Топология, лекция 4: Пространства с внутренней метрикой

Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Топология, лекция 4:
Пространства с внутренней метрикой
Миша Вербицкий
27 апреля, 2012
матфак ВШЭ
1
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Расстояние Хаусдорфа (повторение)
Определение: Подмножество Z ⊂ M называется ограниченным, если
оно содержится в шаре BC (x).
Определение: ε-окрестность Z ⊂ M - объединение всех Bε(x), для x ∈
Z. Обозначим ее за Z(ε).
Определение: Пусть Z1, Z2 - замкнутые, ограниченные подмножества
M . Определим расстояние Хаусдорфа dH (Z1, Z2) как инфимум всех ε
таких, что Z1 ⊂ Z2(ε), Z2 ⊂ Z1(ε)
Утверждение: dH задает метрику на множестве замкнутых, ограниченных подмножеств.
2
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
ε-сети (повторение).
Определение: Пусть M - метрическое пространство, ε > 0. Подмножество V ⊂ M называется ε-сетью, если верно любое из следующих
равносильных утверждений.
• Для любой точки m ∈ M , есть v ∈ V такая, что d(v, m) < ε.
• V (ε) = M
• dH (M, V ) < ε
Теорема
Пусть M - полное метрическое пространство. M компактно тогда и
только тогда, когда для каждого ε > 0 в M есть конечная ε-сеть.
3
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Предел компактов в полном метрическом пространстве
Теорема: Пусть {Zi} - последовательность компактных подмножеств в
полном метрическом пространстве M . Предположим, что {Zi} - последовательность Коши в метрике Хаусдорфа, а Z ее предел. Тогда Z тоже
компактно.
Доказательство: Построим в Z конечную 3ε-сеть, для любого наперед
заданного значения ε.
Шаг 1. Пусть x0, ..., xk - конечная ε-сеть в Zi, а dH (Z, Zi) < ε. Возьмем
в Z точки z0, ..., zk такие, что d(xi, zi) < ε (они существуют, потому что
dH (Z, Zi) < ε).
Мы докажем, что V := {zi} это 3ε-сеть в Z.
Шаг 2. V (ε) содержит {x0, ..., xk }
Шаг 3. V (2ε) ⊃ V (ε)(ε) содержит Zi.
Шаг 4. V (3ε) ⊃ V (2ε)(ε) содержит Zi(ε) ⊃ Z. Мы доказали, что V –
это конечная 3ε-сеть.
4
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Пути в метрическом пространстве.
Определение: Пусть M метрическое пространство, а γ : [0, α] → M непрерывное отображение. Тогда γ называется путем из γ(0) в γ(α), а
γ(0) и γ(α) - началом и концом.
Рассмотрим разбиение отрезка [0, α] в объединение меньших отрезочков,
[0, α] = [0, 1] ∪ [x1, x2] ∪ ... ∪ [xn−1, α]. Обозначим x0 := 0, xn := α. Пусть
Lγ (x1, ...xn−1) =
n−1
X
d(xi, xi+1).
i=0
Определение: Длиной пути γ называется супремум
L(γ) :=
sup
x1 ,...,xn−1
Lγ (x1, ...xn−1),
взятый по всем разбиениям отрезка.
Замечание: L(γ) 6 d(γ(0), γ(α)).
Для C-липшицева пути γ : [0, α] → M длина γ не превосходит Cα.
5
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Внутренняя метрика
Пусть M - метрическое пространство такое, что любые две точки могут
быть соединены путем конечной длины. Тогда
dinner (x, y) := inf {L(γ) |
γ
γ соединяет x и y}
УПРАЖНЕНИЕ: Докажите, что это метрика.
Определение: Такая метрика называется внутренней метрикой на M .
Пространство с внутренней метрикой – такое пространство (M, d),
что dinner = d.
