1. Квазистационарные явления Урок 25 a

реклама
1. Квазистационарные явления
1
1. Квазистационарные явления
Урок 25
Сохранение магнитного потока
1.1. (Задача 6.23) Внутри сверхпроводящего бесконечного цилиндра с сечением
S1 расположены аксиально симметрично бесконечный соленоид
с сечением S2 и вокруг него одиночный измерительный виток с
площадью S3 . В соленоиде создается магнитное поле H. Найти
изменение магнитного потока через контур витка.
Решение В момент времени t = 0 магнитный поток Φ = 0. После включения
магнитного поля H в соленоиде по сверхпроводящему внешнему цилиндру потечет
такой ток, который обеспечит равенство нулю полного потока через сверхпроводящий
цилиндр. Этот ток создаст внутри цилиндра дополнительное поле H1 . Из условия
равенства нулю полного тока имеем
HS2 − H1 (S1 − S2 ) = 0,
откуда
S2
.
S1 − S2
Изменение потока через виток с площадью S3
H1 = H
∆Φ3 = H1 · (S1 − S3 )
откуда
∆Φ3 =
S2 · (S1 − S3 )
H.
S1 − S2
1.2. (Задача 6.24) Две параллельные шины замкнуты на нижнем конце неподвижной
перемычкой с размерами a × b, а сверху – «поршнем» веса P и
b a
размерами a × b. Все материалы сверхпроводящие, поле между
h шинами H0 . Трением пренебречь. Найти зависимость h(t), считая поле внутри контура однородным (h À a, b) и пренебрегая
обратным полем.
Решение Поток через прямоугольное сечение h × a сохраняется, поэтому
Φ0 = h0 aH0 = Φ = haH,
откуда получаем в любой момент времени
H=
H0 h 0
.
h
2
Давление со стороны замкнутого пространства (вверх)
p=
H2
H 2 h2
= 0 20 .
8π
8πh
Тогда уравнение движения поршня весом P
mḧ = −P +
H2
H 2 h2
ab = −P + 20 0 ab
8π
h 8π
или, учитывая, что P = mg и вводя обозначение A =
ḧ = −g +
H02 h20
8πm ab,
получаем
A
.
h2
Введя переменную F (h) = ḣ, получим уравнение
F
dF
A
= −g + 2 .
dh
h
dF 2
A
= −gdh + 2 dh,
2
h
откуда
F 2 = −2gh − 2
A
+ C1 .
h
При h = h0 (в начальный момент времени) F = 0, откуда получаем
C1 = 2gh0 + 2
A
.
h0
Уравнение F (h) = 0 имеет еще одно решение, т.е.
µ
2
F = 0 = 2g(h0 − h) − 2A
1
1
−
h h0
¶
,
откуда
h1 =
A
H 2 ab
= h0 0 .
gh0
8πmg
H 2 ab
0
таким образом поршень будет осуществлять колебания между h0 и h0 8πmg
.
1. Квазистационарные явления
3
1.3. (Задача 6.25) Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией L, в котором течет ток J, вдвигается полностью в однородное магнитное поле H0 . Найти ток
J 0 , который будет после этого протекать по кольцу. Площадь осевого сечения кольца
– S. Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением H0 угол θ.
Решение Поток через кольцо в начальный момент времени равен
Φ0 =
LJ
.
c
Дополнительный поток, который появился в связи с появлением внешнего поля
∆Φ = H0 cos θ · S.
Поскольку поток через сверхпроводящее кольцо не должен изменяться, в кольце пойдет другой ток J 0
LJ
LJ 0
Φ0 =
=
+ H0 cos θ · S,
c
c
откуда
LJ 0
LJ
H0 S cos θ · c
=
−
c
c
L
или
cH0 S
J0 = J −
cos θ.
L
1.4. (Задача 6.26) Проводящее кольцо с самоиндукцией L находится в нормальном состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный поток через контур кольца
равен Φ0 ). Затем температура понижается и кольцо переводится в сверхпроводящее
состояние. Какой ток будет течь по кольцу, если теперь выключить внешнее магнитное
поле?
Решение
LI
Φ0 =
c
I=
cΦ0
.
