещения
на вектор
вектора
Поэтому
где
проекция вектора
. Эта проекция равна приращению модуля
и
Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем
последнее выражение от точки 1 до точки 2:
Вычислим работу гравитационной (или аналогичной ей математически силы
кулоновской) силы. Пусть в начале вектора
(рис. 5.3) находится
неподвижная точечная масса (точечный заряд). Определим работу
гравитационной (кулоновской) силы при перемещении частицы А из точки 1
в точку 2 по произвольному пути. Сила, действующая на частицу А, может
быть представлена так:
где параметр
для гравитационного взаимодействия равен
кулоновского взаимодействия его значение равно
начала элементарную работу этой силы на перемещении
Как и в предыдущем случае, скалярное произведение
, а для
. Вычислим с
поэтому
.
Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2
Рассмотрим теперь работу однородной силы тяжести
силу в виде
. Запишем эту
где орт вертикальной оси z с положительным
направлением обозначен
перемещении
. Элементарная работа силы тяжести на
Работа однородной силы тяжести
Скалярное произведение
где
проекция
на орт
равная
- приращению координаты z. Поэтому выражение для работы
приобретает вид
Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точки 2
Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа, как видно
из формул, не зависит от формы пути между точками 1 и 2, а зависит только
от положения этих точек. Эта весьма важная особенность данных сил
присуща, однако, не всем силам. Например, сила трения этим свойством не
обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и
конечной точек, но и от формы пути между ними.
До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в процессе
движения действуют несколько сил, результирующая которых
то
нетрудно показать, что работа результирующей силы на некотором
перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из
сил в отдельности на том же перемещении. Действительно,
Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на
помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от
точки к точке. Примером может служить поле силы тяжести Земли или поле
сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке
силового поля не зависит от времени, то такое поле называют
стационарным. Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе
отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В
стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.
Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1
в точку 2, зависит, вообще говоря, от пути. Однако среди стационарных
силовых полей имеются такие, в которых эта работа не зависит от пути
между точками 1 и 2. Этот класс полей, обладая рядом важнейших свойств,
занимает особое место в физике. Рассмотрим свойства таких полей.
Введем определение: стационарное силовое поле, в котором работа силы
поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а
зависит только от положения этих точек, называется потенциальным, а сами
силы - консервативными.
Если это условие не выполняется, то силовое поле не является
потенциальным, а силы поля называют неконсервативными. К числу таких
сил принадлежит, например, сила трения, так как работа этой силы зависит в
общем случае от пути.
Покажем, что в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом
пути равна нулю. Действительно, любой замкнутый путь можно разбить
произвольно на две части: 1а2 и 2b1. Так как поле
Работа в потенциальном поле сил
потенциально, то, по условию
С другой стороны, очевидно, что
Поэтому
что и требовалось доказать.
Наоборот, если работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю, то и
работа этих сил на пути между произвольными точками 1 и 2 от формы пути
не зависит, т. е. поле потенциально. Для доказательства выберем два
произвольных пути: 1а2 и 1b2 (рис.). Составим из них замкнутый путь 1a2b1.
Работа на этом замкнутом пути по условию равна нулю, т. е.
Отсюда
Но
, поэтому
Таким образом, равенство нулю работы сил поля на любом замкнутом пути
есть необходимое и достаточное условие независимости работы от формы
пути, и может считаться отличительным признаком любого потенциального
поля сил.
Рассмотрим важный случай поля центральных сил. Всякое силовое поле
вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу А в
таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами.
Если силы, зависят только от расстояния между взаимодействующими
частицами и направлены по прямой, соединяющей эти частицы, от их
называют центральными. Такими примерами служат силы гравитационные,
кулоновские и упругие.
Центральную силу, действующую на частицу А со стороны частицы В,
можно представить в общем виде:
,
где
-функция, зависящая при данном характере взаимодействия только
от r - расстояния между частицами;
единичный вектор, задающий
направление радиус-вектора частицы А относительно частицы В .
Работа в поле центральных сил
Докажем, что всякое стационарное поле центральных сил потенциально. Для
этого найдем работу центральных сил в случае, когда силовое поле вызвано
наличием одной неподвижной частицы B, а затем обобщим результат на
произвольный случай. Элементарная работа силы (5.8)
на перемещении
вектора
5.6), то
точки 2
есть
на вектор
Так как
проекция
, или на соответствующий радиус-вектор
(рис.
Работа же этой силы на произвольном пути от точки 1 до
Полученное выражение зависит, очевидно, только от вида функции
, т.
е. от характера взаимодействия и от значений и - начального и конечного
расстояний между частицами A и B. От формы пути оно никак не зависит.
Это и означает, что данное силовое поле потенциально.
Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное
наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу A с
силами
.., каждая из которых является центральной. В этом случае
работа результирующей силы при перемещении частицы A из одной точки в
другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа
каждой из этих сил не зависит от формы пути, то и работа результирующей
силы от нее также не зависит. Таким образом, действительно, любое
стационарное поле центральных сил потенциально.
Рассмотрим понятие кинетической энергии частицы. Пусть частица массы т
движется под действием некоторой силы
(в общем случае эта сила
может быть результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу,
которую совершает эта сила на элементарном перемещении
. Имея в виду,
что
и
, запишем
.
Скалярное произведение
где
проекция вектора
на
направление вектора
. Эта проекция равна
- приращению модуля
вектора скорости. Поэтому
и элементарная работа
Отсюда видно, что работа результирующей силы
идет на приращение
некоторой величины стоящей в скобках, которую называют кинетической
энергией частицы.
Таким образом, приращение кинетической
элементарном перемещении равно
энергии
частицы
при
а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2
т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении
равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том
же перемещении. Если
частицы увеличивается; если же
энергия уменьшается.
то
т. е. кинетическая энергия
то
то есть кинетическая
Введем понятие потенциальной энергии частицы в поле. То, что работа сил
потенциального поля зависит только от начального и конечного положений
частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие
потенциальной энергии.
Представим себе, что мы перемещаем частицу в потенциальном поле сил из
разных точек P в фиксированную точку O. Так как работа сил поля не
зависит от формы пути, то остается зависимость ее только от положения
точки P (при фиксированной точке O ). А это значит, что данная работа будет
некоторой функцией радиус-вектора r точки P.
Обозначив эту функцию
, запишем
Функцию
называют потенциальной энергией частицы в данном поле.
Теперь найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку
2 Так как работа не зависит от пути, выберем путь,
Введение понятия потенциальной энергии
проходящий через точку O. Тогда работа на пути 1O2 может быть
представлена в виде
или с учетом
Выражение, стоящее справа, есть убыль потенциальной энергии, т. е.
разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной
точках пути. Таким образом, работа сил поля на пути 1-2 равна убыли
потенциальной энергии частицы в данном поле.
Изменение какой-либо произвольной физической величины X можно
характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением
величины X называют разность конечного
этой величины:
Приращение
и начального
значений
.
Убылью величины X называют разность ее начального
значений:
и конечного
Убыль
,
т. е. убыль величины X равна ее приращению, взятому с обратным знаком.
Приращение и убыль - величины алгебраические: если
, то
приращение положительно, а убыль отрицательна, и наоборот.
Очевидно, частице, находящейся в точке O поля, всегда можно приписать
любое заранее выбранное значение потенциальной энергии. Это
соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть
определена лишь разность потенциальных энергий в двух точках поля, но не
ее абсолютное значение.
1) в поле упругой силы
2) в поле точечной массы (заряда)
где
для гравитационного взаимодействия и
кулоновского взаимодействия;
3) в однородном поле сил тяжести
для
Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия
- это функция, которая
определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной
постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во
все формулы входит только разность значений
в двух положениях
частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля,
выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех
предыдущих выражениях.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию следует
относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой
частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере
взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными
телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.
Теперь можно ввести понятие полной механической энергии частицы.
Приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе
результирующей всех сил, действующих на частицу. Что это за силы? Если
частица находится в интересующем нас потенциальном поле, то на нее
действует консервативная сила
со стороны этого потенциального поля.
Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, имеющие иное
происхождение. Назовем их сторонними силами
Таким образом, результирующая
.
всех сил, действующих на частицу,
может быть представлена в виде
. Работа всех этих сил идет на
приращение кинетической энергии частицы:
Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы, т. е.
. Подставив это выражение в предыдущее и перенеся член
влево, получим
Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращениe величины
. Эту величину - сумму кинетичеcкой и потенциальной энергии называют полной механической энергией частицы в поле:
Заметим, что полная механическая энергия Е, как и потенциальная,
определяется с точностью до прибавления несущественной произвольной
постоянной.
Итак, приращение полной механической энергии частицы на элементарном
перемещении равно
на конечном перемещении из точки 1 в точку 2
т.е. приращение полной механической энергии частицы на некотором пути
равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на
частицу на том же пути. Если
, то полная механическая энергия
частицы увеличивается, если же
, то уменьшается.
Итак, мы установили, что полная механическая энергия частицы может
измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредственно
вытекает закон сохранения полной механической энергии частицы во
внешнем поле: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что
алгебраическая сумма их мощностей равна нулю в течение интересующего
нас времени, то полная механическая энергия частицы остается
постоянной за это время. Иначе говоря,
или
Уже в такой простейшей форме данный закон сохранения позволяет
достаточно легко получать ответы на ряд важных вопросов без привлечения
уравнений движения, что, как мы знаем, часто сопряжено с проведением
громоздких и утомительных расчетов. Именно это обстоятельство и
превращает законы сохранения в весьма действенный инструмент
исследования.
Лекция 6. Динамика вращательного движения.
Движения твердых тел описываются значительно более сложными законами,
чем движения материальных точек. Так, например, Луна вращается вокруг
своей оси, движется вокруг Земли, вместе с Землей вращается вокруг
Солнца, вместе с Солнцем вращается вокруг центра Галактики,… Движение
гироскопов, когда они имеют возможность поворота осей вращения под
действием внешних сил и моментов сил, описывается очень сложной
системой дифференциальных уравнений.
В этой главе мы рассмотрим простейший вариант вращательного движения,
когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Такое вращательное
движение имеет много общего с поступательным движением твердого тела.
Между поступательным и вращательным движениями существует большая
аналогия как в кинематике, так и в динамике. Большинство параметров,
описывающих поступательное движение, имеют аналоги во вращательном
движении. Так, в кинематике вращательного движения угол поворота,
угловая скорость и угловое ускорение играют ту же роль, что и пройденный
путь, линейная скорость и линейное ускорение при поступательном
движении. В динамике вращательного движения роль массы играет момент
инерции, а роль силы – момент силы.
Рассмотрим материальную точку массой m, расположенную на расстоянии r
от некоторой оси.
m
r
Моментом инерции материальной точки относительно оси называется
физическая величина, равная произведению массы точки на квадрат ее
расстояния до оси.
J mr 2 .
Понятие момента инерции можно обобщить на систему материальных точек.
Рассмотрим совокупность материальных точек с массами т1, т2, …, тп,
отстоящих на расстояниях r1, r2, …, rn от некоторой оси z.
Моментом инерции системы материальных точек относительно оси z
называется величина, определяемая выражением
Jz
mi ri 2 .
При описании динамики вращательного движения момент инерции играет ту
же роль, что и масса при описании поступательного движения. Предыдущее
выражение можно использовать для определения моментов инерции твердых
тел. Для этого твердое тело разбивают на сумму материальных точек и
записывают выражение
J
mi ri 2
J
r 2 dm .
M
Выражая массу через плотность
dm
dv , получим J
r 2 dv .
V
Не занимаясь вычислением интегралов, запишем моменты инерции
простейших твердых тел относительно некоторых осей.
1. Прямой тонкий стержень длины
l
и массы m (ось проходит
перпендикулярно стержню):
относительно оси, проходящей через середину стержня:
О1
J
ml 2
;
12
О
относительно оси, проходящей через конец стержня:
О1
J
О
ml 2
.
3
Полый цилиндр массы т с внутренним радиусом R1 и внешним R2 :
O'
R1
R2
J
1
m R12
2
O
Сплошной цилиндр массы т и радиуса R :
O'
R
1
J
mR 2
2
O
R1
0,
R2
R .
R 22 .
Тонкостенный обруч массы т и радиуса R :
O'
R
J
mR 2
R .
R1
R2
J
2
mR 2 .
5
O
Шар массы т и радиуса R:
O'
O
Рассмотрим произвольное тело, в котором одна из осей проведена через
центр масс, а вторая ось проходит параллельно первой на расстоянии а от
нее. Момент инерции такого тела можно найти с помощью теоремы
Штейнера.
Теорема Штейнера: Момент инерции J относительно произвольной оси
равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и
проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела т на
квадрат расстояния а между осями
J J 0 ma 2 .
Пример 1. Найти момент инерции тонкого стержня относительно оси,
проходящей перпендикулярно стержню через его конец, зная что момент
инерции стержня относительно параллельной оси, проходящей через центр
определяется формулой
ml 2
J
.
12
Решение:
О1
O1
О
O
2
l
ml 2 ml 2 ml 2
J J0 m
.
2
12
4
3
Полученная формула совпадает с формулой, приведенной ранее.
Рассмотрим силу, приложенную в точке М на расстоянии r от некоторой
точки О и действующей так, как показано на рисунке, т.е. сила направлена
перпендикулярно вектору F.
F
r
О
M
Плечом силы F относительно точки О называется кратчайшее расстояние от

точки О до линии действия силы r r .
Моментом силы относительно точки О называется произведение силы на
плечо:
M rF .
В более общем случае, когда сила направлена произвольно, проводят линию
действия силы и рассматривают кратчайшее расстояние от точки до линии
действия силы
F
О
r
α
a
Плечом силы F относительно точки О называется кратчайшее расстояние от
точки О до линии действия силы. На рисунке a r sin
– плечо,
M Fa Fr sin – момент силы.
Используя аппарат векторной алгебры, можно дать более строгое
определение момента силы.
Моментом силы F относительно точки r называется вектор M, который
удовлетворяет следующим условиям:
длина вектора M определяется выражением
M r F sin ;
вектор M перпендикулярен к каждому из векторов F и r:
M r, M F ;
векторы r, F и M образуют правую тройку.
M
F
r
Вектор М называют векторным произведением векторов r и F и обозначают
символом
M [rF ] .
Аналогично можно ввести другие векторные величины.
Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки
О называется векторная величина
L rp .
Абсолютная величина момента импульса определяется формулой
L rp sin .
Продифференцируем момент импульса по времени
dL d
dr
dp
rp
p
r
rF M .
dt dt
dt
dt

0
Полученное уравнение
dL
M
dt
является аналогом соответствующего уравнения, описывающего динамику
поступательного движения
dp
F.
dt
В дальнейшем мы отметим более глубокую аналогию между поступательным
и вращательным движением.
Рассмотрим вращение материальной точки массы
действием силы F.
т вокруг оси
z под
F
O
r
При этом ось z направлена на нас.
Момент импульса точки относительно оси z
Lz rp rmv rm r
mr 2
Jz.
Продифференцируем обе части этого уравнения по t:
d Jz
dLz
d
Mz
Jz
Mz.
dt
dt
dt
Это основное уравнение динамики вращательного движения. Оно является
аналогом второго закона Ньютона для поступательного движения
dv
m
F.
dt
Вместо материальной точки можно рассматривать твердое тело, обладающее
моментом инерции J и вращающееся вокруг оси z с угловым ускорением ε
под действием момента сил
М. Движение этого тела также будет
описываться уравнением
d
M.
J
M или J
dt
Рассмотрим работу, совершаемую при вращательном движении:
F
ds
r
dA
Fds
Frd
Формула dA Md
Md .
является аналогом соответствующей формулы dA
Fds .
В более общем случае можно рассматривать векторные величины и записать
для работы выражение
 
dA Md .
При повороте тела на конечный угол необходимо проинтегрировать
выражение для работы по соответствующему углу
A
M ( )d .
0
Кинетическая энергия поступательного движения материальной точки
определяется формулой
mv 2
.
T
2
Найдем аналогичное выражение для кинетической энергии вращательного
движения. Для материальной точки, движущейся по окружности, учитывая
r , получим
формулу v
mv 2 m 2 r 2 1 2
T
J ,
2
2
2
J mr 2 – момент инерции материальной точки относительно оси
где
вращения.
Итак, кинетическая энергия материальной точки, вращающейся вокруг
некоторой оси, определяется формулой
1
T
J 2.
2
Для твердого тела, совершающего вращательное движение, можем записать
аналогичную формулу
1
T
J 2,
2
где J – момент инерции тела относительно оси вращения.
В общем случае движение твердого тела можно разложить на поступательное
и вращательное.
rвр
rn
r
dr
drп
drвр .
Если разделить обе части этого выражения на dt и ввести обозначения
v
dr
, v0
dt
drn
, v вр
dt
drвр
dt
[ωr ] ,
то получим разложение скорости материальной
поступательную и вращательную компоненты
v = v 0 + [ωr] .
точки
тела
на
Полученная формула называется формулой Эйлера и широко используется
при изучении динамики твердого тела. С этой формулой мы встретимся в
курсе механики сплошных сред.
Если тело совершает вращательное и поступательное движения, то его
полная кинетическая энергия может быть представлена в виде суммы
энергий поступательного и вращательного движений
mvc2 J c 2
T
,
2
2
где vc – скорость центра масс, J c – момент инерции, относительно оси,
проходящей через центр масс тела.
Аналогично закону сохранения импульса при поступательном движении в
механике вращательного движения можно доказать закон сохранения
момента импульса. Для этого рассмотрим замкнутую систему, для которой
момент внешних сил равен нулю:

M 0.
Тогда из основного уравнения вращательного движения

dL 
M
dt
следует

L const .
Закон сохранения момента импульса: Момент импульса замкнутой
системы сохраняется. В рамках курса теоретической физики можно показать,
что закон сохранения момента импульса связан с изотропностью
пространства, т.е. с инвариантностью основных физических законов
относительно выбора направлений осей координат системы отсчета.
Закон сохранения момента импульса часто используется при решении
различных задач.
Пример 1. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в вытянутых
руках гантели массой т. Расстояния от каждой гантели до оси вращения – l.
Определить скорость вращения скамьи Жуковского, если человек согнет
руки и расстояние от каждой гантели до оси вращения станет равным l/2.
Начальная скорость вращения 1 , момент инерции человека и скамьи
относительно оси J 0 . Найти также работу, совершаемую человеком.
Решение. Сделаем рисунок
Из закона сохранения момента импульса следует:
J1 1 J 2 2 .
Моменты инерции человека с гантелями и скамьи Жуковского до и после
изгиба рук
ml 2
2
.
J 1 J 0 2ml , J 2 J 0
2
Найдем угловую скорость вращения после изгиба рук:
2ml 2
.
2
ml 2 1
J0
2
Работа, совершенная человеком, равна разности энергий вращения
J0
A T2
T1
J2
2
2
2
J 1 12
2
3 J0
4J
0
2ml 2
ml 2
1 2
ml
2
2
1
.
Аналогия между поступательным и вращательным движениями
Законы поступательного и вращательного движений имеют много общего,
большинство формул кинематики и динамики отличаются только
обозначениями. Составим таблицу основных обозначений и формул
поступательного и вращательного движений.
№
1
Поступательное движение

r (t ) – координата (вектор),
2
S (t ) – пройденный путь
 dr
– линейная скорость
V
dt
3

a
4
5
6
7
8
9

dV
– линейное ускорение
dt
Вращательное движение

(t ) – угол поворота (вектор),
(t ) – угол поворота

 d
– угловая скорость
dt


d
– угловое ускорение
dt
J – момент инерции
m – масса



F – сила
M [r F ] – момент силы

 

p mV – импульс
L [r p] – момент импульса


d
dL
dV  dp 
J
M,
M – уравнения
F – уравнения
m
F,
dt
dt
dt
dt
вращательного движения
поступательного движения
 
 
–
работа
при
–
работа
при dA Md
dA FdS
поступательном движении
вращательном движении
mv 2
J 2
– кинетическая энергия T
– кинетическая энергия
T
2
2
поступательного движения
вращательного движения
Аналогичные формулы можно записать при анализе равноускоренного
поступательного и вращательного движений.
Аналогии такого рода встречаются в естествознании довольно часто.
Причина такой аналогии заключается в том,
что математические
соотношения, описывающие, казалось бы, различные процессы, оказываются
одинаковыми с точностью до обозначений. Фактически, это подобные
процессы, которые происходят с различными физическими объектами.
Лекция 7. Применение законов сохранения к решению физических задач
При взаимодействии тел друг с другом изменяются их энергия и импульс.
Это изменение, однако, может происходить по-разному.
Когда речь идет о взаимодействии массивных тел, которые состоят из
большого числа частиц, атомов или молекул, имеет смысл наряду с
кинетической и потенциальной энергией говорить о внутренней энергии
тела. Внутренняя энергия — это энергия всех частиц, составляющих тело,
при заданных его температуре и объеме.
В результате взаимодействия тела с другими телами может измениться его
температура, а также (необратимым образом) его объем. Ясно, что эти
изменения связаны с расходом энергии, т. е. в результате взаимодействия
тела с внешними объектами меняется его внутренняя энергия. Такое
взаимодействие является неупругим. Оно, очевидно, не сохраняет полной
механической энергии тела —суммы кинетической и потенциальной.
Напротив, если в результате взаимодействия внутреннее состояние тела не
меняется, взаимодействие является упругим. В процессе упругого
взаимодействия выполняется закон сохранения механической энергии.
Рассмотрим в связи с этими соображениями столкновения двух тел.
Столкновение тел заключается в их кратковременном взаимодействии,
происходящем при соприкосновении тел. Поскольку вне этого момента
времени тела не взаимодействуют, их потенциальная энергия относительно
друг друга равна нулю. Взаимодействие при столкновении состоит, таким
образом, в передаче от одного тела другому импульса и кинетической
энергии. Рассмотрим удар двух шаров, центры которых движутся вдоль
одной прямой, т. е. центральный удар. Пусть массы шаров m1 и m2, скорости
до удара v1, и v2, после удара u1 и u2. Для определенности возьмем случай
движения шаров, изображенный на рис..
Центральный удар шаров
Сначала рассмотрим упругий удар шаров. В применении к данной задаче
закон сохранения импульса системы шаров имеет вид:
m1v1 + m2v2 =m1u1 + m2u2,
т.е. импульс системы до столкновения равен импульсу системы после
столкновения.
Закон сохранения энергии дает
m1v12 m2 v 22 m1u12 m2 u 22
.
2
2
2
2
Перенося члены, относящиеся к первому шару влево, а ко второму шару
вправо, и разделив одно из полученных уравнений на другое, находим:
m1( v1 u1 ) m2 ( v2 u2 ) , v1 u1 v2 u2 .
Решая полученную систему уравнений совместно, получаем:
u1 [( m1 m2 )v1 2m2 v2 ] /( m1 m2 ) ,
u2
[( m2
m1 )v2
2m1v1 ] /( m1 m2 ) .
Исследуем полученный результат в частных случаях.
1. Соударение одинаковых шаров. Тогда m1 = m2 и
u1 = v2, u2 = v1.
т. е. при упругом центральном ударе двух тел одинаковой массы они просто
обмениваются скоростями. Если, в частности, до удара второй шар покоился
(v2 = 0), то после удара остановится первый шар (u1 = 0), а второй будет
двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался до
удара первый шар (u2 = v1,).
2. Удар шара о массивную стенку. В этом случае m2 >> m1 и приближенно
будем иметь:
u1
v1 2v2
u2
v2
2
m1
v1
m2
v2 .
Как видно отсюда, скорость массивного тела после удара меняется
незначительно. В результате удара стенке передается значительный импульс,
но передача энергии при ударе сравнительно мала:
p m2u2 m2v2 2m1v1 .
Если стенка была первоначально неподвижна (v2 = 0), то упруго ударившийся
о нее шарик малой массы отскочит обратно практически с теми же
скоростью (u1 = - v1) и энергией.
При ударе о движущуюся стенку происходит обмен энергией между стенкой
и шариком тем больший, чем больше скорость стенки. В зависимости от
направления движения стенки (v2 больше или меньше 0) шарик отскакивает
от стенки с большими или меньшими, чем до столкновения, кинетической
энергией и импульсом.
Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар шаров. При таком ударе
энергия налетающего шара полностью расходуется на изменение внутренней
энергии другого шара и на сообщение ему некоторой скорости . Закон
сохранения механической энергии не выполняется, и для определения
скорости после удара достаточно закона сохранения импульса.
m1v1 + m2v2 =(m1 + m2)u1,
откуда
m1v1 m2 v 2
.
u
m1 m2
Потеря механической энергии, перешедшей во внутреннюю энергию шаров,
равна разности энергий до и после удара:
m1v12 m2 v 22 ( m1 m2 )u 2
E
.
2
2
2
Подставляя сюда (1.57), находим
m1m2
E
( v1 v 2 )2 .
2( m1 m2 )
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2 = 0), то
m1
u
v1
m1 m2
E
m2
m1v12
m1 m2
2
Когда неподвижное тело имеет большую массу (m2 > m1), то почти вся
кинетическая энергия переходит при ударе во внутреннюю анергию.
Напротив, при m1 >> m2 изменение внутренней энергии мало и большая часть
кинетической энергии идет на сообщение движения ударяемому телу.
Из закона сохранения энергии следует, что при постоянной величине полной
энергии кинетическая энергия частицы может возрастать только за счет
уменьшения потенциальной энергии. Поэтому, если потенциальная энергия
имеет минимальное значение, кинетическая энергия не может измениться без
внешнего воздействия. Таким образом, условием механического равновесия
системы является минимум ее потенциальной энергии
dU
 0,
dr
что эквивалентно равенству нулю сил, действующих на частицу.
В 1687 г. Ньютон на основании уже обнаруженных к тому времени на опыте
законов движения планет установил, что всякие два тела притягиваются друг
к другу с силой, прямо пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Например, материальная точка с массой m, находящаяся на расстоянии r от
другой материальной точки с массой M, будет притягиваться последней с
силой
Mm
,
F
2
r
где γ— размерная постоянная, необходимая для того, чтобы величина F
имела размерность силы. В случае наличия тел сложной формы, когда их
нельзя рассматривать как материальные точки, формула видоизменяется, но
основной характер взаимодействия сохраняется. Постоянная в уравнении
была впервые определена в 1798г. английским физиком Кавендишем в
поразительном по точности опыте. Ее численное значение очень мало γ =
6.6·lO-11н·м2/кг2 — это значит, что с силой столь малой величины
притягиваются друг к другу две массы в 1кг каждая на расстоянии в 1м.
Огромное значение, которое имеют силы гравитации в природе, обусловлено
с одной стороны, большими массами небесных тел, а с другой —
отсутствием сил иного происхождения.
Соотношение носит название закона всемирного тяготения. Оно хорошо
описывает движение тяготеющих масс.
С физической точки зрения он описывает взаимодействие массы m с полем
тяготения, или, как принято говорить, с гравитационным полем, создаваемым
в пространстве массой M. Хотя способ передачи гравитационного
взаимодействия нам неизвестен, опыт показывает, что с каждой массой в
пространстве связано гравитационное поле.
Гравитационное поле, создаваемое в пространстве массой M, будем
характеризовать потенциалом
M
.
r
Потенциальная энергия, приобретенная телом с массой в этом поле, согласно
результатам предыдущего раздела, может быть записана в виде
mM
U
,
r
т. е. потенциальная энергия поля в гравитационном поле равна потенциалу
поля в точке нахождения тела, умноженному на массу тела.
Сила притяжения (1.39) может быть найдена по формуле (1.35):

dU
d 1
r
mM  
m M 
m M
e

3
2 r
dr
dr r
r
r


r
( er
— единичный вектор в направлении радиус-вектора r).
r
Зная потенциал поля, можно вычислить работу, совершаемую силами поля
над телом с массой т при перемещении его из положения 1 в положение 2.
Эта работа может быть выражена через разность значений потенциала поля в
указанных точках
2 
2 dU 
A
Fdr
 dr U ( 1 ) U ( 2 ) m( 1
2)
d
r
1
1

F
Отсюда видно, что работа в поле сил тяготения не зависит от пути, т. е. от
того, каким образом тело было перемещено из положения 1 в 2.
Массы, фигурирующие в законе всемирного тяготения, характеризуют
способность тел создавать поле тяготения и в свою очередь испытывать на
себе их действие. Поэтому масса, о которой идет здесь речь, может быть
названа тяготеющей, или гравитационной, массой, в отличие от инертной
массы, фигурирующей во втором законе Ньютона. Хотя их физический
смысл различен и ниоткуда не следует их равенство, тем не менее они все же
тождественны. Невозможность различить обе массы является следствием
большого числа самых совершенных опытов. Таким образом, во втором
законе Ньютона и в законе тяготения проявляются различные свойства одной
и той же величины — физической массы.
Определим скорость, которую необходимо иметь телу дли того, чтобы оно
могло стать спутником Земли, т. е. первую космическую скорость. Величину
этой скорости можно определить из условия равенства сил, действующих на
тело при его вращении вокруг Земли. Сила притяжения должна быть
уравновешена центробежной силой mv2/R. Таким образом,
mv 2
R3
g
M3
R32
откуда находим значение первой космической скорости
v1
g
M3
R3
g R3
Подставляя численные значения величин, получаем v1 = 8 км/с.
Вторая космическая скорость — это скорость, которую нужно сообщить телу
для того, чтобы оно покинуло область земного притяжения. Для определения
второй космической скорости следует вычислить работу, которую
необходимо совершить против сил земного притяжения для удаления тела с
поверхности Земли на бесконечность. Эта работа равна разности
потенциальных энергий тела в начальном и в конечном положениях:
A = Uк - Uн.
Потенциальная энергия тела в гравитационном поде Земли на ее поверхности
имеет вид:
Un
mM 3
R3
Un
mM 3
а на бесконечности равна нулю. Таким образом,
R3
mM 3
R3
A
mgR3
Величина этой потенциальной энергии определяет кинетическую энергию,
которую должно иметь тело для того, чтобы быть в состоянии совершить
2
mv11
mgR3
указанную работу
2
Отсюда вторая космическая скорость определяется выражением:
v11
2 gR3
2 v1 .
Ее численное значение приблизительно 11 км/с. Пусть перемещение
происходит вдоль оси Z. При этом сила тяжести совершает работу
A
2
Fdz
mg ( z 2
z1 ) .
1
Согласно определению потенциальной энергии А = U1-U2. Отсюда следует,
что потенциальная энергия тела в поле силы тяжести Земли может быть
записана в виде
U(z) = mgz + const,
где постоянная связана с выбором начала отсчета энергии. Эту формулу
можно получить и непосредственно из закона всемирного тяготения.
Запишем его в виде
mM
mM
,
U
R3 z
z
R3 1
R3
где z— высота тела с массой m над поверхностью Земли. При малых
z
R3
1,
z
1
R3
1
1
z
, откуда находим U =U0 + mgz = U(R3) +mgz
R3
Черные дыры (Ч. Д) .- области пространства-времени, обладающие
горизонтом событий, т. е. области с настолько сильным гравитац. полем, что
даже свет не может их покинуть. Термин "Ч. д." введѐн в 1968 Дж. Уилером
(J. A. Wheeler).
Первое качественное предсказание возможности существования Ч. д. было
дано Дж. Мичеллом (J. Mitchell) в 1783. Он утверждал, что если сжать
Солнце до размеров 6 км в диаметре, то свет не сможет его покинуть. В
1799 П. С. Лаплас (P. S. Laplace) опубликовал работу, в к-рой была дана
количеств. теория, основанная на законе Ньютона.
Результат Мичелла и Лапласа исключительно прост, и нет ничего
удивительного, что Ч. д., к-рая является существенно релятивистским
объектом, была предсказана задолго до создания общей теории
относительности (ОТО). Полная энергия пробного тела с массой т в
гравитац. поле тела массой M определяется как сумма его кинетич. и потенц.
энергий:
где G - гравитац. постоянная Ньютона. В первом случае пробное тело
движется по орбите вокруг гравитирующей массы M. Во втором случае
скорость пробного тела u(r )удовлетворяет условию
где u0(r )фактически представляет то, что мы теперь называем второй космич.
скоростью. Если для нек-рого радиуса r скорость u0. достигает скорости света
с, то никакая частица, включая фотон, не может покинуть объект радиусом
называемым гравитац. радиусом (
-масса Солнца).
В 1939 существование Ч. д. было предсказано P. Оппен-геймером (J. R.
Oppenheimer) и Г. Снайдером (H. Snyder) в рамках ОТО. Они показали, что Ч.
д. образуется в процессе неограниченного гравитац. сжатия вещества в таких
ситуациях, когда противодействие внутр. давления сжатию оказывается
недостаточным. Согласно совр. представлениям, Ч. д. возникают либо из нач.
возмущений распределения плотности вещества на ранних стадиях эволюции
Вселенной, если она в то время была сильно неоднородной (идея первичных
Ч. д. была высказана Я. Б. Зельдовичем и И. Д. Новиковым в 1966), либо
являются конечным продуктом эволюции достаточно массивных (больше
неск.
) звѐзд и звѐздных скоплений (сверхмассивные Ч. д. массой ~106-109
).
Лекция 8 Механические колебания
Колебаниями называют движения или процессы, которые характеризуются
определенной повторяемостью во времени.
Колебания и волны играют важную роль в окружающем мире.
Распространения звука, свет, радио и телевидение – это волны. Ход часов,
раскачивание на каруселях, качка корабля – это колебательные процессы.
Разрушение различных конструкций при землетрясениях связано с
колебаниями почвы, которые передаются зданиям и сооружениям и
вызывают в них огромные внутренние напряжения, приводящие к
разрушениям. Воздушные и морские катастрофы нередко вызываются
большими колебаниями, возникающими в корпусе корабля или крыльях
самолета.
Исследование характера колебаний, их природы и причин является одним из
разделов курса общей физики. Существует раздел физики, называемый
теорией колебаний, в котором с единых позиций рассматриваются различные
колебательные процессы.
Величины, которые изменяются со временем, могут иметь различный
физический смысл: отклонение маятника часов от положения равновесия,
сила тока в цепи, температура в помещении или на улице. Колеблющиеся
величины могут иметь и нефизический смысл: цена сельскохозяйственных
продуктов изменяется в зависимости от времени года, количество и
интенсивность различных заболеваний нередко имеют периодический
характер (грипп). Мы будем рассматривать в первую очередь колебания,
имеющие физическую природу, хотя многие выводы останутся в силе для
любых видов колебаний.
Колебания называются периодическими, если существует число T 0 ,
такое, что для любых t справедливо равенство
x t T
x t .
Число Т в этом случае называется периодом колебаний.
Колебания называются гармоническими, если величина x(t) изменяется по
закону синуса или косинуса. Такое колебание можно описать уравнением
x
A sin
или x
t
A cos( t
).
Отметим, что уравнение
x a cos t b sin t
описывает гармонические колебания. Это нетрудно видеть, если выполнить
серию математических преобразований
x
a2
a
b2
a
2
b
2
b
cos t
a
2
b
2
sin t
c sin
t
с cos
t
cos
sin
Это же уравнение можно привести и к другому виду
x
a2
a
b2
a
2
cos
2
b
2
b
cos t
a
2
sin
1
b
2
sin t
1
,
1
2
где c
a b . Здесь мы использовали метод введения вспомогательного
угла.
Гармонические колебания играют важную роль, т.к. многие периодические
колебания можно представить в виде суммы гармонических колебаний.
Непериодические колебания называют квазипериодическими, если их в
первом приближении или в небольших областях можно рассматривать как
периодические.
Рассмотрим гармоническое колебание
x
A cos
t
.
Величину А называют амплитудой колебаний. Это наибольшее возможное
значение переменной величины х. Величину
называют круговой или
циклической частотой колебаний,
– начальная фаза колебаний.
Величину
называют фазой колебаний в момент времени t. Вообще
t
фазой называют аргумент синуса или косинуса.
Установим связь между периодом и частотой гармонических колебаний.
Имеем
t T
t
2 .
Отсюда
T
2
.
Частотой колебаний называют число колебаний, совершаемых в единицу
времени
1
T
.
2
Между частотой колебаний и круговой частотой существует связь
2 .
Единица частоты – герц (Гц): это частота периодического процесса, при
котором за одну секунду совершается один цикл процесса. Размерность
частоты
1
.
с
Аналогично
рад
.
с
Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически
колеблющейся величины
x
A cos
t
.
Имеем
x
x
dx
dt
d 2x
dt 2
A sin
A
2
cos
t
,
t
.
Сравнивая эти формулы, видим, что гармонически колеблющаяся величина
подчиняется дифференциальному уравнению
2
x
x.
или
d 2x
dt 2
2
x
0.
Существует специальный раздел математики – дифференциальные
уравнения, в которых исследуются методы решения таких уравнений. Мы в
дальнейшем будем считать, что, если задано дифференциальное уравнение
s
2
x
0,
то его решением будет функция
s t
A cos
t
,
где величины А и φ принимают любые значения. Для определения этих
значений необходимо задать начальные условия, т.е. значения s (t ) и s (t ) в
начальный момент времени t0 :
s (t0 )
s0 ,
s (t0 )
s0 .
Решая систему этих уравнений, можно выразить А и φ через s0 и s0 .
Колебания могут складываться и при этом усиливать или гасить друг друга,
или изменять траекторию движения тела. Рассмотрим сложение колебаний,
совершаемых в одном направлении. Пусть осциллятор совершает два
одновременных колебания в одном направлении и одинаковой частоты ω0:
x1=A1cos(ω0t+ 1) и x2=A2cos(ω0t+ 2).
При этом суммарное колебание координаты x(t)
равно x = x1 + x2. Представим колебания x1 и x2
в виде векторов на плоскости (рис.), модулями
которых являются амплитуды колебаний, а
фазы колебаний будут служить углами наклона
векторов к оси x. При изменении времени
векторы x1 и x2, будут равномерно вращаться в
плоскости рисунка, однако разность фаз между
колебаниями остается неизменной. Из рисунка
видно, что вектор x = x1 + x2, представляет собой сумму колебаний x1 и x2. В
самом деле, проекции векторов x1, и x2, на ось x соответственно равны
A1cos(ω0t+ 1) и А2cos(ω0t+ 2), а проекция вектора x равна сумме этих
проекций. Результирующее колебание также можно записать в виде:
x(t)=x1+x2= = Acos(ω0t+ ). Частота результирующего колебания равна частоте
складываемых колебаний, т. е. результирующее колебание также
гармоническое. Амплитуду результирующего колебания нетрудно найти из
рис.
A2
A12
A22
2 A1 A2 cos
1
2
,
а новую начальную фазу определить так:
A1 sin 1 A2 sin 2
tg
.
A1 cos 1 A2 cos 2
Из формулы (3.15) следует, что амплитуда результирующего колебания
существенно зависит от значения разности фаз начальных колебаний. Если
разность фаз 1– 2=0, колебания находятся в фазе, и амплитуды A1 и A2
складываются A = A1 + A2. Если же разность фаз равна ± , колебания
находятся в противофазе, т.е. амплитуда результирующего колебания A = |A1
– A2|.
Выше было рассмотрено сложение двух колебаний с одинаковой частотой,
при этом результирующее колебание осталось гармоническим с той же
частотой. Если складываются колебания разной частоты, то векторы x1 и x2 в
плоскости будут вращаться с разной скоростью (рис.). Тогда
результирующий вектор в процессе вращения будет изменяться по величине
и описывать сложное негармоническое колебание.
Рассмотрим сложение колебаний во взаимно перпендикулярных
направлениях. Наиболее простым примером такого колебания являются
одновременные колебания частицы в направлениях x и y, происходящие с
одинаковыми частотами и амплитудами. Как было установлено,
результирующее движение представляет собой равномерное вращение в
плоскости по окружности с радиусом, равным амплитудам колебаний
величин x и y. В случае неравных амплитуд и частот элементарных
колебаний результирующее движение может происходить по весьма
сложным траекториям и не будет гармоническим.
Таким образом, сложение гармонических колебаний с различными частотами
и амплитудами позволяет осуществить колебание произвольной формы. Это
обстоятельство используется для создания негармонических колебаний
необходимой формы. Отсюда следует и обратное утверждение: всякое
сложное негармоническое колебание может быть представлено в виде суммы
простых гармонических колебаний. Другими словами, движение сложной
колебательной системы со многими степенями свободы можно описать,
рассматривая соответствующий набор гармонических осцилляторов.
Вычислим период колебаний математического маятника — материальной
точки, характеризуемой массой m и подвешенной на невесомой нити длиной
 (рис.).
При свободном движении маятника в поле силы тяжести остается
постоянной полная энергия маятника — сумма кинетической и
потенциальной
энергий
E = T + U . Следовательно, при бесконечно малом перемещении маятника
вдоль траектории изменение полной энергии должно быть равно нулю.
Изменение потенциальной энергии маятника при его перемещении на
расстояние dr можно вычислить как работу силы тяжести на пути dr. При
этом работу совершает лишь составляющая силы тяжести вдоль направления
движения. Составляющая силы тяжести, нормальная к направлению
движения, работу не совершает. Таким образом, dU = m g sin dr.
Изменение полной энергии:
dE
d
mv 2
2
mg sin
dr
0
Произведя дифференцирование и разделив это уравнение сначала на dt, а
затем на величину mv=mdr/dt, получим уравнение движения маятника в виде:
dv
g sin
0.
dt
Удобно перейти к переменной , пользуясь соотношением dr = d
d2
g
sin
0.
2

dt
Это уравнение довольно сложное, несмотря на свой простой вид. Его можно
упростить в случае малых колебаний, когда величина угла колебаний
маятника, измеряемая в радианах, мала по сравнению с единицей, << 1. В
этом случае можно заменить sin ~ , и уравнение движения принимает вид:
d2
g
0.
dt 2 
Решением уравнения (3.3) является функция (в чем можно убедиться при
прямой подстановке)
= 0cos(ωt+ 0),
где 0— максимальный угол отклонения маятника, являющийся амплитудой
колебаний; ω— угловая частота колебаний, связанная с периодом колебаний
соотношением ω=2 /T; 0 — начальная фаза колебания — величина,
характеризующая угол отклонения маятника ( 0cos 0) в начальный момент
его движения (t = 0).
Подставляя выражение (3.4) в уравнение (3.3), найдем, что последнее
выполняется при значении угловой частоты:
g
,
l
называемой собственной частотой колебаний маятника. Таким образом,
период колебаний маятника:

