основы финансовых вычислений - Вологодская государственная

ДЛЯ БАКАЛАВРОВ
Шихова О.А.
ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Учебное пособие
для подготовки бакалавров, обучающихся
заочно по направлению 080100 «Экономика»
ИЦ ВГМХА
Молочное
2013
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
ФГБОУ ВПО
«Вологодская государственная молочнохозяйственная
академия имени Н.В. Верещагина»
Экономический факультет
Кафедра статистики и информационных технологий
Шихова О.А.
ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Учебное пособие для подготовки бакалавров, обучающихся
заочно по направлению 080100.62 «Экономика»
Вологда – Молочное
2013
2
УДК 681.140(075.8)
ББК 65.26я73
Ш
Автор:
кандидат экономических наук, доцент
статистики и информационных технологий
О.А. Шихова
Рецензенты:
кандидат экономических наук, доцент кафедры
статистики и информационных технологий
Н.А. Медведева
кандидат экономических наук, доцент кафедры финансов
и кредита
М.Г. Бовыкина
Ш
кафедры
Шихова О.А. Основы финансовых вычислений: учебное пособие /
О.А. Шихова. – Вологда - Молочное: ИЦ ВГМХА, 2013. - 82 с.
Учебное пособие по курсу «Основы финансовых вычислений» для
бакалавров заочного отделения экономического факультета направления
подготовки «Экономика», содержит методические указания по освоению
разделов курса, представленные в виде основных теоретических аспектов и
примеров решения типовых задач, контрольные задания для
самостоятельной работы студентов, примерные варианты итогового
контроля знаний и критерии их оценки. Рекомендованы к публикации на
заседании методической комиссии экономического факультета ВГМХА от
8 мая 2013 года (протокол № 10).
УДК 681.140(075.8)
ББК 65.26я73
О.А. Шихова, 2013
ИЦ ВГМХА, 2013
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ……..…………………………………………………..
5
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ»………………………………………………………...
6
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ДИСЦИПЛИНЫ
И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ….………………….
Раздел 1 Теория процентов………………………………………..
Раздел 2 Финансовые потоки……………………………………
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ…………………………………………………………………..
Выбор варианта контрольной работы……………………………..
Указания по оформлению контрольной работы…………………..
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ………………………………………………………………..
8
8
31
60
60
60
61
ГЛОССАРИЙ…………………………………………………………..…
72
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ……………………………………………..
76
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА………………………………….. 77
КРИТЕРИИ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ЗНАНИЙ
(ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ ОЦЕНКИ)………………………………….
78
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО ТЕСТА……
79
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАЧ……... 81
ПРИЛОЖЕНИЕ Порядковые номера дней в обычном (не
високосном) году…………………………………………………………... 82
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Профессиональное занятие бизнесом требует умения оценивать все
возможные варианты финансовых последствий при совершении любой сделки.
Многие решения финансового характера, принимаемые на интуитивной основе,
могут оказаться ошибочными. Владея знаниями и приемами формализованных
оценок финансовых последствий, в большинстве случаев можно избежать
дорогостоящих ошибок.
В последнее время финансовые вычисления приобрели новое
качественное содержание. В отечественной финансовой практике появились
такие виды сделок, как учет долговых обязательств, фьючерсные, опционные,
форфейтинговые и другие операции. Поэтому владение методами современных
финансовых вычислений является необходимым условием успешной
профессиональной деятельности предпринимателя, менеджера, банковского
работника, бухгалтера и экономиста любого уровня. Эти методы приобретают
все большее значение при принятии управленческих решений, когда для их
обоснования необходим расчет нескольких вариантов и нахождение
оптимального из них.
Цели данного учебного пособия состоят в следующем:
 ознакомить студентов с различными методами финансовых расчетов,
применяемых в бизнесе и управленческой деятельности;
 сформировать базовые знания и основные навыки применения методов
финансовых вычислений для решения прикладных финансово–экономических задач;
 развить теоретико–практическую базу и необходимый уровень математической подготовки, способствующий в дальнейшем пониманию
основных идей применения финансовых вычислений в экономике и
финансах.
Одной из важнейших задач пособия является привитие навыков
самостоятельной работы студентов с использованием традиционных приемов
финансовых вычислений, овладение ими техникой расчета основных
количественных
характеристик
финансовых
операций
и
событий,
представляющих собой как разовые платежи, так и потоки платежей. Наряду с
этим немаловажным является формирование умений обобщать полученные
результаты и строить логически обоснованные и грамотные выводы о
финансовых последствиях тех или иных событий или решений, о выборе и
предпочтительности тех или иных условий сделок.
Учебное пособие включает в себя рассмотрение содержания двух
разделов курса «Основы финансовых вычислений»: теория процентов и
финансовые потоки, с последующим кратким обзором их теоретических
аспектов и приведением примеров решения типовых задач. Далее приведены
общие указания по выполнению и оформлению самостоятельной контрольной
работы, непосредственно сами контрольные задания, составленные в двадцати
вариантах, каждый из которых предполагает решение двадцати задач,
5
затрагивающих все основные вопросы дисциплины. В конце приведен список
вопросов для самостоятельной подготовки студентов к экзамену, раскрыты
критерии выставления экзаменационной оценки, представлены примерные
варианты экзаменационного теста и задач, предложен список учебной
литературы и глоссарий.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
«ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ»
Раздел 1 Теория процентов
1.1 Понятие процентной ставки. Основные схемы начисления
процентов: простые и сложные проценты, кратное и непрерывное
начисление процентов. Проценты за нецелое число периодов, различные
способы начисления процентов. Сравнение наращения по простой и
сложной ставкам процента, влияние кратности начисления процентов на
величину наращенной суммы. Эффективная процентная ставка.
1.2 Дисконтирование: понятие и сущность, математическое
дисконтирование и банковский учет. Сравнение дисконтирования по
сложной и простой учетной ставкам. Эффективная учетная ставка.
1.3
Мультиплицирующие
и
дисконтирующие
множители.
Эквивалентность различных процентных и учетных ставок.
1.4 Конверсия платежей. Определение суммы и срока
консолидированного платежа.
1.5 Удвоение величины капитала: «Правило 70», обобщение
«Правила 70», «Правило 100». Увеличение капитала в произвольное число
раз.
1.6 Понятия уровня и индекса инфляции. Влияние инфляции на
ставку процента. Формула Фишера. Темп инфляции за несколько периодов.
1.7 Эквивалентность эффективной процентной ставки и ставок для
различных вариантов начисления процентов. Учет инфляции и налогов при
определении эффективной процентной ставки.
1.8 Операции с валютой: депозиты с конверсией и без конверсии
валюты.
Раздел 2 Финансовые потоки
2.1 Понятие финансового потока. Приведенная и наращенная
величины финансового потока. Средний срок финансового потока.
2.2 Понятие чистого приведенного дохода и внутренней нормы
доходности финансового потока. Внутренняя норма доходности типичных
инвестиционных потоков.
2.3 Регулярные потоки платежей. Обыкновенные ренты. Ренты
постнумерандо и пренумерандо. Коэффициенты приведения и наращения
рент.
6
2.4 Коэффициенты приведения и наращения рент за несколько
соседних периодов.
2.5 Связь между приведенной величиной и наращенной суммой
аннуитета. Связь между коэффициентами приведения и наращения рент
пренумерандо и постнумерандо.
2.6 Расчет параметров ренты.
2.7 Вечные, кратные, срочные ренты.
2.8 р-срочная рента (случаи k=1, p≠k, k=p). р-срочная рента с
непрерывным начислением процентов. Связь между приведенной и
наращенной величинами p-срочной ренты (случаи k=1, p≠k, k=p).
2.9 Непрерывные ренты. Непрерывная рента с непрерывным
начислением процентов.
2.10 Связь между приведенной и
наращенной величинами
произвольных рент.
2.11 Сравнение финансовых потоков и рент. Общий принцип
сравнения финансовых потоков и рент. Сравнение годовых и срочных рент.
2.12 Конверсия рент. Замена одной ренты другой. Изменение
параметров ренты. Замена
обычной
ренты
срочной.
Замена
немедленной ренты отсроченной. Консолидация рент. Выкуп ренты.
Рассрочка платежа.
7
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ДИСЦИПЛИНЫ И
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Раздел 1 Теория процентов
1.1 Сущность процентных платежей. Понятие процентной ставки
Одним из факторов, влияющих на принятие финансовых решений,
является временной фактор. Сущность этого фактора заключается в
неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени
вследствие инфляции. Денежная сумма, предоставленная в кредит,
утрачивает через определенное время свою покупательную способность
из-за инфляционного роста цен, а так же в результате того, что эта сумма,
будучи инвестирована, могла бы принести доход в будущем. Потому
владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг,
рассчитывает на получение дохода от этой сделки.
Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов:
1) величины капитала (суммы), предоставляемого в кредит;
2) срока, на который предоставлен кредит;
3) величины ссудного процента или, иначе говоря, процентной
ставки.
Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки для
кредитора и стоимость кредита для заемщика. Она показывает, какая доля
от суммы выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде
дохода.
Процентная ставка рассчитывается как отношение дохода,
полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине
капитала, предоставляемого в кредит:
𝑖=
где
𝐼𝑛
𝑆0 ∙𝑛
,
(1.1)
𝑖 - процентная ставка, выраженная в долях единицы (десятичной
дробью);
𝐼𝑛 - величина дохода владельца капитала;
𝑆0 - сумма капитала, предоставляемого в кредит (или первоначальная
сумма долга);
𝑛 - срок ссуды в годах.
Пример 1. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через два года
должна получить 300 тыс. руб. (номинальная стоимость векселя). В
момент приобретения цена векселя составила 225 тыс. руб. Определим
доходность этой сделки, т. е. размер процентной ставки.
8
Решение
По условию задачи:
- первоначальная сумма капитала, предоставляемого фирмой банку в
кредит (на основе условия приобретаемого векселя), 𝑆0 =
225 тыс. руб.,
- номинальная сумма векселя, обозначаемая 𝑆𝑛 = 300 тыс. руб.
Тогда доход владельца векселя составит
𝐼𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆0 = 300 − 225 = 75 тыс. руб.
𝑖=
Отсюда величина процентной ставки по формуле (1.1) составляет:
75
=
= 0,167 или 16,7%.
𝐼𝑛
𝑆0 ⋅𝑛
225⋅2
Таким образом, на каждые вложенные в вексель 10 рублей, фирма
получит в виде дохода 167 рублей.
Используя выражение для расчета процентной ставки, можно
выразить величину дохода (процентов) за n лет:
𝐼𝑛 = 𝑆0 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝑛.
𝐼𝑛 = 𝑆0 ⋅
𝑖
100
⋅ 𝑛,
(1.2)
(1.3)
где процентная ставка 𝑖 выражена не десятичной дробью, а в процентах.
В финансовых расчетах процентная ставка может измеряться не
только в процентах или десятичных дробях, но и в натуральных дробях.
Как правило, они используются с точностью до 1/32.
Величину 𝐼𝑛 часто называют процентными деньгами или
процентным доходом (дивизором), а иногда просто процентами.
1.2 Основные схемы начисления процентов: простые и сложные
проценты, кратное и непрерывное начисление процентов
В большинстве случаев начисление процентов производится с
помощью дискретных процентов, т. е. когда в качестве периода
начисления берутся год, полугодие, квартал, месяц или определенное
число дней. В некоторых случаях используется
ежедневное или
непрерывное начисление процентов.
В практике используются различные методы начисления
процентов.
9
В зависимости от исходной суммы (базы), на которую начисляются
проценты (эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода
начисления или меняться) различают:
–
метод начисления по простым процентным ставкам;
–
метод начисления по сложным процентным ставкам.
Метод начисления по простым процентным ставкам состоит в
том, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту
же величину капитала 𝑆0 , предоставляемого в кредит.
Метод начисления по сложным процентным ставкам состоит в
том, что в первом периоде начисление производится на первоначальную
сумму кредита (долга) 𝑆0 , затем она суммируется с начисленными
процентами и в каждом последующем периоде проценты начисляются на
уже наращенную сумму. Таким образом, база для начисления процентов
постоянно меняется. Иногда этот метод называют «процент на процент».
Метод кратного начисления процентов имеет место, если
проценты начисляются неоднократно, а несколько раз в году (m раз),
например, ежеквартально (m=4), ежемесячно (m=12) и т. п.
Если частота начисления сложных процентов m неограниченно
возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов.
Формулы для расчета величины наращенной суммы 𝑆𝑛 при
различных схемах начисления процентов приведены в табл.1., где 𝑖процентная ставка, выраженная в долях единицы (десятичной дробью); 𝑆0 первоначальная сумма капитала (долга); 𝑛- срок или продолжительность
финансовой операции (кредита, векселя, депозита, вклада и т.п.) в годах.
Таблица 1 - Формулы для расчета величины наращенной суммы при
различных схемах начисления процентов
Метод начисления процентов
Формула для расчета 𝑆𝑛
1. Простые проценты
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖 ∙ 𝑛)
(1.4)
2. Сложные проценты
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑛
(1.5)
3. Кратное начисление процентов:
- при простой процентной ставке
- при сложной процентной ставке
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖 ⋅ 𝑛)
𝑖
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + )𝑚⋅𝑛
(1.6)
(1.7)
4. Непрерывное начисление
процентов
𝑆𝑛 = 𝑆0 ⋅ 𝑒 𝑖∙𝑛
(1.8)
𝑚
Таким образом, при кратном начислении процентов, в случае
простой процентной ставки наращенная сумма остается такой же, что и
при однократном начислении процентов. При любой кратности начисления
процентов начисление производится на исходную сумму пропорционально
времени вклада.
10
Пример 2. Банк выдал районной администрации ссуду в размере 3,5 млн.
руб. сроком на 4 года по ставке простых процентов, равной 17% годовых.
Определим проценты и сумму накопленного долга.
Решение
По условию задачи:
𝑆0 = 3,5 млн. руб.; 𝑛 = 4 года; 𝑖 = 17% или 0,17.
По формуле (1.2) сумма процентов составит:
𝐼𝑛 = 𝑆0 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝑛 = 3,5 ⋅ 0,17 ⋅ 4 = 2,38 млн. руб.
Тогда наращенная сумма за 4 года будет равна:
𝑆𝑛 = 𝑆0 + 𝐼𝑛 = 3,5 + 2,38 = 5,88 млн. руб.
или по формуле (1.4):
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑛 ⋅ 𝑖) = 3,5(1 + 4 ⋅ 0,17) = 5,88 млн. руб.
Таким образом, через 4 года районная администрация должна будет
вернуть банку сумму 5,88 млн. руб., при этом доход банка от этой сделки
составит 2,38 млн. руб.
Пример 3. Вкладчик внес в банк 7000 руб. под 12% годовых (проценты
сложные). Определим наращенную сумму через 2,6 года.
Решение
По условию задачи:
𝑆0 = 7000 руб.; 𝑛 = 2,6 года; 𝑖 = 12% или 0,12.
По формуле (1.5) наращенная сумма через 2 года составит:
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑛 = 7000(1 + 0,12)2,6 = 7000 ⋅ 1,3427 = 9398,6 руб.
Таким образом, через 2,6 года вкладчик получит сумму 9398,6 руб.
Пример 4. В банк положен депозит в размере 50 тыс. руб. под 12%
годовых по схеме сложных процентов. Найдем величину депозита через 3
года при начислении процентов 1, 4, 6, 12 раз в году и в случае
непрерывного начисления. По результатам расчетов выполним
сравнительный анализ.
Решение
По условию задачи:
𝑆0 = 50 тыс. руб.; 𝑡 = 3 года; 𝑖 = 12% или 0,12.
По формуле (1.7) наращенная сумма через 3 года составит:
при начислении процентов 1 раз в году (m=1), т.е. однократно:
0,12 3⋅1
𝑆𝑛 (𝑚=1) = 50 ⋅ (1 +
) = 50 ⋅ 1,4049 = 70,246 тыс. руб.;
1
при начислении процентов 4 раза в году (m=4), т.е. ежеквартально:
11
0,12 3⋅4
𝑆𝑛 (𝑚=4) = 50 ⋅ (1 +
) = 50 ⋅ 1,4258 = 71,288 тыс. руб.;
4
при начислении процентов 6 раз в году (m=6), т.е. каждые два
месяца:
0,12 3⋅6
𝑆𝑛 (𝑚=6) = 50 ⋅ (1 +
) = 50 ⋅ 1,4282 = 71,412 тыс. руб.;
6
при начислении процентов 12 раза в году (m=12), т.е. ежемесячно:
0,12 3⋅12
𝑆𝑛 (𝑚=12) = 50 ⋅ (1 +
= 50 ⋅ 1,4308 = 71,538 тыс. руб.;
)
12
при непрерывном начислении процентов по формуле (1.8):
𝑆𝑛 (𝑚=∞) = 50 ⋅ 𝑒 3⋅0,12 = 50 ⋅ 𝑒 0,36 = 50 ⋅ 1,4333 = 71,666 тыс. руб.
Тогда проценты (доход) за 3 года составят:
–
при однократном начислении процентов - 20246 руб.;
–
при четырехкратном - 21288 руб.;
–
при шестикратном - 21412 руб.;
–
при двенадцатикратном - 21538 руб.;
–
при непрерывном - 21666 руб.
Можно сделать вывод о том, что наращенная сумма, как и величина
процентных денег, в схеме сложных процентов растет с увеличением
кратности начисления и достигает максимума при непрерывном
начислении процентов. При этом скорость роста обеих величин
замедляется с увеличением кратности начисления.
1.3 Проценты за нецелое число периодов, различные способы
начисления процентов
Если срок начисления процентов (продолжительность или срок
финансовой операции) измеряется не в годах 𝑛, а в днях 𝑡, то в качестве 𝑛
𝑡
нужно взять 𝑛 = , где 𝐾- так называемая временная база, т. е. число дней в
𝐾
году, 𝐾 = 360,365(366).
Если временная база 𝐾 = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то
говорят, что в формуле для расчета наращенной суммы используются
обыкновенные или коммерческие проценты. При использовании
действительной продолжительности года, 𝐾 = 365(366) дней, получают
точные проценты.
При дробном числе лет существуют два основных метода
начисления процентов:
1 метод: применяется формула сложных процентов (1.5): 𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑛 ,
где значение 𝑛 берется дробное число (десятичная или обыкновенная
дробь);
2 метод (смешанный): за целое число лет начисляются сложные проценты
12
по формуле (1.5), а за дробную часть срока вклада (ссуды) — простые
проценты (1.4), т. е. наращенная сумма за 𝑛, 𝑏 (𝑛 целых 𝑏 десятых) лет
вычисляется по формуле:
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑛 ⋅ (1 + 𝑏 ⋅ 𝑖),
где
(1.9)
𝑛 - целое число лет начисления;
𝑏 - дробная часть срока начисления.
Пример 5. Вкладчик внес в банк 7000 руб. под 12%. Определим наращенную
сумму через 2,6 года, используя смешанный метод начисления процентов.
Решение
По условию задачи:
𝑆0 = 7000 руб.; 𝑛 = 2,6 года; 𝑖 = 12% или 0,12.
По формуле (1.9) наращенная сумма через 2,6 года составит:
𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑏 ⋅ 𝑖) = 7000(1 + 0,12)2 (1 + 0,6 ∙ 0,12) = 9413,0 руб.
Таким образом, через 2,6 года вкладчик получит сумму 9413,0 руб.,
что больше, чем наращенная сумма, которую он мог бы получить, если бы
проценты начислялись общим методом (см. пример 3).
Расчет числа дней вклада 𝑡 бывает точным и приближенным:
1)
при точном расчете берут фактическое число дней финансовой
операции, при этом день начала и день ее окончания считают за один день.
Расчет числа дней удобно производить, используя таблицу порядковых
номеров дней в году, при этом из порядкового номера дня окончания
финансовой операции вычитают порядковый номер дня ее начала (дни
открытия и закрытия вклада, дни выдачи и погашения ссуды).
2)
при приближенном расчете считают, что каждый полный месяц
содержит 30 дней, при этом день начала и день окончания финансовой
операции так же считают за один день.
На практике используют три варианта начисления процентов:
1)
точные проценты с точным числом дней вклада (ссуды).
Этот метод (𝐾 = 365(366) или АСТ/АСТ, продолжительность месяца
равна календарной, называется «английская практика») дает наиболее
точные результаты. Применяется банками многих стран, например
Великобритании, США и др.
2)
обыкновенные проценты с точным числом дней вклада (ссуды).
Такой метод (банковский) (𝐾 = 360 или АСТ/360, продолжительность
месяца равна календарной, называется «французская практика»)
распространен в ссудных банковских операциях, поскольку дает больший
результат, чем предыдущий. Применяется банками Франции, Бельгии,
13
Швейцарии.
3)
обыкновенные проценты с приближенным числом дней вклада
(ссуды).
Такой метод (𝐾 = 360) (обозначается 360/360, число дней в месяце берут
равным 30, называется «германская практика») применяется, когда не
требуется большая точность, например при промежуточных расчетах.
Применяется банками Германии, Швеции, Дании.
Пример 6. Вклад в размере 100 000 руб. положен в банк на депозит 10
марта под 10% годовых по схеме сложных процентов. Какую сумму
вкладчик получит 20 октября?
Решение
По условию задачи:
𝑆0 = 100 000руб.;
начало операции (дата открытия депозита) − 10 марта;
окончание операции (дата закрытия депозита) − 20 октября;
𝑖 = 10% или 0,1.
По формуле сложных процентов (1.5): 𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑛 .
Определим продолжительность финансовой операции (в долях
периода):
1) точный расчет (по таблице порядковых номеров дней в году (см.
Приложение): 10 марта - «69», 20 октября - «293»):
𝑡
293−69
224
𝑛= =
=
= 0,6137.
𝐾
365
365
2) приближенный расчет (1 месяц = 30 дней):
20+30⋅6+20
220
𝑛= =
=
= 0,6111.
𝑡
𝐾
360
360
Тогда по формуле (1.5) наращенная сумма к 20 октября составит:
1) 𝑆𝑛 = 100000(1 + 0,1)0,6137 = 106023,6 руб.;
2) 𝑆𝑛 = 100000(1 + 0,1)0,6111 = 105997,4 руб.
1.4 Эффективная процентная ставка
Эффективная процентная ставка — это сумма, выплачиваемая
заемщику (инвестору) в конце периода начисления за каждую единичную
сумму, занятую (инвестируемую) в начале периода.
Обозначим: 𝑎𝑛 - наращенное значение единичной суммы в момент
времени 𝑛; эффективную ставку процента - 𝑖эф , наращенное значение
полной суммы - 𝑆𝑛 .
Тогда значения эффективной ставки процента будут равны:
–
для первого периода начисления
14
𝑖эф (𝑛=1) =
–
(1+𝑖)
1
=
𝑎1 −𝑎0
𝑎0
=
𝑆1 −𝑆0
𝑆0
;
(1.10)
для n-го периода начисления
𝑖эф =
𝑎𝑛 −𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−1
=
𝑆𝑛 −𝑆𝑛−1
𝑆𝑛−1
.
