ÒÅÌÀ 9. Ýëåìåíòû ìíîãîìåðíîé ãåîìåòðèè Öåëü è çàäà÷è. Öåëü êîíòåíòà òåìû 9 ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ ýëåìåíòàìè ìíîãîìåðíîé ãåîìåòðèè, âîñòðåáîâàííûìè êàê â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ äèñöèïëèíû "Ìàòåìàòèêà", òàê è â ðàçëè÷íûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ. Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 9: • Ââåñòè ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè (è, â ÷àñòíîñòè, ãèïåðïëîñêîñòè) â Rn . • Ïðèâåñòè êðèòåðèè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãèïåðïëîñêîñòåé. • Óñòàíîâèòü ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ðåøåíèé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. • Çàäàòü àíàëèòè÷åñêè è óñòàíîâèòü ñâîéñòâà ïðÿìûõ è îòðåçêîâ â Rn . • Îòìåòèòü ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ. Îãëàâëåíèå. 9.1. Ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêèå è íåÿâíûå óðàâíåíèÿ ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ãèïåðïëîñêîñòü. 9.2. Ïðÿìàÿ è îòðåçîê â Rn . Ïîíÿòèå âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà. 9.1 Ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêèå è íåÿâíûå óðàâíåíèÿ ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ãèïåðïëîñêîñòü. Ïåðåä çíàêîìñòâîì ñ ìàòåðèàëîì, ïðåäñòàâëåííûì íèæå, ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ ïîâòîðèòü ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ, òåìû è ðàçäåëû: • câîéñòâà âåùåñòâåííîãî n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Rn ( 4.4); • ïîíÿòèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è ïîäïðîñòðàíñòâà, ñâîéñòâà áàçèñà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ( 1.1 è 1.3); 1 • ïîíÿòèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè âåêòîðîâ, ñòðóêòóðà ìíîæåñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ( 3.3 è 3.4); • ïðÿìûå è ïëîñêîñòè (ãëàâà 5). Ïóñòü S m ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè m ïðîñòðàíñòâà Rn , 0 ≤ m ≤ n, {l1 , l2 , . . . , lm } áàçèñ ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, x̄ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà èç Rn . Ìíîæåñòâî π m òî÷åê èç Rn íàçûâàþò m-ìåðíîé ïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå Rn â íàïðàâëåíèè ïîäïðîñòðàíñòâà S m , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x̄, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå x ∈ π m ⇐⇒ (x − x̄) ∈ S m . (9.1.1) Îáîçíà÷èì ÷åðåç t1 , t2 , . . . , tm âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû âåêòîðà (x − x̄) â áàçèñå {l1 , l2 , . . . , lm }. Òîãäà óñëîâèå (9.1.1) ìîæíî çàïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå m x ∈ π ⇐⇒ x = x̄ + èëè m X tk lk , ãäå tk ∈ R1 , (9.1.2) k=1 π m = x̄ + Lin{l1 , l2 , . . . , lm }. (9.1.3) Äàííîå îïðåäåëåíèå îáîáùàåò ïîíÿòèå ïëîñêîñòè íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî óñëîâèå (9.1.2) çàäàåò ïëîñêîñòü π m ïðè ïîìîùè ïàðàìåòðè÷åñêîãî (ÿâíîãî) óðàâíåíèÿ, ãäå â ðîëè ïàðàìåòðîâ âûñòóïàþò ÷èñëà t1 , t2 , . . . , tm . Ïîäïðîñòðàíñòâî S m íàçûâàþò íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïëîñêîñòè π m . Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå âàðèàíòû m-ìåðíûõ ïëîñêîñòåé â "ïðèâû÷íîì" òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 . • m = 0 : íàïðàâëÿþùåå ïðîñòðàíñòâî S 0 = {0}, 0-ìåðíàÿ ïëîñêîñòü π 0 ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé òî÷êè x̄; • m = 1 : l1 åäèíñòâåííûé áàçèñíûé âåêòîð íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà S 1 , â ñîîòâåòñòâèè ñ (9.1.3) π 1 = {x ∈ R3 | x = x̄ + t1 l1 , t1 ∈ R1 } îáû÷íàÿ ïðÿìàÿ p â ïðîñòðàíñòâå R3 (ñì. 5.6); • m = 2 : {l1 , l2 } áàçèñ íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà S 2 , π 2 = {x ∈ R3 | x = x̄ + t1 l1 + t2 l2 , t1 ∈ R1 , t2 ∈ R1 } "îáû÷íàÿ" ïëîñêîñòü π â ïðîñòðàíñòâå R3 (ñì. 5.4); 2 • m = 3 : â ýòîì ñëó÷àå íàïðàâëÿþùåå ïîäïðîñòðàíñòâî S 3 è òðåõìåðíàÿ ïëîñêîñòü π 3 ñîâïàäóò ñ ñàìèì ïðîñòðàíñòâîì R3 . Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå x̄ = 0̄ ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü îáÿçàòåëüíî ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (íóëåâîé ýëåìåíò â Rn ) è ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, òàê êàê ñîâïàäàåò ñî ñâîèì íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Îñòàíîâèìñÿ íèæå íà ñëó÷àå, êîãäà ðàçìåðíîñòü íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà ðîâíî íà åäèíèöó ìåíüøå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà Rn .  ýòîì ñëó÷àå ìíîãîìåðíóþ ïëîñêîñòü π n−1 íàçûâàþò ãèïåðïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå Rn . Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. • Ïðÿìàÿ p íà ïëîñêîñòè R2 ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå R2 (ñì. 5.1). • "Îáû÷íàÿ" ïëîñêîñòü π â ïðîñòðàíñòâå R3 ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â äàííîì ïðîñòðàíñòâå (ñì. 5.4). • Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê âèäà (x1 , x2 , . . . , xk−1 , 0, xk+1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ãäå âñå êîîðäèíàòû, êðîìå k -é, ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ π n−1 â ïðîñòðàíñòâå Rn . Åå íàçûâàþò k -é êîîðäèíàòíîé ãèïåðïëîñêîñòüþ. Îòìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 ⊂ Rn , ïîìèìî ÿâíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (9.1.2), ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ïðè ïîìîùè òàê íàçûâàåìîãî îáùåãî óðàâíåíèÿ b1 x1 + b2 x2 + . . . + bn xn + b0 = 0, ãäå (9.1.4) ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç ïåðâûõ n êîýôôèöèåíòîâ b1 , . . . , bn îòëè÷åí îò íóëÿ. Êîýôôèöèåíòû b1 , b2 , . . . , bn â îáùåì óðàâíåíèè ãèïåðïëîñêîñòè óäîáíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê êîîðäèíàòû åå íîðìàëüíîãî âåêòîðà. Àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 , çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì (9.1.4), è ãèïåðïëîñêîñòè π∗n−1 , çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn + c0 = 0, ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ 5.2 è 5.5. À èìåííî, ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 è π∗n−1 ñ÷èòàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè b1 c1 + b2 c2 + . . . + bn cn = 0. 