T 2
.
g
0
Обратим внимание на то, что период собственных колебаний не зависит ни
от амплитуды колебаний маятника, ни от величины колеблющейся массы.
Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления,
действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль
энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут
затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся,
случае сила сопротивления F* пропорциональна величине скорости:
Fx*
rx .
Здесь r — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак
минус обусловлен тем, что сила F* и скорость v имеют противоположные
направления; следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет
вид
mx
kx rx .
Применив обозначения
r
k
2
2
,
0
m
m
ω0 - представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные
колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при r = 0). Эту
частоту называют собственной частотой системы.
Перепишем уравнение следующим образом:
2
x 2 x
0.
0x
Подстановка функции x=eλt приводит к характеристическому уравнению
2
2
2
0
0
Корни этого уравнения равны
2
2
0
1
2
,
2
0
2
.
При не слишком большом затухании (при β<ω0) подкоренное выражение
будет отрицательным. Представим его в виде (iω)2, где ω — вещественная
величина, равная
2
0
2
.
Тогда корни характеристического уравнения запишутся следующим образом:
i .
i , 2
1
Общим решением уравнения (58.1) будет функция
x
C1e
i
t
C2 e
i
t
e
t
C1ei
t
C2 e
i t
.
Таким образом, при не слишком сильном затухании общее решение
уравнения имеет вид
x a0 e t cos t
.
Пунктирными линиями показаны пределы, в
которых находится смещение колеблющейся
точки x.
В соответствии с видом функции движение
системы можно рассматривать как гармоническое
колебание
частоты
ω
с
амплитудой,
-β·t
изменяющейся по закону a(t) = a0e . Верхняя из
пунктирных кривых на рис. дает график функции a(t), причем величина a0
представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное
смещение x0 зависит, кроме a0, также от начальной фазы α: x0 =a0·cosα.
Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r/2m, которую
называют коэффициентом затухания. Найдем время τ, за которое амплитуда
уменьшается в e раз. По определению e-β·τ = e-1, откуда β·τ = 1.
Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому
промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
Согласно формуле (3.24) период затухающих колебаний равен
2
.
T
2
0
2
При незначительном сопротивлении среды (
2
2
0
) период колебаний
практически равен T0 = 2π/ω0. С ростом коэффициента затухания период
колебаний увеличивается.
Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, a',
a'', a''' и т.д. на рис. образуют геометрическую прогрессию. Действительно,
если a' =a0e-β·t, то a'' = a0e-β(t+T) = a'e-βT, a''' =a0e-β(t+2T) =a''e-βT и т. д. Вообще,
отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени,
отличающимся на период, равно
a t
e T.
a t T
Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм —
логарифмическим декрементом затухания:
a t
ln
T
a t T
Для характеристики колебательной системы обычно используется
логарифмический декремент затухания λ. Выразив β через λ, и T, можно
закон убывания амплитуды со временем записать в виде
a
a0 e
T
t
.
За время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает
совершить Ne = τ/T
колебаний. Из условия e
T
e
1
получается, что
N e . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен
T
по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое
амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется также
величина
Q
Ne ,
называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее
определения, добротность пропорциональна числу колебаний Ne,
совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний
уменьшается в e раз.
Подстановка функции и ее производной в выражение для полной энергии
колеблющейся системы E=kx2/2 + mv2/2 приводит после преобразований к
формуле
E
1 2
ka0 e
2
2 t
1
sin 2 t 2
,
0
где
= arctg (β/ω). График этой функции
изображен на рис. Убывание энергии
обусловлено работой силы сопротивления
среды Fconp
rx . Мощность, развиваемая
этой силой, равна
rx x
rx 2 . Таким
образом,
dE
rx 2 .
dt
Отсюда вытекает, что в тех точках кривой E(t), где x 0 , касательная к
кривой параллельна оси t. В остальных точках dE/dt < 0.
При малом затухании (β<<ω0) слагаемым, содержащим синус, в формуле
можно пренебречь и считать, что энергия изменяется по закону
E = E0e-2βt,
где E0 = k(a0)2/2 — значение энергии в начальный момент. К тому же
результату можно прийти, если заменить определяемое формулой
мгновенное значение E(t) его средним значением за времяот t—T/2 до t + T/2
(T — период колебаний), вычисленным в предположении, что множитель ехр
(—2βt) в течение промежутка T остается постоянным.
Из формулы следует, что с ростом коэффициента затухания период
колебаний увеличивается. При β=ω0 период колебаний обращается в
бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим.
При β>ω0 корни характеристического уравнения становятся вещественными
и решение дифференциального уравнения оказывается равным сумме двух
экспонент:
x C1e 1t C2 e 2t .
Здесь C1 и C2 — вещественные постоянные, значения которых зависят от
начальных условий (от x0 и v0).Следовательно, движение носит
апериодический (непериодический) характер— выведенная из положения
равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая
колебаний.
На
рис.показано
оба
возможных
способа
возвращения системы к положению равновесия при
апериодическом движении. Каким из этих способов
приходит система в положение равновесия, зависит
от начальных условий. Движение, изображаемое
кривой 2, получается в том случае, когда система
начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением x0, к
положению равновесия с начальной скоростью v0 определяемой условием
v0
x0
2
2
0
.
Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной из положения
равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению
равновесия. Если, отведя систему из положения равновесия, отпустить ее без
толчка (т. е. с v0=0) или сообщить ей толчок недостаточной силы (такой, что
v0 окажется меньше определяемой условием , движение будет происходить в
соответствии с кривой 1 на рис.
Лекция 9 Волны.
Рассмотрим систему связанных осцилляторов (рис.). Такой системой могут
служить
N
маятников,
последовательно
соединенных
пружинами, или система связанных
электрических контуров, или, как это показано на рис., набор материальных
точек, соединенных пружинами. Если колебания происходят вдоль оси x, то
положение системы N материальных точек можно характеризовать заданием
N величин смещений от своих положений равновесия. Таким образом,
система осцилляторов обладает N степенями свободы, В отсутствие связи
между осцилляторами каждый из них может совершать независимые
колебания вблизи своего положения равновесия. В этом случае колебания
локализованы в определенной области пространства. Но если мы возбудим
колебания в системе связанных осцилляторов, то картина будет другой.
Колебания первоначально возбужденного осциллятора, благодаря упругим
свойствам пружины, возбудят колебания соседнего осциллятора, который в
свою очередь передаст энергию колебаний следующему соседу и т. д. При
этом колебание первоначально возбужденного осциллятора прекратится, а
передаваемая энергия колебаний будет распространяться вдоль цепочки,
приводя к последовательному перемещению с постоянной скоростью
сгущений и разрежении упруго связанных масс. Перенос энергии колебаний
в пространстве представляет собой распространение волны.
Обратим внимание на два важных обстоятельства. Во-первых, передача
колебаний от одного осциллятора другому стала возможной только
благодаря упругому их взаимодействию. Таким образом, физическая причина
распространения волны — взаимодействие частиц. Во-вторых, сами
колеблющиеся массы остаются на своих местах вблизи положений
равновесия, т.е. в процессе распространения волны масса не переносится.
Происходит только передача энергии колебаний посредством изменения
фазы колебания соседней частицы.
Опишем распространение волны математически. При колебаниях отдельного
осциллятора величина, которая характеризует его смещение от положения
равновесия, зависит только от времени. Так изменяется смещение массы на
пружине или угол наклона маятника, т.е. фаза свободного осциллятора
зависит только от одной переменной — времени.
При прохождении волны в цепочке связанных осцилляторов смещение
каждой из масс зависит от двух величин — времени и расстояния до
источника колебаний. Таким образом, смещение каждой из масс
un=un(x,t)
Запишем уравнение движения произвольно выбранного n-го осциллятора
цепочки. При смещении из положения равновесия на массу действует
возвращающая упругая сила, равная -kun ( k — жесткость пружины).
Одновременно на массу действуют упругие силы, обусловленные
смещениями соседних масс: un-1 и un+1. Взаимодействиями с более
удаленными соседями пренебрежем. Слева на рассматриваемую массу будет
действовать сила, пропорциональная удлинению левой пружины k(un- un-1), а
справа — аналогичная сила, пропорциональная уменьшению длины правой
пружины — k(un - un+1). В результате уравнение движения примет вид:
d 2 un
m 2
k u n 1 2u u n 1 .
dt
Как уже говорилось, уравнение (3.46) применимо ко многим физическим
ситуациям. В частности, оно описывает колебания одномерной цепочки
атомов в кристаллической решетке. В этом случае среднее расстояние между
атомами является характерной для данного кристалла постоянной величиной,
называемой периодом кристаллической решетки. Период решетки очень мал
и по величине сравним с размерами атома. При таком расположении атомов в
решетке кристалл можно рассматривать как сплошную среду, в которой
распределение масс является не дискретным, как на рис., а непрерывным.
Будем считать постоянную решетки бесконечно малой величиной. Тогда
смещения соседних атомов на расстоянии x un 1 мало отличаются от
смещения un и их можно разложить в ряды, ограничиваясь первыми членами:
un
1 2 un
un 1 x un x
x
x 2,
2
x
2 x
где знак / x означает производную по x в фиксированный момент времени.
После подстановки этих выражений в уравнение, получим:
2
2
un
un
2
m 2
k x
t
x2
(по той же причине, что и выше, мы стали писать производную в виде / t).
То, что мы сейчас произвели, означает по существу переход от рассмотрения
дискретной цепочки атомов, связанных упругими силами, к рассмотрению
сплошной нити, в которой распределение масс атомов считается
непрерывным. Переход к сплошной среде подразумевает, что мы теперь
считаем массы атомов не сосредоточенными в узлах решетки, а
«размазанными» на бесконечно малых расстояниях x, т.е. величина m/ x =
является линейной плотдостью среды. Наконец, выясним физический смысл
множителя k x . Заметим, что жесткость пружины согласно закону Гука F = kx представляет собой линейную плотность упругой силы. Следовательно,
величину k x = Т можно рассматривать как силу натяжения нити,
образованной сплошным линейным распределением атомов. Окончательно, с
учетом введенных обозначений, запишем уравнение в виде:
2
u
T
2
u
,
t
x2
где смещение теперь зависит от непрерывной переменной x: u = u(x, t).
Полученное уравнение является уравнением распространения упругих волн в
одномерной сплошной нити с натяжением Т — струне. Нетрудно сообразить,
2
как должно выглядеть решение уравнения (3.47). Оно должно описывать
гармоническое колебание смещения частицы u(t) = u0cos(ωt + ), которое
возникает в какой-либо точке струны и затем распространяется с постоянной
скоростью vu. Пусть колебание возникло первоначально в точке x=0. Частица,
находящаяся на расстоянии x от начала координат, приобретает такое же
x
смещение с опозданием на время
, необходимое для того, чтобы
vu
колебание пришло в точку x. Таким образом, колебание частицы в точке x
отстает по фазе от колебания частицы в точке x = 0, т.е. колебание в
произвольной точке струны должно иметь следующий вид:
u x ,t
u0 cos
t
x
vu
.
В результате получим скорость упругой волны:
vu
T
. ( – линейная плотность среды)
Формула определяет скорость продольных упругих волн струны.
Колебания
смещений
атомов
в
продольной
волне
происходят
в
направлении ее распространения —
вдоль струны. Как известно, упругая
волна может быть и поперечной (рис.)—
при этом смещения атомов происходят в
направлении, перпендикулярном оси х.
Величина, определяющая упругие свойства струны в поперечном
направлении, называется сдвиговой жесткостью. Она отличается от
продольной жесткости k, которая определяет скорость продольных волн.
Нетрудно представить, что уравнение для поперечных упругих волн
сохранит вид, но в выражении для скорости распространения поперечных
волн войдет компонента силы натяжения нити в направлении сдвига частиц T
'.
Поперечные волны могут возникать только в твердых телах. В жидкостях и
газах сопротивление атомов сдвигу отсутствует и поэтому в них
распростраияются только продольные упругие волны.
Упругие колебания, воспринимаемые человеческим ухом, обычно
называются звуком. Эти колебания лежат в области частот от 16 до 20 000
колебаний в секунду. В широком смысле слова звуком можно называть все
упругие колебания в сплошной среде. Оценим скорость звуковых волн в газе
частиц. В отличие от одномерной цепочки атомов, рассмотренной выше,
трехмерный газ частиц характеризуется давлением P и объемной плотностью
P
. Воспользуемся
г. Поэтому вместо формулы (3.49) мы получим v зв
г
уравнением состояния газа PV = NkБT (где N — число частиц; Т —
температура газа; kБ — постоянная Больцмана). Вводя плотность газа
г=mN/V, где m— масса частицы, находим, что скорость звука в газе частиц
оказывается порядка средней скорости теплового движения частиц
kБT
vT .
m
Это приближенный расчет, но он дает правильную оценку порядка величины
скорости звука. Характерные скорости звуковых волн в газах порядка 300
м/с, а в твердых телах ~1000 м/с. Если рассматривается сплошная среда, то в
ней могут распространяться колебания. Процесс распространения колебаний
называется волной или волновым процессом. Волны можно разделить на
продольные и поперечные.
Волны называют поперечными, если частицы среды смещаются в
направлении перпендикулярном направлению распространения волны.
Примерами поперечных волн являются волны на поверхности воды,
электромагнитные волны, упругие волны, распространяющиеся в твердых
телах.
Волны называют продольными, если частицы среды смещаются в
направлении распространения волны.
Для плотности среды в продольных волнах получается периодическая
функция (сжатие – растяжение). Примеры продольных волн:
распространение звука, внутренние волны в твердых, жидких и газообразных
телах.
Отметим, что при распространении волны частицы среды совершают
периодические колебания. Поэтому волны и колебательные процессы
связаны между собой и имеют много общего. Введем основные
характеристики волновых процессов.
Длиной волны называется расстояние между ближайшими частицами,
колеблющимися в одинаковой фазе (одинаковым образом). Если частица
среды колеблется с периодом Т, а скорость распространения волны u , то
между длиной волны
, периодом Т и скоростью распространения волны
u существует связь
uT .
Вместо периода колебаний часто используют частоту
v зв
1
,
T
которая равна числу колебаний точки среды за единицу времени.
Отметим, что при распространении волны частицы среды не переносятся
волной, а лишь совершают колебания. Волной переносится энергия и
импульс.
Волновым фронтом называют геометрическое место точек, до которых
доходят колебания к рассматриваемому моменту времени. Пример:
распространение волны на поверхности воды от брошенного камня.
Волновой поверхностью называют геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе. Волновые поверхности могут иметь
различную форму: плоские, цилиндрические, сферические волны и др.
Рассмотрим плоскую волну, которая распространяется вдоль оси х.
Если смещение точек среды обозначить ξ(x,t), то распространяющаяся волна
описывается уравнением
( x, t )
A cos
x
.
u
t
Это уравнение называют уравнением бегущей волны. Здесь А – амплитуда
2 – циклическая частота волны, u – скорость
волны,
распространения волны. Часто для характеристики распространяющейся
волны используют волновое число
k
u
2
uT
2
,
которое является величиной, обратной длине волны. Уравнение бегущей
волны в этом случае принимает вид
( x, t ) A cos( t kx) .
Для описания волновых процессов можно получить специальное
дифференциальное уравнение в частных производных (волновое
уравнение), которое значительно сложнее, чем уравнение колебаний.
Распространение звука, света, электромагнитного излучения описывается в
рамках теории волновых процессов. При распространении и взаимодействии
волн возникает много явлений, которые не имеют аналогов в механике:
интерференция, дифракция, дисперсия, поляризация и др.
В упругой среде могут распространяться механические волны, которые
описываются уравнением
2
t2
Здесь
2
u
2
.
(4)
x2
( x, t ) – смещение в точке x в момент времени t, u – скорость
распространения волны. Уравнение (4) называется волновым уравнением.
Одно из простейших его решений
( x, t )
a cos
t
x
.
u
Часто это решение записывают в виде
( x, t ) a cos( t kx) ,
где k
/ u – волновое число.
Лекция 10 СТО
Механика Ньютона, или, как говорят, классическая механика, основана на
принципе относительности Галилея, согласно которому все законы механики
одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Математически принцип относительности в классической механике
выражается с помощью преобразования Галилея — закона сложения
скоростей при переходах от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Согласно этому закону скорость тела в неподвижной системе отсчета
представляет собой сумму скорости тела по отношению к движущейся
системе отсчета и скорости самой системы отсчета по отношению к
неподвижной. Для всех наблюдаемых движений в природе, скорости
которых малы по сравнению со скоростью света, этот закон выполняется с
точностью, которая не давала оснований сомневаться в его справедливости
вплоть до конца 19-го столетия.
Измерения скорости света, проведенные с большой точностью в конце 19-го
века, показали, однако, что закон сложения скоростей Галилея не
выполняется для световых лучей. Скорость света, измеренная в движущейся
системе координат, оказалась в точности такой же, как и для неподвижной
системы отсчета. Таким образом, был установлен экспериментальный факт
независимости скорости света от скорости движения источников либо
приемников света. Другими словами, было установлено, что скорость света
является абсолютной постоянной величиной, равной скорости света в
пустоте с. Этот факт невозможно совместить с принципом относительности
Галилея.
Возникшее противоречие в классической механике привело А. Эйнштейна к
необходимости допустить, что классическая механика справедлива лишь для
скоростей малых по сравнению со скоростью света. При скоростях движения,
сравнимых со скоростью света, справедлива созданная А. Эйнштейном
механика специальной теории относительности, или, как ее называют,
релятивистская механика. Если в релятивистской механике скорость света
устремить к бесконечности, мы получим механику Ньютона.
Принцип относительности Эйнштейна состоит в том, что не только законы
механики, но и вообще все физические законы должны не зависеть от
выбранной инерциальной системы отсчета. Поскольку распространение света
представляет собой физический процесс, его скорость в пустоте должна быть
неизменной в эквивалентных системах координат.
Предположение об абсолютности скорости света приводит к целому ряду
следствий, необычных и не наблюдаемых в условиях механики Ньютона.
Одно из следствие постоянства скорости света состоит в отказе от
абсолютного характера времени, который был привит в механике Ньютона.
Нужно теперь допустить, что время течет по-разному в разных системах
отсчета — события, одновременные в одной системе, окажутся
неодновременными в другой.
Пусть имеются инерциальные системы отсчета K и K', показанные на рис. На
рисунке предполагается, что движется система K', в то время как система K
неподвижна. С таким же правом можно считать, что неподвижна система K',
а система K движется относительно нее со скоростью —V.
Предположим, что происходит какое-то событие. В
системе K. оно характеризуется значениями координат и времени x, у, z, t; в
системе K'— значениями координат и времени x', y', z', t'. Найдем формулы
связывающие нештрихованные значения со штрихованными. Из
однородности пространства и времени следует, что эти формулы должны
быть линейными.
При показанном на рис. направлении координатных осей плоскость y' = 0
совпадает с плоскостью y = 0, а плоскость z' = 0 совпадает с плоскостью z = 0.
Отсюда вытекает, что, например, координаты y и y' должны обращаться в
нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени.
Это возможно лишь при условии, что
y = α·y',
где вследствие линейности уравнения α - постоянная величина. Ввиду
равноправности систем K и K' обратное преобразование должно иметь вид
y'=α·
с тем же значением а, что и при прямом преобразовании. Перемножив оба
соотношения, найдем, что α2 = 1, откуда α = ±1. Для одинаково направленных
осей нужно взять α = +1. В результате находим, что
y =y' или y' = y.
Аналогичным образом получается формула
z = z' или z' = z.
Из этих формул вытекает, что значения y и z не зависят от x' и t', откуда
следует, что значения x' и t' не могут зависеть от y и t; соответственно
значения x и t не могут зависеть от y' и z'. Это означает, что x и t являются
линейными функциями только x' и t'.
Из рис. следует, что точка O имеет координату x = O в системе K и x' = —Vt'
в системе K'. Следовательно, выражение x' + Vt' должно обращаться в нуль
одновременно с координатой x (когда x' + Vt' равно нулю, x' = —Vt'). Для
этого линейное преобразование должно иметь вид
x = γ(x' + Vt'),
где γ — константа. Точка O имеет координату x' = 0 в системе K' и x = V·t в
системе K. Следовательно, выражение x — V·t должно обращаться в нуль
одновременно с координатой x' (когда x — V·t = 0, то x =V·t). Для этого
нужно, чтобы выполнялось соотношение
x' = γ(x - Vt).
В силу равноправности систем K и K' коэффициент γ в обоих случаях должен
быть один и тот же.
Теперь воспользуемся принципом постоянства скорости света. Начнем
отсчет времени в обеих системах с того момента, когда начала координат O и
O' совпадают. Предположим, что в момент t = t' = 0 в направлении осей x и x'
посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране.
Это событие (вспышка) характеризуется в системе K координатой x и
временем t, а в системе K'— координатой x' и временем t', причем
x = ct, x' =ct'.
(скорость c в обоих случаях одна и та же). Подставив эти значения x и x' в
формулы, получим соотношения
ct = γ(ct' + Vt') = γ(c + V)t',
ct' = γ(ct - Vt) = γ (c - V)t.
Перемножив эти соотношения и сократив обе части получившегося
равенства на tt', придем к уравнению
c2 = γ2(c2 - V2).
Отсюда
1
1
,
где β = V/c.
2
2
2
1 V c
1
Подстановка найденного значения у приводит к формулам
x Vt
x Vt
,
.
x
x
2
2
1
1
В результате придем к формулам
t
( V c 2 )x
t
2
1
,t
t ( V c 2 )x
1
2
Напишем вместе формулы (1.104), (1.105), (1.110) и (1.111), подразделив их
на две группы:
x
x
Vt
1
x
2
x Vt
2
,
y =y , z = z',
t
t
( V c 2 )x
1
, y' = y, z' = z,
t
2
t ( V c 2 )x
2
,
.
1
1
Эти формулы называются преобразованиями Лоренца. В преобразованиях
Лоренца «перемешаны» координаты и время. Например, время t в системе K
определяется не только временем t' в системе K', но также и координатой x'.
В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени.
В пределе при c -» ∞ преобразования Лоренца переходят в преобразования
Галилея. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных
системах отсчета обусловлено существованием предельной скорости
распространения взаимодействий. При скоростях много меньших скорости
света (т. е. при β << 1) преобразования Лоренца практически не отличаются
от преобразований Галилея. Следовательно, преобразования Галилея
сохраняют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света.
При V > c выражения для x, t, x' и t' становятся мнимыми. В этом проявляется
то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с, невозможно.
Невозможна даже система отсчета, движущаяся со скоростью с, потому что
при V = c знаменатели формул для x и t обращаются в нуль.
Преобразованиям Лоренца можно придать симметричный вид, если написать
их для x и ct, т. е. для величин одинаковой размерности. В этом случае
формулы преобразований выглядят следующим образом:
сt (V c) x
x Vt
x Vt
, y =y , z = z', (сt )
,
, y' = y, z'
x
x
2
2
2
1
1
1
= z, (сt )
сt (V c) x
1
2
.
Формулы для x и ct, а также для x' и ct' отличаются друг от друга только
перестановкой соответствующих переменных Промежуток времени между
событиями. Пусть в системе K' в одной и той же точке с координатой x'
происходят в моменты времени t'1 и t'2 два каких-то события. Это могут быть,
например, рождение элементарной частицы и ее последующий распад. В
системе K' эти события разделены промежутком времени
t' = t'2 - t'1.
Найдем промежуток времени t между событиями в системе K, относительно
которой система K' движется со скоростью V. Для этого определим в системе
K моменты времени t1 и t2, соответствующие моментам t'1 и t'2 и образуем их
разность:
t = t2 — t1.
Подстановка в нее значений координаты и моментов времени приводит к
выражениям
t1
t1 ( V c 2 ) x
Отсюда
1
2
t2
t2
( V c 2 )x
1
t2
t1
2
t2
.
t1
2
.
1
Если события происходят с одной и той же частицей, покоящейся в системе
K', то t' = t'2 —t'1 представляет собой промежуток времени, измеренный по
часам, неподвижным относительно частицы и движущимся вместе с ней
относительно системы K со скоростью v, равной V (напомним, что буквой V
мы обозначаем только относительную скорость систем; скорости частиц и
часов мы будем обозначать буквой v). Время, отсчитанное по часам,
движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела и
обычно обозначается буквой τ. Следовательно, t' = τ. Величина t == t2 —
t1 представляет собой промежуток времени между теми же событиями,
измеренный по часам системы K, относительно которой частица (вместе со
своими часами) движется со скоростью v. С учетом сказанного
t 1 v2 c2 .
Из полученной формулы следует, что собственное время меньше времени,
отсчитанного по часам, движущимся относительно тела (очевидно, что часы,
неподвижные в системе K, движутся относительно частицы со скоростью —
v). В какой бы системе отсчета не рассматривалось движение частицы,
промежуток собственного времени измеряется по часам системы, в которой
частица покоится. Отсюда следует, что промежуток собственного времени
является инвариантом, т. е. величиной, имеющей одно и то же значение во
всех инерциальных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя,
«живущего» в системе K, t есть промежуток времени между событиями,
измеренный по неподвижным часам, а
τ— промежуток времени,
измеренный по часам, движущимся со скоростью v. Поскольку τ < t,
можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы.
Подтверждением этого служит следующее явление. В составе космического
излучения имеются рождающиеся на высоте 20—30 км нестабильные
частицы, называемые мюонами. Они распадаются на электрон (или
позитрон) и два нейтрино. Собственное время жизни мюонов (т. е. время
жизни, измеренное в системе, в которой они неподвижны) составляет в
среднем примерно 2 мкс. Казалось бы, что даже двигаясь со скоростью,
очень мало отличающейся от c, они могут пройти лишь путь, равный
3·108·2·10-6 м. Однако, как показывают измерения, они успевают в
значительном количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется
тем, что мюоны движутся со скоростью, близкой к c. Поэтому их время
жизни, отсчитанное по часам, неподвижным относительно Земли,
оказывается значительно большим, чем собственное время жизни этих
частиц. Следовательно, не удивительно, что экспериментатор наблюдает
пробег мюонов, значительно превышающий 600 м. Для наблюдателя,
движущегося вместе с мюонами, расстояние до поверхности Земли
сокращается до 600 м, поэтому мюоны успевают пролететь это расстояние за
2 мкс.
Из преобразований Лоренца можно получить следствия, казалось бы,
противоречащие нашему повседневному опыту. Это противоречие
обусловлено тем, что наш опыт относится к процессам, протекающим со
скоростями, весьма малыми по сравнению со скоростью света, и поэтому
явления, которые мы сейчас рассмотрим, нами не ощущаются. Однако они с
несомненностью присущи миру элементарных частиц, в котором движение
со скоростями, близкими к c, представляет собой заурядное явление.
Относительность понятия одновременности.
Рассмотрим инерциальные системы отсчета KА и KВ.
а — Система KВ движется относительно системы KА вправо; следовательно,
KА играет роль системы K, а KВ — роль системы K', б — Система Kв
движется относительно системы KА влево; это равнозначно тому, что KА
движется относительно KВ вправо; следовательно, KА играет роль системы K',
а KВ — роль системы K.
Предположим, что в системе KА в точках с координатами x1А и x2А (x2А > x1А)
происходят в момент времени tA два одновременных события. Найдем
разность моментов времени t2B и t1B, в которые будут зарегистрированы эти
события в системе KB.
Если система KB движется относительно KА вправо (рис.a), то, применяя
преобразования Лоренца, KA нужно считать системой K, а KB—системой K' и
пользоваться для вычисления моментов времени t1B и t2B формулами (111). В
этом случае
t1B
t A ( V c 2 ) x1A
1
2
t 2B
,
t A ( V c 2 ) x 2A
1
2
Соответственно
t 2B
t1A
( V c 2 )( x 2A
x1A )
2
1
0.
Если же система KB движется относительно КA влево (рис.б), то KА нужно
считать системой K', а KB—системой K и пользоваться другой формулой. В
этом случае
t1B
t 2B
t A ( V c 2 ) x1A
1
t1A
2
;
( V c 2 )( x 2A
1
t 2B
2
x1A )
t A ( V c 2 ) x 2A
1
2
.
0.
Таким образом, в любой системе, кроме KA, события оказываются
неодновременными, причем в одних системах второе событие будет
происходить позже первого (t2B > t1B), а в других системах второе событие
будет происходить раньше первого (t2B < t1B).
Нужно иметь в виду, что полученный нами результат относится лишь к
событиям, причинно не связанным друг с другом (очевидно, что события,
происходящие одновременно в разных точках пространства, не могут
оказывать воздействия друг на друга). Иначе обстоит дело, если между
событиями имеется причинная связь. В этом случае событие-причина во всех
системах отсчета предшествует событию-следствию. Рождение элементарной
частицы во всех системах отсчета происходит раньше ее распада. Ни в одной
из систем «сын не рождается раньше отца».
Длина тел в разных системах отсчета. Сравним длину стержня в
инерциальных системах отсчета K и K' (рис.). Предположим, что стержень,
расположенный вдоль совпадающих осей x и x' покоится всистеме K'. Тогда
определение его длины в этой системе не доставляет хлопот. Нужно
приложить к стержню масштабную линейку и определить координату x'1
одного конца стержня, а затем координату x'2 другого конца. Разность
координат даст длину стержня 0 в системе K': 0 = x'2 - x'1.
Стержень покоится в системе K'. Относительно системы K он движется
со скоростью v, равной относительной скорости систем V.
В системе K дело обстоит сложнее. Относительно этой системы стержень
движется со скоростью v, равной скорости V, с которой система K' движется
относительно системы K. (Обозначение V мы будем употреблять только
применительно к относительной скорости систем отсчета.) Поскольку
стержень движется, нужно произвести одновременный отсчет координат его
концов x1 и x2 в некоторый момент времени t. Разность координат даст длину
стержня  в системе K:
 = x2 - x1 .
Для сопоставления длин  и 0 нужно взять ту из формул преобразований
Лоренца, которая связывает координаты x, x' и время t системы K, т. е.
первую из формул (113). Подстановка в нее значений координат и времени
приводит к выражениям
x1 Vt
x 2 Vt
.
x1
x2
2
2
1
1
Отсюда
x 2 x1
x 2 x1
.
2
2
1 V c
(мы подставили вместо β его значение). Заменив разности координат
длинами стержня, а относительную скорость V систем K и K' равной ей
скоростью стержня v, с которой он движется в системе K, придем к формуле
 0 1 v2 c2 .

Таким образом, длина движущегося стержня оказывается меньше той,
которой обладает стержень в состоянии покоя. Аналогичный эффект
наблюдается для тел любой формы: в направлении движения линейные
размеры тела сокращаются тем больше, чем больше скорость движения Это
явление называется лоренцевым (или фицджеральдовым) сокращением.
Поперечные размеры тела не изменяются. В результате, например, шар
принимает форму эллипсоида, сплющенного в направлении движения.
Можно показать, что зрительно этот эллипсоид будет восприниматься в виде
шара. Это объясняется искажением зрительного восприятия движущихся
предметов, вызванным неодинаковостью времен, которые затрачивает свет
на прохождение пути от различно удаленных точек предмета до глаза.
Искажение зрительного восприятия приводит к тому, что движущийся шар
воспринимается глазом как эллипсоид, вытянутый в направлении движения.
Оказывается, что изменение формы, обусловленное лоренцевым
сокращением, в точности компенсируется искажением зрительного
восприятия.
В обычном пространстве расстояние
 между двумя точками с
координатами xi, у1, z1 и x2, у2, z2. определяется выражением