(1.11)
Из формулы видно, что эффективная процентная ставка может
меняться в зависимости от номера периода начисления, но в ряде случаев
может оставаться постоянной в зависимости от способа начисления
процентов.
В практике финансовых операций эффективная процентная ставка
используется для сравнения экономической эффективности финансовых
сделок, определения наиболее оптимального вложения средств или
условий долговых обязательств, а так же для учета инфляции и налогов с
целью определения реальной величины процентного дохода инвестора.
1.5 Дисконтирование: понятие и сущность, математическое
дисконтирование и банковский учет
Кредит в условиях рынка выступает в различных формах.
Основными являются коммерческий и банковский кредит.
Коммерческий кредит есть предоставление товаров и услуг одним
объектом сделки другому с оплатой через определенное время, т. Е.
Происходит отсрочка уплаты денег за проданные товары и услуги.
Распространенным инструментом этого кредита является коммерческий
вексель.
Вексель — это особый вид письменного долгового обязательства,
дающий его владельцу бесспорное право требовать по истечении
указанного в нем срока уплаты денег с должника.
Векселя могут быть простыми и переводными. Простой вексель
представляет собой долговое обязательство, выдаваемое заемщиком на имя
кредитора, и содержит указание места и времени выдачи долгового
обязательства, его суммы, места и времени платежа и наименование лица,
которому заемщик обязан произвести платеж. Переводной вексель, или
тратта, представляет собой письменный приказ одного лица (кредитора)
другому лицу (заемщику) об уплате суммы, обозначенной в векселе,
третьему лицу.
Банковский кредит — это кредит, предоставляемый одним
субъектом сделки другому в виде денежной ссуды. Механизм оформления
банковских ссуд предусматривает различные варианты, в том числе
выписку ссудозаемщиком векселей на имя кредитора.
Векселедержатель (кредитор) (или владелец иных долговых
15
обязательств) в случае необходимости получения денег по векселю (или
другим долговым обязательствам) ранее указанных в них сроков может
продать его банку или другому субъекту по пониженной цене, т. е. по цене
ниже номинальной стоимости векселя, указанной в нем. Такая сделка
носит название учета векселя, или дисконтирования. Сумма, полученная
владельцем
векселя
в
результате
этой
сделки,
называется
дисконтированной величиной. Она ниже номинальной стоимости векселя
на величину процентного платежа, вычисленного со дня дисконтирования
до дня, ранее предусмотренного для погашения векселя.
Дисконтом называется разность между номинальной стоимостью
долгового обязательства и суммой, полученной векселедержателем в
результате учета векселя.
Математическое дисконтирование
Математическое дисконтирование (удержание процентов)
позволяет определить, какую исходную сумму 𝑆0 нужно вложить (выдать в
долг), чтобы получить по истечении 𝑛 лет наращенную сумму 𝑆𝑛 при
начислении на 𝑆0 процентов по ставке 𝑖. Для решения этой задачи
используют формулы наращения (1.5), (1.6), (1.8), из которых выражают
величину 𝑆0 (табл. 2).
Величина S0 называется приведенным (текущим современным)
значением величины 𝑆𝑛 . Величина 𝑖, которая ранее называлась процентной
ставкой, теперь означает ставку дисконтирования. Величины обратные
множителям наращения (1⁄(1 + 𝑖 ⋅ 𝑛), 1⁄(1 + 𝑖)𝑛 , 1⁄𝑒 𝑖∙𝑛 ) называются
дисконтными множителями, показывающими во сколько раз
первоначальная сумма ссуды S0 меньше наращенной 𝑆𝑛 .
Таблица 2 - Формулы для расчета приведенной величины при различных
схемах дисконтирования
Метод удержания процентов
Формула для расчета S0
(вид дисконтной ставки)
1. Простая дисконтная ставка
𝑆0 = 𝑆𝑛 /(1 + 𝑖 ∙ 𝑛)
(1.12)
2. Сложная дисконтная ставка
𝑆0 = 𝑆𝑛 /(1 + 𝑖)𝑛
(1.13)
3. Кратное удержание процентов:
- при простой дисконтной ставке
- при сложной дисконтной ставке
𝑆0 = 𝑆𝑛 /(1 + 𝑖 ⋅ 𝑛)
𝑖
𝑆0 = 𝑆𝑛 /(1 + )𝑚⋅𝑛
(1.14)
(1.15)
4. Непрерывная дисконтная ставка
𝑚
𝑆0 = 𝑆𝑛 /𝑒
𝑖∙𝑛
(1.16)
Пример 7. Через один год владелец векселя, выданного коммерческим
банком, должен получить по нему 220 тыс. руб. Какая сумма была внесена
в банк в момент приобретения векселя, если доходность векселя должна
16
составить 10% годовых (простые проценты).
Решение
По условию задачи:
𝑆𝑛 = 220 тыс. руб.; 𝑛 = 1 год; 𝑖 = 10% или 0,1.
Для решения этой задачи используем формулу (1.12) для случая
удержания простых процентов, тем самым находим текущую стоимость
векселя:
𝑆0 = 𝑆𝑛 ⁄(1 + 𝑖 ⋅ 𝑛) = 220⁄(1 + 0,1 ⋅ 1) = 200 тыс. руб.
Таким образом, стоимость векселя при его покупке составляла 200
тыс. руб.
Банковский учет
Банковский учет — это покупка банком денежных обязательств по
цене меньше номинальной, указанной в них суммы.
В случае покупки банком векселя говорят, что последний
учитывается, а клиенту выплачивается сумма:
𝑆0 = 𝑆𝑛 − 𝐷,
где
(1.17)
𝑆0 - цена покупки векселя банком за n лет до погашения;
S𝑛 - номинальная сумма векселя;
𝐷 - дисконт, или доход банка (процентные деньги).
Определение величины дисконта основывается на использовании
учетной ставки 𝑑, которая может быть простой или сложной в зависимости
от того, какая схема используется — простых или сложных процентов:
1) в случае простых процентов последовательность сумм,
оставшихся после дисконта {𝑆0 }, образует убывающую арифметическую
прогрессию с общим членом, равным сумме, которую получит клиент за n
лет до погашения:
𝑆0 = 𝑆𝑛 − 𝐷 = 𝑆𝑛 (1 − 𝑑 ∙ 𝑛),
𝐷 = 𝑆𝑛 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑑.
(1.18)
(1.19)
2) в случае сложных процентов последовательность сумм,
оставшихся после дисконта {𝑆0 }, образует убывающую геометрическую
прогрессию с общим членом, равным сумме, которую получит клиент за n
лет до погашения:
𝑆0 = 𝑆𝑛 (1 − 𝑑)𝑛 .
(1.18)
17
Пример 8. Вексель стоимостью 200 000 руб. учитывается за 3 года до
погашения по сложной учетной ставке 11% годовых. Найти сумму,
получаемую векселедержателем 𝑆0 , и величину дисконта 𝐷.
Решение
По условию задачи:
𝑆𝑛 = 200 000 руб.; 𝑛 = 3 года; 𝑑 = 11% или 0,11.
Находим сумму, получаемую векселедержателем в результате учета
векселя за 3 года до его погашения (т.е. до полного возврата долговых
обязательств), используя формулу для случая сложной учетной ставки
(1.18):
𝑆0 = 𝑆𝑛 (1 − 𝑑)𝑛 = 200000 ⋅ (1 − 0,11)3 = 140 993,8 руб.
Определим величину дисконта, опираясь на формулу (1.17):
𝐷 = 𝑆𝑛 − 𝑆0 = 200000 − 140993,8 = 59006,2 руб.
1.6 Мультиплицирующие и дисконтирующие множители
Мультиплицирующий множитель (множитель наращения)
показывает, во сколько раз возрастет за n лет исходная сумма 𝑆0 ,
положенная в банк под i процентов годовых (обозначается 𝑀(𝑛, 𝑖)):
𝑀(𝑛, 𝑖) =
𝑆𝑛
𝑆0
,
(1.19)
т. е. представляет собой будущую стоимость одной денежной единицы
через n лет при ставке процента i.
Дисконтирующий
множитель
(множитель
приведения)
показывает, какую часть составит исходная сумма 𝑆0 , положенная в банк
под i процентов годовых от суммы, наращенной к концу n-го года
(обозначается 𝐷(𝑛, 𝑖)):
𝑆
1
𝐷(𝑛, 𝑖) = 0 =
,
(1.20)
𝑆𝑛
𝑀(𝑛,𝑖)
т. е. представляет собой приведенную или современную стоимость одной
денежной единицы через n лет при ставке процента i.
Эффективность процессов наращивания определяется множителем
наращения, а эффективность процессов дисконтирования — дисконтным
множителем (множителем приведения), определяемыми в общем случае
рассмотренными формулами (табл. 1 и 2).
18
1.7 Эквивалентность различных процентных и учетных ставок
Эквивалентными называются такие ставки, которые обеспечивают
равенство финансовых последствий, т.е. равенство наращенных сумм в
случае эквивалентности процентных ставок или равенство приведенных
величин в случае учетных ставок. Таким образом, для каждого из этих
случаев
ставок
можно
записать
соотношение
(уравнение)
эквивалентности, как равенство соответствующих ставкам множителей
наращения (1.21) или множителей дисконтирования (1.22):
𝑀(𝑛, 𝑖1 ) = 𝑀(𝑛, 𝑖2 ),
(1.21)
𝐷(𝑛, 𝑑1 ) = 𝐷(𝑛, 𝑑2 ).
(1.22)
При известном значении одной из процентных ставок 𝑖2 и с учетом
равенства всех прочих условий из соотношения эквивалентности (1.21)
можно выразить и вычислить значение искомой процентной ставки 𝑖1 ,
эквивалентной данной (табл. 3). И соответственно при известном значении
одной из учетных ставок 𝑑2 и с учетом равенства всех прочих условий из
соотношения эквивалентности (1.22) можно выразить и вычислить
значение искомой учетной ставки 𝑑1 , эквивалентной данной (табл. 3)
Таблица 3 — Соотношения эквивалентности различных видов процентных
ставок
Виды процентных ставок
1. Простая 𝑖П и сложная
𝑖С ставки процента
2. Простая ставка
процента 𝑖П и сложная ставка
процента 𝑖С при m - кратном
начислении процентов
Уравнение
эквивалентности
Соотношения
эквивалентности для ставок
1
1 + 𝑖П ⋅ 𝑛 = (1 + 𝑖С )
𝑛
𝑖П = 𝑛 ⋅ [(1 + 𝑖С )𝑛 − 1];
𝑖С = 𝑛√1 + 𝑖П ⋅ 𝑛 − 1.
1
𝑖
𝑖С 𝑚⋅𝑛 𝑖П = 𝑛 ⋅ [(1 + 𝑚С )𝑚⋅𝑛 − 1];
1 + 𝑖П ⋅ 𝑛 = (1 + )
𝑚
𝑖С = 𝑚 ⋅ ( 𝑚⋅𝑛√1 + 𝑖П ⋅ 𝑛 − 1).
1
3. Простая 𝑖П и непрерывная
𝑖Н ставки процента
1 + 𝑖П ⋅ 𝑛 = 𝑒
4. Сложная 𝑖С и непрерывная
𝑖Н ставки процента
(1 + 𝑖С )𝑛 = 𝑒 𝑖𝐻⋅𝑛
𝑖𝐻 ⋅𝑛
𝑖П = 𝑛 ⋅ [𝑒 𝑖𝐻⋅𝑛 − 1];
1
𝑖𝐻 = 𝑛 ⋅ ln(1 + 𝑖П ⋅ 𝑛).
𝑖𝐶 = 𝑒 𝑖𝐻 − 1;
𝑖𝐻 = ln(1 + 𝑖𝐶 ).
Пример 9. Найти простую процентную ставку 𝑖П , эквивалентную
сложной ставке в 15% для временного интервала в 5 лет при
ежемесячном начислении процентов.
Решение
Воспользуемся соотношением эквивалентности простой ставки
19
процента 𝑖П и сложной ставки процента 𝑖С при m - кратном начислении
процентов:
1
𝑖
1
0,15 12⋅5
1
𝑖П = ⋅ [(1 + С )𝑚⋅𝑛 − 1] = ⋅ [(1 +
)
− 1] = [(1,0125)60 − 1] = 0,2214,
𝑛
𝑚
5
12
5
т. е. эквивалентная простая процентная ставка 𝑖П =22,14%.
Пример 10. Найти непрерывную процентную ставку 𝑖Н , эквивалентную
простой ставке в 15% для временного интервала в 5 лет.
Решение
Воспользуемся соотношением эквивалентности непрерывной ставки
процента𝑖Н и простой ставки процента 𝑖П :
1
1
1
1
𝑖𝐻 = ⋅ ln(1 + 𝑖П ⋅ 𝑛) = ⋅ ln(1 + 0,15 ⋅ 5) = ⋅ ln(1,75) = ⋅ 0,5596 = 0,1119,
𝑛
5
5
5
т. е. эквивалентная непрерывная процентная ставка 𝑖Н =11,19%.
1.8 Конверсия платежей. Определение суммы и срока
консолидированного платежа
Изменение хозяйственной ситуации нередко побуждает одну из
сторон — участниц коммерческой сделки обратиться к другой стороне с
предложением изменить условия ранее заключенных соглашений
(конверсия обязательств). Наиболее часто предлагается изменить сроки
платежей в сторону их увеличения, произвести объединение нескольких
платежей в один (консолидировать платежи) с установлением единого
срока погашения и т. п. Естественно, что предлагаемые изменения должны
быть безубыточными для обеих сторон, т. е. основным принципом
изменения условия сделки (контракта) является принцип финансовой
эквивалентности.
Как было рассмотрено выше, эквивалентными считаются такие
платежи, которые, будучи "приведенными" к одному моменту времени
(focal date), оказываются равными.
Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к
более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта
дата относится к будущему). Исходя из этого принципа получают
уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей,
приведенных к базисной дате, равна сумме платежей по новому
обязательству, приведенных к той же дате.
Наиболее простой вид принимает уравнение эквивалентности при
консолидации платежей, когда платежи 𝑆1, 𝑆2, . . . , 𝑆𝑚 со сроками оплаты
соответственно 𝑛1, 𝑛2, . . . , 𝑛𝑚 заменяются одним в сумме S0 и сроком оплаты
n0 .
Здесь возможны две постановки задачи: если задается срок n0, то
20
находится сумма S0, и наоборот.
Определение суммы консолидированного платежа:
1)
При заданном n0, если консолидация производится по ставке
простых процентов 𝑖, размер консолидированного платежа равен
𝑆𝑘
𝑆0 = ∑𝑗 𝑆𝑗 (1 + 𝑖 ⋅ 𝑡𝑗 ) + ∑𝑘
,
(1.23)
(1+𝑖⋅𝑡𝑘 )
где
𝑆𝑗 - платежи со сроками оплаты 𝑛𝑗 < 𝑛0 ; 𝑡𝑗 = 𝑛0 − 𝑛𝑗 ;
𝑆𝑘 - платежи со сроками оплаты 𝑛𝑘 > 𝑛0 ; 𝑡𝑘 = 𝑛𝑘 − 𝑛0 .
2)
Если консолидация производится по ставке сложных процентов,
размер консолидированного платежа будет равен
𝑆
𝑆0 = ∑𝑗 𝑆𝑗 (1 + 𝑖)𝑡𝑗 + ∑𝑘 𝑘 𝑡𝑘 ,
(1.24)
(1+𝑖)
где
𝑆𝑗 - платежи со сроками оплаты 𝑛𝑗 < 𝑛0 ; 𝑡𝑗 = 𝑛0 − 𝑛𝑗 ;
𝑆𝑘 - платежи со сроками оплаты 𝑛𝑘 > 𝑛0 ; 𝑡𝑘 = 𝑛𝑘 − 𝑛0 .
Определение времени оплаты n0 консолидированного платежа:
Если требуется определить время n0 оплаты консолидированного
платежа S0, составляем уравнение эквивалентности, выбрав в качестве
базисной даты начало отсчета. Разрешив уравнение эквивалентности
относительно n0 получаем:
1) для ставки простых процентов:
1
𝑆
𝑆𝑘
𝑛0 = ⋅ ( 0 − 1) , где 𝑃 = ∑𝑘
(1.25)
𝑖
𝑃
(1+𝑖⋅𝑛𝑘 )
Формула (1.25) имеет смысл, если размер консолидированного
платежа будет не меньше «барьерного» значения Р, т.е. для S0 > Р. Таким
же образом определяют время оплаты.
2) для ставки сложных процентов i получаем:
𝑛0 =
𝑆
ln( 0 )
𝑃
ln(1+𝑖)
, где 𝑃 = ∑𝑘
𝑆𝑘
(1+𝑖)𝑛𝑘
(1.26)
Пример 11. Два платежа: 15 000 и 24 000 руб., произведенные в начале
второго периода и в конце четвертого, соответственно заменить одним
платежом в начале шестого периода. Годовая ставка сложных процентов
равна 12%.
Решение
По условию задачи:
𝑆1 = 15000 руб. - платеж со сроком оплаты 𝑛1 = 1 < 𝑛0 = 5;
тогда 𝑡1 = 𝑛0 − 𝑛1 = 5 − 1 = 4
𝑆2 = 24000 руб. - платеж со сроком оплаты 𝑛2 = 4 < 𝑛0 = 5;
21
тогда 𝑡2 = 𝑛0 − 𝑛1 = 5 − 4 = 1
𝑖 = 12% или 0,12 (сложные проценты)
Тогда по формуле (1.24):
𝑆0 = 15000(1 + 0,12)4 + 24000(1 + 0,12)1 = 23602,8 + 26880 = 50482,8 руб.
Пример 12. Один платеж 43 000 руб. в начале третьего периода заменить
тремя равными платежами, произведенными в начале первого и в конце
четвертого и седьмого периодов соответственно. Годовая ставка
простых процентов равна 17%.
Решение
По условию задачи:
𝑆0 = 43000руб.- платеж со сроком оплаты 𝑛0 = 2;
𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3 = 𝑆- платежи со сроками оплаты:
𝑛1 = 0 < 𝑛0 ; 𝑛2 = 4 > 𝑛0 ; 𝑛3 = 7 > 𝑛0 , тогда
𝑡1 = 𝑛0 − 𝑛1 = 2 − 0 = 2;
𝑡2 = 𝑛2 − 𝑛0 = 4 − 2 = 2;
𝑡3 = 𝑛3 − 𝑛0 = 7 − 2 = 5.
𝑖 = 17% или 0,17 (простые проценты)
Тогда по формуле (1.23):
𝑆
𝑆
1
1
)=
+
= 𝑆 (1,34 +
+
(1 + 0,17 ⋅ 2) (1 + 0,17 ⋅ 5)
1,34 1,85
= 𝑆 ⋅ 2,6268 = 43000 руб.
𝑆0 = 𝑆(1 + 0,17 ⋅ 2) +
Тогда 𝑆 = 43000: 2,6268 = 16369,67 руб.
Пример 13. Три платежа: 15 000, 26 000 и 45 000 руб., произведенные в
начале третьего, начале четвертого периодов и в конце пятого
соответственно, заменить платежом 90 000 руб. Годовая ставка
сложных процентов равна 15%. Требуется определить время n0 платежа
в 90 000 руб.
Решение
По условию задачи:
𝑆1 = 15000руб.- платеж со сроком оплаты 𝑛1 = 2;
𝑆2 = 26000руб.- платеж со сроком оплаты 𝑛2 = 3;
𝑆3 = 45000руб.- платеж со сроком оплаты 𝑛2 = 5;
𝑖 = 15% или 0,15 (сложные проценты)
𝑆0 = 90000руб.
Воспользуемся формулой (1.26).
Приведем все три платежа к начальному моменту времени и сложим
их.
𝑃=
15000
26000
45000
+
+
=
(1 + 0,15)2 (1 + 0,15)3 (1 + 0,15)5
22
= 11342,155 + 17095,422 + 22372,953 = 50810,530 руб.
𝑆0 = 90000руб. > 𝑃 - условие применения (1.26) выполняется.
𝑛0 =
90000
)
50810,53
ln(
ln(1+0,15)
=
0,5717
0,1398
= 4,09 ≈ 4года.
Выполним проверку правильности вычислений (с учетом
приближений):
𝑆0
90000
𝑃=
= 50814,580 руб. (приближенно совпадает)
𝑛0 =
4,09
(1+𝑖)
(1+0,15)
1.9 Увеличение капитала в произвольное число раз. Удвоение величины
капитала: «Правило 70», обобщение «Правила 70», “Правило 100”
Рассмотрим задачу об определении срока Т увеличения капитала в
произвольное число раз (n) при данной процентной ставке 𝑖. Для этого
требуется решить уравнение вида 𝑛 ⋅ 𝑆0 = 𝑆𝑇 относительно срока вклада Т.
Рассмотрим общее решение этой задачи для различных вариантов
начисления процентов, а так же частный случай удвоения капитала (когда
n=2 и уравнение приобретает вид 2 ∙ 𝑆0 = 𝑆𝑇 ) (табл. 4).
Замечание к формулам:
- формула «Правило 70» дает точный результат только в случае
непрерывного начисления процентов (формула (1.34)), во всех остальных
случаях (формулы (1.32) и (1.38)) имеет место погрешность и результат
вычислений является приближенным;
- из формулы (1.35) становится очевидным, что при возрастании
кратности начисления процентов m срок Т сокращается.
Пример 14. За сколько лет удвоится капитал в схеме сложных процентов
при ставке 18% годовых?
Решение
По условию задачи 𝑖 = 18%.
Тогда:
по точной формуле (1.29): 𝑇 =
ln2
ln(1+0,18)
70
по формуле «Правило 70» (1.32): 𝑇 ≈
18
= 4,19 лет,
≈ 3,89 лет.
Пример 15. За сколько лет удвоится капитал в схеме простых процентов
при ставке 18% годовых?
Решение
По условию задачи 𝑖 = 18%, тогда по формуле «Правило 100» (1.28):
100
𝑇=
= 5,56 лет.
