21. Импульс и энергия электромагнитного поля

ГЛАВА 21
Импульс и энергия электромагнитного поля
Энергия и импульс являются универсальными величинами для всех физических
объектов. Если электромагнитное поле является таким же самостоятельным объектом, как
и частица, то оно должно обладать энергией и импульсом.
Однако определение кинетической и потенциальной энергии, а также и импульса,
данные в механике для материальной точки, отнюдь не распространяются на новый физический объект - поле.
Как же ввести понятия энергии и импульса для поля? В данной главе мы получим
эти величины как результат преобразований уравнения движения частицы в поле и уравнений самого поля (уравнений Максвелла). Идея состоит в следующем.
Надо рассмотреть механические величины энергию и импульс, и законы их сохранения для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поля и заряженных частиц (материальных точек). В общий баланс энергии, кроме кинетических энергий частиц,
войдет новая для механики величина, которую следует отождествить с энергией поля.
Аналогично, неизвестную в механике величину, входящую в закон сохранения импульса
рассматриваемой системы, определим как импульс поля.
§ 21.1. Импульс и закон сохранения импульса электромагнитного поля
Приступим к вычислению импульса замкнутой системы, состоящей из релятивистских зарядов и электромагнитного поля. Каждая частица массой mi и движущаяся со ско
ростью υ i обладает импульсом


miυi
(21.1.1)
pi =
1 − υi2 c 2

Под действием силы Лоренца (20.1.4) импульс заряженной частицы pi меняется в
соответствии с релятивистским уравнением движения (20.1.5)
 q 
d 
(21.1.2)
pi = qi E + i υi B .
dt
c
Для подсчета изменения импульса всех частиц системы необходимо просуммировать все эти уравнения движения

d
  q 
(21.1.3)
pi = ∑  qi E + i υi B  .
∑
dt
c



В левой части этого равенства суммирование дает импульс всех частиц системы P :



miυi
P = ∑ pi = ∑
.
(21.1.4)
1 − υi2 c 2
Сумма в правой части (3) дает силу, действующую на все частицы системы со стороны электромагнитного поля
[ ]
[ ]
316
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
[ ]

  q 
(21.1.5)
F = ∑  qi E + i υi B  .
c


Используя эти обозначения (4) и (5), перепишем уравнение (3) в следующем виде
d  
(21.1.6)
P=F.
dt
Перейдем к непрерывному распределению зарядов в некоторой области пространства. Непрерывному распределению зарядов соответствует и непрерывное распределение
масс носителей зарядов. Обозначим плотность массы:
dm
.
ρm =
dV

Масса dm , движущаяся со скоростью υ , обладает импульсом



dmυ
ρ mυ
=
dp =
dV .
1 − υ 2 c2
1 − υ 2 c2
Полный импульс системы частиц (4) примет вид


ρ mυ

(21.1.7)
dV .
P = ∫ dp = ∫
1 − υ 2 c2
dq
Пусть заряды распределены с плотностью ρ = . Заряд dq = ρdV , движущийся со
dV



скоростью υ , создает плотность тока j = ρυ . На заряд dq со стороны электромагнитного
поля действует сила Лоренца (20.1.4):

 dq     ρ   
  1  
υ B =  ρE + υ B dV =  ρE + j B dV .
dF = dqE +
c
c
c




Обозначив

 1 
(21.1.8)
f = ρE + j B
c
перепишем последнее выражение в следующем виде
 
dF = fdV .
Тогда проинтегрировав это соотношение по объему, занятому зарядами, найдем
силу, действующую на весь заряд системы (на конечный объем заряда) со стороны электромагнитного поля



(21.1.9)
F = ∫ dF = ∫ fdV .

Смысл величины f , определенной формулой (8), очевиден. Это плотность силы Лоренца,
т.е. сила, отнесенная к единице объема или сила, действующая на заряды в единице объема.



Выразим вектор f через векторы поля E и B из уравнений Максвелла, т.е. изба
вимся от величин ρ и j .


