26 ÇÀÄÀ×È 2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè Å.Â. Àíäðååâà, Þ.Å. Åãîðîâ, Ìîñêâà Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ ýòî ðàçäåë èíôîðìàòèêè, èçó÷àþùèé àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷. Òàêèå çàäà÷è âîçíèêàþò â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå, ïðîåêòèðîâàíèè èíòåãðàëüíûõ ñõåì, òåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è äð. Èñõîäíûìè äàííûìè â òàêîãî ðîäà çàäà÷àõ ìîãóò áûòü ìíîæåñòâî òî÷åê, íàáîð îòðåçêîâ, ìíîãîóãîëüíèê è ò.ï. Ðåçóëüòàòîì ìîæåò áûòü ëèáî îòâåò íà êàêîé-òî âîïðîñ (òèïà ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè ïðÿìûå), ëèáî êàêîé-òî ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò (íàïðèìåð, íàèìåíüøèé âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ñîäåðæàùèé çàäàííûå òî÷êè) [1].  Èíôîðìàòèêå ¹ 14 çà ýòîò ãîä áûëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ îäíîãî èç àâòîðîâ, ïîñâÿùåííàÿ çàäà÷àì âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè â îëèìïèàäàõ ïî èíôîðìàòèêå.  ÷àñòíîñòè, òàì áûë ñôîðìóëèðîâàí ðÿä ýëåìåíòàðíûõ ïîäçàäà÷, íà êîòîðûå îïèðàåòñÿ ðåøåíèå áîëüøèíñòâà çàäà÷ âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè. Îäíàêî çàíÿòèÿ äàæå ñ ìàòåìàòè÷åñêè õîðîøî ïîäãîòîâëåííûìè ó÷àùèìèñÿ ñòàðøèõ êëàññîâ ïîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèå òàêèõ ïîäçàäà÷ âûçûâàåò ó íèõ áîëüøîå çàòðóäíåíèå. Çàäà÷à ëèáî ñòàâèò èõ â òóïèê, ëèáî âûáðàííûé ëîáîâîé ñïîñîá ðåøåíèÿ íàñòîëüêî ñëîæåí, ÷òî äîâåñòè åãî äî êîíöà áåç îøèáîê ó÷àùèåñÿ íå ìîãóò. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ íà âñåðîññèéñêèõ îëèìïèàäàõ ïî èíôîðìàòèêå ïðèâîäèò ê òåì æå âûâîäàì. Òàêóþ ñèòóàöèþ ìû ñ÷èòàåì ïîïðàâèìîé. Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè ïîêàçàòü ïîäõîäû ê ðåøåíèþ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ íà ïëîñêîñòè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò äîñòàòî÷íî áûñòðî è ìàêñèìàëüíî ïðîñòî ïîëó÷àòü ðåøåíèÿ áîëüøèíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ïîäçàäà÷. Âåêòîðû è êîîðäèíàòû ×òîáû ïðèìåíÿòü ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè, íåîáõîäèìî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû ïåðåâåñòè íà ÿçûê ÷èñåë. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ïëîñêîñòè çàäàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò (ÑÊ). Îáùåïðèíÿòî âûáèðàòü êî- π , ïðè êî2 òîðîì îñü Ox ñîâìåùàåòñÿ ñ îñüþ Oy, ïðîèñõîäèë ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òàêóþ ÑÊ íàçûâàþò ïðàâîé.  äàëüíåéøåì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî íàøà ÑÊ ïðàâàÿ.  òàêîé ÑÊ íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì. Òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû ïîëó÷àþò àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå. Òàê, ÷òîáû çàäàòü îòðåçîê, äîñòàòî÷íî óêàçàòü êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ. Ïðÿìóþ ìîæíî çàäàòü, óêàçàâ ïàðó åå òî÷åê, ëèáî êîîðäèíàòàìè îäíîé åå òî÷êè è âåêòîðîì, õàðàêòåðèçóþùèì íàïðàâëåíèå ýòîé ïðÿìîé, è ò.ä. Âîîáùå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ íàñ áóäóò âåêòîðû. Íàïîìíèì ïîýòîìó íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î íèõ. îðäèíàòíûå îñè òàê, ÷òîáû ïîâîðîò íà óãîë Îòðåçîê AB, ó êîòîðîãî òî÷êó A ñ÷èòàþò íà÷àëîì (òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ), à òî÷êó B êîíöîì, íàçûâàþò âåêòîðîì AB è îáîçíà÷àþò ëèáî AB , ëèáî æèðíîé ñòðî÷íîé ëàòèíñêîé áóêâîé, íàïðèìåð, a. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ äëèíû âåêòîðà (òî åñòü äëèíû ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðåçêà) áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñèìâîëîì ìîäóëÿ (íàïðèìåð, |a|). Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè ñîâìåùàþòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì. Ïóñòü òî÷êè A è B èìåþò êîîðäèíàòû (x1, y1) è (x2, y2) ñîîòâåòñòâåííî. Êîîðäèíàòàìè âåêòîðà AB íàçûâàåòñÿ ïàðà ÷èñåë (x2 x1, y2 y1). Íàîáîðîò, åñëè âåêòîð èìååò êîîðäèíàòû (x, y) è ïðèëîæåí ê òî÷êå (x1, y1), òî ëåãêî âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû (x2, y2) åãî êîíöà: x2 = x1 + x, y2 = y1 + y. Äëèíà âåêòîðà AB ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà ðàâíà (x 2 x 1 )2 + ( y 2 y 1 )2 . Ðàâåíñòâî äâóõ âåêòîðîâ a = (ax, ay) è b = (bx, by) ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó èõ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò: ax = bx, ay = by. Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ÷èñëà. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà èëè ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ. 1). b a a+ b a a+b b Ðèñ. 1 Ïîä ðàçíîñòüþ âåêòîðîâ a è b ïîíèìàþò ñóììó âåêòîðà a ñ âåêòîðîì, ïðîòèâîïîëîæíûì âåêòîðó b (ò.å. ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûì è ñîâïàäàþùèì ñ íèì ïî äëèíå). Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà a íà ÷èñëî t ïîëó÷àåòñÿ âåêòîð, èìåþùèé äëèíó |t | ⋅ |a|; åãî íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì a, åñëè t > 0, è ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè t < 0. Ýòî ïîçâîëÿåò íàì ââåñòè îòíîøåíèå êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ (ò.å. ñîíàïðàâëåííûõ èëè ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûõ), ïîíèìàÿ ïîä íèì êîýôôèöèåíò èõ ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ñ ïîìîùüþ òàêîãî îòíîøåíèÿ óäîáíî îïèñûâàòü ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê íà ïðÿìîé. Íàïðèìåð, óñëîâèå AB < 0 îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè A, B è C ëåæàò AC íà îäíîé ïðÿìîé, ïðè÷åì òî÷êà A ëåæèò ìåæäó B è C. Îòìåòèì åùå, ÷òî âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé ñ äàííûì âåêòîðîì a è èìåþùèé çàäàííóþ äëèíó l, ìîæíî âûðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: l a .  äàëüíåéøåì ìû a 2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ íåîäíîêðàòíî áóäåì ýòèì ïîëüçîâàòüñÿ.  êîîðäèíàòàõ ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè çàïèñûâàþòñÿ òàê: åñëè a = (ax, ay) è b = (bx, by), òî a + b = (ax + bx, ay + by), a b = (ax bx, ay by) è t ⋅ a = (t ⋅ ax, t ⋅ ay). Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ a = (x1, y1) è b = (x2, y2) íàçûâàåòñÿ ÷èñëî (a, b) = |a | ⋅ |b | ⋅ cos ϕ, ãäå ϕ óãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè.  êîîðäèíàòàõ îíî âû÷èñëÿåòñÿ òàê: (a, b) = x1x2 + y1y2. Êàê âèäíî èç ôîðìóë, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè.  ÷àñòíîñòè, äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî π íóëþ ( cos = 0 ). Òàê êàê cos ϕ ïîëîæèòåëåí äëÿ îñò2 ðûõ óãëîâ è îòðèöàòåëåí äëÿ òóïûõ, óãîë ìåæäó âåêòîðàìè îñòðûé (òóïîé) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî). Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè Ïóñòü a è b äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà, îòëîæåííûå îò îäíîé òî÷êè.  øêîëüíîì êóðñå ãåîìåòðèè ïîä óãëîì ìåæäó âåêòîðàìè ïîíèìàåòñÿ ìåíüøèé èç äâóõ óãëîâ ìåæäó ëó÷àìè, íà êîòîðûõ ëåæàò âåêòîðû a è b. Çíà÷åíèå òàêîãî óãëà âñåãäà íàõîäèòñÿ â ïðîìåæóòêå [0; π]. Äëÿ âû÷èñëåíèé ÷àñòî áîëåå óäîáíûì îêàçûâàåòñÿ ïîíÿòèå îðèåíòèðîâàííîãî óãëà, ò.