3 Ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 è π∗n−1 ñ÷èòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè ïåðâûå n êîýôôèöèåíòîâ èõ îáùèõ óðàâíåíèé ïðîïîðöèîíàëüíû: b1 b2 bn = = ... = . c1 c2 cn bk = const ïðè k = 0, 1, . . . , n, ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 è π∗n−1 ñîâïàäàþò. ck Ñòîëü æå åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîíÿòèÿ óãëà ìåæäó ïðÿìûìè â R2 (ïëîñêîñòÿìè â R3 ) è ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ýòèõ îáúåêòîâ (ñì. 5.2 è 5.4) ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ñëó÷àé ãèïåðïëîñêîñòåé â Rn . Îòìåòèì, ÷òî ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 , çàäàííàÿ îáùèì óðàâíåíèåì (9.1.4), äåëèò âñå ïðîñòðàíñòâî Rn íà äâå ÷àñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ ëåâàÿ ÷àñòü (9.1.4) ñîõðàíÿåò îïðåäåëåííûé çíàê (ñðàâíèòå ñ 5.3 è 5.5). Ìíîæåñòâà Åñëè è n−1 π+ = {x ∈ Rn | b1 x1 + b2 x2 + . . . + bn xn + b0 > 0} (9.1.5) n−1 π− = {x ∈ Rn | b1 x1 + b2 x2 + . . . + bn xn + b0 < 0} (9.1.6) íàçûâàþò ïîëóïðîñòðàíñòâàìè â Rn (ïîëîæèòåëüíûì è îòðèöàòåëüíûì ñîîòâåòñòâåííî). Ýòî îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ãðàíèöà ìåæäó íèìè ñàìà ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 . Óñòàíîâèì ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé è íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïóñòü (çäåñü è äàëåå äî êîíöà § 9.1 ìû ñîõðàíÿåì îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûå ðàíåå â 3.3 è 3.4) Ax = b (9.1.7) ñèñòåìà ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n ïåðåìåííûõ x1 , x 2 , . . . , x n , Ax = 0̄ (9.1.8) ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìå (9.1.7) îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, r = rang A < n, {x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r } ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñèñòåìû (9.1.8), x íåêîòîðîå (÷àñòíîå) ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.7). Òîãäà ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.8) W n−r = {x ∈ Rn | x = c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r } = Lin{x1 , . . . , xn−r }, ãäå c1 , c2 , . . . , cn−r ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè (n − r) ïðîñòðàíñòâà Rn . Îäíîâðåìåííî 4 W n−r ÿâëÿåòñÿ (n − r)-ìåðíîé ïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò 0̄. Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.7) Ω = {x ∈ Rn | x = x + c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r }, ãäå c1 , c2 , . . . , cn−r ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé (n − r)-ìåðíóþ ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó x, ñ íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì W n−r . Ó÷èòûâàÿ ïðåäûäóùèå ðåçóëüòàòû, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî íåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà (9.1.7) çàäàåò íåÿâíî ìíîãîìåðíóþ ïëîñêîñòü π n−r â ïðîñòðàíñòâå Rn (ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó x, c íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì W n−r ).  ÷àñòíîñòè, åñëè ñèñòåìà (9.1.7) ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî óðàâíåíèÿ, òî äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåÿâíûì óðàâíåíèåì ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 â ïðîñòðàíñòâå Rn . Âûøå ìû íàçâàëè ýòî óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè îáùèì (ñì. (9.1.4)). Ïðèìåð 9.1.1. Ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü π m â R4 çàäàíà íåÿâíî ñëåäóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé: 2x1 − 3x2 − 12x3 + 10x4 = −1 2x1 + x2 + 4x3 − 2x4 = 3 . 