Влияние пространственного заряда

ВЛИЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
До сих пор проблема устойчивости рассматривалась для одной
частицы, в действительности же следует учитывать взаимодействие частиц
пучка друг с другом. В качестве примера влияния собственных полей
рассмотрим синхрофазотрон без прямолинейных промежутков и равновесной
орбитой радиуса r. Будем считать, что сечение пучка имеет форму круга
радиуса a
r . Предположим, что частицы равномерно распределены по
всему сечению пучка и δ – число ионов в единице объема. При этих
предположениях полный заряд системы равен
Q  2 r a 2 .
(4.44)
На каждую частицу действует сила, стремящаяся оттолкнуть частицу от оси,
причем данная сила создается только теми частицами, которые ближе к оси,
нежели рассматриваемая. Внутренний заряд, приходящийся на единицу
длины и создающий данную силу есть
Q   y 2q ,
(4.45)
где y – расстояние от оси, до рассматриваемой частицы. Выражая из (4.44)
объемную плотность ионов и подставляя в (4.45) получаем
2
Q  y
Q 
  .
2 r  a 
(4.46)
Поскольку радиус равновесной орбиты много больше радиуса пучка можно
считать, что заряд распределен по поверхности бесконечно длинного
прямолинейного цилиндра радиуса y. По теореме Гаусса напряженность поля
на поверхности такого цилиндра E  Q 2 yk , где k - диэлектрическая
проницаемость вакуума. Таким образом, сила, действующая на заряд, равна
F1  qE 
Qqy
.
4 2 ra 2 k
(4.47)
Помимо электрического поля, на частицы действует магнитное поле,
создаваемое движущимися зарядами пучка, находящимися также ближе к
оси. Ток такого пучка
I   y 2q c .
(4.48)
Опять же будем считать, что ток течет по цилиндру, тогда магнитное поле на
радиусе y есть
B
0 I 0 yQ c

.
2 y 4 2 ra 2
(4.49)
Полная сила, действующая на частицу
Qyqc 2 0
F  F1  q cB 
1  2  .
2
2 
4 ra
(4.50)
Если параметр y положить равным вертикальному смещению z частицы
от оси, то в уравнение вертикального движения появится дополнительная
сила
mz  m 2nz  F .
(4.51)
Поделим уравнение (4.51) на массу
z   2  n  dn  z  0 ,
(;.52)
где
dn 
Qqrc 2 0 2
   1
4 2 a 2 E
(4.53)
изменение эффективного показателя спада магнитного поля, создаваемое
пространственным зарядом. Если обозначить через  z частоту вертикальных
колебаний при наличии пространственного заряда, а через  z 0 при его
отсутствии, то получим
 z2   z20  dn .
Проводя
(4.54)
аналогичные
рассуждения
для
радиальных
колебаний
получаем
 x2   x20  dn .
(4.55)
Откуда получаем
 z2  x2   z20  x20 .
(4.56)
Выражение (4.56) позволяет оценить влияние пространственного заряда.
Например, для синхрофазотрона с показателем спада магнитного поля n=0,67
значения
частот
бетатронных
колебаний
равны
 z20  n  0,67
и
 z20  1  n  0,33 , поэтому (4.56) принимает вид  z2  x2  0.34 . Если
предположить, что при прохождении области резонансов, соответствующих
любой из резонансных линий, пересекающих эту кривую, будут происходить
значительные потери пучка, то на пространственный заряд накладываются
ограничения. Он не должен быть настолько велик, чтобы смещать рабочую
точку от заданного значения (n=0.67) до положения любого резонанса. Даже
если при инжекции рабочая точка лежит между двумя резонансами, то
поскольку влияние пространственного заряда по мере возрастания энергии
уменьшается, рабочая точка может пересекать резонансы. Предел по
пространственному
заряду
при
инжекции
достигается,
когда
заряд
инжектируемого пучка таков, что рабочая точка смещается к ближайшему
резонансу.
Для нахождения числа N инжектируемых частиц, положим N=Q/q и из
(4.53) получаем
4 2 a 2 E  2
N 2
dn .
q r 0c 2 1   2 
(4.57)
Приведенный анализ в значительной степени идеализирован, так как
поперечное сечение пучка не имеет форму круга. Однако, учет формы пучка
и наличия прямолинейных промежутков не сильно сказывается на
предельном значении тока инжекции. В любом случае, как видно из (4.57)
желаема как можно большая энергия инжекции.