Вариационный принцип экстремумадля электрических линий и

Доклады независимых авторов
2005 выпуск №1
Хмельник С.И.
Вариационный принцип экстремума для
электрических линий и плоскостей
Аннотация
Вариационный
принцип
оптимума
для
электромеханических
систем
распространяется
на
электрические линии и плоскости. Указывается основанный
на этом принципе метод расчета электрических линий и
плоскостей. При этом они могут быть некоднородными, а к
любым их точкам могут быть подключены комплексные
нагрузки и\или источники напряжения.
Разработка расчетных программ может быть заказана
автору по адресу solik@netvision.net.il
Оглавление
1. Уравнения непрерывной электрической линии
2. Уравнения дискретной электрической линии
3. Функционал для непрерывной электрической линии
4. Функционал для непрерывной электрической плоскости
1. Уравнения непрерывной электрической
линии
Как известно непрерывная электрическая линия (длинная линия)
характеризуется следующими параметрами:
L, C , R, G - индуктивногсть, емкость, сопротивление и
проводимость элемента длины линии,
i - ток вдоль элемента длины линии,
u - напряжение на элемента длины линии,
t - время,
z - координата линии.
Здесь и далее штрихами обозначаются производные по времени.
Как известно, эти параметры связаны соотношениями
∂u
∂i
= Gu + C ,
(1)
∂t
∂z
∂u
∂i
= Ri + L .
(2)
∂t
∂z
213
Электротехника
Из (1) следует
∂u 1 ⎛⎜ ∂ 2i
∂u ′ ⎞⎟
=
−C
.
(3)
∂z G ⎜⎝ ∂z 2
∂z ⎟⎠
Наконец, совмещая (2, 3), находим:
∂u ′ ⎞⎟
1 ⎛⎜ ∂ 2i
−C
= Ri + Li′ .
(4)
∂z ⎟⎠
G ⎜⎝ ∂z 2
Таким образом, электрическая линия описывается уравнениями (1,
4), которые следуют из (1, 2).
2. Уравнения дискретной электрической
линии
q1′, k +1
q 1′ k
L, R
q 2′ k
m,r,c,e
ρ
Рис. 1. Длинная линия.
Будем называть электрическую линию, составленную из
конечных элементов (в отличие от элементов, величина которых
отнесена к элементу длины линии), дискретной электрической линией см. также рис. 1, где
L, R - индуктивность и сопротивление элемента длины линии,
m, c, r , e
- индуктивногсть, емкость, сопротивление и
напряжение,
включенные
последовательно
между
элементом длины линии и нулевым потенциалом –
“вертикальный” элемент линии,
1
ρ - проводимость между элементом длины линии и нулевым
потенциалом,
q1′ - ток вдоль элемента длины линии,
q′2 - ток вертикального элемента линии.
214
Доклады независимых авторов
2005 выпуск №1
Для описания дискретной электрической линии будем
использовать теорию, изложенную в [1]. В соответствии с этим
электрическая цепь дискретной электрической линии может быть
представлена безусловной электрической цепью [1, п. 9], состоящей
из ветвей – элементов длины с параметрами L, R и «вертикальных»
ветвей с параметрами
m, S = 1 / c, r , e . Сопротивления
ρ
включены, как и в [1, п. 9], между узлами этой цепи и нулевым
потенциалом. Рассмотрим n-мерные векторы
q1,1
q2,1
q1 =
...
q1,k
q1,k +1
, q2 =
...
q 2, k
q2,k +1
и вектор
q=
q1
q2
. Тогда параметры
...
q 2, n
...
q1,n
электрической цепи могут быть представлены в соответствии с [1,
(53)] следующим образом:
0 0
,
(1)
S =
0 S
L 0
,
(2)
M =
0 m
R 0
,
(3)
Rd =
0 r
(
)
R = Rd + ρ ⋅ N T N ,
E=
0
,
e
S = diag(S1...S k ...S n ) ,
m = diag(m1...mk ...mn ) ,
(4)
(5)
L = diag(L1...Lk ...Ln ) ,
R = diag(R1...Rk ...Rn ) ,
r = diag(r1...rk ...rn ) ,
eT = {e1...ek ...en } .
