Выпуск 3 (31) - Пермский государственный университет

2015
Выпуск 3 (31)
ISSN 1994-3598
Вестник Пермского университета
Серия: Физика
Научный журнал
Основан в 1994 г.
Выходит 3 раза в год
2015. Выпуск 3 (31)
Учредитель: Пермский государственный национальный исследовательский университет
Журнал «Вестник Пермского университета. Серия: Физика» публикует новые экспериментальные и
теоретические результаты исследований в области физики конденсированного состояния вещества,
механики жидкости и газа, радиоспектроскопии и автоматизации физического эксперимента, отражающие сложившиеся на физическом факультете научные направления. В журнал принимаются оригинальные научные статьи, обзоры актуальных проблем и краткие сообщения на русском и английском языках, ранее не публиковавшиеся и не представленные для публикации в других изданиях.
Материалы, поступающие в редакцию, проходят независимое рецензирование.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
В. Я. Баянкин, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Ижевск, Физико-технический институт УрО РАН)
А. Н. Захлевных, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Пермь, ПГНИУ)
В. Г. Козлов, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Пермь, ПГГПУ)
И. Ю. Макарихин, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Пермь, ПГНИУ)
С. О. Макаров, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Пермь, ПГНИУ)
А. Ф. Пшеничников, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН)
Ю. Л. Райхер, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН)
Б. Ру, д-р, проф. (Франция, Марсель, Средиземноморский университет)
В. А. Саранин, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Глазовский государственный педагогический институт)
О. А. Скалдин, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Уфа, Институт физики молекул и кристаллов УНЦ РАН)
П. Г. Фрик, д.ф.-м.н., проф. (Россия, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН)
Г. Б. Фурман, д-р, проф. (Израиль, Беэр-Шева, Университет Бен-Гурион)
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
В. А. Демин (гл. ред.), д.ф.-м.н., доц.
И. А. Бабушкин, к.ф.-м.н., доц.
А. Б. Волынцев, д.ф.-м.н., проф.
А. Н. Захлевных, д.ф.-м.н., проф.
И. В. Лунегов, к.ф.-м.н., доц.
И. Ю. Макарихин, д.ф.-м.н., проф.
С. О. Макаров, д.ф.-м.н., проф.
М. А. Марценюк, д.ф.-м.н., проф.
А. Ф. Пшеничников, д.ф.-м.н., проф.
Б. Л. Смородин, д.ф.-м.н., проф.
К. Б. Циберкин (отв. секретарь), к.ф.-м.н.
Адрес редакции: Пермский государственный национальный исследовательский университет, физический факультет, ул. Букирева, 15, 614990, г. Пермь.
email: bulletin_physics@psu.ru
Издание включено в национальную информационно-аналитическую систему «Российский индекс научного цитирования» (РИНЦ)
Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых
коммуникаций и охраны культурного наследия. Свидетельство о регистрации средства массовой информации
ПИ № ФС77-42678 от 16 ноября 2010 г. Перерегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи,
информационных технологий и массовых коммуникаций в связи со сменой наименования учредителя. Свидетельство о регистрации средства массовой информации ПИ № ФС77-53184 от 14 марта 2013 г.
© ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», 2015

ISSN 1994-3598
 Bulletin of Perm University
Scientific Journal
Founded in 1994
Published 3 times per year
Series: Physics
2015. Issue 3 (31)
Founder: Perm State University
The journal “Bulletin of Perm University. Series: Physics” publishes new experimental and theoretical results of recent researches in condensed matter physics, fluid dynamics, EPR, NMR and NQR spectroscopy,
and experiment automatization. It reflects the main research fields of the Physical faculty of Perm State
University (Perm, Russia). The journal publishes original articles, reviews and brief communications that
have not been previously published. The journal accepts papers have been written both in Russian and English. All manuscripts are subject to single blind peer-review procedure by independent expert referees.
INTERNATIONAL EDITORIAL BOARD
V. Y. Bayankin, D.Sc, Prof. (Russia, Izhevsk, Physical-Technical Institute, UB RAS)
P. G. Frick, D.Sc, Prof. (Russia, Perm, Institute of Continuous Media Mechanics, UB RAS)
G. B. Furman, D.Sc, Prof. (Israel, Beersheba, Ben-Gurion University of the Negev)
V. G. Kozlov, D.Sc, Prof. (Russia, Perm, Perm State Humanitarian Pedagogical University)
I. Yu. Makarikhin, D.Sc, Prof. (Russia, Perm, Perm State University)
S. O. Makarov, D.Sc, Prof. (Russia, Perm, Perm State University)
А. F. Pshenichnikov, D.Sc, Prof. (Russia, Perm, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS)
Yu. L. Raikher, D.Sc, Prof. (Russia, Perm, Institute of Continuous Media Mechanics, UB RAS)
B. Roux, D.Sc, Prof., (France, Marseilles, University of the Mediterranean Aix-Marseille)
V. A. Saranin, D.Sc, Prof. (Russia, Glazov, Glazov State Pedagogical Institute)
O. A. Skaldin, D.Sc, Prof. (Russia, Ufa, Institute of Molecular and Crystals Physics RAS)
A. N. Zakhlevnykh, D.Sc, Prof. (Russia, Perm, Perm State University)
PERM EDITORIAL BOARD
V. A. Demin, D.Sc, Associate Prof. (Editor-in-Chief)
I. A. Babushkin, Ph.D, Associate Prof.
I. V. Lunegov, Ph.D., Associate Prof.
I. Yu. Makarikhin, D.Sc, Prof.
S. O. Makarov, D.Sc, Prof.
M. A. Martsenyuk, D.Sc, Prof.
А. F. Pshenichnikov, D.Sc, Prof.
B. L. Smorodin, D.Sc, Prof.
K. B. Tsiberkin, Ph.D. (Executive Secretary)
A. B. Volyntsev, D.Sc, Prof.
A. N. Zakhlevnykh, D.Sc, Prof.
Editorial office: Perm State University, Physical Faculty, Bukirev Street 15, Perm, 614990, Russia.
email: bulletin_physics@psu.ru
The journal is indexed by Russian Science Citation Index
© Perm State University, 2015
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2015
Серия: Физика
Выпуск 3 (31)
СОДЕРЖАНИЕ
Балдина Н. О., Демин В. А. Тепловая конвекция в горизонтальном слое жидкости при наличии зависимости температуропроводности от температуры……..
5
Спивак Л. В. Три стадии термической декомпозиции гидрида титана в среде с
низким парциальным давлением водорода………………………………………….
13
Марышев Б. С. О фильтрации смеси через замкнутую полость пористой среды
с учётом закупорки……………………………………………………………………
22
Спивак Л. В., Сосунов А. В., Расторгуева О. В. Влияние термической обработки на эффект Баркгаузена в аморфном сплаве 2НСР…………………………...
33
Алабужев А. А., Кайсина М. А. Собственные азимутальные колебания цилиндрического пузырька в сосуде конечного объёма…………………………………..
38
Голдобин Д. С. Теорема о монотонности крекинга нефти………………………..
48
Астанина М. С., Шеремет М. А. Моделирование термогравитационной конвекции с переменной вязкостью в замкнутой полости с локальным источником
энергии…………………………………………………………………………………
52
Ажеганов А. С., Кузнецова К. В., Манцуров А. В. Блок управления радиоспектрометром………………………………………………………………………...
59
Хасаншина А. Р., Пономарев Р. С. Увеличение диаметра HxLi1–xNbO3 канальных волноводов с помощью доотжига………………………………………………
64
Сидоров Д. И. Термооптические коэффициенты пленок, полученных из плазмы кислорода и гексаметилдисилазана……………………………………………...
69
Демин В. А., Попов Е. А. Тепловая конвекция коллоида на основе бинарной
жидкости……………………………………………………………………………….
74
BULLETIN OF PERM UNIVERSITY
2015
Series: Physics
Issue 3 (31)
CONTENTS
Baldina N. O., Demin V. A. Thermal convection in a horizontal fluid layer in the
case of thermal conductivity dependence on temperature……………………………...
5
Spivak L. V. Three stages of thermal decomposition titanium hydride in an environment with a low partial pressure of hydrogen………………………………………….
13
Maryshev B. S. Mixture filtration through porous enclosure with presence of pore
clogging………………………………………………………………………………...
22
Spivak L .V., Sosunov A. V., Rastorgueva O. V. Effect of heat treatment on the
Barkhausen effect in amorphous alloy 2NSR………………………………………….
33
Alabuzhev A. A., Kaysina M. I. Influence of contact line motion on axisymmetric
vibrations of a cylindrical bubble………………………………………………………
38
Goldobin D. S. Theorem on monotonicity of oil distillation…………………………..
48
Astanina M. S., Sheremet M. A. Simulation of natural convection with variable viscosity in an enclosure with a local heat source…………………………………………
52
Azheganov A. S., Kuznetsova K. V., Mantsurov A. V. Radiospectrometer control
unit……………………………………………………………………………………...
59
Khasanshina A. R., Ponomarev R. S. The increase in diameter HxLi1–xNbO3 channel waveguides by using additional annealing……………………………………...….
64
Sidorov D. I. Thermo-optic coefficients of films obtained by PECVD from oxygen
and hexamethyldisilazane………………………………………………………………
69
Demin V. A., Popov E. A. Thermal convection of colloid on the basis of a binary
fluid…………………………………………………………………………………….
74
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 532; 532.72; 538.93
Тепловая конвекция в горизонтальном
слое жидкости при наличии зависимости
температуропроводности от температуры
Н. О. Балдина, В. А. Демин
Пермский государственный национальный исследовательский университет
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
email: demin@psu.ru
В работе представлены результаты теоретического исследования тепловой конвекции в плоском горизонтальном слое жидкости при учёте зависимости температуропроводности среды
от температуры. Численно выполнен линейный анализ устойчивости состояния механического равновесия жидкости для разных значений безразмерного параметра, характеризующего
этот эффект. Методом конечных разностей проведено численное моделирование нелинейных
режимов двумерной тепловой конвекции. Найдены значения параметров, при которых влияние зависимости температуропроводности от температуры необходимо учитывать при расчёте конвективных движений.
Ключевые слова: зависимость температуропроводности от температуры; горизонтальный слой жидкости; линейный анализ устойчивости; нелинейные режимы тепловой конвекции; прямое численное моделирование
щественной. Тем не менее в практических приложениях все же имеются примеры гидродинамических задач, когда подобную зависимость необходимо учитывать.
1. Введение
1.1. Конвективные эффекты, связанные
с зависимостью параметров среды
от температуры
1.2. Экспериментальные данные о зависимости
температуропроводности от температуры
Зависимость физических свойств среды от
температуры может оказывать значительное влияние на конвективное движение гидродинамической
системы. Одним из таких параметров, для которого взаимосвязь с температурой наиболее ярко выражена, является вязкость. Характер течений таких
жидкостей, как масла, аморфные вещества, магматические расплавы, сильно меняется в зависимости
от распределения температуры в объёме жидкости.
В подобных средах в течении возникают вязкие
пограничные слои с большими градиентами скоростей, величина которых сильно зависит от неоднородностей поля температуры. Однако даже в рамках классической тепловой конвекции, когда
внешне зависимость вязкости от температуры вроде бы не проявляется, эта связь может оказаться
определяющим фактором при формировании пространственной картины течения [1–3].
В то же время взаимосвязь температуропроводности среды и температуры в большинстве
вышеперечисленных ситуаций оказывается несу-
В работах [4–6] описана методика экспериментов и проведены измерения температуропроводности жидких металлов в широком диапазоне температур. В [5] представлены результаты измерений
температуропроводности расплавов индия, олова,
висмута и свинца. Показано, что в интервале от
600 до 1200 K их температуропроводность монотонно увеличивается примерно в два раза в соответствии со степенными законами, показатели которых не сильно отличаются от единицы.
Экспериментальное определение различных
коэффициентов переноса гидразингидрата в зависимости от температуры и концентрации примеси
наноструктурных оксидов металлов проведено в
диссертационной работе [6]. В качестве наноструктурной дисперсной примеси использовались
оксид титана ТiO2, окиси железа Fe2O3 и алюминия
Al2O3. Диапазон исследуемых температур был не
столь велик. Тем не менее при относительном увеличении температуры на 5–6 % автором было за-
© Балдина Н. О., Демин В. А., 2015
5
Н. О. Балдина, В. А. Демин
6
регистрировано увеличение температуропроводности на 3–5 %.
Обратная задача теплопроводности по определению зависимости температуропроводности от
температуры для декана и тетрадекана была решена в [7]. Проведено сравнение результатов расчёта
с экспериментальными данными. Выявлено удовлетворительное согласие экспериментальных и
теоретических данных. Показано, что в интервале
температур от 240 до 300 K температуропроводность этих жидкостей практически по линейному
закону убывает от 10–7 до 810–8 м2/с.
Температуропроводность некоторых жидких
криопротекторов и их водных растворов была измерена в [8]. Экспериментальные данные подытожены в виде аппроксимационных степенных зависимостей. Обнаружено неоднозначное поведение
свойств различных криопротекторов и их водных
растворов при изменении температуры. В определённом диапазоне температур температуропроводность криопротектора могла увеличиваться, а в
другом – убывать.
1.3. Теоретическая модель тепловой конвекции
при учете связи температуропроводности
жидкости и температуры
Проведём исследование влияния зависимости
температуропроводности от температуры на тепловую конвекцию, не принимая во внимание наличие других осложняющих факторов. В первую
очередь будем пренебрегать всеми возможными
механизмами переноса за исключением теплопроводности и конвекции. Оставаясь в рамках модели
несжимаемой жидкостей и пренебрегая изменениями теплоёмкости, получаем максимально упрощённую задачу тепловой конвекции жидкости с
учётом зависимости температуропроводности от
температуры.
Система уравнений свободной тепловой конвекции, позволяющая описать указанные эффекты,
включает в себя стандартное уравнение Навье –
Стокса [9,10], обобщённое уравнение переноса
тепла и уравнение несжимаемости жидкости:
v
1
 v  v   p v  g T  ,
t

ным, в то время как температуропроводность жидкости будем рассматривать как функцию температуры.
Обобщение экспериментальных данных [4–8]
позволяет в первом приближении ограничиться
линейной аппроксимацией для функции (T ):
 (T )  o 1  T  .
(1.3)
Отметим, что коэффициент температурной зависимости  в разложении (1.3) теоретически может
иметь как положительное, так и отрицательное
значения. Разумеется, отрицательные добавки в
выражении (1.3) не должны быть слишком большими по величине, так как результирующая температуропроводность – это существенно положительный параметр.
В дальнейшем предполагается, что полость будет иметь твёрдые непроницаемые для жидкости
границы. Иными словами, искомые поля скорости
и температуры в уравнениях (1.1), (1.2) должны
удовлетворять граничным условиям:
v
T


0,
f (x ,y ) ,
что подразумевает выполнение условия прилипания и задание некоторого распределения температуры на границах слоя.
2. Горизонтальный слой жидкости
2.1. Постановка задачи
Рассмотрим плоский горизонтальный слой
жидкости с твёрдыми границами при подогреве
снизу (рис. 1). Слой находится в поле тяжести и
неограничен по осям x и z.
y
T=0 1
g
(1.1)
T
 v  T  div   (T )T  , divv  0 . (1.2)
t
Здесь v , p и T – размерные поля скорости, давления и температуры. Параметры ν и χ – коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности,  – коэффициент теплового расширения,
константа ρ – средняя плотность жидкости, g –
ускорение силы тяжести,  – единичный вектор,
направленный вертикально вверх. Для простоты
будем полагать коэффициент вязкости постоян-
0
x
T=
Рис. 1. Горизонтальный слой жидкости.
Система координат
Система координат расположена так, чтобы ось y
была направлена вертикально вверх. Поставим себе цель изучить линейную устойчивость механического равновесия данной гидродинамической си-
Тепловая конвекция при наличии зависимости температуропроводности…
стемы и исследовать двумерные надкритические
режимы тепловой конвекции для разных значений
коэффициента температурной зависимости .
В уравнениях (1.1), (1.2) примем за единицы
измерения следующие величины:
длина
время
[x, y, z] – h;
[t] – h2/;
T    0 , div  (T )T   0 .
(2.3)
В уравнения (2.1) – (2.3) входят следующие безразмерные параметры:
Ra  g h 3  o ,
Pr    o ,
   .
Первые два – соответственно числа Рэлея и
Прандтля. Параметр  описывает степень зависимости температуропроводности среды от температуры.
Краевые условия для безразмерных полей скорости и температуры на границах слоя принимают
форму:
z  0 : v  0, T  1,
z  1: v  0, T  0.
С учётом (2.3) и (2.4) эти уравнения допускают
решение в виде корневого закона для профиля
температуры по вертикали. Для разных знаков 
имеем выражение
(2.1)
T
 v  T  div   (T )T  , divv  0 . (2.2)
t
 (T )  1  T .
При подогреве снизу рассматриваемая гидродинамическая система может находиться в состоянии механического равновесия. Уравнения, описывающие равновесие в жидкости, определяются
из условий
и имеют вид:
где h – толщина слоя,  – разность температур на
горизонтальных гранях. В результате имеем безразмерные уравнения тепловой конвекции в виде
Pr
2.2. Механическое равновесие
 t =0 , v =0
скорость
[v] – o/h;
температура [T] – ;
давление
[p] – o/h2,
v 1
 v  v  p  v  RaT  ,
t Pr
7
T0 
2
1
2
 1    1   y .

   
1
Нижние знаки плюс и минус в этой формуле соответствуют отрицательному вкладу в температуропроводность. Значение параметра  здесь необходимо брать по модулю.
Кривые, характеризующие распределение температуры в зависимости от вертикальной координаты, приведены на рис. 2 для разных значений .
Несмотря на линейность выражения для температуропроводности (2.3), профиль температуры по
вертикальной координате в состоянии механического равновесия является существенно нелинейным. Только при уменьшении параметра  (в пределе  = 0) профиль становится линейным.
1
T0
(2.4)
Отметим, что теперь число Рэлея при фиксированном значении параметра  не может управляться банально путём изменения разности температур.
В определение безразмерного числа  тоже входит
характерная разность температур, поэтому увеличение числа Рэлея при неизменном  необходимо
интерпретировать в более общем смысле, как увеличение силы плавучести в случае постоянного
нагрева.
Ещё одно замечание касается оценки возможных значений параметра . Для расплавов металлов имеем   310-5 м2/с,   10-7 м2/с (Pr  10-2) и
  10-4 1/K. При числе Рэлея порядка 2103
(надкритичность 1.17 в классической задаче Рэлея)
и толщине слоя 1 см получаем характерную разность температур 6 K. Для   0.05 1/К [5] вытекает оценка   0.3.
2
1
4
0.5
5
3
0
0
0.5
y
Рис. 2. Распределение температуры вдоль
вертикальной координаты при разных значениях ; номера кривых соответствуют: 1 –
 = 0, 2 –  = –0.5, 3 –  = –0.8, 4 –  = 0.5, 5 –
 = 0.8
1
Н. О. Балдина, В. А. Демин
8
3.2. Методика расчёта
3. Линейная задача устойчивости
3.1. Уравнения для малых возмущений
Для изучения устойчивости механического
равновесия введём возмущения полей скорости,
температуры и давления:
 
(3.1)
v  v  , p  po  p  , T  To  T  .
Здесь штрих обозначает малое возмущение соответствующих полей, а индекс «о» отвечает равновесному состоянию. Подставляя (3.1) в исходные
уравнения (2.1), (2.2) и опуская штрих, получим
после линеаризации систему уравнений для возмущений:
v t  p  v  RaT  ,
В ходе нахождения границ устойчивости уравнения (3.2) – (3.4) сводились к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, после чего применялся метод прямого
пошагового
интегрирования
Рунге-КуттаФельдберга 4–5-го порядка точности с автоматическим выбором шага [11].
4500
Ra
8
7
6
5
4
3
2
1
3500
(3.2)
Pr T t  v   T0 
  div T T0   div 1  T0  T  ,

div v = 0,
(3.3)
(3.4)

теперь v , p и T – это возмущения скорости, давления и температуры соответственно. Граничные
условия для неизвестных полей скорости и температуры с учётом изотермичности границ имеют
следующий вид:

y =  1: v  0 , T  0 .
(3.5)
Будем искать решение краевой задачи (3.2) – (3.5)
в виде нормальных монотонных мод, записав
предварительно уравнения в терминах температуры и функции тока для поля скорости:
T ,   ,   e t  e i k x .
(3.6)
Здесь ,  – амплитуды соответствующих возмущений,  – декремент, k – волновое число. Функция тока связана с компонентами скорости стандартными соотношениями
v x   y , vy   x .
2500
(3.7)
Из всевозможных конфигураций параметров
будем рассматривать устойчивость равновесия для
разных значений .
Далее, полагая декремент возмущений равным
нулю, изучим устойчивость механического равновесия относительно нейтральных монотонных
возмущений. В этом случае число Рэлея Ra играет
роль собственного числа спектральной амплитудной задачи, значение которого зависит от параметров k и . Следует отметить, что число Прандтля в
задачу устойчивости равновесия относительно монотонных возмущений не входит.
1500
0
2
4
k
6
Рис. 3. Нейтральные кривые для разных значений : линии 1-8 –  = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6,
0.7, 0.8
Следуя стандартной схеме решения краевых задач
с помощью методов численного интегрирования,
системы дифференциальных уравнений сводились
к задачам Коши. Для выполнения условий на противоположной границе применялась процедура
стрельбы. Компьютерный модуль был реализован
на языке программирования FORTRAN-90. В ходе
расчётов находились собственные значения (критические числа Рэлея), а также собственные функции спектральной амплитудной задачи (y) и (y),
что позволило судить о форме критических возмущений.
3.3. Результаты расчёта
В процессе выполнения указанных расчётов
были построены нейтральные кривые для разных
значений параметра . Эти результаты представлены на рис. 3, и в предельном случае  = 0 они хорошо согласуются с классической нейтральной
кривой [10]. Область неустойчивости с  < 0 находится над кривыми.
Из рис. 3 видно, что линейная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры не
приводит к качественному изменению вида
нейтральной кривой, однако значение критическо-
Тепловая конвекция при наличии зависимости температуропроводности…
го числа Рэлея увеличивается по мере роста параметра , что отражено на рис. 4.
Похожая картина имеет место для критических
волновых чисел в зависимости от параметра задачи . Сначала критическое волновое число практически не меняется, а затем начинает довольно
быстро увеличиваться с ростом параметра 
(рис. 4).
2600
3.17
Ram
km
2400
3.16
2200
3.15
T
 v  T  div   (T )T  ,  = .
t
9
(4.2)
Граничные условия для системы (4.1), (4.2) записываются в форме:
x = 0, L:  = y = 0, T = T0(y);
y = 0, 1:  = x = 0, T = 1, 0.
В дополнение для более детального сопоставления
результатов решения линей задачи с полным численным моделированием надкритических режимов
были проведены расчёты в случае периодических
граничных условий для полости с размерами,
кратными длине волны критического возмущения.
В этом случае краевые условия имеют вид
x = 0, L:  (0, y, t )   (L , y, t ) ,
2000
3.14
1800
3.13
1600
3.12
0
0.2
0.4
e
0.6
0.8
Рис. 4. Критические числа Рэлея и критические волновые числа в зависимости от параметра 
Некоторые точные значения критического числа
Рэлея и волнового числа, полученные по результатам минимизации нейтральных кривых, приведены
в таблице 1.
Таблица 1. Критические параметры задачи, полученные из линейной теории

0.0
0.3
0.7
0.8
Ram
1708
1985
2402
2513
km
3.12
3.12
3.128
3.169
4. Надкритические режимы
конвекции
4.1. Метод конечных разностей
Пользуясь предполагаемым условием двумерности движений, можно решать полную нелинейную систему уравнений тепловой конвекции в
терминах функции тока (3.7). После исключения
давления и перехода к уравнениям в терминах
“вихрь – функция тока” получим стандартную систему уравнений для скалярных полей ,  и T:
 1      
T


   Ra
, (4.1)
t Pr  x y x y 
x
T (0, y, t )  T (L , y, t ) .
4.2. Методика численного моделирования
Расчёт надкритических движений проводился с
помощью метода конечных разностей по явной
схеме. Компьютерный модуль был написан на
языке программирования FORTRAN-90. Задача
решалась в переменных  и , т.е. использовался
двухполевой метод. Основные расчёты выполнялись на сетке 121:13. При составлении конечноразностного аналога уравнений тепловой конвекции пространственные производные аппроксимировались центральными разностями, а производные по времени – односторонними. Оператор
Лапласа расписывался по трёхточечной схеме.
Значения вихря на границах полости находились
по формулам Тома, которые получались разложением функции тока в ряд Тейлора в приграничной
точке с точностью до квадратичных членов. Шаг
по времени вычислялся в соответствии с устойчивостью схемы по формуле
min h x2 , hy2
4 ,
где h x , hy – шаги вдоль осей x и y,  – эмпирический параметр больше единицы. Уравнение
Пуассона для поля функции тока  решалось методом простых итераций Ричардсона [12]. В ходе
численного моделирования использовался метод
установления: определялись мгновенные значения
полей  и T, а также находились максимальное и
минимальное значения функции тока max, min.
5. Результаты расчетов и обсуждение
В случае твёрдых границ на торцах полости и
периодических граничных условий были получены
поля функции тока и температуры в режиме уста-
Н. О. Балдина, В. А. Демин
10
новления и зависимости максимума функции тока
от числа Рэлея. Из рис. 5 видно, что в рассматриваемой конвективной системе имеет место мягкий
бифуркационный переход от состояния механического равновесия к валиковому течению. Расчёт
проделан при L = 12, Pr = 1.
5
max
4
3
1
2
2
3
1
0
1600
2000
2400
2800
3200
Ra 3600
Рис. 5. Амплитудные кривые для твёрдых и периодических боковых границ: 1 –  = 0.1, 2 – 
= 0.5, 3 –  = 0.8; сплошные линии отвечают
периодическим граничным условиям, штриховые – твёрдым боковым граням
Рис. 6. Поля функции тока в зависимости от
надкритичности для твёрдых торцов: кривые
1-8 соответствуют Ra = 2650, 3000, 5000,
10000, 15000, 20000, 25000, 28500
Для значения параметра  = 0.5 было произведено более подробное изучение зависимости max
от числа Рэлея Ra. Оказалось, что данная кривая
претерпевает излом в окрестности числа Рэлея
примерно равного 8103, что приводит к изменению формы (рис. 6), а затем и количества появившихся валиков в течении. Подобного рода изменения в форме полученных структур можно
обнаружить и для поля температуры (рис. 7).
Для периодических краевых условий на торцах
полости вычисленные амплитудные кривые повторяют по форме те, что получены в случае твёрдых
боковых границ (рис. 5). Как и следовало ожидать,
при отказе от условия прилипания на торцах пороговое число Ra уменьшается для каждого значения
параметра , приближаясь к тем значениям, которые были получены в рамках линейной задачи (см.
таблицу 2).
Таблица 2. Приближенные значения критических чисел Рэлея, полученные из нелинейной задачи

