§7. Группы в действии X | множество. через Aut (X ) группу всех взаимно однозначных отображений из X в себя. 7.1. Действие группы на множестве. Определение 7.1 '- Пусть G | группа, а Обозначим X ) называется действием группы G на множестве X или представлением группы G автоморфизмами множества X . Если понятно, о каком действии идёт речь, - X к точке x ∈ X обозначается через gx . результат применения отображения '(g ) : X Действие называется точным (или эффективным ), если ker ' = 0 , т. е. если каждый отличный от единицы элемент группы действует на X нетождественным образом. Гомоморфизм G Aut ( Действие называется ствует на X свободным , если каждый отличный от единицы элемент группы дей- без неподвижных точек. Действие называется транзитивным , если любую точку множества любую другую точку каким-нибудь преобразованием из группы 7.1.1. Стабилизатор. С каждой точкой преобразований, оставляющих точку группе G и обозначается x x ∈ X G. связана подгруппа в на месте. Она называется X G, можно перевести в состоящая из всех стабилизатором G (x) = {g ∈ G | gx = x} Stab точки x в (7-1) Таким образом, действие свободно, если стабилизатор каждой точки тривиален (состоит только из единицы группы). F Более общим образом, с каждым подмножеством в пространстве X ) связаны две подгруппы в G: нормализатор централизатор Когда F = {x} ⊂X (или, поэтичнее, с каждой фигурой NG (F ) = {g ∈ G | gF ⊂ F } и CG (F ) = {g ∈ G | gx = x ∀ x ∈ F x) | одна точка, Stab( значениях указание на группу F G, = N (x) = C (x) (7-2) } = ∩ StabG (x) x∈ F (7-3) (тут и дальше мы опускаем в обо- если оно не очень существенно). Иначе можно сказать, что N (F ) = Stab(F ) является стабилизатором фигуры F при действии G на множестве фигур в X , вызванным действием G на X , а C (F ) ⊂ N (F ) является ядром действия группы N (F ) на фигуре F . В частности, C (F ) является нормальной подгруппой в N (F ). 7.1.2. Геометрический смысл нормальности. Подгруппа H ⊂ G нормальна тогда и только - G0 из группы G в какую-нибудь группу G0 , тогда, когда существует гомоморфизм ' : G такой что H = ker ' . В самом деле, легко проверить, что ядро любого гомоморфизма групп 0 нормально, и наоборот, если H ⊂ G нормальна, то в качестве G можно взять фактор группу 0 G = G=H , а в качестве ' | эпиморфизм факторизации G -- G=H , переводящий g в gH . 0 Если реализовать группу G группой преобразований некоторого множества X (например, ◦ 7.2 при помощи левого регулярного действия на себе, см. n ниже), то сказанному можно при- H ⊂ G нормальна тогда и только тогда, когда имеется G на некотором множестве X , такое что H | это совокупность всех преобразований из G, которые действуют на X тождественно (оставляют на месте каждую точку). дать более наглядную форму: подгруппа действие группы Например, собственная группа куба SOкуб действует на трёх отрезках, соединяющих центры противоположных граней куба. Ядро этого действия | диэдральная группа тождественного преобразования и трёх поворотов на 180 осей. Тем самым, ◦ D2 , состоящая из вокруг проходящих через эти отрезки D2 ⊂ SOкуб нормальна, и SOкуб =D2 ' S3 . Упражнение 7.1. Отождествите собственную группу куба с симметрической группой S4 и переговорите предыдущий абзац на языке перестановок. 7.2. Левое регулярное действие. 