x2
y2
z2 ,
где x = x2 - x1 и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы
координат, т. е. является инвариантом. При переходе к другой координатной
системе изменяются, вообще говоря, величины x, y и z, однако эти
изменения таковы, что расстояние  остается одним и тем же.
Казалось бы, что расстояние (или, как принято говорить, интервал) между
двумя мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно
определяться аналогичным выражением
s
c2 t 2
x2
y2
z2 ,
где t = t2 - t1 и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала,
поскольку оно не является инвариантом — при переходе к другой
инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения
изменяется. Инвариантным, как мы покажем, является выражение
s
c2 t 2
x2
y2
z2 ,
которое называют интервалом между событиями. Величина s является
аналогом расстояния  между точками в обычном пространстве.
Причина
того,
что
интервал
определяется
не
выражением
………….
s
c2 t 2
x2
y2
z2 ,
а
выражением
…………
s
c2 t 2
x2
y2
z2 ,
заключается в том, что, как говорят, метрика пространства-времени
отличается от метрики обычного трехмерного пространства. В обычном
пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его
называют евклидовым. Качественное различие между временем и
пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат
временной координаты и квадраты пространственных координат входят с
разными знаками. Пространство, в котором расстояние между точками
определяется выражением вида
s
c2 t 2
x2
y2
z 2 , называется
псевдоевклидовым. Его можно написать в виде
s
c2 t 2
2 ,
где  — расстояние между точками обычного пространства, в которых
произошли данные события.
Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же
частицей. Тогда отношение / t дает скорость частицы v. Поэтому, вынеся
из-под корня c t, получим, что
s
c t 1 (  c t )2
c t 1 v2 c2 .
Мы получили выражение
t 1 v 2 c 2 . Оно равно
τ — промежутку
собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы
приходим к соотношению
s = c· τ.
В рамках классической механики масса тела считается величиной
постоянной. В рамках специальной теории относительности масса зависит от
скорости движения тела. Обозначим массу тела в неподвижной системе
координат К через т0 (масса покоя). Используя постулаты СТО и полагая,
что законы сохранения энергии и импульса остаются справедливыми и в
рамках СТО, можно показать, что в движущейся системе отсчета К' масса
тела определяется формулой
m0
,
m
2
1
т.е. масса тела в движущейся системе возрастает. Массу т называют
релятивистской массой, в отличие от m0 – массы покоя. Отметим, что масса
т не является инвариантом.
Импульс материальной точки в движущейся системе координат определяется
формулой
m0 v
.
p mv
2
1
Вектор р, определяемый этой формулой, называют релятивистским
импульсом.
Основной закон движения материальной точки в релятивистской динамике
принимает вид
m0 v
d
dp
F.
F или
dt 1 v 2 / c 2
dt
Выполняя дифференцирование в последней формуле,
преобразований получить выражение для ускорения
a
dv
dt
1
2
F
m0
vF
m0 c 2
можно
после
v .
Отсюда видно, что в общем случае направление вектора ускорения a не
совпадает с направлением вектора силы F. Возможны два частных случая,
когда направления а и F совпадают:
v||F
( vF)v
vFv v 2 F .
Используя формулу для а, получим
m0a
F.
2 3/ 2
1
2)
v
F
vF
0.
Из формулы для ускорения получим
m0a
F.
2
1
Если под р понимать релятивистский импульс, то основной закон динамики
выглядит одинаково в классической и релятивистской механике. Можно
показать, что это релятивистское уравнение движения инвариантно
относительно преобразований Лоренца, т.е. переход к новой системе
координат, движущейся относительно исходной, не меняет вида этого
уравнения.
Установим связь между массой и энергией движущейся материальной точки.
Считая, что изменение кинетической энергии равно произведенной работе
dT dA или dT
можно записать
m0 v
d
dt
dT
Fdr Fv dt ,
vdt
vd
m0 v
.
1 v2 / c2
1 v2 / c2
Это выражение можно преобразовать к виду
dT
m0 c 2
d
c 2 dm .
1 v2 / c2
Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна
массе покоя т0. Проинтегрируем полученное уравнение
T
m
dT
0
c 2 dm
T
(m m0 )c 2 .
m0
Следовательно, кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид
T
1
m0 c 2
2
2
1 .
1 v /c
Используя известную математическую формулу приближенного вычисления,
справедливую при малых х
1 2
(1 x)
1 x
(1 x 2 ) 1 / 2 1
x ,
2
получим для малых скоростей
m0 v 2
,
2
что совпадает с классическим выражением для кинетической энергии.
Эйнштейн предположил, что выражение dT = c2dm справедливо для любого
вида энергии
T
E c2 m
и пришел к универсальной зависимости между массой и энергией
E
mc
2
m0 c 2
1
2
.
Это соотношение выражает фундаментальный закон природы – закон
взаимосвязи массы и энергии. Учитывая условие Т=(т – т0)с2, последнюю
формулу можно записать в виде
E
mc 2
m0c 2 T ,
откуда следует, что покоящееся тело обладает энергией
E
m0c 2 ,
которую называют энергией покоя.
Найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом
частицы
m2c 4
v2
mc 1 2
c
v2
1 2
c
m02 c 4
p 2c 2 .
2 4
0
E2
v2
c2
m02 c 4
p 2c 2
или
E
Соотношение Е=тс2 применимо ко всем видам энергии. Например,
электромагнитное излучение, которое не обладает массой покоя, имеет
массу, связанную с энергией электромагнитного поля
m
E
.
c2
Связь между массой и энергией лежит в основе ядерных реакций и
различных превращений элементарных частиц. При этих реакциях часть
энергии, существовавшая в виде массы покоя, превращается в кинетическую
энергию движения – происходит превращение различных видов энергии.
Так, при взрыве атомной бомбы всего лишь несколько граммов массы покоя
урана или плутония превращаются в энергию движения.
Лекция 11 Идеальный газ. Молекулярно-кинетическая теория газов
В механике рассматривалось движение материальных точек или твердых тел,
форма которых была неизменной, жестко фиксированной. Процессами,
которые происходят внутри твердых тел, мы не интересовались. Изучением
внутренних свойств вещества занимается молекулярная физика.
Молекулярной физикой называется раздел физики, в котором изучаются
свойства вещества на основе молекулярно-кинетических представлений.
Здесь считается, что вещество состоит из молекул и рассматриваются
различные формы движения этих молекул (перемещения, повороты,
столкновения, колебания и др.).
При изучении вещества приходится иметь дело с системами, содержащими
огромное число элементов. В 1 см3 воздуха при нормальных условиях
содержится примерно 3 1019 молекул. Описать движение всех молекул
невозможно и не нужно. Для изучения систем, состоящих из большого числа
частиц, созданы специальные разделы физики: статистическая физика и
термодинамика.
Статистической физикой называется раздел физики, в котором свойства
вещества и поля исследуются статистическими методами. К статистическим
методам можно отнести теорию вероятностей, математическую статистику,
теорию случайных процессов и ряд других разделов математики.
Молекулярная физика является одним из элементов статистической физики.
Термодинамикой называется раздел физики, в котором изучаются общие
свойства макроскопических систем с позиций термодинамических законов.
Сами термодинамические законы являются обобщением опытных данных. В
термодинамике не учитывается молекулярная структура вещества, и ее
выводы справедливы для всех макроскопических систем.
Молекулярная физика и термодинамика взаимно дополняют друг друга,
образуя единое целое, но различаясь методами исследования.
Мы будем рассматривать равновесную термодинамику, т.е. изучать общие
свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии равновесия, а
также переходные процессы между состояниями равновесия. Существует
также неравновесная термодинамика, позволяющая с позиций общих законов
рассматривать неравновесные процессы.
Термодинамической системой называется совокупность макроскопических
тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой,
так и с другими телами. Простейшими примерами термодинамических
систем являются газ, жидкость, твердое тело, их соединения и пр.
Термодинамическая система характеризуется различными параметрами,
важнейшими из которых являются температура Т, давление р, объем V. Их
называют параметрами состояния.
Состояние системы, при котором параметры состояния не меняются во
времени, называют равновесным.
Термодинамическим процессом называют переход системы из одного
состояния в другое. Такой переход связан с нарушением равновесия системы,
когда происходит изменение хотя бы одного из термодинамических
параметров. Будем считать, что такое изменение происходит достаточно
медленно, так что в любой момент времени состояние системы можно
считать почти равновесным (квазиравновесным).
Если по координатным осям откладывать значения каких-либо равновесных
параметров, то равновесное состояние системы можно изобразить точкой на
координатной плоскости. Термодинамический процесс можно изобразить
соответствующей термодинамической кривой. На рисунке показана p V
диаграмма некоторого термодинамического процесса. Система переходит из
состояния 1 в состояние 2, оставаясь при этом в состоянии квазиравновесия
во всех промежуточных точках.
P
1
2
V
Процесс называется обратимым, если все его состояния являются
равновесными. В противном случае процесс называют необратимым.
Круговым процессом или циклом называют процесс, при котором система
после ряда изменений возвращается в исходное состояние.
P
1
V
При молекулярно-кинетическом описании вещества в качестве единицы
количества вещества часто выбирают один моль.
Молем называют количество вещества, содержащее столько же молекул,
сколько атомов содержится в 12 г углерода
числом (постоянной) Авогадро и оно равно N A
12
C . Это число называют
6,022 10 23 моль–1.
Для описания состояния газа обычно используются три параметра: объем,
давление и температура. Понятие объема всем известно.
Давлением называется физическая величина, численно равная силе,
действующей на единицу площади по нормали к ней
F
.
P
S
Единицей давления является 1 паскаль
Н
.
1 Па
м2
Часто давление измеряют в атмосферах. Приближенно
1 атм 105 Па .
В механике для описания движения материальной точки использовалось
понятие координаты, скорости, ускорения, массы, импульса, силы и др. В
молекулярной теории от некоторых параметров приходится отказываться
(координаты, скорости отдельных частиц и пр.) и вводить ряд новых
параметров, которых нет в механике, например, температуру.
Температурой называется физическая величина, характеризующая
состояние термодинамического равновесия макроскопической системы.
Температура измеряется в градусах Цельсия ºС или К (существуют и другие
системы, напр., шкала Фаренгейта, … ). Если t – температура в градусах
Цельсия, а T – температура в градусах Кельвина, то между ними существует
отношение
T t 273 .
Отметим, что понятие температуры полностью отсутствует в механике. В
статистической физике введение понятия температуры связано с
существованием большого числа элементов макроскопической системы
(статистический ансамбль) и вводится как некоторая усредненная
характеристика энергии отдельной частицы.
Простейшей моделью, описывающей газы, является модель идеального газа.
В этой модели делаются следующие предположения:
1) молекулы газа настолько удалены друг от друга, что взаимодействие
между ними отсутствует;
2) молекулы могут абсолютно упруго сталкиваться друг с другом и со
стенками сосуда, в который они помещены;
3) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал.
При не очень больших давлениях большинство газов ведут себя как
идеальные. Более сложные процессы, например, превращение газа в
жидкость в рамках идеального газа описать нельзя.
Для описания состояния газа обычно используются три параметра: объем,
давление и температура. Опытным путем, еще до создания молеку4лярнокинетической теории, был установлен ряд законов, описывающих движение
идеальных газов. Рассмотрим эти законы.
Закон Авогадро: Моль любого газа при фиксированных значениях давления
и температуры имеет один и тот же объем. При нормальных условиях этот
объем равен 22,41·10–3 м3/моль. Число молекул в одном моле вещества
называют числом Авогадро (постоянная Авогадро):
NA
6,022 10 23 1/моль.
Закон Дальтона: Давление смеси идеальных
парциальных давлений входящих в нее газов:
P P1 P2 ... Pn .
газов
равно
сумме
Отметим, что парциальным давлением газа смеси называется давление,
которое оказывал бы один этот газ, если бы он занимал тот же объем при той
же температуре.
Уравнением состояния газа называется уравнение, устанавливающее связь
между параметрами Р, V и Т. Используя полученные из опыта соотношения
для идеального газа, Б. Клапейрон получил соответствующее уравнение
состояния газа
PV
B const .
T
Записанное выражение называют уравнением Клапейрона.
Входящая сюда величина В изменяется при изменении количества газа.
Менделеев записал уравнение Клапейрона для одного моля газа
PVm
R.
T
Здесь Vm – объем одного моля газа, который, согласно закону Авогадро,
является постоянной величиной. Величину R называют молярной газовой
постоянной или просто газовой постоянной, ее числовое значение R=8,31
Дж/моль·К. Само уравнение
PVm
R
T
называют уравнением Клапейрона-Менделеева.
Молярной массой вещества называется масса одного моля вещества. Если т
– масса всего вещества, а μ – масса одного моля, то число молей
определяется формулой
m
.
Объем ν молей вещества V Vm и уравнение Клапейрона-Менделеева
можно записать в виде
PV
m
R
R.
T
Постоянной Больцмана называется величина
R
8,31
k
1,23 10 23 Дж/К.
23
N A 6,022 10
Запишем уравнение состояния для одного моля, выражая давление через
температуру и концентрацию молекул:
RT kN AT
P
nkT ,
Vm
Vm
где n N A / Vm – концентрация молекул (число молекул в единице объема).
Рассмотрим некоторые характеристики идеального газа с точки зрения
молекулярно-кинетической теории. Будем считать, что внутри закрытого
сосуда объема V содержится N молекул газа при температуре Т. Молекулы
находятся в движении, сталкиваются между собой и со стенками сосуда. При
столкновениях происходит обмен энергией между молекулами, а также
между молекулами и стенками сосуда.
Вычислим давление газа на стенку, используя упрощенную модель. Введем
следующие допущения:
1) все молекулы имеют одну и ту же скорость v;
2) молекулы движутся в трех взаимно перпендикулярных направлениях;
3) отражения молекул от стенок абсолютно упругие;
4) столкновения между молекулами не учитываются.
Если молекула массой m0 движется перпендикулярно к стенке со скоростью
v и упруго отражается, то изменение ее импульса
p
m0v m0v ( m0v) 2m0v .
Записывая закон Ньютона в форме
2m0 v
p
,
F1
t
t
можем найти выражение для давления на стенку, создаваемого одной
молекулой при отражении
2m0 v
F1
.
P
S t
S t
Число молекул, долетающих до стенки и попадающих на площадку S за
время t равно числу молекул, содержащихся в цилиндре высотой v t и
движущихся по направлению к стенке:
1
N
nv t S .
6
Давление на стенку
F1 N 2m0 v 1
1
P
nv S t
m0 nv 2 .
S
S t6
3
Уравнение
1
P
nm0 v 2
3
называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории
идеальных газов.
Кинетическая энергия движущейся молекулы определяется формулой
m0 v 2
.
2
Следовательно, основное уравнение можно записать по-другому
2
P
n .
3
Первоначальную упрощенную модель можно сделать более реальной, считая,
что молекулы движутся по всем направлениям и могут иметь любую
скорость.
Средней квадратичной скоростью называется величина
1
vi2 .
N
Учитывая распределение молекул по скоростям и направлениям, основное
уравнение молекулярно-кинетической теории газов можно получить в виде
1
P
nm0 v 2 .
3
Сравним полученное выражение с уравнением Клапейрона-Менделеева и
введем понятие температуры с молекулярно-кинетической точки зрения.
Учитывая, что средняя кинетическая энергия одной молекулы
vкв
v2
m0 v 2
,
2
запишем
2
P
n .
3
Имеем
N
N
n
V
Vm
NA
.
Vm
Тогда
2
2
NA
E,
3
3
где Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех
молекул, содержащихся в одном моле. Сравнивая эту формулу с уравнением
Клапейрона-Менделеева
PVm RT ,
PVm
получим
2
2E
,
RT
E
T
3
3R
т.е. температура является мерой кинетической энергии молекул. Выразим
энергию через температуру:
3
3
E
3
E
RT
kN AT
kT .
2
2
NA 2
Отсюда видно, что средняя кинетическая энергия поступательного движения
3
одной молекулы с точностью до коэффициента k совпадает с температурой
2
0 , т.е. все молекулы неподвижны.
Т. В частности, при Т=0 имеем
Соответственно получим P 0 .
Зная температуру Т, легко определить среднюю скорость движения молекул
m0 v 2
2
3
kT
2
vкв
v2
3kT
.
m0
При комнатной температуре получим для молекул кислорода О2 vкв
480
м/c, для водорода Н2 vкв 1900 м/c.
Лекция 12 Статистические распределения
Молекулы газа имеют различные направления и скорости. Молекулы
взаимодействуют между собой и со стенками сосуда, поэтому в системе
устанавливается равновесное распределение молекул по скоростям и
направлениям. Рассмотрим такое равновесное распределение. Из
соображений симметрии, учитывая отсутствие в пространстве выделенных
направлений, ясно, что в равновесном состоянии все молекулы распределены
по направлениям равномерно. При каждой температуре существует свое
равновесное распределение молекул по скоростям, которое описывается
формулой Максвелла.
Функцией распределения молекул по скоростям f (v) называется
функция, которая определяет относительное число молекул, скорости
которых заключены в интервале от v до v+dv:
1 dN
.
f (v )
N dv
Можно показать, что функция f(v) определяется выражением:
3/ 2
m0 v 2
m0
f (v ) 4
v 2 e 2kT .
2 kT
Эта функция называется распределением Максвелла. График этой функции
показан на рисунке
Из приведенного графика видно, что существует наиболее вероятное
значение скорости молекулы. Для его определения надо приравнять нулю
производную этой функции. Опуская выкладки, запишем результат
2kT
vв
.
m0
(получить этот результат самостоятельно).
Используя выражения для функции распределения можно получить среднее
значение скорости и другие характеристики движения.
Найдем выражение для функции распределения молекул по энергиям.
Выражая энергию через скорость
m0 v 2
,
2
запишем
2
v
m0
dv
d
1
2m0
dv
1
d .
2m0
Выразим f(v) и dv через ε и dε. После преобразований, учитывая условие
f (v)dv f1 ( )d ,
получим
dv
2
f1 ( ) f (v)
e / kT .
3
/
2
d
(kT )
Эта функция описывает распределение молекул по энергиям теплового
движения. Среднее значение энергии одной молекулы (математическое
ожидание случайной величины ε) определяется формулой
f ( )d
0
3
kT .
2
Для интерпретации этой формулы введем следующее понятие.
Числом степеней свободы молекулы называется число независимых
переменных, которые полностью определяют положение молекулы в
пространстве. Рассмотрим простейшие случаи:
одноатомная молекула рассматривается как материальная точка и имеет
три пространственные координаты (x,y,z) (три поступательных координаты).
i iпост 3 ;
двухатомная молекула может быть представлена в виде
i iпост iвращ 3 2 5 ;
и имеет три поступательных и две вращательных степени свободы.
трехатомная и более сложные молекулы имеют три поступательных и
три вращательных степени свободы
i iпост
iвращ
3 3 6.
В более сложных случаях следует учитывать наличие колебательных
степеней свободы
i iпост
iвращ
2iкол
3 2 2 7.
Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням
свободы: Для статистической системы, находящейся в состоянии
термодинамического равновесия, на каждую поступательную и
вращательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия,
равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы – в среднем
энергия, равная kT.
Из закона Больцмана следует, что средняя энергия молекулы определяется
формулой
i
kT ,
2
где i – число степеней свободы молекулы.
Из закона Больцмана вытекает физический смысл температуры: температура
– это величина, пропорциональная средней энергии, приходящейся на одну
степень свободы. Учитывая наличие различных степеней свободы, можно
определить среднюю энергию различных молекул.
Энергию одного моля можем записать в виде
i
i
Um
kTN A
RT ,
2
2
где R=kNA – термодинамическая постоянная. Для ν молей получим
i
U
RT .
2
Изменение энергии идеального газа при изменении температуры
U
При
R
i
R T.
2
1, i 1, T
2 получим
U.
Отсюда следует физический смысл газовой постоянной: Величина R равна
изменению внутренней энергии одного моля идеального газа,
приходящемуся на одну степень свободы при изменении температуры на 2К.
Важную роль в различных приложениях играет формула Больцмана,
описывающая изменение плотности газа в различных силовых полях.
Рассмотрим сначала изменение атмосферного давления с высотой. Выделим
столбик воздуха высотой h и составим уравнение, описывающее изменение
давления с высотой
Имеем
p ( p dp)
gdh
dp
gdh .
m
и используя уравнение состояния
V
Полагая
pV
m
RT ,
получим
m
V
p
RT
.
Следовательно,
dp
p
gdh
RT
dp
p
g
dh ,
RT
g
g
h ln C
p C exp
h .
RT
RT
Учитывая условие p(0) p0 , получим C p0 . Окончательно имеем
ln p
p ( h)
p0 exp
g
h .
RT
Полученную формулу называют барометрической. Она лежит в основе
приборов для определения высоты – высотомеров.
Запишем уравнение состояния в виде
p nkT
p0 n0 kT .
Подставляя эти выражения в барометрическую формулу, получим
n(h) n0 exp
g
h .
RT
Полученная формула называется распределением Больцмана. Она
описывает зависимость концентрации молекул воздуха от высоты. График
этой функции приведен ниже.
Выражая молярную массу через массу одной молекулы
m0 N A ,
преобразуем формулу Больцмана к другому виду:
n
m0 N A gh
m0 gh
U
n0 exp
n0 exp
,
RT
kT
kT
m0 gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.
n0 exp
где U
Отметим, что природа поля U может быть любая. Обычно под
распределением Больцмана понимают последнюю формулу.
Физической кинетикой называется наука, изучающая процессы,
возникающие при нарушениях равновесия. При изучении физической
кинетики широко используются методы термодинамики, статистической
физики и молекулярно-кинетической теории. Из многочисленных
проявлений физической кинетики рассмотрим теплопроводность, диффузию
и внутреннее трение.
При нарушении равновесия система стремится вернуться в равновесное
состояние. При этом в системе происходят процессы, связанные с переносом
какой-либо физической величины: массы, заряда, энергии, импульса и пр.
Отметим, что явления переноса обычно представляют собой необратимые
процессы.
Потоком физической величины называется количество этой величины,
переносимое в единицу времени через заданную поверхность. Примеры:
поток жидкости, поток света, поток тепла,… Для простоты будем
рассматривать поток через плоскость перпендикулярную оси х.
1. Теплопроводность. Известно, что тепло передается от более нагретых
участков к менее нагретым. Количественно процесс теплопроводности
описывается законом Фурье: тепловой
пропорционален градиенту температуры
поток
через
площадку
S
dT
S,
dx
qE
где
– коэффициент теплопроводности. Это эмпирическое уравнение,
полученное Фурье. Минус указывает на то, что тепло передается от более
нагретых частей к менее нагретым. Используя аппарат молекулярнокинетической теории, можно показать, что для идеальных газов коэффициент
λ определяется формулой
1
cv vl ,
3
где cv – удельная теплоемкость при постоянном объеме, v – средняя скорость
теплового движения молекул, l – средняя длина свободного пробега
молекулы.
Удельной теплоемкостью при постоянном объеме называется количество
теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1ºК при постоянном
объеме.
Средней длиной свободного пробега молекулы называется средний путь,
который
проходит
молекула
между
двумя
последовательными
столкновениями.
При теплопроводности происходит перенос энергии от более нагретых
областей к менее нагретым.
2. Диффузия. Диффузией называется самопроизвольное выравнивание
концентраций в смеси нескольких различных веществ, вызванное тепловым
движением молекул. Если в сосуде, разделенном перегородкой, содержатся
различные газы, то после удаления перегородки газы перемешаются.
N2
O2
Диффузия описывается законом Фика: поток массы пропорционален
градиенту плотности вещества
qm
D
d
S,
dx
где D – коэффициент диффузии. Минус указывает на то, что перенос
происходит от областей с большей к областям с меньшей концентрацией.
Можно показать, что D определяется формулой
D
1
vl .
3
Отметим, что при диффузии происходит перенос массы.
3. Внутреннее трение (вязкость). Рассмотрим две параллельные плоскости,
между которыми находится газ или жидкость. Пусть одна плоскость
неподвижна, а вторая движется со скоростью V.
z
v
d
Между соседними слоями жидкости возникнут силы внутреннего трения,
которые описываются законом Ньютона: сила внутреннего трения между
двумя слоями газа пропорциональна градиенту скорости
F
dV
S,
dx
где η – коэффициент вязкости. При внутреннем трении возникает поток
импульса между слоями жидкости или газа, т.е. здесь передается импульс.
Можно показать, что коэффициент вязкости определяется формулой
1
vl .
3
Нетрудно проверить, что коэффициенты переноса связаны соотношениями
D,
cv
cv D .
Связь между коэффициентами переноса указывает на то, явления переноса
имеют общую природу – тепловое движение молекул.
Лекция 13 Термодинамика
Внутренней энергией тела называют часть его полной энергии за вычетом
кинетической энергии движения тела как целого и потенциальной энергии
тела во внешнем поле. Таким образом, во внутреннюю энергию входят
кинетическая энергия поступательного и вращательного движений молекул,
потенциальная энергия их взаимодействия, энергия колебательного
движения атомов в молекулах, а также энергия различных видов движения
частиц в атомах.
В идеальном газе потенциальная энергия взаимодействия молекул
пренебрежимо мала и внутренняя энергия равна сумме энергий отдельных
молекул
E вн
Ei ,
i
где Ei — энергия отдельной молекулы. До сих пор мы пользовались
представлением о молекулах как о материальных точках. Кинетическая
энергия молекул считалась совпадающей с энергией их поступательного
движения, а средняя кинетическая энергия молекулы полагалась равной
3
Ek
k Б T . Эта энергия распределяется между тремя поступательными
2
степенями свободы.
Ввиду полной беспорядочности движения молекул в газе все направления
перемещения молекулы равновероятны. Поэтому на каждую степень
свободы поступательного движения приходится в среднем энергия
1
1
Ei
Ek
kT .
3
3
Представление о молекулах как о материальных точках оправдывается
только для одноатомных газов. В случае многоатомных газов нужно
рассматривать молекулы как сложные системы, способные вращаться как
целое, причем атомы в них могут совершать колебания вблизи своих
положений равновесия. Общее число степеней свободы молекулы при этом
увеличивается.
Вспомним, что числом степеней свободы механической системы называется
количество независимых параметров, с помощью которых может быть задано
положение системы. Так, положение материальной точки в пространстве
определяется заданием значений трех ее координат. В соответствии с этим
материальная точка имеет три степени свободы.
Положение абсолютно твердого тела можно определить, задав три
координаты его центра инерции и три угла, характеризующие возможные
повороты тела в пространстве. Таким образом, абсолютно твердое тело имеет
шесть степеней свободы — три поступательных и три вращательных.
N материальных точек, не связанных между собой, имеют 3N степеней
свободы. Поскольку положение в пространстве системы как целого точно так
же, как и положение абсолютно твердого тела определяется шестью
параметрами, упомянутыми выше, то число степеней свободы такой системы
равно 3·N-6. Это число соответствует возможным смещениям точек
относительно друг друга около своих положений равновесия. Такой тип
движения называется колебательным. Значит, количество колебательных
степеней свободы и есть 3·N-6.
Энергия молекул, состоящих из некоторого числа атомов, не жестко
связанных друг с другом, будет теперь складываться из энергии
поступательного движения, вращательной энергии и энергии колебаний
Ei = Eпоступ + Eвращ +Eколеб.
Нет причин полагать, что поступательное движение является в какой-то мере
выделенным по сравнению с вращательным или колебательным. Поэтому
следует считать, что по-прежнему на каждую степень свободы молекулы
приходится энергия, равная kT/2. Однако следует учесть особенность,
связанную с колебательным движением. Средняя энергия колебательного
движения складывается из средней кинетической энергии и равной ей
средней потенциальной энергии. Поэтому на каждую колебательную степень
свободы приходится энергия, в два раза большая, чем на поступательные или
вращательные степени свободы. Следовательно, средняя энергия молекулы
должна равняться:
<Ei> = i·k·T,
где i — сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа
колебательных степеней свободы молекулы:
i = iпоступ + iвращат + 2·iколеб.
Внутренняя энергия на один моль идеального газа
i
i
EM
N A kT
RT .
2
2
Внутренняя энергия системы может изменяться за счет
энергии, сообщаемой системе извне. Эта энергия может
сообщаться системе посредством двух процессов: либо за
счет работы, производимой внешними силами над
системой, либо за счет передачи ей тепла. Рассмотрим газ,
сжимаемый в сосуде поршнем под действием силы F
(рис.). Пусть под действием этой силы поршень
переместился на расстояние dh, сжав газ. Работа силы на
пути dh - dA = Fdh.
Разделив величину силы на площадь поршня, получим давление P, а
умножив на S, получим изменение объема газа dV . Таким образом,
производимая над газом работа
dA= PdV.
Такую же по величине работу совершает газ при
расширении, перемещая поршень. При этом dV
положительно,
если
газ
расширяется,
и
отрицательно при сжатии газа. Соответственно
работа dA положительна или отрицательна: в
первом случае система производит работу сама, во
втором — внешние силы производят работу над
системой.
Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или
сжатии изображается на кривой P, V участком 1-2 на рис. Полная работа,
совершаемая газом, при расширении от V1 до V2:
A
V2
PdV .
V1
Эта работа численно равна заштрихованной площади, заключенной под
кривой P(V).
Рассмотрим способы передачи телу тепла. При соприкосновении тел либо
при взаимодействии тел через излучение, изменение внутренней энергии
происходит за счет передачи энергии хаотически движущихся частиц одного
тела частицам другого.
Энергия, передаваемая от одного тела другому, представляет собой теплоту.
Обозначим ее через Q. Теплота измеряется в тех же единицах, что и энергия.
Связь между переданным теплом, изменением внутренней энергии системы и
произведенной работой выражается уравнением
dQ = dE + dA = dE + PdV.
Это уравнение представляет собой закон сохранения энергии применительно
к механической и тепловой энергии макроскопических тел. Он получил
название первого начала термодинамики.
Важно учесть, что в выражении работа и количество тепла не есть полные
дифференциалы каких-либо величин, в то время как внутренняя энергия
является таковой. Можно говорить о внутренней энергии в данном
состоянии, а не о количестве тепла или работы, которыми обладает тело.
Нельзя делить энергию тела на тепловую и механическую, речь идет лишь об
изменении внутренней энергии тела за счет количества тепла, переданного
ему или отданного им, и количества совершенной работы. Это разделение
неоднозначно и зависит от начального и конечного состояний тела и от
характера совершаемого процесса. Поэтому, например, в процессе перехода
из состояния 1 в состояние 2 изменение внутренней энергии может быть
равно нулю, а тело при этом может приобрести или потерять энергию.
Первое начало термодинамики запрещает создание вечных двигателей
первого рода, принцип действия которых основан на получения полезной
работы без подвода внешней энергии к системе. Действительно, если к
системе не подводится теплота , то в соответствии с формулой полезная
работа может быть совершена только за счет убыли внутренней энергии
системы на величину
. А так как внутренняя энергия любой системы
ограничена, то и совершаемая таким образом полезная работа так же будет
некоторой ограниченной величиной. После исчерпания внутренней энергии
совершение системой полезной работы прекратится, и двигатель
остановится.
Количество тепла, при получении которого температура тела повышается на
один градус, называется теплоемкостью. Согласно этому определению
dQ
.
C
dT
Теплоемкость различается в зависимости от того, при каких условиях
происходит нагревание тела — при постоянном объеме или при постоянном
давлении.
Если нагревание тела происходит при постоянном объеме, т. е. dV = 0, то
работа равна нулю. В этом случае передаваемое телу тепло идет только на
изменение его внутренней энергии, dQ = dE, и в этом случае теплоемкость
равна изменению внутренней энергии при изменении температуры на 1 К, т.
е.
dE
.
CV
dT
iRT
i
R.
Поскольку для газа E
, то CV
2
2
Эта формула определяет теплоемкость 1 моля идеального газа, называемую
молярной. При нагревании газа при постоянном давлении его объем
меняется, сообщенное телу тепло идет не только на увеличение его
внутренней энергии, но и на совершение работы, т.е. dQ = dE + PdV.
dE
dV
Теплоемкость при постоянном давлении C P
.
P
dT
dT
Для идеального газа PV = RT и поэтому PdV = RdT.
Учитывая это, найдем
R
CP i
R CV R .
2
Отношение
CP
представляет собой величину, характерную для каждого
CV
газа и определяемую числом степеней свободы молекул газа. Измерение
теплоемкости тела есть, таким образом, способ непосредственного измерения
микроскопических
характеристик
составляющих его молекул.
Формулы для теплоемкости идеального газа
приблизительно
верно
описывают
эксперимент, причем, в основном, для
одноатомных газов. Согласно формулам,
полученным выше, теплоемкость не должна
зависеть от температуры. На самом деле
наблюдается картина, изображенная на рис.,
полученная опытным путем для двухатомного газа водорода. На участке 1
газ ведет себя как система частиц, обладающих лишь поступательными
степенями свободы, на участке 2 возбуждается движение, связанное с
вращательными степенями свободы и, наконец, на участке 3 появляются две
колебательные степени свободы. Ступеньки на кривой хорошо согласуются с
формулой (2.35), однако между ними теплоемкость растет с температурой,
что соответствует как бы нецелому переменному числу степеней свободы.
Такое поведение теплоемкости указывает на недостаточность используемого
нами представления об идеальном газе для описания реальных свойств
вещества.
Если макроскопические параметры системы имеют одинаковые значения во
всем объеме, занимаемом системой, и не изменяются с течением времени, то
состояние системы является равновесным. Последовательный переход
системы из одного равновесного состояния в другое, совершаемый
достаточно медленно, так, что в любой заданный момент времени систему
можно характеризовать определенными равновесными значениями
термодинамических параметров: давления, температуры или объема,
называется равновесным процессом.
Равновесный процесс представляет собой приближенную модель реального
термодинамического процесса. Рассмотрим, например, сжатие газа поршнем
в закрытом сосуде. Если поршень вдвигать достаточно быстро, то давление
поршня на газ не будет успевать распространяться по всему объему,
занятому газом. Давление газа на поршень в каждый момент времени будет
больше, чем давление газа на стенки сосуда. Состояние газа в этом случае
нельзя характеризовать определенной величиной давления, оно будет
существенно неравновесным. Со временем давление перераспределится по
всему объему и состояние газа станет равновесным с новым значением
давления. Время установления нового состояния равновесия газа
определяется его плотностью и температурой. Процесс установления
термодинамического равновесия в системе носит название релаксационного
процесса, а время установления равновесия — времени релаксации.
В случае, когда газ под действием поршня сжимается достаточно медленно,
давление успевает равномерно распределиться по всему объему, и в газе в
любой заданный момент времени устанавливается равновесие. Таким
образом, при медленном движении поршня газ проходит последовательно
через ряд равновесных состояний, и процесс термодинамически
равновесный. Для того чтобы процесс был равновесным, очевидно,
необходимо, чтобы время релаксации в системе было меньше времени, в
течение которого система подвергается внешнему возмущению.
Рассмотрим ряд равновесных процессов в идеальном газе, имеющих важное
значение в термодинамике. При равновесных процессах термодинамические
параметры P, V и T в каждый момент времени связаны между собой
уравнением состояния
1) Изотермический процесс.
При изотермическом процессе температура газа остается постоянной в
течение всего процесса. Уравнение состояния газа в этом случае имеет вид:
RT
.
P
V
При заданной температуре состояние газа изображается точкой на плоскости,
где по осям отложены давление и объем. Последовательность таких точек
образует кривую, представляющую изотермический процесс. В случае
изотермического процесса кривая является гиперболой и называется
изотермой. Разным температурам газа соответствуют различные изотермы.
Вычислим работу, производимую газом при изотермическом процессе.
Поскольку температура газа остается постоянной dT = 0, при
термодинамическом процессе не изменяется внутренняя энергия газа, dE=0,
т.е. все подводимое в систему тепло расходуется только на совершение
механической работы dQ = PdV. Таким образом,
A
V2
V1
PdV
RT
V2
dV
V1 V
RT ln
V2
.
V1
При изотермическом сжатии газа механическая работа, совершаемая над
системой, переходит в тепловую энергию окружающих тел.
2) Изобарический процесс.
Этот термодинамический процесс происходит при постоянном давлении.
Ему соответствуют на диаграмме P,V горизонтальные прямые — изобары,
определяемые уравнением состояния:
R
V
T const T .
P
Работа при изобарическом процессе пропорциональна разности объемов газа
в начальном и конечном состояниях:
A
V2
P dV
P V2 V1 .
V1
3) Изохорический процесс.
Зависимость давления от температуры при постоянном объеме представляет
собой в координатах P, V вертикальную прямую, называемую изохорой.
Поскольку при этом процессе dV = 0, работа равна нулю.
4) Адиабатический процесс происходит в системе без теплообмена с
окружающей средой, т. е. dQ = 0. Из первого начала термодинамики следует,
что при таком процессе dE = - Pd V , т. е. изменение внутренней энергии
системы происходит только за счет совершения работы. Выразим изменение
внутренней энергии через теплоемкость при постоянном объеме согласно
формуле (2.34): dE = v·CV·dT .Тогда
v·CV·dT = - PdV.
Отсюда следует, что при адиабатическом расширении газа dV > 0, dT < 0, и
газ охлаждается. При сжатии газа, наоборот, происходит его нагревание и
соответственно увеличение внутренней энергии.
Разделив выражение соответственно на правую и левую части уравнения
состояния v·R·T = P·V , интегрируя это соотношение, получим
R
ln V
ln T const
CV
Наконец, воспользовавшись связью между CP и CV (2.36) в виде R = CP - CV и
CP
вводя определенную ранее характерную для газа величину
, получим
CV
окончательное соотношение между давлением и объемом идеального газа
при адиабатическом процессе
PV
const .
Полученное уравнение называется уравнением адиабаты. На плоскости P, V
она изображается кривой, которая спадает более круто, чем изотерма (γ > 1).
Работа при адиабатическом процессе пропорциональна изменению
температур газа в начальном и конечном состояниях:
A
V2
V1
PdV
T2
CV dT
CV T2
T1 .
T1
Все указанные процессы можно рассматривать как частные случаи общего
более сложного процесса, при котором давление и объем связаны
уравнением
PV n const .
При n = 0 уравнение описывает изобару, при n = 1 — изотерму, при n = γ —
адиабату та. при n = ∞ — изохору. Реальный неидеализированный процесс
соответствует промежуточным значениям показателя степени в уравнении .
В 1824 году французский физик и военный инженер Никола Леонард Сади
Карно (1796 - 1832) опубликовал свою работу "Размышления о движущей
силе огня и о машинах, способных развивать эту силу", в которой им были
сформулированы основные положения теории тепловых машин и впервые
предложено второе начало термодинамики. Но только в 1834 году, после
придания Клапейроном этой теории доступной математической формы, идеи
Карно получили широкое распространение для обоснования второго начала
термодинамики.
При работе тепловой машины рабочее тело совершает замкнутый
термодинамический цикл. Для любой реальной тепловой машины весь цикл,
включая его отдельные процессы, необратим, что вызывает необходимость
затрачивать часть произведенной работы для перевода рабочего тела в
первоначальное состояние, обеспечивая замыкание кругового процесса.
Указанные потери приводят к тому, что не вся произведенная работа
становится полезной, а часть еѐ теряется в самой тепловой машине, переходя
в теплоту.
Максимальным к.п.д. обладает тепловая машина, в которой цикл рабочего
тела состоит только из равновесных тепловых процессов, и, следовательно,
является обратимым. Однако для осуществления нагревания и охлаждения
необходим теплообмен рабочего тела с нагревателем и холодильником
тепловой машины, который тем более эффективен, чем заметнее разность
температур. Возникающие при этом тепловые потоки нарушают состояние
теплового равновесия и делают эти процессы необратимыми. Чтобы
избежать этого, необходимо теплообмен осуществлять при очень малой
разности температур, в пределе, для достижения равновесного процесса, при
бесконечно малой разности. Поэтому реализовать равновесный процесс при
теплообмене можно только в случае теплового равновесия рабочего тела и
нагревателя (или холодильника).
Таким образом, теплообмен с нагревателем и холодильником в
рассматриваемой тепловой машине должен происходить при изотермических
процессах, что эквивалентно требованию бесконечной медленности
протекания этих процессов. Очевидно, что такое условие может быть
выполнено только приближенно.
Другой процесс, который может протекать без возникновения тепловых
потоков - это адиабатический процесс. Если он протекает бесконечно
медленно, то такой процесс является равновесным и обратимым.
Указанные два равновесных процесса (изотермический и адиабатический)
могут быть использованы для составления обратимого цикла. Такой
обратимый круговой процесс в принципе может состоять из большого, в
пределе даже бесконечного, числа следующих друг за другом
изотермических и адиабатических процессов. Однако, для организации
простейшего кругового процесса достаточно использования двух изотерм и
двух адиабат. Такой равновесный термодинамический цикл получил
название цикла Карно. Возможность осуществления такого циклического
процесса связана с тем, что с помощью адиабатического процесса всегда
возможен переход между любыми изотермами, а с помощью
изотермического - между любыми адиабатами.
Составленный таким образом цикл имеет для термодинамики такое же
существенное значение, как и материальная точка в механике. Любой
квазиравновесный процесс может быть аппроксимирован большим числом
таких элементарных циклов. Подобно тому, как в механике вопрос о
возможности считать тело материальной точкой решается в зависимости от
условий конкретной задачи, так и в термодинамике вопрос о том, является ли
циклический процесс квазиравновесным или нет, зависит от условий той
задачи, которую необходимо решить.
Очевидно, что между телами, находящимися при одинаковых
температурах и, следовательно, в состоянии теплового равновесия, не может
происходить теплообмен. Из этого следует, что если считать процессы строго
изотермическими, то при их протекании рабочее тело не должно нагреваться
от нагревателя и охлаждаться холодильником. То есть в циклическом
процессе, состоящем из двух изотерм и двух адиабат, не может происходить
передача теплоты между нагревателем (или холодильником) и рабочим
телом. Однако, на примере такого простейшего идеального цикла
(аналогично тому, как это делается в механике на примере материальной
точки) можно изучить основные законы термодинамики, произвести их
анализ.
Обратимый цикл Карно состоит из двух изотерм, описывающих процесс
теплопередачи от нагревателя к рабочему телу и от рабочего тела к
холодильнику, и двух адиабат, описывающих расширение и сжатие рабочего
тела в тепловой машине (см. рис.). Температура нагревателя считается
равной
, а температура холодильника - соответственно
. При этом
температуры нагревателя
и холодильника
постоянны, что должно
обеспечиваться бесконечно большой теплоемкостью используемых тепловых
резервуаров.
Термодинамический цикл Карно
При первом изотермическом процессе 1-2 происходит передача рабочему
телу теплоты
, причем эта теплота передается бесконечно медленно, при
практически нулевой разнице температуры между нагревателем и рабочим
телом. Далее рабочее тело подвергается адиабатическому расширению без
теплообмена с окружающей средой (процесс 2-3). При последующем
изотермическом процессе 3-4 холодильник забирает у рабочего тела теплоту
. Процесс 4-1 представляет собой адиабатическое сжатие, переводящее
рабочее тело в первоначальное состояние.
Рассчитаем к.п.д. цикла Карно в случае, если в качестве рабочего тела
используется идеальный газ, масса которого равна
. Уравнение адиабаты
для переменных температура и объем имеет вид:
.
Применение этого уравнения к процессам 2-3 и 4-1 позволяет получить
условия
,
.
.
Учитывая, что процессы 1-2 и 3-4 являются изотермическими и,
следовательно, происходят без изменения внутренней энергии газа, для
получаемой
и отдаваемой
термодинамики можно записать
теплоты на основании первого начала
,
.
Подстановка полученных выражений в формулу (3.2) дает выражение
,
которое, в свою очередь, с учетом соотношения, преобразуется к виду:
.
Полученное выражение позволяет определить коэффициент полезного
действия цикла Карно обратимой тепловой машины, если в ней в качестве
рабочего тела используется идеальный газ. Из приведенных формул следует,
что к.п.д. такой тепловой машины всегда меньше единицы и полностью
определяется температурами нагревателя и холодильника.
Понятие термодинамической энтропии, впервые введенное в 1865 году
Клаузиусом, имеет ключевое значение для понимания основных положений
термодинамики.
Рассмотрим
обратимый
круговой
термодинамический
процесс,
представленный на рис. Для этого процесса может быть записано равенство
Клаузиуса в виде
,
где первый интеграл берется по траектории
по траектории .
, а второй - соответственно
Обратимый круговой термодинамический процесс
Изменение
направления
протекания
процесса
на
противоположное
, что можно выполнить вследствие обратимости
процесса , приводит к замене знака перед вторым интегралом формулы .
Выполнение этой замены и перенос второго интеграла в выражении в
правую часть дают
.
Из полученного выражения следует, что для обратимых процессов
интеграл
не зависит от конкретного вида траектории, по которой
происходит процесс, а определяется только начальным и конечным
равновесными состояниями термодинамической системы.
С аналогичной ситуацией мы уже встречались, когда в механике
рассматривали определение работы консервативной силы. Независимость
работы консервативной силы от формы траектории движения тела позволила
ввести функцию, названную потенциальной энергией, которая зависит
только от состояния механической системы и не зависит от того, как в это
состояние система была переведена.
Из этой аналогии следует, что элементарное приведенное количество
теплоты
функции
есть:
должно представлять собой полный дифференциал некоторой
, зависящей только от состояния термодинамической системы, то
.
Тогда интеграл
будет равен разности значений функции
равновесных состояниях 1 и 2:
в
.
Итак, величина является функцией, зависящей только от равновесного
состояния термодинамической системы. Она не зависит от конкретного
вида термодинамического процесса, приведшего систему в указанное
состояние. Эта функция была названа Клаузиусом термодинамической
энтропией. Термодинамическая энтропия, так же как и потенциальная
энергия, определяется с точностью до произвольной постоянной. Это связано
с тем, что формула не позволяет определить абсолютное значение
термодинамической энтропии, а дает только разность энтропий для двух
равновесных состояний, как суммарную приведенную теплоту в обратимом
термодинамическом процессе, переводящим систему из одного состояния в
другое.
Термодинамическая энтропия, введенная выше, применима для описания
равновесного состояния термодинамической системы. Для нахождения
энтропии термодинамической системы, находящейся в квазиравновесном
состоянии, при котором можно считать, что еѐ отдельные части (подсистемы)
