!$ ÊÂÀÍT 2007/¹3 òî îêàæåòñÿ, ÷òî êàê â óñòîé÷èâîì, òàê è â íåóñòîé÷èâîì ïîëîæåíèè ýòî óñèëèå ïðèêëàäûâàòü íå íóæíî. Îäíàêî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ðòóòü ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ñàìà îïóñêàëàñü (â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðîé âåòâüþ ïàðàáîëû), íåâîçìîæíî. Íàõîäÿñü â «âåðõíåì» ïîëîæåíèè ðàâíî- Ðàçìåðíîñòè è ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ Áîðà Ã.ÁÀÊÓÍÈÍ Í È ÄËß ÊÎÃÎ ÍÅ ÑÅÊÐÅÒ, ×ÒÎ ÍÅ ËÞÁÓÞ ÊÎÍÖÅÏÖÈÞ ñîâðåìåííîé ôèçèêè ìîæíî êîððåêòíî îáúÿñíèòü â øêîëüíûõ òåðìèíàõ. Èíîãäà ñèòóàöèÿ ñêëàäûâàåòñÿ åùå ñëîæíåå âû÷èñëåíèÿ íîñÿò ýëåìåíòàðíûé õàðàêòåð, îäíàêî ïîíÿòü ìîòèâàöèþ êëàññèêîâ ñîâñåì íåïðîñòî. Òàê, íàïðèìåð, îáñòîèò äåëî ñ ôîðìóëîé Áîðà äëÿ êâàíòîâàíèÿ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé â àòîìå âîäîðîäà. Ýòà ôîðìóëà áåçóñëîâíî äîñòîéíà òîãî, ÷òîáû îáðàòèòü íà íåå âíèìàíèå, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó çàêîíàìè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è êâàíòîâûìè èäåÿìè. Áîëåå òîãî, îíà ÿâëÿåòñÿ ïðåêðàñíûì ïðèìåðîì òîãî, êàê íåòðèâèàëüíûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò íàãëÿäíî îáúÿñíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðèè. Åùå â 1885 ãîäó øâåéöàðñêèé ó÷èòåëü ôèçèêè È.Áàëüìåð óñòàíîâèë, ÷òî ÷àñòîòû (èëè äëèíû âîëí) âñåõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé âîäîðîäà â îáëàñòè âèäèìîãî ñâåòà (ñåðèÿ Áàëüìåðà) ìîæíî îïèñàòü îäíîé äîâîëüíî ïðîñòîé ôîðìóëîé. Íåñêîëüêî ïîçæå â ñïåêòðå âîäîðîäà áûëè îáíàðóæåíû ñåðèè ëèíèé â îáëàñòè óëüòðàôèîëåòà (ñåðèÿ Ëàéìàíà) è â îáëàñòè èíôðàêðàñíîãî èçëó÷åíèÿ (ñåðèÿ Ïàøåíà è äð. ñåðèè), îïèñûâàåìûå àíàëîãè÷íûìè ôîðìóëàìè. Îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ âñåõ ýòèõ ëèíèé ïðèãîäíà îáùàÿ ôîðìóëà, íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé Áàëüìåðà Ðèäáåðãà: æ 1 1 1ö = Rç 2 - 2÷ , λ nk ø è nl ãäå λ äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ, R = 1,097 × 107 ì -1 ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà, à nl è nk öåëûå ÷èñëà. Ýòà ôîðìóëà ÿâëÿëàñü â òî âðåìÿ íàó÷íîé çàãàäêîé. Âêëþ÷èòü â òåîðåòè÷åñêóþ ìîäåëü êâàíòîâûå (öåëûå) ÷èñëà, îïèðàÿñü íà «ïëàíåòàðíóþ» ìîäåëü Ðåçåðôîðäà, óäàëîñü Íèëüñó Áîðó â 1913 ãîäó. Ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, íîâûå êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ ïðîñòû, òàê êàê â íèõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçîâûõ çàêîíîâ. Îäíàêî âñå íå òàê ïðîñòî ñ êâàíòîâàíèåì ìîìåíòà èìïóëüñà, èñïîëüçîâàííûì Áîðîì äëÿ îáúÿñíåíèÿ ôîðìóëû Áàëüìåðà Ðèäáåðãà. Âûáîð ýòîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû äëÿ êâàíòîâàíèÿ äàëåêî íå òðèâèàëåí. Áîëåå òîãî, ìîìåíò èìïóëüñà íå èçó÷àþò â øêîëå (ðàçâå ÷òî ôàêóëüòàòèâíî), è âî ìíîãîì ýòî ñîçäàåò ìåòîäè÷åñêèå òðóäíîñòè. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì, êàê ãèïîòåçó Áîðà ìîæíî îáîñíîâàòü ñ ðàçìåðíîñòíîé òî÷êè çðåíèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíîé è ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷. âåñèÿ, ðòóòü ëèáî ñàìîïðîèçâîëüíî âûëüåòñÿ èç òðóáêè ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû, ëèáî ïåðåéäåò â ïîëîæåíèå óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî ñîåäèíåíèå ñ ðåçåðâóàðîì æèäêîñòè, ðàñïîëîæåííûì ñâåðõó). Íà÷íåì ñ ââåäåíèÿ îñíîâíûõ âåëè÷èí. Ýíåðãèþ èçëó÷àåìûõ ôîòîíîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò ïåðåõîäà ýëåêòðîíà ñ îäíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà äðóãîé: hc ε ô = hν = = Enl - Enk , λ ãäå h ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, ν ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ, ñ ñêîðîñòü ñâåòà, à En ýíåðãèÿ n-ãî óðîâíÿ.  íàøåì ñëó÷àå ýíåðãèÿ Å ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå, mv2 ñêëàäûâàåòñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ðàâíîé , è 2 ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèòÿæåíèÿ ýëåêòðîíà ê ÿäðó, ðàâe2 íîé : 4πε0r mv2 e2 E= . 2 4πε0r Ýòî óðàâíåíèå ñîäåðæèò äâå íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû: ñêîðîñòü ýëåêòðîíà v è ðàäèóñ îðáèòû r. Îäíó èç íèõ ìîæíî èñêëþ÷èòü ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà ïî îðáèòå mv2 e2 = . r 4πε0r 2 Òîãäà ïîëó÷àåì e2 E r = . 8πε0r Ñðàâíèì ðàçíîñòü ýíåðãèé ýëåêòðîíà íà îðáèòàõ ñ ðàäèóñàìè rl è rk : e2 æ 1 1 ö 8πε0 èç rl rk ø÷ ñ ýíåðãèåé ôîòîíà, çàïèñàííîé ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Áàëüìåðà Ðèäáåðãà: æ 1 1ö c εô = hν = h = hcR ç 2 - 2 ÷ . λ nk ø è nl El - Ek = - Âèäèì, ÷òî íåîáõîäèìî ââåäåíèå íîâîé ãèïîòåçû äëÿ òîãî, ÷òîáû óñòàíîâèòü ñâÿçü êâàíòîâûõ ÷èñåë nl è nk ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ðàäèóñàìè îðáèò rl è rk . Ãèïîòåçà, ïðåäëîæåííàÿ Áîðîì â 1913 ãîäó, çàêëþ÷àåòñÿ â êâàíòîâàíèè ìîìåíòà èìïóëüñà âðàùàþùåãîñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå ýëåêòðîíà: h mvr = n . 2π Èñòîðè÷åñêîé ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè, îòìåòèì, ÷òî è äî Áîðà ïðåäïðèíèìàëèñü ïîïûòêè êâàíòîâàíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ñâÿçàííûõ ñ îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì. Òåì íå ìåíåå, ãåíèàëüíàÿ èíòóèöèÿ Áîðà ñûãðàëà ðåøàþùóþ ðîëü. Ðàññìîòðèì âîïðîñ ñ ðàçìåðíîñòíîé òî÷êè çðåíèÿ, íå âûáèðàÿ çàðàíåå, êàêóþ âåëè÷èíó íóæíî êâàíòîâàòü. Çàïèøåì áîëåå îáùåå óñëîâèå êâàíòîâàíèÿ â âèäå vαr β = nC0 , ãäå α, β,C0 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé α = 2 è β = 0 âåäåò ê êâàíòîâàíèþ ýíåðãèè, âûáîð α = 1 è β = 0 õàðàêòåðèçóåò èìïóëüñ, à êîìáèíàöèÿ α = 1 è β = 1 ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó èìïóëüñà. