решение задачи планирования движения нелинейных

2531
УДК 517.977
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ
ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ
СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СКОБОК ЛИ
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
В.В. Грушковская
Институт прикладной математики и механики НАН Украины
Украина, 83114, г. Донецк, ул. Р. Люксембург, 74
E-mail: v_grushkovskaya@mail.ru
А.Л. Зуев
Институт прикладной математики и механики НАН Украины
Украина, 83114, г. Донецк, ул. Р. Люксембург, 74
E-mail: al_zv@mail.ru
Ключевые слова: нелинейные системы, планирование движения, скобки Ли,
управляемость
Аннотация: В работе рассмотрена задача планирования движения для линейных
по управлению систем с гладкими векторными полями. Предполагается, что рассматриваемый класс систем удовлетворяет ранговому условию управляемости со
скобками Ли до второго порядка включительно. Предложен конструктивный метод
построения функции управления, который решает поставленную задачу.
1.
Введение
Рассмотрим линейную по управлению систему
(1)
ẋ =
m
X
ui fi (x),
i=1
где x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn — фазовый вектор, u = (u1 , . . . , um )T ∈ Rm — управление,
fi (x) — гладкие отображения из Rn в Rn . Будем считать, что m < n. В данной работе рассматривается следующая задача: для начальной x0 ∈ Rn и конечной x1 ∈ Rn
точек найти допустимое управление u(t), t ∈ [0, ε] переводящее систему (1) из x0 в
x1 за время ε. Различные подходы к решению этой задачи описаны, в частности,
в статьях [1–5] и др. В предлагаемой работе используется представление решений
системы (1) с тригонометрическими функциями управления для сведения краевой
задачи к системе алгебраических уравнений. Отличительная особенность данного
подхода состоит в использовании явного представления решений в виде рядов Вольтерры с членами порядка до ε3 включительно.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2532
2.
Представление решений с помощью рядов
Вольтерры
Пусть u(t) — непрерывная функция на отрезке t ∈ [0, ε]. Тогда решение x(t)
системы (1) с начальным условием x(0) = x0 ∈ Rn допускает разложение в ряд
Вольтерры [6]:
Z t Zs
Zt
m
m X
m
X
X
∂fi (x)
0
fj (x)
ui (s)uj (p)dpds+
x(t)=x + fi (x ) ui (s)ds+
∂x
x==x0
i=1
i=1 j=1
0
0 0
0
(2)
Z t Zτ Zs
m X
m X
m
X
∂ ∂fi (x)
ui (τ )uj (s)ul (p)dpdsdτ +R(t),
+
fj (x) fl (x)
∂x
∂x
x=x0
i=1 j=1 l=1
0
0
0
i (x)
где t ∈ [0, ε], ∂f∂x
— матрица Якоби, R(t) — остаточный член разложения. Формула (2) также может быть записана следующим образом:
Zt
Zt
Zt
m
m
X
1 X ∂fi (x)
0
ui (s)ds uj (s)ds+
fj (x)
x(t)=x + fi (x ) ui (s)ds+
2
∂x
x=x0
i,j=1
i=1
0
0
0
0
Z t Zτ
1X
0
+
[fi , fj ](x )
(uj (τ )ui (s)−ui (τ )uj (s))dsdτ +
2 i<j
0 0
Zt
Zt
Zt
m
1 X ∂ ∂fi (x)
fj (x) fl (x)
+
ui (s)ds uj (s)ds ul (s)ds+
6 i,j,l=1 ∂x
∂x
x=x0
0
(3)
1
+
6
m
XX
i<j l=1
0
∂f (x)
∂
l
[fi , fj ](x)+2 ([fi , fj ](x)) fl (x) ∂x
∂x
0
Zt
ul (s)ds×
x=x0
0
Z t Zτ
×
(uj (s)ui (p)−ui (s)uj (p))dpds+
0 0
Z t Zτ Zs m
1 XX
+
[[fi , fj ], fl ] (x0 )
ul (τ )(uj (s)ui (p) − ui (s)uj (p)) dpdsdτ + R(t),
3 i6j l=1
0 0 0
где [fi , fj ] =
3.
∂fj
f
∂x i
−
∂fi
f
∂x j
— скобка Ли векторных полей fi и fj .
Решение двухточечной задачи управления
Предположим, система (1) удовлетворяет ранговому условию управляемости с
использованием скобок Ли первого и второго порядков, то есть
(4)
span {fi (x), [fj1 , fj2 ](x), [[fl1 , fl2 ], fl3 ]} = Rn , для всех x ∈ Rn ,
где i ∈ {1, 2, . . . , m}, (j1 , j2 ) ∈ S1 ⊆ {1, 2, . . . , m}2 , (l1 , l2 , l3 ) ∈ S2 ⊆ {1, 2, . . . , m}3 ,
|S1 | + |S2 | = n − m. Будем также предполагать, что элементы индексных множеств S1
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2533
и S2 упорядочены по правилу j1 < j2 для всех (j1 , j2 ) ∈ S1 и l1 < l2 при (l1 , l2 , l3 ) ∈ S2 .
Рассмотрим семейство управлений
2πKqr
2πKqr aqr δiq cos
t+δir sin
t +
ε
ε
(q,r)∈S1
X
2πK1qrs
2πK2qrs
2πK3qrs +
aqrs δiq cos
t+δir sin
t+δis sin
t ,
ε
ε
ε
ui (t) = ai +
(5)
X
(q,r,s)∈S2
где t ∈ [0, ε], ai , aqr , aqrs — вещественные параметры, Kqr , K1qrs , K2qrs , K3qrs — ненулевые целочисленные параметры, ε > 0, δij обозначает символ Кронекера. Предположим, что числа Kqr , K1qrs , K2qrs , K3qrs не связаны никакими резонасными соотношениями до третьего порядка включительно, кроме
(6)
K3qrs = K1qrs + K2qrs , для всех (q, r, s) ∈ S2 .
Подставляя в формулу (3) управления (5), получаем:
0
x(ε) = x + ε
m
X
i=1
(7)
ε3
+
48π 2
m
XX
a2ij
ε2
ε2 X
0
[fi , fj ](x )
+ Ω1 +
fi (x )ai +
4π
Kij
2
0
(i,j)∈S1
[[fi , fj ], fl ]
i<j l=1
X
(q,r,s)∈S2
a3qrs
(K2qrs +K3qrs )×
K1qrs K2qrs K3qrs
× δlq (δir δjs −δjr δis ) + (K1qrs +K3qrs )δlr (δiq δjs −δjq δis ) + (K2qrs −K1qrs )×
ε3
× δls (δir δjq −δjr δiq ) + Ω2 ,
6
где Ω1 , Ω2 зависят от коэффициентов функции (5) и значения x0 . Из представления (7) вытекает основной результат данной работы.
Теорема 1. Для произвольных x0 ∈ Rn , x1 ∈ Rn , ε > 0, определим управления
ui (t), i = 1, m, по формулам (5) с коэффициентами, удовлетворяющими следующей
системе уравнений:
m
X
i=1
(8)
a2ij
ε
ε X
0
+ Ω1 +
fi (x )ai +
[fi , fj ](x )
4π
Kij 2
ε2
+
48π 2
0
(i,j)∈S1
m
XX
i<j l=1
[[fi , fj ], fl ]
X
(q,r,s)∈S2
a3qrs
(K2qrs +K3qrs )×
K1qrs K2qrs K3qrs
× δlq (δir δjs −δjr δis ) + (K1qrs +K3qrs )δlr (δiq δjs −δjq δis ) + (K2qrs −K1qrs )×
ε2
x1 − x 0
× δls (δir δjq −δjr δiq ) + Ω2 =
.
6
ε
Тогда решение системы (1) с начальными условиями x(0) = x0 удовлетворяет условию x(ε) = x1 + o(ε3 ).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
2534
4.
Системы цепной формы
Предложенный подход может быть применен к решению двухточечной задачи
для системы управления в цепной форме (chained form):
(9)
ẋ1
ẋ2
ẋ3
ẋ4
= u1 ,
= u2 ,
= u 1 x2 ,
= u1 x3 , x ∈ R4 , u ∈ R2 .
Система (9) удовлетворяет ранговому условию (4) с S1 = (1, 2), S2 = (1, 2, 1):
span{f1 , f2 , [f1 , f2 ], [[f1 , f2 ], f1 ]} = R4 , для всех x ∈ R4 ,
 
