Лекция 28,29

Лекция 28
Глава 1. Векторная алгебра
1.1. Векторы
Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются
скалярными. Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа,
масса.
Другие величины определяются не только своим числовым значением, но и
направлением. Такие величины называются векторными, например, сила, скорость,
ускорение. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
определѐнную длину и определѐнное направление. Если А – начало вектора, а В – его
конец, то вектор обозначается символом AB или a .Вектор BA (у него начало в точке В,
а конец в точке А) называется противоположным вектору AB . Вектор, противоположный
вектору a , обозначается - a .
Длиной вектора AB называется длина отрезка и обозначается AB .
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и
обозначается 0 . Длина нулевого вектора равна нулю и его направление не определено.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и
обозначается: e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением
0
вектора a , называется ортом вектора a и обозначается a .
Векторы a и b ,
лежащие на одной прямой или на параллельных прямых,
называются коллинеарными. Коллинеарные векторы a и b обозначается так: a b .
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
l
A
m
B
C
K
D
E
F
L
Рис. 1
На рис.1 векторы AB, CD, FE и KL коллиненарны, векторы
AB, CD и KL
одинаково направлены, векторы FE и KL противоположно направлены.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора a и b называются равными a b , если они коллинеарны, одинаково
направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить
параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.
На рис.2 векторы образуют параллелограмм. Векторы BC и AD равны, векторы
AB и CD противоположно направлены, но длины их равны.
B
C
A
D
Рис. 2
Равные векторы называют также свободными.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трѐх векторов хотя бы один
нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
1.2. Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и
вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть a и b - два произвольных вектора. Возьмѐм произвольную точку О и
построим вектор . От точки А отложим вектор AB b . Вектор OB , соединяющий начало
первого вектора с концом второго, называется суммой векторов a и b : OB = a + b (см.
рис.3).
A
b
B
a b
O
a
Рис. 3
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов
можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис.4).
A
b
B
a b
O
a
Рис. 3.
Рис. 4
Подобным образом находится сумма трех и более векторов. Суммой n векторов
a1 , a 2 ,, a n называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора a1 ,
конец – с концом последнего a т , причем каждый последующий вектор a k
1
отложен из
конца предыдущего a k . Сложение трѐх векторов a , b и c показано на рисунке 5
a
a
b
c
b
c
a + b +c
Рис. 5
Разностью векторов a и b называется вектор c = a - b такой, что b + c = a (см.
рис.6).
b
a -b
a
a
b
Рис. 6
В параллелограмме, построенном на векторах a и b , одна диагональ является
суммой векторов a и b , а другая – разностью этих векторов (см. рис.7).
b
a -b
a +b
a
a
b
Рис. 7
Вычитание векторов можно заменить сложением вектора
a с вектором,
противоположным вектору b : a - b = a +(- b ).
Произведением вектора a на число
длину
называется вектор
a , который имеет
a , коллинеарен вектору a , имеет направление вектора a при
> 0 и
противоположное направление при < 0.
Свойства линейных операций над векторами:
1. a + b = b + a ;
2. ( a + b )+ c = a +( b + c );
1 2 a;
3. 1 2 a
4. ( 1
2
) a
1
a
2
a;
a b
a
b
5.
.
Эти свойства позволяют слагаемые менять местами, расставлять скобки для
указания нужного порядка действий, выносить за скобки скалярные и векторные общие
множители.
1.3. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве заданы ось l и вектор AB (см. рис.8).
B
Пусть AB - произвольный вектор ( AB
0 ). Обозначим через A1 и B1 проекции на
A
A1
Рис. 8
B1
l
Обозначим через A1 и B1 проекции на ось l соответственно начала А и конца В
вектора AB в результате получим вектор A1 B1 .
Проекцией вектора AB на ось l называется число A1 B1 , если вектор A1 B1 и ось l
одинаково направлены и отрицательное число - A1 B1 , если вектор A1 B1
и ось
противоположно направлены. Если точки A1 и B1 совпадают, то проекция вектора AB
равна 0.
