Системы ДУ, операторный метод решения

1) Найти решение системы дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях (операторным
методом)
⎧ x ′ + y ′ − y = et
⎪
⎪ y′ + 2 x′ + 2 y = cos t
⎨
⎪ x (0) = 0
⎪ y (0) = 0
⎩
Пусть x ( t ) N X ( p ) ,
y ( t ) N Y ( p ) . Тогда
x′ ( t ) N pX ( p ) − x ( 0 ) = pX ( p )
y′ ( t ) N pY ( p ) − y ( 0 ) = pY ( p )
По таблице соответствия изображений оригиналам находим
et N
1
p −1
cos t N
p
2
p +1
и система ДУ в изображениях принимает вид
1
⎧
⎪ pX ( p ) + pY ( p ) − Y ( p ) = p − 1
⎪
⎨
⎪ pY ( p ) + 2 pX ( p ) + 2Y ( p ) = p
⎪⎩
p2 + 1
Решая её, получаем
(
)
(
⎧
−2 ⋅ 2 p 2 + 1
⎪ X ( p) =
⎪
p ⋅ ( p − 1 ) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ p2 + 1
⎪
⎨
⎪
p2 + p + 2
Y
p
=
(
)
⎪
( p − 1 ) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ p2 + 1
⎪⎩
(
)
)
Разложим правильные рациональные дроби на суммы простейших дробей методом неопределённых
коэффициентов:
−4 p2 − 2
(
p ⋅ ( p − 1 ) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ p2 + 1
=
)
=
A
B
C
Dp + E
+
+
+
=
p ( p − 1) ( p − 4 )
p2 + 1
(
)
p 4 ( A + B + C + D ) + p 3 ( −5 A − 4 B − C − 5 D + E ) + p 2 ( 5 A + B + C + 4 D − 5 E ) + p ( − 5 A − 4 B − C + 4 E ) + 4 A
(
p ⋅ ( p − 1 ) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ p2 + 1
⎧ A+ B +C + D = 0
⎪ − 5 A − 4 B − C − 5D + E = 0
⎪⎪
⎨ 5 A + B + C + 4 D − 5 E = −4
⎪ − 5A − 4B − C + 4E = 0
⎪
⎪⎩ 4 A = −2
−4 p2 − 2
(
p ⋅ ( p − 1) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ p + 1
2
)
=−
⇒
)
⎧ A = −1 2
⎪ B =1
⎪⎪
⎨ C = − 11 34
⎪ D = − 3 17
⎪
⎪⎩ E = 5 17
1
1
11
−3 p + 5
+
−
+
2 p ( p − 1) 34 ( p − 4 ) 17 p2 + 1
(
)
1 p2 + p + 2
( p − 1 ) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ ( p2 + 1 )
=
=
A
B
Cp + D
+
+
=
( p − 1 ) ( p − 4 ) p2 + 1
(
)
p3 ⋅ ( A + B + C ) + p2 ⋅ ( −4 A − B − 5C + D ) + p ⋅ ( A + B + 4C − 5D ) + ( −4 A − B + 4 D )
( p − 1 ) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ ( p2 + 1 )
⎧ A+ B +C = 0
⎪ − 4 A − B − 5C + D = 1
⎪
⎨
⎪ A + B + 4C − 5 D = 1
⎪⎩ − 4 A − B + 4 D = 2
p2 + p + 2
( p − 1 ) ⋅ ( p − 4 ) ⋅ ( p2 + 1 )
=−
⇒
⎧ A = −2 3
⎪ B = 22 51
⎪
⎨
⎪ C = 4 17
⎪⎩ D = − 1 17
2
22
4 p −1
+
+
3 ( p − 1) 51 ( p − 4 ) 17 p2 + 1
(
)
Используя табличные соответствия оригиналов изображениям, переходим от изображений к оригиналам:
1 1
1
1
− ⋅ N − ⋅1 = −
2 p
2
2
1
N et
p −1
11 1
11
− ⋅
N − e4 t
34 p − 4
34
−3 p + 5
(
17 p2 + 1
)
=−
p
1 ⎛ 3p − 5⎞
3
5
1
3
5
⋅ ⎜⎜ 2
+ ⋅ 2
N − ⋅ cos t + ⋅ sin t
⎟⎟ = − ⋅ 2
17 ⎝ p + 1 ⎠
17 p + 1 17 p + 1
17
17
⇓
1
11
3
5
x ( t ) = − + et − e4t − ⋅ cos t + ⋅ sin t