Замечание: Если dinner определена, то (M, dinner ) - пространство с
внутренней метрикой, потому что
Linner (γ) = L(γ) :
(оба числа получены супремумом по одному и тому же множеству разбиений пути в отрезки).
6
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Финслеровы и римановы метрики
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть задана неотрицательная, непрерывная функция ν, переводящая каждый касательный вектор v ∈ TmRn в число (можно
ν
считать ее функцией на Rn × Rn → R>0). Она называется финслеровой
формой,
если для каждого касательного пространства TmRn, ограниче
это норма, и римановой формой, если эта норма имеет вид
ние ν Tm Rn
q
ν(x) = g(x, x), где g(x, x) есть квадратичная форма на TmRn.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Зафиксируем финслерову форму ν, и определим длину гладкого пути γ : [0, 1] → Rn формулой
L(γ) =
Z 1
0
ν(γ 0(t))dt.
Для кусочно-гладкого пути γ, состоящего из фрагментов γ1, ..., γn, опреP
делим L(γ) := i L(γi). Зададим метрику dν на Rn формулой dν (x, y) :=
inf γ L(γ), где инфинум берется по всем кусочно-гладким путям, соединяющим x и y. Такая метрика называется финслеровой метрикой (римановой, если ν – риманова форма).
УПРАЖНЕНИЕ: Докажите, что это действительно метрика.
ЗАМЕЧАНИЕ: Эта метрика очевидно внутренняя (проверьте это).
7
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Условие Хопфа-Ринова.
Утверждение: Пусть M - пространство с внутренней метрикой. Для
любых точек x, y ∈ M , и любого положительного r < d(x, y), имеем
d(y, Br (x)) = d(x, y) − r.
Это равенство называется условие Хопфа-Ринова.
Доказательство:
Пусть γ : [0, 1] → M – путь из x в y, длины d(x, y) + ε. Тогда для любой
точки z на образе γ, выполнено
d(x, z) + d(z, y) 6 d(x, y) + ε,
(∗)
по определению L(γ).
Возьмем t0 такой, что d(x, z) = r, для z = γ(t0). Получаем из (*):
d(z, y) 6 d(x, y) − r + ε.
Условие Хопфа-Ринова доказано.
Замечание:
В Q условие Хопфа-Ринова выполняется, а метрика не внутренняя.
8
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Замкнутые шары и условие Хопфа-Ринова
Определение
B̄r (x) := {y ∈ M | d(x, y) 6 r}
называется замкнутый шар.
УТВЕРЖДЕНИЕ: Если выполнено условие Хопфа-Ринова, то
dH (Br (x), Br+ε(x)) 6 ε.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Для каждой точки z ∈ Br+ε(x), d(z, Br (x)) 6 ε,
в силу Хопфа-Ринова. Значит z лежит в Br (x)(ε). Получаем Br+ε(x) ⊂
Br (x)(ε). Включение Br (x) ⊂ Br+ε(x)(ε) есть тавтология.
СЛЕДСТВИЕ: B̄r (x) – замыкание Br (x).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Br (x) = r0<r B̄r0 (x), а dH (B̄r (x), B̄r0 )(x) 6 |r − r0|,
значит, расстояние Хаусдорфа между B̄r (x) и Br (x) равно нулю.
S
9
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Теорема Хопфа-Ринова (часть 1).
Определение:
Метрическое пространство называется локально компактным, если для
каждого x ∈ M найдется r > 0 такое, что шар B̄r (x) компактен.
Предостережение.
Не любое полное метрическое пространство локально компактно.
Теорема: Пусть M - локально компактное метрическое пространство с
условием Хопфа-Ринова. Тогда следующие утверждения равносильны:
1. M полно.
2. Любое замкнутое, ограниченное подмножество M компактно.
Замечание: Из условия 2 сразу следует полнота (докажите это).
10
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Теорема Хопфа-Ринова, часть 1: доказательство.
Шаг 1. Достаточно доказать, что любой замкнутый шар в M компактен.
