расчет электромагнитн электромагнитн электромагнитного поля

ISSN 00020002-306X.
Изв.
Изв. НАН РА и ГИУА.
ГИУА. Сер.
Сер. ТН.
ТН. 2003. Т. LVI, № 2.
УДК 620.179.14(088.8)
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
В.Б. НЕРСИСЯН
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В РАБОЧЕМ ЗАЗОРЕ
МАГНИТНОЙ ЦЕПИ ВИХРЕТОКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПРИ
НАЛИЧИИ В НЕМ ПРОВОДЯЩЕГО НЕМАГНИТНОГО
НЕМАГНИТНОГО ЛИСТА
Исследуются некоторые
электромагнитные параметры в воздушном зазоре
вихретокового преобразователя при наличии в нем проводящего немагнитного листа.
Получено выражение для вектора магнитного потенциала как в проводящем листе, так и в
воздушном зазоре. Определены электрические и магнитные напряженности полей в этих
средах.
Ключевые слова: электромагнитные параметры, вектор магнитного потенциала,
плотность вихревых токов.
Одной из основных задач в вихретоковых преобразователях (ВТП) является
определение закономерностей взаимодействия электромагнитного поля с
проводящим немагнитным листом, расположенным в рабочем зазоре магнитной
цепи. Магнитное поле в рабочем зазоре магнитной цепи броневой конструкции [1] в
случае отсутствия в нем проводящего немагнитного листа однородно. При этом
магнитное поле в зоне контроля в цилиндрической системе координат
описывается уравнением
(ρ, ϕ, z)
r
r
B 0 ïðè ρ ≤ R,
B(ρ) = 
0, ïðè ρ ≤ R,
(1)
где R – радиус эквивалентного круга сечения рабочего зазора преобразователя.
На рисунке
показан рабочий зазор магнитной цепи, для которого
справедливо условие (1). Здесь проводящий немагнитный лист толщиной h с
удельной электрической проводимостью γ находится в кусочно–однородном,
поперечно–осесимметричном, изменяющемся по гармоническому закону магнитном
поле.
Электромагнитное поле в системе (см. рис.) наиболее удобно описывается с
r
Α
, определяемого соотношением
r
r
r
помощью векторного магнитного потенциала
B = rotA = µ 0 H .
(2)
Для последовательности изложения приведем известный переход от уравнений
Максвелла к уравнению Гельмгольца для вектор–потенциала поля.
306
z
I
h
d
0
II
III
ρ
d
B0
2R
Рис. Рабочий зазор ВТП с проводящим немагнитным листом
Уравнения Максвелла в Международной системе единиц СИ запишем в виде
r
r
r

∂D
+ γΕ ,
 rot Η =
∂t
r

 rot Er = − ∂ B .

∂t
(3)
.
В рассматриваемом случае внешним источником является вектор индукции
r
B0 , который представляется синусоидальным и заданным по условию (1).
Поскольку мы рассматриваем изотропную среду, параметры которой при
синусоидальных воздействиях не зависят от напряженности полей, то уравнения
(3) можно переписать следующим образом:
 rot Η& = (γ + j ωε 0 ε )Ε& ,