Нам понадобятся следующие тождества, справедливые для любых векторов a и b :
(А.11.24), (А.11.25), (А.1.5), (А.11.22). Выпишем их:

 
 
(21.1.10а)
div ab = b (rota ) − a (rotb ) ,







 

(21.1.10б)
rot ab = a divb − b (diva ) + b ∇ a a − (a∇b )b ,
    
 
(21.1.10в)
a b c = b (ac ) − c ab ,

 
(21.1.10г)
div(φa ) = φ ⋅ diva + a ⋅ gradφ ,
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ( )
( )
[ [ ]]
( )
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
317
где φ - скалярная функция.



Плотности тока j выразим через E и B из уравнения Максвелла (18.6.4):

 1 ∂E
 c
,
(21.1.11)
j=
rotB −
4π
4π ∂t
и подставим в выражение для плотности силы Лоренца (8):


 1
 
1  ∂E  
(21.1.12)
f = ρE +
rotB ⋅ B −
 B .
4π
4πc  ∂t 
Из очевидного тождества


∂    ∂E     ∂B 
EB =  B  +  E  .
∂t
 ∂t   ∂t 
Найдем


 ∂E   ∂     ∂B 
EB −  E 
 B =
 ∂t  ∂t
 ∂t 
и подставим в последнее слагаемое формулы (12). Получим:


 1
 
1 ∂ 
1   ∂B 
f = ρE +
rotB ⋅ B −
EB +
E  .
4π
4πc ∂t
4πc  ∂t 



∂B
∂B
Заменим в этом выражении величину
из уравнения (18.6.2) на
= −c ⋅ rotE . Получим
∂t
∂t

 1
 




1 ∂
1
f = ρE +
rotB ⋅ B −
EB −
ErotE =
4π
4πc ∂t
4π
 1
 
 
1 ∂ 
(21.1.13)
rotE ⋅ E + rotB ⋅ B .
=−
EB + ρE +
4πc ∂t
4π
Подставим полученное выражение в определение силы (9):

 
 

1 d 
1
(21.1.14)
E
B
dV
+
E
dV
+
rot
E
⋅
E
dV
+
rot
B
⋅ B dV .
ρ
F=−
∫
∫
4πc dt ∫
4π ∫
Имея в виду фиксированный объем V , в первом слагаемом справа мы поменяли
местами операции интегрирования по этому объему и частной производной по времени.
∂
d
При этом по отношению ко всему объему символ
заменится на
.
dt
∂t
Последние три объемных интеграла в формуле (14) сводятся к поверхностным интегралам. При первом чтении можно пропустить доказательство этого утверждения и перейти непосредственно к формуле (30).


В выражение (14) входят два симметричных относительно векторов E и B интеграла
 
 
и
rot
E
⋅
E
dV
rot
B
⋅ B dV .
∫
∫
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
{[
[
] [
{[
]
[
]
]}
[
] }
]
Разобравшись с одним из них, найдем и другое. Займемся преобразованием выра 
жения rotE ⋅ E . Для этого умножим ее скалярно на произвольный, но постоянный по ве
личине и направлению вектор k и для удобства обозначим получившуюся величину

 
(21.1.15)
h = k rotE ⋅ E .
Проведя в ней циклическую перестановку векторов, получим
 


(21.1.16)
h = rotE Ek = Ek rotE .
[
]
[
]
[ ] [ ]
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
318
Воспользуемся тождеством (10а). Положив
 
 
и
a=E,
b = Ek
перепишем (10а)
 

 

div E Ek = Ek rotE − Erot Ek .
Стало быть,


 


Ek rotE = div E Ek + Erot Ek
[ ]
[ [ ]] [ ]
[ ]
[ [ ]]
[ ]
[ ]
и тогда формула (16) примет следующий вид


 


(21.1.17)
h = Ek rotE = div E Ek + Erot Ek .
 


