Электродинамика и распространение радиоволн

Министерство образования Российской Федерации
Северо-Западный государственный заочный технический университет
В.С. Калашников, Л.Я. Родос
Электродинамика и распространение радиоволн
(электродинамика)
письменные лекции
Санкт-Петербург
2001
Утверждено редакционно-издательским советом университета
УДК 538.3:621.371(075)
Электродинамика и распространение радиоволн (электродинамика): Письменные
лекции.-С-Пб.:СЗТУ,2001с. Библиогр.
Представлены письменные лекции по дисциплине «Электродинамика и
распространение радиоволн» (электродинамика), отражающие основное содержание курса
в соответствии с «Рабочей программой, контрольными заданиями и методическими
указаниями» по данному курсу издания СЗТУ 2001 года.
Рассмотрены на заседании кафедры Радиотехники
методической комиссией факультета Радиоэлектроники 01.11.2001
, одобрены
Рецензенты: кафедра Радиотехники СЗТУ, зав. кафедрой профессор, докт. техн.
наук Худяков В.И.
Профессор, докт. техн. наук Красюк В.Н.
Составители: Калашников В.С. докт. техн. наук, профессор,
Родос Л.Я. канд. техн. наук, доцент.
2
Предисловие
Дисциплина «Электродинамика и распространение радиоволн» (ЭД и
РРВ) является базовой при изучении современной радиотехники. В свою
очередь его усвоение невозможно без достаточного знания таких дисциплин
как математика, физика, философия.
Представленный в письменных лекциях материал полностью
соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта по
данной дисциплине и перечню лекций, приведенному в методическом
комплексе по электродинамике и распространению радиоволн, изданному в
СЗТУ в 2001 году. Усвоение материала письменных лекций обеспечивает
достаточный уровень подготовки по основам курса ЭД и РРВ и гарантирует
студенту получение положительной экзаменационной оценки.
Основное внимание при изложении материала уделено физике
изучаемых
процессов.
Значительное
количество
математических
преобразований и выражений использовано лишь в той мере, в которой
необходимо для понимания физических явлений.
С целью самоконтроля за степенью усвоения изучаемого материала, в
конце каждого раздела приводятся вопросы для самопроверки.
Более подробное изложение изучаемых вопросов, а также других
разделов курса, студент может найти в литературе, перечень которой приведен
в конце брошюры.
1. Основные определения и уравнения электромагнитного поля
1.1 Краткие сведения из истории развития учения
электромагнетизме и основные определения электродинамики.
об
В курсе «Техническая электродинамика» изучается макроскопическая
теория электромагнитного поля (ЭМП), т.е. рассматривается взаимодействие
источников поля и созданных ими полей на расстояниях, значительно
превышающих внутриатомные расстояния.
Макроскопическая теория ЭМП основывается на уравнениях Максвелла
(1873г.), математически связывающих между собой векторы поля с
источниками – токами и зарядами. Заслуга Максвелла состоит в том, что он
сумел обобщить громадное количество экспериментальных и теоретических
данных в области электромагнетизма, накопившихся к концу 19-го века, ввести
ряд важных дополнений и понятий (таких, например, как ток смещения),
позволивших ему развить теорию близкодействия, сформулированную
Фарадеем, предположить существование электромагнитных волн и сделать
заключение об общности электромагнитных и оптических процессов.
Экспериментально наличие электромагнитных волн было открыто
Генрихом Герцем (1886 г.). Им были изучены их основные свойства, в том
числе определена скорость распространения в воздухе.
3
Важную роль в подтверждении идей Максвелла сыграли и хорошо
известные опыты академика П.Н. Лебедева (1900 г.), доказавшие наличие
массы у световых лучей.
Практическое воплощение идей электродинамики было осуществлено
А.С. Поповым (1905г.), открывшим миру возможность радиосвязи.
Уравнения Максвелла представляют собой наиболее общее выражение
законов электромагнетизма, охватывающее известные экспериментальные и
теоретические данные, поэтому в курсе Техническая электродинамика они не
выводятся, а используются как инструмент для решения задач теории поля.
Что же представляет собой с философских позиций ЭМП?
Электромагнитное поле – особая форма материи, отличающаяся
непрерывным распределением в пространстве и обнаруживающая
дискретность структуры (фотоны), характеризующаяся способностью
распространяться в вакууме со скоростью света, оказывающая на заряженные
частицы силовое воздействие.
Электрический заряд – свойство частиц вещества или тел,
характеризующее их взаимосвязь с собственным ЭМП и их взаимодействие с
внешним ЭМП; имеет два вида: положительный заряд (позитрон) и
отрицательный заряд (электрон). Количественно определяется по силовому
взаимодействию тел, обладающих электрическими зарядами.
Электрическое поле – одна из двух сторон ЭМП, обусловленная
электрическими зарядами и изменением магнитного поля, оказывающая
силовое воздействие на заряженные частицы и тела и выявляемая по этому
воздействию.
Магнитное поле – одна из двух сторон ЭМП, обусловленная
движущимися электрическими зарядами и изменением электрического поля,
оказывающая силовое воздействие на движущиеся заряженные частицы и
выявляемая по этому воздействию.
Силовое воздействие электромагнитного поля на заряженные частицы и
тела обладает определенной направленностью, поэтому для его описания
принято вводить векторные величины. При рассмотрении векторов,
используемых для описания электромагнитного поля, следует учитывать то
обстоятельство, что существуют два основных вектора, определение которых
базируется на «силовых» законах, и четыре дополнительных. Это векторы:
E (x,y,z,t) – напряженность электрического поля (в ед. СИ – В/м);
2
B (x,y,z,t) – магнитная индукция, Вб/м ;
2
D (x,y,z,t)–электрическая индукция (электрическое смещение), К/м ;
H (x,y,z,t) – напряженность магнитного поля, А/м;
2
P (x,y,z,t) – поляризация среды, К/м ;
M (x,y,z,t) – намагниченность среды, А/м;
Все векторы полагаются конечными и непрерывными в безграничном
пространстве.
4
1.2 Векторы электрического поля.
Напряженность электрического поля Е в произвольной среде на
расстоянии r от источника определяется на основе хорошо известного закона
Кулона и равна силе F , с которой электрическое поле действует на
точечный,положительный заряд q0, находящийся в рассматриваемой точке:
E=
Qr0
F
=
.
q0 4πεаr2
(1.1)
Здесь: Q – заряд, создающий электрическое поле (сторонний заряд);
r 0 – единичный вектор, совпадающий с направлением Q – q0;
ε а– абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, имеет смысл
электрической постоянной среды.
В случае когда взаимодействие зарядов рассматривается в вакууме
(пустоте, свободном пространстве), электрическую постоянную принято
обозначать ε0, она имеет смысл абсолютной диэлектрической проницаемости
вакуума и ее величина в единицах СИ равна 10-9/36 π ,Ф/м.
Из выражения (1.1) следует, что величина напряженности
электрического поля, создаваемой одним и тем же зарядом, на одинаковом
расстоянии будет различна в различных средах. Физика этого явления связана с
тем обстоятельством, что под действием кулоновских сил в электрическом
поле происходит поляризация среды – сложный процесс, непосредственно
связанный с атомной структурой вещества. Упрощенно этот процесс можно
представить следующим образом: каждый атом вещества состоит из ядра и
электронной оболочки и его суммарный заряд равен нулю. Соединения атомов
образуют молекулы, которые могут быть полярными, либо неполярными.
Неполярные молекулы электрически нейтральны, полярные же – обладают
дипольным моментом. Под действием сил поля в неполярных молекулах
происходит перераспределение отрицательных и положительных зарядов и
молекула приобретает дипольный момент, ориентированный определенным
образом, т.е. молекула перестает быть электрически нейтральной. Такой вид
поляризации носит название электронной поляризации. В случае полярных
молекул действие внешнего поля приводит к тому, что произвольно
ориентированный дипольный момент молекулы также приобретает
определенную
ориентацию.
Подобная
поляризация
называется
ориентационной поляризацией. Очевидно, что ориентационная поляризация
всегда сопровождается электронной. Такие физические процессы характерны
для жидких и газообразных сред. Поляризация твердых сред имеет некоторые
особенности, но сущность ее остается той же, только роль атомов и молекул
играют положительно и отрицательно заряженные ионы, расположенные в
узлах кристаллической решетки вещества.
Количественно эффект поляризации можно учесть с помощью вектора
удельной поляризации Р .
Р = р × n = g × l × n × l0
(1.2)
Здесь: р - вектор поляризации одной молекулы;
n – количество молекул в единице объема;
5
g – величина заряда;
lr– величина смещения заряда;
l 0 - единичный орт направления смещения.
Существование эффекта поляризации среды приводит к тому, что на
первичное электрическое поле, создаваемое сторонним зарядом в вакууме
(когда вещество, заполняющее пространство, отсутствует) накладывается
дополнительное электрическое поле, созданное связанным электрическим
зарядом, образовавшимся в результате поляризации среды. Для того чтобы
результирующее электрическое поле в произвольных средах можно было
рассматривать как независящее от их свойств, формально вводится
дополнительный вектор-электрической индукции D , связанный с вектором
напряженности электрического поля соотношением:
D = εa × E =
Qr0
4πr 2
.
(1.3)
С другой стороны, основываясь на наличии эффекта поляризации,
можно записать:
D = ε0Е + P .
(1.4)
Здесь: P - вектор поляризации среды.
Поскольку эти векторы имеют одинаковую размерность, а вектор
поляризации среды своим появлением обязан первичному полю (полю в
вакууме) и его величина связана со свойствами среды, то принято считать, что
при не слишком сильных полях вектор поляризации пропорционален полю в
среде
P = kэ × ε 0 × E .
(1.5)
Коэффициент пропорциональности k э носит название коэффициента
диэлектрической восприимчивости среды и является величиной безразмерной.
С учетом выражений (1.3 – 1.5) можно записать:
D =εa ×E =ε0 ×E +ε0 ×kэ ×E .
(1.6)
Откуда следует:
ε а = ε 0 × (1 + k э ) .
(1.7)
Наряду с абсолютной диэлектрической проницаемостью среды, в
электродинамике часто используют понятие относительной диэлектрической
проницаемости ε .
ε=
εа
= (1 + k э ) .
ε0
(1.8)
В завершение следует отметить, что для большинства сред в сильных
электрических полях пропорциональность векторов E , P , D нарушается. В
некоторых средах имеет место нарушение указанной пропорциональности
даже в сравнительно слабых полях. Кроме того, за счет инерционности
молекул вещества параметры ε а , k э зависят от частоты - скорости изменения E
во времени.
В изучаемом курсе мы не будем учитывать указанные выше
особенности.
6
1.3 Векторы магнитного поля.
Магнитная индукция В численно равна силе, с которой магнитное поле
действует на единичный, положительный заряд, движущийся в этом поле с
единичной скоростью перпендикулярно силовым линиям поля. Это
определение вытекает из закона Лоренца:
Fл = g × E + g × [v × B ] .
(1.9)
Здесь: Fл - сила Лоренца;
Е - напряженность электрического поля;
В - магнитная индукция;
v - скорость движения заряда;
g - электрический заряд.
Первое слагаемое в правой части представляет собой закон Кулона,
характеризующий взаимодействие неподвижного заряда с электромагнитным
полем – электрическую силу, второе слагаемое характеризует взаимодействие
движущегося заряда – магнитную силу F м.
В соответствии со свойствами векторного произведения двух векторов,
магнитная сила направлена перпендикулярно плоскости, в которой
расположены векторы v , B , образуя правовинтовую связку.
По аналогии с электрическим полем, для
описания магнитного поля
r
вводят вектор напряженности магнитного поля Н .
Н=
В
µа
.
(1.10)
Здесь: µа – абсолютная магнитная проницаемость среды; имеет смысл
магнитной постоянной среды.
Если индукция магнитного поля рассматривается в вакууме (пустоте,
свободном пространстве), µа обозначается как µ0 и носит название абсолютной
магнитной проницаемости вакуума. Она имеет смысл магнитной постоянной
свободного пространства. В единицах СИ величина µ0 равна 4π×10-7 Гн/м.
Индукция магнитного поля зависит от свойств среды, в которой оно
рассматривается. Физика этого явления состоит в том, что под воздействием
внешних
магнитных
сил
вещество
намагничивается,
появляется
дополнительное магнитное поле, которое накладывается на внешнее, и в
результате суммарное поле оказывается отличным от того, которое было в
вакууме. Упрощенно пояснить физику процесса намагничивания можно
следующим образом. Отдельные атомы и молекулы вещества можно
рассматривать как элементарные рамки с током, каждая из которых обладает
магнитным моментом. Величина момента равна:
(1.11)
m = I × S × n0 .
Здесь: m - магнитный момент;
I - cила тока, протекающего в элементарной рамке;
S - площадь рамки;
n0 - единичный вектор нормали к плоскости рамки.
7
В отсутствие внешнего поля магнитные моменты атомов и молекул
ориентированы хаотически, так что суммарное магнитное поле в веществе
равно нулю. Под действием внешнего магнитного поля происходит
преимущественная ориентация магнитных моментов атомов и молекул, и
суммарный магнитный момент оказывается отличным от нуля. Следствием
этого является то, что суммарное магнитное поле в веществе изменяется
относительно поля свободного пространства.
Рассмотренные процессы характеризуются вектором намагниченности
среды, который для единицы объема вещества может быть записан в виде:
М = m × n = I × S × n × n0 .
(1.12)
Здесь: n – число элементарных магнитных моментов в единице объема.
Поскольку размерность вектора намагниченности та же, что и вектора
напряженности магнитного поля, то полагают величину М пропорциональной
Н.
М = kм × Н .
(1.13)
Величина kм носит название коэффициента магнитной восприимчивости
среды и является величиной безразмерной.
Учитывая (1.10 и 1.13), выражение для индукции магнитного поля в
произвольной среде можно записать в виде:
B = µ a × H = µ 0 × H + µ 0 × M = H × µ 0 × (1 + κ м ) .
(1.14)
Из (1.14) следует:
µ а = µ 0 × (1 + κ м ) .
(1.15)
Наряду с понятием абсолютной магнитной проницаемости среды в
электродинамике часто используют понятие относительной магнитной
проницаемости среды
µ=
µа
.
µ0
(1.16)
Таким образом:
(1.17)
µ = (1 + κ м ) .
В заключение следует заметить, что в большинстве сред при не
слишком сильных полях векторы магнитной индукции и напряженности
магнитного поля связаны между собой уравнением (1.10), в котором µа
является скалярной величиной. Однако существуют среды, в которых
магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость зависят от величины
магнитного поля, причем не только в данный момент времени, но и в
предшествующие. В таких средах, магнитная проницаемость описывается
тензорной величиной, а так же имеет место явление магнитного гистерезиса. В
данном курсе подобного рода средами мы заниматься не будем.
1.4 Силовые линии поля.
Для наглядного представления электромагнитных полей пользуются их
графическим описанием. При этом каждому вектору поля в некоторой области
пространства в определенный момент времени ставится в соответствие
семейство линий, касательные к которым в каждой точке определяют
8
направление вектора в этой точке, а их густота – величину вектора. Линии
вектора напряженности электрического поля называются электрическими
силовыми линиями, а линии вектора магнитной индукции – магнитными
силовыми линиями. В качестве примера на рис.1.1 показаны силовые линии
напряженности электрического поля точечного электрического заряда и
силовые линии вектора магнитной индукции проводника с постоянным током.
+
В
Е
Рис. 1.1 Силовые линии поля.
1.5 Классификация сред в электродинамике.
Взаимодействие электромагнитного поля со средой характеризуется
материальными уравнениями, которые были рассмотрены выше:
D = εaE
(1.18)
B = µa H
Для полной характеристики среды необходимо ввести еще одно
уравнение, которое характеризует ее электропроводность, связанную с
наличием свободных электронов, приобретающих направленное движение под
действием сил внешнего поля и создающих ток проводимости. Плотность этого
тока выражается законом Ома в дифференциальной форме и равна:
δ = γЕ
(1.19)
Здесь: γ – удельная проводимость среды, измеряется в СИ в Сим/м.
Т.о. каждая среда характеризуется тремя параметрами – εа, µа, γ.
Значение этих параметров и их поведение в пространстве и во времени,
а также их зависимость от векторов поля позволяет ввести различные
классификации сред.
По величине удельной проводимости γ, среды подразделяются на
проводники, полупроводники и диэлектрики. В этой последовательности
удельная проводимость среды (количество свободных зарядов) убывает.
Довольно часто, при решении задач электродинамики, пользуются понятиями
идеального проводника (γ→ ∞ ) и идеального диэлектрика (γ→0).
По величине относительной магнитной проницаемости среды делятся
на: ферромагнетики - µ ›› 1;
парамагнетики - µ › 1;
диамагнетики - µ ‹ 1.
Для большинства диэлектриков относительная диэлектрическая
проницаемость ε › 1. Однако существуют такие среды (ионизированный газ –
плазма), в которых ε может принимать значения, меньшие единицы и даже
отрицательные.
9
Если параметры среды не зависят от векторов поля, то такие среды
принято называть линейными; в противном случае среды называют
нелинейными.
Среды, параметры которых не зависят от координат точки наблюдения
(остаются постоянными), называют однородными; в противном случае –
неоднородными.
Если свойства среды одинаковы в различных направлениях, то среда
является изотропной, если же свойства среды различны в разных
направлениях, то среду принято называть анизотропной.
Если свойства среды неизменны во времени, то такую среду называют
стационарной; в противном случае – нестационарной.
1.6 Уравнения Максвелла в интегральной форме.
В основе уравнений Максвелла в интегральной форме лежат известные
из курса физики законы полного тока (Ампера) и электромагнитной индукции
(Фарадея), а также теорема Гаусса.
а. Первое уравнение.
Его определение звучит следующим образом:
циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому
контуру равна полному току, пронизывающему этот контур. Математически
это определение записывается так:
(1.20)
∫ Hdl = iп = ∫ δ ds .
L
S
В выражении (1.20) L – произвольный
контур, площадь которого равна
r
S, dl = dl × l 0 , ds = ds × n0 , Hdl = Hdl cos( H , l 0 ) , l 0 , n0 касательная к контуру на отрезке
dl и нормаль к площади S – соответственно.
До Максвелла в рассматриваемом уравнении под полным током
понимался постоянный ток проводимости iпр и следовательно – постоянное
магнитное поле. Максвелл предположил, что закон полного тока справедлив и
для переменных полей при условии введения понятия тока смещения, который
своим появлением обязан изменению электрического поля во времени.
Плотность тока смещения
∂D
,
∂t
δ см =
(1.21)
а величина его:
iсм = ∫ δ см ds .
(1.22)
s
Физически появление тока смещения легко объясняется при
рассмотрении простейшей цепи, состоящей из источника переменного тока,
подсоединенного проводами к обкладкам конденсатора. Очевидно, что в
проводах протекает ток проводимости, а в пространстве между обкладками
(особенно если предположить, что это пространство «заполнено» вакуумом)
тока проводимости нет, но имеется электрическое поле, образованное
зарядами, сосредоточенными на обкладках и изменяющими во времени свою
10
величину и знак. Электрическая цепь является замкнутой, то есть ток
проводимости замыкается током, названным Максвеллом током смещения.
С учетом (1.21) и (1.22) первое уравнение Максвелла записывается в
виде:
∫ H dl = i
п
L
= iпр + iсм = ∫ δ п ds = ∫ (δ пр +
S
S
∂D
) ds .
∂t
(1.23)
Т.о. физический смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что
магнитное поле в некоторой области пространства связано не только с токами
проводимости, протекающими в этой области, но и с изменением
электрического поля во времени в этой области (токами смещения).
b. Второе уравнение.
Циркуляция вектора напряженности электрического поля по
замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока,
пронизывающего этот контур. Математически это определение записывается
следующим образом:
∂
∫ E dl = − ∂t ∫ B ds .
L
(1.24)
S
Это уравнение совпадает с законом электромагнитной индукции
Фарадея, который в свернутом виде может быть записан так:
ЭДС = -
∂Ф
. До Максвелла этот закон рассматривался применительно к
∂t
реальным контурам, образованным проводниками. Максвелл же использовал
этот закон применительно к любому (выделенному умозрительно) контуру в
пространстве. Знак минус в обоих случаях означает то, что наведенная в
контуре ЭДС создает собственный магнитный поток, препятствующий
изменению внешнего.
Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что
электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением
магнитного поля во времени в этой области.
c. Третье уравнение.
Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность
равен сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности. В соответствии с
теоремой Гаусса:
(1.25)
∫ D ds = ∑ q = ∫ ρdv .
S
V
Здесь: q - полный электрический заряд внутри поверхности S;
V- объем, ограниченный поверхностью S;
ρ- объемная плотность электрического заряда.
Физический смысл этого уравнения состоит в том, что электрическое
поле в некоторой области пространства связано с электрическим зарядом
внутри этой области. Это уравнение свидетельствует также о том, что
электрическое поле имеет истоки в виде электрических зарядов. Для
положительного заряда силовые линии вектора электрической индукции
11
выходят из рассматриваемого объема (исток); для отрицательного заряда –
входят (сток).
d. Четвертое уравнение.
Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен
нулю (поскольку магнитных зарядов одного знака в природе не обнаружено).
Математически это уравнение записывается так:
(1.26)
∫ B ds = 0 .
S
Физический смысл этого уравнения состоит в том, что магнитное поле в
некоторой области пространства не имеет источников в виде неподвижных
зарядов, т.е. не имеет истоков и стоков и силовые линии вектора магнитной
индукции замкнуты (соленоидальны).
1.7 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
В большинстве практических приложений уравнений Максвелла
требуется связать векторы поля с источниками в конкретной точке
пространства. Для этой цели более удобна иная математическая форма записи
уравнений – дифференциальная.
Переход от интегральной к дифференциальной форме записи уравнений
можно осуществить с помощью известных из векторного анализа теорем
Стокса и Гаусса-Остроградского.
Теорема Стокса: ∫ А dl = ∫ rotA ds - циркуляция вектора по замкнутому
L
S
контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся
на данный контур.
Теорема Гаусса-Остроградского: ∫ A ds = ∫ divA dv - поток вектора через
S
V
замкнутую поверхность равен дивергенции (расходимости) этого вектора из
объема, ограниченного данной поверхностью.
Применив первую теорему к первому и второму, а вторую – к третьему
и четвертому уравнениям Максвелла в интегральной форме, можно получить
все четыре уравнения в дифференциальной форме:
rotH = δ п = δ пр + δ см = δ пр +
rotE = −
∂D
;
∂t
∂B
;
∂t
(1.27)
divD = ρ ;
divB = 0 .
Для полной характеристики электромагнитного поля при использовании
уравнений Максвелла в дифференциальной форме необходимо ввести еще
одно уравнение – непрерывности, базирующееся на принципе сохранения
заряда. Вывод этого уравнения основывается на связи тока, вытекающего из
элементарного
объема,
с
уменьшением
заряда
внутри
этого
объема…Уравнение непрерывности имеет вид:
divδ пр = −
∂ρ
.
∂t
(1.28)
12
1.8 Полная система уравнений Максвелла
а. Сторонние электрические силы
Если ЭМП создается какими либо внешними по отношению к
рассматриваемой области источниками, то последние принято называть
сторонними. В качестве таковых рассматриваются: вектор плотности
стороннего электрического тока δ э ст , который в единицах СИ имеет
размерность А/м2, и объемная плотность стороннего электрического заряда ρэст
с размерностью в единицах СИ Кл/м3. Эти источники являются заданными и
определяются не теми векторами поля, которые должны быть найдены, а
связаны с известными полями; они (источники) могут иметь любую
физическую природу. С учетом этих источников первое и третье уравнения
Максвелла приобретают вид:
∫ H dl = i
= iпр + iсм + i ст = ∫ δ п ds = ∫ (δ пр +
п
L
S
∫ D ds = ∑
S
q = ∫ ( ρ + ρ э )dv ,
(1.29)
(1.30)
ст
S
∂D
ст
+ δ э ) ds
∂t
V
в интегральной форме записи и
ст
rotH = δ п = δ пр + δ см + δ э ,
(1.31)
divD = ρ + ρ э
(1.32)
ст
- в дифференциальной форме.