18
23
Таблица 4 — Формулы для расчета срока увеличения капитала в
произвольное число раз
Схема начисления
процентов
Вид уравнения
Решение уравнения
(величина срока начисления)
𝑇=
1. Простые проценты
𝑛 ⋅ 𝑆0 = 𝑆0 (1 + 𝑖 ⋅ 𝑇)
𝑛−1
(1.27)
,
𝑖
частный случай (n=2):
𝑇=
1
𝑖
100
или 𝑇 =
формула (1.28)
«Правило 100»
𝑇=
𝑖%
носит
ln𝑛
название
(1.29)
;
ln(1+𝑖)
. (1.28)
ln𝑛
𝑇≈
;
(1.30)
формула (1.29) является точной, а
(1.30) приближенной;
2. Сложные проценты
𝑛 ⋅ 𝑆0 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑇
𝑖
частный случай (n=2):
𝑇=
𝑇≈
ln2
ln2
𝑖
формула (1.32)
«Правило 70»
𝑛 ⋅ 𝑆0 = 𝑆0 𝑒 𝑖⋅𝑇
ln𝑛
𝑖
(1.32)
;
название
(1.33)
;
частный случай (n=2):
𝑇=
ln2
𝑖
формула (1.34)
«Правило 70»
𝑇=
=
70
;
(1.34)
носит
название
𝑖%
ln𝑛
𝑖
𝑚
𝑚⋅ln(1+ )
ln𝑛
𝑇≈
4. Кратное начисление
процентов
𝑖%
носит
𝑇=
3. Непрерывные
проценты
70
≈
(1.31)
;
ln(1+𝑖)
𝑖
;
(1.35)
(1.36)
;
формула (1.35) является точной, а
𝑖 𝑚⋅𝑇
(1.36) приближенной;
𝑛 ⋅ 𝑆0 = 𝑆0 (1 + )
𝑚
частный случай (n=2):
𝑇=
𝑇≈
ln2
𝑖
𝑚
𝑚⋅ln(1+ )
ln2
𝑖
≈
70
𝑖%
.
;
(1.37)
(1.38)
24
Пример 16. За сколько лет капитал увеличится в 4 раза при ставке 10%
годовых?
Решение
1) простые проценты (формула (1.27)):
𝑛−1
4−1
𝑇=
=
= 30 лет;
𝑖
0,1
2) сложные проценты (формулы (1.29) и (1.30)):
ln𝑛
ln4
ln4
1,386
𝑇=
=
=
=
= 14,55 лет;
𝑇≈
ln(1+𝑖)
ln(1+0,1)
ln𝑛
ln4
1,386
𝑖
=
0,1
=
0,1
ln1,1
0,095
= 13,86 лет;
3) непрерывные проценты (формула (1.33)):
ln𝑛
ln4
1,386
𝑇=
=
=
= 13,86 лет;
𝑖
0,1
0,1
4) кратное (возьмем случай ежемесячное) начисление процентов (формулы
(1.37) и (1.38)):
ln𝑛
ln4
1,386
𝑇=
= 13,92 лет;
0,1 =
𝑖 =
𝑇≈
𝑚⋅ln(1+ )
𝑚
ln4
0,1
12⋅ln(1+ 12 )
0,0996
= 13,86 лет.
1.10 Понятия уровня и индекса инфляции. Влияние инфляции на
ставку процента. Формула Фишера. Темп инфляции за несколько
периодов
Инфляция определяется как процесс повышения общего (среднего)
уровня цен в экономике, что эквивалентно снижению покупательной
способности денег. Инфляция называется равномерной, если темп общей
инфляции не зависит от времени (от номера шага расчетного периода).
Инфляция называется однородной, если темпы изменения цен всех
товаров и услуг зависят только от номера шага расчетного периода, но не
от характера товара или услуги. Инфляция называется постоянной, если ее
темпы не меняются с течением времени.
Существует два основных показателя (параметра), характеризующих
инфляцию: темп инфляции и индекс инфляции. Ниже дадим определение и
приведем формулы для расчета обоих показателей (параметров) инфляции.
Инфляция оценивается за некоторый период времени.
Итак, для оценки инфляции в конце периода 𝑡𝑗 по отношению к
периоду 𝑡𝑖 используются два основных показателя:
1) темп (уровень) инфляции α (альфа) — относительный прирост
среднего уровня цен в рассматриваемом периоде
(𝑃 −𝑃 )
𝛼= 1 0,
(1.39)
𝑃0
(может быть выражен в % при умножении результата отношения на 100).
2) индекс инфляции (индекс изменения цен) I — рост среднего
25
уровня цен в рассматриваемом периоде
𝑃
𝐼 = 1,
(1.40)
𝑃0
(может быть выражен в % при умножении результата отношения на 100).
Взаимосвязь между темпом и индексом инфляции
𝛼 =𝐼−1
и обратно
𝐼 = 𝛼 + 1.
(1.41)
(1.42)
Рассмотрим вначале подробнее темп инфляции.
Формула Фишера
Говорят, что инфляция составляет долю α в год, если стоимость
товара за год увеличивается в (1 + α) раз. Инфляция уменьшает реальную
ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в (1 + α) раз,
поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы 𝑆 = 𝑆0 (1 + 𝑖) будет
в (1 + α) раз меньше:
𝑆
𝑆 (1+𝑖)
𝑆 (1+𝛼−𝛼+𝑖)
(1+𝛼)+(𝑖−𝛼)
𝑆𝛼 =
= 0
= 0
= 𝑆0 (
) = 𝑆0 (1 + 𝑖𝛼 ).
(1+𝛼)
1+𝛼
1+𝛼
1+𝛼
Таким образом, с учетом уровня инфляции наращенная сумма будет
равна:
𝑆𝛼 = 𝑆0 (1 + 𝑖𝛼 ),
(1.43)
где 𝑖𝛼 - процентная ставка с учетом инфляции (реальная), значение
которой определяется по формуле (формула Фишера):
𝑖−𝛼
𝑖𝛼 =
,
(1.44)
1+𝛼
где
𝑖- процентная ставка без учета инфляции (номинальная).
При малой инфляции реальная процентная ставка меньше
номинальной примерно на величину инфляции. При достаточно высокой
инфляции значение реальной ставки процента может стать отрицательным.
В такой ситуации кредитор будет работать себе в убыток, а заемщик
обогащаться. Чтобы этого не произошло, необходимо скорректировать
номинальную процентную ставку 𝑖, по которой происходит наращение (она
должна, по крайней мере, превышать инфляцию: 𝑖 > 𝛼 и 𝑖𝛼 > 0).
Для того чтобы номинальная процентная ставка 𝑖 обеспечивала
реальную процентную ставку 𝑖𝛼 при годовой инфляции α, она должна
удовлетворять уравнению, вытекающему из формулы Фишера (1.44):
26
𝑖 = 𝛼 + 𝑖𝛼 (1 + 𝛼).
(1.45)
При малых 𝑖 и α перекрестным членом (𝑖𝛼 ⋅ 𝛼) в этом уравнении
(1.45) можно пренебречь и в этом (зачастую грубом) приближении
получают следующие соотношения между номинальной и реальной
ставками процента:
𝑖 = 𝛼 + 𝑖𝛼 ,
(1.46)
𝑖𝛼 = 𝑖 − 𝛼 .
(1.47)
Пример 17. Какую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции
8% годовых он мог иметь 10%-ную доходность?
Решение
Воспользуемся формулой (1.45) для определения номинальной
процентной ставки:
𝑖 = 𝛼 + 𝑖𝛼 (1 + 𝛼) = 0,08 + 0,1(1 + 0,08) = 0,188 или 18,8%.
Используя приближенную формулу (1.46) получим:
𝑖 = 𝛼 + 𝑖𝛼 = 0,08 + 0,1 = 0,18 или 18%.
Темп инфляции за несколько периодов
Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени
𝑡1, 𝑡2, . . . , 𝑡𝑛 равны 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛 соответственно. Найдем темп инфляции 𝛼
за суммарный период 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 +. . . +𝑡𝑛 .
В этом случае формула для расчета темпа инфляции 𝛼 за суммарный
период будет иметь вид:
𝛼 = (1 + 𝛼1 )(1 + 𝛼2 ) ⋅. . .⋅ (1 + 𝛼𝑛 ) − 1.
(1.48)
Из формулы (1.48) видно, что темп инфляции за несколько периодов
не зависит ни от длительности составляющих периодов, ни от периода 𝑡.
Для равных темпов инфляции (или при условии постоянства его
среднего значения) 𝛼1 = 𝛼2 =. . . = 𝛼𝑛 = 𝛼′ (при этом промежутки времени
могут оставаться различными) формула (1.48) примет вид:
𝛼 = (1 + α′)𝑛 − 1.
(1.49)
Пример 18. Пусть темпы инфляции за два последовательных периода
времени равны 10% и 20% соответственно. Определим темп инфляции за
суммарный период.
Решение
Воспользуемся формулой (1.48) для случая двух периодов:
𝛼 = (1 + 𝛼1 )(1 + 𝛼2 ) − 1 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼1 ⋅ 𝛼2 = 0,1 + 0,2 + 0,1 ⋅ 0,2 =
= 0,3 + 0,02 = 0,32 или 32%, что на 2% больше простой суммы темпов
27
инфляции за два данным периода.
Пример 19. Пусть темп инфляции за год равен 20%. Определим темп
инфляции за квартал при условии его постоянства.
Решение
Воспользуемся формулой (1.49), из которой выразим значение
промежуточного (квартального) темпа инфляции:
𝛼 = (1 + 𝛼 ′ )𝑛 − 1 ;
𝛼 + 1 = (1 + 𝛼 ′ )𝑛 ;
𝑛
𝛼 ′ + 1 = √1 + 𝛼 ;
𝑛
𝛼′ = √1 + 𝛼 − 1.
При определении квартального темпа инфляции 𝑛 = 4:
𝑛
α′ = √1 + 𝛼 − 1 = 4√1 + 0,2 − 1 ≈ 1,0466 − 1 = 0,047 или 4,7%.
Видно, что темп инфляции за квартал оказался ниже получаемого
простым делением годового темпа инфляции на четыре, т. е. 20%:4=5%.
Разница составляет 0,3%.
1.11 Операции с валютой: депозиты с конверсией и без конверсии
валюты
Термин «депозит» обозначает денежные средства, переданные на
хранение банку и подлежащие возврату в определенный срок при
определенных условиях. Конверсия валюты - обмен одной валюты на
другую по действующему валютному курсу.
Возможность конвертации рублей в валюту и обратно валюты в
рубли, а также возможность размещения на депозите как рублей, так и
валюты увеличивают количество схем получения дохода с помощью
депозитов.
Сравним доходы от непосредственного размещения на депозите
имеющихся денежных средств в национальной валюте RR (Russian ruble) и
через конвертацию национальной валюты в иностранную FC (Foreign
currency), размещение последней на депозите с последующей обратной
конвертацией наращенной суммы в иностранной валюте в национальную
валюту.
Возможны четыре схемы получения дохода:
1) 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅;
2) 𝐹𝐶 → 𝐹𝐶;
3) 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 → 𝐹𝐶;
4) 𝑅𝑅 → 𝐹𝐶 → 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅.
Две первые схемы не связаны с конвертацией валюты, и они
полностью исследованы нами в предыдущих параграфах, в то время как
две последние схемы предполагают конвертацию валюты в начале и в
28
конце финансовой операции.
Схема 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 → 𝐹𝐶
Введем обозначения:
𝑃𝐹𝐶 — величина депозита в 𝐹𝐶;
𝑃𝑅𝑅 — величина депозита в 𝑅𝑅;
𝑆𝐹𝐶 — наращенная сумма в 𝐹𝐶;
𝑆𝑅𝑅 — наращенная сумма в 𝑅𝑅;
𝐾0 — курс обмена 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅в начале операции;
𝐾1 — курс обмена 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅в конце операции;
𝑛— срок депозита;
𝑖— процентная ставка в 𝑅𝑅;
𝑗— процентная ставка в 𝐹𝐶.
Операция состоит из трех этапов:
1) конвертация иностранной валюты в национальную валюту;
2) размещение рублей на депозите;
3) последующая обратная конвертация наращенной суммы в иностранную
валюту.
В результате всех этапов получим следующие наращенные суммы
𝑆𝐹𝐶 в иностранной валюте, множители наращения (М) с учетом двойной
конвертации и эффективные ставки процентов 𝑖эфф для операции в целом в
случае простых и сложных процентов (табл. 5).
Таблица 5 — Формулы для расчета основных показателей наращения в
схеме 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 → 𝐹𝐶
Вид процентной ставки
Показатель
наращения
Простая
Сложная
Наращенная
сумма в
иностранной
валюте
Множитель
наращения с
учетом двойной
конвертации
Эффективная
процентная
ставка для
операции в
целом
𝑆𝐹𝐶 = 𝑃𝐹𝐶 ⋅
𝑀=
𝐾0
⋅ (1 + 𝑖 ⋅ 𝑛)
𝐾1
𝐾0
⋅ (1 + 𝑖 ⋅ 𝑛)
𝐾1
1 𝐾
𝑖эфф = ( 0 ⋅ (1 + 𝑖 ⋅ 𝑛) − 1);
𝑛 𝐾
1
1
𝑖эфф = (𝑀 − 1);
𝑛
при 𝑛 = 1 год 𝑖эфф = 𝑀 − 1
𝑆𝐹𝐶 = 𝑃𝐹𝐶 ⋅
𝑀=
𝑛
𝐾0
⋅ (1 + 𝑖)𝑛
𝐾1
𝐾0
⋅ (1 + 𝑖)𝑛
𝐾1
𝐾
𝑖эфф = √ 0 ⋅ (1 + 𝑖) − 1;
𝐾
1
𝑛
𝑖эфф = √𝑀 − 1;
при 𝑛 = 1 год 𝑖эфф = 𝑀 − 1
29
Из формул в табл. 5 видно, что множитель наращения растет с
увеличением процентной ставки, срока депозита и начального обменного
курса и убывает с ростом конечного обменного курса.
Схема 𝑅𝑅 → 𝐹𝐶 → 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅
Операция состоит из трех этапов:
1) конвертация национальной валюты в иностранную;
2) размещение иностранной валюты на депозите;
3) последующая обратная конвертация наращенной суммы в национальную
валюту.
В результате всех этапов получим следующие наращенные суммы
𝑆𝑅𝑅 в национальной валюте, множители наращения (М) с учетом двойной
конвертации и эффективные ставки процентов 𝑖эфф для операции в целом в
случае простых и сложных процентов (табл. 6).
Таблица 6 — Формулы для расчета основных показателей наращения в
схеме 𝑅𝑅 → 𝐹𝐶 → 𝐹𝐶 → 𝑅𝑅
Вид процентной ставки
Показатель
наращения
Простая
Сложная
Наращенная
сумма в
иностранной
валюте
Множитель
наращения с
учетом двойной
конвертации
Эффективная
процентная
ставка для
операции в
целом
𝑆𝑅𝑅 = 𝑃𝑅𝑅 ⋅
𝑀=
𝐾1
⋅ (1 + 𝑗 ⋅ 𝑛)
𝐾0
𝐾1
⋅ (1 + 𝑗 ⋅ 𝑛)
𝐾0
1 𝐾
𝑖эфф = ( 1 ⋅ (1 + 𝑗 ⋅ 𝑛) − 1);
𝑛 𝐾
0
1
𝑖эфф = (𝑀 − 1);
𝑛
при 𝑛 = 1 год 𝑖эфф = 𝑀 − 1
𝑆𝑅𝑅 = 𝑃𝑅𝑅 ⋅
𝑀=
𝑛
𝐾1
⋅ (1 + 𝑗)𝑛
𝐾0
𝐾1
⋅ (1 + 𝑗)𝑛
𝐾0
𝐾
𝑖эфф = √ 1 ⋅ (1 + 𝑗) − 1;
𝐾
0
𝑛
𝑖эфф = √𝑀 − 1;
при 𝑛 = 1 год 𝑖эфф = 𝑀 − 1
Из формул в табл. 6 видно, что множитель наращения растет с
увеличением процентной ставки, срока депозита и конечного обменного
курса и убывает с ростом начального обменного курса.
Пример 20. Поместим 2000 долл. после конвертации на депозит под
простые проценты (𝑖=15%) сроком на 2 года. Курс продажи доллара на
начало срока депозита — 26 руб., курс покупки доллара в конце операции
— 34 руб. Ставка для долларового депозита 𝑗=5%. Сравним
30
эффективность данной операции с эффективностью непосредственного
помещения долларов на валютный депозит.
Решение
Вычислим наращенную суммы 𝑆𝐹𝐶 в иностранной валюте после
использования процедуры конвертации:
𝐾0
26
𝑆𝐹𝐶 = 𝑃𝐹𝐶 ⋅
⋅ (1 + 𝑖 ⋅ 𝑛) = 2000 ⋅
⋅ (1 + 0,15 ⋅ 2) = 1988,24 долл.
𝐾1
34
Непосредственное помещение долларов на валютный депозит даст
наращенную сумму в размере
𝑆𝐹𝐶 = 𝑃𝐹𝐶 ⋅ (1 + 𝑗 ⋅ 𝑛) = 2000 ⋅ (1 + 0,05 ⋅ 2) = 2200 долл.
Таким образом, выгоднее непосредственное помещение долларов на
валютный депозит.
Раздел 2 Финансовые потоки
2.1 Понятие финансового потока
В предыдущем разделе нами рассматривались случаи, когда начисление
процентов или дисконтирование производилось по отношению к одноразовому
вкладу (депозиту) или ссуде. Между тем оплата по заключенным сделкам может
предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во
времени и представляющих собой не что иное, как финансовый поток.
Финансовые потоки имеют довольно широкое распространение на
практике. Примерами финансовых потоков являются: выплата заработной
платы, оплата коммунальных платежей, арендная плата, выплаты в погашение
потребительского кредита, кредита банка, налоговые платежи компании,
регулярные взносы в пенсионный фонд и другие фонды, выплаты процентов по
ценным бумагам (акциям, облигациям и др.) и т. п. Практически любые
регулярные (и не регулярные) платежи представляют собой финансовые потоки.
Так что важность их изучения трудно переоценить.
Рассмотрим основные понятия.
Платеж Р, произведенный в момент времени 𝑡, назовем финансовым
событием. Таким образом, финансовое событие — это упорядоченная
пара (Р; 𝑡), состоящая из величины (суммы) платежа Р и момента платежа 𝑡.
Платежи могут быть со знаком «+» (поступления) или со знаком «-» (выплаты).
Конечная или бесконечная последовательность финансовых событий
(𝑡0 ; 𝑃0 ), (𝑡1 ; 𝑃1 ), (𝑡2 ; 𝑃2 ), … , (𝑡𝑛 ; 𝑃𝑛 )
называется (конечным или бесконечным) дискретным финансовым потоком.
Предполагается, что 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 <. . . < 𝑡𝑛 . В случае бесконечного потока
предполагается дополнительно, что 𝑡𝑘 неограниченно возрастает с ростом 𝑘.
31
Финансовые потоки обозначаются символом СF (cash flow - денежный
поток). Например, поток -платежей записывается в виде:
𝐶𝐹 = {(𝑡0 ; 𝑃0 ), (𝑡1 ; 𝑃1 ), (𝑡2 ; 𝑃2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; 𝑃𝑛 )}.
Графически финансовый поток может быть представлен различными
способами, одним из самых простых и практичных — точками на временной
оси с обозначением величин платежей (рис. 2.1).
0
Р0
Р1
Р2
……
Рn-1
Рn
t0
t1
t2
……
tn-1
tn
Рис. 2.1. Графическое изображение финансового потока
Финансовый поток можно охарактеризовать так называемой платежной
функцией, которая каждому моменту времени 𝑡 сопоставляет значение
денежной суммы С(𝑡) так, что С(𝑡𝑘 ) = 𝑃𝑘 и С(𝑡) = 0, если 𝑡 не совпадает ни с
одним из моментов 𝑡𝑘 , 𝑘 = 0,1,2, . ...
2.2 Приведенная и наращенная величины финансового потока
Пусть дан бесконечный финансовый поток:
𝐶𝐹 = {(𝑡0 ; 𝑃0 ), (𝑡1 ; 𝑃1 ), (𝑡2 ; 𝑃2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; 𝑃𝑛 ), … }.
Деньги имеют временную ценность, что не позволяет непосредственно
суммировать платежи, относящиеся к различным моментам времени. Для того
чтобы вычислить величину потока в какой-то момент времени 𝑡, необходимо
каждый платеж дисконтировать к этому моменту времени по некоторой
процентной ставке 𝑖, которая предполагается известной и неизменной для всего
потока, и затем суммировать эти дисконтированные платежи. Обычно
дисконтирование происходит по схеме сложных процентов.
Основными обобщающими показателями финансового потока являются
наращенная сумма и современная (текущая, или приведенная) величина.
Сумма всех платежей денежного потока, приведенных к некоторому моменту
времени t, называется текущим, или приведенным, значением потока (в момент
времени 𝑡) и обозначается PV(t) (present value — текущее значение), или просто PV,
и вычисляется по формуле:
𝑃𝑉(𝑡) =
𝑃0
(1+𝑖)𝑡0 −𝑡
+
𝑃1
(1+𝑖)𝑡1 −𝑡
+. . . +
𝑃𝑛
(1+𝑖)𝑡𝑛 −𝑡
+. ..
(2.1)
32
В случае бесконечного потока текущее значение считается определенным
лишь тогда, когда ряд в правой части (2.1) сходится.
Текущее значение потока в начальный момент времени (при t=0)
называется современной величиной потока, обозначается просто Р𝑉, и
вычисляется как
𝑃0
𝑃1
𝑃
𝑃𝑉 =
+. . . + 𝑛 𝑡𝑛 +. ..
(2.2)
𝑡0 +
𝑡1
(1+𝑖)
(1+𝑖)
(1+𝑖)
Современная величина потока показывает, какую сумму следовало бы
иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые
начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было
бы обеспечить получение наращенной суммы.
Для момента времени 𝑡 > 𝑡𝑛 получают величину, называемую будущим
накопленным значением потока, которую обозначают FV(t) (future value —
будущее значение), или просто FV и вычисляется по формуле:
𝐹𝑉(𝑡) = 𝑃0 (1 + 𝑖)𝑡−𝑡0 + 𝑃1 (1 + 𝑖)𝑡−𝑡1 +. . . +𝑃𝑛 (1 + 𝑖)𝑡−𝑡𝑛
(2.3)
В случае конечного потока его величина на момент последнего платежа
𝑡 = 𝑡𝑛 , называется конечной (наращенной) величиной потока, обозначается
просто 𝐹𝑉 и вычисляется как
𝐹𝑉 = 𝑃0 (1 + 𝑖)𝑡𝑛−𝑡0 + 𝑃1 (1 + 𝑖)𝑡𝑛−𝑡1 +. . . +𝑃𝑛−1 (1 + 𝑖)𝑡𝑛−𝑡𝑛−1 + 𝑃𝑛 (2.4)
Наращенная величина — это сумма всех членов потока платежей с
начисленными на них процентами на конец срока, т. е. на дату последней
выплаты. Она показывает, какую величину будет представлять капитал,
вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока вместе с
начисленными процентами.
Между будущей и конечной величинами потока существует взаимосвязь
𝐹𝑉(𝑡) = 𝐹𝑉(1 + 𝑖)𝑡−𝑡𝑛 .
(2.5)
Для конечного потока и моментов времени 𝜏 < 𝑡𝑛 и 𝑡 ≥ 𝑡𝑛 текущее
значение 𝑃𝑉(𝜏) и будущее значение 𝐹𝑉(𝑡) связаны соотношением
𝐹𝑉(𝑡) = 𝑃𝑉(𝜏) ∙ (1 + 𝑖)𝑡−𝜏 .