находятся в состоянии равновесия, можно воспользоваться свойством
аддитивности энтропии:
,
где: - энтропии подсистем, - число подсистем.
Следовательно,
термодинамическая
энтропия
макроскопической
системы, состоящей из находящихся в равновесии подсистем, равна сумме
энтропий этих подсистем.
Свойство аддитивности энтропии позволяет описывать состояния
макроскопической системы, не находящейся в равновесии, путем еѐ
разбиения на достаточно большое число подсистем, которые можно считать
находящимися в состоянии локального равновесия. Такой подход дает
возможность распространить результаты равновесной термодинамики на
системы, находящиеся в неравновесном состоянии, но которые можно
представить как состоящие из некоторого числа равновесных подсистем.
Применим неравенство Клаузиуса для описания необратимого кругового
термодинамического процесса, изображенного на рис
Необратимый круговой термодинамический процесс
Пусть процесс
будет необратимым, а процесс
обратимым. Тогда неравенство Клаузиуса для этого случая примет вид
-
.
Так как процесс
является обратимым, для него можно
воспользоваться соотношением (3.53), которое дает
.
Подстановка этой формулы в неравенство позволяет получить выражение
.
Сравнение выражений и позволяет записать следующее неравенство
,
в котором знак равенства имеет место в случае, если процесс
является обратимым, а знак больше, если процесс
- необратимый.
Неравенство может быть также записано и в дифференциальной форме
.
Если рассмотреть адиабатически изолированную термодинамическую
систему, для которой
, то выражение примет вид
или в интегральной форме
.
Полученные неравенства выражают собой закон возрастания энтропии,
который можно сформулировать следующим образом:
В адиабатически изолированной термодинамической системе энтропия
не может убывать: она или сохраняется, если в системе происходят только
обратимые процессы, или возрастает, если в системе протекает хотя бы
один необратимый процесс.
Записанное утверждение является ещѐ одной формулировкой второго
начала термодинамики.
Таким образом, изолированная термодинамическая система стремится к
максимальному значению энтропии, при котором наступает состояние
термодинамического равновесия.
Необходимо отметить, что если система не является изолированной, то в
ней возможно уменьшение энтропии. Примером такой системы может
служить, например, обычный холодильник, внутри которого возможно
уменьшение энтропии. Но для таких открытых систем это локальное
понижение энтропии всегда компенсируется возрастанием энтропии в
окружающей среде, которое превосходит локальное ее уменьшение.
С законом возрастания энтропии непосредственно связан парадокс,
сформулированный в 1852 году Томсоном (лордом Кельвином) и названый
им гипотезой тепловой смерти Вселенной. Подробный анализ этой гипотезы
был выполнен Клаузиусом, который считал правомерным распространение
на всю Вселенную закона возрастания энтропии. Действительно, если
рассмотреть
Вселенную
как
адиабатически
изолированную
термодинамическую систему, то, учитывая ее бесконечный возраст, на
основании закона возрастания энтропии можно сделать вывод о достижении
ею максимума энтропии, то есть состояния термодинамического равновесия.
Но в реально окружающей нас Вселенной этого не наблюдается.
Попытка избежать указанного противоречия гипотезы тепловой смерти
Вселенной была предпринята Больцманом, который показал, что и в
состоянии термодинамического равновесия наблюдаются флуктуации
термодинамических параметров. Если считать, что наблюдаемая Вселенная
является следствием такой флуктуации, то противоречия парадокса тепловой
смерти Вселенной снимаются
Третье начало термодинамики было сформулировано в 1906 году немецким
физиком и химиком Вольтером Фридрихом Германом Нернстом (1864 1941) эмпирическим путем на основе обобщения экспериментальных данных
и получило название теоремы Нернста:
При стремлении температуры любой равновесной термодинамической
системы к абсолютному нулю ее энтропия стремится к некоторой
универсальной постоянной величине, значение которой не зависит от какихлибо термодинамических параметров системы и может быть принято
равной нулю:
.
В дополнение к условию
из утверждения теоремы Нернста о
независимости значения энтропии равновесной системы при абсолютном
нуле температуры от ее термодинамических параметров следует также
выражение:
,
где - любой термодинамический параметр системы, например, объем,
давление и т.д. Здесь нижний индекс
за скобками обозначает
дифференцирование при постоянном значение величины .
Теорема Нернста применима только для систем, находящихся в состоянии
термодинамического равновесия и не справедлива для неравновесных
систем. В частности, при стремлении температуры аморфного тела,
например, стекла, к абсолютному нулю, его энтропия не стремится к
некоторому определенному постоянному значению. В зависимости от того,
как осуществляется процесс охлаждения, энтропия аморфного тела при
стремлении к абсолютному нулю будет различной. Это связано с тем, что для
аморфных тел, которые находятся в неравновесном (метастабильном)
состоянии, процесс охлаждения может происходить быстрее, чем переход их
в равновесное (кристаллическое) состояние.
Из третьего начала термодинамики непосредственно следует
недостижимость температуры равной абсолютному нулю. Действительно,
для того, чтобы практически осуществить охлаждение термодинамической
системы до абсолютного нуля температуры, необходимо чередовать
изотермическое сжатие и адиабатическое расширение. При первом процессе
происходит отвод теплоты, а при втором - уменьшение температуры
системы. Но, если изотермический процесс при
приведет к отводу
некоторого конечного количества теплоты , то в соответствии с формулой
это вызовет достаточно большое, в пределе бесконечное изменение
энтропии. Это противоречит теореме Нернста, так как в соответствии с
изменение энтропии в изотермическом процессе при
тоже стремится к
нулю. Следовательно, охлаждение термодинамической системы до
абсолютного нуля температуры невозможно.
Другим следствием третьего начала термодинамики является
невозможность использования уравнения Клапейрона-Менделеева
для
описания идеального газа при температурах, близких к абсолютному нулю.
Так как для идеального газа на основании первого начала термодинамики
можно записать:
,
,
где
- произвольная постоянная интегрирования. Здесь из соображений
размерности введены величины
и
, которые можно считать равными
единице в системе СИ:
Ки
м3 .
Таким образом, при
энтропия, вычисленная по формуле, не
принимает нулевого значения, а стремится к минус бесконечности. А это
противоречит третьему началу термодинамики, что делает невозможным
применение уравнения Клапейрона-Менделеева для описания газа при
температурах, близких к абсолютному нулю. Состояние газа при
называется вырожденным состоянием и для его описания требуется
применение законов, следующих из уравнений квантовой статистики.
Лекция 14 Реальные газы. Жидкости.
При описании реальных газов модели идеального газа могут не выполняться.
В частности, конденсация газов, не может быть описана в рамках модели
идеального газа. При рассмотрении реальных газов необходимо учесть силы
межмолекулярного взаимодействия. Они являются короткодействующими и
проявляются
на
расстояниях
r
r0
10 7 см .
Зависимость
межмолекулярного взаимодействия от расстояния показана на рисунке
сил
На малых расстояниях между молекулами действуют силы притяжения Fn и
отталкивания F0 . Их равнодействующая F зависит от расстояния r
немонотонно: существует радиус r0 такой, что при r
отталкиваются,
а
при
r
r0
притягиваются.
7
Эти
r0 молекулы
взаимодействия
проявляются на очень коротких расстояниях ~ 10 см.
На рисунке показана также радиальная зависимость потенциальной энергии
Пmin ,
взаимодействия молекул. При высоких температурах, когда kT
вещество находится в газообразном состоянии, при низких температурах,
когда kT
Пmin , вещество находится в твердом состоянии.
Существует много различных моделей реальных газов, каждая из которых
применима при определенных условиях. Все эти модели являются
приближенными и позволяют описывать наиболее характерные особенности
реальных газов.
Атомы в газах расположены неупорядоченно. В твердых телах атомы
образуют кристаллическую структуру определенного типа в которой все
атомы расположены упорядоченно. Жидкости занимают промежуточное
состояние между газами и твердыми телами. На микроскопических
расстояниях они обладают квазиупорядоченной структурой, на больших
расстояниях распределение атомов является полностью хаотическим.
Почти все кристаллы являются анизотропными, т.е. в них существуют
выделенные направления. В газах и жидкостях нет выделенных направлений,
они изотропны.
Молекулы в газах участвуют в поступательном и вращательном движениях.
В твердых телах они могут только колебаться около положения равновесия.
В жидкостях атомы и молекулы участвуют в колебательном и вращательном
движениях и диффузионном перемещении.
Идеальные газы описываются уравнением Клапейрона-Менделеева
PVm RT .
Большинство моделей реальных газов основаны на модификации уравнения
Клапейрона-Менделеева путем учета различных дополнительных факторов.
Одной из наиболее удачных моделей реального газа является модель Вандер-Ваальса. Голландский физик Ван-дер-Ваальс ввел две поправки в
уравнение Клапейрона-Менделеева, которые позволили значительно
расширить область применения уравнения состояния. Рассмотрим уравнение
Ван-дер-Ваальса для одного моля газа.
1. Учет собственного объема молекул. Обозначим через b собственный объем
молекул в одном моле газа. Тогда фактический свободный объем одного
моля будет не Vm , а Vm b .
2. Учет притяжения молекул. Действие притяжения молекул приводит к
появлению дополнительного давления на газ, называемого внутренним
давлением. По оценкам Ван-дер-Ваальса внутреннее давление обратно
пропорционально квадрату молярного объема
p
a
,
Vm2
где а – постоянная Ван-дер-Ваальса.
Вводя эти поправки в уравнение Клапейрона-Менделеева, получим
уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа
P
a
Vm2
Для
Vm b
RT .
молей газа V
Vm уравнение Ван-дер-Ваальса можно преобразовать
к виду
2
P
a
V
V2
b
RT .
Полученное уравнение является приближенным и его можно применять для
не очень сильно сжатых газов. Тем не менее, это уравнение позволяет
описать ряд важных особенностей реальных газов, например, превращение
газа в жидкость. Отметим, что при малых значениях параметров a и b
уравнение Ван-дер-Ваальса переходит в уравнение Клапейрона-Менделеева
PV
RT .
Исследуем уравнение Ван-дер-Ваальса, записанное для одного моля
P
a
V2
V
b
RT .
Для простоты индекс т мы опускаем. Запишем это уравнение в виде
многочлена по степеням V. Получим
PV 3
( RT
Pb)V 2
aV
ab
0.
На плоскости P-V при фиксированных значениях температуры Т это
уравнение описывает совокупность кривых, называемых изотермами Вандер-Ваальса. На графике показан ряд таких изотерм, полученных при
различных температурах. При высоких температурах изотерма Ван-дерВаальса близка к изотерме идеального газа, при понижении температуры
форма кривых меняется.
Существует температура, при которой на кривой имеется одна точка
перегиба (точка К). Эта температура называется критической Tк . Давление и
объем, которые соответствуют этой температуре, также называются
критическими. Ниже мы определим значения критических параметров.
Рассмотрим более детально одну из изотерм при температуре ниже
критической. График этой изотермы показан ниже.
На участках 1-3 и 5-6 при увеличении объема давление падает, а на участке
3-5 с увеличением объема давление увеличивается. Такая зависимость P (V )
в опытах не наблюдается. На самом деле на этом участке происходит
конденсация газа и появляется жидкая фаза. Появление жидкой фазы
происходит на отрезке 2-6, где в точке 6 фаза полностью газообразна, а в
точке 2 – полностью жидкая. Между этими точками существуют обе фазы.
Эксперимент показал, что изотерма сжатия газа происходит по линии7-6-2-1,
причем на участке 6-2 происходит конденсация газа при постоянном
давлении.
При критической температуре уравнение изотермы должно иметь вид
Pк (V Vк )3
0
или
3
PV
3PV
V2
к
k k
2
3PV
V
k k
PV
k k
0.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях V в этом уравнении и в
уравнении
Ван-дер-Ваальса,
можно
выразить
критические
термодинамические параметры через параметры Ван-дер-Ваальса
Vk
3b, Pk
a
, Tk
27b 2
8a
.
27 Rb
Соединим точки излома изотерм гладкой кривой. Вся P-V область
разделилась на 3 части: газовая, жидкая и смешанная фазы. Под
колоколообразной кривой сосуществуют жидкая и газообразная фазы.
Твердые тела образуются за счет сильного межмолекулярного
взаимодействия. Это взаимодействие связывает между собой все атомы и
молекулы и заставляет их образовывать определенную кристаллическую
структуру. Для изучения кристаллических структур различных твердых тел
создан специальный раздел физики – кристаллография. Мы здесь рассмотрим
простейшие кристаллические структуры и некоторые термодинамические
свойства твердых тел.
Физические и механические свойства кристаллов зависят не только от
химических элементов, составляющих кристалл, но и от их расположения.
Так, например, кристаллы мягкого материала – графита и кристаллы
сверхтвердого материала – алмаза образованы атомами углерода. Различие
между этими кристаллами заключается только в расположении атомов в
кристаллической решетке. В принципе, графит можно превратить в алмаз,
если произвести соответствующее фазовое превращение.
Многие металлы имеют сравнительно простые кристаллические решетки. Из
них можно выделить ГЦК, ОЦК и гексагональную структуры. Эти
кристаллические решетки показаны на рисунке.
Атомы совершают колебания около положений равновесия. Если для
средней энергии атома кристалла использовать закон Больцмана
i
kT ,
2
то полагая i 6 (три колебательных степени свободы), получим энергию
одного моля
U 3RT .
Соответственно, молярная теплоемкость при постоянном объеме
cv 3R .
Это утверждение составляет содержание закона Дюлонга и Пти и хорошо
выполняется при не очень низких температурах. График зависимости
теплоемкости от температуры, полученный в эксперименте, показан на
рисунке.
Отклонения от закона Дюлонга и Пти при низких температурах связано с
квантовыми эффектами и не могут быть объяснены в рамках классической
физики. Отметим, что при повышении температуры размеры твердых тел
меняются незначительно, поэтому изохорическая и изобарическая
теплоемкости мало различаются между собой
cp
cv .
Фазой называется термодинамически равновесное состояние вещества,
отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных
состояний. Фазу следует отличать от агрегатного состояния, под которым
понимают твердое, жидкое или парообразное состояние вещества. В одном и
том же агрегатном состоянии могут существовать различные фазы. Так,
например, кристаллическое железо может существовать в ферромагнитном и
парамагнитном состояниях, которые образуют две различные фазы железа.
Фазовым переходом называют переход вещества из одного фазового
состояния в другое. Эти переходы сопровождаются изменениями физических
свойств вещества.
Фазовым переходом первого рода называют фазовый переход, который
сопровождается поглощением или выделением теплоты. Простейшие
примеры фазовых переходов первого рода – плавление, испарение,
сублимация. Для описания фазовых переходов первого рода вводят
величины, называемые скрытыми теплотами фазовых переходов (скрытая
теплота превращения): теплота плавления, теплота испарения и др.
Фазовым переходом второго рода называют фазовый переход, не связанный с
поглощением или выделением тепла. Примеры фазовых переходов второго
рода – потеря или приобретение ферромагнитных или сегнетоэлектрических
свойств, сверхпроводящий переход, изменение типа кристаллической
решетки. Обычно фазовые переходы второго рода связаны с изменением
симметрии кристалла.
Фазовые переходы обычно описывают в рамках статистической физики и
термодинамики.
Для наглядного изображения фазовых превращения используются
диаграммы состояния. Для этого в термодинамических координатах (обычно
P-T) показывают различные состояния вещества. Кривые, разделяющие
твердую и жидкую фазу, а также твердую и газообразную фазы,
пересекаются в некоторой точке (Ртр,Ттр). В этой точке находятся в
равновесии три фаза вещества: твердая, жидкая и газообразная.
Соответствующая точка называется тройной точкой. Нетрудно видеть, что
тройная точка находится на пересечении трех кривых, каждая из которых
разделяет две фазы. При этом наклон
dP
кривой, разделяющей твердую и
dT
жидкую фазы, может быть как положительным, так и отрицательным.
Для веществ с несколькими кристаллическими модификациями диаграмма
состояния может иметь более сложную форму.
В заключение отметим, что кривая испарения заканчивается в точке К. Если
эту точку обойти по кривой 3-4, то мы совершим переход из жидкого
состояния в газообразное без пересечения кривой испарения, т.е. без
фазового перехода. Это связано с тем, что различие между жидким и
газообразным состояниями носит качественный характер. Переход из
твердого состояния в газообразное по такой кривой невозможен.
Среди твердых тел существует особый класс тел - аморфные тела,
занимающие промежуточное положение между кристаллическими телами и
жидкостями. Для них характерно долговременное сохранение формы, но при
этом их атомы не образуют упорядоченную кристаллическую решетку.
Среди жидкостей так же выделяется особый класс - жидкие кристаллы,
механические свойства которых близки к свойствам жидкости, но при этом
для них, так же как и для твердых кристаллических тел, характерно наличие
анизотропии свойств. Такое состояние возможно у веществ с большими
протяжѐнными молекулами, например у органических соединений.
Молекулы жидких кристаллов могут достаточно легко совершать
поступательные перемещения, сохраняя при этом свою ориентацию в
пространстве. Анизотропия жидких кристаллов особенно проявляется в их
оптических свойствах, что позволяет использовать их в устройствах
формирования изображения.
Отметим, что одному и тому же агрегатному состоянию могут
соответствовать несколько различных по своим свойствам состояний одного
и того же вещества. Примерами этого являются различные модификации
кристаллической решетки у твердых тел, отличающиеся симметрией, или
состояния жидкого гелия - He I и He II, первое из которых обладает
вязкостью, а второе - сверхтекучее.
Опыт показывает, что поверхность жидкости стремится принять такую
форму, чтобы иметь минимальную площадь. Это явление связано с
воздействием на поверхность жидкости механических сил, стремящихся
уменьшить площадь этой поверхности. Указанные силы называются силами
поверхностного натяжения.
Рассмотрим явления, возникающие на границе раздела жидкости и газа.
Пусть имеется пленка жидкости (например, мыльная пленка), натянутая на
рамку с одной подвижной перемычкой
Рамка с жидкой пленкой
За счет сил поверхностного натяжения пленка будет стремиться
уменьшить свою площадь. Для того, чтобы воспрепятствовать этому, к
перемычке необходимо приложить силу
, величина которой, как
показывает опыт, не зависит от площади пленки, а пропорциональна длине
перемычки :
.
Коэффициент
пропорциональности
называется
поверхностным
натяжением (коэффициентом поверхностного натяжения). Двойка в
формуле означает, что пленка жидкости имеет две поверхности и если еѐ
толщина много больше межмолекулярного расстояния, то происходит
независимое воздействие двух поверхностей пленки на перемычку.
Очевидно, что сила равна силе поверхностного натяжения и поэтому из
формулы следует, что величина силы поверхностного натяжения численно
равна произведению поверхностного натяжения на длину линии контакта
пленки и перемычки
. Эта сила направлена по касательной к поверхности
пленки.
При медленном перемещении перемычки на величину
, площадь
поверхности пленки увеличивается на величину
.
Требование медленности перемещения перемычки позволяет считать
рассматриваемый процесс изотермическим и квазистатическим (обратимым).
С учетом выражения элементарная работа
, которую необходимо
совершить против сил поверхностного натяжения, определяется по формуле
.
Соответственно работа
натяжения примет вид
, совершаемая силами поверхностного
.
Из формулы следует, что поверхностное натяжение численно равно
работе, которую необходимо затратить при обратимом изотермическом
процессе для увеличения площади поверхности жидкости на единицу.
Указанная работа затрачивается на приращение энергии поверхности
жидкости
свободной
поверхностной
энергии.
Следовательно,
поверхностное натяжение численно равно удельной (на единицу площади)
свободной поверхностной энергии.
Существование свободной поверхностной энергии обусловлено силами
притяжения между молекулами жидкости. В результате действия этих сил
молекулы поверхностного слоя втягиваются внутрь жидкости, в то время как
для молекул, расположенных внутри жидкости, равнодействующая сил
притяжения равна нулю. Аналогичное явление имеет место в газе Ван-дерВаальса), что приводит к уменьшению давления этого газа на стенки сосуда.
В жидкости силы межмолекулярного притяжения также приводят к
изменению давления на еѐ поверхность.
Для преодоления действия межмолекулярных сил над молекулой газа
необходимо совершить работу, которую надо затратить на перемещение этой
молекулы из объема жидкости на еѐ поверхность. Величина этой работы
численно равна приращению потенциальной энергии молекулы жидкости,
которая и обуславливает появление сил поверхностного натяжения.
Поскольку число молекул в приповерхностном слое пропорционально его
площади, то суммарная потенциальная энергия всех молекул (свободная
поверхностная энергия) также пропорциональна площади поверхности.
Состояние равновесия жидкости, в отсутствие сил гравитационного
притяжения и других внешних сил, имеет место при минимальной площади
поверхности, соответствующей заданному объему жидкости. Этим
объясняется то, что в невесомости капля жидкости принимает шарообразную
форму. Мыльный пузырь имеет почти сферическую форму вследствие
малости своего веса.
Рассмотрим теперь явления, происходящие с каплей жидкости,
помещенной на поверхность твердого тела. В этом случае имеются три
границы раздела между фазами: газ-жидкость, жидкость-твердое тело и газтвердое тело. Поведение капли жидкости будет определяться значениями
поверхностного
натяжения
(удельными
величинами
свободной
поверхностной энергии) на указанных границах раздела. Сила
поверхностного натяжения на границе раздела жидкости и газа будет
стремиться придать капле сферическую форму. Это произойдет в том случае,
если поверхностное натяжение на границе раздела жидкости и твердого тела
будет больше поверхностного натяжения на границе раздела газа и твердого
тела. В этом случае процесс стягивания жидкой капли в сферу приводит к
уменьшению площади поверхности границы раздела жидкость-твердое тело
при одновременном увеличении площади поверхности границы раздела газжидкость. Тогда наблюдается несмачивание поверхности твердого тела
жидкостью. Форма капли будет определяться равнодействующей сил
поверхностного натяжения и силы тяжести. Если капля большая, то она
будет растекаться по поверхности, а если маленькая - стремиться к
шарообразной форме.
Различные формы капли на поверхности твердого тела для случаев
несмачивающей (а) и смачивающей (б) жидкостей
Если поверхностное натяжение на границе раздела жидкости и твердого
тела меньше поверхностного натяжения на границе раздела газа и твердого
тела, то капля приобретет такую форму, чтобы уменьшить площадь
поверхности границы раздела газ-твердое тело, то есть будет растекаться по
поверхности тела . В этом случае наблюдается смачивание жидкостью
твердого тела.
Для количественного описания смачивания жидкостью твердого тела
рассмотрим равновесие сил, действующих на элемент
контура,
образованного пересечением трех границ раздела фаз: газа 1, жидкости 2 и
твердого тела 3 (см. рис. 7.3).
Схемы к расчету равновесия капли на поверхности твердого тела для
случаев
несмачивающей
(а)
и
смачивающей
(б)
жидкостей
1 - газ, 2 - жидкость, 3 - твердое тело
Для случая механического равновесия имеем
,
где:
,
,
,
а величины
,
и
- равны поверхностному натяжению на
границах раздела газ-жидкость, газ-твердое тело и жидкость-твердое тело.
В проекции на горизонтальную
,
где проведено сокращение на величину длины элемента контура .
.
Как следует из этой формулы, равновесию жидкости на поверхности
твердого тела соответствует вполне определенный угол
, который
называется краевым углом. Этот угол может принимать значения от 0 до .
Так как
, то следует условие существования устойчивого
равновесия жидкости на поверхности твердого тела:
.
Если это условие не выполняется, капля либо, при
,
начинает неограниченно (до толщины нескольких мономолекулярных
слоев) растекаться по поверхности, либо, при
,
стягиваться до тех
превратится в точку.
смачивания твердого
поверхности стекла), а
пор, пока еѐ общая граница с поверхностью не
В первом случае наблюдается явление полного
тела жидкостью (например, капля керосина на
во втором - полное несмачиваение (например, капля
воды на поверхности парафина). Если краевой угол
, то имеет
место частичное смачивание, а при
- частичное несмачивание.
Явление смачивания (или несмачивания) твердого тела жидкостью
приводит к появлению капиллярного эффекта. Капилляром называется
тонкая трубка, вставленная в сосуд с жидкостью. Капиллярный эффект
связан с тем, что в зависимости от того, смачивает жидкость стенки
капилляра или нет, внутри капилляра поверхность жидкости приобретает
соответственно вогнутую или выпуклую форму. В первом случае давление
внутри жидкости уменьшается по сравнению с внешним, и она поднимается
внутри капилляра. А во втором - это давление возрастает, что приводит к
опусканию уровня жидкости в капилляре по отношению к еѐ уровню в
сосуде.
Капилляр в смачивающей (а) и не смачивающей (б) жидкостях
Подъем жидкости в капилляре и дополнительное давление могут быть
определены из условия минимума потенциальной энергии
,
где:
- элементарное изменение высоты столба жидкости в капилляре.
Для повышения уровня жидкости в цилиндрическом капилляре на
величину
необходимо совершит работу против сил тяжести
и сил поверхностного натяжения
.
Здесь:
- плотность жидкости,
- ускорение свободного падения,
-
высота подъема жидкости в капилляре, - радиус капилляра,
и
поверхностное натяжение на границе раздела газа и капилляра, и жидкости и
капилляра соответственно. Тогда изменение энергии
или
.
Таким образом, условие приобретает вид
.
Учет формулы позволяет записать последнее выражение в форме
,
где:
- поверхностное натяжение на границе раздела газа и жидкости.
Отсюда следует, что высота подъема жидкости в капилляре определяется
выражением
.
Из этой формулы следует, что при
капилляре повышается, а при
уровень жидкости в
- соответственно понижается.
Так как дополнительное давление
, создаваемое поверхностью
жидкости должно уравновешиваться гидростатическим давлением, то имеем
или
,
где введен радиус сферической поверхности жидкости
(см. рис.
). Формула называется формулой Лапласа для поверхностного натяжения.
Семестр 2
Лекция 15 Электрическое поле.
Мир состоит из взаимодействующих частиц. Всѐ, что мы видим, построено
из элементарных частиц, есть такие кирпичики мироздания. На
макроскопическом уровне много взаимодействий, на самом деле, в
основании всего лежит четыре типа фундаментальных взаимодействий. Они
называются:
1) сильное,
2) электромагнитное,
3) слабое,
4) гравитационное.
Они перечислены в порядке убывания силы взаимодействия.
Сильное взаимодействие определяет структуру атомных ядер и более
глубокие структуры. Следующее - электромагнитное взаимодействие. Оно
послабее на два порядка сильного. Сильное взаимодействие проявляется на
малых расстояниях, 10 13 см, электромагнитное взаимодействие проявляется
на любых расстояниях. Далее идѐт слабое взаимодействие, вообще,
играющее незаметную роль на макроскопическом уровне. И, наконец, самое
слабое гравитационное взаимодействие, примерно на сорок порядков слабее
электромагнитного. Но почему именно гравитационное взаимодействие мы
ощущаем более часто, например, вы хотите подпрыгнуть, а вас тянет вниз.
Это происходит за счѐт того, что в нѐм участвуют все частицы.
Эти взаимодействия характерны тем, что в них участвуют
определѐнные частицы, частицы, обладающие определѐнными свойствами.
На макроскопическом уровне электромагнитное взаимодействие самое
важное, вот то, что мы видим на Земле - это всѐ электромагнитное
взаимодействие.
Частицы, участвующие в электромагнитном взаимодействии,
обладают специальным свойством - электрическим зарядом. Что такое
электрический заряд? Первичное понятие. Нельзя его описать в других более
понятных терминах. Электрический заряд - неотъемлемое свойство
элементарной частицы. Если есть частица, обладающая электрическим
зарядом, например, электрон, всем вам известный электрон, лишить его этого
свойства невозможно. Электрон обладает и другими свойствами: массой,
спином, магнитным моментом. Имеются частицы и не обладающие этим
свойством. Если частица не участвует в электромагнитном взаимодействии (а
как это определить? берѐм частицу, находим действующую на неѐ силу, есть
книжки, в которых дано руководство для дальнейших действий), итак, если
частица не участвует в электромагнитном взаимодействии, то она не
обладает электрическим зарядом.
Заряды всех тел кратны величине e 1.6 10 19 Кл, это заряд электрона.
Это означает, что в природе встречается минимальный заряд, равный е.
Можно было бы принять е=1, но в силу ряда причин, в частности, по
исторической причине, е выражается таким числом.
Есть такие частицы - кварки, заряд которых дробный: 12 e , 13 e и т.д.
То, что их заряд дробный не противоречит тому, что я сказал, так как кварки
самостоятельно не наблюдаются. Считается, что нельзя выделить кварки
индивидуально, чтобы получить частицу с дробным зарядом. Чтобы было
более понятно, я приведу такой пример. Имеем намагниченную спицу с
южным и северным полюсом, они ведут себя, как точечные источники тока,
но, сломав спицу пополам, на одном конце остаѐтся южный полюс, а на
другом выскакивает северный. Так и при делении кварков, они делятся, но
появляются новые кварки, а не их половинки. Простейшим и исторически
первым примером формирования электрическим зарядом электромагнитного
поля является закон Кулона. Сила взаимодействия двух точечных
неподвижных заряженных тел в вакууме направлена вдоль прямой,
соединяющей заряды, прямо пропорциональна произведению модулей
зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:
точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много
больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия
двух объѐмно распределѐнных зарядов со сферически симметричными
непересекающимися пространственными распределениями равна силе
взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещѐнных в
центрах сферической симметрии;
их неподвижность. Иначе уже надо учитывать дополнительные эффекты:
возникающее магнитное поле движущегося заряда и соответствующую ему
дополнительную силу Лоренца, действующую на другой движущийся заряд;
взаимодействие в вакууме.
Однако, с некоторыми корректировками закон справедлив также для
взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.
В векторном виде в формулировке Ш.Кулона закон записывается следующим
образом:
где
— сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q1,q2 — величина
зарядов;
— радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и
равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r12); k — коэффициент
пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноименные
заряды отталкиваются (а разноименные — притягиваются).
— векторная физическая величина, характеризующая
электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы
действующей на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к
величине этого заряда q:
.
Также иногда называется силовой характеристикой электрического поля.
Математически зависимость вектора
от координат пространства сама
задаѐт векторное поле.
Модуль напряжѐнности электрического поля в СИ измеряется в В/м (Вольт
на метр).
Напряженность электростатического поля точечного заряда
Здесь
- электрический заряд, который создает электрическое поле с
напряженностью
,
- вектор, проведенный из точки нахождения заряда
в точку наблюдения,
- электрическая постоянная. Напряженность
электростатического поля равна отношению силы, действующей на
неподвижный электрический заряд, к величине заряда. Значение
электрической постоянной
СИ
Напряженность
зависит от выбора системы единиц. В системе
Ф/м.
электрического
(электростатического)
образованного единичным точечным зарядом
Если в системе имеется
напряженность
поля
,
, определена соотношением.
электрических точечных зарядов
результирующего
напряженности полей
поля
определяется
, то
как
сумма
, образованных каждым из зарядов в отдельности:
Принцип суперпозиции для вектора напряженности электростатического
поля
Здесь
- радиус-вектор точки наблюдения,
- радиус-вектор точки
расположения электрического заряда .
Сложение в выражении выполняется по правилу треугольника или
параллелограмма, "геометрически", по правилу сложения векторных
величин, то есть по-координатно:
При вычислении проекций вектора
удобно через
на оси декартовых координат
обозначить координаты точки наблюдения, а через
с индексом - номер электрического заряда - координаты заряда
Теорема Гаусса для напряженности электростатического поля
Пусть в некоторой области пространства известно векторное поле
напряженности электростатического поля
. Допустим, что в
окрестности фиксированной точки пространства имеется элемент
поверхности площади
, ориентацию которого можно задать с помощью
вектора единичной (безразмерной) нормали к этому элементу поверхности.
Поскольку элемент поверхности является двусторонним объектом, то
направление нормали можно выбрать произвольно. Введем в рассмотрение
объект
,
вектор элемента площади поверхности. В соответствии с этот вектор
численно равен площади элемента поверхности, имеет размерность площади
и направлен вдоль , то есть вдоль нормали к элементу поверхности.
Элемент потока вектора
через площадку
скалярному произведению вектора
и вектора
.
по определению равен
:
Элементарный поток вектора напряженности электростатического поля
Угол
в выражении
направлением нормали
измеряется между направлением вектора
к площадке
. При
, то есть при
и
,
значение элемента потока вектора максимально, а при
элемент потока обращается в нуль. Это свойство элемента потока легко
понять, если привлечь понятие силовой линии векторного поля. В первом
случае силовые линии перпендинулярны площадке
, а во втором случае
они "скользят" вдоль площадки, не пересекая ее. Заметим, что
, если
угол - тупой.
Если рассматривать поверхность конечных (или бесконечных) размеров,
то можно определить поток вектора
через эту поверхность:
.
В определении подразумевается, что поверхность достаточно гладкая,
направления нормалей к двум соседним элементам поверхности не сильно
различаются между собой. Последнее означает, что все элементы
поверхности
построены "на одной стороне" поверхности
. В случае
бесконечных размеров поверхности , а иногда и для поверхности конечных
размеров, встает вопрос о существовании интеграла.
Если поверхность является замкнутой поверхностью, то, как правило,
поток вектора через поверхность рассчитывают с использованием внешней
нормали по отношению к объему, заключенному внутри поверхности :
,
где кружок у интеграла означает, что поверхность - замкнутая.
Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую
поверхность обладает
специфическим
свойством: его
величина
пропорциональна электрическому заряду, расположенному внутри этой
поверхности. Это утверждение составляет физический смысл теоремы
Гаусса. Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического
поля в вакууме является следствием закона Кулона. Теорема Гаусса имеет
большое значение в теории электромагнетизма. Доказательство ее
справедливости включает три этапа.
Первый этап. Допустим, что в начале координат помещен точечный
электрический заряд .
Напряженность электрического поля, созданного этим зарядом,
описывается соотношением:
,
где - радиус-вектор точки наблюдения, - его модуль. Окружим заряд
сферой радиуса , центр которой совпадает с началом координат. Известно,
что внешняя нормаль к элементу поверхности
сферы направлена по
радиусу:
.
Поток вектора
через поверхность сферы равен:
.
Запомним этот результат.
Второй этап. Пусть поверхность
является произвольной достаточно
гладкой замкнутой поверхностью, причем начало координат - место
расположения заряда - лежит внутри поверхности . Заметим, что
,
К определению элемента объемного угла. а) - пространственный случай б) расчетная схема
где - угол между внешней нормалью и радусом-вектором точки, в
окрестности которой расположен элемент поверхности
;
- элемент телесного угла, под которым виден элемент поверхности
из начала координат. В этом случае прямое вычисление потока вектора
через замкнутую поверхность приводит к результату
.
При записи (1.49) следует иметь в виду, что для строго выпуклой
замкнутой поверхности величина
и суммарное значение интеграла
в выражении равно
.
Если поверхность
не является строго выпуклой, то для части
поверхности
, а для части поверхности
, в этом случае
является алгебраической величиной, но соотношение
остается
справедливым.
Для случая, когда начало координат (т.е. точка расположения заряда )
лежит вне замкнутой поверхности суммарное значение
,
Поток вектора
через замкнутую поверхность а) - точечный заряд
находится внутри контрольной поверхности (
) б) - точечный заряд
находится вне контрольной поверхности (
)
поскольку видимая часть поверхности
и невидимая из начала координат
часть поверхности
приводят к одному и тому же абсолютному значению
телесного угла, но противоположных знаков.
Третий этап. Реальное электростатическое поле обусловлено
совокупностью точечных зарядов (принцип суперпозиции), для каждого из
которых соотношение
доказано для произвольной замкнутой поверхности
. Но тем самым
доказана
справедливость
теоремы
Гаусса
для
произвольного
электростатического
поля:
поток
вектора
напряженности
электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность
равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри
поверхности , деленному на величину .
Заметим, что соотношение справедливо для системы единиц СИ.
То обстоятельство, что замкнутая поверхность
в формулировке
теоремы Гаусса может быть произвольной, позволяет выбрать ее форму при
решении конкретной задачи удобным для исследователя способом.
Использование теоремы Гаусса в интегральной форме в отдельных
случаях, отличающихся высокой степенью симметрии расположения
электрических зарядов в пространстве, позволяет эффективно рассчитывать
характеристики электростатического поля.
В общем случае теорема Гаусса в форме может служить для получения
оценок характерных величин электростатического поля.
Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля
может быть сформулирована и в дифференциальной форме, отражающей
локальные свойства электростатического поля.
Действительно, рассмотрим поле точечного электрического заряда ,
расположенного в начале координат:
.
Из соотношения следует
Легко проверить, что для
, то есть для точки наблюдения, в которой
нет электрического заряда, справедливо соотношение:
.
Математическая операция в левой части соотношения имеет специальное
название "дивергенция векторного поля
" и специальное обозначение
.
Очевидно, что результат можно записать в форме:
.
Нетрудно сообразить, что формула будет иметь силу и для произвольного
электростатического поля в каждой точке, где отсутствует электрический
заряд.
Если в окрестности начала координат имеется объемная плотность
электрического заряда и рассматриваются расстояния от начала координат
настолько малые, что величину можно считать постоянной величиной, то
напряженность электростатического поля в окрестности начала координат
может быть определена соотношением:
,
где
- напряженность электрического поля, создаваемого зарядами вне
рассматриваемой окрестности,
- векторная постоянная величина. В
проекциях на оси декартовой системы координат имеем:
.
Вычисляя дивергенцию векторного поля, получаем
.
При
из соотношения следует соотношение.
Соотношение является дифференциальной формулировкой теоремы
Гаусса для векторного поля .
Заметим, что дифференциальная формулировка теоремы Гаусса для
векторного поля непосредственно следует из интегральной формулировки.
Действительно, в силу математической теоремы Остроградского-Гаусса
имеет место соотношение
,
где - объем, ограниченный замкнутой поверхностью . Если при этом
величина электрического заряда в объеме может быть записана в форме
,
.
.
Выражение
служит также для установления математического и
физического смысла операции дивергенции векторного поля.
Поля, создаваемые распределениями зарядов с хорошей симметрией
При достаточно хорошей симметрии напряжѐнность поля может быть
найдена из уравнения
E n dS
S
1
0
( r ) dV .
V
Значит, при достаточно
хорошей симметрии поле всегда может быть найдено вот из этой
интегральной теоремы. А теперь частные случаи.
1) Центральная (сферическая) симметрия. Пусть плотность заряда
есть
(r )
| r | . Значит, плотность, которая, вообще, функция координат точки r
, зависит только от | r | , то есть только от расстояния до начала координат, это
означает, что начало координат – центр симметрии. Вот эта формулка
(r ) =
| r | означает, что плотность на любой сфере радиуса r – константа, какая-
то там плотность, ну, и отличная от нуля, на любой сфере она постоянна. Это
означает, что распределение обладает сферической симметрией, и
создаваемое им поле будет также обладать сферической симметрией. Отсюда
следует, что
(r ) (потенциал как функция точки) это есть
| r | . Отсюда
эквипотенциальные поверхности – сферы с центром в начале координат, то
есть вот на любой сфере потенциал – константа. Отсюда далее следует, что
силовые линии поля, которые являются всегда ортогональными к
эквипотенциальным поверхностям, силовые линии поля – вот такие
радиальные лучи:
Конструкция электрического поля может быть только
такая. А теперь заметьте, здесь никакой специфики
электричества не было, все эти выводы получены
только из соображений симметрии. Любое векторное
поле имело бы такую структуру, какая бы физическая
природа у него ни была. Только сила соображения
симметрии очень часто позволяет делать выводы
безотносительно к конкретному предмету разговора.
(r ) =
| r | , отсюда дальше следует, что напряжѐнность поля на любой
r
r
r
r
сфере E (r ) может быть представлен так: E ( r ) E (r )  . Вот это  , радиусвектор, делѐнный на собственный модуль, есть единичный вектор n в
направлении радиус-вектора. Всѐ. Пишем дальше эту формулу
E n dS
S
1
0
( r ) dV .
В
качестве
замкнутой
поверхности,
которая
V
фигурирует в интеграле (поток вычисляется по замкнутой поверхности),
выбираем сферу S : r const . Мы еѐ (поверхность) можем брать любой,
равенство от этого не зависит, но удобно взять r const . Пишем:
E n dS
E (r )
S
r const
r
r
r
n dS
r
E (r ) dS . Это равенство вследствие того, что
r const
n , n - единичный вектор в направлении радиус-вектора (это вектор
нормали к сфере, но нормаль к сфере в данной точке совпадает по
направлению с радиус-вектором данной точки, эти векторы параллельны), а
проекция радиус-вектора на самого себя – это его модуль, конечно, r .
Дальше, E (r ) во всех точках сферы одно и тоже, выносим за знак интеграла:
E (r )
dS
E (r ) 4
r2
1
q (r ) , где q(r ) – заряд внутри сферы радиуса r . И
0
r const
это утверждение верно для сферы любого радиуса. Отсюда вывод – при
центральной симметрии напряжѐнность поля во всех точках сферы радиуса r
равна:
E
q(r )
4
0
r2
n,
где n - единичный вектор нормали к сфере. Эта формула, одна единственная,
добивает все задачи центральной симметрии. Проблема одна – найти заряд,
который находится внутри данной сферы, ну, это не очень тяжѐлая проблема.
Можем немножко продолжить это дело. Вследствие того, что на любой сфере
r const , интеграл по объѐму можно свести, в принципе, к однократному
интегралу, интегрируя по шаровым слоям, ну, напишу тут без подробных
r
комментариев q(r )
(r ) dV
шар
0
(r ) 4
r 2
dr . Вот это 4
r
2
dr
объѐм
dV
шарового слоя радиуса r толщиной dr . Почему я тут штрихи поставил,
понятно. r стоит в верхнем пределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать
переменную интегрирования с верхним пределом, там я вместо r пишу r .
Значит, если вот эта функция
(r ) предъявлена, то такой интеграл
вычисляется. Второй случай.
n1
n
E
h
n2
2)
Цилиндрическая
симметрия.
Вводим
цилиндрические
координаты
( x, y, z)
(r , , z ) ,
переходит в (r, , z) . Вот у нас в цилиндрических
координатах плотность (r, , z) (r) есть только
функция от r , то есть не зависит от и не зависит
от z . Это означает, что имеется бесконечный
цилиндр, и на поверхности цилиндра любого радиуса плотность заряда
постоянна, и всѐ это дело продолжается до бесконечности по z , вот такая
ситуация. Сразу, конечно ясно, что физически это не реализуется, но в
качестве некоторой идеализации это разумно. Напишем снова (r, , z) (r) ,
значит, эквипотенциальные поверхности – это цилиндры с осью,
совпадающей с осью симметрии, то есть с осью z . А силовые линии лежат в
плоскостях ортогональных оси z . Так. В качестве замкнутой поверхности
выбираем цилиндрическую поверхность радиуса r и высотой h ,
цилиндрическая поверхность, закрытая двумя крышками для того, чтобы она
была замкнутой. Нормаль всегда берѐтся наружу. Из соображений
симметрии ясно
E( r )
E (r ) n
(напряжѐнность поля в любой точке
цилиндрической поверхности направлена вдоль вектора n , а величина
зависит только от расстояния до оси симметрии). Поскольку у нас
поверхность теперь задана в виде нескольких кусков, интеграл представится
как сумма интегралов по этим кускам: E n dS
S
.
бок .пов сти
крышка1
крышка2
Интеграл по крышкам равен нулю, потому что вектор E (r ) скользит по
крышкам,
скалярное
произведение
с
нормалью
–
ноль.
E n dS
E n dS
S
бок .пов сти
1
E (r )
1
dS
E (r ) 2
r h
бок .пов сти
dV .
0
V
Внутренняя
1
0
E (r ) 
n n dS
бок .пов сти
начинка
1
dV
этого
(r ) h , где
цилиндра
V,
это
интеграл
по
V.
1
(r ) - это заряд на h единицу длины цилиндра
0
V
радиуса r , то есть это заряд лепѐшки радиуса r единичной толщины. Отсюда
мы получаем результат:
E (r )
(r )
2
0
r
напряжѐнность поля во всех точках цилиндрической поверхности радиуса r .
3) Поле, создаваемое равномерно заряженной плоскостью. Мы имеем
q
S
S
const
плоскость YZ, заряженную до бесконечности. Эта плоскость заряжена с
постоянной плотностью . называется поверхностная плотность заряда.
Если взять элемент поверхности S , то в нѐм будет заряд q
S . Значит,
симметрия такова, что при сдвигах вдоль y и z ничего не меняется, это
означает, что производные по y и z от чего угодно должны равняться нулю:
x
y
0 . Это означает, что потенциал есть функция x только:
( x, y, z)
( x)
. Вот такое следствие. Это означает, что любая плоскость ортогональная оси
x является эквипотенциальной поверхностью. На любой такой плоскости
=const. Силовые линии ортогональны этим плоскостям, значит силовые
линии – прямые параллельные оси x. Из соображений симметрии следует,
что, если здесь они идут вправо от плоскости, то слева они должны идти
влево от плоскости (ожидается, что имеется зеркальная симметрия).
Вопрос, на самом деле, с зеркальной симметрией не такой простой. Вот ещѐ
до не очень давнего времени, ещѐ на моей памяти, считалось, что зеркальная
симметрия, конечно, имеет место в природе, что нет отличия между левым и
правым. Но обнаружили в 60-х гг., что на самом деле такая симметрия не
выполняется, природа отличает правое от левого. Будет ещѐ повод об этом
поговорить. Но здесь это для нас выполняется.
q
S
E1
E2
S2
S1
Пусть n – единичный вектор вдоль оси x. В качестве
замкнутой поверхности берѐм цилиндр, прорезающий
плоскость с двумя крышками. Напряжѐнности поля
показаны на рисунке.
E n dS
S
E1 n1 dS
S1
S2
бок .пов сти
S1
E2 n2 dS
E1 S1
E2 S 2 Интеграл
по
S2
боковой поверхности ноль, потому что силовые линии скользят по боковой
поверхности. Но как площади оснований цилиндра S1 S 2 S . Если крышки
взяты на одинаковых расстояниях от плоскости, то опять вследствие
симметрии E1 E2 E (a) - функция расстояния до плоскости, тогда мы
напишем так: E1 S1 E2 S 2
2E (a) S . Тогда мы имеем: 2 E (a ) S
1
0
dV , а



