Запишем приращения функций вдоль направления

Запишем приращения функций χ
ψ вдоль направления, определённого
дифференциалами dx и dy:
∂χ
∂χ
⋅ dx +
⋅ dy = dχ
∂x
dy
∂ϕ
∂ϕ
⋅ dx +
⋅ dy = dϕ
∂x
∂y
Введём новые функции ξ и η следующим образом: ξ = χ + ϕ , η = χ − ϕ .
Тогда ϕ =12 (ξ − η ) , χ =12 (ξ + η ). Подставим эти выражения в последние две
системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:
∂ξ
∂ϕ
+ tg (ϕ + π4 ) ⋅
= 0,
∂x
∂y
∂η
∂η
+ tg (ϕ + π4 ) ⋅
= 0,
∂x
∂y
∂ξ
∂ξ
dy +
dx = dξ ,
(9.4)
∂y
∂x
∂η
∂η
dy +
dx = dη.
∂y
∂x
Однако система не распадается на две, для функций ξ и η , так как в
аргумент тангенса входит функция ϕ , которая выражается через ξ и η .
Получим уравнения характеристик для системы (9.4) . Напомним что
характеристика –это линия вдоль которой приращение функции равно нулю.
Эквивалентное этому определение формулируется так: характеристика
является линией, вдоль которой частные производные имеют неопределённость
вида 0/0.
Домножим первое уравнение системы (9.4) на dx и вычтем из третьего:
∂ξ
tg (ϕ + π4 )dx − dy = dξ .
∂y
∂ξ
Чтобы удовлетворить определению характеристики производная
должна
∂y
иметь неопределённость вида 0/0. Отсюда потребуем, чтобы dξ = 0 и
dy
tg (ϕ + π4 )dx − dy = 0. Отсюда получаем уравнение характеристик
= tg (ϕ + π4 )
dx
и условия на них: ξ = Const (9.5’)
Проводя аналогичные действия со вторым и четвёртыми уравнениями системы,
получаем характеристики другого свойства:
dy
= tg (ϕ − π4 ) , на которых выполняется η = Const (9.5``)
dx
Итак, вся плоскость покрывается характеристиками двух семейств:
первое семейство – характеристики, на которых η = Const , второе семейство ξ = Const . Причём из уравнений характеристик видно, что они пересекаются
под прямым углом.
Если в выражение для напряжений в повёрнутой системе координат (формула
9.2) подставить угол наклона характеристик первого семейства (α = ϕ − π4 ) , то
[
[
]
]
получиться:
σ =σ
t
текучести на сдвиг.
n
= k ⋅ 2 χ ; τ tn = k , где к, как уже говорилось предел
То есть если рассмотреть элемент,
вырезанный характеристиками, то на него
действуют напряжение сжатия, равные
к2x, и напряжения чистого сдвига, равные
к, что и изображено на рис 11.1.
рис 11.1.
Теперь возникает следующий вопрос: как ставить граничные условия?
Пусть на плоскости x-y линией L, задана
область пластичности тела. На
поверхности (т.е. на границе области, на
линии L ) задан вектор нагрузки, то есть
известны его нормальная и касательная
0
0
компоненты, σ n и τ n соответственно
(рис 11.2). Тогда, согласно формулам
(9.2), эти величины можно записать так:
σ
τ
0
n
= k [2 χ `− cos( 2ω `)],
0
= k ⋅ sin( 2ω `),
n
где введено
обозначение ω `= ϕ `−α .
рис 11.2
χ ` и ϕ `= ω `+α и являются граничными условиями для функций χ и ϕ .
Представим заданную величину τ n в следующем виде: τ n = k sin δ . Так
0
0
приравнивая два выражения для τ n получаем: sin δ = sin 2ω `, откуда первый
0
корень 2ω `= δ . Следовательно:
ϕ `=
δ
2
+ α , 2χ =
σ n0
k
+ cos δ . Таким
образом функции χ и ϕ известны, следовательно известны напряжения в
плоском пластическом деформированном состоянии.
Однако очевидно, что есть и другое решение: sin δ = sin(π − 2ω `), тогда
2ω `= π − δ . Изменяться и граничные условия:
ϕ ``=
π
2
+α +
δ
2
,
2 χ ``= σ
k
0
n
− cos δ . Из этого примера видно , что если в
пластичном случае заданы внешние нагрузки, то это ещё не позволяет
однозначно определить напряжённое состояние. Поясним этот факт на кругах
Мора (рис. 11.3).
Через точку, отвечающую некоторым
напряжениям σ n и τ n , можно
провести две окружности Мора.
Центры этих окружностей не
совпадают, то есть для одних и тех же
нормальных и касательных напряжений
математически возможны совершенно
разные напряжения всестороннего
сжатия, главные напряжения. Вопрос,
какое из решений надо отбросить, а
какое оставить, требует привлечения
физических рассуждений.
Краевые задачи.
Теперь рассмотрим алгоритмы численного решения краевых задач.