(2.6)
Обобщающие характеристики потоков платежей используются в
финансовом анализе при заключении различных коммерческих сделок, для
планирования
погашения
задолженности,
сравнения
эффективности
контрактов, имеющих различные условия их реализации.
Пример 21. Пусть CF= {(1; -1300), (2; 1500), (3; 2500)} - поток платежей. Найти
33
приведенную стоимость и наращенную величину потока при ставке 10% по схеме
сложных процентов.
Решение
Приведенная стоимость по формуле (2.1) для начала срока (t =0) равна
−1300
1500
2500
Р𝑉 = (1+0,1)1−0 + (1+0,1)2−0 + (1+0,1)3−0 = −1181,81 + 1239,67 + 1878,29 = 1936,15.
Наращенная величина потока к концу срока (t =3 ) по формуле (2.6) через
взаимосвязь приведенного значения Р𝑉(0)и будущего значения 𝐹𝑉(3) составляет
𝐹𝑉(3) = 𝑃𝑉(0) ∙ (1 + 0,1)3−0 = 1936,15 ⋅ 1,13 = 2577,02.
Пример 22. Приведите поток CF= {(1; 900), (2; -200), (5; 450), (7; 800)} к моменту
времени t = 3 при ставке 9%.
Решение
Воспользуемся формулой (2.1) для момента времени t = 3:
900
−200
450
800
𝑃𝑉(𝑡 = 3) =
+
+
+
=
(1 + 0,09)1−3 (1 + 0,09)2−3 (1 + 0,09)5−3 (1 + 0,09)7−3
450
800
=900 ⋅ 1,092 − 200 ⋅ 1,091 +
+
= 1796,79.
2
4
1,09
1,09
2.3 Средний срок финансового потока
Средним сроком конечного финансового потока относительно ставки
𝑖 называют такой момент времени 𝑡, для которого его текущее (приведенное)
значение будет равно простой сумме всех платежей 𝑃𝑉(𝑡) = 𝑃0 + 𝑃1 +. . . +𝑃𝑛 .
Тогда для среднего срока финансового потока имеем следующее
выражение (формула взвешенной средней арифметической из моментов
времени, где в качестве «весов» выступают величины платежей)
𝑡 ∙𝑃 +𝑡 ∙𝑃 +...+𝑡𝑛 ∙𝑃𝑛
𝑡̄ = 0 0 1 1
.
𝑃0 +𝑃1 +...+𝑃𝑛
(2.7)
Пример 23. Найти средний срок потока CF= {(0; 100), (1; 200), (2; 400), (3; 100)}.
Решение
𝑡̄ =
По формуле (2.7) имеем
0⋅100+1⋅200+2⋅400+3⋅100
1300
=
=
= 1,625.
𝑡0 𝑃0 +𝑡1 𝑃1 +...+𝑡𝑛 𝑃𝑛
𝑃0 +𝑃1 +...+𝑃𝑛
100+200+400+100
800
Отметим, что если все платежи положительные, то t 1 <t<t n , т.е. t лежит
между начальным и конечным моментами времени. В общем же случае (когда
платежи могут быть разных знаков) средний срок потока может лежать вне
временного интервала платежей.
34
2.4 Внутренняя норма доходности финансового потока
Внутренняя норма доходности является одним из важных понятий в теории
инвестиций.
Инвестиционный процесс, как пример финансового потока, может быть
представлен в виде
𝐶𝐹 = {(𝑡0 ; С0 ), (𝑡1 ; С1 ), (𝑡2 ; С2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; 𝐶𝑛 )}.
(2.8)
Величина 𝐶𝑘 (k=0, 1, 2, …, n) представляет собой баланс инвестиционных
затрат и чистого дохода за k-ый период, актуализированный на конец этого
периода. Отрицательный платеж (𝐶𝑘 < 0) означает, что инвестиционные затраты
превысили чистый доход, положительный платеж (𝐶𝑘 > 0) означает, что чистый
доход превысил инвестиционные затраты.
Чистый приведенный доход (NPV) может быть вычислен посредством
ставки приведения 𝑖 как текущая величина потока (2.8)
𝑁Р𝑉(𝑖) =
𝐶0
(1+𝑖)𝑡0
+
𝐶1
(1+𝑖)𝑡1
+. . . +
𝐶𝑛
(1+𝑖)𝑡𝑛
.
(2.9)
Если 𝑁𝑃𝑉(𝑖) < 0, это означает, что доходы не окупают затрат при принятой
норме доходности 𝑖.
В общем случае говорят, что финансовый поток обладает внутренней нормой
доходности (𝑖0 ), если уравнение NPV( i ) = 0 имеет единственное решение 𝑖0 > −1.
Корень этого уравнения 𝑖0 называется внутренней нормой доходности
финансового потока.
Таки образом, внутренняя норма доходности — это такая процентная ставка
(ставка дисконтирования), при которой чистый приведенный доход NPV
обращается в ноль. Внутренняя норма доходности определяет максимальную
доходность, выраженную в виде годовой процентной ставки, которую может
получить инвестор и при которой проект все еще остается выгодным, то есть
NPV> 0.
Рассмотрим зависимость величины чистого приведенного дохода 𝑁𝑃𝑉 от
ставки приведения (принятой нормы доходности) 𝑖.
1 случай:
Все затраты осуществляются в начальный момент времени, а затем инвестор
начинает получать доходы, т. е. финансовый поток будет иметь вид
𝐶𝐹 = {(0; −𝐾), (1; С1 ), (2; С2 ), . . . , (𝑛; 𝐶𝑛 )},
(2.10)
где 𝐾 > 0 начальные
инвестиции,
все
платежи
𝐶𝑘 (𝑘 =
1,2, . . . , 𝑛) неотрицательны, и среди них есть хотя бы один положительный.
Тогда зависимость 𝑁𝑃𝑉 от 𝑖 будет иметь выражение
35
𝑁𝑃𝑉(𝑖) = −𝐾 + ∑𝑛𝑘=1
𝐶𝑘
(1+𝑖)𝑡𝑘
(2.11)
.
При 𝑖 > −1 чистый приведенный доход NPV(i) является убывающей
функцией ставки приведения 𝑖 (рис. 2.2).
NPV
i0
-1
0
i
-K
Рис. 2.2. Зависимость чистого приведенного дохода от процентной ставки
Из рисунка видно, что при 𝑖 > −1 непрерывная функция NPV(i), убывая,
меняет знак с плюса на минус и обращается в ноль для некоторого значения 𝑖 = 𝑖0 .
Значение 𝑖0 соответствует внутренней норме доходности потока платежей. Это
значение служит границей процентных ставок, для которых проект имеет
положительную и отрицательную приведенную стоимость:
𝐶
𝐶
1) если 𝑖 = 𝑖0 , то 𝑁Р𝑉(𝑖) = −𝐾 + ∑𝑛𝑘=1 𝑘 𝑡𝑘 = 0 и 𝐾 = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 𝑡𝑘 , т. е.
(1+𝑖)
(1+𝑖)
нетто-сумма доходов равна сумме первоначальных инвестиций, т. е. вложения
инвестора окупились, но дополнительного дохода от проекта не получено;
𝐶
2) если 𝑖 > 𝑖0 , то NPV(i)<0, 𝐾 > ∑𝑛𝑘=1 𝑘 𝑡𝑘 , а значит нетто-сумма доходов
(1+𝑖)
меньше суммы первоначальных инвестиций, т. е. инвестор в результате понес
убыток;
𝐶
3) если 𝑖 < 𝑖0 , то NPV(i)>0 , 𝐾 < ∑𝑛𝑘=1 𝑘 𝑡𝑘 , а значит нетто-сумма доходов
(1+𝑖)
превосходит начальные инвестиции и проект принес доход.
Пример 23. Найти внутреннюю норму доходности потока
CF= {(0; -8000), (1; 6000), (2; 5000)}
Решение
Опираясь на формулу (2.11) составим уравнение:
36
−8000 + 6000(1 + 𝑖)−1 + 5000(1 + 𝑖)−2 = 0.
Выполним замену 𝑥 = (1 + 𝑖)−1 , получим квадратное уравнение:
5000𝑥 2 + 6000𝑥 − 8000 = 0 или 5𝑥 2 + 6𝑥 − 8 = 0.
Решая его, находим 𝑥 =
−6±√36+4⋅5⋅8
2⋅5
4
=
−3±7
.
5
Из двух корней 𝑥 = = 0,8 и 𝑥 = −2 подходит только первый.
5
Решая
уравнение:
(1 + 𝑖)−1 = 0,8,
получаем
𝑖0 = 1⁄4 = 0,25.
Следовательно, внутренняя норма доходности потока составляет 25%.
2 случай:
Рассмотрим произвольный финансовый поток
𝐶𝐹 = {(𝑡0 ; С0 ), (𝑡1 ; С1 ), (𝑡2 ; С2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; 𝐶𝑛 )},
в котором отрицательные платежи могут чередоваться с положительными,
предполагая, что он обладает внутренней нормой доходности, а так же 𝐶0 < 0 и
𝐶𝑛 > 0.
Представим данный поток в виде разности двух неотрицательных потоков
А и В:
𝐶𝐹 = А − В,
(2.12)
где
А = {(𝑡0 ; А0 ), (𝑡1 ; А1 ), (𝑡2 ; А2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; А𝑛 )},
В = {(𝑡0 ; В0 ), (𝑡1 ; В1 ), (𝑡2 ; В2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; В𝑛 )},
при этом А𝑘 = 𝑚𝑎𝑥(𝑡𝑘 ; 𝐶𝑘 ), 𝐵𝑘 = 𝑚𝑎𝑥(𝑡𝑘 ; −𝐶𝑘 ).
Пусть 𝜏А и 𝜏В - средние сроки потоков А и В, вычисляемые по формуле (2.7).
В этом случае уравнение NPV(i) = 0 будет иметь вид
𝐴0 +𝐴1 +...+𝐴𝑛
(1+𝑖)𝜏𝐴
=
𝐵0 +𝐵1 +...+𝐵𝑛
(1+𝑖)𝜏𝐵
.
(2.13)
Отсюда формула для вычисления внутренней нормы доходности будет иметь вид
1
𝑖=
𝐴 +𝐴 +...+𝐴 𝜏 −𝜏
( 𝐵0 +𝐵1+...+𝐵𝑛) 𝐴 𝐵
0
1
𝑛
− 1.
(2.14)
Пример 24. Найти внутреннюю норму доходности потока
CF= {(0; -8000), (1; 6000), (2; 5000)}, используя формулу (2.14)
Решение
Положим: А = {(0; 0), (1; 6000), (2; 5000)},
В = {(0; 8000), (1; 0), (2; 0)},
найдем средние сроки потоков по формуле (2.7):
37
𝜏А =
𝜏𝐵 =
0⋅0+1⋅6000+2⋅5000
0+6000+5000
0⋅8000+1⋅0+2⋅0
8000+0+0
=
16000
11000
=
16
11
= 1,45,
= 0.
По формуле (2.14)
1
𝑖0 =
6000+5000 1,45−0
( 8000 )
− 1 = 0,2456 ≈ 0,25.
Следовательно, внутренняя норма доходности потока, как и в примере 23,
составляет около 25%.
2.5 Регулярные потоки платежей – ренты. Виды рент. Основные
параметры и характеристики ренты
Поток положительных платежей, разделенных равными временными
интервалами, называется финансовой рентой, или просто рентой. Промежуток
времени между двумя последовательными платежами называют периодом ренты
(rent period, payment period). Считается, что каждый платеж производится либо в
начале соответствующего ему периода, либо в конце. В первом случае ренту
называют авансовой, или пренумерандо (annuity due), во втором — обыкновенной,
а так же подрасчетной, или рентой постнумерандо (ordinary annuity). Ренты с
конечным числом платежей называют конечными. Промежуток времени между
началом первого периода и окончанием последнего называется сроком (n)
конечной ренты. Ренты с бесконечным числом платежей (n=∞) называют
бесконечными, вечными, или перпетуитетами — (perpetuity). Если все платежи
равны между собой, ренту называют постоянной.
Рента описывается следующими параметрами:
–
размер отдельного платежа (R),
–
период и срок ренты (n),
–
процентная ставка (𝑖),
–
число платежей в году (при этом различают р-срочные ренты, непрерывные
ренты (𝑝 → ∞)),
–
метод начисления (различают простые, сложные и непрерывные проценты),
–
частота начисления процентов (различают ренты с ежегодным начислением
процентов (k=1), с начислением k раз в году (k-кратные ренты), с непрерывным
начислением (k=∞)).
В случае, когда период постоянной ренты равен одному году, т. е. платежи
производятся раз в год, ренту называют годовой, или аннуитетом (annuity).
Графическое изображение годовых постоянных рент пренумерандо и
постнумерандо представлено на рис. 2.3 и 2.4.
38
период ренты
R
R
R
R
……
R
0
1
2
3
……
n-1
n
срок ренты
Рис. 2.3. Конечная годовая постоянная рента пренумерандо
период ренты
0
R
R
R
……
R
R
1
2
3
……
n-1
n
срок ренты
Рис. 2.4. Конечная годовая постоянная рента постнумерандо
Когда рентный платеж R производится не единовременно (один раз в конце
годового периода), а разбит на
p одинаковых платежей, равномерно
распределенных в течение года, то соответствующий поток платежей будет иметь
вид:
𝐶𝐹 = {(𝑅⁄𝑝 , 1⁄𝑝), (𝑅⁄𝑝 , 2⁄𝑝), . . . , (𝑅 ⁄𝑝 , (𝑛 − 1)⁄𝑝), (𝑅⁄𝑝 , 𝑛)} (2.15)
и называется p-срочной рентой.
Пусть при этом начисление процентов производится k раз в году. Рассмотрим
случаи, когда k=1, k=p, k ≠ p:
1) p-срочная рента (случай k=1): в этом случае всего за n лет производится
n∙p платежей по R/p каждый и проценты начисляются на всю накопившуюся сумму
только один раз в году;
2) p-срочная рента (случай k≠p):
это наиболее общий случай, при
котором число членов ренты будет равно n∙p, платежи по R/p каждый и частота
начисления процентов не равна частоте платежей;
3) p-срочная рента (случай k=p):
число членов ренты будет равно числу
начислений процентов, платежи по R/k каждый. Этот случай наиболее часто
встречается на практике.
39
4) p-срочная рента с непрерывным начислением процентов: число членов
ренты будет равно n∙p, платежи по R/p каждый, при этом частота начисления
процентов будет ежедневной.
Если в случае p-срочной ренты перейти к пределу при p→∞, получим
непрерывный поток платежей с постоянной плотностью 𝜇(𝑡) = 𝑅, так называемую
непрерывную ренту.
Непрерывная рента с k-кратным начислением процентов представляет
собой непрерывный поток платежей, осуществляемых ежедневно, при этом на
накопившуюся сумму платежей проценты начисляются k раз в году.
Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов
представляет собой непрерывный поток платежей, осуществляемых ежедневно с
ежедневным начислением процентов на накопившуюся сумму платежей.
Важнейшими характеристиками рент являются показатели приведенной и
наращенной величин. Рассмотрим формулы и методику расчета этих величин для
случая годовой ренты постнумерандо.
Приведенная (современная) величина годовой ренты постнумерандо
равна:
𝐴=𝑅⋅
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
.
(2.16)
Множитель при 𝑅 в правой части формулы (2.16) называют
коэффициентом приведения годовой (обыкновенной) ренты постнумерандо. В
финансовых вычислениях его принято обозначать символом 𝑎(𝑛; 𝑖). Тогда
𝑎(𝑛; 𝑖) =
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
.
(2.17)
Коэффициент приведения показывает, во сколько раз современная
величина ренты больше величины годового платежа, т. е.
𝐴 = 𝑅 ⋅ 𝑎(𝑛; 𝑖).
(2.18)
Наращенная сумма S годовой ренты постнумерандо определяется
равенством:
𝑆=𝑅⋅
(1+𝑖)𝑛 −1
.
𝑖
(2.20)
Множитель R в правой части (2.19) называют коэффициентом наращения
годовой ренты постнумерандо и обозначают символом 𝑠(𝑛; 𝑖). Таким образом,
𝑠(𝑛; 𝑖) =
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
.
(2.21)
40
Коэффициент наращения ренты имеет смысл, аналогичный
коэффициенту приведения ренты: он показывает, во сколько раз наращенная
величина ренты больше величины платежа.
Из (2.20) следует, что коэффициент наращения аннуитета зависит только
от его срока (числа членов) и процентной ставки. При этом связь
коэффициентов наращения и приведения аннуитета имеет вид
𝑠(𝑛; 𝑖) = 𝑎(𝑛; 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 .
(2.21)
Коэффициенты 𝑎(𝑛; 𝑖) и 𝑠(𝑛; 𝑖) представляют собой приведенную и
наращенную суммы соответственно единичного аннуитета (R=1) вида
Н = {(0,0), (1,1), (1,2), . . . , (1, n)} .
(2.22)
Аналогичная связь существует и между приведенной и наращенной
величинами ренты постнумерандо может быть описана следующими
соотношениями
𝑆 = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 .
(2.23)
𝐴 = 𝑆 ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛 .
(2.24)
Пример 25. Определить размер начального вклада, который обеспечивал бы
ежегодное (в конце года) получение дохода в размере 1700 руб. в течение 19 лет, если
процентная ставка равна 11%.
Решение
Описываемая в условии задачи финансовая операция представляет собой
годовую (т.к. получение суммы ежегодное) ренту (т.к. сумма дохода постоянная с
одной и той же периодичностью) постнумерандо (т.к. получение каждой суммы
приходится на конец года).
Тогда выплата будет обеспечена (т.е. начальная сумма вклада будет при
заданной процентной ставке обеспечивать получение суммы не менее 1700 руб.),
если приведенная величина потока (ренты) будет равна этой сумме или по крайней
мере будет не менее ее величины. Для определения приведенной величины ренты
используем формулу (2.16)
1 − (1 + 0,11)−19
A = 1700 ⋅
= 13326,8 руб.
0,11
Таким образом, при первоначальном внесении суммы вклада не менее 13326,8
руб. под 11% годовых на период 19 лет вкладчик может рассчитывать на ежегодное в
течение 19 лет получение процентного дохода в размере 1700 руб.
Пример 26. Формируется фонд на основе ежегодных отчислений в сумме 8000 у.е.
41
с начислением на них сложных процентов по ставке 11% годовых. Определить
величину фонда через 10 лет.
Решение
Описываемая в условии задачи финансовая операция представляет собой
годовую (т.к. внесение суммы ежегодное) ренту (т.к. вносимая сумма постоянна с
одной и той же периодичностью). Поскольку в условии не уточнено, в конце или в
начале года осуществляется отчисление суммы, то примем традиционный способ
внесения средств в конце года, т.е. постнумерандо.
По условию задачи R = 8000 у.е., 𝑖= 0,11, п = 10. Тогда по формуле для
наращенной суммы годовой ренты постнумерандо (2.19) получаем
𝑆=𝑅⋅
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
= 8000 ⋅
(1+0,11)10 −1
0,11
= 133776,7 у. е.
Таким образом, через 10 лет фонд составит 133 776,7 у.е.
Рассмотрим формулы и методику расчета приведенной и наращенной
величин для случая годовой ренты пренумерандо.
Приведенная (современная) величина годовой ренты пренумерандо
равна:
−𝑛
1−(1+𝑖)
𝐴̈ = 𝑅 ⋅
𝑖
⋅ (1 + 𝑖).
(2.25)
Множитель при 𝑅 в правой части формулы (2.25) называют
коэффициентом приведения годовой ренты пренумерандо. В финансовых
вычислениях его принято обозначать символом 𝑎̈ (𝑛; 𝑖). Тогда
𝑎̈ (𝑛; 𝑖) =
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
⋅ (1 + 𝑖).
(2.26)
Коэффициент приведения ренты пренумерандо показывает, во сколько раз
современная величина ренты больше величины годовогоплатежа, т. е.
𝐴̈ = 𝑅 ⋅ 𝑎̈ (𝑛; 𝑖).
(2.27)
Наращенная сумма 𝑆̈ годовой ренты пренумерандо определяется
равенством:
(1+𝑖)
𝑆̈ = 𝑅 ⋅
𝑖
𝑛 −1
(1 + 𝑖).
(2.28)
Множитель при R в правой части (2.28) называют коэффициентом
наращения годовой ренты пренумерандо и обозначают символом 𝑠̈ (𝑛; 𝑖). Таким
образом,
42
𝑠̈ (𝑛; 𝑖) =
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
(1 + 𝑖).
(2.29)
Коэффициент наращения ренты пренумерандо имеет смысл,
аналогичный коэффициенту приведения такой ренты: он показывает, во сколько
раз наращенная величина ренты пренумерандо больше величины платежа.
Из (2.29) следует, что коэффициент наращения ренты пренумерандо
зависит только от его срока (числа членов) и процентной ставки. При этом связь
коэффициентов наращения и приведения ренты пренумерандо имеет вид
𝑠̈ (𝑛; 𝑖) = 𝑎̈ (𝑛; 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 .
(2.30)
Коэффициенты 𝑎̈ (𝑛; 𝑖) и 𝑠̈ (𝑛; 𝑖) представляют собой приведенную и
наращенную суммы соответственно единичной ренты пренумерандо (R=1) вида
Н = {(1,0), (1,1), (1,2), . . . , (0, 𝑛)} .
(2.31)
Аналогичная связь существует и между приведенной и наращенной
величинами ренты пренумерандо
𝑆̈ = 𝐴̈ ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 .
(2.32)
𝐴̈ = 𝑆̈ ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛 .
(2.33)
2.6 Коэффициенты приведения и наращения ренты постнумерандо за несколько
соседних периодов
Рассмотрим частный случай двух соседних периодов.
Пусть общий рассматриваемый срок равен 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 , тогда приведенная
величина ренты за этот период будет равна сумме приведенных величин рент за
каждый период А = А1 + А2 . При этом значение величины А2 необходимо привести
к началу первого периода путем дисконтирования по ставке 𝑖 с периодом 𝑛1 :
1
𝑅 ⋅ 𝑎(𝑛; 𝑖) = 𝑅 ⋅ 𝑎(𝑛1 ; 𝑖) + 𝑅 ⋅ 𝑎(𝑛2 ; 𝑖) ⋅
,
(2.34)
𝑛1
(1+𝑖)
Сократим обе части равенства на
R, получим формулу для определения
коэффициента приведения за два соседних периода:
𝑎(𝑛; 𝑖) = 𝑎(𝑛1 ; 𝑖) + 𝑎(𝑛2 ; 𝑖) ⋅ 𝜈 𝑛1 ,
где
𝜈=
1
1+𝑖
(2.35)
= (1 + 𝑖)−1 .