S
это заряд, который сидит внутри нашей поверхности.
Отсюда получается: E (a)
2
. Что мы видим, что длина цилиндра, ну,
0
расстояние от крышек до плоскости, выпало из формулы, то есть на любом
расстоянии от плоскости напряжѐнность поля одна и та же. Значит поле
однородное. Напишем окончательно:
E ( x, y , z )
2
2
i, x
0
0
i, x
0
0
Эта формула автоматически учитывает и знак заряда: если. Вот эта формула
даѐт исчерпывающее описание поля заряженной плоскости. Если там не
плоскость, а площадь конечной толщины, то поле надо разбить на тонкие
пластины и вычислять.
Вот заметьте, для точечного заряда напряжѐнность поля убывает с
1
1
, для цилиндра – как
и для плоскости вообще не
2
r
r
расстоянием как
убывает.
Лекция 16 Работа в электрическом поле.
Электрическое поле, создаваемое системой неподвижных электрических
зарядов обладает свойством потенциальности: работа электрического поля
по перемещению постоянного точечного заряда вдоль замкнутого контура
равна нулю.
Рассмотрим электрическое поле одиночного точечного электрического
заряда
:
,
где - вектор, проведенный из точки расположения заряда
в точку
наблюдения, - модуль вектора
. Если в точке наблюдения помещен
точечный заряд
, то по определению понятия "напряженность
электрического поля" имеем
,
где
-
сила,
действующая
на
точечный
заряд
со
стороны
электрического поля
. Располагая зависимостью, легко написать
выражение для элементарной работы
по перемещению заряда из точки
М1, описываемой вектором , в соседнюю точку М2, описываемую вектором
:
.
Элементарное смещение
заряда
, параллельную вектору
перпендикулярную вектору (рис):
можно разложить на составляющую
,
и
на
составляющую
,
,
Схема
элементарного
перемещения
электростатическом поле заряда
точечного
заряда
в
.
где - орт направления вдоль , - орт направления, перпендикулярного
направлению . По построению имеем
. В этом случае элементарная
работа сил поля по перемещению заряда
с учетом соотношения
описывается выражением:
.
При перемещении постоянного точечного заряда
положение 2 имеем
из положения 1 в
.
Если перемещение заряда заканчивается в исходной точке, то, очевидно,
и мы получаем
,
где индексом "0" помечено, что перемещение осуществлялось по
замкнутому контуру.
Поскольку электрическое поле образовано системой неподвижных
зарядов, для каждого из них соотношение
справедливо, то можно
утверждать, что описанным выше свойством потенциальности обладает
произвольное электростатическое поле.
Рассмотрим некоторые следствия из установленного принципа.
Если
произвольное векторное электростатическое поле;
- направленный отрезок контура
, то работу
электростатического поля по перемещению положительного единичного
точечного заряда можно описать с помощью криволинейного интеграла
.
Циркуляцией вектора
по замкнутому контуру называют величину
.
В
силу
установленного
выше
принципа
потенциальности
электростатического поля выражение должно обращаться в нуль для любого
замкнутого контура :
.
Условие играет важную роль в электростатике: электростатическое поле
реально существует, если только для него выполнено интегральное условие
потенциальности
,
где
- орты декартовой системы координат, определитель в
раскрывается по обычному правилу с тем условием, что дифференциальные
операторы не должны стоять после функций
,
,
.
С использованием определения условие потенциальности имеет вид:
.
Внутренняя связь условий проявляется при рассмотрении теоремы Стокса:
,
где
- произвольная гладкая поверхность, натянутая на контур , а
направление нормали к элементу площади поверхности
выбрано так,
чтобы с конца вектора обход контура осуществлялся против часовой
стрелки.
Заметим, что теорема Стокса служит основой для формального
определения компонент вектора
координат:
безотносительно к выбору системы
.
Потенциал электростатического поля вводят соотношением
.
Легко видеть, что дифференциал потенциала равен элементарной работе
против сил электростатического поля, совершаемой над единичным
точечным зарядом на перемещении
.
Если в определении учесть, что
- полный дифференциал, т.е.:
,
В компактной форме записи формулы имеют вид:
,
где вектор
определен соотношениями:
.
Градиент скалярного поля выделяет направление наискорейшего
возрастания скалярной функции, а его модуль численно равен максимальной
интенсивности возрастания этой функции.
Скалярное поле часто описывают с помощью "поверхностей уровня",
эквипотенциальных
или
изоповерхностей,
которые
определяются
уравнением
.
На эквипотенциальной поверхности
,
что можно переписать в векторном виде:
,
Эквипотенциальная
поверхность
электростатического поля
где
принадлежит поверхности
перпендикулярен любому вектору
и
вектор
напряженности
. Из условия следует, что вектор
, принадлежащему поверхности
, то есть перпендикулярен элементу площади поверхности
.
Следует иметь в виду, что "силовое" проявление электростатического
поля связано с производными от потенциала, при этом нет нужды учитывать
"произвольную постоянную". В задачах, использующих энергетические
характеристики отдельных элементов системы, необходимо иметь в виду, что
потенциальная энергия системы определяется с точностью до одной
произвольной постоянной, поэтому выбор произвольных постоянных для
подсистем не может быть произвольным: энергии подсистем должны
рассчитываться от одного уровня.
Лекция 17 Электрическое поле в проводниках.
Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов
(электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут
перемещаться по всему объему проводника. Типичные проводники –
металлы.
В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника
отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом
ионной решетки. В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит
перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности
проводника
возникают
нескомпенсированные
положительные
и
отрицательные заряды. Этот процесс называют электростатической
индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды –
индукционными зарядами.
Индукционные
заряды
создают
свое
собственное
поле
которое
компенсирует внешнее поле
во всем объеме проводника:
(внутри проводника).
Полное электростатическое поле внутри проводника равно нулю, а
потенциалы во всех точках одинаковы и равны потенциалу на
поверхности проводника.
Имеется в виду, что расстояние между пластинами много меньше
характерного линейного размера,
, S – площадь пластин. Пластины
имеют большую площадь, зазор маленький, в этом случае силовые линии
поля однородны и внешние заряды на него не влияют. Напряжѐнность поля
равняется
, где
. Мы знаем формулу для пластины с
поверхностной плотностью
:
, между пластинами поля
складываются, снаружи уничтожаются. Так как поле однородное, разность
потенциалов равняется:
, где d – расстояние между пластинами.
Тогда мы получим, что
. Действительно, обнаружили, что разность
потенциалов между пластинами – линейная функция заряда, это частное
подтверждение общего правила. А коэффициент пропорциональности связан
с ѐмкостью:
. Если объѐм конденсатора заполнен начинкой из
диэлектрика, то будет более общая формула:
.
А теперь займѐмся формулой для энергии конденсатора:
формула справедлива всегда. Для плоского конденсатора
. Эта
мы
получим:
, где V – это объѐм области между
пластинами. При наличии диэлектрика энергия плоского конденсатора равна:
. Напряжѐнность поля внутри плоского конденсатора во всех
точках одинакова, энергия пропорциональна объѐму, а эта вещь
тогда
выступает как плотность энергии,
,
энергия, приходящаяся на единицу объѐма внутри
конденсатора. Повторяю, дальше хорошее
доказательство увидим, это пока как наводящее
соображение,
но
положение
таково.
Электростатическое поле обладает энергией, и, если
мы возьмѐм элемент объѐма dV, а внутри этого элемента напряжѐнность поля
равняется Е, то внутри этого объѐма будет содержаться энергия
, определяемая напряжѐнностью поля в точке внутри этого
элемента. В любом конечном объѐме V будет содержаться энергия, равная
.
Земля обладает некоторым зарядом, и заряд противоположного знака в
атмосфере, это поле однородное, я уже упоминал, наверняка, напряжѐнность
такая: в точках, в которые я сейчас ткнул, разность потенциалов порядка
100В, то есть напряжѐнность этого поля порядка 100В/м. Значит, в этой
аудитории присутствует энергия, вычисленная по этой формуле:
, она размазана по всему пространству, энергия принадлежит
электрическому полю. Можно ли еѐ использовать? Тут тонкость такая,
скажем, я пришѐл с чемоданом, поставил тут чемодан, открыл его, потом
закрыл, в объѐме чемодана есть электрическое поле и, соответственно,
энергия. Я взял чемодан и ушѐл, унѐс ли я эту энергию? Нет, потому что
чемодан-то я унѐс, а поле как было здесь, так и осталось. Тем не менее,
можно ли эту энергию как-нибудь добыть? Да. Надо сделать так, чтобы
энергия исчезла в этом объѐме, скажем, электрическое поле исчезло в объѐме
этой аудитории, и тогда эта энергия выделится, если мы уничтожим поле, то
энергия выделится.
Процедура, например, такая: вот имеется
однородное поле, я беру металлическую пластину и
вдвигаю еѐ в это поле перпендикулярно силовым
линиям, работа при этом не совершается и ничего
не происходит; вдвигаю ещѐ одну пластину таким
же образом, тоже ничего не происходит, ну, правда,
внутри проводящей пластины поле исчезает, на
поверхности выступают заряды, но это ерунда. А теперь я беру проводничок
к одной пластине, ключ и проводничок к другой, тоже невинное дело, ничего
при этом не происходит. А когда я замыкаю ключ, что произойдѐт? Эти две
пластины соединяются, это один проводник, это означает, что их потенциалы
должны уравняться. Вначале на одном проводнике был потенциал
другом
, и разность потенциалов равнялась
, на
, где d – это
расстояние между пластинами, а когда я их соединяю проводником = ,
как это может быть? Исчезает поле между пластинами, потому что разность
потенциалов – это интеграл
получается такая конфигурация:
. Когда я их закорачиваю проводником,
Энергия этого исчезнувшего поля выделяется при замыкании. Я мог бы еѐ
даже утилизировать: не просто замкнуть, а мотор вставил бы, и при
замыкании заряд перетекал бы по обмоткам электромотора, он прокрутится и
совершит работу (если вы ключ разомкнѐте, поле не восстановится).
На сколько этот процесс реализуется? Что такое молния и гром? Имеем
землю, имеем облако (это обкладки конденсатора), между ними такое
электрическое поле:
Что такое молния? Пробой, это пррводничок, он сам собой замыкается.
Происходит разряд, исчезает поле между облаком и землѐй. Гром, это что
такое? Выделение энергии этого поля. Весь этот гром, треск и молния – это
выделение энергии между облаком и землѐй.
Энергия конденсатора – это
. Конечно, чтобы взять
этот интеграл, нужно знать всѐ поле во всѐм пространстве, и каким же
образом получается такая простая формула
? Ёмкость, на самом деле, это
интегральная характеристика, для того, чтобы найти ѐмкость какой-то
системы зарядов, нужно знать поле во всѐм пространстве. Вся трудность
вычисления интеграла эквивалентна трудности вычисления ѐмкости.
Электростатическая индукция
Все внутренние области проводника, внесенного в электрическое поле,
остаются электронейтральными. Если удалить некоторый объем,
выделенный внутри проводника, и образовать пустую полость, то
электрическое поле внутри полости будет равно нулю. На этом основана
электростатическая защита – чувствительные к электрическому полю
приборы для исключения влияния поля помещают в металлические ящики
Электростатическая защита. Поле в металлической
полости равно нулю
Так как поверхность проводника является эквипотенциальной, силовые
линии у поверхности должны быть перпендикулярны к ней.
Лекция 18 Диэлектрики в электрическом поле.
Реальные тела, как правило, являются диэлектриками, то есть системами
электрических диполей, так или иначе расположенных в пространстве. В
пользу этого утверждения говорит тот факт, что многие молекулы вещества
обладают электрическим дипольным моментом. Ниже попытаемся описать
электрические свойства таких тел.
Прежде всего заметим, что если выполнено условие электрической
нейтральности
,
где - точечный электрический заряд, - порядковый номер этого заряда
в рассматриваемой системе электрических зарядов, то физическая величина
,
может служить характерной величиной, описывающей свойства этой
системы. Это действительно так, поскольку выражение не зависит от выбора
начала системы координат. Если
,
то
Величину называют электрическим дипольным моментом системы.
Локальной
характеристикой
диэлектрика
служит
величина
"поляризованности среды":
.
В соответствии с определением
поляризованность среды - это
электрический дипольный момент единицы объема вещества.
Для упрощения дальнейших рассуждений допустим, что вещество
состоит из одинаковых молекул, каждая из которых обладает электрическим
дипольным моментом. Модуль дипольного момента одинаков для всех
молекул, а направление - у каждого момента свое. Если в единице объема
вещества содержится молекул, то, очевидно:
где
- средний дипольный момент молекулы вещества. Для
большинства веществ в отсутствие внешнего электрического поля
для "электретов" -
.
,
Диэлектрики и электреты. а) - электрические диполи диэлектрика в
отсутствие внешнего электрического поля б) - электрические диполи
электрета в отсутствие внешнего электрического поля
Во внешнем электрическом поле, как правило,
. При этом имеют
место два механизма поляризации вещества. У диэлектриков из неполярных
молекул под действием внешнего электрического поля положительные
заряды молекулы смещаются "по полю
", а отрицательные - "против поля
", и возникает электрический диполь, направленный по силовой линии
векторного поля
. У диэлектриков из полярных молекул электрический
момент отдельной молекулы стремится развернуться вдоль силовой линии
векторного поля
, тем самым нарушается хаотическое распределение
дипольных моментов молекул, которое существовало в отсутствие внешнего
поля и приводило к отсутствию поляризации среды.
Интересно отметить, что понятие "внешнее поле" в строгом рассмотрении
вопроса имеет смысл внешнего поля по отношению к отдельному
электрическому диполю, то есть должно учитывать электрическое поле
соседних электрических диполей, а не только поле внешних источников.
Вычисление внешнего эффективного поля является одной из трудных задач
электродинамики.
Поляризация среды приводит к изменению векторного поля
напряженности электростатического поля в среде по сравнению с
напряженностью электростатического поля в вакууме, созданного одними и
теми же источниками поля. Действительно, рассмотрим плоский
конденсатор, заполненный однородным диэлектриком из неполярных
молекул. Если конденсатор заряжен, внутри конденсатора возникает
"внешнее" однородное поле
, обусловленное поверхностной плотностью
электрического заряда, расположенного на металлических обкладках, не
связанного с молекулярной структурой вещества (свободный заряд). В
пространстве между пластинами происходит поляризация молекул вещества,
т. е. смещение положительных зарядов в сторону отрицательно заряженной
пластины и отрицательных зарядов в сторону положительно заряженной
пластины. "Связанные" заряды (т.е. заряды электронов и протонов, входящие
в состав молекулы) компенсируют друг друга в объеме вещества, но на
границах объема (на поверхности диэлектрика) около пластин конденсатора
возникают некомпенсированные связанные заряды с поверхностной
плотностью
: положительная поверхностная плотность у "отрицательной"
стенки и отрицательная поверхностная плотность у "положительной" стенки
Ослабление внешнего электрического поля в диэлектрике
Образовавшуюся систему зарядов можно рассматривать как "конденсатор
в конденсаторе", причем "внутренний" конденсатор имеет обратную
полярность по отношению к внешнему. Можно говорить, что поляризация
вещества ослабляет внешнее электростатическое поле.
Поляризованность среды, как правило, возникает при действии
электрического
поля
на
вещество.
Естественно
предположить
функциональную зависимость
между поляризованностью (вектор поляризации) и напряженностью
электростатического поля
. В рамках классической электростатики,
феноменологической по существу, зависимость считается известной из
опыта или из более подробной теории, в частности, из молекулярнокинетических представлений, с которыми мы еще познакомимся в настоящем
курсе. Оказывается, что во многих практически интересных случаях
зависимость является линейной и однородной:
,
где
- диэлектрическая восприимчивость среды, положительная
скалярная величина для изотропной среды или тензор второго ранга для
анизотропной среды. Изучение анизотропных сред выходит за рамки
настоящего курса. Диэлектрическая восприимчивость среды может быть
постоянной величиной (однородная среда) или зависеть от пространственных
координат (неоднородная среда)..
Сегнетоэлектриками называются вещества, обладающие спонтанной
электрической поляризацией, которая может быть обращена приложением
электрического поля E подходящей величины и определенного направления.
Этот
процесс,
называемый
переполяризацией,
сопровождается
диэлектрическим гистерезисом. Сегнетоэлектрики во многих отношениях
являются электрическим аналогами ферромагнетиков, в которых
намагниченность I может быть обращена магнитным полем H. Однако по
своей микроскопической природе сегнетоэлектрики и ферромагнетики
совершенно различны.
Сегнетоэлектрики отличаются большой диэлектрической проницаемостью,
высоким пьезомодулем, наличием петли диэлектрического гистерезиса,
интересными электрооптическими свойствами, и поэтому широко
применяется во многих областях современной техники: радиотехнике,
электроакустике, квантовой электронике и измерительной технике.
Сегнетоэлектрики обладают интересными электрическими свойствами; во
многих твердых телах силы связи носят главным образом электрический
характер, и тот факт, что в сегнетоэлектриках эти силы могут проявляется
весьма ярко, существенно облегчает их изучение,
В термине «сегнетоэлектрики» нашел свое отражение тот факт, что первые
сегнетоэлектрические свойства были обнаружены у сегнетовой соли.
Позднее, однако, выяснилось, что сегнетова соль является не типичным
сегнетоэлектрическим кристаллом.
Сегнетоэлектрики являются твердыми телами, причем все они неметаллы.
Свойства сегнетоэлектриков проще всего изучать, если вещество находится в
монокристаллическом состоянии.
Изучение свойств ферромагнетиков, известных с глубокой древности,
началось примерно с 1600г; в дальнейшем исследования Вебера и Эвинга
привели уже в 1907г к известной теории Вейса. Сегнетоэлектричество же
было открыто лишь в 1921г Валашеком в сегнетовой соли. В настоящее
время известно уже более 700 веществ, обладающих сегнетоэлектрическими
свойствами.
Тремя наиболее яркими особенностями сегнетоэлектриков являются
обратимая поляризация, «аномальные» свойства и нелинейности.
Большинство сегнетоэлектриков перестает быть сегнетоэлектриками выше
некоторой температуры ТK, называемой температурой перехода.
Аномальное поведение вблизи ТK, вероятно не менее важно, чем обратимая
поляризация, но оно не является достаточным определением
сегнетоэлектрика. При температуре ТK диэлектрическая проницаемость
резко возрастает до весьма больших значений; именно эти большие значения
в окрестности ТK называют аномальными значениями.
Классифицировать сегнетоэлектрики можно по разным признакам. Наиболее
распространена классификация сегнетоэлектриков в соответствии со
структурой и связанной с ней механизмом возникновения спонтанной
поляризации при фазовом переходе. По этому признаку они подразделяются
на сегнетоэлектрики типа «смещения», у которых переход в
сегнетоэлектрическую фазу связан со смещением ионов, и сегнетоэлектрики
типа «порядок-беспорядок», у которых при переходе в сегнетоэлектрическую
фазу происходит упорядочение имевшихся в исходной фазе диполей.
Сегнетоэлектрики типа «смещения» подразделяются на две основные
группы: группу перовскита и группу псевдоильменита.
Сегнетоэлектрики группы перовскита могут существовать в виде
монокристаллов или керамики. Характерная особенность структуры
кристаллов этой группы наличие кислородного октаэдра, внутри которого
располагается 4- или 5- валентный ион Ti, Zr, Nb или другой ион с малым
ионным радиусом. В параэлектрической фазе кристаллы этой группы имеют
кубическую структуру. В вершинах куба располагаются ионы Ba, Pb, Cd и
др. Ионы кислорода размещаются в центре граней куба, образуя октаэдр.
Возникновение спонтанной поляризации в них связано с изменением ионов
титана. Важная особенность таких сегнетоэлектриков способность
образовывать твердые растворы с соединениями аналогичной структуры,
например BaTiO3-SrTiO3, PbTiO3-PbZrO3. Это позволяет создавать керамику
с
заданными
свойствами
для
многочисленных
устройств:
пьезопреобразователей, пьезоприводов, пьезодвигателей, позисторов,
варикондов и др.
Сегнетоэлектрики группы псевдоильменита имеют ромбоэдрическую
структуру. Характерная особенность кристаллов группы псевдоильменита
высокая температура Кюри. Эти кристаллы наиболее широко применяются в
акустических устройствах на поверхностных объемных волнах:
пьезопреобразователях, полосовых фильтрах, резонаторах, линиях задержки,
ВЧ акустооптических модуляторах; они применяются также в устройствах
нелинейной оптики и электроники и в пироприемниках.
Сегнетоэлектрики типа «порядок - беспорядок» делятся на три основные
группы: группу дигидрофосфата калия (KDP) дигидрофосфаты и
дигидроарсенаты щелочных металлов (KH2PO4, PdH2PO4, KH2AsO4,
RbH2AsO4, CsH2AsO4) и их дейтриевые аналоги; группу триглицинсульфата
(ТГС) (NH2CH2COOH3)H2SO4; жидкокристаллические сегнетоэлектрики.
Упорядочивающимися элементами структуры в сегнетоэлектриках группы
KDR являются протоны (дейтроны) в водородных связях. Возникновение
спонтанной поляризации связано с тем, что положения всех протонов
становятся упорядоченными. Основные применения этой группы кристаллов
в устройствах нелинейной оптики и электрооптики. Сегнетоэлектрические
свойства кристаллов группы ТГС обусловлены упорядочиванием протонов в
водородных связях что приводит к возникновению диполей у молекул
глицина и сульфатионов. Применяются в пироприемниках и мишенях
пировидиконов.
Жидкокристаллические
сегнетоэлектрики
широкий
класс
жидких
кристаллов, содержащих упорядочивающиеся полярные молекулы. Они
обладают рядом электрических и оптических свойств, характерных для
сегнетоэлектриков: резким фазовым переходом, сопровождающимся
аномалиями тепловых, диэлектрических и оптических свойств; высокими
значениями диэлектрической проницаемости (~ 102) и другими. Некоторые
жидкокристаллические
сегнетоэлектрики
обнаруживают
петли
диэлектрического гистерезиса. Оптические свойства сильно зависят от
температуры и направленности внешнего электрического поля; на этом
основаны наиболее важные применения таких сегнетоэлектриков:
оптические индикаторы, транспаранты, дисплеи и другие.
Ионные и дипольные сегнетоэлектрики существенно различаются по
свойствам. Так, все соединения кислородно-октаэдрического типа
нерастворимы в воде, обладают значительной механической прочностью,
легко получаются в виде поликристаллов по керамической технологии.
Наоборот, дипольные сегнетоэлектрики обладают высокой растворимостью в
воде и малой механической прочностью. Например, растворимость
сегнетовой соли в воде столь велика, что ее кристаллы можно распилить с
помощью влажной нити. Благодаря высокой растворимости в воде можно
легко вырастить крупные монокристаллы этих соединений из водных
растворов.
Применение
В техническом применении сегнетоэлектриков наметилось несколько
направлений, важнейшими из которых следует считать:
1) изготовление малогабаритных низкочастотных конденсаторов с большой
удельной емкостью;
2) использование материалов с большой нелинейностью поляризации для
диэлектрических усилителей, модуляторов и других управляемых устройств;
3) использование сегнетоэлементов в счетно-вычислительной технике в
качестве ячеек памяти;
4) использование кристаллов сегнето- и антисегнетоэлектриков для
модуляции и преобразования лазерного излучения;
5) изготовление пьезоэлектрических и пироэлектрических преобразователей.
Конденсаторная сегнетокерамика, как и любой диэлектрик, для производства
обычных
конденсаторов,
должна
иметь
наибольшую
величину
диэлектрической проницаемости с малой зависимостью от температуры,
незначительные потери, наименьшую зависимость и tg от напряженности
электрического поля (малую нелинейность), высокие значения удельного
объемного и поверхностного сопротивлений и электрической прочности.
Одним из важнейших методов получения оптимальных свойств в заданном
температурном интервале является использование твердых растворов.
Изменением концентрации компонентов в твердом растворе можно
регулировать
значения
диэлектрической
проницаемости,
смещать
температуру Кюри, изменять нелинейность поляризации и т. д. В твердых
растворах, по сравнению с простыми веществами, можно получить более
сглаженные температурные зависимости , что имеет важное значение для
производства конденсаторов. Однако в большинстве случаев использование
однофазных материалов, даже являющихся твердыми растворами, не может
обеспечить достаточно слабую температурную зависимость . Для ослабления
температурных зависимостей параметров конденсаторов в состав
сегнетокерамики вводят различные добавки, которые «размывают»
сегнетоэлектрический фазовый переход. В большинстве случаев
конденсаторные сегнетокерамические материалы содержат несколько
кристаллических фаз. При «размытом» фазовом переходе сравнительно
слабо выражены и нелинейные свойства диэлектриков. В промышленности
используют несколько сегнетокерамических материалов, каждый из которых
применяют для определенных типов конденсаторов, так как ни один
материал не отвечает совокупности всех перечисленных требований.
Среди существующей конденсаторной сегнетокерамики можно выделить:
1) материалы со слабо выраженной температурной зависимостью
диэлектрической проницаемости, например, Т - 900;
2) материалы со сглаженной зависимостью диэлектрической проницаемости
от температуры, например, СМ-1;
3) материалы с максимальным значением диэлектрической проницаемости в
определенном интервале температур, например Т-8000.
В материале Т-900 кристаллическая фаза представляет собой твердый
раствор титанатов стронция (SrTiO3) и висмута (Bi4Ti3O12). Максимум
соответствует точке Кюри ТК = -140°С. Рабочий диапазон температур
расположен значительно правее ТК, поэтому температурная зависимость
слегка падающая.
Материал СМ-1 изготавливают на основе титаната бария с добавкой окислов
циркония и висмута. Его применяют для производства малогабаритных
конденсаторов на низкие напряжения.
Материал Т-8000 имеет кристаллическую фазу, представляющую собой
твердый раствор ВаТiOз - ВаZr0з. Точка Кюри этого материала находится в
области комнатной температуры, поэтому вблизи нее диэлектрическая
проницаемость имеет максимальное значение. Данный материал используют
для изготовления конденсаторов, работающих при комнатной температуре (в
нешироком интервале температур), в том числе и высоковольтных.
Распространены
и
другие
сегнетокерамические
материалы
для
конденсаторов, отличающиеся большей диэлектрической проницаемостью и
более сглаженной зависимостью ее от температуры.
Материалы для варикондов имеют резко выраженные нелинейные свойства;
применяются для изготовления нелинейных конденсаторов - варикондов.
Одна из основных характеристик варикондов - коэффициент нелинейности К,
определяемый как отношение максимального значения диэлектрической
проницаемости при некоторой, максимальной для данного материала,
напряженности
электрического
поля
к
начальному
значению
диэлектрической проницаемости. Численное значение коэффициента
нелинейности для различных марок варикондов может изменяться от 4 до 50
(в переменном поле). Основной кристаллической фазой в таких материалах
являются твердые растворы системы Ba(Ti,Sn)03 или Pb(Ti, Zr, Sn)03.
Вариконды предназначены для управления параметрами электрических
цепей за счет изменения их емкости при воздействии как постоянного или
переменного напряжения, так и нескольких напряжений, приложенных
одновременно и различающихся по значению и частоте. В простейшем
случае им приходится работать при одновременном воздействии
переменного (синусоидального) и постоянного электрических полей, причем
Е_ >> E~. Как отмечалось, изменение поляризации сегнетоэлектрика в этих
условиях определяется реверсивной диэлектрической проницаемостью Р.
Она характеризует степень ориентируемости электрических моментов
доменов переменным полем при наличии преимущественной направленности
их действием постоянного поля. Чем сильнее приложенное к
сегнетоэлектрику постоянное поле, т. е. чем больше направленность
электрических моментов доменов, тем меньше влияние на суммарную
электрическую индукцию в сегнетоэлектрике оказывает переменное поле.
Следовательно, при заданной амплитуде переменного поля ЕM реверсивная
диэлектрическая проницаемость Р с ростом Е_ уменьшается.
Нелинейные диэлектрические элементы, обычно в тонкопленочном
исполнении, являются основой разнообразных радиотехнических устройств параметрических усилителей, низкочастотных усилителей мощности,
фазовращателей, умножителей частоты, модуляторов, стабилизаторов
напряжения, управляемых фильтров и др.
В качестве примера использования варикондов приведем принципиальную
схему диэлектрического усилителя, основанного на изменении емкости
нелинейного конденсатора Свар под влиянием поля входного сигнала Uвх,
обусловливающем изменение тока в нагрузке Iн.
Сегнетоэлектрики с ППГ. В адресных регистрах вычислительных машин
многократно используются переключатели, с помощью которых
производится выбор требуемой ячейки памяти. При разработке
вычислительных машин предпринимаются меры для уменьшения времени
срабатывания этих переключателей число необходимых селекторов.
В 1952г Андерсон высказал предположение, что сегнетоэлектрики с хорошей
прямоугольной петлей гистерезиса можно использовать в качестве элементов
запоминающих устройств вычислительных машинах с возможной матричной
селекцией. Для этих целей необходим материал с возможно более
прямоугольной петлей гистерезиса (ППГ), что характерно для
монокристаллов (например, триглицинсульфата). В отсутствие внешнего
поля сегнетоэлектрик с ППГ имеет два устойчивых состояния,
соответствующих различным направлениям остаточной электрической
индукции. Одно из этих состояний в запоминающей ячейке означает
хранение единицы, а другое - хранение нуля. Подавая внешнее напряжение
различной полярности, сегнетоэлектрик можно переводить из одного
состояния в другое. На этом основаны запись, считывание и стирание
информации. Считывание информации можно осуществить без еѐ
разрушения, например, оптическим методом или измерением сопротивления
тонкой полупроводниковой пленки, нанесенной на поверхности
сегнетоэлектрика.
Время переключения ячейки пропорционально толщине кристалла и при
толщинах в несколько десятых долей миллиметра составляет несколько
микросекунд. В сегнетокерамике процесс переполяризации в отдельных
зернах происходит независимо, и время прорастания доменов определяется
размерами зерен, которые можно уменьшить до нескольких микрометров. В
этом случае достигается более высокое быстродействие, чем в
монокристаллах, хотя ухудшается прямоугольность петли гистерезиса.
Пьезоэлектрические и пироэлектрические преобразователи. Наиболее
широкое применение в качестве пьезоэлектрического материала находит
сегнетоэлектрическая
керамика.
Полярную
сегнетокерамику,
предназначенную
для
использования
в
пьезоэлектрических
преобразователях, называют пьезокерамикой.
Основным материалом для изготовления пьезокерамических элементов
являются твердые растворы PbZrO3 PbTiO3 (ЦТС). Эта керамика широко
используется для создания мощных ультразвуковых излучателей в широком
диапазоне частот для целей гидроакустики, дефектоскопии, механической
обработки материалов. Такие ультразвуковые генераторы применяются
также в химической промышленности для ускорения различных процессов и
в полупроводниковой технологии для эффективной промывки и
обезжиривания полупроводниковых пластин с помощью ультразвуковой
ванны. Из пьезокерамики делают малогабаритные микрофоны, телефоны,
громкоговорители, слуховые аппараты, детонаторы, различные устройства
поджига в газовых системах. Пьезокерамические элементы можно
использовать в качестве датчиков давлений, деформаций, ускорений,
вибраций. Двойное преобразование энергии положено в основу работы
пьезорезонансных фильтров, линий задержки и пьезотрансформаторов.
Пироэлектрический эффект проявляется в поляризованной сегнетокерамике,
хотя пироэлектрических образцов заметно хуже, чем у монокристаллов. Для
изготовления фотоприемников можно использовать все виды пьезокерамики,
однако наиболее подходящим материалом для этих целей является керамика
ЦТСЛ. Введение добавки окиси лантана позволяет приблизить температуру
Кюри к комнатной и получить более высокие значения пироэлектрических
коэффициентов.
Лекция 19 Постоянный электрический ток.
Если изолированный проводник поместить в электрическое поле
свободные заряды q в проводнике будет действовать сила
то на
В
результате в проводнике возникает кратковременное перемещение
свободных зарядов. Этот процесс закончится тогда, когда собственное
электрическое поле зарядов, возникших на поверхности проводника,
скомпенсирует
полностью
внешнее
поле.
Результирующее
электростатическое поле внутри проводника будет равно нулю (Однако, в
проводниках при определенных условиях может возникнуть непрерывное
упорядоченное движение свободных носителей электрического заряда. Такое
движение
называется
электрическим
током.
За
направление
электрического тока принято направление движения положительных
свободных зарядов. Для существования электрического тока в проводнике
необходимо создать в нем электрическое поле.
Количественной мерой электрического тока служит сила тока I –
скалярная физическая величина, равная отношению заряда Δq,
переносимого через поперечное сечение проводника (за интервал
времени Δt, к этому интервалу времени:
Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток
называется постоянным.
Упорядоченное движение электронов в
металлическом проводнике и ток I. S –
площадь
поперечного
сечения
проводника,
– электрическое поле
В Международной системе единиц СИ сила тока измеряется в амперах (А).
Единица измерения тока 1 А устанавливается по магнитному
взаимодействию двух параллельных проводников с током
Постоянный электрический ток может быть создан только в замкнутой
цепи, в которой свободные носители заряда циркулируют по замкнутым
траекториям. Электрическое поле в разных точках такой цепи неизменно во
времени. Следовательно, электрическое поле в цепи постоянного тока имеет
характер замороженного электростатического поля. Но при перемещении
электрического заряда в электростатическом поле по замкнутой траектории,
работа электрических сил равна нулю . Поэтому для существования
постоянного тока необходимо наличие в электрической цепи устройства,
способного создавать и поддерживать разности потенциалов на участках
цепи за счет работы сил неэлектростатического происхождения. Такие
устройства называются источниками постоянного тока. Силы
неэлектростатического происхождения, действующие на свободные носители
заряда со стороны источников тока, называются сторонними силами.
Природа сторонних сил может быть различной. В гальванических элементах
или аккумуляторах они возникают в результате электрохимических
процессов, в генераторах постоянного тока сторонние силы возникают при
движении проводников в магнитном поле. Источник тока в электрической
цепи играет ту же роль, что и насос, который необходим для перекачивания
жидкости в замкнутой гидравлической системе. Под действием сторонних
сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил
электростатического поля, благодаря чему в замкнутой цепи может
поддерживаться постоянный электрический ток.
При перемещении электрических зарядов по цепи постоянного тока
сторонние силы, действующие внутри источников тока, совершают работу.
Физическая величина, равная отношению работы Aст сторонних сил при
перемещении заряда q от отрицательного полюса источника тока к
положительному к величине этого заряда, называется электродвижущей
силой источника (ЭДС):
Таким образом, ЭДС определяется работой, совершаемой сторонними
силами
при
перемещении
единичного
положительного
заряда.
Электродвижущая сила, как и разность потенциалов, измеряется в вольтах
(В).
При перемещении единичного положительного заряда по замкнутой цепи
постоянного тока работа сторонних сил равна сумме ЭДС, действующих в
этой цепи, а работа электростатического поля равна нулю.
Цепь постоянного тока можно разбить на отдельные участки. Те участки, на
которых не действуют сторонние силы (т. е. участки, не содержащие
источников тока), называются однородными. Участки, включающие
источники тока, называются неоднородными.
При перемещении единичного положительного заряда по некоторому
участку цепи работу совершают как электростатические (кулоновские), так и
сторонние силы. Работа электростатических сил равна разности потенциалов
Δφ12 = φ1 – φ2 между начальной (1) и конечной (2) точками неоднородного
участка. Работа сторонних сил равна по определению электродвижущей силе
12, действующей на данном участке. Поэтому полная работа равна
U12 = φ1 – φ2 +
12.
Величину U12 принято называть напряжением на участке цепи 1–2. В случае
однородного участка напряжение равно разности потенциалов:
U12 = φ1 – φ2.
Немецкий физик Г. Ом в 1826 году экспериментально установил, что сила
тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т. е.
проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна
напряжению U на концах проводника:
где R = const.
Величину R принято называть электрическим сопротивлением. Проводник,
обладающий электрическим сопротивлением, называется резистором.
Данное соотношение выражает закон Ома для однородного участка цепи:
сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному
напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.
В СИ единицей электрического сопротивления проводников служит ом (Ом).
Сопротивлением в 1 Ом обладает такой участок цепи, в котором при
напряжении 1 В возникает ток силой 1 А.
Проводники, подчиняющиеся закону Ома, называются линейными.
Графическая зависимость силы тока I от напряжения U (такие графики
называются вольт-амперными характеристиками, сокращенно ВАХ)
изображается прямой линией, проходящей через начало координат. Следует
отметить, что существует много материалов и устройств, не подчиняющихся
закону Ома, например, полупроводниковый диод или газоразрядная лампа.
Даже у металлических проводников при токах достаточно большой силы
наблюдается отклонение от линейного закона Ома, так как электрическое
сопротивление металлических проводников растет с ростом температуры.
Для участка цепи, содержащего ЭДС, закон Ома записывается в следующей
форме:
IR = U12 = φ1 – φ2 +
= Δφ12 + .
Это соотношение принято называть обобщенным законом Ома или законом
Ома для неоднородного участка цепи.
На рис. изображена замкнутая цепь постоянного тока. Участок цепи (cd)
является однородным.
Цепь постоянного тока
По закону Ома
IR = Δφcd.
Участок (ab) содержит источник тока с ЭДС, равной .
По закону Ома для неоднородного участка,
Ir = Δφab + .
Сложив оба равенства, получим:
I (R + r) = Δφcd + Δφab + .
Но Δφcd = Δφba = – Δφab. Поэтому
Эта формула выражет закон Ома для полной цепи: сила тока в полной
цепи равна электродвижущей силе источника, деленной на сумму
сопротивлений однородного и неоднородного участков цепи.
Сопротивление r неоднородного участка на рис. 1.8.2 можно рассматривать
как внутреннее сопротивление источника тока. В этом случае участок
(ab) на рис. 1.8.2 является внутренним участком источника. Если точки a и b
замкнуть проводником, сопротивление которого мало по сравнению с
внутренним сопротивлением источника (R << r), тогда в цепи потечет ток
короткого замыкания
Сила тока короткого замыкания – максимальная сила тока, которую можно
получить от данного источника с электродвижущей силой и внутренним
сопротивлением r. У источников с малым внутренним сопротивлением ток
короткого замыкания может быть очень велик и вызывать разрушение
электрической цепи или источника. Например, у свинцовых аккумуляторов,
используемых в автомобилях, сила тока короткого замыкания может
составлять несколько сотен ампер. Особенно опасны короткие замыкания в
осветительных сетях, питаемых от подстанций (тысячи ампер). Чтобы
избежать разрушительного действия таких больших токов, в цепь
включаются предохранители или специальные автоматы защиты сетей.
В ряде случаев для предотвращения опасных значений силы тока короткого
замыкания к источнику последовательно подсоединяется некоторое внешнее
сопротивление. Тогда сопротивление r равно сумме внутреннего
сопротивления источника и внешнего сопротивления, и при коротком
замыкании сила тока не окажется чрезмерно большой.
Если внешняя цепь разомкнута, то Δφba = – Δφab = , т. е. разность
потенциалов на полюсах разомкнутой батареи равна ее ЭДС.
Если внешнее нагрузочное сопротивление R включено и через батарею
протекает ток I, разность потенциалов на ее полюсах становится равной
Δφba = – Ir.
На рис. 1.8.3 дано схематическое изображение источника постоянного тока с
ЭДС равной и внутренним сопротивлением r в трех режимах: «холостой
ход», работа на нагрузку и режим короткого замыкания (к. з.). Указаны
напряженность
электрического поля внутри батареи и силы, действующие
на положительные заряды:
– электрическая сила и
– сторонняя сила. В
режиме короткого замыкания электрическое поле внутри батареи исчезает.
Схематическое изображение источника
постоянного тока: 1 – батарея разомкнута;
2 – батарея
замкнута
на
внешнее
сопротивление R; 3 – режим короткого
замыкания
Для измерения напряжений и токов в электрических цепях постоянного тока
используются специальные приборы – вольтметры и амперметры.
Вольтметр предназначен для измерения разности потенциалов,
приложенной к его клеммам. Он подключается параллельно участку цепи,
на котором производится измерение разности потенциалов. Любой вольтметр
обладает некоторым внутренним сопротивлением RB. Для того, чтобы
вольтметр не вносил заметного перераспределения токов при подключении к
измеряемой цепи, его внутреннее сопротивление должно быть велико по
сравнению с сопротивлением того участка цепи, к которому он подключен.
Для цепи, изображенной на рис. 1.8.4, это условие записывается в виде:
RB >> R1.
Это условие означает, что ток IB = Δφcd / RB, протекающий через вольтметр,
много меньше тока I = Δφcd / R1, который протекает по тестируемому участку
цепи.
Поскольку внутри вольтметра не действуют сторонние силы, разность
потенциалов на его клеммах совпадает по определению с напряжением.
Поэтому можно говорить, что вольтметр измеряет напряжение.
Амперметр предназначен для измерения силы тока в цепи. Амперметр
включается последовательно в разрыв электрической цепи, чтобы через него
проходил весь измеряемый ток. Амперметр также обладает некоторым
внутренним сопротивлением RA. В отличие от вольтметра, внутреннее
сопротивление амперметра должно быть достаточно малым по сравнению с
полным сопротивлением всей цепи. Для цепи на рис. 1.8.4 сопротивление
амперметра должно удовлетворять условию
RA << (r + R1 + R2),
чтобы при включении амперметра ток в цепи не изменялся.
Измерительные приборы – вольтметры и амперметры – бывают двух видов:
стрелочные (аналоговые) и цифровые. Цифровые электроизмерительные
приборы представляют собой сложные электронные устройства. Обычно
цифровые приборы обеспечивают более высокую точность измерений.
Включение амперметра (А) и
вольтметра
(В)
в
электрическую цепь
Работа и мощность тока
При протекании тока по однородному участку цепи электрическое поле
совершает работу. За время Δt по цепи протекает заряд Δq = I Δt.
Электрическое поле на выделенном учестке совершает работу
ΔA = (φ1 – φ2) Δq = Δφ12 I Δt = U I Δt,
где U = Δφ12 – напряжение. Эту работу называют работой электрического
тока.
Если обе части формулы
RI = U,
выражающей закон Ома для однородного участка цепи с сопротивлением R,
умножить на IΔt, то получится соотношение
R I2 Δt = U I Δt = ΔA.
Это соотношение выражает закон сохранения энергии для однородного
участка цепи.
Работа ΔA электрического тока I, протекающего по неподвижному
проводнику с сопротивлением R, преобразуется в тепло ΔQ,
выделяющееся на проводнике.
ΔQ = ΔA = R I2 Δt.
Закон преобразования работы тока в тепло был экспериментально установлен
независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. Ленцем и носит название закона
Джоуля–Ленца.
Мощность электрического тока равна отношению работы тока ΔA к
интервалу времени Δt, за которое эта работа была совершена:
Работа электрического тока в СИ выражается в джоулях (Дж), мощность – в
ваттах (Вт).
Рассмотрим теперь полную цепь постоянного тока, состоящую из источника
с электродвижущей силой и внутренним сопротивлением r и внешнего
однородного участка с сопротивлением R. Закон Ома для полной цепи
записывается в виде
(R + r) I = .
Умножив обе части этой формулы на Δq = IΔt, мы получим соотношение,
выражающее закон сохранения энергии для полной цепи постоянного тока:
R I2Δt + r I2Δt = IΔt = ΔAст.
Первый член в левой части ΔQ = R I2Δt – тепло, выделяющееся на внешнем
участке цепи за время Δt, второй член ΔQист = r I2Δt – тепло, выделяющееся
внутри источника за то же время.
Выражение IΔt равно работе сторонних сил ΔAст, действующих внутри
источника.
При протекании электрического тока по замкнутой цепи работа
сторонних сил ΔAст преобразуется в тепло, выделяющееся во внешней
цепи (ΔQ) и внутри источника (ΔQист).
ΔQ + ΔQист = ΔAст =
.
IΔt
Следует обратить внимание, что в это соотношение не входит работа
электрического поля. При протекании тока по замкнутой цепи электрическое
поле работы не совершает; поэтому тепло производится одними только
сторонними силами, действующими внутри источника. Роль электрического
поля сводится к перераспределению тепла между различными участками
цепи.
Внешняя цепь может представлять собой не только проводник с
сопротивлением R, но и какое-либо устройство, потребляющее мощность,
например, электродвигатель постоянного тока. В этом случае под R нужно
понимать эквивалентное сопротивление нагрузки. Энергия, выделяемая во
внешней цепи, может частично или полностью преобразовываться не только
в тепло, но и в другие виды энергии, например, в механическую работу,
совершаемую электродвигателем. Поэтому вопрос об использовании энергии
источника тока имеет большое практическое значение.
Полная мощность источника, то есть работа, совершаемая сторонними
силами за единицу времени, равна
Во внешней цепи выделяется мощность
Отношение
равное
называется коэффициентом полезного действия источника.
На рис. графически представлены зависимости мощности источника Pист,
полезной мощности P, выделяемой во внешней цепи, и коэффициента
полезного действия η от тока в цепи I для источника с ЭДС, равной , и
внутренним сопротивлением r. Ток в цепи может изменяться в пределах от
I = 0 (при
) до
(при R = 0).
Зависимость мощности источника Pист,
мощности во внешней цепи P и КПД
источника η от силы тока
Из приведенных графиков видно, что максимальная мощность во внешней
цепи Pmax, равная
достигается при R = r. При этом ток в цепи
а КПД источника равен 50 %. Максимальное значение КПД источника
достигается при I → 0, т. е. при R → ∞. В случае короткого замыкания
полезная мощность P = 0 и вся мощность выделяется внутри источника, что
может привести к его перегреву и разрушению. КПД источника при этом
обращается в нуль.
Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих
неоднородные участки, используются правила Кирхгофа, которые являются
обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.
В разветвленных цепях можно выделить узловые точки (узлы), в которых
сходятся не менее трех проводников Токи, втекающие в узел, принято
считать положительными; вытекающие из узла – отрицательными.
Узел электрической цепи. I1,
I2 > 0; I3, I4 < 0
В узлах цепи постоянного тока не может происходить накопление зарядов.
Отсюда следует первое правило Кирхгофа:
Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи
равна нулю:
I1 + I2 + I3 + ... + In = 0.
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения
электрического заряда.
В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество
замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков.
Такие замкнутые пути называются контурами. На разных участках
выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. представлен
простой пример разветвленной цепи. Цепь содержит два узла a и d, в
которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является
независимым (a или d).
Пример разветвленной электрической
цепи. Цепь содержит один независимый
узел (a или d) и два независимых
контура (например, abcd и adef)
В цепи можно выделить три контура abcd, adef и abcdef. Из них только два
являются независимыми (например, abcd и adef), так как третий не содержит
никаких новых участков.
Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.
Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из
контуров цепи, изображенной на рис. , например, abcd. Для этого на каждом
участке нужно задать положительное направление тока и положительное
направление обхода контура. При записи обобщенного закона Ома для
каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков»,
которые поясняются на рис. .
«Правила знаков»
Для участков контура abcd обобщенный закон Ома записывается в виде:
Для участка bc: I1R1 = Δφbc – 1.
Для участка da: I2R2 = Δφda – 2.
Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что
Δφbc = – Δφda , получим:
I1R1 + I2R2 = Δφbc + Δφda – 1 + 2 = – 1 – 2.
Аналогично, для контура adef можно записать:
– I2R2 + I3R3 = 2 + 3.
Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая
сумма произведений сопротивления каждого из участков любого
замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока
на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.
Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов
и контуров разветвленной цепи, дают в совокупности необходимое и
достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений
напряжений и сил токов в электрической цепи. Для цепи, изображенной на
рис. , система уравнений для определения трех неизвестных токов I1, I2 и I3
имеет вид:
I1R1 + I2R2 = – 1 – 2,
– I2R2 + I3R3 =
2
+
3,
– I1 + I2 + I3 = 0.
Таким образом, правила Кирхгофа сводят расчет разветвленной
электрической цепи к решению системы линейных алгебраических
уравнений. Это решение не вызывает принципиальных затруднений, однако,
бывает весьма громоздким даже в случае достаточно простых цепей. Если в
результате решения сила тока на каком-то участке оказывается
отрицательной, то это означает, что ток на этом участке идет в направлении,
противоположном выбранному положительному направлению.
В случае, когда электрическая схема достаточно сложна и не приводится к
схеме одноконтурной цепи, пользуются более общими методами расчѐта.
Описанные ниже методы применимы для цепей постоянного и переменного
тока.
Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений
системы до числа
K N B N y 1 N T - число уравнений (сост. по II закону Кирхгофа).
Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не меняющими
проводимость (они могут содержать источники тока), то число уравнений К,
составляемых по методу контурных токов уменьшается на NT.
Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может
быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных
токов, протекающих в этой ветви.
При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые
контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный
ток).
K N B N y 1 NT - число независимых контурных токов, их
необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников
тока.
Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II
закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:
Z11 I11 Z12 I 22 ... Z1n I nn
E11
Z 21 I11 Z 22 I 22 ... Z 2 n I nn
E22
.........................................................
Z n1 I11 Z n 2 I 22 ... Z nn I nn
Enn
При этом следует считать Z Km
Z mK
RKm
jX Km , если условные
положительные направления контурных токов в одной ветви контуров K и m
RKm jX Km , если они противоположны.
совпадают, и Z Km Z mK
I 11
1
I 22
2
;
I nn
n
,
;
где 1 2 n - дополнение
- определитель системы.
Z 11, Z 12, Z 13, .......Z 1n
Z 21, Z 22, Z 23, .......Z 2 n
Z 31, Z 32, Z 33, .......Z 3n
................................
Z n1, Z n 2, Z n3, .......Z nn
E11, Z 12, Z 13, .......Z 1n
E 22, Z 22, Z 23, .......Z 2 n
1
................................
E nn , Z n 2, Z n3, .......Z 3n
Расчѐт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным
методом выполняется в следующей последовательности:
Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные
элементы представляются комплексными величинами соответственно
напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей).
Выбирается условно положительное направление для комплексных значений
напряжений, ЭДС и токов.
Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной
форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи.
Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов,
напряжений) в их комплексной форме.
МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа
K I N y 1, где Ny – число узлов электрической схемы.
Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы
всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с
помощью законов Ома.
При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю
потенциал какого-либо узла, для оставшихся N y 1 составляют уравнения
по I-му закону Кирхгофа.
Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими
сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число KI
уравнений, составленных по МУП, уменьшается на Nн (число ветвей с
нулевыми сопротивлениями).
K I N y N н 1 - число уравнений по МУП.
Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае,
когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с
источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной
схеме.
Eэкв
jY j
Yj
Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с
источниками ЭДС даѐт нам право без ограничения общности считать, что
между любой парой узлов включена только одна ветвь.
Дальше будем предполагать, что Z Km
0 , т.е. между узлами цепи не
включены идеальные источники ЭДС.
В качестве примера составим уравнение по методу узловых напряжений для
цепи, изображѐнной на рис. 3.
Задано:
e13 t
Em13 sin t
13
e12 t
Em12 sin t
12
e03 t
Em 03 sin t
03
и параметры всех элементов.
Расчѐт цепи производим комплексным методом:
E13
E13e j
13
;
E12
E12 e j
12
;
E03
E03e j
03
;
1
Y12
R12
1
j C12
R23
j L23
1
Y13
j L13
1
Y23
Y30
;
1
j C23
; Y10
1
;
j L30
Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:
Y20
R10
1
R20
1
j C13
1
;
j L10
;
Y 11U 10 Y 12 U 20 Y 13U 30
I1
Y 21 U 10 Y 22 U 20 Y 23 U 30
I2
Y31U 10 Y 32 U 20 Y 33 U 30
I3
Y11=Y12+Y10+Y13; Y22=Y20+Y12+Y23; Y33=Y30+Y13+Y23
I1
E12 Y12
E13 Y13
I2
E 21 Y12
E12 Y13
I1
E 30 Y30
E31 Y13
E 03 Y30
E13 Y13
Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений,
находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений
применим к независимым контурам.
Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к
опорному узлу.
Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать:
q 1
q 1
I Km
m 0
q 1
Y Km U Km
Y Km E Km
m 0
0
m 0
I1 I 3
Для 1-ого узла: I1 Z 1
I2
0
I3Z3
I2Z2
I3Z3
E1 E 2
E2
Значения Z1; Z2; Z3; E1 и E2 у нас были определены ранее (см. 1-ый способ
решения).
1
A:
20
0
1
j 499 0
20
1
20
j 498 20
0
B:
10,01
j 0,177
19,97
j1,047
3
2,826 10
ISOIVE A, B
1,891 10
3
4,716 10
j 0,02
j 0,04
3
I1
2,816 10
3
j 0,02
Ответ: I 2
1,891 10
3
j 0,04
I3
4,716 10
3
j 0,06
j 0,06
Между узлами К и m имеется
ветвь с источниками ЭДС (EKm),
сопротивлением ZKm, то ток в
этой
цепи
(ветви),
направленный от К к m связан
соотношениями:
I Km
E Km U Km
Z Km
YKm E Km YKm U Km
Напряжение можно выразить через узловые напряжения в виде:
U Km
U Ko U mo .
q 1
Получаем:
YKm U Ko U mo
m 0
IK
q 1
или
q 1
YKm U Ko
m 0
q 1
YKm U mo
U Ko
q 1
YKm
m 0
m 0
YKm U mo
IK
m 0
q 1
Обозначив
YKK , где YKK – сумма проводимостей всех ветвей,
YKm
m 0
присоединѐнных к К-ому узлу, имеем:
q 1
YKK U Ko
YKm U mo
I K - что и является основным уравнением для К-ого
m 0
узла по МУП.
В развѐрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид:
Y11 U 10 Y12 U 20 ... Y1, q 1 U q
I1
1, 0
Y21 U 10 Y22 U 20 ... Y2, q 1 U q
1, 0
I2
...............................................................
Yq
1,1
U 10 Yq
1, 2
U 20 ... Yq
1, q 1
Uq
1, 0
Iq
1
Решая эту систему, найдѐм узловые напряжения, причѐм для К-ого узла
величина U Ko будет:
U Ko
где
1K
I1
2K
I2
... I m
mK
- главный определитель системы,
... I q
mK
q 1, K
1
,
– его алгебраическое дополнение.
После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях
цепи имеют вид: I Km
Если
в
I Km
YKm E Km
ветви
U Km YKm
U Ko U mo YKm
содержатся
U Ko U mo YKm
ЭДС,
то
ток
равен
Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам.
Если к К-ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть
включен в ток IKK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-».
Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая
проводимость равна 0.
Yii – собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со
знаком «+»).
Yiк – взаимная проводимость между узлами i и к (входит в уравнение всегда
со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к
базисному узлу).
Ток I1 называется узловым током 1-ого узла. Это расчѐтная величина, равная
алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей,
подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со
знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу.
Y11 – проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле.
Y12 – проводимость взаимная – равняется сумме проводимостей всех ветвей,
соединяющих узел 1 с узлом 2 (берѐтся со знаком «-»).
Лекция 20 Классическая электронная теория металлов.
Электрический ток в металлах – это упорядоченное движение электронов под
действием электрического поля. Опыты показывают, что при протекании
тока по металлическому проводнику переноса вещества не происходит,
следовательно, ионы металла не принимают участия в переносе
электрического заряда.
Наиболее убедительное доказательство электронной природы тока в
металлах было получено в опытах с инерцией электронов. Идея таких опытов
и первые качественные результаты (1913 г.) принадлежат русским физикам
Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси. В 1916 году американский физик
Р. Толмен и шотландский физик Б. Стюарт усовершенствовали методику
этих опытов и выполнили количественные измерения, неопровержимо
доказавшие, что ток в металлических проводниках обусловлен движением
электронов.
Схема опыта Толмена и Стюарта показана на рис. Катушка с большим
числом витков тонкой проволоки приводилась в быстрое вращение вокруг
своей оси. Концы катушки с помощью гибких проводов были присоединены
к чувствительному баллистическому гальванометру Г. Раскрученная
катушка резко тормозилась, и в цепи возникал кратковременных ток,
обусловленный инерцией носителей заряда. Полный заряд, протекающий по
цепи, измерялся по отбросу стрелки гальванометра.
Схема
Толмена
Стюарта
опыта
и
При торможении вращающейся катушки на каждый носитель заряда e
действует тормозящая сила
которая играет роль сторонней силы,
то есть силы неэлектрического происхождения. Сторонняя сила, отнесенная
к единице заряда, по определению является напряженностью Eст поля
сторонних сил:
Следовательно, в цепи при торможении катушки возникает электродвижущая
сила , равная
где l – длина проволоки катушки. За время торможения катушки по цепи
протечет заряд q, равный
Здесь I – мгновенное значение силы тока в катушке, R – полное
сопротивление цепи, υ0 – начальная линейная скорость проволоки.
Отсюда удельный заряд e / m свободных носителей тока в металлах равен:
Все величины, входящие в правую часть этого соотношения, можно
измерить. На основании результатов опытов Толмена и Стюарта было
установлено, что носители свободного заряда в металлах имеют
отрицательный знак, а отношение заряда носителя к его массе близко к
удельному заряду электрона, полученному из других опытов. Так было
установлено, что носителями свободных зарядов в металлах являются
электроны.
По современным данным модуль заряда электрона (элементарный заряд)
равен
а его удельный заряд есть
Хорошая электропроводность металлов объясняется высокой концентрацией
свободных электронов, равной по порядку величины числу атомов в единице
объема.
Предположение о том, что за электрический ток в металлах ответственны
электроны, возникло значительно раньше опытов Толмена и Стюарта. Еще в
1900 году немецкий ученый П. Друде на основании гипотезы о
существовании свободных электронов в металлах создал электронную
теорию проводимости металлов. Эта теория получила развитие в работах
голландского физика Х. Лоренца и носит название классической
электронной теории. Согласно этой теории, электроны в металлах ведут
себя как электронный газ, во многом похожий на идеальный газ.
Электронный газ заполняет пространство между ионами, образующими
кристаллическую решетку металла
Газ свободных электронов в кристаллической
решетке металла. Показана траектория одного
из электронов
Из-за взаимодействия с ионами электроны могут покинуть металл, лишь
преодолев так называемый потенциальный барьер. Высота этого барьера
называется работой выхода. При обычных (комнатных) температурах у
электронов не хватает энергии для преодоления потенциального барьера.
Из-за взаимодействия с кристаллической решеткой потенциальная энергия
выхода электрона внутри проводника оказывается меньше, чем при удалении
электрона из проводника. Электроны в проводнике находятся в своеобразной
«потенциальной яме», глубина которой и называется потенциальным
барьером.
Как ионы, образующие решетку, так и электроны участвуют в тепловом
движении. Ионы совершают тепловые колебания вблизи положений
равновесия – узлов кристаллической решетки. Свободные электроны
движутся хаотично и при своем движении сталкиваются с ионами решетки. В
результате таких столкновений устанавливается термодинамическое
равновесие между электронным газом и решеткой. Согласно теории Друде–
Лоренца, электроны обладают такой же средней энергией теплового
движения, как и молекулы одноатомного идеального газа. Это позволяет
оценить среднюю скорость теплового движения электронов по формулам
молекулярно-кинетической теории. При комнатной температуре она
оказывается примерно равной 105 м/с.
При наложении внешнего электрического поля в металлическом проводнике
кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное
движение (дрейф), то есть электрический ток. Среднюю скорость дрейфа
можно оценить из следующих соображений. За интервал времени Δt через
поперечное сечение S проводника пройдут все электроны, находившиеся в
объеме
Число таких электронов равно
где n – средняя концентрация
свободных электронов, примерно равная числу атомов в единице объема
металлического проводника. Через сечение проводника за время Δt пройдет
заряд
Отсюда следует:
или
Концентрация n атомов в металлах находится в пределах 1028–1029 м–3.
Оценка по этой формуле для металлического проводника сечением 1 мм2, по
которому течет ток 10 А, дает для средней скорости упорядоченного
движения электронов значение в пределах 0,6–6 мм/c. Таким образом,
средняя скорость
упорядоченного движения электронов в
металлических проводниках на много порядков меньше средней
скорости их теплового движения
Рис. дает представление о
характере движения свободного электрона в кристаллической решетке.
Движение свободного электрона в кристаллической
решетке: а – хаотическое движение электрона в
кристаллической решетке металла; b – хаотическое
движение с дрейфом, обусловленным электрическим
полем. Масштабы дрейфа
сильно преувеличены
Малая скорость дрейфа на противоречит опытному факту, что ток во всей
цепи постоянного тока устанавливается практически мгновенно. Замыкание
цепи вызывает распространение электрического поля со скоростью
c = 3·108 м/с. Через время порядка l / c (l – длина цепи) вдоль цепи
устанавливается стационарное распределение электрического поля и в ней
начинается упорядоченное движение электронов.
В классической электронной теории металлов предполагается, что движение
электронов подчиняется законам механики Ньютона. В этой теории
пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а их
взаимодействие с положительными ионами сводят только к соударениям.
Предполагается также, что при каждом соударении электрон передает
решетке всю накопленную в электрическом поле энергию и поэтому после
соударения он начинает движение с нулевой дрейфовой скоростью.
Несмотря на то, что все эти допущения являются весьма приближенными,
классическая электронная теория качественно объясняет законы
электрического тока в металлических проводниках.
Закон Ома. В промежутке между соударениями на электрон действует сила,
равная по модулю eE, в результате чего он приобретает ускорение
Поэтому к концу свободного пробега дрейфовая скорость электрона равна
где τ – время свободного пробега, которое для упрощения расчетов
предполагается одинаковым для всех электронов. Среднее значение скорости
дрейфа
равно половине максимального значения:
Рассмотрим проводник длины l и сечением S с концентрацией электронов n.
Ток в проводнике может быть записан в виде:
где U = El – напряжение на концах проводника. Полученная формула
выражает закон Ома для металлического проводника. Электрическое
сопротивление проводника равно:
а удельное сопротивление ρ и удельная проводимость ν выражаются
соотношениями:
Закон Джоуля–Ленца. К концу свободного пробега электроны под действием
поля приобретают кинетическую энергию
Согласно сделанным предположениям вся эта энергия при соударениях
передается решетке и переходит в тепло.
За время Δt каждый электрон испытывает Δt / τ соударений. В проводнике
сечением S и длины l имеется nSl электронов. Отсюда следует, что
выделяемое в проводнике за время Δt тепло равно:
Это соотношение выражает закон Джоуля–Ленца.
Металлы имеют не только большую электропроводность, но они обладают и
хорошей теплопроводностью. Видеман и Франц установили эмпирический
закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности k к
коэффициенту электропроводности
для всех металлов приблизительно
одинаково и измеряется пропорционально абсолютной температуре.
k
(5 7)10
6
(
Дж Ом
) при 300 К.
с Кл
Это соотношение можно вычислять и на основании представлений
классической электронной теории,
значение получается близким к
экспериментальному.
k
(5 7)10
6
(
Дж Ом
) при 300 К.
с Кл
Классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля-Ленца, а также
дала качественное объяснение закона Видемана-Франца. Однако, как
выяснилось позднее, хорошее совпадение результатов эксперимента и
данных электронной теории в законе Видемана-Франца оказалось
случайным. Лоренц провел расчеты с учетом распределения электронов по
скоростям, которое хуже согласуется с данными опыта.
Кроме этого встретились и другие трудности:
Неверна зависимость электропроводности от температуры для металлов.
Из электронной теории следует
e2 n
, но U
2mU
T , следовательно,
T,
но по данным эксперимента
Т.
Неверно значение теплоемкости металлов. Электронный газ должен
обладать молярной теплоемкостью С =
3
R , кристаллическая решетка имеет
2
теплоемкость 3R. Т.о. теплоемкость металлов должна быть в 1,5 раза больше
теплоемкости диэлектриков. Эксперимент показывает, что это не так.
Трудности классической теории можно разрешить на основе квантовых
представлений.
Однако наиболее ярким примером расхождения теории и опытов является
сверхпроводимость.
Согласно классической электронной теории, удельное сопротивление
металлов должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь
конечным при всех температурах. Такая зависимость действительно
наблюдается на опыте при сравнительно высоких температурах. При более
низких температурах порядка нескольких кельвинов удельное сопротивление
многих металлов перестает зависеть от температуры и достигает некоторого
предельного значения. Однако наибольший интерес представляет
удивительное явление сверхпроводимости. При некоторой определенной
температуре Tкр, различной для разных веществ, удельное сопротивление
скачком уменьшается до нуля . Критическая температура у ртути равна 4,1 К,
у аллюминия 1,2 К, у олова 3,7 К. Сверхпроводимость наблюдается не только
у элементов, но и у многих химических соединений и сплавов. Например,
соединение ниобия с оловом (Ni3Sn) имеет критическую температуру 18 К.
Некоторые вещества, переходящие при низких температурах в
сверхпроводящее состояние, не являются проводниками при обычных
температурах. В то же время такие «хорошие» проводники, как медь и
серебро, не становятся сверхпроводниками при низких температурах.
Зависимость удельного сопротивления ρ от
абсолютной температуры T при низких
температурах: a – нормальный металл; b –
сверхпроводник
Вещества в сверхпроводящем состоянии обладают исключительными
свойствами. Практически наиболее важным их них является способность
длительное время (многие годы) поддерживать без затухания электрический
ток, возбужденный в сверхпроводящей цепи.
Классическая электронная теория не способна объяснить явление
сверхпроводимости. Объяснение механизма этого явления было дано только
через 60 лет после его открытия на основе квантово-механических
представлений.
Научный интерес к сверхпроводимости возрастал по мере открытия новых
материалов с более высокими критическими температурами. Значительный
шаг в этом направлении был сделан в 1986 году, когда было обнаружено, что
у одного сложного керамического соединения Tкр = 35 K. Уже в следующем
1987 году физики сумели создать новую керамику с критической
температурой 98 К, превышающей температуру жидкого азота (77 К).
Явление перехода веществ в сверхпроводящее состояние при температурах,
превышающих температуру кипения жидкого азота, было названо
высокотемпературной сверхпроводимостью. В 1988 году было создано
керамическое соединение на основе элементов Tl–Ca–Ba–Cu–O с
критической температурой 125 К.
В настоящее время ведутся интенсивные работы по поиску новых веществ с
еще более высокими значениями Tкр. Ученые надеятся получить вещество в
сверхпроводящем состоянии при комнатной температуре. Если это
произойдет, это будет настоящей революцией в науке, технике и вообще в
жизни людей.
Следует
отметить,
что
до
настоящего
времени
механизм
высокотемпературной сверхпроводимости керамических материалов до
конца не выяснен.
Лекция 21 Элементы зонной теории твердых тел.
Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и
классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих
случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать
идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается
с помощью так называемых чисел заполнения Ni — чисел, указывающих
степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором
i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных
частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым
или целым
спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: О, 1,
2Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым
спином, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для
свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна
быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет
подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е.
определить средние числа заполнения <Ni>.
Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой
статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям
вытекает из так называемого большого канонического распределения
Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число
тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:
Это распределение называется распределением Бозе — Эйнштейна. Здесь
<Ni> — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k —
постоянная Больцмана, Т — термодинамическая температура,
—
химический потенциал;
не зависит от энергии, а определяется только
температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится
обычно из условия, что сумма всех <Ni> равна полному числу частиц в
системе. Здесь 0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом
состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет
изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы
при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя
энергия (энтропия, объем), фиксированы.
Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид
где <Ni>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei,
— химический потенциал. В отличие
может иметь положительное
значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел <Ni>). Это
распределение называется распределением Ферми — Дирака.
(Ei- )/(kT)
Если е(Ei- )/(kT)>>1, то распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака
переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:
Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя
подобно классическому газу.
Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным
образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической
статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от
классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов
становится существенным при весьма низких температурах и больших
плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При А <<1, т.
е. при малой степени вырождения, распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана.
Температурой вырождения То называется температура, ниже которой
отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные
тождественностью частиц, т. е. Т0 — температура, при которой вырождение
становится существенным. Если T>>T0, то поведение системы частиц (газа)
описывается классическими законами.
Вырожденный электронный газ в металлах
Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется
принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух
одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов,
они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением
спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут
располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К.
Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической
лестнице».
Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ,
подчиняющийся распределению Ферми — Дирака. Если 0 — химический
потенциал электронного газа при Т=0 К, то, среднее число <N(E)>
электронов в квантовом состоянии с энергией E равно
Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в
квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния
совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в
нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)>
=f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям. При Т=0
К
функция распределения <N(E) 1, если E< 0, и <N(E) 0, если E> 0. График
этой функции приведен на рис.. В области энергий от 0 до 0 функция <N(E)>
равна единице. При E= 0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это
означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до
состояния с энергией E= 0, заполнены электронами, а все состояния с
энергией, большей 0, свободны. Следовательно, 0 есть не что иное, как
максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны
проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия
называется энергией Ферми и обозначается ЕF (EF= 0). Поэтому
распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде
Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется
уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми ЕF, которую
имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем
выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из
металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых
электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется
неравенство kT<<EF. Это означает, что электронный газ в металлах
практически всегда находится в состоянии сильного вырождения.
Температура Т0 вырождения находится из условия kT0=EF . Она определяет
границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными.
Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T0 104
К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в
твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.
При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми —
Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в
окрестности ЕF . (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция
распределения при T=0К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое
число электронов с энергией, близкой к EF, возбуждается за счет теплового
движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при
E<EF заполнение электронами меньше единицы, а при E>EF — больше нуля.
В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т 300 К и температуре вырождения
T0=3•104 К,— это 10-5 от общего числа электронов.
Если (Е-EF)>>kT («хвост» функции распределения), то единицей в
знаменателе можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда
распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла —
Больцмана. Таким образом, при (E-EF}>>kT, т. е. при больших значениях
энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же
время, когда (E-EF)<<kT, к ним применима только квантовая статистика Ферми — Дирака.
Квантовая
теория
электропроводности
металлов
—
теория
электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой
статистике Ферми — Дирака,— пересмотрела вопрос об электропроводности
металлов. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой
теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости
металла
которое по внешнему виду напоминает классическую формулу для , но
имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь n — концентрация
электронов проводимости в металле, <LF> — средняя длина свободного
пробега электрона, имеющего энергию Ферми, <uF> —средняя скорость
теплового движения такого электрона. Выводы, получаемые на основе
формулы, полностью соответствуют опытным данным. Квантовая теория
электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной
проводимости от температуры: ~ 1/T (классическая теория дает, что ~1/ T),
а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки)
средней длины свободного пробега электронов в металле.
Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их
взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярноволновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс.
Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные
частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно
оптически однородной среде — она «электронные волны» не рассеивает. Это
соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току —
упорядоченному движению электронов — никакого сопротивления.
«Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической
решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.
В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности,
которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности
обусловливаются
также
тепловыми
колебаниями.
В
реальной
кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на
неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления
металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с
тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов
с фононами.
Согласно классической теории, <u>~ Т, поэтому она не смогла объяснить
истинную зависимость у от температуры. В квантовой теории средняя
скорость <uF> от температуры практически не зависит, так как доказывается,
что с изменением температуры уровень Ферми остается практически
неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных
волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что
соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов.
В области комнатных температур <lF>~Т-1 поэтому, учитывая независимость
<u> от температуры, получим, что сопротивление металлов (R~1/ ) в
соответствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом,
квантовая теория элекропроводности металлов устранила и эту трудность
классической теории.
Лекция 22 Полупроводники.
По значению удельного электрического сопротивления полупроводники
занимают промежуточное положение между хорошими проводниками и
диэлектриками. К числу полупроводников относятся многие химические
элементы (германий, кремний, селен, теллур, мышьяк и др.), огромное
количество сплавов и химических соединений. Почти все неорганические
вещества окружающего нас мира
–
полупроводники. Самым
распространенным в природе полупроводником является кремний,
составляющий около 30 % земной коры.
Качественное отличие полупроводников от металлов проявляется прежде
всего в зависимости удельного сопротивления от температуры. С
понижением
температуры
сопротивление
металлов
падает.
У
полупроводников, напротив, с понижением температуры сопротивление
возрастает и вблизи абсолютного нуля они практически становятся
изоляторами
Такой ход зависимости ρ (T) показывает, что у полупроводников
концентрация носителей свободного заряда не остается постоянной, а
увеличивается с ростом температуры. Механизм электрического тока в
полупроводниках нельзя объяснить в рамках модели газа свободных
электронов. Рассмотрим качественно этот механизм на примере германия
(Ge). В кристалле кремния (Si) механизм аналогичен.
Атомы германия на внешней оболочке имеют четыре слабо связанных
электрона. Их называют валентными электронами. В кристаллической
решетке каждый атом окружен четырьмя ближайшими соседями. Связь
между атомами в кристалле германия является ковалентной, т. е.
осуществляется парами валентных электронов. Каждый валентный электрон
принадлежит двум атомам . Валентные электроны в кристалле германия
связаны с атомами гораздо сильнее, чем в металлах; поэтому концентрация
электронов проводимости при комнатной температуре в полупроводниках на
много порядков меньше, чем у металлов. Вблизи абсолютного нуля
температуры в кристалле германия все электроны заняты в образовании
связей. Такой кристалл электрического тока не проводит.
Парно-электронные связи в
кристалле
германия
и
образование
электроннодырочной пары
При повышении температуры некоторая часть валентных электронов может
получить энергию, достаточную для разрыва ковалентных связей. Тогда в
кристалле возникнут свободные электроны (электроны проводимости).
Одновременно в местах разрыва связей образуются вакансии, которые не
заняты электронами. Эти вакансии получили название дырок. Вакантное
место может быть занято валентным электроном из соседней пары, тогда
дырка переместится на новое место в кристалле. При заданной температуре
полупроводника в единицу времени образуется определенное количество
электронно-дырочных пар. В то же время идет обратный процесс – при
встрече свободного электрона с дыркой, восстанавливается электронная
связь между атомами германия. Этот процесс называется рекомбинацией.
Электронно-дырочные пары могут рождаться также при освещении
полупроводника за счет энергии электромагнитного излучения. В отсутствие
электрического поля электроны проводимости и дырки участвуют в
хаотическом тепловом движении.
Если полупроводник поместить в электрическое поле, то в упорядоченное
движение вовлекаются не только свободные электроны, но и дырки, которые
ведут себя как положительно заряженные частицы. Поэтому ток I в
полупроводнике складывается из электронного In и дырочного Ip токов:
I = In + Ip .
Концентрация электронов проводимости в полупроводнике равна
концентрации дырок: nn = np. Электронно-дырочный механизм проводимости
проявляется только у чистых (т. е. без примесей) полупроводников. Он
называется собственной электрической проводимостью полупроводников.
При наличии примесей электрическая проводимость полупроводников
сильно изменяется. Например, добавка в кристалл кремния примесей
фосфора в количестве 0,001 атомного процента уменьшает удельное
сопротивление более чем на пять порядков. Такое сильное влияние примесей
может быть объяснено на основе изложенных выше представлений о
строении полупроводников.
Необходимым условием резкого уменьшения удельного сопротивления
полупроводника при введении примесей является отличие валентности
атомов примеси от валентности основных атомов кристалла.
Проводимость полупроводников при наличии примесей называется
примесной проводимостью. Различают два типа примесной проводимости –
электронную и дырочную.
Электронная проводимость возникает, когда в кристалл германия с
четырехвалентными атомами введены пятивалентные атомы (например,
атомы мышьяка, As).
Атом мышьяка в решетке германия.
Полупроводник n-типа
На показан пятивалентный атом мышьяка, оказавшийся в узле
кристаллической решетки германия. Четыре валентных электрона атома
мышьяка включены в образование ковалентных связей с четырьмя
соседними атомами германия. Пятый валентный электрон оказался
излишним; он легко отрывается от атома мышьяка и становится свободным.
Атом, потерявший электрон, превращается в положительный ион,
расположенный в узле кристаллической решетки. Примесь из атомов с
валентностью,
превышающей
валентность
основных
атомов
полупроводникового кристалла, называется донорной примесью. В
результате ее введения в кристалле появляется значительное число
свободных электронов. Это приводит к резкому уменьшению удельного
сопротивления полупроводника – в тысячи и даже миллионы раз. Удельное
сопротивление проводника с большим содержанием примесей может
приближаться к удельному сопротивлению металлического проводника.
В кристалле германия с примесью мышьяка есть электроны и дырки,
ответственные за собственную проводимость кристалла. Но основным типом
носителей свободного заряда являются электроны, оторвавшиеся от атомов
мышьяка. В таком кристалле nn >> np. Такая проводимость называется
электронной, а полупроводник, обладающий электронной проводимостью,
называется полупроводником n-типа.
Атом индия в решетке
Полупроводник p-типа
германия.
Дырочная проводимость возникает, когда в кристалл германия введены
трехвалентные атомы (например, атомы индия, In). На рис. показан атом
индия, который с помощью своих валентных электронов создал ковалентные
связи лишь с тремя соседними атомами германия. На образование связи с
четвертым атомом германия у атома индия нет электрона. Этот недостающий
электрон может быть захвачен атомом индия из ковалентной связи соседних
атомов германия. В этом случае атом индия превращается в отрицательный
ион, расположенный в узле кристаллической решетки, а в ковалентной связи
соседних атомов образуется вакансия. Примесь атомов, способных
захватывать электроны, называется акцепторной примесью. В результате
введения акцепторной примеси в кристалле разрывается множество
ковалентных связей и образуются вакантные места (дырки). На эти места
могут перескакивать электроны из соседних ковалентных связей, что
приводит к хаотическому блужданию дырок по кристаллу.
Наличие акцепторной примеси резко снижает удельное сопротивление
полупроводника за счет появления большого числа свободных дырок.
Концентрация дырок в полупроводнике с акцепторной примесью
значительно превышает концентрацию электронов, которые возникли из-за
механизма собственной электропроводности полупроводника: np >> nn.
Проводимость такого типа называется дырочной проводимостью.
Примесный полупроводник с дырочной проводимостью называется
полупроводником p-типа. Основными носителями свободного заряда в
полупроводниках p-типа являются дырки.
Следует подчеркнуть, что дырочная проводимость в действительности
обусловлена эстафетным перемещением по вакансиям от одного атома
германия к другому электронов, которые осуществляют ковалентную связь.
Для полупроводников n- и p-типов закон Ома выполняется в определенных
интервалах сил тока и напряжений при условии постоянства концентраций
свободных носителей.
В современной электронной технике полупроводниковые приборы играют
исключительную роль. За последние три десятилетия они почти полностью
вытеснили электровакуумные приборы.
В любом полупроводниковом приборе имеется один или несколько
электронно-дырочных переходов. Электронно-дырочный переход (или n–pпереход) – это область контакта двух полупроводников с разными типами
проводимости.
В полупроводнике n-типа основными носителями свободного заряда
являются
электроны;
их
концентрация
значительно
превышает
концентрацию дырок (nn >> np). В полупроводнике p-типа основными
носитялеми являются дырки (np >> nn). При контакте двух полупроводников
n- и p-типов начинается процесс диффузии: дырки из p-области переходят в
n-область, а электроны, наоборот, из n-области в p-область. В результате в nобласти вблизи зоны контакта уменьшается концентрация электронов и
возникает положительно заряженный слой. В p-области уменьшается
концентрация дырок и возникает отрицательно заряженный слой. Таким
образом, на границе полупроводников образуется двойной электрический
слой, поле которого препятствует процессу диффузии электронов и дырок
навстречу друг другу. Пограничная область раздела полупроводников с
разными типами проводимости (так называемый запирающий слой) обычно
достигает толщины порядка десятков и сотен межатомных расстояний.
Объемные заряды этого слоя создают между p- и n-областями запирающее
напряжение Uз, приблизительно равное 0,35 В для германиевых n–pпереходов и 0,6 В для кремниевых.
n–p-переход
обладает
удивительным
свойством
односторонней
проводимости.
Образование
запирающего
полупроводников p- и n-типов
слоя
при
контакте
Если полупроводник с n–p-переходом подключен к источнику тока так, что
положительный полюс источника соединен с n-областью, а отрицательный –
с p-областью, то напряженность поля в запирающем слое возрастает. Дырки
в p-области и электроны в n-области будут смещаться от n–p-перехода,
увеличивая тем самым концентрации неосновных носителей в запирающем
слое. Ток через n–p-переход практически не идет. Напряжение, поданное на
n–p-переход в этом случае называют обратным. Весьма незначительный
обратный
ток
обусловлен
только
собственной
проводимостью
полупроводниковых материалов, т. е. наличием небольшой концентрации
свободных электронов в p-области и дырок в n-области.
Если n–p-переход соединить с источником так, чтобы положительный полюс
источника был соединен с p-областью, а отрицательный с n-областью, то
напряженность электрического поля в запирающем слое будет уменьшаться,
что облегчает переход основных носителей через контактный слой. Дырки из
p-области и электроны из n-области, двигаясь навстречу друг другу, будут
пересекать n–p-переход, создавая ток в прямом направлении. Сила тока
через n–p-переход в этом случае будет возрастать при увеличении
напряжения источника.
Способность n–p-перехода пропускать ток практически только в одном
направлении
используется
в
приборах,
которые
называются
полупроводниковыми диодами. Полупроводниковые диоды изготавливают
из кристаллов кремния или германия. При их изготовлении в кристалл c
каким-либо типом проводимости вплавляют примесь, обеспечивающую
другой тип проводимости.
Полупроводниковые
диоды
используются
в
выпрямителях
для
преобразования переменного тока в постоянный. Типичная вольт-амперная
характеристика кремниевого диода приведена на рис. .
Вольт-амперная
характеристика
кремниевого
диода.
На
графике
использованы различные шкалы для
положительных
и
отрицательных
напряжений
Полупроводниковые диоды обладают многими преимуществами по
сравнению с вакуумными – малыми размерами, длительными сроками
службы,
механической
прочностью.
Существенным
недостатком
полупроводниковых диодов является зависимость их параметров от
температуры. Кремниевые диоды, например, могут удовлетворительно
работать только в диапозоне температур от –70 °C до 80 °C. У германиевых
диодов диапазон рабочих температур несколько шире.
Полупроводниковые приборы не с одним, а с двумя n–p-переходами
называются транзисторами. Название происходит от сочетания английских
слов: transfer – переносить и resistor – сопротивление. Обычно для создания
транзисторов используют германий и кремний. Транзисторы бывают двух
типов: p–n–p-транзисторы и n–p–n-транзисторы. Например, германиевый
транзистор p–n–p-типа представляет собой небольшую пластинку из
германия с донорной примесью, т. е. из полупроводника n-типа. В этой
пластинке создаются две области с акцепторной примесью, т. е. области с
дырочной проводимостью. В транзисторе n–p–n-типа основная германиевая
пластинка обладает проводимостью p-типа, а созданные на ней две области –
проводимостью n-типа.
Пластинку транзистора называют базой (Б), одну из областей с
противоположным типом проводимости – коллектором (К), а вторую –
эмиттером (Э). Обычно объем коллектора превышает объем эмиттера. В
условных обозначениях на схемах стрелка эмиттера показывает направление
тока через транзистор.
Транзистор структуры p–n–p
Транзистор структуры n–p–n
Оба n–p-перехода транзистора соединяются с двумя источниками тока. На
рис. показано включение в цепь транзистора p–n–p-структуры. Переход
«эмиттер–база» включается в прямом (пропускном) направлении (цепь
эмиттера), а переход «коллектор–база» – в запирающем направлении (цепь
коллектора).
Пока цепь эмиттера разомкнута, ток в цепи коллектора очень мал, так как для
основных носителей свободного заряда – электронов в базе и дырок в
коллекторе – переход заперт.
Включение
структуры
в
цепь
транзистора
p–n–p-
При замыкании цепи эмиттера дырки – основные носители заряда в эмиттере
– переходят из него в базу, создавая в этой цепи ток Iэ. Но для дырок,
попавших в базу из эмиттера, n–p-переход в цепи коллектора открыт.
Большая часть дырок захватывается полем этого перехода и проникает в
коллектор, создавая ток Iк. Для того, чтобы ток коллектора был практически
равен току эмиттера, базу транзистора делают в виде очень тонкого слоя.
При изменении тока в цепи эмиттера изменяется сила тока и в цепи
коллектора.
Если в цепь эмиттера включен источник переменного напряжения, то на
резисторе R, включенном в цепь коллектора, также возникает переменное
напряжение, амплитуда которого может во много раз превышать амплитуду
входного сигнала. Следовательно, транзистор выполняет роль усилителя
переменного напряжения.
Однако такая схема усилителя на транзисторе является неэффективной, так
как в ней отсутствует усиление сигнала по току, и через источники входного
сигнала протекает весь ток эмиттера Iэ. В реальных схемах усилителей на
транзисторах источник переменного напряжения включают так, чтобы через
него протекал только небольшой ток базы Iб = Iэ – Iк. Малые изменения тока
базы вызывают значительные изменения тока коллектора. Усиление по току
в таких схемах может составлять несколько сотен.
В настоящее время полупроводниковые приборы находят исключительно
широкое применение в радиоэлектронике. Современная технология
позволяет производить полупроводниковые приборы – диоды, транзисторы,
полупроводниковые фотоприемники и т. д. – размером в несколько
микрометров. Качественно новым этапом электронной техники явилось
развитие микроэлектроники, которая занимается разработкой интегральных
микросхем и принципов их применения.
Интегральной микросхемой называют совокупность большого числа
взаимосвязанных элементов – сверхмалых диодов, транзисторов,
конденсаторов, резисторов, соединительных проводов, изготовленных в
едином технологическом процессе на одном кристалле. Микросхема
размером в 1 см2 может содержать несколько сотен тысяч микроэлементов.
Применение микросхем привело к революционным изменениям во многих
областях современной электронной техники. Это особенно ярко проявилось в
электронной вычислительной технике. На смену громоздким ЭВМ,
содержащим десятки тысяч электронных ламп и занимавшим целые здания,
пришли персональные компьютеры.
Лекция 23 Магнитное поле.
Магнитное поле движущихся зарядов
Опыты Эрстеда
Вокруг проводников с током и постоянных металлов существует магнитное
поле, которое можно обнаружить по силовому действию, оказываемому им
на другие проводники с током или постоянные магниты. Магнитное поле,
также как и электрическое, материально и существует объективно.
Опытами Эрстеда было показано, что неподвижные заряды не создают
магнитного поля и что постоянное магнитное поле не действует на
неподвижные электрические заряды. При пропускании по проводнику тока
магнитная стрелка поворачивается в зависимости от направления тока.
Опыты Эрстеда показали, что ток проводимости образует магнитное поле.
Опыты Иоффе
Иоффе показал, что поток электронов (ток в вакууме) образует магнитное
поле. Применение в эксперименте двух параллельных противоположно
направленных магнитных стрелок (астатическая система) позволило
исключить влияние магнитного поля Земли. Электронный луч вызывал такое
же отклонение стрелок, как и ток проводимости эквивалентной величины.
Опыты Эйхенвальда
Рядом исследований, в том числе и опытами Эйхенвальда, было доказано,
что конвекционные токи, образованные в пространстве движением
заряженных проводников или поляризованных диэлектриков, образуют
магнитное поле, подобно токам проводимости.
В опытах Эйхенвальда два соосных диска из диэлектрика могли независимо
вращаться с постоянной скоростью. Изнутри диски по краю обклеивались
станиолем. Станиолевые полоски заряжались от противоположных полюсов
батареи (создавался своеобразный плоский конденсатор). При вращении
любого из дисков создавался конвекционный ток плотностью J конв = q n, где n
- число оборотов диска, q - заряд на станиолевой ленте.
Величина и направление магнитного поля измерялось с помощью магнитной
стрелки, помещавшейся вблизи дисков. Затем вращение дисков
прекращалось, диски отключались от батареиез станиолевую ленту
пропускался ток проводимости, эквивалентный конвекционному току.
Магнитное поле конвекционного тока не отличалось от поля тока
проводимости.
Аналогичный опыт можно провести, приведя во вращение диск из
диэлектрика, помещенный между пластинами заряженного конденсатора.
Индукция магнитного поля
В электростатике для изучения свойств электрического поля используется
точечный пробный заряд, для изучения свойств магнитного поля
используется замкнутый плоский контур с током. Размеры такого контура
должны быть малы по сравнению с расстоянием до тех проводников, по
которым текут токи, образующие магнитное поле. (подводящие провода
располагаются вплотную друг к другу и суммарное действие их магнитного
поля равно нулю). Опыт показывает, что такая рамка с током в магнитном
поле определенным образом ориентируется. Это обстоятельство можно
использовать для определения направления магнитного поля.
За направление магнитного поля в месте расположения рамки принимают
направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке,
находящейся в поле в положении устойчивого равновесия. За положительное
направление нормали принимается такое направление, при котором ток в
рамке при рассматривании с конца вектора нормали кажется идущим против
часовой стрелки.
Рамка с током испытывает в магнитном поле ориентируется под действием
пары сил. Опыт показывает, что величина момента этой пары сил зависит как
от токов, образующих поле, их направления, силы и ориентации в
пространстве, так и от свойств самой рамки: ее размеров, ориентации.
Момент пары сил, действующий на рамку достигает максимального
значения, если нормаль к плоскости рамки ориентирована перпендикулярно
к направлению поля. Поэтому во всех случаях, когда используют рамку для
количественной характеристики магнитного поля, рамку с током
располагают так, чтобы нормаль к плоскости рамки была перпендикулярна к
направлению поля.
Использовать значение вращающего момента для характеристики поле было
бы неудобно, так как это значение зависит не только от свойств поля, но и от
параметров рамки. Поэтому за основную силовую характеристику поля
принята магнитная индукция -физическая величина, значение которой

