Физика Часть 1

Камчатский государственный технический университет
А. Исаков
Физика
Решение задач ЕГЭ − 2015
Часть 1
Петропавловск-Камчатский
2014
1
УДК 50(075.8)
ББК 20я73
И85
Рецензент
доктор физико-математических наук,
профессор Дальневосточного Федерального университета
Стоценко Л.Г.
Исаков Александр Яковлевич
И85
238 с.
Физика. Решение задач ЕГЭ − 2015. Часть 1: КамчатГТУ, 2014. −
Приведены решения тематических тестовых заданий, составленных Кабардиным О.Ф., Кабардиной С.И. И Орловым В.А.. По мнению составителей, задания соответствуют в полной мере объёму и тематике ЕГЭ по физике в 2015
г., отражая все внесённые идеологами ЕГЭ актуальные изменения в сравнении
с предыдущими годами.
Большинство задач снабжены подробными решениями с анализом применяемых законов и определений, для стандартных задач самого начального
уровня приведены только схемы решений
Сборник предназначен, прежде всего, для школьников старших классов,
намеревающихся овладеть методиками решения задач в рамках современного
ЕГЭ.
Приведенные материалы могут быть так же полезными студентам первых
курсов, изучающих общую физику в университетском объёме по техническим
программам подготовки, особенно студентам заочной формы образования, когда программа осваивается самостоятельно.
2
Оглавление
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
…………………………………….…………………………….. 4
…………………………………….……………………..…….. 31
…………………………………….……………………..…….. 50
…………………………………….……………..…………….. 79
…………………………………….………………………….. 118
…………………………………….………………………….. 140
…………………………………….………………………….. 163
…………………………………….………………………….. 178
…………………………………….………………………….. 198
…………………………………….……………………..….. 219
3
Вариант 1
Часть 1
1. На рисунке представлен график зависимости проекции вектора скорость vx автомобиля от
времени t. На каком из графиков(1 −4) верно
представлена проекция ускорения ax от момента
времени 2 с до момента времени 4 с?
Решение
1. Определим величину среднего ускорения автомобиля в заданном промежутке времени, с учетом того, что движение в этот промежуток времени равноускоренное
v x ( 4 ) = v x ( 2) + a x Δt;
v x ( 4) − v x ( 2) 6 − 2
м
=
=2 2;
Δt
4−2
с
2. Полученной величине ускорения соответствует график 3.
a x ( 2− 4) =
2. На каком расстоянии от центра планеты радиусом R сила гравитационного притяжения, действующая на тело, в два раза меньше, чем у поверхности планеты?
Решение
1. Составим систему уравнений на основании
гравитационного закона Ньютона:
4
mM ⎫
;
R 2 ⎪⎪
⎬
mM ⎪
Fh = G 2 ; ⎪
h ⎭
FR = G
где FR, Fh − силы гравитационного взаимодействия на расстоянии R и h от центра планеты, соответственно, G − гравитационная постоянная, m − масса тела,
M − масса планеты.
2. Поделим уравнения друг на друга с учётом заданного отношения модулей
сил взаимодействия
FR h 2
=
= 2; ⇒ h = 2R ;
Fh R 2
3. Автомобиль массой 2m, движущийся со скоростью v, сталкивается с неподвижным автомобилем массой m. После
столкновения они движутся как одно целое. Каким суммарным импульсом обладают два автомобиля после столкновения? Потерями механической энергии при
столкновении пренебречь.
Решение
1. Судя по заданным условиям, автомобили испытывают неупругое столкновение, для которого закон сохранения импульса в проекции на направление
горизонтальной оси можно записать следующим образом:
2
2mv = (m + 2m )u; ⇒ u = v;
3
где u − скорость автомобилей при их совместном перемещении после столкновения.
2. Модуль суммарного импульса автомобилей:
r
p Σ = (m + 2m )u = 3mu = 2mv;
4. Тело, брошенное под углом α к горизонту вблизи поверхности Земли, движется
по криволинейной траектории. Сопротивление воздуха пренебрежительно мало, и в
точке А этой траектории вектор скорости
имеет направление по вектору 1. Какое направление имеет вектор ускорения тела;
Решение
1. Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью v0, направленной под углом α к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли. Существенно отметить, движение
протекает при постоянном по модулю и наr
правлению ускорении g . Это даёт возможность разложить криволинейное
движение на два более простых: равномерное вдоль горизонтальной оси т.к. gx
5
= 0 и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения.
Тело, брошенное под углом α к горизонту
2. Таким образом, во всех точках параболической траектории движения тела вектор его ускорения будет направлен вертикально вниз, перпендикулярно
(в первом приближении) к поверхности земли, т.е. по вектору 2 на заданном
рисунке.
5. При выходе в открытый космос космонавт сначала оставался на расстоянии r1 = 10 м от центра масс орбитальной станции, а затем оказался на
расстоянии r2 = 100 м от него. Во сколько раз уменьшилась сила гравитационного взаимодействия между станцией и космонавтом, если масса станции M =
20 т, масса космонавта в скафандре m = 100 кг?
Решение
1. Составим систему уравнений на основании гравитационного закона
Ньютона:
mM ⎫
F1 = G 2 ; ⎪
r1 ⎪
⎬
mM
F2 = G 2 ;⎪
r2 ⎪⎭
где F1, F2 − силы гравитационного взаимодействия на расстоянии r1 и r2 от центра масс орбитальной станции, G − гравитационная постоянная, m − масса космонавта в облачении, M − масса орбитальной станции.
2. Поделим уравнения друг на друга с учётом величин заданных масс взаимодействующих тел:
F1 r22 104
= =
= 100;
F2 r12 102
6
6. Брусок движется равномерно по шероховатой горизонтальной плоскости.
Установить для силы трения соответствия между параметрами силы и свойствами вектора силы:
1. Вертикально вниз;
2. Против направления вектора скорости;
3. Вертикально вверх;
4. Обратно пропорционален площади бруска;
5. Пропорционален силе нормального давления;
6. Обратно пропорционален силе нормального давления;
7. Пропорционален площади поверхности бруска;
8. Не зависит от площади поверхности бруска.
Решение
1. Трудно выделить механические явления, в которых бы не обнаруживались силы, препятствующие их развитию. Всякое механическое движение сопровождается силами трения. Силы трения играют как положительную, так и
отрицательную роль. Так, например, шины автомобиля, лишённые сцепления с
дорожным полотном, лишают транспортное средство способности передвигаться. Внутри же автомобиля, под капотом содержится множество всяких
приспособлений, способствующих снижению трения, от подшипников качения
до специальной системы смазки силового агрегата. Действие сил трения и сопротивления, как правило, сопряжено с переходом одного вида энергии в другой. Как правило, сила трения инициирует переход кинетической энергии движущихся тел в тепло, что вызывает «непроизводственные» потери энергии,
снижая коэффициент полезного действия устройств.
2. Характерной точкой развития современной цивилизации является освоение нашими далёкими пращурами способов добывания огня, которые, в большинстве своём, были основаны, как раз на преобразовании кинетической энергии в тепло. Вначале вращали между ладонями деревянный стержень в углублении, сделанном в мягком дереве, до появления тления, которое усугубляли,
накрывая его мхом или сухой травой. Затем стержень совместили с луком, дело
пошло быстрее. Иные племена, например, в Австралии попросту пилили острым краем бумеранга сухую мягкую древесину, которая при определённом
опыте оператора довольно быстро воспламенялась.
3. Силы трения по характеру своего действия отличаются от прочих типов
сил. Дело в том, что силы трения определяются не только геометрическими и
физико-химическими свойствами движущегося тела, но и относительной скоростью его перемещения. Следует заметить, что рассмотрение причин возникновения сил трения лежит за рамками механики, т.к. связаны со структурным
строением материи, связаны с особенностями взаимодействия структурных элементов соприкасающихся
веществ. Физическая механика исследует свойства сил трения и сопротивления, не вдаваясь в подробности их
происхождения.
4. Силы трения, возникающие между соприкасающимися поверхностями, могут быть направлены и не по
нормали к взаимодействующим теНаправление силы трения
7
r
лам. Фигурная пружина действует на тело с силой F , направленной под углом
к горизонтальной поверхности тела. Вектор этой силы можно разложить на две
r
r
составляющие, одна из которых нормальна к поверхности Fn , а другая Fτ − параллельна поверхности. Модуль силы определяется как упругими свойствами
пружины, так и состоянием соприкасающихся поверхностей, причём нормальная составляющая определяется только упругими свойствами пружины, т.е.
r
зависит от степени деформации пружины. Тангенциальная составляющая Fτ
определяется как деформацией пружины, так и состоянием соприкасающихся
поверхностей. Тангенциальные составляющие сил взаимодействия при соприкосновении тел называются силами трения.
5. Силы трения появляются не только при относительном перемещении
твёрдых тел. Силы этого типа возникают при перемещении относительного
твёрдого тела сплошных сред, жидкостей или газов. Типичным примером возникновения тангенциальных сил при соприкосновении жидкостей и твёрдых тел являются
автомобильные автоматические коробки передач. Схематически такое устройство представляет собой систему шероховатых дисков, пространство меду которыми заполнено специальной жидкостью − дикстроном. Если валу А с
насаженным на нём диском сообщить вращательное движение, то диск, вращаясь, будет
увлекать прилегающие слои жидкости. Расположенный на небольшом удалении диск В,
начнёт за счёт возникновения тангенциальных
сил раскручиваться, таким образом передаётся
Передача вращения посредствам
вращательное движение. Изменение расстоявнутреннего трения в жидкости
ния между дисками и их количества позволяет
в широких пределах плавно регулировать величину передаваемого крутящего
момента и скорости вращения.
6. При движении тел в жидкостях и газах наряду с тангенциальными силами возникают силы, зависящие от условий обтекания и свойств жидкости. При
обтекании крыльевых профилей устанавливается определённое распределение
давлений, причём давление на головную часть профиля больше, чем на кормовую, поэтому равнодействующая нормальных давлений направлена навстречу
движению. Силы, возникающие при перемещении тел в жидкостях и газах как
результат изменения нормальных давлений, называются силами сопротивления
среды. Силы сопротивления по своему
влиянию на движения могут существенно
превосходить силы трения. Ярким примером этого обстоятельства может служить история развития авиации, где форма летательных аппаратов тяжелее воздуха была связана со скоростями их перемещения в атмосфере. Оказалось, что
.Скорость движения определяет форму
силы сопротивления существенно завиобтекаемых тел
8
сят от скорости. У первых самолётов, бипланов сила сопротивления была пропорциональна скорости в степени не значительно превосходящей единицу, а у
современных сверхзвуковых аппаратов сила сопротивления пропорциональна
скорости уже в более чем десятой степени. Соответственно обстоятельствам
менялась и форма машин. Аналогичная тенденция прослеживается и в автомобильной промышленности. За скорость надо платить дополнительными потерями энергии, причём, чем выше скорость, тем больше плата.
7. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную вектору
относительной скорости, если этот вектор меняет своё направление, мо
изменяет направление и сила трения.
8. Пусть на шероховатой поверхности в состоянии относительного покоя
находится тело массой m произвольной формы.
Тело на шероховатой поверхности
r
9. Сила тяжести mg в данном случае уравновешивается нормальной реакr
r
цией связи N . Если приложить в общей точке поверхности и тела силу Q , линия действия которой лежит в касательной плоскости, то состояние покоя не
нарушится. Это говорит о том, что реакция опорной поверхности не сводится
r
r
только к N , если бы это было так, то малая по величине сила Q нарушила бы
состояние равновесия. На это указывает и повседневный опыт. Чтобы сдвинуть
тело с места, нужно приложить силу, превосходящую некоторое значение
r
Q max . Таким образом, получается, что помимо нормальной реакции связи
r
к телу приложена ещё одна реакция связи F , которая называется силой
трения скольжения.
10. До момента возникновения скольжения тела по плоскости будет иметь
место равенство:
r r
F+Q = 0.
r
Уравнение, в частности показывает, что величина силы F будет изменяться
r
от нуля до некоторого максимального значения Fmax , соответствующего моr
менту наступления относительного скольжения (b). Величина Fmax является
мерой сопротивления скольжению данного тела по поверхности, которая рассматривается в качестве силы трения.
11. Существует три правила, которыми руководствуются при решении прикладных задач, связанных с анализом сил трения:
1. Сила трения скольжения направлена всегда в сторону, противоположную возможному относительному перемещению соприкасающихся тел.
9
2. Сила трения скольжения в состоянии покоя не может превосходить по
r
модулю максимального значения Fmax .
3. Модуль максимальной силы трения скольжения прямо пропорционален
нормальной величине давления одного тела на другое, т.е. нормальной
силе реакции связи
Fmax = μ 0 N ,
где μ0 − коэффициент трения скольжения в покое. Коэффициент трения представляется безразмерной величиной, зависящей от физических свойств и состояния поверхностей, трущихся поверхностей. Коэффициент трения скольжения, как правило, не зависит от величины нормального давления и площади
соприкасающихся поверхностей. Для абсолютно гладких поверхностей коэффициент трения равен нулю. Для всех тел, обладающих реальными физическими свойствами, коэффициент трения скольжения находится в пределах
0 < μ0 < 1 .
12. Из последнего уравнения следует, что
F ≤ Fmax , или F ≤ μ 0 N ,
знак равенства относится к моменту времени, когда тело будет находиться на
грани перемещения. Необходимо отметить, что суммарная реакция связи шеr
роховатой поверхности изобразится силой R , которая представляется в виде
r
r
геометрической суммы нормальной реакции N и силы F . Угол между направr
r
лением нормальной реакции N и R , т.е. угол ϕ, называется углом трения, он
будет меняться от нулевого до некоторого максимального значения ϕ0, при
этом
F
tgϕ0 = max , ⇒ μ 0 = tgϕ0 .
N
13. Предположим далее, что тело начинает скользить по шероховатой поверхности со скоростью v. При равномерном движении действующая сила Q
автоматически уравновешивается силой
трения. Если равновесия между этими
силами нет, движение будет ускоренным. Величина силы трения зависит от
скорости, что представлено кривой 1.
График, в частности показывает, что
знаки скорости и силы трения всегда
противоположны. При равенстве скороЗависимость силы трения от
сти нулю, зависимость вырождается в
скорости перемещения
вертикальную прямую линию. Сила трения покоя может принимать значения от Fmax до − Fmax. Обсуждаемая закономерность была экспериментально получена Кулоном (1736 − 1806), который
установил, что зависимость Fτ = f(v) выражена слабо, т.е. когда не требуется
большой точности, то такой зависимостью пренебрегают, в этом случае зависимость принимает вид, представленный кривой 2.
14. Таким образом, вектор и модуль силы трения имеют следующие свойства:
Направление вектора
2;
Модуль вектора
5; 8.
10
7. Сидения каруселей вращаются на одном уровне от поверхности земли
по окружности неизменного радиуса, с постоянной по модулю линейной скоростью. Изменяются ли перечисленные в первом столбце физические величины
во время такого движения сидений и если изменяются, то как? Установить соответствие между физическими величинами, перечисленными в первом столбце, и возможными видами их изменений, перечисленными во втором столбце.
Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
Физические величины
А) угловая скорость;
Б) ускорение;
В) кинетическая энергия;
Г) потенциальная энергия
Их изменения
1) не изменяется;
2) увеличивается;
3) уменьшается;
4. не изменяется по модулю, изменяется по направлению;
5) не изменяется и по модулю, и
по направлению;
6) увеличивается по модулю, не
изменяется по направлению;
7) уменьшается по модулю, не изменяется по направлению
Решение
1. Твёрдые тела это объёкты, размеры и форма которых в процессе движения не изменяются. В отличие от материальной точки твёрдые тела имеют геометрические размеры, т.е. их масса занимает некоторый объём в пространстве.
Если при движении твёрдого тела две его точки остаются неподвижными, то такое движение называется вращением вокруг неподвижной оси.
Прямая, проходящая через эти точки, считается осью вращения. Все прочие частицы тела, не лежащие на оси вращения будут описывать плоские
траектории в виде концентрических окружностей, центры которых лежат
на оси вращения.
2. Рассмотрим произвольное сечение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси z, пусть выбранное сечение будет перпендикулярно оси вращения. Движения рассматриваемого тела, за счёт наложенных внешними
причинами ограничений сводятся только к возможности поворота вокруг оси z.
3. Таким образом, все точки тела, не лежащие на оси вращения движутся по круговым
траекториям. Вращение считается положительным в случае, когда оно наблюдается со стороны положительного направления оси z происВращение твёрдого тела
ходящим против движения часовой стрелки и
отрицательным − по направлению движения часовой стрелки. Естественно, что
это условность. Выбор направления движения никак не влияет на его объективные кинематические характеристики.
4. Пусть некоторая точка М, лежащая на периферии выбранного сечения
твёрдого тела в начальный момент времени находится в положении 1, через
промежуток времени Δt точка, повернувшись на угол Δϕ, займёт положение 2,
при этом одновременно с углом поворота перемещение точки будет характери11
зоваться линейной величиной Δr. За время Δt
точка пройдёт криволинейный путь Δs.
5. При движении по круговой траектории
r
модуль радиус-вектора точки r не будет
изменять своего значения, переменной во
времени величиной будет только направление радиус-вектора. Другими словами, радиус вектор будет являться функцией времени.
Как показано ранее, движение точки в плоскости должно характеризоваться двумя скаКинематические параметры
лярными уравнениями, связывающими ковращения
ординаты и время
⎧rx = f1 (t ),
⎨
⎩ry = f 2 (t ).
r
6. Поскольку r = const , положение точки на круговой траектории может
быть однозначно охарактеризовано значением угла поворота, в этом случае
уравнение движения можно записать так
ϕ = f (t ) .
Это уравнение называется уравнением вращательного движения. Как известно,
угловая координата ϕ измеряется в радианах, при этом один оборот соответствует 2π радиан или 3600. Если тело или точка сделали N оборотов вокруг неподвижной оси, то угловой путь определится как
ϕ = 2πN .
Измерение пройденного пути в радианах, делает необходимым введения понятия угловой скорости, т.е. величины, характеризующей быстроту
изменения угла поворота во времени.
По аналогии с уравнением средней линейной скорости, среднюю угловую
скорость ωср можно найти следующим образом
Δϕ ⎡ рад
⎤
,⎢
ωср =
≡ с −1 ⎥ .
Δt ⎣ с
⎦
7. Если промежуток рассматриваемого времени устремить к нулю, то это
позволит перейти к бесконечно малым величинам (бесконечно близкое расположение точек 1 и 2) и получить уравнение для модуля мгновенной угловой
скорости, такая процедура уже проделывалась при введении понятия линейной
скорости:
Δϕ dϕ
ω = lim
=
= ϕ& .
Δt →0 Δt
dt
8. Угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота тела по времени.
9. Значение угловой скорости может быть как положительной величиной,
так и отрицательной, в зависимости от того, возрастает или убывает угол поворота в рассматриваемом интервале времени. При вращении против часовой
стрелки относительно положительного направления оси z
dϕ
ω=
>0,
dt
в противном случае
12
dϕ
< 0.
dt
10. Знак угловой скорости показывает, в какую сторону в данный момент
времени вращается тело вокруг неподвижной оси.
11. Движение произвольной точки, принадлежащей вращающемуся телу,
носит периодический характер, т.к., сделав полный оборот, точка снова возвращается через определённое время в исходное положение. Это даёт основание ввести в рассмотрение такие понятия, как период Т и частоту вращения n
2π
ω = 2πn =
,
T
частота вращения измеряется в оборотах в секунду, период − в секундах.
Разрешим далее уравнение угловой скорости относительно бесконечно малого угла поворота dϕ
dϕ = ωdt .
Если ω = const, то интегрирование позволяет записать уравнение вращательного движения в следующем виде
ϕ = ∫ ωdt = ω∫ dt = ωt + C ,
ω=
где С − произвольная постоянная интегрирования. При начальных условиях t =
0, ϕ = ϕ0 уравнение преобразуется к виду
ϕ = ϕ0 + ωt .
В случае переменной угловой скорости для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводится понятие углового ускорения ε
dω d 2ϕ
рад
& =ϕ
&&, ⎡⎢ 2 ≡ с −2 ⎤⎥ .
ε=
= 2 ≡ω
dt
dt
⎣с
⎦
Угловую скорость можно выразить через угловое ускорение
dω = εdt , ω = ∫ εdt , ω = ε ∫ dt = εt + C1 .
то
Если в начальный момент времени t = 0 угловая скорость составляла ω = ω0,
ω = ω0 + εt .
Выразим угловую скорость ω через угловую координату ϕ
dϕ
= ω0 + εt , dϕ = ω0dt + εtdt ,
dt
и проинтегрируем полученное уравнение
εt 2
ϕ(t ) = ϕ0 + ω0 t +
.
2
12. Соотношение ϕ(t) называется уравнением равнопеременного (ε = const)
вращательного движения, начинающегося при некотором значении ϕ0.
13. Как было отмечено ранее, угловому перемещению точки, принадлежащей плоскости вращающегося тела соответствуют вполне определённые линейные перемещения, что даёт основания установить взаимосвязь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками.
14. Пусть в начальный момент времени при t = 0 точка находилась в положении А, за малый промежуток времени Δt точка повернулась на угол Δϕ,
пройдя одновременно отрезок дуги длиной s. При достаточной малости углового перемещения
s = rΔϕ .
13
Среднее значение линейной скорости точки на перемещении s представим следующим образом
dϕ
Δs
Δϕ
v ср =
,⇒v=r
≅r
= rω .
Δt
Δt
dt
Линейная скорость произвольной точки, принадлежащей вращающемуся телу, равна произведению
угловой скорости тела на кратчайшее расстояние от
данной точки до оси вращения.
Уравнение Эйлера позволяет установить два важных
кинематических свойства вращательного движения.
1. Угловая скорость вех точек принадлежащих
вращающемуся телу одинакова.
Ускорение точки
2. Линейная скорость точек вращающегося тела
при вращении
зависит от их расположения относительно оси
вращения, чем дальше от оси вращения расположена данная точка,
тем её линейная скорость будет, при прочих равных условиях, выше.
15. Определим далее ускорение точек тела вращающегося вокруг неподвижной оси. Тангенциальная
составляющая ускорения определится как:
dv d ⎛ dϕ ⎞
d ⎛ dϕ ⎞
dω
aτ =
= ⎜r ⎟ = r ⎜ ⎟ = r
= rε .
t
dt ⎝ dt ⎠
dt ⎝ dt ⎠
dt
Нормальная составляющая ускорения:
v 2 ω2 r
an =
=
= rω2 .
r
r
Распределение
Модуль полного ускорения запишется следующим
линейных скоростей
образом:
r
2
2
a = a 2n + a τ2 = (rε ) + (rω2 ) = r ε 2 + ω4 .
r
16. Если элементарное вращение dϕ рассматривать с качестве вектора dϕ ,
то величины угловой скорости и углового ускорения тоже приобретут векторный смысл:
r
r
r dϕ r dω
, ε=
ω=
.
dt
dt
17. При этом вектор линейной скорости определится в виде следующего
векторного произведения
r r
r r r
r r r
v = [ω × r ], v = ω r sin (ω ; r ) .
r
18. Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу винта, так чтобы
направление вращения винта совпадало с направлением углового перемещеr
ния. Направление вектора углового ускорения ε совпадает с направлением угловой скорости в случае ускоренного вращения, этот вектор противоположен
r
ω при замедленном вращении.
А
1
Б
4
В
1
14
Г
1
8. Диффузией называется процесс:
1) переноса теплоты потоками вещества;
2) проникновения в результате хаотического теплового движения атомов одного тела в промежутки между атомами другого тела;
3) испускания и распространения энергии без непосредственного контакта между телами;
4) беспорядочные перемещения небольших твёрдых частиц в жидкостях или газах под действием ударов молекул жидкости или газа.
Решение
1. Предположим, что в некотором объёме идеального газа имеется вертикальный градиент концентрации молекул. Будем рассматривать концентрацию,
как функцию вертикальной координаты n(z). Если перпендикулярно оси z расположить площадку площадью s, то через неё будет наблюдаться поток частиц,
обусловленный выравниванием концентрации в наблюдаемом объёме. Экспериментально установлено, что в единицу времени через площадку проходит
количество частиц
Φ = −D
∂n
s,
∂z
где D − коэффициент диффузии, величина которого определяется физическими
свойствами рассматриваемой системы. Поток частиц в единицу времени имеет
размерность [Ф] = c − 1, поэтому коэффициент диффузии измеряется в
[D] = ∂Φn
∂z
=
s
c −1м ⋅ м 3 м 2
=
.
с
м2
2. Знак минус в уравнении диффузии означает, что поток частиц направлен
от больших концентрацией частиц в сторону меньших концентраций. Умножим далее уравнение диффузии на массу частиц, принимающих участие в процессе диффузии, получим:
Φm = − D
∂n
∂ρ
ms, ⇒ M = − D s ,
∂z
∂z
т.к. плотность газа ρ = mn. Последнее уравнение выражает собой первый закон
Фика, который предполагает определение коэффициента диффузии D для каждого вещества экспериментальным путём. Другими словами, первый закон Фика является эмпирическим законом, применимым не только для газообразных
систем. В этой связи следует оговориться, что в жидкостях и твёрдых телах потоки частиц в каких-либо направлениях могут быть вызваны не только молекулярными причинами. Например, конвекционное движение частиц, вызванное
внешними причинами, ничего общего с молекулярной диффузией не имеет.
3. Если в рассматриваемом объёме присутствует смесь нескольких компонент, например, несколько газов, то закон Фика следует записать индивидуально для каждого газа, если значения коэффициентов диффузии не совпадают. В
этом случае продолжительность диффузионного процесса для каждой компоненты будет различной.
4. Второй закон Фика позволяет установить зависимость плотности числа
диффундирующих частиц от времени. Рассмотрим две перпендикулярные оси z
элементарные площадки, отстоящие друг от друга на расстоянии dz. Предположим далее, что функция n(z) убывающая. Количество частиц, пересекающих
площадки за время dt следующим образом
15
N1 = Φ (z )dt ,
N 2 = Φ (z + dz )dt .
5. Увеличение количества частиц
между площадками определится в виде разности
dN = [Φ (z ) − Φ (z + dz )]dt ,
dN = −Φ′(z )dzdt ,
где Φ′(z ) − производная потока частиц
по координате z. Объём между выделенными площадками равен Vi = sdz ,
где s − площадь. Поделим уравнение
на элементарный объём
dN
∂Φ (z ) dt
∂Φ (z ) dt
.
=−
, dn = −
Vi
∂z s
∂z s
Второй закон Фика
6. Разделим уравнение на dt
∂Φ(z )
∂n
=−
,
∂zs
∂t
и подставим значение потока частиц из первого закона Фика
∂n ∂ ⎛ ∂n ⎞
= ⎜D ⎟ .
∂t ∂z ⎝ ∂z ⎠
7. Поскольку коэффициент диффузии в подавляющем большинстве случаев
не зависит от координаты, уравнение можно переписать следующим образом:
∂n
∂ 2n
=D 2 .
∂t
∂t
8. Последнее уравнение является математическим выражением второго закона Фика, который устанавливает временную зависимость концентрации частиц в исследуемом объёме. Диффузионные процессы имеют место не только в
газах, но в жидкостях и твёрдых телах.
9. Таким образом, второе определение, заданное в условии задачи, является
наиболее близким.
9. Каждая молекула свободно движется до столкновения с другой молекулой вещества, при столкновении изменяет модуль и направление скорости
движения, движется до нового столкновения и т.д.
1) только в газообразном состоянии вещества;
2) только в жидком состоянии вещества;
3) только в газообразном и жидком состоянии вещества;
4) в газообразном, жидком и твёрдом состоянии вещества.
Какое из этих утверждений правильно?
Решение
1. Многие из известных веществ, в зависимости от внешних условий, могут
находиться в четырёх агрегатных состояниях твёрдом, жидком, газообразном и
плазменном. В физике принято особенности строения и состояния веществ характеризовать отношением средней величины кинетической энергии поступательного движения молекул к величине их потенциальной энергии.
16
Фазовые состояния вещества
2. Для газов такое отношение на много меньше единицы, для твёрдых тел −
на много больше единицы, а для жидкостей соотношение между энергиями
близко к единице
ε Пост. >> U(r0 ) − для газа, ε Пост. << U(r0 ) − для твёрдого тела , ε Пост. ≈ U(r0 ) .
3. Частицы, составляющее вещество: ионы, молекулы или атомы в большей
или меньшей степени находятся в постоянном взаимодействии друг с другом,
которое, собственно и определяет состояние. При относительно низких температурах частицы расположены в виде правильных геометрических фигур.
4. Вещество находится в твёрдом состоянии: частицы совершают тепловые
колебания, которые не нарушают взаимного расположения структурных элементов. Если температуру повышать, то амплитуда колебаний начинает возрастать, т.е. увеличивается кинетическая энергия частиц. При некоторых значениях температуры энергия колебаний становится равной или превосходит
энергию взаимодействия, связи при этом постоянно разрываются и снова восстанавливаются. К колебательным степеням свободы добавляются вращательные и даже поступательные. Строгая геометрическая конфигурация относительного расположения частиц нарушается. Вещество из твёрдого состояния
переходит в жидкое состояние. В этом случае говорят о фазовом переходе первого рода.
5. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ещё большими
амплитудами колебаний частиц, в конце концов, частицы удаляются друг от
друга, превращаясь в реальный газ, а затем перестают взаимодействовать. Вещество становится газообразным. Структурные элементы движутся исключительно поступательно «не замечая друг друга». Взаимодействие происходит
только при столкновениях. При дальнейшем увеличении температуры до нескольких сот тысяч градусов энергия, которой обмениваются частицы при
столкновениях, становится настолько большой, что атомы начинают терять
электроны. Ядра и электроны существуют независимо друг от друга. Это состояние вещества принято называть плазмой.
6. Жидкости занимают промежуточное положение между твердым и газообразным состоянием. Жидкостям присущи как свойства твердых тел, так и
веществ, находящихся в газовом состоянии. Как твёрдые тела, жидкости характеризуются определённым объёмом, способны образовывать поверхности раздела, обладают некоторой прочностью на разрыв, но вместе с тем, одновре17
менно располагают свойствами типичными для газов. Жидкости не способны
сохранять, подобно твёрдым телам, свою форму, принимая форму сосуда. Отличительными от других состояний является текучесть и упругость жидкостей.
7. Структурные элементы материи (молекулы и атомы) могут участвовать
одновременно в нескольких типах теплового движения, поступательном, вращательном и колебательном. Набор движений, которые совершает молекула
или атом определяется числом степеней свободы. У газообразных веществ в
условиях близких к нормальным молекулы или атомы характеризуются тремя
поступательными степенями свободы. Структурные элементы веществ, находящихся в твёрдом состоянии вследствие значительных сил межмолекулярного
взаимодействия совершают только колебательные движения вокруг положения
равновесия.
8. Полная упорядоченность структуры твёрдого состояния материи и абсолютный беспорядок её газообразного состояния являются крайними, посередине располагается вещество «в несколько упорядоченном беспорядке».
9. Таким образом, верным является утверждение 1.
10. Во сколько раз увеличится давление идеального газа при постоянной
его концентрации, если абсолютную температуру увеличить в два раза?
Решение
1. В случае идеального газа уравнение состояния устанавливает однозначную взаимосвязь между макропараметрами: давлением, объёмом и температурой {p, V, T}. В общем виде такая взаимосвязь записывается в виде следующего уравнения:
f (p, V, T ) = 0 .
2. Клапейрон экспериментально установил, что вблизи нормальных условий для многих газов справедливо соотношение:
pV = bT ,
где b индивидуальная константа, пропорциональная массе газа. Это простое, но
не очень удобное для практического использования соотношение выполняется
для достаточно разреженных газов, когда собственный объём молекул много
меньше объёма, занимаемого газом. В этом случае молекулы при своём тепловом движении в основном движутся поступательно, взаимодействуя только при
относительно редких столкновениях. При нормальных условиях (р0 ≅ 105 Па, Т0
≅ 273, 15 0К) или вблизи них в соответствие с законом Авогадро 1 моль любого
газа занимает одинаковый объём Vμ ≅ 22,4 л = 2,24⋅10 − 2 м3, причём в этом объёме содержится определённое количество молекул NA ≅ 6⋅1023 моль − 1. Таким
образом, для 1 моля любого газа постоянная b для любого газа будет иметь
одинаковое значение. Обозначим, как это сделал в своё время Д.И. Менделеев,
константу для одного моля как R, в этом случае уравнение состояния перепишется в виде
pVμ = RT ,
константа R называется молярной или универсальной газовой постоянной. Разрешим последнее уравнение относительно R с целью определения её размерности и величины:
18
⎡ Н ⋅ м3
Дж ⎤
=
, ⎢ 2
⎥.
T
⎣ м ⋅ моль ⋅ К моль ⋅ К ⎦
105 ⋅ 2,24 ⋅ 10 −2
Дж
≅ 8,31
.
R=
1 ⋅ 273,15
моль ⋅ К
R=
pVμ
3. Чтобы изменить температуру 1 моля идеального газа на 1 0К необходимо подвести или отнять у него энергию, эквивалентную 8,31 Дж.
Уравнение состояния можно записать для произвольной массы газа m, для
этого умножим правую и левую часть уравнения на величину m/μ, где μ − молярная масса газа:
p
mVμ
=
μ
m
RT .
μ
4. Объём произвольной массы газа: определиться в виде произведения молярного объёма Vμ на количество вещества (количество молей)
V = Vμ
m
,
μ
следовательно
pV =
m
RT = νRT .
μ
5. Для более наглядного восприятия произведения давления на объём установим размерность левой части уравнения
⎡m
⎤ ⎡ моль ⋅ Дж ⋅ К ⎤
⎢ μ RT ⎥ = ⎢ моль ⋅ К ⎥ = Дж .
⎦
⎣
⎦ ⎣
6.Таким образом, величина pV может представлять собой либо энергию,
либо работу, потому что именно эти физические величины измеряются в джоулях. В данном случае обсуждаемая величина численно равна работе, которую
необходимо совершить, чтобы ν молей газа нагреть на 1 0К, действительно
pΔV =
m
RΔT .
μ
7. Определим значение R, приходящееся на одну молекулу газа для чего
умножим и разделим правую часть уравнения состояния на число Авогадро NA
pV =
m
R
NA
T,
μ
NA
где νNA = N − количество молекул, составляющих массу газа m, R/NA = kB −
постоянная Людвига Больцмана
kB =
R
8,31 Дж моль ⋅ К
Дж
≅
≅ 1,38 ⋅ 10 −23
.
23
−1
NA
К
6 ⋅ 10 моль
Уравнение состояния с учётом введённых величин примет вид:
pV = Nk BT .
Давление газа представится следующим образом:
p=
N
k BT = nk BT .
V
Приравняем далее правые части уравнений:
1
2 m < v >2 2
= n<ε>,
nk BT = nm 0 < v > 2 , nk BT = n 0
3
3
2
3
или
19
k BT =
m0 < v >2
3k BT
, ⇒ < v >=
,
3
m0
но m 0 = μ N A , поэтому
< v >=
3k B N A T
3RT
=
.
μ
μ
8. Таким образом, уравнение состояния идеального газа можно записать в
трёх основных модификациях
m
pV = RT ,
μ
pV = Nk BT ,
p = nk BT
9. Из последней формы записи уравнения состояния идеального газа следует, что при увеличении абсолютной температуры в два раза, при постоянстве
концентрации молекул, давление увеличится тоже в два раза.
11. Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими изохорный процесс нагревания воздуха, перечисленными в первом
столбце, и их изменениями во втором столбце.
Физические величины
А) давление;
Б) объём;
В) температура;
Г) внутренняя энергия;
Их изменения
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность;
Решение
1. Принимая воздух в качестве идеального газа, составим систему уравнений его состояния при условии m, μ, V − const в условиях увеличения температуры
m
⎫
p1V = RT1; ⎪
μ
p1 T1
⎪
= ;
⎬ ⇒
m
p
T2
2
p 2 V = RT2 ;⎪
μ
⎭⎪
А) Давление фиксированной массы газа при его нагревании в закрытом
объёме будет увеличиваться, потому что:
p = nk BT ;
Б) Объём газа при изохорном процессе по определению остаётся постоянным:
V = const;
В) Температура при нагревании замкнутого объёма газа, естественно увеличивается:
T2 > T1;
Г) Внутренняя энергия газа увеличивается в изохорном процессе:
i m
i
ΔU =
R (T2 − T1 ) = νRΔT;
2μ
2
20
А
1
Б
3
В
1
Г
1
12. Жидкости массой m передано некоторое количество теплоты Q. Сначала температура жидкости увеличивалась, а затем жидкость перешла в газообразное состояние. Установить соответствие между процессами и формулами,
которыми они описываются. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под
соответствующими буквами. Одному процессу могут соответствовать несколько формул.
Решение
1. Несмотря на излишнюю витиеватость условия, речь всё-таки очевидно
идёт о процессе нагревания и интенсивного испарения (кипения) жидкости.
2. Весь процесс целесообразно разделить на две стадии: стадию собственно
нагревания жидкости до температуры кипения и процесса кипения − фазового
перехода первого рода, когда температура жидкости остаётся, практически постоянной, несмотря на подвод к ней тепловой энергии от внешних источников.
3. Процесс нагревания жидкости возможно проанализировать, используя
первое начало термодинамики, которое, как известно, представляет собой закон сохранения энергии в его термодинамическом варианте, математически
представляемый следующим уравнением
δQ = dU + k m δA ,
которое в СИ, где количество тепла Q, работа A, внутренняя энергия U измеряются в джоулях, уравнение первого начала термодинамики принимает вид:
δQ = dU + δA .
V2
Q = U 2 − U1 + ∫ pdV .
V1
4. Применительно к нагреванию жидкости, которая до наступления кипения, ввиду весьма малой сжимаемости, сохраняет объём постоянным
V2
∫ pdV = 0;
⇒ Q = ΔU = cmΔT ;
V1
5. Переход веществ из жидкого или твёрдого состояния в газообразное
состояние, именуемый парообразованием, возможен с разной степени интенсивности практически при любых внешних условиях. Вследствие теплового движения молекул, они могут покидать границы жидкости или твёрдого
тела при любых температурах, однако при высоких температурах скорости молекулярного движения соответственно выше, что увеличивает количество молекул, способных перемещаться за пределы поверхностных слоёв. Парообразо-
21
вание со свободной поверхности жидкости называется испарением, испарение
с поверхности твёрдого тела называется сублимацией или возгонкой.
6. Для перехода молекул из жидкого состояния в парообразное они
должны преодолеть силы межмолекулярного сцепления и внешнее давление. Это становится возможным при определённой величине кинетической энергии молекул в фазе их поступательного движения. Результатом
испарения является охлаждение жидкости, потому что каждая молекула, покидающая объём уносит с собой часть кинетической энергии. Таким образом, для
организации процесса испарения при фиксированной температуре к жидкости
должно подводиться тепло от внешнего источника.
7. Количественно процесс парообразования характеризуется физической
величиной, называемой удельной теплотой парообразования λ, показывающей
какое количество тепла при постоянной температуре необходимо подвести,
чтобы обратить в пар 1 кг жидкости. Для превращения в пар жидкости массой
m, таким образом, требуется следующее количество тепла δQ
δQ = rm ,
где r − удельная теплота парообразования, m − масса жидкости. При понижении температуры пара он способен превращаться в жидкость, такой процесс
называется конденсацией. Процесс конденсации начинается при температурах,
ниже некоторой критической, характерной для данного вещества. Каждое вещество характеризуется температурой, при которой не обнаруживается различий между жидкой и паровой фазами. Такие температуры называются критическими.
8. При конденсации пара выделяется количество теплоты, которое было затрачено на испарение конденсированного вещества
δQ = −rm ,
где r − удельная теплота конденсации. Примерами природного проявления конденсации могут служить дождь, снег, иней и роса.
8. Кипение представляет собой процесс испарения, при котором образование пара протекает не только на поверхности жидкости, но и во всём
её объёме. Кипение характеризуется образованием и схлопыванием в жидкости парогазовых полостей. Несмотря на продолжительный срок пристального внимания к вопросам кипения учёных и инженеров, физические особенности этого распространённого процесса изучены не до конца. Многие аспекты
кипения до настоящего времени не находят удовлетворительного теоретического объяснения.
9. Процесс кипения сопровождается целым рядом характерных термодинамических эффектов основными, из которых являются следующие:
• Режим кипения характеризуется более интенсивным теплообменом между жидкостью и нагретой твёрдой поверхностью. Этот охлаждающий
эффект используется в высокотемпературных и холодильных технологиях − паросиловых аппаратах, кипящих ядерных реакторах, холодильных машинах и т.п.;
• Температурный режим возникновения конкурентной фазы в жидкости
зависит от величины внешнего давления. Это даёт возможность при высоких давлениях получать перегретый пар, энергетические возможности
которого выше, чем в условиях нормального атмосферного давления;
• Кипение в начальных стадиях, в отличие от прочих фазовых переходов,
характеризуется относительно высокой степенью гомогенности и одно-
22
родностью физических свойств, чему способствует постоянная эвакуация парогазовых полостей из жидкости под действием силы Архимеда,
полости попросту всплывают на поверхность, по пути интенсивно перемешивая жидкость;
• При кипении жидких смесей в виде растворов с различными величинами давления насыщенных паров парогазовые полости содержат преимущественное количество паров более летучего вещества, что широко
используется в химической технологии при фракционировании и перегонке.
• Вскипание жидкости сопровождается излучением интенсивных акустических волн в достаточно широком частотном диапазоне, что инициирует интенсификацию химических реакций. Есть мнение, что бактерицидное воздействие кипения обусловлено не столько высокой температурой, сколько разрушительным воздействием волн ультразвукового диапазона на живые клетки бактерий.
10. Таким образом, приведенные данные позволяют оформить ответ на поставленные в условии задачи вопросы следующим образом:
А
1
Б
3
13. Модуль силы взаимодействия между двумя точечными зарядами равен
F. Чему станет равен модуль силы взаимодействия между зарядами, если каждый заряд уменьшить в n раз, и расстояние меду телами тоже уменьшить в n
раз?
Решение
1. Закон Шарля Огюста Кулона применим к электрическим зарядам, располагающихся на телах, размеры которых существенно меньше расстояний между самими взаимодействующими телами.
2. На основании закона Кулона, в соответствии с заданными условиями, составим систему уравнений:
1 q1 q 2 ⎫
; ⎪
F1 =
4πεε0 r 2
1
⎪
⎪
F1 n 2
q1 q 2
=
= 1;
⎬ ⇒
1
F2
1
n n ⎪
;
F2 =
n2
4πεε0 ⎛ r ⎞ 2 ⎪
⎜ ⎟ ⎪
⎝n⎠ ⎭
14. Как изменяются частота и длина волны света при переходе света из
вакуума в среду с абсолютным показателем преломления n? Выберите нужное
утверждение;
1) Длина волны уменьшается в n раз, частота увеличивается в n раз;
2) Длина волны увеличивается в n раз, частота уменьшается в n раз;
3) Длина волны уменьшается в n раз, частота не изменяется;
4) Длина волны увеличивается в n раз, частота не изменяется
23
Решение
1. Частота электромагнитных волн не зависит от физических свойств среды,
а определяется свойствами источника излучения.
2. Скорость распространения света, его частота и длина волны связаны следующими соотношениями:
λ
c
c
c = 0 = λν; ⇒ λ = 0 ; ν = const; ⇒ λ = 0 ,
nν
n
n
где с0 − скорость света в вакууме, λ0 − длина световой волны в вакууме.
3. Верным, таким образом, является утверждение 3.
15. Какое явление служит доказательством поперечности световых волн?
1) интерференция света;
2) дифракция света;
3. поляризация света;
4) дисперсия света;
Решение
1. Интерференцией называется взаимное усиление или ослабление двух или
нескольких когерентных волн при их наложении друг на друга в условиях совместного распространения в пространстве.
2. Отклонение направление распространения световых волн от законов геометрической оптики. Огибание препятствий, проникновение через отверстия и
щели в экранах при соизмеримости их размеров с длиной волны.
3. Поляризацией света называется совокупность явлений, в которых проявляется свойства поперечности электромагнитных волн в видимой (оптической) части спектра. Волна называется поляризованной, если в ней существует
выделенное направление колебаний.
4. Дисперсией света называется зависимость величины показателя преломления (скорости распространения) света от длины волны (частоты).
16. Определить сопротивление электрической цепи.
Решение
R 1R 2
2⋅2
=
1 Ом;
R1 + R 2 2 + 2
R Σ = R1, 2 + R 3 + R 4 = 3 Ом;
R 1,2 =
17. График на рисунке представляет собой зависимость координаты х точек среды, в которой распространяется волна, от расстояния s до источника
колебаний.
Какими стрелками на графике правильно отмечены амплитуда колебаний
(А) и длина волны (Б)?
24
Решение
1. Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение частиц
среды от положения равновесия, чему соответствует стрелка 6.
2.Длиной волны называется расстояние, проходимое волновым фронтом в
течение периода. Длина волны соответствует расстоянию между частицами
среды, колеблющимися в одинаковой фазе. Длине волны соответствует стрелка
4.
А
Б
6
4
18. Автомобиль движется равноускоренно и прямолинейно с одинаковыми
r
r
направлениями векторов скорости v и ускорения а . Установить соответствие
между физическими величинами и формулами, по которым их можно вычислить. К каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию
второго столбца и записать в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Решение
1.Заданный по условию тип движения определяется условием:
r
a = const ,
т.е. постоянным вектором ускорения, как по модулю, так и по направлению,
при этом вектор среднего ускорения совпадает с вектором мгновенного ускорения. Из условия так же следует, что нормальная составляющая ускорения
r
равна нулю a n = 0 . При совпадении направлений векторов ускорения и
25
скорости движение будет равноускоренным, если вектор скорости и вектор ускорения направлены в противоположные стороны, то движение −
равнозамедленное.
2. На основании определения среднего ускорения можно записать следующее соотношение:
r
r Δv
r
r r
⇒ Δv = aΔt = a (t − t 0 ) ,
a ср = a =
Δt
r r r
т.к. Δv = (v − v 0 ) , то
(vr − vr 0 ) = ar (t − t 0 ) .
3. Если в начальный момент движения t0 = 0, то уравнение скорости примет
вид:
r r r
v = v 0 + at .
4. Проекции скорости на оси декартовой системы координат представятся
следующим образом:
⎧v x = v 0 x + a x t ,
⎪
⎨v y = v 0 y + a y t ,
⎪
⎩v z = v 0 z + a z t .
5. Ввиду прямолинейности движения:
dx ds
v y = v z = 0; v x ≡ v;
≡
= v0 x + a x t .
dt dt
Последнее уравнение является дифференциальным с разделяющимися переменными:
dx = ds = v 0x dt + a x tdt .
Проинтегрируем уравнение:
t
t
0
0
x ≡ s = ∫ v 0x dt + ∫ a x tdt .
Так как по определению данного типа движения v 0x = const , a x = const , то интегрирование уравнения приведёт к результату:
a t2
x ≡ s = v0 x t + x .
2
6. В случае замедленного движения в уравнениях скорости и ускорения поменяется знак перед дробью, что указывает на то, что знак проекции вектора
ускорения на данную ось не совпадает с направлением проекции вектора скорости. При замедленном движении пройденный путь определяется следующим
соотношением:
at 2
s = v0 t −
,
2
А
Б
2
3
19. На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома.
Какой цифрой обозначен переход, соответствующий испусканию атомом света
наименьшей частоты?
26
Решение
1. В соответствии со вторым постулатом Бора (правило частот) при переходе электрона с одной орбиты на
другую излучается (поглощается) один фотон с энергией
(частотой) равной разности энергий соответствующих
уровней:
hν = E n − E m ,
в данном случае возможно испускание трёх фотонов различной частоты.
2. При испускании фотона электрон с теряет часть энергии, равной энергии
фотона и опускается на более низкую энергетическую орбиту. Минимальной
частоте соответствуем наименьшая разность энергии соответствующих уровней, в данном случае таковым является переход 4.
20. Каким зарядовым числом обладает атомное ядро, возникшее в результате α-распада ядра атома элемента с зарядовым числом Z?
Решение
1. α-распад является результатом внутриядерных превращений и представляет собой поток дважды ионизированных атомов гелия (α-частиц):
A
A−4
4
Z X → Z − 2Y + 2 He;
2. Зарядовое число материнского ядра в результате α-распада уменьшается
на две единицы:
Z Y = ZX − 2;
21. В начальный момент времени было 1000 атомных ядер изотопа с периодом полураспада 5 минут. Сколько ядер изотопа останется не распавшимися через 10 минут?
Решение
1. В соответствии с законом радиоактивного распада в течение полупериода Т = 5 мин распадается примерно
половина начального числа ядер ≅ 500.
2. В следующую пятиминутку распадается ещё 250 ядер, т.е. всего через
10 минут распадётся примерно 750
ядер, следовательно не распавшимися
останутся приблизительно 250 ядер.
22. К источнику постоянного тока были подключены последовательно электрическая лампа накаливания и полупроводниковый терморезистор. Что произойдёт с электрическим сопротивлением нити лампы и электрическим сопротивлением полупроводникового терморезистора при уменьшении силы тока в
цепи?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
27
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность.
Решение
1. Удельное сопротивление металлического проводника, каковой является
спираль накаливания электролампы, зависит от температуры:
ρ = ρ0 (1 + αt ),
где ρ0 − значение удельного сопротивления при температуре t = 0 0C, αтемпературный коэффициент сопротивления. При уменьшении силы тока в цепи понизится температура спирали, удельное сопротивление материала спирали уменьшится, следовательно, и сопротивление спирали − уменьшится. Кстати, лампы накаливания перегорают чаще всего именно в момент включения.
Потому что холодная спираль обладает малым сопротивлением и через неё,
при постоянстве питающего напряжения начинает протекать максимальный ток.
2. Полупроводниковый терморезистор, как
правило, в некотором интервале температур в
противоположность металлам с повышением
температуры уменьшают своё удельное сопротивление чрезвычайно резко: в сотни и тысячи
раз.
3. На рисунке приведена качественная
вольтамперная характеристика полупроводникового термосопротивления. Использование
правой ветви характеристики позволяет получить эффект увеличения сопротивления при уменьшении силы пропускаемого
тока.
Электрическое сопротивление нити Электрическое
сопротивление
накала лампы
полупроводникового терморезистора
2
1
23. На рисунке представлен секундомер, справа − увеличенное изображение
части шкалы и стрелки. Записать показания
секундомера, учитывая, что погрешность
измерения равна цене деления секундомера.
Решение
1. Цена деления секундомера составляет
Δ = 0,2 с, следовательно показания в данном положении стрелки будут соответствовать:
t i = 41,2 ± 0,2c;
28
Часть 2
r
25. Брусок массой m под действием силы F , направленной под углом α к
горизонту, перемещается по прямой на горизонтальной поверхности на расстояние s. Чему равна работа силы трения, если коэффициент трения между
бруском и поверхностью равен μ?
Решение
1. Нормальная реакция связи
опорной плоскости:
N = mg - Fsinα ;
2. Величина силы трения:
FТр = −μN = −μ(mg − F sin α ) ;
3. Работа силы трения на перемещении s:
A (FТр ) = −μ(mg - Fsinα )s;
26. Какую работу совершил газ при переходе из состояния 1 в состояние 2?
Решение
1. Процесс изменения состояния газа протекает по изобарной схеме (p = const), работа
газа в этом процессе производится за счёт изменения его внутренней энергии:
A1→ 2 = p(V2 − V1 ) = 300 ⋅ 2 = 600 Дж;
27. Проволочная прямоугольная рамка вращается с постоянной угловой
скоростью в однородном магнитном поле, ось вращения рамки перпендикуr
лярна вектору В магнитной индукции. Какой из графиков соответствует зависимости ЭДС индукции в рамке от времени?
29
Решение
1. Закон электромагнитной индукции Майкла Фарадея
dΦ B
,
dt
утверждает, что ЭДС индукции возникает в контуре
при изменении во времени магнитного потока
Φ B = Bs cos α,
магнитный поток можно изменять путём изменения величины магнитной индукции или изменением площади контура.
2. В рассматриваемом случае вектор магнитной индукции остаётся постоянным, а изменение магнитного потока происходит за счёт вращения плоскости рамки
cos ωt
Φ B (t ) = Bs cos ωt; | εi (t ) |= Bs
= Bs sin ωt ,
dt
ЭДС индукции во времени меняется по гармоническому закону, т.е. правильным является график 1.
εi = −
30
Вариант 2
1. На рисунке представлен график зависимости
проекции vx скорости автомобиля от времени t.
Проекция ускорения автомобиля ах в интервале
времени от момента 4 с до момента времени 6 с
представлена графиком:
Решение
1. Определим величину среднего ускорения автомобиля в заданном промежутке времени, с учетом того, что движение равнозамедленное, т.к. проекция
скорости линейно изменяется с 6 м/с до нуля:
v x ( 6 ) = v x ( 4 ) − a x Δt ;
v x (6) − v x ( 4)
м
0−6
= −3 2 ;
с
Δt
4−2
2. Полученной величине ускорения соответствует график 2.
a x ( 4 − 6) =
=
2. Сила притяжения между шарами с массами m1 и m2, помещёнными на
расстояние R между их центрами, равна F. Какой станет сила притяжения Fx
между шарами с массами m1/2 и 2m2, если расстояние между их центрами
сделать равным 3R?
Решение
1. Составим систему уравнений на основании гравитационного закона
Ньютона:
mm
⎫
F=G 122; ⎪
R
⎪
⎬
m1
2m 2 ⎪
Fx = G 2 2 ;⎪
9R
⎭
где F, Fх − силы гравитационного взаимодействия, G − гравитационная постоянная.
2. Поделим уравнения друг на друга:
31
F
1
= 9; ⇒ Fx = F;
Fx
9
3. Человек массой m = 50 кг прыгает из неподвижной лодки массой М = 100
кг на берег с горизонтальной скоростью v = 3 м/с. С какой скоростью станет
двигаться лодка относительно земли, если вода оказывает незначительное
сопротивление перемещению лодки?
Решение
1. Запишем уравнение второго закона Ньютона для материальной мочки
массой m при действии на неё силы F:
r
r
r
r
dv d(mv ) dp
=
=
.
