Кузьмичев Сергей Дмитриевич

Кузьмичев Сергей Дмитриевич
2
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ №6
1. Релятивистский импульс. Релятивистская энергия.
Связь между энергией и импульсом частицы.
Динамический инвариант.
2. Примеры из релятивистской динамики.
3. Момент импульса частицы и системы частиц
относительно точки и оси. Момент силы.
4. Уравнение моментов.
5. Закон сохранения момента импульса для частицы и
системы частиц.
6. Частица в поле центральных сил.
7. Уравнение момента импульса для вращения вокруг
неподвижной оси. Момент инерции.
8. Работа и кинетическая энергия при вращательном
движении.
Аналогии между поступательным и
вращательным движениями.
9. Скамья Жуковского.
10. Примеры.
3
1.1. Релятивистский импульс.
Релятивистский импульс частицы
p
m0 v
1 v /c
2
F
dp
dt
γm0 a
vF
2
γm0v , γ
1
1 v2 / c 2
dv
dγ
γm0
m0 v
dt
dt
m0 3
γ v va .
2
c
m0γ 3 va .
4
1.2. Энергия релятивистской
частицы.
Кинетическая энергия K частицы (вывод для
dA dK
m0 d v 2
v
K
0
F vdt
F ds
21 v /c
2
K
m0 γ 3vd v
m0 c 2
2
3/ 2
1 v2 / c 2
E m0 c 2 , E
для малых скоростей ( v << c )
K
m0 v 2
2
m0 c 2
K
m0 c 2
F II v)
5
1.3. Связь между энергией и
импульсом релятивистской частицы.
p
E2
Ev
c 22
m0c 2
pc
Для безмассовых частиц ( m0
E
pc ,
v
2
0 )
c
6
1.4. Динамический инвариант.
2
Величина
E2
pc является инвариантом
как для отдельной частицы, так и для и системы частиц,
(т.е. не зависит от системы отсчета)
E
2
pc
2
inv
При превращениях частиц (например, при ядерных
реакциях) не выполняется закон сохранения массы.
7
2. Примеры из релятивистской
динамики.
2.1. Энергии покоя частиц:
2
m
c
0 ,511 МэВ
электрон
e
m p c 2 938, 28 МэВ
протон
нейтрон mn c 2 939 ,57 МэВ
1 эВ 1, 6 10 19 Дж
2.2. Протоны на Большом Адронном Коллайдере
E 14 1012 эВ
m pc 2
938, 28 МэВ
с - v 0,67 м / с
E=mc²
8
2.3. Антипротонный порог (пороговая энергия)
p
p
p
p
p
p
а) неподвижная мишень
В лабораторной системе
invдо
m pc 2
m 2p c 4
p2c 2
1/ 2
2
p2c 2
В системе центра масс (протоны и антипротон
неподвижны друг относительно друга)
2
2
invдо invпосле
4m p c
m pc
2
2 4
p
m c
E
2 2
pc
2 4
p
m c
K пор ,л
1/ 2
2 2
pc
2
2 2
pc
1/ 2
E m pc 2
4m p c
7m p c 2
6m pc 2
2
2
9
б) встречные пучки протонов одинаковых энергий
В лабораторной системе
invдо
invдо
E
K пор ,вст
2 m 2p c 4
invпосле
2 4
p
m c
4m p c
2 2
pc
E m pc 2
p2c 2
1/ 2
m pc 2
2
1/ 2
2
2
2m pc 2
K пор ,л / 6
10
3. Момент импульса частицы и
системы частиц относительно
точки и оси. Момент силы.
3.1. Момент импульса
относительно точки О
(полюса)
L
L
r, p
Момент
импульса
относительно
оси
есть
проекция на эту ось его
момента относительно точки,
лежащей на той же оси.
p
O
r
11
3.2. Момент импульса системы материальных точек
Моментом импульса системы материальных точек
относительно некоторого полюса называется векторная
сумма моментов импульсов всех материальных точек
относительно того же полюса.
LΣ
Li
i
ri , pi
i
Момент импульса системы материальных точек
LΣ
Lотн ,C
RC , pΣ
Lотн ,C - момент импульса относительно центра масс,
RC - радиус вектор центра масс,
pΣ - суммарный импульс системы
12
3.3. Пример: момент импульса обруча
LO
Lотн ,C
Lотн ,C
mvвращ r
RC , mvC
L
RC , mvC
ω
mω2 r
RC
mrvC
O
При качении без
проскальзывания
vC
L
ωr
2mr vC
2mω2 r
⊗
⊗
r
C
vC
13
3.4. Момент силы F
относительно точки О
(полюса)
M
M
r,F
O
F
r
F
Плечо силы
d
d
r sinθ
O
θ
r
14
4. Уравнение моментов.
