исследование операций - Издательский центр "Академия"

УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
СЕРИЯ «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»
А. А. ВАСИН, П. С. КРАСНОЩЕКОВ, В. В. МОРОЗОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЕРАЦИЙ
Рекомендовано
Научнометодическим советом по математике
Министерства образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по специальностям
«Прикладная математика и информатика», «Прикладная математика»
1
ÓÄÊ 519.8(075.8)
ÁÁÊ 22.18ÿ73
Â195
Ð å ö å í ç å í ò û:
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â. À. Ãîðåëèê (âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê
Âû÷èñëèòåëüíîãî öåíòðà ÐÀÍ èì. À. À. Äîðîäíèöûíà);
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Ë. À. Ìóðàâåé (çàâ. êàôåäðîé ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè
ÐÃÒÓ-ÌÀÒÈ èì. Ê. Ý. Öèîëêîâñêîãî)
Â195
Âàñèí À. À.
Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóä. âóçîâ /
À.À.Âàñèí, Ï.Ñ.Êðàñíîùåêîâ, Â.Â.Ìîðîçîâ. — Ì. : Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2008. — 464 ñ. — (Óíèâåðñèòåòñêèé
ó÷åáíèê. Ñåð. Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà).
ISBN 978-5-7695-4190-2
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî êàê äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî, òàê è äëÿ
óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé.  íåì ðàññìîòðåíû çàäà÷è ëèíåéíîãî, öåëî÷èñëåííîãî è äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ñåòåâûå çàäà÷è è âîïðîñû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè íàëè÷èè âåêòîðíîãî
êðèòåðèÿ è áèíàðíûõ îòíîøåíèé. Èçëîæåíû îñíîâû òåîðèè àíòàãîíèñòè÷åñêèõ, íåêîîïåðàòèâíûõ è êîîïåðàòèâíûõ èãð. Äàíû ïðèëîæåíèÿ èññëåäîâàíèÿ îïåðàöèé â îáëàñòè ýêîíîìèêè è ïîëèòèêè.
Äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêèì è ýêîíîìè÷åñêèì ñïåöèàëüíîñòÿì.
ÓÄÊ 519.8(075.8)
ÁÁÊ 22.18ÿ73
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Âàñèí Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷, Êðàñíîùåêîâ Ïàâåë Ñåðãååâè÷,
Ìîðîçîâ Âëàäèìèð Âèêòîðîâè÷
Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ðåäàêòîð Ë. Â. ×åñòíàÿ. Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Å. Ô. Êîðæóåâà.
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà: Ò. À. Êëèìåíêî. Êîððåêòîð Ã. Í. Ïåòðîâà
Èçä. ¹ 101112986. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 27.07.2007. Ôîðìàò 60 × 90/16.
Áóìàãà îôñåòíàÿ ¹ 1. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Ãàðíèòóðà «Òàéìñ». Óñë. ïå÷. ë. 29,0.
Òèðàæ 3000 ýêç. Çàêàç ¹
Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ». www.academia-moscow.ru
Ñàíèòàðíî-ýïèäåìèîëîãè÷åñêîå çàêëþ÷åíèå ¹ 77.99.02.953.Ä.007496.07.04 îò 20.07.2004.
117342, Ìîñêâà, óë. Áóòëåðîâà, 17-Á, ê. 360. Òåë./ôàêñ: (495)334-8337, 330-1092.
Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ «Òâåðñêîé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò».
170024, ã. Òâåðü, ïð-ò Ëåíèíà, 5. Òåëåôîí: (0822) 44-42-15.