Система уравнений Максвелла (1.27) при замене первого и третьего
уравнений на (1.31) и (1.32) носит название полной несимметричной системы.
b. Сторонние магнитные силы
Для целого ряда практических приложений уравнений Максвелла
удобно ввести, по аналогии с электрическими, фиктивные, сторонние
магнитные токи и заряды. Обычно используют: вектор плотности стороннего
магнитного тока δ м ст , имеющий размерность в единицах СИ В/м2, и объемную
плотность стороннего магнитного заряда ρ м ст с размерностью в СИ- В сек/м3.
По аналогии же с электрическими токами и зарядами, для магнитных токов и
зарядов можно записать уравнение непрерывности (смотри 1.28):
divδ м
ст
=−
∂ρ м
∂t
ст
.
(1.33)
Нужно иметь в виду, что в природе магнитных зарядов одного знака не
существует, однако магнитные диполи могут быть уподоблены диполям
электрическим.
Введение фиктивных магнитных токов и зарядов позволяет записать
второе и четвертое уравнения Максвелла в виде:
∂
∫ E dl = − ∂t ∫ ( B − δ
L
∫ B ds = ρ
ст
м
)ds ,
(1.34)
S
ст
м
-
(1.35)
S
интегральная форма записи и
13
rotE = −
∂
ст
B −δм ,
∂t
(1.36)
divB = ρ м ст
(1.37)
дифференциальная форма.
Система уравнений Максвелла с учетом сторонних сил электрического
и магнитного типов (1.31),(1.32),(1.36),(1.37) носит название полной
симметричной системы.
1.9 Система уравнений Максвелла в комплексной форме.
Известно, что для анализа гармонических электродинамических
процессов, оказывается удобным использовать символический метод
представления исследуемых величин. При этом уравнения Максвелла
существенно упрощаются по форме записи и принимают вид:
ст
ст
rotH& = δ&п = δ&пр + δ&см + δ& э = δ&пр + jωD& + δ&э ,
ст
rotE& = − jωB& − δ& м ,
ст
divD& = ρ& + ρ& э ,
ст
divB& = ρ& .
(1.38)
м
Здесь ω – частота гармонического процесса.
В выражениях 1.38, по отношению к исходным уравнениям с временной
зависимостью ejωt, выполнена процедура дифференцирования по времени и
проведено сокращение на множитель еjωt.
Т.о. при гармонической зависимости от времени в уравнениях
Максвелла операция дифференцирования по времени заменяется умножением
на постоянный множитель jω. Решение задачи может проводиться с
комплексными величинами, а затем мгновенное значение искомого вектора
находится как вещественная часть полученного комплексного числа,
предварительно умноженного на сокращенный множитель.
1.10 Комплексная диэлектрическая проницаемость среды.
Классификация сред по проводимости.
Если в первом уравнении системы 1.38 произвести замену вектора
плотности тока проводимости δ пр и вектора электрической индукции D через
величины, входящие в материальные уравнения 1.18 и 1.19, то оно
перепишется в виде:
ст
ст
rotH& = δ&п = δ&пр + δ&см + δ&э = γE& + jωξ а E& + δ&э .
После преобразований в правой части этого уравнения, можно записать:
ст
rotH& = δ&п = jωξ&а E& + δ&э ,
(1.39)
где:
абсолютная
комплексная
диэлектрическая
ξ&а = ξ а1 − jξ а 2 проницаемость;
ξ а1 = ξ а , ξ а 2 =
γ
.
ω
14
Введение понятия комплексной диэлектрической проницаемости среды
позволяет не только использовать известные решения уравнений Максвелла,
полученные для диэлектрических сред, в средах полупроводящих и
проводящих, но и провести более строгую классификацию сред по
проводимости. Поскольку вещественная часть диэлектрической проницаемости
характеризует величину плотности токов смещения, а мнимая ее часть – токов
проводимости, то при :
εа1>>εа2 среда является диэлектриком,
εа1≅εа2- полупроводником и
εа1<<εа2- проводником.
Так как мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости
зависит от частоты, то понятие проводимости является относительным, т.е.
одна и та же среда на различных частотах электромагнитных колебаний может
проявлять себя различным образом (при этом имеется в виду, что εа и γ
постоянны).
Для полной характеристики радиотехнических материалов (сред)
достаточно задать величину диэлектрической проницаемости εа и тангенс угла
диэлектрических потерь - tqδ.
ξ а2
γ
=
;
ξ а1 ωξ а
ξ&а = ξ а (1 − jtqδ ) .
tqδ =
(1.40)
(1.41)
1.11 Теорема Умова-Пойнтинга.
Источники поля (сторонние токи и заряды) сообщают свою энергию
электромагнитному полю, при этом она может преобразовываться в другие
формы (тепловая, химическая…), переноситься в другие области пространства,
запасаться полем. Уравнение баланса в свернутом виде можно записать
следующим образом:
Рст=Рт+Риз+Рп,
(1.42)
ст
где: Р – мощность, выделяемая сторонними источниками;
Рт – мощность тепловых потерь;
Рп - мощность, запасенная электромагнитным полем;
Ризл- мощность, переносимая в другие области пространства.
Доказательство указанной теоремы состоит в том, что на основе первого
и второго уравнений Максвелла в дифференциальной форме со сторонними
источниками в виде плотностей электрического и магнитного токов, путем
математических преобразований получается уравнение, представляющее
дифференциальную форму теоремы Умова-Пойнтинга. Преобразования
заключаются в скалярном умножении всех членов первого и второго
уравнений Максвелла на векторы Е , Н соответственно, вычитании из первого
полученного уравнения второго, использовании известного соотношения
теории поля Е rotH − HrotE = −div( E × H ) и перегруппировке полученных
слагаемых. Последующее интегрирование по некоторой области пространства
V, ограниченной поверхностью S, преобразует это уравнение к виду:
15
− ∫ (δ Э Е + δ М Н )dv = ∫ γЕ 2 dv + ∫ ( E
ст
V
ст
V
V
∂B
∂D
)dv + ∫ ( H × E )ds .
+H
∂t
∂t
S
(1.43)
Здесь последнее слагаемое в правой части получено при использовании
теоремы Гаусса-Остроградского.
Выражение (1.43) является математической записью теоремы УмоваПойнтинга. Сопоставление данного уравнения с уравнением (1.42) позволяет
предположить, что они идентичны. В самом деле, левая часть представляет
собой мощность сторонних источников электрического и магнитного типов,
которые были введены при постановке задачи (об этом свидетельствует
размерность слагаемых под знаком интеграла), причем знак минус означает,
что энергия сторонних источников расходуется в рассматриваемой области
пространства.
Первое слагаемое в правой части представляет собой тепловые потери
(мощность, расходуемую на нагрев вещества в рассматриваемой области). Об
этом говорит размерность интеграла, либо тот факт, что подинтегральное
выражение является дифференциальной формой известного из физики закона
Джоуля-Ленца. Следует обратить внимание на то, что при отсутствии
проводимости среды (γ = 0) тепловые потери отсутствуют.
Подинтегральное выражение во втором слагаемом правой части (1.43)
можно преобразовать к виду:
∂D ∂
E2
∂
= (ε a
) = Wэ ;
2
∂t
∂t
∂t
2
∂B ∂
H
∂
H
= (µ a
) = Wм ,
2
∂t ∂t
∂t
2
Е
где εа
- плотность энергии электрического поля,
2
Н2
µа
- плотность энергии магнитного поля.
2
Е
Сумма этих слагаемых под знаком интеграла представляет собой
изменение во времени плотности энергии электромагнитного поля в
рассматриваемой области пространства. Т.о. рассмотренное выражение
эквивалентно третьему слагаемому (1.42).
Подинтегральное выражение в третьем слагаемом правой части (1.43)
является вектором, размерность которого (ВА/м2) характеризует его как
плотность потока мощности. Он носит название вектора Пойнтинга и
определяет величину и направление потока электромагнитной энергии.
Интеграл от вектора Пойнтинга по замкнутой поверхности характеризует
мощность, переносимую через эту поверхность. В зависимости от знака этого
интеграла электромагнитная энергия либо выходит, либо входит в объем,
ограниченный поверхностью. Таким образом, это слагаемое эквивалентно
второму слагаемому (1.42).
16
Доказанная теорема имеет громадное научно-техническое и
философское
значение,
поскольку
подтверждает
материальность
электромагнитного поля!
Вопросы для самопроверки
1. Каковы основные особенности электромагнитного поля, подтверждающие его
материальность?
2. В чем заключается физический смысл векторов, характеризующих электромагнитное
поле?
3. Какой вид имеют материальные уравнения для векторов электромагнитного поля?
4. Каковы классификации сред, применяющиеся в электродинамике?
5. Какие экспериментальные законы лежат в основе уравнений Максвелла?
6. В чем состоит физический смысл тока смещения?
7. Что связывают между собой уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной
формах?
8. В чем заключается разница между симметричной и несимметричной формами записи
уравнений Максвелла?
9. Какие энергетические составляющие могут входить в уравнение баланса энергии
электромагнитного поля?
10. Запишите выражение для вектора Пойнтинга в случае гармонических во времени полей.
2. Волновые уравнения и потенциалы электромагнитного поля
Решение задач электродинамики с помощью уравнений Максвелла
сводится обычно к решению так называемых волновых уравнений, которые
являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго
порядка. На практике применяются три вида волновых уравнений – уравнения
для векторов поля Е , Н , уравнения для электродинамических потенциалов А ,U
и уравнение для вектора Герца Г .
2.1 Волновые уравнения для векторов поля
В случае линейной, однородной, полупроводящей среды при наличии
сторонних источников только электрического типа волновые уравнения для
векторов поля могут быть получены на основе соответствующим образом
записанных уравнений Максвелла в виде:
∂δ
∂2Е
∂Е
∇ Е − µ а ε а 2 − µ аγ
= µа э
∂t
∂t
∂t
ст
2
∇ 2 Н − µ аε а
+
∂Н
∂2Н
ст
− µа γ
= − rotδ э .
2
∂t
∂t
1
εа
gradρ э ,
ст
(2.1)
(2.2)
В этих выражениях все обозначения соответствуют обозначениям,
введенным ранее в разделе 1.
Уравнения (2.1), (2.2) являются векторными, волновыми, обобщенными,
неоднородными уравнениями.
В диэлектрической среде (γ =0) третье слагаемое в левой части равно
нулю, уравнения упрощаются и превращаются в уравнения Даламбера. Если в
рассматриваемой области пространства отсутствуют сторонние источники
( δ эст , ρ э ст = 0), то правые части обращаются в нуль и уравнения становятся
однородными.
17
В самом общем случае решение электродинамической задачи с
помощью 2.1, 2.2 (отыскание векторов электромагнитного поля в каждой точке
пространства) требует решения шести скалярных волновых уравнений для
проекций этих векторов на координатные оси (решения шести краевых задач)
что, как правило, представляет значительные трудности.
Кроме того, наличие в правой части этих уравнений
дифференциальных операторов, под знаком которых находятся функции,
описывающие распределение источников, делает вообще невозможным
решение задачи в тех случаях, когда эти функции являются разрывными (на
границах раздела сред с различными электрическими параметрами).
Названные особенности с формальной точки зрения можно
рассматривать как недостатки рассмотренной формы уравнений, что привело к
появлению другой формы волновых уравнений – волновых уравнений для
электродинамических потенциалов.
2.2 Волновые уравнения для электродинамических потенциалов
Принято использовать векторный и скалярный электродинамические
потенциалы – соответственно А,U . Если векторный потенциал физического
смысла не имеет, то скалярный – имеет смысл работы сил поля по
перемещению единицы количества электричества из рассматриваемой точки в
бесконечность.
При тех же условиях, что и в предыдущем разделе, на основе той же
системы уравнений Максвелла можно получить волновые уравнения для
рассматриваемых потенциалов:
∂2 А
− µ аγ
∂t 2
∂ 2U
∇ 2U − µ а ε а 2 − µ а γ
∂t
∇ 2 А − µ аε а
∂А
ст
= − µ аδ э . ,
∂t
ρ ст
∂U
=− э .
εа
∂t
(2.3)
(2.4)
Уравнение (2.3) также как и уравнения (2.1) и (2.2) является векторным,
волновым, обобщенным неоднородным уравнением. Уравнение же (2.4)
является скалярным, волновым, обобщенным неоднородным уравнением. При
γ=0 они оба превращаются в уравнения Даламбера, а в случае δ э ст = ρэст = 0 – в
однородные волновые уравнения.
Формально решение электродинамической задачи при помощи (2.3 –
2.4) состоит в решении четырех скалярных волновых уравнений (краевых
задач). Кроме того, в правой части этих уравнений находятся сами функции,
описывающие распределение источников, и решение задачи практически
всегда возможно. Т.о. недостатки, отмеченные в предыдущем разделе,
устранены.
Необходимо, однако, отметить, что в результате решения задачи
оказываются определенными лишь электродинамические потенциалы, а не
векторы поля. Для нахождения векторов поля необходимо провести
дополнительные математические вычисления (более простые, чем решение
краевой задачи) – решить уравнения, связывающие векторы поля с
электродинамическими потенциалами:
18
Н =
1
rotA ,
µа
E = − qradU −
(2.5)
∂A
.
∂t
(2.6)
Эти уравнения получаются из уравнений Максвелла при введении
электродинамических потенциалов. Ввиду того, что процедура введения
электродинамических потенциалов допускает некоторый произвол, то
волновые уравнения (2.3–2.4) обычно дополняют калибровочным
соотношением:
divA + µ а ε а
∂U
+ µ а γU = 0 ,
∂t
(2.7)
устанавливающим связь между введенными потенциалами.
2.3 Волновое уравнение для вектора Герца
Учитывая то обстоятельство, что векторный и скалярный потенциалы
связаны между собой калибровочным соотношением, имеется возможность
свести электродинамическую задачу к решению одного векторного волнового
уравнения (всего трех скалярных) для вектора Герца. Вектор Герца вводится
так, что его связь с векторным и скалярным потенциалами имеет следующий
вид:
U =−
1
εа
А = µа
divГ ,
(2.8)
∂Г γµ а
+
Г.
εа
∂t
(2.9)
Подстановка в волновое уравнение (2.8) либо (2.9) позволяет получить
векторное, волновое, обобщенное неоднородное уравнение для вектора Герца:
∇ 2 Г − µ аε а
∂2 Г
∂Г
− µ аγ
= − Р ст ,
2
∂t
∂t
(2.10)
где Р ст определяется из уравнения
∂Р ст γ ст
ст
+
Р =δэ
∂t
εа
(2.11)
и имеет смысл удельного электрического момента сторонних токов.
Также как и в предыдущих разделах, равенство нулю удельной
электропроводности γ и удельного электрического момента сторонних токов
Р ст превращает (2.10) в уравнение Даламбера и однородное волновое
уравнение соответственно.
Решение (2.10) дает возможность найти вектор Герца; векторы
электромагнитного поля могут быть определены непосредственно через вектор
Герца с помощью соотношений:
Е=
1
εа
Н =(
rotrotГ −
Р ст
εа
,
(2.12)
∂ γ
+ )rotГ .
∂t ε а
(2.13)
19
2.4 Волновые уравнения в комплексной форме
Также как и в разделе 1.9, в случае гармонических монохроматических
полей волновые уравнения можно упростить путем использования
символического метода. После введения комплексных величин и сокращения
множителя exp (jωt), опуская индекс «m» можно получить:
-для векторов поля –
1
ст
ст
∇ 2 Е& + к& 2 Е& =
gradρ& э + jωµ а δ& э ,
εа
(2.14)
ст
∇ 2 Н& + к& 2 Н& = −rotδ& э .
(2.15)
- комплексная постоянная распространения (комплексное
Здесь: κ& = ω ε& а µ а
волновое число);
-для электродинамических потенциалов –
ст
∇ 2 А& + к& 2 А& = − µ а δ& э ,
1
∇ 2U& + к& 2U& = −
ρ& э ст .
(2.16)
(2.17)
εа
В рассматриваемом случае гармонических полей необходимость в
решении волнового уравнения для скалярного потенциала отпадает, поскольку
он может быть найден из калибровочного соотношения:
U& = −
1
jωµ а ε& а
divA& .
(2.18)
Более того, векторы поля в этом случае могут быть найдены из (2.5) и
первого уравнения Максвелла только через векторный потенциал:
1
Н& =
rotA& ,
(2.19)
µа
Е& =
1
jωε& а
rotH& =
1
ст
rotrotA& (при δ&э = 0 );
jωε& а µ а
(2.20)
-для вектора Герца –
ε
ст
∇ 2 Г& + к 2 Г& = − а δ& э .
jωε& а
(2.21)
Решение этого уравнения практически не отличается от решения
уравнения для векторного потенциала.
Вопросы для самопроверки
1. Какие виды волновых уравнений используются для решения задач электродинамики?
2. В чем заключается смысл калибровочного соотношения?
3. В чем состоит отличие уравнений Даламбера и Гельмгольца от обобщенного волнового
уравнения?
4. Имеется ли разница между векторным потенциалом и вектором Герца в случае
гармонического электромагнитного поля?
3. Основные методы решения задач электродинамики
3.1 Формулировка задач электродинамики
Большинство задач антенной техники, техники сверхвысоких частот и
распространения радиоволн можно свести к нескольким абстрактным
20
электродинамическим задачам. Их можно классифицировать как задачи
анализа и задачи синтеза.
Задачи анализа предполагают исследование полей в пространстве, или
каких либо технических характеристик устройства при известном
распределении источников.
Задачи синтеза предполагают создание определенного распределения
источников, либо создание технического устройства, обеспечивающего
заданное распределение полей в пространстве, либо заданные технические
характеристики. Задачи синтеза являются существенно более сложными,
зачастую реализация их решения технически невозможна, и в данном курсе
они рассматриваться не будут.
Задачи анализа можно разделить на внутренние и внешние.
Внутренняя задача формулируется следующим образом: необходимо
отыскать решение уравнений Максвелла или соответствующих им волновых
уравнений в области V, ограниченной поверхностью S, удовлетворяющее на
этой поверхности граничным условиям. При решении внутренних задач
различают два решения – отыскание собственных функций, что соответствует
решению однородных волновых уравнений, и отыскание полей заданных
источников, соответствующих решению неоднородных волновых уравнений.
Примером подобных задач является задача отыскания полей в объемном
резонаторе. Решение однородного волнового уравнения позволяет найти
свободные колебания резонатора, а решение неоднородного уравнения –
вынужденные колебания. Доказано, что решение обеих задач существует и при
выполнении граничных и начальных условий является единственным.
Среди внешних задач наиболее простой является задача излучения
заданной системы источников в однородном безграничном пространстве. Она
формулируется следующим образом: в свободном безграничном пространстве
необходимо найти решение неоднородного волнового уравнения,
удовлетворяющее условию излучения на бесконечности (которое является
эквивалентом граничных условий для внутренних задач). Доказано, что
решение задачи существует и является единственным.
Другим, несколько более сложным, примером внешней задачи
электродинамики является задача излучения заданной системы источников в
безграничное, неоднородное пространство. Задача формулируется также как и
предыдущая, только предполагается дополнительно, что функция,
описывающая распределение параметров среды, является непрерывной и имеет
непрерывные первые производные.
3.2 Строгие методы решения
Все методы решения задач электродинамики можно разделить на
строгие и приближенные. Если результат решения задачи любым из строгих
методов является одинаковым, то результаты решения приближенными
методами, различаются, и степень их строгости зависит от характера
использованных приближений.
К числу строгих методов решения задач электродинамики относят:
21
-метод разделения переменных (метод Фурье);
-метод запаздывающих потенциалов;
-метод скалярного и векторного интеграла Кирхгофа.
Метод разделения переменных применим в любой ортогональной
системе координат, выбранной таким образом, чтобы граничные поверхности
тела (либо области пространства) совпадали или были параллельными
координатным поверхностям. Решение однородного волнового уравнения в
диэлектрической среде (уравнения Даламбера) методом разделения
переменных в прямоугольной системе координат представляется в виде:
С = С1ехр(–j(кхх +куу +кzz)) + С2ехр(j(кхх +куу +кzz)).
(3.1)
Здесь: С – любая из проекций любого вектора электромагнитного поля
на координатные оси;
С1,С2- постоянные интегрирования;
кх,ку,кz- проекции волнового числа (постоянной распространения) на
координатные оси.
В (3.1) первое слагаемое описывает уходящую волну, а второе –
приходящую. Исходя из физической специфики задачи, одно из них (чаще
второе) отбрасывается.
Более подробно данный метод решения на конкретном примере плоской
волны рассматривается в следующем разделе письменных лекций.
Решение волнового уравнения методом запаздывающих потенциалов
основано на том физическом представлении, что электромагнитное
возмущение, созданное источниками, сосредоточенными в некоторой области
пространства, достигает точки наблюдения не мгновенно, а с некоторым
запаздыванием, величина которого определяется скоростью распространения
возмущения v и расстоянием до точки наблюдения r. Это означает, что
интересующая нас характеристика электромагнитного поля в точке
наблюдения в настоящий момент времени t обязана своим существованием
вариациям источника поля в предшествующий (более ранний) момент времени
– (t -
r
). Кроме того, амплитуда рассматриваемой характеристики поля, в
v
соответствии с условиями излучения, физический смысл которых состоит в
том, что на бесконечном удалении от источника амплитуда поля должна
стремиться к нулю, убывает пропорционально первой степени расстояния. Т.о.
решение волнового уравнения методом запаздывающих потенциалов будет
иметь вид:
- для вектора напряженности магнитного поля, когда источники
распределены в объеме V,
Н =
1
4π
∫
V
r
ст
rotδ э (t − )
v dV ,
r
(3.2)
- для скалярного потенциала при тех же условиях
22
U=
1
4πε a
∫
r
v dV .
ρ ст (t − )
V
r
(3.3)
Аналогичным образом могут быть записаны решения волновых
уравнений и для других характеристик электромагнитного поля,
рассмотренных ранее. В тех случаях, когда источники электромагнитного поля
распределены не в объеме, а на поверхности или линейно, интегрирование
распространяется на соответствующие поверхности или линии при сохранении
общего вида решения.
Для гармонических полей эти решения принимают вид (на примере
записи решения для векторного потенциала при распределении источников по
поверхности):
µ
А& = а
4π
∫
δ&э ст exp(− jkr )
S
r
dS .
(3.4)
В выражениях (3.2, 3.3, 3.4) r – расстояние от каждой точки
рассматриваемого объема (поверхности, кривой), где распределены источники,
до точки наблюдения;
δ э ст , ρ ст − функции координат, описывающие распределение источников
(токов, зарядов) внутри рассматриваемого объема (на поверхности, по линии).
Метод решения волновых уравнений с помощью скалярного либо
векторного интегралов Кирхгофа в данном разделе рассматриваться не будет,
поскольку применение их в качестве строгих методов весьма ограничено и
гораздо чаще (особенно это относится к скалярному интегралу Кирхгофа) они
используются как методы приближенные.
3.3 Приближенные методы решения
Говоря о приближенных методах решения задач электродинамики,
прежде всего нужно определить области их применения. В зависимости от
соотношения геометрических размеров области пространства L, где требуется
найти решение, и длины электромагнитной волны λ принято рассматривать три
зоны:
-квазистационарную
-
-резонансную
-
-квазиоптическую
-
L
λ
L
λ
L
λ
<<1;
≈ 1;
>>1.