Проекция вектора AB на ось l обозначается прl AB . Проекция вектора a на ось l
равна произведению модуля вектора a на косинус угла
между вектором и осью, т.е.
прl a = a cos .
Свойство проекции вектора на ось.
1. прl a b c прl a прl b прl c
2. прl
a
прl a .
Следовательно, линейные операции над векторами можно
соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
свести
к
1.4. Координаты вектора
Зададим в пространстве прямоугольную систему координат OXYZ, где
i, j , k -
единичные орты координатных осей. Выберем произвольный вектор a пространства и
совместим его начало с началом координат: a = OM (см.рис.9).
Z
M3
M
M2 Y
k
i
j,
M1
N
X
Рис. 9
Найдѐм проекции вектора a на координатные оси. Проведѐм через конец вектора
OM плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих
плоскостей с осями обозначим соответственно через M 1 , M 2 и M 3 . Получим
прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор OM .
Обозначим проекции вектора a = OM на оси OX, OY и OZ соответственно через
ax ,ay и az , т.е. OM 1 ax , OM 2 ay , OM 3 az .
Тогда
a
OM 1
M1N
NM
или, учитывая равенства
M1N
OM3 , a OM1 OM2 OM3 ,
OM2 , NM
получаем
a
ax i a y j az k .
(1)
Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа
a x ,a y ,a z называются координатами вектора a в прямоугольной системе координат OXYZ.
Кроме равенства (1) вектор можно записывать в виде: a
b
bx ; b y ;bz означает, что b
a x ; a y ;a z и, равенство
bx i b y j bz k .
Зная проекции вектора a , можно найти длину вектора. На основании теоремы о
квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда
OM
2
OM 1
2
OM 2
2
OM 3
2
или
a
2
ax2
a y2
az2 .
ax2
ay2
az2 ,
Отсюда
a
(2)
т.е. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Пусть углы вектора a с осями OX, OY и OZ соответственно равны
по свойству проекции вектора на ось
ax
a cos , a y
, , . Тогда
a cos .
a cos , a z
Отсюда выразим
cos
ax
, cos
ay
a
Числа cos , cos , cos
az
, cos
a
.
a
называются направляющими косинусами вектора a .
Справедливо равенство
cos2
cos2
cos2
1,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Следовательно, вектор e cos ; cos ; cos - единичный вектор.
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его длину и
направление, следовательно, так определяется и сам вектор.
1.5. Действия над векторами, заданными координатами
Пусть векторы a и b заданы своими координатами:
a a x ; a y ;a z , b bx ; b y ;bz .
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в
пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора a и b равны тогда и
только тогда, когда выполняются равенства:
a x b x , a y b y , a z bz .
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным
операциям над проекциями этих векторов, то:
1. a b ax bx ;a y by ;az bz .
При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются
(вычитаются).
ax ; a y ; az .
2. a
При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.
Коллинеарность векторов
Если векторы a и b коллинеарны, то a
ax i a y j az k
bx i b y j bz k
b , где
bx i
- некоторое число. Тогда
by j
bz k .
Отсюда a x
bx , a y
bz или
by , a z
ay
ax
bx
az
.
bz
by
Следовательно, координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и
обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.
Координаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартовая система координат OXYZ.
Для любой точки М координаты вектора OM называются координатами точки М.
Вектор OM называется радиус- вектором точки М, обозначается r , т.е. OM r .
Следовательно, координаты точки – это координаты еѐ радиус – вектора r x; y; z .
Координаты точки М записываются в виде М(x; y; z).
Найдѐм координаты вектора a AB , если известны координаты точек
A x1 ; y1 ; z1 и B x2 ; y2 ; z 2 (см. рис. 10).