0.0
0.1
0.5
Линейная
теория
1708
1796
2188
Ram
Твёрдые
границы
1715
1810
2215
Периодические
границы
1710
1800
2200
Рис. 7. Отклонение поля температуры от равновесного в зависимости от надкритичности
для твёрдых торцов при тех же значениях
числа Рэлея
Тепловая конвекция при наличии зависимости температуропроводности…
6. Заключение
Рассмотрена задача линейной устойчивости
механического равновесия горизонтального слоя
жидкости относительно малых монотонных возмущений при учёте зависимости температуропроводности среды от температуры. По результатам
расчётов получены нейтральные кривые и найдены
критические параметры устойчивости (пороговые
числа Рэлея и волновые числа) в широком диапазоне значений управляющих критериев подобия.
Построена карта устойчивости. Показано, что с
ростом безразмерного параметра, характеризующего зависимость температуропроводности от
температуры, устойчивость механического равновесия повышается, а длина волны критических
возмущений незначительно уменьшается.
В дополнение было проведено прямое численное моделирование нелинейных режимов двумерной тепловой конвекции в горизонтальном слое,
которое продемонстрировало стабилизирующее
влияние зависимости температуропроводности
жидкости от температуры и проиллюстрировало
характер изменения изолиний поля температуры,
когда этот эффект становится значительным.
Авторы признательны проф. Н.И. Лобову за
научное руководство первой частью этой работы
(линейный анализ устойчивости) и замечательные
часы общения, подаренные им при обсуждении результатов.
Список литературы
1. Гетлинг А. В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея – Бенара //
Успехи физических наук. 1991. Т. 161. № 9.
С. 1–80.
2. Бабушкин И. А., Глазкин И. В., Демин В. А.,
Платонова А. Н., Путин Г. Ф. Об изменчивости одного типичного течения в ячейке Хеле –
Шоу // Известия РАН. Механика жидкости и
газа. 2009. № 5. С. 3–14.
3. Гаврилов К. А., Демин В. А., Попов Е. А. Режимы всплытия тепловых плюмов в вертикальном
слое // Вычислительная механика сплошных
сред. 2013. Т. 6. № 3. С. 261–268.
4. Ивлиев А. Д., Морилов В. В., Куриченко А. А.,
Мешков В. В., Гой С. А. Методы измерения
температуропроводности расплавов черных и
цветных металлов // Материалы 11-го учебнометодического семинара-совещания «Эталонные и рабочие средства измерения в области
теплофизики». Омск, 2013. С. 3–6.
5. Савченко И. В. Экспериментальное исследование теплопроводности и температуропроводности расплавов легкоплавких металлов и сплавов
методом лазерной вспышки: автореф. дис. на
соиск. уч. степ. к.ф.м.н. / Институт теплофизи-
11
ки им. С.С. Кутателадзе СО РАН. Новосибирск,
2011. 20 с.
6. Зоиров Х. А. Влияние некоторых наноструктурных оксидов металлов на измерение теплофизических, термодинамических и диффузионных
свойств гидразингидрата: автореф. дис. на соиск. уч. степ. к.т.н. / Казанский национальный
исследовательский технический ун-т им. А.Н.
Туполева. Казань, 2014. 20 с.
7. Соломин Б. А., Ходаков А. М. Определение коэффициента температуропроводности многокомпонентной жидкости при её охлаждении //
Известия Самарского научного центра РАН.
Серия: Физика. 2008. Т. 10. № 3. С. 716–718.
8. Тодрин А. Ф., Тимофеева Е. В., Давыдова Е. В.
Теплофизические свойства криопротекторов.
V. Теплопроводность и температуропроводность ряда криопротекторов и их водных растворов // Проблемы криобиологии. 2011. Т. 21.
№ 3. С. 301–313.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Гидродинамика. Т. 6. М.: Физматлит,
2001. 736 с.
10. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная
устойчивость несжимаемой жидкости. М.:
Наука, 1972. 392 с.
11. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер М. Машинные методы математических вычислений.
М.: Мир, 1980. 280 с.
12. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.:
Мир, 1980. 616 с.
13. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1963. 708 с.
References
1. Getling A. V. Formation of spatial structures in
Rayleigh–Bénard convection. Soviet PhysicsUspekhi, 1991, vol. 161, no. 9, p. 1–80.
2. Babushkin I. A., Glazkin I. V., Demin V. A., Platonova A.N., Putin G.F. Variability of a typical
flow in a Hele–Shaw cell. Fluid Dynamics. vol. 44,
no. 5, 2009, pp. 631–640.
3. Gavrilov K. A., Demin V. A., Popov E. A. Lifting
regimes of thermal plumes in vertical layer. Computational Continuum Mechanics. 2013, vol. 6,
no. 3, pp. 261–268.
4. Ivliyev A. D., Morilov V. V., Kurichenko A. A.,
Meshkov V. V., Goy S. A. Metody izmereniya
temperaturoprovodnosti rasplavov chernyh i tsvetnyh metallov. Proceedings of 11th Training and
Methodological Seminar “Etalonnye i rabochie
sredstva izmereniya v oblasti teplofiziki” (“The
Reference and Ordinary Measuring Instruments in
Thermal Physics”), Omsk, 2013, pp. 3–6. (In Russian).
Н. О. Балдина, В. А. Демин
12
5. Savchenko I. V. Experimental’noye issledovaniye
teploprovodnosti
i
temperaturoprovodnosti
rasplavov legkoplavkih metallov i splavov
metodom lazernoy vspyshki (Experimental study
of thermal conductivity of melt fusible metals and
alloys by laser flash). Abstract of Ph.D. thesis in
physics. The Institute of Thermophysics named after S. S. Kutateladze SB RAS, Novosibirsk, 2011,
20 p. (In Russian).
6. Zoirov H. A. Vliyaniye nekotoryh nanostrukturnyh
oksidov metallov na izmerenie teplofizicheskih,
termodinamicheskih i diffuzionnyh svoystv
gidrazingidrata (Influence of some nanostructured
metal oxides on the measurement of thermal, thermodynamic and diffusion properties of hydrazine
hydrate). Abstracts of Ph.D. thesis in technical science. Kazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev, Kazan’, 2014, 20
p. (In Russian).
7. Solomin B. A., Hodakov A. M. Definition of thermal diffusivity of a multicomponent liquid at it
cooling. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra
RAN. Ser. Fizika. 2008, vol. 10, no. 3, pp. 716–
718 (In Russian).
8. Todrin A.F., Timofeeva E.V., Davydova E.V.
Thermophysical properties of cryoprotective
agents. V. Thermal conductivity and thermal diffusivity of some cryoprotective agents and their
aqueous solutions. Problems of cryobiology. 2011,
vol. 21, no. 3, pp. 301–313. (In Russian).
9. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of theoretical
physics. Fluid mechanics. Vol. 6. UK: Pergamon
Press, 1966, 536 p. (Russ. ed: Landau L. D.,
Lifshic E. M. Teoreticheskaja fizika. Gidrodinamika,.vol. 6. Moscow: Fizmatlit, 2001,
736 p.).
10. Gershuni G. Z., Zhukhovitskii E. M. Convective
stability of incompressible fluids. Jerusalem: Keter
Publishing House, 1976, 330 p. (Russ. ed:
Gershuni G. Z., Zhuhovickij E. M. Konvektivnaja
ustojchivost' neszhimaemoj zhidkosti. Moscow:
Nauka, 1972, 392 p.).
11. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B.
Computer methods for mathematical computations. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New
Jersey, 1977, 270 p.
12. Roache P. Computational fluid dynamics. Albuquerque, New Mexico, Hermosa Pub., 1976,
446 p.
13. Vargaftik N. B. Tables on the thermophysical
properties of liquids and gases. Washington DC:
Hemisphere, 1975. 758 p.
Thermal convection in a horizontal fluid layer
in the case of thermal conductivity dependence
on temperature
N. O. Baldina, V. A. Demin
Perm State University, Bukireva str. 15, 614990, Perm
email: demin@psu.ru
The results of theoretical investigation of thermal convection in a plane horizontal fluid layer have
been presented in this paper in the case of thermal conductivity dependence on temperature. The linear stability analysis of mechanical equilibrium state is fulfilled for different values of nondimensional parameter which characterizes this physical bond. The method of finite difference has
been applied to simulate nonlinear regimes of two-dimensional convection numerically. The values
of parameters are found for the case when the influence of thermal conductivity dependence on temperature becomes significant.
Keywords: dependence of thermal conductivity on temperature; horizontal fluid layer; linear stability analysis; nonlinear regimes of thermal convection, direct numerical simulation
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 538.51. 538.953
Три стадии термической декомпозиции гидрида
титана в среде с низким парциальным давлением
водорода
Л. В. Спивак
Пермский государственный национальный исследовательский университет
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
email: lspivak@psu.ru
Методами дифференциальной сканирующей калориметрии и термогравитационного анализа
исследована термическая декомпозиция гидрида титана. Показано, что деструкция гидрида
титана совершается в три этапа. Высказано предположение, что это связано с дискретным
переходом от модификации гидрида титана с высокой концентрацией атомов водорода к другой, с более низким его содержанием. Необходимым условием для диффузионного выхода
водорода из гранул является возникновение твердого раствора водорода в титане.
Ключевые слова: водород; декомпозиция; гидриды; калориметрия
1. Введение
Термической диссоциации гидрида титана посвящено значительное число исследований. Вопервых, потому, что гидрид титана имеет многочисленные практические приложения в различных
отраслях техники и, во-вторых, сами по себе процессы диссоциации представляют несомненный
интерес для теории термической декомпозиции
гидридов переходных металлов. Тем более, что
кинетика и механизм разложения гидридов могут
существенно отличаться от кинетики обычных реакций разложения типа: твердое тело 1  твердое
тело 2  газ [1].
Одним из первых систематических исследований этого явления следует считать цикл работ [1–
3], выполненных изотермически с измерением
скорости выделения водорода при прохождении
аргоном зоны разложения гидрида.
В них впервые высказано предположение о
том, что по мере обеднения гидрида водородом
реализуется его фазовый переход в более низкую
по концентрации водорода кристаллогеометрию
гидридной фазы. Этот переход осуществляется при
достижении границ существования данной модификации на диаграмме состояния Ti–H.
К недостаткам такой методики следует отнести
сложность быстрого достижения температур изотермических выдержек. В связи с этим позднее появилась даже такая характеристика, как «тепловое
время» [4].
© Спивак Л. В., 2015
13
Отмечается также [5], что из-за широкой области гомогенности гидридных фаз нa фазовой диаграмме Ti–H кинетические уравнения могут быть
малоинформативны.
При непрерывном нагреве метод несущего газа
(Ar, 99.999 %) был использован (см. [6]) для изучения термической диссоциации гидрида титана в
диапазоне температур 300827 °С. Весь спектр
температурной программной декомпозиции (ТРD)
в диапазоне температур 370710 °С был представлен как суперпозиция отдельных процессов со
своими характерными температурами регистрации. Всего таких процессов четыре. При 467 °С
энергия активации равна 125 кДж/моль, при 579 °С
— 184 кДж/моль, при 667 °С  677 кДж/моль, при
707 °С  200 кДж/моль. До 837 °С наблюдался выход водорода из навески.
Низкотемпературная декомпозиция гидрида титана (259330 С) была исследована по изменению
давления в вакуумной камере [7]. Активационная
энергия определена как 122 кДж/моль, что существенно отличается от данных работ [13].
Методом постоянного объёма [8] в диапазоне
температур 607–777 С была определена энергия
активации
десорбции
гидрида
титана
–
67 кДж/моль. Считается, что скорость десорбции
контролируется транзитом водорода через окисную пленку.
Та же методика была использована при исследовании декомпозиции гидрида титана в области
температур 4001000 °С [9]. При 700800 °С де-
14
композиция порошка гидрида происходит в две
стадии: TiH2TiHxTi. Считается, что первая
стадия контролируется диффузией водородных
атомов в слое TiHx. Вторая стадия контролируется
химической реакцией. Активационная энергия
первой стадии равна 59 кДж/моль, второй –
81 кДж/моль.
Дифференциальный термический анализ (DTA)
и дифференциальная сканирующая калориметрия
(DSC) были применены (см. [1022]) для исследования термической декомпозиции гидрида титана в
средах с низким его парциальным давлением: гелии [10, 13, 21,], азоте [12], воздухе [11, 12-14, 20],
аргоне [11, 13, 1517, 1922]. Эти исследования
часто сопровождались термическим гравиметрическим анализом (TG) [11, 12, 14 ,15, 17, 2022].
Термической диссоциации гидрида титана в
атмосфере аргона посвящено основное число DTA
и DSC исследований. При этом особое внимание
уделялось изучению эндотермических эффектов,
сопровождающих декомпозицию гидрида титана.
Так, в работе [19] при исследовании термической диссоциации порошка гидрида титана на DTA
кривых наблюдался один размытый эндотермический пик с максимумом при 588 °С. В районе температур регистрации этого эндотермического эффекта происходит основное уменьшение веса
навески. Рентгеноструктурный анализ (РСА) показал, что после нагрева выше температуры эндотермического пика в навеске содержится только
–Ti.
Размытый эндотермический пик наблюдался
также в работах [15, 17, 18].
В работе [15, 18] на полученных методом СВС
гидридах титана на DTA кривых также наблюдался
один сложный эндотермический максимум.
Была также зафиксирована потеря веса в районе температур регистрации эндотермического
процесса. Активационная энергия процесса была
определена по скорости выхода водорода при
нагреве гидрида титана, и она оказалась равной
83 кДж/моль.
При скорости нагрева 20 К/мин размытый эндотермический пик наблюдался при 535 °С в работе [21]. В этой же работе после размола исходного
порошка были зарегистрированы на кривых DSC
два эндотермических пика и снижение TG в районе температур развития эндотермического процесса. Первый пик небольшой, при 392 °С. Следующий за ним второй пик, 509 °С был уже больше.
Отмечено полное соответствие между кривыми
DSC и видом первой производной сигнала TG
(DTG). Постулируются две стадии процесса:
TiH2TiHxTi, 0,7<x<1,1. Энергия активации в
этой работе вычислена по смещению пиков DTG с
увеличением скорости нагрева в область более высоких температур. Для перехода TiH2TiHx она
оказалась равной 75 кДж/моль, а для перехода
Л. В. Спивак
TiHxTi – 132 кДж/моль. Температура декомпозиции уменьшалась с уменьшением размеров частиц.
Два в той или иной степени дифференцированных друг от друга эндотермических пика наблюдались и в других работах [10, 11, 15, 16, 21]. В частности, два пика при 520 и 623°С связаны, по
мнению авторов [21], с декомпозицией гидридов
разной кристаллогеометрии.
В более поздней работе [20], помимо двух
близко расположенных максимумов (I  580°С,
II  590 °С) при скорости нагрева 10 К/мин, на
DSC кривой наблюдалось "плечо". Также показано
полное соответствие между видом DSC кривой и
изменением в том же интервале температур DTG.
Показано (см. [13]), что декомпозиция обычно
начинается при 380400 °С (см. также [14, 20]). На
DSC кривой при термической диссоциации порошка гидрида титана (88,8 %) было выделено 5
пиков и пять особенностей на термогравитационной кривой. Хорошо разрешается два эндотермических максимума, а три менее выражены. При
нагреве со скоростью 10 К/мин эти два эндотермических пика появляются при 518 и 579 °С. При
нагреве со скоростью 40 К/мин они появляются
при 569–649 °С.
Таким образом, к настоящему времени ни методы «потока газа», ни методы вакуумирования, ни
методы TDS, ни методы термического анализа не
дают сравнимых результатов ни по температурам
максимальных скоростей выделения водорода из
гидридных гранул, ни по значениям энергии активации процессов, протекающих при разложении
гидрида титана.
Оказалось, и это понятно, что конкретные результаты исследования зависят от способа получения гидрида титана (насыщение из газовой фазы,
насыщение водородом из электролита, механическое легирование, самораспространяющийся высокотемпературный синтез и т.п.), дисперсности и
морфологии гидридных частичек, степени окисления их поверхности, типа окружающей среды при
нагреве или изотермической выдержке, методов
термического анализа декомпозиции гидрида титана, многих других не всегда учитываемых факторов.
С появлением аппаратуры калориметрического
анализа высокого разрешения появилась возможность провести новый цикл исследований закономерностей термической диссоциации гидридов переходных металлов, в частности титана, при его
нагреве в среде с низким парциальным давлением
водорода. Тем более, что практически отсутствуют
исследования, в которых бы проводилась оценка и
изучалась структура тепловых эффектов при декомпозиции гидрида титана.
Некоторые из полученных результатов и составляют предмет настоящего сообщения.
Три стадии термической диссоциации ...
2. Методика исследования
Используемый в настоящей работе гидрид титана представлял собой неправильной формы гранулы диаметром 0.30.6 мм. Дифференциальная
сканирующая калориметрия (DSC) и термогравитационный анализ (TG) реализованы с использованием прибора STA 449 Jupiter в среде высокочистого аргона (99.999 % Ar). Скорость прокачки
аргона в рабочей камере – 30 мл/мин. Скорости
нагрева – 5, 10, 20, 40 К/мин. Для каждого режима
были получены базовые кривые нагрева. Обработка экспериментальных данных проведена с применением пакетов Fityk, Proteus Analyses, MNK. Данные по DSC, TG и их производных по температуре
проходили процедуру сглаживания полиномом
восьмой степени для уменьшения вероятности
наблюдения аппаратурных погрешностей.
15
мультиплетном характере процесса декомпозиции.
Оказалось, что данный экзотермический пик можно представить как суперпозицию трех подпиков с
различными термоактивационными параметрами
фазовой трансформации (см. рис. 2). Впервые такой анализ эндотермических эффектов при распаде
гидрида титана осуществлен в настоящей работе.
3. Экспериментальные результаты
и их обсуждение
Типичный вид сигнала DSC при нагреве гидрида титана представлен на рис. 1. Здесь же приведена зависимость TG, демонстрирующая потерю веса образца при декомпозиции гидрида титана в
области температур регистрации на кривых DSC
активного эндотермического процесса.
Рис. 1. DSC (1) и TG (2) кривые нагрева
(5 К/мин) гидрида титана
Более детальный анализ полученных зависимостей показывает (см. рис. 1), что развитие эндотермического процесса начинается при заметно
меньших температурах (420 °С), чем процесс
эвакуации водорода из навески (500 °С). Данное
обстоятельство отмечено в работах [13, 17, 20] и
может быть связано с тем, что процессу декомпозиции предшествует некоторая структурная перестройка в самом гидриде титана. В частности, появляется «полочка» плеча (см. также [11, 20]) на
DSC кривой в начале эндотермического процесса.
Вид второй производной сигнала DSC в области эндотермического пика свидетельствует о
Рис. 2. Структура эндотермического пика при
нагреве гидрида титана. Скорость нагрева
5 K/мин; точки – экспериментальные данные;
Papp – результат аппроксимации; Р1, Р2, Р3 –
подпики
При сохранении общих закономерностей в ходе
кривых DSC с увеличением скорости нагрева отмечается смещение максимальной скорости диссоциации гидрида титана в область более высоких
температур (см. рис. 3) и «замытие» эндотермического пика. При этом мультиплетный характер эндотермического процесса сохраняется (см.
рис. 2, 4).
С увеличением скорости нагрева наблюдается
также уменьшение теплового эффекта декомпозиции (см. рис. 3).
Методом Киссинджера [23, 24] оценена энергия
активации процесса декомпозиции гидрида титана
для всех трех подпиков. Она оказалась равной для
первого подпика 17340 кДж/моль, для второго
подпика – 15030 кДж/моль, для третьего –
16030 кДж/моль. Столь близкие значения энергии
активации, по-видимому, есть следствие согласованного смещения с увеличением скорости нагрева
зоны эндотермического эффекта в область более
высоких температур.
Для примера, в [15] дается значение энергии
активации декомпозиции гидрида титана 
83 кДж/моль, в [21]  132 кДж/моль, в [16] 
140 кДж/моль, в [24]  109 кДж/моль. Как видно,
данные различных исследователей могут значительно отличаться друг от друга. К сожалению,
точность определения энергии активации в большинстве работ не указывается.
Л. В. Спивак
16
Рис.3. Влияние скорости нагрева гидрида титана на температуры максимумов подпиков и
тепловой эффект (Q) эндотермического процесса декомпозиции; Р1 – 1, Р2 – 2, Р3 – 3, Q – 4
отклонение экспериментальных результатов от
теоретического значения может быть связано с
тем, что в исследуемом гидриде наблюдается дефицит по атомам водорода (твердый раствор вычитания) и гидрид титана в действительности имеет отличную от TiH2 химическую формулу.
Следует подчеркнуть, что во всех экспериментах
по TG (см. [10–12, 14, 15, 17, 1921, 24]) не
наблюдается потеря веса, отвечающая формуле
TiH2.
Оказалось (см. рис. 1 и 5), что первая производная сигнала TG по температуре (DTG) практически воспроизводит характер изменения в этом
температурном интервале сигнала DSC. Это свидетельствует о тесной связи калориметрических эффектов при декомпозиции гидрида титана с кинетикой выхода водорода из навески (см. также [12,
20, 21]).
Таким образом, для всех рассмотренных скоростей нагрева экспериментальные результаты позволяют представить эндотермический процесс деструкции гидрида титана как наложение трех
элементарных процессов (см. рис. 2, 4). Начальная
стадия процесса декомпозиции ведет к появлению
"полочки" на DSC кривой, когда еще не наблюдается заметная потеря массы навески из-за эвакуации из нее водорода. Далее, в достаточно узком
температурном интервале поглощается основное
количество тепла, идущего на деструкцию гидрида
титана.
Рис. 5. TG кривая нагрева (5 К/мин): 1 – гидрида титана; 2 – вид ее первой производной
DTG (2)
Рис. 4. Структура эндотермического пика при
нагреве гидрида титана. Скорость нагрева
20 K/мин; точки – экспериментальные данные;
Papp – результат аппроксимации; Р1, Р2, Р3 
подпики
Анализ данных термогравиметрии показал, что
потеря веса при декомпозиции данного гидрида
титана мало зависит от скорости нагрева и составляет 3.80.1%. Теоретически для гидрида стехиометрического состава TiH2 потеря веса при его декомпозиции должна составлять 4%. Наблюдаемое
Аппроксимация несколькими подпиками эндотермического процесса позволяет высказать предположение, что это явление обусловлено тем, что
температура декомпозиции гранул гидрида титана
может зависеть от размера гранул.
Для проверки предположения о роли размеров
гидридных частичек в наблюдаемых эффектах был
осуществлен размол в агатовой ступке исходных
гидридных гранул и получена композиция со средним размером частичек меньше 0.1 мм. DSC кривая нагрева такого образца отличается от DSC
кривой исходного состояния рядом особенностей.
«Полочка» на DSC кривой трансформировалась в
наличие сравнительно небольших, но хорошо
дифференцированных, близко расположенных эндотермических эффектов. Процесс деструкции
гидрида начинается раньше, и его максимальная
скорость наблюдается при более низких температурах, чем при нагреве исходной композиции. В
этом наблюдается соответствие с данными работы
[21]. Тем не менее, как и при нагреве исходной
композиции, экспериментальные данные по DSC
можно представить как суперпозицию трех подпи-
Три стадии термической диссоциации ...
ков приблизительно с таким же соотношением
парциальных вкладов каждого из них в общий баланс поглощаемого при данном процессе тепла.
Тепловой эффект превращения оказался того же
порядка, что и при нагреве исходного продукта.
17
Поэтому сложная структура эндотермического пика при декомпозиции гидрида должна быть обусловлена иными процессами.
Сложившиеся к настоящему времени представления о механизмах (этапах) термической диссоциации гидрида титана на основании рентгеноструктурных исследований, в том числе
проведенных in situ [9, 11, 17, 21, 25], сводятся к
следующей
последовательности
событий:
TiH2TiHx–Ti. Таким образом, фактически
предлагаются две стадии термической декомпозиции гидрида титана.
Считается (см. [26, 27]), что гидрид титана TiH2
не существует в такой стехиометрии и в действительности представляет собой твердый раствор
вычитания на базе соединения TiH2 c дефицитом
по атомам водорода. Согласно [13] его формула
TiH1,92.
Рис. 6. Структура эндотермического пика при
нагреве гидрида титана; точки – экспериментальные данные из работы [15]; Papp – результат аппроксимации; Р1, Р2, Р3 – подпики
Интересно, что данные DSC анализа в работах
[15, 20], где объектом исследования был мелкодисперсный гидрид титана, также можно представить (сделано нами) как наложение трех четко
дифференцированных эндотермических процессов
(см. рис. 6). Следовательно, имеется достаточно
оснований считать, что процесс декомпозиции
гидрида титана состоит из трех этапов, наличие
которых не связано с дисперсностью гидридных
гранул, скоростью нагрева, технологией получения
самого гидрида и является присущей данному явлению закономерностью.
Согласно [5, 7, 20]) декомпозиция гидрида титана при его нагреве происходит в несколько стадий. Она состоит: из собственно декомпозиции
гидрида, диффузии водорода в металлической
матрице к поверхности гидридной частицы, проникновения водорода через поверхность, рекомбинации на поверхности, десорбции водорода в газовую фазу. Лимитирующей скоростью процесса
декомпозиции гидрида в этой схеме считается
диффузия водорода в металлической матрице.
Однако приведенные выше подходы не соотносятся с данными DSC анализа и термогравиметрии.
Действительно, термогравиметрическая функция
(потеря веса) изменяется во всём температурном
интервале декомпозиции гидрида. Кинетика этого
процесса коррелирует с данными DSC анализа.
Диффузия водорода также протекает во всём температурном интервале диссоциации с одной и той
же энергией активации (51.8 кДж/моль [8]). Но на
DSC кривых диффузионные процессы обычно не
приводят к появлению выраженных особенностей.
Рис. 7. Один из вариантов диаграммы состояния Ti–H [28]
Для того чтобы атом водорода мог диффузионным путем перемещаться к поверхности гранулы
(каждый атом сам за себя), необходимо ослабление
сил связи между ними, в том числе и связи металл–
водород. Это невозможно, пока водород существует в химическом соединении (гидриде), но реально, когда возникает твердый раствор водорода в
титане, -фаза. Поэтому результатом первого этапа следует считать возникновение двухфазной
структуры: обеднённой водородом гидридной фазы со своим пространственно упорядоченным расположением в ней атомов водорода, TiHx, и твердого раствора, - фазы. То есть реализуется
переход TiH2 TiHx+. Из возникшей -фазы во-
Л. В. Спивак
18
дород, преодолевая сопротивление поверхностных
пленок, способен выходить из гранул.
На втором этапе реализуется переход
TiHx+', где '-фаза представляет собой твердый раствор с ближним порядком расположения в
нём атомов водорода. Некий аналог -фазы в системе Pd–H [28]. И, наконец, третья стадия – это
переход '. В [29] показано, что термическая
декомпозиция гидрида палладия протекает именно
в два этапа +'. И эндотермический пик
представляет собой суперпозицию двух подпиков.
Таким образом, предлагается следующая последовательность событий при термической диссоциации гидрида титана (см. также рис. 7):
TiH1,92+TiHx
(-фаза)+'–Ti+Н.
Переход –Ti+Н чисто диффузионный и не
должен сопровождаться заметными калориметрическими эффектами.
Как только в гранулах гидрида возникает фаза, становится возможным выход водорода из
навески. Этот процесс регистрируется не только в
интервале температур регистрации эндотермических эффектов, но, что характерно, и при более
высоких температурах.
Следует отметить, что в предложенной схеме
на каждом этапе существенна роль процессов
диффузии водорода в объёме гранулы. Роль диффузионных процессов при термической диссоциации гидрида титана отмечалась неоднократно (см.,
например, [9, 13, 20, 21].
Данная схема указывает и на важную роль состояния (структуры) поверхности гранул, водородопроницаемость которых влияет на кинетику десорбции водорода и процессы термической
диссоциации гидрида титана.
Известно [9, 12, 13, 20, 28], что окисление поверхности гранул приводит к смещению при
нагреве эндотермических процессов в область более высоких температур. Окисные пленки на поверхности сплавов металл-водород играют важную
роль во многих системах металл-водород. В частности, их наличие позволяет в системах V-Н, NbH, Ta-H, Zr-Н и других сосуществовать при низком
парциальном давлении водорода твёрдым растворам и гидридным фазам при комнатных и более
высоких температурах (см. [28]). Эти пленки блокируют выход водорода из содержащих водород
сплавов и сохраняют в них высокую концентрацию
водорода. С повышением температуры водородопроницаемость таких пленок увеличивается, что
создает предпосылки для выхода водорода из
сплавов и соответствующих этапов декомпозиции.
Предложенная схема процессов термической
декомпозиции гидрида титана не только согласуется с данными калориметрических исследований,
но и учитывает влияние на эти процессы состояния
поверхности гранул и отмечает важную роль диф-
фузионного перемещения атомов водорода в объёме гранул к их поверхности.
Цитируемые ранее данные по термической декомпозиции гидрида титана, в которых отмечена
роль диффузионных процессов и роль пленок как
барьеров для выхода водорода, не противоречат
высказанной гипотезе.
В ходе работы обнаружена еще одна не акцентируемая ранее в других исследованиях особенность поведения гидрида титана при нагреве. После декомпозиции гидрида титана по схеме
TiH2Ti + H2 в рабочей навеске должен был бы
остаться только Ti. Процесс декомпозиции гидрида титана заканчивается много ниже температуры полиморфного, , превращения металлического титана, 882 °С. Предполагалось, что при
дальнейшем нагреве можно было бы наблюдать
калориметрические эффекты, обусловленные 
превращением в титане, оставшимся после декомпозиции гидрида. Экспериментами при нагреве со
скоростями 5–40 К/мин этого наблюдать не удалось (см. также [20. 24]). И только при охлаждении
и последующем термоциклировании фиксируются
определенные калориметрические эффекты на
кривых DSC. Однако их проявление (величина
теплового эффекта, вид сигнала DSC) отличается
от контрольных образцов из чистого титана.
4. Заключение
Впервые осуществлено представление эндотермических эффектов при термической диссоциации гидрида титана как суперпозиция нескольких
подпроцессов.
Показано, что термическая деструкция гидрида
титана совершается в три этапа с близкими энергиями активации.
Предполагается, что при нагреве гидрида титана происходит дискретный переход от одной модификации гидрида с высокой концентрацией атомов водорода к другим, с более низким его
содержанием.
Необходимым условием для диффузионного
выхода водорода из гранул гидрида является возникновение твердого раствора водорода в титане.
Последовательность происходящих при термической диссоциации гидрида титана процессов
можно
представить
следующей
схемой:
TiH2+TiHx (-фаза)+'Ti+Н.
После разложения гидрида и эвакуации из матрицы водорода оставшийся титан при его дальнейшем нагреве до 1100ºС не претерпевает полиморфного превращения в районе температур 
перехода титана.
Список литературы
1. Зырянов Г. Г., Могутнов Б. М., Шварцман Л. А.
Кинетика термической диссоциации гидридов
Три стадии термической диссоциации ...
переходных металлов // Доклады Академии
наук СССР. 1973. Т. 208. № 4. С. 888–891.
2. Соловецкий Ю. И., Чернявский П. А., Лунин В. В. Кинетика выделения водорода из гидридов на основе титана и циркония // Журнал
физической химии. 1982. Т. 56, вып. 7. С. 1634–
1638.
3. Лунин В. В., Соловецкий Ю. И. Общие закономерности кинетики термического разложения
гидридов переходных металлов // Журнал физической химии. 1985. Т. 59. № 9. С. 2113–
2123.
4. Dantzer P., Orgal E. Hydriding kinetics. The role
of thermal transfer // Journal of the Less-Common
Metals. 1989. V. 147. P. 27–39.
5. Lindler D. L. Mechanism for isothermal decomposition of iron titanium hydride // Inorganic Chemistry. 1978. V. 12. N. 12. P. 37213722.
6. Donghui Y, Deping H., Shangrun Y. Thermal decomposition kinetics of titanium hydride and al alloy melt foaming process // Science in China Series
B: Chemistry. 2004. V. 47. N. 6. P. 512–520.
7. Hirooka Y. Thermal decomposition of titanium hydride and its application to low pressure hydrogen
control // Journal of Vacuum Science and Technology A. 1984. V. 2. N. 1. P. 1621.
8. Gao S.-J., Huang L.-J. Hydrogen absorption and
desorption by Ti, Ti-5Cr and Ti-5Ni alloys // Journal of Alloys and Compounds. 1999. V. 293.
P. 412–416.
9. Rasooll A., Shanverdi H. R., Divandari M., Boutorabi M. A. Study of thermal decomposition kinetic of titanium hydride powder (TiH2) at high temperatures // Journal of Technical Engineering.
2008. V. 2. N. 1. P. 1–12.
10. Трефилов В. И., Лавриненко В. А., Момот Г. Г.,
Шемет В. З., Морозова Р. А. Термическая декомпозиция гидридов титана с вариацией содержания водорода и характеристиками взаимодействия с гелием // Доклады Академии наук
СССР. 1987. Т. 293. № 2. С. 403-405.
11. Wu S., Liu X., Yeung K. W. K., Hu T., Xu Z.,
Chung J. C. Y., Chu P. K. Hydrogen release from
titanium hydride in foaming of orthopedic NiTi
scaffolds // Acta Biomaterialia. 2011. V. 7.
P. 1387–1397.
12. Zeppelin F., Hirscher M., Stanzick H., Banhart J.
Desorption of hydrogen from blowing agent sused
for foaming metals // Composites Science and
Technology. 2003. V. 63. P. 2293–2300.
13. Lehmhus D., Rauch G. Tailoring titanium hydride
decomposition kinetics de annealing in various atmospheres // Advanced engineering materials.
2004. V. 6. N. 5. P. 313–330.
14. Rasooll A., Boutorabi M. A., Divandari M. The effect of high heating rate on the thermal decomposition behavior of titanium hydride (TiH) powder in
19
air // Bulletin of Material Science. 2013. V. 36.
N. 2. April. P. 301–309.
15. Stepura G., Rosenband V., Gany A. Investigation
of high temperature self-propagating combustion
synthesis of titanium hydride // Third European
Combustion Meeting; ECM 2007. China: Crete.
Greece, 2007. P. 1–6.
16. Prashanth K. G. Influence of mechanical activation on decomposition of titanium hydride // Materials and Manufacturing Processes. 2010. V. 25.
N. 9. P. 974–977.
17. Sandim H. R. Z., Morante B. V., Suzuki P. A. Kinetics of thermal decomposition of titanium hydride powder using in situ high-temperature X-ray
diffraction (HTXRD) // Materials Research. 2005.
V. 8. N. 3. P. 293–297.
18. Долуханян С. К., Алексанян А. Г., ТерГаластянО. П. Шехтман В. Ш., Сахаров М. К.,
Абросимова Г. Е. Особенности формирования
сплавов и их гидридов в системе Ti-Zr-H // Химическая физика. 2007. Т. 26. № 11. С. 36–41.
19. Chen Y, Williams J. S. Formation of metal hydrides by mechanical alloying. // Journal of Alloys
and
Compounds.
1995.
V. 217.
№ 2.
P. 181–184.
20. Metijasevic-Lux B.,
Banhart J.,
Fiechter S.
Görke O., Wanderka N. Modification of titanium
hydride for improved aluminum foam manufacture
// Acta Materialia. 2006. V. 54, P. 1887–1900.
21. Bhosle V., Baburaj E. G., Miranova M., Salama K.
Dehydrogenation of TiH2 // Materials and Engineering. 2003. V. A356. P. 190–199.
22. Takasald A., Furuya Y., Ojima K., Taneda Y. Hydride dissociation and hydrogen evolution behavior
of electrochemically charged pure titanium // Journal of Alloys and Compounds. 1995. V. 224.
P. 269–273.
23. Kisinger H. E. Variation of peak temperature with
heating rate in differential thermal analysis // Journal of Research of the National Bureau of Standards. 1956. V. 57. P. 217–221.
24. Kisinger H. E. Reaction kinetics in differential
thermal analysis // Analytical Chemistry. 1957.
V. 29. P. 1702–1706.
25. Martin M, Gommel C, Bokhart C, Fromm E. Absorption and desorption kinetics of hydrogen storage alloys // Journal of Alloys and Compounds.
1996. V. 238. N. 1–2. P. 193–201.
26. Маккей К. Водородные соединения металлов.
М.: Мир, 1968. 244 с.
27. Андриевский Р. А. Материаловедение гидридов.
М.: Металлургия, 1986. 128 с.
28. Водород в металлах / Г. Алефельд, И. Фелькль
(ред.). М.: Мир, 1981. Т. 1. 475 с.
29. Спивак Л. В. Калориметрические эффекты при
нагреве сплавов системы Pd-H // Альтернатив-
Л. В. Спивак
20
ная энергетика
С. 103110.
и
экология.
2010.
№ 7.
References
1. Zyrjаnov G. G.,
Mogutnov B. M.,
Shvarcman L. A. Kinetika termicheskoi dissociacii gidridov perehodnyh metallov. Doklady Akademii
Nauk SSSR. 1973, vol. 208, no. 4, pp. 888–891.
(In Russian)
2. Soloveckii Yu. I., Chernjаvskii P. A., Lunin V. V.
Kinetika vydelenijа vodoroda iz gidridov na osnove titana i cirkonijа. Zhurnal fizicheskoi himii.
1982, vol. 56, no. 7, pp. 1634–1638. (In Russian)
3. Lunin V. V., Soloveckii Yu .I. Obshie zakonomernosti kinetiki termicheskogo razlozhenijа
gidridov perehodnyh metallov. Zhurnal. fizicheskoi himii. 1985, vol. 59, no. 9, pp. 2113–
2123. (In Russian)
4. Dantzer P., Orgal E. Hydriding kinetics. The role
of thermal transfer Journal of the Less-Common
Metals. 1989, vol. 147, pp. 27–39.
5. Lindler D. L. Mechanism for isothermal decomposition of iron titanium hydride. Inorganic
Chemistry. 1978, vol. 12, no. 12, pp. 37213722.
6. Donghui Y, Deping H., Shangrun Y. Thermal decomposition kinetics of titanium hydride and al alloy melt foaming process. Science in China Series
B: Chemistry. 2004, vol. 47, no. 6, pp. 512–520.
7. Hirooka Y. Thermal decomposition of titanium
hydride and its application to low pressure hydrogen control. Journal of Vacuum Scientific Technology A. 1984, vol. 2, no. 1, pp. 1621.
8. Gao S.-J., Huang L.-J. Hydrogen absorption and
desorption by Ti, Ti-5Cr and Ti-5Ni alloys. Journal of Alloys and Compounds. 1999, vol. 293,
pp. 412–416.
9. Rasooll A., Shanverdi H. R., Divandari M., Boutorabi M. A. Study of thermal decomposition kinetic of titanium hydride powder (TiH2) at high
temperatures. Journal of technical engineering.
2008, vol. 2, no. 1, pp. 1–12.
10. Trefilov V. I., Lavrinenko V. A., Momot G. G.,
Shemet V. Z., Morozova R. A. Termicheskajа
dekompozicijа gidridov titana s variaciei
soderzhanijа vodoroda i harakteristikami vzaimodeistvijа s geliem. Doklady Akademii Nauk
SSSR. 1987, vol. 293, no. 2, pp. 403–405. (In
Russian)
11. Wu S., Liu X., Yeung K. W. K., Hu T., Xu Z.,
Chung J. C. Y., Chu P. K. Hydrogen release from
titanium hydride in foaming of orthopedic NiTi
scaffolds. Acta Biomaterialia. 2011, vol. 7, pp.
1387–1397.
12. Zeppelin F., Hirscher M., Stanzick H., Banhart J.
Desorption of hydrogen from blowing agent sused
for foaming metals Composites Science and
Technology. 2003, vol. 63, pp. 2293–2300.
13. Lehmhus D., Rauch G. Tailoring titanium hydride
decomposition kinetics de annealing in various
atmospheres. Advanced engineering materials.
2004, vol. 6, no. 5, pp. 313-330.
14. Rasooll A., Boutorabi M. A., Divandari M. The
effect of high heating rate on the thermal decomposition behavior of titanium hydride (TiH) powder in air. Bulletins of Material Scientific. 2013,
vol. 36, no. 2, pp. 301–309.
15. Stepura G., Rosenband V., Gany A. Investigation
of high temperature self-propagating combustion
synthesis of titanium hydride. Third European
Combustion Meeting; ECM 2007. China: Crete.
Greece. 2007, pp. 1–6.
16. Prashanth K. G. Influence of mechanical activation on decomposition of titanium hydride. Materials and Manufacturing Processes. 2010. vol. 25,
no. 9, pp. 974–977.
17. Sandim H. R. Z., Morante B. V., Suzuki P. A. Kinetics of Thermal Decomposition of Titanium
Hydride Powder Using in situ High-temperature
X-ray Diffraction (HTXRD). Materials Research.
2005, vol. 8, no. 3, pp. 293–297.
18. Doluhanjаn S. K.,
Aleksanjаn A. G.,
TerGalastjаn O. P. Shehtman V. Sh., Saharov M. K.,
Abrosimova G. E.
Osobennosti formirovanijа
splavov i ih gidridov v sisteme Ti-Zr-H. Himicheskajа fizika. 2007, vol. 26, no. 11, pp. 36–41 (In
Russian)
19. Chen Y, Williams J. S. Formation of metal hydrides by mechanical alloying. Journal of Alloys
and Compounds. 1995, vol. 217, no. 2, pp. 181–
184.
20. Metijasevic-Lux B.,
Banhart J.,
Fiechter S.
Görke O., Wanderka N. Modification of titanium
hydride for improved aluminum foam manufacture
Acta Materialia. 2006, vol. 54, pp. 1887–1900.
21. Bhosle V., Baburaj E. G., Miranova M., Salama K. Dehydrogenation of TiH2. Materials and
Engineering. 2003, vol. A356, pp. 190–199.
22. Takasald A., Furuya Y., Ojima K., Taneda Y. Hydride dissociation and hydrogen evolution behavior of electrochemically charged pure titanium.
Journal of Alloys and Compounds. 1995,
vol. 224, pp. 269–273.
23. Kisinger H. E. Variation of peak temperature with
heating rate in differential Thermal Analysis.
Journal of Research of the National Bureau of
Standards. 1956, vol. 57, pp. 217–221.
24. Kisinger H. E. Reaction kinetics in differential
thermal analysis. Analytical Chemistry. 1957,
vol. 29, pp. 1702–1706.
25. Martin M, Gommel C, Bokhart C, Fromm E. Absorption and desorption kinetics of hydrogen storage alloys. Journal of Alloys and Compounds.
1996, vol. 238, no. 1–2, pp. 193–201.
26. Makkei K. Vodorodnye soedinenijа metallov.
Moscow, Mir, 1968, 244 p. (In Russian)
Три стадии термической диссоциации ...
27. Andrievskii R. A. Materialovedenie gidridov.
Moscow, Metallurgijа, 1986, 128 p. (In Russian)
28. Vodorod v metallah / Alefel'd G., Fel'kl I. (Eds.).
Moscow, Mir, 1981, V. 1, 475 p. (In Russian)
21
29. Spivak L. V. Kalorimetricheskie yеffekty pri
nagreve splavov sistemy Pd-H. Al'ternativnajа
yеnergetika i yеkologijа. 2010, no. 7, pp. 103–
110. (In Russian)
Three stages of thermal decomposition
titanium hydride in an environment with a low
partial pressure of hydrogen
L. V. Spivak
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm
email: lspivak@psu.ru
Thermal decomposition of hydride of the titan by methods of the differential scanning calorimetry
and the thermogravitational analysis is investigated. In three stages destruction of hydride of the titan
is made. Discrete transition from modification of hydride of the titan with high concentration of atoms of hydrogen to its lower contents is supposed. The diffusive exit of hydrogen from granules
emergence of solid solution of hydrogen in the titan demands.
Keywords: hydrogen; decomposition; hydrides; calorimetric
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 532.546.6; 532.72; 532.5.013.4
О фильтрации смеси через замкнутую
полость пористой среды с учетом закупорки
Б. С. Марышев a , b
a
Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Ак. Королева, 1
Пермский государственный национальный исследовательский университет
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
email: bmaryshev@mail.ru
b
При медленной фильтрации смеси вглубь вертикального фильтра, насыщенного жидкостью,
благодаря диффузионному переносу возникает переходный слой между чистой жидкостью и
смесью. Со временем толщина этого слоя растёт, и по прошествии некоторого времени толщина вырастает до критической, при которой развивается неустойчивость Рэлея–Тейлора.
Перенос примеси в пористой среде сопровождается ее осаждением на твердый скелет среды.
Осаждение замедляет перенос и уменьшает пористость среды, тем самым увеличивая критическое время. Решена задача об устойчивости вертикального течения смеси через фильтр с
учетом осаждения примеси. Получены зависимости критического времени и формы критических возмущений от параметров задачи. Построены карты устойчивости в пространстве параметров системы
Ключевые слова: транспорт в пористой среде; закупорка; неустойчивость Рэлея–Тейлора
1. Введение
Настоящая работа посвящена исследованию
устойчивости вертикального течения смеси в замкнутой полости пористой среды. Если на верхней
границе области задать постоянное значение потока концентрации, то в этом случае концентрационное поле будет однородно по горизонтали. В вертикальном направлении эволюция концентрационного поля представляет собой продвижение плоского фронта концентрации сверху вниз. Фронт
оставляет за собой слой жидкости с повышенной
концентрацией примеси, т.е. (поскольку примесь
предполагается тяжелой) жидкость большей плотности, чем та, что находится под ним. Таким образом, формируется неустойчивая стратификация,
приводящая к развитию неустойчивости Рэлея–
Тейлора.
Неустойчивость Рэлея–Тейлора широко исследуется для несмешивающихся жидкостей [1, 2], в
том числе в пористой среде [3]. В последнем случае при развитии неустойчивости Рэлея–Тейлора
наиболее опасными являются коротковолновые
возмущения, при которых фронт дробится на все
меньшие и меньшие структуры (пальцы) вплоть до
масштабов поры. Неустойчивость Рэлея-Тейлора
при наличии диффузии наиболее часто рассматри©Марышев Б.С., 2015
22
вается для задач хемодиффузии, в которых исследуется устойчивость фронта химической реакции
[4–7]. Наиболее близкими из этих работ к рассматриваемой в настоящей работе проблеме являются
исследования [5–7] для ячейки Хеле–Шоу, так как
уравнение движения жидкости в этом случае совпадает с уравнениями Дарси для пористой среды.
Один из основных выводов этих работ состоит в
том, что наиболее опасными являются возмущения
с конечными длинами волн, с характерным масштабом порядка толщины переходного диффузионного слоя между растворяемым веществом и
растворителем.
Чаще всего в качестве модели диффузии при
описании концентрационной конвекции в пористой среде используется стандартная модель диффузии–адвекции, основанная на законе Фика [8].
Однако массоперенос в пористой среде не всегда
корректно описывается классической моделью,
поскольку часть жидкости связана, а частицы примеси, находящиеся в связанной жидкости или прилипшие к твердому скелету (адсорбированные),
становятся неподвижными, т.е. не переносятся вовсе (находятся в немобильной фазе), что подтверждается экспериментами [9, 10]. Наличие такой
осевшей примеси приводит к замедлению диффузии и, как следствие, к существенному изменению
характера конвективных течений.
О фильтрации смеси...
Модели, описывающие поведение примеси с
учётом осаждения, обычно называют MIM моделями (Mobile–Immobile Media) [11]. В рамках MIM
модели предполагается, что примесь разделена на
две фазы: мобильная – дрейфующая с фильтрационным потоком и немобильная – осевшая на твердый скелет среды или находящаяся в связанной
жидкости. Предполагается, что перенос примеси
обусловлен исключительно динамикой мобильной
фазы. Для ее описания используется классическое
уравнение диффузии со стоковым слагаемым, которое описывает отток примеси в немобильную
фазу. Межфазный поток примеси описывается кинетическим уравнением и обычно зависит от концентраций примеси, находящейся в обеих фазах.
Существует много моделей такого типа, отличающихся видом кинетического уравнения.
Модель такого типа была впервые предложена
в работе [12], а спустя несколько месяцев в работе
[13]. В этих работах в качестве кинетического закона было выбрано линейное соотношение (q = ξc)
между концентрацией немобильной (q) и мобильной (c) примесей. Такой подход позволяет описать
замедление процесса диффузии, поскольку это
приводит к простому уменьшению коэффициента
диффузии в ξ раз, что, как отмечено в работе [11],
плохо согласуется с данными эксперимента.
Впоследствии было предпринято несколько попыток построения моделей с использованием хорошо известных изотерм адсорбции Фрейндлиха и
Ленгмюра, которые достаточно хорошо описывают равновесную ситуацию при адсорбции газов и
жидкостей из растворов с малой концентрацией
[14–17]. Эти модели лучше, чем [12, 13], описывают диффузию, но сами по себе изотермы соответствуют установившемуся режиму (динамическому равновесию между фазами).
Для описания изменения концентрации немобильной примеси необходимо динамическое уравнение, описывающее кинетику процесса. Простейшей моделью такого рода стала модель с
кинетикой первого порядка, в которой скорость
межфазного перехода линейно зависит от концентраций примеси в обеих фазах. Такая модель впервые предложена в работе [18] и развита в работе [11].
Экспериментально показано, что для достаточно малых значений концентрации (до 10–15% от
объёма) линейная модель корректно описывает перенос [11, 19]. В случае больших значений концентрации необходимо учитывать эффект насыщения
немобильной фазы (концентрация осевшей примеси не может превышать некоторый предел). Это
обстоятельство было впервые учтено в [20], где
была предложена модель с кинетикой второго порядка.
Для описания более сложных случаев, когда
необходим учет гетерогенности среды или некоторых ее геометрических и химических свойств, до-
23
статочно часто используются модели более высокого порядка (см., например, [21]). В случае протекания химической реакции при соприкосновении
примеси со скелетом также возможно использование кинетической модели. Например, для учета
протекания реакции разрушения примеси (осаждения на стенку в виде нерастворимого продукта реакции) возможно использование кинетического
уравнения, в котором скорость адсорбции не зависит от концентрации адсорбированной примеси.
Простейшее кинетическое уравнение такого вида
было применено в работе [22].
Осевшая примесь уменьшает пористость среды.
Очевидно, что пористость линейно зависит от объемной концентрации примеси, находящейся в немобильной фазе. Таким образом, осаждение примеси сказывается и на проницаемости среды.
Обычно зависимость проницаемости от пористости среды описывается законом Козени–Кармана
[23], полученным из геометрических соображений.
Существует еще несколько распространенных эмпирических и полуэмпирических соотношений,
описывающих случай значительных значений концентрации примеси или некоторые специальные
виды примесей, например [24].
В данной работе изучается линейная устойчивость вертикального однородного течения смеси в
прямоугольной области пористой среды с учетом
эффекта осаждения примеси. Возмущения предполагаются двумерными. Боковые границы области
считаются непроницаемыми, на верхней и нижней
– задаются конечные значения потоков жидкости и
концентрации смеси. В качестве закона движения
жидкости использована модель Дарси-Буссинеска
в приближении малых ускорений жидкости [8].
Учет иммобилизации производится в рамках линейной MIM модели [11], зависимость проницаемости от пористости учитывается формулой Козени–Кармана [23].
Статья состоит из четырех частей, в первой изложена постановка задачи. Вторая часть посвящена исследованию основного состояния, соответствующего распространению плоского фронта.
Задача устойчивости плоского фронта решается в
третьей части статьи, где получены нейтральные
кривые и карты устойчивости в пространстве параметров системы. Четвертая часть, являющаяся
заключением настоящей работы, посвящена обсуждению основных результатов.
2. Постановка задачи
2.1.Концентрационная конвекция в пористой
среде
Уравнения, описывающие концентрационную
конвекцию в приближении Дарси–Буссинеска [8],
с учетом особенностей линейной MIM модели [11]
Б.С. Марышев
24
и закупорки пористой среды по механизму Козени–Кармана [23], запишем следующим образом:
примеси C0 . На верхней и нижней границах скорость фильтрации постоянна, на верхней границе
задан постоянный поток концентрации F равный
V0C0 ( V0   0,V0  ), на нижней границе ставится
 t  cm  cim   V cm  Dcm ,
 t cim    cm  K d cim  ,
0
V  cm j   P,
  