Вектор rot Ek преобразуем, используя тождество (10б). Заменяя в ней a на E и b

на k , можем записать
 


 
 

rot Ek = E divk − k ⋅ divE + k ∇ E E − E∇ k k .

Ввиду постоянства вектора k имеем



divk = 0 и E∇ k k = 0 .
Значит


 

(21.1.18)
rot Ek = − k ⋅ divE + k ∇ E E .
Подставив (18) в (17), получим

  

 
(21.1.19)
h = div E Ek − Ek divE + E k ∇ E E .
Величина

∂
∂
∂
+ kz
+ ky
k∇ = kx
∂x
∂y
∂z
является скалярным оператором и его можно вносить под знак умножения векторов, помня о его дифференциальном свойстве. Тогда
 
 1
1
(21.1.20)
E k ∇ E E = k ∇E 2 ≡ k gradE 2 .
2
2
Кроме того, тождество (10г) при
 
φ = E2 и a = k

дает (с учетом divk = 0 )
 


div k E 2 = E 2 ⋅ divk + k ⋅ gradE 2 = k ⋅ gradE 2 .
Значит (20) примет вид

 
 1
(21.1.21)
E k ∇ E E = div k E 2 .
2
В таком случае вместо (19) можем записать


 1
 
(21.1.22)
h = div E Ek − Ek divE + div k E 2 .
2
В соответствии с тождеством (10в), двойное векторное произведение, имеющееся в
этом выражении, можем представить в следующем виде:
 
  
E Ek = E Ek − k E 2 .
Используя это соотношение, преобразуем формулу (22):


 

 1
h = div E Ek − div k E 2 − Ek divE + div k E 2 =
2
 2

 
 1
(21.1.23)
= div E Ek − k E divE − div k E .
2
[ ]
[ [ ]]
[ ]
[ ] ( )
[ ]
( ) ( )
(
[ ]
[ [ ]] ( )
)
( )
( )
( )
( )
( )
[ [ ]] ( )
( )
( )
[ [ ]] ( )
( )
( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( )
( )
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
319
Вспоминая обозначение (15), можем (23) переписать в следующем виде



 1
 
 
k rotE ⋅ E = div E Ek − k E divE − div k E 2 .
2
Проинтегрируем обе части этого выражения по некоторому объему V
 2


 
 

1
div
k
E dV .
⋅
k
rot
E
E
d
V
k
E
div
E
dV
=
div
E
E
k
d
V
−
−
∫
∫
∫
2∫
К первому и третьему интегралу в правой части применим теорему Гаусса, т.е. заменим интегрирование по объему V интегрированием по поверхности Ω , ограничивающей этот объем:


 
  

1  2 
(21.1.24)
∫ k rotE ⋅ E dV = ∫ E Ek dΩ − ∫ k E divEdV − 2 ∫ k E dΩ ,
 

где dΩ = n dΩ и n - внешняя нормаль к поверхности dΩ .
Перепишем (24), объединив поверхностные интегралы:



 
     1  2 
−
k
rot
E
⋅
E
d
V
k
E
div
E
dV .
=
E
n
E
k
−
k
E
n
d
Ω


∫
∫
∫
2


Вектор k - постоянный вектор и теперь его можно вынести из-под интеграла
     1 

  
 
k ∫ rotE ⋅ E dV = k ∫  E En − E 2 n dΩ − k ∫ EdivEdV .
2



Ввиду произвольности вектора k можем записать
 
 
    1 2 
(21.1.25)
∫ rotE ⋅ E dV = ∫ E En − 2 E n dΩ − ∫ EdivEdV .
Итак, мы получили в преобразованном виде один из интегралов, входящих в формулу (14) (третий в правой части). Для получения тождества (25) были использованы

только векторные свойства величины E , т.е. тождество (25) справедливо для любого вектора.
В (14) входит и другой интеграл
 
∫ rotB ⋅ B dV .