Наращенная величина ренты в этом случае будет равна сумме наращенных
величин рент за каждый период 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 . При этом значение величины 𝑆1
43
необходимо привести к концу второго периода путем наращения по ставке 𝑖 с
периодом 𝑛2 :
𝑅 ⋅ 𝑠(𝑛; 𝑖) = 𝑅 ⋅ 𝑠(𝑛1 ; 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛2 + 𝑅 ⋅ 𝑠(𝑛2 ; 𝑖),
(2.36)
Сократим обе части равенства на
R, получим формулу для определения
коэффициента наращения за два соседних периода:
где
𝜈=
1
1+𝑖
𝑠(𝑛; 𝑖) = 𝑠(𝑛1 ; 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛2 + 𝑠(𝑛2 ; 𝑖),
(2.37)
𝑠(𝑛; 𝑖) = 𝑠(𝑛1 ; 𝑖) ⋅ 𝜈 −𝑛2 + 𝑠(𝑛2 ; 𝑖),
(2.38)
= (1 + 𝑖)−1 .
Полученные выражения можно обобщить
(𝑘) соседних периодов 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 +. . . +𝑛𝑘 :
для
случая
нескольких
𝑎(𝑛; 𝑖) = 𝑎(𝑛1 ; 𝑖) + 𝑎(𝑛2 ; 𝑖) ⋅ 𝜈 𝑛1 + 𝑎(𝑛3 ; 𝑖) ⋅ 𝜈 𝑛1+𝑛2 +. . . +𝑎(𝑛𝑘 ; 𝑖) ⋅ 𝜈 𝑛1+...+𝑛𝑘−1 , (2.39)
𝑠(𝑛; 𝑖) =
𝑠(𝑛1 ;𝑖)
𝑛
2
𝜈 +𝑛3 +...+𝑛𝑘
+
𝑠(𝑛2 ;𝑖)
𝑛
3
𝜈 +𝑛4 +..+𝑛𝑘
+. . . +
𝑠(𝑛𝑘−1 ;𝑖)
𝜈𝑛𝑘
+ 𝑠(𝑛𝑘 ; 𝑖).
(2.40)
Пример 27. Найти коэффициенты приведения и наращения за три соседних
периода продолжительностью 1, 2 и 3 года соответственно при ставке 10%.
Решение
Сначала определим коэффициенты приведения для каждого периода по
формуле (2.17):
𝑎(𝑛1 ; 𝑖) =
𝑎(𝑛2 ; 𝑖) =
𝑎(𝑛3 ; 𝑖) =
1−(1+0,1)−1
0,1
1−(1+0,1)−2
0,1
1−(1+0,1)−3
0,1
= 0,909;
= 1,736;
= 2,487.
Далее по формуле (2.35) для 𝜈 = (1 + 0,1)−1 = 0,909 получаем коэффициент
приведения 𝑎(𝑛; 𝑖) = 0,909 + 1,736 ⋅ 0,9091 + 2,487 ⋅ 0,9091+2 = 4,355.
Проверим результат, вычисляя непосредственно коэффициент приведения по
формуле (2.17) для периода в целом 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 1 + 2 + 3 = 6:
𝑎(𝑛; 𝑖) =
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
=
1−(1+0,1)−6
0,1
= 4,355.
Вычислим коэффициент наращения, используя
коэффициентом приведения (2.21):
𝑠(𝑛; 𝑖) = 𝑎(𝑛; 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 = 4,355 ⋅ (1 + 0,1)6 = 7,715.
его
взаимосвязь
с
44
2.7 Расчет параметров ренты
Рассмотрим параметры, характеризующие ренту:
- размер отдельного платежа (R),
- срок ренты (п),
- процентную ставку (𝑖),
- наращенную сумму (S),
- приведенную величину ренты (А).
Эти величины являются зависимыми, поэтому одни из них можно выразить
через другие. Подобные расчеты применяются для нахождения неизвестных
параметров ренты. При этом возможны различные случаи (табл. 2.1).
Таблица 2.1 — Формулы для расчета параметров ренты
Искомый
параметр
Известные
параметры
Формула
1. Наращенная
сумма, S
п, 𝑖, R
𝑆 = 𝑅 ⋅ 𝑠(𝑛; 𝑖)
𝑠(𝑛; 𝑖) - коэффициент наращения
ренты, определяемый по формуле
(2.19)
2. Приведенная
величина, А
п, 𝑖, R
𝐴 = 𝑅 ⋅ 𝑎(𝑛; 𝑖)
𝑎(𝑛; 𝑖) - коэффициент приведения
ренты, определяемый по формуле
(2.16)
3. Срок ренты, п
A, 𝑖, R
4. Срок ренты, п
A, 𝑖, R
5. Срок ренты, п
S, 𝑖, R
𝑛 = [−
𝐴
ln(1 − 𝑅 ⋅ 𝑖)
знак [. . . ] означает целую часть
] получившегося числа
ln(1 + 𝑖)
𝑎(𝑛; 𝑖) =
𝑛=[
Комментарий
для значения 𝑎(𝑛; 𝑖) определяем по
формуле (2.16) для процентной
ставки 𝑖 срок ренты 𝑛
𝐴
𝑅
𝑆
ln(1 + 𝑅 ⋅ 𝑖)
ln(1 + 𝑖)
]
𝑆
𝑅
знак [. . . ] означает целую часть
получившегося числа
для значения 𝑠(𝑛; 𝑖) определяем по
формуле (2.19) для процентной
ставки 𝑖 срок ренты 𝑛
6. Срок ренты, п
S, 𝑖, R
𝑠(𝑛; 𝑖) =
7.Размер
отдельного
платежа, R
п, 𝑖, A
𝑅=
𝐴
𝑎(𝑛; 𝑖)
𝑎(𝑛; 𝑖) - коэффициент приведения
ренты, определяемый по формуле
(2.16)
п, 𝑖, S
𝑆
𝑅=
𝑠(𝑛; 𝑖)
𝑠(𝑛; 𝑖) - коэффициент наращения
ренты, определяемый по формуле
(2.19)
8.Размер
отдельного
платежа, R
9.Процентная
ставка, 𝑖
n, R, A
10.Процентная
ставка, 𝑖
n, R, S
Решить уравнение относительно 𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
невозможно, используется метод
𝐴=𝑅∙
𝑖
линейной интерполяции
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑆=𝑅∙
𝑖
Решить уравнение относительно
𝑖 невозможно, используется метод
линейной интерполяции
45
Метод линейной интерполяции:
1) по известным параметрам n, R, A (или n, R, S) определяют коэффициент
𝐴
𝑆
приведения 𝑎(𝑛; 𝑖) =
или наращения 𝑠(𝑛; 𝑖) = ;
𝑅
𝑅
2) при известных величинах 𝐴, 𝑅, 𝑎(𝑛; 𝑖) величина процентной ставки будет равна:
𝑖 = 𝑖н +
где
𝑎(𝑛;𝑖)−𝑎н
𝑎в −𝑎н
⋅ (𝑖в − 𝑖н ),
(2.41)
𝑖в и 𝑖н - верхнее и нижнее значения предполагаемой процентной ставки;
𝑎в и 𝑎н - значения коэффициентов приведения для верхнего и нижнего
значений предполагаемой процентной ставки;
3) при известных величинах 𝑆, 𝑅, 𝑠(𝑛; 𝑖) величина процентной ставки будет равна:
𝑖 = 𝑖н +
где
𝑠(𝑛;𝑖)−𝑠н
𝑠в −𝑠н
⋅ (𝑖в − 𝑖н ),
(2.42)
𝑖в и 𝑖н - верхнее и нижнее значения предполагаемой процентной ставки;
𝑠в и 𝑠н - значения коэффициентов наращения для верхнего и нижнего
значений предполагаемой процентной ставки.
Пример 28. Найти срок ренты постнумерандо, если известны S= 2000,
𝑖 =15%, R =100.
Решение
Воспользуемся формулой (п.5, табл. 2.1):
𝑛=[
𝑆
𝑅
ln(1+ ⋅𝑖)
ln(1+𝑖)
]=[
ln(1+
2000
⋅0,15)
100
ln(1+0,15)
]=[
ln4
ln(1,15)
] = [9,92] = 9.
Итак, срок ренты составляет 9 лет (если брать целую часть срока ренты), точнее,
9,9 лет.
Пример 29. Малое предприятие предполагает создать специальный фонд в
размере 1500 тыс. руб., для чего будет ежегодно вносить в банк 431,96 тыс. руб.
под 15% годовых. Определим срок, необходимый для создания фонда.
Решение
По условию известно: S= 1500 тыс. руб., 𝑖=15%, R =431,96 тыс. руб.
По формуле (п.5, табл. 2.1):
1500
𝑆
ln(1 +
⋅ 0,15)
ln(1 + ⋅ 𝑖)
0,41929
431,96
𝑅
𝑛=[
]=[
]=[
] = 3,0 года
ln(1 + 𝑖)
ln(1 + 0,15)
0,13976
Пример 30. Малое предприятие, решившее создать специальный фонд в размере
1500 тыс. руб. за 3 года, может выделить на эти цели в настоящее время 986,27
46
тыс. руб. Определим величину годового платежа при условии ставки 15% годовых.
Решение
По условию известно: S= 1500 тыс. руб., n=3 года, 𝑖=15%, А =986,27 тыс. руб.
Действительно, положив сумму 986,27 тыс. руб. в банк на 3 года под 15%
годовых, предприятие к концу срока получило бы по формуле (2.23)
𝑆 = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 = 986,27 ⋅ (1 + 0,15)3 = 1499,993тыс. руб. ≈ 1500тыс. руб.
Однако, отвлечение суммы в 986,27 тыс. руб. из хозяйственного оборота
нецелесообразно. Естественно, следует отдать предпочтение варианту внесения
ежегодных платежей, обеспечивающему через 3 года создание такого же фонда.
По формуле (п.7, табл. 2.1):
𝐴
986,27
986,27
𝑅=
=
=
= 431,96 тыс. руб.
𝑎(𝑛; 𝑖) 𝑎(3; 15) 2,2832
Пример 31. В течение 4 лет предполагается создать резервный фонд в размере
20,0 млн. руб., для чего будут производиться ежегодные взносы в банк в размере
4,0 млн. руб. Определим значение процентной ставки при условии, что взносы и
начисление на них процентов производятся в конце года.
Решение
По условию известно: S= 20 млн. руб., n=4 года, R =4,0 млн. руб.
По формуле (п. 6., табл. 2.1) найдем заданный коэффициент наращения ренты:
𝑆
20,0
𝑠(4; 𝑖) = =
= 5,0.
𝑅
4,0
Предположим, что величины наименьшей и наибольшей процентных ставок
должны иметь следующие значения: 𝑖н = 15%; 𝑖в = 15,5%.
Используя метод линейной интерполяции и формулу (2.42), определим
значение процентной ставки, по которой будет производиться начисление
процентов на рентные платежи:
5,0−4,993375
𝑖 = 0,15 +
⋅ (0,155 − 0,15) = 0,1509 или 15,09%.
5,029824−4,993375
Найдем коэффициент наращения годовой ренты по ставке 𝑖 = 15,09% (п.1,
табл. 2.1):
𝑆 = 𝑅 ⋅ 𝑠(4; 15,09) = 4,0 ⋅ 4,999919 = 19,99968 млн. руб.,
где 𝑠(𝑛; 𝑖) =
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
=
(1+0,1509)4 −1
0,1509
= 4,999919.
Таким образом, ставка 15,09% практически обеспечивает выполнение
поставленных условий.
2.8 Формулы для определения приведенной и наращенной величин, а так же их
взаимосвязь для разных видов рент постнумерандо
Расчет приведенной и наращенной величин различных видов рент требует
применения различной методики, учитывающей основные параметры для каждой
47
ренты. Формулы для выполнения подобных расчетов и соотношения,
показывающие взаимосвязь приведенной и наращенной величины каждого вида
ренты, представлены в табл. 2.2.
Таблица 2.2 — Приведенная и наращенная величины рент постнумерандо и их
взаимосвязь
Тип ренты
Приведенная величина А
Наращенная величина S
1−(1+𝑖)−𝑛
Годовая
Вечная
𝐴вечная =
𝐴
(𝑝)
(𝑝)
(𝑝)
𝑅 1 − (1 + 𝑖 ⁄𝑘 )−𝑘𝑛
⋅
;
𝑝 (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘⁄𝑝 − 1
взаимосвязь:
(𝑝)
= 𝑆𝑘 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)−𝑘𝑛
1−(1+𝑖⁄𝑘)−𝑘𝑛
𝐴𝑘=𝑝 = 𝑅 ⋅
;
𝑖
взаимосвязь:
(𝑝)
(𝑝)
𝐴𝑘=𝑝 = 𝑆𝑘=𝑝 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)−𝑘𝑛
p-срочная с
непрерывным
начислением
процентов
(𝑝)
𝑆𝑘
(𝑝)
=
(𝑝)
𝑆𝑘
𝐴
(∞)
(∞)
𝐴𝑘
(∞)
𝐴𝑘
ln(1+𝑖)
взаимосвязь:
(𝑝)
= 𝐴∞ ⋅ 𝑒 𝑛𝑖
взаимосвязь:
(∞)
= 𝑆𝑘 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)−𝑘𝑛
(∞)
1−𝑒 −𝑛𝑖
𝑆 (∞) = 𝑅 ⋅
;
1−(1+𝑖⁄𝑘)−𝑘𝑛
;
𝑘⋅ln(1+𝑖⁄𝑘)
𝐴∞ = 𝑅 ⋅ 𝑖 ;
взаимосвязь:
(∞)
(∞)
𝐴∞ = 𝑆∞ ⋅ 𝑒 −𝑛𝑖
𝑒 𝑛𝑖 −1
(𝑝)
(𝑝)
𝑆∞
взаимосвязь:
= 𝑆 (∞) ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛
=𝑅⋅
(1+𝑖⁄𝑘)𝑘𝑛 −1
𝑆∞ = 𝑅 ⋅ 𝑝(𝑒 𝑖⁄𝑝 −1);
взаимосвязь:
(𝑝)
= 𝑆∞ ⋅ 𝑒 −𝑛𝑖
Непрерывная
𝑅 (1 + 𝑖 ⁄𝑘 )𝑘𝑛 − 1
⋅
;
𝑝 (1 + 𝑖 ⁄𝑘 )𝑘⁄𝑝 − 1
взаимосвязь:
(𝑝)
= 𝐴𝑘 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘𝑛
(𝑝)
(𝑝)
𝐴∞
1−(1+𝑖)−𝑛
взаимосвязь:
= 𝐴(𝑝) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛
𝑆𝑘=𝑝 = 𝑅 ⋅
;
𝑖
взаимосвязь:
(𝑝)
(𝑝)
𝑆𝑘=𝑝 = 𝐴𝑘=𝑝 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘𝑛
𝐴∞ = 𝑅 ⋅ 𝑝(𝑒 𝑖⁄𝑝 −1);
𝐴(∞) = 𝑅 ⋅
Непрерывная с
непрерывным
начислением
процентов
𝑆
1−𝑒 −𝑛𝑖
(𝑝)
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑅
𝑆 (𝑝) = 𝑝 ⋅ (1+𝑖)1⁄𝑝 −1;
взаимосвязь:
= 𝑆 (𝑝) ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛
(𝑝)
Непрерывная
с k-кратным
начислением
процентов
𝑆вечная = ∞
𝐴𝑘 =
𝐴𝑘
k=p
𝑅
𝑖
𝐴(𝑝) = 𝑝 ⋅ (1+𝑖)1⁄𝑝 −1;
k=1
k≠p
𝑆=𝑅
;
𝑖
взаимосвязь:
𝑆 = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖)𝑛
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑅
p-срочная
рента
(1+𝑖)𝑛 −1
𝐴=𝑅
;
𝑖
взаимосвязь:
𝐴 = 𝑆 ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛
𝑆
(∞)
(∞)
𝑆𝑘
(∞)
𝑆𝑘
(1+𝑖)𝑛 −1
ln(1+𝑖)
;
взаимосвязь:
= 𝐴(∞) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛
=𝑅⋅
(1+𝑖⁄𝑘)𝑘𝑛 −1
𝑘⋅ln(1+𝑖⁄𝑘)
;
взаимосвязь:
(∞)
= 𝐴𝑘 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘𝑛
(∞)
𝑒 𝑛𝑖 −1
𝑆∞ = 𝑅 ⋅ 𝑖 ;
взаимосвязь:
(∞)
(∞)
𝑆∞ = 𝐴∞ ⋅ 𝑒 𝑛𝑖
48
Пример 32. Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого
года 2000 руб. бесконечно долго при сложной ставке 14% годовых.
Решение
По формуле для вечной ренты постнумерандо (табл. 2.2) определим
приведенную величину вклада
𝑅 2000
𝐴= =
= 14285,71 руб.
𝑖
0,14
Таким образом, положив на вклад 14 285,71 руб. под 14% годовых,
владелец вклада (и его наследники) будет получать 2000 руб. в конце каждого
года бесконечно долго.
Пример 33. Требуется вычислить наращенную величину 8-летней 15%-ной
непрерывной ренты с 12-кратным начислением процентов и рентным
платежом равным R =150.
Решение
По условию известно: непрерывная рента, i= 15% (0,15), n=8 лет, R =150,
k=12.
По формуле для непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов (табл.
2.2) 𝑆∞,𝑘 = 𝑅 ⋅
𝑆∞,12 = 150 ⋅
(1+𝑖 ⁄𝑘 )𝑘𝑛 −1
определим наращенную величину такой ренты:
𝑘⋅ln(1+𝑖 ⁄𝑘 )
(1+0,15⁄12)12⋅8 −1
12⋅ln(1+0,15⁄12)
= 150 ⋅
2,296
0,149
= 2311,41 .
2.9 Формулы для определения приведенной и наращенной величин, а так же их
взаимосвязь для разных видов рент пренумерандо
Как отмечалось выше, рентами пренумерандо называются ренты с
платежами в начале периодов. По сравнению с рентой постнумерандо начисления
на каждый член ренты (за исключением последнего) в данном случае выше в (1+i)
раз за счет начислений за первый период. Поэтому наращенная сумма годовой
ренты пренумерандо в (1+i) раз больше наращенной суммы годовой ренты
постнумерандо:
𝑆̈ = 𝑆 ⋅ (1 + 𝑖).
(2.43)
Аналогичные соотношения имеют место для приведенных величин годовых
рент:
Ӓ = А ⋅ (1 + 𝑖).
(2.44)
Коэффициенты приведения и наращения
постнумерандо связаны аналогичными выражениями:
𝑠̈ (𝑛; 𝑖) = 𝑠(𝑛; 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖),
𝑎̈ (𝑛; 𝑖) = 𝑎(𝑛; 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖).
рент
пренумерандо
и
(2.45)
(2.46)
Формулы для расчета приведенной и наращенной величин различных типов
рент пренумерандо и взаимосвязь между ними приведены в табл. 2.3.
49
Таблица 2.3 — Приведенная и наращенная величины рент пренумерандо
Тип ренты
Приведенная величина 𝐴̈
−𝑛
1−(1+𝑖)
𝐴̈ = 𝑅
⋅ (1 + 𝑖);
𝑖
взаимосвязь:
𝐴̈ = 𝑆̈ ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛
Годовая
Вечная
𝐴̈ =
k≠p
(1+𝑖) −1
𝑅
𝑆̈ (𝑝) = 𝑝 ⋅ (1+𝑖)1⁄𝑝 −1 ⋅ (1 + 𝑖)1⁄𝑝 ;
взаимосвязь:
(𝑝)
̈
𝐴 = 𝑆̈ (𝑝) ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛
взаимосвязь:
̈𝑆 (𝑝) = 𝐴̈(𝑝) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛
𝑅 1−(1+𝑖⁄𝑘)
(𝑝)
𝐴̈𝑘 = 𝑝 ⋅ (1+𝑖⁄𝑘)𝑘⁄𝑝 −1 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘⁄𝑝 ;
взаимосвязь:
(𝑝)
= 𝑆𝑘̈ ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)−𝑘𝑛
−𝑘𝑛
p-срочная с
непрерывным
начислением
процентов
𝑛
𝑅 1−(1+𝑖)
𝐴̈(𝑝) = 𝑝 ⋅ (1+𝑖)1⁄𝑝 −1 ⋅ (1 + 𝑖)1⁄𝑝 ;
(𝑝)
𝐴̈𝑘
k=p
1−(1+𝑖⁄𝑘)
(𝑝)
𝐴̈𝑘=𝑝 = 𝑅 ⋅
⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘);
𝑖
взаимосвязь:
(𝑝)
̈ (𝑝) ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)−𝑘𝑛
𝐴̈𝑘=𝑝 = 𝑆𝑘=𝑝
1 − 𝑒 −𝑛𝑖
⋅ 𝑒 𝑖⁄𝑝 ;
𝑝(𝑒 𝑖⁄𝑝 − 1)
взаимосвязь:
(𝑝)
̈ (𝑝) ⋅ 𝑒 −𝑛𝑖
𝐴̈∞ = 𝑆∞
(𝑝)
𝐴̈∞ = 𝑅 ⋅
𝑘𝑛
𝑅 (1+𝑖⁄𝑘) −1
(𝑝)
𝑆𝑘̈ = 𝑝 ⋅ (1+𝑖⁄𝑘)𝑘⁄𝑝 −1 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘⁄𝑝 ;
(𝑝)
𝑆𝑘̈
(1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘𝑛 − 1
⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘);
𝑖
взаимосвязь:
(𝑝)
(𝑝)
̈
𝑆𝑘=𝑝
= 𝐴̈𝑘=𝑝 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘𝑛
𝑒 𝑛𝑖 − 1
⋅ 𝑒 𝑖⁄𝑝 ;
𝑝(𝑒 𝑖⁄𝑝 − 1)
взаимосвязь:
(𝑝)
𝑛𝑖
̈ = 𝐴̈(𝑝)
𝑆∞
∞ ⋅𝑒
̈ (𝑝) = 𝑅 ⋅
𝑆∞
𝑛
1−(1+𝑖)
𝐴̈(∞) = 𝑅 ⋅ ln(1+𝑖) ;
(1+𝑖) −1
𝑆̈ (∞) = 𝑅 ⋅ ln(1+𝑖) ;
̈ (∞)
̈ (∞)
Непрерывная
𝐴
Непрерывная с
непрерывным
начислением
процентов
взаимосвязь:
(𝑝)
= 𝐴̈𝑘 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)𝑘𝑛
̈ (𝑝) = 𝑅 ⋅
𝑆𝑘=𝑝
−𝑛
Непрерывная
с k-кратным
начислением
процентов
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
⋅ (1 + 𝑖);
𝑖
взаимосвязь:
̈𝑆 = 𝐴̈ ⋅ (1 + 𝑖)𝑛
𝑆̈ = ∞
−𝑘𝑛
pсрочная
рента
𝑆̈ = 𝑅
𝑅
⋅ (1 + 𝑖)
𝑖
−𝑛
k=1
Наращенная величина 𝑆̈
взаимосвязь:
= 𝑆̈ (∞) ⋅ (1 + 𝑖)−𝑛
−𝑘𝑛
1−(1+𝑖⁄𝑘)
(∞)
𝐴̈𝑘 = 𝑅 ⋅ 𝑘⋅ln(1+𝑖⁄𝑘) ;
(∞)
𝐴̈𝑘
взаимосвязь:
(∞)
= 𝑆𝑘̈
⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘)−𝑘𝑛
−𝑛𝑖
1−𝑒
(∞)
𝐴̈∞ = 𝑅 ⋅ 𝑖 ;
взаимосвязь:
(∞)
̈ (∞) ⋅ 𝑒 −𝑛𝑖
𝐴̈∞ = 𝑆∞
𝑆
взаимосвязь:
= 𝐴̈(∞) ⋅ (1 + 𝑖)𝑛
𝑘𝑛
(1+𝑖⁄𝑘) −1
(∞)
𝑆𝑘̈
= 𝑅 ⋅ 𝑘⋅ln(1+𝑖⁄𝑘) ;
(∞)
𝑆𝑘̈
взаимосвязь:
(∞)
= 𝐴̈𝑘 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘 )𝑘𝑛
𝑛𝑖
̈ (∞) = 𝑅 ⋅ 𝑒 −1;
𝑆∞
𝑖
взаимосвязь:
𝑛𝑖
̈ (∞) = 𝐴̈(∞)
𝑆∞
∞ ⋅𝑒
Таким образом, для непрерывных рент понятия «пренумерандо» и
«постнумерандо» отсутствуют (или совпадают) в силу стремления к нулю
50
интервала между платежами.