(2.1)
divV  0,
     0 3 / 1    ,
2
  0  cim ,
где j – единичный вектор, направленный против
силы тяжести, cm , cim – объемные концентрации
примеси, находящейся в мобильной и немобильной фазах соответственно, V – скорость фильтрационного потока жидкости, P – добавка к гидростатическому давлению,  ,  – проницаемость и
пористость среды, D – эффективный коэффициент диффузии,  – коэффициент концентрационного расширения,  – плотность чистой жидкости,
 – параметр межфазного обмена, K d – коэффициент распределения примеси,  0 – параметр
Кармана и 0 пористость незагрязнённой среды,
символом  t обозначено дифференцирование по
времени. Первое уравнение системы (2.1) описывает динамику мобильной примеси, второе – кинетику «фазового перехода», третье – уравнение
Дарси–Буссинеска, представляющее собой закон
фильтрации, четвертое – условие несжимаемости,
пятое – зависимость проницаемости среды от пористости – формула Козени–Кармана, седьмое –
зависимость пористости от концентрации примеси
в немобильной фазе.
2.2.Постановка задачи
0
F = C0 V
L x
L
V
L
y
сти. Через верхнюю границу осуществляется прокачка смеси со скоростью V0 и концентрацией
gj
C / y  0
Рис 1. Конфигурация задачи
Рассматривается устойчивость однородного
вертикального течения смеси в квадратной поло-
условие отсутствия диффузионного потока. Такие
граничные условия достаточно популярны при
описании фильтрации в вертикальном фильтре со
свободным вытеканием жидкости снизу [25]. Конфигурация задачи представлена на рис. 1.
Обезразмерим уравнения (2.1). Для этого выберем следующие масштабы длины, времени давления:
 L  L, t  
L2
D
D
, V   ,  p  
, c   C0 . (2.2)
D
L
0
В этом случае безразмерная форма уравнений (2.1)
может быть записана в виде:
 t  cm  cim   V cm  cm ,
 t cim  acm  bcim ,
V  Rpcm j     P,
divV  0,
(2.3)
     3 / 1    ,
2
  0  C0 cim .
Уравнения (2.3) содержат пять безразмерных параметров: a   D / L2 , b   Kd D / L2 – безразмерные коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно, Rp  C0 gL 0  /  D0 
– число
Рэлея-Дарси, С0 – концентрация примеси в прокачиваемой смеси и 0 – пористость незагрязненной
среды. Уравнения (2.3) должны быть дополнены
граничными условиями, которые могут быть записаны в виде:
Vcm  cm / yj  y 0  Pej,
cm / y y 1  0, cm / x x 0,1  0,
(2.4)
они
содержат
дополнительный
параметр
Pe  V0 L / D – число Пекле.
Будем исследовать устойчивость строго вертикального течения смеси, В этом случае должна
быть решена отдельная задача для определения
поля концентрации примеси. Решение такой задачи описывает основное состояние, исследованию
которого посвящен следующий параграф.
3. Основное состояние
Получим решение задачи (2.3), (2.4) в предположении V   0, Pe  , cm  C  y  и сim  Q  y  . Такое решение дается следующей задачей:
О фильтрации смеси...
25
 t  C  Q    2y C  Pe y C ,  t C  aC  bQ ,
y
V   0, Pe  , P0  
VC   C 
y
1
 RpC  y ', t   Pe  dy ',

0
y 0
 C0 Pe,  y C
y 1
(3.1)
 0,
ных значений параметра десорбции. Видно, что
увеличение параметра десорбции приводит к интенсификации перехода примеси из немобильной
фазы в мобильную. Увеличение параметра адсорбции приводит к обратному эффекту.
где C  y, t  , Q  y, t  , P0  y, t  – распределения кон-
0.1
центрации примеси, находящейся в мобильной и
немобильной фазах, и давления, соответственно.
Символами  t ,  y ,  x обозначены производные по
0.2
0.4
C
0.8
1 2
0.5
0.6
y
1: b=1
2: b=3
3: b=5
4: b=7
5: b=9
0.6
0.8
1 2345
1
0
0
0.4
0.4
1
0.6
C
0.2
ное основное состояние системы и описывает продвижение горизонтального концентрационного
фронта вглубь фильтра. Результаты численного
решения задачи (3.1) представлены на рис. 2.
0
0.3
0
соответствующим координатам. Решение C  y, t  ,
Q  y, t  , P0  y, t  представляет собой нестационар-
0.2
3 4 5 6
0.1
0.2
Q
0.3
0.4
0.5
0
5 4 3
0.2
2
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
6 5 4 3 21
0.4
y
y
1: Pe=0.1
2: Pe=0.5
3: Pe=1
4: Pe=2
5: Pe=3
6: Pe=5
0.6
0.8
1: b=1
2: b=3
3: b=5
4: b=7
5: b=9
1
Q
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
1 2 3
4 5 6
0.2
0.4
y
1: Pe=0.1
2: Pe=0.5
3: Pe=1
4: Pe=2
5: Pe=3
6: Pe=5
0.6
0.8
1
6 54 3 2 1
Рис. 2. Семейство профилей концентрации примеси, находящейся в мобильной
(сверху) и немобильной (снизу) фазах в
момент времени t = 0.5. При различных
значениях числа Пекле значения параметров сорбции выбраны следующим образом: a = 3, b = 6
Влияние параметров сорбции на распределение
концентрации показано на рис. 3. На этом рисунке
представлены профили концентрации для различ-
Рис. 3. Семейство профилей концентрации примеси, находящейся в мобильной
(сверху) и немобильной (снизу) фазах в
момент времени t = 0.5. При различных
значениях параметра десорбции значения
параметра адсорбции и числа Пекле выбраны следующим образом: a = 3, Pe = 1
На рис. 2, 3 представлены профили концентрации для фиксированного момента времени, однако
процесс распространения примеси нестационарен.
Примесь со временем проникает все дальше вглубь
фильтра, при этом градиент концентрации растет.
В некоторый момент времени градиент достигает
критического значения и возникает неустойчивость Рэлея–Тейлора в виде распространяющихся
«пальцеобразных» структур. Характер распространения примеси в фильтре может быть проиллюстрирован рис. 4.
Распространение фронта концентрации вглубь
фильтра представлено зависимостями концентрации от вертикальной координаты в различные моменты времени (см. рис. 4). Это распространение
происходит достаточно медленно, характерное
Б.С. Марышев
26
время процесса – диффузионное время (см. формулу (2.2)). Поскольку характерные значения эффективного
коэффициента
диффузии
D ~ 102 103 см2/ч [11], то характерный масштаб
времени для фильтра размерами 10 см может быть
оценён как   L2 / D  104 105 ч. Время  в несколько сотен раз больше характерного времени
развития неустойчивости Рэлея–Тейлора. Развитие
последней определяется вязкими временами, характерные значения которых можно оценить, решая задачу для возмущений основного состояния.
C
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
4.2. Уравнения для возмущений
Введем возмущения для скорости фильтрации,
концентрации и давления в следующем виде:
0.2
y
0.4
1: t=0.2
2: t=0.4
3: t=0.6
4: t=0.8
5: t=1
0.6
0.8
1
2
3
1
4
5
Q
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
0.2
y
0.4
0.6
0.8
1
устойчивости. Этот подход и условия его применимости подробно рассмотрены в работах [26, 27].
Из рис. 4 видно, что концентрационный профиль на самом деле меняется со временем, и неустойчивая стратификация сформируется только
при достижении критического градиента концентрации. Тогда время формирования состояния, отвечающего критическим условиям, войдёт в задачу
устойчивости в качестве дополнительного параметра tc, а критические распределения концентрации даются следующим решением задачи (3.1):
C(y,tc), Q(y,tc).
1
2
3
4
5
Рис. 4. Семейство профилей концентрации примеси, находящейся в мобильной
(сверху) и немобильной (снизу) фазах, в
различные моменты времени. Значения
времен для каждой кривой указаны в легенде. Значения параметров сорбции и
числа Пекле выбраны следующим образом:
a = 3, b = 6, Pe = 1.
4. Линейная задача устойчивости
 u, w  V   0, Pe  ,
q  cim  Q  q,
c  cm  C ,
p  P  P0 ,
(4.1)
где u, w – горизонтальная и вертикальная компоненты возмущения скорости фильтрации, c, q –
возмущения поля концентрации примеси, находящейся в мобильной и немобильной фазах, p – возмущение поля давления. Будем интересоваться
нейтральными возмущениями, соответствующими
монотонной моде неустойчивости (в соответствии
с квазистатическим подходом [27]), т.е. производные по времени от возмущений всех рассматриваемых полей равны нулю (  t  0 ). Дополнительно,
будем считать возмущения малыми, т.е. опустим
нелинейные по возмущениям слагаемые в уравнениях (2.3). В этом случае уравнения (2.3) в терминах возмущений могут быть записаны в виде:
 2x c   2y c  w y C  y, tc   Pe y c,
a
c, u      x p,
b
w  Rpc      y p,  x u   y w  0,
q
(4.2)
     3 / 1    ,   0  C0  Q  y, tc   q  .
2
Исключим возмущения скорости фильтрации с
помощью условия несжимаемости:
 y C  y , tc      y p  cRp   Pe y p 
  2y c   2x c,
4.1.Квазистатический подход
При решении задачи для возмущений будем
предполагать, что неустойчивая стратификация
формируется намного медленнее, чем развивается
неустойчивость Рэлея–Тейлора. Характерные времена развития неустойчивости будут оценены ниже. Таким образом, профиль концентрации предполагается стационарным при решении задачи
  
 y Q  y , tc   y p  Rp y c 

      2y p   2x p  ,
q
a
3
c ,    
,
2
b
1   
  0  C0 Q  y , tc   q  ,
(4.3)
О фильтрации смеси...
27
учтём, что граничные условия на вертикальных
стенках фильтра  x c x 0,1   x p x 0,1  0 , тогда
1
5
3
0.6
tc
 y C  y , tc      y p  cRp   Pe y p 
  