Он симметричен (25) и, заменяя в (25) вектор E на вектор B , получим
 
 
    1 2 
(21.1.26)
=
−
−
rot
B
⋅
B
d
V
B
B
n
B
n
d
Ω
B

∫ divBdV .
∫
∫ 
2



Воспользуемся тем, что вектора E и B удовлетворяют уравнениям Максвелла. Тогда


и divB = 0 .
divE = 4πρ
Значит (25) и (26) примут вид
 

    1 2 
4
π
ρ
=
−
+
rot
E
⋅
E
d
V
E
dV
∫ E En − 2 E n dΩ ,
∫
∫
 
    1 2 
∫ rotB ⋅ B dV = ∫ B Bn − 2 B n dΩ .
Подставим эти интегралы в формулу для силы (14):



1 d 
1     1 2 
1     1 2 
ρ
ρ
F =−
E
B
dV
E
dV
E
dV
E
E
n
E
n
d
Ω
+
+
−
+
−

 B Bn − B n dΩ

∫
∫
4πc dt ∫
4π ∫ 
2
4π ∫ 
2


Проведя очевидное сокращение и группировку слагаемых, получим выражение для
силы, действующей на заряд, занимающий некоторый объем в электромагнитном поле,
[
[
]
]
( ( ))
( )
( )
[
]
( )
[
]
( )( )
[
]
( )
[
]
( )
[
[ ]
[
]
[
]
[
]
( )
( ( )) ( )
( )
( )
]
( )
( )
( )
( )
( )
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
320
[ ]
( ) ( )

    
1 d 
1 1 2
2 
(21.1.27)
F =−
EB dV −
 E + B n − E En − B Bn dΩ .
∫
∫
4πc dt
4π  2

Из определения (27) следует, второй интеграл дает векторную величину. Напом

ним, что вектор n - это нормаль к поверхности интегрирования. Вектор n под интегралом


умножается скалярно на некоторую величину, составленную из векторов поля E и B .
Для начала попробуем разобраться, что это за величина: или скаляр, или вектор или тензор?
Ответ на этот вопрос можно получить, если сможем понять их правила преобразования при переходе от одной системы координат к другой (в трехмерном пространстве).
Интересующий нас поверхностный интеграл является вектором. Распишем этот
вектор через его компоненты. Для сокращения записи договоримся x -ую проекцию векторов обозначать индексом 1, y -ую проекцию индексом 2, z -ую проекцию индексом 3.
  
Напомним орты декартовых осей: e1 , e2 , e3 . Тогда векторы поля запишутся так:
3
3
 
 






E = e1E1 + e2 E2 + e3 E3 = ∑ eα Eα ,
B = e1B1 + e2 B2 + e3 B3 = ∑ eα Bα .
α =1
α =1

Нормаль n к поверхности Ω предстанет в следующем виде
3
 



n = e1n1 + e2 n2 + e3n3 = ∑ eα nα .
(
)
α =1
Используя (А.7.9) запишем нужное нам соотношение
3
nα = ∑ nβ δαi .
β =1
Далее встретятся такие скалярные произведения векторов:
3
 3

En = E1n1 + E2 n2 + E3 n3 = ∑ Eβ nβ , Bn = ∑ Bβ nβ .
β =1
β =1
С учетом всех этих обозначений распишем второй интеграл в формуле (27)
    
1 1 2
2 
 E + B n − E En − B Bn dΩ =
∫
4π  2


 1
1
eα  E 2 + B 2 nα − Eα ∑ Eβ nβ − Bα ∑ Bβ nβ dΩ =
=
∑
∫
4π α  2
β
β


 1 2
1
2
−
=
e
E
+
B
n
δ
−
E
E
n
B
B
n

dΩ =
∑
∑
∑
∑
α
β
αβ
α
β
β
α
β
β
4π ∫ α  2
β
β
β

(
(
(
( ) ( )
)
)
)
 
+ B 2 δαβ − Eα Eβ − Bα Bβ nβ dΩ .
 