F=m
dt
dt
dt
Величина, стоящая в скобках (скалярное произведение массы точки на вектор
её скорости) называется импульсом точки
или количеством её движения.
2. Естественно, что эта величина векторная и её направление совпадает с направлением вектора скорости, т.е. импульс материальной точки всегда направлен по касательной в данной точке траектории по вектору
скорости. Импульс материальной точки служит количественной векторной мерой механического движения
3. Импульс не имеет специальной единиИмпульс материальной точки
цы измерения:
[p] = кг ⋅ м .
с
4. Из второго закона Ньютона следует теорема об изменении импульса материальной точки. Теорема читается так: «Производная по времени от импульса материальной точки равна действующей на эту точку силе».
5. Умножим уравнение второго закона Ньютона на бесконечно малый промежуток времени dt
r
r
r r
Fdt = dp, d(mv ) = Fdt ,
r
величина Fdt − называется элементарным импульсом действующей силы.
6. Уравнение выражает собой математическую запись теоремы об изменении импульса: «Дифференциал импульса (количества движения) материальной
точки равен элементарному импульсу, действующей на точку силы».
7. Проинтегрируем последнее уравнение с учётом того, что переменными
величинами являются скорость v и время t:
v2
t2
r
r
(
)
d
m
v
=
∫
∫ Fdt .
v1
t1
8. Если сила не является функцией времени, то процесс интегрирования
достаточно прост:
r
r r
r
r
mv 2 − mv1 = F(t 2 − t1 ), Δp = FΔt .
32
Изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени
равно вектору действующей силы.
9. Если к точке приложена система сил:
k =n r
r
∑ Fk ⋅ dt = d(mv) .
k =1
10. При решении практических задач большое значение имеет частный случай теоремы об изменении импульса. Если материальная точка не подвержена
действию сил, или система сил эквивалентна нулю, то:
k =n r
r
r
если ∑ Fk = 0 , то d(mv ) = 0 , ⇒ mv = const .
k =1
11. Уравнение является законом сохранения импульса материальной точки.
Если система сил, действующих на движущуюся материальную точку эквивалентна нулю, то вектор импульса остаётся неизменным как по модулю, так и по направлению.
12. Ввиду постоянства массы точки, уравнение указывает на неизменность
вектора скорости, т.е. точка движется равномерно и прямолинейно. Использование закона сохранения импульса при решении практических задач, в ряде
случаев, позволяет существенно упростить процесс, т.к. в этом случае отпадает
необходимость составлять дифференциальные уравнения второго закона Ньютона и интегрировать их.
13. Так, например, в рассматриваемом случае импульс системы «лодка −
человек» сохраняется. Дело в том, что векторы сил тяжести и Архимеда перпендикулярны направлению движения, т.е. Работа этих сил эквивалентна нулю,
их при анализе движения лодки можно не рассматривать. Сила сопротивления
по условию отсутствует, поэтому:
k =n r
r
∑ Fk = 0; ⇒ p = const;
k =1
14. Другими словами, чтобы импульс сохранялся, при прыжке человека, лодка должна приобрести импульс такого же модуля и
обратного направления, лодка станет двигаться в направлении, противоположном вектору скорости человека:
mv 50 ⋅ 3
м
=
mv − Mu = 0; u =
= 1,5 ;
M
100
с
4. На рисунке представлены четыре вектора
сил, действующих на тело. С исключением какой из четырёх сил ускорение тела будет равным нулю?
Решение
1. Из уравнения второго закона Ньютона
следует:
k =n r
r
1 k =n r r
Fk = a; ⇒ a = 0, если ∑ Fk = 0,
∑
m k =1
k =1
т.е. ускорение тела, принимаемого за материальную точку, будет равно при равенстве нулю геометрической сумме действующих сил
33
3. По условию задачи задана сходящаяся
система плоских кил, геометрическая сумма
которых может быть определена по правилу
параллелограмма.
4. Если из заданной системы сил изъять силу 1, то:
r r
r
F3 + F4 = F32 + F42 = F2 ;
5. В этом случае:
r r r
r
F2 + F3 + F4 = 0; ⇒ a = 0;
5. Среднее расстояние между центрами Луны и Земли составляет, примерно, 60 земных радиусов. Во сколько раз уменьшится сила гравитационного
взаимодействия предмета массой m = 1 кг и Земли, если сначала предмет находился на поверхности Земли, а затем на лунной орбите?
Решение
1. Взаимодействие тела с планетой протекает в соответствии с законом гравитационного взаимодействия Ньютона:
mM
⎫
F1 = G 2 ; ⎪
R
F
⎪
⇒ 1 = 3600;
mM ⎬⎪
F1
F2 = G
;
2
(60R ) ⎭⎪
6. Гиря массой m = 2 кг подвешена на тонком шнуре длиной l = 5 м. Если е
отклонить от положения равновесия, а затем отпустить без начальной скорости, то она совершает малые свободные гармонические колебания, как математический маятник. Что произойдёт с периодом колебаний гири, максимальной потенциальной энергией гири и частотой её колебаний, если начальное
отклонение будет изменено с Δх1 = 10 см на Δх2 = 20 см?
Для каждой величины определить соответствующи1й характер изменения:
1) увеличится;
2) уменьшится;
3) не изменится.
Решение
1. Рассмотрим математический маятник,
представляющий собой точечную массу m, закреплённую на невесомом, нерастяжимом
стержне длиной l, второй конец стержня закреплён шарнирно. При отклонении стержня
от вертикали на угол ϕ возникает восстанавливающая компонента силы тяжести, определяемая как
Fg = − mg sin ϕ .
Математический маятник
2. При движении в сторону положения статического равновесия масса приобретает уско&& , под действием фиктивной силы
рение lϕ
34
инерции
&& .
Fi = − mlϕ
3. Приравняем далее действующие на массу силы
&& + mg sin ϕ = 0 ,
mlϕ
или
4. Введём обозначение
g
&& + sin ϕ = 0 .
ϕ
l
g
= ω2 ,
l
что даёт основание уравнение движения переписать следующим образом
&& + ω2 sin ϕ = 0 .
ϕ
5. Мы пришли к нелинейному дифференциальному уравнению, которое в
принципе можно превратить в линейное уравнение, если рассматривать малые
по амплитуде колебания. Действительно:
sin ϕ = ϕ −
ϕ3 ϕ5
+
−L ≈ ϕ .
3! 5!
6. Таким образом, для малых колебаний становится справедливым линейное дифференциальное уравнение
&& + ω2ϕ = 0 ,
ϕ
из которого следует, что:
1 g
2π
l
l
; T = 2π ; ν =
;
ω=
; ω = 2πν =
2π l
T
g
g
Частота и период колебаний математического маятника не зависят от амплитуды колебаний.
7. Максимальная потенциальная энергия гири:
Π max = mgh = mgl(1 − cos ϕ);
Период
3
Частота
3
Максимальная потенциальная энергия
1
7. Камень брошен вертикально вверх. Изменяются ли физические величины, перечисленные в первом столбце, во время его движения вверх и если изменяются, то как? Установить соответствие между физическими величинами и
возможными видами их изменений, перечисленными во втором столбце. Сопротивление воздуха отсутствует.
Решение
1. Без учёта сопротивления тело, брошенное вертикально вверх движется
под действием силы тяжести, с ускорением, равным по модулю g, кинематиче-
35
ские уравнения движения:
v( t ) = v 0 − gt; ⎫
⎪
gt 2 ⎬
y( t ) = v 0 t −
;⎪
2 ⎭
2. Максимальное значение скорости камень имеет в самый начальный момент броска, а далее по мере подъёма скорость камня уменьшается, становясь
равной нулю в высшей точке траектории.
3. Потенциальная и кинетическая энергия камня:
mv( t ) 2
Π ( t ) = mgy( t ); Κ =
;
2
4. Как следует из уравнений, по мере движения камня вверх скорость его
уменьшается, потенциальная энергия растёт, кинетическая энергия, в соответствии с законом сохранения энергии − уменьшается.
А
Б
В
г
3
1
3
2
8. Конвекцией называется процесс:
1) беспорядочного перемещения небольших твёрдых частиц в жидкостях или газах под действием ударов молекул жидкости или газа;
2) испускания и распространения энергии без непосредственного контакта между телами;
3) проникновения в результате теплового движения атомов одного тела
в промежутки между атомами другого тела;
4) переноса теплоты потоками вещества.
Решение
1. Конвекцией называется перенос теплоты потоками вещества. Примером конвективного теплообмена может служить широко
распространённый способ обогрева помещений радиаторами водяного отопления, когда
воздух близи радиатора нагревается, приобретая избыточную внутреннюю энергию, за
счёт уменьшения плотности поднимается
вверх и далее распространяется, поднимая
локальную температуру.
9. При исследовании броуновского движения маленьких твёрдых частиц в
жидкостях и в газах было обнаружено, что среднее перемещение частицы за
единицу времени:
1) не зависит от размеров частиц и температуры вещества;
2) не зависит от размеров частиц, но увеличивается при повышении
температуры;
3) не зависит от температуры вещества, но увеличивается при уменьшении размеров частиц;
4) увеличивается при уменьшении размеров частиц, уменьшается при
понижении температуры.
Какое из приведенных утверждений верно?
36
Решение
1. Наблюдать воочию модель теплового движения молекул посчастливилось не физику, не химику, а ботанику, Роберту Броуну (1773 − 1858), хранителю научной библиотеки Королевской академии. Возвратившись из очередной
географической экспедиции, Броун в тиши лондонского кабинета в 1827 г. изучал посредствам микроскопа добытые экземпляры растений. Очередь дошла до
цветочной пыльцы, представляющей собой, по сути, мелкодисперсные крупинки. Капнув на покровное стеклышко капельку воды, Броун внёс туда некоторое
количество цветочной пыльцы. Посмотрев в микроскоп, Броун обнаружил, что
в фокальной плоскости микроскопа происходит непонятное.
Наблюдения Роберта Броуна
2. Частицы пыльцы постоянно перемещались хаотичным образом, не позволяя исследователю их рассмотреть. Первое, что пришло в голову ботанику −
конвективные потоки. Разные температуры стекла Т1, воды в капле Т2 и самих
частичек Т3 вполне могли вызвать конвекционные тепловые потоки, которые и
увлекали объекты наблюдения. Выждав время, когда температуры должны были сравняться, Броун снова устремил свой пытливый взор в микроскоп. Ничего
не изменилось. Пыльца продолжала сновать. Пришла новая идея. На этот раз
под подозрение попали английские кэбы, повозки для перевозки грузов и пассажиров, снабжённые деревянными колёсами с железными ободьями. Как
предположил Броун, катясь по брусчатке мостовой, колёса экипажей содрогали
землю и здания. Было решено эксперимент перенести в загородный дом, где
нет кэбов, брусчатки и вообще, там спокойнее, чем в Лондоне. Но и эта уловка
не принесла желаемых результатов. Необъяснимая суета частиц продолжалась.
Исчерпав свои возможности усмирить непокорные пылинки, Броун решил поведать о своих наблюдениях коллегам. Опубликованная Броуном статья имела
типичное для того неторопливого времени название: «Краткий отчёт о микроскопических наблюдениях, проведенных над частицами в июне и августе 1827
г., содержащимися в пыльце растений; и о существовании активных молекул в
органических и неорганических телах».
3. По началу статья Броуна вызвала у специалистов недоумение, отчасти,
наверное, ввиду необычности наблюдаемого явления, отчасти вследствие пространных разглагольствований автора о «живой силе», присущей органическим
веществам. Вместе с тем, спустя некоторое время, факт нестандартного поведения частиц заинтересовал физиков. Голландец Корнабель в 1880 г. и француз
Гуи в 1888 г. повели более тщательные наблюдения, из которых стало ясно, что
степень подвижности частиц определяется их массой и температурой. Пер37
воначально предположили, что наблюдаемые частицы движутся от ударов, получаемых от молекул окружающей их жидкости. При несоизмеримо больших
размерах частицы получают одновременно множество ударов со всех сторон,
поэтому результирующий импульс должен быть равным или близким к нулю.
В этой связи заметного движения крупных частиц не наблюдается. Если рассматривать частицы мелкие, как это случилось в опытах Броуна, то количество
единичных импульсов, получаемых частицей с разных направлений, будет уже
не одинаковым. Во-первых, число соударений станет несимметричным, вовторых, скорости с которыми будут подлетать молекулы жидкости к частице
тоже будут неодинаковыми, поскольку они являются результатом обмена импульсами с соседними молекулами жидкости. Такая возможная двойная асимметрия сообщает частице некий результирующий импульс, под действием которого она получает некоторое перемещение r, которое будет продолжаться,
пока новый результирующий импульс не изменит направление её перемещения.
4. Исследователи влияние внутренних течений жидкости отбросили сразу,
потому что в области течения частички должны перемещаться в одном или
близком направлении, на опыте такого не наблюдалось. Соседние частицы
двигались совершенно независимо.
5. Ботанику, можно сказать, повезло. Броун совершенно случайно в качестве объектов исследования выбрал частицы, на которые в воде действовали две
силы: сила тяжести и сила Архимеда, причём модули этих сил были практически одинаковы. Частицы находились в воде в состоянии безразличного равновесия. Физики совершенно справедливо предположили, что броуновское движение, так оно было названо в честь человека, впервые его наблюдавшего.
Причиной такого движения являются беспорядочные столкновения частиц, в
результате которых они обмениваются своими импульсами и энергиями, хаотически меняя направления своих перемещений, так что средняя величина перемещения
< r >= 0 .
6. Если перемещение броуновских частиц охарактеризовать величиной
<r2>, то она уже не будет эквивалентна нулю и для неё можно записать следующее уравнение движения:
2
m
d2 < r2 > 1 d < r2 >
⎛ dr ⎞
+
− 2m < ⎜ ⎟ >= 0 ,
2
ζ dt
dt
⎝ dt ⎠
где m − масса частицы, ζ − коэффициент подвижности частицы, связывающий
её скорость v с силой сопротивления Fμ
v=
dr
= ζFμ .
dt
Сила сопротивления сферических частиц в жидкости радиусом R определяется
законом Стокса:
ζ=
1
,
6πηR
где η − коэффициент вязкости жидкости. Первое слагаемой в уравнении представляет собой удвоенное значение кинетической энергии частицы:
2K 0 = m
d < r2 >
= m < v2 > .
dt 2
Кинетическую энергию частицы можно выразить через термодинамические
параметры, абсолютную температуру Т и постоянную Больцмана kB
38
m < v2 > i
= k BT ,
2
2
где i = 3 − число степеней свободы частицы. Решение уравнения с учётом полученных соотношений имеет вид:
⎧
d
⎛ t ⎞⎫
< r 2 >= 2k BTζ ⎨1 − exp⎜ −
⎟⎬ .
dt
⎝ mB ⎠⎭
⎩
7. Величина exp(− t mB) в нормальных условиях пренебрежимо мала, с учётом того, что при наблюдениях за броуновскими частицами t >> 10 − 5 с. В этом
случае уравнение, характеризующее квадрат среднего перемещения, перепишется следующим образом
Δ < r 2 >= 2k BTζΔt .
8. Таким образом, квадрат перемещения частицы вдоль произвольной оси r
пропорционален температуре среды, обратно пропорционален размерам частиц
(ζ) и прямо пропорционален промежутку времени, в течение которого перемещение происходит. Вернувшись снова к наблюдениям Броуна и его последователей, учёные поняли, что ботаник обнаружил прекрасную физическую модель
поведения молекул газа, которые, будучи предоставленные самим себе поведут
подобным образом. Далее эта модель усложнялась и уточнялась, оставаясь основательным доказательным фактом теплового хаотического движения структурных элементов вещества.
9. Верным является утверждение 4.
10. При неизменной концентрации молекул идеального газа средняя квадратичная скорость теплового движения его молекул увеличилась в 2 раза. Во
сколько раз, при этом, увеличилось давление газа?
Решение
1. Хаотическое движение молекул идеального газа наблюдается и в том
случае, если макропараметры, рассматриваемой массы газа {p,V,T} принимают
во времени фиксированные неизменные значения. Сталкиваясь друг с другом,
и с ограничивающими стенками, невообразимо большое число молекул меняют
направление и модули своих скоростей, однако, в бесконечной череде всех
этих случайных событий квадрат скорости остаётся величиной постоянной, это
следует из молекулярно-кинетической теории
3k T
3RT
;
< v 2 >= B ; ⇒ < v >=
m
μ
где m − масса молекулы, Т − абсолютная температура газа, kB − постоянная
Больцмана, R − универсальная газовая постоянная, μ − молярная масса. Представляет интерес вопрос о том, сколько или какая часть молекул в настоящий
момент времени движутся с определённой скорости. Поскольку никаких объективных причин ограничивающих в разумных пределах скорости молекул
нет, то функцию их распределения следует считать непрерывной.
2. В уравнении средней квадратичной скорости величины R и μ постоянные, значит увеличить скорость в два раза можно путём увеличения абсолютной температуры идеального газа в четыре раза.
3. С другой стороны, уравнение состояния идеального газа:
p = nk BT
39
утверждает, что давление пропорционально температуре, следовательно при
увеличении средней квадратичной скорости молекул в два раза, давление идеального газа при неизменной концентрации его молекул n, обязано вырасти
ровно в четыре раза.
11. При очень медленном движении поршня в цилиндре закрытого воздушного насоса объём воздуха уменьшается. Установить соответствие между физическими величинами, перечисленными в первом столбце, и их изменениями
во втором столбце.
Решение
1. При очень медленном перемещении поршня процесс изменения состояния газа будет протекать по изотермической схеме:
m
⎫
p1V1 = RT; ⎪
μ
⎪
{m, μ, T} − const;
⎬ ⇒ p1V1 = p 2 V2 ; pV = const;
m
p 2 V2 = RT;⎪
⎪⎭
μ
3. При уменьшении объёма, предоставленного газу, его давление будет
увеличиваться.
4. Ввиду постоянства температуры внутренняя энергия газа останется в
этом процессе неизменной:
3m
ΔU =
RΔT; ΔT = 0; ⇒ ΔU = 0;
2μ
А
1
Б
3
В
3
12. Установить соответствие между процессами в идеально газе и формулами, которыми они описываются (n − число частиц, р − давление, V − объём,
Т − абсолютная температура, t − температура по шкале Цельсия). Каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго столбца
и записать в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
40
Решение
1. Изотермический процесс изменения состояния идеального газа:
m
⎫
p1V1 = RT; ⎪
μ
⎪
{m, μ, T} − const;
⎬ ⇒ p1V1 = p 2 V2 ; pV = const;
m
p 2 V2 = RT;⎪
⎪⎭
μ
2. Изобарный процесс:
m
⎫
pV1 = RT1; ⎪
μ
V1 T1
T
⎪
{m, μ, p} − const;
= ; V2 = V1 2 ;
⎬ ⇒
m
V2 T2
T1
pV2 = RT2 ;⎪
⎪⎭
μ
А
3
Б
4
13. Как изменится сила кулоновского взаимодействия двух точечных заряженных тел при увеличении заряда на каждом теле в два раза и уменьшении
расстояния между ними в два раза?
Решение
1. Закон Шарля Огюста Кулона применим к электрическим зарядам, располагающихся на телах, размеры которых существенно меньше расстояний между самими взаимодействующими телами.
2. На основании закона Кулона, в соответствии с заданными условиями, составим систему уравнений:
⎫
1 qq
F1 =
; ⎪
2
4πεε0 r
⎪⎪
F1 1
= ; F2 = 16F1;
2
q
2
q
⎬ ⇒
1
F2 16
F2 =
;
2 ⎪
4πεε0 ⎛ r ⎞ ⎪
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎪⎭
14. Изменяются ли частота и длина волны света при переходе его из вакуума в воду. Выберете верное утверждение:
1) длина волны уменьшается, частота увеличивается;
2) длина волны увеличивается, частота уменьшается;
3) длина волны уменьшается, частота не изменяется;
4) длина волны увеличивается, частота не изменяется.
Решение
1. Показатель преломления воды (n ≈ 1,33) больше показателя преломления
вакуума (n ≈ 1):
v c λ0
λ= =
= ;
ν nν n
41
2. Частота определяется исключительно свойствами источника света и при
переходе волны из среды в среду не изменяется, поэтому верным является утверждение 3.
15. Почему мыльный пузырь, освещённый белым светом, переливается
всеми цветами радуги − от красного до фиолетового:
1) В мыльном пузыре имеются мелкие разноцветные частички, из цвет
обнаруживается только в очень тонком слое жидкости.
2) Отражённые лучи света в тонкой плёнке мыльного пузыря происходит и от внешней поверхности плёнки, и от её внутренней поверхности. При
наложении этих отражённых пучков света происходит интерференция света.
Максимум интерференции зависит от толщины плёнки и длины волны.
3) В пленке происходит дисперсия света, подобно тому, как это наблюдается в стеклянной призме. Дисперсия света обусловлена зависимостью показателя преломления от длины волны.
4) Все три явления, перечисленные выше играют примерно одинаковую
роль.
Решение
1. Условия интерференционных максимумов и минимумов при возникновении интерференции двух когерентных световых волн при отражении от тонкой
плёнки:
Δl max = ± mλ; Δl min = ±(2m + 1)λ 2;
где Δl − оптическая разность хода, m = 1, 2, 3, …
2. Условия интерференции определяются, таки образом, толщиной плёнки d
и длиной волны падающего света λ, т.е. верным является утверждение 2.
16. Чему равно напряжение на участке
цепи АВ, если сила тока через резистор сопротивлением 2 Ом равна 2А?
Решение
1. Резисторы R2 и R3 перемкнуты, поэтому ток через них протекать не будет.
2. В соответствии с законом Ома для участка цепи
U
I = AB ; ⇒ U AB = IR1 = 4 В;
R1
42
3. Если перемычку убрать, то:
⎛
R 2R 3 ⎞
6⋅3⎞
⎟⎟ = 2⎛⎜ 2 +
U AB = I⎜⎜ R1 +
⎟ = 8 B;
R2 + R3 ⎠
9 ⎠
⎝
⎝
17. Схемы и графики на рисунке иллюстрируют свободные электромагнитные колебания. Колебания в LC контуре возникли при подключении концов катушки к обкладкам заряженного конденсатора (первая схема слева). Установить соответствие между графиками А и Б и значениями физических величин в
момент времени τ = Т/4.
Значения физических величин
1)
2)
3)
4)
модуль силы тока в катушке максимален;
модуль напряжения между обкладками конденсатора максимален;
сила тока в катушке равна нулю;
напряжение между обкладками конденсатора равно нулю.
Решение
1. Незатухающие свободные колебания в LC контуре описываются линейным дифференциальным уравнением вида:
1
&q& + ω02q = 0; ω02 =
; T = 2π LC ;
LC
Решение уравнения имеет вид:
q( t ) = q 0 cos(ω0 t + ϕ 0 ),
где q − электрический заряд конденсатора, ω0 − циклическая частота собственных колебаний контура, L − индуктивность контура, С −электрическая ёмкость
конденсатора
2. Сила тока через катушку определяется как:
dq
2π
2π
iL (t) =
= −q 0ω0 sin ω0 t = −q 0
sin t ,
dt
T
T
при t = T/4:
2π
2π T
2π
π
i L ( t ) = −q 0
sin
= −q 0
sin ; ⇒ i L ( T / 4) = i max ;
T
T 4
2
2π LC
43
3. Напряжение на обкладках конденсатора:
q(t ) q 0
2π
u C (t) =
= cos t;
C
C
T
при t = T/4:
q
π
u C ( t ) = 0 cos ; ⇒ u c ( T / 4) = 0;
C
2
А
Б
4
1
18. Материальная точка движется равномерно, прямолинейно и в направлении оси координат ОХ. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию и записать в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Решение
1. Заданное движение является самым простым видом механического движения из всех:
r
v = const .
2. Равномерность движения предполагает постоянство скорости по модулю, а прямолинейность − по направлению. Формулу
для определения средней скорости для данного типа движения можно представить так:
r
r
Δr
Δx
v=
=
, Δr = r .
Δt t 2 − t1
3. Для любого момента времени уравнение равномерного прямолинейного движения записывается следующим образом
x (t ) = x 0 + vt .
График движения x(t) = x0 ± vt
А
4
Б
1
44
19. На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома. Какой цифрой обозначен переход, соответствующий поглощению атомом фотона самой малой частоты?
Решение
1. В соответствии со вторым постулатом Бора
(правило частот) при переходе электрона с одной
орбиты на другую излучается (поглощается) один
фотон с энергией (частотой) равной разности энергий соответствующих уровней:
hc
hν = E n − E m ,
= En − Em ;
λ
в данном случае возможно испускание трёх фотонов различной частоты.
2. При поглощении электрон приобретает часть энергии, равной энергии
фотона и поднимается на более высокую энергетическую орбиту. Минимальной частоте соответствуем наименьшая разность энергии соответствующих
уровней, в данном случае таковым является переход 2.
20. При высоких температурах возможен синтез ядер гелия из ядер изотопа водорода:
2
1
H + 31H→42 + X.
Какая частица Х освобождается при осуществлении реакции?
Решение
1. Для заданной ядерной реакции справедливы
законы сохранения электрических зарядов и массовых чисел: сумма зарядов (массовых чисел) ядер и
частиц, вступающих в ядерную реакцию, равна
сумме зарядов (массовых чисел) конечных продуктов (ядер и частиц) реакции, т.е.
ZX = 2 − 2 = 0; A X = 5 − 4 = 1; ⇒ 01X ≡ n,
в результате образуется ядро гелия и нейтрон.
Синтез ядер гелия
21. Ядро атома химического элемента с порядковым номером 92 в таблице
Д.И. Менделеева после одного α-распада, двух последовательных электронных β-распадов и ещё одного α-распада превращается новое ядро атома химического элемента. Определить порядковый номер этого химического элемента.
Решение
1. В соответствии с правилами смещения при ядерных реакциях
при α-распаде:
A
A−4
4
Z X → Z − 2Y + 2 He ,
заряд дочернего ядра уменьшается на 2 единицы, а массовое число уменьшается на 4 единицы;
45
при электронном β-распаде:
A
A
0
Z X → Z +1Y + −1 e ,
массовое число дочернего ядра не изменяется, а заряд увеличивается на +1.
2. Таким образом в в результате α-распада ядро урана 238
92 U превращается в
ядро изотопа урана с массовым числом А1 = 234 и зарядовым числом Z1 = 90.
После двух последовательных β-распадов А2 = 234, Z2 = 92, при следующем αраспаде А3 = 230, Z3 = 90, т.е. ядро урана превращается в ядро изотопа тория.
22. К источнику постоянного тока была подключена одна электрическая
лампочка с сопротивлением равным внутреннему сопротивлению источника
тока. Что произойдёт с силой тока в цепи, напряжением на выходе источника
тока и мощностью тока на внешней нагрузке при подключении последовательно с этой лампой второй такой же лампы?
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность.
Решение
1. Изменение силы тока:
ε
ε ⎫
I1 =
;
=
I1 3
2
R + R 2R ⎪⎪
= ; I 2 = I1; I 2 < I1;
⎬ ⇒
ε
ε ⎪
I2 2
3
I2 =
;
=
⎪
R + 2R 3R ⎭
2. Напряжение на выходе источника:
ε ε ⎫
ε = I1R + I1R ; U ε (1) = ε − = ;⎪
2 2 ⎪
⎬ ⇒ U ε ( 2 ) > U ε (1) ;
2
⎪
ε = I 2 R + I 2 2R ; U ε ( 2) = ε;
⎪⎭
3
3. Мощность на внешней нагрузке:
⎫
ε2
ε2
=
p1 = I12 R =
R
; ⎪
2
p1 9
9
⎪
4R
4R
⇒
= ; p 2 = p1; p1 > p 2 ;
2
2 ⎬
p2 8
8
ε
2ε ⎪
p 2 = I 22 2R =
2R =
;
2
9R
9R ⎪⎭
Сила тока
2
Напряжение
1
Мощность
2
23. В измерительный стакан налили 200 см3
воды. Учитывая цену деления определить верный
результат записи результатов измерения.
1) 200 см3;
2) (200 ± 50) см3;
3) (200 ± 10) см3;
4) (200 ± 5) см3.
Решение
1. Цена одного деления мерного стакана со-
46
ставляет 5 см3, следовательно правильная запись результатов измерения представляется такой:
4) (200 ± 5) см3
24. Какой из приведенных графиков зависимости напряжения от силы
тока построен правильно?
Графики зависимостей напряжения от силы тока
Решение
1. Любая физическая величина измеряется оператором с помощью приборов. Погрешности измерений возникают как инструментальные, так и субъективные, поэтому для всех типов измерений существует, так называемый, доверительный интервал.
2. Преимущественное количество всех измеряемых физических величин
интерпретируются гладкими кривыми, точность воспроизведения той или иной
зависимости определяется условием эксперимента и набором используемых
измерительных средств.
3. Из представленных кривых наиболее достоверной является кривая 4, потому что она построена с использованием правильного осреднения результатов
и построения плавной кривой.
47
Часть 2
25. Тело массой m = 2 кг под действием
силы F перемещается вверх по неподвижной шероховатой наклонной плоскости на
расстояние l = 5 м, поднимаясь на высоту
h = 3 м над уровнем опорной плоскости.
Модуль силы F = 30 Н. Какую работу совершила при подъёме сила F, если коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,5?
Решение
1. Определим будет ли тело при заданных условиях перемещаться вверх по наклонной плоскости, для чего найдём сумму
проекций действующих на тело сил на направление перемещения :
4
(mg) x = mg sin α = mg ;
5
3
FТр = −μN = −μmg cos α = −μmg ;
5
2
4
3
4
1
3
| ∑ Fx |= mg + μmg = ⋅ 2 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 ⋅ ;
5
5
5
2
5
1
2
∑F
x
= 22Н < F = 30H;
1
2. Подъём тела под действием силы F возможен, т.к. она по модулю превосходит сумму проекций сил трения и тяжести.
3. Работа силы;
r
r
A(F) = F ⋅ l = 150 Дж;
26. Идеальный газ совершил работу 300 Дж, и при этом внутренняя энергия газа увеличилась на 300 Дж. Какое количество теплоты получил газ в этом
процессе?
Решение
1. На основании первого начала термодинамики:
Q = δA + ΔU = 300 + 300 = 600 Дж;
27. При последовательном включении активного сопротивления, катушки
индуктивности и конденсатора в цепь переменного тока амплитуда колебаний
напряжения на активном сопротивлении оказалась равной 3 В, на обкладках
конденсатора 8 В, на концах катушки индуктивности 12 В. Считая катушку и
конденсатор идеальными, определить амплитуду колебаний полного напряжения на концах последовательной цепи.
48
Решение
1. Последовательно соединённые элементы R, L, C образуют колебательный контур. Если к концам контура приложить переменное напряжение
ε( t) = ε 0 cos ωt ,
то напряжения на элементах схемы описываются уравнениями:
⎫
⎪
U R = IR cos ωt;
⎪
dI
⎪
U L = L = − I0ωL sin (ωt + δ );⎬
dt
⎪
q
I0
⎪
UC = =
sin (ωt + δ );
⎪⎭
C ωC
2. Через все элементы при их последовательном сопротивлении будет течь
ток одинаковой силы, причём амплитудное значение силы тока определится
как:
ε0
ωL ⎞
⎛ 1
I0 =
; δ = arktg⎜
−
⎟;
2
R
C
R
ω
⎝
⎠
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
3. Изобразим амплитудные
значения напряжений в виде
векторных диаграмм, причём:
U L(0) = ωLI0 = 12B;⎫
⎪
I0
⎪
U C(0) =
= 8B; ⎬
ωC
⎪
U R ( 0) = I0 R = 3B; ⎪⎭
4. По правилам геометрической суммы векторов:
2
⎡⎛
1 ⎞ ⎤
ε 0 = (I0 R ) + ⎢⎜ ωL −
⎟I 0 ,
ωC ⎠ ⎥⎦
⎣⎝
2
ε 0 = 32 + (12 − 8) = 5 B;
2
49
Вариант 3
Часть 1
1. На рисунке представлен график
зависимости модуля скорости автомобиля v от времени t. Определить, пользуясь графиком, путь пройденный автомобилем в интервале времени от 1 с
до момента времени 2 с после начала
движения.
Решение
1. На промежутке времени 0 − 1 c
автомобиль движется равноускоренно ( скорость линейно зависит от времени)
с ускорением а=2 м/с2, движение происходит с нулевой начальной скоростью
at 2
S0 →1 =
= 1м ;
2
2. В следующую секунду автомобиль движется с постоянной скоростью v =
2 м/с и проходит расстояние
S1→ 2 = 1м;
3. Путь, пройденный автомобилем в течение первых двух секунд движения?
определится в виде суммы:
S0 → 2 = S0 →1 + S1→ 2 = 2м;
2. Сила притяжения между шарами массами m1 и m2, помещёнными на расстояние R между их центрами, равна F. Какой станет сила притяжения между
шарами массой 2m1 и 5m2, если расстояние между их центрами сделать равным 2R?
Решение
m1m 2
⎫
;
2
⎪⎪
R
⎬ ⇒
2m1 ⋅ 5m 2 ⎪
F2 = G
;⎪
4R 2
⎭
F1 = G
F1 4
10
= ; F2 = F1 = 2,5F1;
F2 10
4
3. Снаряд, обладающий импульr
сом р , разорвался на два осколка.
r
Векторы импульса снаряда р и одного из осколков после разрыва представлены на рисунке. Какой из векторов на этом рисунке соответствует
вектору импульса второго фрагмента
снаряда?
50
Решение
1. Запишем уравнение второго закона Ньютона в следующем виде:
r
r
r
r
dv d (mv ) dp
F=m
=
=
.
dt
dt
dt
2. Величина, стоящая в скобках (скалярное
произведение массы точки на вектор её скорости) называется импульсом точки или количеством её движения. Естественно, что эта величина векторная и её направление совпадает
с направлением вектора скорости, т.е. импульс
материальной точки всегда направлен по касательной в данной точке траектории по вектору
скорости. Импульс материальной точки служит количественной векторной мерой механического движения
3. Импульс не имеет специальной единицы
Импульс материальной точки
измерения, его размерность устанавливается
уравнением:
[p] = [m][v] = кг ⋅ м .
с
Векторное уравнение является одной из форм уравнения второго закона
Ньютона, на основании которой доказывается одна из общих теорем динамики,
теоремы об изменении импульса. Теорема читается так: «Производная по времени от импульса материальной точки равна действующей на эту точку
силе».
4. Умножим исходное уравнение на бесконечно малый промежуток времени dt
r
r
r r
Fdt = dp, d(mv ) = Fdt ,
r
величина Fdt − называется элементарным импульсом действующей силы.
Уравнение выражает собой математическую запись теоремы об изменении импульса: «Дифференциал импульса (количества движения) материальной точки
равен элементарному импульсу, действующей на точку силы».
5. Проинтегрируем уравнение с учётом того, что переменными величинами
являются скорость и время
v2
t2
r
r
(
)
d
m
v
=
F
∫
∫ dt .
v1
t1
Если сила не является функцией времени, то процесс интегрирования достаточно прост
r
r r
r
r
mv 2 − mv1 = F(t 2 − t1 ), Δp = FΔt .
Изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени
равно вектору действующей силы. Если к точке приложена система сил:
k =n r
r
∑ Fk ⋅ dt = d(mv) .
k =1
6. При решении практических задач большое значение имеет частный случай теоремы об изменении импульса. Если материальная точка не подвержена
действию сил, или система сил эквивалентна нулю, то:
51
если
k =n
r
∑F
k =1
k
r
r
= 0 , то d(mv ) = 0 , ⇒ mv = const .
7. Уравнение является законом сохранения импульса материальной точки.
Если система сил, действующих на движущуюся материальную точку эквивалентна нулю, то вектор импульса остаётся неизменным как по модулю, так и по направлению.
Ввиду постоянства массы точки, уравнение указывает на неизменность вектора скорости, т.е. точка движется равномерно и прямолинейно. Использование закона сохранения импульса при решении практических задач, в ряде случаев, позволяет существенно упростить процесс, т.к. в этом случае отпадает
необходимость составлять дифференциальные уравнения второго закона Ньютона и интегрировать их.
8. Разрыв снаряда на фрагменты
происходит под действием внутренних сил, которые не могут изменить
состояние системы, поэтому к снаряду
и его осколкам возможно применить
закон сохранения импульса. Геометрическая сумма заданных по условию
задачи импульсов должна быть равна
по модулю импульсу второго осколка,
направленного в противоположную сторону. Геометрическая сумма векторов р
и р2 представляется вектором 1, тогда вектор 4 обязан соответствовать искомому импульсу второго осколка.
4. На рисунке представлена плоская система
сходящихся сил. Модуль вектора силы F1 равен 4 Н.
Чему равен модуль равнодействующей всех трёх
сил?
Решение
1. Понятие силы. В соответствие с классическим
определением, кочующим из учебника в учебник,
сила является мерой механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление такого взаимодействия.
2. Ели при действии силы на тело происходит изменение его механического состояния, например, тело, начинает двигаться или изменяет параметры своего движения, то говорят о динамическом проявлении силы. Но такое наблюдается не всегда. Большой
камень, расположенный на песке массой 500 кг один
даже очень тренированный человек не сможет переместить, как ни старайся. Это статическое проявление силы. А вот если лёгкий камень бросить под углом к горизонту, то будет наблюдаться изменение
Обозначение силы
первоначального направления полёта за счёт гравитационного взаимодействия массы камня с массой Земли. Это уже динамическое проявление сил.
52
3. Фундаментальная значимость понятия силы в механике обусловлена тем
обстоятельством, что силы можно количественно измерять, чаще всего простыми и доступными методами сравнения. Опытным путём было установлено,
что статическое и динамическое действие силы зависит от трёх её параметров:
модуля, направления и точки приложения.
4. Графически сила изображается в виде направленного отрезка (вектора)
направление которого совпадает с линией действия силы АВ, длина отрезка соответствует величине (модулю) силы в выбранном масштабе. Начало вектора силы, как правило, совпадает с точкой приложения М.
5. Если на тело действует не одна, а несколько сил, то говорят о системе сил. На рис. 5.2 изоr r r r
бражена система четырёх сил F1 , F2 , F3 , F4 , линии
действия которых пересекаются в одной точке.
Система сходящихся сил является наиболее простой для определения эквивалентного действия,
Система сходящихся сил
которое оценивается на основе трёх аксиом.
Аксиома 1. Абсолютно твёрдое свободное тело находится в равновесии
под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и
имеют противоположное направление по общей линии действия.
Аксиома 2. Действие данной системы сил не изменится если к ней прибавить или отнять систему сил эквивалентную нулю.
Вторая аксиома имеет два важных следствия.
Следствие 1. Не изменяя параметров действующей силы, точку её приложения можно переносить вдоль линии действия силы в пределах данного тела.
Следствие 2. Равнодействующая и уравновешивающая силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной и
той же точке, равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах сил и направлена вдоль диагонали.
6. Используя приведенные выше аксиомы, которые были известны ещё во
времена Архимеда, можно достаточно просто находить равнодействующую
нескольких сил. Наиболее простым для анализа является система сходящихся
сил, т.е. системы сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
7. Покажем методику геометрического нахождения равнодействующей на примере системы, состоящей из трёх
r r
сил F1 , F2 , F3 . Используя следствие 1 аксиомы
2, перенесём по линиям
действия силы таким
образом, чтобы начало
их векторов совпадало с
Определение равнодействующей силы
точкой О. Затем поr
строим параллелограмм на векторах сил F1 , F2 и построим его диагональ, котоr r
рая будет являть собой сумму F1 + F2 . Далее построим второй параллелограмм
{
{
}
}
53
r r
r
на векторах F1 + F2 и F3 , диагональ этого параллелограмма будет являться равr
нодействующей R анализируемой системы трёх сходящихся сил.
Численное значение равнодействующей силы определяется по следующей
схеме с использованием уравнения
(
)
r r
r r
F1 + F2 = F* = F12 + F22 + 2F1F2 cos F1 ; F2 ,
r
r r
R = F32 + F*2 + 2F3F* cos F3 ; F* .
(
)
8. Заданная система плоских сходящихся сил
приводится к равнодействующей путем вычитания
из модуля силы F3 из модуля силы F1, а затем геометрического сложения по правилу параллелограмr r
r
ма векторов F1 − F3 и F2 , в результате чего получаr
ется искомый вектор F1, 2,3 , представляющий собой
r r r
геометрический образ равнодействующей системы сил F1; F2 ; F3 . Мдуль равнодействующей определится как:
r
r
r 2
2
F1,2,3 = F1 − F3 + F2 = 32 + 42 = 5 H;
{
(
}
)
5. Тело массой m1 = 5 кг под действием некоторой силы приобретает ускорение а1 = 1 м/с2. Во сколько раз меньшее ускорение эта сила сообщит телу
массой m2 = 10 кг?
Решение
1. В соответствии со вторым законом Ньютона:
F = m1a1; ⎫
a1 m 2
=
= 2;
⎬ ⇒ ζ=
F = m 2 a 2 ;⎭
a 2 m1
6. Искусственный спутник движется по эллиптической орбите вокруг Земли.
Изменяются ли перечисленные в первом столбце таблицы физические величины во время приближения спутника к планете: скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия, полная механическая энергия спутника, и если изменяются, то как?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) не изменяется;
2) только увеличивается по модулю;
3) только уменьшается по модулю;
4) увеличивается по модулю и изменяется по направлению;
5) уменьшается по модулю и изменяется по направлению;
6) Увеличивается по модулю, не изменяется по направлению;
7) уменьшается по модулю, не изменяется по направлению;
Записать в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины.
Решение
1. Движение спутника, находящегося на эллиптической стационарной орбите, описывается законом гравитации Ньютона:
54
ma n = G
mM
;
r2
v2
M
M
=G 2 ; ⇒ v= G ;
r
r
r
где m − масса спутника, М − масса Земли, G − гравитационная постоянная, r − расстояние от центра масс Земли до центра масс
спутника, v − линейная скорость спутника, an − нормальное ускорение.
Таким образом, линейная скорость спутника в точке оббиты 1 будет меньше скорости в точке орбиты 2, потому что r1 > r2.
2. Нормальное (центростремительное) ускорение спутника:
M
an = G 2 ;
r
3. При перемещении спутника из точки 1 в точку 2 векторы линейной скорости и ускорения будут изменять направление.
4. Кинетическая энергия скалярная, всегда положительная величина при
переходе из 1 в 2 будет увеличивать своё значение, потому что:
mv 2
Κ=
;
2
5. Потенциальная энергия спутника:
mM
Π=G
;
r
будет, наоборот, уменьшать своё значение.
6. Если систему спутник − Земля рассматривать как замкнутую, не подверженную кроме гравитационных действию других сил, то будет справедлив закон сохранения энергии, потому что гравитационные силы относятся к классу
консервативных:
Π + Κ = const;
т.е. полная механическая энергия спутника во всех токах его эллиптической
орбиты будет сохранять своё значение.
an =
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
4
4
2
3
1
7. Теннисный мяч брошен вертикально вверх и затем падает. Изменяются
ли в процессе движения мяча вниз скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия, а так же полная механическая энергия? Влиянием сопротивления воздуха пренебречь
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) не изменяется;
2) только увеличивается по модулю;
3) только уменьшается по модулю;
4) увеличивается по модулю и изменяется по направлению;
5) уменьшается по модулю и изменяется по направлению;
55
6) увеличивается по модулю и не изменяется по направлению;
7) уменьшается по модулю и не изменяется по направлению;
Решение
1. Тело, брошенное вертикально вверх в поле земного тяготения, поднимается равнозамедленно в высшую точку траектории на высоту h над поверхностью, скорость становится равной нулю, а далее с ускорением g тело летит к
поверхности в соответствии с кинематическими уравнениями:
v(t) = gt;
⎫
⎪
2
gt ⎬
;⎪
y(t) = h 2 ⎭
из которых следует, что скорость в процессе спуска увеличивается, а вертикальная координата мяча уменьшает своё значение. Ускорение же во всё время
спуска остаётся постоянным но величине и направлению
2. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять поверхность
земли, то:
⎛
gt 2 ⎞
⎟,
Π ( t) = mgy( t ) = mg⎜⎜ h −
2 ⎟⎠
⎝
потенциальная энергия в процессе приближения к поверхности земли будет
уменьшаться.
3. Кинетическая энергия:
2
mv( t ) 2 m(gt )
Κ ( t) =
=
,
2
2
будет возрастать.
4. Движение мяча, как и всякого другого тела, протекает в поле земного тяготения, гравитационные силы являются консервативными, поэтому при их
действии в отсутствии сил сопротивления справедлив закон сохранения механической энергии:
Κ ( t) + Π (t) = const;
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
6
1
2
3
1
8. Излучением называется процесс:
1) проникновения в результате теплового движения атомов одного тела
в промежутки между атомами другого тела;
2) переноса тепла потоком вещества;
3) испускания и распространения энергии без непосредственного контакта между телами;
4) беспорядочное перемещение небольших твёрдых частиц в жидкостях
или газах род действием ударов молекул жидкости или газа;
56
Решение
1. Излучением называется процесс выделения энергии, сопровождаемый
распространением её в пространстве в виде электромагнитных волн.
2. Несмотря на несомненные успехи электронной теории в совокупности с
классической электродинамикой и классической механикой к концу XIX в. в
физике обозначился ряд проблем, которые в рамках классических представлений не получили внятного объяснения. К таким проблемам следует отнести:
• Удельные теплоёмкости при измерениях оказались ниже значений,
предсказываемых молекулярно-кинетической теорией;
• Устойчивость атомов, которые не должны быть устойчивыми по причине непрерывного излучения электромагнитных волн вследствие ускоренного движения электронов по орбитам;
• Законы фотоэффекта не соответствовали представлениям электронной
теории;
• Законы излучения абсолютно чёрного тела противоречили волновой
классической теории;
• Явление радиоактивности не могло быть объяснено с позиций классической физики.
3. Излучение телами электромагнитных волн. Всем известно, что тела,
нагретые до высоких температур, начинают излучать электромагнитные волны
в видимом диапазоне длин волн. При относительно низких температурах некоторые вещества светятся при люминесценции или под влиянием падающих
электронов.
4. При спектральных исследованиях было обнаружено, что излучаемые
электромагнитные волны имеют разные амплитуды и длины волн, т.е. излучение имеет вполне определённый спектр. Напомним, что между частотой f, периодом Т, скоростью распространения с и длиной волны имеют место соотношения
f=
1
; λ = cT; c = fλ; ω = 2πf ,
T
где с ≈ 3⋅108 м/с − скорость света в вакууме. Видимый свет имеет длины волн в
диапазоне от λкр ≈ 760 нм до λфиол ≈ 380 нм. На рис. приведена шкала электромагнитного излучения для волн обнаруженных к настоящему времени.
Шкала электромагнитных волн
5. Спектры электромагнитного излучения могут быть сплошными и линейчатыми.
57
6. Сплошные спектры, в большинстве своём, излучаются веществами, находящимися в твёрдом или жидком состоянии, при относительно больших температурах. Сплошной спектр имеет место при резком торможении электронов
у антикатода рентгеновских трубок.
7. Линейчатые спектры испускаются веществами в газообразном или парообразном состоянии, их можно обнаружить при относительно низких температурах.
8. Электронная классическая теория объясняет возникновение излучения
колебаниями электронов под действием различных внешних причин, причём
период колебаний представляется в соответствие с этой теорией уравнением:
T = 2π
me
,
b
где me − масса электрона, b − коэффициент квазиупругой силы. Поскольку массы электронов в классической физике принимаются постоянными me ≈ 1⋅10 − 30
кг, то разные длины испускаемых волн можно объяснить только различными
значениями коэффициента b.
9. В иных линейчатых спектрах обнаружено до 105 отдельных спектральных линий, а в случае сплошных спектров, разговор о неком наборе значений b
теряет всякий смысл. Если бы в конце XIX в. было бы известно строение атомов, то можно было бы в соответствие с особенностями строения атомов скорректировать теорию, но происходило всё наоборот. О строении атомов приходилось судить по спектрам, которые они испускали.
10.Первые затруднения классической теории начались при объяснении
излучения абсолютно-чёрного тела.
На рис. приведен внешний вид одного
из вариантов такого тела.
Массивная сфера с толстыми теплоизолированными стенками имеет
малое отверстие. Если в это отверстие
направить луч света, то он многократно отразившись от внутренней поверхности наружу не выйдет.
Рис. 3.39. Модель абсолютно-чёрного
Если внутрь сферы поместить нетела
большое раскалённое тело, то его излучение будет происходить только через отверстие. В соответствие с законом
Кирхгофа спектр излучения должен совпадать со спектром поглощения.
Таким образом, свечение тела, находящегося внутри сферы должно определяться только температурой. В модели приведенной на рис. электрическим током нагревается тонкий слой внутренней поверхности, излучение выходит за
пределы сферы только через отверстие. Первые опыты по изучению спектра
абсолютно-чёрного тела были проведены Луммером и Прингсгеймом, получился довольно обескураживающий результат.
11. Проведенные спектроскопические исследования позволили установить
следующие закономерности излучения:
• Спектр излучения абсолютно черного тела является сплошным, т.е.
в спектре представлен непрерывный ряд различных длин волн;
• Распределение энергии в спектре излучения зависит от длины волны. С увеличением длины волны спектральная плотность энергии
58
увеличивается, достигает отчетливо выраженного максимума при
некоторой длине волны λmax, а затем уменьшается;
• С повышением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн.
12. Принято считать, что теоретические исследования теплового излучения
начались работами Кирхгофа в 1859 г. после открытия им закона теплового излучения. Именно Кирхгоф предложил концепцию абсолютно-чёрного тела и
описал его модель. Оказалось, что тепловое излучение является наиболее распространённым видом электромагнитных волн.
13. Тепловое излучение является следствием уменьшения внутренней
энергии тела и наблюдается при любой температуре отличной от 0 0К.
Следуя закону сохранения энергии, тепловое излучение должно приводить к
уменьшению внутренней энергии, т.е. к охлаждению излучающего тела, если к
нему не подводится энергия извне.
14. При поглощении телом электромагнитных волн его внутренняя энергия
возрастает, что приводит к увеличению температуры. Постоянное испускание и
поглощение электромагнитной энергии приводит к тому, что устанавливается
динамическое равновесие между двумя этими процессами.
15. Излучение удобно характеризовать его энергией W и потоком излучения Фе, который определяется энергией, излучаемый за единицу времени:
Φe =
W
,
τ
16. Чтобы сравнивать излучающие способности тел различной площади
вводят понятие энергетической светимости Re, которая определяется как отношение потока излучения к площади излучающей поверхности:
Re =
Φ e ⎡ Вт ⎤
,
s ⎢⎣ м 2 ⎥⎦
17. Приведенные выше характеристики являются по сути своей интегральными, по ним невозможно судить о спектральном составе излучения. В этой
связи, в рассмотрение вводится ещё одна величина − спектральная плотность
энергетической светимости rλ или rω, которую иногда называют лучеиспускательной способностью. Спектральная плотность представляет собой отношение энергетической светимости dRe к ширине волнового или частотного диапазона:
rλ , T =
dR e
.
dλ
Энергетическая светимость в таком случае может быть определена интегралом:
∞
R e = ∫ rλ , T dλ .
0
18. Из повседневного опыта известно, что если нагревать твердое тело, то
оно вначале краснеет, а с повышением температуры свечение тела становится
все более белым. Это свидетельствует о том, что максимум интенсивности теплового излучения по мере повышения температуры тела смещается к фиолетовому концу спектра, т.е. к его коротковолновой части. Длина волны λmax в спектре излучения абсолютно черного тела, на которую приходится максимум
спектральной плотности энергетической светимости, определяется законом
смещения Вина:
59
λ max =
b
,
T
где постоянная Вина b = 2,9⋅10 − 3 м⋅К.
19. Австрийский физик И. Стефан, анализировавший полученные экспериментальные данные, и Л. Больцман, исходивший из общих термодинамических
соображений, установили зависимость энергетической светимости черного тела от температуры. Согласно закону Стефана – Болъцмана:
∞
R e = ∫ rλ dλ = σT 4 ,
0
т.е. энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. Коэффициент пропорциональности σ называется постоянной Стефана − Больцмана σ = 5,6⋅10 − 8
Вт⋅м − 2⋅К-4.
20. Введём далее пространственную характеристику излучения − плотность энергии излучения, т.е. количество излучённой телом энергии в единице объёма:
∞
∞
0
0
u = ∫ u ωdω = ∫ u λ dλ ,
где величины u ωdω и u λ dλ являются объёмной плотностью энергии, приходящейся на интервал циклических частот от ω до ω + dω или диапазон длин волн
от λ до λ + dλ, величины uω и uλ называются спектральными плотностями лучистой энергии. Если анализу подлежит один и тот же диапазон излучения, то
u λ dλ = u ω dω .
Так как
λ=
2πс
,
ω
то
dλ
dω
=−
,
λ
ω
знак минус, в данном случае, означает, что с ростом частоты длина волны
уменьшается. Считая величины dλ и dω положительными можно записать следующие соотношения
uλ =
ω
λ
uω; uω = uλ .
λ
ω
21. Исторически так сложилось, что теоретики имеют обыкновение пользоваться величиной uω, а экспериментаторы предпочитают − uλ, что, в общем-то,
на суть рассматриваемых вопросов влияния не оказывает. Основной задачей
теории теплового излучения являлось определение зависимости величины
плотности энергии излучения от частоты или длины волны при различных
температурах.
22. Теоретическое определение функции u ω (ω, T ) в рамках классической
волновой теории было выполнено в 1900 г. лордом Рэлеем, а затем развито
Джинсом. Эти знаменитые волновики применили к излучению абсолютночёрного тела теорему классической статистической механики о равномерном
распределении кинетической энергии по степеням свободы. На каждую степень свободы, в соответствие с этой теоремой, приходится в среднем кинетическая энергия:
60
℘=
1
k BT ,
2
где kB ≈ 1,4⋅10 − 23 Дж/К − постоянная Больцмана. Если рассматриваются колебательные степени свободы, то необходимо учитывать и потенциальную энергию, обусловленную действием квазиупругой силы. На каждую колебательную
степень свободы, таким образом, приходится энергия:
℘ = k BT .