2
34
17
17
2
1
2
N − et
− ⋅
3 ( p − 1)
3
22
1
22 4t
N
e
⋅
51 ( p − 4 )
51
4 p −1
(
17 p2 + 1
)
=
p
1 ⎛ 4 p −1 ⎞ 4
1
1
4
1
N
⋅ ⎜⎜ 2
− ⋅ 2
⋅ cos t − ⋅ sin t
⎟⎟ = ⋅ 2
17 ⎝ p + 1 ⎠ 17 p + 1 17 p + 1
17
17
⇓
2
22
4
1
y ( t ) = − et + e4t + ⋅ cos t − ⋅ sin t
3
51
17
17
Решение системы ДУ:
1 t 11 4t 3
5
⎧
⎪⎪ x ( t ) = − 2 + e − 34 e − 17 ⋅ cos t + 17 ⋅ sin t
⎨
⎪ y ( t ) = − 2 et + 22 e4t + 4 ⋅ cos t − 1 ⋅ sin t
⎪⎩
3
51
17
17
2 Решение системы в Maple 12:
Литература:
1) Исрапилов Р.Б., Пяткова В.Б. “Математика, 4-й семестр”, методичка УрГГУ (г. Екатеринбург), 2005, стр. 75 (пример 2.3);
2) Письменный Д.Т."Конспект лекций по высшей математике", 2006, стр. 594, стр. 597 (пример 80.3);
3) Гусак А.А., Бричикова Е.А., Гусак Г.М. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 164.
2) Методом операционного исчисления найти частное решение системы ДУ
⎧ x′ + 4 x − y = 0
⎨
⎩ y′ + 2 x + y = 0
удовлетворяющее начальным условиям
⎧⎪ x ( 0 ) = 2
⎨
⎪⎩ y ( 0 ) = 3
Пусть x ( t ) N X ( p ) ,
y ( t ) N Y ( p ) . Тогда
x′ ( t ) N pX ( p ) − x ( 0 ) = pX ( p ) − 2
y′ ( t ) N pY ( p ) − y ( 0 ) = pY ( p ) − 3
и система ДУ в изображениях принимает вид
⎧⎪ pX ( p ) − 2 + 4 X ( p ) − Y ( p ) = 0
⎨
⎪⎩ pY ( p ) − 3 + 2 X ( p ) + Y ( p ) = 0
Решая её, получаем
2p +5
⎧
⎪ X ( p ) = ( p + 2 ) ⋅ ( p + 3)
⎪
⎨
3p + 8
⎪ Y ( p) =
⎪⎩
( p + 2 ) ⋅ ( p + 3)
Разложим правильные рациональные дроби на суммы простейших дробей методом неопределённых
коэффициентов:
x ⋅ ( A + B ) + ( 3 A + 2B )
2x + 5
A
B
=
+
=
( x + 2 ) ⋅ ( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3)
( x + 2 ) ⋅ ( x + 3)
⎧ A+ B = 2
⎨
⎩ 3 A + 2B = 5
⇒
⎧ A=1
⎨
⎩ B =1
x ⋅ ( A + B ) + ( 3 A + 2B )
3x + 8
A
B
=
+
=
( x + 2 ) ⋅ ( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3)
( x + 2 ) ⋅ ( x + 3)
⎧ A+ B = 3
⎨
⎩ 3 A + 2B = 8
⇒
⎧ A=2
⎨
⎩ B =1
3 Т.е.
1
1
⎧
⎪ X ( p ) = ( p + 2 ) + ( p + 3)
⎪
⎨
⎪ Y ( p) = 2 + 1
⎪⎩
( p + 2 ) ( p + 3)
Используя табличные соответствия оригиналов изображениям:
1
N e−2t
p +2
1
N e−3t
p+3
переходим от изображений к оригиналам и получаем частное решение системы ДУ в оригиналах:
⎧⎪ x ( t ) = e−2t + e−3t
⎨
−2t
−3t
⎪⎩ y ( t ) = 2e + e
Решение системы в Maple 12:
Литература:
1) Исрапилов Р.Б., Пяткова В.Б. “Математика, 4-й семестр”, методичка УрГГУ (г. Екатеринбург), 2005, стр. 75 (пример 2.3);
2) Письменный Д.Т."Конспект лекций по высшей математике", 2006, стр. 594, стр. 597 (пример 80.3);
3) Гусак А.А., Бричикова Е.А., Гусак Г.М. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 164.
4