Законы сохранения. Работа и мощность.

r
v
III. Законы сохранения. Работа и мощность.
r
r
m
- масса материальной точки
p
=
m
⋅
v
1. Импульс материальной точки
r
r
r
p ↑↑ v
v - скорость этой материальной точки
↑
всегда!
2. Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех
точек, входящих в эту систему.
Пример: импульс однородного диска, вращающегося
вокруг неподвижной оси, проходящей через центр
r
r r
r
pсист = p1 + p2 + K + pn
r
p3
r
r r
r
r
r
p диск = p1 + p2 + p3 + p 4 + K + pn = 0
m3
m1
m4
r
p1
r
3. Теорема об изменении импульса материальной точки
r
p4
m
p
2
r r
r
2
∆p = p2 − p1 - изменение импульса материальной точки.
r
точку.
∑ F - сумма всех сил, действующих на материальную
r
r
r
r
r
Выводится из II закона Ньютона: ma = ∑ F . Если ∑ F = const , то a = const и
F
=
const
∑
r r r
r ∆v v 2 − v 1
Подставив в уравнение↑ и, домножив обе части на ∆t , получим …
a=
=
∆t - время действия сил.
r
∆t
∆t
F ⋅ ∆t - импульс силы.
4. Теорема об изменении импульса системы материальных точек
r
r
r
r
r
r
r
r
r
F∆t ;
Из п. 2: ∆pсист = ∆p1 + ∆p2 +K+ ∆pn =
∑ F = ∑ F внеш + ∑ F внутр = ∑ F внеш + 0
r
↑ ↑
∑ F — сумма всех сил, действующих на все мат. точки системы
r
r
r
r
r
Из п.3: ∆p1 = ∑ F1∆t , ∆p 2 = ∑ F2 ∆t , … ∑ F
— сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы
внеш
r
∑ F внутр — сумма внутренних сил, действующих на все мат. точки системы
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
F
+
F
=
F
+
F
F
F
F
K
F
F
K
F
F
K
0
—
по
III
закону
Ньютона
0
,
∑ внутр 21 31
12
32
13
23
12
21
13
31 = 0, K
r
r
∆p = ∑ F ⋅ ∆t
∑
r
r
r
∆pсист = ∑ Fвнешн ⋅ ∆t ∑ F
r
∑F
внеш
∆t — время, в течение которого действовали силы.
r
∆pсист — изменение импульса системы материальных точек за время ∆t
= const
5. Закон сохранения импульса:
r
r
′ = pсист
′′
pсист
Если,
1)
r
∑F
внеш
внеш — сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы
=0
2) ∆t ≈ 0 - при быстрых взаимодействиях (взрывах, выстрелах, соударениях),
если внешние силы не возрастают до
больших значений и остаются малы по
сравнению с внутренними силами.
6. Работа силы
Импульс системы материальных точек сохраняется, если
1) Сумма внешних сил, действующих на эту систему равна нулю.
2) Время действия внешних сил мало так, что импульс системы не успевает
существенно измениться - выстрелы, взрывы, соударения, при которых
внешние силы малы по сравнению с внутренними силами.
Кроме того,
3) сохраняется проекция импульса на ту координатную ось, к которой
перпендикулярна сумма внешних сил.
r
′ x = pсист
′′ x , если ∑Fвнеш⊥OX
pсист
r r
r
AFr = F ⋅ ∆ r = F ⋅ ∆ r ⋅ cos α
r
AFr — работа силы F
О
Х
Единица измерения
r
r
∆
— перемещение материальной точки, на
работы в СИ
r
r
r
F
1Дж = 1Н⋅м
F = const (и движение по прямой, в
.
которую
действует
сила
F
неизменном
направлении.)
r
α
r
r
r
А > 0, если α — острый угол. r r F
α
— угол между силой F и перемещением ∆r .