 y Q  y , tc   y p  Rp y c 

q
1
0.2
4
0
(4.4)
20
40
60
a

c ,    
,
2
b
1   
 y p
y  0,1
4.3. Нейтральные кривые
Задача (4.4) описывает критическое состояние,
которое определяется некоторым соотношением
между параметрами задачи. На рис. 5 представлены нейтральные кривые, описывающие такие зависимости, на плоскости параметров (tc, Rp).
Как видно из рис. 5 (сверху), увеличение скорости потока приводит сначала (до значения
Pe  3.7 ) к дестабилизации (критическое значение
числа Рэлея–Дарси падает), а затем к стабилизации. Этот эффект связан с влиянием скорости потока как на основное состояние, так и на возмущения. Так, повышение числа Пекле приводит к
размытию профиля концентрации, что приводит к
увеличению толщины слоя жидкости большей
плотности, находящегося над жидкостью с меньшей плотностью, что дестабилизирует систему.
Дальнейшее увеличение числа Пекле приводит к
интенсификации выноса возмущений из полости,
т.е. стабилизации конвекции.
120
1: C0=1%
2: C0=5%
3: C0=10%
4: C0=15%
5: C0=20%
1
1.2
2
 0.
Задача (4.4) является задачей на собственные
значения, она содержит семь параметров Rp, tc, Pe,
a, b, ϕ0, C0. Параметры сорбции a, b входят в задачу устойчивости лишь в качестве отношения, однако решение задачи для основного состояния зависит от каждого из них в отдельности. Параметры
ϕ0, C0 не оказывают влияния на решение задачи
для основного состояния, а решение задачи устойчивости, очевидно, должно зависеть лишь от их
отношения, поэтому можно фиксировать пористость ϕ0 во всех расчётах. Пусть ϕ0 = 0.5. Запись
задачи в форме (4.4) (когда параметры записаны
отдельно) более удобна для анализа.
Задача на собственные значения (4.4) решалась
численно методом дифференциальной прогонки,
для решения пространственной задачи использовался метод Рунге–Кутты–Мерсона [28].
100
1.6
3
tc
y  0,1
80
Rp
3
  0  C0 Q  y , tc   q  ,
 yc
2
0.4
  2y c   2 c,
      2y p   c  ,
7
0.8
p, c ~ sin(πx) и задача для возмущений преобразуется к виду:
1: Pe=1
2: Pe=2
3: Pe=3
4: Pe=5
5: Pe=10
6: Pe=15
7: Pe=20
6
5 4
0.8
0.4
0
20
40
60
80
100
120
Rp
Рис. 5. Нейтральные кривые на плоскости
параметров Rp, tc, построенные для различных значений числа Пекле (сверху) и
различных значений начальной концентрации смеси (снизу) (значения параметров указаны в легенде). Значения параметров сорбции выбраны следующим
образом: a = 3, b = 6. Значение начальной
концентрации для верхнего рисунка
C0 = 10%, значение числа Пекле для нижнего рисунка Pe = 10. Неустойчивость
реализуется в области выше кривых при
указанных значениях параметров
Рис. 5 (снизу) демонстрирует нейтральные кривые на плоскости параметров (Rp, tc) при различных значениях начальной концентрации C0. Повышение начальной концентрации приводит к
дестабилизации, поскольку более насыщенная
смесь приводит к повышению плотности жидкости. Так же усиливается засорение пористой среды, поскольку параметр C0 входит в зависимость
проницаемости от концентрации осевшей примеси,
что ослабляет течение и вынос возмущений из полости замедляется.
Также из рис. 5 видно, что каждая нейтральная
кривая начинается из некоторой точки на плоскости (Rp, tc), т.е. неустойчивость не реализуется для
достаточно малых значений числа Рэлея-Дарси.
Такое поведение обусловлено конечностью филь-
Б.С. Марышев
28
тра по вертикали, поскольку в этом случае толщины фильтра не хватает для формирования слоя повышенной плотности, достаточной для реализации
неустойчивости толщины. Этот эффект также иллюстрируется на рис. 6.
1.2
5
1: a=1
2: a=2
3: a=3
4: a=6
5: a=9
4
0.8
tc
3
2
0.4
1
0
20
40
60
80
100
120
Rp
4.4. Карты устойчивости
1.6
1
1: b=1
2: b=3
3: b=5
1.2
tc
2
0.8
3
0.4
0
20
40
60
шем увеличении параметра адсорбции десорбция
«не справляется» с отводом примеси из немобильной фазы, в результате чего происходит ее накопление в немобильной фазе. Поскольку скорость
перехода примеси в мобильную фазу пропорциональна ее концентрации в немобильной фазе, немобильная примесь становится источником и
начинает уже обогащать смесь у верхней границы
области (где при продвижении фронта происходило интенсивное оседание примеси). В результате
жидкость становится более тяжелой, однако этот
процесс требует длительного времени, что объясняет рост критического времени при росте параметра адсорбции. Влияние параметра десорбции в
целом обратно, однако при достаточно больших
значениях параметра не наблюдается интенсификации перехода примеси из немобильной фазы, поскольку преобладает десорбция и в немобильной
фазе примесь практически отсутствует.
80
100
120
Rp
Рис. 6. Нейтральные кривые на плоскости
параметров Rp, tc, построенные для различных значений параметров сорбции
(значения параметров указаны в легенде).
Значения числа Пекле и начальной концентрации выбраны следующим образом:
Pe = 10, C0 = 10%. Значение параметра
десорбции для верхнего рисунка b = 3, значение параметра адсорбции для нижнего
рисунка a = 6. Неустойчивость реализуется в области выше кривых при указанных значениях параметров
На рис. 6 представлены нейтральные кривые на
плоскости параметров (Rp, tc) для различных значений параметров сорбции. Из рис. 6 (сверху) видно, что увеличение параметра адсорбции может
приводить как к стабилизации течения, так и к дестабилизации. При увеличении a до значения
a  3.9 наблюдается стабилизация, обусловленная
тем, что интенсифицируется переход примеси в
немобильную фазу и смесь обедняется, в результате чего жидкость становится легче. При дальней-
Как уже было замечено выше, неустойчивая
стратификация, соответствующая неустойчивости
Рэлея-Тейлора, при некоторых условиях не может
сформироваться в принципе. Эта ситуация соответствует малым значениям числа Рэлея-Дарси, на
нейтральных кривых наименьшее его значение,
при котором может наблюдаться неустойчивость,
соответствует обрыву кривой слева. Из рис. 5 и 6
видно, что положение точки обрыва кривых зависит от параметров задачи, такая зависимость в
пространстве параметров задачи представляет собой карту устойчивости.
Карты устойчивости, изображённые на плоскостях различных параметров, представлены на
рис. 7. На рис. 7, а представлены карты устойчивости на плоскости параметров (Pe, Rp) при различных значениях начальной концентрации. Видно,
что повышение концентрации приводит к дестабилизации системы. Поскольку с ростом начальной
концентрации проницаемость уменьшается, возмущения «запираются» внутри исследуемой полости, а перепад плотности смеси растет. По мере
роста числа Пекле, характеризующего безразмерную скорость фильтрационного потока в основном
состоянии, при его малых значениях наблюдается
дестабилизация, что связано с размытием диффузионного фронта в основном состоянии. При
больших значениях числа Пекле наблюдается стабилизация, связанная с выносом возмущений из
фильтра. Такие же выводы можно сделать из анализа рис. 7, б.
На рис. 7, б изображены карты устойчивости на
плоскости параметров (C0, Rp) при различных значениях числа Пекле. Рост начальной концентрации
дестабилизирует конвекцию, при этом дестабилизация тем сильнее, чем больше значение числа
Пекле.
О фильтрации смеси...
160
29
а
1: C0=1%
2: C0=5%
3: C0=10%
4: C0=15%
5: C0=20%
120
Rp
1
80
2
3
4
5
40
0
0
2
4
6
8
10
Pe
5
Rp
80
б
1: Pe=1
2: Pe=5
3: Pe=10
4: Pe=15
5: Pe=20
100
1
4
60
3
2
40
Рис. 7, в содержит карты устойчивости на плоскости параметров (a, Rp) при различных значениях
параметра десорбции. Зависимости (рис. 7, в) немонотонны, при малых значениях a происходит
стабилизация течения при увеличении параметра
адсорбции, связанная с интенсификацией перехода
примеси в немобильную фазу, что приводит к
обеднению мобильной фазы и уменьшению перепада плотности смеси. Если значение параметра
адсорбции достаточно велико, то дальнейшее его
увеличение приводит к дестабилизации конвекции,
что связано с накоплением примеси в немобильной
фазе. Поскольку скорость притока примеси в мобильную фазу линейно зависит от ее концентрации
в немобильной фазе, то немобильная фаза становится источником примеси. Примесь накапливается там в процессе формирования неустойчивой
стратификации, а при наступлении неустойчивости
достаточно мощный источник примеси дестабилизирует конвекцию. Концентрация примеси в немобильной фазе, которая соответствует основному
состоянию, тем больше, чем меньше значение коэффициента десорбции. Поэтому при увеличении
коэффициента десорбции величина эффекта
уменьшается.
5. Заключение
20
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
C0
в
60
1: b=1
2: b=3
3: b=6
50
Rp
3
2
40
1
30
0
2
4
6
8
10
a
Рис. 7. Карты устойчивости на различных плоскостях параметров задачи: а –
карта устойчивости на плоскости
(Rp, Pe) при различных значениях начальной концентрации и значениях параметров сорбции a = 3, b = 6; б – карта
устойчивости на плоскости (Rp, C0) при
различных значениях числа Пекле и значениях параметров сорбции a = 3, b = 6; в –
карта устойчивости на плоскости
(Rp, a) при различных значениях параметра десорбции и Pe = 10, C0 =10%. Неустойчивость реализуется в области выше кривых
Исследована устойчивость плоского диффузионного фронта, равномерно распространяющегося
вдоль вертикальной оси в ограниченном пористом
фильтре по отношению к двумерным возмущениям с учетом осаждения примеси на твердый скелет
пористой среды и ее закупорки. Выяснено, что основным механизмом неустойчивости является неустойчивость Рэлея–Тейлора. Неустойчивость Рэлея–Тейлора развивается не сразу, а только по
прошествии некоторого критического времени, за
которое успевает сформироваться неустойчивая
стратификация смеси.
Задача решена в предположении квазистатичности основного состояния сформировавшегося
слоя смеси большей плотности, находящейся над
жидкостью меньшей плотности. Предполагается,
что характерное развития неустойчивости РэлеяТейлора намного меньше, чем время формирования неустойчивой стратификации. Оценка времени
формирования приведена в п. 3, оно составляет
  L2 / D  104 105 ч. Оценку времени развития
неустойчивости Рэлея–Тейлора можно произвести
на основе выражения для числа Рэлея–Дарси. Поскольку Rp ~ L, а минимальное критическое значение min Rpc 10, оно определяет характерную
толщину вязкого слоя, в котором развиваются
возмущения. Пусть толщина такого слоя l, тогда
L = l min Rpc, а для времени развития возмущений
получим τR = τ / (min Rpc)2 ≥ 0.01 τ. Это означает,
что характерное время развития неустойчивости в
Б.С. Марышев
30
100 раз меньше, чем время формирования неустойчивой стратификации. Эти оценки оправдывают использование квазистатического подхода.
В рамках такого подхода были получены
нейтральные кривые и карты устойчивости в пространстве параметров задачи. Выяснено, что основное состояние, соответствующее неустойчивости Рэлея–Тейлора, не может сформироваться при
значении числа Рэлея–Дарси меньше некоторого
минимального критического. Построены карты
устойчивости, представляющие собой зависимости
минимального критического значения числа Рэлея–Дарси от параметров задачи.
Работа выполнена при поддержке Совета по
грантам Президента РФ для молодых российских
учёных (грант МК-6851.2015.1)
Список литературы
1. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon, 1961. 704 P.
2. Hattori F., Takabe K, Mima K. Rayleigh–Taylor
instability in a spherically stagnating system //
Physics of Fluids. 1986. Vol. 29. N. 5. P. 1719–
1724.
3. Sharma R. C., Sunil J. Thermal instability of a
compressible finite-Larmor-radius Hall plasma in a
porous medium // Journal of Plasma Physics. 1996.
Vol. 55. N. 1. P. 35–45.
4. Yang J., D’Onofrio A., Kalliadasis S., De Wit A.
Rayleigh–Taylor instability of reaction-diffusion
acidity fronts // Journal of Chemical Physics. 2002.
Vol. 117. N 20. P. 9395-9408.
5. Voltz C., Pesch W., Rehberg I. Rayleigh–Taylor
instability in a sedimenting suspension // Physical
Review E. 2001. Vol. 65, 011404.
6. Lima D., van Saarloos W., De Wit A. Rayleigh–
Taylor instability of pulled versus pushed fronts //
Physica D. 2006. Vol. 218. N 2. P. 158–166.
7. Bratsun D. A., Shi Y., Eckert K., De Wit A., Control of chemo-hydrodynamic pattern formation by
external localized cooling // Europhysics Letters.
2005. Vol. 69, N. 5. P. 746–752.
8. Nield D. A., Bejan A. Convection in Porous Media.
New York: Springer, 2006. P. 654.
9. Latrille C., Cartalade A. New experimental device
to study transport in unsaturated porous media / in:
Birkle P., Torres I. S. (Ed). Water–Rock Interaction // Leiden: CRC Press, 2010. P. 299–302.
10. Agaoglu B., Scheytt T., Copty N. K., Laboratoryscale experiments and numerical modeling of
cosolvent flushing of multi-component NAPLs in
saturated porous media // Journal of Contaminant
Hydrology. 2012. Vol. 140. P. 80–94.
11. Van Genuchten M. Th., Wierenga P. J. Mass transfer studies in sorbing porous media I. analytical so-
lutions // Soil Science Society of America Journal.
1976. Vol. 40. P. 473–480.
12. Shamir U. Y., Harleman D. R. F. Dispersion in
layered porous media // Journal of Hydraulic Division: Proceedings of American Society of Civil
Engineers. 1967. N. 93. P. 237–260.
13. Lindstrom F. T., Haque R., Freed V. H., Boersma L. Theory on movement of some herbicides
in soils: Linear diffusion and convection of chemicals in soil // Environmental Science and Technology. 1967. N. 2. P. 561–565.
14. Barry D. A., Parker J. C. Approximations for solute transport through porous media with flow
transverse to layering // Transport in Porous Media. 1987. Vol. 2. N. 4. P. 65–82.
15. Bosma W. J. P., van der Zee S. E. A. T. M. Analytical approximations for nonlinear adsorbing solute
transport in layered soils // Journal of Contaminant
Hydrology. 1992. Vol. 10. N. 2. P. 99–118.
16. Selim H. M.,
Davidson J. M.,
Rao P. S. C.
Transport of reactive solutes through multilayered
soils // Soil Science Society of America Journal.
1977. Vol. 41. N. 1. P. 3–10.
17. Wu Y. S., Kool J. B., Huyakorn P. S An analytical
model for nonlinear adsorptive transport through
layered soils // Water Resources Research. 1997.
Vol. 33, N. 1. P. 21–29.
18. Deans H. A. A mathematical model for dispersion
in the direction of flow in porous media // Society
of Petroleum Engineers Journal. 1963. N. 3. P. 49–
52.
19. Bromly M., Hinz C. Non-Fickian transport in homogeneous unsaturated repacked sand // Water Resources Research. 2004. Vol. 40, W07402.
20. Selim H. M., Amacher M. C. Reactivity and
transport of heavy metals in soils. Boca Raton:
CRC Press, 1997. 240 P.
21. Leij F. J., Dane J. H., Van Genuchten M. Th.
Mathematical analysis of one-dimensional solute
transport in a layered soil profile // Soil Science
Society of America Journal. 1991. Vol. 55. N. 4.
P. 944–953.
22. Liuzong Zh., Selim H. M. Solute transport in layered soils: nonlinear and kinetic reactivity // Soil
Science Society of America Journal. 2001. Vol. 65.
N. 4. P. 1056–1064.
23. Kozeny J. Ueber kapillare Leitung des Wassers im
Boden // Sitzungsber Akademie der Wissenschaften. 1927. Vol. 136. P. 271–306.
24. Gruesbeck C., Collins R. E. Entrainment and deposition of fine particles in porous media // SPE
Journal. 1982. Vol. 22. P. 847–856.
25. Maryshev B.,
Cartalade A.,
Latrille C.,
Joelson M., Néel M.-Ch. Adjoint state method for
fractional diffusion: parameter identification //
О фильтрации смеси...
Computers and Mathematics with Applications.
2013. Vol. 66. N 5. P. 630-638.
26. Riaz A., Hesse M., Tchelepi H. A., Orr F. M. Onset
of convection in a gravitationally unstable diffusive
boundary layer in porous media // Journal of Fluid
Mechanics. 2006. Vol. 548. P. 87–111.
27. Rees D. A. S., Selim A., Ennis-King J. P. The instability of unsteady boundary layers in porous
media / In: Vadasz P. (Ed.) Emerging topics in
heat and mass transfer in porous media. New York:
Springer, 2008. P. 85–109.
28. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations.
New Jersey: Prentice Hall, 1977. P. 270.
References
1. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford, England: Clarendon Press,
1961. 704 p.
2. Hattori F., Takabe K, Mima K. Rayleigh–Taylor
instability in a spherically stagnating system. Physics of Fluids. 1986, vol. 29, no. 5, pp. 1719–1724.
3. Sharma R. C., Sunil J. Thermal instability of a
compressible finite-Larmor-radius Hall plasma in a
porous medium. Journal of Plasma Physics. 1996,
vol. 55, no 1, pp. 35–45.
4. Yang J., D’Onofrio A., Kalliadasis S., De Wit A.
Rayleigh–Taylor instability of reaction-diffusion
acidity fronts. Journal of Chemical Physics. 2002,
vol. 117, no. 20, pp. 9395–9408.
5. Voltz C., Pesch W., Rehberg I. Rayleigh–Taylor
instability in a sedimenting suspension. Physical
Review E. 2001, vol. 65, 011404.
6. Lima D., van Saarloos W., De Wit A. Rayleigh–
Taylor instability of pulled versus pushed fronts
Physica D. 2006, vol. 218, no. 2, pp. 158–166.
7. Bratsun D. A., Shi Y., Eckert K., De Wit A. Control of chemo-hydrodynamic pattern formation by
external localized cooling. Europhysics Letters.
2005, vol. 69, no. 5, pp. 746–752.
8. Nield D. A., Bejan A. Convection in Porous Media. New York, USA: Springer, 2006, 654 p.
9. Latrille C., Cartalade A. New experimental device
to study transport in unsaturated porous media. In:
Birkle P., Torres I. S. (Eds.) Water – Rock Interaction. Leiden, Netherlands: CRC Press, 2010, pp.
299–302.
10. Agaoglu B., Scheytt T., Copty N. K. Laboratoryscale experiments and numerical modeling of
cosolvent flushing of multi-component NAPLs in
saturated porous media. Journal of Contaminant
Hydrology. 2012, vol. 140, pp. 80–94.
11. Van Genuchten M. Th., Wierenga P. J. Mass transfer studies in sorbing porous media I. analytical solutions. Soil Science Society of America Journal.
1976, vol. 40, pp. 473–480.
31
12. Shamir U. Y., Harleman D. R. F. Dispersion in
layered porous media. Journal of Hydraulic Division: Proceedings of American Society of Civil
Engineers. 1967, no. 93, pp. 237–260.
13. Lindstrom F. T., Haque R., Freed V. H., Boersma
L. Theory on movement of some herbicides in
soils: Linear diffusion and convection of chemicals
in soil. Environmental Science and Technology.
1967, no. 2, pp. 561–565.
14. Barry D. A., Parker J. C. Approximations for solute transport through porous media with flow
transverse to layering. Transport in Porous Media.
1987, vol. 2, no. 4, pp. 65–82.
15. Bosma W. J. P., van der Zee S. E. A. T. M. Analytical approximations for nonlinear adsorbing solute transport in layered soils. J. Contam. Hydrol.
1992, vol. 10, no. 2, pp.99–118.
16. Selim H. M., Davidson J. M., Rao P. S. C.
Transport of reactive solutes through multilayered
soils. Soil Science Society of America Journal.
1977, vol. 41, no. 1, pp. 3–10.
17. Wu Y. S., Kool J. B., Huyakorn P. S. An analytical
model for nonlinear adsorptive transport through
layered soils. Water Resources Research. 1997,
vol. 33, no. 1, pp. 21–29.
18. Deans H. A. A mathematical model for dispersion
in the direction of flow in porous media. Society of
Petroleum Engineering Journal. 1963, no. 3,
pp. 49–52.
19. Bromly M., Hinz C. Non-Fickian transport in homogeneous unsaturated repacked sand. Water Resources Research. 2004, vol. 40, W07402.
20. Selim, H. M., Amacher M. C. Reactivity and
Transport of Heavy Metals in Soils. Boca Raton,
USA: CRC, 1997. 240 p.
21. Leij F. J., Dane J. H., Van Genuchten M. Th.
Mathematical analysis of one-dimensional solute
transport in a layered soil profile. Soil Science Society of America Journal. 1991, vol. 55, no. 4,
pp. 944–953.
22. Liuzong Zh., Selim H. M. Solute Transport in
Layered Soils: Nonlinear and Kinetic Reactivity.
Soil Science Society of America Journal. 2001,
vol. 65, no. 4, pp. 1056–1064.
23. Kozeny J. Ueber kapillare Leitung des Wassers im
Boden. Sitzungsber Akademie der Wissenschaft.
1927, vol. 136, pp. 271–306.
24. Gruesbeck C., Collins R. E. Entrainment and deposition of fine particles in porous media. SPE
Journal. 1982, vol. 22, pp. 847–856.
25. Maryshev B., Cartalade A., Latrille C., Joelson M.,
Néel M.-Ch. Adjoint state method for fractional
diffusion: parameter identification. Computational
and Mathematics with Applications. 2013, vol. 66,
no. 5, pp. 630–638.
26. Riaz A., Hesse M., Tchelepi H. A., Orr F. M. Onset of convection in a gravitationally unstable dif-
Б.С. Марышев
32
fusive boundary layer in porous media. Journal of
Fluid Mechanics. 2006, vol. 548, pp. 87–111.
27. Rees D. A. S., Selim A., Ennis-King J. P. The instability of unsteady boundary layers in porous
media. In: P. Vadasz (Ed.) Emerging topics in heat
and mass transfer in porous media. New York,
USA: Springer, 2008. pp. 85–109.
28. Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations.
New Jersey, USA: Prentice Hall, 1977. 270 p.
Mixture filtration through porous enclosure
with presence of pore clogging
B. S. Maryshev a , b
a
Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Koroleva St. 1, 614013, Perm
email: bmaryshev@mail.ru
b
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm
The considered problem is the stability of slow homogeneous flow of mixture into the vertical porous filter with taking into account the pore blockage effect. This filtration generates the transition
layer between pure fluid and mixture because of the diffusion phenomena. The depth of this layer
increases with time. When this depth reaches the critical value, the flow becomes unstable and the
Rayleigh-Taylor fingering instability is observed. The solute transport in porous media is complicated by the immobilization of solute. The immobilization slows down the diffusion process and the
porosity of media decreases because of clogging of media by the immobilized solute particles. These
two effects lead to increase in the critical time which is needed to form unstable transition layer. The
work is devoted to solving of linear stability problem in described system. The instability conditions
are investigated. The neutral curves, critical times and stability maps are obtained.
Keywords: transport in porous media; pore clogging; Rayleigh–Taylor instability
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 537.611.3
Влияние термической обработки на эффект
Баркгаузена в аморфном сплаве 2НСР
Л. В. Спивакa, А. В. Сосуновa, О. В. Расторгуеваb
a
Пермский государственный национальный исследовательский университет,
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
email: alexeisosunov@gmail.com
b
Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
614990, г. Пермь, ул. Комсомольский проспект, д. 29
email: rastorguevaolga07@gmail.com
Исследовано влияние температуры и среды отжига аморфного металлического сплава 2НСР
на число скачков и структуру спектра шумов Баркгаузена в переменном магнитном поле частотой 50 Гц. Показано, что после отжига в вакууме суммарное число скачков Баркгаузена
уменьшается по сравнению с суммарным числом скачков Баркгаузена, полученных после отжига образцов в атмосфере воздуха. В результате возникновения нанокристаллической структуры при расстеклования аморфного металлического сплава после отжига эффект Баркгаузена становится малозаметным. Предполагается, что это обусловлено тем, что размер
нанокристаллитов становится соизмеримым с размером магнитных доменов.
Ключевые слова: аморфный сплав; нанокристаллическая структура; кристаллизация; магнитные домены; отжиг; эффект Баркгаузена
1. Введение
В аморфных металлических сплавах (АМС)
внутренняя намагниченность разбита на части –
магнитные домены. Предполагается [1, 2], что
намагничивание в АМС происходит путем перемещения границ магнитных доменов и вращения
вектора спонтанной намагниченности. Пример такой доменной структуры показан на рис. 1.
Рис. 1. Доменная структура АМС на основе железа [3]
В АМС, полученных закалкой на диске, были
обнаружены домены, разделенные 180°-ными границами, и планарные домены лабиринтной струк-
туры. Появление доменов с 180°-ными границами
соответствует «мягкому» намагничиванию, а планарных доменов – «жёсткому» намагничиванию.
Наличие на кривой намагничивания скачков Баркгаузена соответствует торможению 180º-ных границ доменов в одной или нескольких точках [2].
Термическая обработка (отжиг) приводит к релаксации аморфной структуры [4], при которой
имевшиеся ранее в аморфном материале внутренние напряжения могут снижаться. В результате
магнитная анизотропия и закрепление границ доменов в значительной степени будут устраняться.
Однако при повышении температуры отжига выше
определенного значения наблюдается сильный
рост коэрцитивной силы. Это резкое повышение
происходит вблизи температуры кристаллизации
АМС, поэтому наиболее вероятной причиной закрепления границ доменов считается появление
нанокристаллической фазы. Показано (см. [4–6]),
что на начальной стадии кристаллизации возникают мельчайшие нанокристаллиты размером 10–50
нм.
Естественно, что наряду с исследованием
влияния отжига на такие характеристики
магнитного состояния АМС, как коэрцитивная
сила, магнитная восприимчивость, индукция
насыщения, также были осуществлены и
исследования эффекта Баркгаузена [7, 8]. Авторы
© Спивак Л. В., Сосунов А. В., Расторгуева О. В., 2015
33
34
Л. В. Спивак, А. В. Сосунов, О. В. Расторгуева
работы [7] наблюдали эффект Баркгаузена при
постепенном увеличении магнитного поля и
регистрации скачков ЭДС баллистическим
гальванометром. Другим подходом [8] является
анализ огибающей спектра шумов Баркгаузена при
измерениях в переменном магнитном поле. Такие
исследования носили эпизодический характер и
давали в основном качественные результаты.
Статистическое обеспечение этих измерений
оказалось недостаточным для установления какихлибо
общих
закономерностей
влияния
термической предыстории на характеристики
доменной структуры АМС.
С появлением более современных методов
регистрации шумов Баркгаузена появилась
возможность вновь вернуться к рассмотрению
влияния термической обработки на эффект
Баркгаузена в АМС.
Целью настоящего исследования являлось
изучение эффекта Баркгаузена после различного
термического воздействия с учетом влияния на
магнитные свойства АМС среды нагрева и
охлаждения. Учет среды нагрева существенен,
поскольку влияние среды при отжиге АМС на их
магнитные свойства было предметом специальных
исследований [9, 10].
2. Методика исследования
Объектом исследования служил аморфный металлический сплав 2НСР (Fe–77Ni–1Si–9B–13),
представляющий собой ленту шириной 10 мм и
толщиной 50 мкм. Термическую обработку проводили в атмосфере воздуха (нагрев со скоростью
10 °/мин без выдержки с последующим охлаждением) и в вакууме 10–2 мм рт. ст. с той же скоростью нагрева и охлаждения.
Данные по дифференциальной сканирующей
калориметрии (DSC) были получены с помощью
прибора STA «Jupiter» 449 фирмы Netzsch. Нагрев
и охлаждение производили со скоростью 10 °/мин
в атмосфере аргона. Обработка экспериментальных данных по DSC реализована с использованием
программного обеспечения «Proteus Analysis» и
пакета «Fityk».
Регистрацию скачков Баркгаузена осуществляли с помощью специального аппаратурного комплекса (рис. 2), в котором накладной электромагнит создавал магнитное поле в объеме образца с
амплитудой 100–200 А/м. Датчик представлял собой измерительную катушку, фиксирующую электродвижущую силу, которая вызвана изменением
магнитного потока. Частота переключения магнитного поля составляла 50 Гц. Перемагничивание
в объеме образца было однородным. Для визуализации изменения ЭДС использовался осциллограф
Velleman PCS64i. Результаты измерений обрабатывались с помощью специального программного
пакета. Программное обеспечение позволяет опре-
делить общее число скачков Баркгаузена и установить их распределение по амплитудам. Результаты
усреднялись по трем измерениям для каждого образца.
Рис. 2. Принципиальная схема прибора для наблюдения скачков Баркгаузена в АМС: 1 – генератор
пилообразного напряжения, 2 – намагничивающий
соленоид, 3 – исследуемый образец, 4 – измерительная катушка (число витков – 1000), 5 – усилитель сигнала (коэффициент усиления – 1000), 6
– осциллограф, 7 – электромагнитный экран
3. Экспериментальные результаты
и их обсуждение
На рис. 3 показаны изменение числа скачков
Баркгаузена в зависимости от температуры отжига
на воздухе и вакууме при различном значении
магнитного поля, а также вид сигнала DSC при
нагреве в выбранном интервале температур.
Экзотермические максимумы на DSC кривой
связаны с развитием процесса расстеклования, который для АМС на основе железа протекает в два
этапа с образованием кристаллических фаз S1 и S2
[2]. Именно в этом интервале температур фиксируется после отжига в вакууме или на воздухе увеличение числа скачков Баркгаузена (рис. 3, б). Увеличение числа скачков Баркгаузена связано в
первую очередь с наличием роста планарных доменов, обеспечивающих большую подвижность
доменных стенок. Минимальное же число скачков
отвечает отжигу после завершения процесса расстеклования: переходу от аморфного состояния в
нанокристаллическое. Причем после отжига при
температуре 650°С эффект Баркгаузена в таком
структурном состоянии в этих условиях его измерения практически не выявляется. При этом другие
ферримагнитные свойства сплава регистрируются.
Во всех случаях после отжига на воздухе число
скачков Баркгаузена заметно больше, чем после
отжига в вакууме.
С уменьшением величины магнитного поля
(рис. 3, а), в котором измеряется эффект Баркгаузена, изменения числа скачков Баркгаузена наблюдаются после отжига при более низкой температуре (на 50°С), чем после отжига в вакууме. Однако
и в этом случае основные изменения в числе скачков Баркгаузена происходят вблизи и в районе
температур развития экзотермических процессов
при расстекловании аморфного сплава 2НСР.
Влияние термической обработки на эффект Баркгаузена
35
а
а
б
Рис. 3. Зависимость числа скачков Баркгаузена
(N) от температуры отжига: а – полученная в
режиме 100 А/м; б – 200 А/м соотнесена с данными DSС анализа (пунктир)
Анализ структуры спектра шумов Баркгаузена
по амплитудам показан на рис. 4 и свидетельствует
о том, что с увеличением температуры отжига число скачков Баркгаузена с относительно большими
амплитудами меняется относительно мало. Практически все наблюдаемые изменения в числе скачков Баркгаузена связаны с малыми амплитудами
изменения ЭДС при измерении эффекта Баркгаузена.
В общем случае эффект Баркгаузена выражается в числе скачков Баркгаузена и их ЭДС [11].
Число скачков Баркгаузена должно соотноситься с
числом доменов, границы которых смещаются при
наложении внешнего магнитного поля. Амплитуда
скачков Баркгаузена  с площадью, которую захватывает такая граница при своем движении от
одних препятствий (стопоров) своему движению
до других [11]. Поэтому изменение структуры
АМС до и в процессе расстеклования должно влиять на обе эти характеристики эффекта Баркгаузена. По завершении процесса расстеклования, когда
структура сплава становится в основном объеме
нанокристаллической, возникает, по-видимому,
ситуация, когда размер доменов становится близким к размерам нанокристаллитов. То есть объем
отдельного нанокристаллита не разбивается, как
обычно, на несколько магнитных доменов, а имеет
однодоменную магнитную структуру: один кристалл – один домен.
б
Рис. 4. Распределение числа скачков Баркгаузена
(N) по амплитудам (А): а – после отжига на воздухе; б – в вакууме при измерении в режиме 200 А/м
Известно (см. [2]), что при развитии процессов
расстеклования в сплаве присутствует несколько
фаз: фазы S1, S2 и еще не прошедшая кристаллизацию аморфная фаза. Таким образом, строение
сплава характеризуется наличием кристаллитов,
относящихся к различным фазам и аморфной прослойке между ними.
Осложняющее интерпретацию экспериментальных результатов обстоятельство связано с
наличием в сплаве магнитных доменов различного
типа: 180°-ных доменов и так называемых планарных доменов, которые не синхронно реагируют на
изменения структуры сплава в процессе его расстеклования и последующего измерения эффекта
Баркгаузена.
Анализ спектра шумов Баркгаузена по значению величины скачков Баркгаузена как раз и показывает, что в первую очередь изменяется число
скачков Баркгаузена с малыми амплитудами. Об
этом же свидетельствует влияние напряженности
магнитного поля на скачки Баркгаузена (рис. 3).
Уменьшение величины магнитного поля при
измерении эффекта Баркгаузена сопровождается
исчезновением внешнего проявления этого эффекта при более низких температурах в случае отжига
в вакууме по сравнению с отжигом на воздухе.
При отжиге на воздухе следует учесть еще одно
обстоятельство. Выше 450 °С начинается слабое
окисление поверхности ленты АМС и закрепление
36
Л. В. Спивак, А. В. Сосунов, О. В. Расторгуева
границ зёрен, соприкасающихся с такой поверхностью [8,9]. Это должно приводить к появлению
дополнительных точек закрепления доменных границ и увеличивать число доменов, участвующих в
формировании эффекта Баркгаузена. Эксперимент
подтверждает такое предположение. Можно допустить, что существует некоторое пороговое значения магнитного поля, ниже которого эффект Баркгаузена в АМС на основе железа не
регистрируется.
4. Заключение
Впервые проведено исследование аморфного
металлического сплава 2НСР в знакопеременном
магнитном поле с регистрацией числа и амплитуд
шума Баркгаузена.
Обнаружена немонотонная зависимость числа
скачков Баркгаузена от температуры отжига в районе температур расстеклования аморфного металлического сплава 2НСР. Показано, что увеличение
магнитного поля приводит к увеличению числа
скачков Баркгаузена.
Установлено, что среда отжига влияет на распределение скачков Баркгаузена по амплитудам и
на общее число таких скачков.
Предполагается, что уменьшение числа скачков
Баркгаузена при расстекловании АМС связано с
возникновением нанокристаллитов, размер которых сопоставим с размером магнитных доменов.
Последнее должно приводить к уменьшению числа
скачков Баркгаузена, поскольку границы зерен являются эффективными барьерами для движения
стенок Блоха.
Высказаны соображения о существовании зависимого от структуры сплава и среды отжига некоторого порогового значения внешнего магнитного поля, ниже которого эффект Баркгаузена в
АМС на основе железа не регистрируется.
Авторы выражают благодарность за финансовую поддержку исследований Министерству образования Пермского края (грант С-26/628)
Список литературы
1. Гусев А. И. Наноматериалы, структуры, технологии. М.: Физматлит, 2009. 416 с.
2. Судзуки К., Фудзимори Х., Хасимото К.
Аморфные металлы. М.: Металлургия, 1987.
328 с.
3. Скрябина Н. Е., Спивак Л. В., Вылежнев В. П.,
Хоминский В. А. Влияние водорода на свойства
аморфного сплава Fe–78Nb–3,5Cu–1B–4Si–13,5
// Письма в журнал технической физики. 1996.
Т. 22, вып. 23. С. 36–39.
4. Абросимова Г. Е. Эволюция структуры аморфных сплавов // Успехи физических наук. 2011.
Т. 181. № 12. С. 1265–1281.
5. Спивак Л. В., Лунегов И. В. К вопросу о существовании зародышей кристаллизации в
аморфных металлических сплавах // Вестник
Пермского университета. Серия: Физика. 2013.
Вып. 2 (24). С. 33–35.
6. Жалнин Б. В., Кекало И. Б., Скаков Ю. А., Шелехов Е. Б. Фазовые превращения и изменение
магнитных характеристик в процессе формирования нанокристаллического состояния в
аморфном сплаве на основе железа // Физика
металлов и металловедение. 1995. Т. 79. № 5.
С. 94–106.
7. Кекало И. Б., Столяров В. Л., Тараничев В. Е.
Влияние отжига на закономерности процессов
намагничивания и перемагничивания в аморфных сплавах // Аморфные металлические сплавы / ред. Ю.А. Скаков. М.: Металлургия, 1983.
С. 68–76.
8. Носкова Н. И., Шулика В. В., Лаврентьев А. Г.,
Потапов А. П., Корзунин Г. С. Особенности
структуры и параметров эффекта Баркгаузена
аморфных сплавов после различных термических обработок // Дефектоскопия. 2004. №9.
С. 63–68.
9. Скулкина Н. А., Степанова Е. А., Иванов О. А.,
Назарова Л. А. Влияние химически активной
среды на магнитные свойства быстрозакаленных сплавов на основе железа. Среда отжига и
магнитные свойства лент аморфных магнитомягких сплавов // Физика металлов и металловедение. 2001. Т. 91, вып. 1. C.17–23.
10. Скулкина Н. А., Иванов О. А., Степанова Е. А.
Оценочный расчет распределения намагниченности в лентах аморфных магнитомягких сплавов // Известия Российской Академии наук. Серия физическая. 2001. Т. 65. № 10. С. 1483–
1486.
11. Рудяк В. М. Эффект Баркгаузена // Успехи физических наук. 1970. Т. 101. С. 429–462.
References
1. Gusev A. I. Nanomaterials, structures and
technology. Moscow: Fizmatlit, 2009. 416 p. (In
Russian)
2. Suzuki K, Fujimori H, Hashimoto K (Eds.)
Amorphous Metals, London: Butterworths, 1983
(Rus. ed.: Sudzuki K., Fudzimori H., Hasimoto K.
Amorfnye metally. M.: Metallurgija, 1987, 328 p.).
3. Skryabina N. E., Spivak L. V., Vylezhnev V. P.,
Hominsky V. A. Effect of hydrogen on the
properties
of
amorphous
alloy
Fe78Nb3,5Cu1B4Si13,5.
Technical
Physics
Letters, 1996, Vol. 22, no. 23. pp. 36–39 (In
Russian).
4. Abrosimova G. E. Evolution of the structure
of amorphous alloys. Physics-Uspekhi, 2011,
vol. 54, pp. 1227–1242.
5. Spivak L. V., Lunegov I. V. To a question of
existence of germs crystallizations in amorphous
metal alloys. Bulletin of Perm University. Series:
Physics, 2013, no. 2 (24), pp. 33–35 (In Russian).
Влияние термической обработки на эффект Баркгаузена
6. Zhalnin B. V.,
Kekalo I. B.,
Skakov Y. A.,
Shelehov E. B. Phase transitions change the
magnetic characteristics in the formation of the
nanocrystalline state in amorphous iron-based
alloys. The Physics of Metals and Metallography,
1995, vol. 79, no. 5, pp. 94–106. (In Russian)
7. Kekalo I. B., Stolyarov V. L., Taranichev V. E.
Vlijanie otzhiga na zakonomernosti processov
namagnichivanija i peremagnichivanija v amorfnyh
splavah (Influence of annealing on the regularities
of magnetization and magnetization reversal in
amorphous alloys). In: Amorphous metal alloys
(Amorfnye metallicheskie splavy). Ed. Skakov
Y.A. Moscow: Metallurgy. 1983. pp. 68–76 (In
Russian)
8. Noskova N. I., Shulika V. V., Lavrentyev A. G.,
Potapov A. P., Korzunin G. S. Structure and
Barkhausen effect parameters of amorphous alloys
after various heat treatments. Russian Journal of
37
Nondestructive Testing, 2004, vol. 40, no. 9, pp.
620–624.
9. Skulkina N. A., Stepanova E. A., Ivanov O. A.,
Nazarova L. A. Influence of chemically active
medium on the magnetic properties of rapidly
quenched iron-based alloys. Media annealing and
magnetic properties of amorphous magnetic alloys
ribbons. The Physics of Metals and Metallography,
2001, vol. 91, no. 1, pp.17–23.
10. Skulkina N. A., Ivanov O. A., Stepanova E. A.
Ocenochnyj
raschjot
raspredelenija
namagnichennosti
v
lentah
amorfnyh
magnitomjagkih
splavov
(Estimating
the
distribution of the magnetization in the soft
magnetic ribbons of amorphous alloys). Bulletin of
the Russian Academy of Sciences: Physics, 2001,
vol. 65. no. 10, pp. 1483–1486 (In Russian).
11. Rudyak V. M. The Barkhausen effect. Soviet
Physics Uspekhi, 1971, vol. 13, pp. 461–479.
Effect of heat treatment on the Barkhausen effect in
amorphous alloy 2NSR
L. V. Spivaka, A. V. Sosunova, O. V. Rastorguevab
a
Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm
email: alexeisosunov@gmail.com
b
Perm National Research Polytechnic University, Komsomolsky st., 29, 614990, Perm
email: rastorguevaolga07@gmail.com
We study the effect of temperature and the environment annealing amorphous metal alloy 2NSR the number of
jumps and the structure of the spectrum of the Barkhausen noise in an alternating magnetic field of 50 Hz. It is
shown that after annealing in a vacuum the total number of Barkhausen jumps is reduced as compared with the
total number of Barkhausen jumps obtained after annealing the sample in an air atmosphere. Barkhausen effect
becomes less noticeable as a result of the emergence of a nanocrystalline structure in the devitrification of the
amorphous metal alloy after annealing. It is assumed that the size of nanocrystals becomes comparable with the
size of the magnetic domains due to the fact above.
Keywords: amorphous alloy, nanocrystalline structure, crystallization, magnetic domains, annealing, effect of
Barkhausen
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып.3 (31)
УДК 532.5.032
Собственные азимутальные колебания
цилиндрического пузырька в сосуде
конечного объема
А. А. Алабужев a , b , М. И. Кайсина b
a
Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1
Пермский государственный национальный исследовательский университет,
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
email: alabuzhev@mail.ru
b
Рассматриваются собственные азимутальные колебания газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью конечного объёма в цилиндрическом сосуде. В равновесном состоянии пузырек имеет форму цилиндра и ограничен в осевом направлении двумя параллельными
твердыми поверхностями. Скорость движения линии контакта пропорциональна отклонению
краевого угла от его равновесного значения. Исследована зависимость частот и декрементов
затухания собственных колебаний от параметров задачи. Частоты собственных колебаний
уменьшаются с увеличением радиуса сосуда и увеличиваются с ростом геометрического параметра (отношение равновесного радиуса пузырька к его высоте). Для основной частоты
каждой моды существует интервал значений постоянной Хокинга, на котором эта частота обращается в нуль. Длина этого интервала растет с увеличением геометрического параметра.
Ключевые слова: собственные колебания; азимутальные колебания; линейные колебания; динамика
контактной линии; цилиндрический пузырек
1. Введение
Данная статья продолжает цикл работ [1–6],
посвященных изучению собственных и вынужденных колебаний цилиндрического газового пузырька.
В работах [1, 2] изучались осесимметричная
мода собственных колебаний и вынужденные колебания цилиндрического газового пузырька в однородном пульсационном поле давления. Предполагалось, что внешняя поверхность жидкости
свободная, т.е. поверхностное натяжение на внешней поверхности жидкости достаточно мало, и им
можно пренебречь. Фактически это означает, что
внешняя жидкость окружена невесомым газом с
постоянным безразмерным давлением, равным
единице. Трансляционная мода собственных колебаний такого пузырька исследовалась в [3], азимутальные моды – в [4]. Твердая внешняя стенка у
жидкости учитывалась в работах [5, 6] при исследовании влияния осесимметричных вибраций и в
работе [5] – трансляционных.
В перечисленных выше работах движение линии контакта трех сред (твердая пластина–
© Алабужев А. А., Кайсина М. И., 2015
38
жидкость–газ) описывалось эффективным граничным условием, допускающим линейную связь
между скоростью движения линии контакта и краевым углом [7] (равновесный краевой угол предполагается прямым):
 *
 k   * ,
t
(1.1)
где  * – отклонение поверхности от равновесного
положения, * – феноменологическая постоянная
(постоянная Хокинга), k – вектор нормали к твердой поверхности. Условие (1.1) описывает два
важных предельных случая: фиксированной контактной линии и фиксированного краевого угла
при  * t  0 и k   *  0 соответственно.
В работе [7], при изучении затухания стоячих
волн на поверхности жидкости между двумя вертикальными стенками, было показано, что граничное условие (1.1) приводит к затуханию колебаний,
за исключением двух указанных выше предельных
случаев. Следовательно, затухание связано с взаимодействием движущейся контактной линии с неровностями (шероховатостями) твердой поверхно-
Влияние движения линии контакта …
39
сти, а параметр * зависит от свойств жидкости и
поверхности. Отметим, что условие (1.1) отличается от работ, посвященных растеканию жидкости
[8–11] или взаимодействию капли (пузырька) со
стенкой [12, 13].
Кроме упомянутых выше работ [1–7] условие
(1.1) использовалось при исследовании колебаний
полусферической капли несжимаемой жидкости на
подложке [14, 15], полусферического газового пузырька в жидкости конечной глубины на подложке
[16], жидкого (капиллярного) моста [17], цилиндрической капли [18] и сжатой капли (имеющей
форму фигуры вращения) [19–21].
Условие фиксированной контактной линии, которое является предельным случаем (1.1), использовалось, например, при исследовании собственных колебаний жидкого моста в поле тяжести [22],
параметрической неустойчивости полуцилиндрической капли слабовязкой жидкости на подложке
[23] и цилиндрической капли [24]. Другой предельный случай, фиксированный контактный угол,
рассматривался, например, при изучении колебаний сжимаемой полусферической капли на подложке [25] и цилиндрической капли несжимаемой
жидкости при многочастотном воздействии [26].
В работах [27–29] использовалось более сложное граничное условие, учитывающее гистерезис
краевого угла [30, 31]:
    c ,   c

*
   0,    c ,
t *
   ,   
c
c

ный идеальной жидкостью плотностью  e* (рис. 1).
В сосуде находится газовый пузырек, который в
состоянии равновесия имеет форму цилиндра радиусом r0* и высоты h* . Краевой угол между боковой поверхностью пузырька и твердыми плоскостями в равновесии прямой.
Газ в пузырьке считаем невесомым. Состояние
газа описывается политропным процессом. В работах [1, 3, 16, 28] было показано, что в этом случае пульсационное давления газа оказывает влияние только на объемную моду собственных
колебаний. Следовательно, при исследовании поверхностных мод это давление можно не учитывать, и пузырек ведет себя как капля несжимаемой
жидкости.
В силу симметрии задачи будем использовать
цилиндрическую систему координат  r * ,  * , z*  .
Боковую поверхность пузырька можно описать соотношением:
r *  r0*   *  , z* , t *  ,
где  *  , z* , t *  – функция, описывающая отклонение поверхности от равновесного положения.
z*
h*
r*
*
(1.2)
где    * z* – отклонение краевого угла от
равновесного значения, z * – координата, ортогональная к твердой поверхности и увеличивающаяся вглубь жидкости. Условие (1.2) хорошо описывает результаты экспериментальных работ [32, 33]
при малых отклонениях краевого угла.
При исследовании движения цилиндрической
капли жидкости в переменном электрическом поле
[34–36] использовалось модифицированное условие (1.1): скорость движения контактной линии
пропорциональна сумме отклонения краевого угла
и скорости быстрых релаксационных процессов,
частоты которых пропорциональны удвоенной частоте электрического поля.
В данной работе рассматриваются азимутальные собственные колебания цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью в замкнутом сосуде конечного объема.