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè v, r, n è òðåìÿ ïîñòîÿííûìè α, β,C0 : e2 E r = , 8πε0r mv2 e2 = , r 4πε0r 2 vαr β = nC0 . Èñêëþ÷àÿ ïåðåìåííûå v è r, íàéäåì çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîíà E r n = En îò êâàíòîâîãî ÷èñëà n: α 2 ö 2β - α æ 1 ö 2β - α e2 æ e2 :ç ÷ En = . ç 2 ÷ è nø 4πε0 ç è 4πε0 m C0 n α ÷ø 1 Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàâèñèìîñòè En : 2 , íåîáõîäèìî ïðåäïîn ëîæèòü, ÷òî 1+ α 2β - α = 1 , èëè β α = . 2 Î÷åâèäíî, â ðàìêàõ ðàçìåðíîñòíîãî ïîäõîäà ìû îæèäàåì óâèäåòü öåëûå çíà÷åíèÿ α è β , ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ íå÷åòíû- ÊÐÓÆÎÊ !% ìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà α : α = 1,3,5,K Îäíàêî âûáîð α = β = 1 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü â òåðìèíàõ ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ýëåêòðîíà. Ýòî âàæíûé àðãóìåíò, ïîñêîëüêó ñîõðàíåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ â ïîëå íüþòîíîâñêèõ èëè êóëîíîâñêèõ ñèë ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé îïèñàíèÿ íåêðóãîâûõ òðàåêòîðèé. Ñàì Áîð çàòðîíóë ýòîò âîïðîñ òîëüêî êîñâåííî, óêàçàâ íà âîçìîæíîñòü ñîïîñòàâëåíèÿ êðóãîâîé è ýëëèïòè÷åñêîé îðáèò ýëåêòðîíà ñ çàäàííîé ýíåðãèåé ïîñðåäñòâîì âûáîðà ðàäèóñà êðóãîâîé îáèòû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîìåíò èìïóëüñà èìååò ðàçìåðíîñòü ïîñòîÿííîé Ïëàíêà h: rp = rmv = C*n , h ïîñòîÿííàÿ, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ãäå C* = mC0 = 2π óðàâíåíèþ, îïèñûâàþùåìó ãèïîòåçó Áîðà. Åñòåñòâåííî, óíèâåðñàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ h äîëæíà ó÷àñòâîâàòü â óðàâíåíèè, îïèñûâàþùåì èçëó÷åíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè èäåÿìè Ïëàíêà. Âàæíî, ÷òî âî âðåìåíà Ïëàíêà è Áîðà ïîñòîÿííàÿ h âñå åùå îñòàâàëàñü ìàãè÷åñêîé âåëè÷èíîé, òðåáóþùåé èíòåðïðåòàöèè, è ìîäåëü êâàíòîâàíèÿ Áîðà ñòàëà åùå îäíèì øàãîì â ýòîì íàïðàâëåíèè. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ýéëåð è ãåîìåòðèÿ À.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ Ë ÅÎÍÀÐÄ ÝÉËÅÐ ÁÛË ÎÄÍÈÌ ÈÇ ÑÀÌÛÕ ÐÀÇÍÎÑÒÎ- ðîííèõ ìàòåìàòèêîâ âñåõ âðåìåí. Ðàçóìååòñÿ, íå îñòàëàñü îáäåëåííîé âíèìàíèåì Ýéëåðà è ýëåìåíòàðíàÿ ãåîìåòðèÿ.  ýòîé ñòàòüå áóäóò îïèñàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñ èìåíåì Ýéëåðà, è ïðèâåäåíû ïðèìåðû èñïîëüçóþùèõ ýòè ðåçóëüòàòû çàäà÷, êîòîðûå ïðåäëàãàëèñü íà ãåîìåòðè÷åñêîé îëèìïèàäå èìåíè È.Ô.