Выражение, стоящее в фигурных скобках, обозначим σ αβ , т.е.
=
1
4π
 
eα  ∑  (E
∫∑
α
 β 2
σ αβ =
1
4π
1
(
2
)
)
1 2

2
 E + B δαβ − Eα Eβ − Bα Bβ  .
2

(21.1.28)
Итак, мы можем записать
    

 
1 1 2
2 
(21.1.29)
 E + B n − E En − B Bn dΩ = ∫ ∑ eα  ∑ σ αβ nβ dΩ
∫
4π  2

α
β


В таком случае, подставляя (29) в формулу (27) получим выражение для силы, действующей на заряд со стороны электромагнитного поля,
(
)
( ) ( )
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
[ ]
 

1 d 
F =−
EB dV −
4πc dt ∫

eα  ∑ σ αβ nβ dΩ .
∫∑
α
 β

321
(21.1.30)
То, что мы обозначили σ αβ - это девять величин, которые, как следует из вида
формулы (28), будут преобразовываться как произведения компонент двух трехмерных
векторов, т.е. σ αβ - это компоненты тензора второго ранга. Физический смысл этого тензора, как и смысл первого слагаемого в (30), предстоит выяснить.
Пока роль тензора σ αβ состоит в том, что он позволяет свести задачу о нахождении
силы, действующей в электромагнитном поле на некоторый объем вещества, к вычислению поверхностного интеграла.


Сила F определяет скорость изменения импульса P системы заряженных частиц
под действием электромагнитного поля (6), т.е. определяет количество импульса, передаваемое электромагнитным полем частицам в конечном объеме V в единицу времени. Подставив (30) в уравнение (6), получим

 
d 
1 d 
(21.1.31)
P= −
EB dV − ∫ ∑ eα  ∑ σ αβ nβ dΩ .
∫
dt
4πc dt
α
 β

Представим это равенство в следующем виде


 
d 
1

(21.1.32)
E
B dV  = − ∫ ∑ eα  ∑ σ αβ nβ dΩ .
P +
∫
dt 
4πc

α
 β

Рассмотрим замкнутую систему из зарядов и электромагнитного поля. Это соответствует тому, что интегрирование распространяется на все пространство. Значит, при вы

числении поверхностного интеграла будут использованы значения векторов поля E и B
на бесконечности, где они равны нулю. В результате получаем закон сохранения

d 
1

EB dV  = 0
P +
∫
dt 
4πc

и сохраняющуюся величину


1
(21.1.33)
P+
E
∫ B dV = const .
c
4
π

Напомним, что P - механический импульс материальных точек (зарядов), вычисляемый по формуле (4) или (7). В таком случае и величину


1
(21.1.34)
Pθ ≡
E
B dV
4πc ∫
надо трактовать как некоторый импульс.

Значит, система из зарядов и поля кроме импульса материальных частиц P обла
дает и импульсом Pθ , определяемым формулой (34), который зависит от свойств электромагнитного поля и потому представляет собой импульс электромагнитного поля (электромагнитный импульс).
Тогда соотношение (33) выражает закон сохранения импульса:
в замкнутой физической системе, содержащей заряженные частицы и электромагнит

ное поле, сумма механического импульса P и электромагнитного импульса Pθ остаются величиной постоянной:
 
(21.1.35)
P + Pθ = const .
В замкнутой системе изменение импульса частиц возможно только за счет изменения импульса поля. Передача импульса частицам сопровождается уменьшением импульса
поля. Потеря импульса частицами (например, при излучении) приводит к увеличению импульса поля.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
322
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
Итак, если выполняется закон сохранения импульса в системе “заряд+поле”, то
электромагнитное поле, как и вещество, должно обладать импульсом.
Из определения (34) замечаем, что величина

1 
(21.1.36)
g=
EB
4πc
представляет собой плотность импульса (импульс единицы объема) электромагнитного
поля.