*
e
R0*
Рис. 1. Геометрия задачи
Выберем в качестве единиц измерения времени
–
e* r0*3  * , радиальной координаты – r0* , осевой
координаты – h* , отклонения поверхности – амплитуду колебаний A* , скорости – A*  * e* r0*3 ,
давления – A* * r0*2 , где  * . – коэффициент поверхностного натяжения.
Рассматриваемая система описывается следующими линейными уравнениями (задача линеаризуется по малой относительной амплитуде внешнего воздействия):
 

p  
  2 zeit  ,   0 ,
 t


2. Постановка задачи
Постановка рассматриваемой задачи аналогична [5, 6]. Рассмотрим замкнутый сосуд цилиндрической формы радиуса R0* и высоты h* , заполнен-
r0*
*
e
r 1:
(2.1)
1     1 2
2
 2,
r  2
2
r r  r  r 
z
 p   
2
 2
 
2  

b
,
,

2
2
t
r

z
(2.2)
А. А. Алабужев, М. И. Кайсина
40

 0,
z
(2.3)


,
 
t
z
(2.4)

 0,
r
(2.5)
z  1 2 :
z  1 2, r  1 :
r  R:
сти пузырька от положения равновесия, r  r * r0* ,
z  z* h* – безразмерные координаты; квадратными скобками обозначим скачок величины на
границе раздела между жидкостью и пузырьком.
Краевая задача (2.1)–(2.5) содержит следующие
безразмерные параметры: малую относительную
амплитуду   A* r0* , параметр смачивания
e*r0*  * ,
br h ,
*
0
RR r ,
*
0
*
0
геометрический
радиус
*
внешней
(o)
(o)
(e)
(e)
(o)
, bmn
, bmn
, cmn
, cmn
, d m e  , d m o  –
amn
неизвестные амплитуды, i – мнимая единица,
(e)
Am( e0)  r   r m , Bm( e0)  r   r  m , Amn
 r   Im  2n br  ,
(e)
Bmn
 r   Km  2n br  , Amn(o)  r   Im   2n  1  br  и
где  – потенциал скорости жидкости, p – давление жидкости,  – отклонение боковой поверхно-
  *
(e)
где  – частота собственных колебаний, amn
,
параметр
поверхности
безразмерная частота вибраций –
  * e*r0*3  * .
(o)
Bmn
 r   Km   2n  1  br  при n  1 , I m , K m –
модифицированные функции Бесселя m-го порядка, m  2 – азимутальное квантовое число, n –
волновое квантовое число. Вид решения (3.2)
написан исходя из кинематического условия (2.2),
а два первых слагаемых (3.2) являются частным
решением условия баланса нормальных напряжений (2.2). Решения (3.1), (3.2) являются суммой
четных и нечетных мод собственных колебаний,
где под четностью подразумеваем четность функций относительно смены знака координаты z.
Подставляя решения (3.1), (3.2) в задачу (2.1)–
(2.5), получаем спектрально-амплитудную задачу,
собственными числами которой являются частоты
 собственных колебаний. Из решения этой задачи следует, что собственные числа находятся из
следующих уравнений:
для четных мод:
n


1 f mn 
f0


  ( e )2

( e )2
2
  m,0   2 

n 1  m , n  


(3.3)
2
2
 m  1   m  1  m2  1 

  0,
 ch 
sh 
 2b 
 2b 
ib




2
3. Собственные колебания
Рассмотрим собственные азимутальные колебания цилиндрического газового пузырька. Решение задачи (2.1)–(2.5) будем искать в виде рядов
Фурье по собственным функциям оператора
Лапласа. Для потенциала  и отклонения поверхности  запишем решения следующим образом:



  r , z, t   Re   m  r , z  eim eit  ,
 m2

(3.1)
 m  r, z  



(o) (o)
(o) (o)
  amn
Amn  r   bmn
Bmn  r   sin   2n  1  z  ,
 

  z, t   Re    m  z  eim eit  ,
 m2

m  z  
 m2  1 
 m2  1 
 d m e  ch 
z   d m o  sh 
z




b
b







(e)
(o)
  cmn
cos  2 nz   cmn
sin   2n  1  z  ,
n 0
(me,)2n
(e)
(e)
Fmn
 Bmn
1
( e )
Amn
 R
B   R
(e)
mn
(e)
 Amn
1 ,
(e)
( e )
Gmn
 Amn
1  Bmn(e) 1
(e) (e)
(e) (e)
 i   amn
Amn  r   bmn
Bmn  r   cos  2 nz  
n 0
R 2 m 1  1
,
R 2 m 1  1
G(e)
  m2  1  4 2 n2 b2  mn
,
(e)
Fmn
(me,0)2  m  m2  1
fm0 
(3.2)
( e )
Amn
 R
( e )
Bmn
 R
,
 m2  1 
,
sh 
m2  1  2b 
2b
4  1
n 1
 m2  1 

,
sh
m2  1  4 2 n 2b 2  2b 
для нечетных мод:
f mn 
 1
b
 m2  1 



sh
( o )2
2
 2b 
n 0 m,n  


 m2  1  m2  1 
  0,

ch 
 2b 
ib



2 
n
g mn
(3.4)
Влияние движения линии контакта …

2
2 2
(o)2
m , n  m  1   2n  1  b
2
(o)
Fmn
 Bn( o ) 1
( o )
Amn
 R
( o )
Bmn
 R
 GF
(o)
mn
(o)
mn
41
уравнения (3.4), m,2 k 1 ( m  2 , k  0,1,... ). Таким
,
образом, частоты m, n собственных колебаний с
нечетным индексом n будут соответствовать нечетным модам (3.4), а с четным n – четным модам
(3.3).
Зависимости частот и коэффициентов затухания первых мод собственных колебаний для m = 2
и m = 3 от параметра  показаны на рис. 2 и 3.
(o)
 Amn
1 ,
(o)
( o )
Gmn
 Amn
1  Bmn(o) 1
(o)
Amn
 R
( o )
Bmn
 R
,
4  1 b
 m2  1 
.
ch 
 2b 
m  1  (2n  1)  b


n
g mn 
2
2
30
2 2
Re(2,n)
Здесь (me,)n , (mo,)n – частоты собственных колеба-
20
n=2
ний пузырька с фиксированным краевым углом
( e )
Amn
(т.е.
при
λ → ∞);
 r   Amn(e)  r  r ,
10
n=1
(o)
A   r   Amn
 r  r ,
(e)
B   r   Bmn
 r  r ,
(o)
mn
(o)
B   r   Bmn
 r  r ,
(o)
mn
(e)
mn
n=0
f mn – коэффициенты раз-
0


0.01
ложения в ряд Фурье функции ch z m2  1 / b по


4
геометрического параметра b равных 1/  2 n  и
n=1
1/   2n  1   соответственно. При меньших зна-
Уравнения (3.3), (3.4) будут иметь действительные решения только в двух предельных случаях:   0 (закрепленная линия контакта) и   
(фиксированный краевой угол). В общем случае,
эти уравнения имеют комплексные корни, что
приводит к затуханию колебаний, которое вызвано
диссипацией на линии контакта.
Аналогично работам [1–6] для удобства будем
обозначать частоты четных мод, определяемых
уравнением (3.3), m,2 k ( m  2 , k  0,1,... ), а частоты нечетных мод, которые являются решением
 100
n=2
6
(me,)n и (mo,)n обращаются в нуль при значениях
4. Результаты
10
8
Im( 2,n)
по базисным функциям sh z m2  1 / b . Частоты
чениях b квадраты этих частот становятся отрицательными, что соответствует развитию неустойчивости
Рэлея
(или
Рэлея–Плато)
для
цилиндрического столба жидкости [37–40]. Следовательно, возможное минимальное значение
b  1/  , что равняется половине длины волны Рэлеевской неустойчивости.
Полученные уравнения (3.3), (3.4) качественно
похожи на аналогичные уравнения для нахождения
частот собственных колебаний цилиндрической
капли несжимаемой жидкости [18] и цилиндрического пузырька в жидкости со свободной поверхностью [4] и решались методом секущих.
1
а
базисным функциям cos  2 nz  , g mn – коэффициенты разложения в ряд Фурье функции sin  z / b 
0.1
2
n=0
0
0.01
0.1
1
10
 100
б
Рис. 2. Зависимость от  ( b  1 , R  5 ): а – частоты Re  2, n  ; б – коэффициента затухания
Im  2, n 
.
Частота собственных колебаний монотонно
уменьшается с увеличением  (рис. 2, а, 3, а). Эти
графики качественно совпадают с аналогичными
зависимостями из работ [1, 3, 4]. Отметим, что для
Re    строится только одно решение, сопряженное ему решение (четное относительно оси абсцисс) на графиках не приводится. Наибольшее
значение частоты имеет пузырек с закрепленной
линией контакта (   0 ), наименьшее – с фиксированным краевым углом (    ). Максимальное
затухание достигается при конечных значениях
параметра  (рис. 2, б, 3, б). Как уже отмечалось
выше, коэффициент затухания свободных колебаний Im     0 в предельных случаях   0 и
   (рис. 2, б, 3, б). Отметим также, что значения инкрементов затухания увеличиваются с ро-
А. А. Алабужев, М. И. Кайсина
42
стом волнового числа n (рис. 2, б, 3, б), т.е. более
высокочастотные колебания (рис. 2, а, 3, а) затухают быстрее. Кроме того, для более высоких мод
зависимости частоты и коэффициента затухания
будут аналогичными.
На рис. 4–6 приведены частоты и инкременты
затухания трех первых мод для трех значений геометрического параметра b. В качестве примера на
рис. 7 также построена основная частота и инкремент затухания свободных колебаний моды m = 2
для нескольких значений b.
Из графиков следует, что значение частоты
(рис. 4, а, 5, а, 6, а, 7, а) растет с b (т.е. с увеличением равновесного радиуса или уменьшением высоты пузырька). Максимальное значение коэффициента затухания тоже увеличивается с ростом b
(см. рис. 4, б, 5, б, 6, б, 7, б).
Действительная часть частоты m,0 обращается
в нуль на некотором интервале значений 
(рис. 4, а, 5, а, 6, а). Длина этого интервала зависит
от параметра b и растет с увеличением значений.
При b = 1 действительная часть основных частот m,0 не обращается в нуль при любом значении  (рис. 4а). Однако при b = 2 уже существует
интервал значений  , на котором Re  2,0   0
(рис. 5, а), а при b = 2 подобные интервалы есть
уже для Re  2,0  и Re  3,0  (рис. 6, а).
12
Re(m0)
m=4
8
m=3
4
m=2
0
0.01
0.1
1
 100
10
а
3
Im( m,0)
m=2
2
m=3
1
m=4
0
0.01
0.1
10  100
1
б
Рис. 4. Зависимость от  ( b  1 , R  5 ):
а – частоты Re  m,0  ; б – коэффициента затухания Im  m,0 
30
16
Re(n)
Re(m0)
20
n=2
10
n=1
12
m=4
8
m=3
n=0
4
0
0.01
0.1
1
10
 100
а
m=2
0
0.01
0.1
1
 100
10
а
8
20
Im( 3,n)
n=2
Im( m,0)
6
15
4
m=2
10
n=1
2
m=3
5
m=4
n=0
0
0
0.01
0.1
1
10
 100
0.01
0.1
1
10
 100
б
Рис. 3. Зависимость от  ( b  1 , R  5 ):
а –частоты Re  3, n  ; б – коэффициента
б
Рис. 5. Зависимость от  ( b  2 , R  5 ):
затухания Im  3, n 
та затухания Im  m,0 
а – частоты Re  m,0  ; б – коэффициен-
Влияние движения линии контакта …
24
20
100
Im( 2)
Im( 2)
m=3
15
75
m=2
10
50
m=4
Re(m0)
43
18
b=5
12
b=5
5
25
b=3
b=1
b=1
0.01
6
0.1
10  100
1
0.01
0.1
1
а
0
0.01
0.1
1
10
 100
а
b=3
0
0
10  100
б
20
100
Im( 3)
Im( 3)
15
75
10
50
b=5
30
b=5
5
Im( m,0)
m=2 m=3
20
25
b=3
b=1
b=1
b=3
0
0
0.01
0.1
10  100
1
0.01
0.1
1
в
10
m=4
0
20
100
Im( 4)
Im( 4)
15
75
10
50
b=5
5
0.01
0.1
1
10  100
б
b=5
b=3
b=1
та затухания Im  m,0 
b=3
b=1
0
0.01
а – частоты Re  m,0  ; б – коэффициен-
0.1
10  100
1
0.01
0.1
1
10  100
д
е
Рис. 8. Зависимость коэффициента затухания
Im    монотонного режима от  ( R  5 ): а,
в, д – четные моды; б, г, е – нечетные моды
6
12
Re( 20)
25
0
Рис. 6. Зависимость от  ( b  3 , R  5 ):
10  100
г
b=2
R=5
Re()
R=2
b=1.5
8
4
b=1
b=0.5
4
2
0
0,01
0,1
1
10  100
0.01
0.1
1
10
 100
а
а
3
12
Im(20)
b=1.5
Im( 2,0)
b=2
2
8
4
1
b=1
R=5
R=2
b=0.5
0
0
0,01
0,1
1
10  100
0.01
б
0.1
1
10
 100
б
Рис. 7. Зависимость от  ( R  5 ): а – частоты Re  2,0  ; б – коэффициента за-
Рис. 9.
тухания Im  2,0 
хания Im  2,0 
Зависимость от  (b = 1): а –
частоты Re  2,0  ; б – коэффициента зату-
44
Точке обращения в нуль действительной части
частоты m,0 (рис. 5, а, 6, а, 7, а) соответствует
точка ветвления для коэффициентов затухания
(рис. 5, б, 6, б, 7, б). Для других частот n  1 такую
зависимость обнаружить не удалось (рис. 2, а, 3, а,
8, а).
Похожий эффект был обнаружен при изучении
собственных колебаний капли несжимаемой жидкости [14, 18] и пузырька [4]: обнаружено, что основная частота любой моды обращается в нуль на
некотором интервале значений  начиная с некоторого критического значения геометрического
параметра b. Величина этого интервала увеличивается с ростом b. Появление таких интервалов обусловлено сильным взаимодействием линии контакта с подложкой. Отметим, что при изучении
трансляционной моды в работах [3, 14, 18] было
обнаружено, что основная частота такой моды обращается в нуль начиная с некоторого значения
  * . При этом такое характерное значение *
существует при любых значениях b.
Для осесимметричных мод [1, 6, 18] наблюдается обратный эффект: частота основной моды
собственных колебаний может обращаться в нуль
на некотором интервале значений  , но длина
этого интервала уменьшается с увеличением геометрического параметра b. Такая зависимость основной частоты осесимметричной моды от параметра  отличается от зависимостей других мод.
Кроме колебательного режима существует и
монотонный режим, т.е. когда корни уравнений
(3.3), (3.4) – только мнимые числа. Эти два режима
не взаимодействуют до тех пор, пока частота колебательного режима не обращается в нуль. На рис. 8
построены инкременты затухания монотонного
режима для трех значений параметра b. Из графиков на рис. 8 а, в, д видно, что для четных мод при
больших значениях b существуют интервалы значений  , на которых инкремент затухания принимает три разных значения. Для нечетных мод
(рис. 8 б, г, е) таких интервалов нет при любых
значениях параметра b.
С увеличением радиуса сосуда значения частот
довольно близки (см. рис. 9), поэтому при конечных R можно рассматривать внешнюю жидкость
(и, соответственно, сосуд), как имеющую бесконечный объем ( R   ). Отметим также, что значения частот собственных колебаний пузырька с
фиксированным краевым углом (me,)n , (mo,)n слабо
меняются при конечных R и в пределе R   от R
не зависят.
5. Заключение
Рассмотрены азимутальные моды собственных
колебаний цилиндрического газового пузырька,
окруженного несжимаемой жидкостью в замкну-
А. А. Алабужев, М. И. Кайсина
том сосуде. Учитывалась динамика контактной
линии: скорость движения контактной линии
предполагалась пропорциональной отклонению
контактного угла от равновесного значения. Коэффициент пропорциональности, так называемый
параметр смачивания  (постоянная Хокинга), характеризует свойства жидкости и материала подложки. Равновесный краевой угол прямой.
Найдено, что для любой азимутальной моды
собственных колебаний основная частота колебаний может обращаться в нуль, начиная с некоторого значения геометрического параметра b, на интервале значений параметра λ. Длина этого
интервала растет с увеличением b.
Частоты уменьшаются с увеличением радиуса
сосуда R и увеличиваются с ростом геометрического параметра b. Инкремент затухания также
увеличивается с ростом b или волнового числа n.
Также отметим, что значения частот азимутальных
мод не зависят от давления газа внутри пузырька.
Показано, что увеличение постоянной Хокинга
приводит к уменьшению частоты собственных колебаний. Наименьшую собственную частоту имеет
свободно скользящий по твердым поверхностям
пузырек.
Работа выполнена при финансовой поддержке
проекта РФФИ № 14-07-96017-р-урал-а.
Список литературы
1. Алабужев А. А. Поведение цилиндрического
пузырька под действием вибраций // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7.
№ 2. С. 151–161.
2. Кайсина М. И. Динамика цилиндрического пузырька в переменном поле давления // Математическое моделирование в естественных
науках. 2014. Т. 1. С. 107–110.
3. Алабужев А. А., Кайсина М. И. Трансляционная
мода собственных колебаний цилиндрического
пузырька // Вестник Пермского университета.
Серия: Физика. 2015. Вып. 1 (29). С. 35–41.
4. Кайсина М. И. Азимутальные моды собственных колебаний цилиндрического пузырька //
Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2015.
№ 2 (29). С. 37–45.
5. Кайсина М. И. Колебания цилиндрического пузырька под действием продольных или поперечных вибраций // Математическое моделирование в естественных науках. 2015. Т. 1.
С. 189–194.
6. Алабужев А. А., Кайсина М. И. Влияние движения линии контакта на осесимметричные колебания цилиндрического пузырька // Вестник
Пермского университета. Серия: Физика. 2015.
Вып. 2 (30). С. 56–68.
Влияние движения линии контакта …
7. Hocking L. M. The damping of capillary–gravity
waves at a rigid boundary // Journal of Fluid Mechanics. 1987. Vol. 179. P. 253–266. .
8. Воинов О. В. Гидродинамика смачивания // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа.
1976. № 5. С. 76–84.
9. де Жен П. Ж. Смачивание: статика и динамика
// Успехи физических наук. 1987. Т. 151, вып. 4.
С. 619–681.
10. Bonn D., Eggers J., Indekeu J., Meunier J., Rolley E. Wetting and spreading // Review of Modern
Physics. 2009. Vol. 81. P. 739–805.
11. Кирюшин В. В. О течениях с движущейся линией контакта // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 2. С. 23–34.
12. Клименко Л. С.,
Любимов Д. В.
Генерация
среднего течения пульсационным потоком около цилиндрического газового пузырька // Вестник Пермского университета. Серия: Физика.
2011. Вып. 1. С. 9–13.
13. Клименко Л. С.,
Любимов Д. В.
Генерация
среднего течения пульсационным потоком около искривленной свободной поверхности // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2012.
№ 1. С. 33–43.
14. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Шкляев С. В.
Неосесимметричные колебания полусферической капли // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. № 6. С. 8–20.
15. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V.
Behavior of a drop on an oscillating solid plate //
Physics of Fluids. 2006. Vol. 18, 012101.
16. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a
hemispherical bubble on a solid substrate // Physics
of Fluids. 2008. Vol. 20, 052102.
17. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges
// Physics of Fluids A. 1991. Vol. 3. N. 12.
P. 2866–2874.
18. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической капли // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. № 5.
С. 78–86.
19. Алабужев А. А. Влияние динамики контактной
линии на колебания сжатой капли // Вестник
Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-3. С. 622–624.
20. Алабужев А. А. Вынужденные колебания сжатой капли с учетом движения контактной линии
// Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 4 (22). С. 7–10.
21. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой
капли // Прикладная механика и техническая
физика. 2012. Т. 53. № 1. С. 1–12.
22. Демин В. А. К вопросу о свободных колебаниях
капиллярного моста // Известия РАН. Механика
жидкости и газа. 2008. № 4. С. 28–37.
45
23. Картавых Н. Н., Шкляев С. В. О параметрическом резонансе полуцилиндрической капли на
осциллирующей твердой подложке // Вестник
Пермского университета. Серия: Физика. 2007.
Вып. 1 (6). С. 23–28.
24. Алабужев А. А. Влияние вязкости на устойчивость колебаний цилиндрической капли // Математическое моделирование в естественных
науках. 2013. № 1. С. 3–5.
25. Иванцов А. О. Акустические колебания полусферической капли // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 3 (21).
С. 16–23.
26. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Поведение цилиндрической капли при многочастотных вибрациях // Известия РАН. Механика жидкости и
газа. 2005. № 2. С. 18–28.
27. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop // Physics of
Fluids. 2009. Vol. 21, 072104.
28. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S.
Bubble dynamics atop an oscillating substrate: Interplay of compressibility and contact angle hysteresis // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23, 102105.
29. Алабужев А. А. Динамика цилиндрической
капли с учетом влияния гистерезиса краевого
угла // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 4 (22). С. 3–6.
30. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate // Journal of Fluid Mechanics. 1987.
Vol. 179. P. 267–281.
31. Miles J. W. The capillary boundary layer for standing waves // Journal of Fluid Mechanics. 1991.
Vol. 222. P. 197-205.
32. Ablett R. An investigation of the angle of contact
between paraffin wax and water // Philosophical
Magazine. 1923. Vol. 46. P. 244–256.
33. Dussan V. E. B. On the spreading of liquids on solid surfaces: static and dynamic contact lines // Annular Review of Fluid Mechanics. 1979. Vol. 11.
P. 371–400.
34. Кашина М. А. Влияние переменного электрического поля на колебания цилиндрической капли
// Математическое моделирование в естественных науках. 2014. Т. 1. С. 120–122.
35. Алабужев А. А., Кашина М. А. Колебания цилиндрической капли в переменном электрическом поле // Технические науки – от теории к
практике. 2014. № 41. С. 124–128.
36. Кашина М. А., Алабужев А. А. Вынужденные
колебания цилиндрической капли в переменном неоднородном электрическом поле // XIХ
Зимняя школа по механике сплошных сред:
сборник статей / Институт механики сплошных
сред Уральского отделения РАН. Пермь, 2015.
С. 105–110.
37. Plateau J. A. F. Sur les figures d’equilibre d’une
masse liquide sans pesanteur // Mémoires de
А. А. Алабужев, М. И. Кайсина
46
l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des
Beaux-Arts de Belgique. 1849. Ser. 23. P. 5.
38. Plateau J. A. F. Experimental and theoretical researchers on the figures of equilibrium of a liquid
mass withdrawn from the action of gravity // Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution. 1863. P. 270–285.
39. Lord Rayleigh. On the instability of jets // Proceeding of London Mathematical Society. 1878.
V. 10. P. 4–13.
40. Lord Rayleigh. On the instability of cylindrical fluid surface // Philosophical magazine. Series 5.
1892. V. 34. P. 177–180.
References
1. Alabuzhev A. A. Behavior of a cylindrical bubble
under vibrations. Computational Continuum Mechanics. 2014, vol. 7, no. 2, pp. 151–161 (In Russian).
2. Kaysina M. I. Dinamika cilindricheskogo puzyr'ka
v peremennom pole davleniya. Matematicheskoe
modelirovanie v estestvennyh naukah. 2014, no. 1,
pp. 107–110 (In Russian).
3. Alabuzhev A. A., Kaysina M. I. Average flow generation by pulsating flow near cylindrical gas bubble. Bulletin of Perm University. Series: Physics.
2015, no. 1 (29), pp. 35–41 (In Russian).
4. Kaysina M. I. Azimuthal modes of eigen oscillations of a cylindrical bubble. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2015, no. 2 (29), pp. 37–45 (In Russian).
5. Kaysina M. I.
Kolebaniya
cilindricheskogo
puzyr’ka pod deistviem prodolnyh ili poperechnyh
vibracii. Matematicheskoe modelirovanie v
estestvennyh naukah. 2015, no. 1, pp. 189–194 (In
Russian).
6. Alabuzhev A. A., Kaysina M. I. Influence of contact line motion on axisymmetric vibrations of a
cylindrical bubble. Bulletin of Perm University.
Series: Physics. 2015, no. 2 (30), pp. 56–68 (In
Russian).
7. Hocking L. M. The damping of capillary–gravity
waves at a rigid boundary. Journal of Fluid Mechanics. 1987, vol. 179, pp. 253–266.
8. Voinov O. V. Hydrodynamics of wetting. Fluid
Dynamics. 1976, vol. 11, no. 5, pp. 714–721.
9. de Genn P. G. Wetting: Statics and dynamics. Review of Modern Physics. 1985, vol. 57, pp. 827–
863.
10. Bonn D., Eggers J., Indekeu J., Meunier J., Rolley E. Wetting and spreading. Reviews of Modern
Physics. 2009, vol. 81, pp. 739–805.
11. Kiryushin V. V. Flows with a moving contact line.
Fluid Dynamics. 2012, vol. 47, no. 2, pp. 157–167.
12. Klimenko L. S., Lyubimov D. V. Average flow
generation by pulsating flow near cylindrical gas
bubble. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2011, no. 1 (16), pp. 9–13 (In Russian).
13. Klimenko L. S., Lyubimov D. V. Generation of an
average flow by a pulsating stream near a curved
free surface. Fluid Dynamics. 2012, vol. 47, no. 1,
pp. 26–36.
14. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V.
Non-axisymmetric oscillations of a hemispherical
drop. Fluid Dynamics. 2004, vol. 39, no. 6, pp.
851–862.
15. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V.
Behavior of a drop on an oscillating solid plate.
Physics of Fluids. 2006, vol. 18, 012101.
16. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a
hemispherical bubble on a solid substrate. Physics
of Fluids. 2008, vol. 20, 052102.
17. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges.
Physics of Fluids A. 1991, vol. 3, no. 12,
pp. 2866–2874.
18. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Effect of the
contact-line dynamics on the natural oscillations of
a cylindrical droplet. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2007, vol. 48, no. 5,
pp. 686–693.
19. Alabuzhev A. A. The effect of contact line dynamics on the oscillations of an oblate drop. Vestnik of
Lobachevsky University of Nizhni Novgorod. 2011,
no. 4-3, pp. 622–624 (In Russian).
20. Alabuzhev A. A. Forced oscillations of an oblate
drop. Bulletin of Perm University. Series: Physics.
2012, no. 4 (22), pp. 7–10 (In Russian).
21. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Effect of the
contact-line dynamics on the oscillations of a compressed droplet. Journal of Applied Mechanics and
Technical Physics. 2012, vol. 53, no. 1, pp. 9–19.
22. Demin V. A. Problem of the free oscillations of a
capillary bridge. Fluid Dynamics. 2008, vol. 43,
no. 4, pp. 524–532.
23. Kartavih N. N., Shklyaev S. V. O parametricheskom rezonanse polucilindricheskoi kapli na osciyliruyushei tverdoi podlozhke. Bulletin of Perm
University. Series: Physics. 2007, no. 1 (6),
pp. 23–28 (In Russian).
24. Alabuzhev A. A. Vliyanie vyazkosti na ustoichivaost’ kolebanii cilindricheskoi kapli. Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2013,
no. 1, pp. 3–5 (In Russian).
25. Ivantsov A. O.
Akusticheskie
kolebaniya
polusfericheskoi kapli. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012, no. 3 (21), pp. 16–23 (In
Russian).
26. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Behavior of a
cylindrical drop under multi-frequency vibration.
Fluid Dynamics. 2005, vol. 40, no. 2, pp. 183–192.
27. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip
dynamics of an oscillated sessile drop. Physics of
Fluids. 2009, vol. 21, 072104.
28. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S.
Bubble dynamics atop an oscillating substrate: In-
Влияние движения линии контакта …
terplay of compressibility and contact angle hysteresis. Physics of Fluids. 2011, vol. 23, 102105.
29. Alabuzhev A. A. The influence of contact angle’s
hysteresis on the cylindrical drop’s dynamics. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012,
no. 4 (22), pp. 3–6 (In Russian).
30. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate. Journal of Fluid Mechanics. 1987,
vol. 179, pp. 267–281.
31. Miles J. W. The capillary boundary layer for
standing waves. Journal of Fluid Mechanics. 1991,
vol. 222, pp. 197–205.
32. Ablett R. An investigation of the angle of contact
between paraffin wax and water. Philosophical
Magazine. 1923, vol. 46, pp. 244–256.
33. Dussan V. E. B. On the spreading of liquids on
solid surfaces: static and dynamic contact lines.
Annular Review of Fluid Mechanics. 1979, vol. 11,
pp. 371–400.
34. Kashina M. A. Vliyanie peremennogo elektricheskogo polya na kolebaniya cilindricheskoi kapli.
Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh
naukah. 2014, no. 1, pp. 120–122 (In Russian).
35. Alabuzhev A. A.,
Kashina M. A.
Kolebaniya
cilindricheskoi kapli v peremennom elektriches-
47
kom pole. Tehnicheskie nauki – ot teorii k praktike. 2014, no. 41, pp. 124–128 (In Russian).
36. Kashina M. A., Alabuzhev A. A. Vynuzhdenney
kolebaniya v peremennom neodnorodnom elektricheskom pole. XIХ Zimnyaya shkola po mehanike sploshnyh sred. Sbornik statei. Institute of
Continuous Media Mechanics of UB RAS, Perm,
2015, pp. 105–110 (In Russian).
37. Plateau J. A. F. Sur les figures d’equilibre d’une
masse liquide sans pesanteur. Mémoires de
l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des
Beaux-Arts de Belgique. 1849, ser. 23, p. 5 (In
French).
38. Plateau J. A. F. Experimental and theoretical researchers on the figures of equilibrium of a liquid
mass withdrawn from the action of gravity. Annual
Report of the Board of Regents of the Smithsonian
Institution. 1863, pp. 270–285.
39. Rayleigh, Lord. On the instability of jets. Proceeding of London Mathematical Society. 1878,
vol. 10, pp. 4–13.
40. Rayleigh, Lord. On the instability of cylindrical
fluid surface. Philosophical magazine Series 5.
1892, vol. 34, pp. 177–180.
Influence of contact line motion
on axisymmetric vibrations of a cylindrical
bubble
A. A. Alabuzhev a , b , M. I. Kaysina b
a
Institute of continuous media mechanics UB RAS, Akademik Korolev str., 1, 614013, Perm;
Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm;
email: alabuzhev@psu.ru
b
We study the eigenoscillations of a cylindrical gas bubble surrounded by an incompressible fluid in
a cylindrical container. The bubble has a cylindrical shape in equilibrium and is bounded axially by
two parallel solid surfaces. Dynamics of contact line is taken into account by an effective boundary
condition: velocity of the contact line is assumed to be proportional to deviation of the contact angle
from the equilibrium value. The equilibrium contact angle is right. Dependence of the eigenfrequency and damping rates on the parameters of the problem are investigated. Eigen frequency decreases
with decreasing container radius and increase with the geometrical parameter. For the fundamental
frequency of each mode there is a range of the Hocking’s constant values on which this rate is zero.
The length of this interval increases with the geometrical parameter.
Keywords: eigenoscillations; azimuthal oscillations; linear vibrations; dynamic contact line; cylindrical
gas bubble
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 536-11; 541.123
Теорема о монотонности крекинга нефти
Д. С. Голдобин a , b
a
Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1
Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь,
ул. Букирева, 15
email: denis.goldobin@gmail.com
b
В работе исследуются свойства термодинамической модели дистилляции многокомпонентной смеси углеводородов (частным случаем чего является крекинг нефти), основанной на
первых принципах. В рамках этой модели математически формализуется условие монотонности процесса дистилляции, т.е. условие того, что при дистилляции температура кипения смеси по мере выкипания ее компонент может только повышаться. Выполнение этого условия
для произвольного состава нефти математически не очевидно и требует доказательства, которое представлено в настоящей работе. Приведенное доказательство подсказывает, для какого
типа смесей не исключено нарушение монотонности процесса дистилляции.
Ключевые слова: многокомпонентные смеси углеводородов; дистилляция; крекинг нефти
1. Введение
Крекинг нефти, являющийся важным технологическим процессом, довольно хорошо изучен и
для его численного моделирования разработаны
математические модели, основанные на эмпирических данных. В индустрии крекинг нефти осуществляется при атмосферном давлении или, как
для мазутной фракции, в условиях вакуума. Вместе
с тем в связи с необходимостью описания и моделирования геологических процессов, затрагивающих нефтяные депозиты, востребована универсальная термодинамическая модель, позволяющая
описывать фазовый переход жидкость‒газ для
смесей углеводородов произвольного состава при
повышенных давлениях (до сотен атмосфер). Такая модель, основанная на первых принципах, была предложена в [1].
При разработке модели встал вопрос об общих
особенностях возможной кинетики процесса кипения. В частности, оказался математически формализован вопрос о монотонности крекинга нефти. В
действительности, в рамках построенной модели,
ни при каком составе углеводородной смеси невозможно падение температуры кипения в процессе выкипания компонент. Вместе с тем это строгое
математическое свойство уравнений кинетики системы не очевидно и требует доказательства. В
настоящей работе мы обсуждаем математическую
формализацию этого свойства, формулируем и доказываем теорему о монотонности крекинга нефти.
© Голдобин Д.С., 2015
48
2. Кипение многокомпонентной смеси
углеводородов
2.1. Базовая физическая модель
В [1] была предложена редуцированная термодинамическая модель, описывающая фазовое превращение нефти, рассматриваемой как многокомпонентная смесь углеводородов, между жидкой и
газообразной фазами. Модель базируется на следующих положениях, правомочность которых детально разобрана в [1]:
 Компоненты индексируются числом m атомов
углерода в их молекулах: различие в термодинамических характеристиках взаимодействия молекул с жидкой фазой для различных молекул с одинаковым m полагается пренебрежимым.
 В рамках редуцированной модели состав нефти
описывается молярной долей X (m) ( X [m ] в используемых ниже обозначениях) молекул с m
атомами углерода.
 Потенциальная энергия взаимодействия молекул с жидкой смесью углеводородов полагается не
зависящей от состава смеси.
 Газовая фаза полагается идеальным газом.
 Молярная доля каждой компоненты в смеси полагается малой, вследствие чего соотношение
между давлением паров этой компоненты над
жидкой фазой и ее концентрацией в жидкой фазе
может быть рассмотрено в рамках теории беско-
Теорема о монотонности крекинга нефти
49
нечно разбавленных растворов газов в жидкостях –
конкретно, в теории масштабных частиц [2].
В соответствии с теорией масштабных частиц
давление насыщенного пара компоненты m , растворенной в жидкой фазе, равно
где m – характерная молярная масса m – компоненты смеси, liq – плотность жидкой смеси.
[m ]
Pvap
G [m ] Gi[m ]
RT [m ]
X exp c
,
vliq
kBT
(2.1)
где R 8.314 Дж/(моль К) – универсальная газовая постоянная, T – температура, vliq – объем
одного моля жидкости, kB 1.38 10 23 Дж/К –
постоянная Больцмана, Gc – работа формирования
полости для гостевой молекулы в растворителе,
Gi – потенциальная энергия взаимодействия молекулы растворяемого вещества с окружающими
молекулами растворителя. Работа формирования
полости выражается следующей формулой:
Gc[m ]
kBT
ln(1
3y
y
1
y
1
9 y
2 1 y
2
[m ]
liq
2
yP
n liqkBT
liq
[m ]
(2.2)
3
,
liq
где [m ] – эффективный размер молекул растворяемого вещества, liq – эффективный размер молекул растворителя, y – доля объема, занимаемая
молекулами растворителя в жидкости (т.е., ( 1 y )
– доля объема между молекулами жидкости),
3
y ( / 6)nliq liq
, n liq – объемная концентрация
частиц растворителя. Для типичных веществ последнее слагаемое в выражении (2.2) пренебрежимо мало при давлениях ниже 108 Па . Энергия Gi[m ]
и величины
[m ]
,
liq
В процессе кипения летучие компоненты испаряются из смеси быстрее, чем тяжелые. Как следствие, температура кипения смеси повышается по
мере выкипания части ее массы. В рамках сформулированной выше редуцированной физической
модели может быть получена система уравнений,
описывающая изменение состава смеси по мере ее
выкипания и роста температуры кипения, – уравнения кинетики кипения.
Эта система уравнений кинетики кипения была
выведена в работе [1], где было получено, что
ln X [m ]
, y liq определяются в работе
[1], но для анализа, проводимого в настоящей работе, детальная информация о них не требуется.
Условие кипения смеси при давлении P есть
[m ]
Pvap
.
P
G [m ] Gi[m ]
RT [m ]
X exp c
,
vliq
kBT
и
m
Y
1
liq
m
m
X [ m ],
,
(2.6)
Y [m ]
m
m
m
[m ]
i
m
X [m ]
. (2.7)
G
Y [m ]
kBT
m
Выражая отношение Y [m ] / X [m ] из уравнения (2.4),
можно переписать уравнения (2.6) и (2.7) в виде,
включающем только текущий состав жидкой фазы
X [m ] и температуру Tb :
lnTb
RTb
e
Pvliq
Gc[ m ] Gi[ m ]
kBT
1
m
m
X [m ]
1
m
m
m
R
Pv liq
2
X [m ]
RTb
e
Pvliq
Gc[ m ] Gi[ m ]
kBT
Gi[m ] [m ]
X e
kB
X [m ]
Gc[ m ] Gi[ m ]
kBT
(2.8)
1
.
(2.4)
1 . Молярный объем равен:
vliq
(Y [m ] )2
X [m ]
1
m
где Y [m ] – молярная доля вещества m в газовой
X [m ] 1
фазе. Отметим очевидные свойства:
m
[m ]
m
lnTb
(2.3)
При температуре кипения (которая зависит от состава смеси) термодинамическое равновесие между газовой и жидкой фазами определяется системой соотношений (см. уравнение (2.1)):
Y [m ]
X [m ]
здесь w
M / M – относительное уменьшение
числа частиц M в жидкой фазе, что означает следующую связь текущего количества частиц с
начальным количеством M 0 : M M 0 exp( ) и
начальное значение
0 . Изменение температуры кипения Tb определяется соотношением:
m
Y [m ]P
1
[m ]
3y
y)
2.2. Изменение состава смеси в процессе
кипения
(2.5)
ln X [m ]
1
RTb
G [m ] Gi[m ]
exp c
Pvliq
kBT
. (2.9)
Уравнения (2.8) и (2.9) формируют систему
уравнений для расчета изменения состава X [m ] и
повышения температуры кипения по мере относительного изменения количества молекул в жидкой
фазе, M / M 0 exp( ) .
Д. С. Голдобин
50
Равенство нулю первых производных
3. Монотонность крекинга нефти
В рамках представленного математического
описания процесса встает вопрос о знакоопределенности выражения в правой части уравнения
(2.8) (или (2.7)). В самом деле, если знакоположительность знаменателя очевидна, выражение в
числителе имеет положительный и отрицательный
вклады, и знакоопределенность результата не очевидна. С физической точки зрения, существование
наборов X [m ] и Y [m ] , дающих отрицательное значение числителя, означало бы, что может существовать такой состав смеси (нефти), для которого
на некоторой стадии процесса кипения температура кипения начинает понижаться по мере выкипания компонент. С технологической точки зрения,
это означает катастрофическую дестабилизацию
процесса крекинга. Условие знакоопределенности
выражения (2.7) можно назвать условием монотонности крекинга нефти.
Рассмотрим некоторое усиление этого условия.
Так как отношение Y [m ] / X [m ] уменьшается по мере роста m (более тяжелые компоненты являются
Y [m ]
X [m ] (раменее летучими),
m m
m m
венство достигается в случае единственного ненулевого элемента X [l ] , поскольку в этом случае
X [l ] Y [l ] 1 ). Следовательно,
(Y [m ] )2
m
X [m ]
(Y [m ] )2
1
X [m ]
m
m
m
m
X
, (2.10)
[m ]
и если выражение в левой части окажется неотрицательным, то неотрицательно и выражение (2.7).
Может быть сформулирована следующая теорема (теорема о монотонности крекинга нефти).
Теорема. Для любых двух последовательностей неотрицательных чисел {X [m ] } и {Y [m ] } ,
m
1, N , нормированных так, что
m
X [m ]
1и
m
Y [m ]
1,
(2.11)
справедливо нестрогое неравенство
N
m
(Y [m ] )2
[m ]
1 X
1
0.
(2.12)
Причем равенство достигается только при совпадении последовательностей {X [m ] } и {Y [m ] } .
Доказательство может быть проведено с использованием метода множителей Лагранжа. Левая часть неравенства (2.12) при условии (2.11)
имеет экстремум в точке, где равны нулю все первые производные функции
N
F ({X [m ] },{Y [m ] })
m 1
N
X
m 1
(Y [m ] )2 /X [m ]
X [m ]
1
N
Y
(Y [m ] / X [m ] )2
F / Y [m ]
0,
X
2Y [m ] / X [m ]
0
Y
может быть достигнуто только, если отношение
Y [m ] / X [m ] одинаково при всех m , а следовательно, в силу (2.11) равно 1 . При Y [m ] / X [m ]
лучаем
m
(Y
[m ] 2
) /X
[m ]
1
1 по-
0 . Поскольку для
ненулевых элементов матрицы вторых производных в экстремуме имеем
2
( X
2
2
F
[m ] 2
( Y
)
2
F
F
( X [m ] )2 ( Y [m ] )2
F
2
X [m ]
[m ] 2
)
2
F
[m ]
X
Y [m ]
0,
2
0,
этот экстремум является минимумом. Таким образом, минимальное значение, достигаемое выражением в левой части неравенства (2.12), равно нулю,
т.е. это неравенство справедливо. Экстремум достигается при совпадении последовательностей
{X [m ] } и {Y [m ] } . Что и требовалось доказать.
4. Заключение
Y [m ]
m
F / X [m ]
Y [m ] .
m 1
В работе обсуждается свойство термодинамической модели дистилляции многокомпонентной
смеси углеводородов (например, нефти), выведенной в [1] из первых принципов. Конкретно, рассмотрено свойство монотонности процесса дистилляции (крекинга нефти). Математическая
формулировка условия монотонности оказывается
довольно интересной – см. теорему и неравенство
(2.12). Доказано, что процесс является монотонным при любом составе смеси. Используемая термодинамическая модель опирается на теорию бесконечно разбавленных растворов газов в
жидкостях и потому справедлива только для многокомпонентных смесей, в которых молярная доля
каждой составляющей невелика (что справедливо
для нефти и ее фракций).
Если абстрагироваться от систем типа нефти,
может быть указана ситуация, где нарушение монотонности и дестабилизация процесса дистилляции не исключены. В случае
m
Y [m ]
m
m
m
X [m ]
(2.13)
неравенство (2.10) не будет справедливо и условие
(2.12) не будет усилением условия неотрицательности числителя в выражении (2.7). Неравенство
(2.13) требует, чтобы существовали более летучие
вещества с большим атомным весом при изобилии
низколетучих веществ с малым атомным весом.
Теорема о монотонности крекинга нефти
Например, такова будет ситуация для смеси спиртов легких алканов с более тяжелыми алканами.
Работа выполнена при финансовой поддержке
РФФИ (проект № 14-01-31380 мол_а) и Министерства образования и науки Пермского края (соглашение № C-26/0004.3).
51
2.
References
1.
Список литературы
1.
Pimenova A. V., Goldobin D. S. On boiling of
crude oil under elevated pressure // ARXIV.
2015. Eprint arXiv:1510.02468. [Электронный
ресурс]. URL: http://arxiv.org/abs/1510.02468
(Дата обращения: 25.10.2015)
Pierotti R. A. A scaled particle theory of aqueous
and nonaqueous solutions // Chemical Reviews.
1976. Vol. 76. P. 717–726.
2.
Pimenova A. V., Goldobin D. S. On boiling of
crude oil under elevated pressure. ARXIV, 2015,
eprint arXiv:1510.02468.
http://arxiv.org/abs/1510.02468
Pierotti R. A. A scaled particle theory of aqueous
and nonaqueous solutions. Chemical Reviews,
1976, vol. 76, pp. 717–726.
Theorem on monotonicity of oil distillation
D. S. Goldobin a , b
a
Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Akademika Koroleva St. 1, 614013 Perm
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990 Perm
email: Denis.Goldobin@gmail.com
b
We study properties of a thermodynamic model of distillation of multicomponent mixture of
hydrocarbons (cracking of crude oil is an example of such a process), derived from first principles.
Within the framework of the model, one can mathematically formalize the condition of the
monotonicity of the distillation process–the condition that the mixture boiling temperature can only
increase in the course of evaporation of mixture components. From the mathematical viewpoint, it
is not immediately obvious that this condition is fulfilled for arbitrary composition of oil and we
provide a proof that the condition is fulfilled. This proof also highlights for which kind of mixtures
the violation of this condition may be not forbidden. These are mixtures the volatile components of
which have large atomic weight compared to the less volatile components, e.g., a mixture
moderately heavy alkanes (say, from pentane to octane) with alcohols of lighter alkanes.
Keywords: multicomponent mixtures of hydrocarbons; distillation; cracking of petroleum
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 536.2
Моделирование термогравитационной
конвекции с переменной вязкостью
в замкнутой полости с локальным
источником энергии
М. С. Астанина a , М. А. Шеремет b
a
Томский государственный университет, 634050, Томск, пр. Ленина, 36
email: astanina.marina@bk.ru
b
Томский государственный университет, 634050, Томск, пр. Ленина, 36
email: Michael-sher@yandex.ru
Проводится численный анализ нестационарных режимов свободноконвективного теплопереноса в замкнутой полости, заполненной жидкостью с зависящей от температуры вязкостью,
при наличии локального источника постоянной температуры. Математическая модель, сформулированная в безразмерных переменных «функция тока – завихренность», реализована
численно методом конечных разностей на равномерной сетке. Исследования проведены в
широком диапазоне изменения чисел Рэлея и Прандтля, а также параметра, характеризующего зависимость вязкости от температуры. Получены поля изолиний функции тока и температуры, отражающие влияние ключевых характеристик на структуру течения и теплоперенос.
Ключевые слова: естественная конвекция; переменная вязкость; локальный источник энергии
1.
Введение
Изучение нестационарных режимов конвективного теплопереноса в областях различной геометрии привлекает внимание многих исследователей
уже не одно десятилетие. Причиной такого интереса является широкий спектр приложений, где
конвекция представляется доминирующим механизмом переноса энергии, например, охлаждение
элементов электронной техники, теплоперенос в
солнечных коллекторах, выращивание объемных
монокристаллов, получение однородного расплава
материала [1–4].
Следует отметить, что в большинстве опубликованных работ рассматриваются случаи постоянной вязкости, хотя известно, что это свойство жидкости
может
существенно
изменяться
с
температурой [5–10]. Так, например, нестационарные режимы естественной конвекции в замкнутой
квадратной дифференциально-обогреваемой полости, заполненной жидкостью с переменной вязкостью, проанализированы в [5]. В результате установлены
интенсификация
конвективного
теплопереноса вблизи нагреваемой стенки и
ослабление этого механизма переноса энергии
© Астанина М. С., Шеремет М. А., 2015
52
около охлаждаемой поверхности, что обусловлено
уменьшением и увеличением вязкости, соответственно. При этом в нестационарном режиме теплопоступление со стороны горячей вертикальной
стенки превалирует над теплоотводом в холодную
вертикальную стенку. Исследование влияния температурного напора на вязкость жидкости в режиме естественной конвекции проведено в [6]. Для
описания гидродинамики авторы использовали одно уравнение четвертого порядка относительно
функции тока. В результате установлено, что увеличение вязкости вследствие уменьшения температуры проявляется в ослаблении конвективного
движения, что было показано ранее в [5]. Моделирование свободноконвективного течения высоковязких сред в вертикальной трубе проведено в [7].
Исследования отражают гидродинамику и теплоперенос в широком диапазоне изменения числа
Прандтля. Показано существенное влияние температурной зависимости вязкости на среднюю скорость течения и интенсивность теплообмена. Численный анализ естественной конвекции воздуха с
переменными физическими свойствами в полуоткрытой квадратной полости с вертикальной изотермической и остальными адиабатическими стенками проведен в [8]. Авторы описали
Моделирование термогравитационной конвекции с переменной вязкостью…
интенсификацию теплопереноса при увеличении
температурного напора, а также отразили границы
применимости приближения Буссинеска для рассматриваемого класса задач. Эффекты влияния переменной вязкости на свободную конвекцию в
вертикальном прямоугольном канале проанализированы в [9]. В результате исследований показана
зависимость коэффициента трения, интенсивности
течения и теплопереноса от чисел Грасгофа и
Бринкмана, а также от геометрического параметра
и коэффициента, отражающего зависимость вязкости от температуры. Экспериментальный и численный анализ стационарных режимов естественной конвекции минерального нафтенового масла
внутри замкнутой дифференциально-обогреваемой
кубической полости проведен в [10]. В результате
исследований были получены устойчивые режимы
течения, отражающие асимметрию поля скорости
и температуры вследствие зависимости вязкости
от температуры.
Целью настоящей работы является численный
анализ нестационарных режимов термогравитационной конвекции жидкости с переменной вязкостью, находящейся в замкнутой полости с локальным источником энергии.
53
ется за счет конвекции; среда является ньютоновской теплопроводной жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссинеска; режим течения является
ламинарным;
вязкой
диссипацией
пренебрегаем. Считается, что вязкость жидкости
является функцией температуры

