Множество комплексных чисел

8
Примеры :
1) Пусть A = [2,5] m=infA=2, M=supA=5.
2) Пусть A = (2,5) m=infA=2, M=supA=5.
3) Пусть A = {x x 2 < 5, x ∈ R}, m = inf A = − 5 , M = sup A = 5 .
Множество комплексных чисел
Основные понятия Существуют задачи, для решения которых
действительных чисел недостаточно. Например, уравнение
x2 +1= 0 .
Обозначим :
i = −1
Определение. Комплексным числом z называется число вида
z = x + iy , где x , y ∈ R
2
а i удовлетворяет условию i = −1 .
Число x называется действительной частью комплексного числа z, а число y
мнимой частью комплексного числа z. Приняты обозначения :
x = Re( x + iy ) = Re z , y = Im( x + iy ) = Im z .
(от фр. reèl - действительный, imaginiare - мнимый).
Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда раны
действительные и мнимые части т.е.
⎧x1 = x 2
x1 + iy1 = x 2 + iy 2 ⇔ ⎨
⎩ y1 = y 2
Комплексное число z = 0 + 0i называется нулем и совпадает с нулем
действительных чисел.
Определение. Комплексное число z = x − iy называется сопряженным числу
z = x + iy , вообще два комплексных числа отличающихся лишь знаком комплексной
части, называются комплексно-сопряженными.
Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль комплексного
числа.
Комплексное число z = x + iy изображается точкой с координатами ( x , y ) ∈ R 2 .
При этом координатную плоскость XOY называют комплексной плоскостью.
Определение Расстояние от точки z(x,y) до начала координат называется
модулем комплексного числа z (обозначается обычно r)
z = r = x2 + y2 .
Определение Аргументом комплексного числа z называется угол ϕ, который
образует радиус-вектор точки (x,y) с положительным направлением оси ОХ
Для z ≠ 0 аргумент определяется равенствами :
9
cos ϕ =
x
=
z
x
x2 + y2
, sin ϕ =
y
x2 + y2
.
Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент с точностью до
слагаемого 2πk , k ∈ Z .
Значение аргумента, удовлетворяющее условию − π < ϕ ≤ π называется
главным.
Argz = arg z + 2πk , k ∈ Z .
y
Геометрическая интерпретация
комплексного числа
z(x,y)
r =
z
0
x
Пример Определить, какое множество точек комплексной плоскости
определяется следующими условиями
1) Re z = α .
2) α ≤ Re z ≤ β .
3) Im z < γ .
4) r1 ≤ z ≤ r2 .
5) α < arg z < β .
6) z − a < r .
7) r1 < z − a < r2 .
y
0
x
10
y
y
y=
0
x
0
x
α ≤ Re z < β ∪ γ < Imz ≤ δ
y
y
r1
r2
x
0
0
r
2
<
z
≤
r1
α < a rg z < β
y
x
y
r2
r
r1
a
0
x
z−a < r
0
r1 < z ≤ r 2
x
Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными
числами в алгебраической форме.
11
Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой
комплексного числа.
Сумма комплексных чисел
z1 + z 2 = ( x1 + iy1 ) + ( x 2 + iy 2 ) = ( x1 + x 2 ) + i( y1 + y 2 )
Разность комплексных чисел
z1 − z 2 = ( x1 + iy1 ) − ( x 2 + iy 2 ) = ( x1 − x 2 ) + i( y1 − y 2 )
Умножение комплексных чисел
z1 z 2 = ( x1 + iy1 )( x 2 + iy 2 ) = x1 x 2 + x1 y 2 i + x 2 y1i + y1 y 2 i 2 =
= ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + i( x1 y 2 + y1x 2 )
Заметим, что произведение двух комплексно-сопряженных чисел равно
действительному числу.
Деление комплексных чисел определяется как операция обратная умножению
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x 2 − iy 2 ) ( x1 x 2 + y1 y 2 ) + i( x 2 y1 − x1 y 2 )
=
=
=
=
z 2 x 2 + iy 2 ( x 2 + iy 2 )( x 2 − iy 2 )
x 22 + y 22
(x x + y1 y2 ) + i x2 y1 − x1 y2 .
= 1 22
x2 + y 22
x22 + y 22
Возведение комплексного числа в степень n (n∈N) рассматривается как
умножение z самого на себя n раз. Определим натуральные степени i
⎧1 ∀n = 4k ,
⎪i ∀n = 4k + 1,
⎪
n
i =⎨
k ∈N .