Èíòåðíåò / Home page — www.tverpk.ru. Ýëåêòðîííàÿ ïî÷òà (E-mail) —
sales@tverpk.ru
Îðèãèíàë-ìàêåò äàííîãî èçäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ Èçäàòåëüñêîãî
öåíòðà «Àêàäåìèÿ», è åãî âîñïðîèçâåäåíèå ëþáûì ñïîñîáîì áåç ñîãëàñèÿ
ïðàâîîáëàäàòåëÿ çàïðåùàåòñÿ
© Âàñèí À. À., Êðàñíîùåêîâ Ï. Ñ., Ìîðîçîâ Â. Â., 2008
© Îáðàçîâàòåëüíî-èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2008
ISBN 978-5-7695-4190-2 © Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñêèé öåíòð «Àêàäåìèÿ», 2008
2
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
E m — m-мерное евклидово пространство векторов x со
m
скалярным произведением x, y =
xi yi и нормой
i=1
|x| = x, x;
x||yi — вектор x, в котором компонента xi заменена на yi ;
Arg max f (x) = {x ∈ X | f (x ) = max f (x)} — множество
x∈X
x∈X
точек максимума функции f на множестве X ;
conv(X) — выпуклая оболочка множества X в евклидовом
пространстве;
{ak } — последовательность элементов ak , k = 1, 2, . . .;
ak ∼ bk — для последовательностей {ak } и {bk } означает, что
ak
lim
= 1;
k→∞ bk
m( ), D( ) — математическое ожидание и дисперсия случайной
величины ;
e — вектор, все компоненты которого равны 1;
el — вектор, l-я компонента которого равна 1, а остальные компоненты — нулевые;
[a] — целая часть числа a;
2S — множество всех подмножеств множества S ;
|S| — число элементов конечного множества S ;
n — число сочетаний из m по n;
Cm
def
= — «равно по определению»;
∀ ∃ ⇒ ⇔ — кванторы: «для всякого», «найдется»; логические
связки: «следует», «тогда и только тогда, когда»;
∅ — пустое множество;
— конец доказательства;
БДР — базисное допустимое решение;
МБН — множество базисных номеров.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Материал учебного пособия основан на лекционных курсах
по теории игр, исследованию операций и математической экономике, читавшихся авторами в течение ряда лет на факультете
вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова.
В учебном пособии значительное место уделено теории принятия решений в условиях неопределенности и приложениям в
экономике. Изложены такие разделы, как иерархические и эволюционные игры, задачи оптимального распределения ресурсов
и др. Рассмотрены модели несовершенной конкуренции, задачи оптимального налогообложения и организации налоговой инспекции, модели политической конкуренции.
Приложение содержит основные факты, относящиеся к выпуклым множествам и функциям.
Предлагаемые примеры и упражнения способствуют активному усвоению материала и могут служить для проведения семинарских занятий. Книга может быть использована для чтения курсов по исследованию операций, теории игр и математической экономике студентам, обучающимся по специальностям
«Прикладная математика и информатика», «Прикладная математика» и «Математические методы в экономике».
Авторы выражают благодарность профессору A. Ф. Измаилову и доценту М. Г. Фуругяну, высказавшим ряд ценных замечаний по содержанию пособия, а также А. Зацепину, В. Романову и Т. Рулевой за помощь в оформлении рукописи. Часть
материалов пособия подготовлена при поддержке программы
«Формирование системы инновационного образования в МГУ»,
гранта Президента РФ «Поддержка научных школ» (проект
НШ-9344.2006), гранта РФФИ (проект 05-01-00975).
ВВЕДЕНИЕ
Основные понятия
Существует множество определений той области современной науки, которую называют исследованием операций. Приведем одно из самых общих.
«Исследование операций — прикладное направление кибернетики, используемое для решения организационных (в том числе экономических) задач (распределения ресурсов, управления
запасами, упорядочения и согласования и др.)...»1 .
Из этого определения следует, что предмет исследования операций необычайно широк. Такое понимание появилось не сразу.
Возникновение и становление исследования операций относят к
периоду Второй мировой войны. В то время речь шла исключительно о военных приложениях (задачи противовоздушной обороны, охраны конвоев, эффективности систем стрельбы и т. д.).
Позднее, в 50 — 60-х гг. ХХ в. методы исследования операций
стали применяться и в гражданских областях: промышленности,
торговле, политике и др.
Теоретический аспект исследования операций состоит в построении и исследовании математических моделей принятия оптимальных решений. Именно такое определение исследования
операций примем далее в качестве рабочего.
Операция как совокупность целенаправленных действий немыслима без определения цели. Цель может формулироваться по-разному. Например, в военных операциях она может заключаться в достижении победы над противником, минимизации собственных потерь, максимизации разности ущербов
и т. п. В производстве и торговле можно стремиться к получению наибольшей прибыли, минимизации себестоимости продукции.
Отметим, что именно наличие определенной цели выделяет
исследование операций из общей тематики системного анализа
и математического моделирования.
1
Советский энциклопедический словарь. — М. : Советская энциклопедия,
1979.
5
К достижению цели стремится человек, группа лиц или организация, называемая оперирующей стороной. В ее распоряжении имеются ресурсы (людские, материальные, денежные, временны́е и т. д.).