T  T0 
  0  exp  C
,
Th  Tc 

где  0 – коэффициент кинематической вязкости
при начальной температуре T0  0.5 Th  Tc  .
Дифференциальные уравнения переноса массы,
импульса и энергии в рассматриваемой области
имеют вид нестационарных уравнений Обербека–
Буссинеска для случая переменной вязкости,
сформулированных в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность»:
2
X 2

2
Y 2
 ,
(2.1)



U
V


X
Y
2. Математическая модель и метод
решения
Pr
Ra
  2   


 X 2


 2     
Pr   2  U


2



Ra  X 2 Y
Y 2  X

 2  V  2 

Y 2 X X Y
(2.2)
 V U  


 ,
 Y X  



U
V


X
Y
  2  2 
1



.
Ra  Pr  X 2 Y 2 
(2.3)
Здесь X, Y – безразмерные координаты, соответствующие координатам x, y;  – безразмерное время; U, V – безразмерные составляющие скорости в
проекции на оси X, Y соответственно;  – безразмерная температура;  – безразмерная функция
тока U   Y , V   X  ;  – безразмерный
аналог
завихренности
скорости
   V X  U Y  ; Pr  0 a – число ПрандРис. 1. Область решения задачи
Рассматривается нестационарный процесс естественной конвекции в замкнутой квадратной полости при наличии изотермического источника с
температурой Th, расположенного в центральной
части нижней стенки (рис. 1). Область решения
содержит две вертикальные изотермические границы с температурами Tc (Th > Tc), остальные стенки являются адиабатическими. При проведении
вычислительных экспериментов считается, что
внутри рабочей среды теплоперенос осуществля-
тля;
Ra  g Th  Tc  L3 0a
–
число
Рэлея;
   0  exp  C  – безразмерная вязкость.
Следует отметить, что в качестве характерного
расстояния была выбрана длина полости L,
масштаб скорости –
мени –
g Th  Tc  L , масштаб вре-
L g Th  Tc  , масштаб функции тока –
g Th  Tc  L3 ,
масштаб
завихренности
–
g Th  Tc  L , масштаб кинематической вязко-
М. С. Астанина, М. А. Шеремет
54
сти –  0 , а безразмерная температура была введена следующим образом:

T  T0
,
Th  Tc
здесь g – ускорение свободного падения; β – температурный коэффициент объемного расширения.
Начальные и граничные условия для сформулированной задачи (2.1)–(2.3) рассматривались в
следующем виде.
В начальный момент времени предполагалось,
что жидкость, заполняющая полость, неподвижна,
поэтому   X , Y ,0     X , Y ,0   0 . Начальная
температура, вследствие выбранного обезразмеривания, принимала вид   X , Y ,0   0  0 .
Граничные условия:
 на границах Y = 0 и Y = 1:
  0,  Y  0,  Y  0 ;
 на границах Х = 0 и Х = 1:
  0,  X  0,   0.5 ;
 на поверхности источника энергии:
  0,  n  0,   0.5 .
Сформулированная краевая задача для дифференциальных уравнений в частных производных
(2.1)–(2.3) с соответствующими начальными и
граничными условиями решена методом конечных
разностей [11–14] на равномерной сетке. Значения
завихренности скорости на поверхностях стенок
полости и локального источника энергии определялись на основе формулы Вудса [14]. Для численного решения уравнений параболического типа
(2.2) и (2.3) применялась локально одномерная
схема Самарского, позволяющая плоскую задачу
свести к системе одномерных. Для аппроксимации
конвективных слагаемых использовалась схема с
донорными ячейками, для диффузионных слагаемых – центральные разности. Эволюционный член
представлял собой одностороннюю разность по
времени и имел первый порядок точности относительно шага по времени. Все производные по пространственным координатам аппроксимировались
со вторым порядком точности относительно шага
по координате. Дискретизация уравнения Пуассона
(2.1) проводилась на основе формул симметричной
аппроксимации вторых производных. При этом
полученное разностное уравнение разрешалось
методом последовательной верхней релаксации.
Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов.
Разработанный метод решения был протестирован на ряде модельных задач свободноконвективного теплопереноса. Детальное описание тестовых задач представлено в работах [11–13].
На рис. 2 представлены временные зависимости среднего числа Нуссельта на поверхности
нагревателя, определяемого формулой
h L
1  L   
Nu avg     

3  h 0  X  X  L l 

 L l 

L
l  L l

L
h
h L

0
dY 
2L
2L
  
dX 


Y Y  h L
2L 
  


 X  X  L l 

dY  ,

2L
от размерности разностной сетки при Ra = 3.5105,
C = 3, Pr = 7.0. Из рис. 2 видно, что с течением
времени наблюдается тепловое установление процесса, поскольку интегральный коэффициент теплообмена при  > 80 не изменяется. Так как
уменьшение шага разностной сетки отражается на
повышении времени счета, то для дальнейшего
анализа была выбрана разностная сетка размерности
100100 с целью оптимизации точности вычислений и времени расчета.
Рис. 2. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и размерности разностной сетки
3. Результаты численного
моделирования
Численный анализ проведен при следующих
значениях безразмерных комплексов, характеризующих режимы конвективного теплопереноса:
Ra = 104–106; Pr = 7–700; С = 0–3; 0    100.
Необходимо отметить, что влияние чисел Рэлея и
Прандтля, а также параметра, отражающего зависимость вязкости от температуры, на локальные
распределения изолиний функции тока и температуры продемонстрировано в условиях стационарного процесса ( = 100). Данный момент времени
Моделирование термогравитационной конвекции с переменной вязкостью…
характеризует термогидродинамическое установление анализируемого явления, что можно проследить, например, по временным зависимостям для
среднего числа Нуссельта (рис. 2).
На рис. 3 представлены распределения изолиний функции тока и температуры, отражающие
влияние числа Рэлея на структуру течения и теплоперенос при Pr = 7.0, C = 2.
55
Независимо от значения числа Рэлея внутри
полости формируются две конвективные ячейки,
отражающие наличие восходящего потока в центре
полости непосредственно над источником энергии
и двух нисходящих течений вблизи охлаждаемых
вертикальных стенок. Следует отметить, что увеличение роли выталкивающей силы проявляется в
интенсификации конвективного течения и теплообмена. Над источником энергии появляется двумерный факел, толщина которого с ростом Ra
уменьшается в основании, т.е. вблизи поверхности
нагревателя, но при этом заметно значительное
расширение вблизи верхней адиабатической стенки. При этом ядра конвективных ячеек с ростом
числа Рэлея смещаются в вертикальном направлении и несколько изменяют пространственную ориентацию вследствие интенсификации течения.
Зависимость интегрального коэффициента теплообмена на поверхности источника энергии от
времени и числа Рэлея представлена на рис. 4.
Рис. 3. Изолинии функции тока  и температуры  при Pr = 7.0, C = 2: а –
Ra = 10;4 б – Ra = 105; в – Ra = 106
Рис. 5. Изолинии функции тока  и температуры  при Ra = 105, Pr = 7.0: а –
C = 0; б – C = 1; в – C = 3
Рис. 4. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и числа Рэлея при Pr = 7.0,
C=2
Как отмечалось выше, увеличение Ra приводит
к существенному росту среднего числа Нуссельта.
При этом термодинамическое установление с ростом числа Рэлея затягивается вследствие более
интенсивного перемешивания внутри полости. В
[12] были выделены четыре зоны эволюции интегрального коэффициента теплообмена. В случае
переменной вязкости и при высоких числах
Прандтля можно выделить только три участка:
М. С. Астанина, М. А. Шеремет
56
начальный участок или зона теплопроводности,
участок интенсивного теплоотвода или конвективная зона и стационарный участок. Участок установления [12], отражающий появление осцилляций
интегрального коэффициента теплообмена, является результатом взаимодействия подъемной силы,
стремящейся хаотизировать течение, с силами
внутреннего трения (вязкими силами), направленными на ослабление конвективного движения.
Данный участок пропадает вследствие рассмотрения более вязкой среды Pr = 7.
На рис. 5 представлены распределения линий
тока и изотерм при Ra = 105, Pr = 7.0 и различных
значениях параметра, характеризующего зависимость вязкости от температуры.
Анализируя рис. 5, можно отметить, что увеличение параметра изменения вязкости С приводит к
ослаблению
конвективного
течения:
C0
C1
ется в формировании более интенсивного конвективного течения на начальном временном этапе,
что и приводит к более интенсивному теплосъему
с поверхности источника энергии при  < 10, а выход на стационар, в свою очередь, характеризует
уменьшение интегрального коэффициента теплообмена с ростом параметра С.
На рис. 7 представлена зависимость среднего
числа Нуссельта Nu avg от числа Прандтля при
Ra = 105, С = 2.0.
Анализируя рис. 7, можно отметить, что увеличение числа Прандтля проявляется в росте времени, необходимого для достижения установившегося режима. При этом наблюдается значительное
увеличение продолжительности первого и второго
этапов эволюции интегрального коэффициента
теплообмена.
C 2
 max  0.0152 ,  max  0.0144 ,  max  0.0137 ,
C3
 max  0.0132 . Такая динамика обусловлена более интенсивным прогревом полости и, соответственно, уменьшением температурного напора
внутри полости, который является «генератором»
конвективного течения. Следует также отметить,
что увеличение параметра С приводит к снижению
вязкости среды с ростом температуры, т.к.
  exp  C  , что проявляется в более интенсивном прогреве полости. Динамику последнего
можно проследить, анализируя эволюцию интегрального коэффициента теплообмена (рис. 6).
Рис. 7. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и числа Прандтля при
Ra = 105, С = 2.0
4. Заключение
Рис. 6. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и параметра С при
Ra = 105, Pr = 7.0
Рис. 6 отражает уменьшение Nu avg с ростом С
вследствие более интенсивного прогрева полости,
а соответственно и области вблизи локального источника энергии. Увеличение глобального минимума Nu avg при повышении параметра С проявля-
Проведено математическое моделирование нестационарной естественной конвекции ньютоновской жидкости с переменной вязкостью в замкнутой
квадратной
полости
с
локальным
изотермическим источником. Исследования реализованы в широком диапазоне изменения определяющих параметров: Ra = 104–106; Pr = 7–700;
С = 0–3; 0    100. Установлено, что увеличение
роли выталкивающей силы проявляется в интенсификации теплопереноса со смещением ядер конвективных ячеек в вертикальном направлении. Рост параметра С приводит к более интенсивному прогреву
полости, а соответственно и к ослаблению конвекции. Повышение числа Прандтля отражается в затягивании выхода на стационарный режим.
Работа выполнена при финансовой поддержке
Совета по грантам Президента РФ для молодых
российских ученых (грант МД-6942.2015.8) и Рос-
Моделирование термогравитационной конвекции с переменной вязкостью…
сийского фонда фундаментальных исследований
(грант № 14-08-31137-мол_а).
57
14. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А.
Численное моделирование процессов тепло- и
массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.
Список литературы
1. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и
массообмен. М.: Мир, 1983. 400 с.
2. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир, 1991. Т. 1. 678 c.
3. Telionis D. P. Unsteady Viscous Flows. New
York: Springer, 1981. 408 p.
4. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений.
М.: Наука, 1989. 320 с.
5. Hyun J. M., Lee J. W. Transient natural convection
in a square cavity of a fluid with temperaturedependent viscosity // International Journal of Heat
and Fluid Flow. 1988. Vol. 9. P. 278–285.
6. Вабищевич П. Н., Есикова Н. Б., Илиев О. П.
Численное моделирование естественной конвекции с переменной вязкостью // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 3. С. 15–22.
7. Yamasaki T., Irvine T. F. Laminar free convection
in a vertical tube with temperature-dependent viscosity // International Journal of Heat and Mass
Transfer. 1984. Vol. 27. N. 9. P. 1613–1621.
8. Juarez J. O., Hinojosa J. F. , Xaman J. P. , Tello M. P. Numerical study of natural convection in
an open cavity considering temperature-dependent
fluid properties // International Journal of Thermal
Sciences. 2011. Vol. 50. P. 2184–2197.
9. Umavathi J. C., Ojjela O. Effect of variable viscosity on free convection in a vertical rectangular
duct // International Journal of Heat and Mass
Transfer. 2015. Vol. 84. P. 1–15.
10. Cordoba P. A., Silin N., Dari E. A. Natural convection in a cubical cavity filled with a fluid showing temperature-dependent viscosity // International Journal of Thermal Sciences. 2015. Vol. 98. P.
255–265.
11. Мартюшев С. Г., Шеремет М. А. Численный
анализ конвективно-радиационного теплопереноса в замкнутой воздушной полости с локальным источником энергии // Компьютерные исследования и моделирование. 2014. Т. 6. № 3.
С. 383–396.
12. Гибанов Н. С., Шеремет М. А. Влияние формы
и размеров локального источника энергии на
режимы конвективного теплопереноса в квадратной полости // Компьютерные исследования
и моделирование. 2015. Т. 7. № 2. С. 271–280.
13. Astanina M. S., Sheremet M. A., Umavathi J. C.
Unsteady natural convection with temperaturedependent viscosity in a square cavity filled with a
porous medium // Transport in Porous Media.
2015. Vol. 110. N. 1. P. 113–126.
References
1. Jaluria Y. Natural convection. Heat and Mass
Transfer. Oxford, England: Pergamon Press, 1980.
400 p. (Russ. ed.: Dzhalurija J. Estestvennaja konvekcija: Teplo- i massoobmen. Moscow, Mir,
1983, 400 p.)
2. Gebhart B.,
Jaluria Y.,
Mahajan R. L.,
Sammakia B. Buoyancy-induced flows and
transport. Berlin, Germany: Springer, 1988, vol. 1,
678 p. (Russ. ed.: Gebhart B., Dzhalurija J., Mahadzhan R., Sammakija B. Svobodnokonvektivnye
techenija, teplo- i massoobmen. Moscow, Mir,
1991, vol. 1, 678 p.).
3. Telionis D. P. Unsteady Viscous Flows. New
York: Springer, 1981. 408 p.
4. Gershuni G. Z., Zhuhovickij E. M., Nepomnjashhij A. A. Ustojchivost' konvektivnyh techenij.
Moscow: Nauka, 1989, 320 p. (In Russian).
5. Hyun J. M., Lee J. W. Transient natural convection
in a square cavity of a fluid with temperaturedependent viscosity. International Journal of Heat
and Fluid Flow. 1988, vol. 9, pp. 278–285.
6. Vabishhevich P. N., Esikova N. B., Iliev O. P.
Chislennoe modelirovanie estestvennoj konvekcii s
peremennoj vjazkost'ju. Matematicheskoe modelirovanie. 1990, vol. 2, no. 3, pp. 15–22. (In Russian).
7. Yamasaki T., Irvine T. F. Laminar free convection
in a vertical tube with temperature-dependent viscosity. International Journal of Heat and Mass
Transfer. 1984, vol. 27, no. 9, pp. 1613–1621.
8. Juarez J. O., Hinojosa J. F. , Xaman J. P. , Tello M. P. Numerical study of natural convection in
an open cavity considering temperature-dependent
fluid properties. International Journal of Thermal
Sciences. 2011, vol. 50, pp. 2184–2197.
9. Umavathi J. C., Ojjela O. Effect of variable viscosity on free convection in a vertical rectangular
duct. International Journal of Heat and Mass
Transfer. 2015, vol. 84, pp. 1–15.
10. Cordoba P. A., Silin N., Dari E. A. Natural convection in a cubical cavity filled with a fluid showing temperature-dependent viscosity. International
Journal of Thermal Sciences. 2015, vol. 98,
pp. 255–265.
11. Martjushev S. G., Sheremet M. A. Chislennyj analiz konvektivno-radiacionnogo teploperenosa v
zamknutoj vozdushnoj polosti s lokal'nym istochnikom jenergii. Komp'juternye issledovanija i
modelirovanie. 2014, vol. 6, no 3, pp. 383–396.
(In Russian).
12. Gibanov N. S., Sheremet M. A. Vlijanie formy i
razmerov lokal'nogo istochnika jenergii na rezhimy
М. С. Астанина, М. А. Шеремет
58
konvektivnogo teploperenosa v kvadratnoj polosti.
Komp'juternye issledovanija i modelirovanie.
2015, vol. 7, no 2, pp. 271–280. (In Russian).
13. Astanina M. S., Sheremet M. A., Umavathi J. C.
Unsteady natural convection with temperaturedependent viscosity in a square cavity filled with a
porous medium. Transport in Porous Media. 2015,
vol. 110, no. 1, pp. 113–126.
14. Paskonov V. M., Polezhaev V. I., Chudov L. A.
Chislennoe modelirovanie processov teplo- i massoobmena. Мoscow: Nauka, 1984, 288 p. (In Russian).
Simulation of natural convection
with variable viscosity in an enclosure
with a local heat source
M. S. Astanina a , M. A. Sheremet b
a
Tomsk State University, Lenin Avenue 36, 634050, Tomsk
email: astanina.marina@bk.ru
b
Tomsk State University, Lenin Avenue 36, 634050, Tomsk
email: Michael-sher@yandex.ru
Numerical analysis of transient natural convection in an enclosure filled by a fluid with temperaturedependent viscosity at the presence of a local heat source of constant temperature is carried out.
Mathematical model formulated in dimensionless variables «stream function – vorticity» is solved
numerically by finite difference method using uniform mesh. Investigations have been conducted in
a wide range of the Rayleigh and Prandtl numbers and viscosity variation parameter. Distributions of
streamlines and isotherms illustrating the effects of the governing parameters on the fluid flow and
heat transfer have been obtained.
Keywords: natural convection; variable viscosity; local heat source
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 53.082
Блок управления радиоспектрометром
А. С. Ажеганов, К. В. Кузнецова, А. В. Манцуров
Пермский государственный национальный исследовательский университет
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
email: azheganov@psu.ru
Разработаны программируемые генератор серий импульсов (ГСИ) и осциллограф. Генератор
дает возможность создания в восьми выходных каналах синхронных последовательностей,
состоящих из неограниченного числа импульсов и пауз различных длительностей. Осциллограф позволяет наблюдать сигналы отклика изучаемой системы, получать накопление сигнала, огибающую сигнала, его спектр и параметры спектра. Задание параметров последовательностей и анализ сигналов производится с помощью компьютера. Устройства были
протестированы как по отдельности, так и совместно в составе спектрометров ЯКР.
Ключевые слова: программируемый генератор серий импульсов; программируемый осциллограф; спектрометр ЯКР
мого осциллографа, ПО которого согласовано с
ПО генератора. Осциллограф необходим для того,
1. Постановка задачи
чтобы наблюдать сигнал отклика изучаемой сиГенераторы серий импульсов (ГСИ) входят в стемы, получать накопления сигнала для увеличесостав импульсных автоматизированных коге- ния соотношения сигнал/шум, огибающую сигнарентных ЯКР и ЯМР спектрометров, предназна- ла, его спектр и параметры спектра, которые
ченных для исследований конденсированного со- требуются для анализа изучаемой системы.
стояния вещества [1,2]. ГСИ предназначены для
К разрабатываемому осциллографу предъявляформирования последовательностей импульсов ются следующие требования:
управления фазовыми и импульсными модулято
Внешняя синхронизация.
рами, АЦП и другими устройствами спектромет
Изменяемая частота дискретизации и колиров, работающими синхронно с импульсной почества отображаемых точек.
следовательностью.

Возможность накопления сигнала по сигнаРазработанный генератор удовлетворяет слелам синхронизации.
дующим требованиям:

Возможность отображения сигнала в реаль Длительность временных интервалов от 10
ном времени.
мкс-100 с.

Отображение огибающей сигнала по итогам
 8 выходных каналов с возможностью незанакопления.
висимого программирования последова
Отображение спектра сигнала по итогам
тельностей импульсов.
накопления.
 Шаг дискретизации – 1 мкс.

Вывод параметров спектра.
 Выходные уровни сигналов - уровни ТТЛ.