Используя обозначение Pθ (34), перепишем выражение (32)

 
d  θ
(21.1.37)
P + P = − ∫ ∑ eα  ∑ σ αβ nβ dΩ .
dt
α
 β

Это уравнение применимо к произвольной незамкнутой системе.
Рассмотрим объем V в электромагнитном поле, в котором нет частиц. Положив

P = 0 из (37) получим

 
d θ
(21.1.38)
P = − ∫ ∑ eα  ∑ σ αβ nβ dΩ .
dt
α
 β


В отсутствии частиц импульс электромагнитного поля Pθ может меняться только
за счет существования потока импульса через замкнутую поверхность Ω , ограничивающий объем V . В таком случае величина


 
 
(21.1.39)
eα  ∑ σ αβ nβ dΩ = ∑ eα ∫  ∑ σ αβ nβ dΩ
∫∑
α
β
α
β




и является потоком импульса через поверхность Ω .
Значит, тензор σ αβ характеризует плотность потока импульса. Его еще называют
максвелловским тензором натяжений (или напряжений).
В таком случае уравнение (37) выражает закон изменения импульса системы:
сумма импульса частиц и импульса поля меняется, если существует поток поля
(поток импульса поля) через поверхность, охватывающую рассматриваемую систему.
Равенство (37), используя определение (6), можем записать как уравнение баланса
импульса для электромагнитного поля


 
d θ
(21.1.40)
P = − F − ∫ ∑ eα  ∑ σ αβ nβ dΩ .
dt
α
 β


Импульс Pθ , накопленный электромагнитным полем в некотором объеме V рас
ходуется на передачу его движущимся частицам (это сила F ) и теряется за счет его оттока через границу (поверхность Ω ) объема V .
[ ]
(
)
§ 21.2. Энергия и закон сохранения энергии электромагнитного поля
Теперь рассмотрим энергию системы релятивистских зарядов в электромагнитном
поле. Каждая из заряженных частиц обладает релятивистской энергией
mi c 2
.
(21.2.1)
=
i
1 − υi2 c 2

Со стороны поля на i -ю частицу действует сила Лоренца Fi (20.1.1). Работа, совершаемая этими силами в единицу времени, т.е. мощность силы Лоренца, равна (20.1.9):

(21.2.2)
N i = qi Eυi .
Мощность силы Лоренца (2) определяет скорость изменения энергии i -ой частицы
в электромагнитном поле (20.1.8):
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
323
d
(21.2.3)
i = Ni .
dt
Для определения изменения энергии всех частиц системы просуммируем уравнения (3)
d
(21.2.4)
∑ dt i = ∑ Ni .
Сумма в левой части (4) дает релятивистскую энергию всех частиц системы
mi c 2
.
(21.2.5)
=∑
1 − υi2 c 2
Правая часть (4) представляет собой мощность сил электромагнитного поля N , затрачиваемая на совершение работы над всеми зарядами системы,

N = ∑ N i = ∑ qi Eυi .
(21.2.6)
Теперь уравнение (4) примет вид
d
(21.2.7)
=N.
dt
Рассмотрим систему зарядов, непрерывно распределенных в объеме V . Согласно

(2), на перемещение заряда dq = ρdV со скоростью υ требуется мощность



(21.2.8)
dN = dqEυ = ρυ EdV = j EdV .
В таком случае, работа поля над всем зарядом системы в единицу времени N (мощность)
может быть найдена интегрированием выражения (8) по всему объему, занятому зарядами

(21.2.9)
N = ∫ dN = ∫ j EdV .

Величина j E , находящаяся под интегралом является плотностью мощности, развиваемой силами электромагнитного поля. Обозначим ее

(21.2.10)
N0 = j E .