r

∂
B
.
 rot E& = −
∂t

(4)
Подставляя (2) в (3), получим
& ) = 0.
rot (Ε& + j ω Α
Поскольку ротор градиента любого скаляра тождественно равен нулю,
величину в скобках можно приравнять градиенту некоторого скаляра ψ ,
играющего роль скалярного потенциала электрического поля. Тогда
(
)
& .
Ε& = − grad ψ + jω Α
(5)
& и Ε& в первом уравнении (4) с учетом (2) и (5), после
Заменяя Η
элементарных преобразований получим
307
[
]
& + k 2Α
& = grad (µ γ + jωεε µ )ψ + divΑ
& ,
∇2Α
0
0 0
где
(6)
k 2 = ω 2 µ 0 ε 0 ε − jωµ 0 γ.
& задан с точностью до градиента
Поскольку вектор - потенциал Α
некоторого скаляра, а потенциал - с точностью до постоянной величины, имеется
возможность получить [2]
(µ 0 γ +
& = 0.
j ωε 0 εµ 0 ) ψ + div Α
Учитывая последнее равенство и выражение (6), получим искомое
уравнение Гельмгольца для вектор–потенциала электромагнитного поля
& + k 2Α
& = 0.
∇ 2Α
(7)
Поле в воздушном
промежутке
преобразователя можно считать
квазистационарным в том смысле, что волновыми процессами можно пренебречь.
Это упрощение вполне оправдано, так как размеры ВТП и исследуемых листов
обычно много меньше длины волны в воздухе, а потери на излучение по сравнению
с потерями в ВТП в исследуемом листе малы. В проводящем листе будем
рассматривать только те волновые процессы, которые обусловлены наличием
проводимости, т.е. так же, как и в воздухе, токами смещения (пропорциональными
ωε 0 ε )
пренебрегаем. Для металлов такое упрощение не вызывает
Таким образом, пренебрегая величиной
выражении для
сомнений.
ω2 ε 0 εµ 0 , по сравнению с ωµ 0γ , в
k 2 получим
k 2 = − jωµ 0 γ .
(8)
Естественно, что для воздуха k = 0 .
Обратный переход от вектор–потенциала к напряженностям электрических
и магнитных полей проводится по известным формулам (3(.
Осуществим расчет электромагнитного поля в немагнитном проводящем
листе, расположенном в рабочем зазоре ВТП (см. рис.).
Как было отмечено, магнитное поле в зоне контроля однородно и
изменяется по синусоидальному закону: Β 0 (t ) = Β m sin ω t . Электромагнитное
поле в системе, показанной на рисунке, описывается уравнением (7). Пусть
проводящий немагнитный лист
расположен горизонтально, тогда нормаль
плоскости листа направлена по оси z цилиндрической системы координат
ρ , ϕ , z и совпадает с осью магнитной системы. Началом координат примем
ρ = R и z = d для верхней среды и z = -d-h для нижней среды.
В силу осевой симметрии задачи вектор–потенциал имеет
компоненту и от угла
ϕ
не зависит, т.е.
только
ϕ –ю
& =Α
& .
Α
ϕ
В цилиндрических координатах уравнение (7) с учетом этого обстоятельства
примет следующий вид:
&  ∂2Α
& 1
&
1 ∂  ∂Α
 ρ
 + 2 −  − k 2  Α
= 0.
ρ ∂ρ  ∂ ρ  ∂ z
ρ

