test

ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ
к дифференцированному зачету по квантовой механике
для студентов III курса ФПФЭ (лектор Ю.М. Белоусов)
Уравнение Шредингера
1. Уравнение Шредингера.
2. Стационарное уравнение Шредингера.
3. Гамильтониан (общее выражение)
4. Уравнение непрерывности.
5. Плотность потока вероятности.
6. Оператор импульса (в координатном представлении).
7. Записать оператор эволюции консервативной системы U (t).
8. Какой вид имеет временная зависимость волновой функции Ψ(r, t) консервативной системы?
9. Как с помощью оператора эволюции U (t) можно определить состояние системы в произвольный момент времени |Ψ(t)i, если известно состояние в начальный
момент времени |ψ0 i?
10. Пусть U (t) – оператор эволюции системы, чему равно выражение U (t)† U (t)?
11. Как определяется производная по времени оператора?
12. Пусть Fb – оператор сохраняющейся физической величины (интеграл двиb
жения). Чему равен коммутатор [Fb, H]?
13. Два оператора физических величин fb и gb между собой коммутируют. Что
можно сказать о системе их собственных функций?
b = 0 и [ĝ, H]
b = 0, но при этом [fˆ, ĝ] 6= 0. Что
14. Пусть два оператора [fˆ, H]
можно сказать о характере энергетического спектра?
15. Два оператора физических величин fb и gb удовлетворяют коммутационному
соотношению [fb, gb] = ib
c. Какому неравенству (соотношению неопределенностей)
удовлетворяет произведение h(∆f )2 ih(∆g)2 i?
Основные коммутационные соотношения
1. Чему равен коммутатор [p̂x , x̂] ?
1
2. Чему равен коммутатор [p̂α , x̂β ] ?
3. Чему равен коммутатор [p̂, U (r)] ?
4. Чему равен коммутатор [ˆlx , ˆly ] ?
5. Чему равен коммутатор [ˆlα , ˆlβ ] ?
6. Чему равен коммутатор [ˆlα , l̂2 ] ?
7. Чему равен коммутатор [ˆlz , ˆl± ] ?
8. Чему равен коммутатор [ˆlα , U (|r|)] ?
Граничные условия
1. Граничные условия для связанных состояний.
2. Граничные условия для задaч непрерывного спектра.
Одномерный случай
1. Кратность вырождения дискретного спектра в одномерном случае.
2. Кратность вырождения непрерывного спектра в одномерном случае.
¯
3. Асимптотическое поведение волновой функции связанного состояния ψ(x)¯x→±∞
¯
при условии U (x)¯x→±∞ = 0.
Осциллятор
1. Гамильтониан осциллятора.
2. Осцилляторные единицы энергии, длины, импульса.
3. Выражение для операторов a и a+ через операторы координаты и импульса.
4. Выражение операторов координаты и импульса через операторы a и a+ .
5. [a, a+ ] =.
6. Выражение гамильтониана осциллятора через a и a+ .
7. Спектр осциллятора.
8. Состояния осциллятора (квантовые числа и их значения).
9. a|ni =.
10. a+ |ni =.
11. a|0i =.
12. Выразить |ni через основное состояние |0i.
13. Волновая функция основного состояния ψ(q) =.
2
Момент
1. Выразить l̂2 через ˆlz и ˆl± .
2. l̂2 |l, mi =?
3. l̂z |l, mi =?
4. l̂+ |l, li =?
5. l̂− |l, −li =?
6. l̂± |l, mi =?
7. Написать оператор конечных вращений.
Спин
1. Написать матрицы Паули в стандартном представлении.
2. σα σβ = ?
3. σx2 = ?
4. σx2n+1 = ?
4. Записать оператор конечных вращений для системы со спином 1/2 через
операторы Паули.
5. (σn)2 = ?
6. Спиновое состояние системы определяется вектором |χi = a|+i + b|−i. Чему
равен вектор бра hχ| ?
Центральное поле
1. Полный набор физ. величин бесспиновой частицы в ц.п.
2. Разделение переменных Ψ(r) =?
3. Радиальное уравнение.
4. Асимптотическое поведение радиальной функции Rnl (r)|r→0 ∼?
5. Асимптотическое поведение радиальной функции Rnl (r) |r→∞ ∼?
6. Гамильтониан атома водорода.
7. Атомная система единиц.
8. Полный набор и значения, которые могут принимать квантовые числа.
9. Спектр атома водорода.
10. Кратность вырождения уровней энергии атома водорода.
3
11. Волновая функция основного состояния ψ0 (r) =?
12. Как зависит от угла ϕ волновая функция ψnlm (r)?
Операторы и теория представлений
1. hr|Ψi =?
2. |ni - базис,
P
n
|nihn| =?
3. fˆ|fn i = fn |fn i, чему равно hfn |fˆ† =?
4. hr0 |r̂|ri =?
5. hr|pi =?
6. hp|ri =?
7. hp0 |p̂|pi =?
8. hr|p̂|r0 i =?
9. hp|r̂|p0 i =?
10. Состояние квантовой системы представляет собой суперпозицию |ψi =
c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i. Записать эрмитовски сопряженный вектор бра hψ|.
11. Даны два состояния квантовой системы |ϕi = a|ψ1 i + b|ψ2 i и |χi = c|ψ1 i +
d|ψ2 i. Чему равно их скалярное произведение hχ|ϕi, если hψ1 |ψ2 i = 0?
Квазиклассика
1. Общий вид волновой функции квазиклассического приближения в классически разрешенной области.
2. Точки поворота.
3. Условие применимости квазиклассического приближения.
4. Условия квантования Бора-Зоммерфельда.
5. Энергетический спектр квазиклассического приближения.
6. Вероятность проникновения через потенциальный барьер.
7. Чему равен фазовый объем ∆Γ, приходящийся на одно состояние в квазиклассическом приближении (в одномерном случае)?
8. Запишите выражение для квазиклассического импульса.
9. Чему равна плотность энергетического спектра в квазиклассическом приближении?
4