СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ
ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ
И.А. Карачун, Белорусский государственный университет, Минск,
Беларусь
Как показали многочисленные исследования, авторы которых пытались
найти закономерность в изменении цен, что позволило бы прогнозировать
будущие
цены
на
основе
их
прошлых
значений,
цены
меняются
непредсказуемым образом. Вначале такой вывод казался неожиданным, однако,
впоследствии стало очевидно, что случайные движения цены указывают на то,
что рынок хорошо функционирует как система обработки информации, то есть
является эффективным. Прогноз благоприятного будущего поведения курса
приводит к благоприятному текущему его поведению. Как только появляется
новая информация, дающая основания полагать, что цена акций компании ниже
их справедливой стоимости (fair price), возникает большое число желающих
купить эти акции, что приводит к быстрому росту цены. Цены повышаются и
понижаются только в ответ на новую непредсказуемую информацию, так как
информация, которую можно было предсказать, уже нашла свое отражение в
ценах.
Случайные
изменения
цен
являются
результатом
поведения
рациональных инвесторов, борющихся за раннее получение информации,
необходимой для оценки стоимости акций.
Если рынок является абсолютно эффективным, то есть если цена всех
финансовых активов в каждый момент времени отражает всю информацию,
имеющуюся в распоряжении участников рынка, то поиск недооцененных
активов и попытки «переиграть рынок» становятся бессмысленными. Однако
есть основания полагать, что даже развитые рынки не являются эффективными
на все сто процентов. Главная причина этого заключается в том, что получение
информации связано с издержками, и участники рынка получают информацию
не одновременно. Так же огромную роль играют ожидания участников рынка,
которые способны оказывать значительное влияние на цены. Это влияние
особенно заметно, когда ожидания связаны с информацией финансовоаналитического характера. Например, если участники рынка ожидают, что
прибыль будет хорошей (по крайней мере, не ниже прибыли в прошлом
периоде, а возможно, и выше), то интерес к этому активу при прочих равных
условиях вызовет повышение его цены. В дальнейшем, когда станет известна
фактическая величина прибыли, участники рынка посмотрят, совпадает ли этот
результат с их ожиданиями. В случае явного несовпадения ожиданий с
реальностью (что случается достаточно часто) происходит ценовая коррекция.
Поэтому в настоящее время период интенсивного развития переживают
разделы портфельной теории, связанные с использованием стохастического
анализа. Это методы общей теории случайных процессов, которые лучше всех
подходят для адекватного описания эволюции основных (акций и облигаций) и
производных (форвардов, фьючерсов, опционов и др.) ценных бумаг, а также
позволяют ввести в рассмотрение динамику, то есть дополнительный параметр
время.
Сейчас эта модель связана с именами Ф. Блека и М. Шоулза, которые в
1973 г. получили точные формулы для вычисления сходной цены европейских
опционов – модель формирования цен на опционы Блека-Шоулза, которая
строится на предположении о том, что процесс изменения цен рисковых
активов является винеровским. Ее построение основывается на следующих
предпосылках: торговля активами производится в непрерывном времени;
безрисковая процентная ставка r постоянна и одинакова для всех сроков
погашения; по акциям не выплачиваются дивиденды; все активы и их
производные свободно продаются и покупаются, нет возможности арбитража.
Цена актива изменяется случайным образом, но колебания достаточно слабые,
что позволяет использовать нормальное распределение. Однако кривая
нормального распределения симметрична относительно центральной оси, то
есть имеет положительные и отрицательные области, хотя цена акции не может
опуститься ниже нуля. Более того, нормальное распределение предполагает
равную вероятность подъема и снижения цены, а в реальной жизни инфляция
приводит к постепенному росту. Поэтому в модель вводится распределение
натурального
логарифма
распределения
доходности
положительна
и
акции.
имеет
Кривая
логнормального
правостороннюю
скошенность
(вероятность повышения цены).
Пусть для составления портфеля имеется один безрисковый актив S 0 (t ) с
постоянной процентной ставкой r (это может быть облигация, казначейский
вексель или банковский вклад) и n рисковых активов S i (t ) i 1, n, с ожидаемой
доходностью
i
(акций). Динамика активов описывается следующими
уравнениями:
dS 0 (t ) rS 0 (t )dt ,
dS i (t ) S i (t )
где
( 1 ,...,
n
ij i , j 1
n
n
i dt
j 1
ij
dW j (t )
S i (0)
pi
) – вектор, составленный из средних доходностей активов,
– волатильность, W (t ) – n-мерное стандартное броуновское
движение. Для упрощения можно предполагать, что
i
r , так как только в
таком случае инвестору выгодно приобретать рисковые активы.
При
анализе
ценового
риска
принято
работать
не
с
самой
последовательностью цен, а с последовательностью порождаемых ценой
доходов в относительных величинах (
можно
сравнивать
различные
i
). Это связано с тем, что таким образом
последовательности
цен.