Первый закон Кирхгофа имеет вид:
q1′,k − q1′,k +1 − q2′ ,k = 0 .
Поэтому матрица инциденций имеет вид:
N = N 2 − D1 ,
где
(6)
(7)
215
Электротехника
D1 - квадратная n*n диагональная единичная матрица,
N 2 - ленточная квадратная n*n матрица вида
1 − 1 0 0 ... 0
0 1 − 1 0 ... 0
N 2 = 0 0 1 − 1 ... 0
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 1
(8)
При этом следующее произведение является квадратной клеточной
матрицей
NT N =
N1
− N 2T
− N2
D1
,
(9)
где N1 - ленточная квадратная n*n матрица вида
N1 =
2
−1
−1
2
−1
−1
2
...
−1
... ...
−1
(10)
2 −1
−1 2 −1
−1
2
Из (4) и (7) следует
(R + ρ ⋅ N1 ) (− ρ ⋅ N 2 ) .
(11)
R=
(− ρ ⋅ N 2 ) (r + ρ ⋅ D1 )
Рассмотрим теорему 1 в [1] и функционал [1, (60.1)]. В данном
случае этот функционал принимает вид
T ⎧qT Sq − q′T mq ′ + qT R q′ ⎫
2
2
⎪ 2 2
⎪
F (q ) = ∫ ⎨
(12)
⎬dt ,
T
T
⎪⎭
0⎪
⎩− q1′ Lq1′ − E q2
или, с учетом (11),
⎧q2T Sq2 − q2′T mq2′ − q1′T Lq1′
⎫
T⎪
⎪
⎪
⎪
F (q) = ∫ ⎨+ q1T Rq1′ + q2T rq2′ + ρq1T N1q1′ ⎬dt ,
(13)
⎪
⎪
0
T
T
T
⎪⎩− 2 ρq2 N 2 q1′ + ρq2 q2′ − E q2 ⎪⎭
p
Градиент [1, (60.1)] в данном случае принимает вид p = 1 , где
p2
216
Доклады независимых авторов
2005 выпуск №1
p1 = Lq1′′ + Rq1′ + ρN1q1′ − ρN 2 q2′
(
(14)
)
p2 = ρ − N 2T q1′ + q2′ + Sq2 + mq2′′ + rq′2 − E
(15)
Обозначим символами q1⇒ , q1⇐ векторы, смещенные по линии
вправо и влево соответственно относительно вектора q1 :
q1,1
q1, 2
0
q1,2
q1, 2
если q1 =
q1,3
...
, то q1⇒ =
q1,n −1
q1,3
q1,4
...
q1,n −1
q1,n
q1,3
q
, q1⇐ = 1, 4 .
...
q1,n −1
0
Рассматривая матрицы N1 и N 2 , замечаем,что
N1q1′ = (2q1′ − q1′⇒ − q1′⇐ ) ,
N 2 q1′ = (q1′ − q1′⇒ ) ,
N 2 q ′2 = (q2′ − q2′ ⇒ ) .
(16)
(17)
(18)
3. Функционал для непрерывной
электрической линии
Переходя от элементов дискретной электрической линии вновь
к дифференциалам длины линии можно вектор-функцию q , где
каждая компонента является функцией времени qk = q k (t ) ,
рассматривать как функцию координаты линии z и времени t , т.е.
q = q (z , t ) . Тогда
(
)
′ − q⇐
′ =−
2q′ − q⇒
∂ 2 q ′( z , t )
(q′ − q⇒′ ) = − ∂q′∂(zz, t )
∂z 2
и, учитывая (2.16-2.18), получаем
∂ 2 q1′ ( z , t )
,
N1 ⋅ q1′ = −
∂z 2
∂q ′ ( z , t )
,
N 2 ⋅ q2′ = − 2
∂z
,
(1)
(2)
217
Электротехника
N 2T ⋅ q1′ = −
При этом
∂q1′ ( z , t )
.