∆
r
А < 0, если α — тупойr угол. F ∆r Чтобы найти работу не постоянной силы над точкой, которая движется по произвольной
о F
r r
r
А = 0, если α
∆r
траектории, надо мысленно разбить движение на такие малые перемещения dr1 , dr2 , K ,
r = 90 .
r
∆r
F2
чтобы на каждом из них с достаточной точностью можно было бы считать движение
r
r r r r
r
F1
dr2
r
прямолинейным, а силу постоянной. Тогда A = F1dr1 + F2 dr2 + K
dr1
7. Мощность
Единица измерения
мощности в СИ
1 Вт = 1Дж/с
A
N=
t
Работа, совершенная за время t.
r
F
α
Если мощность не постоянна, то вычисляется
средняя мощность:
N = const
N ср =
8. Механическая энергия
A
t
мгновенная мощность:
r r
r r
Fdr
N=
= F ⋅v N = F ⋅ v
dt
r
v
⋅ cosα
Потенциальная энергия — этой энергией обладают тела, на которые
действуют консервативные силы: Fграв (Fтяж), Fупр, Fэлектр
Емех = Ек + Ер
Консервативны, если они неизменны во времени для каждого
положения, или являются внутренними для системы.
Кинетическая энергия
Этой энергией обладают движущиеся тела.
Силы, работа которых над системой при ее перемещении зависит только от
начального и конечного положений этой системы. Работа консервативных
сил не зависит от того, каким способом (по какой траектории) система была
сист
mv 2
переведена из начального положения в конечное.
Ek = Ek 1 + Ek 2 + K
Ek =
Основное свойство консервативных сил: работа консервативных сил
2
Кинетическая энергия системы
над системой, совершившей движение по замкнутой траектории
материальных точек.
(когда конечное положение совпадает с начальным), равна нулю.
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия — это такая функция от расположения
материальной точки массой m, движущейся со скоростью v.
системы, убыль которой при перемещении системы равна работе
Теорема о кинетической
консервативных сил на этом перемещении. Еp1 – Ep2 = Aконс1-2
Работа всех сил,
Чтобы вычислить конкретное значение Ер , договариваются в каком
действующих
в
энергии:
k
всех сил
положении системы "О" считать Ер(О) = 0. Тогда в произвольном
системе.
Изменение
положении "М" потенциальная энергия системы Ер(М) = Аконс М–О
кинетической энергии системы
∆E = A
9. Теорема о механической энергии
∆E мех = ∆E k + ∆E p = Aвсех сил − Aконс = Aнеконс. сил
∆Eмех = Анеконс
Ер(тяж) = ±mghцентра масс над нулевым уровнем
E
упр
p
10. Закон сохранения механической энергии
Механическая энергия системы материальных
точек сохраняется, если в системе совершают
работу только консервативные силы (Анек = 0)
k∆l 2
=
2
h (+)
Ер = 0
h (–)
′ = Eмех
′′
Eмех
Если Анеконс = 0
11. Диссипативные силы — неконсервативные силы, работа которых сопровождается выделением
тепла.
Fтрения скольжения ; Fсопр. жидк. и г.; Fнеупруг. взаимод.
Авнутр. дис = – Q — не зависит от системы отсчета
E′мех – E″мех = Q
Если Анеконс = Авнутр. дис.
12. Методы вычисления работы
r r
r
r
AF = F ⋅ ∆ r = F ⋅ ∆ r ⋅ cos α
А
Aконс1-2 = Еp1 – Ep2
A упр =
Aвсех сил = ∆Ek
r
k
(∆l12 − ∆l22 )
2
Если F  ОХ, или
A = ± S под графиком Fx ( x )
r
F
если график выше оси x
"−" − если график ниже оси x
r
v  ОХ
r
r
∆pсист
Fср =
∆t
r
F = const
Атяж = mg(h1 – h2)
Анеконс = ∆Eмех
Численно "+" −
13. Средняя по времени сила
Средняя по времени сумма
внешних сил,
действующих на систему
материальных точек
Fx
x
Изменение
импульса
системы за
время ∆t