23. Таким образом в классическом представлении задача об излучении сводилась к определению функции u λ (λ, T ) или u ω (ω, T ) , что было возможным при
правильном определении числа степеней свободы колеблющихся электронов.
24. Формула Рэлея − Джинса, полученная на основании волновых представлений, имела вид:
∞
k T
u λ = 2B 3 ∫ λ2dλ = ∞ .
πc 0
25. Вид функции uλ показан на рис. пунктирной линией. По теории знаменитых
специалистов в волновой механике получалось, что тепловое равновесие между
веществом и излучением
невозможно.
26. Приравнивание в возможностях всех степеней
свободы приводило к тому,
что вся энергия излучения
абсолютно-чёрного
тела
должна была концентрироваться в ультрафиолетовом
диапазоне длин волн.
27. Эренфест это назвал
Спектр излучения абсолютно-чёрного тела
ультрафиолетовой катастрофой. Дело в том, что по теории Рэлея − Джинса излучение в полости имеет
бесконечное число степеней свободы, а вещество вполне конечное.
28. Спектроскопические экспериментальные исследования излучения абсолютно-чёрного тела выявили совершенно отличные от теоретического вида
функции u (λ, T ) , на рис. они показаны сплошными цветными линиями, соответствующими различным температурам излучающего тела от Т = 3500 0К до Т
= 5500 0К. Почувствуйте, как говорится, разницу между правдивым экспериментом и надуманной теорией.
29. Когда задачу об излучении абсолютно чёрного тела поручили решать
юному Максу Планку, желавшему попробовать свои силы в теоретической физике, то он тоже решил применить теорему об энергетической равнозначности
степеней свободы.
30. Но Планк был более математик, чем физик и по-первости решил поступить бесхитростно, чисто по-студенчески. Он проанализировал поведение простейшего гармонического осциллятора, квазиупруго связанного с ядром электрона, находящегося в полости с равновесным излучением.
61
31. При действии хаотически меняющегося электромагнитного поля электрон должен совершать колебания с хаотически меняющимися амплитудами и
фазами, излучая и поглощая энергию электромагнитных волн.
32. Энергия такого осциллятора тоже должна совершать беспорядочные
флуктуации вокруг среднего значения < ε > . У Планка получилось уравнение,
идеологически совпадающее с формулой Рэлея − Джинса:
uω =
<ε> 2
ω .
π2c3
33. Убедившись в бесперспективности традиционных подходов, Планк, не
заботясь о физическом смысле, начал подгонять формулу излучения под
данные эксперимента. Получились уравнения для классической физики довольно странноватого вида:
uω =
hω3
π 2 c3
1
.
⎛ hω
⎞
− 1⎟⎟
exp⎜⎜
⎝ k BT ⎠
8πhc
1
.
uλ = 5
λ
⎛ hc
⎞
− 1⎟⎟
exp⎜⎜
⎝ λk BT ⎠
34. Странность этого уравнение заключалась в том, что оно содержало некую постоянную величину h = h 2π ≈ 1 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с , (h ≈ 6,6⋅10 − 34 Дж⋅с). Это означало, что обычный гармонический осциллятор мог излучать энергию
только порциями.
35. Позже Планк нашёл теоретическое обоснование своему уравнению. Он
высказал гипотезу о том, что электромагнитная энергия излучается и поглощается не непрерывно, а порциями, названными квантами.
Согласно этой гипотезе энергия гармонического осциллятора могла принимать только фиксированные значения, отличающиеся на величину
εf = hf ≡ hν .
− 34
Дж⋅с − постоянная Планка, f, ν − частота. Таким образом, обгде h ≈ 6,6⋅10
мен энергией резонирующего электрона происходит порциями < ε >= nhν , т.е.
квантовыми скачками. Такое смелое утверждение требовало совершенно по
новому объяснить связь между излучаемой энергией и колебаниями осциллятора, в частности электрона на резерфордовской орбите.
9. В два одинаковых сосуда с холодной водой опустили два тела одинаковой массы, нагретые до одинаковой температуры. В первый сосуд опустили
тело из алюминия, во второй − из свинца. В каком сосуде будет более высокая
температура при установления теплового равновесия?
1) В первом сосуде, так как плотность алюминия меньше плотности
свинца;
2) В первом сосуде, так как удельная теплоёмкость алюминия больше
удельной теплоёмкости свинца;
3) Во втором сосуде, так как плотность свинца больше плотности алюминия;
4) Во втором сосуде, так как удельная теплоёмкость свинца меньше
удельной теплоёмкости алюминия.
Какое из приведённых выше утверждений правильно?
62
Решение
1. Повседневный опыт показывает, что при соприкосновении тела со средой, обладающей более высокой температурой оно нагревается, причём степень нагрева, при прочих равных условиях, зависит от физических свойств тела. Так, например, деревянной палкой можно достаточно долго ворошить горящий костёр, пока она не загорится, а вот алюминиевым прутом орудовать
получится недолго, прут быстро нагреется и начнёт жечь руки. Из этого примера видно, что как и следовало ожидать, особенности молекулярного строение тел определяют динамику термодинамических процессов. Одной из важных термодинамических характеристик вещества является отношение подводимого количества тепла и соответствующего изменения температуры.
2. Теплоёмкостью тела С называется физическая величина, определяемая в
виде отношения сообщённого телу количества теплоты δQ к вызванному изменению температуры dT
C=
δQ ⎡ Дж ⎤
.
,
dT ⎢⎣ T ⎥⎦
3. Для удобства использования понятия теплоёмкости в практических расчётах ввели ещё две производные величины. Молярной теплоёмкостью называется теплоёмкость одного моля вещества, которая определяет на сколько
градусов, например по Кельвину, нагреется один моль вещества при сообщении ему количества теплоты δQ = 1 Дж
Cμ =
δQ
,
dT ⋅ ν
⎡ Дж ⎤
⎢ моль ⋅ К ⎥ .
⎦
⎣
4. Удельная теплоёмкость характеризует процесс нагревания или охлаждения единицы массы вещества, чаще всего 1 кг, но это совсем не обязательно,
могут быть граммы или тонны
c=
δQ ⎡ Дж ⎤
.
,
dT ⋅ m ⎢⎣ кг ⋅ К ⎥⎦
5. Для выяснения подробностей рассмотрим процесс нагревания. Запишем
уравнение первого начала термодинамики:
CdT = δQ = dU + pdV .
6. В рассматриваемом примере с нагреванием воды работы не совершается,
поэтому уравнение теплового баланса представится следующим образом:
δQ ≈ c Al mΔT1; ⎫
ΔT1 c Al 920
≈
≈
≈ 6,57,
⎬ ⇒
δQ ≈ c Pb mΔT2 ;⎭
ΔT2 c Pb 140
где cA l≈ 920 Дж/(кг⋅К) − удельная теплоёмкость алюминия, cPb ≈ 140 Дж/(кг⋅К)
− удельная теплоёмкость свинца. Следовательно правильным является утверждение 2.
10. Во сколько раз увеличилось давление газа, если при неизменной концентрации молекул абсолютная температура идеального газа была увеличена
в 3 раза?
Решение
p1 = nk BT1; ⎫
p2
= 3;
⎬ ⇒ ζ=
p 2 = nk B 3T1;⎭
p1
63
11. Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими адиабатный процесс расширения воздуха, перечисленными в первом столбце, и их изменениями во втором столбце.
Решение
1. Адиабатным называется процесс при котором отсутствует теплообмен
между рассматриваемой системой и окружающей средой:
pV γ = const; ⎫
⎪
i+2 5+2
pT γ −1 = const; ⎬ γ =
=
= 1,4 − показатель адиабаты.
i
5
⎪
γ 1− γ
T p = const;⎭
2. Из уравнений процесса следует, что при адиабатическом расширении
воздуха, молекулы которого обладают i = 5 степенями свободы:
А − давление в процессе расширения уменьшается;
Б − объём занимаемый газом увеличивается;
В − температура уменьшается т.к. расширение происходит за счёт
уменьшения внутренней энергии газа.
Г − внутренняя энергия уменьшается потому что газом производится
работа:
γ −1
m
p1V1 ⎡ ⎛ V1 ⎞ ⎤
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ;
A = C V (T1 − T2 ) =
μ
γ − 1 ⎢ ⎜⎝ V2 ⎟⎠ ⎥
⎦
⎣
А
Б
В
Г
2
1
2
2
12. Установить соответствие между процессами в идеальном газе и формулами, которыми они описываются (n − число частиц, р − давление, V − объём, Т − абсолютная температура, t − температура в градусах Цельсия). Каждой
позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго столбца и записать данные в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
А
2,4
Б
3
64
13. Между двумя точечными заряженными телами сила электрического
взаимодействия равна 12 мН. Какой станет сила взаимодействия, если заряд
одного тела увеличить в 2 раза, а заряд другого уменьшить в 3 раза, а расстояние между телами уменьшить в 2 раза?
Решение
1 q1q 2 ⎫
; ⎪
4πεε0 r 2
⎪
q2 ⎪
2q1
⎬ ⇒
1
3
;⎪
F2 =
4πεε0 ⎛ r ⎞ 2 ⎪
⎜ ⎟ ⎪
⎝2⎠ ⎭
F1 =
8F
F1 3
= ; F2 = 1 = 32мН;
3
F2 8
14. При переходе луча света из одной среды в другую угол падения равен
530, а угол преломления 370 (sin 370 ≈ 0,6; sin 530 ≈ 0,8). Каков относительный
показатель преломления второй среды относительно первой?
Решение
В соответствии с законом преломления света:
n
sin 530
≈ 1,33;
n 2,1 = 2 =
n1 sin 37 0
15. Свет от двух точечных когерентных монохроматических источников
приходит в точку экрана 1 с разностью фаз Δ = 1,5λ, в точку 2 экрана − с разностью фаз Δ = λ. Одинакова ли в этих точках освещённость? Расстояние от
источника до экрана значительно больше длины волны.
Решение
1. Рассмотрим две одинаково направленные волны, возбуждаемые источниками ξ1 и ξ2 с циклическими частотами ω1, ω2, начальными фазами α1,
α2. В произвольной точке пространства М, расположенной на расстояниях
r1 и r2 от источников будут возбуждаться колебания, удовлетворяющие
уравнениям:
A1
⎫
sin (ω1t − k1r1 + α1 ); ⎪
r1
⎪
⎬
A
ξ 2 = 2 sin (ω2 t − k 2 r2 + α 2 ),⎪
⎪⎭
r2
ξ1 =
Интерференция двух волн
A1
⎫
sin Φ1 ; ⎪
r1
⎪
⎬
A
ξ 2 = 2 sin Φ 2 .⎪
⎪⎭
r2
ξ1 =
2. В соответствии с принципом суперпозиции суммарная волна в точке М
определится как
ξ = ξ1 + ξ 2 = A sin Φ .
3. Величины А и Ф возможно определить методом векторных диаграмм,
путём построения параллелограмма на векторах А1 и А2
65
2
2
⎛A ⎞ ⎛A ⎞
A A
A = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2 1 2 cos(Φ 2 − Φ1 ) ,
r1 r2
⎝ r1 ⎠ ⎝ r2 ⎠
A1
A
sin Φ1 + 2 sin Φ 2
r
r2
.
Φ = arctg 1
A1
A2
cos Φ1 +
cos Φ 2
r1
r2
2
4. Как видно из уравнений возможны при суммировании два принципиально разных случая. Если разность фаз источников волн (Ф2 − Ф1) ≠ f(t) в точке М
не изменяется во времени, то такие источники называются когерентными. В
противном случае, при изменении разности фаз во времени (Ф2 − Ф1) = f(t), источники считаются некогерентными.
5. Запишем уравнение разности фаз исходных волн, через скорости их распространения. Поскольку k = ω/v, то
r1
⎫
+ α1 ; ⎪
v1
⎪
⎬
r
Φ 2 = ω2 t − ω2 2 + α 2 .⎪
⎪⎭
v2
⎛
r
r ⎞
Φ 2 − Φ1 = (ω2 − ω1 ) t − ⎜⎜ ω2 2 − ω1 1 ⎟⎟ + (α 2 − α1 ) .
v1 ⎠
⎝ v2
Φ1 = ω1t − ω1
6. Поскольку второй и третий члены правой части последнего уравнения не
зависят от времени ни при каких обстоятельствах, то условие когерентности
источников определяются первым членом. Очевидно, что если ω1 = ω2, то Ф2 −
Ф1 = 0, т.е. источники когерентны. Таким образом, две волны когерентны, если
их частоты одинаковы и некогерентные, если частоты разные. Из уравнения,
кроме того, следует, что в точке М суммарная амплитуда некогерентных волн
будет изменяться во времени в пределах
A1 A 2 ⎫
+
;⎪
r1
r2 ⎪
⎬
A1 A 2 ⎪
=
−
,
r1
r2 ⎪⎭
A max =
A min
причём циклическая частота изменения суммарной амплитуды будет происходить с частотой изменения результирующей фазы (Ф2 − Ф1), другими словами,
с циклической частотой, равной ω2 − ω1 .
7. Определим среднее значение квадрата результирующей амплитуды за
время её изменения τ
2
2
τ
τ
⎤
1
1 ⎡⎛ A1 ⎞ ⎛ A 2 ⎞
2
⎟⎟ + 2A1A 2 cos(Φ 2 − Φ1 )⎥ dt ,
< A >= ∫ A dt = ∫ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
τ0
τ 0 ⎢⎝ r1 ⎠ ⎝ r2 ⎠
⎥⎦
⎣
2
2
2
⎛ A ⎞ ⎛ A ⎞ 1 2A1A 2 τ
< A >= ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ +
∫ cos(Φ 2 − Φ1 )dt .
⎝ r1 ⎠ ⎝ r2 ⎠ τ r1r2 0
2
8. Разность фаз за время одного периода τ меняется на 2π, поэтому
τ
∫ cos(Φ
2
− Φ1 )dt = 0 ,
0
из чего следует, что
66
2
2
⎛A ⎞ ⎛A ⎞
< A >= ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
⎝ r1 ⎠ ⎝ r2 ⎠
2
Полученное уравнение утверждает, что энергия результирующих колебаний в каждой точке пространства равна сумме энергий всех некогерентных источников.
9. Если источники когерентны, т.е. ω1 = ω2 = ω, то для изотропной среды v1
= v2 = v. В этом случае для разности фаз можно переписать уравнение разности
фаз следующим образом
Φ 2 − Φ1 = −
ω
(r2 − r1 ) + (α 2 − α1 ) = −k (r2 − r1 ) + (α 2 − α1 ) .
v
Квадрат результирующей амплитуды примет вид
2
2
⎛ A ⎞ ⎛ A ⎞ 2A1A 2
A = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ +
cos[k (r2 − r1 ) − (α 2 − α1 )] .
r1r2
⎝ r1 ⎠ ⎝ r2 ⎠
2
10. При рассмотрении последнего уравнения следует иметь в виду, что
α 2 − α1 = const и k = const, что означает независимость результирующей амплитуды от времени. Амплитуда А будет максимальна во всех точках, где аргумент косинуса равен π. Максимальное значение амплитуды
A max =
A1 A 2
+
,
r1
r2
будет иметь место, таким образом, при условии
k (r2 − r1 ) + α1 − α 2 = 2πm
(m = 0, ± 1, ± 2, K) .
11. Уравнение можно преобразовать, заменив волновое число его значением k = 2π λ
r2 − r1 = mλ +
α 2 − α1
λ.
2π
12. При α1 − α2 = 0 условие интерференционных максимумов будет иметь
вид:
Δ = r1 − r2 = mλ .
Минимальное значение амплитуды:
A min =
A1 A 2
−
,
r1
r2
будет иметь место в точках пространства, где выполняется условие:
k (r2 − r1 ) + α1 − α 2 = (2m − 1)π ,
или
λ α − α1
r2 − r1 = (2m − 1) + 2
λ.
2
2π
13. Если α2 − α1 = 0, то условие интерференционных минимумов будет соответствовать уравнению:
λ
Δ = r2 − r1 = (2m − 1) .
2
14. Величина r2 − r1 называется геометрической разностью хода волн от источников ξ1 и ξ2 до рассматриваемой точки пространства.
В пространстве, окружающем источники когерентных волн будет наблюдаться взаимное усиление и ослабление колебаний в зависимости от соотношения фаз. Это явление называется интерференцией волн. В результате интерференции может происходить взаимное усиление и ослабление когерентных волн.
67
На рис. показан схематически случай усиления и ослабления двух когерентных
вол, правая часть схемы соответствует полному взаимному гашению волн.
Взаимное усиление и ослабление двух волн
15. В точке 2 (Δ = λ) таким образом, оптическая разность хода волн будет
соответствовать условию максимума и в этой точке интенсивность света будет
выше чем в токе 1.
16. При подключении резистора с неизвестным сопротивлением к источнику тока с ЭДС ε =10 В и внутренним сопротивлением r =1 Ом напряжение на
выходе источника равно U = 8 В. Чему рана сила тока в цепи?
Решение
1. Законы Ома для участка цепи и полной цепи дают систему уравнений:
U
⎫
I=
; ⎪
Rx
U
ε
⎪
; εR x = UR x + Ur; R x (ε − U ) = Ur;
=
⎬ ⇒
ε ⎪
Rx Rx + r
I=
;
R x + r ⎪⎭
Rx =
Ur
U
= 4 Ом; I =
= 2A;
ε−U
Rx
17. Схемы и графики иллюстрируют электромагнитные колебания в LCконтуре. Установить соответствие между графиками А и Б и значения величин
в момент времени τ = 0,5 Т.
68
Решение
1. Судя по схемам контура, кривая А соответствует изменению напряжения
на обкладках конденсатора. В начальный момент времени конденсатор заряжен
до максимального напряжения, т.е. вся энергия представляет собой энергию
электростатического поля. Кривая Б представляет собой изменение силы тока в
катушке:
2. Незатухающие свободные колебания в LC контуре описываются линейным дифференциальным уравнением вида:
1
&q& + ω02q = 0; ω02 =
; T = 2π LC ;
LC
Решение уравнения имеет вид:
q ( t ) = q 0 cos(ω0 t + ϕ 0 ),
где q − электрический заряд конденсатора, ω0 − циклическая частота собственных колебаний контура, L − индуктивность контура, С −электрическая ёмкость
конденсатора/
2. Сила тока через катушку определяется как:
2π
2π
dq
= −q 0ω0 sin ω0 t = −q 0
t,
sin
iL (t) =
T
T
dt
при t = T/2
2:
2π
2π T
2π
= −q 0
sin π; ⇒ i L ( T / 2) = 0;
sin
i L ( t ) = −q 0
T 2
T
2π LC
3. Напряжение на обкладках конденсатора:
q(t ) q 0
2π
u C (t) =
= cos t;
C
C
T
при t = T/4:
q
u C ( t ) = 0 cos π; ⇒ u c ( T / 4 ) = U max ;
C
А
Б
2
3
18. Материальная точка движется равномерно и прямолинейно противоположно направлению оси координат ОХ. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой
позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго столбца и записать цифры под соответствующими буквами.
69
Решение
1. Материальная точка с постоянной скоростью v начинает движение в сторону начала системы отсчета, имея при t = 0, координату х0, далее координата
уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной:
x(t) = x 0 − vt;
2. Дина пройденного пути (путь) является положительной скалярной величиной и представляет собой отрезок траектории (в данном случае − прямой)
пройденный точкой или телом от момента начала отсчёта времени:
s(t) = vt;
А
3
Б
1
19. Какое из приведенных ниже высказываний правильно описывает способность атома к излучению и поглощению фотонов?
1) Атом может поглощать и излучать фотоны с любой частотой;
2) Атом может поглощать фотоны с любой частотой, излучать фотоны
только с некоторыми определёнными частотами:
3) Атом может поглощать фотоны только определённой частоты, а излучать фотоны только определённых частот
4) Атом может излучать и поглощать фотоны только с некоторыми определёнными значениями частоты.
Решение
Атом водорода по Резерфорду
1. Несмотря на то, что модель атома
Резерфорда инициировала целый поток
идей о строении атома и особенностях
устройства электронных составляющих,
этой модели были присущи принципиальные недостатки.
2. Наиболее наглядно это наблюдается
на примере самого простого атома водорода, который по представлениям Резерфорда содержит на орбите один единственный электрон, компенсирующий положительный заряд ядра, равный по мо70
дулю заряду электрона.
3. Электрон, совершая вращение вокруг ядра по круговой или эллиптической орбите, ввиду специфики криволинейного движения обладает центростремительным ускорением an. В соответствие с классической электродинамикой
такой ускоренно движущийся электрон неминуемо должен излучать электромагнитную волну, следовательно, движение его будет не круговым или эллиптическим, а спиралевидным, т.е. в конце концов, эта спираль должна, закончится на ядре.
4. Кроме того, модель атома Резерфорда не объясняла, почему атомы излучают только определённые частоты. Кода Резерфорд вершил судьбы мировой
науки, поблизости, в статусе ученика обретался молодой датский студент
Нильс Бор, которому все эти атомно-ядерные разговоры были чрезвычайно интересны.
5. Наслушавшись научных диспутов между Дж. Дж. Томсоном, Резерфордом и другими титанами физики и ознакомившись с работами Макса Планка,
Нильс Бор заподозрил, что между квантовой гипотезой Планка и устройством
атома должна быть взаимосвязь, коль квантовая теория так убедительно работает на чёрном теле и фотоэффекте.
6. Бор подозревал, что квантовые представления могли объяснить стабильность атомов. Последовательность рассуждений Нильса Бора была примерно
такова.
7. Для начала Бор предположил, что электрон, вопреки классической электродинамике, находясь на стационарной орбите, не излучает. Сила Кулона со
стороны ядра
r
1 Ze ⋅ e r
FK = −
r r,
4πε0 r 3
удовлетворяет закону обратных квадратов, как и гравитационная сила Ньютона
r
mm r
FG = G 1 3 2 r ,
r
т.е. в классическом варианте задача о движении электрона аналогична задаче о
движении планет вокруг Солнца, почему, собственно, Резерфорд и пришёл к
планетарной модели атома. Потенциальная энергия, обусловленная силой Кулона, определяется как
Π (r ) = −
Ze2
,
r
где Ze − заряд ядра, принятый Бором как материальная точка. Нормальное ускорение электрона (рис. 3.48) при линейной скорости движения v равно
an =
v2
.
r
Условие нахождения электрона на стационарной орбите запишется в виде
равенства силы Кулона и силы инерции, так же как при рассмотрении планет,
вращающихся вокруг Солнца, с той разницей, что гравитационная сила заменяется силой Кулона
me v2
Ze2
=k 2 ;
r
r
⇒
me v2 =
Ze2
.
r
8. Далее было записано уравнение для суммарной энергии электрона на орбите
W=
me v2
Ze2
+ Π (r ) = −
,
2
2r
71
уравнение угловой скорости
ω=
v
,
r
и кинетического момента, направленного перпендикулярно плоскости движения электрона:
L = m e vr .
9. Таким образом, движение электрона описывалось пятью переменными
{r, v, W, ω, L} , которые связаны четырьмя уравнениями. Если в качестве известной величины взять одну из этих переменных, то остальные можно выразить
через неё. Предположим, что известной величиной является кинетический момент L, тогда:
⎫
⎪
⎪
⎪
Ze2
v=
;
⎪
⎪
L
⎬
2 4
Z e me ⎪
ω=
; ⎪
L3
⎪
Z2e 4 m e ⎪
W=−
.
2L2 ⎪⎭
r=
L2
;
Ze2 m e
10. Далее Нильс Бор предположил, что кинетический момент не может
принимать произвольных значений, а подчиняется правилу квантования
Макса Планка, т.е.
h
,
L = nh; h =
2π
где n = 1, 2, 3, …. ∞, поскольку с L связаны все остальные переменные, то они
тоже становятся квантованными
⎫
⎪
⎪
⎬
2
4
2
4
Z ⎛ mee ⎞
Z ⎛ mee ⎞ ⎪
⎟.
ωn = 3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ; Wn = − 2 ⎜⎜
n ⎝ h ⎠
n ⎝ 2h 2 ⎟⎠ ⎪⎭
rn =
n2 ⎛ h2 ⎞
Z ⎛ e2 ⎞
⎜⎜
⎟
⎜ ⎟ c;
;
v
=
n
Z ⎝ m e e 2 ⎟⎠
n ⎜⎝ he ⎟⎠
11. Первое уравнение системы позволяет ближайшую к ядру атома орбиту
охарактеризовать радиусом, который в системе СИ представится как
a0 =
4πε0h 2
≈ 5,3 ⋅ 10−11 м ≈ 0,53A o ,
m ee 2
и называется Боровским радиусом. Энергетический масштаб оценивается постоянной Ридберга
Ry =
mee4
e2
=
≅ 13,6эВ .
4πch 3 2a 0
12. В качестве энергии в 1 эВ принимается энергия электрона, прошедшего
разность потенциалов в 1 вольт, 1эВ ≈ 1,6 ⋅ 10−19 Дж . Число n в квантовой механике называется главным квантовым числом.
13. Бор постулировал, что поглощение и излучение энергии электроном
происходит скачкообразно, только при переходе из одной разрешённой орбиты
на другую, причём скачкообразное перемещение с высокой орбиты Wn на
,более энергетически низкую орбиту Wn-1 сопровождается испусканием
кванта энергии, т.е. фотона.
72
14. Естественно предположить, что таким же образом электрон меняет орбиту при поглощении кванта энергии. Причём падающий фотон должен иметь
такую же величину энергии, чтобы она компенсировала разность энергий между двумя разрешёнными уровнями. Состояние электрона с n = 1 принято за основное, в котором не происходит излучения энергии.
15. Атомы веществ в естественном состоянии находятся в большинстве своём в стационарном состоянии. Чтобы подняться на более высокий энергетический уровень, электрон должен захватить подходящий фотон. Все состояния с
n > 1 являются нестабильными.
16. Введя таким образом в ядерную модель атома Резерфорда квантовые
представления, Нильс Бор сформулировал два постулата (два основных положения):
• Электроны могут находиться в атоме только на определённых орбитах, причём, несмотря на ускоренное движение, излучения электромагнитных волн не происходит. Орбиты, соответствующие стационарным состояниям определяются условием
m e v n rn =
nh
.
2π
17. Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии
при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое
hν = Wn − Wn −1 .
18. Применив свои постулаты к простейшему
атому водорода, Нильс Бор получил следующее
условие стационарности орбит
1 ee m e v 2n
.
=
4πε0 rn2
rn
19. Выразим из первого постулата скорость
электрона
vn =
nh
,
2πm e rn
Излучение фотона
возведём её в квадрат и подставим в уравнение радиуса орбиты
rn = n 2
h 2ε 0
πm ee 2
(n = 1,2,3K) .
20. Как следует из уравнения радиусы разрешённых электронных орбит
пропорциональны n2. Если уравнение разрешить для главного квантового числа n = 1, то получится Боровский радиус r1 ≈ 5,28⋅10 − 11 м. Если ядро атома считать неподвижным, то электрон на орбите можно описать следующими энергетическими соотношениями, выраженными в системе СИ:
⎫
⎪
⎪
⎪⎪
e2
Π=
;
⎬
4πε0 rn
⎪
2
⎪
e
W =K+Π =−
.⎪
8πε0 rn ⎭⎪
K=
m e v 2n
e2
=
;
2
8πε0 rn
21. Минимальной энергией обладает электрон при n = 1. Энергия в произвольном разрешённом состоянии определится как:
73
mee4 1
.
8h 2ε02 n 2
Wn = −
22. В отличие от модели атома Резерфорда, постулаты Бора и записанные
выше уравнения смогли объяснить линейчатые спектры атомов, в частотности
атома водорода. Согласно второму постулату Бора излучаемый или поглощаемый квант энергии определяется условием:
hν = W2 − W1 =
mee4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ − 2 ⎟⎟ .
2 2 ⎜ 2
8h ε0 ⎝ n1 n 2 ⎠
23. Уравнение можно записать для частоты и длины волны:
ν=
m ee 4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ − 2 ⎟⎟ ,
3 2 ⎜ 2
8h ε 0 ⎝ n 1 n 2 ⎠
1
m e4 ⎛ 1
1 ⎞
= 2e 2 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .
λ 8h ε 0 c ⎝ n 1 n 2 ⎠
24. Сомножитель последнего уравнения оказался совпадающим в первом
приближении со значением постоянной Ридберга, полученной первоначально
экспериментальным путём:
R=
m ee4
,
8h 2ε02c
что рассматривается, как одно из подтверждений справедливости квантовой
модели атома Бора. Бор показал, что для более точного вычисления постоянной
Ридберга необходимо внести корректировки в уравнения, связанные с подвижностью ядра.
25. Теория водородоподобного атома Нильса Бора позволила объяснить его
линейчатые спектры, обусловленные переходами электрона из одного стационарного состояния в другое, с меньшей энергией.
26. Каждая, регистрируемая экспериментально спектральная линия является свидетельством акта испускания фотона определённой длины волны, при
переходе электрона на низший энергетический уровень
27. Сам Нильс Бор лучше других осознавал недостатки своей теории, как
промежуточного звена между, планетарной моделью атома и квантовыми представлениями. Необходимость в корректировке теории напрашивалась по многим причинам, основной из которых являлась корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного поля.
28. То, что свет в зависимости от обстоятельств эксперимента вёл себя то
как волна, то как поток частиц, говорило о
необходимости привлечения для объяснения это странности кванта действия Макса
Планка.
29. Идея теоретического объединения
частиц (корпускул) и волн принадлежала
французскому физику Луи де Бройлю, который предположил, что движение электрона или другой частицы с массой покоя
отличной от нуля по орбите, можно отождествить с волновым процессом.
30. Де Бройль провёл аналогию меду
энергией кванта и импульсом частицы
ε = hν ⇔ p = h λ ,
Волны де Бройля
74
откуда длина волны де Бройля для электрона определяется как:
λ=
h
.
me v
31. Согласно гипотезе де Бройля стационарными будут те орбиты электрона, на которых укладывается целое число волн
2πrn = nλ .
32. Приписав частицам волновые свойства де Бройль объяснил такое необычное для классической физики явление как дифракция и интерференция
электронов на узкой щели. По классическим представлениям, если бы электроны были частицами, то на экране наблюдались бы два пятна, а реально электроны демонстрировали ярко выраженные волновые свойства.
Дифракция электронов на двух щелях
33. Таким образом, верным является утверждение 4.
20. В результате электронного β-распада ядра атома элемента с зарядовым числом Z получается ядро атома с зарядовым числом:
1) Z − 2;
2) Z + 1;
3) Z − 1;
4) Z + 2?
Решение
1. β-распад ядра представляет собой процесс испускания ядром электронов.
Правило смещения при электронном β-распаде имеет следующий вид:
A
A
0
⇒ ZY = Z + 1;
Z X → Z +1Y + −1 e;
21. Радиоактивный распад протекает в соответствии с законом:
N = N0 2
−
t
T
;
Радиоактивный изотоп имеет период полураспада Т = 2 минуты. Сколько
из 100 ядер испытывают радиоактивный распад за время τ = 2 минуты?
Решение
1. Искомое число распавшихся ядер можно определить, используя определение периода полураспада или непосредственно по заданному уравнению
процесса:
75
-
2
2
N = 100 ⋅ 2 = 100 ⋅ 2−1 = 50;
22. К источнику постоянного тока были подключены последовательно электрическая лампа накаливания и полупроводниковый терморезистор. Что произойдёт с электрическим сопротивлением нити накала лампы, напряжением на
ней и электрическим сопротивлением терморезистора при увеличении силы
тока в цепи?
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность?
Решение
1. Удельное сопротивление металлического проводника, каковой является
спираль накаливания электролампы, зависит от температуры:
ρ = ρ0 (1 + αt ),
где ρ0 − значение удельного сопротивления при температуре t = 0 0C, αтемпературный коэффициент сопротивления. При увеличении силы тока в цепи повысится температура спирали, удельное сопротивление материала спирали увеличится, следовательно, и сопротивление спирали − увеличится. Кстати,
лампы накаливания перегорают чаще всего именно в момент включения. Потому что холодная спираль обладает малым сопротивлением и через неё, при
постоянстве питающего напряжения начинает протекать максимальный ток.
2. Полупроводниковый терморезистор, как правило, в некотором интервале температур в противоположность металлам с повышением температуры уменьшают своё удельное сопротивление чрезвычайно резко: в сотни и тысячи раз.
3. На рисунке приведена качественная вольтамперная характеристика полупроводникового термосопротивления. Использование правой ветви характеристики позволяет получить эффект увеличения сопротивления при уменьшении силы пропускаемого тока.
Электрическое сопроНапряжение на нити на- Сопротивление полутивление нити накала
кала лампы
проводникового терлампы
морезистора
1
1
2
23. Показана шкала универсального
прибора, измеряющего величину атмосферного давления, температуру и влажность. Указать измеряемые текущие величины атмосферного давления и влажности.
Решение
1. Показания универсального прибора:
Показания универсального прибора
76
p = 995 гПа ≡ 746 мм. рт. ст;
ϕ = 61%;
24. На графике представлены результаты измерения длины пружины l при
различных значениях массы m подвешенных к пружине грузов. Погрешность
измерения массы Δm = ± 0,01 кг, длины Δl = ± 0,01 м. Чему равна длина пружины при подвешивании к ней груза массой m = 800 г?
Решение
1. Определим коэффициент упругости пружины на примере подвешивания
груза массой m1 = 0,6 кг:
m g 0,6 ⋅ 10
Н
m1g = kl 1; k ≈ 1 ≈
≈ 30,77 ;
0,195
м
l1
2. Длина пружины при подвешивании массы m2 = 0,8 кг
mg
8
m 2 g = kl 2 ; l 2 = 2 ≈
≈ 0,26 м ;
k
30,77
Часть 2
25. Сжатая на 2 см пружина подбрасывает стальной шар вертикально
вверх на высоту 20 см. Если вся энергия сжатой пружины передаётся шару, то
на сколько увеличится высота полёта шара при сжатии пружины на 4 см?
Решение
1. При выстреле шара происходит трансформация потенциальной энергии
сжатой пружины в кинетическую энергию шара, которая в свою очередь преобразуется в процессе его вертикального полёта в потенциальную энергию.
2. Рассматриваемая механическая система находится под действием упругих и гравитационных сил, которые являются консервативными, т.е. в отсутствие сил сопротивления можно применить закон сохранения механической
энергии.
3. Если нулевой уровень потенциальной энергии совместить с уровнем его
отрыва от пружины, то закон сохранения для заданной замкнутой механической системы можно представить следующим образом:
77
⎫
kΔl 12
= mgh1; ⎪
Δl 22 h1
⎪
2
⇒
h
=
= 80 см; Δl 2 − Δl 1 = 60 см;
⎬
2
2
Δ
l
kΔl 22
1
= mgh 2 ;⎪⎪
2
⎭
26. Идеальный газ отдал количество теплоты 300 Дж, и при этом внутренняя энергия газа увеличилась на 100 Дж. Чему равна работа, совершённая газом?
Решение
1. Первое начало термодинамики для заданного процесса:
− δQ = A + ΔU; ⇒ A = -400 Дж;
27. В колебательном контуре, состоящем из конденсатора электроёмкостью 2 мкФ и катушки индуктивности, происходят резонансные электромагнитные колебания с частотой ω = 1000 с− 1. Чему равна амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе при амплитуде колебаний силы тока в контуре
0,01А?
Решение
1. Величина индуктивности катушки из уравнения периода колебаний Томсона:
2π
1
1
T = 2π LC ;
; ⇒ L= 2 ;
=ω=
T
ωC
LC
2. Закон сохранения электромагнитной энергии для контура без потерь позволяет найти зависимость амплитудных значений силы тока через катушку и
напряжения между обкладками конденсатора:
Сu 2max Li 2max
L
1
i
0,01
=
; ⇒ u max = i max
= i max
= max = 3
= 5 B;
2 2
2
2
C
ωC
ωC 10 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6
78
Вариант 4
1. Зависимость координаты тела х от времени t задана уравнением:
x(t) = 20 - 6t + 2t 2 ;
Через сколько секунд после начала движения проекция вектора скорости
тела на ось ОХ станет равной нулю?
Решение
1. Уравнение скорости:
dx ( t )
6
vx =
= −6 + 4t; ⇒ 4t = 6; t = = 1,5c;
dt
4
2. Математический маятник начинает совершать свободные колебания из
положения максимального отклонения. Через какое время после начала колебаний модуль кинетической энергии маятника примет максимальное значение?
Решение
1. Рассмотрим математический маятник, представляющий собой точечную массу m, закреплённую на невесомом, нерастяжимом стержне длиной l,
второй конец стержня закреплён шарнирно. При отклонении стержня от вертикали на угол ϕ возникает
восстанавливающая компонента силы тяжести, определяемая как:
Fg = −mg sin ϕ .
2. При движении в сторону положения статиче&& ,
ского равновесия масса приобретает ускорение lϕ
под действием фиктивной силы инерции:
Математический маятник
&& .
Fi = −mlϕ
Приравняем далее действующие на массу силы
&& + mg sin ϕ = 0 ,
mlϕ
или
g
&& + sin ϕ = 0 .
ϕ
l
3. Введём обозначение
g
= ω2 ,
l
что даёт основание уравнение колебаний переписать следующим образом:
&& + ω2 sin ϕ = 0 .
ϕ
4. Мы пришли к нелинейному дифференциальному уравнению, которое в
принципе можно превратить в линейное уравнение, если рассматривать малые
по амплитуде колебания. Действительно:
79
sin ϕ = ϕ −
ϕ3 ϕ5
+
−L ≈ ϕ .
3! 5!
5. Таким образом, для малых колебаний становится справедливым
линейное дифференциальное уравнение
&& + ω2ϕ = 0 ,
ϕ
решением которого при заданных начальных условиях (ϕ0 = ϕmax; v0 = 0)
будет уравнение:
2π
ϕ( t) = ϕmax cos ωt = ϕmax cos t;
T
6. Зависимость угловой скорости
груза маятника от времени:
dϕ( t )
2π
2π
ω( t ) =
= −ϕmax
sin
t;
dt
T
T
7. Линейная скорость груза, центр
масс которого расположен на расстоянии l от точки подвеса:
2π
2π
v( t ) = −ϕmax l sin
t;
T
T
8. Первое после начала движения
максимальные значения кинетической
энергии, как и все прочие будут совЗависимость смещения и энергии от времени падать с максимумами линейной скорости и наблюдаться при:
2π
T
π
Κ max :
t= ; ⇒ t= ;
T
2
4
3. Человек массой m прыгает с горизонтальной скоростью v с берега в
неподвижную лодку массой М. Каким
суммарным импульсом обладает лодка с человеком, если сопротивление
воды пренебрежимо мало?
Решение
1. В соответствии с законом сохранения импульса в проекции на направление возможного перемещения системы (в направлении вектора скорости
прыжка человека):
mv = (M + m)u;
следовательно, суммарный импульс лодки с человеком на борту будет равен
начальному импульсу человека mv .
4. Тело, брошенное пол углом α к горизонту движется по криволинейной
траектории. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало, и в точке А этой траектории вектор скорости имеет направление по стрелке 4. Какое направление
имеет вектор ускорения тела в этой точке?
80
Решение
1. Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью v0, направленной под углом α к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли.
2. Существенно отметить, движение
r
протекает при постоянном по модулю и направлению ускорении g . Это
даёт возможность разложить криволинейное движение на два более простых:
равномерное вдоль горизонтальной оси т.к. gx = 0 и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения.
Тело, брошенное под углом α к горизонту
3. Движение исследуемого тела относительно вертикальной оси из начальной точки О в точку С − равнозамедленное, аrиз точки С в точку В − равноускоренное с ускорением свободного падения g . В начальный момент времени
при t = 0 имеем: х0 = 0, у0 = 0, v0x = v0⋅cosα, v0y = v0⋅sinα, ax = 0, ay = − g.
4. Для проекций скорости в любой момент времени, например в точке М,
движения можно записать следующие уравнения
⎧v x (t ) = v 0 cos α,
⎨
⎩v y (t ) = v 0 sin α − gt.
5. Модуль вектора скорости определится как:
r
2
v = v 02 cos 2 α + (v 0 sin α − gt ) = v 02 cos 2 α + v 02 sin 2 α − 2 v 0 sin αgt + g 2 t 2 ,
r
v = v 02 (cos 2 α + sin 2 α ) − 2 v 0gt sin α + g 2 t 2 .
(
)
6. Положение вектора скорости определим, используя свойства прямоугольного треугольника, построенного на векторе скорости и его проекциях
r
vy
v sin α − gt
tgβ = r , ⇒ β = arctg 0
.
vx
v 0 cos α
81
7. Уравнения движения запишем, используя особенности равномерного перемещения точки по горизонтали и равноускоренного по вертикали
⎧x (t ) = v 0 t cos α,
⎪
⎨
gt 2 .
(
)
=
α
−
y
t
v
t
sin
⎪
0
2
⎩
8. Время подъёма тела в верхнюю точку траектории С определим, используя второе уравнение системы при условии: vy = 0
v sin α
.
v 0 sin α − gt C = 0 , ⇒ t C = 0
g
9. Определим далее полное время полёта
2v sin α
τ = 2t C = 0
.
g
10. При подстановке времени полёта τ в первое уравнение системы получим максимальную дальность броска:
2v 2 sin α cos α v 02 sin 2α
=
.
x max = 0
g
g
11. Из последнего уравнения, в частности, следует, что при прочих равных
условиях максимальная дальность броска будет иметь место при α = 450, т.к. в
этом случае 2α = π/2, sin 2α = 1.
12. Максимальная высота подъёма определится путём подстановки времени
из уравнения подъёма в высшую точку траектории во второе уравнение системы:
v sin α g v 02 sin 2 α
−
y max = v 0 sin α 0
,
g
2
g2
v 02 sin 2 α
.
2g
13. Уравнение траектории получается при исключении времени из уравнений движения. Из первого уравнения:
x
,
t=
v 0 cos α
при подстановке этого значения t во второе уравнение, получим
x
g
x2
g
y = v 0 sin α
−
= xtgα − 2
x2 .
2
2
2
v 0 cos α 2 v 0 cos α
2v 0 cos α
y max =
(
)
Если ввести обозначения: tgα = a, g 2v 02 cos 2 α = b , то уравнение траектории
примет более классифицируемый вид
y = ax - bx 2 .
14. Это уравнение параболы, в каждой точке параболической траектории
ускорение движущегося тела направлено вертикально вниз и по величине совпадает с ускорением свободного падения.
5. Сила притяжения между шарами массами m1 и m2, помещёнными на расстояние R между их центрами, равна F. Во сколько раз больше сила притяжения между шарами с массами 2m1 и 5m2, если расстояние между их центрами
равно 2R?
82
Решение
1. На основании закона гравитационного взаимодействия Ньютона:
mm
⎫
F1 = G 1 2 2 ; ⎪
F2 10
⎪
R
=
= 2,5;
⎬ ⇒
2m1 5m 2 ⎪
F1 4
F2 = G
;
4R 2 ⎪⎭
6. Человек сидит на стуле. Установить соответствие между силами веса и
тяжести, перечисленными в первом столбце таблицы, и следующими характеристиками:
1) приложена к человеку;
2) приложена к стулу;
3) направлена вертикально вниз;
4) направлена вертикально вверх;
Решение
1. Вес − сила с которой действует на горизонтальную опору или подвес тело, находящееся в поле силы тяжести. Сила веса является нормальной реакцией
связи, возникающей при взаимодействии тела и опоры (подвеса) вследствие
проявления третьего закона Ньютона. Вектор силы веса направлен перпендикулярно вверх.
2. Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия).
Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению силами, направленными вдоль прямой соединяющей взаимодействующие точки.
3. Третий закон Ньютона имеет важное прикладное значение. В частности
именно этим законом обусловлено возникновение связей при ограничении
движений точки. Математическая запись третьего закона проста:
r
r
F1, 2 + F2,1 = 0 .
4. При рассмотрении этого закона Ньютона, следует иметь в виду, что силы, обусловленные взаимодействием, приложены к разным телам, поэтому не представляют собой уравновешенную систему, а значит, могут приводить объекты в состояние ускоренного движения.
r
5. Сила тяжести − равнодействующая двух сил, силы тяготения FG и фиктивной центробежной силы Fi = mωr . Направление силы тяжести совпадает с
линией отвеса на полюсах. На практике принимается совпадение направлений
силы веса и силы тяжести. Сила тяжести приложена в центре масс данного тела
и направлена перпендикулярно поверхности земли вниз.
Сила тяжести человека
Сила веса человека
1,3
2,4
83
7. Спортсмен исполняет на турнике обороты 3600. Изменяются ли перечисленные в первом столбце физические величины во время движения центра
масс спортсмена вниз из стойки вверху до прохождения положения равновесия и если изменяются, то как? Установить соответствие между физическими
величинами, перечисленными в первом столбце, и возможными видами их изменений, перечисленными во втором столбце. Влиянием сопротивления пренебречь.
Решение
1. Примем за нулевой уровень потенциальной
энергии положение физкультурника в его статическом равновесии, т.е. Нижнее положение центра
масс.
2. Верхней стойке спортсмена (скорость и ускорение равны нулю) его кинетическая энергия
равна нулю, а потенциальная энергия составляет:
Π = mgh,
где m − масса физкультурника, g − ускорение силы
тяжести, h − расстояние между центрами масс в
верхнем и нижнем положениях гимнаста.
3. По мере перехода спортсмена из положения
1 в положение 2 потенциальная энергия уменьшается, трансформируясь в кинетическую энергию, в
нижней точке траектории центра масс спортсмена
кинетическая энергия достигает максимального
значения, при этом (без учёта сопротивления)
Π max = Κ max ;
4. Ускорение центра масс сполртсмена будет
нормальным (центростремительным):
v2
v2
an =
=
;
r
0,5h
А
Б
В
Г
2
2
2
3
8. Броуновским движением называется:
1) процесс испускания и распространения энергии без непосредственного контакта между телами;
2) беспорядочное перемещение небольших твёрдых частиц в жидкостях
или газах под действием ударов молекул жидкостей или газов;
3) процесс проникновения в результате теплового движения атомов одного тела в промежутки между атомами другого тела;
84
4) процесс переноса теплоты потоками вещества.
Решение
1. Наблюдать воочию модель теплового движения молекул посчастливилось не физику, не химику, а ботанику, Роберту Броуну (1773 − 1858), хранителю научной библиотеки Королевской академии. Возвратившись из очередной
географической экспедиции, Броун в тиши лондонского кабинета в 1827 г. изучал посредствам микроскопа добытые экземпляры растений. Очередь дошла до
цветочной пыльцы, представляющей собой, по сути, мелкодисперсные крупинки. Капнув на покровное стеклышко капельку воды, Броун внёс туда некоторое
количество цветочной пыльцы. Посмотрев в микроскоп, Броун обнаружил, что
в фокальной плоскости микроскопа происходит непонятное.
Наблюдения Роберта Броуна
2. Частицы пыльцы постоянно перемещались хаотичным образом, не позволяя исследователю их рассмотреть. Первое, что пришло в голову ботанику −
конвективные потоки. Разные температуры стекла Т1, воды в капле Т2 и самих
частичек Т3 вполне могли вызвать конвекционные тепловые потоки, которые и
увлекали объекты наблюдения. Выждав время, когда температуры должны были сравняться, Броун снова устремил свой пытливый взор в микроскоп. Ничего
не изменилось. Пыльца продолжала сновать. Пришла новая идея. На этот раз
под подозрение попали английские кэбы, повозки для перевозки грузов и пассажиров, снабжённые деревянными колёсами с железными ободьями. Как
предположил Броун, катясь по брусчатке мостовой, колёса экипажей содрогали
землю и здания. Было решено эксперимент перенести в загородный дом, где
нет кэбов, брусчатки и вообще, там спокойнее, чем в Лондоне. Но и эта уловка
не принесла желаемых результатов. Необъяснимая суета частиц продолжалась.
Исчерпав свои возможности усмирить непокорные пылинки, Броун решил поведать о своих наблюдениях коллегам. Опубликованная Броуном статья имела
типичное для того неторопливого времени название: «Краткий отчёт о микроскопических наблюдениях, проведенных над частицами в июне и августе 1827
г., содержащимися в пыльце растений; и о существовании активных молекул в
органических и неорганических телах».
3. По началу статья Броуна вызвала у специалистов недоумение, отчасти,
наверное, ввиду необычности наблюдаемого явления, отчасти вследствие пространных разглагольствований автора о «живой силе», присущей органическим
веществам. Вместе с тем, спустя некоторое время, факт нестандартного поведения частиц заинтересовал физиков. Голландец Корнабель в 1880 г. и француз
85
Гуи в 1888 г. повели более тщательные наблюдения, из которых стало ясно, что
степень подвижности частиц определяется их массой и температурой. Первоначально предположили, что наблюдаемые частицы движутся от ударов, получаемых от молекул окружающей их жидкости. При несоизмеримо больших
размерах частицы получают одновременно множество ударов со всех сторон,
поэтому результирующий импульс должен быть равным или близким к нулю.
В этой связи заметного движения крупных частиц не наблюдается. Если рассматривать частицы мелкие, как это случилось в опытах Броуна, то количество
единичных импульсов, получаемых частицей с разных направлений, будет уже
не одинаковым. Во-первых, число соударений станет несимметричным, вовторых, скорости с которыми будут подлетать молекулы жидкости к частице
тоже будут неодинаковыми, поскольку они являются результатом обмена импульсами с соседними молекулами жидкости. Такая возможная двойная асимметрия сообщает частице некий результирующий импульс, под действием которого она получает некоторое перемещение r, которое будет продолжаться,
пока новый результирующий импульс не изменит направление её перемещения.
4. Исследователи влияние внутренних течений жидкости отбросили сразу,
потому что в области течения частички должны перемещаться в одном или
близком направлении, на опыте такого не наблюдалось. Соседние частицы
двигались совершенно независимо.
5. Ботанику, можно сказать, повезло. Броун совершенно случайно в качестве объектов исследования выбрал частицы, на которые в воде действовали две
силы: сила тяжести и сила Архимеда, причём модули этих сил были практически одинаковы. Частицы находились в воде в состоянии безразличного равновесия. Физики совершенно справедливо предположили, что броуновское движение, так оно было названо в честь человека, впервые его наблюдавшего.
Причиной такого движения являются беспорядочные столкновения частиц, в
результате которых они обмениваются своими импульсами и энергиями, хаотически меняя направления своих перемещений, так что средняя величина перемещения
< r >= 0 .
6. Если перемещение броуновских частиц охарактеризовать величиной
<r2>, то она уже не будет эквивалентна нулю и для неё можно записать следующее уравнение движения:
2
m
d2 < r2 > 1 d < r2 >
⎛ dr ⎞
+
− 2m < ⎜ ⎟ >= 0 ,
2
dt
ζ
dt
⎝ dt ⎠
где m − масса частицы, ζ − коэффициент подвижности частицы, связывающий
её скорость v с силой сопротивления Fμ
v=
dr
= ζFμ .
dt
Сила сопротивления сферических частиц в жидкости радиусом R определяется
законом Стокса:
ζ=
1
,
6πηR
где η − коэффициент вязкости жидкости. Первое слагаемой в уравнении представляет собой удвоенное значение кинетической энергии частицы:
2K 0 = m
d < r2 >
= m < v2 > .
dt 2
86
Кинетическую энергию частицы можно выразить через термодинамические
параметры, абсолютную температуру Т и постоянную Больцмана kB
m < v2 > i
= k BT ,
2
2
где i = 3 − число степеней свободы частицы. Решение уравнения с учётом полученных соотношений имеет вид:
⎧
d
t ⎞⎫
⎛
< r 2 >= 2k BTζ ⎨1 − exp⎜ −
⎟⎬ .
dt
⎝ mB ⎠⎭
⎩
7. Величина exp(− t mB) в нормальных условиях пренебрежимо мала, с учётом того, что при наблюдениях за броуновскими частицами t >> 10 − 5 с. В этом
случае уравнение, характеризующее квадрат среднего перемещения, перепишется следующим образом
Δ < r 2 >= 2k BTζΔt .
8. Таким образом, квадрат перемещения частицы вдоль произвольной оси r
пропорционален температуре среды, обратно пропорционален размерам частиц
(ζ) и прямо пропорционален промежутку времени, в течение которого перемещение происходит. Вернувшись снова к наблюдениям Броуна и его последователей, учёные поняли, что ботаник обнаружил прекрасную физическую модель
поведения молекул газа, которые, будучи предоставленные самим себе поведут
подобным образом. Далее эта модель усложнялась и уточнялась, оставаясь основательным доказательным фактом теплового хаотического движения структурных элементов вещества.
9. Верным является утверждение 2.
9. Конвекция играет важную роль в процессах передачи энергии от:
1) нагретой поверхности Земли верхним слоям атмосферы;
2) пламени костра человеку, греющемуся от него;
3) горячего утюга разглаживаемой рубашке;
4) Солнца к Земле?
Какое из приведённых утверждений является верным?
Решение
1. Конвекция представляет собой процесс переноса энергии потоками подвижной материальной среды. Тепловая конвекция обусловлена конвекционными тепловыми потоками. Тепловая конвекция наиболее ярко проявляется в газообразных и жидких веществах с низкой теплопроводностью, например в воздухе, когда нагревание идёт с нижних слоёв. Нижние слои воздуха, нагреваясь,
расширяются и всплывают под действием силы Архимеда.
2. Верным является утверждение 1.
10. При температуре Т0 и давлении р0 один моль идеального газа занимает
объём V0. Во сколько раз больший объём трёх молей газа при том же давлении р0 и температуре 2Т0?
Решение
p 0 V0 = νRT0 ;
⎫
Vx
= 6;
⎬ ⇒ ζ=
p 0 Vx = 3νR 2T0 ;⎭
V0
87
11. При повышении температуры воды от − 50 0С до + 50 0С вода находилась сначала в твёрдом состоянии, затем протекали процессы плавления и
нагревания жидкой среды. Изменялась ли внутренняя энергия воды во время
этих трёх процессов и если изменялась, то как? Установить соответствие между физическими процессами, перечисленными в первом столбце, и изменениями внутренней энергии воды, перечисленные во втором столбце.