⎪− 1 ∀n = 4k + 2,
⎪⎩− i ∀n = 4k + 3,
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над
комплексными числами в тригонометрической форме.
y
Тригонометрическая форма
комплексного числа
z(x,y)
0
x
12
Воспользуемся геометрической интерпретацией комплексного числа
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
(2)
Выражение (2) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Здесь r - расстояние от точки z до начала координат, ϕ -угол между осью ОХ и лучом
ОМ. При этом
x = r cosϕ , y = r sin ϕ .
Для того, чтобы перейти от алгебраической формы к тригонометрической выпишем
формулы, связывающие декартовы и полярные координаты :
r = z = x2 + y2 ,
cos ϕ =
x
=
r
x
x +y
2
2
, sin ϕ =
y
=
r
y
x + y2
2
.
Для определения аргумента запишем равенство :
y
.
x
tgϕ =
Пример : Представить в тригонометрической форме число z = −1 − i 3 .
Тригонометрической формой комплексного числа удобно пользоваться при
умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня
Пусть
z1 = r1 ( cosϕ1 + i sin ϕ1 ) , z 2 = r2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) .
Тогда
z1 z 2 = r1r2 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) =
= r1r2 ((cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 ) + i (sin ϕ1 cos ϕ 2 + sin ϕ 2 cos ϕ1 )) =
(
= r1r2 cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )
т. е.
)
z1 z2 = r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))
Аналогичным образом, при z 2 ≠ 0
z1 r1
= (cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ))
z 2 r2
При возведении в степень комплексного числа имеем
(
)
z n = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
n
= r n ( cos nϕ + i sin nϕ )
Из последней формулы при r = 1 получим
(cosϕ + i sin ϕ )
n
= (cos nϕ + i sin nϕ )
(3)
Формулу (3) часто называют формулой Муавра
(Абрахам де Муавр 1667 - 1754) - английский
математик)
Корень n z 0 степени n∈N из комплексного числа
z 0 определяется как комплексное число z, которое,
13
будучи возведено в степень n, дает z 0 .
z n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) = r0 ( cos ϕ 0 + i sin ϕ 0 ) ⇒
ϕ + 2kπ
, k ∈ Z , r = n r0 .
⇒ r n = r0 , nϕ = ϕ 0 + 2kπ или ϕ = 0
n
Итак
ϕ + 2 kπ
ϕ + 2 kπ ⎞
⎛
z = n z 0 = n r0 ⎜ cos 0
+ i sin 0
⎟
⎠
⎝
n
n
(4)
Из формулы (4) следует, что среди значений n z 0 различными являются только n, все
они получаются при k = 0,1,2, ..., n − 1 .
Пример Пусть z1 = 1 − i 3 , z 2 = 1 + i . Нужно записать эти значения в
тригонометрической форме и найти z1 z 2 ;
z1 2 3
; z ; z2 .
z2 1
Преобразуем число z1 к виду
(
)
⎛1
3 ⎞
z1 = 2⎜⎜ −
i ⎟⎟ .
⎝2 2 ⎠
2
Мы учли, что r = z1 = 12 + − 3 = 2 . Следовательно
1
⎧
⎪⎪cosϕ1 = 2 ,
π
⇒ ϕ1 = − ;
⎨
3
⎪sin ϕ = − 3
1
⎪⎩
2
Тригонометрический вид этого числа:
⎛ ⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎞
z1 = 2⎜⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ ⎟⎟ .
⎝ 3 ⎠⎠
⎝ ⎝ 3⎠
Аналогично
π
π⎞
⎛
z 2 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟
4
4⎠
⎝
Тогда
⎛ ⎛ π π⎞
⎛ ⎛ π ⎞
⎛ π π ⎞⎞
⎛ π ⎞⎞
z1 ⋅ z 2 = 2 2 ⎜⎜ cos⎜ − + ⎟ + i sin⎜ − + ⎟ ⎟⎟ = 2 2 ⎜⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ ⎟⎟;
⎝ 3 4 ⎠⎠
⎝ 12 ⎠ ⎠
⎝ ⎝ 3 4⎠
⎝ ⎝ 12 ⎠
z1
⎛ ⎛ 7π ⎞
⎛ 7π ⎞ ⎞
= 2 ⎜⎜ cos⎜ −
⎟ + i sin⎜ −
⎟ ⎟⎟
z2
⎝ 12 ⎠ ⎠
⎝ ⎝ 12 ⎠
Три значения
3
z 2 получаем по формуле
⎛ ⎛π
⎞
⎛π
⎞⎞
⎜ ⎜ + 2πk ⎟
⎜ + 2πk ⎟ ⎟
3 z = 6 2 ⎜ cos⎜ 4
⎟ + i sin ⎜ 4
⎟ ⎟, где k = 0,1,2.