Движущийся со скоростью υ заряд dq обладает массой
dm = ρ m dV
и энергией ( ρ m - плотность массы, не путать с плотностью заряда ρ )
d
=
dmc 2
=
ρ m c 2 dV
.
(21.2.11)
1 − υ 2 c2
1 −υ 2 c2
Проинтегрировав (11), получим полную энергию частиц системы
ρmc 2
(21.2.12)
dV .
= ∫d = ∫
1 −υ 2 c2
Подставим в уравнение (7) определение (9). Получим, что в случае непрерывного
распределения заряда изменение энергии заряженных частиц в единицу времени зависит
от плотности мощности электромагнитного поля N 0 (10):

d
(21.2.13)
= ∫ j EdV .
dt
Это уравнение уже можно трактовать как свидетельство существования и энергии
электромагнитного поля, которая может передаваться частицам, превращаться в энергию
частиц, находящихся в поле.
Теперь выразим плотность мощности электромагнитного поля N 0 (10) через векто

ры поля E и B . Подставим в выражение для плотности мощности электромагнитного по

ля N 0 = j E значение плотности тока j (21.1.11), полученное из уравнения Максвелла
(18.6.4):
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
324


c   1  ∂E
.
(21.2.14)
ErotB −
E
jE =
4π
4π ∂t
Используя тождество (21.1.10а) запишем





E (rotB) = B(rotE ) − div EB ,
кроме того, уравнение Максвелла (18.6.2) дает


1 ∂B
.
rot E = −
c ∂t
В таком случае



   1  ∂E



1  ∂E
c 
c  1  ∂B
− B
− div EB  −
E
=
E
=
B(rotE ) − div EB −
jE =
4
π
∂
t
4π ∂t 4π  c ∂t
4π



2
2





1 ∂E
1 ∂B c
∂ E +B
c
(21.2.15)
−
B
div EB = −
−
div EB .
−
=−
E
∂t 8π
4π
4π ∂t 4π ∂t 4π
Итак, выражение для плотности мощности электромагнитного поля найдено


∂ E 2 + B2
c
(21.2.16)
−
div EB .
jE = −
∂t 8π
4π
Тогда полную мощность N , расходуемую электромагнитным полем, найдем подстановкой (16) в (9)


d E 2 + B2
c
(21.2.17)
=
−
dV
−
div
E
B dV .
j
E
dV
∫
dt ∫ 8π
4π ∫
К последнему интегралу применим теорему Гаусса и получим
 

d E 2 + B2
c
(21.2.18)
=
−
dV −
EB dΩ .
j
E
dV
∫
∫
∫
dt
8π
4π
Теперь можно выяснить физический смысл отдельных членов этого равенства. Как
уже говорилось, в левой части стоит работа, совершаемая полем в единицу времени над
зарядом в объеме V . В таком случае, в соответствии с общим законом сохранения энергии, правая часть (18) должна быть связана с убылью энергии поля в объеме V или с притоком энергии к этому объему.
Второй интеграл в правой части выражения (18) представляет собой поток величи
ны EB через замкнутую поверхность Ω , т.е. это убыль энергии, через эту поверхность.
Значит, этот поток и надо интерпретировать как величину, характеризующую поток энергии электромагнитного поля из объема V .
Тогда величина

c 
(21.2.19)
S=
EB
4π
является потоком энергии, вытекающей через единицу поверхности за единицу времени, т.е.

это мгновенная плотность потока энергии. Вектор S известен как вектор Умова-Пойтинга.

Сравнив определение плотности потока энергии S (19) с определением плотности

импульса g (21.1.36) находим связь между этими величинами
 1 
(21.2.20)
g= 2 S.
c
Для выяснения смысла первого интеграла в правой части (18) рассмотрим замкнутую систему из поля и частиц. Если система замкнута, то такая система не излучает и не
получает энергию и
 