определяется только свойствами поля. Магнитная индукция ( В ) - это вектор,
совпадающийпо направлению с направлением магнитного поля и равная
отношению максимального вращающего момента (Мmax), действующего на
прямоугольнуюрамку с током, к площади рамки (S) и силе тока в ней (I):


М max
В=
IS
Величина Pm = IS носит название магнитного момента, который следует
рассматривать как вектор, направление которого совпадает с направлением
положительной нормали к плоскости контура.
Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением поля в
данной точке, т.е. с направлением положительной нормали к плоскости
контура, находящегося в поле в положении устойчивого равновесия.
Как и напряженность электрического поля Е магнитная индукция В зависит
от среды, в которой образовано магнитное поле. Вспомогательной
характеристикой, не зависящей от свойств среды, является напряженность
магнитного поля (аналог смещения D электрического поля):
H=
В
,
о
где - магнитная проницаемость среды, величина, показывающая во сколько
раз магнитное поле в среде сильнее ( >1) или слабее ( <1) магнитного поля
тех же токов в вакууме:
0 - магнитная постоянная, размерная величина, согласующая единицы
измерения.
Напряженность магнитного поля характеризует поле макроскопических
токов, а индукция характеризует поле и макро- и микроскопических токов.
Поток магнитной индукции
По аналогии с электрическим полем, силовые линии магнитного поля
условились проводить так, чтобы их густота (число силовых линий на
единицу поверхности площадки, перпендикулярной полю) равнялось модулю
вектора индукции В. Число силовых линий, пронизывающих поверхность S
называется потоком вектора индукции магнитного поля (Ф) через эту
поверхность:
Ф=ВS .
Если площадка не перпендикулярна потоку, то число силовых линий
определяется формулой Ф = Bn S, где Вn - проекция вектора В на нормаль к
площадке. Если поле неоднородно, следует поверхность разделить на
бесконечно малые полщадки. Тогда магнитный поток через элементарную
площадку определится как dФ = Bn dS Полный поток вектора индукции
магнитного поля через произвольную поверхность S будет находиться как
сумма потоков через элементарные площадки:
Ф = B dS .
n
S
Теорема Гаусса для потока вектора магнитной индукции
Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты, поэтому поток через
произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю:
Bn dS = 0.
S
Теорема Гаусса для потока вектора магнитной индукции соответствует
представлениям о том, что нет магнитных зарядов - истоков магнитного
поля.
Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока
Магнитная индукция в какой-либо точке пространства зависит от формы
проводов, по которым текут токи, образующие поле, от силы этих токов, от
их направления, а также от расположения рассматриваемой точки. Характер
этой зависимости для частного случая - поля бесконечного прямого тока был
определен Био и Саваром в 1820 г. Было показано, что B I (току в проводе,
но не в рамке!) и что B
1
(r - расстояние от провода до точки, в которой
r
измеряется магнитное поле). В каждом случае формула зависимости
индукции от расположения проводов будет особая, но указанные
зависимости индукции от тока в проводнике и от расстояния до проводника
сохраняются.
Лаплас предположил, что индукция магнитного поля, созданная током,
текущим по проводам, определяется токами в отдельных элементарных
участков этого проводника (dl), а наблюдаемая индукция B является