308
(9)
Это уравнение второго порядка в частных производных. В соответствии с
методикой, изложенной в [3], его можно решить, применяя интегральное
преобразование Фурье–Бесселя с ядром в виде функции Бесселя первого порядка.
Формула преобразования имеет вид
&∗ =
Α
где
λ – параметр преобразования.
∞
∫ ρ J (λρ ) Α& (ρ , z )d ρ ,
1
(10)
0
Применяя это преобразование к обеим частям уравнения (9), получим
&∗
d2Α
& ∗ = 0,
− q2Α
2
dz
∗
2
2
2
&
где Α является функцией только от координаты z ; q = λ + k .
(11)
Уравнение (11) является обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка. Общее решение этого уравнения известно и может быть
представлено в следующем виде:
& ∗ = µ 0 (e qz C + e −qz C ) ,
Α
(12)
p
n
2q
где C p и C n - величины, не зависящие от z и определяемые из граничных
условий.
Граничные условия для вектор–потенциала известны [4] и выражаются в
виде
Α m (ρ, z )
1 ∂A m
µ 0 ∂z
z =z m
z =z m
= Α m +1 (ρ, z )
=
1 ∂A m +1
µ 0 ∂z
z=zm
;
z =z m
.
(13)
Эти условия остаются справедливыми и для преобразованных величин
& ∗.
Α
Используя общее решение (12), запишем выражения для вектор–потенциала
в каждой области рабочего зазора (см. рис.).
z > 0 (область I) преобразованный
∗
&1 = Α
& ∗0 + Α
& ∗âèõ1 . Здесь Α
& ∗0 , Α
& ∗âèõ1 –
векторный потенциал представляется как Α
преобразованный
векторный
потенциал
первичного
магнитного
поля,
обусловленного токами возбуждения; преобразованный векторный потенциал от
вихревых токов в полосе. Определим их в отдельности.
Так как векторный потенциал имеет только ϕ -ю компоненту, то в
1. Для верхнего полупространства
рассматриваемом случае симметрии для индукции в рабочем воздушном зазоре ВТП
запишем
309
•
& =
Β 0 = rot ϕ Α
&p
∂Α
∂z
−
&z
∂Α
.
∂ρ
& p = 0 и найти Α
& z из последнего
Α
Одновременно можно положить
уравнения
•
Β0 = −
&z
∂Α
.
∂ρ
Следовательно,
R
•
•
& z = − Β 0 dρ = − Β 0 R ,
Α
∫
0
•
где
Β 0 – комплекс действующего значения магнитной индукции в зоне контроля.
Таким образом, на основании (10) преобразованный векторный потенциал
первичного магнитного поля будет [5]
∞
•
∞
2
& = ρJ (λρ) Α
& dρ = − Β 0 R ρJ (λρ)dρ = − Β 0 R J (λρ) .
Α
1
1
z
1
∫0
∫0
λ
∗
0
•
Теперь определим
& ∗âèõ1 , воспользуясь общим решением (12). Учитывая, что
Α
µ 0 , γ = 0 , т.е. q= λ и z > 0, получим
& ∗âèõ1 =
Α
µ 0 - λz 1
e C1
2λ
.
В результате для преобразованного векторного потенциала
будем иметь
•
& 1∗ = −
Α
Β0 R 2
λ
µ
J1 ( λR ) + 0 e - λz C11 .
2λ
области
I
(14)
2. Для проводящего слоя (область II), учитывая, что магнитная индукция
внешнего поля в области 0 < z < –h равна нулю, получим
(
)
& ∗ = − µ 0 C 2 e q 2z + C 2 e −q 2z .
Α
2
1
2
2q 2
3. Для нижнего полупространства (область III), учитывая, что
т.е.
(15)
µ3 = µ0 , γ = 0 ,
q = λ , получим
•
µ
Β0 R 2
&∗ =Α
&∗ +Α
&∗
J 1 (λR ) + 0 e λz C 32 .
Α
=
−
3
0
âèõIII
λ
2λ
В выражении (16) учтено , что
µ 0 λz 3
&∗
Α
e C2 .
âèõIII =
2λ
310
(16)
& ∗âèõIII получено из общего решения (12) с учетом того, что если
Α
z → −∞ , то поле должно быть ограниченным.
Для отыскания постоянных интегрирования, используя граничные условия
(13), получим следующие уравнения:
&∗
&∗
1 ∂Α
1 ∂Α
1
2
=
ïðè z = 0.
µ 0 ∂z
µ 0 ∂z
&∗
&∗
&∗ =Α
& ∗ ; 1 ∂Α 2 = 1 ∂Α 3 ïðè z = − h.
Α
2
3
µ 0 ∂z
µ 0 ∂z
&∗ =Α
& ∗;
Α
1
2
(17)
Подставляя выражения (14) - (16) в (17), получим
•
−
Β0 R 2
λ
- C11
=
µ
µ
J1 ( λR ) + 0 C11 = 0 (C11 + C 22 ) ,
2λ
2q 2
C12
(18)
− C22 ,
•
µ
b
Β0 R 2
(C12e −q2h + C22eq2h ) = −
J1(λR ) + 0 e−λzC32
2q2
2λ
λ
,
C12 e − q 2 h − C 22 e q 2h = e − λh C 32 .
Решая полученную систему уравнений
интегрирования в виде
(18), получим коэффициенты
(q 2 − λ ) − (q 2 + λ )e q 2h J (λR ),
2 Β0 R 2
C12 =
q2
µ0
(q 2 + λ )2 e q 2h − (q 2 − λ )2 e −q 2h 1
•
(
q 2 + λ ) − (q 2 − λ )e −q 2 h
2 Β0 R 2
C =−
q2
J (λR ),
µ0
(q 2 + λ )2 e q 2h − (q 2 − λ )2 e −q 2h 1
•
2
2
(19)
(
q 2 − λ )(e − q 2 h − 1) + (q 2 + λ )(e q 2 h − 1)
2 Β0 R 2
C =
q2
J 1 (λR ),
µ0
(q 2 + λ )2 e q 2h − (q 2 − λ )2 e −q 2h
•
1
1
(q − λ )(e −q2 h − 1) + (q 2 + λ )(e q 2h − 1) J (λR ).
2 Β0 R 2
C =
q2 2
µ0
[(q 2 + λ )2 e q 2h − (q 2 − λ )2 e −q 2h ]e −λh 1
•
3
2
С учетом значения
C11 перепишем выражение (14) для преобразованного
вектор–потенциала в верхнем полупространстве:
311
•
& 1∗
Α
 (q − λ )( e − q 2 h − 1) + (q + λ )( e q 2 h − 1) - λz  Β 0 R 2
2
= q 2 2
− 1
e
J1 ( λR ) . (20)
2
q
h
2