Сохранение данных в файл.
 Задание вида последовательностей, длительностей импульсов, а также выходных
2. Программируемый генератор
каналов с компьютера.
 Возможность задания последовательностей,
Программируемый генератор серий импульсов
состоящих из неограниченного числа им- предназначен для создания синхронных последопульсов и пауз различных длительностей.
вательностей импульсов произвольной длительноВ настоящее время подобные генераторы, пол- сти.
ностью удовлетворяющие перечисленным выше
Известны многоканальные ГСИ, используемые
требованиям, не выпускаются серийно. Это приве- в блоках управления радиоспектрометров [1,2]. У
ло к актуальности данной разработки.
этих ГСИ есть существенные недостатки: аппаратПомимо разработки генератора естественным ное выполнение дешифратора адресов, формироявляется необходимость создания программируе- вателя циклов, дешифратора команд, счетчика ад© Ажеганов А. С., Кузнецова К. В., Манцуров А. В., 2015
59
А. С. Ажеганов, К. В. Кузнецова, А. В. Манцуров
60
ресов, формирователей длительностей импульсов
и пауз и ограниченность объема памяти (ОЗУ).
Поэтому встал вопрос поиска альтернативного решения. Решением данной проблемы послужило
использование микроконтроллера, позволяющего
программно выполнить функции перечисленных
устройств, аналогично [3].
Генератор последовательностей импульсов был
реализован на отладочной плате STM32F3 на базе
ядра Cortex M4 семейства STM32 [4]. Использование данной платы обусловлено ее частотными характеристиками (максимальная частота 72 МГц),
наличием внутренних таймеров (два 8-битных и
один 16-битный), на которых программно можно
построить необходимые устройства и, следовательно, отказаться от каких-либо внешних
устройств на дискретных элементах. В качестве
выходных каналов использовались выводы отладочной платы одного из портов (рис.1).
Рис.1. Структурная схема генератора
серий импульсов
На рис. 2 показан пример последовательности,
сформированной в одном из каналов генератора. В
данном случае происходило чередование паузы и
импульса длительностью 20 мкс и паузы и импульса длительностью 100 мкс. При испытании генератора было выяснено, что длительности импульсов
и пауз, генерируемых на выходах отладочной платы, соответствуют значениям, задаваемым программно.
3. Программируемый осциллограф
Двухканальный осциллограф построен программно на основе цифрового модульного осциллографа Scope 5102 фирмы National Instruments [5],
устанавливаемого в шасси PXI. ПО создавалось в
среде разработки LabVIEW.
Внешняя синхронизация, задание частоты дискретизации и количества точек осуществляются
при помощи библиотеки стандартных функций,
поставляемой с драйвером модульного осциллографа.
Накопление сигнала осуществляется при помощи цикла for. При этом по мере накопления
формируется среднее значение сигнала по формуле:
X i(N ) 
( N  1) X i ( N 1)  X i
N
,
(1)
где N – номер снимаемого значения, Xi(N–1) –
предыдущее среднее значение, Xi – текущее снятое
значение, Xi(N) – среднее значение при данном номере снимаемого значения.
Сигналы Xi(N) и Yi(N) в двух каналах осциллографа рассматриваются как вещественная и мнимая
часть одного комплексного видеосигнала. Огибающая сигнала формируется после накопления по
формуле
S  X 2 Y 2 .
Рис.2. Пример последовательности импульсов, сформированной в одном из каналов генератора
Каждый раз при переинициализации таймеров
тратится время на запись конфигурационных слов
в регистры настройки таймеров, что обусловливает
минимальную длину генерируемого импульса. В
ходе тестирования генератора выяснилось, что
данная задержка составляет 5 мкс. Для ее компенсации в программе микроконтроллера была введена поправка значений длительностей импульсов,
загружаемых в таймеры.
(2)
Спектр сигнала получается при помощи быстрого комплексного преобразования Фурье. При
этом сигналы, поступающие с двух каналов осциллографа при каждой итерации, записываются в
комплексное число, массив которых и подвергается Фурье преобразованию. После получения огибающей спектра вычисляется ширина спектральной линии на уровне 1/2, 1/ e от максимума, а
также с помощью встроенной функции вычисляется центр тяжести линии. Осциллограф был испытан в составе импульсного когерентного ЯКР
спектрометра.
Испытания проводились при исследовании сигнала ЯКР кристаллического порошка закиси меди
CuO2 на ядрах Cu63. Температура образца составляла 27◦С.
Блок управления радиоспектрометром
61
Рис.3. Зависимость формы спектра от количества точек, обрабатываемых при Фурье-преобразовании
На входы двух каналов осциллографа поступали сигналы с выходов квадратурного детектора
приемника сигналов ЯКР. Наблюдались сигналы
отклика спиновой системы ядер, возбужденной последовательностью из двух радиоимпульсов. Сигналы с двух каналов детектора сдвинуты по фазе
на 90◦. Сигнал синхронизации с ГСИ поступал на
соответствующий вход осциллографа.
В ходе испытания также была продемонстрирована зависимость формы спектра от числа обрабатываемых при Фурье-преобразовании точек и
найдено оптимальное положение курсора (рис. 3),
соответствующее моменту максимума сигнала
спинового эха. Преобразованию подвергается область сигнала, лежащая справа от курсора. Число
точек изменяется передвижением курсора на графике огибающей сигнала (жирная вертикальная
линия).
4. Испытания программируемых
ГСИ и осциллографа в составе
спектрометра ЯКР
ПО разработанных программируемых ГСИ и
осциллографа было объединено в одну программу
(блок-схема на рис. 4) для испытания при совместной работе в составе когерентного спектрометра
ЯКР.
В результате испытания на ядрах 35Cl в кристаллическом порошке KClO3 получились следующие результаты. Частота резонанса ЯКР ядер 35Cl
составляет f = 28.098 МГц при комнатной температуре. Для получения сигнала спинового эха подается последовательность из двух радиоимпульсов. Длительность первого импульса (90°–
радиоимпульса) t90 = 15 мкс и второго (180°–
Рис. 4. Блок-схема программы блока управления
А. С. Ажеганов, К. В. Кузнецова, А. В. Манцуров
62
радиоимпульса) t180 = 30 мкс. Интервал между импульсами составляет 600 мкс, пауза между парами
импульсов равна 0.1 с.
Генерация описанной выше последовательности проводилась на втором канале ГСИ. На первом
канале генерировался синхроимпульс для запуска
осциллографа.
На рис. 5 показан выходной сигнал с приемника сигналов ЯКР. На осциллограмме отчетливо
видны зондирующие импульсы и сигналы свободной индукции и спинового эха.
Испытания проводились при числе накоплений
N = 100. При помощи Фурье-преобразования был
получен спектр сигнала ЯКР (рис. 6). Ширина
спектральной линии на уровне 1/2 составила
2.7 кГц.
5. Заключение
Рис.5. Сигнал свободной индукции и спинового эха ядер 35Cl в KClO3
а
Разработаны программируемые генератор серий импульсов и осциллограф в соответствии с
техническим заданием.
Устройства были испытаны в составе спектрометра ЯКР и при испытании показали свою работоспособность.
Разработанный генератор может быть использован в качестве универсального программатора,
генератора многофазных импульсных последовательностей для испытаний устройств автоматики,
управления шаговыми двигателями, для диагностики цифровых схем, например, приборов с зарядовой связью, а также в составе радиоспектрометров ядерного магнитного и квадрупольного
резонансов для исследования влияния заданной
последовательности радиоимпульсов на спиновую
систему в изучаемом образце.
Список литературы
б
Рис. 6. а – огибающая сигнала при числе
накоплений N=100; б – спектр сигнала
1. Ажеганов А. С., Данилов А. В., Кибрик Г. Е..
Автоматизированный
импульсный
Фурьеспектрометр ядерного квадрупольного резонанса // Радиоспектроскопия / Перм. ун-т.,
Пермь, 1985. С. 313–326.
2. Белозерова Т. С., Данилов А. В., Кибрик Г. Е.,
Поляков А. Ю.. Автоматизированный спектрометр ядерного магнитного резонанса // Радиоспектроскопия / Перм. ун-т. Пермь, 1988.
С. 157–165.
3. Шагалов В. А.,
Анашкин В. Н.,
Губайдуллин Ф. Ф., Курбанов Р. Х., Осокин Д. Я. Программный генератор импульсных последовательностей для ЯМР (ЯКР)-спектрометра //
Приборы и техника эксперимента. 1998. № 2.
С. 48–51.
4. STM32F3DISCOVERY. User manual. STMicroelectronics, 2013. 36 p.
5. NI 5102 User manual. High-speed digitizer. National Instruments Corporation, 2001. 87 p.
Блок управления радиоспектрометром
References
1. Azheganov A. S., Danilov A. V., Kibrik G. E.
Avtomatizirovannyi impulsnyi Fur’e-spectrometr
yadernogo kvadrupol’nogo resonansa. Radiospektroskopija. Perm: Perm University, 1985, pp. 313–
326 (In Russian).
2. Belozyorova T. S., Danilov A. V., Kibrik G. E.,
Polyakov A. Yu.. Avtomatizirovannyi spectrometr
yadernogo magnitnogo resonansa. Radiospektros-
63
kopija. Perm: Perm University, 1988, pp. 157–165
(In Russian).
3. Shagalov V. A., Anashkin V. N., Gubaidullin F. F.,
Kurbanov R. H., Osokin D. Ya. Programmnyi generator impulsnyh posledovatel’nostei dlya YaMR
(YaKR). Pribory I tehnika experimenta. 1998,
no. 2, pp. 48–51 (In Russian).
4. STM32F3DISCOVERY. User manual. STMicroelectronics, 2013. 36 p.
5. NI 5102 User manual. High-speed digitizer. National Instruments Corporation, 2001. 87 p.
Radiospectrometer control unit
A. S. Azheganov, K. V. Kuznetsova, A. V. Mantsurov
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm
email: azheganov@psu.ru
The programming generator and programming oscilloscope were developed in this work. The generator has opportunity to produce simultaneous digital patterns of unlimited amount of pulses on its
eight pins. The oscilloscope allows to observe a signal from studied systems, get an average signal,
waveform envelope, spectum and its properties. Creating of digital patterns and signal analysis is
made by computer. Developed devices were tested separately and in couple in relaxometer of nuclear quadrupole resonance. Its efficiency was proved during the tests.
Keywords: programming series generator; programming oscilloscope; spectrometer of nuclear quadrupole
resonance
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 621.372.8;
Увеличение диаметра H x Li 1–x NbO 3
канальных волноводов с помощью доотжига
А. Р. Хасаншина, Р. С. Пономарев
Пермский государственный национальный исследовательский университет
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
email: khasanshina.ar@gmail.com
В работе рассчитаны параметры волноводов для оптического амплитудного модулятора, работающего на длине волны излучения 2.1 мкм. Рассмотрен метод изменения параметров оптического волновода с помощью дополнительного отжига и определена величина предельного контраста показателя преломления волновода, ниже которой прекращается
распространение фундаментальной моды излучения. На основе расчета плотности ионов Н+ в
волноводе показано, что контраст волновода после отжига будет выше предельного, и каналирование фундаментальной моды будет проходить в нормальном режиме. Показано, что методом доотжига могут быть получены волноводы с большей шириной.
Ключевые слова: амплитудный модулятор; волновод; отжиг; протонный обмен; ниобат лития
1. Введение
Волоконные лазеры являются одним из наиболее ярких достижений современной квантовой
электроники. Это направление возникло на стыке
лазерной физики и волоконной оптики. Наибольший интерес для использования в медицине представляют лазеры, длина волны которых находится
в диапазоне от 2.0 мкм и выше. Примером является лазер на основе кристалла алюмоиттриевого
граната, активированного ионами гольмия, –
Ho:YAG, способный генерировать лазерное излучение на длине волны 2.1 мкм.
Излучение с такой длиной волны хорошо поглощается биологической тканью, глубина его
проникновения составляет около 0.4 мм [1]. Кроме
того, для данной длины волны характерны относительно малые потери на распространение в кварцевом оптическом волокне, что позволяет использовать его для удобной доставки излучения к месту
хирургического вмешательства. Это особенно
важно, в частности, для проведения малоинвазивных эндоскопических операций. Излучение гольмиевого лазера хорошо коагулирует сосуды диаметром до 0.5 мм, что вполне достаточно для
большинства хирургических вмешательств. Кроме
того, излучение данной длины волны обеспечивает
минимальное повреждение окружающих тканей,
предотвращая обугливание.
Перечисленные выше факты обеспечивают интерес к разработке самих лазеров и устройств, спо© Хасаншина А. Р., Пономарев Р. С., 2015
64
собных дозировать мощность излучения или осуществлять его модуляцию на определенной частоте. К таким устройствам относятся оптические амплитудные модуляторы, способные дозировать
мощность непрерывного излучения и осуществлять модуляцию выходной мощности на высокой
частоте.
Ранее нами были разработаны и испытаны модуляторы, рассчитанные на длину волны 1.5 мкм.
При попытке их сопряжения с Ho:YAG-лазером
указанные модуляторы показали высокие оптические потери, что сделало невозможным их применение в текущем виде. В связи с этим целью данной работы был поиск методов перевода
модуляторов на более высокое значение рабочей
длины волны, т.е. увеличение эффективного диаметра оптических волноводов модулятора.
2. Методы изготовления волноводов
на длину волны 2.1 мкм
Для создания оптического амплитудного модулятора, работающего в одномодовом режиме на
длине волны излучения  = 2.1 мкм, важно знать
ширину волновода или его диаметр d, считая сечение волновода круглым. Расчет данной величины
производился на основе уравнения самосогласованности [2]:
2knf d cos  2s  2c  2m ,
где k  2 /  , λ – длина волны излучения, m – целое число (0, 1, 2…), которое определяет порядок
0
Увеличение диаметра HxLi1–xNbO3 канальных волноводов с помощью доотжига
моды, φs и φс – фазовые сдвиги, которые определяются по формуле:
tg  
nf2 sin 2 1  ns2
nf cos 1
,
где nf и ns – показатели преломления волновода и
подложки соответственно. Для исследуемых волноводов по данным модовой спектроскопии
nf = 2.217, ns = 2.200 по данным паспорта кристалла.
Расчётное значение диаметра волновода составило 8 мкм. Следует отметить, что реальный диаметр волноводов с рабочей длиной волны 1.55 мкм
составляет около 6 мкм.
Увеличение диаметра волновода было предложено проводить методом доотжига уже готовых
волноводов. При этом увеличение диаметра происходит за счет диффузионного распространения
ионов H+ из сформированных ранее волноводов в
матрицу кристалла. Данный способ является
наиболее быстрым и дешевым, но не гарантирует
качества волноводов, получаемых в результате его
применения.
65
при условии, что все внесенные протоны остаются
в решетке НЛ после отжига. Из структурнофазовой диаграммы было определено, что для
данного значения х контраст волновода Δn ≈ 0.007.
Предельное значение Δn, при котором волновод
работает в волноводном режиме, определяется по
числу мод в соответствии со следующим соотношением:
m
2d

n2f  ns2 .
График зависимости числа мод от значения Δn
приведен на рис. 2.
3. Изменение ширины волновода
с помощью доотжига
Неизбежное уменьшение контрастности волновода, вызванное уменьшением концентрации
ионов H+, может привести к тому, что значение
n  n f  ns может стать настолько малым, что
перестанут выполняться условия распространения
фундаментальной моды излучения. Вследствие
этого были проведены дополнительные расчеты
плотности протонов в отожженном волноводе и
связанного с ней значения Δn.
Из структурно-фазовой диаграммы протонообменных слоев в ниобате лития [3] была определена
концентрация протонов и соответствующее ей значение контраста показателя преломления между
подложкой и волноводом (рис. 1).
С учетом прямого залегания слоев можно приближенно рассчитать количество протонов, содержащихся в фазах 1 и 2. Для указанных фаз пара-
Рис. 1. Структурно-фазовая диаграмма ПОслоев в НЛ [3]
метр x из Li1-xHxNbO3 составляет [4]:
β2 фаза: x = 0.52…0.64, среднее значение
Сβ2 = 0.58, толщина слоя dβ2 = 380 нм,
β1 фаза: x = 0.43…0.52, среднее значение
Сβ1 = 0.48, толщина слоя dβ1 = 120 нм.
Для α-фазы х = 0…0.12. Толщина слоя α-фазы
после отжига dα составляет около 7 мкм.
Тогда для α-фазы параметр
следующего соотношения:
х = [dβ2 Сβ2+ dβ1 Сβ1]/dα = 0.04
х вычисляется
из
Рис. 2. Вычисление предельного контраста
показателя преломления
Как видно из графика, при значении Δn = 0.007
фундаментальная мода излучения существует в
волноводе, что доказывает возможность создания
волноводов с рабочей длиной волны 2.1 мкм методом доотжига.
А.Р. Хасаншина, Р.С. Пономарев
66
Процедура отжига
Образцы представляли собой стандартные чипы оптических фазовых модуляторов производства
ОАО ПНППК (г. Пермь), предназначенные для работы на длине волны 1.55 мкм. Сборка тестируемых модуляторов проводилась авторами работы.
Малое количество образцов было обусловлено
двумя факторами. С одной стороны, предполагалось, что использование стандартных серийно
производимых чипов обеспечит единство их поведения в ходе эксперимента. С другой стороны, мы
стремились выявить влияние доттжига и нивелировать влияние особенностей сборки модулятора,
т.е. считали, что после каждого отжига мы исследуем новый образец, идентичный прежнему в
плане сборки и отличающийся только состоянием
волноводов.
Доотжиг проводился на двух образцах при температуре 354 °С, что соответствует температуре
первичного отжига при формировании волноводов. Шаг по времени отжига составлял 20 мин,
предполагалось аддитивное влияние каждого шага
и отсутствие дополнительной релаксации в структуре кристалла.
Для регулировки температуры использовался
программируемый терморегулятор, который обеспечивал выход на режим в течение 20 мин. По истечении времени отжига образцы извлекались из
печи и остывали на воздухе.
в измеритель оптической мощности 6, после чего
фиксируется оператором.
В качестве измерительного зонда использовался кончик тестового оптического волокна, касающийся волновода. В ходе измерения тестовое волокно и исследуемый волновод юстировались по
максимуму проходящей оптической мощности.
Юстировка производилась с помощью перемещения тестового волокна, закрепленного в специальном вакуумном держателе на микропозиционере.
Рис. 4. Измерение диаметра волновода с
помощью тестового оптического волокна
4. Методика измерения диаметра
волновода
Измерение диаметра волновода проводилось в
ближнем поле, схема измерительной установки
представлена на рис. 3.
Рис. 5. График измеренного диаметра
волновода образца №2
Рис. 3. Схема измерительной установки
Свет от источника излучения 1 через волоконный соединитель 2 вводится в волноводы Yразветвителя, диаметр которых измеряется. Волоконный соединитель 4 юстируется с измеряемым
волноводом с помощью прецизионного микропозиционера 5. Излучение, вышедшее из волновода и
попавшее в волоконный соединитель 4, передается
После юстировки положения тестового волокна
и волновода волокно отводилось по оси Y на расстояние, при котором фиксируемая оптическая
мощность переставала отличаться от уровня фона.
После этого тестовое волокно с помощью микропозиционера смещалось в обратном направлении с
шагом 1 мкм. Схема расположения исследуемого
волновода и тестового волокна показана на рис. 4.
По результатам измерения строится график
нормированной мощности. Расчет диаметра волновода производится по методике, описанной в [5],
Увеличение диаметра HxLi1–xNbO3 канальных волноводов с помощью доотжига
т.е. по уровню 1/e2 от максимальной мощности
(рис. 5).
5. Результаты эксперимента
После каждого шага отжига проводилось измерение диаметра волновода. У образца №1 после
второго шага отжига наблюдалось прекращение
каналирования фундаментальной моды, что говорит об изначально пониженной концентрации
ионов H+ в его структуре. У образца №2 наблюдалось увеличение диаметра после каждого этапа
отжига.
У образца №2 диаметр волновода увеличивался
с течением времени отжига. Изначально диаметр
составлял 9.5 мкм, после процедуры отжига в течение 140 мин составил 13.0 мкм (рис. 6).
67
дов рекомендуется применять при необходимости
срочного перехода на большую длину волны при
работе устройств в условиях лаборатории, исключающих резкие перепады температуры.
На основе полученных данных авторы планируют изготовить серию модуляторов с доотжигом
для проведения испытаний на оптические потери и
глубину модуляции на длине волны 2.1 мкм с использованием гольмиевого лазера. Испытания
планируется проводить в лаборатории лазерной
физики ИОФ АН (г. Москва). В случае получения
положительных результатов испытаний планируется организация мелкосерийного производства
амплитудных модуляторов на длину волны
2.1 мкм.
Авторы
выражают
благодарность
С. С. Мушинскому за помощь в трактовке результатов эксперимента.
Список литературы
Рис. 6. Зависимость диаметра волновода
от времени отжига у образца №2
Следует отметить возрастание уровня оптических
потерь в исследуемом волноводе на длине волны
1.55 мкм. Перед процедурой отжига данная величина составляла 8.0 дБ, после 140 мин отжига потери увеличились до 19 дБ.
6. Выводы
В результате работы показано, что доотжиг
HxLi1–xNbO3 канальных волноводов действительно
приводит к увеличению диаметра волновода и может быть использован в качестве недорогой и
быстрой альтернативы разработке нового фотошаблона с большей шириной волноводов. Открытым остается вопрос об оптических потерях в таких волноводах на целевой длине волны 2.1 мкм.
Следует отметить, что уменьшение контраста
волновода приводит к ухудшению его устойчивости при изменении температуры интегральнооптической схемы при действии пироэлектрического эффекта. Таким образом, доотжиг волново-
1. Грачев С. В. (ред). Гольмиевый лазер в медицине. М.: Триада-Х, 2003. 240 с.
2. Тамир Т. (ред.). Интегральная оптика. М.: Мир,
1978. 344 с.
3. Пономарев Р. С. Структурная модель дрейфовых явлений в интегрально-оптических схемах
на основе HxLi1–xNbO3 канальных волноводов:
дис. на соиск. учён. степ. к.ф.-м.н. / Перм. гос.
ун-т. Пермь, 2014. 149 с.
4. Коркишко Ю. Н., Федоров В. А. Зависимости
показателей преломления от концентрации
протонов в H:LiNbO3 волноводах // Журнал
технической физики. 1999. Т. 69, вып. 3. С. 47–
57.
5. Шаварко В. Г. Волоконно-оптические линии
связи: учеб. пособие / Таганрог. гос. радиотехн. ун-т. Таганрог, 2006. 170 с.
References
1. Grachev S. V. Gol'mievyi lazer v meditsine (Holmium laser in medicine). Moscow: Triada-X, 2003,
240 p.
2. Tamir T. (Ed.) Integrated optics. Berlin: Springer,
1975. 318 p.
3. Ponomarev R. S. Strukturnaia model' dreifovykh
iavlenii v integral'no-opticheskikh skhemakh na
osnove HxLi1–xNbO3 kanal'nykh volnovodov. (The
model of DC-drift in integrated optical circuits
based on proton exchanged LiNbO3 waveguides).
PhD Thesis. Perm: Perm State University, 2014,
149 p. (In Russian).
4. Korkishko Yu. N., Fedorov V. A. Dependences of
the refractive indices on the proton concentration
in H:LiNbO3 waveguides. Technical Physics,
1997, vol. 44, no. 3, pp. 307–316.
А.Р. Хасаншина, Р.С. Пономарев
68
5. Shavarko V. G. Volokonno-opticheskie linii sviazi:
uchebnoe posobie. (Fiber-optic communication
line: tutorial). Taganrog: Taganrog state university
of radioengineering, 2006, 170 p. (In Russian).
The increase in diameter HxLi1–xNbO3 channel
waveguides by using additional annealing
A. R. Khasanshina, R. S. Ponomarev
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm
email: khasanshina.ar@gmail.com
We calculate the parameters of the waveguides for optical amplitude modulator, operating at a wavelength
of 2.1 microns in this work. The method changes the parameters of the optical waveguide by means of
additional annealing and determined the marginal contrast of the refractive index of the waveguide, below
which stops the spread of fundamental mode radiation. Based on the calculation of the density of H + ions
in the waveguide it is shown that the contrast of the waveguide after annealing will be above the limit, and
the channeling of the fundamental mode will be in normal mode. It is shown that the additional annealing
method can be obtained waveguides with larger width.
Keywords: amplitude modulator; a waveguide; annealing, proton exchange lithium niobate
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК 53.096; 539.232
Термооптические коэффициенты пленок,
полученных из плазмы кислорода
и гексаметилдисилазана
Д. И. Сидоров
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
614000, Пермь, Комсомольский проспект, 29
email: sidorovdi@gmail.com
В работе представлены результаты измерений термооптических коэффициентов пленок, полученных плазмохимическим осаждением из смеси кислорода и паров гексаметилдисилазана,
методами модовой спектроскопии. На основе данных Фурье-ИК спектроскопии предложено
объяснение поведения термооптических коэффициентов материалов в зависимости от параметров плазмохимического процесса.
Ключевые слова: термооптический коэффициент; модовая спектропия; Фурье-ИК спектроскопия; плазмохимическое осаждение; гексаметилдисилазан
1. Введение
В основе работы интегрально-оптических
устройств могут лежать различные физические явления, позволяющие управлять показателем преломления оптических материалов: например, электрооптический, акустооптический или термооптический эффект. Интегрально-оптические схемы, основанные на этих эффектах, имеют свои недостатки и преимущества, а выбор принципов работы конкретного устройства в конечном счете
обусловливается областью его применения.
Термооптический эффект может быть использован для получения таких интегральнооптических компонентов, как, например, интерферометра Маха-Цендера или цифрового переключателя. Оптические переключатели на термооптическом эффекте принципиально более медленные,
чем переключатели на электрооптическом эффекте. Минимальная скорость переключения термооптического устройства порядка 100 мкс, в то время
как электрооптический переключатель на ниобате
лития практически безынерционен, поскольку обусловливается эффектом Поккельса и имеет скорость переключения менее 1 нс. Однако системы с
применением термооптического эффекта являются
более простыми как по своей конструкции, так и в
производстве, имеют большую эффективность в
расчете на единицу приложенного воздействия по
сравнению с электрооптическими устройствами и
© Сидоров Д. И., 2015
69
могут иметь большую плотность упаковки элементов на подложке, что важно для миниатюризации
изделий интегральной оптики [1].
Термооптический эффект проявляется для любых материалов и описывается термооптическим
коэффициентом (ТОК), который определяет зависимость показателя преломления материала n от
температуры T . Для изотропных материалов ТОК
может быть получен путем дифференцирования
формулы Лорентц–Лоренца по температуре при
постоянном давлении P [1–4]:
(n 2  1)(n 2  2)  1   m 
 dn 


 

 
6n
 dT  P
 3 m  T V

V   m 
  ,


 m  V T

1  V 
  
3V  T  P
где  m – поляризуемость материала в области оптических частот,  – коэффициент линейного температурного расширения и V – объем материала.
Из данного выражения следует, что термооптический эффект для изотропного материала обусловлен следующими явлениями: 1) зависимостью
поляризуемости материала от температуры при
постоянном объеме; 2) увеличением поляризуемости постоянного числа частиц, составляющих материал, с увеличением предоставленного объема и
70
температуры; 3) уменьшением концентрации поляризуемых частиц с увеличением температуры
(как результат расширения объема материала).
На основании представленной формулы возможно предсказать термооптические свойства изотропного материала в зависимости от его природы.
Так, для органических полимеров ТОК имеет
большую отрицательную величину (порядка
-104 K-1) вследствие преобладания термического
расширения. А для плавленого кварца ТОК по модулю – на порядок меньший, чем в органических
полимерах, но имеет положительную величину,
что обусловливается главным образом зависимостью поляризации материала от температуры
[1, 4].
Для измерения ТОК могут использоваться интерферометрические методы [5] и модовая спектроскопия [6].
Возможность формирования материалов с различными ТОК в едином технологическом процессе
интересна с точки зрения разработки и производства интегрально-оптических схем. При этом важно обеспечить термическую стабильность материалов, малое поглощение в области частот,
используемых в интегральной оптике, и совместимость с кварцевым оптическим волокном. Подобными материалами могут выступать, например,
оксид
кремния
и
кремнийорганические
полимеры [7].
Одной из технологий получения оксида кремния и кремнийорганических материалов является
плазмохимическое осаждение из газовой фазы
(PECVD) [8–11]. Преимущество данной технологии заключается в том, что путем регулирования
параметров процесса (например, мощности источника плазмы и расходов реагентов) возможно изменять степень диссоциации исходного мономера
и, следовательно, управлять как химическим составом, так и степенью сшивки полимерной матрицы результирующего материала [12–14].
В данной работе методами модовой спектроскопии на длине волны 632.8 нм исследованы ТОК
пленок, полученных плазмохимическим осаждением из смеси кислорода и паров гексаметилдисилазана, в зависимости от режима получения материалов.
Д. И. Сидоров
температуры. Давление в реакторе в процессе осаждения составляло около 0.5 Па. Пленки были получены из смеси кислорода и паров гексаметилдисилазана (ГМДС(Н), [(CH3)3Si]2NH), используемого в качестве мономера.
Измерения ИК спектров были проведены с помощью Фурье-ИК спектрометра Thermo Scientific
Nicolet 380 на пропускание.
ТОК пленок были получены с помощью модовой спектроскопии на длине волы 632.8 нм. Для
проведения термооптических измерений спектрометр Metricon 2010/M Prism Coupler был дополнительно оборудован системой нагрева и поддержания температуры образцов в автоматическом
режиме.
3. Результаты и их обсуждение
Для определения химических и структурных
особенностей материалов была использована
Фурье-ИК спектроскопия. Фурье-ИК спектры пленок в зависимости от мощности источника плазмы
и расходов исходных реагентов представлены на
рис. 1.
2. Методика экспериментов
Образцы пленок были получены методом плазмохимического осаждения из газовой фазы с помощью высокочастотного (13.56 МГц) индукционного разряда. В качестве источника плазмы
использовался плоский индуктор. Пленки осаждались на пластины кремния (100). В ходе процесса
осаждения обрабатываемая подложка располагалась на плоскопараллельном алюминиевом подложкодержателе напротив индуктора. Индуктор и
подложкодержатель охлаждались водой комнатной
Рис. 1. Фурье-ИК спектры пленок в зависимости от мощности источника плазмы
при расходе кислорода 2.45 л/ч и при расходах ГМДС(Н): a – 0.35 л/ч; b – 1 л/ч
Термооптические коэффициенты пленок, полученных из плазмы…
ИК спектры позволяют определить соответствие материала пленок кремнийорганическому
полимеру или неорганическому полимеру (оксиду
кремния). Площади пика около 1030 см–1 (изгибная колебательная мода Si–CH2–Si(δ)) и, в особенности, пика около 1280 см-–1 (валентная колебательная мода Si–CH3(ν)) оражают содержание
органической компоненты в составе материала
[10–12]. Подобный материал близок по химическому составу и структуре к кремнийорганическим
полимерам. Отсутствие данных пиков свидетельствует о материале, близком к стехиометрическому диоксиду кремния. Сдвиги полос поглощения в
основном связаны с изменением конфигурации
электронных облаков (дипольного момента) вследствие изменения окружения у атомов. В случае материала, соответствующего оксиду кремния, имеет
место зависимость стехиометрии и положения валеной колебательной моды Si–O–Si(ν) около
1080 см–1: смещение к меньшим волновым числам
(красное смещение) соответствует снижению
атомного процента кислорода по сравнению со
стехиометрическим оксидом [15].
Результаты термооптических измерений представлены на рис. 2.
71
Согласно изображенному графику зависимость
модуля ТОК исследуемых пленок от приложенной
к источнику плазмы мощности имеет максимум.
По всей видимости, подобное поведение ТОК связано с химическими и структурными особенностями материалов.
Природа первоначального роста модуля ТОК
до конца не ясна. До достижения максимума модуля ТОК идет режим образования материала, в котором преобладают органические компоненты, что
следует из результатов ИК спектроскопии (рис. 1).
Возможно, что на данном этапе энергия плазмы
расходуется в основном на образование полимера
с преобладанием линейной структуры –Si–CH2–Si–
с терминальными метильными группами –CH3.
Далее по мере увеличения мощности источника
плазмы наблюдается снижение модуля ТОК. С одной стороны, это может быть связано с увеличением степени сшивки органической части материала,
что уменьшает способность материала к расширению. С другой стороны, материал начинает приближаться по химическому составу и структуре к
оксиду кремния, для которого степень сшивки так
же велика, но основную роль начинает играть зависимость поляризации от температуры.
4. Заключение
Методами модовой спектроскопии проведены
измерения термооптических коэффициентов пленок, полученных плазмохимическим осаждением
из смеси кислорода и паров гексаметилдисилазана.
На основе данных Фурье-ИК спектроскопии
предложено объяснение поведения термооптических коэффициентов материалов в зависимости от
параметров плазмохимического процесса.
Рис. 2. ТОК пленок в зависимости от
мощности источника плазмы при расходе
кислорода 2.45 л/ч и при расходах
ГМДС(Н): 1 – 0.35 л/ч; 2 – 1 л/ч. Для сравнения представлены ТОК для материалов,
наиболее часто используемых при производстве
интегрально-оптических
устройств [4, 5]: 3 – монокристаллический кремний; 4 – поликристаллический
кремний; показатель преломления ниобата лития: 5 – обыкновенный; 6 – необыкновенный; 7 – плавленый кварц (аморфный
диоксид кремния)
Данная работа выполнена в рамках проекта
02.G25.31.0113 «Разработка базовой технологии и
создание производства фотонных интегральных
схем для приборов, систем и комплексов оптоэлектронного навигационного приборостроения», реализуемого АО «Пермская научно-производственная приборостроительная компания» совместно
с ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет»
Список литературы
1. Hauffe R., Petermann K. Thermo-optic switching /
In: T. S. El-Bawab (Ed.) Optical switching. Boston, Massachusetts: Springer US, 2006. P. 111–
139.
2. Havinga E. E. The temperature dependence of dielectric constants // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1961. Vol. 18 (2–3). P. 253–255.
3. Bosman A. J., Havinga E. E. Temperature dependence of dielectric constants of cubic ionic com-
Д. И. Сидоров
72
pounds // Physical Review. 1963. Vol. 129 (4). P.
1593–1600.
4. Coppola G., Sirleto L., Rendina I., Iodice M. Advance in thermo-optical switches: principles, materials, design, and device structure // Optical Engineering. 2011. Vol. 50 (7), 071112.
5. Moretti L., Iodice M., Della Corte F. G., Rendina
I. Temperature dependence of the thermo-optic coefficient of lithium niobate, from 300 to 515 K in
the
visible
and
infrared
regions
//
Journal of Applied Physics. 2005. Vol. 98 (3),
036101.
6. Kang E. S., Lee T.H., Bae B.-S. Measurement of
the thermo-optic coefficients in sol-gel derived inorganic-organic hybrid material films // Applied
Physics
Letters.
2002.
Vol.
81
(8).
P. 1438–1440.
7. Su K., DeGroot Jr. J. V., Norris A. W., Lo P. Y. Siloxane materials for optical applications // Proceedings of SPIE. 2006. Vol. 6029, 60291C.
8. Ясуда Х. Полимеризация в плазме. М.: Мир,
1988. 376 с.
9. Lieberman M. A., Lichtenberg A. J. Principles of
plasma discharges and materials processing. 2nd
edition. Hoboken, New Jersey: Wiley, 2005.
800 p.
10. Kim M. T. Deposition kinetics of silicon dioxide
from hexamethyldisilazane and oxygen by PECVD
// Thin Solid Films. 1999. Vol. 347 (1–2). P. 99–
105.
11. Sahli S., Rebiai S., Raynaud P., Segui Y., Zenasni
A., Mouissat S. Deposition of SiO2-like films by
HMDSN/O2 plasmas at low pressure in a MMPDECR reactor // Plasmas and Polymers. 2002.
Vol. 7 (4). P. 327–340.
12. Grill A., Neumayer D. A. Structure of low dielectric constant to extreme low dielectric constant
SiCOH films: Fourier transform infrared spectroscopy characterization // Journal of Applied Physics. 2003. Vol. 94, N. 8. P. 6697–6707.
13. Hegemann D. Macroscopic control of plasma
polymerization processes // Pure and Applied
Chemistry. 2008. Vol. 80 (9). P. 1893–1900.
14. Hegemann D., Körner, E., Chen S., Benedikt J.,
von Keudell A. Functional plasma polymers deposited in capacitively and inductively coupled plasmas // Applied Physics Letters. 2012. Vol. 100 (5),
051601.
15. Pai P. G., Chao S. S., Takagi Y., Lucovsky G. Infrared spectroscopic study of SiOx films produced
by plasma enhanced chemical vapor deposition //
Journal of Vacuum Science and Technology A.
1986. Vol. 4 (3). P. 689–694.
References
1. Hauffe R., Petermann K. Thermo-optic switching.
In: Optical Switching, Ed. by T. S. El-Bawab. Bos-
ton, Massachusetts: Springer US, 2006, pp. 111–
139.
2. Havinga E. E. The temperature dependence of dielectric constants. Journal of Physics and Chemistry
of Solids. 1961, vol. 18 (2–3), pp. 253–255.
3. Bosman A. J., Havinga E. E. Temperature dependence of dielectric constants of cubic ionic compounds. Physical Review. 1963, vol. 129(4),
pp. 1593–1600.
4. Coppola G., Sirleto L., Rendina I., Iodice M. Advance in thermo-optical switches: principles, materials, design, and device structure. Optical Engineering. 2011, vol. 50 (7), 071112.
5. Moretti L., Iodice M., Della Corte F. G., Rendina
I. Temperature dependence of the thermo-optic coefficient of lithium niobate, from 300 to 515 K in
the visible and infrared regions. Journal of Applied
Physics. 2005, vol. 98 (3), 036101.
6. Kang E. S., Lee T.H., Bae B.-S. Measurement of
the thermo-optic coefficients in sol-gel derived inorganic-organic hybrid material films. Applied
Physics Letters. 2002, vol. 81 (8), pp. 1438–
1440.
7. Su K., DeGroot Jr. J. V., Norris A. W., Lo P. Y.
Siloxane materials for optical applications. Proceedings
of
SPIE.
2006,
vol.
6029,
60291C.
8. Yasuda H. Plasma Polymerization. Orlando, Florida: Academic Press, 1985. 432 p. (Russ. ed.:
Jasuda H. Polimerizacija v plazme. Moscow, Mir,
1988, 376 p.).
9. Lieberman M. A., Lichtenberg A. J. Principles of
Plasma Discharges and Materials Processing. 2nd
Edition. Hoboken, New Jersey: Wiley, 2005.
800 p.
10. Kim M. T. Deposition kinetics of silicon dioxide
from hexamethyldisilazane and oxygen by
PECVD. Thin Solid Films. 1999, vol. 347 (1–2),
pp. 99–105.
11. Sahli S., Rebiai S., Raynaud P., Segui Y., Zenasni
A., Mouissat S. Deposition of SiO2-like films by
HMDSN/O2 plasmas at low pressure in a MMPDECR reactor. Plasmas and Polymers. 2002,
vol. 7 (4), pp. 327–340.
12. Grill A., Neumayer D. A. Structure of low dielectric constant to extreme low dielectric constant
SiCOH films: Fourier transform infrared spectroscopy characterization. Journal of Applied Physics.
2003, vol. 94, no. 8, pp. 6697–6707.
13. Hegemann D. Macroscopic control of plasma
polymerization processes. Pure and Applied
Chemistry. 2008, vol. 80 (9), pp. 1893–
1900.
14. Hegemann D., Körner, E., Chen S., Benedikt J.,
von Keudell A. Functional plasma polymers deposited in capacitively and inductively coupled plas-
Термооптические коэффициенты пленок, полученных из плазмы…
mas. Applied Physics Letters. 2012, vol. 100 (5),
051601.
15. Pai P. G., Chao S. S., Takagi Y., Lucovsky G. Infrared spectroscopic study of SiOx films produced
73
by plasma enhanced chemical vapor deposition.
Journal of Vacuum Science and Technology A.
1986, vol. 4(3), pp. 689–694.
Thermo-optic coefficients of films obtained by
PECVD from oxygen and hexamethyldisilazane
D. I. Sidorov
Perm National Research Polytechnic University, Komsomolsky prospekt 29, 614000, Perm
email: sidorovdi@gmail.com
The paper presents results of thermo-optic coefficient measurements of films prepared by plasma
enhanced chemical vapor deposition from oxygen and hexamethyldisilazane vapor mixture by means
of mode spectroscopy. Based on FTIR spectroscopy data it was proposed explanation of obtained
materials thermo-optic coefficients dependence on deposition parameters.
Keywords: thermo-optic coefficient; mode spectroscopy; FTIR; PECVD; hexamethyldisilazane
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Серия: Физика
2015
Вып. 3 (31)
УДК: 532; 532.72; 538.93
Тепловая конвекция коллоида на основе
бинарной жидкости
В. А. Демин a , Е. А. Попов b
a
Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь,
ул. Букирева, 15, Россия
email: demin@psu.ru
b
ОАО «Авиадвигатель», 614990, Пермь, Комсомольский пр-т, 93, Россия
evjeniy.p@gmail.com
Представлены результаты теоретического исследования тепловой конвекции трехкомпонентной суспензии в подогреваемом снизу тонком вертикальном слое. Рабочей жидкостьюносителем является бинарный молекулярный раствор с отрицательной термодиффузией, а в
качестве коллоидного наполнителя выступают частицы размером от микро- до нанометров.
Построена теоретическая модель и выполнено прямое трехмерное численное моделирование
рассматриваемых конвективных процессов. Получено качественное согласие результатов
расчетов и экспериментальных данных. Продемонстрировано влияние седиментации частиц
на потерю лево-правой симметрии нестационарного конвективного четырехвихревого режима с перезамыканием угловых вихрей.
Ключевые слова: коллоидные растворы; частицы нано- и микронных размеров; седиментация; молекулярная
термодиффузия
1. Введение
В подогреваемых сложным образом многокомпонентных жидких смесях неоднородности концентрации примесей могут возникать за счет различных факторов. Среди механизмов переноса
можно выделить главные, практически всегда присутствующие в ходе рассматриваемых процессов –
это диффузия и конвективный перенос. Применительно к бинарной жидкости диффузионный механизм переноса для концентрации примеси определяется известным законом Фика:
В этом уравнении v – скорость элемента жидкости, j – плотность потока примеси.
Эксперименты показывают, что конвективный
перенос и диффузия – не единственные механизмы, отвечающие за перераспределение вещества.
Если неоднородности температуры становятся существенными, начинает проявляться, так называемый, термодиффузионный механизм переноса. Поток вещества, обусловленный термодиффузией, в
первом приближении пропорционален градиенту
температуры:
jT    D
jc    DC .
Здесь С – массовая концентрация примеси в объеме жидкости, D – коэффициент диффузии,  –
плотность элемента жидкости. Перечисленным
механизмам переноса отвечает уравнение в частных производных для изменения поля концентрации примеси в зависимости от времени [1]:
 C