Bi
векторной суммой этих величин: B
i
На опыте нельзя осуществить измерение индукции поля отдельного
элементарного участка тока, так как участок невозможно отделить от других
элементов цепи. Лапласу удалось путем обобщения опытных данных найти
зависимость, которая позволяет рассчитывать индукцию поля проводника
произвольной формы:
dB
I dl sin
4 r2
.
Вектор dB перпендикулярен к плоскости, содержащей r и dl, направление его
определяется правилом буравчика. В векторной форме закон Био-СавараЛапласа можно записать в виде:

dB
 
I[ d  r]
.
4 r3
Индукция магнитного поля в центре кругового тока
Вектора dB для элементов dl в центре кругового тока имеют одинаковое
направление. Для любого элемента
Тогда dB
=
2
, следовательно, sin
= 1.
I dl
. Но в данном случае вместо геометрической суммы можно
4 R2
брать сумму алгебраическую: B
dB


I dl
4 R2
I
dl
4 R2 
I
2 R
4 R2
I
.
2R
Индукция магнитного поля на оси кругового тока
Определим индукцию магнитного поля в точке А, отстоящей от плоскости
еругового тока на расстояние b вдоль оси. Угол
=
2
, как угол между
образующей r конуса и элементом окружности его основания dl. Рассмотрим
два диаметрально расположенных элемента контура dl1 и dl2 (dl1 = dl2 , r1 =
r2). Эти элементы создают в точне А индукцию магнитное поле, причем
вектора индукции dB1 и dB2 равны по модулю, но имеют разное направление.
Разложим эти вектора на составляющие, перпендикулярные и параллельные
оси dB и dB .
Геометрическая сумма этих векторов будет направлена по оси кругового тока
и численно равна сумме их проекций на эту ось. Величина индукции в этом
случае определяется интегралом:
dB sin
B = dB

=
IR
4 r3

IR
2 R
4 r3
dl

I dl R
4 r2 r
I R2
, учитывая, что r 2
4 r3
R2
b 2 , можно записать
формулу индукции магнитного поля на оси кругового тока:
В
I R2
2 R2
b2
3/ 2
Индукция магнитного поля прямолинейного тока
Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому
проводу. Вектора индукции всех элементов в точке А имеют одинаковые
направления (в данном случае перпендикулярны плоскости чертежа).
Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей.
Точка А находится на расстоянии b от провода.
rd
b
b
sin , r
,
r
sin
dl
sin , dl
rd
sin
bd
sin 2
Подставляем эти значения в формулу Био-Савара-Лапласа:
dB=
I dl sin
4 r2
I b d sin 3
4 b 2 sin 2
I sin d
4 b
Если проводник имеет бесконечную длину, то угол
от 0 до .
B=
I
sin d
4 b0
изменяется в пределах
I
I
[1 ( 1)]
4 b
2 b
В случае проводника ограниченной длины : B =
I
cos
4 b
1
cos
2
.
Циркуляция вектора В по замкнутому контуру. Вихревой характер
магнитного поля
Рассмотрим плоский контур, охватывающий прямолинейный ток и вычислим
для него циркуляцию вектора В.
B d
B d cos( B, d )
B d' , где




d' - проекция вектора dl на направление B.
dl’ = r d
B d

Brd

Для прямолинейного тока
B=
I
2r
, с учетом этого:
I
B d


=
I
2
2r
d
rd
I

Таким образом, для плоского контура в случае прямолинейного тока
циркуляция вектора В не равна 0. Аналогичный результат можно получить,
если брать проводник с током любой формы и контур любой формы (в том
числе и не плоский). Если замкнутый контур не охватывает ток, то
циркуляция вектора магнитной индукции по данному контуру равна нулю.
Если магнитное поле создано системой токов, то надо учитывать все токи,
проходящие сквозь контур.
Ii ,
B d
i

где
Ii -
алгебраическая сумма токов, пересекающих
i
площадь контура. Если контур с током охватывает проводник с током не
один, а n раз, то:
B d
n
I

Циркуляция магнитной индукции отлична от нуля, если контур, по которому
берется циркуляция, охватывает ток. Поля, обладающие таким свойством,
называются вихревыми. Магнитное поле, как и всякое вихревое поле, нельзя
охарактеризовать скалярной величиной потенциала (как это делалось в
случае электростатического поля).
Магнитное поле соленоида
Если длина соленоида во много раз больше диаметра его витков, то соленоид
можно практически считать бесконечно длинным. Магнитное поле такого
соленоида целиком сосредоточено внутри его. Вне соленоида В=0, внутри
соленоида линии вектора В, очевидно, могут быть направлены только
параллельно его оси и модуль векрора магнитной индукции в любом месте
внутри соленоида одинаков.
Выделим участок длины l, на котором расположено n витков, и проведем
прямоугольный контур 12341. Применяя теорему о циркуляции к этому
контуру, получим:
B d
n I.

Разделим контур на четыре участка.
2
B d

3
B d
1
4
B d
2
1
B d
3
B d
4
На участках 1-2 и 3-4 контур перпендикулярен к линиям поля, т.е. B = 0. На
участке 4-1 вне соленоида В=0, а значит B = 0. Таким образом, лишь на
одном участке 2-3 интеграл не равен нулю, причем на этом участке В = В .


2
B d B d B , отсюда B  =

1
Обозначив
n

n I , тогда B =
n
I.

n (nо - число витков на единицу длины соленоида), получаем
формулу для вычисления индукции на оси соленоида:
B=
n I.
Магнитное взаимодействие токов. Закон Ампера
Как уже указывалось, нельзя измерить индукцию поля dB, создаваемую
элементом постоянного тока dl, так как этот элемент нельзя отделить от
остального участка цепи с током, но механическое действие dF,
испытываемое отдельным элементом контура с током в магнитном поле
может быть непосредственно измерено, если один из участков цепи сделать
подвижным.
Закон Ампера
F I Bdsin
или в векторной форме:

 
- угол между векторами d  и B. Сила dF направлена
dF I [d  B] , где
перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы d  и В.
Примечание: Направление силы, действующей на участок проводника с
током удобно определять с помощью правила левой руки: если расположить
левую руку так, чтобы силовые линии входили в ладонь, а четыре сложенные
вместе пальцы были направлены вдоль тока, то отставленный в сторону
большой палец укажет направление силы.
Взаимодействие параллельных токов
При прохождении тока по параллельным проводникам возникают силы
взаимодействия, направление которых зависит от направления токов.
Взаимодействие параллельных токов можно объяснить, если учесть, что
каждый из проводников создает магнитное поле, действующее на другой
проводник в соответствии с законом Ампера.
На элемент dl2 второго проводника с током I2 действует сила dF2 , численно
равная: dF2 = B1 12 dl2 sin(dl2^B), где В1 - магнитная индукция, созлаваемая
током I1 в месте расположения второго проводника. Если считать длину
проводников достаточно большой по сравнению с расстоянием между ними,
то
B1

I1
, так как B1
2 b
dF2 =
dl2, то sin = 1, тогда
I1 I 2
dl 2 , или в общем виде dF =
2 b
I1 I 2
dl .
2 b
Работа перемещения проводника с током в магнитном поле
Рассмотрим участок проводника с током, который может перемещаться в
магнитном поле. Поле будем считать однородным и перпендикулярным к
плоскости контура. Работа, совершенная силой F при перемещении на x
участка проводника l с током I, будет равна:
A = F x = B I l x = I B S = I dФ .
В случае если поле неоднородно dA = I dФ, где dФ - поток магнитной
индукции пересекаемый проводником при движении.
Можно показать, что если В не перпендикулярно плоскости контура, то
формула для расчета работы будет той же. Формула будет справедлива и для
перемещения проводника с током любой формы, в том числе и замкнутого
контура с током (в этом cлучае dФ - изменение потока, пересекающего
контур). Она справедлива не только для прямолинейного перемещения, но и
для перемещения любого типа.
Примечания: 1.Если контур перемещается в однородном поле таким образом,
что поток его пересекающий остается неизменным, то работа не
производится.
2.. Работа по перемещению проводника с током совершается за счет энергии
источника тока.
Индукция магнитного поля движущегося заряда
Индукция магнитного поля тока элемента проводника dl определяется
формулой закона Био-Савара-Лапласа (в векторной форме):

dB
 
I[ d  r]
.
4 r3
Чтобы найти магнитную индукцию, создаваемую одним движущимся


зарядом, учтем, что вектор плотности тока j и d  имеют одинаковое

d 
направление, это позволяет записать выражение для силы тока: I
jS , где
d
S - площадь поперечного сечения проводника. Учитывая, что j = e nU, где e алгебраическая величина заряда, n - число зарядов в единице объема U средняя скорость напряженного движения зарядов.
 

I d  jSd e n USd
J dl = j dl dS = e n U S dl.
Подставляя это значение в формулу Био-Савара-Лапласа, имеем:

dB
 
S n e d [U r ]
,
4 r3
здесь nSd - число зарядов - носителей в проводник длиной dl. Если
полученное выражение разделить на это число, то индукция, создаваемая
одним зарядом определится формулой

dB
 
e [U r ]
.
4 r3
Лекция 24 Действие магнитного поля на движущийся заряд.
Сила, действующая на заряд, движущейся в магнитном поле. Сила Лоренца
На элемент тока в магнитном поле действует сила Ампера:

 
dF I [d  B] .
 

 
 
Заменяя I d  jSd ,
имеем dF Sd [ j B] dV [ j B] , где dV - объем
проводника, к которому приложена сила dF.

 
Учитывая, что j = neU, имеем dF n e [U B] dV , где n dV - число носителей
заряда в объеме dV.

 
Сила, действующая на один заряд (сила Лоренца), равна: f e [U B] , или в
Л
скалярной форме: fЛ =
e U B sin . Направлена сила Лоренца


перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы U и B . Если заряд
частицы положителен, то направление силы совпадает с направлением
 
вектора [ U B ]. В случае отрицательного заряда направление силы Лоренца
противоположно.
Поскольку в формулу силы Лоренца входит скорость
электрона U, то, следовательно, в разных системах
отсчета сила Лоренца будет разной. Сила Лоренца всегда
направлена перпендикулярно к скорости заряженной
частицы иаботы не совершает.
Следовательно, действуя на заряженную частицу
магнитным полем, изменить ее энергию нельзя.
Эффект Холла
В 1880 г. Холл обнаружил следующее явление: если металлическую
пластинку, вдоль которой течет ток, поместить в перпендикулярное к ней
магнитное поле, то между боковыми гранями возникает разность
потенциалов (UAB).
Эффект Холла наблюдается во всех проводниках и полупроводниках. На
заряд е, движущийся в магнитном поле действует сила Лоренца. Под
действием этой силы положительные заряды будут отклоняться к грани В,
отрицательные - к грани А. В результате разделения зарядов в пластине
возникает электрическое поле напряженностью Е. Сила электрического
взаимодействия fК = e E действует в направлении, противоположном силе
Лоренца. В случае равновесного процесса прохождения тока по пластинке
эти силы уравновешиваются fЛ = fК, отсюда: е U B sin = e E, но sin = 1,
тогда U B = E, где U - скорость движения заряда, Е - напряженность
поперечного электрического поля в проводнике, возникшего вследствие
отклонения заряженных частиц в магнитном поле.
Если пластина достаточно широкая и длинная, электрическое поле можно
считать однородным, тогда можно записать формулу связи между
поперечной разностью потенциалов и напряженностью электрического поля
в следующей форме:
E=
VAB
,
a
где а - расстояние между гранями А и В.
Отсюда VAB = E a = U B a, учитывая, что j = n e U,
получаем:
VAB =
jBa
ne
I Ba I B b
n eS n e
1 IB
IB
R
.
ne b
b
Постоянную R называют постоянной Холла. Экспериментально измерив эту
величину, можно найти концентрацию носителей тока (их число в единице
объема) и рассчитать длину свободного пробега зарядов в проводниках.
Знак R совпадает со знаком заряда, поэтому определяя знак R можно
установить характер носителей (что особенно важно в случае
полупроводников.
В циклотроне используются тяжѐлые ускоряемые частицы из инжектора
помещаются в камеру в области еѐ центра. После этого они движутся внутри
полости двух чуть раздвинутых полуцилиндров (дуантов), помещенных в
вакуумную камеру между полюсами сильного электромагнита. Магнитное
поле этого электромагнита искривляет траекторию частиц. Ускорение
движущихся частиц происходит в тот момент, когда они оказываются в
зазоре между дуантами. В этом месте на них действует электрическое поле,
создаваемое электрическим генератором высокой частоты, которая совпадает
с частотой обращения частиц внутри циклотрона. При не слишком больших
скоростях эта частота не зависит от радиуса окружности и скорости частиц,
так что в зазор между дуантами частицы попадают всегда через один и тот
же промежуток времени. Получая каждый раз при этом некоторое
приращение скорости, они продолжают своѐ движение дальше по
окружности всѐ большего радиуса, и траектория их движения превращается в
плоскую раскручивающуюся спираль. На последнем витке этой спирали
включается дополнительно отклоняющее поле, и пучок ускоренных частиц
выводится наружу.[]
Диаграмма циклотрона из патента Э. Лоуренса 1934 года
Недостатком циклотрона является то, что заряженные частицы в нѐм не
могут быть ускорены до больших энергий, так как при высоких скоростях
начинает проявляться релятивистская зависимость периода обращения от
скорости частиц. С ростом скорости этот период возрастает, и поэтому при
каждом очередном попадании в ускоряющий зазор частицы начинают всѐ
больше опаздывать, пока не оказываются в нѐм тогда, когда существующее в
зазоре поле будет их тормозить. Поэтому для получения частиц высоких
энергий используют другие, более сложные ускорители, например,
электронные синхротроны и синхрофазотроны.
Расчѐт условия синхронизации (периода постоянного напряжения,
подаваемого на дуанты):
Циклотрон существенно ограничен нерелятивистскими энергиями частиц, в
обычных циклотронах протоны можно ускорять до 20-25 МэВ. Для
ускорения тяжѐлых частиц по траектории раскручивающейся спирали до
существенно больших значений энергии (до 1000 МэВ) используют
модифицированную установку на базе циклотрона, называемую изохронным
(релятивистским) циклотроном. В изохронных циклотронах релятивистские
эффекты компенсируются радиальным возрастанием магнитного поля. Для
этих целей также используется фазотрон
Лекция 25 Магнитостатика в вакууме и в веществе.
Все природные вещества в той или иной мере обладают магнитными
свойствами, эти вещества называют магнетиками. Частными случаями
магнетиков являются пара- и диамагнетики, ферромагнетики и
антиферромагнетики...
В начале исследования магнетизма для объяснения свойств постоянных
магнитов Ампер выдвинул смелую по тем временам гипотезу о
существовании так называемых "молекулярных токов", совокупность
которых объясняет магнитные свойства вещества. В настоящее время
гипотеза Ампера представляется чуть ли не очевидной, физические
механизмы, ответственные за магнитные свойства веществ, изучены
значительно более глубоко, чем это было возможно во времена Ампера.
Магнитным свойством веществ посвящены многие специальные
руководства.
Рассмотрим достаточно малый объем вещества. Допустим, что
суммарный магнитный момент молекулярных токов (магнитных диполей) в
этом объеме равен
. В качестве количественной характеристики
магнитного состояния среды примем по определению величину
намагниченности
.
В соответствии с определением намагниченность (вектор намагничения)
представляет собой магнитный момент единицы объема среды.
Намагниченность является локальной характеристикой среды, она
определяется в каждой точке пространства и образует соответствующее
векторное поле.
Если магнитный момент элементарного молекулярного тока равен
,
где - порядковый номер этого тока в совокупности молекулярных токов
объема
, то легко получить:
где
,
- объемная концентрация элементарных молекулярных токов в
рассматриваемой точке пространства, а
- средний магнитный момент
одного магнитного диполя.
Совокупность элементарных молекулярных токов образует объемную
плотность
и силу тока
намагничения. Токи проводимости (с объемной
плотностью и силой тока
) связаны с носителями зарядов, которые могут относительно свободно
перемещаться по проводнику. Токи намагничения могут существовать и в
непроводящей электрический ток среде.
Рис.
Однородная намагниченность
Представить себе наглядно физическую связь между намагниченностью и
токами намагничения можно, анализируя случай однородного распределения
магнитных диполей одного направления
Легко видеть, что внутри
выделенного элемента вещества молекулярные токи компенсируют друг
друга, некомпенсированным остается только ток по поверхности
выделенного объема.
Обратим внимание на то, что направление тока намагничения на рис.
перпендикулярно ориентации магнитных диполей, то есть вектору
намагничения
.
Рис.
Неоднородная намагниченность
В случае неоднородного распределения магнитных диполей одного
направления, например, показанного на рис. помимо поверхностных токов
намагничения
возникает объемная плотность
токов намагничения как
плотность некомпенсированных молекулярных токов.
Рассмотрим поверхность
в магнитном веществе, ограниченную
замкнутым контуром с выбранным положительным направлением обхода и
ориентацией нормали к элементу площади ее поверхности. Ток
намагничения определим соотношением
,
где
токов.
возникает как плотность молекулярных некомпенсированных
Рис.
Молекулярные токи
Легко видеть, что для внутренних точек поверхности молекулярные
токи, каждый в отдельности, пересекают поверхность
в одну сторону и
другую, тем самым не создавая результирующего тока намагничения. Для
приграничных точек поверхности
имеются молекулярные токи, которые
огибают контур поверхности, т. е. пересекают рассматриваемую поверхность
в одном направлении, тем самым создавая некомпенсированный ток через
поверхность.
Если модуль отдельного магнитного диполя равен
ориентация магнитного диполя относительно элемента
,
описывается в
среднем углом
, то "ометаемой" площадкой
составит величину
объеме
где
элемента
объем при перемещении на
. Магнитные диполи в "ометаемом"
формируют ток намагничения
,
- объемная концентрация магнитных диполей в окрестности
контура . Из соотношения следует
.
Основное свойство намагниченности
место интегральное соотношение
проявляется в том, что имеет
,
где
- замкнутый контур, поверхность
натянута на этот контур,
направления векторов
и
согласованы между собой, и
дифференциальный аналог (следствие классической теоремы Стокса):
его
В этих соотношениях - сила молекулярного тока, - вектор объемной
плотности силы молекулярного тока.
Заметим, что полученные соотношения являются следствием принятых за
исходные определений и
Циркуляция вектора магнитной индукции
по замкнутому контуру в
магнитной среде должна рассчитываться с учетом всех токов, которые
условно разделены на ток проводимости
и ток молекулярный
:
.
Анализируя совокупность соотношений и, замечаем, что имеет место
.
Полученная зависимость удобна тем, что в ее правой части стоит
величина тока проводимости
вещества.
, не связанная с молекулярной структурой
Введем в рассмотрение вектор напряженности магнитного поля
:
и получим интегральное соотношение
,
и соответствующее ему (следствие классической теоремы Стокса)
дифференциальное соотношение
.
При феноменологическом подходе к описанию магнитной среды, не
затрагивающем молекулярно-кинетическое строение среды, полагают, что
,
причем для многих веществ и "слабых" магнитных полей эта зависимость
линейная и однородная:
,
где
- магнитная восприимчивость среды. При феноменологическом
описании среды зависимость
и, в частности, величина
считаются
известными или из опыта, или из рассмотрения соответствующих
молекулярно-кинетических моделей среды.
Зависимость позволяет записать "материальное уравнение" магнитной
среды в форме
,
где
носит название "магнитная проницаемость" среды.
Вопрос об объемной плотности некомпенсированных молекулярных
токов решается прямым вычислением:
Легко видеть, что
обусловлена
неоднородностью магнитных свойств среды.
токами
проводимости
и
Лекция 26 Электромагнитная индукция.
Возникновение индукционного тока. Закон Фарадея и правило Ленца
Во всяком замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной
индукции через площадь, ограниченную этим контуром, возникает
электрический ток, который называют индукционным. ЭДС индукции,
возникающая в замкнутом контуре, зависит от скорости изменения
магнитного потока, пронизывающего данный контур (Закон Фарадея для
электромагнитной индукции):
eинд =
dФ
dt
Заполнение всего пространства, в котором поле отлично от нуля,
однородным веществом с магнитной проницаемостью , приводит, при
прочих равных условиях, к увеличению индукционного тока в раз. Этим
подтверждается, что индукционный ток обусловлен не изменением потока
вектора напряженности Н, а изменением потока магнитной индукции.
Направление индукционного тока определяется правилом Ленца, которое
является следствием закона сохранения энергии, как и закон Фарадея.
Правило Ленца: Возникающий в замкнутом контуре ток имеет такое
направление, что
создает через площадь, ограниченную контуром,
собственный поток магнитной индукции, компенсирующий изменения
магнитной индукции, вызвавшие появление индукционного тока.
Электронный механизм возникновения ЭДС индукции
Лоренцева сила, действующая на ионы - узлы кристаллической решетки,
перпендикулярна направлению перемещения проводника, но она
компенсируется упругими взаимодействиями в решетке и ионы вдоль
проводника не перемещаются, но перемещаются вместе с проводником. Сила
Лоренца, действующая на положительные заряды, работы не совершает, так
как она перпендикулярна направлению перемещения.
Электроны под действием силы Лоренца будут двигаться вдоль проводника
со скоростью V и вместе с проводником со скоростью V , результирующая
скорость Vэл определяется векторным сложением составляющих скоростей.
Сила Лоренца перпендикулярна суммарной скорости электрона. Разложим
ее на две составляющие: вдоль проводника fл
и вдоль направления
перемещения проводника fл . Работа силы fл положительна (сила совпадает
по направлению с перемещением электрона вдоль проводника), работа силы
fл отрицательна ( сила направлена в сторону, противоположную движению
электрона вместе с проводником). Сумма работ составляющих силы Лоренца
равна нулю ( работа силы Лоренца всегда равна нулю).


Fмtех
Если проводник перемещается равномерно, то f мех =
, где
N
N - число свободных электронов в рассматриваемом участке проводника,

f мех - механическая сила, действующая на каждый электрон.
Сила fл перемещает вдоль проводника электроны и совершает работу
против сил электрического поля.


fл V dt + fл V = 0, следовтельно fл V dt - f мех V = 0 или fл V dt = f мех V .
Т.о. механическая работа, произведенная над каждым электроном
приложенной к проводнику внешней силой, преобразуется в работу
перемещения зарядов в проводнике.
Вывод: Равенство нулю полной работы, производимой силой Лоренца над
подвижными электронами является следствием закона сохранения энергии.
Механическая работа, произведенная над проводником превращается в
работу электрических сил в контуре.
Вывод закона Фарадея из электронной теории
Электромагнитная индукция возникает не только в замкнутом проводнике,
но и в отрезке проводника, пересекающем при своем движении линии
индукции магнитного поля.
В первые моменты движения проводника в магнитном поле B со скоростью
V силы Лоренца будут смещать электроны вдоль проводника, но электроны в
этом случае не движутся по замкнутой цепи, а образуют избыточный
отрицательный заряд на одном из концов проводника, на другом возникает
избыточный положительный заряд. Внутри проводника воздается
электрическое поле, которое замедляет, а через некоторое время и совсем
прекращает перемещение электронов вдоль проводника.
В этом случае электроны движутся только вместе с проводником, fл = - fкул,
(по модулю fл = fкул).
Отсюда, учитывая, что fл = e V B, а fкул = e E, следует eVB = eE или Е =VB.
Разность потенциалов между концами проводника U можно выразить через
напряженность поля и длину участка проводника  : E =
U = E  = VB  . Учитывая, что V =
U
, отсюда
l
dx
, напряжение на концах проводника,
dt
движущегося в магнитном поле, можно записать следующим образом
U
B l dx
dt
B dS
dt
dФ
dt
и
-U
и
dФ
.
dt
Вывод закона Фарадея из закона сохранения энергии
Рассмотрим замкнутый проводящий контур в неоднородном магнитном поле.
Если этот контур включить в цепь гальванического элемента, то он придет в
движение. Элементарная работа за время dt по перемещению контура будет
равна
dA1 = I dФ. Работа, совершаемая током при прохождении по проводнику,
определяется законом Джоуля - Ленца dA2 = I2 R dt. Полная работа,
совершаемая за это время гальваническим элементом, равна
I
- ЭДС источника тока. В соответствии с законом
сохранения энергии: dA = dA1 + dA2
I dt = I dФ + I2 R dt.
Отсюда I
- dФ) / R dt
dФ
dt
и)
/R
и
dФ
.
dt
Практические применения магнитной индукции. Токи Фуко
Практические применения явления электромагнитной индукции весьма
разнообразны (генераторы, трансформаторы, индукционные печи,
ускорители элементарных частиц и т.п.). Индукционные токи в сплошных
массивных проводниках называются вихревыми токами или токами Фуко.
Поскольку электрическое сопротивление массивного проводника мало,
вихревые токи могут достигать большой силы.
Движущиеся в магнитном поле проводники из-за возникновения
индукционных токов испытывают сильное торможение. Этим пользуются
для успокоения подвижных частей измерительных приборов (такие
устройства называют демпферами).
Преимущество такого устройства состоит в том, что торможение возникает
только при движении пластинки. Поэтому электромагнитный демпфер не
препятствует точному приходу системы в положение равновесия.
Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах. Такая
печь представляет собой катушку, питаемую высокочастотным током
большой силы. Если поместить внутрь катушки проводящее тело, то
интенсивные вихревые токи, возникающие в нем могут довести его до
плавления. Таким способом производится плавление веществ в вакууме, что
позволяет получить металлы высокой чистоты.
Во многих случаях индукционные токи бывают нежелательными и для
борьбы с ними применяются специальные меры (наборные пластины
трансформаторов и т.п.). Вихревые токи, возникающие в проводах, по
которым текут переменные токи направлены так, что ослабляют ток внутри
провода и усиливают его на поверхности (скин - эффект).
Лекция 27 Самоиндукция.
Взаимоиндукция
Между контурами 1 и 2 существует магнитная связь, но не весь поток Ф1,
создаваемый в контуре 1 пересекает контур 2.
Обозначим поток через контур 2 как Ф1,2. Значение этого потока зависит от
формы, размеров, взаимного расположения контуров, магнитных свойств
среды. Поскольку Ф1 I1, то Ф1,2 I1. Эту зависимость можно записать в
форме равенства, введя коэффициент пропорциональности L1,2, называемый
взаимной индуктивностью двух контуров.
Ф1,2 = L1,2 I1..
При изменении тока I1 в первом контуре во втором возникает ЭДС индукции
2
=
dФ
dI 1
.
L1, 2
dt
dt
Вывод формулы взаимной индуктивности двух соленоидов
Соленоиды расположены так, что весь магнитный поток, создаваемый в
первом соленоиде проходит через сечение второго соленоида.
Физическую величину, равную произведению магнитного потока,
пересекающего один виток, на число витков в соленоиде, называют
потокосцеплением.
Индукция магнитного поля, создаваемого током I1 внутри соленоида, равна
N1
I 1 . Магнитный поток во втором соленоиде определяется c учетом

N1 N 2
потокосцепления соленоида Ф2 Ф1 N 2 B1 S N 2
S I 1 , но можно поток

B1
во втором соленоиде записать и в иной форме: Ф L I . Отсюда.
2
L1, 2
1, 2
1
N1 N 2
S

Самоиндукция
Если протекающий по замкнутому контуру ток изменяется, то изменяется и
магнитный поток, созданный этим током. Изменение магнитного потока
через площадь контура вызывает возникновение в этом контуре ЭДС
индукции. Это явление называют самоиндукцией, коэффициент самоидукции
- индуктивностью (обозначается L, размерность в СИ L2MT-2I-2). Единица
индуктивности Генри (Г) -индуктивность контура, в котором при силе
постоянного тока в 1 А сцепляется магнитный поток в 1 Вб.
Явление самоиндукции можно наблюдать в электрической цепи, состоящей
из соленоида L, резистора R и источника тока. Лампочки накаливания
включены в цепь соленоида и активного сопротивления как индикаторы тока.
До замыкания ключа К тока в цепи нет и магнитный поток через соленоид
равен нулю. После замыкания ключа возникает в цепи ток. Лампочка в цепи
резистора я загорается сразу же после замыкания ключа. Нарастает ток и в
цепи соленоида, следовательно, нарастает и магнитный поток, но при этом
возникает ЕДС индукции такого направления, что магнитный поток
индукционного тока частично компенсирует магнитный поток тока
источника. Общий ток в цепи соленоида оказывается малым, постепенно
нарастает, поэтому лампочка загорается позже, чем в цепи резистора.
Коэффициент самоиндукции (индуктивность) можно рассчитывать по
формуле для взаимоиндукции двух соленоидов с равным количеством
витков, т.е. действие соленоида на самого себя должно быть как и на другой
подобный ему соленоид.
N2
L
S.