å. óãëà, ó÷èòûâàþùåãî âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ. Çíà÷åíèå îðèåíòèðîâàííîãî óãëà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðàâíî îáû÷íîìó óãëó ìåæäó âåêòîðàìè. Îðèåíòèðîâàííûé óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b ïîëîæèòåëüíûé, åñëè ïîâîðîò îò âåêòîðà a ê âåêòîðó b ñîâåðøàåòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè (â íàøåé ÑÊ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè), è îòðèöàòåëüíûé â äðóãîì ñëó÷àå. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ïàðà âåêòîðîâ a è b ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îðèåíòèðîâàíà. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà îðèåíòèðîâàííîãî óãëà çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïåðå÷èñëåíèÿ âåêòîðîâ è ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå (π; π]. Íà ðèñ. 2 îðèåíòèðîâàííûå óãëû ìåæäó âåêòîðàìè OA è OB è ìåæäó âåêòîðàìè OB è OA ðàâíû ïî ìîäóëþ, íî ïåðâûé èç íèõ îòðèöàòåëüíûé, à âòîðîé ïîëîæèòåëüíûé. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ OA , OB è OC ëåãêî âû÷èñëèòü âåëè÷èíó îðèåíòèðîâàííîãî óãëà AOB, çíàÿ âåëè÷èíû óãëîâ AOC è COB: îíà ðàâíà èõ ñóììå ñ ó÷åòîì çíàêîâ. Íàïðèìåð, ïðè òàêîì ðàñïîëîæåíèè âåêòîðîâ, êàê íà ðèñ. 2, óãîë AOC âîéäåò â ñóììó ñî çíàêîì ïëþñ, à óãîë COB ñ ìèíóñîì. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ (äâóõ îòðèöàòåëüíûõ) óãëîâ ðåçóëüòàò ïðåâçîéäåò π ïî ìîäóëþ. Òîãäà, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðàâèëüíîå çíà÷åíèå óãëà, íóæíî îòíÿòü (äîáàâèòü) 2π. Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî ïðè ýòîì íàì íå ïðèäåòñÿ ÇÀÄÀ×È 27 ðàññìàòðèâàòü ðàçëè÷íûå ñëó÷àè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ.  ýòîì è ñîñòîèò ïðåèìóùåñòâî èñïîëüçîâàíèÿ îðèåíòèðîâàííûõ óãëîâ. C A B O Ðèñ. 2 Êàê, çíàÿ êîîðäèíàòû âåêòîðîâ, íàéòè óãîë ìåæäó íèìè? Î÷åâèäíûé ñïîñîá ñëåäóåò èç ôîðìóëû äëÿ ñêà(a, b) . Îäíàêî ïðè ýòîì a ⋅b ïîëó÷èòñÿ çíà÷åíèå íåîðèåíòèðîâàííîãî óãëà è ÷àñòü èíôîðìàöèè (âîçìîæíî, ïîëåçíàÿ) áóäåò íàìè ïîòåðÿíà. Êðîìå òîãî, èñïîëüçîâàíèå ýòîé ôîðìóëû äëÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå âñåãäà óäîáíî. Íàïðèìåð, â ÿçûêå Ïàñêàëü, êàê è â ðÿäå äðóãèõ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ, èç îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ðåàëèçîâàíà òîëüêî ôóíêöèÿ arctg ϕ. Ìû ïîêàæåì, êàê íàéòè óãîë èíà÷å, ïîñëå òîãî, êàê ïîçíàêîìèìñÿ ñ îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäüþ. ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: cos ϕ = Îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü Îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ýòî åãî îáû÷íàÿ ïëîùàäü, ñíàáæåííàÿ çíàêîì. Çíàê ó îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC òàêîé æå, êàê ó îðèåíòèðîâàííîãî óãëà ìåæäó âåêòîðàìè AB è AC . Òî åñòü åå çíàê çàâèñèò îò ïîðÿäêà ïåðå÷èñëåíèÿ âåðøèí. Íà ðèñ. 2 òðåóãîëüíèê ABC ïðÿìîóãîëüíûé. Åãî îðèKKH KKKH | AB | | AC | (îíà áîëüøå ⋅ åíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü ðàâíà 2 íóëÿ, òàê êàê ïàðà AB , AC îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî). Ýòó æå âåëè÷èíó ìîæíî âû÷èñëèòü äðóãèì ñïîñîáîì. Ïóñòü O ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè. Íà íàøåì ðèñóíêå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ïîëó÷èòñÿ, åñëè èç ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà OBC âû÷åñòü ïëîùàäè OAB è OCA. Òàêèì îáðàçîì, íóæíî ïðîñòî ñëîæèòü îðèåíòèðîâàííûå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ OAB, OBC è OCA. Ýòî ïðàâèëî ðàáîòàåò ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷êè O. Òî÷íî òàê æå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ëþáîãî ìíîãîóãîëüíèêà A 1A2 An íóæíî ñëîæèòü îðèåíòèðîâàííûå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ OA1A2, OA2A3, , OAnA1 (ðèñ. 3).  