Решение
1. Нагревание льда сопровождается увеличением его температуры:
i
i
ΔU A = νRΔT = νR (273 − 223) ↑;
2
2
2. Плавление льда происходит при температуре Т ≅ 273 К которая остаётся
постоянной, несмотря на подвод энергии из вне, до тех пор пока весь лёд не
превратится в воду.
3. Как написано в популярной школьной энциклопедии, вода является простейшим соединением водорода с кислородом. После открытия дейтерия выяснилось, что тяжёлая вода встречается в малых количествах в природе, причём по
внешнему виду она не отличается от обычной воды. Формула тяжёлой воды так же
проста − D2O, правда она на 10% плотнее обычной воды и имеет вязкость, при
прочих равных условиях в среднем на 23% выше. В твёрдое состояние тяжёлая вода переходит при температуре 3,8 0С. Тяжёлая вода испаряется с поверхности менее интенсивно, но более активно конденсируется, что объясняет более частое
присутствие её в районах с жарким климатом.
4. В природе тяжёлая вода D2O находится в очень незначительных концентрациях, составляющих миллионные доли процента, что, собственно, и обусловило её столь позднее обнаружение. Более распространена, так называемая, полутяжёлая вода, имеющая химическую формулу HDO, с атомом кислорода соединены − один атом водорода и один атом дейтерия. В Мировом океане находится около 1000 т полутяжёлой воды.
5. Интерес к тяжёлой воде возник при разработке атомных технологий
управляемой ядерной реакции. Оказалось, что тяжёлая вода является эффективным замедлителем быстрых нейтронов. Тяжёлая вода, в случае её участия в
термоядерном процессе может выделять огромное количество энергии. Одна
единица массы тяжёлой воды в 10 млн. раз энергетически эффективнее эквивалентного количества каменного угля.
6. Биологи, совместно с медиками выяснили, что тяжёлая вода оказывает
негативное влияние на живые организмы, включая растения. При экспериментах с животными было установлено, что употребление тяжёлой воды приводит,
в конечном счёте, к разложению почек. Снижение присутствия тяжёлой воды
на 25% ниже природного количества в экспериментах с мышами, крысами,
морскими свинками и свиньями приводило к устойчивому повышению рож88
даемости. Куры в два раза больше приносили яиц. Отмечено так же сокращение сроков созревания пшеницы и увеличения её урожайности. Отделять тяжёлую воду от обычной в настоящее время достаточно дорого. В этом процессе
используются достаточно сложные физико-химические технологии.
7. Вслед за тяжёлой водой учёными была обнаружена ещё одна модификация воды − сверхтяжёлая вода, молекула которой состоит из атома кислорода и
двух атомов трития, ещё более чем дейтерий тяжёлого изотопа водорода. Химическая формула сверхтяжёлой воды − Т2О. Тритий является продуктом
ядерных реакций, протекающих в верхних слоях атмосферы Земли. Тритий
возникает при бомбардировке атомов азота нейтронами, прилетающими из
космического пространства. В минуту на каждый см2 земной поверхности попадает 8 − 10 атомов трития. По пути к поверхности, атомы трития, взаимодействуя с кислородом, образуют воду с химической формулой Т2O.
8. Сверхтяжёлая вода вскипает при нормальном давлении при температуре
104 0С, а переходит в твёрдое состояние при температуре от + 4 до + 9 0С,
плотность Т2О составляет 1,33⋅103 кг/м3. Так же как и D2O сверхтяжёлая вода
Т2О применяется в ядерной и атомной энергетике.
9. В лабораторных условиях получено несколько более тяжёлых радиоактивных изотопов водорода {Н4, Н5}. Учёные считают, что возможны молекулы
воды с любым из пяти известных изотопов водорода. Кроме изотопов водорода, ещё существуют изотопы кислорода, помимо О16 в природном состоянии
обнаруживается кислород {О17, О18}, принципиальных невозможностей участия изотопов кислорода в образовании молекул воды не существует. Кроме
природных изотопов кислорода, в лабораторных условиях получены короткоживущие и радиоактивные атомы {O13, О14, О15, О19, О20, О24}. Пять водородных и девять кислородных изотопов могут обеспечивать 135 различных структур молекул воды.
10. Следует отметить, что абсолютно чистой, так называемой, протиевой
воды 1 H 2 16 O в природе не существует. Такую воду, без примеси других модификаций, удаётся получать только в лабораторных условиях путём сложной
системы физической и химической очистки или путём прямого синтеза из молекул водорода и кислорода.
11. Если представить геометрический образ молекулы воды, то ядра двух атомов водорода и кислорода образуют равнобедренный треугольник с ядром кислорода в вершине. Модель молекулы воды, изображённую на
рис. предложил датский физик Нильс Бор
(1885 − 1962). Молекула, в соответствие с
теорией электронного строения вещества,
располагает пятью электронными парами,
которые образуют неоднородное электронное
Схема электронного облака
облако с избытком концентрации в области
молекулы воды
расположения ядра кислорода. Внутренняя
электронная пара кислорода равномерно окружает ядро, её Бор изобразил в виде окружности. Четыре внешних электрона группируются в две электронные
пары, которые частично не скомпенсированы. Суммарные орбитали этих пар
схематично изображены в виде эллипсов, вытянутых от общего центра, в котором расположено ядро водорода. Каждый из оставшихся двух электронов ки-
89
слорода образует пару с одним электроном водорода. В области расположения
ядер водорода плотность электронного облака ослаблена
12. Как можно видеть из схемы Бора в молекуле воды имеются четыре полюса зарядов. Образно говоря, молекула воды представляет собой сферу с двумя выпуклостями. Молекула воды обладает ярко выраженной полярностью с
относительно высоким дипольным моментом − 1,87 Дебая. Вода обладает уникальной удельной теплоёмкостью с ≅ 4182 Дж/(кг⋅К), что объясняет её широкое
применение инженерных конструкциях, где надо подводить или отводить тепло. Диэлектрическая проницаемость, речь идёт о дистиллированной воде, составляет ε ≅ 80, большей проницаемостью обладают только керамика (ε ≅ 100)
и титанат бария (ε ≅ 1200). Магнитная проницаемость воды, которая по отношению к магнитным полям является диамагнетиком, равна (1 − μ)⋅106 ≅ 9,0.
Удивительные электрические и магнитные свойства воды, во многом ещё неизвестные, обеспечили широкое распространение микроволновых печей, в которых все продукты, содержащие воду способны разогреваться при облучении их
волнами микроволнового диапазона.
13. Очищенная дистиллированная вода является диэлектрической жидкостью, но постоянное присутствие в ней других веществ, в частности кислот и
щелочей, делает её электропроводной. Высокая диэлектрическая проницаемость воды делает её отличным универсальным растворителем твёрдых тел,
газов и других жидкостей. Находясь в соприкосновении с другими веществами,
вода, растворяя их, содержит в составе их компоненты.
14. В пресной воде содержится обычно солей до 1 г/л. В морской воде солей
содержится до нескольких грамм на литр. В Балтийском море − 5 г/л, в Чёрном
− 18 г/л, в Красном море − 40 г/л. В среднем, в одном литре воды Мирового
океана содержится 34 − 35 г различных солей.
15. Практически в любой воде присутствуют газы, как в свободном состоянии, так и в растворённом виде. Система газ − вода изучена в настоящее время
недостаточно, несмотря на то что газосодержание воды определяет её многие
технические и технологические характеристики. Достаточно сказать, что ещё
не разработаны всеобъемлющие теории кипения воды и кавитации.
16. Обращает на себя внимание большой разброс величин давлений, при
которых дистиллированная вода теряет сплошность и «вскипает» при понижении в ней местного давления. Разброс в одной серии экспериментов составляет
несколько порядков.
17. Нами были проведены
изменения в автоматическом
режиме кавитационной прочности очищенной дистиллированной воды в течение суток
через каждый час. На рис. показаны результаты этих измерений. Исследуемая проба воды находилась в запаянном
кварцевом сосуде при постоянной температуре. Относительное акустическое давление, при
Изменение относительного акустического давления, котором возникала кавитация,
при котором возникает кавитация в одной пробе
отличалось по максимальному
дистиллированной воды
отклонению, практически в 100
90
раз. Внятного объяснения такого поведения воды нами, как и многими коллегами, найдено не было. Кстати, все прочие жидкости, подвергшиеся испытаниям, как органические, так и неорганические такого разброса кавитационных
характеристик не имели.
18. В воде достаточно хорошо растворяются такие газы, как кислород, азот,
углекислый газ, сероводород. В горных речках, питающихся подземными и талыми водами, концентрация кислорода может достигать 100 мг/л.
19. Частицы, составляющее вещество: ионы, молекулы или атомы в большей или меньшей степени находятся в постоянном взаимодействии друг с другом, которое, собственно и определяет состояние. При относительно низких
температурах частицы расположены в виде правильных геометрических фигур.
Вещество находится в твёрдом состоянии, частицы совершают тепловые колебания, которые не нарушают взаимного расположения структурных элементов.
20. Если температуру повышать, то амплитуда колебаний начинает возрастать, т.е. увеличивается кинетическая энергия частиц. При некоторых значениях температуры энергия колебаний становится равной или превосходит энергию взаимодействия, связи при этом постоянно разрываются и снова восстанавливаются. К колебательным степеням свободы добавляются вращательные
и даже поступательные. Строгая геометрическая конфигурация относительного
расположения частиц нарушается.
21. Вещество из твёрдого состояния переходит в жидкое состояние. В этом
случае говорят о фазовом переходе первого рода. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ещё большими амплитудами колебаний частиц, в
конце концов, частицы удаляются друг от друга и перестают взаимодействовать. Вещество становится газообразным. Структурные элементы движутся исключительно поступательно «не замечая друг друга». Взаимодействие происходит только при столкновениях. При дальнейшем увеличении температуры до
нескольких сот тысяч градусов энергия, которой обмениваются частицы при
столкновениях, становится настолько большой, что атомы начинают терять
электроны. Ядра и электроны существуют независимо друг от друга. Это состояние вещества принято называть плазмой.
22. Жидкости занимают промежуточное положение между твердым и газообразным состоянием. Жидкостям присущи как свойства твердых тел, так и
веществ, находящихся в газовом состоянии. Как твёрдые тела, жидкости характеризуются определённым объёмом, способны образовывать поверхности раздела, обладают некоторой прочностью на разрыв, но вместе с тем, одновременно располагают свойствами типичными для газов. Жидкости не способны
сохранять, подобно твёрдым телам, свою форму, принимая форму сосуда. Отличительными от других состояний является текучесть и упругость жидкостей.
23. Структурные элементы материи (молекулы и атомы) могут участвовать
одновременно в нескольких типах теплового движения, поступательном, вращательном и колебательном. Набор движений, которые совершает молекула
или атом определяется числом степеней свободы. У газообразных веществ в
условиях близких к нормальным молекулы или атомы характеризуются тремя
поступательными степенями свободы. Структурные элементы веществ, находящихся в твёрдом состоянии вследствие значительных сил межмолекулярного
взаимодействия совершают только колебательные движения вокруг положения
равновесия.
24. Полная упорядоченность структуры твёрдого состояния материи и абсолютный беспорядок её газообразного состояния являются крайними, посере-
91
дине располагается вещество «в несколько упорядоченном беспорядке». Исследования жидкостей путём рассеяния нейтронов позволили Дж. Берналу
сформулировать качественную модель поведения молекул вещества в жидком
состоянии.
25. Вот суть этой модели. В объёме жидкости можно выделить ансамбли
молекул, которые колеблются вокруг центров, образующих определённую геометрическую конфигурацию. Упорядоченные области расположены в объёме
случайным образом, причём влияние отдельных упорядоченностей, друг на
друга незначительно. В результате тепловых колебаний некоторые молекулы в
результате разрыва связей с данным сообществом приобретают поступательные степени свободы и примыкают к другому сообществу, как бы меняя партнёров взаимодействия. Происходит внутренняя диффузия. В результате поступательного перемещения молекулы образуется нарушение геометрической
упорядоченности в виде вакансии, которую часто называют «дыркой». Таким
образом, в жидкости постоянно возникают и замещаются вакансии.
26. Фазовыми превращениями первого рода называются процессы перехода
вещества из одного состояния в другое. Вода как термодинамическая система
может быть гомогенной или гетерогенной. К гомогенному состоянию относятся такие термодинамические системы, когда во всём исследуемом объеме имеет место постоянство химического состава и физических свойств или их монотонное (без скачков) изменение.
27. Гетерогенной система становится тогда, когда наряду, например, с жидкой основной фазой одновременно присутствуют другие фазы, конкурентные
основной. Образование конкурентной фазы, например газообразной или парообразной может происходить не одновременно во всей жидкости, а в некоторых её локальных объёмах. В этом случае говорят о наличии гомогенных областей в гетерогенной системе или наоборот.
28. Каждая фаза отделяется от конкурентной поверхностью раздела, при
пересечении которой практически мгновенно изменяются химические и физические характеристики вещества. Так, например, при образовании в воде конкурентной фазы в виде паровых или газовых полостей, плотность фаз отличается существенно (практически на три порядка), то же можно сказать и о других физических свойствах. Достаточно часто на практике наблюдаются ситуации, когда две конкурирующие фазы существуют одновременно, т.е. находятся
в состоянии динамического равновесия. Примером такой распространённой
ситуации может служить поверхность воды, контактирующая со «своим» насыщенным паром.
29. Физические свойства воды, как предполагают, исследователи зависят от
свойств молекул воды образовывать цепочки молекул, так называемые ассоцианты. Полярность молекул воды и наличие частично не скомпенсированных
зарядов обуславливает возможность соединение их в цепочки или более сложные фигуры. Дело в том, что химической формуле Н2О, строго говоря, соответствует только вода, находящаяся в парообразном состоянии. При температурах
0 − 100 0С только 1% всех молекул имеет мономерную структуру. Остальные
99% образуют ассоцианты, которые могут быть представлены химической
формулой вида (Н2О)Х. Ассоцианты возникают на основе водородных связей
между ядрами водорода одних молекул и электронными неоднородностями
(сгущениями) у ядер кислорода других молекул. Этот тип ассоциативных связей имеет меньшую энергетику, чем внутримолекулярные связи. Эти связи могут разрываться в результате теплового хаотического, преимущественно коле-
92
бательного движения молекул,
однако с таким же успехом они
могут и образовываться по следующей схеме
X ⋅ H 2O ⇔ (H 2O )X .
30. На рис. в качестве примера, показана схема объединения молекул воды в наиболее
вероятную
тетраэдрическую
конструкцию.
31. В настоящее время при
исследованиях кавитационной
прочности глубинных океанских вод обнаружены ассоциативы в виде достаточно протяжённых молекулярных линейТетраэдрический ассоциатив молекул воды
ных конструкций и кольцеобразных замкнутых форм.
32. Не типичность химических и физических свойств воды, т.е. их аномалия, проявляется уже на стадии сравнительного анализа элементов на уровне
периодической таблицы Дмитрия Ивановича Менделеева. Кислород в этой
таблице открывает шестую подгруппу химических элементов, в которую входят кроме него сера − S, селен − Se, теллур − Те и палладий Ро. Все однотипные соединения элементов рассматриваемой подгруппы с кислородом обнаруживают общность свойств. А вот самое, казалось бы «простое соединение» кислорода с самым «простым» химическим элементом, обнаруженным в природе,
демонстрирует ярко выраженные отклонения от правил.
33. Самые лёгкие соединения подгруппы называются гидриды, из которых
минимальная молекулярная масса у воды. Физические характеристики гидридов, впрочем, как и многих других соединений определяются положением в
таблице соответствующей подгруппы. Чем легче молекулы гидрида, тем он более летуч. По этому признаку самой летучей должна быть вода − гидрид кислорода при своей молярной массе μ(Н2О) ≅ 18⋅10 − 3 кг/моль, что наблюдается
при явлении смачивания.
34. На рис. приведены
зависимости температур
кипения и замерзания основных гидридов. Гидриды: H2S, H2Se и H2Te демонстрируют
фазовые
свойства сообразные с логикой построения периодической таблицы Д.И.
Менделеева. Вода же демонстрирует в явном виде
аномальные
фазовые
свойства. Если продолжить мысленно фазовые
кривые, то получается, что
Аномальные свойства воды
вода должна переходить в
93
парообразное состояние при температуре в районе − 70 0С, а замерзать при ещё
больших отрицательных температурах, где-то около − 90 0С. Таким образом,
если бы молекулы воды укладывались в общие свойства прочих гидридов, то
находилась бы в условиях Земли только в парообразном состоянии. Жидкое и
твёрдое состояние в природе бы отсутствовали.
35. Аномальные фазовые свойства воды, как полагают исследователи, обусловлены, в частности, её свойством образовывать молекулярные комплексы.
Процесс фазового перехода воды из твёрдого состояния в жидкое состояние
сопровождается разрушением ассоциативных водородных связей, на что, ещё
до самого перехода, окружающей средой тратится определённая энергия. Ассоциативные свойства молекул воды определяют высокие значения удельной
теплоты парообразования.
36. Более высокие значения удельной теплоты парообразования имеют
только жидкие металлы, которые в нормальных условиях (р0 ≅ 105 Па, Т0 ≅ 273
К) присутствуют в твёрдом состоянии. Исключение составляет ртуть являющееся жидкостью, но её удельная теплота парообразования (r = 285 кДж/кг),
что почти на порядок меньше, чем эта характеристика у воды. Для того чтобы
испарить 1 кг воды необходимо затратить 2256 кДж энергии, это в шесть раз
больше, чем требуется нагреть ту же массу воды от 20 0С до 100 0С.
37. Ежесекундно с водной поверхности нашей планеты под действием излучения Солнца и внутреннего тепла Земли в атмосферу испаряется примерно
1,67⋅107 кг воды, которая концентрирует в себе ≅ 3,77⋅7 МДж энергии. Для получения такого количества энергии должны «трудится» не менее 3770 электростанций мощностью по 1 МВт каждая.
38. Удельное значение энергии плавления меньше, чем энергия парообразования, но, вместе с тем выше, чем у других жидкостей. В табл. приведены данные удельной теплоты плавления λ для некоторых распространённых жидкостей
λ,
λ,
Вещество
Вещество
кДж/кг
кДж/кг
Азот
25,7
Нафталин
151
Водород
59
Парафин
150
Воск пчелиный
176
Спирт
105
Глицерин
199
Стеарин
201
Кислород
13,8
Хлор
188
Лёд
330
Эфир
113
39. Из приведенных данных следует, что при замерзании 1 кг воды в окружающую среду поступает 330 кДж тела, а при таянии льда столько же поглощается. Ледяные образования природного происхождения являются поглотителями окружающего тепла, если окружающая среда имеет температуру по
шкале Цельсия выше нуля.
40. Вода способна накапливать значительные количества тепла, что обеспечивает сглаживание резких колебаний температуры земной поверхности в различные времена года. Теплоёмкость воды в пять раз больше, чем у песка и в
десять раз больше, чем у железа. Вода является основным аккумулятором и регулятором теплового режима Земли. Величина удельной теплоёмкости зависима от температуры: она уменьшается при изменении температуры от 0 до 37
0
С, а затем − возрастает. Интересно, что минимальное значение теплоёмкости
94
имеет место при температуре 36,79 0С, что совпадает с нормальной температурой человеческого тела, как и многих теплокровных живых организмов (35 −
40 0С). Ещё один минимум удельной теплоёмкости воды наблюдается при температуре − 20 0С.
41. Все технические устройства для производства энергии, изобретенные и
реализованные человеком, работают таким образом, что от их активных элементов необходимо постоянно отводить избыточное тепло. Эту роль повсеместно, начиная от двигателей внутреннего сгорания, и заканчивая атомными
энергоблоками, с успехом выполняет вода. Практически все системы бытового
отопления в качестве теплоносителя используют воду, которая, циркулируя по
инженерным коммуникациям, отдаёт своё тепло.
42. Уникальные теплофизические свойства воды применяются и на бытовом уровне. Для того, чтобы овощи, хранящиеся в погребе на замёрзли при
резком понижении температуры, туда ставят сосуд с водой. Температура в
замкнутом объёме начнёт понижаться ниже 0 0С только после того, как весь
объём воды не превратится в лёд.
43. Садоводы перед ожидаемым заморозком в весеннее время в период цветения плодовых деревьев интенсивно опрыскивают их водой. При замерзании
плёнки воды, она отдаёт тепло соцветиям, 330 кДж с каждого килограмма замёрзшей воды.
А
2
Б
1
В
2
12. По мере повышения температуры воды массой m от − 50 0С до + 50 0С
вода находилась сначала в твёрдом состоянии, затем, нагреваясь, переходила
в жидкое состояние путём плавления. В каждом из трёх процессов было определено количество теплоты Q. Установить соответствие между процессами и
формулами, которыми они описываются (св − теплоёмкость воды, сл − теплоёмкость льда).
А
4
Решение
Б
2
В
3
13. Какими силами являются силы электрического взаимодействия двух
точечных отрицательных зарядов и как эти силы зависят от расстояния между
зарядами? Выбрать верное утверждение.
1) Являются силами отталкивания, их модуль обратно пропорционален
расстоянию между зарядами;
95
2) Являются силами отталкивания, их модуль обратно пропорционален
квадрату расстояния между зарядами;
3) Являются силами притяжения, их модуль обратно пропорционален
расстоянию между зарядами;
4) Являются силами притяжения, их модуль обратно пропорционален
квадрату расстояния между зарядами;
Решение
1. Система неподвижных электрических зарядов взаимодействует между
собой посредствам электрического поля. Принято, что взаимодействие осуществляется не мгновенно, а со скоростью распространения света с = 3⋅108 м/с.
2. Основной закон электростатического взаимодействия неподвижных
точечных (размеры заряженных тел на много меньше расстояния между ними)
был сформулирован в 1785 г. французским физиком Шарлем Огюстом Кулоном (1736 – 1806).
3. Закон Кулона: сила электрического взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами в вакууме пропорциональна произведению
модулей их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между
ними. В векторной форме закон кулона записывается так
r
r
1 q1 q 2 r
F=
,
4πε0 r 2 r
где ε0 ≅ 9⋅10 –12 Кл2/(Н⋅м2) – электрическая постоянная, служащая для совмещения в СИ электрических величин [q] с механическими величинами
[F,r], r – расстояние между зарядами.
4. Силы взаимодействия направлены всегда вдоль прямой, соедиВзаимодействие точечных зарядов
няющей заряды. Такие силы называют центральными. Одноимённые заряды отталкиваются, а разноимённые
притягиваются.
5. При решении задач закон Кулона удобнее представлять в скалярной
форме
qq
(1.3)
F = k 12 2 ,
r
где k– постоянный коэффициент, равный
1
(1.4)
k=
≅ 9⋅109 Н⋅м2/Кл2.
4πε0
Кулон – единица электрического заряда определяемая как количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника при силе тока в 1
А за время τ = 1с.
Кулон является весьма большой величиной. Так, например, два заряда q1 =
q2 = 1Кл, помещённые на расстояние r = 1 м, взаимодействуют в соответствии с
(1.3) с силой F ≅ 9⋅109Н ( вес 900 тыс. тонн груза). На практике используют чаще всего микрокулоны ( 1мкКл = 10 – 6 Кл ) и нано кулоны (1нКл = 10 – 9 Кл).
96
14. На сетчатке глаза изображение предметов получается:
1) увеличенным прямым;
2) увеличенным перевёрнутым;
3) уменьшенным прямым;
4) уменьшенным перевёрнутым.
Решение
1. Хрусталик глаза представляет
собой собирающую линзу с переменным входным фокусным расстоянием, предмет, как правило,
располагается за фокусом. Внутренняя же кривизна хрусталика такова,
что изображение предмета при нормальном зрении фокусируется на
сетчатке, давая действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение.
15. Свет от двух точечных когерентных монохроматических источников
приходит в точку 1 экрана с разностью фаз Δ = 1,5 λ, в точку 2 экрана − с разностью фаз Δ = λ/2. Одинакова ли в этих точках освещённость, если не одинакова, то в какой точке больше? Расстояние от источника до экрана значительно больше длины волны.
Решение
1. Условия интерференционных максимумов и минимумов:
Δ max = ± mλ;
λ
Δ min = ±(2m + 1) ;
2
интенсивность света в заданных точках будет одинаковой и равной нулю − 2.
16. Резистор 1 с электрическим сопротивлением 3 Ом и резистор 2 с электрическим сопротивлением 6 Ом включены последовательно в цепь постоянного тока. Чему равно отношение количества теплоты, выделившееся на резисторе 1, к количеству теплоты, выделяющемуся на резисторе 2 за одинаковое
время?
97
Решение
1. Если на концах неподвижного проводника имеется разность потенциалов
U = (ϕ2 − ϕ1 ) , то электрический заряд Δq , перемещаясь из точки 2 с большим
потенциалом, в точку 1, с меньшим потенциалом теряет часть своей энергии на
преодоление сопротивления
dW = dq ⋅ (ϕ2 − ϕ1 ) = dq ⋅ U .
2. Заряд можно выразить через силу тока и время
I=
dq
, ⇒ dq = Idt ,
dt
энергия с учётом этого запишется так
dW = IUdt .
3. Вполне резонен вопрос: «Куда девается эта энергия?». В кинетическую
энергию она явно не переходит, т.к. никаких движений в макроскопическом
варианте не возникает. В неподвижном проводнике движущиеся носители заряда сталкиваются с ионами металла и, отдавая им энергию, повышают тем самым температуру проводника. Это было замечено и экспериментально, что
всякий проводник, по которому течёт ток, имеет температуру выше окружающей среды.
4. Другими словами, носители заряда, получая энергию от электрического
поля, часть её расходуют на нагревание проводника, таким образом, работа,
производимая при перемещении заряда, имеет вполне определённый тепловой
эквивалент
t2
Q = ∫ IUdt .
t1
5. Если сила тока и разность потенциалом во времени не меняются, то уравнение количества теплоты упрощается
U2
ΔQ = IUΔt = I 2 RΔt =
τ.
R
6. Уравнение выражает собой закон Джоуля – Ленца. Этот закон установлен
был в 1841г. Дж. Джоулем и в 1842 г. независимо, Эмилем Христофоровичем
Ленцем, профессором Петербургского университета.
7. В данном случае резисторы включены последовательно, поэтому через
них течёт ток одинаковой силы, закон Джоуля − Ленца представится следующим образом:
Q1 = I 2 R 1τ; ⎪⎫
Q1 R 1 3 1
=
= = ;
⎬ ⇒ ζ=
2
Q2 R 2 6 2
Q 2 = I R 2 τ;⎪⎭
17. Схемы и графики на рисунке иллюстрируют свободные электромагнитные колебания в идеальном LC-контуре. Колебания в контуре возникли при
подключении катушки к обкладкам заряженного конденсатора (первая схема
слева). Установить соответствие между графиками А т Б и значениями физических величин для момента времени τ = 3Т/4.
98
Решение
1. Судя по схемам контура, кривая А соответствует изменению (заряда) напряжения на обкладках конденсатора. В начальный момент времени конденсатор заряжен до максимального напряжения, т.е. вся энергия представляет собой энергию электростатического поля. Кривая Б представляет собой изменение силы тока в катушке:
2. Незатухающие свободные колебания в LC контуре описываются линейным дифференциальным уравнением вида:
1
&q& + ω02q = 0; ω02 =
; T = 2π LC ;
LC
99
Решение уравнения имеет вид:
q( t ) = q 0 cos(ω0 t + ϕ 0 ),
где q − электрический заряд конденсатора, ω0 − циклическая частота собственных колебаний контура, L − индуктивность контура, С −электрическая ёмкость
конденсатора.
2. Сила тока через катушку определяется как:
dq
2π
2π
iL (t) =
= −q 0ω0 sin ω0 t = −q 0
sin t ,
dt
T
T
при t = 3Т/4
2π
2π 3T
2π
π
i L ( t ) = −q 0 sin
= −q 0
sin 3 ; ⇒ i L ( 3Т / 4) = i max ;
T
T 4
2
2π LC
3. Напряжение на обкладках конденсатора:
q(t ) q 0
2π
u C (t) =
= cos t;
C
C
T
при t = 3T/4:
q
π
u C ( t ) = 0 cos 3 ; ⇒ u c (3T / 4) = 0;
C
2
А
Б
1
4
18. Скорость улетающей от поверхности Земли ракеты на высоте h равна
v. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по
которым их можно рассчитать. Каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго столбца и записать соответствующую цифру
в таблицу под соответствующими буквами.
Решение
1. Ракета удаляется по прямолинейной траектории от поверхности Земли,
которую целесообразно выбрать за нулевой уровень потенциальной энергии, в
этом случае:
mv2
Π = mgh; Κ =
;
2
А
Б
3
1
100
19. Какие из приведённых ниже утверждений являются постулатами Нильса Бора о механизме излучения и поглощения атомом?
А. Атомная система может находиться в стационарных или квантовых
состояниях, каждому состоянию соответствует определённая энергия Е, в стационарных состояниях атом не излучает энергию.
Б. При движении электрона вокруг атомного ядра по круговой орбите
происходит излучение электромагнитных волн, частота излучения равна частоте обращения электрона вокруг ядра.
В. Излучение и поглощение энергии происходит при переходе атома из
одного стационарного состояния в другое.
Решение
1. Несмотря на то, что модель атома Резерфорда инициировала целый поток
идей о строении атома и особенностях устройства электронных составляющих,
этой модели были присущи принципиальные недостатки.
2. Наиболее наглядно это наблюдается на примере самого простого атома
водорода, который по представлениям Резерфорда содержит на орбите один
единственный электрон, компенсирующий положительный заряд ядра, равный
по модулю заряду электрона.
3. Электрон, совершая вращение вокруг ядра по круговой или эллиптической
орбите, ввиду специфики криволинейного
движения обладает центростремительным
ускорением an. В соответствие с классической электродинамикой такой ускоренно
движущийся электрон неминуемо должен
излучать электромагнитную волну, следовательно, движение его будет не круговым или эллиптическим, а спиралевидным, т.е. в конце концов, эта спираль Рис. 8.5. Атом водорода по Резерфорду
должна, закончится на ядре.
4. Кроме того, модель атома Резерфорда не объясняла, почему атомы излучают только определённые частоты. Кода Резерфорд вершил судьбы мировой
науки, поблизости, в статусе ученика обретался молодой датский студент
Нильс Бор, которому все эти атомно-ядерные разговоры были чрезвычайно интересны.
5. Наслушавшись научных диспутов между Дж. Дж. Томсоном, Резерфордом и другими титанами физики и ознакомившись с работами Макса Планка,
Нильс Бор заподозрил, что между квантовой гипотезой Планка и устройством
атома должна быть взаимосвязь, коль квантовая теория так убедительно работает на чёрном теле и фотоэффекте.
6. Бор подозревал, что квантовые представления могли объяснить стабильность атомов. Последовательность рассуждений Нильса Бора была примерно
такова.
7. Для начала Бор предположил, что электрон, вопреки классической электродинамике, находясь на стационарной орбите, не излучает. Сила Кулона со
стороны ядра
r
1 Ze ⋅ e r
FK = −
r r,
4πε0 r 3
удовлетворяет закону обратных квадратов, как и гравитационная сила Ньютона
101
r
mm r
FG = G 1 3 2 r ,
r
т.е. в классическом варианте задача о движении электрона аналогична задаче о
движении планет вокруг Солнца, почему, собственно, Резерфорд и пришёл к
планетарной модели атома. Потенциальная энергия, обусловленная силой Кулона, определяется как
Π (r ) = −
Ze2
,
r
где Ze − заряд ядра, принятый Бором как материальная точка. Нормальное ускорение электрона (рис. 3.48) при линейной скорости движения v равно
an =
v2
.
r
8. Условие нахождения электрона на стационарной орбите запишется в виде равенства силы Кулона и силы инерции, так же как при рассмотрении планет, вращающихся вокруг Солнца, с той разницей, что гравитационная сила
заменяется силой Кулона
me v2
Ze2
=k 2 ;
r
r
⇒
me v2 =
Ze2
.
r
Далее было записано уравнение для суммарной энергии электрона на орбите
W=
me v2
Ze2
+ Π (r ) = −
,
2
2r
уравнение угловой скорости
ω=
v
,
r
и кинетического момента, направленного перпендикулярно плоскости движения электрона
L = me vr .
9. Таким образом, движение электрона описывалось пятью переменными
{r, v, W, ω, L} , которые связаны четырьмя уравнениями. Если в качестве известной величины взять одну из этих переменных, то остальные можно выразить
через неё. Предположим, что известной величиной является кинетический момент L, тогда
⎫
⎪
⎪
⎪
Ze2
v=
;
⎪
⎪
L
⎬
2 4
Z e me ⎪
ω=
; ⎪
L3
⎪
Z2e 4 m e ⎪
W=−
.
2L2 ⎪⎭
r=
L2
;
Ze2 m e
10. Далее Нильс Бор предположил, что кинетический момент не может
принимать произвольных значений, а подчиняется правилу квантования
Макса Планка, т.е.
h
L = nh h =
,
2π
102
где n = 1, 2, 3, …. ∞, поскольку с L связаны все остальные переменные, то они
тоже становятся квантованными
⎫
⎪
⎪
⎬
2
4
2
4
Z ⎛ mee ⎞
Z ⎛ m ee ⎞ ⎪
⎟.
ωn = 3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ; Wn = − 2 ⎜⎜
n ⎝ h ⎠
n ⎝ 2h 2 ⎟⎠ ⎪⎭
rn =
n2 ⎛ h2 ⎞
Z ⎛ e2 ⎞
⎜⎜
⎟ ; v n = ⎜⎜ ⎟⎟ c;
2 ⎟
Z ⎝ m ee ⎠
n ⎝ he ⎠
11. Первое уравнение системы позволяет ближайшую к ядру атома орбиту
охарактеризовать радиусом, который в системе СИ представится как
a0 =
4πε0h 2
≈ 5,3 ⋅ 10−11 м ≈ 0,53Ao ,
m ee 2
и называется Боровским радиусом. Энергетический масштаб оценивается постоянной Ридберга
Ry =
mee4
e2
=
≅ 13,6эВ .
4πch 3 2a 0
12. В качестве энергии в 1 эВ принимается энергия электрона, прошедшего
разность потенциалов в 1 вольт, 1эВ ≈ 1,6 ⋅ 10−19 Дж . Число n в квантовой механике называется главным квантовым числом.
13. Бор постулировал, что поглощение и излучение энергии электроном
происходит скачкообразно, только при переходе из одной разрешённой орбиты
на другую, причём скачкообразное перемещение с высокой орбиты Wn на
,более энергетически низкую орбиту Wn-1 сопровождается испусканием
кванта энергии, т.е. фотона.
14. Естественно предположить, что таким же образом электрон меняет орбиту при поглощении кванта энергии. Причём падающий фотон должен иметь
такую же величину энергии , чтобы она компенсировала разность энергий между двумя разрешёнными уровнями. Состояние электрона с n = 1 принято за
основное, в котором не происходит излучения энергии.
15. Атомы веществ в естественном состоянии находятся в большинстве своём в стационарном состоянии. Чтобы подняться на более высокий энергетический уровень, электрон должен захватить подходящий фотон. Все состояния с
n > 1 являются нестабильными.
16. Введя таким образом в ядерную модель атома Резерфорда квантовые
представления, Нильс Бор сформулировал два постулата (два основных положения).
• Электроны могут находиться в атоме только на определённых орбитах, причём, несмотря на ускоренное движение, излучения электромагнитных волн не происходит. Орбиты, соответствующие стационарным состояниям определяются условием
m e v n rn =
•
nh
.
2π
Атом излучает или поглощает квант
электромагнитной энергии при переходе
электрона из одного стационарного состояния в другое
hν = Wn − Wn −1 .
17. Применив свои постулаты к простейшему
атому водорода, Нильс Бор получил следующее
условие стационарности орбит
103
Излучение фотона
1 ee m e v 2n
=
.
4πε0 rn2
rn
Выразим из первого постулата скорость электрона
nh
,
2πm e rn
vn =
возведём её в квадрат и подставим в уравнение радиуса орбиты
rn = n 2
h 2ε0
πm ee 2
(n = 1,2,3K) .
18. Как следует из уравнения радиусы разрешённых электронных орбит
пропорциональны n2. Если уравнение разрешить для главного квантового числа n = 1, то получится Боровский радиус r1 ≈ 5,28⋅10 − 11 м. Если ядро атома считать неподвижным, то электрон на орбите можно описать следующими энергетическими соотношениями, выраженными в системе СИ
⎫
⎪
⎪
2
⎪⎪
e
Π=
;
⎬
4πε0 rn
⎪
e2 ⎪
W =K+Π =−
.⎪
8πε0 rn ⎪⎭
K=
m e v 2n
e2
=
;
2
8πε0 rn
19. Минимальной энергией обладает электрон при n = 1. Энергия в произвольном разрешённом состоянии определится как
Wn = −
mee4 1
.
8h 2ε 02 n 2
20. В отличие от модели атома Резерфорда, постулаты Бора и записанные
выше уравнения смогли объяснить линейчатые спектры атомов, в частотности
атома водорода. Согласно второму постулату Бора излучаемый или поглощаемый квант энергии определяется условием
hν = W2 − W1 =
mee4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ − 2 ⎟⎟ .
2 2 ⎜ 2
8h ε 0 ⎝ n1 n 2 ⎠
Уравнение можно записать для частоты и длины волны
m ee 4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ − 2 ⎟⎟ ,
3 2 ⎜ 2
8h ε 0 ⎝ n 1 n 2 ⎠
1
m e4 ⎛ 1
1 ⎞
= 2e 2 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .
λ 8h ε 0 c ⎝ n 1 n 2 ⎠
ν=
Сомножитель последнего уравнения оказался совпадающим в первом приближении со значением постоянной Ридберга, полученной первоначально экспериментальным путём
R=
m ee4
,
8h 2ε02c
что рассматривается, как одно из подтверждений справедливости квантовой
модели атома Бора. Бор показал, что для более точного вычисления постоянной
Ридберга необходимо внести корректировки в уравнения, связанные с подвижностью ядра.
104
21. Теория водородоподобного атома Нильса Бора позволила объяснить его
линейчатые спектры, обусловленные переходами электрона из одного стационарного состояния в другое, с меньшей энергией.
Каждая, регистрируемая экспериментально спектральная линия является
свидетельством акта испускания фотона определённой длины волны, при переходе электрона на низший энергетический уровень
22. Сам Нильс Бор лучше других осознавал недостатки своей теории, как
промежуточного звена между, планетарной моделью атома и квантовыми представлениями. Необходимость в корректировке теории напрашивалась по многим причинам, основной из которых являлась корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного поля.
23. То, что свет в зависимости от обстоятельств эксперимента вёл себя то
как волна, то как поток частиц, говорило о необходимости привлечения для
объяснения это странности кванта действия Макса Планка.
24. Идея теоретического объединения
частиц (корпускул) и волн принадлежала
французскому физику Луи де Бройлю,
который предположил, что движение
электрона или другой частицы с массой
покоя отличной от нуля по орбите, можно отождествииь с волновым процессом.
25. Де Бройль провёл аналогию меду
энергией кванта и импульсом частицы
ε = hν ⇔ p = h λ ,
откуда длина волны де Бройля для электрона определяется как:
λ=
h
.
me v
Волны де Бройля
26. Согласно гипотезе де Бройля стационарными будут те орбиты электрона, на которых укладывается целое число волн
2πrn = nλ .
27. Приписав частицам волновые свойства де Бройль объяснил такое необычное для классической физики явление как дифракция и интерференция
электронов на узкой щели.
28. Таким образом, верным является утверждение 4.
20. Может ли ядро атома одного химического элемента превратится в ядро
другого химического элемента?
1) может любое ядро;
2) не может никакое ядро;
3) могут только ядра радиоактивных изотопов;
4) могут только ядра атомов, стоящие за ураном в таблице Д.И. Менделеева.
Решение
1. В 1895 г. Ленард, наблюдая поток частиц в разрядной трубке, обнаружил,
что заряженные частицы (электрон ещё не был открыт) проходят сквозь металлическую фольгу. Этот факт привел теоретиков и экспериментаторов в необычайное изумление, потому что проникновение «чего-то» через металличе-
105
скую фольгу по существовавшим на то время представлениям, казалось, мягко
говоря, не вполне вероятным.
2. Вывод напрашивался сам собой. Если это «что-то» которое регистрируют
приборы и оно реагирует на электрические и магнитные поля проскальзывает
сквозь металл, то, следовательно, металл не такой монолитный для этого самого «чего-то». Когда Дж, Дж. Томсон выяснил с чем имели дело ребята, возбуждавшие поток частиц в вакууме между двумя электродами с высокой разностью потенциалов, то ситуация немножко прояснилась.
3. Отрицательно заряженные частицы (электроны) вырывались из металлического катода и, будучи разогнанными электрическим полем пролетали
сквозь атомы металла, не сталкиваясь с ними. Стало ясно, что либо атомы упакованы те так плотно, как казалось, либо сам атом не таков, каким его представлял открыватель электрона Дж. Дж. Томсон.
4. Получалось, что в межатомном пространстве есть некие пустоты, через которые и просачиваются пронырливые электроны. Но такого тоже не могло быть, потому что если бы ионы металла отстояли друг от друга далеко, то
это была бы уже не кристаллическая структура, а жидкость или даже газ.
5. В твёрдом состоянии между структурными элементами вещества должны
быть прочные связи, которые, собственно, обеспечивают все физические свойства присущие твёрдым телам.
6. В 1911 г. Эрнст Резерфорд проверяя достоверность томсоновской модели
атома, кстати, своего учителя, при непосредственном участии Х. Гейгера и Э.
Марсдена при анализе условий рассеяния α − частиц, пришёл к выводу о несостоятельности модели шефа, и установил наличие в центре атома массивной
положительно заряженной частицы, много меньшей размеров атома, позже названной ядром. Оказалось, что в ядре сосредоточено более 90% всей массы атома.
7. Исследуя накопленные экспериментальные данные в 1913г. Г. Мозли обратил внимание на то, что порядковый номер элемента в таблице Д.И. Менделеева совпадает с зарядом ядра. В те времена химики ещё не считали, что
элементы надо выстраивать по атомному весу.
8. Именно после экспериментов Мозли в обиход вошло понятие атомного
номера. Это привело к некоторым изменениям в таблице Менделеева, например Ni и Со пришлось поменять местами, оставив между ними свободную
клетку, в которую позже попал технеций.
9. Следующим важным шагом в ядерных исследованиях стало открытие в
1932 г. Чадвиком новой элементарной частицы, нейтрона, которая не имела
электрического заряда и входила в состав атомных ядер.
10. С этого момента стало очевидным,
что ядра всех атомов состоят из Z протонов р и N нейтронов n. Пары протонов и
нейтронов стали называть нуклонами,
число нуклонов в ядре равно A = Z + N.
11. Гейгер и Марсден на основании
данных своих экспериментов по бомбарСхема атомного ядра тория
дированию атомов золота (Z = 79) α −
частицами с энергией Wα = 5 МэВ, вычислили минимальное их сближение с ядрами, полагая взаимодействие чисто кулоновским:
106
R min ≈
2e ⋅ Ze
≈ 5 ⋅ 10−14 м .
4πε0 Wα
12. Это расстояние оказалось на четыре порядка меньше размеров всего
атома, что говорило о невообразимо большой плотности ядерного вещества.
Так, например, для золота (A Au ≅ 197 ) плотность ядра определится как
ρN =
M A ⋅ m n 196 ⋅ 1,6 ⋅ 10−27
кг
=
≅
≈ 1015 3 .
3
14
−
V 4 πR 3
м
4 ⋅ (5 ⋅ 10 )
min
3
13. Естественно, что вещество с такой плотностью представить в обыденной жизни затруднительно. Дело в том, что ядро атома является квантовым
объектом, к которому не применимы некоторые классические представления.
14. Эксперименты с α − частицами выяснилось, что их генерируют ядра радиоактивных
веществ и представляют они собой дважды ионизированные ядра гелия, потому что состоят из
двух протонов и двух нейтронов. Из этого следовало, что α − частицы входят в состав ядер. Используя гипотезу де Бройля можно определить
длину волны, соответствующей этой частице
Рис. 9.2. Ядро и α − частицы
λα =
h
2m α Wα
≅ 6 ⋅ 10−15 м ,
т.е. длина волны де Бройля сопоставима с размерами ядра, что говорит о квантовой принадлежности ядерных характеристик. Протоны и нейтроны близки по
массе
m p ≅ 1,67239 ⋅ 10 −27 кг; p ≅ + 1,6 ⋅ 10 −19 Кл; m n ≅ 1,67460 ⋅ 10 −27 кг .
15. Оценим далее вероятность нахождения в ядре электрона, имеющего равный, практически, с протоном по модулю заряд, но обладающий в 1673 раза
меньшей массой. Вот странность то, до настоящего времени не разрешенная:
«Почему масса протона в 1673 раза больше, чем у электрона, а заряд по
модулю одинаковый?». Найдём энергию электрона, соответствующую длине
волны порядка размеров ядра
We =
h2
p2
=
≅ 5 ⋅ 10−11 Дж ≅ 3 ⋅ 108 эВ .
2
2m e 2m e R N
16. Потенциальная же энергия, обусловленная кулоновским взаимодействием электрона и ядра, составит
Πe =
Ze2
≅ 3 ⋅ 106 эВ ,
RN
другими словами Π e >> We , т.е. электрон не может быть удержан в ядре кулоновскими силами.
17. Массу ядер ввиду её относительной малости принято выражать в специальных единицах, атомных единицах массы. Следует иметь в виду, что
1а.е.м. =
1
m 12 ≅ 1,6582 ⋅ 10− 27 кг .
12 C
18. На основании уравнения Оливера Хевисайда, связывающего массу и
энергию, (E = mc2) единицу атомной массы можно представить в электронвольтах
1а.е.м. = 931,44 МэВ .
107
19. Разность между массой ядра в а.е.м. и его массовым числом А называется дефектом массы ядра Δ
Δ=
М Z, A
−А.
(1 12)M С12
20. Протон и электрон. При исследовании катодных лучей Дж. Дж. Томсон
заметил, что в трубке, наряду с движением отрицательных зарядов возникал и
обратный поток, от положительного электрода к отрицательному. Томсон назвал этот поток «положительными лучами».
21. Резерфорд при экспериментах с α − частицами, предположил, что «положительные лучи» представляют собой ядра, лишённые полностью или частично электронных оболочек. Резерфорд высказал мнение, что в состав ядер
входят частицы, подобные электрону, но с положительным зарядом, однако
попытки выделить этот заряд Резерфорду, как впрочем, и другим исследователям, не принесли успеха.
22. Была надежда на ядро водорода, логично было предположить, что у водорода один электрон и ядро должно иметь такой же положительный заряд, но
оказалось, что ядро водорода существенно массивнее электрона.
23. Напомним, что ядро водорода оказалось в 1837 раз тяжелее электрона
при таком же положительном заряде.
24. Далее начались попытки выделить из ядра эту положительную частицу.
Резерфорд назвал ядро водорода протоном, что значит «первый». Другие элементы имели более массивные ядра, чем у водорода. Так, например, ядра гелия,
имевшие массу в 4 раза большую, чем ядра водорода, должны были состоять из
4 протонов, я ядра кислорода должны были включать в свой состав 16 протонов с зарядом +16, а на самом деле заряд ядра кислорода был равен только +8.
25. Появилось неверное предположение об электронах в составе ядер, но
это никак не согласовывалось с возможностью удержания электронов кулоновскими силами. Появилась даже, так называемая протонно-электронная теория,
которая, кстати, объясняла появление изотопов. Предполагалось, что ядра могли иметь разное количество электронов, которые массы не меняли, а заряд был
разным.
26. Например, кислород − 16 имел ядра, состоящие из 16 протонов и 8 электронов, кислород − 17 имел 17 протонов и 9 электронов, ядра кислорода − 18
содержали по 18 протонов и 10 электронов. Массовые числа ядер были соответственно равны 16, 17 и 18, а атомный вес составлял (18 − 8), (17 − 9), (18 −
10), т.е. 8 в каждом случае. Ядро урана − 238 (U238) по этой гипотезе должно
было состоять из 238 протонов и 146 электронов, а ядра U235 должны состоять
из 235 протонов и 143 электронов.
27. Идея была заманчива ещё и потому, что она объясняла стабильность
ядер, взаимное кулоновское притяжение положительных и отрицательных зарядов казалось, было причиной стабильности и локализации.
28. Кроме всего прочего, при радиоактивном распаде ядер, излучались β −
частицы, которые представляют собой поток электронов, напрашивался вывод
об их постоянном присутствии в ядрах.
29. Протонно-электронная теория ядер достаточно изящно объясняла саму
суть радиоактивности. Чем более массивны ядра, тем больше в них содержится
протонов и электронов, у элементов с числом протонов больше 84, появлялась
нестабильность, имеющиеся в ядре электроны не могли локализовать частицы
в пространстве, и ядро начинало излучать.
108
30. По этой теории α − частица представляла собой 4 протона и 2 электрона. При потере α − частицы атомный номер поменяется с 4 на 2. Такое представление подтверждалось распадом U238 (атомный номер 92), который при испускании α − частицы превращался в торий Th234 с атомным номером 90. При
испускании электрона масса ядра практически не изменяется, но теряется часть
отрицательного заряда. Получалось, что T234 (A = 90) при испускании электрона превращался в протактиний Pa234 (А = 91). Как видно протонно-электронная
теория достаточно убедительно комментировала многие внутриядерные процессы. Неудивительно, что ей пользовались в течение примерно 15 лет.
31. Был, однако, один, неприятный для этой теории момент, он был связан с
тем, что массы ядер отличались друг от друга не на целые числа. С позиций
протонно-электронной теории это было несколько странным, потому что отличались ядра на целое число протонов. Электроны ввиду их малой массы не в
счёт. Получалось, что одно и то же количество протонов в разных ядрах имели
различную массу.
31. Протон и нейтрон. В самом начале ХХ века перед учёными стояла очередная задача: имеет ли атомное ядро структуру, или это некое цельное образование? По сравнению с атомом яро является чрезвычайно малым объектом,
оно, имея диаметр порядка 10 – 15м, в 10 000 раз меньше диаметра атома. Оказалось, что ядро, несмотря на свои ничтожные размеры, даже по атомным меркам, имеет сложную структуру. Оно состоит из частиц двух типов − протонов и
нейтронов. Но до этого, как сказано выше существовала пртонно-электронная
теория строения ядер.
32. Задача о структуре и свойствах ядра возникла сразу после открытия Анри Беккерелем в 1986 г. радиоактивности. Напомним, что профессор Беккерель
занимался действием флюоресцирующих веществ на фотопластинку, когда обнаружил, что соли урана, засвечивают фотопластинку, завёрнутую в чёрную
бумагу. К этому времени уже было известно, что помимо электромагнитного
излучения, вещество может испускать излучения, которые вызваны спонтанными превращениями атомов этих веществ в другие атомы. Радиоактивные
вещества естественного происхождения испускали три типа излучений.
33. Приведенный рисунок впервые появился
в 1903 г. в докторской диссертации Марии Кюри. С лёгкой руки Резерфорда три типа лучей
получили название α −, β − и γ − лучей.
34. Испускание β − лучей обнаружил в 1898
уже упомянутый Беккерель и показал, что их
свойства совпадали со свойствами катодных
лучей, т.е. это поток быстрых электронов.
35. Резерфорд, в 1898 г. пришел к выводу,
что излучение радиоактивных материалов при
Рис. 9.3. Рисунок из
распаде ядер не однородно.
диссертации М. Кюри
36. По проникающей способности он поделил излучение на три составных части:
• Излучение, едва проникающее за поставленный на его пути бумажный
лист;
• Излучение второго вида было способно проникнуть за алюминиевую
пластинку толщиной до 3 мм;
• Третью часть излучения не удалось обнаружить только за свинцовым
экраном толщиной несколько сантиметров.
109
37. Особо не мудрствуя, Резерфорд присвоил им названия по трём первым
буквам греческого алфавита, соответственно: α − излучение; β − излучение и γ
− излучение. Было обнаружено так же, что излучение расщепляется на три составных части в магнитном и электрическом поле, причём γ − составляющая с
магнитным и электрическим полем не взаимодействует.
Взаимодействие излучения с полями
38. Исследователи пришли к выводу, что β − излучение представляет собой
поток лёгких, отрицательно заряженных частиц с относительно малой величиной энергии. Как оказалось, β − излучение представляет собой поток электронов.
39. α − излучение тоже является потоком более массивных частиц, но заряженных положительно. α − частицы, как выяснилось позже, являются дважды ионизированным атомом гелия, т.е. ядрами гелия.
40.Третья компонента, γ − излучение. Оно обладает огромной проникающей способностью и является, по сути, потоком, γ − квантов, т.е. квантов (порций) жёсткого электромагнитного излучения высокой частоты.
41. Французский учёный Поль Вийяр в 1901 г. установил, что третий компонент «урановых лучей» никак не взаимодействует с электромагнитным полем и походит по своим свойствам на Х – лучи Рентгена.
42. Несмотря на то, что обсуждаемые виды излучения имеют корпускулярно – волновую природу, т.е. они, строго говоря, − дуальны. Далее, для простоты изложения, будем считать их потоком частиц.
43. При радиоактивном излучении энергия α −, β − и γ − частиц имеет порядок WN ≈ 1 – 10 МэВ, в то время как, энергия связи внешних электронов имеет
порядок We ≈ 6 – 10 эВ, а энергия химических превращений и того меньше –
WCs ≈ 2 – 5 эВ.
44. Вполне объяснимо, что получив такие энергетические оценки, человечество отставило всё прочие свои научные забавы и с настойчивостью рашпиля
набросилось на покорение ядра. Перспективы буквально захватывали дух учёных, в алчных сообществах политиков и военных уже строились планы мирового господства.
45. При рассмотрении ядерных процессов заряд ядра, как и прежде, обозначается через Z, а массовое число (округлённый атомный вес) − А. Значение А
обозначается верхним индексом, а величина Z – нижним индексом, т.е. AZ X или
X AZ .
46. Ядро атома водорода при выборе такой символики обозначается как H11 ,
т.е. это элемент с Z = 1 и атомным весом 1,008 (А = 1). α − частица, будучи
ядром атома гелия обозначится как, He 42 или α 42 , при этом ясно, что Z = 2, А = 4
110
(4,00388) . Применяя эту нехитрую символику можно достаточно наглядно
представить процесс радиоактивного распада.