В квазистационарной области решение задач базируется на методах
электро- и магнитостатики. В резонансной – на строгих методах.
Приближенные методы используются в квазиоптической области. К числу
приближенных методов решения задач электродинамики относят методы:
геометрической оптики, волновой (физической) оптики, краевых волн,
геометрической теории дифракции. В перечисленной последовательности
приближенные методы позволяют получить более точное решение,
стремящееся к строгому решению.
23
Метод геометрической оптики является предельным при решении
волновой задачи, когда длина волны λ стремится к нулю. Это означает, что
здесь не учитывается волновой характер поля. Этот метод применим при
определении электромагнитного поля (чаще всего при решении задач на
отражение электромагнитных волн) когда размеры отражающего тела и
минимальный радиус кривизны его поверхности велики по сравнению с
длиной волны. Кроме того, необходимо, чтобы источник поля находился на
достаточно большом расстоянии от поверхности тела.
Основные положения метода геометрической оптики состоят в том, что:
электромагнитная энергия распространяется внутри лучевых трубок; поток
энергии внутри каждой лучевой трубки постоянен; амплитуды векторов поля в
каждой точке пространства определяются из постоянства потока энергии
внутри лучевой трубки; фазы электромагнитных колебаний в каждой точке
пространства определяются длиной пути от источника до точки наблюдения и
изменяются вдоль луча линейно; если через точку наблюдения проходит
несколько лучевых трубок, то результирующее поле определяется как
геометрическая сумма полей всех составляющих.
Следует иметь в виду, что понятие лучевой трубки применимо, когда
амплитуды векторов поля и параметры среды мало изменяются на расстоянии
длины волны, что в однородной среде лучи являются прямыми линиями, а в
неоднородной – плавными кривыми, что перераспределение
энергии между
r
r
соседними лучевыми трубками отсутствует и векторы Ε и Η перпендикулярны
лучу.
В геометрической оптике предполагается, что поле в точке наблюдения
определяется значениями его векторов в тех точках отражающей поверхности
или волнового фронта поля источника, из которых лучи приходят в данную
точку. Иными словами, метод геометрической оптики дает решение только в
«освещенной» области пространства. В тени он не работает!
Метод волновой оптики (физической оптики), в отличие от
предыдущего, учитывает волновой характер электромагнитного поля и
базируется в соответствии с принципом Гюйгенса на представлении поля
точечного источника в виде волновой функции
jω(τ -r/v)
Ψ = Ψ m exp
/r,
где Ψ- любая составляющая вектора поля;
ω - круговая частота;
r - расстояние до точки наблюдения;
v - скорость волнового процесса.
Этот метод применим при тех же ограничениях, что и метод
геометрической оптики, т.е. для больших, гладких тел, когда точка наблюдения
находится на достаточном расстоянии от источника. Однако метод волновой
оптики позволяет определять электромагнитное поле и в области
геометрической тени (иными словами при использовании этого метода области
тени за объектом не существует, что реально и наблюдается за счет эффекта
дифракции).
24
Амплитуда поля в точке наблюдения определяется вкладом всех
участков волнового фронта поля источника, как геометрическая сумма
колебаний с учетом амплитуды и фазы каждого в зависимости от расстояния до
точки наблюдения. Строгая математическая формулировка метода волновой
оптики с точностью до постоянного фазового множителя exp(jπ/2) совпадает с
формулой скалярного интеграла Кирхгофа. В то же время метод волновой
оптики смыкается с методом геометрической оптики в том отношении, что
значения волновой функции реально могут быть заданы строго только в
пределах освещенного (полем источника) участка волнового фронта, а в
теневой области полагаются равными нулю. Это же обстоятельство не
позволяет в интеграле Кирхгофа задать строго значения всех подинтегральных
функций и использовать этот интеграл в качестве строгого решения задач
электродинамики.
Метод краевых волн является развитием метода волновой оптики
применительно к телам, поверхность которых имеет изломы, ребра и т.д. Он
используется при тех же ограничениях, что и предыдущий метод, только
позволяет несколько ослабить требования по соотношению размеров тела,
радиуса кривизны его поверхности и расстояния до точки наблюдения и длины
электромагнитной волны.
Суть метода краевых волн состоит в том, что в отличие от предыдущих
методов, где на теневой части тела, либо волнового фронта источника поле
полагалось равным нулю, поле источника на теневой поверхности вблизи краев
тела (ребер, изломов) отлично от нуля. Это отличие связано с появлением
вблизи границ тела дополнительной (возмущенной) составляющей
поверхностного тока, вызванной влиянием края тела. Эта составляющая
отличается от нуля на расстояниях порядка длины волны от края тела, носит
характер краевой волны и может быть определена как результат строгого
решения задачи дифракции электромагнитной волны на клине.
Т.о. более точное задание волновой функции на фронте волны
источника, либо более точное задание подинтегральных функций в интеграле
Кирхгофа позволяет получить более строгое решение электродинамической
задачи.
Метод геометрической теории дифракции представляет собой развитие
метода геометрической оптики применительно к решению задач дифракции
электромагнитных волн на больших (по отношению к длине волны) телах
сложной геометрической формы. Он также базируется на предположении, что
энергия распространяется внутри лучевых трубок с теми же особенностями,
что и в методе геометрической оптики, однако в отличие от метода
геометрической оптики, кроме падающих, отраженных и преломленных лучей
вводятся в рассмотрение дифрагированные лучи. Для определения амплитуды
поля в каждой точке пространства необходимо найти все лучи, проходящие
через эту точку, вычислить поля, соответствующие каждому лучу и
просуммировать их. При определении поля дифрагированного луча
предполагается, что оно пропорционально в точке дифракции (точке
25
соприкосновения падающего луча с краем тела) полю падающего луча. При
этом коэффициент пропорциональности называют коэффициентом дифракции.
Предполагается также, что фаза дифрагированного луча меняется линейно
вдоль луча, а характер изменения амплитуды устанавливается на основе
постоянства потока энергии внутри лучевой трубки. Характерные картины
распределения в пространстве дифрагированных лучей приведены ниже на рис.
3.1-3.4.
Рис.3.1
Рис.3.2
Рис.3.3
Рис.3.4
Метод геометрической теории дифракции позволяет получить
результаты, при решении задач дифракции на телах сложной конфигурации,
которые хорошо согласуются с результатами строгого решения и результатами
экспериментальных исследований. Однако применение этого метода
достаточно затруднительно, когда необходимо найти поле в области каустики
(область куда приходит очень большое число лучей – например фокальная
область). В этих случаях применяются специальные методы, которые здесь не
рассматриваются.
26
Вопросы для самопроверки
1. Как формулируются внутренние и внешние задачи электродинамики?
2. В чем состоит роль условия излучения при решении внешних задач?
3.Как формулируется теорема единственности решения задач электродинамики?
4.При каких условиях справедлив принцип суперпозиции решений?
5.Для каких сред выполняется теорема взаимности и в чем заключается ее сущность?
6. Какова роль теоремы эквивалентности при решении внешних задач
электродинамики?
7.Что лежит в основе решения задач методом запаздывающих потенциалов?
8. При каких условиях метод Кирхгофа может рассматриваться как строгий метод
решения?
9. Сформулируйте условия применимости методов геометрической и волновой оптики.
10. В чем состоит сущность методов краевых волн и геометрической теории
дифракции?
4. Плоские волны
Всякое распространяющееся в пространстве электромагнитное поле
принято называть электромагнитной волной. Если векторы Е и Н
электромагнитной волны изменяются во времени по гармоническому закону,
то она называется гармонической. В настоящем разделе мы будем
рассматривать только гармонические электромагнитные волны.
В каждой точке пространства в фиксированный момент времени
составляющие векторов поля гармонической волны имеют определенные
амплитуды и фазы. Поверхность, во всех точках которой составляющие
векторов поля изменяются синфазно, называется поверхностью равных фаз или
фазовым фронтом. Поверхность, во всех точках которой составляющие
векторов поля имеют равные амплитуды, называется поверхностью равных
амплитуд.
Электромагнитные волны принято классифицировать по виду
поверхности равных фаз. Различают плоские, сферические, цилиндрические и
другие волны. Простейшими из них являются плоские волны. Плоской
называется волна, у которой поверхности равных фаз – параллельные
плоскости. Если поверхности равных амплитуд плоской волны совпадают с
поверхностями равных фаз, то такая волна называется однородной. В
однородной плоской волне векторыЕ иН изменяются в пространстве только
вдоль одного направления, перпендикулярного фазовому фронту этой волны и
совпадающего с направлением ее распространения.
Плоская волна, в которой поверхности равных амплитуд не плоскости
или плоскости, не совпадающие с поверхностями равных фаз, называется
неоднородной. В настоящем разделе мы будем рассматривать только
однородные плоские волны.
Источников, возбуждающих плоские волны, в природе не существует,
соответственно физически не существует и плоских волн. Все реальные
излучатели на расстояниях, значительно превышающих их линейные размеры,
создают сферические волны. Однако, при определенных допущениях
ограниченный участок сферы можно считать плоским. Следовательно,
27
электромагнитную волну, возбуждаемую реальным излучателем, в
ограниченной области пространства, находящейся на достаточном удалении от
этого излучателя, можно рассматривать как плоскую. Кроме того, любую
электромагнитную волну можно представить в виде суммы элементарных
плоских волн, что в ряде случаев существенно упрощает анализ. Строго говоря,
плоская волна – некая математическая абстракция!
4.1 Решение уравнений электродинамики для плоской волны
Получим решение системы уравнений Максвелла, соответствующее
гармонической, однородной плоской волне, распространяющейся в однородной
среде с параметрами εа, µа, γ. Будем считать, что сторонние токи и сторонние
заряды в рассматриваемой области пространства отсутствуют. При принятых
допущениях первое и второе уравнения Максвелла в комплексной форме будут
выглядеть следующим образом:
.
.
.
.
.
rot Ε = - jω µa Η ,
rot Η = jω ε а Ε ;
(4.1)
.
где ε а = εа – j γ / ω - комплексная диэлектрическая проницаемость.
Совместим ось 0z декартовой системы координат с направлением,
вдоль которого изменяются векторы Е и Н, т.е. с направлением
распространения волны. Тогда частные производные этих векторов по
пространственным переменным x и y будут равны нулю. В этом случае
.
.
продольные (вдоль оси 0z) составляющие векторов rot Η и rot Ε оказываются
равными нулю, а значит (см.(4.1)) окажутся равными нулю и продольные
составляющие векторов Е и Н:
.
.
.
.
.
rotz Η = ∂ Η y/∂x - ∂ Η x /∂y = jω ε а Ε z = 0
.
.
.
.
rotz Ε = ∂ Ε y/∂x - ∂ Ε x/∂y = - jωµa Η z = 0
Так как составляющие векторовЕ иН плоской однородной волны,
параллельные направлению ее распространения, равны нулю (Еz = Нz = 0), то
волна является поперечной – т.е. волной, векторыЕ иН которой целиком
лежат в плоскости ее фазового фронта. В принятой системе координат
отличными от нуля могут быть только составляющие Еx Нx Еy Нy этих векторов.
Поперечные волны обозначаются символом Т, принятым, для краткости,
вместо применявшегося ранее символа ТЕМ (transverse electromagnetic).
От уравнений (4.1) можно легко перейти к волновому уравнению для
комплексной амплитуды вектораЕ, которое в рассматриваемом случае (δст =
ρст = 0) будет однородным:
.
.
.
∇2 Ε + k 2 Ε = 0,
(4.2)
.
где k - комплексное волновое число, которое может быть найдено
следующим образом (см. 2.14, 2.15):
.
2
2
.
2
k = ω ε а µа = ω εаµа - jωγµа .
(4.3)
28
Будем пока рассматривать плоскую волну, в которой векторы Е иН в
каждой точке пространства изменяются во времени вдоль одного направления
(линейно поляризованная волна). Совместив ось 0х с направлением, вдоль
которого изменяется векторЕ, будем иметь Еy = 0. В этом случае векторЕ
будет иметь только одну составляющую Еx:
.
.
Ε = Ε xx0 .
При этом трехмерное волновое уравнение в частных производных (4.2)
.
переходит в одномерное волновое уравнение относительно составляющей Ε x,
представляющее собой обыкновенное однородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
.
.
.
d2 Ε x/dz2+ k 2 Ε x = 0.
(4.4)
Общее решение такого уравнения хорошо известно и может быть
представлено в следующем виде (сравни с 3.1):
.
.
.
.
пад
.
exp(-j k z) + Ε 0отрexp(j k z),
Εx = Ε0
(4.5)
.
.
где комплексные в общем случае величины Ε 0пад и Ε 0отр являются
постоянными интегрирования.
Положим
.
.
пад
отр
отр
отр
= Е0падexp(jψпад);
Ε 0 = Е0 exp(jψ ).
(4.6)
Имея решение для вектора Е, значение вектора Н можно найти из
второго уравнения Максвелла:
Ε0
.
.
Η = - rot Ε /jωµa.
.
.
Подставив сюда Ε = Ε xx0, получим:
.
.
.
Η = - (1/jωµa)d Ε x/dzy0 = Η yy0,
откуда, принимая во внимание (4.5) и (4.3), находим
.
.
.
.
exp(-j k z) - Ε 0отрexp(j k z)) =
.
.
.
.
пад
Η y = ( k /ωµa)( Ε 0
.
.
.
= ε а / µ а ( Ε 0падexp(-j k z) - Ε 0отрexp(j k z)).
(4.7)
Проведенные вычисления показывают, что вектор Н имеет только одну
составляющую, параллельную оси 0y, и, следовательно, векторы Е иН в
плоской однородной волне взаимно перпендикулярны (ортогональны).
Введя в рассмотрение новую величину
.
.
µ а / ε а , Ом,
Ζ0 =
(4.8)
запишем общее решение системы уравнений Максвелла для однородной
линейно поляризованной плоской волны в окончательном виде:
.
.
.
.
.
пад
.
.
.
.
exp(-j k z)+ Ε 0отрexp(j k z))x0 = Ε пад+ Ε отр;
Ε = Ε xx0 = ( Ε 0
.
.
.
пад
Η = Η yу0 = (1/ Ζ 0)( Ε 0
.
.
.
.
.
(4.9)
.
exp(-j k z)- Ε 0отрexp(j k z))у0 = Η пад+ Η отр,
.
где символами Ε пади Η падобозначено первое частное решение,
.
.
а символами Ε отр и Η отр – второе.
29
.
Величину Ζ 0, имеющую размерность сопротивления, называют
характеристическим сопротивлением плоской волны. Согласно (4.9)
характеристическое сопротивление равно отношению комплексных амплитуд
векторов напряженности электрического и магнитного полей в падающей и
отраженной волнах соответственно:
.
.
пад
.
.
.
/ Η пад = - Ε отр/ Η отр.
(4.10)
4.2 Распространение плоских волн в различных средах
Плоские волны в идеальном диэлектрике. В случае идеального
диэлектрика (γ = 0) характеристическое сопротивление Z0 и волновое число k
являются вещественными величинами. Учитывая это, перейдем от
комплексных амплитуд к мгновеным значениям векторовЕ и Н. Для этого
умножим выражения (4.9) на exp(jωt) и возьмем от полученных произведений
вещественные части. В результате, с учетом равенства (4.6), будем иметь:
Е(z,t) = Епад(z,t) + Еотр(z,t) = Е0падcos(ωt–kz+ψпад)+
+Е0отрcos(ωt+kz+ψотр);
(4.11)
пад
отр
пад
пад
Н(z,t) = Н (z,t) + Н (z,t) = (1/Z0)(Е0 cos(ωt–kz+ψ ) -Е0отрcos(ωt+kz+ψотр)),
где Z0= µ а / ε а .
Убедимся, что первые слагаемые в этих выражениях определяют волну,
распространяющуюся в положительном направлении оси 0z. Действительно,
если время t будет возрастать, то для того, чтобы значение косинуса было
постоянным, необходимо, чтобы его аргумент (фаза волны) также оставался
постоянным:
ωt–kz+ψпад = const.
(4.12)
Условие (4.12) может быть выполнено только в том случае, если вместе
с t растет и координата z. Это означает, что фиксированные значения Епади
Нпад(соответствующие фиксированным значениям фазы) с течением времени
перемещаются в положительном направлении оси 0z. Cкорость этого
перемещения может быть найдена из уравнения (4.12), представляющего собой
уравнение поверхности равной фазы. Дифференцируя его по времени,
получаем:
ω – k(dz/dt) = 0,
откуда скорость перемещения поверхности равных фаз V будет равна:
V = dz/dt = ω/k.
(4.13)
Эту скорость называют фазовой скоростью плоской однородной волны.
Для идеального диэлектрика k = ω ε а µ а и фазовая скорость в нем зависит
только от параметров среды :
(4.14)
V = 1/ ε а µ а
Волну, распространяющуюся в положительном направлении оси 0z,
называют падающей. Рассуждая совершенно аналогично, придем к выводу, что
вторые слагаемые в формулах (4.11) определяют волну, распространяющуюся в
Ζ0 = Ε
30
отрицательном направлении оси 0z с той же фазовой скоростью V. Эту волну
называют отраженной волной, так как причиной ее появления может явиться
отражение падающей волны от какой-либо плоской преграды.
В выражениях (4.11) Е0пад и Е0отр- амплитуды векторов напряженности
электрического поля в падающей и отраженной волнах соответственно, а
ψпад,ψотр- их начальные фазы, т.е. фазы в сечении z = 0 при t = 0. Эти величины,
будучи постоянными интегрирования, могут быть определены только из
граничных условий – заданных значений векторов Е и Н на какой-либо
плоскости z = const. Иначе говоря, для их определения надо знать параметры
источника, возбудившего падающую волну, и вид преграды, вызвавшей
появление отраженной волны. В идеальном диэлектрике амплитуды векторов
поля в падающей и отраженной волнах не изменяются с изменением параметра
z, т.е. волны распространяются без затухания.
Из выражений (4.11) следует, что зависимость векторовЕ иН в
падающей и отраженной волнах от пространственной переменной z
подчиняется такому же гармоническому закону, что и их зависимость от
временной переменной t. Причем в падающей волне векторыЕ иН
изменяются вдоль z синфазно, а в отраженной волне – противофазно (рис 4.1).
При этом векторыЕ иН в обеих волнах ориентированы так, что в любом
сечении z = const вектор Пойнтинга (П), равный векторному произведениюЕ
на Н, направлен в сторону распространения соответствующей волны. Этот
результат, имеющий глубокий физический смысл, формально обусловлен тем,
что характеристическое сопротивление плоской однородной волны,
распространяющейся в диэлектрике, является вещественной величиной.
На рис 4.1 изображены «картины поля» падающей и отраженной волн
для фиксированного момента времени t1. С течением времени эти картины
перемещаются вдоль оси 0z навстречу друг другу с фазовой скоростью V . При
этом в любой плоскости z = const напряженности электрического и магнитного
полей изменяются во времени по гармоническому закону с временным
периодом Т:
T = 1 / f = 2π / ω ,
где f = ω / 2π, Гц – частота .
(4.15)
Пространственный период изменения поля вдоль оси 0z, определяемый
как расстояние, на котором фаза в фиксированный момент времени изменяется
на 2π , называется длиной волны λ . По определению kλ = 2π, откуда
λ = 2π / k .
(4.16)
С учетом формул (4.13) и (4.15) получаем
λ = 2πV / ω = V / f = V⋅T ,
(4.17)
т.е длину волны можно трактовать как рассстояние, которое волна,
двигаясь с фазовой скоростью V, проходит за промежуток времени, равный
одному периоду колебаний Т.
Из выражений (4.15) и (4.16) следует:
ω = 2π/ T , радиан / ед.времени ;
(4.18)
31
k = 2π / λ , радиан / ед.длины.
Сопоставление этих формул позволяет выявить физический смысл
волнового числа k как величины, определяющей частоту волнового процесса в
пространстве («пространственная частота»), подобно тому как круговая частота
ω определяет частоту волнового процесса во времени. Если ω показывает на
сколько радиан изменяется фаза за единицу времени (например, за секунду) в
плоскости z = const, то k показывает на сколько радиан она изменяется на
единице пути (например, на пути в один метр) в фиксированный момент
времени.
Плоские волны в поглощающей среде. Все реальные среды в той или
иной мере обладают проводимостью. Если удельная проводимость среды γ ≠ 0
то, формально, диэлектрическая проницаемость, характеристическое
сопротивление и волновое число становятся комплексными величинами :
.
.
ε а = εa′ + j εa″ = εa + j γ / ω = | ε а| exp(-jδ),
(4.19)
где δ = arctg (γ /ωεa) – угол электрических потерь .
.
Ζ0 =
.
.
µ а / ε а = |Z0| exp(jϕ0) .
(4.20)
.
.
k = ω⋅ ε а µ а = β - jα ,
j k = α + jβ .
(4.21)
В этом случае мгновенные значения векторов напряжености
электрического и магнитного полей плоской волны в соответствии с (4.9)
окажутся равными:
Е(z,t) = Е0пад exp(-αz) cos(ωt – βz + ψпад) +
+ Е0отрexp(αz) cos(ωt + βz + ψотр) ;
(4.22)
.
Н(z,t) = (1/| Ζ 0|) (Е0пад exp(-αz) cos(ωt – βz + ψпад - ϕ0) –
- Е0отр exp(αz) cos(ωt + βz + ψотр -ϕ0)) .
Эти выражения отличаются от аналогичных формул (4.11) для плоской
волны в идеальном диэлектрике. Во-первых, в падающей волне появляется
множитель exp(-αz) , а в отраженной exp(αz), которые свидетельствуют о том,
что амплитуды обеих волн убывают в направлении их распространения (см.
рис.4.2). Затухание волн обусловлено протеканием в среде токов проводимости
с плотностью δ = γЕ
и переходом при этом части энергии
распространяющегося электромагнитного поля в тепло. Во-вторых, в
проводящей среде векторы Е иН в падающей волне не совпадают по фазе и
между ними возникает фазовый сдвиг ϕ0, а в отраженной волне фазовый сдвиг
между этими векторами отличен на π и равен (ϕ0 + π). Таким образом, в обеих
волнах изменение вектора Н в пространстве отстает от соответствующего
изменения вектораЕ
на расстояние ϕ0/β (в направлении своего
распространения), а в сечении z = const вектор Н отстает во времени от
вектораЕ на промежуток времени ϕ0/ω в падающей волне и на промежуток
времени (ϕ0+π)/ω в отраженной. Эти отставания в пространстве и во времени
32
обусловлены комплексностью характеристического сопротивления плоской
волны в проводящей среде.
«Картина поля» падающей волны в поглощающей среде для
фиксированного момента времени изображена на рис.4.3. С течением времени
изображенная картина перемещается в положительном направлении оси 0z с
фазовой скоростью V, деформируясь по мере движения в соответствии с
законом убывания амплитуд векторов поля в зависимости от пространственной
переменой z , т.е. оставаясь ограниченной экспоненциальными огибающими,
которые во времени не смещаются. Аналогично изменяется поле и в
отраженной волне.
.
Мнимую часть (α) комплексного волнового числа k , определяющую
затухание волны по мере ее распространения, называют коэффициентом
затухания, а вещественную часть (β), определяющую изменение фазы волны по
мере ее распространения, - коэффициентом фазы.
Для плоской волны, распространяющейся в идеальном диэлектрике, k =
β. Для плоской волны, распространяющейся в проводящей среде, коэффициент
фазы β связан с длиной волны λ, фазовой скоростью V и круговой частотой ω
такими же соотношениями, какими связано с этими параметрами волновое
число k плоской однородной волны, распространяющейся в идеальном
диэлектрике:
β = 2π/λ = ω/V.