ñóììå ïîëó÷èòñÿ ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè ïðè îáõîäå ëîìàíîé A1A2 An âíóòðåííîñòü ìíîãîóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ ñëåâà, è ñî çíàêîì ìèíóñ, åñëè îíà íàõîäèòñÿ ñïðàâà. Îíà è íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäüþ ìíîãîóãîëüíèêà A1A2 An. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðàâîé ÑÊ îðèåíòèðî- ÇÀÄÀ×È 28 2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ âàííàÿ ïëîùàäü îêàæåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé ïðè îáõîäå ãðàíèöû ìíîãîóãîëüíèêà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. A2 A3 A4 A1 A5 O Ðèñ. 3 Èòàê, âû÷èñëåíèå ïëîùàäè ìíîãîóãîëüíèêà ñâåëîñü ê íàõîæäåíèþ îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà. Ïîñìîòðèì, êàê âûðàçèòü åå â êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü S îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a = (x1, y1) è b = (x2, y2). Âû÷èñëèì åå äëÿ êîíêðåòíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ (ðèñ. 4). Âåëè÷èíà S çäåñü ïîëîæèòåëüíà (ïàðà âåêòîðîâ a = OA è b = OB ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà). Äîñòðîèì íàø òðåóãîëüíèê äî ïàðàëëåëîãðàììà OACB ïëîùàäè 2S (çäåñü OC = OA + OB ). Òîãäà ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà OC1CC2 ðàâíà |OC1| ⋅ |OC2| = (x1 + x2)(y1 + y2) = = 2S + 2S1 + 2S2 + 2S3 = = 2S + x1y1 + x2y2 + 2x2y1 (çäåñü S1, S2, S3 îáû÷íûå íåîðèåíòèðîâàííûå ïëîùàäè). Ðàñêðûâ ñêîáêè â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà è âûðàçèâ 2S, ïîëó÷èì 2S = x1y2 x2y1. (1) y1 + y2 C2 C S1 S3 B y2 S S2 S2 b S A a S3 S1 x1 O Ðèñ. 4 C1 x1 + x2 Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî è ïðè äðóãèõ âàðèàíòàõ ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ ôîðìóëà (1) òàêæå îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé. Òàêèì îáðàçîì, îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a = (x1, y1) è b = (x2, y2), ðàâíà x1y2 x2y1. Âåëè÷èíà x1y2 x2y1 íàçûâàåòñÿ êîñûì (èëè ïñåâäîñêàëÿðíûì) ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b. Äëÿ êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìû áóäåì óïîòðåáëÿòü îáîçíà÷åíèå [a, b]. Åãî íàçâàíèå ñâÿçàíî ñî ñâîéñòâîì êîñîé ñèììåòðèè: [a, b] = [b, a] (â ëèòåðàòóðå ýòî îáîçíà÷åíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåãî êîñîå ïðîèçâåäåíèå ñêàëÿð). Òàê êàê íåîðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b, ðàâíà |a| ⋅ |b| ⋅ |sin ϕ|, à çíàê sin ϕ ñîâïàäàåò ñî çíàêîì îðèåíòèðîâàííîãî óãëà ϕ, òî [a, b] = |a| ⋅ |b | ⋅ sin ϕ. Âåëè÷èíà [a, b] áîëüøå íóëÿ, åñëè ïàðà âåêòîðîâ a è b ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà, è ìåíüøå íóëÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êîñîå ïðîèçâåäåíèå íåíóëåâûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè êîëëèíåàðíû (sin 0 = sin π = 0). Òåïåðü, êàê è îáåùàëè, íàéäåì â êîîðäèíàòàõ óãîë ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè. Ïóñòü ϕ îðèåíòèðîâàííûé óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a = (x1, y1) è b = (x2, y2). Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû äëÿ ñêàëÿðíîãî è êîñîãî ïðîèçâåäåíèé [a, b] x 1 y 2 x 2 y 1 = . Çíàÿ (a, b) x 1 x 2 + y 1 y 2 òàíãåíñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè, ìû ëåãêî íàéäåì óãîë ìåæäó ïðÿìûìè, íà êîòîðûõ ëåæàò a è b: îí ðàâåí ýòèõ âåêòîðîâ, èìååì tg ϕ = [a, b] . ×òîáû ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî ñàì óãîë (a, b) ìåæäó âåêòîðàìè, îñòàëîñü âûÿñíèòü, îñòðûé îí èëè òóïîé. Ýòî ìû îïðåäåëèì ïî çíàêó ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ó÷òåì åùå, ÷òî çíàê îðèåíòèðîâàííîãî óãëà ñîâïàäàåò ñî çíàêîì êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà îêîí÷àòåëüíî èìååì: arctg ϕ = π , åñëè (a, b) = 0, [a, b] > 0; 2 ϕ= π , åñëè (a, b) = 0, [a, b] < 0; 2 ϕ = arctg [a, b] , åñëè (a, b) > 0; (a, b) ϕ = arctg [a, b] + π, åñëè (a, b) < 0, [a, b] ≥ 0; (a, b) ϕ = arctg [a, b] π, åñëè (a, b) < 0, [a, b] < 0. (a, b) (2) Âåëè÷èíà îáû÷íîãî óãëà ðàâíà ìîäóëþ çíà÷åíèÿ îðèåíòèðîâàííîãî óãëà. Îòìåòèì, ÷òî âñå ñêàçàííîå îá îðèåíòèðîâàííûõ óãëàõ è ïëîùàäÿõ îòíîñèëîñü ê ïðàâîé ÑÊ. Ìîæåò ñòàòüñÿ, ÷òî äëÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è óäîáíåå ââåñòè ëåâóþ ÑÊ. Ê ïðèìåðó, êîîðäèíàòû ïèêñåëåé íà ýêðàíå ìîíèòîðà äàþòñÿ èìåííî â ëåâîé ÑÊ (îñü àáñöèññ ñìîòðèò âïðàâî, 2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ îñü îðäèíàò âíèç). Ïðè òàêîì âûáîðå îñåé ïîëîæèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ñ ýòîé ïîïðàâêîé âñå âûøåèçëîæåííîå ïðèìåíèìî è ê ëåâîé ÑÊ. Óðàâíåíèÿ ëèíèé 1.1. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè, çàäàííûå ñâîèìè êîîðäèíàòàìè. Ïóñòü íà ïðÿìîé çàäàíû äâå íåñîâïàäàþùèå òî÷êè: P1 ñ êîîðäèíàòàìè (x1, y1) è P2 c êîîðäèíàòàìè (x2, y2). Ñîîòâåòñòâåííî âåêòîð ñ íà÷àëîì â òî÷êå P1 è êîíöîì â òî÷êå P2 èìååò êîîðäèíàòû (x2 x1, y2 y1). Åñëè P(x, y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà íàøåé ïðÿìîé, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà P1P ðàâíû (x x1, y y1). Ñ ïîìîùüþ êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ óñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ P1P è P1P2 ìîæíî âûðàçèòü òàê: [P1P, P1P2 ] = 0, ò.å. (x x1)(y2 y1) (y y1)(x2 x1) = 0 (3) èëè (y2 y1)x + (x1 x2)y + x1(y1 y2) + y1(x2 x1) = 0 Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïåðåïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: ax + by + c = 0, (4) ãäå a = y2 y1, b = x1 x2 , c = x1(y1 y2) + y1(x2 x1). Èòàê, âñÿêóþ ïðÿìóþ ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì âèäà (4).  ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ïîêàæåì, ÷òî è íàîáîðîò, ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ (êðîìå a = b = 0) óðàâíåíèå òàêîãî âèäà çàäàåò íà ïëîñêîñòè íåêîòîðóþ ïðÿìóþ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðîãðàììèðîâàíèè ïåðâóþ èç ôîðìóë (3) íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü â ôîðìå îòíîøåíèÿ x2 x1 y y1 , òàê êàê, âî-ïåðâûõ, äàæå åñëè âñå = 2 x x1 y y1 êîîðäèíàòû çàäàííûõ òî÷åê öåëûå, îøèáêè âåùåñòâåííîé àðèôìåòèêè ïðè îïåðàöèè äåëåíèÿ íå ïîçâîëÿò ïðîâåðÿòü ñ ïîìîùüþ óêàçàííîãî ñîîòíîøåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòü òîé èëè èíîé òî÷êè äàííîé ïðÿìîé, à, âîâòîðûõ, åñëè òî÷êà P ñîâïàäåò ñ P1, ïðîãðàììà áóäåò ïðåðâàíà â ñèëó äåëåíèÿ íà íîëü. Óðàâíåíèå ïðÿìîé ìîæíî çàïèñûâàòü è â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå. Ëþáîé âåêòîð, ïðèëîæåííûé ê òî÷êå P1 è çàêàí÷èâàþùèéñÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå P(x, y), ëåæà- ÇÀÄÀ×È 29 è, çíà÷èò, òî÷êà P ëåæèò íà ïðÿìîé P1P2. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé (5), ãäå ïàðàìåòð t ïðîáåãàåò âñþ äåéñòâèòåëüíóþ îñü, çàäàåò ïðÿìóþ P1P2. Ýòà æå ñèñòåìà, íî ñî ââåäåííûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà çíà÷åíèÿ t, áóäåò çàäàâàòü è îòðåçîê P1P2, è ëó÷ P1P2. Äëÿ îòðåçêà t ∈[0, 1] (òî åñòü x ìåíÿåòñÿ â äèàïàçîíå [x1, x2], à y â äèàïàçîíå [y1, y2]), à äëÿ ëó÷à t ∈[0, ∞). 1.2. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, çàäàííîé îäíîé èç åå òî÷åê è âåêòîðîì íîðìàëè ê íåé. Ïóñòü çàäàííàÿ òî÷êà P0 ïðÿìîé èìååò êîîðäèíàòû (x0, y0), à íåêîòîðûé âåêòîð íîðìàëè n ê íåé (òî åñòü âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé íàøåé ïðÿìîé) êîîðäèíàòû (a, b). Åñëè P(x, y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà íàøåé ïðÿìîé, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà P0 P ðàâíû (x x0, y y0). Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ (n, P0 P ) ìîæíî âûðàçèòü òàê: (n, P0 P ) = a(x x0) + b(y y0) = 0. (6) Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå ïðÿìîé (6) òàêæå íåñëîæíî ïðèâåñòè ê âèäó (4). Òîãäà ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû a è b èç óðàâíåíèÿ (4) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîîðäèíàòû îäíîãî èç âåêòîðîâ íîðìàëè ê îïèñûâàåìîé äàííûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ a, b è c (êðîìå a = b = 0) óðàâíåíèå (4) çàäàåò ïðÿìóþ. Åþ áóäåò ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ âåêòîðó (a, b) è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó, ÷üè êîîðäèíàòû óäîâëåòâîðÿþò (4). Ïðè a ≠ 0 òàêîé òî÷êîé áóäåò, íàïðèìåð, òî÷êà c c ( , 0), ïðè a = 0 òî÷êà (0, ). b a Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ïîñòàíîâêà çàäà÷è íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ íåñêîëüêî èñêóññòâåííîé, èìåííî ñ åå ïîìîùüþ ìû ïîëó÷èëè óäîáíûé èíñòðóìåíò äëÿ ðàññìîòðåíèÿ öåëîãî ðÿäà äðóãèõ çàäà÷.  ÷åì ñåé÷àñ íàì è ïðåäñòîèò óáåäèòüñÿ. 1.3. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé äàííîé è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó. Ïóñòü çàäàííàÿ òî÷êà P0 èñêîìîé ïðÿìîé èìååò êîîðäèíàòû (x0, y0). Åñëè P(x, y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà òîé æå ïðÿìîé, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà P0 P ðàâíû (x x0, y y0). Ýòîò âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó ùåé íà íàøåé æå ïðÿìîé, ìîæíî ïîëó÷èòü èç P1P2 ïóòåì óìíîæåíèÿ íà íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî t. Òîãäà äëÿ êàæäîé èç êîîðäèíàò â îòäåëüíîñòè ñïðàâåäëèâî: (x x1) = t(x2 x1) è (y y1) = t(y2 y1). Âûðàçèâ îòñþäà x è y, ïîëó÷àåì ñèñòåìó ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðîé óäîâëåòâîðÿåò êàæäàÿ òî÷êà íàøåé ïðÿìîé: x = x1 + t(x2 x1), y = y1 + t(y2 y1). (5) Íàîáîðîò, åñëè êîîðäèíàòû (x, y) òî÷êè P óäîâëåòâî- âåêòîðîâ ( P1P2 , P0 P ) ìîæíî âûðàçèòü òàê: (x2 x1)(x x0) + (y2 y1)(y y0) = 0 (7) èëè (x2 x1)x + (y2 y1)y + (x2 x1)x0 + (y2 y1)y0 = 0. Åñëè æå èñõîäíàÿ ïðÿìàÿ çàäàíà êîýôôèöèåíòàìè a, b è c ñâîåãî óðàâíåíèÿ, òî ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âåêòîð åå íîðìàëè ñ êîîðäèíàòàìè (a, b) êîëëèíåàðåí ðÿþò ýòèì ñîîòíîøåíèÿì, âåêòîð P1P êîëëèíåàðåí P1P2 âåêòîðó P0 P . P1P2 , ãäå P1(x1, y1) è P2(x2, y2) òî÷êè íà äàííîé ïðÿìîé. Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ ÇÀÄÀ×È 30 Òîãäà, çàïèñûâàÿ êîñîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ âåêòîðîâ, ïîëó÷èì b(x x0) a(y y0) = 0. (8) 1.4. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è íàõîäÿùåéñÿ îò íåå íà çàäàííîì ðàññòîÿíèè r. Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûõ ïðÿìûõ äâå. Âåêòîð íîðìàëè ê èñõîäíîé ïðÿìîé îðòîãîíàëåí è êàæäîé èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ. Çíà÷èò, êîýôôèöèåíòû a è b ïðè x è y â óðàâíåíèè (4) äëÿ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ìîæíî âçÿòü òàêèìè æå, êàê è ó èñõîäíîé ïðÿìîé. Îñòàåòñÿ ïîäîáðàòü çíà÷åíèå äëÿ òðåòüåãî èç êîýôôèöèåíòîâ. Îáîçíà÷èì åãî äëÿ îäíîé ïðÿìîé c1, äëÿ âòîðîé c2. Êàê óæå áûëî ïîêàçàíî âûøå, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ äîñòàòî÷íî çíàòü õîòÿ áû ïî îäíîé òî÷êå íà êàæäîé ïðÿìîé. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P(x0, y0) íà èñõîäíîé ïðÿìîé (åñëè ïðÿìàÿ áûëà çàäàíà íå äâóìÿ òî÷êàìè, òî òî÷êó ìîæíî íàéòè ïî ðåöåïòó, ïðåäëîæåííîìó â êîíöå 1.2). Ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé. Íà ïàðàëëåëüíîé æå ïðÿìîé áóäåì èñêàòü òî÷êó M(x1, y1) åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ýòèì ïåðïåíäèêóëÿðîì (ðèñ. 5). Íàì èçâåñòåí îäèí âåêòîð íîðìàëè n = (a, b). Âåêòîð PM êîëëèíåàðåí åìó, à åãî äëèíà ðàâíà r. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî, êàê è íà ðèñóíêå, íîðìàëü ëåæèò ïî òó æå ñòîðîíó îò ïðÿìîé, ÷òî è òî÷êà M. Òîãäà r PM = n ⋅ x0 + a ⋅ 2 a + b2 r a 2 + b2 1.5. Óðàâíåíèå áèññåêòðèñû óãëà. Ïóñòü âåêòîðû P0 P1 (x1, y1) è P0 P2 (x2, y2) ïðèëîæåíû ê òî÷êå P0(x0, y0). Íàéäåì óðàâíåíèå áèññåêòðèñû óãëà P1P0P2. Åñëè ìû ðàçäåëèì êàæäûé èç âåêòîðîâ P0 P1 è P0 P2 íà åãî äëèíó, ïîëó÷èâ ïðè ýòîì âåêòîðû åäèíè÷íîé äëèíû, òî âåêòîð èõ ñóììû áóäåò ëåæàòü íà áèññåêòðèñå óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 6). Êîîðäèíàòû ýòîãî âåêòîðà ðàâíû x1 2 x1 + y1 2 + x2 2 x2 + y2 , y0 + b ⋅ r a 2 + b2 . Ïîäñòàâëÿÿ èõ â 2 y1 , 2 x1 + y1 r P Ðèñ. 5 Óðàâíåíèå îäíîé èç ïðÿìûõ ïîëó÷åíî.  êà÷åñòâå âåêòîðà íîðìàëè äëÿ äðóãîé ïðÿìîé ìîæíî èñïîëüçîâàòü âåêòîð PM .  ýòîì ñëó÷àå èìååì 2 c 2 = ax 0 by 0 + r a 2 + b . + y2 2 x2 + y22 . KKKKH P0P1 P0P1 KKKKH P0 P2 P0 P2 P2 P0 Ðèñ. 6 Èç óñëîâèÿ åãî êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðó P0 P , ãäå P(x, y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà èñêîìîé ïðÿìîé, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå áèññåêòðèñû: y1 + 2 2 x y + 1 1 y2 x22 + y22 (x x 0 ) x1 x2 + 2 x 2 +y 2 x2 + y22 1 1 M 2 P1 . Çíà÷èò, êîîðäèíàòû òî÷êè M ðàâíû óðàâíåíèå (6), ïîëó÷àåì c 1 = ax 0 by 0 r a 2 + b 2 . n 2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ ( y y 0 ) = 0 . (9) Ïðè íåîáõîäèìîñòè èç (9) íåñëîæíî ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíòû a, b è c äëÿ çàïèñè óðàâíåíèÿ íàéäåííîé ïðÿìîé â âèäå (4). 1.6. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Ïî îïðåäåëåíèþ îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå M0(x0, y0) è ðàäèóñîì r, òî÷êà M(x, y) ïðèíàäëåæèò åé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó M0 è M ðàâíî r. Çàïèñàâ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ìû ïðèäåì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè: (x x0)2 + (y y0)2 = r 2. (10) Íà ïðàêòèêå îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çíàíèå òàêæå è ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé îêðóæíîñòè. Îáðàòèìñÿ ñíà÷àëà ê îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Åñëè îáîçíà÷èòü çà t óãîë ìåæäó ðàäèóñîì-âåêòîðîì OM (çäåñü M(x, y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðóæíîñòè) ÇÀÄÀ×È 2002 ¹ 39 ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ è îñüþ Ox, îòñ÷èòûâàåìûé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òî î÷åâèäíî, ÷òî x = rcos t, y = rsin t. Çíà÷èò, äëÿ ïðîèçâîëüíîé îêðóæíîñòè ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áóäóò âûãëÿäåòü òàê: x = x0 + rcos t, (11) y = y0 + rsin t.  çàêëþ÷åíèå ïîêàæåì, êàê îïðåäåëèòü äëèíó l íàèìåíüøåé äóãè îêðóæíîñòè, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè (x0, y0) è êîíöîâ äóãè (x1, y1) è (x2, y2). Èç êóðñà ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî äëèíà îêðóæíîñòè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà óãëó ϕ ìåæäó âåêòîðàìè (x1 x0, y1 y0) è (x2 x0, y2 y0): l = r ϕ. À êàê âû÷èñëèòü çíà÷åíèå òàêîãî óãëà, óæå áûëî ïîêàçàíî âûøå (íàäî òîëüêî ó÷åñòü, ÷òî â ñëó÷àå ïîèñêà äëèíû íàèìåíüøåé èç äâóõ äóã íàñ èíòåðåñóåò íåîðèåíòèðîâàííûé óãîë â äèàïàçîíå [0, π]). 