47. Уравнение α − распада, когда «материнское» ядро испускает α 42 и превращается в ядро другого элемента, можно записать:
X AZ → YZA−−24 + α 42 .
48. Очевидно, что дочерний элемент Y, атомный номер которого на две
единицы меньше атомного номера материнского ядра, должен находиться относительно X в таблице Д.И. Менделеева левее на две клетки.
49. Уравнение β − распада, сопряжённого с испусканием электронов e 0−1
представится следующим образом
X AZ → YZA+1 + e0−1 .
50. Заряд материнского ядра увеличивается на единицу, а массовое число не
меняется, элемент Y, образующийся в результате β − распада элемент сдвинут
относительно ядра Х вправо на одну клетку.
51. Записанные соотношения выражают правило радиоактивного смещения.
Следует отметить, что при распаде ядер не утрачивает силы законы сохранения
импульса, энергии и заряда. Образующееся ядро Y тоже может быть неустойчивым, и будет распадаться дальше.
238
,
52. Показательным, в этом смысле, является пример распада урана U 92
которое, выбрасывая α − частицу, с максимальной энергией Wα (max) ≅ 4,2МэВ ,
(
)
превращается в изотоп тория
238
234
U 92
→ Th 90
+ α 42 ,
который в таблице Д.И. Менделеева занимает положение на две клетки левее
материнского элемента.
234
53. Ядро тория Th 90
не является стабильным, оно испытывает дальнейший
распад, испуская β − частицу с энергией Wβ( max) ≅ 0,2МэВ и мягкий γ − фотон с
энергией Wf = hν ≅ 0,093МэВ , превращаясь в изотоп протактиния
234
234
Th 90
→ Ac91
+ e 0−1 .
54.Ядро протактиния далее (А=234, Z = 91) испускает ещё одну α − частицу
с энергией Wα ( max) ≅ 2,32МэВ и ещё один γ − фотон с энергией Wf ≅ 0,8МэВ , превращаясь в изотоп урана
234
234
Ac91
→ U 92
+ α 42 .
234
55. U 92
тоже радиоактивен и, распадаясь далее, переходит в очередной радиоактивный элемент ионий − изотоп тория.
56. Каждый элемент из радиоактивного семейства испускает α − частицу
238
исили β − частицу не одновременно, а последовательно. Образец чистого U 92
пускает только α − частицы, но через непродолжительное время можно фиксировать все три вида излучения, т.к. в образце присутствуют несколько элементов семейства.
57. Существует несколько семейств радиоактивных элементов, общим
для них является, то, что расположены они в самом конце таблицы Мен207
делеева за свинцом Pb82
. Ядро свинца является самым тяжёлым из устойчивых ядер.
111
58. Процесс естественного распада ядер протекает самопроизвольно и не
подвержен внешним влияниям. Поскольку в распаде одновременно участвуют
множество ядер одновременно, то явление имеет статистический смысл.
59. Скорость распада радиоактивных элементов принято характеризовать
промежутком времени, за который распадается половина всех ядер, это время
Т называется периодом полураспада.
210
составляет Т = 140
60. Так, например, период полураспада полония Po84
суток, это значит, что от 1 кг полония в результате распада останется 500 г, а
ещё через 140 дней – 250 г и так далее.
61. Таким образом, вероятность распада ядер полония, впрочем, как и всех
других неустойчивых ядер, остаётся неизменной. Не распавшиеся за определённое время ядра имеют те же свойства, что и исходные ядра, т.е. процесс не
является результатом эволюции ядер. Ядра не подвержены «старению».
62. Количественная оценка радиоактивного распада делается в предположении, что число распавшихся ядер за достаточно малый промежуток времени,
всегда пропорционально исходному числу не распавшихся ядер. Если в некоторый момент времени t число ядер данного типа было N(t), то уменьшение
общего числа ядер – dN за время dt определится следующим образом:
− dN = kN(t )dt ,
где k = − dN N -=− постоянная распада при dt = 1. Другими словами, постоянная радиоактивного распада равна вероятности распада одного ядра за единицу
времени. Разделим в дифференциальном уравнении переменные
dN
= − kdt , ⇒
N(t )
N
t
dN
∫N N(t ) = −k ∫0 dt ,
0
откуда
ln
N
= −kt или N = N 0 e − kt ,
N0
где N0 – число ядер в момент
времени t = 0. Из уравнения
видно, что число ядер радиоактивного исходного элемента
убывает во времени по экспоненциальному закону. Число
распадов в единицу времени
определится как
a=−
dN
= kN ,
dt
величина а называется активностью данного радиоактивного препарата. В качестве еди-
Кривая полураспада
ницы активности используется кюри:
1 кюри = 3,7⋅107 событий /с.
63. Эта величина соответствует примерно активности 1 г радия, активность
которого соответствует 0,994 кюри. Уравнение распада позволяет установить
взаимосвязь между постоянной распада и периодом полураспада
N(T ) = N 0 e − kT =
откуда следует, что
112
1
N0 ,
2
e − kT =
1
1 1 ln 2 0,693
, ⇒ T = − ln =
≅
.
2
k 2
k
k
64. Периоды полураспада радиоактивных различных элементов отличаются, друг от друга в весьма широких пределах – от миллионных долей секунды
до нескольких миллиардов лет.
65. Конечным продуктом любой последовательности распадов является
изотоп с устойчивым ядром, который образуется постепенно по мере распада
238
− превращается в свинец
материнских ядер. Например, активный уран U 92
206
за 9 миллиардов лет. Измерение уровня естественной радиоактивности
Pb82
горных пород положено в основу оценки возраста археологических находок.
66. Цепочка последовательных превращений включает в себя ряд элементов
которые, отличаются от обычных только массой ядер, они называются изотопами.
67. На рис. приведена
цепочка превращения ядер
урана U 92235 в стабильные ядра свинца. На схеме приведены периоды полураспада
в соответствующих единицах.
68. Ядра изотопов содержат одинаковое число
протонов и разное число
нейтронов, поэтому заряд
ядра у изотопов одинаков,
что обуславливает одинаковость структуры их электронных оболочек.
69. Протон представляет
собой ядро простейшего
элемента – водорода. Протон имеет положительный
заряд, совпадающий поразительным образом по величине с зарядом электрона,
а вот масса, как отмечалось
ранее, протона в 1836,13 раз
больше массы электрона
m p ≅ 1,6726 ⋅ 10 −27 кг.
235
Естественный распад урана U 92
70. Отметим, что последнее обстоятельство делает окончательно неясным фундаментальный смысл электрического заряда. Непонятно, каким
образом частицы электрон и протон, имея одинаковый по модулю заряд, различаются столь значительно по массе.
71. Верным является утверждение 3, потому что расположенность элемента
за синцом в таблице Д.И. Менделеева для радиоактивности является условием
обязательным, но недостаточным.
113
21. Определить второй продукт ядерной реакции:
14
7
N + 01n →146 C + L.
Решение
1. Массовое число неизвестного элемента:
A X = 14 + 1 − 14 = 1;
2. Зарядовое число неизвестного элемента:
ZX = 7 + 0 − 6 = +1;
3. Неизвестным продуктом является протон 11 р
14
7
N + 01n →146 C+11р.
22. К гальваническому элементу подключена электрическая лампочка. Что
произойдёт с силой тока через лампочку, напряжением и мощностью тока на
ней при подключении параллельно с первым источником второго такого же
элемента и параллельно с первой лампой второй такой же?
Для каждой величины определить характер изменения:
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность.
Решение
1. При параллельном согласном включении источников ЭДС
не изменяется, а внутреннее сопротивление уменьшается вдвое:
ε
⎫
I1 =
;
⎪
R+r
⎪
ε
2ε ⎬
;
I2 =
=
R r R+r ⎪
+
⎪
2 2
⎭
2. Согласно правилу Кирхгофа:
I 2 = I3 + I 4 ; I3 = I 4 ; ⇒ I1 = I3 = I 4 ;
3. Поскольку величина ЭДС в цепи не меняется, то:
U R = const;
4. Мощность, выделяемая на одной лампочке:
P = IU = const;
Сила тока
Напряжение
3
3
Мощность
3
23. На рисунке показан результат изменения
периода колебаний математического маятника.
Маятник совершил за это время 10 полных колебаний. Чему равен период колебаний маятника Т,
если за погрешность измерений принята цена делений секундомера?
114
Решение
1. Цена деления секундомера равна Δ = 0,02 с, поэтому период колебаний
маятника определится как:
τ
41,2
T= ±Δ≈
± 0,02 = 4,12 ± 0,02 c.
10
10
24. Когда бельё на открытом воздухе высохнет быстрее:
1. В безветренный день;
2. В ветреный день;
3. Во время дождя;
4. Высыхание белья не зависит от погоды?
Решение
Сушка белья − процесс испарения волы
1. Процесс сушки белья с позиций молекулярной физики представляет собой испарение молекул воды с поверхности ткани, т.е. процесс перехода воды
из жидкого состояния в парообразное.
2. Скорость испарения зависит от окружающей температуры, влажности
окружающего воздуха и парциального давления пара над поверхностью. В ветреный солнечный день сушка будет протекать наиболее быстро. Высокая температура обеспечивает большое значение коэффициента испарения (количество молекул воды, покидающих единицу поверхности в единицу времени) а ветер относит испарившиеся молекулы, уменьшая парциальное.
25. В лифте, движущемся вверх с ускорением 2 м/с2 находится пассажир
массой 50 кг. Чему равен модуль силы тяжести, действующей на пассажира?
Решение
1. Сила тяжести является результатом взаимодействия данного тела с Землёй, если не учитывать взаимодействие с другими объектами:
mM
mg = G 2 ;
R
модуль которой не зависит от состояния системы отсчёта
mg ≈ 50 ⋅ 10 = 500H;
2. Вес пассажира, в данном случае будет отличаться от силы тяжести ввиду
ускоренного движения системы отсчёта.
r
P = mg + ma = m(g + a ) = 600H;
115
26. Идеальный газ получил количество теплоты 300 Дж и совершил работу
100 Дж. На сколько при этом увеличилась внутренняя энергия газа?
Решение
1. В каждый момент времени состояние
тела определяется всем многообразием его
свойств, причём, изменение одного из них,
как правило приводит к изменению других.
Построение дальнейшей термодинамической
модели поведения вещества осуществим на
примере всё того же идеального газа, для которого всё многообразие параметров состояния можно свести к трём, т.е.
f (p, V, T ) = 0 ,
все остальные свойства, включая электричеТермодинамическая поверхность идеские, магнитные, оптические и др. будут даального газа
лее полагаться неизменными. Геометрически
уравнение состояния представляет собой некоторую поверхность, отнесённую
к трём взаимно перпендикулярным осям координат {p,V,T}. Каждое состояние
вещества на этой термодинамической поверхности отображается некоторой
точкой, например a, которая называется фигуративной точкой. При изменения
состояния точка перемещается по термодинамической поверхности, например
в положение b, описывая кривую ab. Проекции этой кривой на плоскости позволяют получить соответствующие изохоры (p,T), (V,T) − изобары и (p,V) −
изотермы.
2. Рассмотрим pV − диаграмму некоторого термодинамического процесса
вследствие которого объект переводится из начального состояния 1 в конечное состояние 2. состояние 1 в соответствие с уравнением состояния
характеризуется набором из трёх параметров: давления р, объёма V и температуры Т. Кроме того, рассматриваемая масса газа в этом состоянии
будет обладать внутренней энергией
U1.
3. Предположим далее, что газ поpV − диаграмма газа
лучил возможность расширяться, совершая при этом работу. Почему при расширении газа будет совершаться механическая работа? Это можно показать, воспользовавшись традиционными
представлениями о работе, заимствованными из классической механики. Рассмотрим цилиндр с термоизолированными стенками (адиабатная оболочка),
заполненный идеальным газом и закрытый невесомым поршнем. Предположим, что первоначально давление в ограниченном объёме выше окружающего
и равно р. Если поршень отпустить и допустить его перемещения без трения,
то газ начнёт расширяться, причём на поверхность поршня будет действовать
сила
F = pds .
Элементарная работа этой силы на перемещении поршня dx будет равна
116
δA = Fdx = p ds dx = p dV .
4. Вычислим работу при переводе исследуемого объёма газа из начального
положения 1 в конечное положение 2, для чего кривую p = f(V) разобьём на
большое число отрезков и на каждом из них примерим уравнение элементарной работы. При суммировании элементарных работ, мы придём к следующему выражению
k =n
k =n
V2
k =1
V1
A1→2 = ∑ δA k = lim ∑ pdVk = ∫ pdV .
k =1
k →∞
5. При увеличении объёма газа от V1 до V2 совершается работа А1→2. Поскольку закон сохранения энергии никто не отменял и для энного случая, то
совершение работы должно сопровождаться уменьшением внутренней энергии
газа, больше энергии взяться неоткуда. На этом основании работу можно сопоставить с изменением внутренней энергии
A1→2 = −(U 2 − U1 ) = U1 − U 2 .
6. Следует оговориться, что в принципе работа может совершаться не только за счет уменьшения внутренней энергии газа. Если оболочку, ограничивающую рассматриваемый объём лишить теплоизоляционных свойств и нагревать,
то работа расширения будет совершаться частично или полностью за счёт
энергии внешнего источника, как в данной задаче. Ещё один вариант. Закрепим
поршень и подогреем газ от внешнего источника тепла. Объём в этом случае
меняться не будет, следовательно работа не совершается. В этом случае вся
энергия внешнего источника станет трансформироваться во внутреннюю энергию газа.
7. На основании проведенных рассуждений закон сохранения энергии в его
термодинамическом варианте можно математически выразить следующим уравнением
δQ = dU + k m δA ,
которое в системе СИ, где количество тепла
Q, работа A, внутренняя энергия U измеряются в джоулях, уравнение первого начала
термодинамики принимает вид:
Работа газа при расширении
δQ = dU + δA .
8. При сообщении газу количества тепла δQ и совершении над ним внешними силами работы δА*, как задано по условию задачи, уравнение первого
начала переписывается следующим образом:
δQ + δA* = dU; ΔU = 300 + 100 = 400Дж; .
27. Идеальный колебательный LC-контур имеет конденсатор 50 мкФ и катушку и индуктивностью L = 2 Гн. Определить циклическую частоту собственных свободных колебаний.
Решение
1. В соответствии с формулой Томсона:
2π
1
1
рад
T = 2π LC ; ω =
; ⇒ ω=
=
= 100
;
−
5
T
с
LC
2 ⋅ 5 ⋅ 10
117
Вариант 5
1. Представлен график зависимости модуля скорости тела v от
времени t. Найти путь, пройденный
телом от момента времени 0 с до
момента времени 5 с.
Решение
1. В промежутке времени 0 − 2 с тело движется равноускоренно:
Δv 10
м
at 2 5 ⋅ 22
< a >=
=
= 5 2 ; s0-2 = 1 =
= 10м;
Δt
2
с
2
2
2. В промежутке времени 2 − 3 с тело движется равномерно:
м
v 2 -3 = at1 = 5 ⋅ 2 = 10 ; s 2 -3 = v 2 − 3 ⋅ t 2 = 10 ⋅ 1 = 10м;
с
3. В момент времени 3 с от начала движения тело останавливается и в течение последующего времени покоится:
s = s 0 - 2 + s 2 − 3 = 20м;
2. Груз массой m на пружине, совершая свободные незатухающие колебания, проходит положение равновесия со скоростью v. Через какое время в единицах периода груз пройдёт положение равновесия, двигаясь в противоположно направлении с такой же скоростью v?
Решение
1. Уравнение свободных незатухающих малых колебаний математического
маятника:
ϕ(t ) = ϕmax sin ωt;
2. Закон изменения скорости груза математического маятника:
dϕ( t )
2π
2π
v (t ) = l
= lϕmax ω cos ωt = lϕmax
cos t;
dt
T
T
2π
T
T
cos t = 1; при t = n ; ⇒ v max(1) при t = ;
T
2
2
3. Атом массой m, движущийся со скоростью v, сталкивается с неподвижным атомом массой 2m. Каким суммарным импульсом обладают два атома в
момент столкновения?
Решение
1. На основании закона сохранения импульса:
r
r
r
r
mv + 0 = p Σ ; ⇒ p Σ = mv;
118
4. Пловец плывёт по течению реки. Чему равна скорость пловца относительно берега, если скорость пловца относительно воды 0,4 м/с, а скорость
течения реки 0,3 м/с?
Решение
1. Речь идёт об определении абсолютной скорости тела при заданных величинах относительной и переносной скорости. Согласно теореме о сложении
скоростей (направление относительной и переносной скорости совпадают) абсолютная скорость определится как:
м
v абс = v отн + v пер = 0,4 + 0,3 = 0,7 ;
с
5. Сила притяжения между шарами массами m1 и m2, помещёнными на расстояние R между их центрами, рана F. Во сколько раз нужно увеличить расстояние между центрами шаров с массами m1/2 и 2m2, чтобы сила притяжения
уменьшилась в 9 раз?
Решение
1. На основании закона гравитационного взаимодействия Ньютона:
mm
⎫
F=G 122; ⎪
R
Rx
⎪
= 9 = 3;
m1
⎬ ⇒ ζ=
2m 2 ⎪
R
F
= G 2 2 ;⎪
9
Rx
⎭
6. Комета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. Как изменяются скорость, ускорение, кинетическая энергия, потенциальная энергия и
полная механическая энергия при приближении кометы к Солнцу, если считать, что на неё действует только тяготение звезды.
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) не изменяется;
2) только увеличивается по модулю;
3) только уменьшается по модулю;
4) увеличивается по модулю и изменяется по направлению;
5) уменьшается по модулю и изменяется по направлению;
6) увеличивается по модулю и не изменяется по направлению;
7) уменьшается по модулю и не изменяется по направлению;
Решение
1. Движение кометы, находящегося на эллиптической стационарной орбите, описывается законом
гравитации Ньютона:
mM
ma n = G 2 ;
r
2
v
M
M
an =
=G 2 ; ⇒ v= G ;
r
r
r
119
где m − масса кометы, М − масса Земли, G − гравитационная постоянная, r −
расстояние от центра масс Земли до центра масс кометы, v − линейная скорость
кометы, an − нормальное ускорение.
Таким образом, линейная скорость кометы в точке орбиты 1 будет меньше
скорости в точке орбиты 2, потому что r1 > r2.
2. Нормальное (центростремительное) ускорение спутника:
M
an = G 2 ;
r
3. При перемещении спутника из точки 1 в точку 2 векторы линейной скорости и ускорения будут изменять направление.
4. Кинетическая энергия скалярная, всегда положительная величина при
переходе из 1 в 2 будет увеличивать своё значение, потому что:
mv 2
Κ=
;
2
5. Потенциальная энергия спутника:
mM
Π=G
;
r
будет, наоборот, уменьшать своё значение.
6. Если систему спутник − Земля рассматривать как замкнутую, не подверженную кроме гравитационных действию других сил, то будет справедлив закон сохранения энергии, потому что гравитационные силы относятся к классу
консервативных:
Π + Κ = const;
т.е. полная механическая энергия спутника во всех токах его эллиптической
орбиты будет сохранять своё значение.
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
4
4
2
3
1
7. Брусок движется равномерно вниз по шероховатой наклонной плоскости.
Установить для силы трения соответствие между перечисленными ниже 9 параметрами силы и свойствами вектора силы в левом столбце таблицы.
1) перпендикулярно поверхности наклонной плоскости;
2) вертикально вниз;
3) против направления вектора скорости;
4) вертикально вверх;
5) обратно пропорционален площади поверхности бруска;
6) пропорционален силе нормального давления;
7) обратно пропорционален силе нормального давления;
8) пропорционален площади поверхности бруска;
9) Не зависит от площади поверхности бруска.
120
Решение
1. Скалярное уравнение силы
трения:
r
FТр = −μN; N = mgcosα;
r
FТр = −μmgcosα;
модуль силы трения пропорционален
величине силы нормального давления и не зависит от площади поперечного сечения бруска.
2. Сила трения при движении направлена против направления вектора скорости.
Направление вектора
Модуль вектора
3
6,9
8. Когда бельё на открытом балконе высохнет быстрее?
1) в безветренный день;
2) в ветреный день;
3) во время дождя;
4) скорость высыхания не зависит от погоды.
Решение
1. Высыхание с позиций молекулярной физики представляет собой испарение жидкости с поверхности ткани, т.е. переход жидкости в состояние пара.
2. Скорость испарения зависит от температуры окружающего воздуха и его
влажности. Дело в том, что при достижении у поверхности состояния насыщения пар переходит в динамическое равновесие, т.е. количество молекул пара
испаряющихся с поверхности становится равным количеству конденсирующихся молекул в единицу времени на единицу площади.
3. Ветер представляет собой конвективные потоки в приповерхностном
слое, они уменьшают влажность воздуха, увеличивая тем самым скорость испарения. Поэтому при прочих равных условиях сохнуть бельё будет быстрее в
ветреную погоду.
9. Процесс диффузии вещества А, находящегося в газообразном состоянии, в другое вещество В происходит быстрее всего, если вещество В находится в:
1) твёрдом состоянии;
2) жидком состоянии;
3) газообразном состоянии;
4) процесс диффузии газообразного вещества А в вещество В происходит с одинаковой скоростью при любом состоянии вещества В.
Какое из приведенных утверждений правильно?
Решение
121
1. Диффузия (от лат. diffusio - распространение, растекание, рассеивание)
есть процесс выравнивания концентрации молекул по объёму или установление равновесного состояния. Диффузия представляет собой с позиции механики движение частиц среды, приводящее к переносу вещества
2. Процесс диффузии описывается законно Фика:
Φ = −D
∂n
s,
∂z
где Ф − поток молекул, D − коэффициент диффузии, n − концентрация молекул, z − координата, s − площадь контактной поверхности.
3. Скорость диффузии (количество молекул пересекающих единичную
площадку в единицу времени) зависит от длины свободного пробега молекул
диффундирующего вещества во второе вещество. Длина свободного пробега
молекул − среднее расстояние, проходимое частицей между двумя последовательными столкновениями с другими частицами. Длина свободного пробега
тем больше, чем меньше концентрация частиц:
1
;
λ=
2πd 2 n
где d − расстояние между центрами молекул во втором веществе.
4. Величины d и n, как правило имеют существенно меньшее значение для
веществ в газообразном состоянии, поэтому скорость диффузии в газах выше
чем в жидком состоянии и твёрдом состоянии, где молекулы упакованы более
плотно. Поэтому верным является утверждение 3.
10. Во сколько раз увеличится давление идеального газа при уменьшении
его объёма в 2 раза и увеличении его абсолютной температуры в 4 раза?
Решение
1. Составим систему уравнений состояния на основе заданных величин
макропараметров идеального газа:
m
⎫
p1V = RT1; ⎪
p1
μ
⎪
= 8;
⎬ ⇒ ζ=
p2
V m
⎪
p 2 = R 4T1;⎪
2 ν
⎭
11. При быстром движении поршня в закрытом цилиндре воздушного насоса объём воздуха увеличился. Установить соответствие между физическими
величинами, характеризующими процесс расширения воздуха, перечисленными в первом столбце, и их изменениями во втором столбце.
Решение
1. Быстропротекающие процессы в газе можно считать изотермическими:
122
T = const; pV = const;
очевидно, что при увеличении объёма давление должно уменьшаться, температура и внутренняя энергия сохранят на время быстрого перемещения поршня
свои значения.
А
2
Б
3
В
3
12. Одну порцию воды испарили, другая была расплавлена, третья нагрета. В каждом из процессов было передано количество теплоты Q. Установить
соответствие между процессами и формулами, которыми они описываются ( m
− масса воды, св − теплоёмкость воды, сл − теплоёмкость льда, Т − абсолютная
температура). К каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую
позицию второго столбца и записать соответствующие цифры.
Решение
1. Процессам испарения и плавления предшествует процесс нагревания.
А
1
Б
2
В
3
13. Капля, имеющая положительный заряд +е, при освещении потеряла
один электрон. Каким стал заряд капли?
Решение
1. Было обнаружено, что некоторые системы при определённых обстоятельствах обладают неизменными свойствами. Такие системы называются
консервативными, в них выполняются законы сохранения. Всякий закон сохранения, по сути, сводится, к утверждению, что в отсутствии источников и
стоков в системе её параметры неизменны во времени.
2. Электрический заряд тоже относится к категории консервативных характеристик замкнутых систем, не испытывающих влияния извне. Дело в том, что
для замкнутых систем алгебраическая сумма их электрических зарядов остаётся неизменной.
3. Так, например, если взять некоторое фиксированное количество воды,
обычной H2O, и определить суммарный электрический заряд всех структурных
элементов, то он не будет изменяться при механических, физических, химических процессах.
4. Закон сохранения заряда является одним из фундаментальных законов
природы. Невыполнение этого закона не зафиксировано в известных процес-
123
сах, происходящих в природе или воспроизводимых человеком. Закон сохранения заряда являет собой принцип несотворимости и неуничтожимости движущейся материи. Формулировка закона проста и лаконична: Алгебраическая
сумма электрических зарядов любой электрически изолированной системы остаётся неизменной, при протекании любых процессов внутри этой
системы
i=n
Q = ∑ q i = const ,
i =1
где Q − полный электрический заряд системы тел или частиц, qi − электрический заряд i − той части системы, n − число частей системы.
5. Этот закон, наряду с законами сохранения импульса и энергии, составляет теоретическую основу анализа широкого круга разнообразных процессов,
как на макро уровне, так и на микро уровнях. В частности, закон сохранения
заряда успешно использовался при анализе результатов атомных и ядерных реакций.
6. В твёрдых телах, где связи между упорядоченно расположенными в пространстве ионами сильны, имеется некоторое число свободных электронов,
способных перемещаться в пределах тела, или даже покидать его.
7. Электрический заряд не может удерживаться телом бесконечно долго, он
«стекает» на, присутствующие в воздухе капельки воды, которые обладают
свойством поляризоваться за счёт энергии заряженных тел.
q x = + e − (−e) = +2e;
14. В плоском зеркале З наблюдается
изображение стрелки С, глаз находится в
точке Г. На какое минимальное целое число клеток и в каком направлении следует
переместить стрелку, чтобы её направление не было видно глазу?
Решение
1. Чтобы изображение в зеркале S* не
возникло, стрелку по условию задачи необходимо переместить на одну клетку вниз.
15. На какой угол должны быть повёрнуты друг относительно друга плоскости поляризации двух поляроидов, чтобы свет после их прохождения был ослаблен наполовину?
Решение
124
1. При повороте плоскости поляризации на 900 интенсивность прошедшей
волны будет минимальной. Чтобы интенсивность уменьшить наполовину нужно повернуть плоскости поляризации друг относительно друга на 450.
16. Чему равно электрическое сопротивление нагревателя, если при силе
тока 0⋅2 А на нём за 4 минуты выделилось 960 Дж теплоты?
Решение
1. На основании закона Джоуля − Ленца:
Q
960
Q = IUτ = I 2 Rτ; ⇒ R = 2 =
= 100 Ом;
I τ 0,04 ⋅ 4 ⋅ 60
17. На графиках А и Б показаны изменения зависимости от времени силы
тока и напряжения через катушку и на конденсаторе в цепи переменного тока.
Установить соответствие между графиками и соотношение фаз колебаний силы тока и напряжения.
Соотношение фаз колебаний
1) колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний силы тока в цепи на π/2;
2) колебания напряжения на конденсаторе опережают по фазе от колебаний силы тока в цепи на π/2;
3) колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания
силы тока на π/2;
4) колебания напряжения на катушке отстают по фазе колебания силы
тока на π/2;
125
Решение
А
1
Б
3
18. Автомобиль движется равноускоренно и прямолинейно с противоположно направленными векторами скорости и ускорения. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно
рассчитать.
Решение
А
1
Б
4
19. Какие из приведенных ниже утверждений описывают планетарную модель строения атома, предложенную Резерфордом?
А. В центре каждого атома имеется положительно заряженное ядро
примерным радиусом ≈ 10 − 15 м, вокруг него на расстояниях ≈ 10 − 10 м подобно
126
планетам, обращающимся вокруг Солнца, движутся отрицательно заряженные
электроны.
Б. почти вся масса атома сосредоточена в атомном ядре.
Решение
1. В 1903 г. Томсон обнародовал свою модель атома, который представлял собой положительно заряженную сферу, в которой симметрично были расположены электроны.
Спектры испускания Томсон объяснял тем
обстоятельством, что электроны, удерживаемые
в атоме квазиупругой электростатической силой, могли совершать вблизи положения равновесия гармонические колебания на соответствующих частотах.
2. Если атом представить виде заряженной
Модель атома Томсона
сферы, то напряжённость электрического поля
внутри определится уравнением, которое для рассматриваемого случая может
быть записано в виде
E(r ) =
1 q
r
4πε0 R 3
(0 ≤ r ≤ R ) ,
где q − заряд сферы, R − радиус сферы, r − текущий радиус. На электрон, расположенный на удалении r от центра сферы будет действовать сила
F = (− q )E = −
1 q2
r = − kr .
4πε0 R 3
3. Будучи выведенным из состояния равновесия электрон станет совершать
гармонические колебания на частоте
ω=
k
e2
=
,
me
me R 3
где е − заряд электрона, me − масса электрона, R − радиус атома. Последнее
уравнение позволяет определить радиус атома
e2
.
R=
m e ω2
3
4. При длине волны спектральной линии λ ≈ 6⋅10 − 7 м (0,6 мкм), т.е. в видимой области спектра, что соответствует циклической частоте колебаний ω ≈
3⋅1015 с − 1, расчётный радиус атома определится как
R≈3
(1,6 ⋅10 )
1 ⋅ 10 (3 ⋅ 10 )
−19 2
− 30
15 2
≈ 3 ⋅ 10−10 м .
5. Полученное значение радиуса по порядку величины совпадает с молекулярно-кинетическими представлениями, что явилось для Томсона подтверждением правомерности разработанной модели. Атом Томсона удовлетворял условию электрической нейтральности атома в обычном состоянии, количество положительного и отрицательного электричества в атомах было одинаковым.
6. При силовом удалении и присоединении одного или нескольких электронов, атом превращается в положительный или отрицательный ион, который
127
уже становится носителем заряда и может участвовать в процессах возникновения и протекания электрического тока.
7. Впервые о способностях атомов терять и присоединять электроны сообщал в своих работах Майкл Фарадей, он же ввёл и термин «ион», происходящий от греческого «путешественник».
8. Резерфорд занялся исследованием положительно заряженных частиц,
выбрасываемых радиоактивными веществами, α − частицами.
9. В начале 1908 г. Резерфорд установил, что эти частицы представляют
атомы гелия, лишенные двух своих электронов, т.е. заряд этих частиц был равным + 2е. Резерфорд решил использовать α − частицы для выяснения структурных особенностей атома и соответствия их модели своего учителя. Резерфорд установил, что каждая α − частица, попадая на экран, покрытый сернистым цинком, вызывала световую вспышку (сцинтилляцию), которую можно
заметить в темноте после адаптации зрения.
10. На рис. (фрагмент 1) показана условная схема экспериментальной установки Резерфорда. Коллиматор из свинца (контейнер толстыми стенками), был
снабжён отверстием малых размеров, что позволяло получать узкий пучок α −
частиц, который направлялся на листок золотой фольги, который должен был
рассеивать частицы. Окрестности фольги были окружены экраном, покрытым
сернистым цинком. Наблюдения за вспышками производились с помощью
микроскопа.
Эксперименты Резерфорда с α − частицами
11. В качестве рассеивающего вещества золото было выбрано не из-за цвета
и престижности. Дело в том, что золото один из
самых пластичных металлов с высокой плотностью, который можно прокатать таким образом,
что в толщине фольги будет умещаться всего несколько атомных слоёв.
12. Первоначально в установке Резерфорда
экран имел прямоугольную форму и был совмещён с микроскопом. Источник α − частиц, золотая фольга, экран и микроскоп располагались в
Схема установки
камере, из которой откачивали воздух. Микро128
скоп с экраном совместно с корпусом камеры могли вращаться вокруг фольги,
которая постоянно обстреливалась α − частицами. Таким образом Резерфорд
мог с 360 градусным обзором наблюдать рассеяние α − частиц.
12. Если бы атом золота был таким как его представлял Томсон (фрагмент
а), то α − частицы должны были отклоняться на достаточно малые углы. Вращая детектор из сернистого цинка, исследователи могли измерять относительное число α − частиц, рассеянных под различными углами θ
13. Согласно модели атома Томсона, α − частицы должны были свободно
проходить сквозь атомы золота, и только некоторые из них должны были слегка отклоняться кулоновскими силами.
14. Следовало ожидать, что поток α − частиц пройдя фольгу, слегка расплывется, и средние углы рассеяния будут составлять несколько градусов. Такое рассеяние действительно наблюдалось, но совершенно неожиданно, вне
всяких тогдашних представлений, одна из 20 000 частиц, падающих на фольгу
толщиной 4⋅10 − 7 м, возвращалась назад, в сторону источника.
15. Резерфорд по этому поводу писал: « Это было самое невероятное событие, с которым мне когда- либо приходилось сталкиваться. Это было
так же невероятно, как если бы вы выстрелили 15 дюймовым (38 см) снарядом в лист папиросной бумаги, а снаряд бы вернулся назад и попал в
вас».
16. Резерфорду потребовалось несколько лет (до 1911 г.), чтобы окончательно разобраться с этим явлением. Он пришёл к выводу, что атом не однороден и имеет нечто очень малое массивное и с положительным зарядом, сосредоточенное в центре. Таким образом, была предложена ядерная модель атома.
17. Резерфорд наблюдал, что α − частицы способные проникать через тонкие листочки металлов, при этом они отклоняются от первоначального направления своего движения. Было естественно допустить, что эти отклонения вызваны отталкиванием положительно заряженных α − частиц от положительных
зарядов атома. Силы, действующие на α − частицы со стороны электронов, не
могут заметно изменить направления их движения из-за слишком малой массы
электронов.
Можно показать, что результат рассеяния существенно зависит от размеров объема, в пределах которого распределен положительный заряд атома.
Только при малом размере положительного заряда атома силы отталкивания
могут оказаться настолько большими, чтобы вызвать отклонение траекторий α − частиц на значительные углы.
Если же положительный заряд атома распределен в пределах значительного объема, как полагал Томсон, то каждое прохождение α − частицы вблизи
атома отклонит ее на небольшой угол. Рассеяние α − частиц в этом случае
будет незначительным.
18. Действительно, длительные наблюдения Резерфорда и ассистентов показали, что в большинстве своём α − частицы к удовольствию Томсона рассеиваются на достаточно малые углы, порядка 1 − 30.
19. Статистика распределения по углам отклонения хорошо описывалась
кривой Гаусса. Но, весьма редко, но всё же не случайно, α − частицы отклонялись на углы, превышающие 1450, причём золото было не аномальным веществом.
20. Фольга из платины демонстрировала те же тенденции, примерно каждая
из 8000 частиц, отклонялась на углы более 900.
129
Исследователем стало ясно, что случаи «нестандартного» рассеяния требуют пересмотра модели атома. Получалось, что летящая α − частица время от
времени встречала на своём пути нечто, локализованное в малом объёме и
имеющее непременно положительный заряд.
21. Такая ситуация складывается при соударении одинаковых по размеру и
шаров, когда массивный шар из свинца, например, покоится, а на него налетает
лёгкий пластмассовый шарик.
22. При центральном ударе свинцовый шар имеет незначительное перемещение, а лёгкий шарик отбрасывается в сторону противоположную первоначальному направлению. Редкость таких событий могла объясняться, что попадать в это «нечто» сложно, ввиду его малости в сравнении с размерами всего
атома.
23. Резерфорд до описываемых экспериментов уже получал α − частицы не
из радиоактивных веществ, а двойной ионизацией атомов гелия. Он знал, что α
− частицы − это атом гелия (положительный ион) лишённый электронов. А кулоновское взаимодействие описывается известным уравнением
Fk =
1 q1 q 2
,
4πεε0 r 2
где r − расстояние между взаимодействующими зарядами. Из этого уравнения
следует, что при уменьшении расстояния между взаимодействующими частицами сила Кулона увеличивается, при r → 0; Fk → ∞ .
24. На основании экспериментов и проведенного анализа результатов Резерфорд пришёл к заключению, что в центре атома расположена массивная материальная частица с положительным зарядом, которую он назвал − ядро атома.
25. Прижилось, надо сказать, название. Далее Резерфорд начал решать, так
называемую задачу Кеплера о взаимодействии планеты с Солнцем. В кеплеровском случае тоже действуют центральные силы изменяющиеся обратно
пропорционально квадрату расстояния между взаимодействующими телами.
26. Пусть α − частица на большом от ядра
расстоянии движется co скоростью v, направленной вдоль прямой. Обозначим через y
наименьшее расстояние между направлением
вектора скорости α − частиц и центром атома
О, в котором расположен его положительный
заряд Zе. Величина y назвается прицельным
расстоянием.
27. При наличии центральных электростатических
сил взаимодействия между α − часРассеяние α − частиц
тицей и зарядом Zе, которые являются консервативными, α − частица движется по гиперболе. Вблизи положительно заряженного ядра на α т − частицу действует сила
F=
1 2Ze2
.
4πεε0 r 2
Естественно в этой связи предположить, что чем меньше прицельное расстояние у, тем на больший угол отклоняется α − частица. Изменение импульса α − частицы будет равно
r
Δp = 2m α sin ϑ 2 .
130
Угол отклонения α − частицы ϑ , который одновременно является углом
между асимптотами гиперболы. Определяется соотношением
⎛ m v2
⎞
ϑ = 2arctg⎜⎜ α ⋅ y ⎟⎟ .
⎝ 2e ⋅ Ze ⎠
где mα − масса α − частицы. Масса α − частицы, по современным представлениям, mα ≅ 6,5⋅10 –27 кг, а масса ядра золота М(Аu) ≅ 3,25⋅10 –25 кг. Другими
словами (M Au >> m α ) , т.е. массу ядра можно считать существенно большей по
сравнению с пролетающими α − частицами. Из формулы видно, что угол отклонения тем больше, чем меньше прицельное расстояние у. При малых прицельных расстояниях угол отклонения может принимать значения θ > π 2 , т.е. α
− частица может оказаться в результате столкновения с атомом отброшенной
назад.
28. Предположив, что кулоновская сила отталкивания между α-частицей и
атомным ядром изменяется по закону 1/r2 даже в области чрезвычайно малых
внутриатомных расстоянии порядка 10 – 15м, Резерфорд вывел выражение для α
− частиц, рассеянных при столкновениях с ядрами. Он показал, что вероятность рассеяния на угол ϑ обратно пропорциональна четвертой степени синуса
угла рассеяния, т.е.
W∼
1
.
sin (ϑ 2 )
4
29. Вероятность рассеяния на углы, превышающие 90° чрезвычайно мала по
сравнению с рассеянием на малые углы. Так, частота рассеяния на угол ϑ
=120° относится к частоте рассеяния на угол 6 − 5° приблизительно как 1/105.
Полученные экспериментальные данные и проделанные вычисления послужили основанием для разработки планетарной модели атома.
Планетарная модель атома Эрнста Резерфорда
30. Наименьшее расстояние у0, на которое может сблизиться α − частица с
ядром золота (Z = 79), возможно найти сравнивая кинетическую и потенциальную энергию взаимодействующих объектов. Связывая систему отсчёта с центром масс системы ядро - частица, и пренебрегая кинетической энергией ядра
атома золота, можно записать
mv 2 Ze ⋅ 2e
≈
;
2
4πε0 y 0
31. Круговые орбиты электронов по классическим представлениям не должны были быть стационарными вследствие излучения электромагнитных волн,
атомы же, как известно, образования чрезвычайно устойчивые. Это противоре-
131
чие удалось объяснить только после более тщательных исследований, в частности, при анализе спектров изучения атомов.
32. Кстати, когда Резерфорд, соблюдая субординацию, рассказал о результатах экспериментов Дж. Дж.Томпсону, но мэтр совсем не удивился и не расстроился по поводу несостоятельности своей модели атома, похоже, что великий Томсон поставил перед Резерфордом задачу таким образом, чтобы подтвердить заранее известный ему одному ответ.
33. Когда стало очевидным, что во взаимодействии α − частиц и ядер превалируют кулоновские силы, имеющие сходные с гравитационными силами,
удерживающими планеты вокруг Солнца, то аналогия с планетной системой не
преминула возникнуть.
34. Резерфорд свою модель атома так и назвал − планетарная модель атома
в которой отрицательно заряженные электроны, подобно планетам солнечной
системы вращаются вокруг ядра, несущего положительный заряд в точности
равный модулю суммарного электрического заряда всех электронов, мечущихся по своим орбитам.
35. Вместе с тем, несмотря на очевидные достоинства планетарной модели
атома, она не раскрывала одно существенное обстоятельство. В соответствие с
законами классической электродинамики, всякая ускоренно движущаяся заряженная частица должна излучать электромагнитные волны, т.е. в процессе
движения должна терять энергию, т.е. уменьшать радиус своей круговой орбиты.
36. Если это так, то электроны должны были, в конце концов, упасть на ядро. А поскольку атомы демонстрировали устойчивость, то модель Резерфорда
этот нюанс не объясняла. Другими словами классические представления не
могли объяснить устойчивость атомов.
37. Таким образом, верными являются оба утверждения, и А и Б.
20. Испускание какой частицы не сопровождается изменением зарядового
и массового числа атомного ядра?
Решение
1. α-частица: Z = + 2 e, mα ≡ m(42 Ну) ;
2. β-частица: Z = − e, mβ = me;
3. γ-частица (γ-излучение) Z = 0; mγ = 0;
4. Нейтрон: Z = 0; mm ≈ mp;
21. В однородное магнитное поле перпендикулярно вектору магнитной индукции влетают два протона, движущихся со скоростями v1 = 3v и v2 = v. Каково отношение периодов их стационарного обращения по круговым траекториям?
Решение
1. Условие нахождения протона на стационарной круговой орбите:
mv 2
mv 2
qBr
qB
qB
= ωr; ⇒ 2πT =
FL =
; qvB =
; v=
; T=
;
r
r
m
m
2πm
2. Поскольку скорость не входит в уравнение периода, то:
T1 = T2 ;
132
22. К источнику постоянного тока была подключена одна электрическая
лампочка, с сопротивлением равным внутреннему сопротивлению источника
тока. Что произойдёт с силой тока в общей цепи, напряжением на выходе источника тока и мощностью тока на внешней цепи при подключении параллельно с этой лампой второй такой же лампы?
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность.
Решение
1. Сила тока в общей цепи:
ε
ε
2ε
1ε
=
=
; ⇒ I 2 > I1;
I1 =
; I2 =
r 3r
r+r 2 r
r+
2
2. Напряжение на выходе источника:
ε
ε
r
2ε r 2
U r(1) = ε − I1r = ε − r = ; U r(2) = ε − I 2 = ε −
= ε; ⇒ U r (1) < U r ( 2 ) ;
2r
2
2
3r 2 3
3. Мощность во внешней цепи:
ε2
1 ε2
;
P1 = I12 r = 2 r =
4 r
4r
4 ε2 r 2 ε2
2 r
=
; ⇒ P2 < P1;
P2 = I 2 =
2 9 r2 2 9 r
Сила тока
Напряжение
Мощность
1
1
2
23. Как записать показания ртутного термометра, если считать, что при
снятии показаний за абсолютную погрешность измерений принята цена делений термометра?
Решение
1. Абсолютная погрешность измерений термометром:
Δ ≈ 0,1 0С; ⇒ t ≈ 37 ± 0,1 0C;
24. Объяснить существования красой границы фотоэффекта с позиций
квантовой теории световых явлений.
Решение
1. Явление фотоэффекта в 1887 г. было обнаружено Генрихом Герцем. Исследования явления были выполнены А.Г. Столетовым и Хальваску.
2. Генрих Герц обнаружил, что при освещении поверхности отрицательно
заряженной металлической пластины они интенсивнее теряет заряд, чем в не-
133
освещённом состоянии. При положительном заряде пластины такой особенности не наблюдалось. Кроме того выяснилось, если пластина была электрически
нейтральной, то при освещении её ультрафиолетовыми лучами, последняя
приобретала положительный заряд.
3. После открытия Дж. Дж. Томсоном электрона и измерении его удельного
заряда e/m было показано, что фотоэффект сопровождается потерей металлической пластиной электронов.
Потеря электронов металлом
4. Фотоэффект принято делить на внешний и внутренний. При внешнем фотоэффекте электроны под действием светового потока покидают пределы облучаемого образца. При внутреннем фотоэффекте электроны не покидают образец, электрическое состояние не нарушается.
5. Было установлено, что фотоэлектрическими свойствами обладают как
металлы и диэлектрики, так же полупроводниковые материалы и электролиты.
Фотоэффект вызывается не только ультрафиолетовыми лучами. Щелочные металлы, такие как, литий, натрий, калий, цезий проявили заметную чувствительность к свету в видимом диапазоне электромагнитных волн. При специальной
обработке поверхности щелочных металлов они реагируют на излучение даже
в инфракрасной области светового излучения.
5. На рис. приведена
структурная схема установки
для исследования фотоэффекта. Электроны, вырываемые
светом из катода, за счёт энергии электрического поля между катодом и анодом, увлекаются в сторону анода, создавая, так называемый, ток проводимости. Другими словами,
в вакуумном пространстве
между катодом и анодом возСхема установки
никают носители электрического заряда − электроны. Движение электронов в виде фототока регистрируется электрометром или микроамперметром.
6. Если постоянной интенсивности и частоте падающего светового потока
плавно изменять напряжение между катодом и анодом, то можно получить
вольтамперную характеристику фотоэффекта для данного материала фотока-
134
тода, такую зависимость называют иногда характеристикой фотоэлемента. После некоторого значения напряжения между анодом и катодом величина фототока стабилизируется, наступает
насыщение, причём величина тока
насыщения зависит от материала
фотокатода. На рис. приведены
вольтамперные
характеристики
для двух материалов. Поскольку
повышение напряжения не меняет
силу фототока, то его значение насыщения IH1 и IН2 определяют количество электронов, покидающих
фотокатод в единицу времени, например, в 1 секунду.
7. Явление насыщения фототоЗависимость фототока от
ка было обнаружено впервые А.Г.
напряжения между анодом и катодом
Столетовым, который показал, что
сила фототока насыщения строго пропорциональна интенсивности падающего
на фотокатод света. Ток насыщения пропорционален интенсивности поглощаемого света. Эффект установленный Столетовым в чистом виде проявлялся
только в вакууме. В газовой среде строгой пропорциональности вследствие ионизационных процессов не наблюдалось.
8. Первые попытки объяснения внешнего фотоэффекта, как водится, попытались сформулировать на основе господствующих в то время волновых представлений. Свободные электроны во множестве присутствующие в каждом металле, удерживаются в нём задерживающим полем, присутствующем на границах, при этом работа выхода электрона составляет несколько электрон-вольт.
Полагалось, что в поле световой волны электроны начинают совершать вынужденные колебания, амплитуда которых зависит от интенсивности падающего
света. При достижении свободными электронами энергии колебаний превышающей работу выхода, они могут покинуть пределы металла. Для связанных
электронов тоже возможны аналогичные процессы, но они носят более сложный резонансный характер.
9. Такое классическое толкование, однако, не было в согласии с экспериментальными данными. Дело в том, что кинетическая энергия колеблющихся
электронов
m e ω2 A 2
,
K max =
2
должна быть тем больше, чем больше интенсивность падающего светового потока. Но опыты, проведенные Ленардом, показывали, что максимальные кинетические энергии излучаемых металлом электронов не зависят от интенсивности, а определяются исключительно его частотой.
10. Кроме того, возникновение и развитие механических колебаний электронов должны занимать некоторый промежуток времени τ ≈ 0,5 − 1 с, опыт же
демонстрировал отсутствие такой инерции фотоэффекта.
11. Когда же к фотоэффекту примерили квантовую гипотезу Макса Планка
2πν 2 hν
ε ν , ν + dν = 2
dν ,
hν
c
k BT
e
−1
135
сформулированную им при объяснении излучения абсолютно чёрного тела, то
сразу всё стало на свои места. Взаимодействуя с электроном, фотон обменивается с ним импульсом и энергией, причём не постепенно, а сразу в результате
единичного акта столкновения.
12. Свободные электроны, не связанные с атомами, получив энергию от фотона, расходуют её исключительно на преодоление задерживающих сил, действующих со стороны поверхности металла, т.ею на работу выхода. Максимальная кинетическая энергия вырванного электрона, кинетическая энергия фотона
и работа выхода связаны уравнениями:
m e v 2max hc
m e v 2max
m e v 2max
= ε f − A;
= hν − A;
=
− A;
2
2
2
λ
13. Из уравнения внешнего фотоэффекта следуют важные выводы:
• Максимальная кинетическая энергия вырванных электронов линейно зависит от частоты падающего света и не зависит от его
интенсивности. Интенсивность определяет только количество
электронов, выбиваемых из металла в единицу времени. Оказалось, что тангенс угла наклона прямой, отображающей зависимость задерживающего напряжения от частоты падающего света
пропорционален постоянной Планка. Коэффициентом пропорциональности служит величина обратная заряду электрона. Эта
закономерность позволила американскому исследователю Роберту Милликену экспериментально определить значение постоянной Планка h ≅ 6,62⋅10 − 34 Дж⋅с.
Определение постоянной Планка
•
Существует низкочастотная граница (порог, красная граница)
фотоэффекта, т.е. такая частота ν0 ниже которой фотоэффект не
наблюдается. Красная граница фотоэффекта зависит от свойств
фотокатода и его поверхности.
14. Пусть работа выхода А = hν, тогда уравнение фотоэффекта можно переписать следующим образом:
m e v 2max
= hν − hν 0 = h (ν − ν 0 ) .
2
При ν < ν0 правая часть уравнения становится отрицательной, чего не может
быть, потому что кинетическая энергия, стоящая слева не может из принципиальных соображений (скорость в квадрате) принимать отрицательных значений. Т.е. ν0 − граничная частота, при которой ещё возможен фотоэффект. С
волновых позиций никакой красной границы принципиально существовать не
должно.
136
r
25. Под действием силы тяжести mg
r
груза и силы F рычаг, находится в равновесии. Если модуль силы равен 120 Н, то чему
равен модуль силы тяжести?
Решение
1. Определим косинус угла между вектором силы F и вертикалью:
3
cosα = = 0,6 ;
5
2. Составим уравнение моментов сил относительно оси, проходящей через
точку касания рычага и опоры перпендикулярно плоскости чертежа:
l 1mg = l 2 Fcosα; l 1 = 0,8м; l 2 = 4м;
r l F cos α 4 ⋅ 120 ⋅ 0,6
=
= 560 Н;
mg = 2
l1
0,8
26. Переход газа из состояния М в состояние N совершается различными способами: 1, 2, 3, 4. В каком случае совершается
максимальная работа?
Решение
1. В каждый момент времени состояние
тела определяется всем многообразием его
свойств, причём, изменение одного из них,
как правило приводит к изменению других.
Построение дальнейшей термодинамической
модели поведения вещества осуществим на
примере всё того же идеального газа, для которого всё многообразие параметров состояния можно свести к трём, т.е.
f (p, V, T ) = 0 ,
все остальные свойства, включая электрические, магнитные, оптические и др.
будут далее полагаться неизменными. Геометрически уравнение состояния
представляет собой некоторую поверхность, отнесённую к трём взаимно перпендикулярным осям координат {p,V,T}. Каждое состояние
вещества на этой термодинамической поверхности отображается некоторой точкой, например a, которая называется фигуративной точкой. При изменения состояния точка
перемещается по термодинамической поверхности, например в положение b, описывая кривую ab.
Проекции этой кривой на плоскости Термодинамическая поверхность идеального газа
137
позволяют получить соответствующие изохоры (p,T), (V,T) − изобары и (p,V) −
изотермы.
2. Рассмотрим pV − диаграмму
некоторого
термодинамического
процесса вследствие которого объект
переводится из начального состояния
1 в конечное состояние 2. состояние
1 в соответствие с уравнением состояния характеризуется набором из
трёх параметров: давления р, объёма
V и температуры Т. Кроме того, рассматриваемая масса газа в этом состоянии будет обладать внутренней
энергией U1.
pV − диаграмма газа
3. Предположим далее, что газ
получил возможность расширяться, совершая при этом работу. Почему при
расширении газа будет совершаться механическая работа? Это можно показать, воспользовавшись традиционными представлениями о работе, заимствованными из классической механики. Рассмотрим цилиндр с термоизолированными стенками (адиабатная оболочка), заполненный идеальным газом и закрытый невесомым поршнем. Предположим, что первоначально давление в
ограниченном объёме выше окружающего и равно р. Если поршень
отпустить и допустить его перемещения без трения, то газ начнёт расширяться, причём на поверхность поршня будет действовать сила
Работа газа при расширении
F = pds .
Элементарная работа этой силы на перемещении поршня dx будет равна
δA = Fdx = p ds dx = p dV .
4. Вычислим работу при переводе исследуемого объёма газа из начального
положения 1 в конечное положение 2, для чего кривую p = f(V) разобьём на
большое число отрезков и на каждом из них примерим уравнение элементарной работы. При суммировании элементарных работ, мы придём к следующему выражению
k =n
k =n
A M → N = ∑ δA k = lim ∑ ΔpΔVk ;
k →∞
k =1
k =1
5. Таким образом работа численно равна площади фигуры ограниченной
кривой состояния и осями p;V, следовательно из всех четырёх способов изменения состояния наибольшая работа будет совершаться в случае 1.
27. На рисунке представлены схемы трёх электрических цепей, во всех
трёх конденсатор С1 заряжен, конденсатор С2 в первой цепи не заряжен.
В какой из трёх цепей при замыкании ключа К возникнут электромагнитные
колебания? Индуктивностью и сопротивление соединительных проводов пренебречь.
138
Решение
1. Электромагнитные колебания с энергетической точки зрения представляют собой преобразование энергии электрического поля, накапливаемой в
конденсаторе, в энергию магнитного поля, сосредоточенного в катушке индуктивности
WE =
Cu 2
;
2
⇔
WB =
Li 2
;
2
2. Исходя из этого обязательного и достаточного условия колебания могут
возникнуть в контурах 1 и 2.