Начнём с задачи Коши. На кривой L в
плоскости x-y заданы граничные
напряжения как функции величины ζ
(например длинны кривой L):
= n (ζ ), n = n (ζ ). Построим
n
σ σ
τ τ
решение в характеристическом
треугольнике, образованном линией L и
характеристиками, проведёнными из
концов лини L. (рис. 11.4). Так как
граничные напряжения заданы, то в
каждой точке линии L, известны
функции χ и ϕ : χ = χ (ζ ), ϕ = ϕ (ζ ).
Разобьём линию L на малые отрезки, их границы будем обозначать двойными
номерами: 0.0, 0.1, 0.2, и т.д. Из каждой такой точки выпустим характеристики
первого и второго семейств. Получившиеся точки пересечения занумеруем
аналогичным образом: 1.0, 1.1, 1.2, и т.д. Итак, на первом слое (линия L)
известны функции χ и ϕ . Определим их значения на следующем слое (точки
1.0, 1.1, 1.2,…). Так как эти точки образованы пересечением характеристик, то
для них, очевидно, выполняются равенства (например для точки 1.0):
ξ
1.0
= ξ , η = η . Вспоминая как связаны функция ϕ c ξ и η и функция
0.0
1.0
0.1
χ c ξ и η , находим:
1
1
(ξ − η ) и χ = (ξ +η ) . Аналогично поступаем с другими
0
.
0
0
.
1
1
.
0
0 .1
2
2 0 .0
точками слоя, затем переходим на следующий слой и так далее. В результате
решение во всём характеристическом треугольнике.
Следующая задача – характеристическая, то есть задача в которой граничные
условия заданы вдоль двух характеристик. (рис.11.5) Другими словами нам
и как
известно как изменяется величина ξ вдоль характеристики η =
ϕ
1 .0
=
изменяется η вдоль характеристики ξ =
ξ
η
0
0
.
Разбиваем характеристики отрезками,
в концах которых значения ξ и η
естественно известны. Построение
решения начинаем из угловой точки.
Так как в данном случае пересекаются
под прямым углом, то
перпендикуляры восстановленные из
точек 1.0 и 0.1 и будут
характеристиками. В полученной
точке 1.1 известны ξ и η , а
следовательно и ϕ :
1
ϕ 1.1 = 2 (ξ 0.1 −η1.0). Зная 1.1 можно
продолжить характеристику далее- в
точку 1.2 и так далее.
ϕ
рис 11.5
Последний тип краевых задач – смешанная задача. В этом случае, в отличие от
предыдущего, условия задаются только вдоль одной характеристики (например
вдоль η = Const ).
На линии L, которая в данной задаче
лежит внутри характеристического угла
(11.6), задаётся связь η = η (ξ ) . Опять
разбиваем характеристику:
ξ ,ξ
0.1
0.2
,.... .
Из точки 0.1 восстанавливаем
перпендикуляр до пересечения с L. В
полученной точке известны ξ и η :
ξ
1.0
=ξ ,
0.1
η
1.0
= η (ξ ) . Из точки 1.0
0.1
проводим характеристику. Таким
образом, в точке 1.2 решается уже
характеристическая задача. Точка 2.2
строится аналогично точке 1.0 и т.д.
Рис. 11.6
Уравнения для скоростей.
Хотя рассматриваемая задача является статически определимой, рассмотрим
скорости деформаций. Как известно, в теории пластического течения скорости
деформаций связаны с девиатором напряжений формулой: η ≡ ε• i , j = λ ⋅ζ .
i, j
i, j
Обозначим скорости смещения вдоль осей X и Y через u и v собственно. Выше
было выяснено, что в тензоре скоростей деформаций остаётся только три
компоненты; запишем их через скорости смещений, а также через напряжения:
∂u
ε⋅ x = ∂x = λ ⋅ (σ x − σ ),
∂v
ε⋅ y = ∂y = λ ⋅ (σ y − σ ),
γ⋅ xy = 12 ( ∂∂uy + ∂∂vx ) = λ ⋅τ xy .
С помощью формул (9.1) исключим из этих равенств λ . Для этого поделим
почленно первое и третье уравнения, подставим σ x и τ xy из (9.1) и вспомним
как вводилась функция χ :
∂u
σ − σ k ⋅ 2 χ + k cos(2ϕ ) − σ
∂x
.
= x
=
1 ∂u ∂v
k sin( 2ϕ )
τ xy
( + )
2 ∂y ∂x
Проделав аналогичную оперрацию со вторым и третьим уравнениями получим:
∂v
1 ∂u ∂v
sin( 2ϕ ) = − ( + ) ⋅ cos(2ϕ ).
∂y
2 ∂y ∂x
Таким образом получена система для скоростей:
∂u
∂u ∂v
− ctg (2ϕ ) ⋅ ( + ) = 0,
∂x
∂y ∂x
(10.1)
∂v
∂u ∂v
2 + ctg (2ϕ ) ⋅ ( + ) = 0.
∂y
∂y ∂x
Так как угол ϕ может быть найден из решения статически определимой задачи
в напряжениях, то система (10.1) становиться линейной.