E
∫ B dΩ = 0 .
[ ]
(
[ ]
[ ])
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Следовательно, равенство (18) примет вид
Часть III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
325

d E 2 + B2
=
−
∫ j EdV dt ∫ 8π dV .
В замкнутой системе работа над зарядами может совершаться только за счет изменения (убыли) энергии поля. Тогда величина
E 2 + B2
(21.2.21)
U =∫
dV
8π
и есть энергия электромагнитного поля.
В таком случае, величину
E 2 + B2
(21.2.22)
w=
8π
надо интерпретировать как плотность энергии электромагнитного поля.
Используя введенные обозначения, уравнение (18) можно записать в виде
 

d
(21.2.23)
− U = ∫ j EdV + ∫ SdΩ .
dt
Это уравнение является математическим выражением закона сохранения энергии
электромагнитного поля (уравнение баланса энергии) в интегральной форме:
убыль энергии поля в некотором объеме, отнесенная к единице времени, равна сумме
(тоже отнесенной к единице времени) работы совершенной полем над зарядами в этом
объеме и потока энергии, выходящей из объема (утечка энергии за пределы объема).
Теперь очевидно, что уравнение (16) является дифференциальной формой закона
сохранения энергии электромагнитного поля. Используя обозначения (19) и (22), находим
 
∂
(21.2.24)
w + divS + j E = 0 .
∂t
В некоторых случаях в данном объеме V или в данной точке пространства мощ

ность - интеграл ∫ j EdV и плотность мощности N 0 = j E могут быть отрицательными. В
этом случае происходит накачка энергии в электромагнитное поле. Эта энергия затем рассеивается через границы объема V , возникает излучение электромагнитных волн из объема V . Такой процесс реализуется, например, в антеннах радио и телевизионных передатчиков. Если исключить утечку энергии из объема V , то мы получим устройство типа
СВЧ-печи, где электромагнитное поле используется для передачи энергии от излучателя к
нагреваемому объекту.
Возможен простой частный случай, когда в объеме V нет зарядов. Тогда


∫ j EdV = 0 и N0 = j E = 0 .
Значит из (23) или (24) получим, что энергия электромагнитного поля в объеме, где нет
зарядов, может меняться только благодаря потоку этой энергии через ограничивающую
объем поверхность.
В рассматриваемой нами системе работа, производимая полем над зарядами, ведет
к изменению энергии частиц в соответствии с уравнением (13). Подставив значение

∫ j EdV из (13) в (23), получим
 
d
d
− U=
+ ∫ SdΩ ,
dt
dt
или
 
d
(21.2.25)
(U + ) = − ∫ SdΩ ,
dt
где - релятивистская энергия всех частиц системы (6).
Выражение (25) - это уже уравнение баланса энергии системы “поле+частицы”:
полная энергия системы, включающая энергию частиц и энергию поля, меняется только за
326
Истеков К.К. Курс теоретической физики. Т.1.
счет потока энергии поля через поверхность, охватывающую рассматриваемую систему.
Для замкнутой системы
 
S
∫ dΩ = 0 ,
тогда
d
(21.2.26)
(U + ) = 0 .
dt
Получили закон сохранения энергии в изолированной системе из поля и частиц:
в изолированной системе сохраняется сумма энергии поля и релятивистской энергии заряженных частиц (материальных точек).
Подставив
из (6) и U из (21) в равенство (26), получим следующую запись этого
закона сохранения энергии
E 2 + B2
mi c 2
(21.2.27)
+
∑ 1 − υ 2 c 2 ∫ 8π dV = const .
i
Обратите внимание: из уравнений (26) и (27) следует, что полная энергия системы
из поля и зарядов складывается из механической энергии частиц (зарядов) и энергии поля.
Нет никакой потенциальной энергии взаимодействия зарядов между собой или зарядов и
поля.
Во второй части книги мы говорили, что если взаимодействие имеет характер
близкодействия, то так и должно быть: если нет взаимодействия на расстоянии, то недолжно быть и энергии этого взаимодействия. На примере электромагнитного поля мы
получили доказательство этому утверждению. Формула (27) имела бы такой же вид, если
бы между частицами и полем вообще не было бы связи, например, если имелись бы незаряженные частицы в свободном электромагнитном поле.