1.7. Êàñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòè. Ïóñòü îêðóæíîñòü èìååò öåíòð â òî÷êå P0(x0, y0) è ðàäèóñ r. Òðåáóåòñÿ íàéòè óðàâíåíèå êàñàòåëüíûõ ê íåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó P1(x1, y1). Çäåñü âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ. Åñëè |P0P1| < r , òî P1 ëåæèò âíóòðè îêðóæíîñòè è êàñàòåëüíûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íåå, íå ñóùåñòâóåò. Åñëè |P0P1| = r, òî P1 ëåæèò íà îêðóæíîñòè. Òîãäà ó èñêîìîé êàñàòåëüíîé íàì èçâåñòíû òî÷êà P1 è íîðìàëü P1P0 , è åå óðàâíåíèå ëåãêî âûïèñûâàåòñÿ (ñì. ï. 1.3). Íàêîíåö, â ñëó÷àå P0P1 > r òî÷åê êàñàíèÿ äâå, è, îáîçíà÷èâ îäíó èç íèõ P2, ìû èìååì ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê P0P2P1 (ðèñ. 7). Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ íàéòè èñêîìîå óðàâíåíèå â ëîá. Åñëè (x2, y2) êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ P2, òî ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà âûïèñûâàåòñÿ äëèíà îòðåçêà P1P2 (P0P2 = r, P0P1 âû÷èñëÿåòñÿ ïî èçâåñòíûì êîîðäèíàòàì). Äðóãîå ñîîòíîøåíèå íà êîîðäèíàòû x2 è y2 óðàâíåíèå îêðóæíîñòè (10). Îáà ýòè óðàâíåíèÿ êâàäðàòíûå. Ðåøåíèå òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñåðüåçíóþ òðóäíîñòü äëÿ ó÷àùèõñÿ. Ïîïðîáóåì îáîéòèñü áåç êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ ñêàëÿðíîå è êîñîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ. P2 P0 Ìû áóäåì èñêàòü êîîðäèíàòû a = x2 x1 è b = y2 y1 âåêòîðà P1P2 . Êàê óæå áûëî ñêàçàíî âûøå, äëèíû ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà P0P2P1 ëåãêî íàõîäÿòñÿ. Âûïèøåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ P1P2 è P1P0 : ( P P , P P ) = |P1P2| ⋅ |P1P0| ⋅ cos ϕ = |P1P2|2. 1 2 1 0 Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîñîãî ïðîèçâåäåíèÿ [ P1P0 , P1P2 ] óäâîåííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà P0P2P1, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ïëþñ äëÿ îäíîé èç òî÷åê êàñàíèÿ è ñ ìèíóñîì äëÿ äðóãîé: [ P1P0 , P1P2 ] = ±|P0P2| ⋅ |P1P2|. Çàïèñûâàÿ ýòè æå ïðîèçâåäåíèÿ â êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî a è b: (x0 x1) ⋅ a + (y0 y1) ⋅ b = |P1P2|2, (x0 x1) ⋅ b (y0 y1) ⋅ a = ±|P0P2| ⋅ |P1P2|. Òàêóþ ñèñòåìó ðåøèòü óæå íåñëîæíî. Äàëåå ïî òî÷êå P1(x1, y1) è íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó P1P2 = (a, b) âûïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé. Çàäà÷à ðåøåíà. Åñëè æå íàì òðåáóåòñÿ åùå íàéòè è êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ, òî ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ êîîðäèíàòû òî÷êè P1 è íàéäåííûå êîîðäèíàòû âåêòîðà P1P2 . Ê ðåøåíèþ ýòîé æå çàäà÷è åñòü ïîäõîä, ïðè êîòîðîì íå ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü äàæå ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îïóñòèì èç âåðøèíû P2 ïðÿìîãî óãëà âûñîòó P2P3 (ðèñ. 7). Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ P1P2P0 è P1P3P2 íàéäåì äëèíû îòðåçêîâ P 1 P 3 è P 3 P 2 : P1P3 = P2 P3 = P1P2 ⋅ P0 P2 P0 P1 P3 P1 P1P2 P0 P1 2 ; . Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì êî- îðäèíàòû âåêòîðà P1P3 , òî÷êè P3(x3, y3) è, íàêîíåö, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå êîîðäèíàòû âåêòîðà n = (y0 y1, x1 x0), ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ïðÿìîé P1P3, êîîðäèíàòû òî÷êè P2: P1P3 = P1P0 ⋅ r 31 P1P3 ; P1P0 x3 = x1 + ( P1P3 )x , y3 = y1 + ( P1P3 )y; P3P2 = n ⋅ P3P2 ; n x2 = x3 + ( P3P2 )x , y2 = y3 + ( P3P2 )y. Ðèñ. 7 Ïðîäîëæåíèå â ¹ 41/2002