10x1 − 7x2 − 28x3 + 26x4 = 3 (9.1.9) Íàéäåì ðàçìåðíîñòü m ýòîé ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè, áàçèñ åe íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà è çàïèøåì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ π m . Ðåøåíèå ñèñòåìû (9.1.9) ìåòîäîì Ãàóññà ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó îáùåìó ðåøåíèþ: 1 − x4 2 = 1 − 4x3 + 3x4 ∈ R 1 , x4 ∈ R 5 . x1 = 1 x2 x3 Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû: x 1 = (0, −4, 1, 0)T ; 1 x 2 = (− , 3, 0, 1)T . 2 Óäîáíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.9): x = (1, 1, 0, 0)T . Òîãäà îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.9) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå W 2 = x + Lin{x1 , x2 }. 5 Ñëåäîâàòåëüíî, π m ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíóþ ïëîñêîñòü â R4 , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (1, 1, 0, 0), áàçèñ åå íàïðàâëÿþùåãî ïðîñòðàíñòâà 1 {l1 = (0, −4, 1, 0); l2 = (− , 3, 0, 1)}. 2 Ïàðàìåòðè÷åñêèå (ÿâíûå) óðàâíåíèÿ äâóìåðíîé ïëîñêîñòè π 2 : 1 − t2 2 = 1 − 4t1 + 3t2 , = t1 = t2 x1 = 1 x2 x3 x4 t 1 , t2 ∈ R 1 . Ïðèìåð 9.1.2. Ïðîâåäåì àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òðåõ ãèïåðïëîñêîñòåé â R4 : π13 : 2x1 − x2 + 2x4 − 3 = 0 3 π2 : −x1 + x3 + x4 − 2 = 0 1 3 π3 : −x1 + 2 x2 − x4 + 1 = 0 è íàéäåì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (1, −2, 3, −1) äî ãèïåðïëîñêîñòè π13 . Îòìåòèì, ÷òî ãèïåðïëîñêîñòè π13 è π23 îðòîãîíàëüíû, ïîñêîëüêó (2, −1, 0, 2) .(−1, 0, 1, 1) = 0, à ãèïåðïëîñêîñòè π13 è π33 ïàðàëëåëüíû, òàê êàê 2 −1 0 2 = = = , −1 1/2 0 −1 íî íå ñîâïàäàþò. Åñòåñòâåííî, ãèïåðïëîñêîñòè π33 è π23 òàêæå îðòîãîíàëüíû. ρ(M, π13 ) = |2 · 1 − 1 · (−2) + 0 · 3 + 2 · (−1) − 3| | − 1| 1 p = = . 3 3 22 + (−1)2 + 02 + 22 Êðîìå òîãî, òî÷êà M ëåæèò â îòðèöàòåëüíîì ïîëóïðîñòðàíñòâå (îòíîñèòåëüíî π13 ). 9.2 Ïðÿìàÿ è îòðåçîê â Rn. Ïîíÿòèå âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà Ïóñòü x̄ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà â ïðîñòðàíñòâå Rn , l íåíóëåâîé âåêòîð òîãî æå ïðîñòðàíñòâà, t ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, êîòîðûé ìîæåò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ. 6 Îäíîìåðíóþ ïëîñêîñòü π 1 = p, îïðåäåëÿåìóþ ïàðàìåòðè÷åñêèì (ÿâíûì) óðàâíåíèåì x = x̄ + tl, (9.2.1) îáû÷íî íàçûâàþò ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x̄ è ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì l. Óðàâíåíèå (9.2.1) íàçûâàþò òàêæå âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé p. Åãî ìîæíî çàïèñàòü è â êîîðäèíàòàõ: x1 = x̄1 + α1 t x2 = x̄2 + α2 t , t ∈ R1 , ··· xn = x̄n + αn t (9.2.2) ãäå α1 , α2 , . . . , αn êîîðäèíàòû íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà l, à òàêæå â âèäå êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé x1 − x̄1 x2 − x̄2 xn − x̄n = = ... = . α1 α2 αn (9.2.3) Îòìåòèì, ÷òî ââåäåííîå âûøå ïîíÿòèå ïðÿìîé p â ïðîñòðàíñòâå Rn åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåò ïîíÿòèå ïðÿìîé p íà ïëîñêîñòè R2 è â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 (ñðàâíèòå óðàâíåíèÿ (9.2.1), (9.2.2) ñ óðàâíåíèÿìè (5.1.4), (5.1.5) è (5.6.1), (5.6.2)). Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïðåäñòàâëåííûå â 5.1 5.3 è 5.6 íå èçìåíÿòñÿ ñîäåðæàòåëüíî ïðè àíàëèçå ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå Rn . Ïðèâåäåì íèæå ëèøü íåêîòîðûå èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ. Ïóñòü l1 = (α1 , α2 , . . . , αn ) íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé p1 ⊂ Rn , à l2 = (β1 , β2 , . . . , βn ) íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé p2 èç ýòîãî æå ïðîñòðàíñòâà. Ôîðìóëà ϕ = arccos |l1 .l2 | = |l1 | · |l2 | |α1 β1 + α2 β2 + . . . + αn βn | p α12 + α22 + . . . + αn2 β12 + β22 + . . . + βn2 = arccos p (9.2.4) îïðåäåëÿåò óãîë ϕ ∈ [0, π2 ] ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè. Ïðÿìûå p1 è p2 èç Rn ñ÷èòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè èõ íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ëèíåéíî çàâèñèìû, ò. å. l1 = λl2 , ãäå λ îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî, èëè α1 α2 αn = = ... = . β1 β2 βn Ïðÿìûå p1 è p2 èç Rn ñ÷èòàþò îðòîãîíàëüíûìè, åñëè l1 .l2 = α1 β1 + α2 β2 + . . . + αn βn = 0. (9.2.5) (9.2.6) 7 Ïðèìåð 9.2.1. Ïîäìíîæåñòâî p1 = {x ∈ Rn | x = (x1 , 0, 0, . . . , 0), x1 ∈ R1 } ïðîñòðàíñòâà Rn ïðèíÿòî íàçûâàòü ïåðâîé êîîðäèíàòíîé îñüþ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî p1 ïðÿìàÿ â Rn , äîñòàòî÷íî âûáðàòü åå íàïðàâëÿþùèé âåêòîð l1 = (1, 0, 0, . . . , 0) è ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó x̄ = 0̄ ∈ p1 . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ îñòàëüíûå (n − 1) êîîðäèíàòíûõ îñåé p2 , p3 , . . . , pn ïðîñòðàíñòâà Rn . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ðàçëè÷íûå êîîðäèíàòíûå îñè îðòîãîíàëüíû. ¯ ðàçëè÷íûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà Rn . Îíè Ïóñòü x̄ è x̄ îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ p, â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà êîòîðîé ìîæíî ¯ − x̄) : âçÿòü âåêòîð (x̄ ¯ − x̄), t ∈ R1 }. p = {x ∈ Rn | x = x̄ + t(x̄ (9.2.7) Åñëè ÷èñëîâîé ïàðàìåòð âûáðàòü ðàâíûì íóëþ, òî÷êà x ñîâïàäåò ñ òî÷¯ , ïðè t = 12 òî÷êà x ðàñïîëîæèòñÿ íà ïðÿìîé êîé x̄, ïðè t = 1 ïîëó÷èì x = x̄ ¯ . Ïåðåáèðàÿ ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ p ðîâíî ïîñåðåäèíå ìåæäó òî÷êàìè x̄ è x̄ ïàðàìåòðà t, áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ïîëîæåíèÿ òî÷êè x = x(t) íà ïðÿìîé p (ñì. ðèñ. 9.1). t<0 1 t=0 t= 2 x t=1 t>1 p x Ðèñ. 9.1. Ïîëîæåíèå òî÷êè x(t) íà ïðÿìîé p  ÷àñòíîñòè, åñëè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t îãðàíè÷èòü ìíîæåñòâîì [0, 1], òî÷êà x = x(t) áóäåò çàíèìàòü ëþáûå ïîëîæåíèÿ íà ïðÿìîé p "ìåæäó" ¯ (âêëþ÷èòåëüíî). òî÷êàìè x̄ è x̄ Îïðåäåëåíèå 9.2.1. Ïîäìíîæåñòâî ¯ ] = {x ∈ Rn | x = x̄ + t(x̄ ¯ − x̄), 0 ≤ t ≤ 1} [x̄, x̄ (9.2.8) ïðîñòðàíñòâà Rn íàçûâàþò îòðåçêîì ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîåäèíÿþùèì ¯ . Ïîíÿòíî, ÷òî [x̄, x̄ ¯ ] ⊂ p ⊂ Rn . òî÷êè x̄ è x̄ ¯ ] ìîæíî çàäàòü àíàëèòè÷åñêè è â ñëåäóþùåì Îòìåòèì, ÷òî îòðåçîê [x̄, x̄ âèäå: ¯ ] = {x ∈ Rn | x = (1 − t)x̄ + tx̄ ¯ , 0 ≤ t ≤ 1} = [x̄, x̄ ¯ , t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, t1 + t2 = 1}. = {x ∈ Rn | x = t1 x̄ + t2 x̄ (9.2.9) Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî {M } òî÷åê ïëîñêîñòè (ëèáî òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà) íàçûâàþò âûïóêëûì, åñëè ýòî ìíîæåñòâî âìåñòå ñ ëþáûìè ñâî¯ ñîäåðæèò è îòðåçîê [x̄, x̄ ¯ ], ñîåäèíÿþùèé ýòè äâå òî÷êè. èìè òî÷êàìè x̄ è x̄ 8 Äàííîå îïðåäåëåíèå åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå Rn . Îïðåäåëåíèå 9.2.2. Ìíîæåñòâî M ⊂ Rn íàçûâàþò âûïóêëûì, åñëè