ПРИЛОЖЕНИЕ 305

ПРИЛОЖЕНИЕ
Ниже приводятся некоторые математические дополнения, поясняющие
и расширяющие основной текст. Строгие аналитические решения некоторых
задач (искажение поля токоотводом, уравнения для построения картины поля
при сдвиге обкладок) получены впервые.
Интеграл Кристоффеля — Шварца. Поле в конденсаторном диэлектрике,
имеющее форму многоугольника с границей в виде составленной из отрезков
прямых ломаной линии, является плоскопараллельным (двумерным) и конформные преобразования его наиболее просто и удобно выполняются с помощью интеграла Кристоффеля — Шварца. Отображающая функция является
аналитической функцией комплексного переменного, удовлетворяющей условиям Коши — Римана. Производная отображающей функции f(z), которую для
краткости будем обозначать также z, связана с параметрами геометрии поля
соотношением
где П—символ произведения; С—постоянная, определяемая из условий
задачи; а;—координаты вершин многоугольника на действительной оси
ζ плоскости t, расположенные в той же последовательности, в которой они
встречались при обходе многоугольника по его контуру; αi — внутренний угол
i-й вершины, выраженный в долях π; μi=1-αi—угол в долях π, дополняющий
угол αi до 1.
Интегрируя его, получим отображающую функцию
где С1—постоянная интегрирования, определяемая, как и С, из условий задачи.
При конформных отображениях изменяются конфигурация и линейные
размеры обкладок, плотности зарядов на них, напряженности поля, но
остаются неизменными потенциалы обкладок, суммарные заряды на них или
соответствующих их частях, собственные и взаимные емкости обкладок
и общая запасаемая полем потенциальная энергия.
305
Модуль приращения \Az\ есть расстояние между точками z и z+Дг
в плоскости г, а модуль | Д/| — расстояние;»между точками г и t + At в плоскости
/. Модуль отношения |Д//Дг| показывает, во сколько раз изменяется расстояние
между соответствующими точками при отображении в плоскость t с помощью
функции / ( г ) области, заданной в плоскости г. Он называется модулем
коэффициента преобразования и является функцией координат точки. При
конформном отображении электрического поля он представляет коэффициент
искажения поля. В общем случае коэффициент преобразования, как и коэффициент искажения, является величиной комплексной.
Ширина зоны искажения поля. Используя формулу (2.13), определяем, на
каком расстоянии х от края обкладки значение Е% отличается от Е0 не
более чем на р (в процентах). Для решения задачи нужно при заданном
v найти значение и, удовлетворяющее уравнению
(П.1)
Приближенное решение его при Р<10% и пренебрежения р2 имеет вид
(П.2)
Для и = (29/30)(d/2) и P = l % значения ехр(2тсu/d) равны 0,01 и 1,98 и теперь
и—— 4,6rf/2n и м = 0,683с//2л. Из (2.12а) имеем х=и—ехр(2лм/^), откуда
— 4,610й?/2я и лг= — 1,297й?/2тс. Одно значение соответствует внутренним,
другое—наружным частям секции. Край обкладки имеет абсциссу x=—d/2n
и абсолютные значения расстояния от него до заданной точки составляют:
внутри секции х,=2,610d/2n и снаружи х2—0,291 d/2п.
Уравнения для построения картины поля при сдвиге обкладок. В соответствии с данными рис. 2.4 производная первой (из плоскости z в плоскость
г) отображающей функции имеет вид
(П.З)
Постоянная С определяется подстановкой в (П.З) t=pe i v и интегрированием
его по ф в пределах от ф = 0 до ф = я по окружности бесконечно малого
радиуса, проведенной вокруг точки (=0, которой в плоскости z соответствует
точка г=id, и С— —d/na. После подстановки ее в (П.З) и интегрирования
получим
(П.6а)
(П.6б)
Используя полученные формулы, можно определить тангенс угла наклона
tgβ (см. с. 32) — вектора напряженности в любой точке поля. Рассмотрим
его поведение при изменении а на примере точки В. При а — 1 (отсутствие
сдвига) β = π/2, т. е. вектор напряженности перпендикулярен оси х. С увеличением а наклон его будет меняться, достигая предельного значения при а= ∞.
Практически предельное значение достигается при а = 100, чему соответствует
λ. = 17,4 d.
Искажение поля токоотводом. В соответствии с данными рис. 2.6 производная первой отображающей функции имеет вид
(П.7)
iφ
Постоянные а и С находятся подстановкой в (П.7) t = ρe и интегрированием по φ по окружностям, проведенным вокруг точки t=0
в пределах от 0 до π. Окружность при определении C имеет бесконечно
большой радиус, чему в плоскости z соответствует z=id, при определении
а—бесконечно малый, чему соответствует z=i(d—d т ), где dт—толщина
токоотвода. В результате получим C = d/π и a = d/(d—dт). Интегрирование
(П.7) дает
(П.8)
Постоянная интегрирования С1 = 0. что проверяется подстановкой в (П.8)
t = + 1 , чему соответствует z=id т . Аналогично находится и вторая отображающая функция
(П.9)
Из (П.8), (П.9) и (2.9) следует формула (2.24).
Выражая из (П.9) t через w и заменяя w = u + iv, после подстановки его
в (П.8) получаем
(П.4)
(П. 10)
Подставляя в (П.З) t= — 1, чему в плоскости г соответствует z=b+id,
выбирая b= — d(2a— \)/2па, получаем, что постоянная интегрирования Ct =0.
Значению t = a соответствует z=Xd—b. Подставляя их в (П.З) и преобразуя,
получаем формулу (2.20). Вторая отображающая функция (из плоскости
t в плоскость w) имеет вид
в котором P1, Р 2 , Q1, Q2 есть действительные величины, являющиеся
функциями u, v, d, dт. Заменяя в (П. 10) z = x + i y и используя соотношение
(П.5)
Используя (2.9), (П.4) и (П.5), получаем формулу (2.24). Выражая далёе
t через w из (П.5), заменяя w — u+iv и подставляя в (П.4), после преобразований
получаем уравнения для построения картины поля
306
получаем уравнения для построения картины поля
(П. 11а)
307
(П. 116)
в которых