 λ
(q 2 + λ ) e − (q 2 − λ )2 e − q 2 h
Выражение (15) для преобразованного вектор–потенциала в проводящем
2
2
листе с учетом коэффициентов C1 и C 2 примет вид
•
& ∗2 = Β 0 R 2
Α
[(q 2 − λ ) − (q 2 + λ )e q h ][e q z + e −q
2
(q 2 + λ ) e
2 q2h
2
2
(z + h )
2 −q 2h
− (q 2 − λ ) e
]J
1 ( λR ) . (21)
Для нижнего полупрoстранства на основе (16) для преобразованного вектор–
потенциала получим

 e λ ( z + h ) [(q 2 − λ )(e − q 2 h − 1) + (q 2 + λ )(e q 2 h − 1)]
∗
&
q
1
Α3 = 
−
×
2
(q 2 + λ )2 e q 2h − (q 2 − λ )2 e −q 2h


•
×
(22)
Β0 R
J 1 (λR).
λ
2
Истинное значение поля для каждой области найдем с помощью обратного
преобразования Фурье–Бесселя:
∞
∗
& = Α
Α
∫ & (λρ ) J 1 (λρ )λ d λ .
(23)
0
1.
Для верхнего полупространства:
∞
•
(q − λ )( e − q 2 h − 1) + (q 2 + λ )( e q 2 h − 1) - λz 
2
&
− 1 ×
Α1 = Β 0 R ∫ q 2 2
e
2 q2h
2 −q 2h
(
)
(
)
+
−
−

λ
λ
q
e
q
e


(24)
2
2
0
× J1 ( λR)J1 (λρ )dλ .
2.
Для проводящего листа:
∞
& 2 = Β& 0 R 2
Α
∫
0
[(q 2 − λ ) − (q 2 + λ )e q h ][e q z + e − q
2
(q 2 + λ ) 2 e q
2
h
2
− (q 2 − λ )2 e − q 2 h
× J1 (λ R ) J 1 (λρ )λdλ .
312
2
(z + h )
]×
(25)
3. Для нижнего полупространства:
∞  λ (z + h )
e
[(q 2 − λ )(e −q 2 h − 1) + (q 2 + λ )( e q 2 h − 1)] q − 1 ×
&3 =Β
& 0 R 2 ∫ 
Α

2
 (26)
(q 2 + λ ) 2 e q 2 h − (q 2 − λ ) 2 e − q 2 h

0
× J1 (λR ) J1 (λρ )dλ .
Напряженности электрического и магнитного полей можем найти,
воспользуясь выражениями для вектор–потенциала, имеющего только ϕ –ю
компоненту и не зависящего от угла [2].
1. Для верхнего полупространства:
∞
(q − λ )( e − q 2 h − 1) + (q 2 + λ )( e q 2 h − 1) e - λz − 1 ×
& 0 R 2 ∫ q 2 2
Ε& 1 = − jωΒ

(q 2 + λ )2 e q 2 h − (q 2 − λ )2 e − q 2 h
0 
(27)
× J1 (λR ) J1 (λρ )dλ ;
& 2
& 1ρ = Β 0 R q 2
Η
µ0
 (q 2 − λ )(e − q 2 h − 1) + (q 2 + λ )(e q 2 h − 1) -λz 
∫0  (q + λ )2 e q 2 h − (q − λ )2 e −q 2 h e λ ×
2
2


∞
(28)
× J 1 (λR ) J 1 (λρ )dλ .
2. Для проводящего листа:
∞
(q 2 − λ ) − (q 2 + λ )e q 2 h e q 2 z + e − q 2 ( z + h )
& 0R 2
Ε& 2 = − jωΒ
×
2 q2h
2 −q 2h
(
)
(
)
q
+
e
−
q
−
e
λ
λ
2
2
0
∫
[
][
]
(29)
× J1 (λR ) J1 (λρ )λdλ ;
& 2
& = Β0R q 2
Η
2ρ
µ0
∞
∫
0
[(q
2
− λ ) − (q 2 + λ )e q 2 h ][e − q 2 ( z + h ) − e q 2 z ]
(q 2 + λ )2 e q h − (q 2 − λ )2 e −q h
× J 1 (λR ) J 1 (λρ )λdλ .
2
2
×
(30)
3. Для нижнего полупространства:
∞  λ ( z+ h )
[(q 2 − λ)(e −q2h − 1) + (q 2 + λ)(e q2h − 1)] q − 1 ×
& R 2  e
Ε& 3 = − jωΒ