(4.23)
В то же время, значения
λ
и
V
для плоской волны,
распространяющейся в идеальном диэлектрике и в проводящей среде при
одной и той же частоте колебаний, отличаются друг от друга.
Вычислим величины ϕ0, α, β, V и λ для плоской волны,
распространяющейся в проводящей среде. Воспользовавшись показательной
формой записи комплексной диэлектрической проницаемости (см.(4.19)) и
выражением (4.20), имеем:
.
Ζ0 =
.
.
.
µ а / ε а = | Ζ 0|⋅exp(jϕ0) = µ а / | ε а | exp(jδ/2),
(4.24)
отсюда ϕ0 = δ/2 .
Так как δ = arctg (γ /ωεa) (см.(4.19)), видим, что угол ϕ0 возрастает с
увеличением удельной электрической проводимости среды ( γ ) и при ее
изменении от 0 (идеальный диэлектрик) до ∞ (идеальный проводник)
изменяется от 0 до π/4.
Коэффициенты затухания (α) и фазы (β) определим с помощью
выражений (4.3) и (4.21 ), согласно которым
ω2 εа µа - jω γ µа = (β - jα)2 .
Приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой сторон
полученного выражения и решая полученную в результате этого систему из
двух уравнений, имеем
α2 = 0.5 ω2 εа µа ( 1 + (γ / ωε a ) 2 -1) .
(4.25)
β2 = 0.5 ω2 εа µа ( 1 + (γ / ωε a ) 2 +1) .
33
(4.26)
Из формулы (4.25) следует, что, во-первых, затухание волны возрастает
с увеличением удельной проводимости среды γ. Этот результат очевиден, так
как чем больше проводимость среды, тем больше токи проводимости в ней и
тем большая часть энергии поля переходит в тепло. Во-вторых, затухание
волны возрастает с ростом частоты волнового процесса ω. Это обстоятельство
связано с явлением поляризации среды и сопутствующими ему активными
потерями.
В соответствии с формулами (4.23) и (4.26), в проводящей среде фазовая
скорость V будет равна:
V = ω/β = (2/εа µа ( 1 + (γ / ωε a ) 2 +1))0.5 .
Видим, что она зависит не только от параметров εа и µа , но и от
удельной проводимости среды γ и от частоты волнового процесса ω. При γ =
0 приходим к уже известному результату V = 1 / ε а µ а . В проводящей среде
фазовая скорость всегда меньше, чем в диэлектрике с теми же значениями
параметров εа и µа , и при неизменной частоте убывает с увеличением удельной
электрической проводимости γ. Соответственно уменьшается и длина волны
λ, которая равна V/f . При увеличении частоты фазовая скорость в проводящей
среде возрастает, стремясь в пределе при ω → ∞ к скорости V = 1 / ε а µ а в
идеальном диэлектрике. В другом предельном случае ω → 0 имеем V → 0 электромагнитная волна вырождается в постоянное поле.
Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией.
Среды, в которых имеет место дисперсия, называются диспергирующими.
Значит, каждая проводящая среда является диспергирующей. В диэлектриках
при достаточно высоких частотах также может иметь место дисперсия,
возникающая за счет того, что параметры εа и µа среды начинают зависеть от
частоты. Наличие дисперсии приводит к искажениям передаваемых с помощью
электромагнитных волн сигналов, так как в диспергирующей среде
составляющие спектра сигнала распространяются с различными скоростями и
по-разному затухают.
Плоские волны в хорошо проводящей среде. В хорошо проводящей
среде (например, в металлах)
выполняется соотношение
γ >> ωεа.
Следовательно, в формулах (4.25) и (4.26) можно в подкоренных выражениях
пренебречь единицей по сравнению со слагаемым (γ /ωεа)2. В результате,
расчетные формулы для α и β приобретают следующий вид:
β ≈ ωγµ a / 2 .
(4.27)
α ≈ ωγµ a / 2 ;
Фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в хорошем
проводнике, при тех же приближениях будет равна
(4.28)
V ≈ 2ω / γµ a .
Анализ выражения (4.28) показывает, что в хороших проводниках
фазовая скорость плоской волны (а, следовательно, и длина волны)
оказываются, при одной и той же частоте колебаний, на несколько порядков
меньше, чем в идеальном диэлектрике.
34
Поверхностный эффект в проводниках. В хороших проводниках
электрическая проводимость (γ), а, следовательно, и коэффициент затухания (α)
очень велики, поэтому электромагнитное поле может проникать вглубь
проводника только на небольшое расстояние. Особенно резко уменьшение
амплитуд векторов Е и Н по мере проникновения поля в проводник
проявляется на высоких и сверхвысоких частотах, где этому явлению дано
специальное название – «поверхностный эффект», и для его количественной
характеристики введен специальный параметр – «глубина проникновения поля
в проводник», или сокращенно – «глубина проникновения» (∆). Под глубиной
проникновения понимается такое расстояние ∆, на котором амплитуды
векторов электрического и магнитного поля проникающей в проводник волны
убывают в «е» раз, где е – основание натуральных логарифмов (2.718…). Так
как
| Е(z,t) | = Е0 exp(-αz) , то очевидно, что ∆ = 1/α. С учетом выражения
(4.27) получаем:
(4.29)
∆ = 2 / ωγµ a .
Величина ∆ для металлов ничтожно мала. Например, для меди (γ = 5⋅107
См/м) на частоте 1МГц она оказывается равной 0.07мм, а на частоте 1ГГц
составляет всего 0.002мм! Так как на глубине, равной нескольким ∆, можно
считать поле практически полностью затухшим, то очевидно, что при
достаточно высоких частотах электромагнитное поле может проникнуть извне
лишь в очень тонкий поверхностный слой металла.
В предельном случае, когда удельная электрическая проводимость
среды γ → ∞ , фазовая скорость плоской волны V → 0, коэффициент затухания
α → ∞, а глубина проникновения ∆→ 0. Отсюда следует важный вывод,
заключающийся в том, что в идеально проводящей среде переменное
электромагнитное поле существовать не может!
4.3 Поляризация плоских волн
При изучении поляризации плоских волн будем считать, что в
рассматриваемой области пространства присутствует только падающая волна.
Такое допущение не отразится на строгости выводов, так как падающая и
отраженная волна отличаются друг от друга только направлением
распространения. Кроме того, примем, что среда, в которой распространяется
волна, является идеальным диэлектриком, поскольку эффект затухания волны
не оказывает на ее поляризацию никакого влияния.
Назовем плоскость, в которой расположены векторы Е и П (вектор
Пойнтинга) электромагнитной волны, плоскостью поляризации этой волны. До
сих пор мы рассматривали только линейно поляризованные плоские волны,
причем для упрощения математических выкладок совмещали ось 0x
декартовой системы координат с вектором Е (плоскость поляризации волны
совпадала с координатной плоскостью x0z выбранной системы координат).
Однако, в общем случае векторыЕ иН плоской волны могут не совпадать с
координатными плоскостями и иметь составляющие по осям 0x и 0y, причем
35
.
.
.
.
начальные фазы составляющих Ε x и Ε y (также как и составляющих Η х и Η y )
могут быть равны или не равны друг другу:
.
.
.
.
Ε = Ε x x0 + Ε yy0 ;
.
.
Η = Η x x0 + Η yy0 .
(4.30)
Запишем выражения для мгновенных значений составляющих Еx и Еy
.
вектора Ε гармонической плоской волны, опуская при этом индекс «пад»:
Ey = Е0y cos(ωt – kz + ψy) .
(4.31)
Ex = Е0x cos(ωt – kz + ψx) ;
В плоскости z = const за время равное периоду колебаний конец
вектора Е
описывает замкнутую кривую, которая, в зависимости от
соотношения амплитуд и начальных фаз его составляющих Ex и Ey , может
вырождаться в прямую линию, а также быть окружностью или эллипсом.
Соответственно, плоская волна будет иметь линейную, круговую или
эллиптическую поляризацию. Рассмотрим каждую из них.
Линейная поляризация имеет место при любых соотношениях амплитуд
составляющих Ex и Ey вектораЕ, но при условии равенства их начальных фаз
ψx = ψy = ψ0 .
(4.32)
E0x = или ≠ E0y ;
В этом случае угол θ, определяющий наклон вектора Е к оси 0у
(см.рис.4.4), с течением времени остается неизменным :
(4.33)
tg θ = Ex / Ey = E0x / E0y = const ,
а конец вектора Е прочерчивает в плоскости z = const прямую линию
(см. рис.4.4). Ориентация плоскости поляризации линейно поляризованной
волны относительно координатных плоскостей z0x и z0y определяется
отношением E0x / E0y и остается неизменной во времени.
Представление линейно поляризованной плоской волны в виде суммы
двух линейно поляризованных плоских волн со взаимно перпендикулярными
плоскостями поляризации.
Обратимся к выражению (4.30), считая, что оно дает разложение
векторов Е
и Н плоской линейно поляризованной волны,
распространяющейся в положительном направлении оси 0z декартовой
системы координат, на составляющие, направленные вдоль осей 0x и 0y этой
системы. Анализ показывает, что в этом случае плоскую линейно
поляризованную волну с векторами Е иН можно представить в виде
суперпозиции (векторной суммы) двух независимых линейно поляризованных
волн, распространяющихся в положительном направлении оси 0z – одну с
векторами Exx0 и Hyy0 , а другую с векторами Eyy0 и Hxx0 . Таким
образом, плоскую линейно поляризованную волну в случае необходимости
можно представить в виде суммы двух линейно поляризованных плоских волн
со взаимно перпендикулярными (ортогональными) плоскостями поляризации.
Этот прием широко используется в электродинамике при решении задач
прохождения плоских волн через границы разделов сред.
Круговая поляризация имеет место при равенстве амплитуд
составляющих Ex и Ey вектораЕ и при условии, что начальные фазы этих
составляющих отличаются друг от друга на π/2 :
36
E0x = E0y = E0 ;
ψx = ψy ± π/2 .
(4.35)
В этом случае модуль вектора Е остается неизменным во времени, а
угол θ во времени изменяется :
|Е | = (Ex2 + Ey2)0.5 = (Е02 cos2(ωt – kz + ψy ± π/2) +
(4.36)
+ Е02 cos2(ωt – kz + ψy))0.5 = Е0 = const .
θ = arctg (Ex / Ey) = ± arctg(sin(ωt – kz + ψy) / cos(ωt – kz + ψy)) =
= ± (ωt – kz + ψy).
(4.37)
В результате с течением времени вектор Е, имея неизменную
амплитуду, вращается с угловой частотой ω :
dθ/dt = ± ω,
(4.38)
а конец вектораЕ за промежуток времени равный периоду колебаний
описывает в плоскости z = const окружность.
Знак «+» в выражении (4.38) соответствует вращению вектора Е (а с
ним и вектора Н ) по часовой стрелке (если смотреть в направлении
распространения волны). Такую волну принято называть правополяризованной
или «волной с круговой поляризацией правого вращения» .
Знак «-»
соответствует вращению плоскости поляризации против часовой стрелки.
Такую волну принято называть левополяризованной или «волной с круговой
поляризацией левого вращения». Так как при круговой поляризации
зависимость угла θ от пространственной переменной z подчиняется
линейному закону (см. выражение (4.37)) , то в каждый момент времени концы
векторов Е , относящихся к различным точкам оси 0z , будут расположены в
пространстве по винтовой линии (см. рис.4.5). С течением времени эта
винтовая линия перемещается вдоль оси 0z c фазовой скоростью V. Шаг винта,
очевидно, равен λ . В поглощающей среде радиус винта будет убывать вдоль
оси 0z .
Эллиптическая поляризация имеет место при неравенстве амплитуд и
начальных фаз составляющих Ex и Ey вектораЕ :
ψx ≠ ψy .
(4.39)
E0x ≠ E0y ;
В этом случае плоскость поляризации волны с течением времени будет
вращаться, модуль вектораЕ будет изменяться во времени, а конец вектора
Е за промежуток времени равный периоду колебаний прочертит в плоскости
z = const эллипс (см. рис.4.6). Так же как и в случае круговой поляризации,
различают эллиптически поляризованные волны левого и правого вращения.
Поляризация радиоволн, возбуждаемых в пространстве реальными
радиотехническими системами, определяется видом передающей антенны и
условиями на трассе распространения.
4.4 Перенос энергии плоской волной
Плотность потока энергиии, переносимой плоской волной, определяется
вектором Пойнтинга П . Для гармонических плоских волн среднее за период
значение вектора Пойнтинга
(Пср ) может быть рассчитано с помощью
следующей формулы:
37
∗
.
Пср = 0.5 Re{[ Ε , Η ]},
(4.40)
.
где Ε - комплексный вектор напряженности электрического поля,
∗
Η - комплексно сопряженный вектор напряженности магн. поля.
Определим величину Пср для падающей линейно поляризованной
волны, распространяющейся в проводящей среде в положительном
направлении оси 0z декартовой системы координат 0xyz, при условии, что
вектор Е этой волны направлен вдоль оси 0х. В этом случае комплексные
.
∗
векторы Ε и Η можно записать в следующем виде :
.
Ε = Е0 exp(-αz) exp( j ( – βz + ψ)) x0 ,
∗
(4.41)
.
Η = (1/| Ζ 0|) (Е0 exp(-αz) exp( j ( +βz - ψ + ϕ0)) y0 .
Следовательно, с учетом того, что [x0, y0 ] = z0 , имеем :
.
(4.42)
Пср = 0.5 ( Е02 / | Ζ 0| ) exp(-2αz) cos(ϕ0) z 0
Вектор Пср направлен в сторону распространения волны. Значит,
направление потока энергии в плоской волне совпадает с направлением ее
распространения. Этот результат вполне естественен, так как носителем
энергии является сама волна.
В проводящей среде энергия, переносимая волной, уменьшается по мере
распространения волны за счет перехода части этой энергии в тепло. В формуле
(4.42) это отражено наличием сомножителя ехр(-2αz). Присутствие множителя
2 в показателе степени экспоненты обусловлено тем, что по мере
распространения волны затухает и электрическое и магнитное поле.
Сомножитель cos ϕ0 , также уменьшающий величину Пср , отражает тот факт,
что в проводящей среде, вследствие фазового сдвига между векторами Е и
Н , вектор Пойнтинга в каждой точке пространства в течении промежутка
времени, равного части периода колебаний, направлен в сторону,
противоположную направлению распространения волны (см. рис.4.3).
Естественно, что за счет этого среднее за период количество энергии,
переносимой волной в положительном направлении оси 0z, будет меньше, чем
при отсутствии фазового сдвига между векторами Е и Н .
В проводящей среде divПср отлична от нуля и отрицательна :
.
divПср = ∂ Пср / ∂z = - α ( Е02 / | Ζ 0| ) exp(-2αz) cos(ϕ0).
Это значит, что в каждой точке пространства вследствие тепловых
потерь имеет место «сток» энергии электромагнитного поля.
Как известно, средняя за период плотность энергии электрического поля
.
WЕср равна εа | Ε |2 / 4, а средняя за период плотность энергии магнитного поля
.
WНср равна µа | Η |2 / 4 . Для плоской волны, распространяющейся в проводящей
среде, отношение WЕср / WНср оказывается меньше единицы (см. выражения
(4.41), (4.24)):
38
.
.
.
WЕср / WНср = εа | Ε |2 / µа | Η |2 = (εа / µа) | Ζ 0|2 =
.
= (εа / µа) (µа / | ε а |) = εа / |(εа - j γ/ω)| < 1
Значит, в этом случае средняя плотность энергии магнитного поля
оказывается больше, чем средняя плотность энергии электрического поля :
(4.43)
WНср > WЕср .
Этот результат объясняется тем, что в проводящей среде магнитное поле
создается не только изменяющимся во времени электрическим полем (токами
смещения), но и протекающими в этой среде токами проводимости, имеющими
плотность δ = γЕ . Чем больше проводимость среды γ , тем больше в ней
токи проводимости и тем сильнее неравенство (4.43). В металлах даже на очень
высоких частотах энергия магнитного поля на несколько порядков превосходит
энергию электрического поля.
В идеальном диэлектрике плоская волна распространяется без
затухания, а векторы Е и Н изменяются в одинаковой фазе как в
пространстве так и во времени. В этом случае вектор Пср в каждой точке
пространства одинаков и равен:
(4.44)
Пср = ( Е02 / 2Z0 ) z 0 .
Естественно, что в этом случае divПср = ∂ Пср / ∂z = 0, т.е. «сток»
энергии электромагнитного поля отсутствует.
Сам вектор Пойнтинга, при распространении плоской волны в
идеальном диэлектрике, в любой момент времени
ориентирован в
положительном направлении оси 0z :
П = ( Е02 / Z0 ) cos2(ωt - kz + ψ) z 0
Поскольку между векторамиЕ иН нет фазового сдвига, их амплитуды
.
.
связаны соотношением | Η | = | Ε | / µ а / ε а (см. выражения (4.10), (4.8)), из чего
следует:
.
.
(4.45)
εа | Ε |2 / 4 = µа | Η |2 / 4 ,
т.е. средние плотности энергий электрического и магнитного полей
плоской однородной волны, распространяющейся в идеальном диэлектрике,
равны друг другу.
Выясним, с какой скоростью плоская однородная волна переносит
энергию и отличается ли скорость переноса энергии (Vэ) от фазовой скорости
волны (V).
Ответ на этот вопрос получим в результате следующих рассуждений.
Поток энергии плоской однородной волны в направлении ее распространения,
определяемый величинойПср , равен произведению средней плотности энергии
электромагнитного поля плоской волны Wср на скорость переноса этой
энергии Vэz 0:
(4.46)
Пср = Wср ⋅ (Vэz 0).
В свою очередь, средняя плотность энергии электромагнитного поля
плоской волны будет равна сумме средних плотностей энергий электрического
39
и магнитного полей, которые при распространении волны в идеальном
диэлектрике равны друг другу (см.(4.45)) :
.
.
.
Wср = WНср + WЕср = εа | Ε |2 / 4 + µа | Η |2 / 4 = εа | Ε |2 / 2 = εа E02 / 2. (4.47)
Из выражений (4.46), (4.45) и (4.47) можно вывести формулу для
скорости переноса энергии плоской волной :
Vэz 0 =Пср / Wср = (( Е02 / 2Z0 ) / (εа E02 / 2))z 0 =
= (1 / ε а µ а )z 0 = Vz 0
Таким образом, в идеальном диэлектрике скорость переноса энергии
плоской однородной волной в направлении ее распространения равна фазовой
скорости волны в этом же направлении. Это правило сохраняется и для случая
распространения плоской однородной волны в проводящей среде.
В то же время, необходимо подчеркнуть, что равенство скорости
переноса энергии (Vэ) и фазовой скорости (V) имеет место только в
направлении нормали к фазовому фронту волны, т.е. в направлении ее
распространения. Для всех других направлений скорость переноса энергии
будет меньше, чем фазовая, и меньше, чем скорость переноса энергии в
направлении нормали к фазовому фронту волны!
а)
б)
Рис.4.1 Плоские волны в идеальном диэлектрике:
а) падающая волна; б) отраженная волна .
Рис.4.2 Изменение амплитуды вектора Е в падающей и отраженной
волнах в зависимости от координаты z.
40
Рис.4.3 Падающая плоская волна в поглощающей среде.
Рис.4.4 Линейная поляризация (положение плоскости поляризации
относительно осей координат с течением времени не изменяется, угол θ =
const).
а)
б)
Рис.4.5 Круговая поляризация (волна левополяризованная) :
а) изменение во времени вектора Е в плоскости z = const;
б) изменение в пространстве вектора Е в фиксированный момент
времени.
41
Рис.4.6 Эллиптическая поляризация (волна левополяризованная) ;
плоскость поляризации с течением времени вращается вокруг оси 0z с угловой
скоростью ω, угол θ = θ(t).
Вопросы для самопроверки
1.В чем заключается отличие волновых процессов от колебательных процессов в
радиотехнических цепях?
2.Какая дополнительная характеристика вводится для описания векторных волновых
процессов?
3.Какие виды поляризации принято рассматривать в задачах электродинамики?
4.Каковы основные свойства плоской волны?
5.Какой характер носит волновое число в различных средах?
6.В чем заключаются особенности распространения плоской волны в средах с
проводимостью?
7.Какова природа явления дисперсии при распространении плоской волны в
полупроводящей среде?
8.К чему приводит нелинейность и анизотропия среды при распространении плоской
волны?
5. Сферические волны в однородной среде. Излучение
В отличие от плоских электромагнитных волн, рассмотренных в
предыдущем разделе и представляющих собой математическую абстракцию,
сферические волны являются физически реализуемым и единственным из
возможных видов волновых процессов, который может распространяться в
свободном пространстве.
Общее выражение для сферической волны может быть записано в виде:
С = Сm
sin Θ
r
cos ω (t − ) ,
v
r
(5.1)
где
Сm – амплитуда любой составляющей электромагнитной волны;
r - расстояние до точки наблюдения из начала сферической системы
координат;
Θ - угловая координата сферической системы координат;
ω - круговая частота волнового процесса;
v - скорость распространения волнового процесса;
t - время.
При заданных значениях ω и t фаза колебаний будет зависеть только от
расстояния. Т.о. поверхности равных фаз сферической волны в пространстве
42
представляют собой сферы радиуса r. Поверхность же равных амплитуд будет
постоянна при
sin Θ
= сonst, т.е. кривизна этой поверхности зависит от угла Θ.
r
Иными словами говоря, поверхности равных фаз и равных амплитуд в
сферической волне не совпадают и она является неоднородной.
Более подробное знакомство со свойствами сферической волны можно
получить, рассматривая особенности излучения электромагнитной энергии в
свободное пространство. На практике излучение электромагнитных волн
обеспечивается системой сторонних токов, протекающих в технических
устройствах,
называемых антеннами. Для понимания процессов,
происходящих в реальных антеннах, крайне важно изучение особенностей
излучения так называемых элементарных излучателей, совокупностью которых
могут быть представлены указанные антенны. В качестве элементарных
излучателей принято рассматривать: элементарный электрический излучатель
(диполь Герца), элементарный магнитный излучатель (магнитная рамка),
элементарный поверхностный излучатель (элемент Гюйгенса).
5.1 Элементарный электрический излучатель
Элементарный электрический излучатель (диполь) - это проводник
малой электрической (по отношению к длине волны) длины, по которому
протекает переменный ток.. Малая электрическая длина диполя позволяет в
некотором приближении, тем более строгом, чем короче диполь, считать
амплитуду и фазу тока вдоль диполя постоянными, что существенно упрощает
решение задачи.
При рассмотрении данного вопроса принято полагать, что диполь
длиной l располагается в безграничной, однородной, изотропной,
непроводящей среде с параметрами εа, µ а; плотность тока δэст вдоль диполя
полагается известной, изменяющейся по гармоническому закону. Для решения
этой задачи удобно воспользоваться волновыми уравнениями для
электродинамических потенциалов, тем более, что для гармонических
процессов достаточно решить только одно уравнение для векторного
потенциала, а скалярный может быть найден из калибровочного соотношения
(см.2.16- 2.18).
Общее решение волнового уравнения для векторного потенциала имеет
вид:
ст е − jkr
µ
dV , где V – объем, в котором расположены источники
А& э = а ∫ δ&э
4π V
r
поля (сторонний ток); r – расстояние от точки наблюдения до каждой точки
объема. Для случая элементарного электрического диполя интеграл в этом
выражении может быть легко вычислен, если полагать, что кроме постоянства
амплитуды тока вдоль диполя, еще и расстояние до точки наблюдения много
больше длины диполя. В этом случае можно считать, что r является величиной
постоянной для всех точек диполя и равной расстоянию до начала сферической
системы координат, в которой диполь и располагается (Рис 5.1).