Экстратоки замыкания и размыкания
В цепях постоянного тока при замыкании и размыкании возникают
кратковременные
переходные
процессы,
связанные
с
явлением
самоиндукции. Токи в таких процессах принято называть экстратоками
замыкания и размыкания.
Экстраток замыкания
В рассматриваемой цепи I = (
самоиндукции
=L
источника
dI
. Отсюда I = (
dt
источника
самоиндукции)
+L
/ R.
dI
) / R., после преобразований
dt
это выражение принимает форму неоднородного дифференциального
уравнения:
dI
dt
R
I (
L
и
/ L) = 0, решением которого будет выражение: I =
R
t
/ R) +C1 e L . Величина С1 определяется начальными условиями: при t =
( и
0 ток в цепи равен нулю: I = 0, тогда С1 = - (
и /R).
При замыкании цепи ток плавно нарастает от 0 до - ( и /R).
Чем больше величина отношения R/L, тем быстрее ток достигает
максимального значения.
I
замыкания
и /R) (1 e
Экстраток размыкания
R
L
t
)
При размыкании ключа сила тока в контуре убывает, уменьшается и поток
магнитной индукции, сцепленный с контуром. Такое изменение магнитного
потока вызывает появление ЭДС самоиндукции.
Наблюдать это явление можно в цепи, если параллельно соленоиду включить
неоновую лампочку N. Если цепь замкнута, то эта лампочка не светится, так
как напряжение зажигания ее меньше напряжения источника тока, но в
момент размыкания цепи неоновая лампочка на мгновение ярко вспыхивает при быстром убывании магнитного потока в соленоиде возникает ЭДС
самоиндукции, превышающая напряжение зажигания. Ток самоиндукции
можно рассчитать по формуле: I размыкания
самоиндукции
/R=-L
преобразований получается дифференциальное уравнение:
dI
dt
dI
/ R. После
dt
R
I 0,
L
решением которого является выражение:
R
t
I = C2 e L . Значение константы C2 определяется из начальных условий:
при t = 0 сила тока в цепи равна I0 =
и
/ R, следовательно,
R
t
Iразмыкания = I0 e L .
Спад тока происходит медленнее при больших значениях отношения
R
.
L
Экстратоки размыкания создают весьма сложную техническую проблему гашение электрической дуги при размыкании электрических цепей.
Энергия магнитного поля
При размыкании цепи возникает ЭДС самоиндукции и за время dt
совершается работа dA =
с
I dt = - L
dI
I dt L I dI. Полная работа,
dt
совершенная за счет энергии магнитного поля, определится выражением:
0
A
I
I
I2
L I dI L I dI L .
2
0
Следовательно, энергия магнитного поля: W
m
LI2
.
2
Энергию магнитного поля можно выразить иначе, воспользовавшись тем
обстоятельством, что магнитное поле бесконечно длинного соленоида можно
считать целиком сосредоточенным внутри соленоида. Индуктивность
длинного соленоида L=
соленоиде равна B
n2
S , индукция магнитного поля в длинном

n
I , следовательно, сила тока I

B
, подставив эти
n
значения в выражение для энергии магнитного поля соленоида, получаем.
Wm
B2 S 
. Учитывая, что объем соленоида равен V = S  , можно найти
2
выражение для плотности энергии магнитного поля
Электромагнитное поле
Ток смещения
m
Wm
B2
V 2
HB
.
2
В колебательном контуре ток и напряжение на пластинах конденсатора
меняется по гармоническому закону. В «обычной» цепи ток проводимости
есть в любой ее части: в подводящих проводах, в активном сопротивлении, в
катушке индуктивности, источнике тока существует направленное
перемещение заряженных частиц. Цепь с конденсатором в этом отношении
«необычна»: между пластинами конденсатора нет тока проводимости направленного перемещения зарядов. Это относится и к колебательному
контуру: в конденсаторе нет тока проводимости, но во всех остальных частях
цепи он существует.
Токи проводимости на всех участках цепи, где они существуют, создают
магнитное поле. При изменении электрического поля в конденсаторе также
возникает магнитное поле. Оно ничем не отличается от поля, создаваемого
токами проводимости. Дж.Максвелл предложил считать, что в конденсаторе
существует особый вид электрического тока, не связанный с направленным
перемещением заряда, и предложил называть его током смещения. Ток
смещения существует между пластинами конденсатора и тогда, когда между
ними нет диэлектрика (вакуумный конденсатор), он не сопровождается
выделение тепла.
Если сила тока проводимости определяется зарядом, проходящим в секунду
через поперечное сечение проводника:
I
проводимости
=
dQ
, где dQ заряд,
dt
проходящий через поперечное сечение проводника за время dt. Аналогично
сила тока смещения определяется той же формулой: I смещения =
dQ
, но в этом
dt
случае dQ - изменение заряда конденсатора за время dt.
Поскольку Q = CU, где U - напряжение на конденсаторе емкости C, то dQ =
C dU, но для однородного поля между пластинами конденсатора E
U
, где 

- расстояние между пластинами конденсатора, отсюда dU =  dE, тогда dQ =
C  dE. Ток смещения в этом случае определится как I смещения =
dE
dQ
= С
dt
dt
(Обратите внимание: ток проводимости пропорционален напряженности
электрического поля I проводимости, = SE, то ток смещения пропорционален
первой производной от напряженности электрического поля по времени)
Преобразуем полученную формулу, учитывая, что для плоского
конденсатора C
S

,
электрическое смещение D =
электрического смещения
S dD d
,
dt
dt
dE
=
dt
=DS, тогда имеем I смещения =
-E,
поток вектора
dE
dQ
= С
=
dt
dt
S


т.е. сила тока смещения пропорциональна скорости
изменения потока вектора электрического смещения.
В конденсаторе колебательного контура ток смещения достигает
наибольшего значения в те моменты, когда напряжение на конденсаторе и
поток вектора электрического смешения равны нулю. В этот момент и ток
проводимости в подводящих проводах имеет максимальное значение.
Дж.Максвелл ввел понятие полного тока, плотность которого определяется
геометрической суммой плотностей тока проводимости и тока смещения.
Полный ток в цепи всегда замкнут.

j полн

j п р оводимости

j смещения

j смещения =

D
t
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного пля по
замкнутому контурку с учетом полного тока должна быть записана в виде:
H d
I , т.е.
H d I п р оводимости I смещения или
H d I п р оводимости
d
.
dt
Ток смещения имеется всюду, где есть меняющееся электрическое поле,
следовательно, он существует и в проводниках, по которым течет
переменный электрический ток (при не очень высоких частотах ток
смещения мал по сравнению с током проводимости).
Вихревое электрическое поле
Наличие магнитного поля, возникающего при всяком изменении
электрического поля, отражает глубокую взаимную связь электрических и
магнитных явлений. Поле неподвижных электрических зарядов действует
только на электрические заряды, магнитных явлений при этом не
обнаруживается. Но если заряды перемещаются относительно друг друга или
меняется заряд на пластинах конденсатора, то меняется создаваемое ими
электрическое поле и возникает поле магнитное.
Связь электрических и магнитных полей позволила сделать Дж.Максвеллу
предположение,
которое
впоследствии
было
подтверждено
экспериментально: Всякое меняющееся со временем магнитное поле связано
с существованием электрического поля.
Пусть какой-либо проводящий контур находится в меняющемся со временем
=
dФ
dt
S
dB
. (S-const)
dt
В проводнике в этом случае существует электрическое поле, вызывающее
движение электрических зарядов, т.е. индукционный ток. Гипотеза
Дж.Максвелла предполагает, что электрическое поле возникает в
пространстве при изменении магнитного поля независимо от того,
расположен ли в этом месте проводник или его нет. Наличие проводника
лишь позволяет убедиться в существовании такого электрического поля.
Постоянное магнитное поле (поле постоянных токов, текущих по
неподвижным относительно друг друга проводникам, или поле неподвижных
относительно друг друга магнитов) действует только на токи, но на
неподвижные заряды не влияет. Но меняющееся со временем магнитное поле
создает электрическое поле, действующее и на неподвижные заряды
Электрическое поле, возникающее в пространстве, где есть меняющееся
магнитное поле, существенно отличается от электростатического поля:
оно не связано с наличием электрических зарядов;
линии вектора напряженности в нем замкнуты;
циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру не равна нулю,
т.е.
E d 0 (для электростатического поля

E d 0 во всех случаях).

Покажем, что
E d 0 , если контур пересекается переменным магнитным

полем.
Разность потенциалов V1 - V2 между двумя точками поля связана с
2
напряженностью поля: V1 - V2 =
E dl .
Если интеграл распространить на
1
весь контур, то вместо V1 - V2
и
= E d
и

=-
dФ
dt
d
B dS
dt S n
E d = 
S
S
dBn
dS , т.о.
dt
dBn
dS . Если
dt
dBn
dt
0, то
возникающее электрическое поле вихревое.
E d 0 . Это означает, что

В рассмотренном примере проводящий контур служит только индикатором.
Полученные соотношения будут справедливы и в отсутствии проводящего
контура.
Если направление векторов электрического смещения D и напряженности
магнитного поля Н остается неизменным, но модули этих векторов растут,
вихревые магнитное и электрическое поля можно представить следующим
образом:
Совокупность электрического и магнитного полей рассматривается в
единстве - как электромагнитное поле - особый вид материи, отличный от
вещества. Возникнув в какой-то области пространства, электромагнитное
поле распространяется с конечной скоростью в окрестные области.
Уравнения Максвелла в интегральной форме. Физический смысл уравнений
Максвелла в интегральной форме
В основу теории электромагнитного поля Дж.Максвелл положил систему из
четырех уравнений - теорем, которая была названа уравнениями Максвелла в
интегральной форме.
Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля по
замкнутому контуру
dФ
dt
E d
S
n
i
i 1
В этом уравнении
E  d
- циркуляция вектора
S
напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру
(может интерпретироваться как работа по перемещению единичного
положительного заряда по произвольному замкнутому контуру);
dФ
dt
- ЭДС индукции, т.е. работа по перемещению единичного
положительного заряда по замкнутому контуру;
n
i
- сумма ЭДС источников тока в рассматриваемом контуре.
i 1
Физический смысл уравнения: Всякое изменение магнитного поля вызывает
появление вихревого электрического поля.
dФ
dt
Действительно, если
0, то и
E d 0, Электрические поля такого типа

являются вихревыми.
Примечание: Данное уравнение Максвелла мажет быть записано в другой
форме:
n
E d
(

t
Bn dS )
E d
i 1
S
n
H  d
d
dt
Ii
i 1
S
dB
) dS
dt n
n
i 1
вектора напряженности магнитного
поля по
В этом уравнении:
циркуляция
H  d -
S

Теорема о циркуляции
замкнутому контуру
(
вектора
напряженности
магнитного
поля
по
S
произвольному замкнутому контуру (может интерпретироваться как
величина, связанная с работой по перемещению заряда в магнитном поле);
n
I i - сумма токов проводимости, охватываемых данным контуром;
i 1
d
- ток смещения (сила тока смещения определяется скоростью изменения
dt
потока вектора электрического смещения через площадь контура).
Физический смысл: Всякое изменение эленктрического поля вызывает
появление вихревого магнитного поля.
Действительно, если
d
dt
0, то H  d 0, т.е. существует магнитное поле.
S
Примечание: Данное уравнение Максвелла можно записать в другой форме:
n
H  d
Ii
(
i 1
S
S
D
)n dS
t
или
H  d
S
jn dS
S
(
S
D
)n dS .
t
Теорема о потоке вектора смещения электрического поля
произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд Q
n
Dn dS
S
Qi
через
В этом уравнении
i 1
Dn dS - поток вектора смещения через произвольную замкнутую поверхность
S
(число линий смещения, пересекающих данную поверхность);
n
Qi - сумма зарядов внутри поверхности.
i 1
Физический смысл уравнения: Имеются реальные источники электрического
поля (заряды), создающие стационарное электрическое поле.
Действительно, если
n
Qi
0, то и
i 1
Dn dS 0, то есть поток линий смещения
S
через замкнутую поверхность, охватывающую заряды.
Примечание: Данное уравнение Максвелла может быть записано в иной
форме: Dn dS
S
dV , где
- объемная плотность заряда.
V
Теорема о потоке вектора индукции магнитного поля через произвольную
замкнутую поверхность
Bn dS 0
В данном уравнении:
S
Bn dS - поток вектора магнитной индукции через произвольную дамкнутую
S
поверхность (число линий магнитной индукции через произвольную
замкнутую поверхность)
Физический смысл уравнения: Не существует источников магнитного поля
(магнитных зарядов).
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме (частный случай).
Физический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной форме


Уравнения Максвелла в интегральной форме связывают значения E и H


dB
dD
вдоль некоторого контура  со значениями
и
в точках, опирающихся
dt
dt
на контур поверхности S. Если  и S стягивать к точке, то можно перейти к


уравнениям в дифференциальной форме, связывающим значения E и H со


dB
dD
значениями
и
в этой точке.
dt
dt
Рассмотрим частный случай уравнений Максвелла в дифференциальной
форме, опустив математические преобразования интегральной формы
уравнений в дифференциальную.
Для случая, когда электромагнитное поле создается излучателем, например, .
вибратором Герца, расположенным в начале системы координат и
ориентированным вдоль оси Z, уравнения в частных производных для точек
достаточно удаленных от начала координат имеют вид:
0
E
t
H
x
0
H
t
E
x
Физический смысл этих уравнений:
1.Если какой-либо точке на оси X меняется электрическое поле (
E
t
окрестности этой точки появляется движущееся магнитное поле (
H
x
2. Если какой-либо точке на оси X меняется магнитное поле (
окрестности этой точки появляется движущееся магнитное поле (
H
t
E
x
0), то в
0).
0), то в
0).
Таким образом, анализ указанных уравнений приводит к признанию
существования перемещающегося вдоль оси X электромагнитного поля, т.е.
электромагнитной волны.
Решением приведенной выше системы уравнений в частных производных
являются выражения: E = E0 sin(t -
x
x
) и H = H0 sin(t - ), где U - фазовая
U
U
скорость распространения электромагнитной волны.
Следствия из уравнений Максвелла
Скорость электромагнитной волны
Возьмем производную по t от уравнения
уравнения
H
t
0
следовательно,
0
E
x
2
E
t
2
H
t
имеем:
2
E
2
0
x
0
E
t
2
H
:
x
0
2
E
t
H
, из
x t
2
2
E
x
0
2
H
t x
, тогда
E
2
0
2
t
E
2
= - E0 sin(t -
2
x
) = - 2 E,
U
U
2
Подставим эти значения в (А):
1
получаем U2 =
9
,
, обозначим это выражение как (А).
Возьмем вторые производные по t и по x от выражения: E = E0 sin(t получаем:
x
0
2
E
=x2
E0 sin(t -
x
)=U
x
),
U
2
E.
2
E
2 . После преобразований
0U
E=
, отсюда
0
получаем выражение для скорости электромагнитной волны: U =
1
0
0
Плотность энергии магнитного и электрического поля в электромагнитной
волне
Возьмем от выражения E = E0 sin(t E
t
E0 cos( t
x
)
U
x
) производную по t:
U
E . Возьмем от выражения H = H0 sin(t -
x
) производную
U
по x
H
x
0
0
E
H 0 cos( t
U
x
)
U
U
Подставим
H.
E
t
H
,
x
2
H , следовательно,
2
0
получаем:
0
E
0
U
E2
2
H
или
0
2
H2
эти
значения
0
E
0
, то есть wэ = wм
0
в
уравнение
H
, отсюда
Таким образом показано, что плотности энергии электрической и магнитной
составляющей в электромагнитной волне равны. Можно показать, что


векторы E и H перпендикулярны скорости распространения волны.
Лекция 28 Элементы волновой теории света и геометрической оптики.
Согласно принципу Гюйгенса каждую точку среды, которой достигла волна,
можно рассматривать как источник вторичных сферических волн,
распространяющихся со скоростью, свойственной среде. Огибающая
поверхность, т. е. поверхность, касающаяся всех сферических вторичных
волн в том положении, которого они достигнут к моменту времени t, и
представляет
собой
волновой
фронт
в
этот
момент.
Поверхность, на которой расположены точки среды, выбранные в качестве
источников вторичных волн, является для построения Гюйгенса
вспомогательной поверхностью. Она не должна обязательно совпадать с
положением какого-либо волнового фронта, но может быть поверхностью, до
которой первичные волны доходят в разные моменты времени.
Для отыскания же фронта волны к моменту t надо построить положение
вторичных волн к этому моменту и провести огибающую поверхность.
Таким образом, из точек, достигнутых первичной волной в более ранний
момент, вторичные волны успеют разойтись на большие расстояния, а из
точек, позже принятых за центр вторичных волн,— на меньшие.
Принцип Гюйгенса дает возможность найти интересующую нас огибающую,
выбирая вспомогательную поверхность различными способами, но
окончательный результат, конечно, будет один и тот же. На рис.
рассматривается распространение сферической расходящейся волны, фронт
которой в некоторый момент времени t0 занимает положение Р0. В разные
точки вспомогательной поверхности Р свет от источника приходит в разные
моменты времени. Таким образом, при применении принципа Гюйгенса
можно выбирать центры вторичных волн наиболее удобным для решения
данной
задачи
способом.
Благодаря
этому
К пояснению принципа Гюйгенса: Р0 — вспомогательная поверхность,
совпадающая в момент t0=0 с положением фронта сферической
расходящейся волны; соответствующие вторичные волны (центры —
светлые кружки) изображены сплошными дугами; Р — произвольная
вспомогательная поверхность; соответствующие вторичные волны
(центры — крестики) изображены штриховыми дугами; S — волновая
поверхность в момент t, построенная как огибающая вторичных волн
принцип Гюйгенса с большой пользой применяется при разборе различных
вопросов о распространении волн. Пусть на границу раздела двух сред аb
(рис.)
падает
параллельный
пучок
лучей,
образуя
К нахождению закона преломления волн. ОВ — поверхность падающей
волны, ab — поверхность раздела двух сред, NC — поверхность
преломленной
волны
угол i с перпендикуляром к поверхности раздела. Согласно закону
преломления пучок преломленных лучей будет распространяться по
направлению, задаваемому углом r. Закон преломления, выведенный из
опыта,
гласит:
где n — показатель преломления второй среды относительно первой,— есть
величина, не зависящая от угла падения света i и характеризующая свойства
обеих
сред.
Согласно волновым представлениям описанная задача сводится к
следующему. На поверхность раздела падает плоская волна, поверхность
которой составляет угол i с поверхностью раздела. Скорость
распространения волны в первой среде есть v1, во второй — v2.
Для нахождения закона преломления и показателя преломления
воспользуемся принципом Гюйгенса. Задача решается без труда, если мы
выберем в качестве центров вторичных волн точки, лежащие на границе
раздела. Пусть в момент времени t=0 падающая плоская волна достигает в
точке О границы раздела, т. е. поверхность падающей волны имеет
положение ОМ, Найдем положение огибающей к моменту t=t, когда точка В
поверхности падающей волны успеет достигнуть границы раздела в точке С.
Так как скорость волны в первой среде есть v1, то расстояние ВС равно v1t.
Вторичная волна из точки О успеет за это время распространиться во второй
среде на расстояние OF=v2t. Точка D будет достигнута первичной волной
несколько позже, и вторичная волна от нее успеет к моменту т проникнуть во
вторую среду на меньшую глубину, равную DG; от точки Е глубина
проникновения будет еще меньше — ЕН; от точки С к моменту т
распространение волны еще не начнется, ибо к этому моменту точка С
только будет достигнута первичной волной. Построив огибающую, которая
оказывается плоскостью, касающейся всех вторичных сферических волн,
найдем линию CN — положение фронта преломленной волны; этот фронт
распространяется во второй среде со скоростью v2 по направлению OF
(^CN),
задаваемому
углом
r.
Из DОВС и DCOF найдем соотношение между углами i и r, т. е. закон
преломления. Действительно, BC=v1t=ОСsini, OF=v2t=OC sinr, откуда
Если обозначить отношение v1/v2 через n, то получим закон преломления в
обычной его форме sini/sinr=n. Величина n не зависит от углов i и r и носит
название
показателя
преломления.
Мы не только нашли путем рассуждений Гюйгенса правильный закон
преломления, но и объяснили физический смысл показателя преломления n:
показатель преломления равен отношению скорости световой волны в первой
среде
к
скорости
ее
во
второй.
Если первая среда воздух (или вакуум, что для многих вопросов практически
одно и то же), а вторая — вода, то из опыта известно, что n=1,33. Таким
образом, наши рассуждения приводят к выводу, что скорость света в воздухе
(вакууме) в 1,33 раза больше, чем в воде. Мы увидим (§ 153), что прямые
измерения скорости света в воде и в воздухе подтверждают этот вывод.
Аналогичным способом можно рассмотреть явления отражения волны. Мы
найдем закон отражения: угол отражения равен углу падения.
Раздел оптики, в котором законы распространения света рассматриваются на
основе представления о световых лучах, называется геометрической оптикой.
Под световыми лучами понимают нормальные к волновым поверхностям
линии, вдоль которых распространяется поток световой энергии.
Геометрическая оптика, оставаясь приближенным методом построения
изображений в оптических системах, позволяет разобрать основные явления,
связанные с прохождением через них света, и является поэтому основой
теории
оптических
приборов.
Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя
поверхностями (одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая, а
вторая — сферическая или плоская), преломляющими световые лучи,
способные формировать оптические изображения предметов. Материалом
для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмассы и т. п. По внешней
форме (рис. 232) линзы делятся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые;
3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнутовыпуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и
рассеивающие.
Линза называется тонкой, если ее толщина (расстояние между
ограничивающими поверхностями) значительно меньше по сравнению с
радиусами поверхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через
центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью.
Для всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром линзы,
лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи
проходят сквозь нее не преломляясь. Оптический центр Олинзы для
простоты будем считать совпадающим с геометрическим центром средней
части линзы (это справедливо только для двояковыпуклой и двояковогнутой
линз с одинаковыми радиусами кривизны обеих поверхностей; для
плосковыпуклых и плосковогнутых линз оптический центр лежит на
пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью.
Диоптрия — оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м: 1 дптр=
1/м.
Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, с
отрицательной — рассеивающими. Плоскости, проходящие через фокусы
линзы перпендикулярно ее главной оптической оси, называются фокальными
плоскостями. В отличие от собирающей рассеивающая линза имеет мнимые
фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые
продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной
оптической
оси.
Построение изображения предмета в линзах осуществляется с помощью
следующих лучей:
луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего
направления;
луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в
линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы;
луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы; после
преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптической
оси.
Для примера приведены построения изображений в собирающей и в
рассеивающей (рис. линзах:
Отношение линейных размеров изображения и предмета называется
линейным увеличением линзы. Отрицательным значениям линейного
увеличения соответствует действительное изображение (оно перевернутое),
положительным — мнимое изображение (оно прямое). Комбинации
собирающих и рассеивающих линз применяются в оптических приборах,
используемых для решения различных научных и технических задач.
Семестр 3
Лекция 29 Интерференция света.
Свет представляет собой электромагнитную волну и обладает всеми
свойствами волн, которые мы рассматривали в механике. Важнейшими
проявлениями волновых свойств являются интерференция и дифракция
света. Свет имеет очень малую длину волны (~ 0,5 мкм), поэтому
наблюдение его волновых свойств представляет некоторые трудности,
связанные с заданием и определением малых длин. Интерферирующие волны
должны удовлетворять определенным требованиям, в частности, эти волны
должны быть монохроматическими и когерентными. В этой главе
рассматриваются простейшие задачи, связанные с интерференцией света.
Необходимым условием интерференции волн является их когерентность.
Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной
во времени. Плоская волна, которая описывается уравнением
u ( x, t ) u0 cos( t kx
),
представляет собой бесконечную в пространстве волну, которая имеет строго
фиксированную
постоянную
частоту.
Такие
волны
называют
монохроматическими. Подчеркнем, что понятие монохроматичности
относится к одной волне (бесконечная синусоида), а когерентными могут
быть не менее двух волн (производится сравнение волн).
Световые лучи представляют собой поток коротких импульсов (волновых
пакетов, волновых цугов). Оценим длину волнового пакета. Квант света
испускается при переходе электрона в атоме из одного уровня на другой.
Длительность этого перехода составляет t0 ~ 10 – 8 с. Следовательно, длина
волнового пакета l
ct0
3 108 10
8
3 м. Учитывая длину световой
волны, можно отметить, что в одном волновом пакете укладывается
несколько миллионов длин волн.
Фазы различных волновых цугов никак не связаны между собой, поэтому
различные волновые цуги не когерентны и не могут интерферировать между
собой. Вернее, можно сказать, что волны интерферируют, но результат
8
интерференции изменяется настолько быстро ( 10 с), что наблюдать эту
интерференцию не удается. Для наблюдения интерференции световых волн
обычно разделяют волну, испущенную одним источником, на две части.
Затем эти разделенные волны проходят различные оптические пути и
соединяются. При наложении волн наблюдается интерференция, т.к. эти
волны будут когерентными. Хотя их фазы изменяются очень быстро, но
разность фаз будет оставаться неизменной.
Волновая оптика основывается на принципе Гюйгенса: Каждая точка, до
которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая
вторичных волн дает положение волнового фронта.
Этот принцип используют для описания движения различных волн. Отметим,
что для использования принципа Гюйгенса надо знать фазы волн в
различных точках пространства, вернее, связь между фазами для различных
точек пространства в данный момент времени. Используя этот принцип,
можно геометрически построить фронт распространяющейся волны.
Интерференцией волн называется усиление или ослабление результирующей
волны при наложении двух или более когерентных волн. Световая волна
описывается формулой
u A cos( t kx
).
Полагая
2 x
kx
x
,
v
запишем выражение для волны в виде
u
A cos
t
x
v
.
Рассмотрим две плоские монохроматические световые волны, приходящие в
данную точку в момент времени t:
u1 A1 cos( t 1 ) ,
u2
A2 cos( t
2
).
Складывая эти волны,
описывается уравнением
u
u1 u2
Здесь
A2 A12
A22
A cos( t
2 A1 A2 cos
получим
результирующую
волну,
которая
).
1
2
амплитуда результирующей волны, угол φ определяется формулой
tg
A1 sin
A1 cos
1
1
A2 sin
A2 cos
2
.
2
Интенсивность световой волны пропорциональна квадрату амплитуды
I ~ E02 . Интенсивность результирующей волны
I
I1 I 2
2 I1I 2 cos(
2
1
).
Из этой формулы видно, что в зависимости от разности начальных фаз,
может происходить усиление или ослабление интенсивности света.
Для некогерентных волн угол 1
изменяется, принимая с равной
2
вероятностью любые значения. Следовательно, для среднего по периоду
значения косинуса получим
cos 1
0.
2
Соответственно, средние значения амплитуды и интенсивности
A2 A12 A22 ,
I
I1
I2 ,
т.е. для складывающихся некогерентных волн имеет место только усиление
света.
Лучи от различных источников обычно бывают некогерентными, поэтому
интерференции света от них не происходит. Для получения интерференции
двух световых лучей разделяют лучи от одного источника и заставляют их
двигаться по различным путям. Рассмотрим интерференцию лучей,
разделенных в некоторой точке и прошедших различные оптические пути.
Полагая начальную фазу лучей равной нулю, запишем уравнения для обоих
лучей
u1
A1 cos
t
s1
, u2
v1
A2 cos
t
s2
.
v2
Здесь v1 и v2 – скорости первого и второго лучей. Разность фаз в точке P
s2
v2
s1
v1
2
Здесь учтено, что v
( s2 n2
s1n1 ) .
0
c/n и
0
2 c/
– длина световой волны в вакууме.
Оптической длиной пути называют выражение L = sn. Соответственно,
оптической разностью хода называется выражение Δ = L2 – L1. Разность фаз
можно записать в виде
2
.
0
Выясним условия усиления и ослабления интенсивности в точке P.
Условие максимума
m 0, m Z .
Условие минимума
(2m 1)
0
2
, m Z.
Изменяя оптическую длину пути, можно в данной точке получить минимум
или максимум интенсивности света.
Для получения когерентных лучей используют различные методы и приборы.
Рассмотрим простейшие из них.
Метод Юнга. Это один из первых методов, позволивший наблюдать
интерференцию света. Источник света – ярко освещенная щель S
(предполагается,
что
достаточно
длинная
щель
расположена
перпендикулярно плоскости рисунка). Свет попадает на две равноудаленные
щели S1 и S2. Интерференция наблюдается на экране Э между точками B и C
. В рассматриваемую точку приходят лучи из двух источников S1 и S2. Эти
лучи являются когерентными, т.к. оба они исходят из одного источника S.
После разделения лучи двигались по различным траекториям и имеют
различные оптические длины пути. Главным здесь является то, что в
различные моменты времени для различных цугов оптическая разность хода
будет одна и та же. Это позволяет иметь стабильную интерференционную
картину на экране.
Для получения когерентных лучей можно использовать явления отражения и
преломления световых лучей.
Зеркала Френеля. Используя явление зеркального отражения световых лучей,
Френель предложил систему двух зеркал, угол между которыми мало
отличается от π. Отраженные лучи являются когерентными и могут
интерферировать в общей зоне PQ. В целом система действует так, как будто
лучи выходят из двух фиктивных источников
Бипризма Френеля состоит из двух одинаковых призм с малыми
преломляющими углами. Призмы соединяются основаниями, как показано на
рисунке. Свет от источника S , проходя через призмы, преломляется поразному. Луч, исходящий из S, разделяется на два когерентных луча. В целом
система действует так, как будто лучи выходят из двух фиктивных
источников S1 и S 2 .
Более сложными приборами являются различные интерферометры, в
частности, интерферометр Майкельсона. Но почти во всех приборах,
использующих явление интерференции света, исходный луч разделяется на
два или больше лучей, которые двигаются по различным оптическим путям.
Затем эти лучи объединяются. Анализируя картину интерференции, можно
получить информацию об источнике света, длине волны и пр.
В рассматриваемых схемах интерференционных приборов на экране
интерферировали лучи от двух источников, реальных или мнимых.
Выполним расчет интерференционной картины от двух источников. Будем
считать, что источники находятся на расстоянии d друг от друга,
интерференция наблюдается на экране Э, отстоящем на расстоянии l от
d.
источников. При этом выполнено условие l
Интерференционная картина, которая имеет вид чередующихся светлых и
темных полос, наблюдается на экране (Э), расположенном на расстоянии l
параллельно S1 и S2. Положение точки на экране будем характеризовать
координатой х, показанной на рисунке. Начало отсчета выберем в точке О,
относительно которой S1 и S2 расположены симметрично. Источники будем
считать колеблющимися в одинаковой фазе. Имеем
2
1
s
l
d
x
2
2
Из условия d
2
, s
2
2
l
2
d
2
x
2
,
s22
s12
s2
s1 s2
s1
2 xd .
l следует
s2 s1 2l .
Тогда
s2
xd
.
l
s1
Условие максимума:
m
xd
l
x
m
l
.
d
Условие минимума:
m
1
2
xd
l
x
m
1 l
.
2 d
Распределение интенсивности излучения вдоль оси
х
имеет вид,
показанный на рисунке.
Шириной интерференционной полосы называют расстояние между двумя
соседними максимумами (минимумами)
x
l
.
d
Зная l, d и измеряя Δx, можно определить длину волны λ. Если световая
волна не монохроматична, то, для различных длин волн максимумы будут
расположены в различных точках.
Радужное окрашивание тонких пленок (мыльные пузыри, масляные пленки
на воде,…) возникает в результате интерференции света. Рассмотрим
картину интерференции, создаваемую пленкой толщины d, имеющей
показатель преломления n.
1
2
B
i
1'
2'
1''
C
А
d
r
D
При падении световой волны на тонкую прозрачную пленку происходит
отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают две
световые волны, которые могут интерферировать. Отметим, что в рамках
электродинамики можно показать, что при отражении электромагнитной
волны от более плотной среды происходит потеря полуволны.
На плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления п и
толщиной d под углом i падает плоская монохроматическая волна. Будем
предполагать, что по обе стороны от пленки находится одна и та же среда
(например, воздух с показателем преломления п0 и n n0 . На поверхности
пленки в точке A луч разделится на два: частично отразится от верхней
поверхности пленки, а частично преломится. Преломленный луч, дойдя до
точки D, частично преломится в воздух, а частично отразится и пойдет к
точке C. Здесь он опять частично отразится (из-за малой интенсивности не
рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом i. Преломленная
волна (луч 1'') накладывается на волну, непосредственно отраженную от
верхней поверхности (луч 2').Вышедшие из пленки лучи 1', 1'' и 2' когерентны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной
когерентности падающей волны.
Если на пути лучей поставить собирающую линзу, то лучи сойдутся в одной
из точек фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную картину.
Образуется оптическая разность хода, возникающая между двумя
интерферирующими лучами 2' и 1''
n AD DC n0 BC 0 2 ,
где член
0
2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от
границы раздела. Если n>n0, то потеря полуволны произойдет в точке А и
0 2 будет иметь знак минус, если же n<n0, то потеря полуволны произойдет
в точке D и
n0
0
2 будет иметь знак плюс. Для простоты будем считать, что
1. Имеем
AD=DC= d cos r , BC AC sin i
Учитывая закон преломления,
sin i n sin r ,
получим
2d tgr sin i
2dn cos r 2dn 1 sin 2 r 2d n2 sin 2 i .
С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим
2d n2 sin 2 i
0
2
или
2dn cos r
2.
0
Условие максимума:
2d n2 sin 2 i
0
2 m 0.
Условие минимума:
2d n2 sin 2 i
0
2 (m 1 2) 0 .
Полученные формулы можно записать по-другому. Учитывая условие
sin i n sin r ,
запишем условие максимума
2dn cos r
0
2 m
0
и условие минимума
2dn cos r 0 2 (m 1 2) 0 .
Интерференция наблюдается не только в отраженном свете, но и
проходящем сквозь пленку свете, но т.к. оптическая разность хода для
проходящего света отличается от
для отраженного света на 0 2 , то
максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в
проходящем, и наоборот.
Картина интерференции зависит от наклона лучей и от толщины пленки.
Аналогично можно исследовать случай, когда пленка имеет переменную
толщину, например, образует клин. При освещении пленки белым светом для
некоторых длин волн выполняется условие максимума отражения, для
некоторых других – минимума. Поэтому в отраженном свете пленка кажется
окрашенной.
Исследование картины интерференции часто производят с помощью колец
Ньютона, которые образуются с помощью плосковыпуклой линзы и
плоскопараллельной пластинки.
Кольца Ньютона можно наблюдать как в отраженном свете, так и в
проходящем. Рассмотрим образование колец в отраженном свете. Оптическая
разность хода возникает при отражении света от воздушного зазора,
образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней
плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны. Параллельный
пучок света проходит через линзу и частично отражается от верхней и
нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При
наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, при
нормальном падении света имеющие вид концентрических окружностей. В
отраженном свете оптическая разность хода
,
2
где d — ширина зазора, п – показатель преломления воздуха в зазоре (можно
вместо воздуха поместить в зазор жидкость). Из рисунка следует
2dn
R
2
(R d )
2
r
2
d
r2
,
2R
где R – радиус кривизны линзы, r – радиус кривизны окружности, всем
точкам которой соответствует одинаковый зазор d. Следовательно,
оптическая разность хода
r 2n
R
.
2
Запишем условие минимумов интерференции
r 2n
R
2
2m 1
2
Отсюда радиус т-го темного кольца
rm
m R
n
m 0,1,2,... .
Условие максимумов интерференции
r 2n
m .
R 2
Радиус m-гo светлого кольца
rm
m 12
n
R.
Измеряя радиусы соответствующих колец, можно, зная R, определить
и,
наоборот, по известной найти R.
Положение максимумов зависит от длины волны . Система светлых и
темных полос получается только при освещении монохроматическим светом.
При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг
относительно друга полос, образованных лучами разных длин волн, и
интерференционная картина приобретает радужную окраску.
Все рассуждения были проведены для отраженного света. Интерференцию
можно наблюдать и в проходящем свете. При этом один из лучей испытывает
в воздушном зазоре двойное отражение: сначала от пластинки, затем от
линзы. При каждом отражении происходит потеря полуволны, поэтому
проходящий и отраженный лучи отличаются на λ, что не влияет на картину
интерференции. Оптическая разность хода колец Ньютона в проходящем и
отраженном свете отличаются на / 2 , т.е. максимумам интерференции в
отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.
Явление интерференции света широко используется в измерительных
приборах, обладающих высокой точностью – интерферометрах различных
типов. Принцип действия всех интерферометров сравнительно прост:
монохроматический луч разделяется на два, которые проходят различные
оптические пути. Затем эти лучи встречаются и интерферируют. Анализируя
картину интерференции, можно измерять длины с точностью до 10 – 5 см, т.е.
до десятых и даже сотых долей микрона.
Явление интерференции используется, например, для улучшения качества
оптических приборов – просветления оптики. Обычно, при прохождении
света через линзу отражается около 4% падающего света. Современные
объективы содержат много линз и потери света при отражениях могут быть
значительными. Для устранения отражения света на поверхность линзы
наносят тонкий слой прозрачной пленки с показателем преломления
меньшим, чем у линзы.