Предположим, что есть некомпактный замкнутый шар.
Шаг 2. Рассмотрим функцию ρ : M → R,
ρ(x) := sup{ρ ∈ R | B̄ρ(x) компактен}.
ρ
Она конечна и 1-липшицева, значит непрерывна.
Шаг 3. Шар Z := B̄ρ(x)(x) является пределом компактов в смысле метрики Громова-Хаусдорфа. Поэтому он компактен. Пусть 3ε – минимум
функции ρ на Z.
Шаг 4. Возьмем в Z конечную ε-сеть V = {xi}. Поскольку V (ε) = Z,
имеем
V (2ε) = Z(ε) = B̄ρ(x)+ε(x).
Поэтому шар B̄ρ(x)+ε(x) лежит в конечном объединении компактных шаров B̄3ε(xi) ⇒ B̄ρ(x)+ε(x) компактен.
11
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Геодезические в метрическом пространстве
Определение: Непрерывное отображение γ : [0, α] → M называется кратчайшей, если его длина равна d(γ(0), γ(α)).
Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.
Определение: Если ϕ : [0, α] → [0, α] – гомеоморфизм, а γ - путь из
x в y, композиция ϕ ◦ γ - тоже путь из x в y. Такой путь называется
репараметризацией γ.
Параметризация γ – выбор пути в классе путей, эквивалентных с точностью до репараметризации.
Определение: Пусть γ : [0, α] → M - кратчайшая, соединяющая x и y,
причем
d(γ(x), γ(y)) = |x − y|.
Такая кратчайшая называется кратчайшей геодезической, а соответствующая параметризация - геодезической параметризацией.
12
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Существование геодезической параметризации.
Утверждение: Пусть γ : [0, α] → M - кратчайшая, соединяющая x и y,
причем d(x, y) = α. Тогда у γ существует геодезическая параметризация.
Эвристический аргумент. Представьте себе велосипедиста, который едет по дороге с переменной скоростью. Пусть γ(t) - координата велосипедиста. Возьмем вместо
t расстояние, которое велосипедист уже проехал.
Шаг 1. Лемма:
Непрерывная биекция из отрезка в отрезок – это гомеоморфизм.
Шаг 2. Рассмотрим отображение
ϕ : [0, α] → [0, α],
ϕ(t) = d(x, γ(t)).
Оно непрерывно.
Шаг 3. Оно монотоно растет (каждый отрезок кратчайшей - кратчайшая). Следовательно, биективно, а поэтому ϕ – гомеоморфизм.
Шаг 4. γ 0 = ϕ−1 ◦ γ - геодезическая параметризация.
13
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Tеорема Хопфа-Ринова, часть 2.
Отметим, что геодезическая кратчайшая задается изометрическим
вложением из отрезка в M .
Теорема. Пусть M - локально компактное, полное метрическое пространство с условием Хопфа-Ринова, а x0, x1 ∈ M произвольные точки, с d(x0, x1) = α. Тогда существует кратчайшая геодезическая,
соединяющая x0 и x1. В частности, M является пространством с
внутренней метрикой.
Доказательство. Шаг 1: В силу компактности, в шаре B̄α/2(x1) есть
точка x1/2 такая, что d(x0, x1/2) = d(x1/2, x1) = α/2. В самом деле,
функция d(·, x0) : B̄α/2(x1) → R непрерывная на компакте, значит, достигает минимума, который равен d(x0, B̄α/2(x1)) = α/2 по условию ХопфаРинова.
Шаг 2: Воспользовавшись индукцией, для каждого двоично-рационального
числа λ = nk в [0, 1] найдем точку xλ, такую, что d(xλ, xµ) = α|λ − µ|.
2
Шаг 3: Мы получили изометрическое вложение множества двоичнорациональных чисел в M . Продолжим на пополнение, получим геодезическую.
14
Топология, первый курс, четвертый модуль
М. Вербицкий
Heinz Hopf
(1894-1971)
15