43
Рис. 5.1
Окончательно учитывая, что объем элементарного диполя можно
представить в виде произведения его площади на длину, выражение для
векторного потенциала приобретает вид:
µ
e − jkr
А& э = а I& ⋅ l
.
4π
r
(5.2)
Здесь I- амплитуда тока вдоль диполя;
l- длина диполя.
Т.о. в любой точке пространства векторный потенциал параллелен
диполю, причем поле векторного потенциала и по амплитуде и по фазе
является сферическим. В сферической системе координат векторный
потенциал имеет две составляющие:
А& r = А& э cos Θ; А& Θ = − А& э sin Θ , не зависящие от угла ϕ; составляющая же Аϕ =0.
Следующий этап решения задачи состоит в отыскании векторов Е , Н .
Используя (2.19-2.20), можно получить:
I& ⋅ l − jkr jk 1
Н& = Н φ ϕ0 =
e ( + 2 ) sin Θ ϕ0,
r r
4π
&
&
&
Е = Е r r0 + EΘ Θ0, где:
I& ⋅ l − jkr 1
jk
Е& r = − j
e ( 3 + 2 ) cos Θ ,
2πωε а
r
r
I& ⋅ l − jkr 1
jk k 2
Е& Θ = − j
е ( 3 + 2 − ) sin Θ .
r
4πωε а
r
r
(5.3)
(5.4)
(5.5)
В выражениях 5.3-5.5 : r0, Θ0, φ0 - единичные орты сферической системы
координат; ω – частота переменного тока, протекающего по диполю.
Свойства поля электрического диполя.
Из полученных выражений можно видеть, что для сферической волны,
так же как и для плоской –
1.
характер изменения поля зависит от свойств среды (вещественно,
либо комплексно волновое число k);
44
2.
вектор магнитного поля Н имеет только одну составляющую,
поэтому его силовые линии являются окружностями, параллельными
экваториальной плоскости;
3.
вектор напряженности электрического поля Е не имеет
составляющей Еφ, поэтому его силовые линии лежат в меридиональных
плоскостях;
4.
векторы напряженности электрического и магнитного полей в
любой точке пространства взаимно перпендикулярны;
5.
фаза составляющих электромагнитного поля зависит только от
координаты r, поэтому поверхностями равных фаз поля излучения диполя
являются сферы;
6.
амплитуды составляющих поля излучения зависят только от
координат Θ и r, поэтому относительно оси диполя электромагнитное поле
симметрично.
Зависимость поля излучения от угловых координат Θ, φ принято называть
функцией направленности диполя (в технике часто используется понятие
диаграмма направленности – графическое представление функции
направленности). Как следует из 5.3-5.5, амплитуды составляющих Еθ и Нφ
пропорциональны sin Θ, а от угла φ не зависят. Т.о. пространственная
диаграмма направленности диполя представляет собой тороид.
Амплитуда составляющей Еr пропорциональна cosΘ и также не зависит
от угла φ, поэтому ее пространственная диаграмма направленности
представляет собой две соприкасающиеся сферы с максимумами излучения,
расположенными под углами Θ равными 0 и 180 градусам.
Поскольку амплитуда составляющих поля излучения диполя, кроме
зависимости от угловых координат, зависит еще от расстояния до точки
наблюдения, причем достаточно сложным образом, то все пространство вокруг
диполя в зависимости от расстояния принято делить на три характерные
области:
- ближнюю зону, где
kr <<1 (2πr <<λ);
- промежуточную зону, где kr ≈ 1 (2πr ≈ λ);
- дальнюю зону, где
kr >>1 (2πr >>λ).
В ближней зоне (зоне индукции, либо квазистационарной зоне) r столь
мало, что запаздыванием при распространении электромагнитной волны от
диполя до точки наблюдения можно пренебречь (можно пренебречь волновым
характером поля). Математически это означает, что в выражениях 5.3-5.5
фазовый множитель e-jkr ≈1, в амплитудных множителях можно пренебречь
всеми слагаемыми, которые убывают быстрее, чем 1/r2 для магнитного поля и
1/r3 для электрического поля. Тогда выражения для составляющих поля
излучения диполя в ближней зоне будут иметь вид:
I& ⋅ l 1
sin Θ ,
Н& ϕ =
4π r 2
I& ⋅ l 1
cos Θ ,
Е& r = − j
2πωε а r 3
45
I& ⋅ l 1
Е& Θ = − j
sin Θ .
4πωε а r 3
(5.6)
Полученные выражения соответствуют закону Био-Савара для
магнитного поля и полю электрического диполя в электростатике.
В дальней зоне (зоне излучения, либо волновой зоне) волновым
характером поля (запаздыванием) уже пренебрегать нельзя, однако можно
пренебречь всеми членами, которые убывают быстрее, нежели 1/r. Тогда
выражения для составляющих поля излучения приобретают вид:
kI& ⋅ l − jkr
Н& = Н& φ ϕ0 = j
e sin Θ ϕ0,
4πr
k 2 I& ⋅ l − jkr
Е& = Е& Θ Θ 0 = j
е sin ΘΘ 0
4πωε а r
(5.7)
(5.8)
Составляющей поля излучения диполя Еr в дальней зоне обычно
пренебрегают в виду ее малости.
Из 5.7-5.8 следует, что, как и в плоской волне, в дальней зоне поля
излучения диполя векторы электрического и магнитного поля взаимно
перпендикулярны. Кроме того, отношение
ЕΘ
κ
=
=
Нϕ ωε а
µа
= Ζс
εа
(5.9)
представляет собой волновое сопротивление среды.
В промежуточной зоне при расчетах поля излучения диполя никакими
слагаемыми в выражениях 5.3-5.5 пренебрегать нельзя!
Рассмотренные выше особенности относятся лишь к математическим
аспектам описания поля излучения диполя. С физической точки зрения, на
любом расстоянии от диполя присутствуют все три составляющие поля
излучения, и речь может идти лишь о соотношении их амплитуд.
Энергетические характеристики электрического диполя.
Энергетические характеристики электрического диполя, то есть
излучение им электромагнитной энергии в пространство, определяются
средним за период значением вектора Пойнтинга. В общем случае выражение
для среднего за период значения вектора Пойнтинга имеет вид:
1
П& ср = Re[ E& × H& * ] ,
2
(5.10)
где Re – вещественная часть комплексного числа;
∗) - символ комплексно сопряженного числа.
Для составляющих поля излучения 5.3-5.5 среднее значение вектора
Пойнтинга в соответствии с 5.10 описывается выражением:
1
1
П& ср = Re П& Θ Θ 0 + Re П& r r0 .
2
2
(5.11)
Т.о. вектор Пойнтинга имеет две составляющие – меридиональную ПΘ и
радиальную Пr . После подстановки в 5.11 соответствующих значений Е и Н
можно видеть, что среднее значение меридиональной составляющей равно
нулю, т.е. перенос энергии в меридиональной плоскости отсутствует и здесь
46
имеет место только пульсация потока мощности, причем с двойной частотой.
Такую мощность принято называть реактивной. Вблизи диполя эта мощность
имеет большую величину, но с увеличением расстояния очень быстро убывает.
Радиальная составляющая вектора Пойнтинга состоит из двух частей –
реактивной, имеющей тот же порядок величины, что и меридиональная часть
мощности, и так же быстро (пропорционально пятой степени расстояния)
убывающая по мере удаления от диполя, и активной, убывающей
пропорционально второй степени расстояния. Выражение для активной
мощности, которая собственно и является мощностью, излучаемой диполем в
пространство имеет вид:
Пr =
1
к 3 I 2 l 2 sin 2 Θ
.
Re П& r =
2
32π 2ωε a r 2
(5.12)
Т.о. в поле излучения диполя существует энергетический поток,
убывающий пропорционально второй степени расстояния, при этом функция
направленности по мощности пропорциональна sin2 Θ и ее графическое
представление – диаграмма направленности будет уже, чем диаграмма
направленности по полю, рассмотренная выше.
Если проинтегрировать 5.12 по площади сферы, окружающей диполь, то
можно вычислить полную мощность излучения диполя. Значение этого
интеграла будет равно:
Ризл=
к 3 I 2l 2
.
12πωε a
(5.13)
Мощность излучения можно представить также в виде:
Ρизл =
Rизл I 2
,
2
(5.14)
где Rизл – сопротивление излучения диполя.
Приравняв между собой 5.13 и 5.14, можно получить выражение для
сопротивления излучения:
2 l
Rизл = π ( ) 2 Z c .
3 λ
(5.15)
Здесь Zc – волновое сопротивление среды, в которой расположен
диполь.
Для свободного пространства Zc = 120π. В этом случае:
l
Rизл = 790( ) 2 ,
λ
l
Pизл = 395 I 2 ( ) 2 .
λ
(5.16)
5.2 Излучение элементарного магнитного диполя
Элементарный магнитный диполь - виток провода, по которому
протекает переменный электрический ток. Длина витка должна быть много
меньше длины волны тока, протекающего по нему, что позволяет считать
амплитуду тока вдоль витка постоянной. Если при этом потребовать, чтобы
расстояние до точки наблюдения было много больше размеров витка, то поле
излучения элементарного магнитного диполя в этой точке с использованием
принципа перестановочной двойственности уравнений Максвелла может быть
записано в виде:
47
µ I&S
1
jk
Е& = Е& ϕ ϕ 0 = − jω а e − jkr ( 2 + ) sin Θ,
4π
r
r
&
H = H& r + H& Θ ,
r 0
Θ
(5.17)
0
I&S − jkr 1
jk
H& r =
e ( 3 + 2 ) cos Θ,
2π
r
r
где .
I&S − jkr 1
jk k 2
&
HΘ =
e ( 3 + 2 − ) sin Θ
4π
r
r
r
(5.18)
В выражениях 5.17-5.18 S - площадь витка с током. Остальные обозначения
аналогичны, использованным ранее обозначениям.
Структура поля элементарного магнитного диполя аналогична
структуре поля элементарного электрического диполя за исключением того,
что векторы напряженности магнитного и электрического поля меняются
местами. Зависимость поля излучения элементарного магнитного диполя от
расстояния до точки наблюдения и угловых координат точно такая же, как и
для электрического диполя. Средний поток мощности в дальней зоне имеет
только одну радиальную составляющую.
Характерной особенностью магнитного диполя является то, что при
одинаковой длине провода с электрическим диполем, его сопротивление
излучения оказывается меньшим, и, следовательно, меньше его излучательная
способность. Так при l ≅ 0.1λ Rизл. эл / Rизл. м ≅ 400, поэтому в технике гораздо
чаще применяют разомкнутые системы.
Особенности излучения электромагнитной энергии элементом Гюйгенса
в данном разделе рассматриваться не будут. С ними можно познакомиться в
курсе Устройства СВЧ и Антенны.
Вопросы для самопроверки
1.Какова цель введения понятия элементарного излучателя?
2.Как формулируется задача излучения электромагнитных волн элементарным
излучателем?
3.Какой метод решения используется для расчета излучения элементарного
электрического диполя?
4.Назовите характерные зоны пространства и критерии разделения, в которых принято
рассматривать поле излучения.
5.Охарактеризуйте энергетические свойства поля, излученного элементарным излучателем.
6.Какие характеристики свойственны элементарному излучателю как антенне?
7.Какие модели используются для описания элементарного магнитного излучателя?
8.Сравните излучательную способность элементарных электрического и магнитного
излучателей.
9.Какой вид имеет диаграмма направленности элемента Гюйгенса?
6.Направляющие системы и направляемые волны
6.1 Общие понятия и определения
6.1.1 Классификация линий передачи
Различают свободные и направляемые электромагнитные волны.
Свободными называются электромагнитные волны, распространяющиеся в
48
неограниченном пространстве. Направляемыми называются электромагнитные
волны, распространяющиеся вдоль линий передачи.
Линией передачи называют устройство, ограничивающее область
распространения электромагнитных волн и обеспечивающее движение потока
энергии электромагнитной волны в заданном направлении. Линии передачи
могут быть регулярными и нерегулярными, однородными и неоднородными.
Регулярной называют линию передачи, у которой поперечное сечение и
электрофизические свойства заполняющих ее сред являются неизменными
вдоль всей линии. Нерегулярной называют линию передачи, у которой
нарушено хотя бы одно условие регулярности.
Однородной называют линию передачи, заполненную однородной
средой. Неоднородной – линию передачи, заполненную неоднородной средой.
В зависимости от наличия или отсутствия в конструкции линии
передачи замкнутого проводящего экрана, отделяющего область пространства,
в которой распространяется направляемая волна, от окружающей среды,
различают волноводы и открытые линии передачи. Волноводами называются
линии передачи, в поперечном сечении которых имеется один или несколько
замкнутых проводящих контуров, охватывающих область распространения
направляемых волн. В поперечном сечении открытых линий передачи таких
контуров нет.
Геометрической характеристикой поперечного сечения линии передачи,
определяющей количество изолированных проводящих поверхностей,
входящих в состав ее конструкции, является «порядок связности» линии
передачи. Различают односвязные, двухсвязные, многосвязные линии и линии
передачи нулевой связности.
6.1.2 Некоторые виды линий передачи.
На рис.6.1 приведены эскизы поперечных сечений некоторых видов
линий передачи:
а – двухпроводная линия передачи (двухсвязная открытая линия
передачи);
б – коаксиальный волновод (двухсвязный волновод с соосными
внешним и внутренним проводниками);
в – микрополосковая линия передачи (двухсвязная открытая
неоднородная линия передачи).
г – прямоугольный волновод (односвязный волновод, имеющий
прямоугольное поперечное сечение);
д – круглый волновод (односвязный волновод, имеющий круглое
поперечное сечение);
е – диэлектрическая линия передачи (открытая линия передачи нулевой
связности).
49
Рис. 6.1. Некоторые виды линий передачи ( а - двухпроводная линия
передачи,
б – коаксиальный волновод, в – микрополосковая линия передачи, г –
прямоугольный волновод, д – круглый волновод, е – диэлектрическая линия
передачи ).
6.1.3 Классификация электромагнитных волн, распространяющихся
в линиях передачи
В зависимости от вида линий передачи в них могут распространяться
электромагнитные волны четырех классов:
•
поперечные или Т-волны (старое название и обозначение поперечно – электромагнитные или ТЕМ-волны);
•
электрические или Е-волны (старое название и обозначение поперечно – магнитные или ТМ-волны);
•
магнитные или Н-волны (старое название и обозначение поперечно – электрические или ТЕ-волны);
•
гибридные волны.
Разделение волн, распространяющихся вдоль линий передачи, на
указанные классы производится относительно продольной (направленной вдоль
линии передачи) пространственной координаты z. По отношения к этой
координате в Т-волнах векторы Е и Н имеют только поперечные
(перпендикулярные оси 0z) составляющие; в Е-волнах вектор Е имеет
поперечную и продольную составляющие, а вектор Н – только поперечную; в
Н-волнах вектор Н имеет поперечную и продольную составляющие, а вектор
Е - только поперечную; в гибридных волнах оба вектора (Е и Н ) имеют и
продольные и поперечные составляющие. Заметим, что в линиях передачи ось
0z совпадает с направлением движения распространяющихся вдоль этих линий
электромагнитных волн.
Т-волны могут существовать только в двухсвязных или многосвязных
линиях передачи (причем как в открытых линиях, так и в волноводах).
50
Е- и Н-волны могут существовать в односвязных и многосвязных
волноводах различного поперечного сечения.
Гибридные волны могут существовать в неоднородных линиях передачи
различных типов.
6.2 Методы изучения электромагнитных процессов в линиях
передачи
Так как энергия от генератора переносится к нагрузке электромагнитной
волной, распространяющейся вдоль линии, то наиболее общим методом
изучения процессов в линиях передачи является метод электродинамики,
основанный на решении волновых уравнений для векторов Е и Н с
последующим определением передаваемой мощности как потока вектора
Пойнтинга через поперечное сечение линии.
В то же время, в линиях передачи с Т-волной, где понятия ток в
проводниках линии и напряжение между ними имеют вполне конкретный
физический смысл, наряду с методами электродинамики можно
воспользоваться для описания протекающих в этих линиях электромагнитных
процессов методами теории цепей с распределенными параметрами (теорией
длинных линий), основанными на решении телеграфных уравнений для токов и
напряжений с последующим определением передаваемой мощности как
произведения тока и напряжения в нагрузке линии.
Оба эти метода для линий передачи с Т-волной приводят к одинаковым
результатам. Однако метод теории цепей связан с использованием более
простого математического аппарата и был первым исторически. Его и
применяют в инженерной практике при расчете характеристик этих линий.
В линиях передачи с Е- и Н-волнами из-за наличия продольных
составляющих векторов Е и Н понятие напряжения теряет свой физический
смысл, поэтому описание протекающих в них электромагнитных процессов
возможно только методами электродинамики. Эти методы и будут рассмотрены
в настоящем пособии.
6.3 Общие свойства направляемых электромагнитных волн.
6.3.1 Постановка задачи и порядок ее решения.
Постановка задачи и допущения. Пусть имеется бесконечно длинная
однородная линия передачи. Предположим, что металлические части линии
выполнены из идеального проводника (γм = ∞), а диэлектрические части и
окружающая среда являются идеальными диэлектриками (γд = 0). Кроме того,
будем считать что в рассматриваемой области отсутствуют сторонние токи и
заряды.
Требуется определить электромагнитное поле, которое может
существовать в данной линии передачи при условии, что это поле
гармоническое во времени, а частота колебаний равна ω.
Предположение о виде решения.
Поле в линии будем искать в виде
суммы (суперпозиции) Е- и Н-волн, распространяющихся вдоль оси 0z,
совпадающей с продольной осью рассматриваемой линии передачи (заметим,
что Т-волны являются частным случаем Е- и Н-волн).
51
Решение.
Искомое поле должно удовлетворять однородным
уравнениям Максвелла в комплексной форме:
⋅
⋅
.
rot Η = jω ε а Ε ,
⋅
⋅
rot Ε =-jωµa Η ,
(6.1)
⋅
div Η = 0 ,
⋅
div Ε = 0 ,
и граничному условию для касательной составляющей вектора напряженности
.
электрического поля ( Ε τ) на поверхностях идеальных проводников:
.
⋅
Ε τ=0
(6.2)
Уравнения (6.1) легко трансформируются в однородные волновые
⋅
⋅
уравнения для векторов Ε и Η :
⋅
⋅
⋅
⋅
(6.3)
∇2 Ε + k2 Ε = 0, ∇2 Η + k2 Η = 0 ,
где k = ω ε а µ а - волновое число для плоской однородной волны,
распространяющейся в безграничной среде с параметрами диэлектрика,
заполняющего (окружающего) линию передачи. В дальнейшем такую среду для
краткости будем именовать «свободным пространством».
При решении задачи определения структуры электромагнитных полей
Е- и Н- волн в линиях передачи используется следующий прием:
•
все поперечные составляющие векторов поля выражают c
помощью так называемых «уравнений связи» через имеющиеся в данной волне
продольные составляющие векторов напряженности электрического или
.
.
магнитного поля ( Ε z для Е-волн и Η z для Н-волн);
•
решают волновые уравнения только для этих продольных
составляющих;
•
вычисляют с помощью уравнений связи поперечные
составляющие векторов Е и Н в линии передачи.
Таким образом, решение задачи сводится к составлению уравнений
связи и решению одномерных, однородных волновых уравнений для
продольных составляющих векторов Е или Н . Для Е-волн предстоит решить
уравнение
.
.
∇2 Ε z+k2 Ε z=0,
а для Н-волн – уравнение
.
(6.4)
.
∇2 Η z+k2 Η z=0.
(6.5)
Постоянные коэффициенты, которые получаются при интегрировании
этих уравнений, определяются при наложении на полученные решения
граничного условия (6.2).
6.3.2 Уравнения связи для Е- и Н-волн
Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений
Максвелла (6.1), раскрытых для соответствующей системы координат.
52
Для декартовой (прямоугольной) системы координат (x,y,z) уравнения
связи для Е- и Н-волн выглядят следующим образом :
.
2
.
.
2
.
Ε x = (- j К / æ ) ∂ Ε z /∂x
Ε y = (- j К / æ ) ∂ Ε z /∂y
.
Е-волны
(6.6)
Н-волны
(6.7)
.
2
Η x = ( j ωεа / æ ) ∂ Ε z /∂y
.
.
2
Η y = (- j ωεа / æ ) ∂ Ε z /∂x
.
.
2
Ε x = (- j ωµа / æ ) ∂ Η z /∂y
.
.
2
Ε y=(jωµа/æ )∂ Η z/∂x
.
.
2
Η x = (-j К / æ ) ∂ Η z / ∂x
.
.
2
Η y = (-j К / æ ) ∂ Η z / ∂y
Для цилиндрической системы координат (ρ,ϕ,z) уравнения связи для Еи Н-волн выглядят следующим образом :
.
2
.
.
2
Ε ρ = (-j K / æ ) ∂ Ε z / ∂ρ
.
Ε ϕ = (-j K / æ ) (1/ρ) ∂ Ε z / ∂ϕ
.
Е-волны
(6.8)
Н-волны
(6.9)
.
2
Η ρ = ( j ωεа / æ ) (1/ρ) ∂ Ε z / ∂ϕ
.
2
.
2
.
Η ϕ = (-j ωεа / æ ) ∂ Ε z / ∂ρ
.
Ε ρ = (- j ωµа / æ ) (1/ρ) ∂ Η z / ∂ϕ
.
.
2
Ε ϕ = ( j ωµа / æ ) ∂ Η z / ∂ρ
.
2
.
Η ρ = (- j К / æ ) ∂ Η z / ∂ρ
.
2
.
Η ϕ = (- j К / æ ) (1/ρ) ∂ Η z / ∂ϕ
6.3.3 Решение волновых уравнений для продольных составляющих
векторов напряженности электрического и магнитного поля Е- и Н-волн
Решение волновых уравнений будем искать в обобщенноцилиндрической ортогональной системе координат (ξ,η,z), частными случаями
которой являются декартова (прямоугольная) система координат (x,y,z) и
цилиндрическая система координат (ρ,ϕ,z). Координатная линия 0z во всех этих
системах представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости, в которой
расположены две другие координатные линии (эти линии для декартовой
системы координат представляют собой две взаимно перпендикулярные
прямые, а для цилиндрической системы координат - радиус-вектор и дугу
окружности).
Так как волновые уравнения (6.4) и (6.5) абсолютно идентичны, то в
настоящем подразделе мы будем интегрировать однородное волновое
⋅
уравнение для скалярной функции Ω (ξ,η,z), помня о том, что полученное
решение в одинаковой мере удовлетворит уравнениям (6.4) и (6.5).
53
Рис.6.2. Ориентация обобщенно-цилиндричесой системы координат
относительно линии передачи
Ориентируем систему координат (ξ,η,z) таким образом, чтобы ось 0z
совпала с продольной осью линии передачи, т.е. с направлением движения
фазового фронта электромагнитной волны, распространяющейся вдоль данной
линии (см. рис.6.2). В этом случае оператор Лапласа ∇2 (лапласиан) для
⋅
функции Ω (ξ,η,z) может быть представлен в следующем виде:
(6.10)
∇2=∇2⊥(ξ,η)+∂2 /∂z2 ,
2
где ∇ ⊥ (ξ, η) - оператор Лапласа по поперечным координатам
(поперечный лапласиан).
Для декартовой системы координат
(6.11)
∇2⊥(x,y)=∂2/∂x2+∂2/∂y2.
Для цилиндрической системы координат
(6.12)
∇2⊥(ρ,ϕ)=∂2/∂ρ2+(1/ρ)(∂/∂ρ)+(1/ρ2)(∂2 /∂ϕ2) .