2.10 Сравнение финансовых потоков и рент
Достаточно часто возникает необходимость выбора между несколькими
рентами с разными параметрами. Для осознанного решения задачи выбора
необходимо уметь сравнивать ренты. Та же проблема возникает и при сравнении
финансовых потоков более общего типа. Если сроки сравниваемых рент или
финансовых потоков одинаковы, то необходимо сравнивать наращенные величины
рент (потоков) и выбирать ту ренту (поток), наращенная величина которой больше.
Альтернативными способами выбора рент является сравнение их
современных (дисконтированных к начальному моменту времени) или
приведенных (дисконтированных к некоторому другому моменту времени между
начальным и конечным моментами) величин.
Рассмотрим два потока:
𝐶𝐹1 = {(𝑡0 ; Р0 ), (𝑡1 ; Р1 ), (𝑡2 ; Р2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; Р𝑛 )}
и
𝐶𝐹2 = {(𝑡0 ; 𝑄0 ), (𝑡1 ; 𝑄1 ), (𝑡2 ; 𝑄2 ), . . . , (𝑡𝑛 ; 𝑄𝑛 )}.
Пусть они отличаются лишь размерами платежей Р𝑖 и 𝑄𝑖 .
Если сравнивать современные величины этих потоков, то результат сравнения
в общем случае будет зависеть от ставки дисконтирования, т. е. при одной
процентной ставке предпочтительным может оказаться первый поток, а при другой
— второй поток. При некоторых условиях современная величина первого потока
будет больше современной величины второго потока при любой ставке
дисконтирования.
Очевидным достаточным условием этого является выполнение неравенств
Р𝑖 ≥ 𝑄𝑖 для всех 𝑖. Еще одним достаточным условием предпочтительности
первого потока является Р ≥ 𝑄, где Р = ∑𝑛𝑖=0 𝑃𝑖 , 𝑄 = ∑𝑛𝑖=0 𝑄𝑖 . Существуют и
другие более слабые достаточные условия.
При выборе рент необходимо сравнивать наращенные величины и выбирать
ту из них, величина которой больше.
Величина наращенной суммы ренты зависит от периода ренты (p) и
частоты начисления процентов (k). Если эти параметры ввести в качестве
аргументов наращенной суммы ренты, то ее можно обозначить как 𝑆(𝑝, 𝑘). Таким
образом, 𝑆(𝑝, 𝑘)- наращенная сумма p-срочной ренты с начислением процентов k раз
в году.
Для рент с одинаковыми сроками (n), членами (𝑅) и размерами процентных
ставок (𝑖), отличающихся только двумя характеристиками — кратностью ренты и
частотой начисления процентов из рассмотренных в предыдущих пунктах
формул, можно получить ряд соотношений, полезных при предварительной оценке
соглашения о ренте (предпочтительном выборе ренты):
51
обозначим:
𝑆(1,1)- наращенная сумма годовой ренты с ежегодным начислением процентов;
𝑆(1, 𝑘)- наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов k раз в году;
𝑆(1, ∞)- наращенная сумма годовой ренты с непрерывным начислением процентов;
𝑆(𝑝, 1)- наращенная сумма p-срочной ренты с ежегодным начислением процентов;
𝑆(𝑝, 𝑘)- наращенная сумма p-срочной ренты с начислением процентов k раз в году;
𝑆(𝑝, ∞)- наращенная сумма p-срочной ренты с непрерывным начислением
процентов.
Тогда можно записать следующее неравенство, отражающее соотношение
этих величин:
𝑆(1,1) < 𝑆(1, 𝑘)(𝑘>1) < 𝑆(1, ∞) < 𝑆(𝑝, 1)(𝑝>1) < 𝑆(𝑝, 𝑘)(𝑝>𝑘>1) <
< 𝑆(𝑝, 𝑘)(𝑝=𝑘>1) < 𝑆(𝑝, 𝑘)(𝑘>𝑝>1) < 𝑆(𝑝, ∞)
(2.47)
Данные неравенства могут быть использованы при выборе условий
контрактов, т. к. позволяют заранее (до расчетов) получить представление о
результатах, связанных с конкретными условиями. Например, можно заранее
сказать, что рента с условиями: 𝑆(𝑝 = 2, 𝑘 = 4) дает меньшую наращенную сумму,
чем рента с условиями: 𝑆(𝑝 = 4, 𝑘 = 2) при прочих равных условиях, а занчит
предпочтительнее вторая рента.
Выводы по неравенствам:
1) p-срочная рента дает большую наращенную сумму, чем годовая рента, при
любой частоте начисления процентов;
2) чем выше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма ренты;
3) рента с непрерывным начислением процентов вне зависимости от ее срочности
дает большую наращенную сумму;
4) ренты с частотой начисления процентов равной кратности (k=p)
предпочтительней ренты с кратностью больше частоты начисления процентов
(p>k), но менее предпочтительны, чем ренты с кратностью больше частоты
начисления процентов (k>p);
5) из всех вариантов рент с прочими равными условиями предпочтительнее (дает
большую наращенную сумму) p-срочная рента с непрерывным начислением
процентов.
2.11 Конверсия рент
На практике часто сталкиваются с ситуациями, когда возникает
необходимость изменить условия выплаты ренты, заменить одну ренту другой либо
разовым платежом, либо, наоборот, заменить разовый платеж рентой, а так же
заменить несколько рент с разными параметрами одной. Во всех этих случаях
производится конверсия рент (изменение финансовых обязательств), которая
должна быть осуществлена с соблюдением правила конверсии рент: современные
величины старой (старых) и новой (новых) рент должны быть равны. Это следует
из предположения, что конверсия рент не должна менять финансового положения
52
сторон, т. е. должен соблюдаться принцип финансовой эквивалентности (принцип
финансовой справедливости).
Алгоритм расчета параметров новой ренты:
1. Определяется современная величина старой (старых) рент.
2. В случае объединения рент эти величины складываются и дают
современную величину новой ренты.
3. Зная современную величину новой ренты, по методу описанному выше,
рассчитываются параметры новой ренты, такие как размер отдельного платежа (R),
срок ренты (n) и процентная ставка (i).
Рассмотрим такие варианты конверсии рент, как:
- изменение параметров ренты;
- замена одной ренты другой;
- выкуп ренты (замена ренты разовым платежом);
- рассрочка платежа (замена разового платежа рентой);
- консолидация рент (т. е. их объединение, замена нескольких рент с разными
параметрами одной рентой).
1. Изменение параметров ренты
На практике довольно часто возникает потребность в изменении параметров
ренты. Например, надо изменить срок ренты или величину рентного платежа либо
изменить частоту выплат (срочность ренты) и т. д. Все подобные изменения должны
осуществляться согласно принципу финансовой эквивалентности, т. е. как бы ни
были изменены параметры ренты, современная величина ренты должна оставаться
неизменной.
Алгоритм расчета параметров новой ренты:
1) определяется приведенная величина старой ренты, которая берется
равной приведенной величине новой ренты;
2) задаются все параметры новой ренты (по согласованию сторон,
заключающих контракт), кроме одного;
3) из уравнения эквивалентности А1 = А2 вычисляют недостающий
параметр новой ренты (табл. 2.1).
Этот случай в практике считается самым простым. Рассмотрим случай, когда
необходимо заменить годовую ренту p-срочной либо наоборот.
2. Замена годовой ренты p-срочной рентой
Возможны несколько вариантов.
Вариант 1: замена годовой ренты с параметрами (𝑅1, 𝑛1 ) p-кратной рентой с
параметрами (𝑅2, 𝑛2, 𝑝) с одинаковой процентной ставкой 𝑖.
Приравняем современные величины старой и новой рент:
(𝑝)
𝑅1 ⋅ 𝑎(𝑛1;𝑖) = 𝑅2 ⋅ 𝑎(𝑛2;𝑖) .
(2.48)
53
Из этого уравнения можно найти: величину платежа срочной ренты 𝑅2 , если
заданы ее срок 𝑛2 и срочность 𝑝:
𝑅2 = 𝑅1 ⋅
𝑎(𝑛1 ;𝑖)
.
(𝑝)
𝑎(𝑛 ;𝑖)
2
(2.49)
Если решить это уравнение относительно 𝑛2 , получим
𝑛2 =
где 𝐴1 = 𝑅1 ⋅
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
𝐴
ln[1− 1 ⋅[(1+𝑖)1⁄𝑝 −1]]−1
𝑅2
,
ln(1+𝑖)
(2.50)
.
Вариант 2: замена годовой ренты с параметрами (𝑅1, 𝑛) p-кратной рентой с
параметрами (𝑅2, 𝑛, 𝑝) с одинаковыми процентной ставкой 𝑖 и сроком 𝑛. Т.е. ренты
отличаются только периодичностью рентных платежей (один платеж в год для
первой ренты и p платежей в год для второй ренты). Тогда можно найти величину
платежа срочной ренты 𝑅2 :
𝑅2 = 𝑅1 ⋅
𝑝[(1+𝑖)1⁄𝑝 −1]
𝑖
.
(2.51)
Пример 34. Заменить обычную (годовую) ренту с параметрами:
𝑅1 = 200, 𝑛 = 5, 𝑖 = 10%
срочной (квартальной) рентой с параметрами: 𝑅2 = 100, 𝑖 = 10%.
Решение
По формуле (2.50) найдем приведенную величину годовой ренты:
𝐴1 = 𝑅1 ⋅
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
= 200 ⋅
1−(1+0,1)−5
0,1
= 785,16.
Далее по формуле (2.50) найдем срок квартальной ренты (p =4):
𝑛2 =
ln[1−
785,16
⋅[(1+0,1)1⁄4 −1]]−1
100
ln(1+0,1)
=
0,2019
0,0953
= 2,13года.
Таким образом, годовую 5-ти летнюю ренту с платежом 200 руб. и
процентной ставкой 10%, можно заменить квартальной рентой с платежом 100 руб.
при том же уровне процентной ставки, срок которой будет меньше и составит 2,13
года.
3. Замена немедленной ренты отсроченной
Немедленная рента — это рента, выплаты по которой производятся в
настоящее время (в начале или конце периодов). Например, страхование годового
дохода, выплата которого начинается сразу после заключения договора
страхования. Отсроченная рента — это рента, начало выплат которой отложено
54
на некоторое время t. Например, страхование годового дохода, выплата которого
начинается через определенное число лет после заключения договора
страхования.
Пусть немедленная рента имеет параметры (𝑅1, 𝑛1 ), а отсроченная (𝑅2, 𝑛2, 𝑡). Приравняем современные величины старой и новой рент:
𝑅1 ⋅ 𝑎(𝑛1;𝑖) = 𝑅2 ⋅ 𝑎(𝑛2;𝑖) ⋅ 𝜈 𝑡 ,
(2.52)
где
𝜈 𝑡 = (1 + 𝑖)−𝑡 .
Из этого уравнения можно найти:
1) величину платежа отсроченной ренты 𝑅2 , если заданы ее срок 𝑛2 и
продолжительность отсрочки t:
𝑎(𝑛 ;𝑖)
𝑅2 = 𝑅1 ⋅ 1 ⋅ (1 + 𝑖)𝑡 .
(2.53)
𝑎(𝑛2 ;𝑖)
Если сроки обеих рент равны 𝑛1 = 𝑛2 = 𝑛, их платежи будут связаны
соотношением:
𝑅2 = 𝑅1 ⋅ (1 + 𝑖)𝑡 ,
(2.54)
т. е. член отсроченной ренты равен наращенному за время отсрочки t члену
немедленной ренты.
2) срок ренты 𝑛2 , если величины платежей равны 𝑅1 = 𝑅2 (что чаще имет место на
практике) и известна продолжительность отсрочки t:
𝑛2 =
ln[1−[1−(1+𝑖)−𝑛1 ]⋅(1+𝑖)𝑡 ]
ln(1+𝑖)
.
(2.55)
4. Консолидация рент
При замене нескольких (k) рент одной равенство современных величин
старых и новой рент будет иметь вид:
А = ∑𝑘𝑗=1 𝐴𝑗 .
(2.56)
Это равенство позволяет найти только один параметр консолидирующей
ренты (член ренты либо ее срок), при этом все остальные ее параметры должны
быть заданы:
1) для ренты постнумерандо со сроком n член ренты R будет определяться по
формуле:
𝑅=
где 𝑎(𝑛; 𝑖) =
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
∑𝑘
𝑗=1 А𝑗
𝑎(𝑛;𝑖)
,
(2.57)
.
2) для консолидирующей ренты постнумерандо срок n будет определяться по
55
формуле:
𝑛=
−ln(1+
𝑖⋅∑𝑘
𝑗=1 А𝑗
)
𝑅
ln(1+𝑖)
.
(2.58)
Важным частным случаем консолидации рент является ситуация, когда член
консолидирующей ренты равен сумме членов заменяемых рент. При одинаковой
процентной ставке всех рент из условия финансовой эквивалентности получим:
𝑅⋅
1−(1+𝑖)−𝑛
=
𝑖
−𝑛𝑗
]
∑𝑘
𝑗=1 𝑅𝑗 ⋅[1−(1+𝑖)
𝑖
,
(2.59)
откуда срок консолидирующей ренты будет равен:
𝑛=
ln𝑅−ln[∑𝑘
𝑗=1 𝑅𝑗 ∙(1+𝑖)
ln(1+𝑖)
−𝑛𝑗
]
.
(2.60)
Пример 35. Объединяются три ренты со сроками:
𝑛1 = 7лет, 𝑛2 = 4года, 𝑛3 = 9лет;
члены рент равны между собой 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 0,5 млн. руб.; процентные
ставки так же равны 𝑖 = 8%. Член консолидирующей ренты установлен в размере
𝑅 = 1,5млн. руб.; процентная ставка сохраняется, 𝑖 = 8%. Определим срок новой
ренты.
Решение
Здесь имеет место частный случай консолидации рент, когда член
консолидирующей ренты равен сумме членов заменяемых рент, при одинаковой
процентной ставке всех рент. Поэтому воспользуемся формулой (2.60):
ln𝑅 − ln[∑𝑘𝑗=1 𝑅𝑗 ∙ (1 + 𝑖)−𝑛𝑗 ]
𝑛=
=
ln(1 + 𝑖)
ln1,5 − ln(1,5 ⋅ 1,08−7 + 1,5 ⋅ 1,08−4 + 1,5 ⋅ 1,08−9 )
=
= 6,5025 года.
ln1,08
Округляем срок ренты до 6 лет, а компенсацию разности предусматриваем в
сумме современных величин.
5. Выкуп ренты
Выкуп
ренты
представляет
собой
замену
предстоящей
последовательности выплат единовременным платежом. Из принципа
финансовой эквивалентности следует, что в этом случае вместо ренты
выплачивается ее современная величина, т. е. единовременный платеж P
должен быть равен современной величине выкупаемой ренты А:
𝐴=𝑅⋅
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
= 𝑃.
(2.61)
56
По этой формуле определяется величина единовременного платежа при
известных параметрах выкупаемой ренты: размере отдельного платежа, сроке
ренты и процентной ставке.
Пример 36. Требуется заменить две ренты постнумерандо с параметрами:
𝑅1 = 200, 𝑛1 = 4, 𝑖1 = 12%, 𝑅2 = 250, 𝑛2 = 6, 𝑖2 = 14%
разовым платежом в момент времени 𝑛 = 4, при 𝑖 = 15%.
Решение
Вначале найдем приведенные величины обеих рент:
𝐴1 = 𝑅1 ⋅
𝐴2 = 𝑅2 ⋅
1−(1+𝑖1 )−𝑛1
𝑖1
1−(1+𝑖2 )−𝑛2
𝑖2
= 200 ⋅
= 250 ⋅
1−(1+0,12)−4
0,12
1−(1+0,14)−6
0,14
= 200 ⋅ 3,037 = 607,47;
= 250 ⋅ 3,889 = 972,17.
Определим сумму приведенных величин обеих рент:
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = 607,47 + 972,17 = 1579,64.
Эта сумма должна равняться единовременному платежу, величина
которого должна быть дисконтирована к начальному периоду времени 𝑛 =
4, при 𝑖 = 15%:
𝑃
𝐴=
.
(2.62)
𝑛
(1+𝑖)
Тогда 𝑃 = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖)𝑛 = 1579,64 ⋅ (1 + 0,15)4 = 2762,80.
6. Рассрочка платежа
Рассрочка платежа - это замена единовременного платежа (долга)
аннуитетом (годовой рентой). При этом задаются все параметры ренты, кроме
одного, а этот неизвестный параметр определяется из условия равенства долга
современной величине вводимой годовой ренты:
𝑃=𝐴=𝑅⋅
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
.
(2.63)
В случае замены единовременного платежа p-срочной рентой
постнумерандо с начислением процентов один раз в год, формула равенства
платежа современной величине вводимой ренты будет иметь вид:
𝑅
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑝
(1+𝑖)1⁄𝑝 −1
Р = 𝐴(𝑝) = ⋅
,
(2.64)
Пример 37. Фирма предлагает покупателю свою продукцию на сумму 2,0 млн. руб. с
условием ее оплаты в рассрочку в течение 2 лет под 15% годовых (сложные
проценты). Платежи должны вноситься ежеквартально, проценты начисляются
к конце года. Определим условия конверсии данного предложения (величину
годового рентного платежа, квартального платежа и сумму, которую получит
57
фирма после окончательного расчета с покупателем (наращенную сумму)).
Решение
Предлагаемые условия кредита являются финансовой рентой с параметрами:
𝑃 = А = 2,0 млн. руб. , 𝑛 = 2года, 𝑖 = 15%, 𝑝 = 4(ежеквартально),
𝑘 = 1 (1 раз в год).
Воспользуемся формулой (2.64) и определим величину годового рентного
платежа:
𝑅
1−(1+0,15)−2
4
(1+0,15)1⁄4 −1
2,0
2,0 = ⋅
тогда 𝑅 =
1,7145
= 𝑅 ⋅ 1,7145,
= 1,1665 млн. руб.
Квартальный платеж составит:
𝑅 1,1665
=
= 0,29163 млн. руб. = 291,63 тыс. руб.
4
4
Сумма всех членов ренты, т. е. сумма, которую получит фирма после
окончательного расчета с покупателем, будет определяться по формуле
𝑅
𝑆 (𝑝) = ⋅
𝑝
(1+𝑖)𝑛 −1
.
(1+𝑖)1⁄𝑝 −1
1,1665 (1+0,15)2 −1
Откуда 𝑆 =
4
⋅ (1+0,15)1⁄4
−1
= 2,646 млн. руб.
Таким образом, покупатель имеет право выбрать один из двух вариантов, т. е.
заплатить сразу 2 млн. руб. или в рассрочку, но 2,646 млн. руб.
Пример 2.38. Предлагается к продаже объект недвижимости стоимостью 2,0
млн. руб. Продавец выставил условия продажи: стоимость объекта погашается
ежегодными равными платежами, вносимыми в конце года; срок погашения — 4
года; годовая процентная ставка — 6%, проценты начисляются один раз в год.
Покупатель предложил свои условия: платежи производятся два раза в год;
проценты так же начисляются два раза в год; годовая процентная ставка — 8%;
срок выплаты — 6 лет. Сравним финансовые последствия выставленных условий
(величины рентных платежей, предложенных продавцом и покупателем, а так же
значения наращенных в каждом случае величин рент).
Решение
Предлагаемые продавцом условия кредита являются обыкновенной годовой
финансовой рентой постнумерандо с параметрами:
А1 = 2,0 млн. руб. , 𝑛1 = 4года, 𝑖1 = 6%, 𝑘1 = 1(1 раз в год).
Для определения величины рентного платежа воспользуемся формулой из
1−(1+𝑖)−𝑛
табл. 2.2 для годовой ренты: 𝐴 = 𝑅 ⋅ 𝑎(𝑛; 𝑖) = 𝑅
.
𝑖
Отсюда рентный платеж, предложенный продавцом будет равен:
𝐴1
2,0
2,0
𝑅1 =
=
=
= 0,577 млн. руб.
−4
𝑎(𝑛1 ; 𝑖1 ) 1 − (1 + 0,06)
3,4651
0,06
Величина наращенной суммы, т. е. суммы, которую получит продавец при
58
принятии покупателем его условий, можно определить по формуле 𝑆 = 𝑅 ⋅
Тогда 𝑆1 = 0,577 ∙
(1+0,06)4 −1
0,06
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
.
= 0,577 ⋅ 4,375 = 2,524 млн. руб.
Предлагаемые покупателем условия кредита являются p-срочной
(двукратной) финансовой рентой постнумерандо с двукратным начислением
процентов с параметрами:
А2 = 2,0 млн. руб. , 𝑛2 = 6лет, 𝑖2 = 8%, 𝑝 = 2, 𝑘2 = 2(2 раза в год).
Для определения величины рентного платежа воспользуемся формулой из
1−(1+𝑖 ⁄𝑘 )−𝑘𝑛
(𝑝)
табл. 2.2 для случая p-срочной ренты при условии p=k: 𝐴𝑘=𝑝 = 𝑅 ⋅
.
𝑖
Отсюда годовой рентный платеж, предложенный покупателем будет равен:
𝑅2 = 2,0:
1−(1+0,08⁄2)−2⋅6
0,08
= 0,426 млн. руб., тогда при условии внесения суммы
платежа два раза в год, его величина будет равна 0,426:2=0,213 млн. руб.
Величина наращенной суммы, т. е. суммы, которую получит продавец на
условиях, предложенных покупателем, можно определить по формуле из табл. 2.2
(𝑝)
для случая p-срочной ренты при условии p=k: 𝑆𝑘=𝑝 = 𝑅 ⋅
Тогда 𝑆2 = 0,426 ⋅
(1+0,08⁄2)2⋅6 −1
0,08
(1+𝑖 ⁄𝑘 )𝑘𝑛 −1
𝑖
.