3. В контуре 3 произойдёт однократная разрядка конденсатора через сопротивление. Если переключатель замкнуть, то конденсатор С1 начнёт разряжаться
через сопротивление цепи R, включающее и внутреннее сопротивление источника.
4. Начиная с момента времени, соответствующего замыканию переключателя в цепи возникнет электрический ток, зависящий от времени i(t), переносящий положительный заряд на левую пластину конденсатора q(t):
t
−
⎛
⎞
q(t ) = Cε⎜⎜1 − e RC ⎟⎟ .
⎝
⎠
5. Получим зависимость разрядного тока в функции времени:
i(t ) =
dq ε − RCt
= e .
dt R
Изменение напряжения на конденсаторе будет протекать в соответствии с
уравнением
U(t ) =
t
−
⎞
q(t ) ⎛
= ε⎜⎜1 − e RC ⎟⎟ .
C
⎠
⎝
Величина RC = τ [Ом ⋅ Ф ≡ (В А ) ⋅ (Кл В) ≡ Кл (Кл c ) ≡ c] − называется постоянной времени. Постоянная времени характеризует промежуток времени, за который заряд на конденсаторе достигает (1 − e −1 ) или 63% своего максимального
значения, т.е. 0,63Cε . Значение τ, таким образом, характеризует скорость разрядки конденсатора.
Из уранений следует, что заряд может достичь своего максимального значения Q = Cε ,только через бесконечно большое время.
139
Вариант 6
1. При прямолинейном движении зависимость пройденного телом пути от
времени имеет вид:
s(t) = 5 + 2t + 4t 2 .
Определить скорость тела в момент времени τ = 2 с.
Решение
1. Скорость тела определится в виде первой производной пути по времени:
м
ds(t)
v(t) =
= 2 + 8t; ⇒ v(τ) = 18 ;
с
dt
2. Груз массой m на пружине совершает свободные не затухающие горизонтальные колебания. При колебаниях скорость груза периодически достигает максимального значения v. Груз, пройдя положение равновесия, через четверть периода максимально удалился от положения равновесия. Чему при
этом равна кинетическая энергия груза?
Решение
1. Получим уравнение движения
массы, скреплённой с горизонтальной
пружиной на основе анализа действующей системы сил. Горизонтальная пружина удобна тем, что позволяет не учитывать действие силы тяжести. Будучи
смещённой из положения статического
равновесия О в положение В, масса оказывается под действием системы сил
{ mgr; Nr ; Fr
возвр
Горизонтальные колебания
≡ Fупр = −kx},
причём сила тяжести и нормальная реакция связи, могут не учитываться при дальнейшем рассмотрении, их работа на
перемещении вдоль оси ох равна нулю, т.к. обе эти силы перпендикулярны направлению перемещения,
r r
δA = mg ⋅ dx ⋅ cos i ; mg = 0.
2. На направление движения будет иметь проекцию отличную, от нуля,
только возвращающая сила, обусловленная, в данном случае, упругостью пружины. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось,
таким образом, запишется так
(
i=n
∑F
kx
i =1
)
= m&x&; − FB = m&x&; − kx = m&x& ,
где k − коэффициент жёсткости пружины. Преобразуем последнее уравнение к
виду:
140
m&x& + kx = 0;
⇒
&x& +
k
x = 0.
m
3. Для придания уравнению вида одного из известных типов дифференциальных уравнений, введём обозначение:
k
= ω2 ; ω =
m
k
,
m
и перепишем дифференциальное уравнение в виде:
d2x 2
&x& + ω2x = 0,
+ ω x = 0;
dt2
4. Полученное линейное дифференциальное уравнение второго порядка без
свободного члена имеет известное из математики общее решение:
2π
x(t) = Asinωt = Asin t;
T
5. Изменение скорости тоже будет периодическим:
dx ( t )
2π
2π
v x (t) =
= A cos t;
dt
T
T
6. По условию задачи t = T/4:
2π
2π T 2πA
π
π
v x = A cos
=
cos ; cos = 0; ⇒ v x = 0,
T
T 4
T
2
2
таким образом скорость в данный момент времени будет нулевой, следовательно и кинетическая энергия груза будет равна нулю, вся энергия системы
будет представлять собой потенциальную энергию пружины:
mv2max kA 2
kA 2
; ⇒ Π max =
=
; Κ = 0;
2
2
2
3. Вагон массой m, движущийся со скоростью v, сталкивается с таким же
вагоном, движущемся с такой же скоростью в противоположном направлении.
Каков модуль суммарного импульса двух вагонов в момент столкновения.
Столкновение считать упругим, взаимодействие вагонов с другими телами
пренебрежимо мало.
Решение
1. При упругом ударе справедлив закон сохранения импульса системы, который в проекции на направление движения вагонов примет вид:
r
mv + (- mv ) = 0; ⇒ p Σ = 0;
4. На рисунке показана система трёх
плоских сходящихся сил. Чему равно ускорение материальной точки под действием этой системы сил, если модуль силы F1 = 3 Н?
Решение
1. Понятие силы. В соответствие с
классическим определением, кочующим
из учебника в учебник, сила является мерой механического взаимодействия тел,
определяющая интенсивность и направ-
141
ление такого взаимодействия.
2. Ели при действии силы на тело происходит изменение его механического
состояния, например, тело, начинает двигаться или изменяет параметры своего
движения, то говорят о динамическом проявлении силы. Но такое наблюдается
не всегда. Большой камень, расположенный на песке массой 500 кг один даже
очень тренированный человек не сможет переместить, как ни старайся. Это
статическое проявление силы. А вот если лёгкий камень бросить под углом к
горизонту, то будет наблюдаться изменение первоначального направления полёта за счёт гравитационного взаимодействия массы камня с массой Земли. Это
уже динамическое проявление сил.
Фундаментальная значимость понятия силы в механике обусловлена тем
обстоятельством, что силы можно количественно измерять, чаще всего простыми и доступными методами сравнения. Опытным путём было установлено,
что статическое и динамическое действие силы зависит от трёх её параметров:
модуля, направления и точки приложения.
2. Графически сила изображается в виде направленного отрезка (вектора) направление которого совпадает с линией действия силы АВ , длина отрезка соответствует величине (модулю) силы в выбранном
масштабе. Начало вектора силы, как правило, совпадает с точкой приложения М.
3. Если на тело действует не одна, а несколько сил,
то говорят о системе сил. На рис. изображена система
r r r r
четырёх сил F1 , F2 , F3 , F4 , линии действия которых пеОбозначение силы
ресекаются в одной точке. Система сходящихся сил
является наиболее простой для определения эквивалентного действия, которое оценивается на основе
трёх аксиом.
Аксиома 1. Абсолютно твёрдое свободное тело
находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и
имеют противоположное направление по общей линии действия.
Аксиома 2. Действие данной системы сил не изменится если к ней прибавить или отнять систему сил
Система сходящихся сил
эквивалентную нулю.
Вторая аксиома имеет два важных следствия.
Следствие 1. Не изменяя параметров действующей силы, точку её приложения можно переносить вдоль линии действия силы в пределах данного тела.
Следствие 2. Равнодействующая и уравновешивающая силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной и
той же точке, равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах сил и направлена вдоль диагонали.
4. Используя приведенные выше аксиомы, которые были известны ещё во
времена Архимеда, можно достаточно просто находить равнодействующую
нескольких сил. Наиболее простым для анализа является система сходящихся
сил, т.е. системы сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
{
142
}
5. Покажем методику геометрического нахождения равнодействующей на примере системы, состоящей из трёх сил
r r
F1 , F2 , F3 . Используя следствие 1
аксиомы 2, перенесём по линиям
действия силы таким образом,
чтобы начало их векторов совпадало с точкой О. Затем построим параллелограмм на векr
торах сил F1 , F2 и построим его
{
}
Определение равнодействующей силы
r r
диагональ, которая будет являть собой сумму F1 + F2 . Далее построим второй
r r
r
параллелограмм на векторах F1 + F2 и F3 , диагональ этого параллелограмма буr
дет являться равнодействующей R анализируемой системы трёх сходящихся
сил.
6. Численное значение равнодействующей силы определяется по следующей схеме:
r r
r r
F1 + F2 = F* = F12 + F22 + 2F1F2 cos F1 ; F2 ,
r
r r
R = F32 + F*2 + 2F3F* cos F3 ; F* .
(
(
)
)
7. Применительно к рассматриваемой
задаче полученные данные позволяют заключить, что геометрическая сумма сил
r r
r
F2 + F3 = − F2 ,
в таком случае:
n =3 r
∑ Fn = 0;
n =1
8. Такая система сил, в соответствии со
вторым законом Ньютона не способна сообщить материальной точке ускорения
r
а = 0;
5. Во сколько раз сила притяжения, действующая на груз массой 10 кг, который подняли от поверхности Земли на высоту, равную радиусу Земли,
меньше силы притяжения, действующей на тот же груз на её поверхности?
Решение
mM ⎫
F1 = G 2 ; ⎪
R
F
⎪
⇒ ζ = 1 = 4;
⎬
mM ⎪
F2
;
F2 = G
2
(2R ) ⎪⎭
6. Гиря массой 2 кг подвешена на тонком шнуре. Если её отклонить от положения равновесия на 10 см и отпустить, то она колеблется как математический маятник. Что произойдёт с частотой колебаний, периодом колебаний и
потенциальной энергией гири, если её отклонить на 5 см?
143
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) увеличится;
2) уменьшится;
3) не изменится.
Решение
1. Период и частота малых колебаний математического маятника останутся
неизменными:
l
1
1 g
T = 2π ; ν = =
;
g
T 2π l
2. Максимальное значение потенциальной энергии гири при колебаниях
уменьшится, потому что уменьшится высота подъема центра масс гири над нулевым уровнем потенциальной энергии (положение центра масс в положении
статического равновесия)
A
(1 − cos ϕ);
Π = mgh = mgl(1 - cosϕ) = mg
sin ϕ
Частота
Период
максимальная потенциальная энергия
3
3
2
7. Изменяются ли перечисленные в первом столбце величины для Марса,
миновавшего афелий, если изменяются то как? Афелий − точка орбиты Марса,
самая удалённая от Солнца.
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
8) не изменяется;
9) только увеличивается по модулю;
10) только уменьшается по модулю;
11) увеличивается по модулю и изменяется по направлению;
12) уменьшается по модулю и изменяется по направлению;
13) увеличивается по модулю и не изменяется по направлению;
14) уменьшается по модулю и не изменяется по направлению;
Решение
1. Движение Марса, находящегося
на эллиптической стационарной орбите, описывается законом гравитации
Ньютона:
mM
ma n = G 2 ;
r
2
M
M
v
=G 2 ; ⇒ v= G ;
an =
r
r
r
где m − масса Марса, М − масса Солнца, G − гравитационная постоянная, r −
расстояние от центра масс Солнца до центра масс Марса, v − линейная скорость кометы, an − нормальное ускорение.
Таким образом, линейная скорость плпнеты в точке орбиты 1 будет меньше
скорости в точке орбиты 2, потому что r1 > r2.
144
2. Нормальное (центростремительное) ускорение Марса:
M
an = G 2 ;
r
3. При перемещении Марса из точки 1 в точку 2 векторы линейной скорости и ускорения будут изменять направление.
4. Кинетическая энергия скалярная, всегда положительная величина при
переходе из 1 в 2 будет увеличивать своё значение, потому что:
mv2
Κ=
;
2
5. Потенциальная энергия Марса:
mM
Π=G
;
r
будет, наоборот, уменьшать своё значение.
6. Если систему Солнце − Марс рассматривать как замкнутую, не подверженную кроме гравитационных действию других сил, то будет справедлив закон сохранения энергии, потому что гравитационные силы относятся к классу
консервативных:
Π + Κ = const;
т.е. полная механическая энергия спутника во всех токах его эллиптической
орбиты будет сохранять своё значение.
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
4
4
2
3
1
8. Перенос теплоты потоками вещества происходит в процессе:
1) броуновского движения;
2) конвекции;
3) диффузии;
4) тепловым излучением?
Решение
1. Конвекцией называется перенос теплоты потоками вещества. Примером конвективного теплообмена может служить широко
распространённый способ обогрева помещений радиаторами водяного отопления, когда
воздух близи радиатора нагревается, приобретая избыточную внутреннюю энергию, за
счёт уменьшения плотности поднимается
вверх и далее распространяется, поднимая
локальную температуру.
145
9. В воду на дно стакана поместили несколько кристалликов марганцовки.
Марганцовка растворилась, и около дна стакана образовался тонкий окрашенный слой раствора. Стакан прикрыли листом бумаги и оставили. Через несколько дней вся вода оказалась окрашенной.
Какое явление более всего ответственно за результаты эксперимента:
1) испарение;
2) конвекция;
3) диффузия;
4) броуновское движение?
Решение
1. Предположим, что в некотором объёме жидкости имеется вертикальный
градиент концентрации молекул ( концентрация молекул марганцовки у дна
стакана существенно превышает концентрацию в верхних слоях жидкости).
Будем рассматривать концентрацию, как функцию вертикальной координаты
n(z). Если перпендикулярно оси z расположить площадку площадью s, то через
неё будет наблюдаться поток частиц, обусловленный выравниванием концентрации в наблюдаемом объёме. Экспериментально установлено, что в единицу
времени через площадку проходит количество частиц
Φ = −D
∂n
s,
∂z
где D − коэффициент диффузии, величина которого определяется физическими
свойствами рассматриваемой системы. Поток частиц в единицу времени имеет
размерность [Ф] = c − 1, поэтому коэффициент диффузии измеряется в
[D] = ∂Φn
∂z
=
s
c −1м ⋅ м 3 м 2
=
.
с
м2
2. Знак минус в уравнении диффузии означает, что поток частиц направлен
от больших концентрацией частиц в сторону меньших концентраций. Умножим далее уравнение диффузии на массу частиц, принимающих участие в процессе диффузии, получим:
Φm = − D
∂n
∂ρ
ms, ⇒ M = − D s ,
∂z
∂z
т.к. плотность ρ = mn. Последнее уравнение выражает собой первый закон Фика, который предполагает определение коэффициента диффузии D для каждого
вещества экспериментальным путём. Другими словами, первый закон Фика является эмпирическим законом. В этой связи следует оговориться, что в жидкостях и твёрдых телах потоки частиц в каких-либо направлениях могут быть вызваны не только молекулярными причинами. Например, конвекционное движение частиц, вызванное внешними причинами, ничего общего с молекулярной диффузией не имеет.
3. Второй закон Фика позволяет установить зависимость плотности числа
диффундирующих частиц от времени. Рассмотрим две перпендикулярные оси z
элементарные площадки, отстоящие друг от друга на расстоянии dz. Предположим далее, что функция n(z) убывающая. Количество частиц, пересекающих
площадки за время dt следующим образом:
N1 = Φ (z )dt ,
N 2 = Φ (z + dz )dt .
146
4. Увеличение количества частиц
между площадками определится в виде
разности
dN = [Φ (z ) − Φ (z + dz )]dt ,
dN = −Φ′(z )dzdt ,
где Φ′(z ) − производная потока частиц
по координате z. Объём между выделенными площадками равен Vi = sdz , где s −
площадь. Поделим уравнение на элементарный объём
dN
∂Φ (z ) dt
∂Φ (z ) dt
=−
, dn = −
.
Vi
∂z s
∂z s
5. Разделим уравнение на dt
Второй закон Фика
∂n
∂Φ (z )
=−
,
∂t
∂zs
и подставим значение потока частиц из первого закона Фика
∂n ∂ ⎛ ∂n ⎞
= ⎜D ⎟ .
∂t ∂z ⎝ ∂z ⎠
6. Поскольку коэффициент диффузии в подавляющем большинстве случаев
не зависит от координаты, уравнение можно переписать следующим образом:
∂ 2n
∂n
=D 2 .
∂t
∂t
7. Последнее уравнение является математическим выражением второго закона Фика, который устанавливает временную зависимость концентрации частиц в исследуемом объёме. Диффузионные процессы имеют место не только в
газах, но в жидкостях и твёрдых телах.
8. Таким образом, третье утверждение, заданное в условии задачи, является
наиболее близким, с течением времени концентрация молекул марганцовки по
вертикальной координате будет выравниваться. Конвективные микро потоки,
всегда присутствующие в жидкости, тоже внесут свою лепту в окрашивание
всего объёма жидкости в розовый цвет
10. Если при сжатии объём идеального газа уменьшился в 2 раза, а давление увеличилось при этом в 4 раза, то во сколько раз увеличилась при этом
абсолютная температура?
Решение
1. На основании уравнен6ия состояния идеального газа ( уравнения Клапейрона − Менделеева):
m
⎫
pV = RT1; ⎪
μ
T2
⎪
= 2;
⎬ ⇒ ζ=
V m
T1
⎪
4p = RT2 ;
⎪⎭
2 μ
147
11. При быстром движении поршня в цилиндре дизельного двигателя объём воздуха уменьшился. Установить соответствие между физическими величинами, характеризующими процесс сжатия воздуха, перечисленными в первом столбце, и их изменениями во втором столбце.
Решение
1. Рассмотрим идеальный газ,
находящийся в цилиндрическом
сосуде под массивным поршнем.
Если дно цилиндра привести на
некоторое время в соприкосновение с телом, обладающим
большей, чем окружающая среда
температурой (нагревателем), то
газ начнёт расширяться, совершая работу, связанную с увеличением потенциальной энергии
Рис. Круговой процесс
поршня.
2. В стадии нагревания изменение состояния газа (рабочего тела) можно
охарактеризовать на pV − диаграмме кривой 1а2. Первое начало термодинамики позволяет записать следующее уравнение подобающее рассматриваемой ситуации
Q1 = U 2 − U1 + A1 .
3. Если в верхней точке своей прямолинейной траектории поршень соприкоснётся с телом, температура которого ниже температуры газа (холодильником), произойдёт охлаждение газа, что приведёт к уменьшению его объёма. Газ
из состояния 2 по кривой 2b1 вернётся в исходное состояние 1, при этом
− Q 2 = U1 − U 2 − A 2 .
4. Совмещая уравнения, получим
Q1 − Q 2 = A1 − A 2 .
Уравнение демонстрирует, что рассматриваемое устройство совершило
круговой процесс, при котором, нагреватель отдал рабочему телу тепло Q1, а
холодильник приобрёл тепло в количестве Q2. Экономический коэффициент
полезного действия тепловой машины можно представить традиционным образом
η=
A Q1 − Q 2
Q
=
=1− 2 .
Q1
Q1
Q1
5. Вот тут бы энтузиастам Perpetuum mobile второго рода и призадуматься,
уяснив, что бесхитростное и беспристрастное уравнение никаких шансов на
создание машины с η ≅ 1 не оставляет. Во времена французской революции в
1824 г. французский исследователь Сади Карно опубликовал работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» в
которой рассмотрел в общем виде проблему «получения движения из тепла».
148
Рассматривая идеальный круговой процесс (цикл Карно), впервые показал, что полезную работу можно совершить лишь при переходе тепла от нагретого тела к
более холодному. Выдвинул положение, что величина
работы определяется только разностью температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего тела (теорема Карно). Пришел к понятию механического эквивалента теплоты и сформулировал в общем виде закон сохранения энергии.
6. Второе начало термодинамики устанавливает
направление течения и характер процессов, протекающих в окружающем нас мире. Существует неС. Карно
сколько эквивалентных формулировок второго начала
термодинамики.
7. Клаузиус второе начало сформулировал в виде постулата: «Процесс, при
котором не происходит других изменений, кроме передачи теплоты от горячего тела к холодному, является необратимым, т.е. теплота не может
перейти от холодного тела к горячему без каких-либо других изменений в
системе». Другими словами, чтобы от холодного тела передать тепло горячему
телу необходимо совершить работу за счёт энергии внешнего источника.
8. Лорд Кельвин второе начало сформулировал следующим образом: «Процесс, при котором
работа переходит в теплоту без каких-либо
других изменений в системе, является необратимым, т.е. невозможно преобразовать в работу всю теплоту, взятую от источника с однородной температурой, не производя других изменений в системе».
9. Физический смысл второго начала термодинамики наиболее образно просматривается в
формулировке Макса Планка: «Невозможен такой периодический процесс, единственным ре. Нереальная схема
зультатом которого было бы превращение тетеплового процесса
плоты в работу».
10. Отметим, что в соответствии со вторым
началом термодинамики, процесс, схема которого
приведена на верхнем рис. невозможен. Нельзя из
резервуара извлекать некоторое количество тепла
Q1 и передавать его рабочему телу, которое бы
совершило работу А и, осуществив полную
трансформацию, вернулось бы в исходное состояние. Это противоречит, прежде всего, определению Планка, как впрочем, и всем остальным формулировкам. Реальным в свете второго начала
термодинамики является только такой процесс
(нижний рис.), при котором не всё тепло, полученное от резервуара, преобразуется в работу, а
только его часть, в соответствии с уравнением
КПД. Часть тепла Q1 не трансформированная в
Реальная схема
теплового процесса
работу для осуществления кругового цикла долж-
149
на быть передана теплоприёмнику (холодильнику). Величина Q2 представляет
собой неиспользованную в цикле тепловую энергию. При осуществлении второй части цикла (обратного хода процесса) Q2 используется для сжатия рабочего тела и передачи теплоприёмнику. Таким образом, тепло Q2 не используется
в машине, а рассеивается в окружающем пространстве.
11. Убедиться в справедливости приведенных рассуждений можно, заглянув под капот любого автомобиля, где обнаружится достаточно сложная система охлаждения, единственным назначением которой является компенсация
тепловых потерь неминуемо возникающих при осуществлении замкнутого кругового процесса, при котором извлекается механическая работа, движущая авто.
12. Таким образом, в соответствии со вторым началом термодинамики для
превращения теплоты в работу необходимы два тела с различными температурами Т1 и Т2. Если Т1 > Т2, то первое тело называется нагревателем, а второе −
холодильником.
13. Из всего многообразия круговых термодинамических процессов выделяют, так называемый, цикл Карно, который позволяет получить максимально
возможный коэффициент полезного действия. Всё фундаментальное и практическое значение второго начала термодинамики, пожалуй, впервые осознал Сади Карно, который занимался проектированием и строительством водяных
двигателей. В это время во Франции уже начали появляться тепловые машины,
построенные гениальными самоучками по наитию, но теоретически никак необоснованные. Научный фундамент был ещё не создан.
14. Карно постулировал, что величина работы, получаемой в круговом
цикле, определяется только разностью
температур нагревателя и холодильника, при этом физические и иные свойства рабочего тела никакого влияния
на коэффициент полезного действия
цикла не оказывают. Далее, используя
этот принцип, Карно придумал идеальный цикл тепловой машины, который обладает максимально возможным
коэффициентом полезного действия.
Цикл Карно состоит из двух изотерм и
Рис. 5.26. Цикл Карно
двух адиабат. Процесс перехода из состояния А в состояние В представляет собой изотермическое расширение рабочего тела, при котором газ находится в тепловом контакте с нагревателем,
обладающим температурой Т1. Переход из состояния В в состояние С, сопровождается дальнейшим адиабатическим увеличением объёма при изоляции от
окружающей среды. Переход из точки С в точку D представляется изотермическим сжатием газа, и, наконец, возвращение системы в исходную точку А протекает в виде адиабатического сжатия. Судя по заданным условиям, рассматривается адиабатическая ветвь процесса D→A.
На рис. схематически изображены рабочие циклы распространённых типов
силовых установок, которыми оборудуются автомобили, суда и паровозы. Автомобильные бензиновые двигатели работают, используя цикл Отто, дизельные автомобильные, тракторные и судовые двигатели − цикл Рудольфа Дизеля,
паровозы − цикл паровой машины. Общим для всех циклов является адиабати150
ческое расширение рабочего тела. В двигателях внутреннего сгорания (с принудительным воспламенением горючей смеси) вспышка происходит в течение
малого промежутка времени, объём поршневого пространства, практически, не
изменяется, т.е. начальная стадия кругового процесса протекает при постоянном объёме. В дизельном двигателе топливо впрыскивается постепенно, и горение смеси протекает при постоянном давлении. В паровой машине при постоянном давлении подаётся пар. Все приведенные выше процессы называются
квазистатическими (почти статическими, т.е. почти равновесными).
Рабочие циклы наиболее распространённых двигателей
А
1
Б
1
В
1
12. На рисунке представлен график зависимости температуры воды Т массой m от времени t при осуществлении теплоотвода с постоянной мощностью
Р. В начальный момент (t = 0) времени вода находилась в парообразном состоянии.
Установить соответствие между процессами и уравнениями для их расчета.
151
Решение
1. Охлаждение водяного пара:
Q = cmΔT; Q = PΔt; PΔt = cmΔT; ⇒
2. Конденсация водяного пара:
Q ≈ λm; Q = PΔt; PΔt ≈ λm; ⇒
А
4
PΔt1
mΔT1
PΔt 2
m
Б
3
(4);
(3);
13. С нейтрального тела сняли заряд + 20 Кл, а затем передали ему заряд
− 5 Кл. Каким зарядом стало обладать тело?
152
Решение
1. На основании закона сохранения заряда:
q x = −20 + (− 5) = −25Кл;
14. Показатель преломления света имеет наибольшее значение для световых волн малой длины. Угол отклонения луча света в стеклянной призме имеет наибольшее значение для:
1) красного света;
2) жёлтого света;
3) голубого света;
4) фиолетового света?
Решение
1. Наибольший угол отклонения
имеют лучи фиолетового цвета, т.е.
самые коротковолновые в видимой
части электромагнитного спектра волн.
2. Для большинства прозрачных тел показатель преломления наибольший
для фиолетовых лучей, далее следуют лучи синие, голубые, зелёные, жёлтые,
оранжевые и красные.
15. Явление отклонения направления распространения волн у края преграды от прямолинейного направления называется:
1) интерференцией света;
2) дифракцией света;
3) поляризацией света;
4) дисперсией света?
Решение
1. Явление дифракции заключается в
изменении направления распространения волн при встрече с препятствием.
Чаще всего при этом подразумевают интерференционные процессы, сопровождающие огибание препятствий.
2. Строго говоря, явление дифракции сопровождает буквально все волновые процессы, являясь, по сути, визитной карточкой этого типа движения материи. Однако наблюдение дифракционных волновых картин становится возможным только в том случае, когда характерные размеры препятствия соизмеримы с длиной волны или меньше этой длины.
3. Явление дифракции зарегистрировано для всего диапазона упругих волн,
от инфразвукового диапазона до волн в гиперзвуковой области, включая акустические, гравитационные и сейсмические волны. Проявляется дифракция при
прохождении волн оптического диапазона в близи различных препятствий.
4. На рис. приведены картины прохождения гравитационно-капиллярных
волн через щели различной ширины, наглядно видно, что явление искривления
первоначального направления плоской волны тем проявляется сильнее, чем
уже щель, т.е. чем её размеры более близки к длине падающей волны.
153
На рис. 14.2 показана картина дифракции ветровых волн при их прохождении системы двух дамб, предназначенных для защиты береговой черты от ветровых волн. Необходимо обратить внимание, что вследствие дифракции волн
изменяется не только высота волн, но и их длина, что особенно важно с позиций защиты от разрушения причальных устройств и укрывающихся за дамбами
судов.
Прохождение плоской упругой волны при различных размерах отверстия
Различают два вида дифракции: дифракцию Френеля, наблюдающуюся при
взаимодействии с препятствиями сферических волн и дифракцию Фраунгофера, имеющую место при распространении плоских волн.
16. К источнику тока с ЭДС ε = 18 В и внутренним сопротивлением r = 3 Ом
подключён резистор сопротивлением R = 6 Ом. Чему равна сила тока в цепи?
Решение
1. На основании закона Ома для полной цепи:
18
ε
I=
=
= 2A;
r + R 3+6
17. На графиках А и Б показаны изменения (в зависимости от времени) силы тока через индуктивность и напряжения на конденсаторе в цепи переменного тока. Установить соответствие между графиками А и Б и соотношения
фаз колебаний напряжения и силы тока.
154
Решение
А
3
Б
1
18. Частица с положительным зарядом q, двигавшаяся прямолинейно с постоянной скоростью v,
влетела в однородное магнитное поле с индукцией B, перпендикулярно линиям индукции. Траектория частицы стала круговой. Установить соответствие между физическими величинами и формулами для их расчета
155
Решение
1. Условие нахождения заряженной частицы (например, протона) на круговой орбите в стационарном магнитном поле позволяет определить радиус траектории:
mv
mv
mv 2
;
; ⇒ R=
; ⇒ qB =
qvB =
qB
R
R
2. Период обращения частицы:
2π
m 2π
2πm
v = ωR; v =
R; R =
R ; ⇒ qBT = 2πm; T =
;
T
qB T
qB
А
4
Б
3
19. На основании исследования рассеяния α-частиц при прохождении через тонкие слои вещества Резерфорд сделал вывод, что:
1) α-частицы являются ядрами атомов гелия;
2) α-распад является процессом самопроизвольного превращения ядра
одного химического элемента в ядро другого элемента;
3) внутри атомов имеются положительно заряженные ядра очень малых
размеров и большой массы, вокруг ядра вращаются электроны;
4) при α-распаде атомных ядер выделяется ядерная реакция, значительно большая, чем в любых химических реакциях?
Решение
1. На рис. (фрагмент 1) показана условная схема экспериментальной установки Резерфорда. Коллиматор из свинца (контейнер толстыми стенками), был
снабжён отверстием малых размеров, что позволяло получать узкий пучок α −
частиц, который направлялся на листок золотой фольги, который должен был
рассеивать частицы. Окрестности фольги были окружены экраном, покрытым
сернистым цинком. Наблюдения за вспышками производились с помощью
микроскопа.
156
Эксперименты Резерфорда с α − частицами
2. В качестве рассеивающего вещества золото
было выбрано не из-за цвета и престижности.
Дело в том, что золото один из самых пластичных металлов с высокой плотностью, который
можно прокатать таким образом, что в толщине
фольги будет умещаться всего несколько атомных слоёв.
3. Первоначально в установке Резерфорда экран имел прямоугольную форму и был совмещён
Схема установки
с микроскопом. Источник α − частиц, золотая
фольга, экран и микроскоп располагались в камере, из которой откачивали воздух. Микроскоп с экраном совместно с корпусом камеры могли вращаться вокруг фольги, которая постоянно обстреливалась α − частицами. Таким образом
Резерфорд мог с 360 градусным обзором наблюдать рассеяние α − частиц.
4. Если бы атом золота был таким как его представлял Томсон (фрагмент а),
то α − частицы должны были отклоняться на достаточно малые углы. Вращая
детектор из сернистого цинка, исследователи могли измерять относительное
число α − частиц, рассеянных под различными углами θ
5. Согласно модели атома Томсона, α − частицы должны были свободно
проходить сквозь атомы золота, и только некоторые из них должны были слегка отклоняться кулоновскими силами.
6. Следовало ожидать, что поток α − частиц пройдя фольгу, слегка расплывется, и средние углы рассеяния будут составлять несколько градусов. Такое
рассеяние действительно наблюдалось, но совершенно неожиданно, вне всяких
тогдашних представлений, одна из 20 000 частиц, падающих на фольгу толщиной 4⋅10 − 7 м, возвращалась назад, в сторону источника.
7. Резерфорд по этому поводу писал: « Это было самое невероятное событие, с которым мне когда- либо приходилось сталкиваться. Это было так
же невероятно, как если бы вы выстрелили 15 дюймовым (38 см) снаря-
157
дом в лист папиросной бумаги, а снаряд бы вернулся назад и попал в
вас».
8. Резерфорду потребовалось несколько лет (до 1911 г.), чтобы окончательно разобраться с этим явлением. Он пришёл к выводу, что атом не однороден и
имеет нечто очень малое массивное и с положительным зарядом, сосредоточенное в центре. Таким образом, была предложена ядерная модель атома.
9. Резерфорд наблюдал, что α − частицы способные проникать через тонкие
листочки металлов, при этом они отклоняются от первоначального направления своего движения. Было естественно допустить, что эти отклонения вызваны отталкиванием положительно заряженных α − частиц от положительных
зарядов атома. Силы, действующие на α − частицы со стороны электронов, не
могут заметно изменить направления их движения из-за слишком малой массы
электронов.
Можно показать, что результат рассеяния существенно зависит от размеров объема, в пределах которого распределен положительный заряд атома.
Только при малом размере положительного заряда атома силы отталкивания
могут оказаться настолько большими, чтобы вызвать отклонение траекторий α − частиц на значительные углы.
Если же положительный заряд атома распределен в пределах значительного объема, как полагал Томсон, то каждое прохождение α − частицы вблизи
атома отклонит ее на небольшой угол. Рассеяние α − частиц в этом случае
будет незначительным.
10. Действительно, длительные наблюдения Резерфорда и ассистентов показали, что в большинстве своём α − частицы к удовольствию Томсона рассеиваются на достаточно малые углы, порядка 1 − 30.
11. Статистика распределения по углам отклонения хорошо описывалась
кривой Гаусса. Но, весьма редко, но всё же не случайно, α − частицы отклонялись на углы, превышающие 1450, причём золото было не аномальным веществом.
12. Фольга из платины демонстрировала те же тенденции, примерно каждая
из 8000 частиц, отклонялась на углы более 900.
Исследователем стало ясно, что случаи «нестандартного» рассеяния требуют пересмотра модели атома. Получалось, что летящая α − частица время от
времени встречала на своём пути нечто, локализованное в малом объёме и
имеющее непременно положительный заряд.
13. Таким образом, верным является утверждение 3.
20. При столкновении α-частицы с ядром атома азота произошла ядерная
реакция:
14
7
N + 42 He → X +11H;
Ядро какого изотопа Х было получено в этой реакции?
Решение
1.В соответствии с правилами смещения :
A Y = 14 + 4 − 1 = 17; ZY = 7 + 2 − 1 = 8,
в результате ядерной реакции образуется ядро изотопа кислорода AZY ≡178 O.
158
21. Прямолинейный проводник длиной l = 0,2м находится в однородном
магнитном поле с индукцией В = 4 Тл и расположен под углом α = 300 к вектору
индукции. Чему равен модуль силы, действующей на проводник со стороны
магнитного поля при силе тока I = 2 А?
Решение
1. На всякий проводник с током, помещённый в магнитное поле, действует
сила Ампера
(
)
r
r
dFA = I dl × B ,
( )
r r
FA = IlB sin l; B .
2. Для заданных условий величина силы Ампера определится как:
r r
FA = IlB sin l; B = 2 ⋅ 0,2 ⋅ 4 ⋅ 0,5 = 0,8 Н;
( )
22. К гальваническому элементу была подключена электрическая лампочка. Что произойдёт с силой тока, напряжением на лампе и мощностью тока при
подключении последовательно с первым гальваническим элементом точно такого же второго элемента?
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность.
Решение
1. Изменение силы тока при условии увеличения суммарной ЭДС и и увеличении общего внутреннего сопротивления источников:
ε
⎫
I1 =
; ⎪
r + R ⎪ ⇒ I 2 = 2r + 2R > 0; ⇒ I > I ;
⎬
2
1
2ε ⎪
I1
2r + R
I2 =
;
2r + R ⎪⎭
2. Напряжение на внешней нагрузке:
εR
⎫
U R (1) =
; ⎪
⎪ U R ( 2 ) 2r + 2R
r
+
R
U R = IR; ⇒
=
> 0; ⇒ U R ( 2 ) > U R (1) ;
⎬
2εR ⎪ U R (1)
2r + R
U R ( 2) =
;
2r + R ⎭⎪
3. Мощность тока:
P = IU = I 2 R ; ⇒ P2 > P1;
Сила тока
1
Напряжение
1
Мощность
1
23. Маятниковые часы спешат. Чтобы часы шли точно, необходимо увеличить период колебаний маятника. Для этого надо:
1. Увеличить массу маятника;
2. Уменьшить массу маятника;
3. Увеличить длину маятника;
3. Уменьшить длину маятника?
159
Решение
1. Предположим, что маятник часов является математическим, т.е. размеры колеблющегося тела существенно меньше длины повеса
2. Рассмотрим математический маятник, представляющий собой точечную массу m, закреплённую
на невесомом, нерастяжимом стержне длиной l, второй конец стержня закреплён шарнирно. При отклонении стержня от вертикали на угол ϕ возникает восстанавливающая компонента силы тяжести, определяемая как
Fg = −mg sin ϕ .
Математический маятник
3. При движении в сторону положения статиче&& , под действием силы инерского равновесия масса приобретает ускорение lϕ
ции
&& .
Fi = −mlϕ
4. Приравняем далее действующие на массу силы
&& + mg sin ϕ = 0 ,
mlϕ
или
g
&& + sin ϕ = 0 .
ϕ
l
5. Введём обозначение
g
= ω2 ,
l
что даёт основание уравнение колебаний переписать следующим образом:
&& + ω2 sin ϕ = 0 .
ϕ
6. Мы пришли к нелинейному дифференциальному уравнению, которое в принципе можно превратить в линейное уравнение, если рассматривать
малые по амплитуде колебания. Действительно:
ϕ3 ϕ5
sin ϕ = ϕ − +
−L ≈ ϕ .
3! 5!
7. Таким образом, для малых колебаний становится справедливым линейное дифференциальное
уравнение
2π
l
l
&& + ω2ϕ = 0; ⇒ ω =
ϕ
=
; T = 2π ;
T
g
g
8. Таким образом, период колебаний математического маятника не зависит от массы (принцип
изохронности колебаний, открытый Галилео Галилеем), а определяется в данной точке поверхности
Земли только длиной подвеса. Чтобы увеличить
период колебаний часового маятника нужно увеличить длину подвеса, что достигается опусканием
луковицы (груза) маятника.
160
24. Определить цену деления линейки, показанной на рисунке.
Решение
1. Как видно из приведенного снимка 1 см разбит на 10 делений, а в каждом сантиметре содержится 10 мм, следовательно цена малого деления
линейки соответствует 1 мм.
Часть 2
25. Тело массой m = 2 кг под действием
силы F перемещается вверх по неподвижной шероховатой наклонной плоскости на
расстояние l = 5 м, поднимаясь на высоту
h = 3 м над уровнем опорной плоскости.
Модуль силы F = 30 Н. Какую работу совершила при подъёме сила F против действия силы трения, если коэффициент
трения тела о плоскость μ = 0,5?
Решение
1. Определим будет ли тело при заданных условиях перемещаться вверх по наклонной плоскости, для чего найдём сумму
проекций действующих на тело сил на направление перемещения :
4
(mg)x = mg sin α = mg ;
5
3
FТр = −μN = −μmg cos α = −μmg ;
5
2
4
3
4
1
3
| ∑ Fx |= mg + μmg = ⋅ 2 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 ⋅ ;
5
5
5
2
5
1
2
∑F
x
= 22Н < F = 30H;
1
2. Подъём тела под действием силы F возможен, т.к. она по модулю превосходит сумму проекций сил трения и тяжести.
3. Величина модуля силы трения;
3
| FТр |= μN = μmg cos α = μmg ;
5
4. Работа против силы трения:
3
A(FТр ) = μmgl ≈ 0,6 ⋅ 0,5 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ≈ 30Н;
5
161
26. На рисунке приведен график изменения состояния идеального газа в координатах p − V. Точка С соответствует началу цикла. Определить связь между
работой А* газа за один цикл и площадями фигур на
диаграмме.
Решение
1. Работа газа в p − V координатах численно равна
площади фигуры ограниченной графиком процесса и
осью объёма:
A* = SACDB − SAΕFB = SECDF ;
27. При измерении напряжения на выходах аккумулятора без нагрузки показания вольтметра ε = 12 В, при подключении нагрузки R = 10 Ом показания
вольтметра U = 10 В. Чему равно внутренне сопротивление аккумулятора?
Решение
1. Сила тока в цепи при подключении нагрузки:
U
I = = 1A;
R
2. Падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника:
U r = ε − U = 2В;
3. Внутреннее сопротивление источника:
U
r = R = 2 Ом;
I
162
Вариант 7
1. На рисунке представлен
график зависимости модуля скорости автомобиля v от времени
t. Определить по графику путь,
пройденный автомобилем в интервале времени от начала движения до 5 с.
Решение
1. Определим ускорения автомобиля в промежутки времени
0 − 1 с 2 − 4 с:
м
6−2
Δv
м
Δv
a 0 -1 = 1 = 2 2 ; a 2 − 4 = 2 =
=2 2;
с
Δt1
Δt 2 4 − 2
с
2. Путь, пройденный автомобилем за первые 5 с движения:
⎛
a t2 ⎞
a t2
S0 - 5 = S0 −1 + S2 − 4 + S4 − 5 = ( 1 1 ) + (v1t 2 ) + ⎜⎜ v 2 t 3 + 2 3 ⎟⎟ + (v 4 t 4 );
2 ⎠
2
⎝
S0 − 5
⎛
2 ⋅ 22 ⎞
2 ⋅ 12
⎟ + 6 ⋅ 1 = 17м;
=
+ 2 ⋅ 1 + ⎜⎜ 2 ⋅ 2 +
2 ⎟⎠
2
⎝
2. Математический маятник начинает совершать свободные колебания из
точки максимального отклонения от положения статического равновесия. Чему
равна кинетическая энергия груза маятника в этот момент?
Решение
1. При максимальном (амплитудном) отклонении от положения статического равновесия груз маятника поднимается на максимальную высоту относительно пулевого
уровня, поэтому имеет максимально возможную величину потенциальной энергии.
2. В этих точках крайнего положения
груз меняет направление движения, его скорость становится равной нулю, соответственно и кинетическая энергия будет
нулевой
Κ = 0;
3. Человек массой m прыгает с горизонтальной скоростью v относительно
Земли из неподвижной лодки массой М на берег. Каков суммарный импульс
лодки и человека относительно Земли в момент перед отрывом человека от
лодки?
Сопротивление воды и воздуха при рассмотрении движения пренебречь.
163
Решение
1. Перед отрывом человека от лодки его
скорость относительно Земли будет равна
нулю, соответственно и импульс равен нулю, а до момента отрыва человек и лодка
являются телами одной и той же механической системы, импульс системы в этот момент времени будет равен нулю.
4. Тело, брошенное пол углом α к горизонту движется по криволинейной траектории. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало, и в точке А этой траектории вектор скорости имеет направление по стрелке 4. Какое направление имеет вектор ускорения тела в этой точке?
Решение
1. Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью v0, направленной под углом α к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли.
2. Существенно отметить, движение протекает при постоянном по модуr
лю и направлению ускорении g . Это даёт возможность разложить криволи-
Тело, брошенное под углом α к горизонту
нейное движение на два более простых: равномерное вдоль горизонтальной
оси т.к. gx = 0 и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения.
3. Движение исследуемого тела относительно вертикальной оси из начальной точки О в точку С − равнозамедленное, аrиз точки С в точку В − равноускоренное с ускорением свободного падения g . В начальный момент времени
при t = 0 имеем: х0 = 0, у0 = 0, v0x = v0⋅cosα, v0y = v0⋅sinα, ax = 0, ay = − g.
2
164
5. Сила F1 = 10 Н сообщает телу ускорение a1 = 3 м/с2. Во сколько раз будет больше сила, сообщающая ускорение а2 = 1,5 м/с2 телу в четыре раза
большей массы?
Решение
1. В соответствии со вторым законом Ньютона:
F1 = ma1; ⎫
F2
⎪
a1 ⎬ ⇒ F2 = 2F1; ζ = = 2;
F1
F2 = 4m ;⎪
2 ⎭
6. . Комета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. Как изменяются скорость, ускорение, кинетическая энергия, потенциальная энергия и
полная механическая энергия при удалении кометы от Солнца, если считать,
что на неё действует только тяготение звезды.
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) не изменяется;
2) только увеличивается по модулю;
3) только уменьшается по модулю;
4) увеличивается по модулю и изменяется по направлению;
5) уменьшается по модулю и изменяется по направлению;
6) увеличивается по модулю и не изменяется по направлению;
7) уменьшается по модулю и не изменяется по направлению;
Решение
1. Движение кометы, находящегося
на эллиптической стационарной орбите, описывается законом гравитации
Ньютона:
mM
ma n = G 2 ;
r
M
M
v2
=G 2 ; ⇒ v= G ;
an =
r
r
r
где m − масса кометы, М − масса Земли, G − гравитационная постоянная, r −
расстояние от центра масс Земли до центра масс кометы, v − линейная скорость
кометы, an − нормальное ускорение.
Таким образом, линейная скорость кометы в точке орбиты 1 будет больше
скорости в точке орбиты 2, потому что r1 < r2.
2. Нормальное (центростремительное) ускорение спутника:
M
an = G 2 ;
r
3. При перемещении спутника из точки 1 в точку 2 векторы линейной скорости и ускорения будут изменять направление.
4. Кинетическая энергия скалярная, всегда положительная величина при
переходе из 1 в 2 будет уменьшать своё значение, потому что:
mv2
Κ=
;
2
5. Потенциальная энергия спутника:
165
mM
;
r
будет, наоборот, увеличивать своё значение.
6. Если систему спутник − Земля рассматривать как замкнутую, не подверженную кроме гравитационных действию других сил, то будет справедлив закон сохранения энергии, потому что гравитационные силы относятся к классу
консервативных:
Π + Κ = const;
т.е. полная механическая энергия спутника во всех токах его эллиптической
орбиты будет сохранять своё значение.
Π=G
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
5
5
3
2
1
7. Камень падает вертикально вниз. Изменяются ли перечисленные в первом столбце физические величины во время его движения вниз и если изменяются, то как? Установите соответствие между физическими величинами, перечисленными в первом столбце, и возможными видами их изменений, перечисленными во втором столбце. Влияние сопротивления воздуха пренебречь.
Решение
1. Камень падает с ускорением свободного падения:
g ≈ const ;
2. Скорость камня:
v = gt;
3. Кинетическая энергия камня:
mv2 mg 2 t 2
Κ=
=
;
2
2
4. Потенциальная энергия камня
⎛
gt 2 ⎞
⎟;
Π = mgy( t ) = mg⎜⎜ h −
2 ⎟⎠
⎝
А
2
Б
1
В
2
166
Г
3
8. В каком состоянии вещества возможно явление диффузии?
1) только в газообразном;
2) только в жидком;
3) только в твёрдом;
4) в газообразном, жидком и твёрдом.
Решение
9. В стоящем на горящей газовой горелке чайнике закипает вода. Какой из
перечисленных ниже процессов вносит наименьший вклад в процесс закипания?
1) конвекция слоёв внутри объёма чайника;
2) испарение внутри пузырьков воздуха при закипании;
3) диффузия;
4) теплоотдача от газовой горелки донышку чайника?
Решение
1. Переход веществ из жидкого или твёрдого состояния в газообразное состояние, именуемый парообразованием, возможен с разной степени интенсивности практически при любых внешних условиях. Вследствие теплового движения молекул, они могут покидать границы жидкости или твёрдого тела при
любых температурах, однако при высоких температурах скорости молекулярного движения соответственно выше, что увеличивает количество молекул,
способных перемещаться за пределы поверхностных слоёв. Парообразование
со свободной поверхности жидкости называется испарением, испарение с поверхности твёрдого тела называется сублимацией или возгонкой.
2. Для перехода молекул из жидкого состояния в парообразное они должны
преодолеть силы межмолекулярного сцепления и внешнее давление. Это становится возможным при определённой величине кинетической энергии молекул в фазе их поступательного движения. Результатом испарения является охлаждение жидкости, потому что каждая молекула, покидающая объём уносит с
собой часть кинетической энергии. Таким образом, для организации процесса
испарения при фиксированной температуре к жидкости должно подводиться
тепло от внешнего источника.
3. Количественно процесс парообразования характеризуется физической
величиной, называемой удельной теплотой парообразования L, показывающей
какое количество тепла при постоянной температуре необходимо подвести,
чтобы обратить в пар 1 кг жидкости. Для превращения в пар жидкости массой
m, таким образом, требуется следующее количество тепла δQ
δQ = Lm ,
167
где L − удельная теплота парообразования, m − масса жидкости. При понижении температуры пара он способен превращаться в жидкость, такой процесс
называется конденсацией. Процесс конденсации начинается при температурах,
ниже некоторой критической, характерной для данного вещества. Каждое вещество характеризуется температурой, при которой не обнаруживается различий между жидкой и паровой фазами. Такие температуры называются критическими.
4. При конденсации пара выделяется количество теплоты, которое было затрачено на испарение конденсированного вещества
δQ = − Lm ,
где L − удельная теплота конденсации. Примерами природного проявления
конденсации могут служить дождь, снег, иней и роса.
5. Кипение представляет собой процесс испарения, при котором образование пара протекает не только на поверхности жидкости, но и во всём её объёме. Кипение характеризуется образованием и схлопыванием в жидкости парогазовых полостей. Несмотря на продолжительный срок пристального внимания
к вопросам кипения учёных и инженеров, физические особенности этого распространённого процесса изучены не до конца. Многие аспекты кипения до
настоящего времени не находят удовлетворительного теоретического объяснения.
6. Процесс кипения сопровождается целым рядом характерных термодинамических эффектов основными, из которых являются следующие:
• Режим кипения характеризуется более интенсивным теплообменом между жидкостью и нагретой твёрдой поверхностью. Этот охлаждающий
эффект используется в высокотемпературных и холодильных технологиях − паросиловых аппаратах, кипящих ядерных реакторах, холодильных машинах и т.п.;
• Температурный режим возникновения конкурентной фазы в жидкости
зависит от величины внешнего давления. Это даёт возможность при высоких давлениях получать перегретый пар, энергетические возможности
которого выше, чем в условиях нормального атмосферного давления;
• Кипение в начальных стадиях, в отличие от прочих фазовых переходов,
характеризуется относительно высокой степенью гомогенности и однородностью физических свойств, чему способствует постоянная эвакуация парогазовых полостей из жидкости под действием силы Архимеда,
полости попросту всплывают на поверхность, по пути интенсивно перемешивая жидкость;
• При кипении жидких смесей в виде растворов с различными величинами давления насыщенных паров парогазовые полости содержат преимущественное количество паров более летучего вещества, что широко
используется в химической технологии при фракционировании и перегонке.
• Вскипание жидкости сопровождается излучением интенсивных акустических волн в достаточно широком частотном диапазоне, что инициирует интенсификацию химических реакций. Есть мнение, что бактерицидное воздействие кипения обусловлено не столько высокой температурой, сколько разрушительным воздействием волн ультразвукового диапазона на живые клетки бактерий.
7. Диффузионные процессы имеют весьма незначительное влияние.
168
10. В результате нагревания идеального газа средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул увеличилась в 5 раз. Во сколько раз при
этом увеличилась абсолютная температура газа?
Решение
1. На основании следствия из основного уравнения молекулярнокинетической теории:
3
⎫
< ε >= k BT1; ⎪
T2
⎪
2
= 5;
⎬ ⇒
3
T1
⎪
< 5ε >= k BT2 ;⎪
2
⎭
11. Установить соответствие между физическими величинами, характеризующими адиабатный процесс сжатия воздуха, перечисленными в первом
столбце, и их изменениями во втором столбце.
Решение
1. Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) при δQ = 0 :
pV γ = const; ⎫
⎪
i+2 5+2
≈
≈ 3,5;
TV γ −1 = const; ⎬ γ =
i
2
⎪
γ γ −1
T p = const;⎭
А
1
Б
2
12. Представлен график зависимости температуры Т воды массой m от времени t при осуществлении теплоотвода с постоянной
мощностью Р. В момент времени t
= 0 вода находится в газообразном состоянии. Установить соответствие между процессами и выражениями для расчёта удельной
теплоёмкости воды теплоты отвердевания воды.
169
В
1
Решение
1 − охлаждение пара;
2 − конденсация пара;
3 − охлаждение воды;
4 − замерзание воды (отвердевание);
5 − охлаждение льда.
1. Охлаждение воды в жидком состоянии соответствует третьему участку
процесса:
PΔt 3
δQ = PΔt 3 = cmΔT2 ; ⇒ c =
;
mΔT2
2. Переход воды из жидкого состояния в твёрдое состояние (отвердевание):
PΔt 4
δQ = PΔt 4 = rm; ⇒ r =
;
m
А
Б
2
1
13. Сила взаимодействия между двумя точечными заряженными телами
равна F. Чему станет равна сила взаимодействия между телами, если заряд
одного тела увеличить в 2 раза, а расстояние между телами уменьшить в два
раза?
Решение
1. На основании закона Шарля Огюста Кулона:
qq
⎫
F = k 12 2 ; ⎪
r
⎪
2q1q 2 ⎬ ⇒ F1 = 8F;
F1 = k 2 ;⎪
r
⎪
4 ⎭
14. При падении узкого пучка света на зеркало угол отражения был равен α
= 200. Чему станет равен угол отражения при увеличении угла падения на Δα =
100?
Решение
1. Угол падения равен углу отражения
β = α + Δα = 300 ;
170
15. Выражение для дифракционного максимума
d sin ϕ = kλ
для данной дифракционной решётки при неизменном значении k для световых
волн с различной длиной волны выполняется при различных значениях угла
дифракции ϕ.
Угол дифракции имеет наибольшее значение для:
1) красного света;
2) жёлтого света;
3) голубого света;
4) фиолетового света?
Решение
k
λ
⎛ ⎞
ϕ = arcsin⎜ ⎟; ⇒ ϕ ≈ λ; λ max = λ Красн.
⎝ d ⎠
16. При подключении резистора с электрическим сопротивлением R1 = 1
кОм к выводам источника тока с ЭДС ε = 12 В сила тока в цепи была равна I1 =
6 мА. Чему равна сила тока в цепи при подключении к этому источнику резистора с сопротивлением R2 = 3 кОм?
Решение
1. Внутреннее сопротивление источника:
ε
12
ε − I1R 1 ε
I1 =
; ⇒ I1r + I1R 1 = ε; r =
= − R1 =
− 1 ⋅ 103 = 1000 Ом;
−3
r + R1
I1
I1
6 ⋅ 10
2. Сила тока при подключении резистора R2:
ε
12
I1 =
=
= 3 ⋅ 10− 3 A ≡ 3мА;
3
r + R 2 4 ⋅ 10
17. Схемы и графики иллюстрируют свободные электромагнитные колебания в LCконтуре. Колебания в контуре
возникли при подключении катушки индуктивности к обкладкам заряженного конденсатора.