При выбранной ориентации обобщенно-цилиндрической системы
координат относительно линии передачи исходное волновое уравнение для
⋅
функции Ω (ξ,η,z) примет следующий вид:
⋅
⋅
⋅
(6.13)
∇2⊥ Ω (ξ,η,z)+∂2 Ω (ξ,η,z)/∂z2+k2 Ω (ξ,η,z)=0.
Решение этого уравнения будем искать методом разделения переменных
⋅
(методом Фурье). В соответствии с идеей метода, искомую функцию Ω (ξ,η,z)
представим в виде произведения двух функций, одна из которых (Ψ(ξ,η))
.
зависит только от переменных ξ и η, а вторая ( Ζ (z)) - только от переменной z .
В этом случае
⋅
.
Ω (ξ,η,z)=Ψ(ξ,η) Ζ (z),
(6.14)
и уравнение (6.13) приобретает следующий вид:
54
.
2
2
.
2
2
.
Ζ (z) ∇ ⊥Ψ (ξ,η) + Ψ (ξ,η) (∂ Ζ (z) / ∂z ) + k Ψ (ξ,η) Ζ (z) = 0 .
Поделив почленно обе части этого уравнения на произведение Ψ (ξ,η)
.
Ζ (z) и перейдя во втором члене от частного дифференциала к полному (так как
.
функция Ζ (z) зависит только от одной переменной), получим
.
.
(6.15)
(1/Ψ(ξ,η))∇2⊥Ψ(ξ,η)+(1/ Ζ (z))(d2 Ζ (z)/dz2)=-k2.
В этом уравнении первый член зависит только от переменных ξ и η,
второй - только от переменой z , а их сумма равна постоянной величине - k2.
Уравнение (6.15) должно быть справедливым при любом значении переменной
z. Очевидно, что это требование может быть удовлетворено только в том
случае, если и первый и второй члены этого уравнения порознь равны неким
постоянным величинам. Обозначим эти постоянные – æ2 и – К2 соответственно.
Тогда уравнение (6.15) может быть представлено в виде системы из трех
уравнений
.
.
d2 Ζ (z)/dz2+К2 Ζ (z)=0.
(6.16)
2
2
(6.17)
∇ ⊥Ψ(ξ,η)+æ Ψ(ξ,η)=0.
2
2
2
æ +К =k .
(6.18)
Метод Фурье позволил нам перейти от исходного трехмерного
дифференциального уравнения в частных производных (6.13) к более простым
уравнениям (6.16) и (6.17). Физический смысл, названия и способы
определения постоянных коэффициентов К и æ будут выяснены позднее.
Займемся интегрированием уравнения (6.16). Оно представляет собой
обыкновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка,
решениями которого могут быть комбинации показательных либо
тригонометрических функций и постоянных коэффициентов:
.
Ζ (z)=Аexp(-jКz)+Вexp(jКz),
(6.19)
.
Ζ (z)=Сcos(Кz)+Dsin(Кz),
(6.20)
(постоянные
где А, В, С, D – постоянные коэффициенты
интегрирования).
Первое решение представляет собой суперпозицию бегущих волн,
распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси 0z, а второе – стоячую
волну, установившуюся вдоль оси 0z. Очевидно, что исходя из физических
условий решаемой задачи, необходимо отбросить решение (6.20) и оставить
только (6.19), так как вдоль линии передачи (вдоль оси 0z) должны
распространяться электромагнитные волны, переносящие энергию.
Сопоставляя (6.19) с решением (4.5) для плоской однородной волны,
приходим к выводу, что первое слагаемое в этом решении характеризует
падающую волну, распространяющуюся вдоль линии передачи в
положительном направлении оси 0z, а второе – отраженную волну,
распространяющуюся в отрицательном направлении оси 0z. Соответственно
величину К называют продольным волновым числом.
55
Если учесть, что по условиям решаемой задачи линия передачи является
однородной и бесконечно длинной, то отраженная волна в ней должна
отсутствовать, и выражение (6.14) приобретает следующий вид:
⋅
Ω (ξ,η,z)=Ψ(ξ,η)Aexp(-jКz).
(6.21)
Что касается уравнения (6.17), то его решение будет зависеть от формы
поперечного сечения линии. Дело в том, что граничное условие (6.2) может
быть использовано для определения постоянных интегрирования наиболее
простым образом в том случае, когда координатные поверхности системы
координат, в которой раскрыто уравнение (6.17), могут быть совмещены с
проводящими поверхностями рассматриваемой линии передачи. Поэтому,
отложив решение уравнения (6.17) до рассмотрения конкретных типов линий
передачи, отметим лишь, что функция Ψ(ξ,η) определяет зависимость
продольных составляющих векторов Е
и Н
от поперечных
пространственных переменных. Соответственно величину
æ
называют
поперечным волновым числом.
Опираясь на решение (6.21), можно записать выражения для функций
⋅
⋅
Ε z (ξ,η,z) и Η z (ξ,η,z), которые являются решениями уравнений (6.4) и (6.5) :
⋅
Е
Ε z(ξ,η,z)=Е(ξ,η)A exp(-jКz),
⋅
(6.22)
Н
Η z(ξ,η,z)=Н(ξ,η)A exp(-jКz),
(6.23)
где Е(ξ,η), Н(ξ,η) функции от поперечных пространственных
переменных, которые предстоит найти в результате решения уравнения (6.17).
Результаты исследований, проведенных в настоящем подразделе,
позволяют сделать следующие выводы:
•
зависимость составляющих векторов Е иН направляемых волн
от продольной пространственной переменной z одинакова для линий передачи
любых конструкций и определяется функцией Z(z) = A⋅exp(-jКz), где A –
амплитудный коэффициент, К – продольное волновое число;
•
зависимости составляющих векторовЕ иН направляемых волн
от поперечных пространственных переменных для линий передачи различных
конструкций отличаются друг от друга; вид этих зависимостей может быть
найден путем интегрирования дифференциального уравнения (6.17),
раскрытого в такой системе координат (являющейся частным случаем
обобщенно-цилиндрической системы), координатные поверхности которой
могут быть совмещены с проводящими поверхностями рассматриваемой линии
передачи;
•
постоянные коэффициенты, получаемые при интегрировании
уравнения (6.17), должны быть найдены с использованием граничного условия
(6.2), трансформированного для рассматриваемой линии передачи.
6.3.4 Особенности
распространения
направляемых
электромагнитных волн
Выше было установлено, что зависимость векторов Е и Н любых
направляемых волн от продольной пространственной координаты z
56
определяется множителем exp(-jКz), где, в соответствии с формулой (6.18),
продольное волновое число К равно:
(6.24)
К=±(k2-æ2)0.5.
Следовательно, для всех направляемых волн можно установить
некоторые общие закономерности их распространения.
Т – в о л н ы
Для Т-волн поперечное волновое число æ = 0, а
продольное волновое число К = k . Это означает, что в линиях передачи без
потерь Т-волны распространяются без затухания и с той же фазовой скоростью
V, что и в свободном пространстве:
(6.25)
V=ω/k=1/ ε а µ а .
Длина волны Т-волн в линиях передачи также равна длине волны в
свободном пространстве:
λ=2π/k=V/f.
(6.26)
Важно отметить, что линия, по которой распространяется только Тволна, представляет собой недиспергирующую систему.
Е – и Н – в о л н ы Для этих волн поперечное волновое число æ ≠ 0, а
продольное волновое число К отличается от k . Рассмотрим, как будет
изменяться величина К в зависимости от частоты колебаний ω. В реальных
системах частота ω есть частота источника, возбуждающего поле, т.е. частота
генератора. Положим в общем виде
К=β-jα, j К = α + jβ .
(6.27)
В зависимости от величины ω могут иметь место три случая
(напомним, что k = ω⋅ ε а µ а ).
При этом
Волновое число k > æ (частота ω достаточно высокая).
продольное волновое число К является чисто вещественной величиной
(см.(6.24)). Следовательно, в данном случае (см. (6.27)) К = β, α = 0. Волна
распространяется вдоль линии без затухания и процесс ее распространения
определяется множителем exp(-jβz), где β играет роль коэффициента фазы этой
волны и равен:
(6.28)
β=(k2-æ2)0.5=(ω2εаµа- æ2 ) 0.5 .
При этом продольное
Волновое число k < æ (частота ω низкая).
волновое число К является чисто мнимой величиной (см.(6.24)) и, в
соответствии с (6.27), К = - jα , β = 0. Это означает, что в данном случае в
линии
передачи
существует
не
электромагнитная
волна
а
нераспространяющееся электромагнитное поле, «привязанное» к источнику
возбуждения и затухающее по мере удаления от него по закону exp(-αz), где
коэффициент затухания α равен :
(6.29)
α=(æ2–k2)0.5=(æ2-ω2εа µа )0.5.
Необходимо отметить, что для нераспространяющегося поля
.
.
уменьшение амплитуд векторов Ε и Η по мере удаления от источника
возбуждения не связано с потерями энергии электромагнитного поля за счет
57
перехода ее в другие формы, а является особенностью структуры поля данного
типа.
.
.
Фазы векторов Ε и Η нераспространяющегося поля во всех точках
линии передачи имеют одинаковое значение и не зависят от расстояния до
источника возбуждения.
Волновое число k = 0.
При этом продольное волновое число К = 0.
Формально в этом случае в линии передачи нет ни волны ни
нераспрстраняющегося поля. Такой режим работы линии передачи называют
критическим, а частоту, при которой наступает этот режим, также называют
критической и обозначают ωкр. Она определяет границу перехода от режима,
при котором в линии передачи могут распространяться электромагнитные
волны, к режиму, при котором распространение электромагнитных волн вдоль
лини передачи невозможно.
Из выражения (6.24), полагая К = 0, находим:
ωкр=æV=æ/ ε а µ а ,
(6.30)
fкр=ωкр/2π=æV/2π= æ/(2π ε а µ а ),
(6.31)
где V- фазовая скорость плоской электромагниной волны,
распространяющейся в свободном пространстве.
Из формул (6.30), (6.31) видно, что критическая частота зависит не
только от поперечного волнового числа æ , но и от параметров диэлектрика,
заполняющего линию передачи. Такая зависимость иногда оказывается
неудобной, поэтому помимо ωкр и fкр для характеристики критического режима
пользуются параметром «критическая длина волны» - λкр, под которой
понимают длину волны плоской однородной волны, распространяющейся в
свободном пространстве, частота возбуждения которой равна fкр :
(6.32)
λкр=V/fкр=2π/æ.
Таким образом, в отличие от Т-волн, Е- и Н-волны могут
распространяться вдоль линии передачи не при любых частотах, а лишь при
выполнении условия
f>fкр или λ<λкр,
(6.33)
где f – частота возбуждающего линию передачи генератора, а λ – длина
волны в свободном пространстве, соответствующая этой частоте.
Найдем
фазовую
и
групповую
скорости
Еи
Н-волн,
распространяющихся вдоль линии передачи - Vф и Vгр .
.
Для этого запишем мгновенное значение функции Ζ (z) для падающей
волны – Z(z,t) (см. выражения (6.19) и (6.21) ) :
.
Z(z,t) = Re{ Ζ (z) exp(jωt)} = А cos(ωt – βz) .
Приравняв аргумент косинуса этого выражения постоянной величине,
получим
z = (ωt - const) / β .
Фазовая скорость будет равна производной по времени от полученной
величины z
58
Vф=∂z/∂t=ω/β,
(6.34)
где β определяется выражением (6.28).
Продолжая преобразования, найдем
Vф=ω/(k2-æ2)0.5=(ω/k)/(1-æ2/k2)0.5=V/((1–(λ/λкр)2)0.5=
V/((1–(fкр/f)2)0.5.
(6.35)
Анализ выражения (6.35) показывает, что, во-первых, Vф зависит от
частоты генератора и, следовательно, линии передачи с Е- и Н-волнами
являются диспергирующими системами. Во-вторых, Vф оказывается больше,
чем фазовая скорость плоской однородной волны в свободном пространстве V.
Этот результат на первый взгляд может показаться противоречащим основному
постулату теории относительности, согласно которому передача сигналов со
скоростью, превышающей скорость света в пустоте, невозможна. На самом
деле противоречия конечно нет, так как скорость передачи сигнала
электромагнитной волной, равная 1/(∂β/∂ω), совпадает с фазовой скоростью
этой волны и скоростью переноса энергии только для плоской однородной
волны, распространяющейся в свободном пространстве. Для Е- и Н-волн
скорость передачи сигнала, которую мы назовем групповой скоростью и
обозначим Vгр, отличается от Vф и равна :
Vгр = 1/(∂β / ∂ω) =1/(∂((ω2εаµа-æ2)0.5)/∂ω) =V(1–(λ/λкр)2)0.5=
V(1–(fкр/f)2)0.5 .
(6.36)
Как и следовало ожидать, Vгр оказывается меньше, чем V.
Примечательно, что всегда выполняется условие
Vгр Vф = V 2 .
Найдем длину волны Е- и Н_волн, распространяющихся вдоль линии
передачи.
Фазовая скорость Vф определяет длину волны в линии передачи,
которую мы обозначим Λ и будем понимать под ней расстояние, которое Е- или
Н-волна проходит вдоль линии за отрезок времени, равный периоду колебаний
(6.37)
Т:
Λ=VфТ.
Подставляя в (6.37) значение Vф из (6.35), и учитывая, что Т = λ / V,
получаем:
(6.38)
Λ=λ/(1–(λ/λкр)2)0.5=λ / (1- (fкр / f )2)0.5,
где λ - длина волны в свободном пространстве, соответствующая
частоте генератора, возбуждающего Е- и Н-волны в линии передачи.
Как и следовало ожидать, при одной и той же частоте возбуждения
длина волны в линии передачи Λ оказывается больше длины волны в
свободном пространстве λ.
Из формул (6.38) и (6.35) следует, что с увеличением частоты
возбуждающего генератора длины волн электрических и магнитных волн в
линии передачи и их фазовые скорости приближаются к длине волны и фазовой
скорости плоской волны в свободном пространстве. Этот результат можно
объяснить тем, что, по мере увеличения частоты, относительные (по
отношению к λ) размеры поперечного сечения линии передачи возрастают и
59
условия распространения волн вдоль линии передачи все больше
приближаются к условиям, существующим при распространении волны в
свободном пространстве.
Наоборот, при стремлении f к fкр значения Λ и Vф все больше
превосходят λ и V , стремясь в пределе (при f = fкр) к бесконечности.
Установив общие свойства направляемых волн, перейдем к
рассмотрению структуры электромагнитного поля этих волн для конкретных
направляющих систем.
6.4
Структура
электромагнитного
поля
Еи
Н-волн,
распространяющихся в прямоугольном волноводе
Прямоугольным волноводом называют односвязный металлический
волновод, поперечное сечение которого имеет форму прямоугольника.
Стандартные прямоугольные волноводы представляют собой латунные или
дюралевые трубы прямоугольного поперечного сечения, линейные размеры
которого соответствуют ГОСТированным числовым рядам. Волноводы
позволяют передавать большие мощности при малых потерях. Однако передача
электромагнитной энергии по полой трубе возможна лишь тогда, когда
линейные размеры ее поперечного сечения соизмеримы с длиной волны или
превосходят ее. Поэтому приемлемыми для практики габаритами
(соответственно весом и стоимостью) обладают металлические волноводы для
волн, длина которых в свободном пространстве не превышает 20 – 25 см.
6.4.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе
В подразделе 6.3.3 было показано, что для определения законов
изменения продольной составляющей Ez в поперечной плоскости линии
передачи необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение (6.17).
При выборе системы координат, в которой будет раскрыт поперечный
лаплассиан ∇2⊥ , необходимо придерживаться следующего правила:
«координатные поверхности выбираемой системы должны совпадать по форме
с граничными поверхностями рассматриваемой линии передачи». Выполнение
этого правила позволяет использовать граничные условия для касательных
составляющих вектора Е при определении постоянных интегрирования.
Очевидно, что для прямоугольного волновода этому правилу удовлетворяет
прямоугольная (декартова) система координат, так как ее координатными
поверхностями являются взаимно перпендикулярные плоскости, которые
можно совместить с граничными поверхностями (стенками) прямоугольного
волновода.
60
Рис.6.3. Система координат прямоугольного волновода
Разместим прямоугольную систему координат так, как показано на
рис.6.3. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в
плоскостях y = 0 и y = b,
а боковые – в плоскостях x = 0 и x = a .
Уравнение (6.17) в декартовой системе координат имеет следующий вид:
∂2Ψ(x,y)/∂x2+∂2Ψ(x,y)/∂y2+æ2Ψ(x,y)= 0.
(6.39)
При интегрировании уравнения (6.39) воспользуемся уже знакомым нам
методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух
функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной
пространственной переменой :
Ψ(x,y)=X(x)Y(y).
(6.40)
Подставим (6.40) в (6.39) и выполним частное дифференцирование :
(6.41)
Y(y)⋅∂2X(x)/∂x2+X(x)⋅∂2Y(y)/∂y2+æ2⋅X(x)⋅Y(y)=0.
Перейдя в (6.41) от частных дифференциалов к обыкновенным и
поделив его почленно на произведение X(x)⋅Y (y), имеем
(6.42)
(1/X(x))d2X(x)/dx2+(1/Y(y))d2Y(y)/dy2=- æ2.
Используя те же доводы, что и при анализе уравнения (6.15),
приравняем первый член уравнения (6.42) постоянному коэффициенту – kx2 , а
второй – постоянному коэффициенту – ky2 , физический смысл которых будет
выяснен позднее. В этом случае уравнение (6.42) может быть представлен в
виде системы из трех более простых уравнений :
d2X(x)/dx2+kx2X(x)=0.
(6.43)
2
2
2
d Y(y)/dy +ky Y(y)=0.
(6.44)
2
2
2
kx +ky =æ .
(6.45)
Уравнения (6.43) и (6.44) являются уже знакомыми нам обыкновенными
однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями
которых являются комбинации показательных либо тригонометрических
функций и постоянных коэффициентов (см. (6.16), (6.19), (6.20)). Однако, в
отличие от уравнения (6.16), когда по физическим соображениям мы выбрали
для него решение (6.19), представляющее собой суперпозицию бегущих волн, в
данном случае следует выбрать решения, представляющие собой стоячие
волны, а решения в виде бегущих волн отбросить как физически не
реализуемые, так как распространению бегущих волн в направлениях осей 0x и
61
0y препятствуют металлические стенки волновода. Таким образом, решение
уравнения (6.43) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:
X(x)=Ccos(kxx)+Dsin(kxx).
(6.46)
В выражение (6.46) входят три постоянные коэффициента C, D и kx, для
определения которых необходимо воспользоваться граничным условием (6.2).
Граничное условие (6.2) для выбранного расположения декартовой
системы координат относительно стенок волновода (см. рис.6.3)
.
.
трансформируется в следующие условия для составлющей Ε z : Ε z = 0 при
x = 0 , x = a , y = 0 и y = b . Применительно к уравнению (6.40) это означает,
что при x = 0 и при x = a правая часть уравнения должна обращаться в нуль.
Первое условие может быть выполнено только в том случае, если C = 0, а
второе – если kx = mπ/a , где m – любое целое положительное число; а –
поперечный размер широкой стенки волновода. Таким образом, используя
граничные условия, мы определили значения постоянных коэффициентов C и
kx , и уравнение (6.46) принимает следующий вид:
(6.47)
X(x)=Dsin(kxx)=Dsin((mπ/a)x).
Проведя аналогичные операции с уравнением (6.44), получаем
(6.48)
Y(y)=Bsin((kyy)=Bsin((nπ/b)y),
где
B - постоянный коэффициент,
ky = nπ/b – постоянный
коэффициент, n - любое целое положительное число, b - поперечный размер
узкой стенки волновода.
Подставив (6.47) и (6.48) в (6.40), имеем
Ψ(x,y)=BDsin((mπ/a)x)sin((nπ/b)y).
(6.49)
Численные значения коэффициентов B и D зависят от параметров
источника, возбуждающего электромагнитную волну в линии передачи.
Подставив (6.49) в (6.22) и обозначив произведение коэффициентов B, D и A
как Е0 , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной
.
составляющей Ε z вектора напряженности электрического поля Е-волн в
прямоугольном волноводе:
.
Ε z(x,y,z)=Е0sin((mπ/a)x)sin((nπ/b)y)exp(-jКz).
(6.50)
Чтобы воспользоваться уравнениями связи (6.6) для определения
поперечных составляющих векторов напряженности электрического и
магнитного полей Е-волн в прямоугольном волноводе, необходимо найти
.
.
частные производные
∂ Ε z /∂x и ∂ Ε z /∂y . Вычислим их, проведя частное
дифференцирование выражения (6.50) по переменным x и y :
.
∂ Ε z /∂x = (mπ/a) Е0 cos((mπ/a)x) sin((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
∂ Ε z /∂y = (nπ/b) Е0 sin((mπ/a)x) cos((nπ/b)y) exp(-jКz).
Анализ уравнения (6.50) и его частных производных показывает, что для
Е-волн целые числа m и n , входящие в выражения для коэффициентов kx и ky ,
не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие
векторов Е и Н этих волн будут равняться нулю.
62
Подставляя значения вычисленных частных производных в уравнения
(6.6), получим систему уравнений для составляющих векторов Е и Н
поперечно-магнитных волн (Е-волн) в прямоугольном волноводе :
.
2
.
2
Ε x = (- j К / æ ) (mπ/a) Е0 cos((mπ/a)x) sin((nπ/b)y) exp(-jКz).
Ε y = (- j К / æ ) (nπ/b) Е0 sin((mπ/a)x) cos((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
Ε z=Е0sin((mπ/a)x)sin((nπ/b)y)exp(-jКz).
.
(6.51)
2
Η x = ( j ωεа / æ ) (nπ/b) Е0 sin((mπ/a)x) cos((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
2
Η y = (- j ωεа / æ ) (mπ/a) Е0 cos((mπ/a)x) sin((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
Η z = 0.
Уравнения (6.51) могут быть записаны в более компактном виде:
.
Ε x = -j Е0x cos(kxx) sin(kyy) exp(-jКz) = -j Еx(x,y) exp(-jКz),
.
Ε y = -j Е0y sin(kxx) cos(kyy) exp(-jКz) = -j Еy(x,y) exp(-jКz),
.
Ε z=Е0zsin(kxx)sin(kyy)exp(-jКz)=Еz(x,y)exp(-jКz),
(6.52)
.
Η x = j H0x sin(kxx) cos(kyy) exp(-jКz) = j Hx(x,y) exp(-jКz),
.
Η y = -j H0y cos(kxx) sin(kyy) exp(-jКz) = -j Hy(x,y) exp(-jКz),
.
Η z = 0,
где Еx(x,y), Еy(x,y), Еz(x,y), Нx(x,y), Нy(x,y) – амплитуды
соответствующих составляющих векторов Е и Н, а Е0x, Е0y, Е0z, H0x, H0y –
максимальные значения этих амплитуд.
Полезно отметить, что в случае Е-волн, являющихся неоднородными
плоскими волнами, амплитуды составляющих векторов Е и Н изменяются
при перемещении вдоль фазового фронта этих волн (в отличие от однородных
плоских волн, распространяющихся в свободном пространстве).
6.4.2 Система уравнений для Н-волн в прямоугольном волноводе.
Отличие решения уравнения (6.17) для Н-волн от решения для Е-волн
заключается в применении граничных условий. Дело в том, что уравнение (6.2),
которое в случае Е-волн непосредственно трансформируется в граничные
.
условия для составляющей Ε z , в данном случае (т.е. применительно к
продольной составляющей вектора напряженности магнитного поля) может
быть использовано лишь опосредованно с помощью системы уравнений связи
(6.7). Причем граничные условия могут быть получены не непосредственно для
.
.
.