= 3,201 млн. руб.
Вывод: условия кредита, предложенные покупателем выгодны не только самому
покупателю (т. к. ежегодный рентный платеж в этом случае меньше на 0,5770,426=0,151 млн. руб.), но и продавцу (т. к. в итоге, процентный доход, который он
получит на условиях, предложенных покупателем, составит 3,201-2,0=1,201 млн.
руб. против дохода в размере 2,524-2,0=0,524 млн. руб., который он может ожидать в
случае принятия покупателем его условий).
59
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ
Задания к контрольной работе составлены в двадцати вариантах,
выбор которых зависит от последней цифры номера зачетной книжки и
первой буквы фамилии студента. Работа, не отвечающая обязательному для
студента варианту, не будет учитываться. В каждый вариант контрольной
работы входит решение 28 задач по основным темам курса.
Выбор варианта контрольной работы
Последняя цифра номера
зачетной книжки
Начальная буква фамилии
А
Л
Х
Б
М
Ц
В
Н
Ч
Г
О
Ш
Д
П
Щ
Е
Р
Э
Ж
С
Ю
З
Т
Я
И
У
К
Ф
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
20
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
6
19
20
11
12
13
14
15
16
17
18
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
18
19
20
11
12
13
14
15
16
17
9
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
0
17
18
19
20
11
12
13
14
15
16
Указания по оформлению контрольной работы
1. Работа должна быть представлена в срок, установленный графиком
сессии и преподавателем, ведущим дисциплину.
2. Приступать к выполнению контрольной работы следует после
изучения материала по соответствующим темам курса и описанных ниже
методических указаний.
3. Перед решением каждой задачи необходимо привести ее условие.
4. Производимые при решении задач расчеты должны приводиться
полностью, с использованием расчетных формул, вычислений и пояснений
к ним.
5. Расчеты относительных величин необходимо производить с
точностью до 0,001, а в процентном выражении – до 0,1.
6. Работа должна быть оформлена в печатном или рукописном
варианте, аккуратно, страницы пронумерованы, в конце работы следует
указать список использованных литературных источников.
60
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Раздел 1. Теория процентов
Задача 1
Ссуда в размере А руб. выдана на срок с x1 (дата выдачи ссуды) по x 2
(дата погашения ссуды) под i % годовых. По данным табл. 1 определите
величину долга в конце срока погашения тремя методами (365/365;
365/360; 360/360). Для решения используйте схему начисления:
- простых процентов, если № варианта — четный;
- сложных процентов, если № варианта — нечетный.
Таблица 1 — Исходные значения переменных A , x1 , x 2 и i по вариантам
№
варианта
А
i
№
варианта
А
x1
x2
i
1
120 000
10.01 15.04
5,0
11
150 000
13.05
29.10
10,0
2
100 000
13.01 19.05
5,5
12
200 000
02.06
20.12
10,5
3
52 000
02.02 20.06
6,0
13
58 000
17.03
14.09
11,0
4
30 000
10.02 15.06
6,5
14
80 000
12.07
29.12
11,5
5
55 000
13.03 29.08
7,0
15
25 000
02.08
20.11
12,0
6
90 000
02.04 20.08
7,5
16
110 000
08.04
28.11
12,5
7
140 000
17.01 14.05
8,0
17
240 000
10.03
19.09
13,0
8
70 000
12.05 29.09
8,5
18
170 000
13.04
19.10
13,5
9
45 000
02.06 20.11
9,0
19
145 000
02.03
20.12
14,0
10
60 000
08.06 28.12
9,5
20
160 000
10.06
15.08
14,5
x1
x2
Задача 2
Какую сумму следует положить на депозит числа x1 (дата открытия
счета) под i % годовых, чтобы числа x 2 (дата закрытия счета) накопить
сумму А у.е., если используются:
а) точные проценты (К=365);
б) обыкновенные проценты (К=360).
Исходные данные для разных вариантов приведены в табл. 2.
Для решения используйте схему начисления:
- простых процентов, если № варианта — нечетный;
- сложных процентов, если № варианта — четный.
61
Таблица 2 — Исходные значения переменных x1 , x 2 , i и A по вариантам
№ варианта
x2
x1
i
А
№ варианта
x1
x2
i
А
1
13.05 29.10 10,0
12 000
11
10.01 15.04
5,0
15 000
2
02.06 20.12 10,5
10 000
12
13.01 19.05
5,5
20 000
3
17.03 14.09
11,0
5 000
13
02.02 20.06
6,0
8 000
4
12.07 29.12
11,5
3 000
14
10.02 15.06
6,5
18 000
5
02.08 20.11
12,0
7 000
15
13.03 29.08
7,0
12 500
6
08.04 28.11
12,5
9 000
16
02.04 20.08
7,5
11 000
7
10.03 19.09 13,0
14 000
17
17.01 14.05
8,0
24 000
8
13.04 19.10 13,5
17 000
18
12.05 29.09
8,5
17 300
9
02.03 20.12 14,0
21 000
19
02.06 20.11
9,0
14 500
10
10.06 15.08 14,5
6 000
20
08.06 28.12
9,5
16 000
Задача 3
Вклад в размере А руб. помещен на n лет под i % годовых. По
данным табл. 3 определите, на сколько больше будет наращенная сумма,
вычисленная по смешанному методу, чем по общему?
Таблица 3 — Исходные значения переменных A , n и i по вариантам
№
варианта
А
n
i
№
варианта
А
n
i
1
120 000
10,2
5,0
11
150 000
13,7
10,0
2
100 000
13,5
5,5
12
200 000
6,5
10,5
3
52 000
2,2
6,0
13
58 000
1,9
11,0
4
30 000
10,5
6,5
14
80 000
2,8
11,5
5
55 000
13,3
7,0
15
25 000
5,5
12,0
6
90 000
2,4
7,5
16
110 000
8,6
12,5
7
140 000
17,1
8,0
17
240 000
7,2
13,0
8
70 000
12,5
8,5
18
170 000
4,3
13,5
9
45 000
2,6
9,0
19
145 000
4,8
14,0
10
60 000
8,5
9,5
20
160 000
9,5
14,5
Задача 4
Кредит на сумму А руб. предоставлен с x1 (дата выдачи кредита) под
i % годовых. По данным табл. 4 определите, когда долг превысит В руб.,
если начисляются: а) точные проценты (К=365); б) обыкновенные
проценты (К=360). Для решения используйте схему начисления:
- простых процентов, если № варианта — четный;
- сложных процентов, если № варианта — нечетный.
62
Таблица 4 — Исходные значения переменных A , x1 , i и В по вариантам
№ варианта
A
x1
i
В
№ варианта
A
x1
i
В
1
30 000
29.10
10,0
32 000
11
10 000
15.04
5,0
15 000
2
20 000
20.12
10,5
30 000
12
13 000
19.05
5,5
20 000
3
17 000
14.09
11,0
25 000
13
6 500
20.06
6,0
8 000
4
12 000
29.12
11,5
13 000
14
12 600
15.06
6,5
18 000
5
28 000
20.11
12,0
37 000
15
11 000
29.08
7,0
12 500
6
8 000
28.11
12,5
9 500
16
8 500
20.08
7,5
11 000
7
10 800
19.09
13,0
14 000
17
16 000
14.05
8,0
24 000
8
13 500
19.10
13,5
15 000
18
12 500
29.09
8,5
17 300
9
20 000
20.12
14,0
21 000
19
12 550
20.11
9,0
14 500
10
4 800
15.08
14,5
6 000
20
12 220
28.12
9,5
16 000
Задача 5
На вклад А руб., открытый в банке на срок t месяцев начислены
проценты в сумме В руб. По данным табл. 5 определите годовую ставку
процента для случая простых и сложных процентов.
Таблица 5 — Исходные значения переменных A , t и В по вариантам
№ варианта
A
t
В
№ варианта
A
t
В
1
30 000
1
200
11
10 000
11
1500
2
20 000
2
100
12
13 000
12
2000
3
17 000
3
500
13
6 500
13
800
4
12 000
4
130
14
12 600
14
180
5
28 000
5
370
15
11 000
15
125
6
8 000
6
950
16
8 500
16
1100
7
10 800
7
1400
17
16 000
17
2400
8
13 500
8
150
18
12 500
18
1730
9
20 000
9
210
19
12 550
19
1450
10
4 800
10
600
20
12 220
20
1600
Задача 6
В банк положен депозит в размере А руб. под i % годовых по схеме
сложных процентов. По данным табл. 6 определите величину депозита
через n лет при начислении процентов m раз в году и в случае
непрерывного начисления процентов.
63
Таблица 6 — Исходные значения переменных A , i , n и m по вариантам
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
i
n
m
30 000
20 000
17 000
12 000
28 000
8 000
10 800
13 500
20 000
4 800
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
12
2
4
6
12
2
4
№
варианта
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
i
n
m
10 000
13 000
6 500
12 600
11 000
8 500
16 000
12 500
12 550
12 220
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
12
2
4
6
12
6
12
Задача 7
Вексель стоимостью А руб. учитывается за n года (лет) до
погашения по учетной ставке d % годовых. По данным табл. 7 определите
сумму, которую получит векселедержатель и величину дисконта. Для
решения используйте:
1) схему непрерывного начисления;
2) учетные ставки по схеме: простых процентов, если № варианта —
нечетный; сложных процентов, если № варианта — четный.
Таблица 7 — Исходные значения переменных A , d , n по вариантам
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
d
n
№ варианта
A
d
n
30 000
20 000
17 000
12 000
28 000
8 000
10 800
13 500
20 000
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10 000
13 000
6 500
12 600
11 000
8 500
16 000
12 500
12 550
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4 800
14,5
10
20
12 220
9,5
10
Задача 8
По данным табл. 8 один платеж на сумму А тыс. руб. в начале t
периода замените тремя равными платежами, произведенными в начале t1
и в конце t 2 и t3 периодов соответственно. Годовая ставка процентов равна
64
i %. Для решения используйте схему начисления: простых процентов, если
№ варианта — четный; сложных процентов, если № варианта — нечетный.
Таблица 8 — Исходные значения переменных A , i , t , t1 , t 2 и t 3 по
вариантам
№
варианта
1
2
3
4
5
A
i
t
t1
t2
t3
A
i
t
t1
t2
t3
6
8
5
7
8
№
варианта
11
12
13
14
15
30,0
20,0
17,0
12,0
28,0
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
1
2
3
4
5
2
4
1
2
3
4
6
4
5
6
10,0
13,0
6,5
12,6
11,0
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
1
2
3
4
5
3
4
1
1
1
4
6
2
5
2
5
8
4
6
6
6
7
8
9
10
8,0
10,8
13,5
20,0
4,8
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
1
2
3
4
5
2
1
1
2
2
3
4
2
6
3
5
7
4
8
7
16
17
18
19
20
8,5
16,0
12,5
12,0
12,2
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
1
2
3
4
5
2
1
2
1
1
4
3
5
3
3
8
7
8
7
6
Задача 9
По данным табл. 9 два платежа на сумму А1 и А2 тыс. руб.,
произведенные в конце t1 и в начале t 2 периодов, замените одним
платежом в начале t 3 периода. Годовая ставка процентов равна i %. Для
решения используйте схему начисления: простых процентов, если №
варианта — нечетный; сложных процентов, если № варианта — четный.
Таблица 8 — Исходные значения переменных A1 , A2 , i ,
вариантам
№
варианта
1
2
3
4
A1
A2
i
t1
t2
t3
30,0
20,0
17,0
12,0
10,0
13,0
6,5
12,6
10,0
10,5
11,0
11,5
2
4
1
2
4
6
4
5
6
8
5
7
5
6
7
8
9
10
28,0
8,0
10,8
13,5
20,0
4,8
11,0
8,5
16,0
12,5
12,0
12,2
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
3
2
1
1
2
2
6
5
4
3
6
5
8
7
7
6
8
7
№
вари- A1
анта
11
10,0
12 13,0
13
6,5
14 12,6
15
16
17
18
19
20
11,0
8,5
16,0
12,5
12,0
12,2
t1 , t 2 и t 3 по
A2
i
t1
t2
t3
8,0
10,8
13,5
20,0
5,0
5,5
6,0
6,5
3
4
1
1
5
6
2
5
8
8
4
6
4,8
30,0
20,0
17,0
12,0
28,0
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
1
2
1
2
1
1
2
4
3
5
3
3
6
8
9
8
7
6
65
Задача 10
По данным табл. 10 найдите период времени, за который сумма,
положенная на депозит под i % годовых по схеме сложных процентов,
возрастет в n раз.
Таблица 10 — Исходные значения переменных i и n по вариантам
i
n
i
n
№ варианта
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
11
12
3
4
5
6
7
11
12
13
14
15
16
17
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
11
12
3
4
5
6
7
8
9
13,5
14,0
8
9
18
19
8,5
9,0
8
9
10
14,5
10
20
9,5
10
Задача 11
Найдите при какой процентной ставке годовых сумма вклада
увеличится за период времени Т в два раза, если проценты начисляются: а)
поквартально; б) непрерывно. Значение Т = № варианта + 2. Например,
для 1 варианта: Т=1+2=3 года.
Задача 12
На депозит положена сумма в размере А у.е. на n лет под i % годовых
(из 10 задачи) с ежемесячным начислением процентов. По данным табл. 11
найдите реальный доход вкладчика, если квартальная инфляция за данный
период составляла в среднем α (альфа).
Таблица 11 — Исходные значения переменных A , α , n по вариантам
α
n
α
A
A
№ варианта
№ варианта
n
1
2
3
4
3000
2000
1700
1200
3,0
3,5
4,0
4,5
1
2
3
4
11
12
13
14
1000
1300
6 500
1260
6,0
6,5
7,0
7,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2800
800
1080
1350
2050
4800
5,0
5,5
1,0
1,5
2,0
2,5
5
6
7
8
9
10
15
16
17
18
19
20
11000
860
1600
1500
1255
1220
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
5
6
7
8
9
10
66
Задача 13
По данным табл. 12 определите, какую ставку должен установить
банк, чтобы при инфляции α % годовых он мог иметь доходность iα %.
Таблица 12 — Исходные значения переменных α и iα по вариантам
iα
α
α
№ варианта
№ варианта
iα
1
2
3
4
5
6
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
11
12
13
14
15
16
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
7
8
9
10
1,0
1,5
2,0
2,5
8,0
8,5
9,0
9,5
17
18
19
20
9,0
9,5
10,0
10,5
13,0
13,5
14,0
14,5
Задача 14
По данным табл. 13 найдите A1 процентную ставку, эквивалентную
A2 процентной ставке в i % годовых для временного интервала в n лет при
начислении процентов:
- ежеквартально, если № варианта — нечетный;
- ежемесячно, если № варианта — четный.
Таблица 13 — Исходные значения переменных A1 , A2 , i и n по вариантам
A1
A2
i
n
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
простую
простую
сложную
сложную
непрерывную
непрерывную
простую
сложную
сложной
непрерывной
простой
непрерывной
простой
сложной
непрерывной
простой
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
сложную
непрерывную
непрерывную
простую
простую
непрерывной
простой
сложной
сложной
непрерывной
14,0
14,5
5,0
5,5
6,0
9
10
1
2
3
67
Продолжение таблицы 13
A1
№ варианта
сложную
сложную
непрерывную
непрерывную
простую
сложную
сложную
14
15
16
17
18
19
20
A2
i
n
простой
непрерывной
простой
сложной
непрерывной
простой
непрерывной
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
4
5
6
7
8
9
10
Задача 15
Сумма в размере А руб. после конвертации в евро положена на
депозит под j % годовых сроком на n лет. Курс продажи евро на начало
срока депозита – 34 руб., курс покупки евро в конце операции – 44 руб.
Сравните эффективность данной операции с эффективностью
непосредственного помещения рублей на рублевый депозит, если ставка
для депозита в рублях i % годовых. Для решения используйте схему
начисления: простых процентов, если № варианта — нечетный; сложных
процентов, если № варианта — четный.
Таблица 14 — Исходные значения переменных A , j , n и i по вариантам
№
варианта
1
A
j
n
i
70 000
4,0
11
14,0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
80 000
90 000
120 000
280 000
80 000
100 800
130 500
200 000
40 800
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
12
13
4
5
6
7
8
9
10
14,5
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
18,0
18,5
№
A
варианта
11
100 000
12
13
14
15
16
17
18
19
20
130 000
60 500
120 600
110 000
80 500
160 000
120 500
120 550
120 220
j
n
i
5,0
15
10,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
4,0
4,5
16
3
4
5
6
7
8
9
10
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
Раздел 2. Финансовые потоки
Задача 16
Пусть CFt0 ; P0 ,t1 ; P1 ,t 2 ; P2  - поток платежей и процентная ставка
составляет i %. По данным табл. 15 найдите приведенную стоимость PVt ,
наращенную величину FVt , средний срок t и внутреннюю норму
доходности этого потока.
68
Таблица 15 — Исходные значения переменных по вариантам
t0 ; P0 
№ варианта
0;100 
0;200 
1;300
1;400
0;500 
0;600 
1;100
2;200 
3;300
4;400 
0;300 
0;400 
1;100
1;200
0;400 
0;100 
1;300
2;200 
3;300
4;400 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t1 ; P1 
1;100
2;300
2;200 
3;500
3;100 
2;300
3;100 
4;300
5;200
5;500
1;300 
2;400 
2;500
3;500
3;100 
2;300
3;100 
4;700
5;200
5;500
t 2 ; P2 
2;200 
4;500
3;300
4;700
5;800
6;600
5;200
6;500
7;300
6;700
2;200 
4;500
3;300
4;200 
5;500
6;600
5;800
6;500
7;600
6;900
t
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
Задача 17
По данным табл. 16 определите размер вклада, который обеспечит
ежегодное (в конце года) получение процентного дохода в размере A руб. в
течение n лет при процентной ставке в i %.
Таблица 16 — Исходные значения переменных A , i , n по вариантам
№ варианта
1
2
3
4
3000
2000
1700
1200
5
6
7
8
9
10
2800
8000
1080
1350
2500
4800
A
i
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
№ варианта
11
12
13
14
1000
1300
6300
1260
15
16
17
18
19
20
1100
8500
16000
12500
12550
2300
A
i
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
69
Задача 18
Формируется фонд на основе ежегодных отчислений в размере A у.е.
с начислением на них сложных процентов по ставке i %. По данным табл.
17 определите размер фонда через n лет.
Таблица 17 — Исходные значения переменных A , i , n по вариантам
№ варианта
A
i
n
№ варианта
A
i
n
1
1000
10,0
11
11
11000
5,0
21
2
2000
10,5
12
12
12000
5,5
22
3
3000
11,0
13
13
13000
6,0
23
4
4000
11,5
14
14
14000
6,5
24
5
5000
12,0
15
15
15000
7,0
25
6
6000
12,5
16
16
16000
7,5
26
7
7000
13,0
17
17
17000
8,0
27
8
8000
13,5
18
18
18000
8,5
28
9
9000
14,0
19
19
19000
9,0
29
10
10000
14,5
20
20
20000
9,5
30
Задача 19
По данным табл. 18 определите, за сколько лет можно накопить
сумму S тыс. руб., если в конце каждого периода n1 на счет вносится
сумма R тыс. руб. и на данные средства начисляются проценты в конце
каждого периода n 2 по ставке i % годовых.
Таблица 18 — Исходные значения переменных S , R , n1 , n 2 и i
№
варианта
S
R
n1
n2
i
№
варианта
S
R
n1
n2
i
1
1000
1,5
год
месяц
10,0
11
11000
12,5
квартал
месяц
5,0
2
2000
2,5 полгода
год
10,5
12
12000
13,5
месяц
год
5,5
3
3000
3,5 квартал полгода 11,0
13
13000
14,5
год
4
4000
4,5
месяц
квартал 11,5
14
14000
15,5
полгода квартал 6,5
5
5000
6,5
год
полгода 12,0
15
15000
16,5
квартал полгода 7,0
6
6000
7,5 полгода квартал 12,5
16
16000
17,5
месяц
7
7000
8,5 квартал
8
8000
9,5
месяц
9
9000
10,5
год
10
10000 11,5 полгода
полгода 6,0
квартал 7,5
месяц
13,0
17
17000
18,5
год
месяц
8,0
год
13,5
18
18000
19,5
полгода
год
8,5
квартал 14,0
19
19000
20,5
квартал квартал 9,0
20
20000
21,5
месяц
14,5
месяц
месяц
9,5
70
Задача 20
По данным табл. 19 замените две ренты постнумерандо с
параметрами R1 , n1 , i1 и R2 , n 2 , i2 разовым платежом в момент времени
n при ставке i = 15% .
Таблица 19 — Исходные значения R1 , n1 , i1 , R2 , n 2 , i2 и n по вариантам
№
варианта
R1
n1
i1
R2
n2
i2
n
1
100
2
5,0
600
7
10,0
9
2
200
3
5,5
700
8
10,5
2
3
300
4
6,0
800
9
11,0
3
4
400
5
6,5
900
2
11,5
4
5
500
6
7,0
1000
3
12,0
5
6
600
7
7,5
100
2
12,5
4
7
700
8
8,0
200
3
13,0
5
8
800
9
8,5
300
4
13,5
6
9
900
2
9,0
400
5
14,0
7
10
1000
3
9,5
500
6
14,5
8
11
1100
4
10,0
100
7
5,0
2
12
1200
5
10,5
200
8
5,5
3
13
1300
6
11,0
300
9
6,0
4
14
1400
7
11,5
400
2
6,5
5
15
1500
8
12,0
500
3
7,0
6
16
1600
9
12,5
600
2
7,5
7
17
1700
2
13,0
700
3
8,0
8
18
1800
3
13,5
800
4
8,5
9
19
1900
4
14,0
900
5
9,0
2
20
2000
5
14,5
100
6
9,5
3
71
ГЛОССАРИЙ
 Банковский кредит — это кредит, предоставляемый одним субъектом
сделки другому в виде денежной ссуды. Механизм оформления банковских
ссуд предусматривает различные варианты, в том числе выписку
ссудозаемщиком векселей на имя кредитора.
 Банковский учет — это покупка банком денежных обязательств по цене
меньше номинальной, указанной в них суммы.
 Вексель — это особый вид письменного долгового обязательства, дающий
его владельцу бесспорное право требовать по истечении указанного в нем
срока уплаты денег с должника.
 Внутренняя норма доходности финансового потока — это такая
процентная ставка (ставка дисконтирования), при которой чистый
приведенный доход обращается в ноль. Она определяет максимальную
доходность, выраженную в виде годовой процентной ставки, которую может
получить инвестор и при которой проект все еще остается выгодным.
 Выкуп ренты представляет собой замену предстоящей последовательности
выплат
единовременным
платежом.