57 G на множества X связано бинарное отношение x ∼ y G на X , означающее, что y = gx для некоторого g ∈ G. Из определений группы и действия вытекает, что это отношение является эквивалентностью: оно рефлексивно, поскольку x = ex, −1 y , и транзитивно, поскольку из y = gx и z = hy симметрично, поскольку y = gx ⇐⇒ x = g вытекает, что z = (hg )x. Класс эквивалентности точки x ∈ X по отношению ∼ обозначается Gx и называется орG битой x под действием G. Он состоит из всех точек, которые можно получить из x, применяя всевозможные преобразования из группы G. Из общих свойств классов эквивалентности выте7.1.3. Орбиты. С действием группы 1 кает, что орбиты двух различных точек или не пересекаются или совпадают . Множество всех G и обозначается X=G . Левое регулярное действие. Обозначим через X множество элементов группы G. Ото- орбит называется 7.2. фактором X множества бражение по действию группы L:G сопоставляющее элементу g ∈ G преобразование Lg левым регулярным действием зитивно. Первое означает, что равенство для любых x; y ∈ G уравнение y = группы gx x = (7-4) g: левого умножения на x7→gx - Lg : X называется X) ; Aut ( - X; G (7-5) на себе. Это действие свободно и тран- возможно только при gx разрешимо относительно g умножением обеих частей соответствующего равенства справа на g = e, второе | что (оба факта устанавливаются x−1 ). Будучи свободным, левое регулярное действие точно. Тем самым, любая абстрактная группа может быть реализована как некоторая группа преобразований подходящего множества. q-элементных подмножеств в G и рассмотрим действие G на Eq , вызванное левым регулярным действием G на себе. Стабилизатор произвольной точки F ∈ E состоит из всех элементов g ∈ G, левое умножение на которые переводит F в себя Обозначим через Eq множество Stab( Лемма 7.1 |Stab(F )| делит |F | , и равенство F ) = {g ∈ G | gF |Stab(F )| F ) ⊂ G. = |F | ⊂ F} F равносильно тому, что является правым смежным классом подгруппы Stab( Доказательство. Stab( F ) свободно действует на F , и каждая орбита этого действия состоит из |Stab(F )| точек, т. к. g1 x 6= g2 x при g1 6= g2 . Поскольку F является дизъюнктным объединением орбит, |F | делится на |Stab(F )|. Равенство |Stab(F )| = |F | означает, что все точки F составляют одну орбиту, т. е. F = {gx | g ∈ Stab(F )} = Stab(F ) · x есть правый сдвиг подгруппы Stab(F ) на элемент x ∈ F . Упражнение 7.2 (правое регулярное действие). Покажите, что сопоставление элементу g ∈ G x7→xg −1 отображения Rg : XG XG правого умножения на g −1 задаёт свободное транзитивное действие2 группы G на себе. Сформулируйте и докажите для него аналог лем. 7.1 7.3. Присоединённое действие. Отображение Ad : сопоставляющее элементу - g : G) ; Aut ( g ∈ G автоморфизм Adg Ad 1 G сопряжения элементом h7→ghg−1 - G (7-6) g G; (7-7) g −1 hy и ∀ f ∈ G fx = fg hy ∈ Gy , т. е. Gx ⊂ Gy ; противоположное включение Gx ⊃ Gy следует из равенства y = h−1 gx 2 −1 появление g не случайно: проверьте, что сопоставление элементу g ∈ G отображения правого умножения на g является не гомоморфизмом, а антигомоморфизмом (т. е. оборачивает порядок сомножителей в произведениях) это легко увидеть и непосредственно: если −1 gx = hy для некоторых g; h ∈ G, то x = §7. Группы 58 называется присоединённым действием (7-5) преобразование сопряжения Ad g группы G на себе. В отличие от левого сдвига гомоморфизмом является в действии из G в G. Lg из Упражнение 7.3. Проверьте это, а также проверьте, что отображение (7-6) является гомоморфизмом. Другое важное отличие присоединённого действия от регулярного заключается в том, что присоединённое действие может быть не свободно и не точно. Например, если группа G абелева, все внутренние автоморфизмы (7-7) исчерпываются тождественным отображением, и ядро присоединённого действия в этом случае совпадает со всей группой. g ∈ G, что ghg−1 = h для всех h ∈ G. Последнее равенство равносильно равенству gh = hg и означает, что g коммутирует со всеми элементами группы. Подгруппа элементов, перестановочных со всеми элементами группы G называется центром группы G и обозначается В общем случае ker(Ad) образовано такими Z (G) = {g ∈ G | ∀ h∈G gh = hg} : Таким образом, ядро присоединённого действия | это центр группы G Образ присоединённого действия называется и обозначается Int( G) G = Ad = im (Ad) присоединённого действия, называются ⊂ G. группой внутренних автоморфизмов G) . Aut ( группы Автоморфизмы, не попавшие в образ внешними . Упражнение 7.4. Покажите, что подгруппа внутренних автоморфизмов нормальна в группе всех автоморфизмов. 