Z
B
A
Y
k
i
O j
X
Рис. 10
AB
OB OA
x 2 x1 i
Следовательно, вектор
x2 i
y2 j
y2
AB
y1 j
x2
z2 k
z2
x1 ; y 2
x1 i
y1 j
z1 k
z1 k .
y1 ; z 2
z1 .
►Пример 1. В пространстве заданы две точки A 1;1; 0 и B 2; 0; 2 . Найти координаты
вектора AB , его длину и направляющие косинусы.
Координаты вектора: x2 x1 2 1, y 2 y1 0 1, z 2
AB
1; 1; 2 .
Длина вектора: AB
1 1 22
Направляющие косинусы вектора:
6.
z1
2 0 , значит,
1
cos
6
1
, cos
6
2
, cos
6
.
◄
1.6. Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается
скалярное произведение следующим образом: a, b или a b . Итак, по определению
a b cos .
a b
Так как a cos
прb a , и b cos
прa b , то эту формулу можно записать иначе:
a прa b
ab
b прb a .
Свойства скалярного произведения
1. Переместительное свойство: a b = b a .
ab a b cos a, b и ba b a cos b, a .
И так как a b
b a , как произведение чисел и cos a, b
cos b, a , то a b = b a .
2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя:
ab
b прb a
b прb a
a прa b c
ab a c .
a прa b прa c
a прa b
a прa c
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a
a
2
a a cos 0
2
j
2
2
ab ac .
2
a .
2
a .
a a
В частности: i
ab .
ab .
3. Распределительное свойство: a b c
ab c
a b
k
2
1.
Если вектор a возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не
первоначальный вектор, а его длину a , т.е. a
►Пример 2. Даны длины двух векторов: a
2
a
a
6 и b
2
a .
2 и угол между ними
Найти длину вектора c 2a 3b .
Вычислим скалярный квадрат вектора c :
cc c
2
(2a 3b)(2a 3b) 4a
2
6ab 6ba 9b
2
4a
2
2
12ab 9b .
Тогда
c
◄
c
2
4a
2
12ab 9b
2
4 36 12 6
2
1
2
9 2
90
3 10 .
4
.
5. Если векторы a и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю, т.е. если a b , то a b = 0. Справедливо и обратное
утверждение: если a b = 0 ( a 0 и b 0 ), то a b .
Так как
90 0 , то cos
cos 90 0 0 . Следовательно, a b a b 0 0 .
Если же a b
a
0 и b
0 , то a b
0 . Отсюда cos
В частности, i j
0 . Векторы a и b ненулевые, значит,
a b cos
0и
j k
k i
90 0 , т.е. a
b.
0.
Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора своими координатами:
(a x ; a y ; a z ) и b
a
(bx ; b y ; bz ) .
Найдѐм скалярное произведение векторов, перемножив их, имея в виду свойства
скалярного произведения и равенства i
a b
ax i a y j az k
j
2
k
2
1, i j
j k
k i
0:
bx i b y j bz k
a x bx ii a x b y i j a x bz i k
a x bx
2
0 0 0 a y by
a y bx j i a y b y j j
a y bz j k
a z bx k i a z b y k j a z bz k k
0 0 0 a z bz .
Таким образом,
a b
a x bx
a yby
a z bz .
►Пример 3. Выяснить вид треугольника с вершинами A(1;1;0) , B(1;0;1) и C (1;1;1) .
Найдем внутренние углы треугольника.
Для вычисления угла при вершине A найдем угол
между векторами AB и AC .
Для этого найдем векторы AB (0; 1;1) и AC (0;0;1) . Отсюда
cos
AB AC
0 0 11
AB AC
0 1 1 0 0 1
Значит,
45 .
Для вычисления угла при вершине C найдем угол
Так как CB
(0; 1;0) и CA
(0;0; 1) , то cos
1
2
между векторами CB и CA .
CB CA
CB CA
.
0 0 0
0 1 0 0 0 1
поэтому
90 .
Следовательно, треугольник прямоугольный равнобедренный.