Установить соответствие между
графиками А и Б и значениями
физических величин в момент
времени равный Т.
171
Решение
1. Кривая А описывает поведение напряжения на обкладках конденсатора,
кривая Б − изменение силы тока через катушку.
А
2
Б
3
18. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым эти величины определяются.
Решение
А
2, 4
Б
1
172
В
5
19. На схемах а и б условно показаны переходы атомов из одних энергетических состояний в другие. Возникновение каких спектров излучения происходит при этом?
Решение
1. Схемы а и б характеризуют линейчатые спектры, причём, схема а соответствует переходам электронов с более высоких энергетических орбит на низкие, такие процессы сопровождаются излучением фотонов соответствующей
энергии, Схема б − наоборот, электроны в результате поглощения фотонов,
различных энергий поднимаются на более высокие энергетические уровни.
20. Указать второй продукт ядерной реакции:
7
1
4
A
3 Li+1 H → 2 He+ Z X .
Решение
1. В соответствии с законом сохранения массовых чисел и электрических
зарядов:
A = 7 + 1 − 4 = 4; Z = 3 + 1 − 2 = 2; ⇒ 42 X ≡ 42 He;
21. При измерении длины бруска получено значение l = 5 см, граница абсолютной погрешности измерений равна δ = 0,5 мм. Чему равна граница относительной погрешности измерений?
Решение
δ 0,5
= 0,01 ;
Δ= =
l 50
22. К гальваническому элементу была подключена электрическая лампочка. Что произойдёт с силой тока, напряжением на лампе и мощностью тока при
подключении параллельно с первой лампочкой точно такой же второй лампочки?
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) увеличение;
173
2) уменьшение;
3) неизменность.
Решение
1. Изменение силы тока при условии увеличения суммарной ЭДС и и увеличении общего внутреннего сопротивления источников:
ε
⎫
I1 =
;⎪
r+R
I2
r+R
⎪
> 0; ⇒ I 2 > I1;
=
ε ⎬ ⇒
;⎪
I2 =
I1 r + 0,5R
R
r+
⎪
2 ⎭
2. Напряжение на внешней нагрузке:
εR ⎫
U R (1) =
;
r+R ⎪ U
r + 0,5R
⎪
R ( 2)
U R = IR; ⇒
=
> 0; ⇒ U R ( 2 ) < U R (1) ;
εR ⎬
;⎪ U R (1)
U R ( 2) =
r+R
R
r+
⎪
2 ⎭
3. Мощность тока:
P = IU = I 2 R ; ⇒ P2 > P1;
Сила тока
1
Напряжение
2
Мощность
1
23. Чему равна длина гальванического элемента с учётом выявленной погрешности Δх = 4 мм?
Решение
l = x + Δx = 42мм;
24. Показан конечный результат опыта по трансформации механической
энергии в тепловую энергию. Термометр, вставленный в пластилин, показывает температуру пластилина после удара шара, который упал с некоторой высоты. Начальная температура пластилина составляла 20,3 0С
Погрешность измерений температуры посредствам электронного термометра составляет 0,1 0С. На сколько градусов изменилась температура пластилина?
174
Решение
t x = (t 0 − t ) ± Δ = (25,1 − 20,3) ± 0,1 = 4,8 ± 0,1 0C;
Часть 2
25. Брусок массой m перемещается на
расстояние S по прямой на горизонтальной
r
поверхности под действием силы F , направленной под углом α к горизонту. Коэффициент трения равен μ. Чему равна работа
силы тяжести бруска на этом пути?
Решение
1. Пусть материальная точка заданной
массы m движется под действием постоянной силы в плоскости чертежа по криволинейной траектории. Сила в данном случае является главным вектором системы сил, приложенных к точке. Для материальной точки
возможно записать второй закон Ньютона в
векторной форме
Работа постоянной силы
r
r
dv
или a = m .
dt
2. Умножим правую и левую части уравнения на бесконечно малое переr
мещение d r
r
r r
r dr
r r
Fdr = m ⋅ dv = mvdv.
dt
r r
r
3. Величина, Fd r называется элементарной работой силы F на перемещеr
нии d r
r r
δA = Fd r = Fdr cos α, [Н ⋅ м ≡ Дж ]
где α − угол между вектором силы и вектором перемещения. Из рис. следует,
что элементарная работа, определяемая скалярным произведением векторов,
так же является скалярной величиной.
r
r
F = ma
175
4. Введение в рассмотрение элементарной
работы обусловлено необходимостью вычислений работы при движении точки по криволинейным траекториям, когда невозможно однозначно определить угол между перемещением
и силой. В этом случае участок траектории, например 1 − 2, разбивается на бесконечное чисr
ло элементарных участков протяжённостью d r
каждый, для которых угол легко определяется
Полная работа
ввиду их прямолинейности. На каждом участке
вычисляется элементарная работа, а затем работы суммируются
k =n
A1→2 = δA1 + δA 2 + L + δA n = ∑ δA k .
k =1
5. Элементарная работа, в зависимости от величины угла α может быть,
при прочих равных условиях, положительной, отрицательной или равной нулю.
6. Полная работа на конечном перемещении определится при устремлении dr →0, что приводит к криволинейному интегралу
r r
A1→2 = ∫ Fd r ,
L
7. Этот криволинейный интеграл
даёт возможность определять работу
Работа силы при разных значениях угла α
r
А силы F при перемещении точки
по траектории L .Таким образом, работа в общем случае зависит от вида кривой.
7. Так, например, при перемещении точки по траекториям 1а2 и 1b2 одной
и той же силой будут производиться разные работы. Численно, полная работа,
исходя из геометрического смысла интеграла, равна площади, ограниченной
кривой и горизонтальной осью, поэтому в рассматриваемом случае разность
работ A1a 2 − A1b 2 будет равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций.
8. В природе, в ряде случаев, встречаются силы, работа которых не зависит
от вида траектории, а определяется только конечным и начальным положением
точки. Такие силы называются потенциальными или консервативными.
9. Работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории рана нулю
r r
F
∫ d r = 0;
L
10. Если сила постоянна во времени, то уравнения для вычисления работы
упростятся, причём для практического использования целесообразно перейти к
координатной форме их записи.
11. Так как
r
r
r
r
r r
r r
F = i Fx + j Fy + kFz ;
d r = i dx + j dy + kdz ,
то уравнение работы можно переписать в координатной форме
x2
y2
z2
x1
y1
z1
A1→2 = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz.
176
12. Так как сила тяжести перпендикулярна вектору перемещения тела, то
π
π
A mg = mgS cos ; cos = 0; ⇒ A mg = 0;
2
2
26. Идеальный газ получил количество теплоты 100 Дж, и при этом его
внутренняя энергия уменьшилась на 100 Дж. Чему равна работа, совершённая
внешними силами над газом?
Решение
1. На основании первого начала термодинамики:
− δA = δQ + dU = −200 Дж;
27. Приведена схема детекторного приёмника. С
помощью какого элемента приёмника осуществляется детектирование колебаний?
Решение
1.
Процесс
детектирования
амплитудномодулированных электромагнитных колебаний осуществляется диодом, который за счёт своей нелинейной вольтамперной характеристики выделяет низкочастотную огибающую сигнала.
177
Вариант 8
1. Задано уравнение зависимости пройденного телом пути от времени:
s(t) = 4t + t 2 ;
Определить скорость тела через τ = 2 с после начала движения.
Решение
1. Модуль вектора скорости определится в виде первой производной пути
по времени:
r ds( t )
м
v=
= 4 + 2 t; ⇒ v τ = 8 ;
dt
с
2. Первая гиря массой m1 = 4 кг, подвешенная на стальной пружине, совершает малые свободные незатухающие колебания с периодом Т1 = 2 с. С
каким периодом будет совершать свободные колебания гиря массой m2 = 1 кг,
будучи подвешенная к той же пружине?
Решение
1. Считая, что пружина в обоих случаях «работает» на линейном участке
закона Гука, имеем:
m1 ⎫
T1 = 2π
;⎪
T2
m2
1
k ⎪
=
=
; Т 2 = 1с;
⎬ ⇒
T1
m1
4
m2 ⎪
T2 = 2π
;
k ⎪⎭
3. Вагон массой m, движущийся со скоростью v, сталкивается с вагоном
массой 2m. Каким суммарным импульсом обладают два вагона в момент
столкновения? Взаимодействие вагонов с другими телами пренебрежимо мало.
Решение
Импульс материальной точки
1. Запишем уравнение второго закона Ньютона, выразив ускорение через скорость
r
r
r
r
r
dv d(mv ) dp
F = ma = m
=
= ;.
dt
dt
dt
2. Величина, стоящая в скобках (скалярное
произведение массы точки на вектор её скорости)
называется импульсом точки или количеством её
движения. Естественно, что эта величина векторная и её направление совпадает с направлением
вектора скорости, т.е. импульс материальной точки всегда направлен по касательной в данной точке траектории по вектору скорости. Импульс ма178
териальной точки служит количественной векторной мерой механического
движения
3. Импульс не имеет специальной единицы измерения, его размерность устанавливается исходным уравнением
[p] = кг ⋅ м .
с
4. Векторное уравнение является одной из форм уравнения второго закона
Ньютона, на основании которой доказывается одна из общих теорем динамики,
теоремы об изменении импульса. Теорема читается так: «Производная по времени от импульса материальной точки равна действующей на эту точку силе».
5. Умножим это уравнение на бесконечно малый промежуток времени dt
r
r
r r
Fdt = dp, d(mv ) = Fdt ,
r
величина Fdt − называется элементарным импульсом действующей силы.
6. Уравнение выражает собой математическую запись теоремы об изменении импульса: «Дифференциал импульса (количества движения) материальной
точки равен элементарному импульсу, действующей на точку силы».
7. Проинтегрируем уравнение с учётом того, что переменными величинами
являются скорость и время
v2
t2
r
r
(
)
d
m
v
=
F
∫
∫ dt .
v1
t1
Если сила не является функцией времени, то процесс интегрирования достаточно прост
r
r r
r
r
mv 2 − mv1 = F(t 2 − t1 ), Δp = FΔt .
8. Изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени равно вектору действующей силы. Если к точке приложена система сил
k =n r
r
∑ Fk ⋅ dt = d(mv) .
k =1
9. При решении практических задач большое значение имеет частный случай теоремы об изменении импульса. Если материальная точка не подвержена
действию сил, или система сил эквивалентна нулю, то
k =n r
r
r
если ∑ Fk = 0 , то d(mv ) = 0 , ⇒ mv = const .
k =1
10. Последнее уравнение является законом сохранения импульса материальной точки. Если система сил, действующих на движущуюся материальную
точку эквивалентна нулю, то вектор импульса остаётся неизменным как по модулю, так и по направлению.
11. Ввиду постоянства массы точки, уравнение, помимо прочего, указывает
на неизменность вектора скорости, т.е. точка движется равномерно и прямолинейно. Использование закона сохранения импульса при решении практических
задач, в ряде случаев, позволяет существенно упростить процесс, т.к. в этом
случае отпадает необходимость составлять дифференциальные уравнения второго закона Ньютона и интегрировать их.
12. Так, например, в случае с вагонами, в соответствии с законом сохранения импульса ( в момент столкновения действуют только внутренние силы, не
способные изменять состояние системы), импульс вагонов будет равен импульсу первого вагона массой m
r
r
p Σ = mv;
179
r
4. Под действием силы F1 , тело движется с ускорением а1 = 4 м/с2. Под
r
r
действием второй силы F2 , направленной в противоположно силе F1 , ускорение тела составило а2 = 3 м/с2. С каким ускорением будет двигаться тело при
одновременном действии сил на данное тело?
Решение
1. Первый закон Ньютона (закон инерции). Этот фундаментальный закон
был сформулирован в 1638 г. Галилео Галилеем. Смысл закона в следующем:
всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные к ней силы, не изменят этого состояния. В современной терминологии первый закон Ньютона более доступен
в следующем изложении: Если геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку равнее нулю, то эта точка либо находится в покое, либо её
скорость постоянна по модулю и направлению. Математически закон записывается так:
r
k =n r
⎧v = 0;
Если ∑ Fk = 0, то ⎨ r
k =1
⎩v = const.
Система отсчёта относительно, которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. При решении большинства технических задач в качестве
инерциальных систем отсчёта используются системы, связанные с Землёй, при
этом суточное движение вокруг собственной оси и годовое движение вокруг
Солнца не учитывается. Хотя, строго говоря, пренебрежение вращением земли,
в ряде задач, таких как ракетные пуски, артиллерийские стрельбы, движение
гироскопических устройств, недопустимо. Если в качестве объектов рассматриваются планеты Солнечной Системы, то центр инерционной системы связывается с Солнцем и осями, проходящими через условно неподвижные звёзды.
2. Второй закон Ньютона (основной закон динамики). Если к инерциально движущемуся телу приложить силу, то оно поменяет своё механической
состояние, приобретя ускорение. На основании многочисленных опытов было
установлено, что одна и та же по величине сила различным телам способна сообщать различные ускорения. Другими словами, инертность выражает свойство материальной точки под действием силы изменять свою скорость по модулю и направлению непрерывно во времени. Величина, определяющая меру
инертности точки, называется её массой. Масса в классической механике является величиной постоянной, скалярной и положительной величиной, отличающей одну материальную точку от другой. Второй закон Ньютона количественно связывает величины действующих на точку сил, её массу и приобретаемое
ускорение
r
r 1 r r r
1 k =n r
a=
F1 + F3 + F3 + L + Fn = ∑ Fk .
m
m k =1
Ускорение, приобретаемое точкой прямо пропорционально равнодействующей приложенной системы сил и обратно пропорционально массе. Если
использовать упрощённый вариант записи, справедливый при действии одной
k =n r
r
силы или после приведения системы сил к равнодействующей ∑ Fk = F
k =1
r
r
F = ma ,
(
)
180
то очевидно, что вектор ускорения направлен по одной линии с вектором силы,
масса выступает в роли коэффициента пропорциональности между модулями
силы и ускорения.
Сила измеряется в ньютонах
r кг ⋅ м
F = 2 ≡ Н,
с
Ньютон (Н) это сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 м/с2. Перепишем уравнение второго закона Ньютона, выразив вектор ускорения через вектор скорости
r
r
r
r
dv d(mv ) dp
F=m
=
=
,
dt
dt
dt
поскольку в классической механике масса является величиной, не зависящей от
времени, то её можно вносить под знак дифференциала (производная от постоянной величины равна нулю). Образовавшаяся в скобках новая векторная величина называется импульсом материальной точки. В теоретической механике
используется термин количество движения. Разговор о фундаментальном значении импульса материальной точки впереди. С использованием понятия импульса второй закон Ньютона формулируется следующим образом: Производная по времени импульса равна действующей на точку силы.
r
Уравнение второго закона Ньютона можно выразить через радиус-вектор r
точки
r
r
r
dv
d2 r
F=m
=m 2 ,
dt
dt
или её координаты x, y, z и проекции силы на
координатные оси Fx, Fy, Fz
d2x
d2y
d2z
Fx = m 2 , Fy = m 2 , Fz = m 2 .
dt
dt
dt
Система уравнений позволяет исследовать
криволинейное движение материальной точки
в пространстве, по отношению к инерциальной
системе отсчёта Охуz. Уравнения называются
дифференциальными уравнениями криволинейного движения свободной материальной
точки в проекциях на оси декартовой инерциСкалярная форма второго
альной системы координат.
закона Ньютона
Перемещение точки в пространстве, в
плоскости или вдоль оси может быть вызвано силами, зависящими от времени,
r r r r
координат или скорости, т.е. F = F(t , r , v ) . В координатной форме уравнение с
переменными силами в общем виде записываются следующим образом
⎧ d2x
⎪m dt 2 = Fx (t , x , y, z, v x , v y , v z ),
⎪
⎪ d2y
⎨m 2 = Fy (t , x , y, z, v x , v y , v z ),
⎪ dt
⎪ d 2z
⎪m 2 = Fz (t , x , y, z, v x , v y , v z ).
⎩ dt
Достаточно часто практические задачи излагаемого уровня освоения физических основ механики ограничиваются прямолинейным случаем движения ма-
[]
181
териальной точки, обладающей одной степенью свободы, для которого достаточно одного скалярного уравнения второго закона Ньютона
d2x
dv
Fx = m 2 = m x = ma x .
dt
dt
3. Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия).
Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению силами, направленными вдоль прямой соединяющей взаимодействующие точки.
Третий закон Ньютона имеет важное прикладное значение. В частности
именно этим законом обусловлено возникновение связей при ограничении
движений точки. Математическая запись третьего закона проста
r
r
F1, 2 + F2,1 = 0 .
При рассмотрении этого закона Ньютона, следует иметь в виду, что силы,
обусловленные взаимодействием, приложены к разным телам, поэтому не
представляют собой уравновешенную систему, а значит, могут приводить объекты в состояние ускоренного движения.
4. Четвёртый закон Ньютона (закон независимости действия сил). Если
на материальную точку действует одновременно несколько сил, то ей сообщается ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые каждая
сила сообщила бы, действуя по отдельности.
k =n r
r r
r
r
r
r
r
ma = ma1 + ma 2 + L + ma n = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fk .
k =1
Применительно к заданным в задаче условиям, закон независимости действия сил запишется следующим образом:
м
ma Σ = ma1 − ma 2 ; ⇒ a Σ = a1 − a 2 = 1 2 ;
с
5. Во сколько раз меньше сила гравитационного притяжения, действующая
на тело на расстоянии R 2 от центра планеты радиусом R, чем у поверхности планеты?
Решение
1. В соответствии с законом гравитации Ньютона:
mM ⎫
F1 = G 2 ; ⎪
R ⎪ ⇒ ζ = F1 = 1 .
⎬
mM ⎪
F2 2
F2 = G
;
2 ⎪
2R ⎭
6. α-частица, испущенная ядром изотопа радиоактивного элемента, движется по направлению к атомному ядру, вектор скорости направлен под некоторым углом к прямой соединяющей частицу с ядром. Изменяются векторы
скорости, ускорения и величина кинетической энергии частицы во время приближения частицы у ядру? Если изменяются, то как?
182
Решение
1. Пусть α − частица на большом от ядра
расстоянии движется co скоростью v, направленной вдоль прямой.
2. Обозначим через y наименьшее расстояние между направлением вектора скорости α − частиц и центром атома О, в котором
расположен его положительный заряд Zе.
Величина y называется прицельным расстоянием.
3. При наличии центральных электростаРассеяние α − частиц
тических сил взаимодействия между α − частицей и зарядом Zе, которые являются консервативными, α − частица движется по гиперболе. Вблизи положительно заряженного ядра на α т − частицу действует сила
Fk =
1 2Ze2
1 q1 q 2
F
=
,
.
4πεε0 r 2
4πεε0 r 2
Естественно в этой связи предположить, что чем меньше прицельное расстояние у, тем на больший угол отклоняется α − частица. Изменение импульса
α − частицы будет равно
r
Δp = 2m α sin ϑ 2 .
4. Угол отклонения α − частицы ϑ , который одновременно является углом
между асимптотами гиперболы. Определяется соотношением
⎛ m v2
⎞
ϑ = 2arctg⎜⎜ α ⋅ y ⎟⎟ .
⎝ 2e ⋅ Ze ⎠
где mα − масса α − частицы. Масса α − частицы, по современным представлениям, mα ≅ 6,5⋅10 –27 кг, а масса ядра золота М(Аu) ≅ 3,25⋅10 –25 кг. Другими
словами (M Au >> m α ) , т.е. массу ядра можно считать существенно большей по
сравнению с пролетающими α − частицами. Из формулы видно, что угол отклонения тем больше, чем меньше прицельное расстояние у. При малых прицельных расстояниях угол отклонения может принимать значения θ > π 2 , т.е. α
183
− частица может оказаться в результате столкновения с атомом отброшенной
назад.
5. Предположив, что кулоновская сила отталкивания между α-частицей и
атомным ядром изменяется по закону 1/r2 даже в области чрезвычайно малых
внутриатомных расстоянии порядка 10 – 15м, сила Кулона увеличивается, частица тормозится, вектор скорости уменьшается по модулю и изменяется по направлению т.е. ускорение растёт и изменяется по направлению, кинетическая
энергия уменьшается по величине.
Эксперименты Резерфорда с α − частицами
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
5
4
3
7. Теннисный мяч брошен вверх. Изменяются ли при его полёте в верхнюю
точку траектории скорость, ускорение, кинетическая энергия, потенциальная
энергия и полная механическая энергия?
184
Решение
1. Мяч равнозамедленно поднимается в верхнюю точку траектории под действием силы тяжести, т.е. с постоянным по модулю и направлению ускорением
свободного падения g ≈ 10 м/с2.
2. Скорость мяча уменьшается в соответствии с уравнением:
v(t) = v 0 − gt;
3. Кинетическая энергия мяча уменьшается вплоть до полной остановки в
верхней точке траектории.
4. Потенциальная энергия увеличивается и становится максимальной в наивысшей точке подъёма:
⎛
gt 2 ⎞
⎟;
Π = mgh = mg⎜⎜ v 0 t −
2 ⎟⎠
⎝
5. Полная механическая энергия сохраняет свою величину в соответствии с
законом сохранения механической энергии для консервативных систем:
Κ + Π = const;
Скорость
7
Ускорение
1
Кинетическая энергия
3
Потенциальная энергия
2
Полная механическая энергия
1
8. Беспорядочное перемещение небольших твёрдых частиц в жидкостях
под действием ударов молекул жидкости происходит из-за явления:
Решение
1. Наблюдать воочию модель теплового движения молекул посчастливилось не физику, не химику, а ботанику, Роберту Броуну (1773 − 1858), хранителю научной библиотеки Королевской академии. Возвратившись из очередной
географической экспедиции, Броун в тиши лондонского кабинета в 1827 г. изучал посредствам микроскопа добытые экземпляры растений. Очередь дошла до
цветочной пыльцы, представляющей собой, по сути, мелкодисперсные крупинки. Капнув на покровное стеклышко капельку воды, Броун внёс туда некоторое
количество цветочной пыльцы. Посмотрев в микроскоп, Броун обнаружил, что
в фокальной плоскости микроскопа происходит непонятное.
2. Частицы пыльцы постоянно перемещались хаотичным образом, не позволяя исследователю их рассмотреть. Первое, что пришло в голову ботанику −
конвективные потоки. Разные температуры стекла Т1, воды в капле Т2 и самих
частичек Т3 вполне могли вызвать конвекционные тепловые потоки, которые и
увлекали объекты наблюдения. Выждав время, когда температуры должны были сравняться, Броун снова устремил свой пытливый взор в микроскоп. Ничего
не изменилось. Пыльца продолжала сновать. Пришла новая идея.
185
Наблюдения Роберта Броуна
3. На этот раз под подозрение попали английские кэбы, повозки для перевозки грузов и пассажиров, снабжённые деревянными колёсами с железными
ободьями. Как предположил Броун, катясь по брусчатке мостовой, колёса экипажей содрогали землю и здания. Было решено эксперимент перенести в загородный дом, где нет кэбов, брусчатки и вообще, там спокойнее, чем в Лондоне.
Но и эта уловка не принесла желаемых результатов. Необъяснимая суета частиц продолжалась. Исчерпав свои возможности усмирить непокорные пылинки, Броун решил поведать о своих наблюдениях коллегам. Опубликованная
Броуном статья имела типичное для того неторопливого времени название:
«Краткий отчёт о микроскопических наблюдениях, проведенных над частицами в июне и августе 1827 г., содержащимися в пыльце растений; и о существовании активных молекул в органических и неорганических телах».
4. По началу статья Броуна вызвала у специалистов недоумение, отчасти,
наверное, ввиду необычности наблюдаемого явления, отчасти вследствие пространных разглагольствований автора о «живой силе», присущей органическим
веществам. Вместе с тем, спустя некоторое время, факт нестандартного поведения частиц заинтересовал физиков. Голландец Корнабель в 1880 г. и француз
Гуи в 1888 г. повели более тщательные наблюдения, из которых стало ясно, что
степень подвижности частиц определяется их массой и температурой.
5. Первоначально предположили, что наблюдаемые частицы движутся от
ударов, получаемых от молекул окружающей их жидкости. При несоизмеримо
больших размерах частицы получают одновременно множество ударов со всех
сторон, поэтому результирующий импульс должен быть равным или близким к
нулю. В этой связи заметного движения крупных частиц не наблюдается. Если
рассматривать частицы мелкие, как это случилось в опытах Броуна, то количество единичных импульсов, получаемых частицей с разных направлений, будет
уже не одинаковым. Во-первых, число соударений станет несимметричным, вовторых скорости с которыми будут подлетать молекулы жидкости к частице
тоже будут неодинаковыми, поскольку они являются результатом обмена импульсами с соседними молекулами жидкости. Такая возможная двойная асимметрия сообщает частице некий результирующий импульс, под действием которого она получает некоторое перемещение r, которое будет продолжаться,
пока новый результирующий импульс не изменит направление её перемещения.
6. Исследователи влияние внутренних течений жидкости отбросили сразу,
потому что в области течения частички должны перемещаться в одном или
близком направлении, на опыте такого не наблюдалось. Соседние частицы
двигались совершенно независимо.
186
7. Ботанику, можно сказать, повезло. Броун совершенно случайно в качестве объектов исследования выбрал частицы, на которые в воде действовали две
силы: сила тяжести и сила Архимеда, причём модули этих сил были практически одинаковы. Частицы находились в воде в состоянии безразличного равновесия. Физики совершенно справедливо предположили, что броуновское движение, так оно было названо в честь человека, впервые его наблюдавшего.
Причиной такого движения являются беспорядочные столкновения частиц, в
результате которых они обмениваются своими импульсами и энергиями, хаотически меняя направления своих перемещений, так что средняя величина перемещения
< r >= 0 .
8. Если перемещение броуновских частиц охарактеризовать величиной
<r2>, то она уже не будет эквивалентна нулю и для неё можно записать следующее уравнение движения:
2
m
d2 < r2 > 1 d < r2 >
⎛ dr ⎞
+
− 2m < ⎜ ⎟ >= 0
2
ζ dt
dt
⎝ dt ⎠
где m − масса частицы, ζ − коэффициент подвижности частицы, связывающий
её скорость v с силой сопротивления Fμ
v=
dr
= ζFμ .
dt
Сила сопротивления сферических частиц в жидкости радиусом R определяется
законом Стокса
ζ=
1
,
6πηR
где η − коэффициент вязкости жидкости. Первое слагаемой в уравнении представляет собой удвоенное значение кинетической энергии частицы
2K 0 = m
d < r2 >
= m < v2 > .
2
dt
9. кинетическую энергию частицы можно выразить через термодинамические параметры, абсолютную температуру Т и постоянную Больцмана kB
m < v2 > i
= k BT ,
2
2
где i = 3 − число степеней свободы частицы. Решение уравнения с учётом полученных соотношений имеет вид
⎧
d
t ⎞⎫
⎛
< r 2 >= 2k BTζ ⎨1 − exp⎜ −
⎟⎬ .
dt
⎝ mB ⎠⎭
⎩
Величина exp(− t mB) в нормальных условиях пренебрежимо мала, с учётом
того, что при наблюдениях за броуновскими частицами t >> 10 − 5 с. В этом
случае уравнение, характеризующее квадрат среднего перемещения, перепишется следующим образом
Δ < r 2 >= 2k BTζΔt .
10. Таким образом, квадрат перемещения частицы вдоль произвольной оси
r пропорционален температуре среды и промежутку времени, в течение которого перемещение происходит. Вернувшись снова к наблюдениям Броуна и его
последователей, учёные поняли, что ботаник обнаружил прекрасную физическую модель поведения молекул газа, которые, будучи предоставленные самим
себе поведут подобным образом, т.е. будут совершать броуновское движение.
187
9. При обогревании комнаты радиатором центрального отопления энергия
от батареи распределяется по комнате:
Решение
1. За счёт механизма теплопроводности и лучистого теплообмена прилегающие к радиатору слои воздуха нагреваются, плотность их становится
меньше и они, за счёт силы Архимеда поднимаются вверх, а их место замещается более холодными объёмами воздуха, так возникает конвективные потоки,
переносящие тепловую энергию.
10. Во сколько раз уменьшится средняя квадратичная скорость теплового
движения молекул идеального газа при уменьшении абсолютной температуры
в 4 раза?
Решение
3RT ⎫
< v1 >=
; ⎪
μ ⎪
< v1 >
⎪
T ⎬ ⇒ < v = 2;
2
3R ⎪
4
⎪
< v 2 >=
;
μ ⎪⎭
188
11. Установить соответствие между физическими величинами, характеризующими процесс изотермического расширения воздуха и их изменениями.
Решение
1. Тенденция изменения давления и объёма в изотермическом процессе
расширения идеального газа (Т = const) следует из :
const
pV = const; ⇒ p =
,
V
т.е. при расширении газа при постоянной температуре объём увеличивается, а
давление уменьшается,
2. Температура и внутренняя энергия газа сохраняют свои значения, потому
что:
3m
ΔU =
RΔT; ΔT = 0; ⇒ ΔU = 0;
2μ
А
Б
В
Г
2
1
3
3
12. Приведен график зависимости температуры Т воды массой m от времени t при осуществлении теплоотвода с постоянной мощностью Р. В момент
времени t = 0 вода находилась в газообразном состоянии. Установить соответствие между процессами и выражениями для расчета теплоты отвердевания
воды и удельной теплоёмкости льда.
189
Решение
На графике заданы процессы:
1 − охлаждение паров воды;
2 − конденсация паров;
3 − охлаждение жидкости;
4 − переход воды из жидкого состояния в твёрдое состояние;
5 − охлаждение льда.
А
2
Б
1
13. Показано расположение одинаковых по
модулю электрических зарядов А.Б и В. Заряд
В имеет положительный знак. Каковы знаки
электрических зарядов А и Б, если вектор равнодействующих сил направлен так как показано на рисунке?
Решение
1. Шарль Огюстэн Кулон (1736 − 1806) будучи военным инженером, занимался многими научными задачами, связанными со статикой сооружений, теорией и практикой ветряных мельниц, механикой закрученных нитей, теорией трения скольжения и качения, теорией электрических явлений. Кулон изобрёл крутильные весы, с помощью которых провёл эксперименты по взаимодействию точечных электрических зарядов. Результаты этих опытов позволили ему сформулировать основополагающий закон электростатики, который сейчас носит его имя.
2. Следует отметить, что закон взаимодействия заряженных тел произвольных размеров сформулировать затруднительно, потому что сила взаимодействия зависит от геометрических особенностей тел и от особенностей их взаимного расположения. Кулон совершенно обоснованно предположил, что эти обстоятельства существенно уменьшат своё влияние на результат, если размерами заряженных тел по сравнению с расстоянием между ними можно пренеб-
190
речь. Другими словами, Кулон ввёл в рассмотрение понятие точечного заряда и
провёл серию экспериментов по определению силы взаимодействия между ними, используя построенные специально для этого случая крутильные весы.
3. Кулон на основании своих экспериментов пришёл к выводу о том, что
сила взаимодействия двух точечных зарядов направлена по линии, соединяющей эти заряды и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними r
F∼
1
.
r2
4. Ели двум одинаковым шарикам сообщать им заряды q1 и
q2, то, как экспериментально выяснил Кулон, силы взаимодействия и величины этих зарядов будут определяться пропорцией
q1 F1
= ,
q 2 F2
при этом разноимённые заряды
Взаимодействие точечных зарядов
будут притягиваться, а одноимённые − отталкиваться.
5. В 1785 г. Кулон сформулировал закон взаимодействия точечных зарядов:
Сила взаимодействия F двух точечных зарядов в вакууме или сухом воздухе
направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими зарядами
F=k
q1q 2
,
r12, 2
где k − численный размерный коэффициент, величина которого зависит от системы выбранных единиц, так, например в системе СИ
k=
1
Н ⋅ м2
≅ 9 ⋅109
,
4πεε0
Кл 2
здесь, ε − диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая ослабления
электрического поля вследствие рассеяние энергии в структурных элементах
среды, ε0 ≅ 8,85⋅10 − 12 Кл2/Н⋅м2 − электрическая постоянная, которая не имеет
физического смысла и предназначена для совмещения электрических единиц с
основными единицами интернациональной системы. Таким образом, закон Кулона для вакуума или сухого воздуха в системе СИ представится в векторной
форме следующим образом
F=
1 q1 q 2 r
r1, 2 .
4πεε0 r13, 2
6. Используя принцип суперпозиции
электрических полей и правила сложения векторов, можно видеть, что для
указанного направления равнодействующей сил Кулона, заряды А и Б
должны иметь отрицательный знак.
191
14. Водитель М автомобиля хочет поехать задним ходом и смотрит в плоское зеркало N, нет ли помехи. Кого из пешеходов (1 или 2) он не видит?
Решение
Построение изображения в зеркале
1. Изображение в плоском зеркале получается мнимым. Пешеход 1 будет
давать изображение в зеркале 1*, а второй пешеход изображения в зеркале не
имеет.
15. Какое выражение определяет предельный угол полного отражения α0
для луча света, идущего из среды с абсолютным показателем преломления n1
в среду с абсолютным показателем n2?
Решение
1. Как видно из построения, физические параметры среды с показателем преломления n2 никакого влияния на поведения луча не оказывают, процесс полного
внутреннего отражения определяется
только свойствами среды в которой распространяется луч, поэтому верным является уравнение 3
1
1
α 0 = arcsin ; ⇒ sin α 0 = ;
n1
n1
192
16. В процессе электролиза соляной кислоты при постоянном значении силы тока в цепи за 2 минуты ионы водорода принесли на катод положительный
заряд 60 Кл, ионы хлора принесли на анод отрицательный заряд 60 Кл. Чему
равна сила тока в цепи в этом процессе?
Решение
I=
Δq 60
=
= 0,5A;
Δt 120
17. Установить соответствие между графиками процессов в идеальном газе и формулами, которыми они описываются.
Решение
А
5
Б
4
18. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым эти величины вычисляются.
Решение
А
1
Б
3
193
В
2
19. Какой из перечисленных ниже величин пропорциональна энергия фотона:
1) квадрату скорости фотона;
2) скорости фотона;
3) частоте излучения;
4) длине волны?
Решение
1. В соответствии с гипотезой Планка энергия фотона прямо пропорциональна частоте излучения
ε f = hν;
20. Для какой цели в ядерных реакторах применяются замедлители?
Решение
1. При попадании в ядро медленного (теплового)
нейтрона высвобождается энергия связи порядка 7,5
МэВ. Этой энергии оказывается вполне достаточно
для перевода ядра в возбуждённое состояние.
2. Ядро, по одной из моделей, начинает совершать очень интенсивные колебания. Если подведенная энергия превышает значение работы деформации, необходимое для преодоления границы устойчивости, ядро распадается на две части: с помощью
трековой камеры можно видеть, как они обе разлетаются в диаметрально противоположных направлениях со скоростями, составляющими около v = 1/20
скорости света.
Pраспад атомного ядра
3. Энергию, высвобождающуюся при таком акте
деления можно оценить, используя закон Кулона, она составляет примерно 200
МэВ.
3. Теория утверждает, что методом бомбардировки медленными нейтронами возможно расщепление только относительно крупных и нестабильных ядер
U233, U235 и Pu239. Энергии таких нейтронов совершенно недостаточно для деления стабильных ядер, например свинца. В природном уране, добываемом на
235
,
рудниках, преобладает 238
92 U , но расщепляется пополам лишь его изотоп U
содержание которого не превышает 0,7%.
194
4. Расщепление же ядер урана сопровождается выделением энергии в миллионы раз большей самой интенсивной химической реакции! Например, в 1 кг
24
ядер. Простой
способного к расщеплению нуклида 235
92 U содержится 2,56⋅10
расчет при условии расщепления всех ядер дает энергию в 22,8⋅10 6 Дж.
5. Как показали проведенные исследования, в результате интенсивных колебаний ядро разрывается, как правило, на две части. Однако новые ядра не
обязательно строго равны по массе. Возможно, это чисто случайно, но в большинстве случаев массы осколков относятся как 2:3.
6. Все «дочерние» ядра радиоактивны, так как по сравнению со своими устойчивыми изотопами они содержат достаточно много нейтронов. Каждое из
образовавшихся ядер дает начало новому небольшому радиоактивному ряду
распадов, каждый этап которого характеризуется своим периодом полураспада.
Схема распада ядер урана
7. Таким образом, верным является утверждение 2.
21. Идеальная тепловая машина с КПД η = 20% за цикл работы отдаёт холодильнику 80 Дж. Какую полезную работу совершает машина за цикл?
Решение
η=
QH − QX
Q
ηQ X
; ⇒ Q H (1 − η) = Q X ; Q H = X ; Q H − Q X = A =
;
QH
1− η
1− η
0,2 ⋅ 80
A=
= 20Дж;
0,8
22. К гальваническому элементу была подключена электрическая лампочка. Что произойдёт с силой тока, напряжением на лампочке и мощностью тока
при подключении параллельно с первым источником второго такого же элемента:
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность;
Решение
1. При параллельном согласном включении идентичных элементов ЭДС
останется без изменения, а внутренне сопротивление источников уменьшится в
два раза:
195
Сила тока в цепи:
ε
⎫
; ⎪
r+R
⎪
ε ⎬ ⇒ I 2 > I1;
I2 =
;⎪
r
+R ⎪
2
⎭
Напряжение на лампочке:
U R = IR; ⇒ U R 2 > U R1;
Мощность тока:
P = IU; ⇒ P2 > P1;
Сила тока
Напряжение
1
1
I1 =
Мощность
1
23. Микроамперметр имеет класс точности 1,0. Класс точности показывает
максимально возможную инструментальную погрешность в процентах при отклонении стрелки на всю шкалу. Определить максимальную абсолютную погрешность Δинстр этого прибора и его цену деления.
Решение
1. Один процент от 100 мкА составляет 1 мкА, т.е. Δинстр = 1 мкА, цена деления шкалы равна 2 мкА.
24. Определить по показаниям прибора (верхняя шкала) силу тока, учитывая, что погрешность измерения равна половине цены деления микроамперметра.
196
Решение
1. Цена деления микроамперметра составляет 2,5 мкА, следовательно, погрешность измерения равна Δ = 1,25 мкА.
2. Верхняя шкала прибора показывает 11,25 мкА.
Часть 2
25. Под действием силы тяжести mg = 30 H и силы F рычаг находится в
r
равновесии. Определить модуль силы F
Решение
1. Сумма моментов сил относительно оси Z проходящей через опорную
точку перпендикулярно плоскости чертежа для равновесного состояния рычага
должна быть равна нулю:
r
r
r 4mg
r
M Z F = M Z (mg ); F ⋅ 0,8 = mg ⋅ 4; ⇒ F =
= 150H;
0,8
()
26. Идеальный газ отдал количество теплоты Q = 100 Дж, и при этом внутренняя энергия газа уменьшилась на ΔU = 100 Дж. Чему равна работа совершённая газом?
Решение
1. На основании первого начала термодинамики:
δQ = δA + dU; ⇒ δA = δQ - dU = 0;
27. При параллельном включении активного сопротивления, катушки и конденсатора в цепь переменного тока амплитуда колебаний силы тока через активное сопротивление i R(max) = 0,4A , через конденсатор i C(max) = 0,3A , через
катушку индуктивности i L(max) = 0,6A . Считая конденсатор и катушку идеальными, определить амплитудное значение силы тока в общей цепи.
Решение
i Σ = i L (max) + i C (max) − i R (max) = 0,5A;
197
Вариант 9
1. Приведен график зависимости пути
от времени. Определить скорость велосипедиста в интервале времени от момента времени 1 с до момента времени 3
с после начала движения.
Решение
1. После начала движения велосипедист за первую секунду движения достигает скорости:
м
Δs
v=
=1 ,
Δt
с
и останавливается, в последующее заданное время велосипедист, судя по опыту − упал, т.е. его скорость стала равной нулю.
2. Сила притяжения между шарами массами m1 и m2, помещёнными на расстояние R между их центрами, равна F. Какой станет сила притяжения между
шарами с массами 2m1 и 4m2, если расстояние между их центрами равно 2R?
Решение
1. На основании гравитационного закона Ньютона:
mm
⎫
F=G 122; ⎪
⎪
R
⎬ ⇒ Fx = 2F;
8m1m 2 ⎪
Fx = G
;
4R 2 ⎪⎭
3. Человек массой m прыгает с горизонтальной скоростью v относительно Земли из
неподвижной лодки массой М на берег. Чему
равна скорость лодки относительно Земли в
момент отрыва человека, если потерями можно пренебречь?
Решение
1. В соответствии с законом сохранения импульса в проекции на направление движения человека и лодки:
r
r
r mv
mv + Mu = 0; ⇒ u =
;
M
{
r r r r
}
4. Задана система плоских сходящихся сил F1 , F2 , F3 , F4 . Определить равнодействующую системы сил, если модуль вектора силы F1 = 3 Н.
198
Решение
r n =4
r r
r r r
R = ∑ Fn ; F1 + F4 = 0; ⇒ R = F3 + F2 ; ⇒
n =1
r r
R = F1 = 3H;
5. Во сколько раз примерно сила гравитационного притяжения Венеры к
Солнцу больше, чем сила гравитационного притяжения Земли к Солнцу? Масса Земли в 1,2 раза больше массы Венеры, расстояние Земли от Солнца примерно в 1,4 раза больше, чем расстояние Венеры от Солнца.
Решение
1. На основании гравитационного закона Ньютона:
1,2mM ⎫
FB = G
;
FB
R 2 ⎪⎪
≈ 1,633;
⎬ ⇒ ζ=
mM ⎪
FЗ
FЗ = G
;
1,96R 2 ⎪⎭
6. Люстра подвешена к потолку на крючке. Установить соответствие между
силами и их характеристиками:
1) приложена к люстре;
2) приложена к крючку;
3) направлена вертикально вниз;
4) направлена вертикально вверх?
Решение
1. Сила тяжести представляет силу гравитационного взаимодействия люстры с Землёй, сила направлена вертикально вниз и приложена в центре масс
люстры.
2. Вес люстры численно равен, в соответствии с третьим законом Ньютона,
реакции опоры люстры в точке её подвеса, сила веса приложена к крючку и направлена вертикально вниз.
Сила тяжести люстры
Рила веса люстры
1,3
2,4
199
7. Изменяются ли перечисленные в первом столбце величины для Марса,
миновавшего перигелий, если изменяются то как? Перигелий − точка орбиты
Марса, самая приближенная к Солнцу.
Для каждой величины определить соответствующий характер изменения:
1) не изменяется;
2) только увеличивается по модулю;
3) только уменьшается по модулю;
4) увеличивается по модулю и изменяется по направлению;
5) уменьшается по модулю и изменяется по направлению;
6) увеличивается по модулю и не изменяется по направлению;
7) уменьшается по модулю и не изменяется по направлению;
Решение
1. Движение Марса, находящегося на эллиптической стационарной орбите, описывается законом гравитации Ньютона:
mM
ma n = G 2 ;
r
2
v
M
M
an =
=G 2 ; ⇒ v= G ;
r
r
r
где m − масса Марса, М − масса
Солнца, G − гравитационная постоянная, r − расстояние от центра масс Солнца до центра масс Марса, v − линейная скорость кометы, an − нормальное ускорение.
Таким образом, линейная скорость планеты в точке орбиты 1 будет ,больше
скорости в точке орбиты 2, потому что r1 < r2.
2. Нормальное (центростремительное) ускорение Марса:
M
an = G 2 ;
r
3. При перемещении Марса из точки 1 в точку 2 векторы линейной скорости и ускорения будут изменять направление.
4. Кинетическая энергия скалярная, всегда положительная величина при
переходе из 1 в 2 будет уменьшать своё значение, потому что:
mv2
Κ=
;
2
5. Потенциальная энергия Марса:
mM
Π=G
;
r
будет, уменьшать своё значение.
6. Если систему Солнце − Марс рассматривать как замкнутую, не подверженную кроме гравитационных действию других сил, то будет справедлив закон сохранения энергии, потому что гравитационные силы относятся к классу
консервативных:
Π + Κ = const;
т.е. полная механическая энергия спутника во всех токах его эллиптической
орбиты будет сохранять своё значение.
200
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
5
5
3
2
1
8. Какой вид теплопередачи сопровождается переносом вещества:
1) только излучение;
2) только конвекция;
3) только теплопроводность;
4) излучение и теплопроводность?
Решение
1. Конвекцией называется перенос теплоты потоками вещества. Примером конвективного теплообмена может служить широко
распространённый способ обогрева помещений радиаторами водяного отопления, когда
воздух близи радиатора нагревается, приобретая избыточную внутреннюю энергию, за
счёт уменьшения плотности поднимается
вверх и далее распространяется, поднимая
локальную температуру. Все остальные виды теплопередачи переносом вещества не сопровождаются
9. В каком из перечисленных ниже случаев энергия от одного тела к другому передаётся, в основном, теплопередачей?
Решение
1. Рассмотрим однородное тело в виде
прямоугольного параллелепипеда на торцах
которого поддерживаются температуры Т1 и
Т2. Если температуры неодинаковы, например, T1 > T2, то будет протекать передача теплоты от участков с более высокой температурой к участкам с более низкой температурой. Выделяют три различных механизма
передачи теплоты:
201
Процесс теплопроводности
• теплопроводность;
• конвекцию;
• радиационный теплообмен.
2. Процесс теплопроводности представляет собой непосредственную
передачу кинетической энергии движения от одних молекул к другим.
3. Будем считать, что теплоёмкость рассматриваемого вещества настолько
велика, что за малый промежуток времени Δt температура Т1 и Т2 не изменяются. Количество теплоты, передаваемое через плоскую площадку s перпендикулярную оси х за время Δt определил экспериментально Жан Батист Фурье
(1768 − 1830)
δQ = ksΔt
T2 − T1
,
x
где k − коэффициент теплопроводности материала параллелепипеда. Коэффициент теплопроводности является одним из основных термофизических
свойств вещества, в зависимости от значения k вещества имеют то или иное
промышленное применение
4. Уравнение теплопроводности было впервые записано Фурье великим
французским математиком и физиком, который придерживался, популярной в
начале XIX века теории теплорода, поэтому уравнение в общем виде было записано вначале на основе опытных данных. Несмотря на необоснованность исходных предпосылок, в ряде частных случаев они оказались достаточными для
построения теории. Если рассматривались термодинамические системы постоянного объёма, находящиеся при неизменном давлении, то явления теплопроводности протекают так, как если бы тепло было неким веществом, перемещаемым в пространстве со всеми истекающими очевидными последствиями.
Никаких источников тепла и стоков, только перемещение. При постоянстве
объёма тепло уместно отождествлять с внутренней энергией вещества. Фурье
полагал, при выводе уравнения, что тепло передаётся только путём теплообмена, конвекция и лучеиспускание отсутствуют. Постоянство объёма освобождало от рассмотрения перемещения вещества. Такие условия позволили рассматривать распространение тепла как течение жидкости, т.е. использовать методы,
наработанные к тому времени в гидродинамике, т.е. практически развивать механический подход.
5. По аналогии с течением сплошных сред было введено
понятие плотности
r
теплового потока. Вектор плотности теплового потока j , совпадающий с направлением распространения тепла по модулю равен количеству тепла, проходящего в единицу времени через единичную площадь, перпендикулярную направлению распространения тепла.
6. Предположим, что в неограниченной однородной среде возникает одномерный поток тепла, причём направление распространения совпадает с осью
ох. Одномерность потока предполагает
изменение характеристик среды и параметров потока только во времени и в направлении распространения тепла. Тепловой поток, таким образом, является
функцией
только двух переменных
r
r r
Поток тепла j
j = j(x , t ) .
202
7. Выделим в однородной среде бесконечно протяжённую призму или цилиндр площадью поперечного сечения s, параллельную выбранному направлению распространению тепла и рассмотрим бесконечно малую его толщину dx.
Количество тепла, поступающего в выделенную область цилиндра, определится как
δQ x = j(x )sdt .
На выходе из области количество тепла станет равным
δQ (x +dx ) = j(x + dx )sdt .
Отсутствие поступления теплоты через боковые поверхности цилиндра позволяет количество тепла проходящего через выделенный объём цилиндра за
время dt представить следующим образом
⎛ ∂j ⎞
δQ = [ j(x ) − j(x + dx )]s dt = −⎜ ⎟s dx dt .
⎝ ∂x ⎠
8. Величину δQ можно выразить через массу рассматриваемого объёма,
удельную теплоёмкость вещества с и изменение температуры dT
δQ = dm c dT = ρs dx c dT .
Приравняем далее левые части уравнений
⎛ ∂j ⎞
ρ s dx c dT = −⎜ ⎟ s dx dt ,
⎝ ∂x ⎠
после очевидных сокращений и разделения переменных, получим
ρc
∂T
∂j
=−
.
∂t
∂x
9. На качественном уровне понятно, что тепловой поток должен зависеть от
разности температур, это следует из эмпирического уравнения Фурье. Из этого
уравнения следует, что поток тепла может возникать только в том случае, если
температура
изменяется от точки к точке рассматриваемого объёма, причём
r
вектор j направлен от точек с высшей температурой к точкам с низшей температурой:
δQ = ksΔt
T2 − T1
, ⇒
x
T − T1
δQ
=k 2
, ⇒
s dt
x
j= k
T2 − T1
.
x
10. Применительно к рассматриваемому случаю рассматриваемое уравнение перепишется следующим случаем
j= k
∂T
.
∂x
Уравнение потока тепла с учётом полученного значения потока тепла перепишется следующим образом
j= k
∂T
.
∂x
Подставим значение теплового потока
ρc
∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞
=
⎜k
⎟.
∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠
11. Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности. В частном случае, если коэффициент теплопроводности k не зависит от температуры, уравнение упрощается
ρc
∂T
∂ 2T
=k 2 .
∂t
∂x
Если объединить физические параметры среды в одну величину
203
χ2 =
k
,
ρc
которая называется температуропроводностью, то уравнение теплопроводности примет вид
∂T
∂ 2T
= χ2 2 .
∂t
∂x
10. Во сколько раз нужно уменьшить абсолютную температуру идеального
газа, чтобы давление газа при постоянной концентрации его молекул уменьшилось в 7 раз?
Решение
p1 = nk BT1; ⎫
T1
⎪
⎬ ⇒ Tx = ;
p1
7
= nk BTx ;⎪
7
⎭
11. Установить соответствие между физическими величинами, характеризующими изохорный процесс охлаждения воздуха, перечисленными в первом
столбце, и их изменениями во втором столбце.
Решение
1. Уравнение изохорного процесса:
p V = νRT1; ⎫
V = const; 1
⎬ ⇒
p 2 V = νRT2 ;⎭
А
2
Б
3
p1 T1
= ;
p 2 T2
В
2
204
Г
2
12. Задан график зависимости температуры воды от времени при осуществлении теплоотдачи с постоянной мощностью. В начальный момент времени
вода находилась в твёрдом состоянии. Установить соответствие между процессами и выражениями для расчёта удельной теплоёмкости воды и теплоты
парообразования воды.
Решение
Термодинамические процессы, отображаемые графиком:
1 − нагревание льда;
2 − плавление льда;
3 − нагревание воды;
4 − испарение воды;
5 − нагревание паров воды.
1. Нагревание жидкости:
Q = PΔt 3 = cmΔT2 ; ⇒ c =
2. Парообразование воды:
Q = PΔt 4 = λm; ⇒ λ =
PΔt 3
;
ΔT2
PΔt 4
;
m
13. Электрический ток в металлах создаётся упорядоченным движением:
1) положительных ионов;
2) отрицательных ионов;
3) электронов;
4) положительных и отрицательных ионов и электронов?
Решение
1. Проводники являются таковыми по причине наличия в них большого
числа носителей заряда, способных относительно легко перемещаться в пределах рассматриваемого образца. Металлы, как правило, являются хорошими
проводниками тепла и электрического тока именно благодаря свободным
электронам. Если металлический проводник поместить в однородное электриr
ческое поле напряжённостью E , то на каждый свободный электрон (e ≅ 1,6⋅10 −
19
Кл, me ≅ 1⋅10 − 30 кг), в классическом представлении, будет действовать элементарная сила Кулона. Как и всякий материальный объект, электрон начнёт
205
двигаться в направлении, противоположном направлению вектора напряжённости поля (элементарный заряд электрона принято считать отрицательным).
2. Если бы в распоряжении исследователей был маленький человечек, то он
бы обнаружил, что через сечение проводника S, за которым он приставлен наблюдать, в одном направлении движутся электроны, что собственно и означает
возникновение электрического тока.
3. Направлением тока условились считать направление движения положительных зарядов. Таким образом,
электрический ток есть направленное движение носителей зарядов, в
металлах таковыми являются электроны В металлах направление тока
принимается
противоположным
движению электронов проводимости. Линии, вдоль которых перемещаются носители заряда, по аналогии с гидромеханикой называются
Направленное движение носителей электричелиниями тока. Совокупность линий
ского заряда
тока образует трубку тока, которая
позволяет качественно и количественно охарактеризовать направленное движение носителей заряда.
Движущиеся в электрическом поле
носители не пересекают поверхность трубки тока. Поверхность
проводника, расположенного в диэлектрической среде представляет
Трубка тока
собой трубку тока.
4. Выделим в проводнике физически малый объём внутри которого направленно движутся со средr
ней скоростью u носители заряда.
В металлах электроны, будучи свободными частицами, в соответствие
с законами термодинамики находятся в состоянии непрерывного
хаотического теплового движения,
причём средняя скорость < v > тепЭлементарный объём проводника
лового движения определяется как
< v >=
3k BT
,
me
где kB ≅ 1,4⋅10 − 23 Дж/К − постоянная Больцмана, Т − абсолютная температура,
me − масса электрона. В отличие от спонтанно направленной скорости тепловоr
го движения скорость под действием силы Кулона u будет направленной, её
называют средней дрейфовой скоростью. Пусть в рассматриваемом металлическом проводнике в единице его объёма содержится n электронов. Выделим далее элементарную площадку dS, перпендикулярную вектору дрейфовой скорости, являющуюся основанием цилиндра с высотой udt. Все носители заряда,
206
содержащиеся внутри этого цилиндра, через площадку dS за время dt перенесут заряд
dq = n ⋅ e ⋅ u ⋅ dS ⋅ dt .