7.4. Длины орбит. Количество точек в орбите (если оно конечно) называется её орбиты конечной группы имеют конечную длину. Чтобы связать тивное длиной . Все |Gx| с |G| рассмотрим сюрьек- отображение вычисления ev x : G g7→gÈ- Gx : (7-8) x представляет собою стабилизатор Stab(x) точки x. Слой y = gx состоит из всех h ∈ G, переводящих x в y. Такие преобразования Слой этого отображения над точкой над произвольной точкой образуют левый смежный класс стабилизатора, поскольку hx = gx ⇐⇒ g−1 h ∈ Stab(x) ⇐⇒ h ∈ g · Stab(x) : Таким образом, точки орбиты биективно соответствуют левым смежным классам стабилизатора произвольно выбранной точки этой орбиты. Стабилизаторы точек из одной орбиты сопряжены: Stab( gy) = g · Stab(x) · g−1 : Из вышесказанного вытекает простая, но очень важная Теорема 7.1 (формула для длины орбиты) Длина орбиты произвольной точки при действии на неё конечной группы преобразований G равна |GÈ| = |G| : |StabG (x)| . 7.4.1. Пример: действие перестановок букв на словах. Зафиксируем какой-нибудь квенный алфавит A = {a1 ; a2 ; : : : ; ak } и рассмотрим множество X всех n-буквенных k-буw, слов которые можно написать с его помощью. w : {1 ; 2 ; : : : ; n } - A . −1 , которое переставляет Сопоставим каждой перестановке ∈ Sn преобразование w 7→ w 1 буквы в словах так, как предписывает . Таким образом мы получаем действие симметрической группы Sn на множестве слов. Иначе 1 X можно воспринимать как множество всех отображений т. е. переводит слово w = a1 a2 : : : an в слово a−1 (1) a−1 (2) : : : a−1 (n) , на i-том месте которого стоит та w переводится перестановкой в номер i буква, номер которой в исходном слове 7.5. Перечисление орбит Орбита слова w ∈ 59 X под действием этой группы состоит из всех слов, где каждая буква w. Стабилизатор Stab(w) слова w, в ai встречается mi раз (для каждого i = 1; : : : ; k), состоит из перестановок между алфавита встречается столько же раз, сколько в слове котором буква собою одинаковых букв и имеет порядок |Stab(w)| = m1 ! · m2 ! · · · · · mk ! : Таким образом, длина орбиты такого слова равна мультиномиальному коэффициенту |Sn w| = |Sn | |Stab(w)| n! m1 ! · m2 ! · = · · · · mk ! = n : m1 : : : mk Этот пример показывает, что разные орбиты могут иметь разную длину, и порядки стабилизаторов точек из разных орбит могут быть разными. 7.4.2. Пример: классы сопряжённости в симметрической группе. Перестановка g Ad ( ) = gg−1 ; = (1 ; 2 ; : : : ; n ) ∈ Sn , для каждого i = 1; 2; : : : ; n пеg(i) в g(i ). Например, при сопряжении цикла = |i1 ; i2 ; : : : ; ik i ∈ Sn перестановкой g = (g1 ; g2 ; : : : ; gn ) получится цикл |g(i1 ); g(i2 ); : : : ; g(ik )i . сопряжённая данной перестановке реводит Предложение 7.1 Sn на себе взаимно однозначно со, состоит из всех перестановок циклового типа . Если диаграмма имеет m1 строк длины 1, m2 строк длины 2, . . . , mn строк длины n, то централизатор C () любой перестановки циклового типа состоит n Q m m m из z = 1 1 · m1 ! · 2 2 · m2 ! · · · · · n n · mn ! = m !m перестановок, и длина присоединённой Орбиты присоединённого действия симметрической группы ответствуют диаграммам Юнга веса орбиты такой перестановки равна Доказательство. n. Орбита, отвечающая диаграмме n! · z−1 . =1 Сопоставим произвольному заполнению диаграммы мися числами от 1 до n перестановку ∈ Sn циклового типа , веса n неповторяющи- которая является произведе- нием независимых циклов, слева направо циклически переставляющих элементы каждой строки g на такую