 v   C   div j .
 t


__________________
© Демин В. А., Попов Е. А., 2015
74
kT
T .
T
В качестве константы пропорциональности выступает термодиффузионное отношение kT , T – абсолютная температура, а комбинация   D kT /T
традиционно называется термодиффузионным коэффициентом. Термодиффузионный параметр может быть как положительным, так и отрицательным:  > 0 отвечает нормальной термодиффузии,
 < 0 – аномальной.
Тепловая конвекция коллоида на основе бинарной жидкости
В случае, когда роль добавочного компонента
играют коллоидные частицы, на их перераспределение в среде может оказывать определенное влияние поле тяжести. Явление оседания частиц в физической химии называется седиментацией.
Плотность седиментационного потока имеет следующий вид:
jU  CU ,
где U – скорость седиментации. Для сферических
частиц эта скорость вычисляется по известной
формуле Стокса:
U  D Vo g k  T  ,
(1.1)
где  – разность плотностей материала частиц и
несущей жидкости, g – ускорение силы тяжести,
Vo – объем частицы, k – постоянная Больцмана.
В ходе теоретического анализа необходимо
различать такие неодинаковые по своим свойствам
многокомпонентные среды, как молекулярные
смеси, коллоидные растворы и суспензии. Для
описания перераспределения компонентов в этих
средах необходимо применять различные подходы
и учитывать в выражениях для потока вещества
разные факторы. Тем не менее бывают ситуации,
когда все перечисленные механизмы играют существенную роль в ходе определенных концентрационно-конвективных процессов. Так, в [2,3] была
экспериментально и теоретически рассмотрена задача о движении магнитной жидкости на основе
керосина в связанных каналах при подогреве снизу
(в роли несущей жидкости могут выступать разные
среды, но наиболее распространенной является керосин). Описанные в этих работах макроскопические эффекты объясняются совместным действием
термодиффузии, конвекции и седиментации. Седиментационные явления, связанные с наличием
микрочастиц, характеризуются довольно большими временами. При сильном измельчении взвесь
представляет собой фактически однодоменные
магнетитовые частицы, которые обладают магнитными моментами. Чаще всего частицы покрываются поверхностно-активным веществом, которое
предотвращает их слипание и препятствует дальнейшему выпадению кластеров в осадок. Однако
существуют и другие методы стабилизации феррожидкостей. Большие значения магнитных моментов при относительно малых размерах частиц и
возможность длительного нахождения во взвешенном состоянии в жидкости-носителе приводят
к тому, что феррожидкость ведет себя во внешнем
магнитном поле как суперпарамагнетик и характеризуется аномально большими значениями магнитной восприимчивости.
Таким образом, для магнитной жидкости определяющим является взаимодействие феррочастиц с
магнитным полем, которое может оказывать на ее
75
движение колоссальное влияние. Однако в отсутствие магнитного поля на передний план начинают
выступать другие более тонкие эффекты, не связанные с внешними факторами [4].
Магнетитовые частицы обсуждаемой феррожидкости имеют характерный размер порядка
10 нм. Для коэффициента диффузии частиц с хорошей степенью точности справедлива формула
Эйнштейна. При указанном радиусе частицы получается весьма малое значение этого параметра
–7
D = 210 см2/с. Эта оценка подтверждается прямыми экспериментами [5]. Скорость оседания частиц такого диаметра в воде можно оценить с помощью формулы (1.1) U ~ 10–7 см/с. Как
показывает опыт, хотя ее значение мало, эффектом
седиментации нельзя полностью пренебрегать.
Для суспензий эволюция распределения концентрации частиц в отсутствие конвективного переноса подчиняется уравнению
C
 D C  U C   ,
t
(1.2)
где  – единичный вектор, направленный вертикально вверх. В уравнении учтены два механизма
перераспределения частиц в жидкости-носителе:
диффузия и седиментация, иными словами, поток
вещества здесь определяется формулой
J   DC  CU .
Изотермическая задача об оседании частиц
феррожидкости в вертикальном канале без учета
термодиффузии экспериментально и теоретически
была рассмотрена в [5]. Эксперименты проводились в соответствии с методикой, изложенной в
работе [6].
В [7] эта задача была теоретически рассмотрена
в неизотермической постановке. Были проанализированы случаи подогрева сверху и снизу. Помимо седиментационного эффекта учитывался термодиффузионный механизм перераспределения
частиц. Для одномерного случая, когда температура зависит только от вертикальной координаты,
было получено точное решение уравнения (2) с
учетом термодиффузии в виде ряда, удовлетворяющее граничным и начальным условиям. Оказалось, что даже при весьма малых значениях термодиффузионного параметра на больших временах
разделение смеси вполне может быть зафиксировано экспериментально.
При наличии конвекции получить аналитическое решение задачи становится весьма затруднительно. В [2,3] численно показано, что в конвективной петле при подогреве снизу феррожидкость
ведет себя подобно молекулярным бинарным смесям с положительной термодиффузией. В чистом
керосине без феррочастиц и дизельном топливе
наблюдаются специфические перебросовые колебания, характерные для бинарных жидких смесей с
В. А. Демин, Е. А. Попов
76
положительной термодиффузией. Период перебросов в магнитной жидкости значительно превышает
таковой в молекулярных бинарных смесях, а форма колебаний имеет прямоугольную форму. Объяснение опытных данных оказывается возможным
на основе расширенных уравнений тепловой конвекции многокомпонентных смесей с учетом в
уравнениях различных механизмов переноса: для
молекулярной смеси – термодиффузии, для феррочастиц – седиментации.
Однако не до конца решенным остается вопрос
о влиянии термодиффузии на перераспределение
частиц в неоднородно нагретой несущей жидкости.
Необходимость учета этого эффекта часто подчеркивается при рассмотрении конвективных процессов в наносуспензиях [8–10]. В [8] проведены эксперименты, в [9,10] получены оценки и выполнено
численное моделирование влияния термодиффузии
частиц на скорость седиментации.
Проанализируем процесс оседания полистироловых шариков микронных размеров или частиц
алюминиевой пудры в неоднородно нагретой жидкости. Эти порошкообразные среды часто применяются в конвективных экспериментах для визуализации течений. В отличие от обсуждавшихся
выше феррожидкостей более крупные размеры
взвешенных частиц позволяют называть данные
среды суспензиями.
2. Постановка задачи
Рис. 1. Тонкий вертикальный слой при подогреве снизу. Система координат
Рассмотрим полость с твердыми гранями в
форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 1).
Введем обозначения: высота ячейки – H, длина –
L, толщина – d. Данную полость принято называть
ячейкой Хеле – Шоу, если выполняется условие H,
L >> d. В нашем случае H и L превышают d, но
сопоставимы по величине, поэтому в дальнейшем
будет решаться полная трехмерная конвективная
задача. Рабочая жидкость представляет собой молекулярный бинарный раствор, наполненный
взвешенными частицами. Полость нагревается
снизу и находится в статическом поле тяжести.
3. Основные уравнения
Конвективные течения коллоида в прямоугольной полости будем описывать системой уравнений
термоконцентрационной конвекции в форме, аналогичной приближению Буссинеска [11]:
v
 v  v  p   v 
t
 

  v     v   
T

 g t T  c C     ,
T
 (v )T  T , div v  0 ,
t
C
 v   C  Dc  C  T  ,
t

 v     D    U     .
t
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Здесь v , p и T – размерные поля скорости, давления и температуры; C и  – концентрации легкого
компонента молекулярной смеси в жидкостиносителе и микрочастиц, соответственно. В уравнении (3.1) учитывается экспоненциальная зависимость кинематической вязкости от температуры
(T); χ и  – коэффициенты температуропроводности и термодиффузии, соответственно. Плотность
элемента жидкости зависит от температуры и концентрации обоих компонентов, в результате в
уравнении Навье – Стокса в подъемной силе имеем три разных параметра: T , c и  – коэффициент теплового расширения и коэффициенты,
определяющие зависимость плотности от концентрации соответствующих компонентов. Сила Бассе
ввиду ее малости в рассматриваемой задаче не
принималась в расчет [12].
Неоднородность нагрева полости обеспечивается путем задания разности температур между
верхней и нижней гранями. Для компонент вектора
скорости на твердых границах справедливо условие прилипания:
v |  0 .
В уравнениях (3.3) и (3.4) параметры Dc и D –
коэффициенты диффузии легкого компонента смеси и микрочастиц, соответственно. Еще один параметр U в уравнении (3.4) – это по-прежнему скорость оседания частиц. Введем вспомогательную
функцию F  C   T для молекулярной примеси.
Запишем граничные условия для оставшихся неизвестных величин в уравнениях (3.1)–(3.4). На
Тепловая конвекция коллоида на основе бинарной жидкости
функцию F накладывается ограничение, вытекающее из условия отсутствия потока легкого компонента в жидкости-носителе через твердые границы
полости  F n  0 . Для концентрации частиц на

боковых стенках справедливо условие непроницаемости   n  0 .

На верхней и нижней гранях необходимо наложить граничное условие третьего рода, чтобы
скомпенсировать седиментационный поток и
обеспечить неизменность средней концентрации
частиц в полости
y  0, H :
 U

  0.
y D
(3.5)
Температура на боковых гранях также удовлетворяет условию третьего рода
x  0, L :
T w

(T  T0 )  0 ,
x  dw
(3.6)
z  0, d :
T w

(T  T0 )  0 .
z  dw
(3.7)
Здесь dw ,  w – соответственно, толщина и теплопроводность стенки,  – теплопроводность смеси,
T0 – температура окружающей среды. Расчеты
проводились для значений параметров, которые
указаны в таблице.
нообразные явления механики сплошных сред. Для
реализации условий третьего рода в программной
среде OpenFOAM использовалась дополнительная
библиотека swak4Foam. Согласно заложенной там
численной схеме производные в (3.5)–(3.7) заменяются конечно-разностными формулами первого
порядка точности [13]. Начальное распределение
концентраций молекулярной примеси и частиц полагалось однородным и равнялось C t =0 = 0.115,
ϕ t =0 = 0.01. Начальное распределение температуры также предполагалось одинаковым во всем
массиве и соответствовало комнатной температуре
20 °С . Температура нагревателя равнялась 28 °С, а
верхней охлаждающей стенки полагалась равной
20 °С. Скорость оседания частиц в расчетах была
управляемым параметром.
Размеры полости в расчетах принимались равными L = 20 мм, H = 40 мм, d = 2 мм. Количество
ячеек в расчетной сетке 45:71:11, что соответствует координатным осям x, y, z.
5. Результаты расчета
В ходе расчетов было обнаружено и описано
нарушение симметрии относительно вертикальной
оси известного автоколебательного четырехвихревого режима с переменным перезамыканием угловых вихрей ([15], рис. 2).
Параметры жидкости [14]. Значения
приводятся под соответствующим обозначением
 (20C ) , м2/с
, м2/с
DT , м2/с
D , м2/с
1.004·10–6
1.2510–7
1.0210–9
10–11
T , К–1
c

T , К–1
2.110–4
0.1
0.5
–0.7510–3
 , Вт/(м  К)
w , Вт/(м  К)
dw , м
T0 , С°
0.598
0.162
0.04
20
4. Численный эксперимент
Краевая задача решалась посредством прямого
численного моделирования в размерном виде с использованием программного пакета OpenFOAM на
суперкомпьютере Пермского университета «ПГУ–
Тесла». Система (3.1)–(3.4) формировалась путем
модификации заложенных в пакете базовых уравнений математической физики, описывающих раз-
77
Рис. 2. Форма четырехвихревого колебательного течения при U = 10-6 м/с (поля
скорости и температуры в вертикальном
сечении)
В. А. Демин, Е. А. Попов
78
Для количественного описания этого нарушения
симметрии вводился параметр порядка
P
N 2
 Ti  y  34H   43 Tн  T0   T0 
i 1

N

i N 21
Ti  y  3H   3 Tн  T0   T0 
4  4

Tн  T0   T 
  Ti  y  H  
0
4
4


i 1
N 2

N
Tн  T0   T .
Ti  y  H  
0
4
4

2 1

i N
В этой формуле Tн – температура нагревателя.
Из расчетного каталога данных выбирались
значения температуры в точках на высоте четверти
и трех четвертей высоты полости и вычиталось
равновесное распределение температуры.
Рис. 3. Форма четырехвихревого колебательного течения при U = 10-8 м/с (поля
скорости и температуры в вертикальном
сечении)
Наборы точек были поделены на две части и взяты
с разными знаками. Положительное значение параметра порядка соответствует бо́льшим левым
вихрям, т.е. тем, которые ближе к началу координат; отрицательное значение, наоборот, свидетельствует о смещении границы между вихрями
вправо.
Проведенные расчеты параметра порядка в зависимости от времени показали, что для разных
значений скорости оседания в ходе автоколебательного четырехвихревого режима с перезамыканием угловых вихрей имеет место разная степень
нарушения лево-правой симметрии. Оказалось, что
с наличием микрочастиц в бинарной смеси можно
связать нарушение симметрии этого течения, так
как в отсутствие частиц в расчетах четырехвихревой режим является симметричным. В том числе,
нарушение симметрии в статистически среднем
смысле не наблюдается при малой скорости оседания U = 10–8 м/с (рис. 3), которая характерна для
наночастиц. Визуально небольшой разброс параметра порядка (как на рис. 4, а) не идентифицируется как нарушение лево-правой симметрии. Лишь
при относительно больших скоростях оседания ~
10-6 м/с, характерных для микрочастиц современных порошкообразных визуализаторов (рис. 4, б),
течение становится в статистически среднем
смысле несимметричным.
Рис. 4. Значения параметра порядка в
разные моменты времени для скорости
оседания: а – 10–8 м/с; б – 10–6 м/с.
Нарушение лево-правой симметрии четырехвихревого течения с перезамыканием угловых
вихрей было открыто теоретически в случае высокочастотного вибрационного воздействия на полость [16]. Позднее подобное нарушение симметрии было зафиксировано в эксперименте, однако в
отсутствие вибраций и при наличии визуализирующих частиц. В ходе численного моделирования
свободной тепловой конвекции без учета эффекта
Тепловая конвекция коллоида на основе бинарной жидкости
седиментации визуализирующих частиц рассматриваемый режим всегда оставался симметричным.
6. Заключение
Результаты численного моделирования показывают возможность объяснения экспериментально
наблюдавшегося ранее спонтанного нарушения лево-правой симметрии автоколебательного четырехвихревого течения с перезамыканием угловых
вихрей в тонком вертикальном слое при подогреве
снизу. Расчет параметра порядка на основе анализа
температурного поля продемонстрировал усиление
лево-правой асимметрии данного конвективного
режима при увеличении параметра, отвечающего
за скорость седиментации частиц.
Работа поддержана грантом РФФИ «Колебательные конвективные процессы в нано- и микрожидкостях в микрофлюидических системах: анализ
и контроль» в рамках регионального конкурса
инициативных проектов «Урал-а». Код проекта 1301-96010.
Авторы благодарят сотрудников суперкомпьютера “ПГУ–Тесла” Научно-образовательного центра ПГНИУ “Параллельные и распределенные вычисления” за содействие в работе.
Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. М.: Физматлит,
2001. 736 с.
2. Глухов А. Ф., Путин Г. Ф. Конвекция магнитных жидкостей в связанных каналах при подогреве снизу // Известия Российской академии
наук. Механика жидкости и газа. 2010. № 5. С.
41–48.
3. Глухов А. Ф., Демин В. А., Попов Е. А. Тепловая
конвекция магнитной наносуспензии в узких
каналах // Известия Российской академии наук.
Механика жидкости и газа. 2013. № 1. С. 41–51.
4. Глухов А. Ф. Экспериментальное исследование
тепловой конвекции в условиях гравитационного расслоения: дис. на соиск. учен. степ. к.ф.м.н. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1995. 140 с.
5. Глухов А. Ф., Путин Г. Ф. Установление равновесного барометрического распределения частиц в магнитной жидкости // Гидродинамика /
Перм. гос. ун-т. / Пермь, 1999. Вып. 12. С. 92–
103.
6. Peterson E. A., Kruger D. A. Field induced agglomeration in magnetic colloids // Journal of Colloid and Interface Science. 1977. Vol. 62. № 1.
P. 24–33.
7. Демин В. А. Оседание наночастиц в однородной
несущей жидкости при наличии термодиффу-
79
зии // Вестник Пермского университета. Серия:
Физика. 2013. Вып. 1 (23). С. 20–24.
8. Donzelli G., Cerbino R., Vailati A. Bistable heat
transfer in a nanofluid // Physical Review Letters.
2009. Vol. 102. 104503.
9. Shliomis M. I., Smorodin B. L. Onset of convection
in colloids stratified by gravity // Physical Review
E. 2005. Vol. 71. 036312.
10. Smorodin B. L.,
Cherepanov I. N.,
Myznikova B. I., Shliomis M. I. Traveling-wave convection
in colloids stratified by gravity // Physical Review
E. 2011. Vol. 84. 026305.
11. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная
устойчивость несжимаемой жидкости. М.:
Наука, 1972. 392 с.
12. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.
13. Ferziger J. H., Peric M. Computational methods
for fluid dynamics. New York: Springer, 2002. 423
p.
14. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Изд-во
физ.-мат. литературы, 1963. 708 с.
15. Гаврилов К. А., Демин В. А., Попов Е. А. Моделирование трехмерных конвективных течений с
помощью пакета OpenFOAM // Вестник Пермского университета. Серия: Математика, Механика, Информатика. 2012. Вып. 3( 11). С. 23–
28.
16. Бабушкин И. А., Глазкин И. В., Демин В. А.,
Платонова А. Н., Путин Г. Ф. Об изменчивости одного типичного течения в ячейке ХелеШоу // Известия Российской академии наук.
Механика жидкости и газа. 2009. № 5. С. 3–14.
References
1. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of theoretical
physics. Fluid mechanics. V. 6. UK: Pergamon
Press, 1966. 536 p.
2. Glukhov A. F., Putin G. F. Convection of magnetic
fluids in connected channels heated from below.
Fluid Dynamics, 2010, vol. 45, no. 5, pp. 713–718.
3. Glukhov A. F., Demin V. A., Popov E. A. Thermal
magnetic nanosuspension convection in narrow
channels. Fluid Dynamics, 2013, vol. 48, no. 1,
pp. 36–45.
4. Glukhov A. F. Eksperimental’noe issledovanie
teplovoy konvektsii v usloviyah gravitatsionnogo
rassloeniya (Experimental study of thermal convection under gravitational sedimentation). PhD
Thesis. Perm: Perm State University, 1995. 140 p.
(In Russian)
5. Glukhov A. F.,
Putin G. F.
Ustanovlenie
ravnovesnogo barometricheskogo raspredeleniya
chastits magnitnoy zhidkosti (Establishing of barometric equilibrium distribution of the particles in
a magnetic fluid). Gidrodinamika (Hydrodynam-
В. А. Демин, Е. А. Попов
80
ics). Perm: Perm State University, 1999, vol. 12,
pp. 92–103 (In Russian).
6. Peterson E.A., Kruger D.A. Field induced agglomeration in magnetic colloids. Journal of Colloid
and Interface Science, 1977, vol. 62, no. 1, pp. 24–
33.
7. Demin V. A. Sedimentation of nanoparticles in a
homogeneous carrying fluid in the presence of
thermodiffusion. Bulletin of Perm University. Series: Physics, 2013. no. 1 (23), pp. 20–24 (In Russian).
8. Donzelli G., Cerbino R., Vailati A. Bistable heat
transfer in a nanofluid. Physical Review Letters,
2009, vol. 102, 104503.
9. Shliomis M. I., Smorodin B. L. Onset of convection in colloids stratified by gravity. Physical Review E, 2005, vol. 71, 036312.
10. Smorodin B. L.,
Cherepanov I. N.,
Myznikova B. I., Shliomis M. I. Traveling-wave convection
in colloids stratified by gravity. Physical Review E,
2011, vol. 84, 026305.
11. Gershuni G. Z., Zhukhovitskii E. M. Convective
stability of incompressible fluids. Jerusalem: Keter
Publishing House, 1976. 330 p.
12. Nigmatulin R. I. Osnovy mehaniki geterogennyh
sred (The fundamentals of mechanics of heterogeneous media). Moscow: Nauka, 1978, 336 p (In
Russian)
13. Ferziger J. H., Peric M. Computational methods
for fluid dynamics. New York: Springer, 2002.
423 p.
14. Vargaftik N. B. Tables on the thermophysical
properties of liquids and gases. Washington DC:
Hemisphere. 1975. 758 p.
15. Gavrilov K.A., Demin V.A., Popov E.A. Modeling
of 3D-convective flows by means of package
OpenFOAM. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2012,
no. 3 (11), p. 23–28 (In Russian).
16. Babushkin I. A., Glazkin I. V., Demin V. A., Platonova A. N., Putin G. F. Variability of a typical
flow in a Hele–Shaw cell. Fluid Dynamics, 2009,
vol. 44, no. 5, pp. 631–640.
Thermal convection of colloid on the basis
of a binary fluid
V. A. Demin, E. A. Popov*
Perm State University, 614990, Perm, Bukirev str., 15, Russia
email: demin@psu.ru
*Perm Engine Company, 614990, Perm, Komsomol’skii av., 93, Russia
evjeniy.p@gmail.com
The results of theoretical investigation of the three component suspension thermal convection in a
thin vertical layer heated from below have been presented in this paper. The binary molecular solution which is characterized by the negative thermodiffusion has been chosen as working liquid. Furthermore there are particles with diameter from nano- to micro meters in the carrier liquid. Theoretical model of considered phenomena is constructed and direct numerical simulation of convective
processes is fulfilled. The qualitative confirmation of numerical results to experimental data takes
place as a result. The influence of particles sedimentation on the breakdown of the left-right symmetry of the non-stationary convective four-vortex flow with reunification of corner vortices has
been demonstrated.
Keywords: suspensions; nano- and microparticles; sedimentation; molecular thermodiffusion
ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ АВТОРОВ
Выпуск журнала посвящён теоретическим, экспериментальным и прикладным проблемам физики
конденсированного состояния вещества, механики жидкости и газа, радиоспектроскопии, измерительным технологиям и автоматизации эксперимента.
Общие условия опубликования
Автор предоставляет Издателю журнала (Пермский государственный национальный исследовательский университет) право на использование его статьи в составе журнала, а также на включение
текста аннотации, полного текста статьи и информации об авторах в систему «Российский индекс
научного цитирования» (РИНЦ).
Автор даёт своё согласие на обработку персональных данных.
Право использования журнала в целом в соответствии с п. 7 ст. 1260 ГК РФ принадлежит Издателю журнала и действует бессрочно на территории Российской Федерации и за её пределами.
Авторское вознаграждение за предоставление автором Издателю указанных выше прав не выплачивается.
Автор включённой в журнал статьи сохраняет исключительное право на неё независимо от права
Издателя на использование журнала в целом.
Направление автором статьи в журнал означает его согласие на использование статьи Издателем
на указанных выше условиях, на включение статьи в систему РИНЦ, и свидетельствует, что он осведомлён об условиях её использования. В качестве такого согласия рассматривается также направляемая в редакцию справка об авторе, в том числе по электронной почте.
Редакция размещает полный текст статьи на сайте Пермского государственного национального
исследовательского университета: http://www.psu.ru.
Плата за публикацию рукописей не взимается. Гонорар за публикации не выплачивается. Авторский экземпляр высылается автору по указанному им адресу.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Требования к оформлению рукописей
Статьи представляются в электронном или печатном виде в одном экземпляре объёмом не менее 4
и не более 30 полных страниц на бумаге формата А4.
Оформление статей выполняется в формате *.doc, *.docx, *.rtf или *.odt согласно шаблону, содержащему правила и стили оформления элементов статьи.
Шаблон статьи доступен на странице журнала на сайте Пермского государственного национального исследовательского университета: http://www.psu.ru, а также высылается авторам по электронной почте по запросу.
Печатный экземпляр статьи должен быть подписан авторами на последнем листе.
Название статьи должно быть представлено на русском и английском языках.
После названия статьи должны быть указаны фамилия и имя авторов, их места работы и адрес с
почтовым индексом; в конце статьи данные сведения повторяются с указанием учёных степеней,
званий и должностей авторов (не публикуются); информация предоставляется на русском и английском языках.
Каждая статья должна быть снабжена аннотацией на русском и английском языках (рекомендуемый объём – 200 слов, но не менее 150 и не более 300). Аннотация на английском языке должна
быть оригинальной (не являться прямым переводом русскоязычного варианта) и раскрывать основные цели, задачи, методы, новизну и результаты исследования.
К каждой статье должны быть даны ключевые слова на русском и английском языках.
В конце статьи помещается список литературы на русском и английском языках в порядке цитирования. Список литературы на русском языке оформляется в соответствии с ГОСТ Р.7.0.5–2008,
на английском – в соответствии с требованиями международных систем цитирования.
Все статьи рецензируются. Решение о публикации статьи принимается редколлегией. При отклонении статьи из-за несоответствия тематике, нарушения сроков или требований оформления и при
наличии отрицательной рецензии рукописи не публикуются и не возвращаются.
Адрес редакции: Пермский государственный национальный исследовательский университет,
физический факультет, ул. Букирева, 15, г. Пермь, Россия, 614990
Тел: 8(342) 2-396-227
email: bulletin_physics@psu.ru
8585
INFORMATION FOR AUTHORS
The journal publishes articles on theoretical, experimental and applied problems of condensed matter
physics, fluid dynamics, EPR and NMR spectroscopy, measurement techniques and experiment automatization.
General terms and conditions
The author provides the Publisher (Perm State University) the right to publish the accepted article in the
Journal, and to share the author’s information, article abstract and full-text of the paper in the “Russian Science Citation Index”.
The author agrees to the processing of personal information.
The Publisher has a right to use the Journal in accordance with the Civil Code of Russia (Article 1260,
Paragraph 7). The right is valid with no time restriction in the Russian Federation and abroad.
The author keeps the exclusive rights on the article independently of the Publisher’s right to the Journal.
Manuscript submission means that the author agrees with these general terms and conditions.
Editorial office puts the full-text of article at the Perm State University web site: http://www.psu.ru.
There is no author fee or honorarium. The author’s copy of journal issue will be sent to the provided address.
Manuscript preparation
1. The electronic version or one printed copy of the manuscript can be sent to the editorial office. It
should be at least 4 and not more than 30 full pages of A4 size paper.
2. The manuscript can be written in *.doc, *.docx, *.rtf and *.odt format in accordance with the template that includes manuscript preparation rules and document styles.
3. The authors may download the MS Word article template from the journal page at the Perm State
University web site: http://www.psu.ru. It also can be sent via email if author requests.
4. All authors should sign the printed copy of the article on the last page.
5. The Article must contain title both in English and Russian.
6. Authors’ names and their affiliations with postal addresses should be placed after the article title
both in English and Russian; that information should be repeated after the main text of the article
along with author(s) academic degrees and positions (this information will not be reflected in the
printed paper).
7. The article must have an abstract both in English and Russian (150–300 words, 200 words are recommended). The abstract in English should include a brief description of the study: main goals,
problems, the used approaches, and the results. The abstract in Russian can present a short description of the study.
8. Keywords should be given after the abstract both in English and Russian.
9. The English and Russian reference lists in numerical order should be placed after the article main
text. The Russian reference list should be formatted in accordance with GOST R.7.0.5–2008; the
English references should correspond to the international citation databases.
10. Editorial office provides a charge free translation of the title, keywords and abstract from English
into the Russian, also it provides an assistance to format the reference list according to the Russian
standards.
All manuscripts are subject to single blind peer-review procedure by independent expert referees. Editorial board makes the final decision. In case of journal topic mismatch, terms violation or negative referee response, the declined manuscripts will not be returned to the Author(s).
Editorial office: Perm State University, Physical Faculty, Bukirev Street 15, Perm, 614990 Russia
Phone: +7(342) 2-396-227
email: bulletin_physics@psu.ru
Вестник Пермского университета
Bulletin of Perm University
Серия: Физика
Series: Physics
2015. Выпуск 3 (31)
2015. Issue 3 (31)
Научное издание
Редактор Н. И. Стрекаловская
Корректор А. В. Цветкова
Подписано в печать 11.12.2015
Формат 60×841/8. Усл. печ. л. 9,65
Тираж 500 экз. Заказ
Выход в свет 24.12.2015
Распространяется бесплатно и по подписке.
Адрес учредителя, издателя и редакционной коллегии: 614990, Пермь, ул. Букирева, 15,
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Тел./Факс: 8 (342) 239-62-27, 8 (342) 237-16-11
Издательский центр Пермского государственного национального
исследовательского университета
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Founder and editorial board: Bukirev Street 15, Perm, 614990, Russia
Perm University Press
Bukirev Street 15, Perm, 614990, Russia
Отпечатано в ООО Технический центр «Гармония»
614000, Пермь, ул. Пермская, 34.
Тел./Факс: 8 (342) 212-11-66, 8 (342) 212-32-80
Подписной индекс журнала «Вестник Пермского университета. Серия: Физика» в
объединенном каталоге «Пресса России» – 41069
8585