Внутри оперирующей стороны выделяется лицо, называемое
исследователем операции. Исследователь операции преследует
ту же цель, что и оперирующая сторона. Однако он не принимает окончательных решений. Его задача состоит в формировании
и изучении математической модели операции и выработке рекомендаций по выбору способов действий (стратегий).
Контролируемые факторы — это влияющие на исход операции величины, значения которых определяет своими действиями оперирующая сторона в рассматриваемой операции. При
этом поступающая информация об обстановке, в которой происходит операция, может существенно расширить возможности
выбора контролируемых факторов. Правило выбора контролируемых факторов в зависимости от поступающей информации
называется стратегией.
Обстановка проведения операции обычно описывается заданием информации о неконтролируемых факторах. Неконтролируемые факторы включают состояние внешней среды и действия других субъектов, влияющих на исход операции. Среди
них выделяют: случайные факторы, для которых известен вероятностный закон распределения, и неопределенные факторы, относительно которых известна лишь область их возможных значений.
Неопределенные факторы подразделяют на следующие
группы:
• природные неопределенности;
• стратегии, контролируемые другими субъектами, имеющими собственные интересы, действия которых влияют на исход
операции. При этом субъекты, имеющие по отношению к оперирующей стороне противоположные интересы, называются противниками;
• факторы, характеризующие неясность цели оперирующей
стороны (см. пример 5.7).
Стремление оперирующей стороны к достижению цели операции характеризуется увеличением значения критерия эффективности, зависящего от контролируемых и неконтролируемых
факторов. Иногда цель состоит в уменьшении значения заданного критерия; в таких случаях его обычно называют критерием
потерь.
6
Изучаются и модели с несколькими критериями эффективности. Немало примеров многокритериальных задач дает экономика. Деятельность предприятия оценивается по нескольким показателям: прибыль, доля в общем объеме продаж и т. д. Активы
банка оцениваются обычно по двум показателям: доходность и
риск. Еще одна область приложений — проектирование сложных технических объектов. Например, конструкция автомобиля
оценивается по нескольким техническим характеристикам: скорость, грузоподъемность, экономичность двигателя и т. д. Задачу исследования операций можно сформулировать как поиск оптимальной (с точки зрения поставленной цели) стратегии оперирующей стороны. Решение этой задачи включает следующие
основные этапы:
1) формальное описание множеств значений контролируемых
и неконтролируемых факторов;
2) описание зависимости исхода операции от значений факторов;
3) определение на множестве возможных исходов количественного критерия или нескольких критериев, характеризующих исход операции с точки зрения поставленной цели;
4) описание информационных потоков, поступающих в ходе
операции оперирующей стороне и другим субъектам, и формализация множеств стратегий всех участников;
5) определение зависимости исхода операции от набора стратегий;
6) описание модели выбора стратегий прочими субъектами
операции;
7) определение критерия эффективности на множестве стратегий оперирующей стороны и выбор оптимальной по этому критерию стратегии1.
Основные разделы теории исследования операций, излагаемые в данном пособии, связаны с указанными этапами построения математической модели операции и поиска оптимальной
стратегии. Последовательность изложения отражает переход от
простейшей задачи принятия решений, изучаемой в теории оптимизации, к более сложным постановкам, включающим случайные и неопределенные факторы, наличие нескольких критериев, участие других субъектов с собственными интересами,
многошаговые операции с последовательным поступлением ин1
Более подробно о структуре операции и особенностях взаимодействия исследователя и оперирующей стороны см. монографию Ю. Б. Гермейера [22].
7
формации. В заключительных главах рассматриваются современные приложения исследования операций в экономике и политике (о других приложениях см. [2, 8, 10, 11, 16, 19, 20, 22, 24,
26, 27, 31, 35, 37, 43, 44, 53, 63]).
Базовые модели
Оптимизация. В абстрактной постановке простейшая математическая модель принятия решений состоит в следующем.
Имеется множество X стратегий x, на котором определена скалярная числовая функция W (x) — целевая функция. Принцип
оптимальности отвечает максимизации W (x), т.е. оптимальна
стратегия x∗ ∈ X, для которой
W (x∗ ) = max W (x).
x∈X
(В.1)
Таким образом, принятие решения происходит на основе оптимизации целевой функции.
