МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 5 семестр Уравнения первого порядка

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
5 семестр
профессор Давид Абрамович Шапиро
Программа лекций
Уравнения первого порядка
Метод характеристик для линейных и квазилинейных уравнений с частными производными. Задача Коши. Образование разрывов. Характеристики нелинейного уравнения.
Понятие характеристик для систем линейных и квазилинейных уравнений
с двумя переменными. Классификация по типам: гиперболические, эллиптические, параболические системы.
Приведение гиперболической системы к каноническому виду. Инварианты
Римана, простая волна Римана.
Метод годографа для уравнений газовой динамики. Точные решения для
политропного газа.
Уравнения второго порядка
Волновое уравнение. Вывод из уравнений Максвелла и газодинамики. Решение одномерного волнового уравнения, формула Даламбера.
Приведение гиперболического, эллиптического и параболического уравнения с двумя переменными к каноническому виду.
Приведение многомерных уравнений к каноническому виду. Классификация по типам. Характеристики гиперболического уравнения, характеристические нормали и их физический смысл.
Понятие автомодельности. Автомодельные подстановки для уравнений
теплопроводности.
Разделение переменных. Метод Фурье для гиперболических и параболических уравнений.
Специальные функции
Разделение переменных в задаче о колебаниях круглой мембраны. Функции Бесселя.
Разделение переменных в уравнении Шрёдингера для частицы в центрально-симметричном поле. Присоединенные функции Лежандра. Сферические гармоники. Функции Бесселя с полуцелым индексом.
Разложение решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вблизи обыкновенной точки и регулярной особой точки.
Характеристические показатели.
Гипергеометрическая функция Гаусса и вырожденная гипергеометрическая функция.
Уравнение Шрёдингера для осциллятора и атома водорода. Полиномы
Эрмита и Лагерра.
Асимптотические методы
Асимптотика интегралов Интеграл Лапласа.
а) Случаи стационарной точки на границе и внутри отрезка интегрирования. Асимптотика Γ–функции Эйлера.
б) Метод стационарной фазы. Асимптотика функции Бесселя.
в) Метод перевала. Асимптотика функций Лежандра и Эйри.
Метод усреднения. Асимптотика усредненного решения дифференциального уравнения.
Литература
1. В. Я. Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.
2. С. К. Годунов. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
3. Задачи по математическим методам физики. Ч. I, II. Новосибирск:
НГУ, 1994.
4. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика; Гидродинамика.
5. Дж. Мэтьюз, Д. Уокер. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972.
6. Ф. Олвер. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.
Дополнительная литература
7. В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — § 7; Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Изд. 3e. М.: Наука, 1984. — § 11.
8. А. Найфэ. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.
9. Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. М.:
Мир, Т.1 — 1982.
10. Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. Лекции по теории
функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976. — Гл.VII.
Программа семинаров
доцент Евгений Вадимович Подивилов
1. Унитарные и эрмитовы матрицы, проекторы. Матрицы Паули.
2. Собственные значения. Функции от матриц. Резольвента.
3. Ортогонализация. Полнота системы функций. Проверка самосопряженности дифференциальных операторов. Свойства -функции.
1
4. Линейные уравнения первого порядка. Характеристики.
5. Квазилинейные уравнения. Опрокидывание.
6. Характеристики нелинейных уравнений. Общее решение уравнения
Гамильтона – Якоби.
7. Системы линейных уравнений. Приведение к каноническому виду.
8. Инварианты Римана и характеристики в случае двух переменных.
9. Задача о политропном газе. Простая волна Римана.
10. Характеристические переменные. Области эллиптичности и гиперболичности. Приведение уравнений второго порядка к каноническому
виду.
11. Исключение первых производных. Волновое уравнение. Формула Даламбера.
12. Поиск автомодельной подстановки с помощью масштабных преобразований. Автомодельные решения линейного и нелинейного уравнения
теплопроводности.
13. Решения нелинейных уравнений типа бегущей волны. Солитоны.
14. Решение задач о колебаниях струны методом Фурье.
15. Решение уравнений теплопроводности и Лапласа методом Фурье.
16. Разделение переменных уравнения Шрёдингера в ортогональных системах координат.
17. Сферические гармоники. Полиномы Лежандра и Эрмита. Основные
свойства функции Бесселя: разложение, рекуррентные соотношения,
производящая функция, интегральное представление, соотношение ортогональности.
18. Характеристические показатели в особых точках. Определяющее уравнение. Гипергеометрические функции.
19. Асимптотика интеграла Лапласа. Метод стационарной фазы.
20. Метод перевала. Асимптотика функции Эйри.
21. Метод усреднения. Преобразование Боголюбова – Крылова.
Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной
недели.
Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели.
Задания
ЗАДАНИЕ № 1
1.
2.
(сдать до 25 октября)
Вычислить exp(a+bσ), где σ – матрицы Паули, a и b комплексные скаляр и вектор.
Найти решение кинетического уравнения
f
1

 f
 e E  vH
0
t
c

 p
2
в скрещенных электрическом и магнитном полях E H=0. Как выглядят
характеристики?
3. Найти закон колебаний холодного электронного газа относительно
однородного неподвижного ионного фона плотности n0. Колебания
описываются уравнением непрерывности для плотности электронов
n(x,t), уравнением Эйлера для их скорости u(x,t) и уравнением Пуассона
для
электрического
поля
E(x,t)
n  nu 

 0,
t
x
u
u
e
u
  E,
t
x
m
E
 4en0  n  .
x
При каких начальных значениях амплитуды электрического поля E0
происходит опрокидывание, если u(x,0)=0,
E ( x,0) 
4.
Решить
уравнение
S 1  S 
    0,
t 2  x 
E0
?
1  x2 / d 2
Гамильтона–Якоби
с
начальным
условием
2
ЗАДАНИЕ № 2
5.
S t 0  exp x .
(сдать до 25 ноября)
Найти общее решение уравнения
 2 u  y x   2 u  2 u 1 u 1 u
  



 0.
x 2  x y  xy y 2 x x y y
6.
Струна длины l с закрепленными концами в начальный момент имеет
форму
7.
8.
полуокружности
u( x,0)  x(l  x) и нулевую скорость.
Найти зависимость смещения от координат и времени.
На границе бесконечного цилиндра радиуса R температура осциллирует как T(t)=T0 sin ωt. Найти распределение температуры в цилиндре
как функцию времени. Исследовать решение при ω>>χ /R2, где χ –
температуропроводность.
Найти собственные частоты ω колебаний шара радиуса R
1  2u
 u  0,
c 2 t 2
u
0
r r R
3
при условии ωR/c>>1.
ЗАДАНИЕ № 3 (сдать до 25 декабря)

9.
Вычислить асимптотику интеграла
 dx exp  x
3
/ 3  ax , где a –
0
комплексный параметр, |a|→∞.
10. Найти решение ψ(x,t) уравнения Шрёдингера
i

 2  2

 mgx
t
2m x 2
с начальным условием ψ(x,0)=A exp(-|x|/a). Исследовать асимптотику
на больших временах. С какой скоростью движется центр пакета и как
меняется его ширина?
11. Найти методом усреднения эволюцию колебаний маятника, испытывающего трение при прохождении точки x=a:
d 2x
dx
 2
 ( x  a )   02 x  0,   0.
2
dt
dt
Сравнить с точным решением.
4