2
0
∫0 
(q 2 + λ)2 e q2h − (q 2 − λ)2 e −q2h


(31)
× J1 (λR ) J 1 (λρ)dλ.
& R 2 q 2 λ ∞  e λ ( z + h ) [(q 2 − λ )( e −q 2 h − 1) + (q 2 + λ )(e q 2 h − 1)]
Β
& 3ρ = − 0
Η
×
∫ 
µ0
 (32)
(q 2 + λ )2 e q 2 h − (q 2 − λ )2 e − q 2 h
0
× J1 (λR ) J1 (λρ )dλ.
313
Плотность вихревых токов
J& в листе определяется из уравнения
J& = − j ωγ Α& 2 ,
которое с учетом (25) принимает вид
−q2 (z+ h )
q 2h
q 2z
∞
]×
&J = − jωγ Β
& 0 R 2 [(q 2 − λ ) − (q 2 + λ )e ][e + e
2 −q 2h
2 q 2h
∫0
(q 2 + λ ) e − (q 2 − λ ) e
(33)
× J 1 (λR ) J 1 (λρ )λdλ.
По результатам вычислений на ЭВМ несобственных интегралов (27) - (31)
проведен анализ распределения плотности вихревых токов в листе, составляющих
вектора индукции магнитного поля, создаваемого щелевым ВТП в рассматриваемых
областях, в зависимости от частоты изменения магнитного поля, толщины и
электрофизических параметров контролируемого изделия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нерсисян В.Б. Расчет вихретокового преобразователя с учетом скорости движущейся
токопроводящей неферромагнитной полосы // Электрические и магнитные поля в
неоднородных средах и цепях: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. по электротехнике.- Ереван,
1988. - С.83-88.
2. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны.-М.: Сов. радио, 1956. 662с.
3. Кошляков М.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения
математической физики.- М.: Физматгиз, 1962. - 767с.
4. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных
явлений. - М.: Изд-во АН СССР, 1948. - 728с.
5. Смайт В. Электростатика и электродинамика/ Пер. со второго американского издания
А.В. Гапонова, М.А. Миллера. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. - 604 с.
ГИУА. Материал поступил в редакцию 15.12.2001.
Վ.Բ. ՆԵՐՍԻՍՅԱՆ
ՄՐՐԿԱՀՈՍԱՆՔԱՅԻՆ ՁԵՎԱՓՈԽԻՉԻ ՕԴԱՅԻՆ ԲԱՑԱԿՈՒՄ ՈՉ
ՄԱԳՆԻՍԱԿԱՆ ՀԱՂՈՐԴԻՉ ԹԻԹԵՂԻ ԱՌԿԱՅՈՒԹՅԱՆ ԴԵՊՔՈՒՄ
ԷԼԵԿՏՐԱՄԱԳՆԻՍԱԿԱՆ ԴԱՇՏԻ ՀԱՇՎԱՐԿ
Կատարվել է օդային բացակում հաղորդիչ թիթեղի առկայության դեպքում
էլեկտրամագնիսական դաշտի հաշվարկ, որոշվել են մագնիսական և էլեկտրական
լարվածություններն ինչպես թիթեղում, այնպես էլ թիթեղի վերին և ներքին
կիսատարածություններում: Որոշվել են նաև թիթեղում մրրկային հոսանքների խտության
բաշխման օրինաչափությունները:
V.B. NERSISSYAN
ELECTROMAGNETIC FIELD CALCULATION IN THE RUNNING CLEARANCE OF
MAGNETIC EDDY- CURRENT TRANSFORMER IN THE PRESENCE OF CONDUCTING
NON-MAGNETIC SHEET
Certain electromagnetic parameters in the air gap of on eddy-current transformer in
the presence of a non-magnetic sheet are studied, Maxwell’s equations in cylindric
coordinates expressed by a magnetic vector potential are written. The equation obtained is
solved by Fourier-Bessel tranform. The result was an expression for magnetic vector
potential both in the conducting sheet and air gap. Electric and magnetic field voltages in
these media are determined
314