Оптимальных стратегий может быть несколько. Если нет никаких оснований предпочесть одну стратегию другой, то их следует считать эквивалентными (равноценными, одинаково приемлемыми) для оперирующей стороны. Поэтому исследователь
операций может предложить оперирующей стороне любое решение задачи (В.1)
Дальнейшую селекцию решений удается осуществить, только
привлекая дополнительную информацию о цели операции, т.е.
изменяя принцип оптимальности и, в конечном счете, меняя постановку задачи исследования операций.
Пример В.1. Рассмотрим пример из области оптимального
проектирования. Пусть коробка изготовляется из прямоугольного листа материала размером a × b, a < b. Для этого из четырех
углов прямоугольника вырезаются квадраты со стороной x и материал сгибается вдоль линий, отмеченных на рис. В.1 штриховыми линиями.
В результате получается коробка с основанием в виде прямоугольника размером (a − 2x) × (b − 2x) и высотой x. Здесь стратегия x ∈ X = (0, a/2) может быть оценена целевой функцией
V (x) = x(a − 2x)(b − 2x) — объемом коробки. Максимум функции V (x) на множестве X достигается в точке
√
a + b − a2 − ab + b2
∗
.
x =
6
8
Рис. B.1
Многокритериальная оптимизация. Задачи, в которых
существует единственный, четко сформулированный критерий
эффективности, встречаются на практике не так уж часто.
В более сложных ситуациях задается векторный критерий
эффективности. Подобный многокритериальный подход появляется, когда:
• качество решения оценивается с нескольких точек зрения,
по отдельным компонентам качества;
• качество решения оценивается для нескольких вариантов
условий;
• оперирующая сторона включает нескольких субъектов, интересы которых описываются различными целевыми функциями.
Для того чтобы пояснить специфику многокритериальных
задач принятия решения, будем считать, что имеется множество
X стратегий x, на котором задан векторный критерий эффективности
W (x) = (W1 (x), . . . , Ws (x)).
(В.2)
Каждый из составляющих скалярных критериев Wi (x), i =
= 1, . . . , s, обладает тем свойством, что для оперирующей стороны его значение выгодно увеличивать.
Рассмотрим следующие два способа сравнения стратегий:
а) стратегия x предпочтительнее стратегии x (обозначение:
xSx ), если
Wi (x) > Wi (x ), i = 1, . . . , s;
(В.3)
б) стратегия x предпочтительнее стратегии x (обозначение:
xP x ), если
Wi (x) Wi (x ), i = 1, . . . , s,
W (x) = W (x ).
(В.4)
Принимая способ сравнения стратегий (В.3) или (В.4), тем самым задаем на X так называемое бинарное отношение. Первое
9
Т а б л и ц а B.1
Претенденты
Заработок (усл. ед.)
Рост (см)
Петр
1 300
168
Андрей
1 000
180
Максим
800
175
из них представляет отношение строгого доминирования (отношение Слейтера), а второе — отношение Парето1 .
Пример В.2. Девушка N N при выборе жениха руководствовалась двумя критериями: заработком и ростом избранника. Это
означает, что другими качествами (ум, обаяние и т. п.) все претенденты на ее руку обладали в равной степени. В табл. В.1
представлена информация, которой располагала N N . Андрей
строго предпочтительнее Максима, а Петр и Андрей не сравнимы по данному векторному критерию. Среди последних двоих
N N сделала нелегкий выбор, разрешившийся в пользу Андрея.
Как определить понятие оптимальной стратегии в задаче с
несколькими критериями, если имеется лишь способ сравнения
стратегий (В.3) или (В.4)?
Естественно здесь воспользоваться аналогией с оптимизацией по скалярному критерию эффективности. Найденная из решения оптимизационной задачи (В.1) стратегия x∗ обладала тем
свойством, что не существовало стратегии x ∈ X более предпочтительной, чем x∗ .
В нашем случае оптимальной назовем такую стратегию x∗ ,
что не существует стратегии x ∈ X, для которой xRx∗ , где R —
бинарное отношение, совпадающее с S или P .
Особенность данного определения состоит в том, что существует целое множество P (X, W ) неэквивалентных в общем случае между собой стратегий, оптимальных по Парето, и аналогичное множество S(X, W ) стратегий, оптимальных по Слейтеру.
Введем множество векторных оценок стратегий
Y = {y ∈ E s | y = W (x), x ∈ X}.
Для случая двух критериев (s = 2) изобразим его на плоскости
(рис. В.2).
1
Вильфредо Парето (1848 — 1923) — итальянский социолог и экономист.
В социологии известен как основатель теории элит.
10