составляющей Η z , а лишь для ее частных производных ∂ Η z / ∂y и ∂ Η z / ∂x
.
(см. первые два уравнения системы (6.7)). Так как Ε x является касательной
.
составляющей при y = 0 и при y = b, а Ε y является касательной составляющей
при x = 0 и при x = a , то окончательно получаем:
.
∂ Η z / ∂y = 0 при y = 0 и при y = b .
.
∂ Η z / ∂x = 0 при x = 0 и при x = a .
63
Используя эти граничные условия при решении уравнения (6.17)
.
находим выражение для составляющей Η z
прямоугольном волноводе :
магнитных волн (Н-волн) в
.
Η z(x,y,z)=Н0cos((mπ/a)x)cos((nπ/b)y)exp(-jКz).
(6.53)
Анализ уравнения (6.53) показывает, что, в отличие от уравнения (6.50),
в данном случае целые числа m и n порознь могут равняться нулю.
.
.
Найдя частные производные ∂ Η z / ∂y и ∂ Η z / ∂x и подставляя
полученные значения в уравнения связи (6.8), получаем систему уравнений для
векторов Е иН магнитных волн (Н-волн) в прямоугольном волноводе :
.
2
Ε x = ( j ωµа / æ ) (nπ/b) H0 cos((mπ/a)x) sin((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
2
Ε y = (- j ωµа / æ ) (mπ/a) H0 sin((mπ/a)x) cos((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
Ε z=0.
.
(6.54)
2
Η x = ( j К / æ ) (mπ/a) Н0 sin((mπ/a)x) cos((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
2
Η y = ( j К / æ ) (nπ/b) H0 cos((mπ/a)x) sin((nπ/b)y) exp(-jКz).
.
Η z = Н0 cos((mπ/a)x) cos((nπ/b)y) exp(-jКz).
Уравнения (6.54) могут быть записаны в более компактном виде:
.
Ε x = j Е0x cos(kxx) sin(kyy) exp(-jКz) = j Еx(x,y) exp(-jКz).
.
Ε y = -j Е0y sin(kxx) cos(kyy) exp(-jКz) =-j Еy(x,y) exp(-jКz).
.
Ε z=0.
(6.55)
.
Η x = j H0x sin(kxx) cos(kyy) exp(-jКz) = j Hx(x,y) exp(-jКz).
.
Η y = j H0y cos(kxx) sin(kyy) exp(-jКz) = j Hy(x,y) exp(-jКz).
.
Η z = H0z cos(kxx) cos(kyy) exp(-jКz) = Hz(x,y) exp(-jКz).
6.4.3 Анализ решений уравнений Максвелла для прямоугольного
волновода
Полученные выше системы уравнений ((6.51), (6.52)) и ((6.54), (6.55))
являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим
условиям рассматриваемой задачи и граничным условиям. Следовательно, в
соответствии с теоремой единственности, эти решения однозначно описывают
законы изменения в пространстве (а если вспомнить связь гармонических
векторов с их комплексными амплитудами – то и во времени) векторов Е и Н
внутри волновода. Попробуем на основе этих математических выкладок
описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих
внутри волновода.
Прежде всего запишем развернутую формулу для критической длины
волны Е- и Н-волн (см. выраж.(6.32),(6.45),(6.47) и (6.48)).
λкр=2π/æ=2π/(kx2+ky2)0.5=2/((m/a)2 + (n/b)2) 0.5 ,
(6.56)
где m и n - целые положительные числа, которые для Н-волн могут
порознь равняться нулю, а для Е-волн начинаются с единицы.
64
Каждой паре целых чисел m и n соответствуют разные значения
векторов Е и Н , а также разные значения λкр , Vф и Λ. Физически это
означает, что при выполнении определенных условий в волноводе могут
одновременно существовать различные по своей структуре и фазовой скорости
Е- и Н-волны. Эти волны носят название «собственных волн» волновода и
обозначаются Е m n или Н m n , где латинские заглавные буквы определяют
принадлежность собственной волны к классу Е- или Н-волн, а нижние индексы
m и n определяют тип собственной волны (т.е. структуру электрического и
магнитного полей этой волны).
Характеристическое сопротивление Е- Н-волн, в прямоугольном
.
.
волноводе
( Ζ 0Е , Ζ 0Н ).
Характеристическое сопротивление собственных волн равно отношению
взаимно перпендикулярных поперечных составляющих векторов Е и Н этих
волн. Обратившись к системе уравнений для Е-волн (6.51), находим :
.
.
Е
.
.
.
2 0.5
Ζ 0 = Ε x / Η y =- Ε y / Η x =К/ωεа = µ а / ε а ⋅(1 – (λ / λкр) )
=
.
= Ζ 0⋅(1–(λ/λкр)2)0.5,
(6.57)
.
где Ζ 0 – характеристическое сопротивление плоской, однородной волны
в свободном пространстве.
Обратившись к системе уравнений для Н-волн (6.54), находим :
.
Н
.
.
.
.
5
Ζ 0 = Ε x / Η y = - Ε y / Η x = ωµа /К = µ а / ε а /(1 – (λ / λкр) =
.
(6.58)
= Ζ 0/(1–λ/λкр)2)0.5.
Как следует из выражений (6.57) и (6.58), характеристические
.
сопротивления собственных волн волновода, в отличие от Ζ 0 , изменяется при
изменении частоты возбуждающего генератора.
Волна основного типа в прямоугольном волноводе.
Собственные волны могут распространяться по волноводу не при любых
частотах, а лишь при соблюдении условия (6.33). Следовательно, возможно
такое соотношение между поперечными размерами волновода и частотой
возбуждающего генератора, при котором в волноводе будут одновременно
распространяться несколько собственных волн (теоретически - любое
количество).
В то же время, возможно такое соотношение между названными выше
параметрами, при котором в волноводе не сможет распространяться ни одна из
собственных волн.
И, наконец, можно выдержать такое соотношение между размерами
волновода и частотой возбуждающего генератора, при котором в волноводе
может распространяться только одна собственная волна, имеющая наибольшую
из всех собственных волн критическую длину волны. Эта собственная волна
называется «основной волной волновода» или «волной низшего типа».
Для стандартного прямоугольного волновода, у которого а > b, волной
основного типа будет собственная волна Н10 . Критическая длина волны для
65
собственной волны Н10 равна 2а (см. выраж. (6.56)). По отношению к волне Н10
все прочие собственные волны называются волнами высших типов.
Рис.6.4. Критические длины волн (а) и критические частоты (b)
собственных волн прямоугольного волновода, с размерами 23х10 мм
На рис.6.4 показано соотношение между критическими длинами волн и
критическими частотами нескольких собственных волн прямоугольного
волновода, имеющего поперечные размеры 23х10 мм . Этот рисунок наглядно
демонстрирует наличие такого диапазона частот возбуждающего данный
волновод генератора, в пределах которого волна Н10 является единственно
возможной собственной волной данного волновода, так как только для нее
выполняется условие λ< λкр. На практике, при разработке различных
волноводных узлов и блоков, очень часто оказывается необходимым создать в
волноводе именно такой режим работы. Поэтому рассмотрим структуру поля и
особенности распространения собственной волны Н10 более подробно.
6.4.4 Структура поля волны Н10 в прямоугольном волноводе
Для волны Н10 m = 1, n = 0, следовательно, kx = π/a, ky = 0, λкр= 2a , а
система уравнений (6.55) преобразуется к следующему виду:
.
Ε x = 0,
66
.
Ε y = - j Е0y sin((π/a)x) exp(-jКz) = - j Ey(x) exp(-jКz),
.
Ε z=0,
(6.59)
.
Η x = j H0x sin((π/a)x) exp(-jКz) = j Hx(x) exp(-jКz),
.
Η y = 0,
.
Η z = H0z cos((π/a)x) exp(-jКz) = Hz(x) exp(-jКz).
Анализ уравнений (6.59) показывает, что вектор Е волны Н10 имеет
.
только одну составляющую Ε y , расположенную в плоскости поперечного
.
сечения волновода, а вектор Н - две составляющие: Η x , расположенную в
.
плоскости поперечного сечения волновода, и Η z , параллельную продольной
оси симметрии волновода. В отличие от плоских однородных поперечных волн,
у которых амплитуды векторов Е и Н не меняются в плоскости их фазового
.
.
.
фронта, амплитуды составляющих Ε y , Η x и Η z векторов Е и Н волны Н10
изменяются в плоскости фазового фронта этой волны. Амплитуды
.
.
составляющих Ε y и Η x имеют максимальные значения (Е0y и H0x) в центре
волновода и спадают до нуля около его боковых стенок, а амплитуда
.
составляющей Η z имеет максимум (H0z) около боковых стенок и спадает до
нуля в центре волновода. Фазовые соотношения между этими составляющими
.
.
таковы, что по отношению к Ε y составляющая Η x сдвинута в пространстве и во
времени на π (т.е. находится по отношению к ней в противофазе), а
.
составляющая Η z – на π/2 (т.е. находится по отношению к ней в квадратуре).
.
.
Cоответственно, составляющие Η x и Η z сдвинуты по фазе друг относительно
друга на π/2 .
Формулы для гармонических векторов Е (x,z,t) и Н (x,z,t) волны Н10
имеют следующий вид :
(6.60)
Е(x,z,t)=-y0Ey(x,z,t)=-y0Ey(x)sin(ωt–Kz),
Н (x,z,t) = x0 Hx(x,z,t) +z0 Hz(x,z,t) =
(6.61)
=x0Hx(x)sin(ωt–Kz)+z0Hz(x)cos(ωt – Kz),
где Ey(x), Hx(x), Hz(x) – амплитуды составляющих Ey(x,z,t), Hx(x,z,t) и
Hz(x,z,t).
Амплитуды Ey(x), Hx(x), Hz(x) имеют максимальные значения Е0y, H0x,
H0z , а их зависимость от пространственной переменной х описывается
следующими выражениями (см.(6.56)):
(6.62)
Ey(x)=Е0ysin((π/a)x);
(6.63)
Hx(x)=H0xsin((π/a)x);
(6.64)
Hz(x)=H0zcos((π/a)x).
67
Рис.6.5. Структура электрического поля волны Н10 в прямоугольном
волноводе
На рис.6.5 а, в, с приведены графические изображения силовых линий
вектораЕ волны Н10 в плоскости поперечного сечения волновода (пл.11) и в
двух взаимно перпендикулярных продольных плоскостях, параллельных узким
и широким стенкам волновода и проходящим через ось его геометрической
симметрии (пл.22 и пл.33 соответственно). Изображение сделано для момента
времени t1, когда вектор Е(x,z,t) достигает в плоскости 11 своего максимального
положительного значения. На рис.6.5 d приведена зависимость составляющей
Еy(x,z,t) от пространственной переменной (координаты) z в плоскости 22 для
момента времени t1, a на рис.6.5 е – зависимость амплитуды этой составляющей
от координаты х в плоскости 11.
На рис.6.6 а, в, с изображены силовые линии вектора Н волны Н10 в
плоскостях 11, 22 и 33 для момента времени t = t1. На рис.6.6 d, e приведены
зависимости составляющей Hx(x,z,t) от координаты z в пл.22 и составляющей
Hz(x,z,t) от координаты z в плоскости y0z для момента времени t1. На рис 6.6 f,
g приведены зависимости амплитуд Нx(x) и Нz(x) от координаты x в
поперечных плоскостях 11 и 44 соответственно.
68
Рис. 6.6. Структура магнитного поля волны Н10 в прямоугольном
волноводе
6.4.5 Распределение токов проводимости по стенкам волновода, в
котором распространяется волна Н10
Познакомимся со структурой токов проводимости, возбуждаемых
волной Н10 на внутренних поверхностях стенок волновода (напомним, что
стенки волновода считаются идеально проводящими и по ним могут течь
только поверхностные токи).
Как известно, вектор плотности поверхностного тока (δпов),
возбуждаемого в идеальном проводнике, перпендикулярен касательной
составляющей
вектора
напряженности
магнитного
поля
(Hτ)
69
электромагнитной волны, возбуждающей этот ток, и связан с ней следующим
соотношением :
(6.65)
δ=n×Hτ,
где n - внешняя нормаль к поверхности идеального проводника.
Для волны Н10 касательными к стенкам волновода составляющими
вектора Н являются :
•
для верхней и нижней стенок – составляющие Нx и Нz при y = 0
и y=b ;
•
для боковых стенок - составляющая Нz при x = 0 и x = a .
В результате, мгновенная (для момента времени t = t1) картина силовых
линий векторов плотности токов проводимости, текущих по внутренним
поверхностям стенок волновода, будет иметь вид, изображенный на рис.6.7.
Важно отметить, что в локальных областях, расположенных в центре волновода
на расстоянии Λ/2 друг от друга, из которых исходят (или в которые входят)
силовые линии токов проводимости, эти силовые линии замыкаются силовыми
линиями токов смещения δсм (напомним , чтоδсм = ∂Е /∂ t). Для того, чтобы
не загромождать рис 6.7, на нем изображены только те силовые линии токов
смещения, которые находятся в плоскости поперечного сечения 44.
Рис.6.7. Силовые линии токов проводимости, текущих по стенкам
прямоугольного волновода, в котором распространяется волна Н10
Знание картины силовых линий токов проводимости необходимо для
решения задачи размещения излучающих или неизлучающих щелей на стенках
волновода. Излучающими являются щели, прорезанные перпендикулярно
силовым линиям токов проводимости, а неизлучающими – параллельно этим
силовым линиям. Следовательно, если в волноводе распространяется волна Н10,
70
то любая щель, прорезанная в боковой стенке волновода параллельно оси 0z
будет излучающей, в то время как щель, прорезанная посередине широкой
стенки волновода параллельно оси 0z – неизлучающей, и т.д.
6.4.6 Структуры полей Н-волн высших типов в прямоугольном
волноводе
Анализ структуры электромагнитного поля любой Н-волны высшего
типа следует начинать с преобразования системы уравнений (6.54) или (6.55) с
учетом конкретных значений индексов m и n рассматриваемой волны. После
этого следует изобразить картины силовых линий векторов Е и Н данной
волны.
Большую помощь в решении этой задачи может оказать следующее
правило. Структуру поля волны Н10 можно считать базовой при построении
картин силовых линий векторов Е иН собственных волн Нm0 и Н0n . Так,
например, для волны Н20 картина силовых линий векторов Е и Н в
поперечном сечении волновода получается путем двукратного воспроизведения
базовой структуры вдоль широкой стенки волновода (с учетом фазовых
соотношений соседних структур); для волны Н30 - трехкратным
воспроизведением, и т. д. Для волны Н01 базовая структура будет повернута на
угол 90°; для волны Н02 – повернута на 90° и воспроизведена дважды и т.д.
(см. рис.6.8).
Рис.6.8. Силовые линии векторов Е и Н в поперечном сечении
прямоугольного волновода : а - для волны Н20, b - для волны Н30
Несколько сложнее решается задача построения картины силовых линий
векторов Е и Н собственных волн, у которых индексы m и n оба не равны
нулю. В этом случае необходимо сначала построить картину силовых линий
волны Н11, которая затем, в зависимости от конкретных значений индексов m
и n, будет воспроизводиться требуемое число раз вдоль широкой и узкой
стенок волновода. Таким образом, для собственных волн типа Нmn базовой
структурой является структура поля волны Н11 (см. рис.6.9).
71
Рис.6.9. Силовые линии векторов Е и Н в поперечном сечении
прямоугольного волновода : а - для волны Н11, b - для волны Н21
6.4.7 Структуры полей Е-волн в прямоугольном волноводе
Среди Е-волн наименьшую критическую длину волны имеет
собственная волна Е11 (λкр = 2ab / (a2 + b2 )0.5). Система уравнений волны Е11
имеет следующий вид :
.
Ε x = -j Е0x cos(x/a) sin(y/b) exp(-jКz).
.
Ε y = -j Е0y sin(x/a) cos(y/b) exp(-jКz).
.
Ε z=Е0zsin(x/a)sin(y/b)exp(-jКz).
(6.66)
.
Η x = j H0x sin(x/a) cos(y/b) exp(-jКz).
.
Η y = -j H0y cos(x/a) sin(y/b) exp(-jКz).
.
Η z = 0.
Картина силовых линий векторов Е и Н этой волны в поперечном
сечении волновода изображена на рис 6.10. Структура поля волны Е11 является
базовой при построении картин силовых линий векторов Е и Н собственных
волн Еmn (см. правило, изложенное в предыдущем подразделе).
Рис.6.10. Силовые линии векторов Е и Н в поперечном сечении
прямоугольного волновода : а - для волны E11, b - для волны E22
72
6.4.8 Физический смысл индексов m и n , входящих в обозначение
собственных волн прямоугольного волновода
Знакомство со структурой полей собственных волн высших типов
облегчает понимание физического смысла индексов m и n, входящих в
обозначения этих волн.
Во всех собственных волнах поле в поперечном сечении волновода
представляет собой стоячие волны, пространственные периоды которых вдоль
осей 0x и 0y равны λx и λy соответственно. Индекс m показывает сколько
полуволн стоячей волны укладывается вдоль широкой стенки волновода, а
индекс n – сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль узкой стенки
волновода.
Формально это заключение можно сделать на основании следующих
математических выкладок
λx = 2π/kx = 2 π / (mπ/a) = 2a / m, λy = 2π/ky = 2 π / (mπ/b) = 2b / m .
n = b / (λy /2) .
Отсюда
m = a / (λx /2) ;
6.5
Структура электромагнитного поля Е- и Н-волн,
распространяющихся в круглом волноводе
Круглым волноводом называют односвязный металлический волновод,
поперечное сечение которого имеет форму круга. Стандартные круглые
волноводы представляют собой латунные или дюралевые трубы круглого
поперечного сечения, диаметры которых соответствуют ГОСТированным
числовым рядам.
Решение системы уравнений Максвелла для круглого волновода во
многом аналогично уже знакомому нам решению этих уравнений для
волновода прямоугольного. Так же как и в рассмотренном случае уравнения
Максвелла должны быть записаны в форме (1), а их решение должно
удовлетворять граничному условию (2). Так же как и в рассмотренном случае
решение этих уравнений мы будем искать в виде суперпозиции плоских
неоднородных Е- и Н-волн, распространяющихся вдоль волновода. Так же как
и в рассмотренном случае волновые уравнения мы будем решать только для
продольных составляющих векторов Е иН , а поперечные составляющие
этих векторов находить с помощью уравнений связи. Так же как и в
рассмотренном случае зависимость продольных составляющих векторов Е и
Н от пространственной переменной z , направленной вдоль волновода, будет
.
иметь вид Ζ (z) = A exp(-jКz)
Отличие состоит в том, что при определении зависимости продольных
составляющих векторовЕ иН от поперечных пространственных переменных,
уравнение (6.17) должно быть раскрыто и проинтегрировано в цилиндрической
системе координат, так как именно в этой системе одна из координатных
поверхностей может совпадать с внутренней поверхностью стенки круглого
волновода (см. выводы подраздела 6.3.3).
73
6.5.1 Системы уравнений для Е- и Н-волн в круглом волноводе
Ориентируем цилиндрическую систему координат (ρ,ϕ,z) так, чтобы ось
0z этой системы совпала с продольной осью симметрии круглого волновода
(см. рис.6.11). В этом случае функция Ψ (ξ,η) станет функцией Ψ (ρ,ϕ), а
уравнение координатной поверхности, совпадающей с внутренней
поверхностью стенки волновода, будет иметь вид ρ = а , где а – радиус
волновода.
Рис.6.11. Система координат круглого волновода
Граничное условие (2) в рассматриваемом случае трансформируется в
следующие соотношения:
⋅
Ε z|ρ=а=0,
(6.66)
⋅
Ε ϕ|ρ=а=0.
(6.67)
Для дальнейших вычислений нам потребуются также граничные
⋅
или ее пространственных
условия для продольной составляющей Η z
производных, которые следует вывести из условий (6.66), (6.67) и уравнений
связи (6.9). Воспользовавшись условием (6.67) и вторым уравнением из
системы уравнений связи (6.9), имеем:
.
(6.68)
∂ Η z/∂ρ|ρ=а=0.
Уравнение (6.17), записанное в цилиндрической системе координат
будет иметь следующий вид (см. выражение (6.12)):
∂2 Ψ(ρ,ϕ)/∂ρ2+ (1/ρ)(∂Ψ(ρ,ϕ)/∂ρ)+(1/ρ2)(∂2Ψ(ρ,ϕ)/∂ϕ2) + æ2 Ψ (ρ,ϕ) = 0.
(6.69)
Решение уравнения (6.69) будем осуществлять методом Фурье.
Представим функцию Ψ (ρ,ϕ), зависящую от двух переменных ρ и ϕ , в виде
произведения двух функций Р (ρ) и Ф (ϕ) , каждая из которых зависит только от
одной из этих переменных:
Ψ(ρ,ϕ)=Р(ρ)⋅Ф(ϕ).
(6.70)
Подставим (6.70) в (6.69) и после несложных преобразований получим
74
(ρ2/ Р(ρ))∂2Р(ρ)/∂ρ2+ (Р(ρ)/ρ) (∂Р(ρ)/∂ρ) + æ2ρ2 = - (1/Ф(ϕ)) (∂2Ф(ϕ)/∂ϕ2).
(6.71)
Левая и правая части этого уравнения зависят от разных переменных,
поэтому оно может быть справедливо только в том случае, когда обе его части
равны одной и той же постоянной величине. Пусть этой постоянной величиной
будет некоторый коэффициент m2, физический смысл которого мы определим
позднее. В этом случае уравнение (6.71) может быть представлено в виде
системы из двух однородных дифференциальных уравнений
(6.72)
∂2Ф(ϕ)/∂ϕ2+m2Ф(ϕ)=0.
2
2
2
2 2
2
(6.73)
(ρ /Р(ρ))∂ Р(ρ)/∂ρ +(Р(ρ)/ρ)(∂Р(ρ)/∂ρ)+æ ρ -m =0.
Уравнение (6.72) является уже хорошо нам знакомым однородным
дифференциальным уравнением второго порядка, решением которого могут
быть показательные или тригонометрические функции (см. (6.19) и (6.20) ).
Помня о том, что мы ищем распределение поля в поперечном сечении
волновода, где это поле представляет собой стоячие волны, оставляем решение
в виде суммы тригонометрических функций
Ф(ϕ)=М1cos(mϕ)+М2sin(mϕ).
(6.74)
Так как рассматриваемый волновод обладает круговой симметрией, то
начало отсчета угла ϕ может быть выбрано произвольно, и формулу для Ф(ϕ)
можно записать в следующем виде :
Ф(ϕ)=Мcos(mϕ).
(6.75)
Коэффициент m , входящий в аргумент косинуса в выражении (6.75),
может быть только целым числом, так как значение функции Ф(ϕ) не должно
изменяться при изменении ϕ на величину, кратную 2π. Таким образом
m=0,1,2,…
(6.76)
Величина амплитудного коэффициента М зависит от параметров
источника, возбуждающего собственные волны в волноводе.
Займемся решением уравнения (6.73). После несложных преобразований
оно может быть представлено в следующем виде:
(6.77)
∂2Р(ξ)/∂ξ2+(1/ξ)(∂Р(ξ)/∂ξ)+(1-m2/ξ2)Р(ξ)=0,
где ξ = æ⋅ρ - независимая переменная.
Уравнение (6.77) представляет собой хорошо известное в
математической физике уравнение Бесселя, решением которого являются
специальные функции Бесселя первого и второго рода порядка m ( Jm и Nm
соответственно):
(6.78)
P(ξ)=AJm(ξ)+BNm(ξ),
где m -порядок функции Бесселя.