Пронормируем уравнение относительно площади и времени
dq
= j = neu ,
dSdt
где j − плотность тока, т.е. сила тока i = dq/dt, отнесённая к площади. Плотность тока величина векторная, что определяется направленными свойствами
дрейфовой скорости
r
r
j = neu .
Модуль плотности тока определяет величину заряда, переносимого электрическим
полем в единицу времени через единицу площади. Направление
r
вектора j совпадает с направлением дрейфовой скорости носителей заряда, в
металлах − электронов.
14. Приведено расположение собирающей линзы и её главной оптической
оси, показаны фокусные расстояния и расположение предметов 1, 2, 3 перед
ней. Изображение какого из этих предметов будет действительным увеличенным и перевёрнутым?
Решение
15. Объектив телескопа при фотографировании небесных тел даёт:
1) действительное увеличенное изображение;
2) действительное уменьшенное изображение;
3) мнимое увеличенное изображение;
4) мнимое уменьшенное изображение;
Решение
1. При использовании телескопа (в простейшем случае зрительной трубы,
сфокусированной на бесконечность) наблюдаемый предмет расположен на
расстоянии, значительно превышающем фокусное расстояние линзы телескопа,
207
поэтому изображение получается действительным и уменьшенным. Затем,
посредствам окуляра, изображение удалённого предмета превращается в мнимое и увеличенное изображение, так же как и в простейшей лупе.
16. Резисторы сопротивлением 3 Ом, 6 Ом и 9 Ом включены последовательно в цепь постоянного тока. Чему равно отношение работ электрического
тока, совершённых при прохождении через эти резисторы за одинаковое время?
Решение
1. Через последовательно включённые резисторы протекает одинаковый
ток, поэтому:
P1 = I 2 R1; ⎫
⎪
PΔt = Q ≡ A; P2 = I 2 R 2 ;⎬ ⇒ A1 : A 2 : A 3 = 3 : 6 : 9 = 1 : 2 : 3;
⎪
P3 = I 2 R 3 ; ⎭
17. Приведенные схемы и графики иллюстрируют свободные электромагнитные колебания. Колебания в контуре возникают при подключении катушки
индуктивности к обкладкам заряженного конденсатора. Установить соответствие между графиками А и Б и значением физических величин в момент времени t = 0.
208
Решение
А
2
Б
3
18. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым эти величины определяются.
Решение
А
4
Б
3
19. На рисунках а и б двумя способами условно представлены процессы,
сопровождающиеся излучением фотонов атома водорода. Что обозначается
на этих рисунках окружностями и что горизонтальными линиями?
209
Решение
1. Ученые, пропуская свет через разреженные газы в которых молекулы не
связаны между собой, т.е. их можно считать изолированными, обнаружили, что
они испускают линейчатые спектры. Причём спектры различных газов и паров
металлов имели, строго определённый вид, присущий, только этому веществу,
что собственно и стало причиной привлечения спектроскопических методов
при решении широкого круга физических задач.
2. Если в откачанную катодную трубку поместить водород и подать на
электроды высокую разность потенциалов, то атомы газа начнут излучать несколько электромагнитных волн в узких диапазонах длин, т.е. атомы водорода
будут испускать линейчатый спектр, состоящий из отдельных близко расположенных спектральных линий.
Спектр атома водорода в области видимого света
3. При исследовании подобных спектров учёные обратили внимание, что
линии расположены не беспорядочно, а объединены в серии. Расстояние между
линиями убывает по мере уменьшения от более длинных к более коротким.
210
4. Занимаясь цифрологией спектральных линий швейцарский учёный Бальмер в 1885 г. для спектральных линий водорода получил формулу для длин
волн, располагающихся в видимой части спектра
λ = λ0
n2
,
n2 − 4
где λ0 − константа, n − целые числа, принимающие значения: 3, 4, 5 и т.д. Вместо длины волны в спектроскопии оказалось более удобным применять обратную величину
ν∗ =
ω
1
=
,
λ 2πc
именуемую волновым числом, которое отличается от обычного волнового числа k = 2π λ в 2π раз. Формулу Бальмера, таким образом, можно переписать в
виде
1 ⎞
⎛1
ν∗ = R ⎜ 2 − 2 ⎟
n ⎠
⎝2
(n = 3,4,5,K) ,
где R = 4/λ0 − постоянная Ридберга
R = 109737,309 ± 0,012 см − 1.
5. Для дальнейшего рассмотрения структуры атома, однако, рационально
отойти от спектроскопической символики и пользоваться для описания линейчатых спектров традиционной циклической частотой.
6. Постоянная Рдберга, при этом увеличится в 2πс раз и станет равной
R = 2,07 ⋅ 1016 с −1 , тогда уравнение для циклической частоты представится в виде
1 ⎞
⎛1
ω = R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝2 n ⎠
(n = 3,4,5,K) .
7. Уравнение применительно к атому водорода было распространено на
ультрафиолетовую и инфракрасную области циклических частот. Серии линий
назвали по фамилиям учёных их обнаруживших:
− серия Лаймана
⎛1 1 ⎞
ω = R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝1 n ⎠
(n = 2,3,4,K) ;
− серия Пашена
⎛1 1 ⎞
ω = R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝3 n ⎠
(n = 4,5,6,K) ;
− серия Брэкета
1 ⎞
⎛1
ω = R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝4 n ⎠
(n = 5,6,7,K) ;
− серия Пфунда
⎛1 1 ⎞
ω = R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝5 n ⎠
Серии спектральных
линий атома водорода
(n = 6,7,8,K) .
8. Циклические частоты всех спектральных линий атома водорода можно
обобщить в виде формулы
1 ⎞
⎛ 1
ω = R⎜ 2 − 2 ⎟ ,
n ⎠
⎝m
где m имеет различные значения для отдельных серий: для серии Лаймана m =
1; для серии Бальмера m = 2 и т.д.
211
9. Наблюдаемые экспериментально спектральные линии в спектре атомов
требовали теоретического обоснования, нужна была модель атома, которая бы
объясняла суть происходящего.
10. Ближе всех к созданию модели оказался Дж. Дж. Томсон, который более
других поднаторел в исследованиях свойств электрона.
11. Таким образом, верным является утверждение 3.
20. Изменится ли масса системы из одного свободного протона и одного
свободного нейтрона после их соединения в атомное ядро:
1) не изменится;
2) увеличится;
3) уменьшится;
4) сначала увеличится, затем вернётся к первоначальному значению?
Решение
1. Взаимодействие элементарных частиц в ядре протекает под действием
гипотетический ядерных сил, отличается от электростатических и всех других
известных сил. Важнейшей их особенностью является короткий радиус действия. Напомним, что электростатическое и гравитационное взаимодействие,
убывает по мере возрастания расстояния, обратно пропорционально квадрату
расстояния
FК =
m ⋅m
1 q1 ⋅ q 2
, FH = G 1 2 2 .
2
4πεε 0 r1, 2
r1, 2
2. Радиус действия этих сил всегда очень велик, по ядерным масштабам, и
они подчиняются принципу суперпозиции. Таким образом, сообщив электрический заряд большим изолированным телам, мы можем в миллионы раз усилить действие отдельного электрона. Точно так же лишь в результате аддитивного сложения взаимодействий всех атомов земного шара «создается» сила тяжести, которую мы ощущаем в нашей повседневной жизни.
3. Ничего подобного не наблюдается у ядерных сил, радиус их действия не
превышает радиуса ядра. В пределах этой области ядерное взаимодействие
можно в грубом приближении сравнить с притяжением двух разноименных
электрических зарядов величиной q = 3е. Для точечного источника сильного
взаимодействия потенциал определится соотношением профессора Юкавы
e −μr
Φ(r ) = −g
,
r
где μ = 1 λ C − величина, обратная длине волны Комптона. Энергия взаимодействия двух нуклонов, таким образом, в зависимости от расстояния, примет вид
e −μr
U = −g 2
.
r
4. Зависимость U = f (r ) для двух
нуклонов приведена на рис. Ядерные
силы, в отличие от кулоновских, (красная кривая) убывают не обратно проЯдерные силы взаимодействия
порционально квадрату расстояния, а
212
значительно быстрее, по закону экспоненты; они начинают действовать лишь
тогда, когда частицы почти соприкасаются.
5. В весьма фривольном приближении можно уподобить нуклоны карамельным шарикам, которые «слипаются» друг с другом при непосредственном
контакте. Те, которые тают не во рту, а в руках. Опыт общения со слипшимися
конфетами подсказывает, что величина связывающей их силы совершенно не
зависит от того, сколько их находится в кульке.
6. При дальнейшем сближении частиц величина ядерных сил достигает некоторого предела. Если бы такого предела не существовало, ядро сжалось бы в
точку, так как только при этом условии потенциальная энергия ядра стала бы
равной нулю.
7. Поскольку такой «коллапс» в действительности не происходит, потенциал не убывает неограниченно и притяжение должно уступить место сильному
отталкиванию. Таким образом, в нуклоне существует некая «твердая сердцевина», или «керн», радиус которого не превышает 4⋅10 – 16 м.
7. Теория ядерных сил к настоящему времени далека от завершения, однако
целый ряд их качественных и количественных характеристик определён вполне
надёжно.
8. Все известные к настоящему времени поля материальны, поэтому можно
считать, что и источником ядерного поля служат материальные объекты.
9. Напомним, что источниками электромагнитного поля являются любые
частицы вещества − электроны, протоны и т. д., обладающие электрическим
зарядом. Такая же ситуация и с гравитационным взаимодействием. То, что обладает массой, то испытывает гравитационное взаимодействие, исключений
нет.
10. Очевидно, что источниками ядерного поля являются нуклоны. Они обладают своеобразным «ядерным зарядом», одинаковым по величине и знаку у
всех нуклонов (нейтрон + протон) независимо от того, обладает ли нуклон еще
электрическим зарядом или нет.
11. Природа ядерных сил явно не электрического свойства, потому, что
ядерные силы между частицами не зависят от того, обладают ли частицы электрическим зарядом или нет. Кроме того, ядерное взаимодействие нейтрона с
нейтроном, нейтрона с протоном и двух протонов одинаково.
12. Ядерные силы, в отличие от сил между точечными или сферическими
электрическими зарядами, не являются центральными. Их нельзя представлять
в виде сил, действующих от одного центра сил. Это связано с наличием спина
взаимодействующих частиц.
13. Ядерные силы обладают свойством насыщения, подобно химическим
силам. Действительно, атомы углерода и кислорода взаимодействуют, образуя
углекислый газ СО2. Но как только, происходит соединение одного атома углерода и двух атомов кислорода, «свадьба» заканчивается и присоединение новых атомов кислорода не происходит − химические силы достигли насыщения.
14. Эффект насыщения ядерных сил, происходит более плавно нежели в
химическом случае. Энергия, которую необходимо затратить в среднем на одну частицу, для того чтобы разбить ядро на отдельные нуклоны, начиная от гелия и до самых тяжелых ядер, меняется в пределах, не превышающих 25%.
15. Гипотезы о возникновении ядерных сил. Существует несколько гипотез
о механизме возникновения ядерных сил. В соответствии с одной из них, внутри ядра существует поле, подчиняющееся квантовым законам, в частности это
относится к полю сил, действующих между двумя нуклонами.
213
16. Возникает отнюдь не риторический вопрос, какие частицы переносят
это взаимодействие? Предполагается, что переносчиками поля являются частицы − переносчики, которые, к слову сказать, пока в земных условиях не обнаружены. Но вместе с тем, объяснение такого взаимодействия через вспомогательное поле транспортных частиц не только не «притянуто за уши», но и является необходимым элементом при описании других видов взаимодействия.
17. Тот факт, что эти частицы пока укрываются от экспериментаторов, совершенно не смущает теоретиков. Такой уж они упёртый народ. Допускается,
что если даже окажется так, что частицы − переносчики не существуют в данный момент в «осязаемой» форме, вполне оправдано допустить их существование в виртуальной форме.
18. Схема «работы» таких частиц выглядит следующим образом: протон генерирует такую положительно заряженную частицу, которая тут же поглощается соответствующим нейтроном, которому
она «предназначена». Нейтрон превращается в
протон, тогда как бывший протон теряет свой заряд и становится нейтроном.
19. Затем эта «игра в кошки мышки» повторяется в обратном порядке, так, что в конце концов
между двумя нуклонами происходит непрерывный
обмен частицами.
20. Таким образом, существование частицы −
переносчика ограничено промежутком времени,
который необходим для преодоления расстояния
между двумя нуклонами (то есть радиуса действия
. Переносчики поля
ядерных сил). Отсюда Δ t ≅ ri/c при условии, что
π − мезоны
частица движется со скоростью света с. Если ri ≅
1⋅10 –15 м, с = 3⋅108 м/с, то Δt ≅ 3,3⋅10 –24 с. В соответствии с принципом неопределённости для энергии можно записать следующее соотношение
ΔΕ ⋅ Δt = h .
Оценим приближённо величину этой энергии
ΔE =
10−34
h
≅
≅ 3 ⋅ 10 −11 Дж ≅ 190 МэВ ,
Δt 3,3 ⋅ 10− 24
Энергия, прямо скажем, впечатляющей величины, особенно с учётом её эквивалентности некой массе, в соответствии с теорией Оливера Хевисайда
E = mc2 ⇒ m =
E
≅ 3,3 ⋅ 10− 28 кг ,
2
c
что составляет примерно 276 масс электрона. Обсуждаемая частица с фантастическими свойствами была предсказана Японским физиком Хидеки Юкавой
в 1935 г.
21. Буквально годом позже частицы Юкавы были найдены в космическом
излучении; их назвали π − мезонами. Масса этих частиц составляла 273,3 массы электрона.
22. Это удивительно близко к результатам оценки, но такое совпадение, в
некоторой степени, случайно: величина ri была выбрана более или менее произвольно. Конечно, и обмен мезонами не следует понимать чересчур буквально: это не более чем попытка описать на простом языке частиц явления, весьма
далекие от наглядности.
214
23. Дефект массы и энергия связи ядер. Ядра всех элементов составлены
из одинаковых протонов и нейтронов, это давало основание до поры считать,
что для определения массы ядра достаточно сложить массы всех, входящих в
ядро, частиц.
24. В классической физике аддитивность массы не вызывала сомнений в
виду полнейшей очевидности.
25. Применительно к ядру всё оказалось сложнее. Было установлено, что
масса ядра не равна в точности сумме масс нуклонов.
26. Чтобы удалить протон или нейтрон из сложного устойчивого ядра, необходимо затратить некоторую энергию. Убыль энергии при объединении частиц в ядро эквивалентна, согласно соотношению Хевисайда Е = mс2, уменьшению массы.
27. Масса образующегося ядра меньше суммарной массы составляющих его частиц. Например, наибольшая потеря массы получается при образовании атома гелия. Сумма масс частиц He 42 равна: 2 протона + 2 нейтрона + 2
электрона = 1 атом гелия = (2⋅1,00727 +2⋅1,00865+2⋅0,00055 = 4,03294 а.е.м), а
по табличным данным масса атома гелия равна 4,00261 а.е.м.
28. Атомная масса гелия оказывается на 0,3033 а.е.м. меньше. Такая характерная особенность наблюдается для любого нуклида. Масса целого атома всегда получается меньшей суммы масс составляющих его частей. Это явление
называется дефектом масс.
29. Данный эффект имеет совершенно простое и очевидное объяснение.
Ядра атомов представляют собой сложные образования, возникшие в процессе
зарождения Солнечной системы.
30. Ядра существующих в настоящее время элементов образовались путем
слияния элементарных частиц. Как и в большинстве, самопроизвольно протекающих процессов, это объединение сопровождалось минимизацией энергии;
часть энергии при этом высвобождалась.
31. Поскольку чудеса в Мире встречаются редко, то и в данном случае источником энергии могли быть только объединяющиеся частицы. Высвобождение энергии неизбежно должно было привести к уменьшению их массы.
32. Количественно точная величина этого «изъятия» в каждом отдельном
случае вновь определяется из соотношения Хевисайда. Оценим энергетический
эквивалент массы для ядра гелия, которое представляет собой, по сути, α частицу
E = Δmc 2 ≅ 28,2 МэВ.
33. Для сравнения отметим, что количество тепла, выделяющегося при сгорании одного моля топлива, примерно в миллион раз меньше.
34. Чтобы α − частица распалась, необходимо подвести к нему энергию не
меньшую чем Е. α − частица образование чрезвычайно устойчивое, поэтому
при спонтанном распаде ядра α − частица генерируется как целый объект.
21. При измени длины бруска получено значение длины 5 см, относительная погрешность измерения составляет 2%. Чему равна абсолютная погрешность измерения?
Решение
Δ = l ⋅ δ = 5 ⋅ 0,02 = 0,1;
215
22. К источнику постоянного тока подключена одна лампочка. Что произойдёт с силой тока в общей цепи, напряжением на этой лампочке, мощностью
тока на ней при подключении последовательно первой лампочкой такой же
второй лампочки:
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность?
Решение
1. При подключении второй лампочки последовательно с первой сопротивление внешней цепи возрастёт вдвое, при этом сила тока в общей цепи уменьшится:
ε
⎫
I1 =
; ⎪
r+R ⎪ ⇒ I >I ;
⎬
1
2
ε ⎪
I2 =
;
r + 2R ⎪⎭
2. Напряжение на первой лампочке:
U1 = I1R ; ⎫
⎬ ⇒ U1 > U 2 ;
U 2 = I 2 R ;⎭
3. Мощность тока:
P1 = I12 R ; ⎫⎪
⎬ ⇒ P1 > P2 ;
P2 = I 22 R ;⎪⎭
Сила тока
Напряжение
Мощность
2
2
2
23. Надпись 2,5 справа внизу шкалы вольтметра показывает, что этот
прибор имеет класс точности 2,5.
Класс точности прибора показывает
максимально возможную инструментальную относительную погрешность
при отклонении стрелки на всю шкалу.
Определить максимальную инструментальную погрешность Δинстр этого прибора и цену деления прибора.
Решение
1. Цена деления прибора:
ΔU = 0,5B;
2. Инструментальная погрешность
216
24. Приведена схема масс−спектрометра и показаны траектории ионов. Из
перечисленных выше условий выбрать необходимые для измерения массы
иона.
Решение
1. Условие нахождения заряженной частицы в однородном магнитном поле
mv2
qBr
qvB =
; ⇒ m=
;
r
v
2. Для измерения массы иона при известной величине заряда и индукции
однородного магнитного поля необходимо знать скорость и радиус окружности, т.е. необходимо выполнение всех трёх условий.
25. Гиря массой m1= 4 кг, подвешенная на стальной вертикальной пружине,
совершает свободные колебания с периодом Т = 2 с. С каким периодом будет
совершать свободные колебания гиря массой m2 = 1 кг, будучи подвешенной к
той же пружине?
Решение
m1 ⎫
;⎪
k ⎪
⎬ ⇒
m2 ⎪
T2 = 2π
;
k ⎪⎭
T1 = 2π
T1
m1
T
=
; T2 = 1 = 1c;
T2
m2
m1
m2
26. Переход газа из состояния N в состояние
М совершается четырьмя различными способами: 1, 2, 3, 4. При каком способе работа над газом максимальна?
Решение
1. Рассмотрим pV − диаграмму заданных
термодинамических процессов вследствие которых объект переводится из начального состояния M в конечное состояние N. Cостояние 1 характеризуется набором из трёх параметров: давления р, объёма V и температуры Т. Кроме того, рассматриваемая масса газа в
этом состоянии будет обладать внутренней энергией U1.
2. Предположим далее, что газ получил возможность расширяться, совершая при этом работу. Почему при расширении газа будет совершаться механическая работа? Это можно показать, воспользовавшись традиционными пред217
ставлениями о работе, заимствованными
из классической механики. Рассмотрим
цилиндр с термоизолированными стенками (адиабатная оболочка), заполненный идеальным газом и закрытый невесомым поршнем. Предположим, что
первоначально давление в ограниченном объёме выше окружающего и равно
р. Если поршень отпустить и допустить
pV − диаграмма газа
его перемещения без трения, то газ начнёт расширяться, причём на поверхность поршня будет действовать сила
F = pds .
Элементарная работа этой силы на перемещении поршня dx будет равна
δA = Fdx = p ds dx = p dV .
3. Вычислим работу при переводе исследуемого объёма газа из начального
положения в конечное положение, для чего кривую p = f(V) разобьём на большое число отрезков и на каждом из них примерим уравнение элементарной работы. При суммировании элементарных работ, мы придём к следующему выражению
k =n
k =n
V2
k =1
V1
A1→2 = ∑ δA k = lim ∑ pdVk = ∫ pdV .
k →∞
k =1
4. Таким образом, работа численно рана
площади фигуры, ограниченной графиком процесса и осью изменения объёма. Площадь криволинейной фигуры 1a234 больше площади
фигуры 1b234, т.е. работа в первом случае будет больше, чем во втором случае.
5. Заданные в условии данной задачи особенности изменения состояния газа показывают, что работа будет максимальной в процессе
1, потому что:
SaM1b > SaM 2 b > SaM 3b > SaM 4 b ;
27.С помощью какого элемента приемника производится приём модулированных сигналов от различных радиостанций?
Решение
1. Антенна − устройство, предназначенное (обычно в сочетании с радиопередатчиком или радиоприемником) для излучения
или (и) приема радиоволн. С помощью антенн можно принимать очень слабые радиосигналы, осуществлять направленные передачу и прием сигналов, определять местоположение источников радиоволн и т.
д. Разновидности антенн: вибраторные (проволочные), щелевые, рупорные,
зеркальные, линзовые, антенные решетки и др.
218
Вариант 10
1. Зависимость координаты тела от времени задано уравнением:
x = 1 + 2t + 3t 2 .
Определить проекцию скорости в момент времени t = 3 с после начала
движения.
Решение
1. Проекция скорости на координату х определяется в виде первой производной заданного уравнен6ия движения по времени:
dx
vx =
= 2 + 6 t;
dt
2. Проекция скорости в заданный момент времени:
м
v x = 2 + 6 ⋅ 3 = 20 ;
с
2. Сила 10 Н сообщает телу ускорение 3 м/с2. Какая сила сообщит ускорение 1,5 м/с2 телу с вчетверо большей массой?
Решение
1. На основании второго закона Ньютона:
F1 = ma1; ⎫
F1
a
Fa
10 ⋅ 4 ⋅ 1,5
= 1 ; F2 = 1 2 =
= 20 H;
⎬ ⇒
F2 = 4ma 2 ;⎭
F2 4a 2
a1
3
3. Атом водорода массой m, движущийся со скоростью v относительно
Земли, сталкивается с таким же атомом, движущимся с такой же по модулю
скоростью в противоположном направлении в этой системен координат. Каким
суммарным импульсом обладают два атома в момент столкновения? Взаимодействие атомов с другими телами пренебрежимо мало.
Решение
1. В соответствии с законом сохранения импульса при условии:
r
r
r
r
m1 = m 2 ; v1 = − v 2 ; mv1 + mv 2 = 0;
суммарный импульс в момент столкновения будет равен нулю, т.к. представляет собой геометрическую сумму двух равных по модулю векторов, которые направлены в противоположные стороны.
4. На наклонной плоскости длиной l = 5 м и высотой h = 3 м неподвижно
лежит груз массой m = 50 кг. Чему равен модуль силы тяжести, действующей
на груз?
Решение
Fg = mg ≈ 50 ⋅ 10 ≈ 500 H;
219
5. Оценить, во сколько раз сила гравитационного притяжения Земли к
Солнцу больше, чем притяжение Марса к Солнцу? Масса Земли примерно в 9
раз больше массы Марса, а отношение расстояний от планет до звезды равно,
примерно, 0,66.
Решение
1. На основании гравитационного закона Ньютона:
9m M M ⎫
FЗ = G
;
2
2
R 2З ⎪⎪
⎛ RM ⎞
FЗ
⎛ 1 ⎞
⎟ = 9⋅⎜
= 9⎜⎜
⎟ ≈ 20,66 ≈ 21.
⎬ ⇒ ζ=
mM M ⎪
FM
R З ⎟⎠
0,66 ⎠
⎝
⎝
FM = G 2 ;
R M ⎪⎭
6. Брусок движется равномерно по шероховатой поверхности наклонной
плоскости. Установите для силы трения соответствие между параметрами силы, перечисленными в первом столбце таблицы, и свойствами вектора силы:
Решение
Направление вектора силы трения
Модуль вектора силы трения
3, 6
9
220
7. Искусственный спутник движется по эллиптической орбите вокруг Земли.
Изменяются ли перечисленные в первом столбце таблицы физические величины во время удаления спутника от планеты: скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия, полная механическая энергия спутника, и если
изменяются, то как?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) не изменяется;
2) только увеличивается по модулю;
3) только уменьшается по модулю;
4) увеличивается по модулю и изменяется по направлению;
5) уменьшается по модулю и изменяется по направлению;
6) Увеличивается по модулю, не изменяется по направлению;
7) уменьшается по модулю, не изменяется по направлению;
Записать в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины.
Решение
1. Движение спутника, находящегося на эллиптической стационарной орбите, описывается законом гравитации Ньютона:
mM
ma n = G 2 ;
r
2
v
M
M
an =
=G 2 ; ⇒ v= G ;
r
r
r
где m − масса спутника, М − масса Земли, G − гравитационная постоянная, r −
расстояние от центра масс Земли до центра масс спутника, v − линейная скорость спутника, an − нормальное ускорение.
Таким образом, линейная скорость спутника в точке оббиты 1 будет больше
скорости в точке орбиты 2, потому что r1 < r2.
2. Нормальное (центростремительное) ускорение спутника:
M
an = G 2 ;
r
3. При перемещении спутника из точки 1 в точку 2 векторы линейной скорости и ускорения будут изменять направление.
4. Кинетическая энергия скалярная, всегда положительная величина при
переходе из 1 в 2 будет уменьшать своё значение, потому что:
mv2
Κ=
;
2
5. Потенциальная энергия спутника:
mM
Π=G
;
r
будет тоже уменьшать своё значение.
6. Если систему спутник − Земля рассматривать как замкнутую, не подверженную кроме гравитационных действию других сил, то будет справедлив закон сохранения энергии, потому что гравитационные силы относятся к классу
консервативных:
Π + Κ = const;
221
т.е. полная механическая энергия спутника во всех токах его эллиптической
орбиты будет сохранять своё значение.
Скорость
Ускорение
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
5
5
3
2
1
8. Если между двумя телами устанавливается тепловое равновесие, то у
них становятся одинаковыми значения:
1) веса;
2) массы;
3) температуры;
4) температуры, массы и веса?
Решение
1. Пусть два тела, обладающие теплоёмкостями С1 и С2 находятся в контакте и
при различных температурах Т1 и T2. Предположим так же, что теплообмен происходит только между телами, а с внешней средой отсутствует. В этой ситуации количество тепла отданного одним телом должно
быть равно количеству тепла, принятого
другим телом. Математически это можно
записать так
δQ = −C1dT1 = C 2 dT2 ,
Тепловое равновесие
где dТ1 − понижение температуры первого
тела, dT2 − повышение температуры второго тела. При постоянстве величин
теплоёмкостей для рассматриваемых тел для них можно записать уравнение
Фурье в следующем виде
dT1
kΔs(T1 − T2 )
=−
,
dt
x
dT
kΔs(T1 − T2 )
C2 2 = +
,
dt
x
C1
2. Следует обратить внимание на то, что если Т1 > T2, то (dT1 dt ) < 0 , а
(dT2 dt ) > 0 , другими словами, происходит выравнивание температуры тел.
Температура более нагретого тела уменьшается, а температура менее нагретого
− увеличивается. Если уравнения сложить:
C1
dT1
dT
= C2 2 ,
dt
dt
и проинтегрировать, то получим
C1T1 = C 2 T2 .
3. Предположим далее, что в момент времени t = 0 температуры тел будут
равны T1(0) и T2(0), в этом случае
C1T1 + C 2 T2 = C1T1( 0 ) + C 2 T2 ( 0 ) .
222
По истечении длительного промежутка времени Т1 = T2 = T, т.е.
T=
C1T1( 0 ) + C 2 T2 ( 0 )
C1 + C 2
,
т.е. у тел станет одинаковой только температура.
9. При растворении соли в воде происходит диффузия молекул соли. Что
происходит при этом с молекулами соли?
Решение
1. Предположим, что в некотором объёме воды имеется вертикальный градиент концентрации молекул соли (соль, будучи, как правило, плотнее воды),
как это имело место при выводе барометрической формулы. Будем рассматривать концентрацию, как функцию вертикальной координаты n(z). Если перпендикулярно оси z расположить площадку площадью s, то через неё будет наблюдаться поток частиц, обусловленный выравниванием концентрации в наблюдаемом объёме. Экспериментально установлено, что в единицу времени
через площадку проходит количество частиц
Φ = −D
∂n
s,
∂z
где D − коэффициент диффузии, величина которого определяется физическими
свойствами рассматриваемой системы. Поток частиц в единицу времени имеет
размерность [Ф] = c − 1, поэтому коэффициент диффузии измеряется в
[D] = ∂Φn
∂z
=
s
c −1м ⋅ м 3 м 2
=
.
с
м2
2. Знак минус в уравнении означает, что поток частиц направлен от больших концентрацией частиц в сторону меньших концентраций. Умножим далее
уравнение на массу молекул соли, принимающих участие в процессе диффузии, получим
Φm = − D
∂n
∂ρ
ms, ⇒ M = − D s ,
∂z
∂z
т.к. плотность соли ρ = mn.
3. Последнее уравнение выражает собой первый закон Фика, который предполагает определение коэффициента диффузии D для каждого вещества экспериментальным путём. Другими словами, первый закон Фика является эмпирическим законом, полученным в предположении, что диффундируемые молекулы занимают свободное межмолекулярное пространство. В этой связи следует
оговориться, что в жидкостях и твёрдых телах потоки частиц в каких-либо направлениях могут быть вызваны не только молекулярными причинами.
223
10. При неизменной концентрации молекул идеального газа средняя квадратичная скорость молекул уменьшилась в 4 раза. Во сколько раз при этом
уменьшилось давление газа?
Решение
1. Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа определяется,
при прочих равных условиях, значением абсолютной температуры:
3RT
< v >=
,
μ
если скорость уменьшается в 4 раза, то абсолютная температура должна
уменьшится в 16 раз.
2. Давление идеального газа:
p = nk BT,
т.е. давление понизится тоже в 16 раз.
11. Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими процесс изотермического сжатия воздуха, перечисленными в первом
столбце, и их изменениями во втором столбце.
Решение
1. Тенденция изменения давления и объёма в изотермическом процессе
расширения идеального газа (Т = const) следует из :
const
pV = const; ⇒ p =
,
V
т.е. при сжатии газа при постоянной температуре объём уменьшается, а давление растёт
2. Температура и внутренняя энергия газа сохраняют свои значения, потому
что:
3m
ΔU =
RΔT; ΔT = 0; ⇒ ΔU = 0;
2μ
А
Б
В
1
3
3
12. Задан график зависимости температуры Т воды массой m от времени t
при осуществлении теплопередачи с постоянной мощностью Р. В момент времени t = 0 вода находилась в твёрдом состоянии. Установить соответствие
между процессами и выражениями для расчёта удельной теплоёмкости воды
(льда) и теплоты плавления льда.
224
Решение
1. Классификация приведенных процессов:
1 − нагревание льда;
2 − таяние льда;
3 − нагревание воды;
4 − испарение воды;
5 − нагревание пара;
2. Нагреванию льда протекает за время Δt1
Q = PΔt1 = C1mΔT1; ⇒ C1 =
3. Плавление льда:
Q = PΔt 2 = λm; ⇒ λ =
А
1
PΔT1
;
mΔT1
PΔt 2
;
m
Б
2
13. Разноимённые электрические заряды притягиваются друг к другу
вследствие того что:
Решение
1. Как только обнаружилось, что заряженные тела могут воздействовать на
другие без непосредственного контакта, сразу возник законный вопрос. Как?
225
Каков механизм передачи силового воздействия? Что является причиной возникновения механических сил? Ведь в своих опытах Кулон посредствам крутильных весов регистрировал именно механический момент хорошо изученных
Ньютоновских сил. Одновременно возникли две гипотезы.
2. В соответствии с гипотезой дальнодействия, телам приписывалось свойство действовать на другие тела на расстоянии, причём, предполагалось, что
это действие передаётся мгновенно и без посредничества каких-либо третьих
сред. Согласно этой гипотезе, заряженное тело никаких изменений в окружающем пространстве не производит.
3. Гипотеза близкодействия предполагала наличие между телами некой
субстанции порождаемой электрическими зарядами и обеспечивающей силовые воздействия на другие тела и заряды. Рассуждения сторонников теории
близкодействия строились на механических аналогиях. Уже достаточно полно
были исследованы свойства упругих волн, для распространения которых непременно нужна была среда. Упругие волны тоже обладают энергией и могут
воздействовать на тела, расположенные на значительном расстоянии от источника колебаний. Было логично, в этой связи, предположить, что электрическое
действие передаётся с конечной скоростью и на конечные расстояния. Из таких
рассуждений следовало, что всякое заряженное тело в отсутствие остальных
должно изменять свойства окружающего его пространства.
4. Современная официальная наука исповедует только идею близкодействия, в соответствии с которой вокруг электрических зарядов пространство заполнено особой субстанцией, неким физическим агентом, в котором проявляются механические силы, вызванные взаимодействием этого агента и вносимых в него тел или зарядов. Такая субстанция получила название − электрическое поле. Появление в некой точке пространства электрического заряда сопровождается возникновением электрического поля.
5. Движущиеся заряды генерируют электромагнитное поле, т.е. комбинацию электрической и магнитной составляющей. Как выяснилось при исследовании электромагнитных полей, они заключают в себе и переносят энергию
подобно упругим волнам. Электромагнитные поля, таким образом, представляют собой абстрактное понятие, предназначенное для объяснения электрических и магнитных взаимодействий. Электромагнитные поля, являющиеся объективной материальной реальностью, представляются в виде особой формы
материи обладающей определённым набором физических свойств и характеристик.
6. Количественно электрическое поле заряда q можно охарактеризовать,
внося в него другой пробный заряд q0 и измеряя силу взаимодействия F в разных точках пространства. Сила этого взаимодействия, следуя закону Кулона,
будет пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
r
q q r
F=k 1 3 0 r .
r
7. Такая характеристика электрического поля не будет универсальной, потому, что сила Кулона в каждой точке пространства наряду с исходным зарядом будет зависеть от величины пробного заряда q0. От такого неудобства
можно избавиться, если в качестве характеристики поля рассматривать не величину силы, а отношение этой силы к пробному заряду
226
r
r
q r
F r
≡ E = k 31 r .
q0
r
8. Векторная величина E называется напряжённостью электрического поля.
Для изолированного точечного заряда, расположенного в вакууме или сухом
воздухе, напряжённость электрического поля определяется непосредственно из
уравнения закона Кулона
r
1 qr
E=
r.
4πε0 r 3
9. Как следует из уравнения, если поле создано положительным зарядом (напомним, что
это понятие условное, принятое по общему
соглашению), то вектор напряжённости электрического поля направлен от заряда во внешнее пространство по радиус-вектору, соединяющему заряд и данную точку пространства.
В случае отрицательного заряда вектор напряжённости так же направлен по радиус-вектору, Направление напряжённости элекно из данной точки в сторону заряда.
трического поля
10. Таким образом, если известна напряжённость электрического поля в какой-либо точке пространства, окружающего
изолированный заряд, то можно однозначно определить величину и направление силы Кулона, которая возникнет при помещении в эту точку заряда q⋅
r
r
F = qE ,
следовательно, верным является утверждение 1.
14. Если линза обладает оптической силой D = + 2 диоптрии, то это означает что:
Решение
1. Оптическая сила линзы связана с её фокусным расстоянием уравнением:
1
F= ;
D
откуда следует, что линза собирающая (+) с фокусным расстоянием F = 0,4 м.
15. На плёнке фотоаппарата получено изображение предмета в натуральную величину. На основании этого можно утверждать, что объектив при фотографировании находился от фотоплёнки на расстоянии:
227
Решение
1. Из построения хода лучей в тонкой собирающей линзе видно, что условие h = H выполняется при расположении предмета на расстоянии от плоскости линзы на удвоенном фокусном расстоянии.
16. Число витков в первичной обмотке трансформатора в 2 раза больше
числа витков в его вторичной обмотке. Какова амплитуда колебаний напряжения на концах вторичной обмотки трансформатора в режиме холостого хода
при амплитуде колебаний напряжения на концах первичной обмотки 50 В?
Решение
N1 U1
=
; ⇒ U 2 = 25 B;
N2 U2
228
17. Установить соответствие между графиками процессов в идеальном газе и формулами, которыми они описываются.
Решение
А
4
Б
1
18. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым они рассчитываются:
229
Решение
1. Удельная энергия связи. Ядра существующих в настоящее время элементов образовались путем слияния элементарных частиц. Как и в большинстве, самопроизвольно протекающих процессов, это объединение сопровождалось минимизацией энергии; часть энергии при этом высвобождалась.
Поскольку чудеса в Мире встречаются редко, то и в данном случае источником энергии могли быть только объединяющиеся частицы. Высвобождение
энергии неизбежно должно было привести к уменьшению их массы.
Количественно точная величина этого «изъятия» в каждом отдельном случае вновь определяется из соотношения Хевисайда. Оценим энергетический
эквивалент массы для ядра гелия, которое представляет собой, по сути, α - частицу
E = Δmc2 ≅ 28,2 МэВ.
Для сравнения отметим, что количество тепла, выделяющегося при сгорании одного моля топлива, примерно в миллион раз меньше.
Чтобы α − частица распалась, необходимо подвести к нему энергию не
меньшую чем Е. α − частица образование чрезвычайно устойчивое, поэтому
при спонтанном распаде ядра α − частица генерируется как целый объект.
Энергия связи, приходящаяся на один нуклон в ядре, называется удельной энергией связи. На рис. представлена зависимость энергии связи в зависимости от массового числа А ядра.
Удельная энергия связи
Δmc2
;
A
Сильнее всего нуклоны связаны в ядрах элементов с массовыми числами A
= 50 − 60. Максимальная энергия связи для этой группы достигает 8,7
МэВ/нуклон и при дальнейшем росте А энергия постепенно убывает. Для ура238
на U 92
удельная энергия связи составляет примерно 7,5 МэВ/нуклон.
f=
230
Не безынтересно, с позиций энергии связи, окинуть взором всю таблицу
элементов. Если сравнить энергии связи с теми, что высвобождаются при объединении атомов в молекулы или в других процессах, происходящих в атомных оболочках, то очевидно, что ядерные энергии в миллионы раз превышают
энергии последних. Именно поэтому дефекты масс в химических или других
подобных процессах столь малы, что практически их невозможно измерить.
Для этих процессов справедлив классический закон сохранения массы в своей
обычной форме.
2. Потенциальная энергия деформированной пружины:
kx 2
Π=
;
2
А
5
Б
1
19. Порция энергии, которую может поглощать или испускать атом, называется:
1) квант;
2) протон;
3) нейтрон;
4) электрон?
Решение
1. Несмотря на то, что модель атома Резерфорда инициировала целый поток
идей о строении атома и особенностях устройства электронных составляющих,
этой модели были присущи принципиальные недостатки.
2. Наиболее наглядно это наблюдается на примере самого простого атома
водорода, который по представлениям Резерфорда содержит на орбите один
единственный электрон, компенсирующий положительный заряд ядра, равный
по модулю заряду электрона.
3. Электрон, совершая вращение вокруг ядра по круговой или эллиптической
орбите, ввиду специфики криволинейного
движения обладает центростремительным
ускорением an. В соответствие с классической электродинамикой такой ускоренно
движущийся электрон неминуемо должен
излучать электромагнитную волну, следовательно, движение его будет не круговым или эллиптическим, а спиралевидным, т.е. в конце концов, эта спираль
Атом водорода по Резерфорду
должна, закончится на ядре.
4. Кроме того, модель атома Резерфорда не объясняла, почему атомы излучают только определённые частоты. Кода Резерфорд вершил судьбы мировой
науки, поблизости, в статусе ученика обретался молодой датский студент
Нильс Бор, которому все эти атомно-ядерные разговоры были чрезвычайно интересны.
5. Наслушавшись научных диспутов между Дж. Дж. Томсоном, Резерфордом и другими титанами физики и ознакомившись с работами Макса Планка,
231
Нильс Бор заподозрил, что между квантовой гипотезой Планка и устройством
атома должна быть взаимосвязь, коль квантовая теория так убедительно работает на чёрном теле и фотоэффекте.
6. Бор подозревал, что квантовые представления могли объяснить стабильность атомов. Последовательность рассуждений Нильса Бора была примерно
такова. Для начала Бор предположил, что электрон, вопреки классической
электродинамике, находясь на стационарной орбите, не излучает. Сила Кулона
со стороны ядра
r
1 Ze ⋅ e r
FK = −
r r,
4πε0 r 3
удовлетворяет закону обратных квадратов, как и гравитационная сила Ньютона
r
mm r
FG = G 1 3 2 r ,
r
т.е. в классическом варианте задача о движении электрона аналогична задаче о
движении планет вокруг Солнца, почему, собственно, Резерфорд и пришёл к
планетарной модели атома. Потенциальная энергия, обусловленная силой Кулона, определяется как
Π (r ) = −
Ze2
,
r
где Ze − заряд ядра, принятый Бором как материальная точка. Нормальное ускорение электрона (рис. 3.48) при линейной скорости движения v равно
an =
v2
.
r
7. Условие нахождения электрона на стационарной орбите запишется в виде равенства силы Кулона и силы инерции, так же как при рассмотрении планет, вращающихся вокруг Солнца, с той разницей, что гравитационная сила
заменяется силой Кулона
me v2
Ze2
=k 2 ;
r
r
⇒
me v2 =
Ze2
.
r
8. Далее было записано уравнение для суммарной энергии электрона на орбите
W=
me v2
Ze2
+ Π (r ) = −
,
2
2r
уравнение угловой скорости
ω=
v
,
r
и кинетического момента, направленного перпендикулярно плоскости движения электрона
L = m e vr .
9. Таким образом, движение электрона описывалось пятью переменными
{r, v, W, ω, L} , которые связаны четырьмя уравнениями. Если в качестве известной величины взять одну из этих переменных, то остальные можно выразить
через неё. Предположим, что известной величиной является кинетический момент L, тогда
L2
Ze2
Z 2e 4 m e
Z2e 4 m e ⎫
r= 2 ; v=
; ω=
;
W
=
−
.⎬
Ze m e
L
L3
2L2 ⎭
232
10. Далее Нильс Бор предположил, что кинетический момент не может
принимать произвольных значений, а подчиняется правилу квантования
Макса Планка, т.е.
L = nh ,
где n = 1, 2, 3, …. ∞, поскольку с L связаны все остальные переменные, то они
тоже становятся квантованными
⎫
⎪
⎪
⎬
2
4
2
4
Z ⎛ mee ⎞
Z ⎛ mee ⎞ ⎪
⎟.
ωn = 3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ; Wn = − 2 ⎜⎜
n ⎝ h ⎠
n ⎝ 2h 2 ⎟⎠ ⎪⎭
rn =
n2 ⎛ h2 ⎞
Z ⎛ e2 ⎞
⎟
⎜⎜
⎜ ⎟ c;
;
v
=
n
Z ⎝ m e e 2 ⎟⎠
n ⎜⎝ he ⎟⎠
11. Первое уравнение системы позволяет ближайшую к ядру атома орбиту
охарактеризовать радиусом, который в системе СИ представится как
a0 =
4πε0h 2
≈ 5,3 ⋅ 10−11 м ≈ 0,53A o ,
2
mee
и называется Боровским радиусом. Энергетический масштаб оценивается постоянной Ридберга
Ry =
mee4
e2
=
≅ 13,6эВ .
4πch 3 2a 0
12. В качестве энергии в 1 эВ принимается энергия электрона, прошедшего
разность потенциалов в 1 вольт, 1эВ ≈ 1,6 ⋅ 10−19 Дж . Число n в квантовой механике называется главным квантовым числом.
13. Бор постулировал, что поглощение и излучение энергии электроном
происходит скачкообразно, только при переходе из одной разрешённой орбиты
на другую, причём скачкообразное перемещение с высокой орбиты Wn на
,более энергетически низкую орбиту Wn-1 сопровождается испусканием
кванта энергии, т.е. фотона или канта энергии.
14. Естественно предположить, что таким же образом электрон меняет орбиту при поглощении кванта энергии. Причём падающий фотон должен иметь
такую же величину энергии , чтобы она компенсировала разность энергий между двумя разрешёнными уровнями. Состояние электрона с n = 1 принято за
основное, в котором не происходит излучения энергии.
15. Атомы веществ в естественном состоянии находятся в большинстве своём в стационарном состоянии. Чтобы подняться на более высокий энергетический уровень, электрон должен захватить подходящий фотон. Все состояния с
n > 1 являются нестабильными.
16. Введя таким образом в ядерную модель атома Резерфорда квантовые
представления, Нильс Бор сформулировал два постулата (два основных положения).
• Электроны могут находиться в атоме только на определённых орбитах, причём, несмотря на ускоренное движение, излучения электромагнитных волн не происходит. Орбиты, соответствующие стационарным состояниям определяются условием
m e v n rn =
nh
.
2π
17. Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии
при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое.
233
hν = Wn − Wn −1 .
18. Применив свои постулаты к простейшему
атому водорода, Нильс Бор получил следующее
условие стационарности орбит
1 ee m e v 2n
.
=
4πε0 rn2
rn
Излучение фотона
19. Выразим из первого постулата скорость
электрона
vn =
nh
,
2πm e rn
возведём её в квадрат и подставим в уравнение радиуса орбиты
rn = n 2
h 2ε 0
πm ee 2
(n = 1,2,3K) .
20. Как следует из уравнения, радиусы разрешённых электронных орбит
пропорциональны n2. Если уравнение разрешить для главного квантового числа n = 1, то получится Боровский радиус r1 ≈ 5,28⋅10 − 11 м. Если ядро атома считать неподвижным, то электрон на орбите можно описать следующими энергетическими соотношениями, выраженными в системе СИ
⎫
⎪
⎪
2
⎪⎪
e
Π=
;
⎬
4πε0 rn
⎪
e2 ⎪
W =K+Π =−
.⎪
8πε0 rn ⎪⎭
K=
m e v 2n
e2
=
;
2
8πε0 rn
21. Минимальной энергией обладает электрон при n = 1. Энергия в произвольном разрешённом состоянии определится как
Wn = −
mee4 1
.
8h 2ε 02 n 2
22. В отличие от модели атома Резерфорда, постулаты Бора и записанные
выше уравнения смогли объяснить линейчатые спектры атомов, в частотности
атома водорода. Согласно второму постулату Бора излучаемый или поглощаемый квант энергии определяется условием
hν = W2 − W1 =
mee4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ − 2 ⎟⎟ .
2 2 ⎜ 2
8h ε0 ⎝ n1 n 2 ⎠
Уравнение можно записать для частоты и длины волны
m ee 4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ − 2 ⎟⎟ ,
3 2 ⎜ 2
8h ε 0 ⎝ n 1 n 2 ⎠
1
m e4 ⎛ 1
1⎞
= 2e 2 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .
λ 8h ε 0 c ⎝ n 1 n 2 ⎠
ν=
23. Сомножитель последнего уравнения оказался совпадающим в первом
приближении со значением постоянной Ридберга, полученной первоначально
экспериментальным путём
R=
m ee4
,
8h 2ε02c
234
что рассматривается, как одно из подтверждений справедливости квантовой
модели атома Бора. Бор показал, что для более точного вычисления постоянной
Ридберга необходимо внести корректировки в уравнения, связанные с подвижностью ядра.
24. Теория водородоподобного атома Нильса Бора позволила объяснить его
линейчатые спектры, обусловленные переходами электрона из одного стационарного состояния в другое, с меньшей энергией.
25. Каждая, регистрируемая экспериментально спектральная линия является свидетельством акта испускания фотона определённой длины волны, при
переходе электрона на низший энергетический уровень
26. Сам Нильс Бор лучше других осознавал недостатки своей теории, как
промежуточного звена между, планетарной моделью атома и квантовыми представлениями. Необходимость в корректировке теории напрашивалась по многим причинам, основной из которых являлась корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного поля.
27. То, что свет в зависимости от обстоятельств эксперимента вёл себя то
как волна, то как поток частиц, говорило о необходимости привлечения для
объяснения это странности кванта действия Макса Планка.
28. Идея теоретического объединения
частиц (корпускул) и волн принадлежала
французскому физику Луи де Бройлю,
который предположил, что движение
электрона или другой частицы с массой
покоя отличной от нуля по орбите, можно отождествить с волновым процессом.
29. Де Бройль провёл аналогию меду
энергией кванта и импульсом частицы
ε = hν ⇔ p = h λ ,
откуда длина волны де Бройля для электрона определяется как
λ=
h
.
me v
Волны де Бройля
30. Согласно гипотезе де Бройля стационарными будут те орбиты электрона, на которых укладывается целое число волн
2πrn = nλ .
31. Приписав частицам волновые свойства де Бройль объяснил такое необычное для классической физики явление как дифракция и интерференция
электронов на узкой щели.
20. Сумма масс ядер изотопа кислорода
масс ядра изотопа фтора
реакция вида:
18
9
18
8
О и протона 11 р меньше суммы
F и нейтрона 01 n . Возможна ли в принципе ядерная
18
8
O+11p→189 F+ 01n ?
Решение
1. Оценим вероятность нахождения в ядре электрона, имеющего равный,
практически, с протоном по модулю заряд, но обладающий в 1673 раза меньшей массой. Вот странность то, до настоящего времени не разрешенная: «По-
235
чему масса протона в 1673 раза больше, чем у электрона, а заряд по модулю одинаковый?». Найдём энергию электрона, соответствующую длине волны порядка размеров ядра
We =
p2
h2
=
≅ 5 ⋅ 10−11 Дж ≅ 3 ⋅ 108 эВ .
2m e 2m e R 2N
2. Потенциальная же энергия, обусловленная кулоновским взаимодействием электрона и ядра, составит
Πe =
Ze2
≅ 3 ⋅ 106 эВ ,
RN
другими словами Π e >> We , т.е. электрон не может быть удержан в ядре кулоновскими силами.
3. Массу ядер ввиду её относительной малости принято выражать в специальных единицах, атомных единицах массы. Следует иметь в виду, что
1а.е.м. =
1
m 12 ≅ 1,6582 ⋅ 10− 27 кг .
12 C
4. На основании уравнения Оливера Хевисайда, связывающего массу и
энергию, (E = mc2) единицу атомной массы можно представить в электронвольтах
1а.е.м. = 931,44 МэВ .
5. Разность между массой ядра в а.е.м. и его массовым числом А называется
дефектом массы ядра Δ
Δ=
М Z, A
−А.
(1 12)M С12
6. «Отрицательную» разность масс исходных ядер реакции
18
1
18
1
8 O +1 p→ 9 F+ 0 n
необходимо компенсировать подводом энергии извне, эта реакция в принципе
возможна, при наличии внешнего источника энергии.
21. Чему равен КПД идеальной тепловой машины, если за цикл машина
совершает полезную работу 50 Дж и отдаёт холодильнику 100 Дж?
Решение
1. Количество теплоты, получаемой машиной за цикл от нагревателя:
Q H = Q X + A;
2. КПД цикла:
Q
QX
η =1− X =1−
≈ 0,33 (33% );
QH
QX + A
22. К гальваническому элементу была подключена электрическая лампа.
Что произойдёт с силой тока в общей цепи, напряжение на этой лампе и мощностью тока на ней при подключении последовательно с первым, второго такого же элемента и последовательно с первой, второй такой же лампы:
1) увеличение;
2) уменьшение;
3) неизменность?
236
Решение
1. Сила тока в общей цепи:
ε
⎫
I1 =
;
⎪⎪
r+R
⎬ ⇒ I1 = I 2 ;
2ε
2ε
I2 =
=
;⎪
2r + 2R 2(r + R ) ⎪⎭
2. Напряжение на первой лампе при наличии второй:
U1 = I1R ; U 2 = I 2 R ; ⇒ U1 = U 2 ;
3. Мощность тока на первой лампе:
P1 = I1U1; P2 = I 2 U 2 ; ⇒ P1 = P2 ;
Сила тока
Напряжение
3
3
Мощность
3
23. Снять показания барометра и гигрометра.
Решение
1. Атмосферное давление:
p 0 ≈ 995 гПа;
2. Влажность воздуха:
ρ ≈ 61%;
24. В каком случае термометр наиболее точно покажет температуру окружающего воздуха при различном использовании листа бумаги и настольной
лампы в качестве источника тепла?
237
Решение
1. В первом случае, т.к. лист бумаги экранирует радиационное воздействие
на объём ртути. Во втором и третьем случаях термометр, наряду с воздухом
измеряет температуру листа бумаги.
Часть 2
25. Тело массой m = 2 кг под действием
силы F перемещается вверх по неподвижной шероховатой наклонной плоскости на
расстояние l = 5 м, поднимаясь на высоту
h = 3 м над уровнем опорной плоскости.
Модуль силы F = 30 Н. Какую работу совершила сила тяжести при подъёме, если коэффициент трения тела о плоскость μ =
0,5?
Решение
1. Работа силы тяжести в данном случае
будет равна разности потенциальных энергий тела в начальном и конечном положении. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять энергию тела в начале
подъёма, то:
A mg = Π1 − Π 2 = 0 − mgh = −60Дж;
26. Идеальный газ получил количество теплоты 300 Дж, и при этом его
внутренняя энергия увеличилась на 100 Дж. Чему равна работа, совершённая
газом?
Решение
δQ = δA + dU; ⇒ δA = δQ - dU = 200 Дж;
27. В колебательном LC-контуре с индуктивностью катушки L = 0,5 Гн возникают свободные незатухающие электромагнитные колебания с циклической
частотой ω = 1000 с − 1. Амплитуда колебаний силы тока в контуре im = 0,01 А.
Чему равна амплитуда колебаний напряжения на катушке?
Решение
1. Реактивное сопротивление катушки на заданной частоте:
R L = ωL ;
2. Амплитудное значение напряжения на катушке:
u m = i m R L = i m ωL = 5 B;
238