èç óñëîâèé ¯ ∈ M, 0 ≤ t ≤ 1 x̄ ∈ M, x̄ ¯ − x̄) ∈ M. ñëåäóåò óñëîâèå x = x̄ + t(x̄ Ïðèìåðàìè âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå Rn ÿâëÿþòñÿ: • ïðÿìàÿ p è ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 ; ¯ ]; • îòðåçîê [x̄, x̄ • ëþáàÿ ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü; • ε îêðåñòíîñòü Sε (x̄) íåêîòîðîé òî÷êè x̄ ∈ Rn ; n−1 n−1 • ïîëóïðîñòðàíñòâà π+ è π− . Îòìåòèì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå äâóõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Rn îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò. Èç ðåçóëüòàòîâ ýòîãî ïàðàãðàôà è 9.1 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî {M } ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x1 , x2 , . . . , xn ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â ïðîñòðàíñòâå Rn (îòêðûòûì, åñëè âñå íåðàâåíñòâà ñòðîãèå, è çàìêíóòûì, åñëè âñå íåðàâåíñòâà ñèñòåìû íåñòðîãèå). Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xm ðàçëè÷íûå òî÷êè èç Rn . Ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýòèõ òî÷åê ñëåäóþùåãî âèäà x = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λm xm , λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, m X λk = 1 (9.2.10) k=1 íàçûâàþò âûïóêëîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé òî÷åê x1 , . . . , xm . Îïðåäåëåíèå 9.2.3. Ìíîæåñòâî {M } ⊂ Rn , ñîäåðæàùåå âñåâîçìîæíûå âûïóêëûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè òî÷åê x1 , x2 , . . . , xm , íàçûâàþò âûïóêëîé îáîëî÷êîé ñèñòåìû òî÷åê x1 , x2 , . . . , xm (èëè âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêîì, ïîðîæäåííûì äàííûìè òî÷êàìè) è îáîçíà÷àþò conv {x1 , x2 , . . . , xm } : {M } = conv {x1 , x2 , . . . , xm } = n = {x ∈ R | x = m X k=1 k λk x , λk ≥ 0, m X λk = 1}. (9.2.11) k=1 9 Îòìåòèì, ÷òî äàííîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì (ïî âêëþ÷åíèþ) âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â Rn , ñîäåðæàùèì òî÷êè x1 , x2 , . . . , xm . Ïðèâåäåì òðè ïðèìåðà ê îïðåäåëåíèþ 9.2.3 (îãðàíè÷èìñÿ, äëÿ íàãëÿäíîñòè, ïðîñòðàíñòâîì R2 ). ¯ = x2 äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïëîñêîñòè. Ïðèìåð 9.2.2. Ïóñòü x̄ = x1 è x̄ Ñðàâíåíèå (9.2.9) è (9.2.11) ïîêàçûâàåò, ÷òî âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû òî÷åê x1 è x2 (âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, ïîðîæäåííûé òî÷êàìè x1 è x2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê, èõ ñîåäèíÿþùèé: conv {x1 , x2 } = [x1 , x2 ] = = {x ∈ R2 | x = λ1 x1 + λ2 x2 , λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1}. Ïðèìåð 9.2.3. Ïóñòü x1 , x2 è x3 òðè òî÷êè ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà ìíîæåñòâî conv {x1 , x2 , x3 } = = {x ∈ R2 |x = λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 , λk ≥ 0, λ1 + λ2 + λ3 = 1} ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè x1 , x2 è x3 (ñì. ðèñ. 9.2). x3 x4 x1 x2 Ðèñ. 9.2. Òðåóãîëüíèê conv {x1 , x2 , x3 } è âíóòðåííÿÿ òî÷êà x4 Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê ýòîãî òðåóãîëüíèêà âñå êîýôôèöèåíòû λ1 , λ2 è λ3 ñîîòâåòñòâóþùèõ âûïóêëûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ïîëîæèòåëüíû, à äëÿ âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí íóëþ (íàïðèìåð, äëÿ òî÷êè x1 êîýôôèöèåíò λ1 = 1, λ2 = λ3 = 0, äëÿ òî÷êè x2 êîýôôèöèåíò λ2 = 1, λ1 = λ3 = 0, äëÿ äðóãèõ òî÷åê îòðåçêà [x1 , x2 ] êîýôôèöèåíò λ3 = 0, îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïîëîæèòåëüíû). Ïðèìåð 9.2.4. Äîïîëíèòåëüíî ê òî÷êàì x1 , x2 è x3 èç ïðèìåðà 9.2.3 ðàññìîòðèì òî÷êó x4 , ëåæàùóþ âíóòðè òðåóãîëüíèêà conv {x1 , x2 , x3 } (ñì. ðèñ. 9.2). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî conv {x1 , x2 , x3 , x4 } = conv {x1 , x2 , x3 }. Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êà x4 íå ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà conv {x1 , x2 , x3 , x4 } , è, ñëåäîâàòåëüíî, íå âñå ïîðîæäàþùèå òî÷êè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ÿâëÿþòñÿ åãî âåðøèíàìè. 10 Ðàñïðîñòðàíèì ïîíÿòèå âåðøèíû âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà íà ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà Rn . Îïðåäåëåíèå 9.2.4. Òî÷êà x ∈ {M } íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé èëè êðàéíåé òî÷êîé âûïóêëîãî ìíîæåñòâà {M } ⊂ Rn , åñëè èç óñëîâèé ¯ , 0 < t < 1, x̄ ∈ {M }, x̄ ¯ ∈ {M } x = (1 − t)x̄ + tx̄ ¯ . Èíûìè ñëîâàìè, êðàéíÿÿ òî÷êà âûïóêëîãî ìíîæåñëåäóåò, ÷òî x = x̄ = x̄ ñòâà {M } íå ìîæåò áûòü âíóòðåííåé òî÷êîé íèêàêîãî îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî äâå òî÷êè èç {M }. Îòìåòèì, ÷òî âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê {M } ⊂ Rn âñåãäà ìîæíî ïîëó÷èòü êàê âûïóêëóþ îáîëî÷êó òîëüêî åãî êðàéíèõ òî÷åê (òàê, â ïðèìåðå 9.2.4 äëÿ çàäàíèÿ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà conv {x1 , x2 , x3 , x4 } äîñòàòî÷íî âçÿòü òîëüêî åãî êðàéíèå òî÷êè x1 , x2 è x3 ). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ëþáîé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â Rn çàìêíóòîå è îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåñòðîãèõ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x1 , x2 , . . . , xn , åñëè îíî íåïóñòî è îãðàíè÷åíî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â ïðîñòðàíñòâå Rn . Âûâîäû • Ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè â Rn îáîáùàåò ïîíÿòèÿ îáû÷íûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. • Àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãèïåðïëîñêîñòåé óäîáíî ïðîâîäèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì èõ îáùèõ óðàâíåíèé. • Ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîãîìåðíóþ ïëîñêîñòü â Rn , ðàçìåðíîñòü ýòîé ïëîñêîñòè ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ. • Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è ñâîéñòâà ïðÿìûõ â Rn ñîäåðæàòåëüíî àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèÿì è ñâîéñòâàì ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè è â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. • Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî x1 , x2 , . . . , xn ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â Rn . 11 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Çàïèøèòå ôîðìóëû, ïî êîòîðûì âû÷èñëÿþòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ èç R4 è ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â R5 . 2. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â R4 , çàïèøèòå áàçèñ êàæäîãî èç ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ. 3. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìû î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ íåîïðåäåëåííîé è íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ñîîòâåòñòâóþùåé åé îäíîðîäíîé ñèñòåìû. 4. Çàïèøèòå îáùåå è ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. 5.  êàêîì ñëó÷àå ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì? 6. Ðàññìîòðèòå âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû m-ìåðíûõ ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå R2 . 7. Çàïèøèòå óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè â R2 , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè M1 (1, 2) è M2 (−2, 3). 8. Ñêîëüêî ïàðàìåòðîâ â ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ãèïåðïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå R6 ? 9. Íàéäèòå áàçèñ íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà òðåòüåé êîîðäèíàòíîé ãèïåðïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå R4 . Çàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå è îáùåå óðàâíåíèÿ ýòîé ãèïåðïëîñêîñòè. 10. Óñòàíîâèòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äâå ãèïåðïëîñêîñòè â R4 íå ïåðåñåêàþòñÿ. 11. Êàê ïåðåéòè îò íåÿâíîãî óðàâíåíèÿ ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè ê ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì? 12. ×åì îòëè÷àåòñÿ íåÿâíîå óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè îò åå îáùåãî óðàâíåíèÿ? 13. Çàïèøèòå óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ â R3 è R4 . 14. Çàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâóõ îðòîãîíàëüíûõ ïðÿìûõ â R5 . Ïðîâåðüòå, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè ïðÿìûå. 15. Ïðîâåðüòå, ÷òî ðàçëè÷íûå êîîðäèíàòíûå îñè â R4 îðòîãîíàëüíû. 12 16. Çàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îòðåçêà [M1 , M2 ] â R4 , åñëè M1 (1, −2, 0, 3); M2 (3, 0, 4, −1). Íàéäèòå êîîðäèíàòû ñåðåäèíû ýòîãî îòðåçêà. 17. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû íåâûïóêëûõ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâàõ R2 , R3 , R4 . 18. Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå äâóõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â Rn ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. 19. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â Rn . 20. Íàðèñóéòå ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âûïóêëîé ëèíåéíîé êîìáè- íàöèè ÷åòûðåõ òî÷åê íà ïëîñêîñòè ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî èìååò: • 2 êðàéíèå òî÷êè; • 3 êðàéíèå òî÷êè; • 4 êðàéíèå òî÷êè. 21. ×òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîé è ε-îêðåñòíîñòè ôèêñèðîâàííîé òî÷êè â R4 ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ê êàæäîìó âàðèàíòó îòâåòà. Áèáëèîãðàôèÿ. 1. Êðàññ Ì.Ñ., ×óïðûíîâ Á.Ï. Îñíîâû ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèÿ â ýêîíîìè÷åñêîì îáðàçîâàíèè. Ì., Äåëî, 2003. 2. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà). Ì., ÞÍÈÒÈ, 2006. 3. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005. 4. Êóçþòèí Â.Ô., Çåíêåâè÷ Í.À., Åðåìååâ Â.Â. Ãåîìåòðèÿ. ÑÏá., Ëàíü, 2003. 5. Êóçþòèí Ä.Â., Êóëüòèíà Ì.Â., Âèøíÿêîâà Å.Â. Àëãåáðà âåêòîðîâ è ìàòðèö. Ýëåìåíòû àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ÑÏá., èçä-âî ÌÁÈ, 2001. 6. C.P. Simon, L. Blume. Mathematics for Economists. N.Y., W.W. Norton & Company, 1994. 13 7. Îáùèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005. 14