75
Рис.6.12. Графики функций : а - Jm(ξ) ,
b - Nm(ξ)
Графики функций Jm(ξ) и Nm(ξ) для различных значений m приведены на
рис.6.12. Вернувшись в выражении (6.78) к переменной æ⋅ρ, видим, что, исходя
из физических соображений, коэффициент В должен равняться 0, так как в
противном случае в центре волновода (при ρ = 0) напряженность
электрического или магнитного поля оказывается равной бесконечности. Таким
образом, приемлемым для рассматриваемого случая решением уравнения (6.77)
является:
(6.79)
P(æ⋅ρ)=AJm(æ⋅ρ).
Подставив (6.79) и (6.75) в выражение (6.70) и обозначив С = А⋅М,
получаем решение уравнения (6.69)
(6.80)
Ψ(ρ,ϕ)=СJm(æ⋅ρ)cos(mϕ).
В выражении (6.80) амплитудный коэффициент С зависит от параметров
источника, возбуждающего волновод, коэффициент m может принимать
целые положительные значения, включая 0 (см.(6.76)), а поперечное волновое
число æ должно быть определено из граничных условий. Напомним, что для
⋅
Е-волн функция Ψ(ρ,ϕ) эквивалентна составляющей Ε z , а для Н-волн –
⋅
составляющей Η z . Следовательно, в зависимости от типа собственной волны,
граничными условиями для функции Ψ (ρ,ϕ) будут либо (6.66), либо (6.68).
Определение поперечного волнового числа для Е-волн (æЕ).
Воспользуемся граничным условием (6.66). Подставим Ψ(ρ=а, ϕ) = 0 в
выражение (6.80):
Отсюда æЕ ⋅ а = ν m n ,
0 = С Jm(æЕ ⋅а) cos (mϕ) .
76
где ν m n - корни функции Jm(ξ) (напомним, что корнем функции
называется такое значение ее аргумента, при котором функция обращается в
ноль);
n - номер корня этой функции (n = 1. 2, 3… ).
Следовательно, æЕ = ν m n / a .
(6.81)
В табл.6.1 приведены численные значения некоторых корней функций
Jm(ξ) (см. также графики на рис.6.12)
Таблица 6.1
n
m
0
1
2
1
2.405
3.832
5.136
2
5.520
7.016
8.417
3
8.654
10.173
11.620
Определение поперечного волнового числа для Н-волн (æН).
Так как в
⋅
данном случае известны граничные условия не для самой составляющей Η z а
.
лишь для ее первой производной ∂ Η z/∂ρ, то чтобы воспользоваться этими
граничными условиями необходимо продифференцировать функцию Ψ (ρ,ϕ)
по переменной ρ :
(6.82)
∂Ψ(ρ,ϕ)/∂ρ)=æНАJ′m(æНρ),
Н
Н
где J′m (æ ρ) первая производная функции Jm (æ ρ) по переменной ρ
(график функции J′m (ξ) приведен на рис.6.13)
Рис.6.13. Графики функций : а - J′m (ξ) , b - J′m (ξ)/(ξ)
77
Теперь можно воспользоваться граничным условием (6.68). Подставим
∂Ψ (ρ,ϕ)/∂ρ | ρ= а = 0 в выражение (6.82) и получим следующее уравнение :
Отсюда
æН а = χ m n ,
0 = æН А J′m (æН а).
где χ m n - корни функции J′m (ξ) ;
n - номер корня этой функции (n = 1, 2, 3 … ).
(6.83)
Следовательно , æН = χ m n / а .
В табл.6.2 приведены численные значения некоторых корней функции
J′m (ξ) (см. также график на рис.6.13) .
Таблица 6.2
n
m
0
1
2
1
3.832
1.841
3.054
2
7.016
5.331
6.706
3
10.173
8.536
9.969
Как следует из (6.81), (6.83), таб.6.1 и таб.6.2 в круглом волноводе, в
отличие от прямоугольного, поперечные волновые числа для Е- и Н-волн с
одинаковыми индексами не равны друг другу. Следовательно, и продольные
волновые числа для этих волн также будут отличаться друг от друга :
КЕ = ( k2 – (æЕ)2 ) 0.5;
КH = ( k2 – (æH)2 ) 0.5 .
(6.84)
Е
Н
Вычислив æ и æ , можно записать формулы, определяющие
⋅
зависимость продольной составляющей
Εz
вектораЕ (для Е-волн) и
⋅
продольной составляющей Η z вектораН (для Н-волн) от пространственных
координат, в следующем виде (см. выражения (6.14), (6.80), (6.81), (6.83) и
(6.84)):
⋅
Е
Е
Ε z(ρ,ϕ,z)=Е0Jm(æ ⋅ρ)cos(mϕ)exp(-jК z).
⋅
Н
(6.85)
Н
Η z(ρ,ϕ,z)=Н0Jm(æ ⋅ρ)cos(mϕ)exp(-jК z).
(6.86)
Теперь необходимо воспользоваться уравнениями связи (6.8) и (6.9) и
⋅
⋅
взяв первые производные по переменным ρ и ϕ от составляющих Ε z и Η z
вывести формулы для поперечных составляющих векторов Е и Н .
В результате будут получены системы уравнений для векторов Е и Н
электрических и магнитных волн в круглом волноводе :
для Е-волн
.
E
Е
Е
E
Ε ρ = (- j К / æ ) Е0 J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z).
.
E
Е
Е
Е
E
Ε ϕ = ( j К / æ ) m Е0 (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z).
78
.
Е
E
Ε z=Е0Jm(æ ⋅ρ)cos(mϕ)exp(-jК z).
.
E
Е
(6.87)
Е
E
Η ρ = (- j ωεа / æ ) m Е0 (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z).
.
E
Е
E
Η ϕ = (- j ωεа / æ ) Е0 J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z).
.
Η z = 0.
Уравнения (6.87) могут быть записаны в более компактном виде
.
Е
E
E
Ε ρ = - j Е0ρ J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z) = - j Eρ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
.
Е
Е
E
E
Ε ϕ = j Е0ϕ (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z) = j Eϕ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
.
Е
E
E
Ε z=Е0zJm(æ ⋅ρ)cos(mϕ)exp(-jК z)=Ez(ρ,ϕ)exp(-jК z).
.
Е
.
Е
Е
(6.88)
E
E
Η ρ = - j H0ρ (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z) = - j Hρ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
E
E
Η ϕ = - j H0ϕ J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z) = - j Hϕ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
.
Η z = 0.
Формулы для амплитуд составляющих векторов Е и Н поперечномагнитных волн (Е-волн) круглого волновода выглядят следующим образом :
Еρ(ρ,ϕ) = Е0ρ J′m(æЕ⋅ρ) cos (mϕ) .
Еϕ(ρ,ϕ) = Е0ϕ (Jm(æЕ⋅ρ)/(æЕ⋅ρ)) sin (mϕ) .
(6.89)
Ez(ρ,ϕ)=E0zJm(æE⋅ρ)cos(mϕ).
E
Нρ(ρ,ϕ) =.Н0ρ J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) .
Нϕ(ρ,ϕ) = Н0ϕ (Jm(æE⋅ρ)/(æE⋅ρ)) sin (mϕ) .
для Н-волн
.
Н
.
Н
Н
Н
Н
Ε ρ = ( j ωµа / æ ) m Н0 (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z).
Н
Н
Ε ϕ = ( j ωµа / æ ) Н0 J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z).
.
Ε z=0.
.
(6.90)
Н
Н
Н
Н
Η ρ =.(- j К / æ ) Н0 J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z).
.
Н
Н
Н
Н
Н
Η ϕ = ( j К / æ ) m Н0 (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z).
.
Н
Н
Η z = Н0 Jm(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z).
Уравнения (6.90) могут быть записаны в более компактном виде
.
Н
Н
Н
Н
Ε ρ = j Е0ρ (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z) = j Еρ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
.
Н
Н
Н
Ε ϕ = j Е0ϕ J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z) = j Еϕ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
.
Ε z=0.
(6.91)
.
Н
Н
Н
Η ρ =.- j Н0ρ J′m(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z) = - j Нρ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
.
Н
Н
Н
Н
Η ϕ = j Н0ϕ (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) exp(-j К z) = j Нϕ(ρ,ϕ) exp(-j К z).
.
Н
Н
Н
Η z = Н0z Jm(æ ⋅ρ) cos (mϕ) exp(-j К z) = Нz (ρ,ϕ) exp(-j К z).
Формулы для амплитуд составляющих векторов Е и Н поперечноэлектрических волн (Н-волн) круглого волновода выглядят следующим
образом :
Еρ(ρ,ϕ) = Е0ρ (Jm(æН⋅ρ)/(æН⋅ρ)) sin (mϕ) .
79
Еϕ(ρ,ϕ) = Е0ϕ J′m(æН⋅ρ) cos (mϕ) .
(6.92)
Нρ(ρ,ϕ)=Н0ρJ′m(æН⋅ρ)cos(mϕ).
Н
Н
Нϕ(ρ,ϕ) = Н0ϕ (Jm(æ ⋅ρ)/(æ ⋅ρ)) sin (mϕ) .
Нz (ρ,ϕ) = Н0z Jm(æН⋅ρ) cos (mϕ) .
Критические длины волн для собственых волн круглого волновода
могут быть рассчитаны по следующим формулам (см.выражение (6.32) :
λНкр = 2π / æН .
(6.93)
λЕкр = 2π / æЕ ,
Анализ выражений (6.32), (6.81), (6.83), (6.93) и данных, приведенных в
таблицах 6.1 и 6.2, показывает, что волной низшего типа в круглом волноводе
является волна Н11. Исследуем структуру электромагнитного поля этой волны.
6.5.2 Структура поля волны Н11 в круглом волноводе
Для волны Н11 коэффициенты m и n равны единице, поперечное
волновое число æН = 1.84/а , а критическая длина волны λНкр = 3.41 а .
Следовательно, формулы для амплитуд составляющих векторов Е и Н этой
волны будут выглядеть следующим образом (см. выражения (6.92)):
Еρ(ρ,ϕ) = Е0ρ (J1(1.84ρ/a)/(1.84ρ/a)) sin ϕ .
Еϕ(ρ,ϕ) = Е0ϕ J′1(1.84ρ/a) cos ϕ .
(6.94)
Нρ(ρ,ϕ) =Н0ρJ′1(1.84ρ/a)cosϕ.
Нϕ(ρ,ϕ) = Н0ϕ (J1(1.84 ρ/a)/(1.84ρ/a)) sin ϕ .
Нz (ρ,ϕ) = Н0z J1(1.84ρ/a) cos (ϕ) .
Формулы для гармонических векторов Е иН волны Н11 имеют
следующий вид :
(6.95)
Е=ρ0Еρ(ρ,ϕ)cos(ωt–KНz)+ϕ0Еϕ(ρ,ϕ)cos(ωt – KН z),
Н
Н
Н = -ρ0Нρ(ρ,ϕ) cos (ωt – K z) +ϕ0Нϕ(ρ,ϕ) cos (ωt – K z) +
(6.96)
+z0Нz(ρ,ϕ)sin(ωt–KНz),
гдеρ0,ϕ0,z0 – орты (единичные векторы) цилиндрической системы
координат, направленные по касательным к ее координатным линиям.
Учитывая, что пространственная переменная ρ изменяется внутри
волновода от 0 до а, получаем, что аргументы функций J1(1.84ρ/a) и J′1(1.84ρ/a),
определяющих зависимость амплитуд составляющих векторов Е и Н
собственной волны Н11 от переменной ρ, изменяются от 0 (в центре волновода)
до 1.84 (в непосредственной близости к стенке волновода). Оценив, как ведут
себя эти функции при данных изменениях их аргументов, и помня, что
аргумент функций cos(1⋅ϕ) и sin(1⋅ϕ), описывающих зависимость
составляющих векторов Е и Н от пространственной переменной ϕ, в
рассматриваемом случае при изменении ϕ от 0 до 2 также изменяется от 0 до
2π, можно построить графические изображения силовых линий векторов Е и
Н собственной волны Н11.
80
Рис.6.14. Силовые линии векторов Е и Н в поперечном сечении
круглого волновода : а – для волны Н11, b - для волны Н21
На рис.6.14a изображена картина силовых линий векторов Е иН
волны Н11 в поперечном сечении круглого волновода. Сплошными изображены
силовые линии вектора Е , а пунктирными – силовые линии вектора Н . Так
как векторЕ имеет только поперечные составляющие, то его силовые линии
целиком лежат в плоскости поперечного сечения, выходя из стенки волновода и
входя в нее под углом 90°. Силовые линии вектора Н имеют более сложную
форму, так как в окрестностях точек (ρ=а, ϕ=0) и (ρ=а, ϕ=π) поперечное
магнитное поле переходит в продольное – составляющие Нρ и Нϕ в этих точках
равны нулю, а составляющая Нz достигает максимума.
Структуру поля волны Н11 можно считать базовой при построении
картины силовых линий векторов Е и Н собственных волн типа Нmn . В
качестве примера на рис.6.14b изображена картина силовых линий векторов Е
и Н волны Н21 (см. подраздел 6.5.5).
6.5.3 Структура поля волн Н01 и Е01 в круглом волноводе
Особенностью структуры электромагнитного поля собственных волн Н01
и Е01 является наличие в ней круговой симметрии – составляющие векторов Е
иН этих волн не зависят от угла ϕ. Формально это связано с тем, что
коэффициент m для них равен 0 (см. выражения (6.87) и (6.90)).
Для волны Н01 поперечное волновое число æН = 3.832/а , а критическая
длина волны λНкр = 1.64 а . Вектор Е этой волны имеет только одну
поперечную составляющую Еϕ, а вектор Н одну поперечную Нρ и одну
продольную Нz, амплитуды которых в плоскости поперечного сечения зависят
только от одной пространственной переменной ρ (см. выражение (6.92)):
Еϕ(ρ) = Е0ϕ J′0(3.832ρ/a) .
(6.97)
Нρ(ρ)=Н0ρJ′0(3.832ρ/a).
Нz (ρ) = Н0z J0(3.832ρ/a) .
Формулы для гармонических векторов Е и Н собственной волны Н01
выглядят следующим образом (см.6.91)) :
(6.98)
Е=ϕ0Еϕ(ρ)cos(ωt–KНz).
Н
Н
(6.99)
Н=-ρ0Нρ(ρ)cos(ωt–K z)+z0Нz(ρ,ϕ)sin (ωt – K z).
81
На рис.6.15а изображена картина силовых линий векторов Е иН
волны Н01 в поперечном сечении круглого волновода. Сплошными изображены
силовые линии вектора Е , а пунктирными – силовые линии вектора Н .
Рис.6.15. Силовые линии векторов Е и Н в поперечном сечении
круглого волновода : а – для волны Н01, b - для волны Н02
Магнитное поле этой волны у стенок волновода имеет только
продольную составляющую Нz , благодаря чему по стенкам могут протекать
только поперечные круговые токи. По мере роста частоты колебаний максимум
магнитного поля смещается к центру волновода и плотность токов
проводимости падает. Поэтому с ростом частоты активные потери, вызванные
протеканием токов проводимости, уменьшаются. Следует отметить, что из всех
собственных волн круглого волновода подобным свойством обладают только
волны типа Н0n. Для остальных волн с ростом частоты потери увеличиваются.
Структуру поля волны Н01 можно считать базовой при построении
картины силовых линий векторов Е и Н собственных волн типа Н0n . В
качестве примера на рис.6.15b изображена картина силовых линий векторов Е
и Н волны Н02 .
Для волны Е01 поперечное волновое число æЕ = 2.405/а , а критическая
длина волны λЕкр = 2.61 а . Вектор Н этой волны имеет только одну
поперечную составляющую Нϕ, а вектор Е одну поперечную Еρ и одну
продольную Еz, амплитуды которых в плоскости поперечного сечения зависят
только от одной пространственной переменной ρ (см. (6.89)):
Еρ (ρ) = Е0ρ J′0(2.405ρ/a) .
(6.100)
Еz(ρ)=Е0zJ0(2.405ρ/a).
Нϕ(ρ) = Н0ϕ J′0(2.405ρ/a) .
Формулы для гармонических векторов Е и Н собственной волны Е01
имеют следующий вид (см.(6.88)):
(6.101)
Е=-ρ0Еρ(ρ)cos(ωt–KЕz)+z0Еz(ρ)sin (ωt – KЕ z).
Е
(6.102)
Н=-ϕ0Нϕ(ρ)cos(ωt–K z).
82
На рис.6.16а изображена картина силовых линий векторов Е иН
волны Е01 в поперечном сечении круглого волновода. Сплошными изображены
силовые линии вектора Е , а пунктирными – силовые линии вектора Н .
Благодаря круговой симметрии электрического поля волны Е01, круглые
волноводы с этой собственной волной часто используются во вращающихся
волноводных соединениях.
Структуру поля волны Е01 можно считать базовой при построении
картины силовых линий векторов Е и Н собственных волн типа Е0n . В
качестве примера на рис.6.16b изображена картина силовых линий векторов Е
и Н волны Е02.
Рис.6.16. Силовые линии векторов Е и Н в поперечном сечении
круглого волновода : а – для волны E01, b - для волны E02
6.5.4 Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение
собственных волн круглого волновода
Индекс m входит в качестве постоянного коэффициента в аргументы
функций cos (mϕ) и sin (mϕ) , определяющих зависимость составляющих
векторов Е и Н собственных волн волновода от пространственной
переменной ϕ. Для выяснения общих закономерностей, определяющих
зависимость этих составляющих от величины коэффициента m, достаточно
рассмотреть одну из этих функций, например, cos (mϕ).
При m = 0 имеем cos (0⋅ϕ) = 1 и рассматриваемая составляющая не
зависит от угла ϕ (силовые линии соответствующего вектора представляют
собой окружности – см. рис.6.15 и рис.6.16).
При m = 1 зависимость от угла ϕ определяется функцией cos ϕ. В этом
случае во всех точках диаметра ϕ = ± (π/2) рассматриваемая составляющая
будет равна нулю. Следовательно, во всех точках диаметра ϕ = ± (π/2) будут
находиться узлы (нулевые значения) этой составляющей. Поэтому данный
диаметр называют «узловым». При m = 2 зависимость рассматриваемой
составляющей от пространственной переменной ϕ определяется функцией
83
cos2ϕ и узловых диаметров будет два (ϕ = ± (π/4) , ϕ = ± (3π/4)), при m = 3 – три
и т.д.
Таким образом, индекс m определяет число узловых диаметров
составляющих векторов Е и Н собственных волн круглого волновода и
показывает какое количество узлов этих составляющих укладывается на
половине окружности в поперечном сечении волновода.
Индекс n опосредованно входит в аргументы функций Бесселя и их
первых производных (æН ρ = χ m n ρ/ а , æЕ ρ = ν m n ρ/ a), которые определяют
зависимость составляющих векторов Е и Н собственных волн круглого
волновода от пространственной переменной ρ. Величина n дает информацию о
числе корней этих функций, приходящихся на диапазон изменения переменной
ρ от 0 до а.
Следовательно, величина n определяет число узлов (нулевых значений)
составляющих векторов Е и Н , укладывающихся вдоль радиуса волновода.
При n = 1 узлы рассматриваемой составляющей будут находиться
непосредственно на стенке волновода, поэтому величина ( n – 1 ) будет
определять количество «узловых окружностей» составляющих векторов Е и
Н собственных волн круглого волновода (окружностей, расположенных на
плоскости поперечного сечения волновода, в каждой точке которых
рассматриваемые составляющие равны нулю).
6.5.5 Рекомендации по графическому построению силовых линий
векторов Е и Н в поперечном сечении круглого волновода
Знакомство с узловыми диаметрами и узловыми окружностями
позволяет принять следующий порядок действий при построении картины
силовых линий векторов Е и Н в поперечном сечении круглого волновода :
•
в соответствии со значениями индексов m и n в поперечном
сечении волновода наносятся контуры узловых диаметров и узловых
окружностей;
•
вдоль полученных «направляющих» наносятся силовые линии того
вектора (Е или Н ), который для данной собственной волны имеет только
поперечные составляющие;
•
перпендикулярно полученным силовым линиям «поперечного»
вектора наносятся силовые линии другого вектора, не являющегося для данной
собственной волны чисто поперечным;
•
если силовые линии вектора Е выходят из стенок волновода, или
входят в них, то на границе раздела они должны быть перпендикулярны этим
стенкам.
Вопросы для самопроверки
1.Назовите существующие в настоящее время типы направляющих систем.
2.В чем заключается отличие электрических, магнитных и поперечных электромагнитных
волн в линиях передачи?
3.Какие типы волн могут распространяться в волноводах, коаксиальных и проводных
линиях передачи?
4.Сформулируйте постановку задачи о распространении электромагнитных волн в
волноводе.
84
5.Какие граничные условия используются при решении волнового уравнения в полом
металлическом волноводе?
6.В каких пределах могут изменяться фазовая и групповая скорости электромагнитных
волн в волноводе?
7.Какой тип колебаний принято называть основным?
8.Исходя из каких условий, производится выбор размеров поперечного сечения волновода?
9.Сформулируйте требования к устройствам возбуждения электромагнитных колебаний в
волноводе и изобразите некоторые из возможных конструкций.
Литература
Основная:
1.Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение
радиоволн. М.: Наука,1989.
2.Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение
радиоволн. М.: Высшая шк, 1974.
Дополнительная:
3.Марков Г.Т., Петров Б.П., Грудинская Г.П. Электродинамика и
распространение радиоволн.
М.: Сов. Радио, 1979.
85
Предметный указатель
Амплитуда 32.45.67
- напряженности электрического поля 32.67
- напряженности магнитного поля 32.67
Векторы 2
- электрического поля 5
- магнитного поля 7
- Умова-Пойнтинга 16
Волна 3
- линейно-поляризованная 36
- уходящая 22
- приходящая 22
- падающая 29
- отраженная 29
- плоская 27
- сферическая 42
- цилиндрическая 27
- однородная 27
- неоднородная 27
- электромагнитная 3
- в линиях передачи 49
Волновое уравнение 17
- для векторов поля 17
- для электродинамических потенциалов 18
- для вектора Герца 19
- в комплексной форме 20
Волновое сопротивление среды 29.46
Восприимчивость 6
- магнитная 8
- электрическая 6
Волновод 48
- прямоугольный 60
- круглый 73
Вращающаяся поляризация 36
Гаусс-Остроградский 12
Герц 3
Глубина проникновения 35
Диаграмма направленности 45
Дифракция 24
- геометрическая теория 25
Длина волны 23
- в произвольной среде 31
86
- в волноводе 59
Заряд 4
Затухание 22
- плоской волны 32
- сферической волны 47
- в линиях передачи 57
Излучение электромагнитных волн 42
Индукции электромагнитной закон 11
Колебания
- вынужденные 21
- электромагнитные 27
Коэффициент затухания 33
Линии
- силовые 8
- электрические 9
- магнитные 9
- передачи 48
Лоренца сила 7
Луч 24
Магнитная постоянная 7
Максвелл 3
- уравнения 10
Мощность
- излучения 47
- активная 47
- реактивная 46
Намагниченность среды 8
Напряженность
- магнитного поля 4
- электрического поля 4
Ома закон 9
Поле 4
- электрическое 4
- магнитное 4
Поляризация
- молекул среды 5
- плоских волн 35
- линейная 36
- круговая 36
- эллиптическая 37
Поток энергии 16
Проницаемость
- диэлектрическая 5
- магнитная 7
87
- абсолютная 5
- относительная 7
Ротор вектора 12
Сила взаимодействия зарядов 5
Скорость
- переноса энергии 39
- фазовая 30
Сопротивление
- излучения 47
- характеристическое 65
- свободного пространства 29
Уравнение волновое 17
Фаза колебаний 30
Фронт волны 27
Электрическая постоянная 5
Энергия
- электрического поля 16
- магнитного поля 16
88