◄
Угол между векторами
Определение угла
между ненулевыми векторами
a
cos
a b
a b
a x ; a y ;a z и b
, т.е. cos
bx ; by ; bz :
a x bx
a x2
a y2
a y by
a z2
a z bz
bx2
b y2
bz2
.
0 и
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов a и b :
a
b
a x bx
a y by
a z bz
0.
1.7. Векторное произведение векторов
Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и c , взятые в указанном порядке, образуют
правую тройку, если с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора
a ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по
часовой (см. рис. 11).
c
c
a
b
правая тройка
a
b
левая тройка
Рис. 11
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c ,
удовлетворяющий условиям:
1) c a b sin , где - угол между векторами a и b , т.е. имеет длину, численно
равную площади параллелограмма, построенного как на сторонах (см. рис. 12),
2) c a , c b т.е. перпендикулярен векторам a и b ;
3) векторы a, b и c образуют правую тройку.
c
b
a
Рис. 12
Векторное произведение обозначается a b или a ,b .
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.
a b
b a .
Векторы a b и b a коллинеарны, имеют одинаковые длины (площадь
параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки
a, b, a b и a, b, b a противоположной ориентации ). Значит, a b
b a .
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно
a b
a b a
b.
скалярного множителя, т.е.
Пусть
> 0. Вектор
a b перпендикулярен векторам a и b . Вектор
a
b
также перпендикулярен векторам a и b (векторы a, a лежат в одной плоскости ).
a b и a b коллинеарны. Очевидно, что и направления их
Значит, векторы
совпадают. Имеют одинаковую длину:
a b
a b
a b sin a ,b
a
a b sin a ,b
и
b
Поэтому
a b
a b sin a ,b .
a b . Аналогично доказывается при
< 0.
3. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их
a b 0.
векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. a || b
Если a || b , то угол
a b
a b sin
Если же a b
или
между ними равен 0 или 180 . Значит,
0 . Значит, a b
0 , то a b sin
0.
0 . Но тогда, так как a
0 и b
180 , т.е. a || b .
В частности, i i j j k k 0 .
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
a b
c
a c b c.
Выражение векторного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора своими координатами:
a
(a x ; a y ; a z ) и b
(bx ; b y ; bz ) .
Тогда векторное произведение двух векторов выражается формулами
a b
ay
az
by
bz
i
ax
az
bx
bz
j
или
a b
i
ax
bx
j
ay
by
k
az .
bz
ax
ay
bx
by
k
0 , то
0
Приложения векторного произведения
1. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю т.е.
ab
a b
0 или
ax
bx
ay
by
az
.
bz
2. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b равна S
Площадь треугольника, построенного на векторах a и b равна S
►Пример 4. Даны векторы a
(7;4;6) и b
a b
Теперь a b
( 20) 2
k
6
2
20 2 10 2
4
2
6
i
2
900
1
a b.
2
(1;2; 2) . Найти a b .
Найдем векторное произведение векторов a
i j
7 4
1 2
a b.
7
1
6
j
2
(7;4;6) и b
(1;2; 2) :
7 4
k
1 2
( 20;20;10) .
30 .
◄
1.8. Смешанное произведение векторов
Пусть даны три вектора а , b и c . Число ( а b ) · c называется смешанным
произведением векторов.
Смешанное произведение трѐх векторов равно
объѐму параллелепипеда,
построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют
правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его
множителей, т.е. ( а b ) · c = b c a = c a b .
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного
и скалярного умножения, т.е. ( а b ) · c = a b c .
Действительно, ( а b ) · c = V и b c a = V . Знак правой части этих равенств
один и тот же, так как тройки векторов а , b , c и b , c , а - одной ориентации.
Следовательно ( а b ) · c = a b c . Это позволяет записывать смешанное
произведение векторов ( а b ) · c в виде а b c без знаков векторного, скалярного
умножения.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух
векторов - сомножителей, т.е. а b c = - а c b , а b c = - b а c , а b c = - c b а .