Øàðûãèíà. Ñëåäóåò, âïðî÷åì, ñêàçàòü, ÷òî íåëüçÿ äîñòîâåðíî óòâåðæäàòü íè òîãî, ÷òî óêàçàííûå ðåçóëüòàòû ïðèíàäëåæàò öåëèêîì Ýéëåðó, íè òîãî, ÷òî äîñòèæåíèÿ Ýéëåðà â ãåîìåòðèè ýòèìè ðåçóëüòàòàìè îãðàíè÷èâàþòñÿ. Ïðÿìàÿ Ýéëåðà Òåîðåìà 1. Ïóñòü ÀÂÑ ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê, Ì åãî öåíòð òÿæåñòè (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí), Î öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè, Í îðòîöåíòð (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò). Òî÷êà Ì ëåæèò íà îòðåçêå ÎÍ è ÎÌ : ÌÍ = 1 : 2. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A0 , B0 , C0 ñåðåäèíû îòðåçêîâ ÂÑ, ÑÀ, À (ðèñ.1). Òîãäà òðåóãîëüíèê A0 B0C0 ãîìîòåòè÷åí 1 òðåóãîëüíèêó ÀÂÑ ñ öåíòðîì Ì è êîýôôèöèåíòîì - . Ïðè 2 ýòîé ãîìîòåòèè òî÷êà Í ïåðåõîäèò â îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà A0 B0C0 òî÷êó Î. Ïðÿìàÿ, íà êîòîðîé ëåæàò òî÷êè Î, Ì, Í, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé Ýéëåðà òðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à 1.  îñòðîóãîëüíîì íåðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå îòìåòèëè 4 òî÷êè: öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé, öåíòð òÿæåñòè (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí) è îðòîöåíòð (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò). Çàòåì ñàì òðåóãîëüíèê ñòåðëè. Îêàçàëîñü, ÷òî íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü, êàêîìó öåí- Ðèñ. 1 òðó ñîîòâåòñòâóåò êàæäàÿ èç îòìå÷åííûõ òî÷åê. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà. Îòâåò. Òðåóãîëüíèê, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ çàäà÷è, 1 ðàâíîáåäðåííûé ñ óãëàìè ïðè îñíîâàíèè, ðàâíûìè arccos . 4 Ðåøåíèå. Ïóñòü ÀÂÑ èñõîäíûé òðåóãîëüíèê. Åñëè òî÷êà I (öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè) íå ëåæèò íà åãî ïðÿìîé Ýéëåðà, òî ìîæíî îäíîçíà÷íî óñòàíîâèòü ðîëü êàæäîé èç òî÷åê â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ. Îòìåòèì, ÷òî ýòà ïðÿìàÿ ïðîõîäèò íå áîëåå ÷åì ÷åðåç îäíó âåðøèíó òðåóãîëüíèêà, òàê ÷òî ìîæíî ñ÷èòàòü, íàïðèìåð, ÷òî òî÷êè À è  íå ëåæàò íà íåé. π Òàê êàê ÐOBA = ÐHBC = - ÐC , òî BI ÿâëÿåòñÿ áèññåêò2 ðèñîé óãëà ÍÂÎ. Çíà÷èò, òî÷êà I ëåæèò íà îòðåçêå ÎÍ, ïðè÷åì OI = 2IH (èíà÷å ðîëü òî÷åê óñòàíàâëèâàåòñÿ îäíîçíà÷íî). Ïî ñâîéñòâó áèññåêòðèñû ïîëó÷àåì, ÷òî ÂÎ = 2ÂÍ. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, íàõîäèì, ÷òî ÀÎ = 2ÀÍ. Òàêèì îáðàçîì, ÀÍ = ÂÍ = R/2, ãäå R ðàäèóñ îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè. Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî èç ãîìîòåòèè, óêàçàííîé â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, ñëåäóåò òàêæå, ÷òî AH = 2OA0 (è ýòè îòðåçêè ïàðàëëåëüíû). Ïîíÿòíî òàê-