перестановку состоит в приg ко всем элементам заполнения, т. е. в замене каждого числа i числом gi . Ясно, что таким образом можно получить любое заполнение диаграммы , т. е. присоединённая заполнения. Действие внутреннего автоморфизма Ad менении отображения орбита состоит в точности из перестановок заданного циклового типа. Это доказывает первые два утверждения. тогда и только , когда они отличаются друг от друга независимыми Вторые два утверждения следуют из того, что два заполнения диаграммы тогда дают одну и ту же перестановку циклическими перестановками элементов в строках и произвольными перестановками между собою строк одинаковой длины как единого целого. 7.5. Перечисление орбит. Подсчёт числа элементов в факторе по действию конечной группы G X=G конечного множества X наталкивается на очевидную трудность: поскольку длины у орбит могут быть разные, число орбит «разного типа» придётся подсчитывать по отдельности, заодно уточняя по ходу дела, что именно имеется в виду под «типом орбиты». Разом преодолеть обе эти трудности позволяет Теорема 7.2 (формула Полиа { Бернсайда) G действует на конечном X | gx = x} = {P x ∈ X| g −1 преобразования g . Тогда |X=G| = |G| |X g | . Пусть конечная группа множестве чим через ∈ Xg = {x ∈ g ∈G Stab( x)} X. Для каждого g ∈ G обозна- множество неподвижных точек §7. Группы 60 G × X множество всех пар (g; x), таких что gx = x. g Иначе F можно описать как F = tx∈X Stab(x) = tg ∈G X . Первое из этих описаний получается - G . Согласиз рассмотрения проекции F , второе | из рассмотрения проекции F P X но второму описанию, |F | = |X g |. С другой стороны, из первого описания мы заключаем, Доказательство. что |F | = Обозначим через |G| · |X=G|. F в действии ⊂ g ∈G В самом деле, стабилизаторы всех точек, принадлежащих одной орбите, имеют одинаковый порядок, и сумма этих порядков по всем точкам орбиты равна произведению порядка стабилизатора на длину орбиты, т. е. |F | = |G| · |X=G| = P g ∈G |X g |. |G|. Складывая по всем орбитам, получаем 7.5.1. Пример: ожерелья. Предположим у нас имеются одинаковые по форме бусины n раз- личных цветов (количество бусин каждого цвета неограничено). Сколько различных ожерелий одинаковой формы можно сделать из 6 бусин? Ответом на этот вопрос является количество орбит группы диэдра раскрасок вершин правильного шестиугольника в D6 на множестве всех e, двух поворотов ±1 на двух поворотов на центральной симметрии трёх отражений 14 , 23 , 36 относительно больших диагоналей и трёх отражений 14 , 23 , 36 относительно срединных 6 перпендикуляров к сторонам. Единица оставляет на месте все n раскрасок. Раскраски, симмеГруппа ±60◦ , D6 n цветов. состоит из 12 элементов: тождественного преобразования ±2 3, ±120◦ , тричные относительно остальных преобразований, показаны на рис. 7 1 (одинаковым оттенкам серого отвечают одинаковые цвета). -инваринтные бусы 2 -инваринтные бусы 14 -симметричные бусы Рис. 71. 3 -инваринтные бусы 14 -симметричные бусы Симметричные ожерелья из шести бусин. Беря все допустимые сочетания цветов, получаем, соответственно, По теор. 7.2 искомое число 6-бусинных ожерелий равно 1 12 · n6 + 3 n4 + 4 n3 + 2 n2 + 2 n n, n2 , n3 , n4 и n3 раскрасок. 7.6. Орбиты p-групп. 61 Упражнение 7.5. Подсчитайте количество ожерелий из 7, 8, 9, и 10 бусин. p-групп. 