L
1.5. (Задача 6.27) В постоянном однородном магнитном поле с индукцией B
находится круглое, недеформируемое, достаточно малого сечения сверхпроводящее
кольцо радиуса R. В начальный момент плоскость кольца параллельна направлению
магнитного поля, а ток в кольце отсутствует. Определить силу тока в кольце сразу
после того, как оно было повернуто так, что плоскость кольца стала перпендикулярна
к линиям магнитного поля. Найти затраченную работу.
4
Решение Если индуктивность кольца L, то изменение магнитного потока от внешнего поля после поворота
∆Φ = BπR2 .
Это изменение компенсируется током I, которое возникнет в кольце
∆Φ =
LI
,
c
откуда
I=
cBπR2
.
L
работа, которая совершается при этом
A=
B 2 π 2 R4
Φ2
=
.
2L
2L
1.6. (Задача 6.29) Сверхпроводящий короткозамкнутый соленоид с током J,
имеющий N плотно намотанных витков, длину `, радиус витка a (` À a), растягивают в длину в два раза. Какую работу нужно при этом затратить?
Решение Магнитное поле внутри соленоида в начальный момент времени (по теореме Стокса)
4π
H0 ` =
N I,
c
а поток через поперечное сечение соленоида
Φ0 = H0 S.
После того, как соленоид растянули, поле внутри определяется из соотношения
2H1 ` =
4πN I1
,
c
а поток не должен измениться - соленоид сверхпроводящий и короткозамкнутый.
Φ1 = H1 S = H0 S.
Откуда получаем H1 = H0 , I1 = 2I. Работа по растяжению, следовательно
A = `S ·
H2
16π 2 N 2 I 2
2N 2 I 2 π 2 a2
= `S 2 2
=
.
8π
` c 8π
`c2
1. Квазистационарные явления
5
1.7. (Задача 6.33) Медный тонкостенный цилиндр массы m и длины ` внесли в
однородное магнитное поле параллельное оси цилиндра, после чего за очень короткий
интервал времени τ поле быстро увеличили до значения H1 и выключили. Известно,
что цилиндр сжался без разрушения («магнитное обжатие»). Считая цилиндр длинным, а его форму после обжатия – цилиндрической, найти поле внутри цилиндра
сразу после «обжатия» (H1 = 5 кГс, H0 = 1 кГс, τ = 10−6 с, m/` = 1 г/см.
Силами упругой деформации пренебречь).
Решение Предположим, что за время t, 0 ≤ t ≤ τ когда поле снаружи стало H1 ,
радиус цилиндра не успел измениться. Магнитное поле внутри определяется из закона сохранения магнитного потока через поперечное сечение цилиндра (приближение
«сверхпроводимости» тонкого медного цилиндра)
Φ = H0 πr02 = H(r)πr2 ,
где r– текущий радиус сжимающегося цилиндра. Тогда поле внутри цилиндра
H(r) = H0
r02
.
r2
Уравнение движения элемента цилиндра длиной rδϕ вдоль радиуса под действием
разности давлений магнитных полей описывается уравнением
·
¸
r4
δϕ
rδϕ`
mr̈ = −
H12 − H02 04 ,
2π
8π
r
или, упрощая, получим
r̈ = −
·
¸
r`
r4
H12 − H02 04 .
4m
r
Домножив обе части уравнения на ṙ, можно привести уравнение к виду
·
¸
d 2
`
d
d 1
ṙ = −
H12 r2 + H02 r04
,
dt
4m
dt
dt r2
откуда получаем решение
·
¸
4
`
2 r0
2 2
ṙ = −
H1 r + H0 2 + C 1 .
4m
r
2
Из начальных условий получим
C1 =
¤
` £ 2 2
H1 r0 + H02 r02 .
4m
6
Считая, как указано выше, что цилиндр не сдвинулся с места при t, 0 ≤ t ≤ τ , т.е.
ṙ = 0. Тогда
¡
¢
H12 r4 + H02 r04 − H12 + H02 r02 r2 = 0,
откуда, решая квадратное уравнение, получим
r = r0
H2
H0
, и H = 1.
H1
H0
Скачать