Кроме
того,
последовательность доходностей отличается большей стабильностью в том
смысле, что для нее среднее и дисперсия в большей степени являются
стационарными, чем для последовательности цен. Вследствие этого в финансах
принято использовать термин «ожидаемая доходность», понимая под этим
средний процентный доход актива, и термин «риск», подразумевая стандартное
отклонение процентного дохода. Волатильность представляет собой основную
меру риска рыночного финансового инструмента, поскольку рассмотренное
выше движение цены за некоторый временной интервал интерпретируется как
некое планируемое трендовое движение и случайное отклонение от тренда.
Пусть X (t ) – капитал инвестора в момент времени t (стоимость портфеля),
а
i
(t ) – число единиц i-го актива в этот момент. Тогда состояние инвестора
n
оценивается как X (t )
i
(t ) S i (t ) c(t ) , где c(t ) – функция потребления,
i 0
задающая объем извлечения средств из портфеля для различных нужд,
расходов на транзакционные издержки и др. Величины
i
(t ) могут быть
отрицательными. Это означает короткую продажу акции (продажа акции,
которой у продавца в наличии нет, осуществленная в ожидании падения цен).
Следовательно, сумма денег, вложенная в облигации, тоже может быть
отрицательной, это можно интерпретировать как заем по процентной ставке r.
В
таких
предположениях
капитал
инвестора
X (t )
описывается
стохастическим дифференциальным уравнением
n
dX (t )
0
0
i
(t )dS (t )
(t )dS i (t ) c(t )dt ,
i 1
при условии X (0)
x – стартовый капитал инвестора. Обозначим через
i
(t )
долю каждого рискового актива в портфеле. Тогда случайный вектор
1
(t )
n
(t ) называется портфелем или стратегией инвестора и
dX (t )
X (t )((1
1)r
X (t )dW (t ), X (0) x ,
) c(t ) dt
где x – стартовый капитал, 1 (1,...,1) – n-мерный единичный вектор.
Управление
портфелем
заключается
в
максимизации
стоимости на дату исполнения Т, т.е. нахождении
ожидаемой
maxn E[ X (T )]
R
при
ограничении на риск. Для этого можно использовать, например, вариацию
портфеля, VaR, RVaR, CaR. В частности, метод VaR позволяет выразить риск
портфеля одним числом, для его расчета которого необходимо обладать
оценками
волатильностей
и
корреляций
доходностей
инструментов,
составляющих портфель. При этом можно использовать как исторические, так
и прогнозируемые значения. В качестве длины временного горизонта может
считаться срок, определяемый выбранной стратегией управления портфелем,
или срок, за который портфель можно реализовать на рынке. Стоимость под
риском (VaR) – это разность между ожидаемым доходом портфеля и рквантилем
конечной
стоимости
портфеля
(минимальной
возможной
стоимостью с заданной вероятностью р):
2
VaR( )
x exp{( (
r 1) r )T } 1 exp k p
T
,
2
k p – р-квантиль стандартного нормального распределения N(0,1). Тогда задача
управления портфелем имеет вид:
maxn E[ X (T )] при условии VaR( ) C .
R
Тогда
b
(
) 1(
r 1)
, где b – решение нелинейного уравнения
1
(
r 1)
C
b
1
(
r 1) T
ln
x 1 exp k pb T
b2
rT .
2
При оптимизации портфеля можно ограничивать риск с помощью RVaR
(относительная стоимость, подверженная риску) – это разность между
ожидаемым доходом портфеля и р-квантилем конечного капитала, деленная на
ожидаемый доход:
RVaR( )
Тогда
E[ X (T )] k ( )
1 exp k p
E[ X (T )]
2
T
2
.
maxn E[ X (T )] при условии RVaR( ) C , 0 C 1,
R
kp T
2
k pT
) 1(
r 1)
.
1
(
r 1)
(
2ln(1 C )
Капитал под риском (Capital-at-Risk) – величина финансовых средств,
которую инвестор готов потерять при заданном уровне риска. Он равен
разности между доходом от портфеля, состоящего только из безрисковых
инвестиций, и р-квантилем конечного капитала:
2
CaR( )
xe
rT
1 exp ( (
r 1)
2
)T
kp
T
.
maxn E[ X (T )] при условии CaR( ) C ,
R
1
(
(
r 1)
kp
T
1
(
kp
r 1)
2
T
2
C
ln(1
e
T
x
rT
)
) 1(
r 1)
1
(
r 1)
Константа С не должна превышать капитал от безрисковых инвестиций,
который равен максимальному значению CaR. Существование по крайней мере
одной
акции,
средняя
доходность
которой
отлична
от
безрисковой,
подразумевает существование портфеля, состоящего из акций и облигаций, с
отрицательным CaR при больших Т, т.е. инвестирование в облигации не
является
оптимальным.
С
одной
стороны
этот
факт
соответствует
эмпирическим данным фондового рынка, с другой стороны он показывает
существенное различие между поведением CaR, VaR и RVaR как мер риска при
долгосрочном инвестировании. Более того, независимо от периода времени и
рыночных
коэффициентов
портфель
из
облигаций
всегда
является
оптимальным относительно вариации, соответствующей капиталу инвестора.
Все это говорит о том, что даже в классической задаче оптимизации портфеля
Марковица в качестве ограничения предпочтительнее использовать CaR.