7.6. Орбиты скольку все подгруппы либо делится на pn , где p ∈ N | простое, называется p-группой . Появляются p-группами, длина любой орбиты p-группы Группа порядка p-группы также p, либо равна единице. Мы получаем простое, но полезное Предложение 7.2 p-группа G действует на конечном множестве X , число элементов в котором не делится на p . Тогда G имеет на X неподвижную точку. Пусть Следствие 7.1 Любая p-группа имеет нетривиальный центр. Доказательство. Рассмотрим присоединённое действие группы на себе. Центр группы пред- ставляет собой множество неподвижных точек этого действия. Поскольку и число элементов в группе, и длины всех орбит, содержащих более одной точки, делятся на орбиты e должны быть и другие одноточечные орбиты. p, кроме одноточечной Упражнение 7.6. Покажите, что любая группа G порядка p2 (где p простое) абелева. G | произвольная конечная группа. Запишем её поря- 7.6.1. Силовские подгруппы. Пусть n док в виде |G| = p m, где p | простое, n > 1, и m взаимно просто с p . Всякая подгруппа S ⊂ G n порядка |S| = p называется силовской p-подгруппой в G. Количество силовских p-подгрупп в G обозначается через Np (G) . Теорема 7.3 (теорема Силова) Для любого простого p, делящего |G|, силовские p-подгруппы в G существуют. Все они сопряp-подгруппа в G содержится в некоторой силовской p-подгруппе. жены друг другу, и любая Доказательство. множество Пусть q-элементных |G| = (1 + x)p Fp nm = = q = G pn и m взаимно просто с и рассмотрим действие G на себе, как в лем. 7.1. G p. на Обозначим через Eq , Eq индуцированное m (mod p) (в частности, не делится на p). Доказательство. над полем где подмножеств в левым регулярным действием Лемма 7.2 n |Eq | = ppnm ≡ qm, pn m (mod pn Z=(p) . (1 + p) xpn равен коэффициенту при в биноме (1 + a + b)p = ap + bp над Fp , получаем x)pn m , раскрытом Поскольку ( x)p pn−1 m = = (1 + xp )p n−1 m p p pn−2 m (1 + x ) = = ··· 1+ = xp 2 pn−2 m 1+ = pn m x ::: = 1+ mxp n + старшие степени что и требовалось. |Stab(F )| стабили∈ Eq является делителем q = pn . Если |Stab(F )| < q , длина орбиты точки F делится на p. Поскольку |Eq | не делится на p, найдётся F ∈ Eq со стабилизатором порядка |Stab(F)| = q = |F|. Таким образом, подгруппа S = Stab(F) ⊂ G | силовская. Для доказательства остальных утверждений заметим, что длина орбиты GF рана m, так что Вернёмся к доказательству теоремы Силова. Согласно лем. 7.1, порядок затора произвольно взятой точки F p-подгруппа. Произвольная p-подгруппа GF, имеет по предл. 7.2 неподвижную точку F ∈ GF и, тем самым, содержится в силовской p-подгруппе Stab(F ). В частности, если H сама является силовской, мы получим равенство H = Stab(F ) , т. е. любая силовская подгруппа является стабилизатором некоторой точки из орбиты GF. Так как стабилизаторы всех точек одной орбиты сопряжены, все стабилизатор любой точки этой орбиты | силовская H ⊂ G, действуя на силовские подгруппы сопряжены. §7. Группы 62 в действии Следствие 7.2 (дополнение к теореме силова) В условиях теоремы Силова число по модулю p. Np силовских p-подгрупп в G делит m и сравнимо c единицей Обозначим множество силовских p-подгрупп в G через S и рассмотрим дейG на S , индуцированное присоединённым действием G на себе. По теореме Силова это действие транзитивно, откуда |S | = |G|=|Stab(S)|, где S ∈ S | произвольно взятая силовская p-подгруппа. Поскольку S ⊂ Stab(S) , порядок |Stab(S)| делится на |S| = pn , а значит |S | делит |G|=pn = m, что доказывает первое утверждение. Доказательство. ствие Для доказательства второго утверждения достаточно проверить, что имеет там ровно одну неподвижную точку (а именно S ∈ S) S, действуя на | порядки всех остальных S, S- p, и мы получим |S | ≡ 1 (mod p). H ∈ S неподвижна при сопряжении подгруппой S. Это озна−1 ⊂ H } . Поскольку H ⊂ Stab(H ) ⊂ G, порядок чает, что S ⊂ Stab(H ) = {g ∈ G | gHg n 0 0 |Stab(H )| = p m , где m |m и взаимно просто с p. Таким образом, и S и H являются силовскими p-подгруппами в Stab(H ), причём H нормальна в Stab(H ). Так как все силовские подгруппы сопряжены, H = S, что и требовалось. орбит делятся на Пусть силовская подгруппа 7.6.2. Строение небольших групп часто удаётся полностью выяснить при помощи теоремы Силова и дополнения к ней. Например, пусть |G| G = 15. Тогда в есть ровно одна силовская подгруппа порядка 3 и ровно одна силовская подгруппа нормальны. Поскольку a ∈ H3 , b ∈ H5 все G = Z=(3) × Z=(5) . H3 H5 и H5 ' Z=(5) H3 ' Z=(3) порядка 5. Следовательно, обе они H3 ∩ H5 = e. Поэтому элементы ab с aba−1 b−1 ∈ H5 ∩ H3 = e . Следовательно, к тому же ещё и просты ab = ba, различны. Наконец, т. к. G порядка 10. В G имеется ровно одна силовская подгрупG может быть либо 1, либо 5 силовских подгрупп порядка 2, каждая из которых тривиально пересекается с H5 . Если подгруппа второго порядка одна, то мы, как и выше, получим G ' Z=(5) × Z=(2) . Если двухэлементных подгрупп 5, обозначим одну из них через H2 и посмотрим её присоединенное действие на нормальной подгруппе H5 . Ещё пример: опишем все группы па H5 ' Z=(5) порядка 5, и она, тем самым, нормальна. Кроме того, в Упражнение 7.7. Убедитесь, что группа Aut (Z=(5)) ' Z=(4) представляет собою циклическую группу, порождённую автоморфизмом, переводящим класс [1] Присоединённое действие ный эндоморфизм H5 , H2 - ∈ Z=(5) в класс [2] ∈ Z=(5). H5 ) переводит элемент b 6= e из H2 Aut ( либо в тождествен- либо в автоморфизм второго порядка, каковой имеется ровно один | a ∈ H5 в a−1 . В первом случае подгруппа H2 коммутирует с −1 = a−1 и группа подгруппой H5 , откуда G = H2 × H5 ' Z=(5) × Z=(2). Во втором случае bab G ' D5 | подгруппа H5 представляет собой подгруппу поворотов, пять силовских подгрупп переводящий образующий элемент второго порядка порождаются пятью отражениями, сопряжёнными между собою посредством поворотов, и сопряжение любым отражением изменяет образующий поворот на обратный. 7.7. Полупрямые произведения. Рассуждение использованное в последнем примере допуска- ет следующее обобщение. Пусть группа Q действует на группе N групповыми автоморфизмами, т. е. задан гомоморфизм групп %:Q N) Aut ( (7-9) N = N × e стала нормальной подгруппой, а сопряжение элементов из N элементами из e × Q = Q задавалось действием (7-9). А именно, рассмотрим множество формальных произведений ab с a ∈ N , b ∈ Q, −1 = % (a) для любых a ∈ N , которые по-определению считаются различными, и положим bab b b ∈ Q. Это позволяет перемножать формальные произведения ab по естественному правилу Тогда на множестве ( N ×Q g7→%g - можно ввести групповую структуру так, чтобы a1 b1 )(a2 b2 ) = a1 b1 a2 b2 = a1 b1 a2 b−1 1 b1 b2 = (a1 %b1 (a2 ))(b1 b2 ) 7.7. Полупрямые произведения. 63 def Упражнение 7.8. Убедитесь, что операция (a1 ; b1 ) · (a2 ; b2 ) = (a1 %b1 (a2 ); b1 b2 ) наделяет теоретикомножественное произведение N ×Q структурой группы с единичным элементом (e; e) . Покажите, что элементы вида (a; e) образуют в этой группе нормальную подгруппу, изоморфную вида (e; b) составляют (не обязательно нормальную) подгруппу, изоморфную Q. N , а элементы N h Q и называется полупрямым произве% дением групп N и Q по действию %. Если % тривиален, т. е. отображает все элементы Q в тождественный автоморфизм группы N , эта конструкция даёт прямое произведение групп N × G . Получающаяся таким образом группа обозначается Упражнение 7.9. Постройте изоморфизм группы диэдра Dn с Z=(n) h Z=(2), где % % : Z=(2) переводит образующую Z=(2) в инволюцию - Aut (Z=(n)) Z=(n) [k]7→[−k] - Z=(n) . Предложение 7.3 G тогда и только тогда является полупрямым произведением N C G на некоторую подгруппу Q ⊂ G, когда N ∩ Q = e и NQ = G. Группа нормальной подгруппы G единственab с a ∈ N , b ∈ Q . Поскольку N нормальна, подгруппа Q действует на N сопряжениями. Обозначим это действие через %. Тогда Доказательство. Последние два условия означают, что любой элемент группы ным образом представляется в виде ( a1 b1 )(a2 b2 ) = a1 b1 a2 b2 = a1 b1 a2 b−1 1 b1 b2 = (a1 %b1 (a2 ))(b1 b2 ) как это и происходит в полупрямом произведении N hQ. %