Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I Ëèñòîê 20 1) Äëÿ ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ôóíêöèé îòâåòüòå íà âîïðîñû: â êàêèõ òî÷êàõ ó ôóíêöèè f : R2 → R åñòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå? ïðîèçâîäíàÿ ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ? ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ? √ à) f (x) = 3 xy ; √ á) f (x) = 3 x3 + y 3 ; 2 2 â) f (x) = ey −1/x . 2) Ïóñòü f (x, y) = x2 + 4y 2 . à) Äîêàæèòå, ÷òî f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ R2 → R. á) Íàðèñóéòå ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè f (òî åñòü ìíîæåñòâà âèäà {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = c} äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé êîíñòàíòû c. â) Óáåäèòåñü, ÷òî âî âñåõ òî÷êàõ (x, y) ̸= (0, 0) ãðàäèåíò ôóíêöèè f ïåðïåíäèêóëÿðåí åå ëèíèè óðîâíÿ. ã) Íàðèñóéòå ãðàôèê ôóíêöèè f . 3) Ïóñòü F : (R2 \{(0, 0)} → R2 îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì (x, y) òî÷êè íà ïëîñêîñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (r, φ) òîé æå òî÷êè, è ïóñòü G : (0, +∞) × [0, 2π) → R2 îáðàòíîå îòîáðàæåíèå (ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (r, φ) òî÷êè íà ïëîñêîñòè äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x, y) òîé æå òî÷êè). à) Íàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò r(x, y) è φ(x, y) ôóíêöèè F è âû÷èñëèòå åå ìàòðèöó ßêîáè A(x, y). á) Íàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò x(r, φ) è y(r, φ) ôóíêöèè G è âû÷èñëèòå åå ìàòðèöó ßêîáè B(r, φ). â) Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ßêîáè B(F (x, y))A(x, y) è A(G(r, φ))B(r, φ). 4) Ïóñòü ôóíêöèè φ : R2 → R3 , φ : (x, y) 7→ (u, v, w), è h : R2 → R2 , h : (p, q) 7→ (x, y), çàäàíû ôîðìóëàìè: 2 { u = x − 3xy, x = cos p + q, h: φ : v = xy, y = sin(p2 − q) + 2. w = x − y 2 ; Íàéäèòå ìàòðèöû ßêîáè äëÿ φ, h, φ◦h è ïðîâåðüòå ôîðìóëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ êîìïîçèöèè. 5) Ïóñòü w = f (z) ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, îïðåäåëåííàÿ è äèôôåðåíöèðóåìàÿ â îáëàñòè D ⊆ C. Îòîæäåñòâèì C ñ R2 (òî÷êà z ∈ C îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ òî÷êîé (x, y) ∈ R2 , ãäå x = Re z , y = Im z ). Ðàññìîòðèì âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè ýòîé ôóíêöèè êàê ôóíêöèè îò âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé àðãóìåíòà: f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Òàêèì îáðàçîì, ó íàñ ïîëó÷èëàñü ôóíêöèÿ F : D → R2 , F : (x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y)) (ïîñëå îòîæäåñòâëåíèÿ C ñ R2 ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü D êàê îáëàñòü â R2 ). à) Íàïèøèòå ôóíêöèè u(x, y) è v(x, y) äëÿ f (z) = z 3 ; f (z) = ez ; f (z) = 21 (z + z1 ). á) Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ F : D → R2 äèôôåðåíöèðóåìà (êàê ôóíêöèÿ äâóõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ). â) Äîêàæèòå, ÷òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå êîìïîíåíò u è v ôóíêöèè F óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Êîøè Ðèìàíà : ∂u ∂v = ; ∂x ∂y ∂u ∂v =− . ∂y ∂x 6) Ïóñòü D ⊆ R2 îáëàñòü, è ïóñòü ôóíêöèÿ F : D → R2 , F : (x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y)), äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå (x0 , y0 ) ∈ D. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî f ôîðìóëîé f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà (â êîìïëåêñíîì ñìûñëå) â òî÷êå z0 = x0 + iy0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ýòîé òî÷êå âûïîëíåíû óñëîâèÿ Êîøè Ðèìàíà.