п ж я рв ср пп р пщв ж о н ь ь арь ж п ж • лж тт п рь ж п ж р ь ср с ж

Flerdimensionell analys för W
Lektion 18
Viktigt idag:
Integraler
• Trippelintegraler, denition oh beräkning.
• Beräkna volymer med hjälp av dubbelintegraler.
• Beräkna volym med hjälp av trippelintegral.
• Massentrum för plana oh tredimensionella kroppar.
Integrationsteknik
• Illustrera ett område i rummet utifrån olikheter.
• Sätta upp gränser i trippelintegraler.
1
I en trippelintegral vill man integrera en funktion av tre variabler över ett område i rummet.
Om integranden är kontinuerlig oh området är vettigt kan man deniera trippelintegralen
som gränsvärdet av Riemannsummor vars nhet går mot noll.
De esta trippelintegraler kan beräknas med hjälp av sats 4C (sid 261) som reduerar problemet till enkelintegration+ dubbelintegration.
För att satsen skall kunna användas krävs att området (i de givna koordinaterna) har formen
Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D , ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)} ,
där D är ett område i xy -planet oh ϕ oh ψ är två kontinuerliga funktioner på D. Området
begränsas alltså av att (x, y) ∈ D oh att för givna (x, y) så får z variera mellan ϕ(x, y) oh
ψ(x, y), se gur 4.29 på sid 261.
Sats 4C säger nu att
ZZ
ZZZ
F (x, y) dxdy ,
f (x, y, z) dxdydz =
Ω
D
där
F (x, y) =
Z
ψ(x,y)
f (x, y, z) dz .
ϕ(x,y)
Vi får alltså följande reept:
•Skissera området i rummet.
•Rita ut oh beskriv projektionen av området i xy -planet (projektionen kallas D).
•Välj en godtyklig punkt i D. Avgör mellan vilka gränser z varierar för givna värden på x
oh y . Försök se det linjestyket framför dig! (Samma idé som när man sätter upp gränser i
dubbelintegraler.)
•Beräkna F (x, y) (en enkelintegral).
RR
•Beräkna dubbelintegralen D F (x, y) dxdy .
Se på exempel 4.18 oh övertyga er om att ni förstår varifrån gränserna i första oh andra
steget kommer.
2
Analysera följande områden i rummet oh beskriv dem så som man behöver för att kunna
integrera över dem, dvs identiera området D oh funktionerna ϕ(x, y) oh ψ(x, y). Försök
rita området antingen för hand eller med hjälp av Maple, beroende på vilket som passar
bäst:
a) Ett axelparallellt rätblok.
b) Enhetsklotet.
) Området mellan xy -planet oh paraboloiden z = 4 − x2 − y 2 .
d) Skärningen mellan enhetsklotet oh konen z 2 ≥ x2 + y 2 , z ≥ 0 (en glasstrutsliknande
kropp).
e) En tetraeder med hörn i (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 2, 0) oh (1, 0, 0).
3
Nu är ni färdiga att beräkna trippelintegraler. Maple gör som vanligt integrationsjobbet,
medan ni måste klara ut gränserna enligt metoden i de två första punkterna.
Övnuppg 4.27, 4.31 oh 4.34 på sid 266267.
4
Ibland är gränserna givna på ett bekvämt sätt redan i uppgiften. Skissera området i alla fall!
Här ett exempel på ett Maplekommando som ritar ut området D oh de båda ytorna i
övningsuppgift 4.28.
> plot3d({0,2*y,1+y2},y=0..1-x,x=0..1);
Man använder klammer för att få era funktionsytor i samma gur. Det går okså att rita
en i taget oh använda display:
>A:=plot3d(0,y=0..1-x,x=0..1):B:=plot3d(2*y,y=0..1-x,x=0..1):
>C:=plot3d(1+y2,y=0..1-x,x=0..1):
> display(A,B,C);
Övnuppg 4.28, 4.33 i boken. Övn 7.2 oh 7.3 i övningshäftet.
5
Volymer
kan beräknas på två sätt, dels som dubbelintegraler, dels som trippelintegraler.
Metod I. Dubbelintegral. Se typexempel 4.14.
Metod II. Trippelintegral. Om man integrerar funktionen f (x, y, z) = 1 över en kropp så blir
resultatet kroppens volym. Förklaring nns i ex 4.16 oh texten ovanför.
Uppgift 4.18 b) på sid 256. Båda metoderna ger samma dubbelintegral
6
Massentrum.
Titta tillbaka på exempel 4.3 med formlerna för massentrum för en tunn
massbelagd skiva.
(Om ni hinner: Räkna övnuppg 4.16 a) oh b) på sid 256.)
Motsvarande i tre dimensioner ges av formlerna överst på sidan 264. Titta på ex 4.19.
Räkna övnuppg 4.35 a) på sid 267.
Inför lektion 19
A
Övn 7.4 i övningshäftet. Övn 8.2, 8.3 i övningshäftet.
Överkurs: Övnuppg 4.37 på sid 268 i boken (Ledning: Dela upp pyramiden i fyra områden.)
B
Cylinderkoordinater i rummet får man helt enkelt genom att införa polära koordinater i ett
av koordinatplanen (oftast xy -planet) oh behålla den tredje koordinaten. Läs i boken, sid
291.
Det nns en formel för beräkning av trippelintegraler med ylinderkoordinater i sats 5D. Ni
känner igen faktorn r från motsvarande formel med polära koordinater i dubbelintegraler.
I exempel 5.7 visas hur formeln används.
C
Sfäriska koordinater introduerades i exempel 2.37 (sid 131). Läs det exemplet oh fortsätt
sedan till sidan 295. Se på formeln för sfäriska koordinater i trippelintegraler i sats 5E.
En viktig fråga som vi återkommer till nästa lektion: Varför varierar ena vinkeln mellan 0
oh 2π medan den andra bara varierar mellan 0 oh π ?