∂z
p1 = Lq1′′ + Rq1′ − ρ
∂ 2 q1′
(3)
+ρ
∂q2′
,
∂z
∂z 2
⎛ ∂q′
⎞
p2 = ρ ⎜ − 1 + q′2 ⎟ + Sq2 + mq2′′ + rq2′ − E .
⎝ ∂z
⎠
u = Sq2 , i = q1′ .
Обозначим
Тогда
из
m = 0, r = 0, E = 0, p1 = 0, p2 = 0
(4)
(5)
(4,
следуют
5)
при
(1.4,
1.1)
соответственно. Далее имеем:
q1T N1q1 = ∫ q1
∂ 2 q1
2
∂q1′
dz .
∂z
dz , q2T N 2 q1′ = ∫ q2
∂z
z
При этом (2.13) принимает вид:
⎧ ⎧
⎫ ⎫
⎪ ⎪Sq22 − mq2′ 2 − Lq1′ 2 Lq1′
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
T
∂ 2 q1′ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
F (q) = ∫ ⎨∫ ⎨+ Rq1 q1′ + rq2 q2′ + ρq1
dz dt ,
(6)
2 ⎬ ⎬
∂
z
⎪ ⎪
0 ⎪z ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
′
∂
q
T
1 + ρq q ′ − Eq
⎪ ⎪− 2 ρq2
2
2 ⎪ ⎪
2
∂z
⎭ ⎭
⎩ ⎩
Таким образом, аналогично теореме 1 в [1], для электрической
линии имеет место
Теорема 1. Движение в функционале (6) по направлению ([1],
p
(60)), где градиент p = 1 определен по (4, 5), заканчивается
p2
z
стационарным значением функции q =
q1
q2
стационарного значения имеет вид (4, 5), где
, а уравнение этого
p1 = 0
.
p2 = 0
Таким образом, электрическая линия может быть расчитана по
алгоритму 1 из [1]. При этом электрическая линия может быть
неоднородной и к любым точкам этой линии могут быть
подключены комплексные нагрузки и\или источники напряжения.
218
Доклады независимых авторов
2005 выпуск №1
4. Функционал для непрерывной
электрической плоскости
Уравнения непрерывной электрической линии с координатой z
естественным образом обобщаются на электрическую плоскость с
координатами z, y. Можно показать, что для электрической
плоскости градиент представляется уравнениями вида
∂ 2 q1′
∂q2′
∂ 2 q1′
∂q′
′
′
′
p1 = Lq1 + Rq1 − ρ
+ρ
−ρ
+ρ 2 ,
∂z
∂y
∂z 2
∂y 2
⎛ ∂q′ ∂q′
⎞
p2 = ρ ⎜⎜ − 1 − 1 + q2′ ⎟⎟ + Sq2 + mq2′′ + rq2′ − E ,
⎝ ∂z ∂y
⎠
а функционал принимает вид
⎧ ⎧ ⎧
⎫ ⎫ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ 2
⎪ ⎪ ⎪
2
2
⎪ ⎪ ⎪Sq2 − mq2′ − Lq1′ Lq1′ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪+ Rq1 q1′ + rq2 q2′
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
T
⎛ ∂ 2 q1′ ∂ 2 q1′ ⎞ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎟ dy dz dt .
+
F (q) = ∫ ⎨∫ ⎨ ∫ ⎨+ ρq1 ⎜
2 ⎟ ⎬ ⎬ ⎬
⎜ ∂z 2
∂y ⎠ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
0 ⎪z ⎪ y ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪− 2 ρqT ⎛⎜ ∂q1′ + ∂q1′ ⎞⎟ ⎪ ⎪ ⎪
2⎜
⎪ ⎪ ⎪
∂y ⎟⎠ ⎪ ⎪ ⎪
⎝ ∂z
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪+ ρq q2′ − Eq2
2
⎭ ⎭ ⎭
⎩ ⎩ ⎩
Таким образом, и электрическая плоскость может быть
расчитана по алгоритму 1 из [1]. При этом электрическая плоскость
может быть неоднородной и к любым точкам этой плоскости могут
быть подключены комплексные нагрузки и\или источники
напряжения.
Литература
1. Хмельник С.И. О вариационном принципе экстремума в
электромеханических системах. Данный сборник.
219