4.1. Уравнение моментов относительно неподвижного
начала для материальной точки
L r, p
r, p
r, F
M
4.2. Уравнение моментов относительно неподвижного
начала
L M ВНЕШ производная по времени от момента импульса системы
материальных точек относительно произвольного начала
равна геометрической сумме моментов всех внешних сил
относительно того же начала.
15
4.3. Пример: уравнение моментов для обруча
⨀
⊗
MN
M тяж
M тяж
MN
mgrтяж
Ось OZ
Nrтяж
O
M тяж
M тр
MN
rтр
⊗
rтяж
N
rN
mg
Fтр r
L
M тр
M тяж M N
dLz
M тр
dt
⨀
M тр
Fтр r
M тр
0
Fтр
16
5. Закон сохранения момента
импульса.
5.1.
Если момент внешних сил относительно
неподвижного начала равен нулю, то момент импульса
системы относительно того же начала остается
постоянным во времени.
5.2. Если момент импульса внешних сил относительно
какой либо неподвижной оси равен нулю, то момент
импульса относительно той же оси остаётся постоянным.
17
5.3. Условия равновесия твёрдого тела:
Тело будет оставаться в покое, если:
1. Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна
нулю:
F
Fi 0
2.
i
Суммарный момент сил относительно любой точки равен
нулю:
M
Mi 0
i
18
6. Движение в поле центральных
сил.
6.1. Сила, действующая на материальную точку,
называется центральной, если она зависит только от
расстояния до силового центра и направлена вдоль
прямой, соединяющей точку и силовой центр.
Примеры: сила гравитационного притяжения двух
точечных тел , сила кулоновского взаимодействия между
двумя покоящимися точечными зарядами в вакууме.
6.2. Момент центральной силы относительно силового
центра равен нулю (равно нулю плечо этой силы).
19
6.3. Секториальная скорость и
момент импульса
dS
1
r , vdt
2
L
S
2mS
dS
dt
dS
1
r,v
2
vdt
O
r
6.4. В поле центральных сил момент сил относительно
центра равен нулю ( M 0 ). Следовательно,
L const , S const
6.5. Следствия:
а) траектория материальной точки в поле
центральных сил есть плоская кривая.
б) за равные промежутки времени радиус-вектор r
заметает (описывает) равные площади (закон площадей)
20
7. Уравнение момента импульса
для вращения вокруг неподвижной
оси. Момент инерции.
6.1. Ось OX – ось вращения. Для
материальной точки
Lx mvr mr 2 ω
X
L
Для системы материальных точек
mi ri2 ω
Lx
Iω
i
I
2
mi ri - момент инерции
i
системы материальных точек
относительно оси вращения
O
r
v
m
21
6.2. Если M x - момент
внешних сил относительно оси
вращения,
то
уравнение
моментов относительно оси
вращения имеет вид
d Iω
Mx
dt
6.3.
Если
момент
внешних сил относительно оси
вращения равен нулю, то
момент импульса относительно
оси сохраняется.
22
8. Работа и кинетическая энергия
при вращательном движении.
Аналогии между поступательным
и вращательным движениями.
8.1. Элементарная работа
dA Fds Frdφ
8.2. Кинетическая энергия
1
1
K
mi vi2
2 i
2
ω2
2
mi ri2
i
Mdφ
mi ωri
i
Iω2
2
2
23
8.3. Аналогии (поступательное и вращательное движения).
Поступательное движение
v – линейная скорость
a d v / dt – линейное
ускорение
m – масса
p mv – импульс
F - сила
dp / dt ma F
mv 2
K
2
dA F ds
Вращательное движение
ω – угловая скорость
ε dω / dt – угловое
ускорение
I – момент инерции
L Iω – момент импульса
M – момент силы
dLx / dt Iε x M x
I ωx2
K
2
dA M dφ
24
9. Скамья Жуковского
L0
Балерина,
фигурист,
гимнаст на перекладине,
прыгун в воду.
A
I 0ω0
L1
I0
I1
ω1
ω0
K1 K 0
L12
2 I1
I1ω1
L20
2 I0
25
Lz ,0
Mz
0
I К Ω , Lz
Lz ,0
ω
IК Ω
I СК ω I К Ω cos α ,
Lz
I К Ω 1 cos α
I СК
I СК ω I К Ω cos α ,
26
10. Пример. Балансировка колеса
F1
Опора
ω
L1
m1
m1
L = L1+ L2
L2
m2
Опора
Ось вращения
F2