2
Введём новую систему координат
ζ − ζ , повёрнутую относительно XY
1
2
на некоторый угол α (рис. 17.7). В новых
координатах система (10.1) перепишется:
∂
∂
∂
2 ⋅ u1 − ctg (2ϕ − α ) ⋅ ( u1 + u 2 ) = 0,
∂ζ
∂ζ
∂ζ
1
2⋅
∂ u2
∂ζ
2
2
+ ctg (2ϕ − α ) ⋅ (
∂ u1
∂ζ
2
1
+
∂ u2
∂ζ
) = 0.
1
Совместим ось ζ с направлением характеристик первого семейства, ось ζ
1
2
при этом автоматически совпадает с направлением второго семейства, т.к.
характеристики ортогональны. Переобозначим:
ζ 1 = ζ η , ζ 2 = ζ ξ , u1 = u n , u 2 = uξ . Но в этом случае α = ϕ − π4 . Подставляем
∂ uη
∂ uξ
∂ uη
∂ uξ
эти значения в систему:
= 0,
= 0, а производные
и
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
η
ξ
ξ
η
определить из системы нельзя.
Запишем теперь уравнения для скоростей вдоль характеристик. В качестве
параметра будем использовать угол наклона.
Рассмотрим характеристику первого
семейства, η = Const (рис. 11.8). В
некоторой точке она наклонена под
углом к оси х; нормальная и
касательная скорости U ξ и U η
соответственно.В некоторой близкой
точке угол наклона уже другой:
π
ϕ − + dϕ . Изменятся и компоненты
4
скорости: касательная - U η + dU η ,
нормальная - U ξ + dU ξ .
Легко сообразить, что направление нормальной компоненты скорости
отличается от первоначального на угол dϕ . Касательная скорость вдоль
∂ uη
характеристики не изменяется
= 0 ; запишем этот факт:
∂ζ
η
(U η + dU η ) cos( dϕ ) + (U ξ + dU ξ ) sin( dϕ ) − U η = 0.
Воспользовавшись малостью угла dϕ и пренебрегая произведением
дифференциалов получим:
(10.2)
dU η = U ξ ⋅ dϕ вдоль характеристики η = Const ,
dU ξ = −U η ⋅ dϕ вдоль характеристики ξ = Const .
Второе равенство получается аналогично первому при рассмотрении
характеристики второго семейства.
Линии разрыва скоростей.
Будем рассматривать материал несжимаемый в пластичном состоянии.
Итак, в теле есть некоторая линия L, на
которой скорость терпит разрыв (рис
11.9). Очевидно, разрыв терпят только
касательная и линии составляющая
скорости, в противном случае линия
перемещалась бы в теле. Значит “+” и “-”
будем обозначать величины по разные
стороны линии разрыва, а сам разрыв
будем обозначать, как это принято,
квадратными скобками:
Тогда
+
−
vn − vn ≡
[v n] .
+
−
[v n] = 0 ,[vt] = Δ v , где Δ v +
+
−
−
t
t
некоторая конечная величина.
∂
∂
Скорости деформаций в системе координат t-n: ε• n = vn , ε• t = vt ,
∂n
∂t
∂
∂
∂
γ• tn = 12 ( ∂vn t + ∂vt n ). Производная ∂vnn - непрерывна, так же считаем
∂
∂
непрерывной и vt . Рассмотрим vt . Выделим слой толщиной δ вдоль линии
∂t
∂n
L, тогда
∂ vt
∝
Δ vt
.В пределе, при дельта стремящемся к нулю, это отношение
∂n
δ
• .
стремиться к бесконечности, следовательно, стремиться к бесконечности и
γ
tn
Возвратимся к формулам (5.8) теории течения. Из них следует:
ε⋅
η
ση −σ
=
ε⋅
t
σt −σ
γ⋅
=
τ
tη
=λ =
tn
H
. Последнее равенство очевидно, если
k
вспомнить условие пластичности Мизеса. Распишем интенсивность скоростей
деформации: H =
Так как τ tn =
γ⋅
tn
k γ⋅
1
2
ε⋅ ε⋅
ij
ij
=
1 ⋅2
(
+
2 εn
ε⋅ ) + γ⋅
2
2
t
tn
=
γ⋅
( ε⋅n +
2
tn
1+ (
2
γ⋅
ε⋅ ) )
2
t
tn
tn
, то подставляя в эту формулу H, легко видеть, что при
H
→ ∞ или, что то же самое при δ → 0, τ tn → k . Итак на линии разрыва
скоростей касательные напряжения постоянны и равны пределу текучести.
Следовательно линия разрыва скоростей обязательно является характеристикой.
Пусть линя разрыва совпадает с характеристикой η = Const . Запишем
уравнение для скоростей в этом случае (формулы 10.2): dU η = U ξ ⋅ dϕ , причём
U ξ - неразрывна, т.е.
[Uξ ]
+
−
= 0 . Интегрируем (10.2): U η = ∫ U ξ ⋅ dϕ + c , с-
константа интегрирования, откуда, в силу неразрывности U ξ , получаем:
[Uη ] = [c]
+
+
−
−
. Последнее равенство утверждает, что на линии разрыва
скоростей разрыв касательной компоненты скорости постоянен.