Действительно такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в
векторном произведении, меняющей у произведения знак.
4.Смешанное произведение ненулевых векторов а , b и c равно нулю тогда и
только тогда, когда они компланарны.
Если а b c =0, то а , b , c - компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объѐмом
V 0 . Но т.к. а b c = V , то получили бы, что а b c 0 . Это противоречит условию:
а b c =0.
Обратно, пусть векторы а , b , c - компланарны. Тогда вектор d a b , будет
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а , b , c , и, следовательно, d c ,
поэтому d ·c 0 , т.е. а b c =0.
Выражение смешанного произведения через координаты
Пусть заданы векторы a
(bx ; by ; bz ) и c
(a x ; a y ; a z ), b
(c x ; c y ; c z ). .
Найдѐм их смешанное произведение, используя выражение в координатах для
векторного и скалярного произведений:
i
j
k
( а b ) ·c = ax
ay
a z · (c x i
bx
by
bz
=
ay
by
az
i
bz
=
ay
by
az
·c
bz x
c y j cz k ) =
ax
az
bx
bz
j
ax
az
bx
bz
ax
bx
·c y
ay
k · (c x i
by
ax
bx
c y j cz k ) =
ay
·c .
by z
Правая часть этого равенства представляет собой разложение определителя
третьего порядка по элементам третьей строки. Поэтому формулу можно записать
короче:
ax
ay
az
а b c = bx
by
bz ,
cx
cy
cz
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Если смешанное произведение трех векторов а , b и c положительно ( а b c >0) ,
то эти векторы образуют правую тройку; если смешанное произведение отрицательно
( а b c >0), то векторы образуют левую тройку.
Условие компланарности векторов
Ненулевые векторы а , b и c компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно нулю:
ax
а b c =0 или bx
cx
ay
by
cy
az
bz =0.
cz
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Объѐм параллелепипеда, построенного на векторах а , b и c равен V=| а b c |.
Объѐм треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен
1
V= | а b c |.
6
►Пример 5. Доказать, что точки A( 1;2;1) , B( 3;1;2) , C (3; 2;2) и D(3; 4;3) лежат в одной
плоскости.
Точки A( 1;2;1) , B( 3;1;2) , C (3; 2;2) и D(3; 4;3) лежат в одной плоскости, если
векторы AB , AC и AD компланарны.
Найдем координаты этих векторов: AB ( 2; 1;1) ,
Вычислим смешанное произведение:
2
1 1
0 0
AB AC AD
4
4 1
6
3
4
6 2
8
4
AC
(4; 4;1) и AD
(4; 6;2) .
1
1
0.
2
Следовательно, векторы AB , AC и AD компланарны и поэтому точки лежат в
одной плоскости.
◄
►Пример 6. Вектор d 10;9;7 представить в виде линейной комбинации векторов
a
(1;1;0) , b
(1;0;1) и с
0;1;1 .
Пусть вектор d представлен в виде линейной комбинации векторов a , b и с :
d x a yb z c ,
где x, y, z - коэффициенты, которые необходимо определить.
Из этого векторного равенства получим систему линейных уравнений:
1
1
0
10
x y 10,
x 1
y 0 z 1
9 или x z 9,
0
1
1
7
y z 7.
Решим систему уравнений методом Гаусса:
1 1 0 10
1 1 0 10
1 1 0 10
A
1 0 19 ~ 0
0 1 17
1 1 1 ~ 0
0 1 1 7
1 1 1 .
0 0 2 6
Отсюда
x y 10,
y z
1,
2z
6.
Система имеет единственное решение: x 6, y 4, z 3 .
Следовательно,
d 6a 4b 3c .
◄
1.8. Задачи для самостоятельной работы
В следующих задачах выполнить действия над векторами.
1.1. a 1;0;7 , b 4;5;0 . Вычислить 2a 3b .
1; 2;3 . Вычислить 3a 2b .