2
⎜ ⎜
3
3
⎟
⎜
⎟⎟
⎟
⎜
⎟⎟
⎜ ⎜
⎠
⎝
⎠⎠
⎝ ⎝
π
π ⎞
⎛
При k=0 получаем 3 z 2 0 = 6 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ,
12
12 ⎠
⎝
14
При k=1
3
При k=1
3
3π
3π ⎞
⎛
z 2 1 = 6 2 ⎜ cos
+ i sin
⎟;
4
4 ⎠
⎝
17π
17π ⎞
⎛
z 2 2 = 6 2 ⎜ cos
+ i sin
⎟;
12
12 ⎠
⎝
Если нанести на комплексную плоскость эти числа, то они будут располагаться
по вершинам правильного треугольника.
Показательная форма комплексного числа.
Чтобы получить ее воспользуемся формулой Эйлера (Леонард Эйлер 1707 - 1783 )
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
Далее используем запись комплексного числа в тригонометрической форме
z = re iϕ
(5)
Формула (5) и есть показательная формула комплексного числа.
Если z1 = r1e iϕ и z 2 = r2 e iϕ , то
1
2
z1 z 2 = r1 r2 e i(ϕ1 +ϕ 2 )
Если z 2 ≠ 0 ,
z1 r1 i (ϕ1 −ϕ2 )
= e
z 2 r2
Если n∈N, z = re iϕ , то
z n = r n e inϕ ; z k = n re iϕ = n re i(ϕ + 2 kπ ) n , k = 0,1,2, ..., n − 1.
Решение уравнений в С.
Рассмотрим уравнение
ax 2 + bx + c = 0,
a , b, c ∈ R
Если дискриминант этого уравнения ноль или положителен, то уравнение имеет
действительные корни. В случае отрицательного дискриминанта получаем
комплексные корни
x1, 2 =
−b±i D
.
2a
Таким образом, любые квадратные уравнения разрешимы в С.
В случае двучленных уравнений
zn − a = 0
a ≠ 0 комплексное число. Тогда корни можно найти
по известным формулам извлечения корня степени n
из комплексного числа.
Рассмотрим алгебраическое уравнение степени
n c комплексными коэффициентами
an z n + an −1 z n −1 +...+ a1z + a0 = 0, an ≠ 0, n ∈ Z .
Вопрос о существовании корней решается с
помощью теоремы Гаусса
(Карл Фридрих Гаусс 1777 - 1855 )
15
Теорема Каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел
хотя бы один корень.
Эта теорема носит еще название основной теоремы алгебры.
Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то
можно сформулировать следующую теорему:
Теорема Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве
комплексных чисел имеет ровно n корней.
Впервые «мнимые числа» появились в книге «Алгебра» итальянского
математика Рафаэля Бомбелли (1530-1572), изданной в год смерти ученого. В этой
книге дано изложение простейших правил действий над ними и их применение к
исследованию кубического уравнения в случае, когда уравнение имеет три
действительных корня, а в формуле, определяющей эти корни, присутствует
квадратный корень из отрицательного числа. Однако, для многих крупных ученых
XVII в., включая И. Ньютона (1643-1727) и Г. Лейбница (1646-1716), алгебраическая
и геометрическая сущность комплексных чисел оставалась загадочной и
мистической. А. Муавр (1667-1754) вывел для комплексных чисел формулу
возведения в натуральную степень и извлечения корня с натуральным показателем.
Формула
( cosϕ +i sin ϕ )n= cos nϕ +i sin nϕ
нашла широкое применение в тригонометрии.
Символ i= − 1 введен в 1777 г. Л. Эйлером (17071783), термин «комплексное число» ввел в 1803 г. Л. Карно
(1753-1823). Полное геометрическое истолкование
комплексных чисел и действий над ними дал в 1799 г.
датский математик К. Вессель (1745-1818). Наиболее
эффективное применение комплексных чисел в математике
осуществили в XVIII - XIX вв. Л. Эйлер и К. Ф. Гаусс,
доказавшие, что любой многочлен с действительными или
комплексными коэффициентами имеет во множестве
комплексных чисел хотя бы один корень. Этот результат
впоследствии был назван «основной теоремой алгебры». Ф.
Гаусс построил теорию целых комплексных чисел, с помощью которой были
получены новые результаты и даны более простые доказательства известных теорем
для обычных целых чисел.