 
 
 
1
0
0
0
0
1
0
0

 
 
 
f1 = 
x2  , f2 = 0 , [f1 , f2 ] = −1 , [[f1 , f2 ], f1 ] =  0  .
0
0
−1
x3
Обозначим в формуле (5) K1121 = K1 , K2121 = K2 , K3121 = K3 = K1 + K2 . Тогда
управление (5) примет вид
2πK12
2π(K1 + K2 )
2πK1
u1 (t) = a1 + a12 cos
t + a121 cos
t + sin
t ,
ε
ε
ε
(10)
2πK12
2πK2
u2 (t) = a2 + a12 sin
t + a121 sin
t.
ε
ε
В докладе найдены значения параметров функций (10) для решения двухточечной
задачи с помощью Теоремы 1.
Работа выполнена при поддержке проекта Ф53.1/010 в рамках конкурса Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (ДФФД) и Российского
фонда фундаментальных исследований (РФФИ).
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Murray R.M., Sastry S.S. Nonholonomic Motion Planning: Steering Using Sinusoids. Technical
Report UCB/ERL M91/45. Electronics Research Laboratory, University of California at Berkeley,
1991.
Gurvits L., Li Z.X. Smooth Time-Periodic Feedback Solutions for Nonholonomic Motion Planning
// Nonholonomic Motion Planning (Z. Li , J.F. Canny). New York: Springer Science+Business
Media, 1993. P. 53-108.
Sussmann H.J., Liu W. Limits of Highly Oscillatory Controls and Approximation of General
Paths by Admissible Trajectories // Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and
Control. Brighton, England, 1991. Vol. 1. P. 437-442.
Samson C. Control of Chained Systems Application to Path Following and Time-Varying PointStabilization of Mobile Robots // IEEE Transactions on Automatic Control. 1995. Vol. 40, No. 1.
P. 64-77.
Ostrowski J.P. Steering For A Class Of Dynamic Nonholonomic Systems. Technical Report MSCIS-99-22. University of Pennsylvania Department of Computer and Information Science, 1999.
Nijmeijer H., van der Schaft A. Nonlinear Dynamical Control Systems. New York: Springer, 467 p.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г