1.2. a
2;1;6 , b
1.3. a
2i 3 j 5k , b
1.4. a
3i
2 j 6k , b
1.5. a
1; 2;3 , b
2i
1.6. a
3; 2;1 , b
i
2i
2 j 6k . Вычислить 4a b .
5i
j
k . Вычислить 5a 2b .
j
j
2k . Вычислить 3a 4b .
2k . Вычислить 3a b .
1.7. Даны точки A(1;2;3) , В
1;1; 1 и C
0;0;1 . Вычислить 2 AB 3BC .
1.8. Даны точки A(1; 1;1) , В
2;1; 2 и C
3;0;2 . Вычислить 4 AB 2CB .
1.9. Даны точки A(2;1; 1) , В
AB BC CD DA .
1.10. Даны точки A(1; 1; 2) , В
1;2; 1 , C
3;2; 1 , C
2;1;3 и D
2;1;3 и D
(1; 2;4) . Вычислить
(1;1;2) . Вычислить
AB 2BC 3CD 4DA .
В следующих задачах вычислить длину указанного вектора и его направляющие
косинусы.
2;1;2 . 1.13. a 3i 4 j . 1.14. a
1.11. a 1;1;1 . . 1.12. a
3i 4k .
В следующих задачах найти значения параметров p и q , при которых заданные
векторы коллинеарны.
2i q j 8k . 1.16. a 3i p j 6k , b 4i 2 j q k .
1.15. a pi 2 j 4k , b
1.17. a i 2 j p k , b qi 5 j 2k .1.18. a 6i p j 3k , b qi j 4k .
В следующих задачах вычислить скалярное произведение векторов.
2;1;2 , b
2i 2 j 3k . 1.20. a i 2 j 3k , b 3i 5 j 2k .
1.19. a
2i 2 j 6k . 1.22. a
3i 2 j 6k , b 2i j 4k .
1.21. a 3i 4 j , b
В следующих задачах точки A , В , C и D - последовательные вершины
выпуклого четырехугольника. Определить вид четырехугольника.
1.23. A( 1;3; 3) , В
1;3;0 , C
1;6;0 , D ( 1;6; 3) .
1.24. A( 1;1; 4) , В
1;1; 2 , C
1;3;2 , D ( 1;3; 4) .
1.25. A(1;2;1) , В 2;4;0 , C 4;5;1 , D (3;3;2) .
1.26. A( 1; 1; 4) , В 1;2;4 , C 2;0;3 , D (0; 1;0) .
1.27. A(1;1;1) , В 2; 1;0 , C 6;1;3 , D (5;3;4) .
1.28. A(3;2;1) , В 4;4;0 , C 8;6;3 , D (7;4;4) .
1.29. A(1;2;2) , В 2;2;0 , C 3;4;3 , D (3;6;8) .
1.30. A(1; 1;0) , В 1; 1;1 , C 7;3;3 , D (10;5;3) .
Ответы
1.1. 14;15;14 . 1.2.
1.6. 10; 7;5 . 1.7.
4;7;12 . 1.3 10;10; 14 . 1.4. 29;10; 26 . 1.5. 1; 8;13 .
7;1; 14 . 1.8. 2;10; 20 . 1.9. (0;0;0) . 1.10. 21;7; 6 .
1.11. 3 ,1 3 ,1 3 ,1 3 . 1.12. 3, 2 3,1 3, 2 3 . 1.13. 5, 3 5, 4 5, 0 . 1.14. 5, 3 5, 0, 4 5 .
3 2 , q 8 1.17. p
4 5, q
5 2 . 1.18. p 3 4 , q
5 2.
1.15. p 1, q
4 . 1.16. p
1.19. 12. 1.20. -1. 1.21. 2. 1.22. -32. 1.23. Квадрат. 1.24. Квадрат. 1.25. Ромб. 1.26. Ромб.
1.27. Параллелограмм. 1.28. Параллелограмм. 1.29. Трапеция. 1.30. Трапеция.