Из
принципа
финансовой
эквивалентности следует, что в этом случае вместо ренты выплачивается ее
современная величина, т. е. единовременный платеж P должен быть равен
современной величине выкупаемой ренты.
 Дисконтом называется разность между номинальной стоимостью долгового
обязательства и суммой, полученной векселедержателем в результате учета
векселя.
 Дисконтирование или учет векселя – это сделка, при которой
векселедержатель (кредитор) (или владелец иных долговых обязательств) в
случае необходимости получения денег по векселю (или другим долговым
обязательствам) ранее указанных в них сроков может продать его банку или
другому субъекту по пониженной цене, т. е. по цене ниже номинальной
стоимости векселя, указанной в нем.
 Дисконтный множитель - величина обратная множителю наращения,
показывающая во сколько раз первоначальная сумма ссуды меньше
наращенной суммы.
 Индекс инфляции (индекс изменения цен) - коэффициент роста среднего
уровня цен в рассматриваемом периоде.
 Инфляция определяется как процесс повышения общего (среднего) уровня
цен в экономике, что эквивалентно снижению покупательной способности
денег. Инфляция называется равномерной, если темп общей инфляции не
зависит от времени (от номера шага расчетного периода). Инфляция
называется однородной, если темпы изменения цен всех товаров и услуг
зависят только от номера шага расчетного периода, но не от характера
товара или услуги. Инфляция называется постоянной, если ее темпы не
меняются с течением времени.
72
 Коммерческий кредит есть предоставление товаров и услуг одним
объектом сделки другому с оплатой через определенное время, т. е.
происходит отсрочка уплаты денег за проданные товары и услуги.
 При использовании коммерческих или обыкновенных процентов
временная база K=360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в
формуле для расчета. При использовании точных процентов временная
база равна действительной продолжительности года, K=365(366) дней.
 Конверсия валюты - обмен одной валюты на другую по действующему
валютному курсу.
 Конверсия обязательств (платежей) - изменение условий ранее
заключенных финансовых соглашений.
 Консолидация платежей - объединение нескольких платежей в один с
установлением единого срока погашения.
 Коэффициент наращения ренты показывает, во сколько раз наращенная
величина ренты больше величины годового платежа.
 Коэффициент приведения ренты показывает, во сколько раз современная
величина ренты больше величины годового платежа.
 Математическое дисконтирование (удержание процентов) позволяет
определить, какую исходную сумму нужно вложить (выдать в долг), чтобы
получить по истечении n лет наращенную сумму при начислении процентов
по ставке i.
 Метод начисления по простым процентным ставкам состоит в том, что
проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же
величину капитала, предоставляемого в кредит.
 Метод начисления по сложным процентным ставкам состоит в том, что
в первом периоде начисление производится на первоначальную сумму
кредита (долга), затем она суммируется с начисленными процентами и в
каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную
сумму. Таким образом, база для начисления процентов постоянно меняется.
Иногда этот метод называют «процент на процент».
 Метод кратного начисления процентов имеет место, если проценты
начисляются неоднократно, а несколько раз в году (m раз), например,
ежеквартально (m=4), ежемесячно (m=12) и т. п.
 Мультиплицирующий множитель (множитель наращения) показывает,
во сколько раз возрастет за n лет исходная сумма капитала, положенная в
банк под i процентов годовых.
 Наращенная величина финансового потока — это сумма всех членов
потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т. е. на
дату последней выплаты. Она показывает, какую величину будет
представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в
течение всего срока вместе с начисленными процентами.
 Немедленная рента — это рента, выплаты по которой производятся в
настоящее время (в начале или конце периодов). Например, страхование
73















годового дохода, выплата которого начинается сразу после заключения
договора страхования.
Непрерывное начисление процентов имеет место, если частота
начисления сложных процентов неограниченно возрастает.
Отсроченная рента — это рента, начало выплат которой отложено на
некоторое время t. Например, страхование годового дохода, выплата
которого начинается через определенное число лет после заключения
договора страхования.
Правило конверсии рент: современные величины старой (старых) и новой
(новых) рент должны быть равны.
Период ренты - промежуток времени между двумя последовательными
платежами.
Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки для
кредитора и стоимость кредита для заемщика. Она показывает, какая доля от
суммы выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде
дохода. Рассчитывается как отношение дохода, полученного за
определенный период (чаще всего за год), к величине капитала,
предоставляемого в кредит.
Процентными деньгами или процентным доходом (дивизором), а иногда
просто процентами, называют величину, равную разности между
наращенной суммой и первоначальной суммой капитала.
Сумма всех платежей денежного потока, приведенных к некоторому
моменту времени t, называется текущим, или приведенным, значением
потока (в момент времени t) и обозначается PV(t) (present value — текущее
значение), или просто PV.
Рассрочка платежа - это замена единовременного платежа (долга)
аннуитетом (годовой рентой).
Рента (финансовая рента) - поток положительных платежей, разделенных
равными временными интервалами.
Рента бесконечная, вечная, или перпетуитет - рента с бесконечным
числом платежей, осуществляемым неограниченно долго.
Рента годовая (аннуитет) – постоянная рента, для которой период равен
одному году, т. е. платежи производятся раз в год.
Рента конечная - рента с конечным числом платежей.
Рента пренумерандо (авансовая) предполагает, что каждый платеж
производится в начале соответствующего ему периода.
Рента постнумерандо (подрасчетная) предполагает, что каждый платеж
производится в концесоответствующего периода.
Рента р-срочная – рента, при которой годовой рентный платеж R
производится не единовременно (один раз в конце годового периода), а
разбит на p одинаковых платежей, равномерно распределенных в течение
года.
74
 Средним сроком конечного финансового потока относительно ставки i
называют такой момент времени t, для которого его текущее (приведенное)
значение будет равно простой сумме всех платежей.
 Срок ренты - промежуток времени между началом первого периода и
окончанием последнего периода конечной ренты.
 Современная величина потока - текущее значение потока в начальный
момент времени (при t=0). Она показывает, какую сумму следовало бы
иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые
начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно
было бы обеспечить получение наращенной суммы.
 Темп (уровень) инфляции - относительный прирост среднего уровня цен в
рассматриваемом периоде (может быть выражен в % при умножении
результата отношения на 100).
 При смешанном методе начисления процентов за целое число лет
начисляются сложные проценты, а за дробную часть срока вклада (ссуды) —
простые проценты.
 При точном расчете продолжительности финансовой операции берут
фактическое число ее дней, при этом день начала и день окончания считают
за один день.
 При приближенном расчете продолжительности финансовой операции
считают, что каждый полный месяц содержит 30 дней, при этом день начала
и день окончания финансовой операции так же считают за один день.
 Финансовое событие - это упорядоченная пара (Р;t), состоящая из
величины (суммы) платежа Р и момента платежа t. Платежи могут быть со
знаком «+» (поступления) или со знаком «-» (выплаты).
 Финансовый поток - ряд выплат (финансовых событий), распределенных
во времени.
 Эквивалентными называются такие ставки, которые обеспечивают
равенство финансовых последствий, т.е. равенство наращенных сумм в
случае эквивалентности процентных ставок или равенство приведенных
величин в случае учетных ставок.
 Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи
"приведенными" к одному моменту времени, оказываются равными.
 Эффективная процентная ставка — это сумма, выплачиваемая заемщику
(инвестору) в конце периода начисления за каждую единичную сумму,
занятую (инвестируемую) в начале периода.
75
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Понятие процентной ставки. Основные схемы начисления
процентов: простые и сложные проценты, кратное и непрерывное
начисление процентов.
2. Проценты за нецелое число периодов, различные способы
начисления процентов.
3. Сравнение наращения по простой и сложной ставкам процента,
влияние кратности начисления процентов на величину наращенной суммы.
4. Эффективная процентная ставка.
5. Дисконтирование: понятие и сущность, математическое
дисконтирование и банковский учет.
6. Сравнение дисконтирования по сложной и простой учетной
ставкам. Эффективная учетная ставка.
7.
Мультиплицирующие
и
дисконтирующие
множители.
Эквивалентность различных процентных и учетных ставок.
8. Конверсия платежей. Определение суммы
и срока
консолидированного платежа.
9. Удвоение величины капитала: «Правило 70»,обобщение «Правила
70», “Правило 100”.
10. Увеличение капитала в произвольное число раз.
11. Понятия уровня и индекса инфляции. Влияние инфляции на
ставку процента. Формула Фишера. Темп инфляции за несколько периодов.
12. Эквивалентность эффективной процентной ставки и ставок для
различных вариантов начисления процентов.
13. Учет инфляции и налогов при определении эффективной
процентной ставки.
14. Операции с валютой: депозиты с конверсией и без конверсии
валюты. Схема FC →RR →RR →FC . Схема RR→ FC→ FC→ RR .
15. Понятие финансового потока. Приведенная и наращенная
величины финансового потока. Средний срок финансового потока.
16. Понятие чистого приведенного дохода и внутренней нормы
доходности финансового потока. Внутренняя норма доходности типичных
инвестиционных потоков.
17. Регулярные потоки платежей. Обыкновенные ренты. Ренты
постнумерандо и пренумерандо.
18. Коэффициенты приведения и наращения рент.
19. Коэффициенты приведения и наращения рент за несколько
соседних периодов.
20. Связь между приведенной величиной и наращенной суммой
аннуитета. Связь между коэффициентами приведения и наращения рент
пренумерандо и постнумерандо.
21. Расчет параметров ренты.
22. Вечные, кратные, срочные ренты.
76
23. р-срочная рента (случаи k=1, p≠k, k=p).
24. р-срочная рента с непрерывным начислением процентов.
25. Связь между приведенной и наращенной величинами p-срочной
ренты (случаи k=1, p≠k, k=p).
26. Непрерывные ренты. Непрерывная рента с непрерывным
начислением процентов.
27. Связь между приведенной и
наращенной величинами
произвольных рент.
28. Сравнение финансовых потоков и рент. Общий принцип
сравнения финансовых потоков и рент. Сравнение годовых и срочных рент.
29. Конверсия рент. Замена одной ренты другой.
30. Изменение параметров ренты. Замена обычной ренты срочной.
Замена немедленной ренты отсроченной.
31. Консолидация рент.
32. Выкуп ренты. Рассрочка платежа.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература
1. Брусов П. Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В., Задачи
по финансовой математике, Учебное пособие для бакалавров,
Кнорус, 2011.
2. Брусов П. Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В.,
Финансовая математика, Учебное пособие для бакалавров,
Кнорус, 2010, 253 с.
3. Брусов П. Н., Филатова Т. В., Финансовая математика, Учебное
пособие для магистров: Инфра–М, 2011.
4. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.; Дело, 2001.
5. Малыхин В. И. Финансовая математика. М.; ЮНИТИ–ДАНА, 2000.
б) дополнительная литература
6. Брусов П. Н., Филатова Т. В. Финансовый менеджмент. Учебное
пособие, том. I – III. М.: Кнорус, 2011.
7. Филатова Т. В. Финансовый менеджмент. Учебное пособие, М.:
Инфра– М, 2010.
8. Брусов П. Н., Филатова Т. В., Лахметкина Н.И. Инвестиционный
менеджмент. Учебное пособие: Инфра–М, 2011.
9. Попов В.Ю., Шаповал А.Б. Инвестиции. Математические
методы. М.: Форум, 2008г.
10. Малыхин В. И. Оптимальные портфели и пакеты ценных бумаг.
М.: ГУУ, 2002.
77
КРИТЕРИИ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ЗНАНИЙ
(ЭКЗАМЕННАЦИОННОЙ ОЦЕНКИ)
При осуществлении итоговой аттестации знаний студентов по курсу
«Основы финансовых вычислений» используется бальная система, при
которой каждому студенту за конкретные виды работы с учетом качества
их выполнения присуждается определенное количество баллов, которые
впоследствии суммируются, на основании чего ставится экзаменационная
оценка. В программу экзамена входит решение теста и трех задач, экзамен
рассчитан на два астрономических часа (по одному часу на решение теста
и на решение задач).
Виды работ и критерии их бальной оценки:
1) посещение лекционных занятий - от 0 до 5 баллов (в зависимости от
количества пропущенных занятий и деловой активности студента);
2) посещение лабораторных занятий - от 0 до 5 баллов (в зависимости от
количества пропущенных занятий и деловой активности студента);
3) за каждый правильный ответ на теоретическое задание в тесте – 2
балла;
4) за каждый правильный ответ на расчетное задание в тесте (при условии
сопровождения ответа соответствующими вычислениями) – 4 балла;
5) за каждую правильно решенную задачу – максимально 10 баллов (от 0
до 10 баллов в зависимости от существенности допущенной ошибки при
решении задачи);
6) за выполнение контрольной работы – от 0 до 20 баллов (в зависимости
от количества правильно решенных задач).
Таким образом, максимальная оценка за посещение занятий – 10
баллов, за экзамен – 80 баллов (за тест – 50 баллов, за задачи – 30 баллов) и
за контрольную работу – 20 баллов. Все результаты (баллы) суммируются,
и экзаменационная оценка ставится следующим образом:
0-50 баллов – неудовлетворительно;
51-75 баллов – удовлетворительно;
76-90 баллов – хорошо;
91-110 баллов – отлично.
Далее приведен примерный вариант экзаменационного теста и задач.
78
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО ТЕСТА
Вопросы
1. Процентная ставка показывает…
2. Ежедневное начисление процентов
соответствует схеме…
3. Для расчета наращенной суммы в схеме
сложных процентов следует применить
формулу…
4. Банк приобрел облигации на 4 млн. руб. со
сроком погашения 9 месяцев. В результате банк
рассчитывает получить по облигациям 1 млн. руб.
Доходность облигаций равна…
5. Один платеж в начале третьего периода
заменяют
тремя
равными
платежами,
произведенными в начале первого, в конце
второго и четвертого периодов соответственно по
годовой ставке простых процентов. Для расчета
суммы равного платежа следует применить
формулу...
6. Через два года владелец векселя, выданного
банком, должен получить по нему 100 тыс. руб.
Какая сумма была внесена в банк в момент
приобретения векселя, если доходность векселя
должна составить 25% годовых (простые
проценты).
7. Определите приближенно за сколько лет
капитал увеличится в 2 раза при сложной ставке
10% годовых...
8. Уровень цен за год возрос в 1,25 раза, тогда
уровень инфляции за этот период составил ...
9. При всех прочих равных условиях эквивалентная непрерывная ставка будет ...
10. Индивидуальный предприниматель купил
оборудование на сумму 250 тыс. руб.,
рассчитывая продать его в конце 1-го года за 300
тыс. руб. за вычетом налогов. Предполагаемая
доходность инвестиций составит ...
11. Если реальная ставка инвестирования в
некотором году была равна 6,0%, а номинальная
— 11,3%, то уровень инфляции в этом году
составил … %.
Варианты ответа
А) кратность начисления процентов;
Б) какая доля от суммы выданного кредита
будет возвращена владельцу капитала в виде
дохода;
В) размер первоначальной суммы кредита;
Г) во сколько раз снизится покупательная
способность денег.
А) непрерывного начисления процентов;
Б) кратного начисления процентов;
В) простых процентов;
Г) сложных процентов.
А) 𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑛 ⋅ 𝑖);
Б) 𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑖)𝑛 ;
𝑖
В) 𝑆𝑛 = 𝑆0 (1 + 𝑚)𝑚⋅𝑛 ;
Г) 𝑆𝑛 = 𝑆0 ⋅ 𝑒 𝛿⋅𝑛 .
А) 2,8%;
Б) 5,3%;
В) 33,3%;
Г) 166,7%.
А) 𝑆0 = ∑𝑆𝑗 (1 + 𝑖 ⋅ 𝑡𝑗 ) + ∑
Б) 𝑆0 = ∑𝑆𝑗 (1 + 𝑖 ⋅ 𝑡𝑗 );
В) 𝑆0 =
∑𝑆𝑘
;
(1+𝑖⋅𝑡𝑘 )
Г) 𝑆0 = ∑𝑆𝑗 (1 + 𝑖)𝑡𝑗 + ∑
𝑆𝑘
;
(1+𝑖⋅𝑡𝑘 )
𝑆𝑘
.
(1+𝑖)𝑡𝑘
А) 200,0;
Б) 50,0;
В) 150,0;
Г) 66,7.
А) 10;
В) 14;
Б) 7,3;
Г) 7.
А) 125%;
Б) 12,5%;
В) 25%;
Г) 0,25%.
А) больше номинальной простой ставки;
Б) больше номинальной сложной ставки;
В) больше сложной ставки с ежеквартальным
начислением процентов;
Г) меньше номинальной сложной ставки.
А) 120,0%;
В) 83,3%;
А) 16,3;
В) 4,8;
Б) 68%;
Г) 20,0%.
Б) 0,05;
Г) 5,0.
79
Вопросы
12. Сумма, которую следовало бы иметь
первоначально, чтобы, разбив ее на равные
взносы,
на
которые
начислялись
бы
установленные проценты в течение всего срока,
можно
было
бы
обеспечить
получение
наращенной суммы, называется…
13. Между будущей FV(t) и конечной FV
величинами потока существует взаимосвязь…
14. Если значение чистого приведенного дохода
(при процентной ставке i) NРV(i)>0, это означает,
что …
15. Формирование фонда осуществляется путем
перечисления средств в конце каждого квартала с
ежегодным начислением процентов на
накопившуюся сумму. Определите тип ренты …
Варианты ответа
А) внутренней нормой доходности потока;
Б) современной величиной потока;
В) конечной величиной потока;
Г) начальным финансовым событием.
А) 𝐹𝑉(𝑡) = 𝐹𝑉(1 + 𝑖)𝑡𝑛 −𝑡 ;
Б) 𝐹𝑉 = 𝐹𝑉(𝑡)(1 + 𝑖)𝑡−𝑡𝑛 ;
В) 𝐹𝑉 = 𝐹𝑉(𝑡)(1 + 𝑖)𝑡𝑛 −𝑡 ;
Г) 𝐹𝑉(𝑡) = 𝐹𝑉(1 + 𝑖)𝑡−𝑡𝑛 .
А) финансовый поток обладает внутренней
нормой доходности, равной i;
Б) доходы не окупают затрат при принятой
норме доходности i;
В) чистый доход превысил инвестиционные
затраты;
Г) эффективная процентная ставка
финансового потока равна его внутренней
норме доходности.
А) p-срочная рента постнумерандо;
Б) p-срочная рента пренумерандо;
В) годовая рента постнумерандо с кратной
капитализацией процентов;
Г) годовая рента пренумерандо с непрерывной
капитализацией процентов.
𝑃 𝑡 +𝑃 𝑡 +...+𝑃 𝑡
А) 𝑡̄ = 0 0𝑡 +𝑡1 1+...+𝑡 𝑛 𝑛 ;
0
16. Средний срок финансового потока
вычисляется по формуле:
1
𝑛
𝑡 𝑃 +𝑡 𝑃 +...+𝑡𝑛 𝑃𝑛
Б) 𝑡̄ = 0 0 1 1
;
𝑃0 +𝑃1 +...+𝑃𝑛
𝑡 𝑃 +𝑡 𝑃 +...+𝑡𝑛 𝑃𝑛
В) 𝑡̄ = 0 0 1 𝑛1
;
𝑡 +𝑡 +...+𝑡
17. Соотношение между наращенными суммами
p-срочных рент пренумерандо и постнумерандо с
ежегодной капитализацией процентов имеет вид
…
18. Ренты с кратностью начисления процентов k
меньше частоты платежей (k<p)
предпочтительней, чем ...
19. Связь между приведенной и наращенной
величинами произвольных рент постнумерандо
при k-кратном начислении процентов имеет
выражение:
20. Современная величина вечной ренты
пренумерандо с платежом R=100 и ставкой 10%
годовых составит …
𝑛
Г) 𝑡̄ = 0 1
.
𝑛
А) 𝐴̈ = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖)1⁄𝑝 ;
Б) 𝑆̈ = 𝑆 ⋅ (1 + 𝑖)1⁄𝑝 ;
В) 𝑆̈ = 𝑆 ⋅ (1 + 𝑖);
Г) 𝑆̈ = 𝑆 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘 )𝑘⁄𝑝 .
А) ренты с кратностью равной частоте
платежей (p=k);
Б) ренты с кратностью больше частоты
платежей (k>p);
В) p-срочная рента с непрерывной
капитализацией процентов;
Г) годовая рента с такой же капитализацией
процентов k.
А) 𝑆 = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖)𝑘 ;
Б) 𝑆 = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘 )−𝑘𝑛 ;
В) 𝐴 = 𝑆 ⋅ 𝑒 −𝑘𝑖 ;
Г) 𝐴 = 𝑆 ⋅ (1 + 𝑖 ⁄𝑘 )−𝑘𝑛 .
А) 1100;
В) 110;
Б) 10;
Г) 1000.
80
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Номер задачи
Задача 1
Условие задачи
Ссуда в размере 100 000 руб. выдана на срок с 10.01 по 15.05 под
простые 5,0% годовых. Определите величину долга в конце срока
погашения, используя метод 365/365.
Задача 2
На депозит положена сумма в размере 3000 у.е. на 5 лет под 6%
годовых с ежемесячным начислением процентов. Найдите реальный
доход вкладчика, если квартальная инфляция за данный период
составляла в среднем 3,0%.
Задача 3
Пусть 𝐶𝐹 = {(0; −100), (1; 100), (2; 200)}- поток платежей и
процентная ставка составляет 10,0%. Найдите приведенную стоимость
этого потока.
81
ПРИЛОЖЕНИЕ
Порядковые номера дней в обычном (не високосном) году
Дни
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Дни
Янв Фев Мар
1
32
60
2
33
61
3
34
62
4
35
63
5
36
64
6
37
65
7
38
66
8
39
67
9
40
68
10
41
69
11
42
70
12
43
71
13
44
72
14
45
73
15
46
74
16
47
75
17
48
76
18
49
77
19
50
78
20
51
79
21
52
80
22
53
81
23
54
82
24
55
83
25
56
84
26
57
85
27
58
86
28
59
87
29
88
30
89
31
90
Янв Фев Мар
Апр
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
Май
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
Апр Май
Июн
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
Июл
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
Июн Июл
Авг
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
Авг
Сен Окт Ноя
244 274 305
245 275 306
246 276 307
247 277 308
248 278 309
249 279 310
250 280 311
251 281 312
252 282 313
253 283 314
254 284 315
255 285 316
256 286 317
257 287 318
258 288 319
259 289 320
260 290 321
261 291 322
262 292 323
263 293 324
264 294 325
265 295 326
266 296 327
267 297 328
268 298 329
269 299 330
270 300 331
271 301 332
272 302 333
273 303 334
304
Сен Окт Ноя
Дек Дни
335
1
336
2
337
3
338
4
339
5
340
6
341
7
342
8
343
9
344
10
345
11
346
12
347
13
348
14
349
15
350
16
351
17
352
18
353
19
354
20
355
21
356
22
357
23
358
24
359
25
360
26
361
27
362
28
363
29
364
30
365
31
Дек Дни
82